functii reale de mai multe variabile

7/29/2019 functii reale de mai multe variabile

1/25

8. Funcii reale de mai multe variabile

8.4 Derivate pariale i difereniale de ordin superior continuare.

Not. Paginile care urmeaz reprezint ultima parte a Seciunii 8 . Funcii reale de maimulte veriabile, i anume a subseciunii dedicate derivatelor pariale i diferenialelor deordin superior pentru funcii definite pe domenii din n. Aadar, aceste pagini urmeazimediat dup pagina 180 din textul Seciunii 8 postat n pagina web, text care a fostfinalizat cu editorul WP11 dar ale crui ultime 5 pagini nu au mai putut fi rescrise princonversie din formatul wpd n pdf.

2f

x2 def=

x

f

x,

2f

y2 def=

y

f

y,

2f

z2 def=

z

f

z, (8.115)

2fx y def

=y

fx

, 2f

x z def=

z

fx

, 2f

y z def=

z

fy

. (8.116)

Exemplu.

Ex. 8.14 Se cer derivatele pariale pn la ordinul al doilea ale funciei

f(x , y ,z) = ex zcos y.

fx

=x

(ex zcos y) = z ex zcos y , fy

=y

(ex zcos y) = ex zsin y , (8.117)

fz

=z

(ex zcos y) = x ex zcos y , (8.118)

(8.117 1)

2f

x2=

x

(z ex zcos y) = z2 ex zcos y,

2fx y

=y

(z ex zcos y) = z2 ex zsin y,

2fx z

=z

(z ex zcos y) = (z2 + 1) ex zcos y.

(8.117 2)

2fy x

=x

(z ex zcos y) = z ex zsin y,

2f

y2=

y

( ex zsin y) = z ex zcos y,

2fy z

=z

( ex zsin y) = x ex zcos y.

181


2/25

(8.118)

2fzx

=z

(z ex zcos y) = (z2 + 1) ex zsin y,

2fzy

=y

(x ex zcos y) = x ex zsin y,

2fz2

= z

(x ex zcos y) = x 2 ex zcos y.

Au fost determinate toate cele nou erivate de ordinul II posibile, dar se constat c numaiase dintre ele sunt distincte ntruct cele trei perechi de erivate mixte const din erivatemixte identice ca expresie, situaie previzibil confom teoremei lui Schwarz. S maiobservm c funcia din enun este simetric n variabilele x & z aa nct erivatele numain raport cu aceste variabile se pot obine unele din altele prin interanjarea acestor variabilen expresiile respective.

Difereniale de ordin superior

Dac o funcie de n variabile f(X) admite erivate pn la ordinul k, nttr-un punctfixat sau ntr-un punct curent, iar acestea sunt continue, atunci ea admite i difereniale deordine pn la k; aceste difereniale se definesc recursiv :

dmf= d(dm 1f) , m 2 . . (8.119)

oferim formulele pentru diferenialele pn la ordinul 3 pentru o funcie de dou variabilef(x ,y) , cu erivate continue pn acest ordin ; astfel, conform Teoremei lui Schwarz, vomscrie o singur derivat mixt de ordinul 2 sau 3, care coincide i cu celelalte.

Plecm de la formula (8.108), fr a mai scrie cele 2 + 2 argumente pentru diferenialelede ordine 2.

d f=fx

(x, y) d x +fy

(x, y) d y ; (8.120)

d2f= d(d f)(8.120)

= d fx

d x + fy

d y =

=

x

f

xd x +

f

yd y d x +

y

f

xd x +

f

yd y d y =

= 2f

x2d x2 +

2fy x

d y d x + 2f

x yd x d y +

2f

y2d y2

d2f= 2f

x2d x2 + 2

2fx y

d x d y + 2f

y2d y2 ; . (8.121)

d3f= d(d f)(8.120)

= d 2f

x2d x2 + 2

2fx y

d x d y + 2f

y 2d y 2 =

=

x

2f

x2 d x2

+ 2

2f

x y d x d y +

2f

y2 d y2

d x +

182


3/25

+y

2f

x2d x2 + 2

2fx y

d x d y + 2f

y2d y2 d y =

= 3f

x3d x3 + 2

3f

x2 yd x 2 d y +

3f

y2 xd x d y 2 +

+

3

fx2 y d x2 d y + 2

3

fx y2 d x d y2 +

3

fy3 d y3

d3f= 3f

x3d x3 + 3

3f

x 2 yd x2 d y + 3

3f

x y2d x d y 2 +

3f

y 3d y3 . ; . (8.122)

Aa cum am mai menionat, gruprile de termeni care au condus la expresiile din (8.121)& (8.122) au implicat egalitatea dintre unele erivate mixte de ordinul II (i respectiv III),pe baza Teoremei lui Schwarz.

S mai observm c aceste expresii din (8.121) & (8.122) se pot reine mai uori se potgeneraliza la difereniale de orice ordin m dac se pune n eviden operatorul diferenial deprimul ordin :

d = x

d x + y

d y ; (8.123)

Operatorii difereniali de ordine superioare se obin din acest operator de primul ordin ceeace se poate numi operaia de ridicare la "puteri simbolice" a cror semnificaie va fiexplicat.

d2 = x

d x + y

d y( 2 )

= 2

x2d x2 + 2

2

x yd x d y +

2

y2d y2 ; (8.124)

d3 =x

d x +y

d y

( 3 )

= 3

x3d x3 + 3

3

x 2 yd x 2 d y + 3

3 f

x y2d x d y 2 +

3 f

y 3d y3 .

(8.125)

Aceste puteri simbolice funcioneaz n spiritul produsului de operatori ca i compunere a

acestora, iar pentru variaiile argumentelor acestea sunt puteri obinuite :

x

( 2 )

= 2

x2,

x

y

= 2

x y, d x ( 2 ) = d x 2 ,.etc.

Cu aceste convenii, se poate scrie operatorul diferenial de ordinul m (oarecare) :

dm =x

d x +y

d y

( m )

=

k=0

m

Cmk m

x m ky kd x m kd y k . (8.126)

Aplicarea practic a formulelor (8.124 - 126) se realizeaz introducnd funcia a crei

183


4/25

diferenial urmeaz a fi scris sub operatorii de derivare parial.

Exemplu. Didifereniala de ordinul m a funciei f(x , y) = cos (3x + 2y) este

d

m

f=

k=0

m

Cmk

m cos (3x + 2y)

xm kyk d x

m k

d y

k =.

=

k=0

m

Cmk cos 3x + 2y + m 2 3m k2 kd x m kd y k. (8.127)

n obinerea acestei expresii (8.127) s-a aplicat o formul pentru derivarea funciilortrigonometrice fundamentale : la fiecare derivare argumentul funciei se majoreaz cu cteun /2 : v. Seciunea 6. De asemenea, s-a aplicat regula de derivare a funciilorcompuse : la fiecare erivare dup x a funciei f(x , y) = cos (3x + 2y) n faa funciei(sau dup aceasta) apare cte un coeficient = 3, iar la fiecare erivare dup y apare cte un

coeficient = 2.

Aplicaii (exerciii) cu erivate i difereniale.

8.6 - A S se determine erivatele i difereniale pentru funciile de mai jos, npunctele indicate sau ntr-un punct curent.

1ofx

,fy

i d f pentru f(x , y) = xy n M0(1, 2) & M(x,y) ;

2ofx

,fy

i d f pentru f(x , y) = sin (2x + 3y) n M0 ( /4, /3) & M(x , y)

;

3o Se cererivatele pn la ordinul II i d2f pentru funcia f(x , y) = ln (x y ) npunctele M0(2 , 1) & M(x , y ) ;

4o S se verifice c funciile f(x , y) = ln (x 2 + y 2) i g(x , y) = arctg xy verific

ecuaia lui Laplace u = 0 unde

= 2

x2+

2

y2.

5o S se scrie difereniala de ordinul m , ntr-un punct curent M(x , y ) , pentru funcia

f(x , y) = sin (2x + 3y) .

6o Se cererivatele i difereniala de ordinul I pentru funciile f(x , y) = ex y2

n

M0 (0, 1) i g(x , y) = (x 2 + y 2) arctg xy n M(x,y) , y 0 ;

7o Se cererivatele i difereniala de primul ordinul pentru funcia

f(x , y, z) = ex2+y 2 sin 2 z n M(x,y,z) 3 .

184


5/25

8o Folosind definiia, s se calculeze

fx

(1, 1) ,fy

(1, 1) i d f(1,1; h , k) pentru f(x , y) = ln (1 + x + y 2 ) .

9o S se determinef

x(2, 2) ,

f

y(2, 2) ,

2f

x y(2, 2) i d f(2 , 2 ; h , k)

pentru

f(x , y) = 3 x 2y ;

10o S se determine dmf pentru funcia f(x , y, z) = ex y sinz.

Rspunsuri - recomandri de rezolvare.

1o erivatele n punctele M(x , y ) sunt imediate iar

f

x

(1, 2) = 1

2

,f

y

(1, 2) = 1

4

.

2o Se recomand calculul acestor derivate pariale n M0 ( /4, /3) folosind definiia iformula de transformare a diferenei de sinusuri n produs. Derivatele pariale ntr-un punctcurent se obin cu regulile de derivare a funciilor compuse.

3ox

ln (x y ) = 1x ,fy

ln (x y ) = 1y de unde se obin imediat derivatele secunde i

d2f= d x2

x 2

d y2

y 2.

Particularizarea la punctul M0 se poate realiza pe baza continuit

ii derivatelor par

iale.

4ox

ln (x 2 + y 2 ) = 2xx 2 + y 2

, 2f

x2= 2

y 2 x 2

(x 2 + y 2) 2

iarerivatele dup y se obin prin simetrizare.

5o Se va proceda ca n exemplul anterior, cu funcia f(x , y) = cos (3x + 2y) .

6o Pentru erivatele n punct curent ale lui gse aplic regulile de derivare. Pentru primafuncie se poate aplica definiia sau erivatele se pot obine prin continuitatea derivatelorpariale n punctul curent, trecnd la limit ctre M0 ; fx (0 , 1) = 1/e, fx (0 , 1) = 2 /e .

7o Se aplic regulile de derivare. Funcia este separabil, n sensul c se poate scrie caprodus de trei funcii, fiecare depinznd de cte o singur variabil.: se scrie exponenialasub forma

ex2+y 2 = ex

2e y

2.

8o Folosind definiia se vor gsi erivatele de primul ordin ; ele se pot verifica itrecnd la limit ctre M0 n fx (x, y) & fy (x, y) .

9o Se pot determinafx

,fy

, 2f

x yi d f ntr-un punct curent, nlocuind apoi

coordonmatele punctului dat. Funcia este separabil (se poate factoriza ca produs de funcii

185


6/25

n fiecare variabil, acestea fiind puteri raionale).

10o Rezolvarea este similar cu cea de la exerciiul 7o dar exponeniala nu mai esteseparabil.

186


7/25

8.5 Extreme locale ale funciilor de mai multe variabile.

Fie f: D n o funcie de n variabile reale i M0 accD D. Eventual, acest punctM0 poate fi un punct interior al domeniului de definiie. nainte de a caracteriza formal

definiia lui M0 ca punct de extrem local, putem formula o descriere a acestei situaii cevamai intuitiva.

M0 este un punct de minim / maxim local al funciei f dac exist o vecintate apunctului astfel nct valorile funciei n punctele acesteia majoreaz / minoreaz valoareafunciei n punct. Formal,

M0 P-MIN (f) ( UM0 ) f(UM0 D) f(M0 ) ; (8.128)

M0 P-MAX (f) ( UM0 ) f(UM0 D) f(M0 ) . (8.129)

Dac inegalitile din (8.128) / (8.129) sunt stricte pentru toate punctele vecintii cu

excepia lui M0 atunci acesta este un punct de minim / maxim local strict. Punctele deextrem global se definesc analog, dar valoarea f(M0 ) nu se mai compar cu valorilefunciei ntr-o vecintate a punctului ci cu valorile sale pe ntreg domeniul de definiie.Aadar,

M0 P-MING (f) f(D) f(M0 ) ; (8.130)

M0 P-MAXG (f) f(D) f(M0 ) . (8.131)

Valoarea f(M0 ) a funciei ntr-un punct de extrem local va fi un minim / maxim local,respectiv globalal acesteia. De multe ori, printr-un extrem local (global) se nelegeperechea M0, f(M0 ) .

Observaie. Problema determinarii extremelor(locale sau glabale ale) unei funcii de maimulte variabile are o importan practic deosebit, fiind - n esen - nucleul oricrei

probleme de optimizare.

n principiu, un punct de extrem global ar fi mai curnd unic, dar exist funcii careadmit o ntreag mulime de puncte de minim / maxim global, valorile funciei n toateaceste puncte fiind identice. Vom ilustra i astfel de cazuri n exemple care urmeaz.

Determinarea punctelor de extrem se poate realiza i folosind doar aceast definiie, darnu pentru orice funcie acest lucru este posibil.

Ex. 8.15 Funciilef(x, y) = x2 + y2 & g(x, y,z) = 1 ln (1 + x 2 + y 2 + z2 ) (8.132)

admit originea ca punct de minim, respectiv de maxim local dar i global. ntr-adevr,

(8.132-1) f(x, y) = x2 + y2 0 = f(0, 0) P-MINg(f) = {O(0, 0)}. (8.133)

Concluzia din (8.133) se poate obine i punnd n eviden imaginea sau codomeniulfunciei :

Imf = f(2 ) = [0, + ) f(0, 0) = 0 = min Imf.

Pentru a doua funcie putem scrie

x 2 + y 2 + z2 0 1 + x 2 + y 2 + z2 1 ln (1 + x 2 + y 2 + z2 ) 0

187


8/25

g(x, y,z) = 1 ln (1 + x 2 + y 2 + z2 ) 1 = g(0,0,0). (8.134)

Din valorile intermediare care intervin inegalitile din (8.134) rezult c O(0,0,0) estepunct de maxim global. Imaginea acestei funcii este (- , 1] . Pentru ambele funcii,originea ca punct de minim, respectiv de maxim (local i global).este unic.

Ex. 8.16 Funciile

(x, y) = |2x 3y 6| & (x, y,z) = sin(x + y + z) (8.135)

admit, fiecare, mai multe puncte de extrem local i global. ntr-adevr,

(8.135-1) (x, y) 0 & (M) = 0 pentru

M(x, y) (d) : 2x 3y 6 = 0, (8.136)

Aadar, toate punctele dreptei (d) din (8.135) sunt puncte de minim global pentru funcia (x, y), deci i puncte de minim local, n mod banal. Imaginea funciei este tot intervalul

[0, + ) sau n interpretare geometric, semiaxa (z 0) a reperului cartesian (O ; x, y,z) dinspaiiul 3D.

Funcia (x, y,z) din (8.135-2) este un sinus avnd ca argument o funcie liniar nx, y,z, care poate lua orice valuare real. Deci putem scrie c (3 ) = [1, 1] . Ce douvalori extreme de vor atinge argumentul sinusului este egal cu un multiplu din clasade resturi

3 (mod 4) de /2 pentru minim, respectiv din clasa

1(mod4) al aceluiai unghi

pentru maxim. Aceste minime i maxime sunt globale (implicit i locale). Prin urmareputem scrie

P-MINg( ) = M(x, y,z) : x + y + z = (4 k+ 3) 2, k , (8.137)

P-MAXg( ) = Q (x, y,z) : x + y + z = (4 + 1) 2, . (8.138)

Din punct de vedere geometric, punctele de minim din (8.137), dar i cele de maxim din(8.138), sunt situate n plane paralele, toate avnd aceeainormal n = i + j + k. Se poaterezuma formal aceast discuie sub forma

1 = min (3 ) (3 ) max (3 ) = 1 .

Puncte staionare. M0 accD D este un punct staionaral funciei

f: D

, D n

dac toate derivatele pariale de primul ordin al funciei se anuleaz nacest punct :

fx1

(M0) =f

x2(M0) ==

fxn

(M0) = 0 . (8.139)

Rezult c cele n coordonate ale unui punct staionar trebuie s verifice sistemul de ecuaii

188


9/25

fx1

(X) = 0,

fx2

(X) = 0,

fxn

(X) = 0.

(8.140)

Ca detaliu mai curnd tehnic, s observm c n (8.139) apar egalitile pe care trebuie s leverifice punctul staionar M0 n timp ce n (8.140) X n reprezint coordonateleunui punct curent M care trebuie s verifice acest sistem de ecuaii pentru ca M(X) s fieun punct staionar. S notm cu S(f) sau doar S mulimea punctelor staionare ale funciei.Conform definiiei (8.128-129) a punctelor de extrem local, rezult c i orice restricie afunciei care-l admite pe M0 ca punct de acumulare al subdomeniului respectiv l va avea peacesta drept punct de extrem local: de minim, respectiv de maxim. Funciile pariale

asociate unei funcii de mai multe variabile ntr-un punct M0 sunt,aa cum am observat anterior, restricii ale funciei la drepte (sau hiperdrepte, n cazuln-dimensional cu n > 3). n consecin, funciile pariale care sunt funcii de o singurvariabil liber vor avea n coordonata respectiv a punctului M0 un punct de extrem(local) de aceeai natur, adic de minim sau de maxim. Conform Teoremei lui Fermat ia definiiei derivatelor pariale de primul ordin, funcia parial corespunztoare aceleicoordonate va avea derivata nul n acest punct. Dar aceast derivat este tocmai derivataparial n M0. Vom descrie formal comportarea erivatelor (de primul ordin) ntr-un punctde extrem local pentru o funcie de trei variabile (n = 3) dei nu ar fi o problem formulareateoremei respective n cazul general.

Teorem. Dac M0(x0, y0,z0) este un punct de extrem local al funciei f (x,y,z) iarerivatele (de primul ordin ale) funciei exist n acest punct atunci ele se anuleaz n M0.

Demonstraie. Oferim demonstraia pentru un punct de minim, trecerea la cazul simetricfiind facil. ntruct

M0(x0, y0,z0) P-MIN (f) ( UM0 ) f(UM0 D) f(x0, y0,z0 ) ; (8.141)

Funciile pariale n punctul M0(x0, y0,z0) sunt

(x) = f(x, y0,z0 ) , (y) = f(x0, y,z0 ) , (z) = f(x0, y0,z) , (8.142)

(8.141) & (8.142)

(Ux0 D) (x0 ) ,

(Uy0 D) (y0 ) ,

(Uz0 D) (z0 ) .

(8.143)

Vecintile punctelorx0, y0,z0 care intervin n membrii stngi ai inegalitilor din (8.143)sunt vecinti unidimensionale, proiecii ale vecintii UM0 pe cele trei axe de coordonate ;ele sunt de forma (x0 ,x0 + ) , (y0 , y0 + ) , (z0 ,z0 ) . Derivatele pariale alefunciei f n punctul M0 se obin conform definiiei, trecnd la limit n rapoarteleincrementare (pentru funciile) pariale :

fx

(M0 ) =x x0lim

(x) (x0 )x x0

=x x0lim

f(x, y0,z0 ) f(x0, y0,z0 )x x0 . (8.144)

Conform cu inegalitatea (8.143-1), numrtorii rapoartelor din (8.144) sunt pozitivi.

189


10/25

Aadar, pentru aceast derivat parial trebuie determinate limitele la stnga i la dreapta,adic derivatele laterale :

s (x0 ) =

xx0

lim(x) (x0 )

x x0 0

d (x0 ) =xx0lim (x) (x0 )x x0 0

s (x0 ) = d

(x0 ) = 0 (8.145)

(x0 ) = fx

(M0 ) = 0 . (8.146)

Penultima egalitate din (8.145) rezult din ipoteza c funcia admite derivat parial npunctul M0 , derivat care se anuleaz conform cu implicaia care conduce la (8.145).

Analog se arat c si celelalte dou derivate pariale se anuleaz n M0 care este, prinurmare, un punct staionar.

Corolar. Punctele de extrem local din domeniul de derivabilitate parial al unei funcii segsesc printre punctele staionare ale acesteia.

Evident, acest Corolar are o importan practic ntruct restrnge cutarea punctelor deextrem local la mulimea S a punctelor staionare. Pot ns exista puncte staionare care snu fie puncte de extrem local. Exemplul care urmeaz ilustreaz aceast situaie.

Ex. 8.17 Fie funcia f(x, y) = esin2(x +y). Se cere determinarea punctelor sale staionare

din ptratul [,]2 i eventualele puncte de extrem local din acelai subdomeniu.

fx

= 2sin (x + y) cos (x + y) esin2(x +y) = sin2 (x + y) esin

2 (x + y) = fy

. (8.147)

Cele dou derivate pariale coincide ntruct funcia este simetric n x, y iarerivata dupx este i ea simetric. ntruct exponeniala este strict pozitiv pentru orice argument,rezult c sistemul de forma (8.140) care va furniza coordonatele punctelor staiaonare sereduce la o sigur ecuaie,

sin2 (x + y) = 0 2 (x + y) = k x + y = k / 2 y = k / 2 x . (8.148)

Ecuaia din (8.147) reprezint o familie de drepte paralele cu bisectoarea a doua.Segmentele de pe aceste drepte care sunt situate n patratul [,]2 vor fi formate dinpuncte staionare ale funciei. Aceast afirmaie se exprim prin

k fx

(x , k / 2 x) = fy(x , k / 2 x) = 0

S = {(x , k / 2 x) : k , x [,]} . (8.149)

Din punct de vedere geometric, dreptele din familia (caracterizat prin ecuaiile) (8.148),numai cteva au puncte n interiorul ptratului ; acestea corespund valorilor parametruluintreg k { 3 , 2 , 1 ,0 ,1 ,2 ,3} . Pentru k = 2 i k = 2 dreptele respective atingptratul n dou coluri opuse ale sale i anume A(,) & A(, ), respectiv. Sobservm c valorile funciei din enun n toate punctele staionare sunt

f(x, k / 2 x) = esin2

(k / 2) =e1 = e pentru k = 2 1,

e0 = 1 pentru k = 2 . (8.150)

190


11/25

ntruct 0 sin 2(x + y) 1 rezult cvalorile din (8.150) sunt efectiv extremele funcieipe domeniul nchis [,]2.

O funcie mai interesant se obine din funcia din enun dac exponentul sin 2(x + y) senlocuiete cu sin3 (x + y) . Se obine astfel funcia

g(x, y) = e sin 3 (x +y). (8.151)

(8.151) gx

= 3sin 2(x + y) cos (x + y) e sin (x +y) = gy

. (8.152)

gx

= gy

= 0(8.152)

sin 2(x + y) cos (x + y) = 0 x + y = m 2

, . (8.153)

(8.153) S = x , m 2

x : m , x [,] . (8.154)

n punctele staionare, valorile funciei g sunt

g x , m 2

x = e sin m/ 2 =

e 1 = e pentru m = 4 + 1,e 0 = 1 pentru m = 2 ,

e - 1 = 1/e pentru m = 4 + 3.

(8.155)

Ca i n cazul funciei f,

1 sin 3(x + y) 1 e - 1 g(x, y) e (8.156)

iar membrii extremi ai dublei inegaliti (8.156) sunt efectiv valori extreme ale funciei g.Aadar,

P-MING (g) = x , (4 + 3) 2 x : m , x [,] . , (8.157)

P-MAXG (g) = x , (4 + 1) 2 x : m , x [,] . . (8.158)

n ce privete punctele din (8.155-2), este uor de constatat c acestea nu sunt puncte deextrem local. S le notm cu Q i s reamintim c

g(Q ) = e sin = e 0 = 1 , (8.159)

Atunci cnd suma argumentelor (x + y) "traverseaz" valoarea exponentul sin 3(x + y)trece de la valori pozitive la valori negative sau invers. Prin urmare, n orice vecintate

(suficient de mic) a unui punct Q de pe o dreapt (x + y = ) funcia

g(x, y) = e sin3 (x +y)

< (>) e0 = 1 pentru x + y < ,

> ( .

de unde reult c punctele de forma Q nu sunt puncte de extrem local ci doar punctestaionare.

Identificarea punctelor de extrem local cu ajutorul diferenialei a doua.

Comportarea unei funcii de mai multe variabile n vecintatea unui punct M0 n sepoate studia cu ajutorului diferenialei a doua n acest punct. Scriind formula lui Taylor

191


12/25

pentru funcia f(M) n punctul staionar M0 , grupul termenilor liniari (de orinul nti)coincid cu difereniala ntia care se anuleaz n M0 conform cu (8.140). Mai exact,formula lui Taylor de ordinul II se poate scrie sub forma

f(M) = f(M0) + 11!d f(M0, d X) + 12!

d2f(M0, d X) + R2. (8.160)

Conform observaiei anterioare, n punctul staionar M0 avem d(M0, d X) 0 iar restulR2 (cer se exprim cu difereniala a III-a ntr-un punct apropiat de M0) va deveni orict demic (n valoare absolut) ntr-o vecintate suficient de mic a sa. Aadar, variaia funcieiva putea fi aproximat orict de bine de d2f(M0, d X) / 2 :

f(M0, d X) = f(M) f(M0) 12!d2f(M0 , d X) (8.161)

Prin urmare, semnul variaiei funciei va fi dat de semnul diferenialei a doua, iar aceastaeste o form patratic n componentele vectorului-variaie a argumentului d X. Avnd nvedere definiiile (8.128-129) ale punctelor de minim / maxim local, rezult c

M0 P-MIN (f) f(M) f(M0) 0 n UM0 D ; (8.162)

M0 P-MAX (f) f(M) f(M0) 0 n UM0 D (8.163)

Inegalitile din (8.162-163) sunt stricte pentru punctele M din vecintatea punctat, dacM0 este un punct de extrem strict. Conform cu aproximarea variaiei din (8.161), putemtrage concluzia c

M0 S &d2f(M0 , d X) 0 M0 P-MIN(f) ,

d2f(M0 , d X) 0 M0 P-MAX (f)(8.164)

Difereniala a doua fiind o form ptratic n variaiile pe componente d x1, d x2, , d xnva rezulta din (8.164) c M0 este punct de minim local dac d2f este pozitiv definit,respectiv punct de maxim local dac d2f este negativ definit. n cazul n care aceastaform ptratic este nedefinit, M0 nu este un punct de extrem local ; el se numete puncta. Studiul semnului unei forme ptratice se presupune a fi cunoscut de la disciplina deAlgebr liniar.

Pentru funciile de dou (i trei) variabile, stabilirea semnului lui d2f este relativsimpl. Se scrie matricea jacobian de ordin II sau matricea hessian

H =

2f

x2 2f

x y

2fy x

2f

y 2

. (8.165)

n condiiile teoremei lui Schwarz (derivatele mixte continue) elementele de NE & SWcoincid.

Se nlocuiesc coordonatele punctului M0 n erivatele de ordinul II din (8.165) i seobine o matrice cu elemente numerice, care se noteaz (n multe cursuri / culegeri de

probleme) ca mai jos :

192


13/25

H(M0) =

2f

x2(M0)

2fx y

(M0)

2fy x

(M0) 2f

y 2(M0)

=A B

B C. (8.166)

Cu aceste notaii, difereniala a doua n M0 se scried2f(M0 ; d x, d y)

(8.121)=

2f

x2d x2 + 2

2fx y

d x d y + 2f

y2d y2 =

= A d x2 + 2B d x d y + C d y2. (8.167)

Conform teoremei lui Jacobi de la forme ptratice, avem trei cazuri posibile :

A > 0 & A C B2 > 0 d2f> 0 M0 P-MIN(f) ,

A < 0 & A C B2 > 0 d2f< 0 M0 P-MAX (f) ,

A C B2 < 0 d2f nedef. M0

este punct a.

(8.168)

Observaii. 1 Dac toate derivatele pariale de ordinul II se anuleaz n M0 atuncidifereniala a doua este identic nul, deci nu mai este relevant i se poate recurge laformula lui Taylori la difereniale de ordin superior. 2 n cazul cnd A C B2 = 0difereniala a doua ca form ptratic este degenerat ; ea se poate aduce la o expresie

canonic ce const dintr-un singur termen iar semnul coeficientului lui dx 2 sau dy 2 vadecide natura punctului M0.

Ex. 8.18 S se determine punctele staionare i eventualele extreme locale pentru

funciile

(i) f(x, y) = x3 + 3x y2 15x 12y & (8.169)

(ii) g(x, y) =1 + x + y

1 + x 2 + y 2. (8.170)

Soluii. i (8.169)

fx

= 3x2 + 3y2 15 = 3 (x2 + y2 5) ,

fy

= 6x y 12 = 6 (x y 2) .(8.171)

Punctele staionare se obin rezolvnd sistemul algebric ce rezult din

(8.172) x2 + y2 5 = 0 ,

x y = 2

x2 + 4 /x2 5 = 0 ,

y = 2 /x

x4 5x2 + 4

x 2= 0

x2 = 1 sau

x2 = 4

x = 1 sau

x = 2 .(8.172)

Deci mulimea punctelor staionare este

S : M1(1,2) , M2 (1, 2) , M3(2 , 1) , M4 (2 , 1) . (8.173)

Din erivatele de primul ordin din (8.172) se obin erivatele secunde :

193


14/25

2f

x2= 6x ,

2fx y

= 6y = 2f

y x,

2f

y 2= 6x . (8.174)

Valorile acestorerivate din (8.175) calculate n fiecare din cele 4 puncte staionare vorconduce la coeficienii formelor ptratice care sunt elementele matricei jacobiene din(8.166) ; vom indexa matricele astfel obinute conform indicilor punctelor respective :

H1 = H(M1) =6 12

12 6, H2 = H(M2) =

6 12

12 6, (8.175)

H3 = H(M3) =12 6

6 12, H4 = H(M4) =

12 6

6 12. (8.176)

Conform cu criteriile din (8.168) gsim c

(8.175-1) A1C1 B12 = A2C2 B2

2 = 108 < 0 M1 & M2 sunt puncte a.

(8.176-1) M3 P-MIN(f) , (8.176-2) M4 P-MAX(f) , (8.177)

n cele dou puncte de extrem local din (8.177) se pot determina (aa cum se obinuiete)valorile funciei :

f(M3) = f(2, 1) = 28 , f(M4) = f(2 , 1) = 28 .

ii (8.170)

gx

=1 + y 2 x x y

(1 + x 2 + y 2 )3 / 2,

g

y=

1 + x 2 y x y

(1 + x 2 + y 2 )3 / 2.

. (8.178)

Sistemul care va furniza punctele staionare este, conform cu derivatele din (8.178),

1 + y 2 x x y = 0 ,

1 + x 2 y x y = 0 . (y x) (x + y + 1) = 0 . (8.179)

Dac x = y , cu oricare din ecuaile sistemului se ajunge laecuaia (x 1)2 = 1 x = y = 1 Dac x + y + 1 = 0 se ajunge laecuaia 2 (x 2 + x + 1) = 0 care nu are nicio rdcin real ; n variabila y .se va obine

ecuaia 2 (y2

+ y + 1) = 0. Aadar, singurul punct staionar este M1(1, 1) .

(8.178-1) 2g

x2=

(1 + y) (1 + x 2 + y 2 )3 / 2 3x (1 + y 2 x x y) (1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3=.

=(1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3( 1 x 2 y 2 y x 2y y 3 3x 3x y 2 + 3x 2 + 3x 2y) =

=y 3 y 2 y 1 + 2x 2y + 2x 2 3x y 2 3x

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2; (8.180)

(8.178-1) 2

gx y =(2y

x

) (1

+x

2 +y

2 )3 / 2 3y

(1

+y

2 x

x y

) (1

+x

2 +y

2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3=

194


15/25

=(1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3(2x 2y + 2y 3 + 2y x 3 x y 2 x 3y 3 + 3x y + 3x y 2 3y) =

=y 3 y + 2x 2y + 2x y 2 + 3x y x 3 x

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2; (8.181)

(8.178-2) 2g

y x=

(2x y) (1 + x 2 + y 2 )3 / 2 3x (1 + y 2 x x y) (1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3=

=(1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3(x 3 + 2x y 2 + 2x x 2y y 3 y + 3x y 2 + 3x y 3x) =

=y 3 y x 3 x + 2x y 2 + 2x y 2 + 3x y

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2; (8.182)

(8.178-2) 2g

y 2=

(x + 1) (1 + x 2 + y 2 )3 / 2 3y (1 + y 2 x x y) (1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x2

+ y2

)

3=

=(1 + x 2 + y 2 )1 / 2

(1 + x 2 + y 2 )3(x 3 x y 2 x x 2 y 2 1 + 3x y (y x) + 2y 2 3y 1) =

=x 3 x 2 x 1 + 2x y 2 + 2y 2 3x 2y 3y

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2. (8.183)

Se constat, din (8.181) & (8.182),c.cele dou derivate mixte coincid ceea ce este firescavnd n vedere continuitatea acestora pe n i teorema lui Schwarz.

Pentru a stabili natura punctului staionar gsit, cele trei derivate de ordinul II trebuie

calculate n acest punct : 2g

x2(1, 1) =

y 3 y 2 y 1 + 2x 2y + 2x 2 3x y 2 3x

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2(1,1) =

= 4 + 4 635 / 2

= 233 / 2

= A ; (8.184)

2g

x2(1, 1) =

x 3 x 2 x 1 + 2x y 2 + 2y 2 3x 2y 3y

(1 + x 2 + y 2 )5 / 2(1,1) =

= 4 + 4 635 / 2

= 233 / 2

= C ; (8.185)

2gx y

(1, 1) = 2g

y x(1, 1) = y

3 y + 2x 2y + 2x y 2 + 3x y x 3 x(1 + x 2 + y 2 )5 / 2

(1, 1) =

= 2 + 7 235 / 2

= 133 / 2

= B . (8.186)

n fine, din (8.184-186) obinem, cu criteriul (8.168),

A < 0 & A C B2 = 43 3

13 3

= 13 2

> 0 M1(1, 1) P-MAX (g) (8.187)

Valoarea funciei n acest punct este

g(1, 1) = 1 + x + y1 + x 2 + y 2(1, 1) = 33 = 3 .

195


16/25

Aplicaii cu puncte staionare i puncte de extrem.

8.7 - A Se cere determinarea punctelor staionare i a eventualelor puncte de extrempentru funciile de mai jos.

1o f(x , y) = x 2 + x y + y 2 3x 6y ; 2o f(x, y) = x 3 + y 3 + 3x y ;

3o f(x , y) = (x 1) 2 + 2y 2 ; 4o f(x, y) = (x 1) 2 2y 2

5o f(x , y) = x 2 + x y + y 2 2x y ; 6o f(x, y) = 1 (x 2 + y 2 )2 / 3 ;

7o f(x , y) = x 3y 2 (6 x y) cu x 0, y 0 ;

8o f(x , y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4x y 2y 2 ;

9o f(x , y) = (x 2 + y 2 ) e x2+y 2 ;

10o f(x , y, z) = x 2 + y 2 + z2 + 2x + 4y 6z; .

11o f(x , y, z) = x 3 + y 2 + z2 + 12x y + 2z.

12o f(x , y) = sin x + sin y + cos (x + y), x , y [0 , /2] .

Rspunsuri - recomandri pentru rezolvare.

1o Se gsete un singur punct staionar, M0(0, 3) . Matricea hessian este constant (nudepinde de punct) i conduce la concluzia c d2f> 0 (ntruct A = 2 &

A C B = 3) .Deci M0 este punct de minim local i f(M0) = 9 .

2o Sistemul care furnizeaz coordonatele punctelor staionare conduce la S : M1(0, 0) &M2(1, 1) . Matricea hessian (cu erivatele de ordinul al II-lea) este

J(x , y) =6x 3

3 6y J1 =

0 3

3 0& J2 =

6 3

3 6.

Urmeaz c M1 O (originea) este un punct a n timp ce M2 este un punct de maximlocal, cu f(M2) = 1 .

3o ntruct funcia este practic o sum de ptrate ea este nenegativ. Punctul ale cruicoordonate anuleaz ambii termeni va fi un punct de minim global. Cititorul urmeaz aregsi acest punct utiliznd erivatele de primul i al II-lea ordin (implicit matriceahessian) i a constata c nu mai exist i alte puncte staionare / de extrem local sau global.Codomeniul sau imaginea funciei este intervalul nemrginit [0, +).

4o Expresia analitic a funciei este similar cu precedent, dar semnul din faa celui deal doilea termen i schimb complet comportarea. Singurul punct staionar este acelaiM1(1,0) dar el nu mai este un punct de extrem ci un punct a. A se justifica aceast

afirmaie pe baza criterioului (8.168). Din punct de vedere geometric, suprafaacaracterizat analitic de ecuaia z = (x 1) 2 2y 2 este o suprafa cuadric i anume un

196


17/25

paraboloid hiperbolic ; este exact suprafaa ce ilustreaz perfect noiunea de punct a.Studiul suprafeelor n general i n particular al celor cuadrice face parte din obiectulGeometriei analitice.

5o Funcia admite un singur punct staionar care (ntmpltor) coincide cu cel al funcieiprecedente. Acesta este un punct de minim local, cu f(M1) = 1 .

6o Determinarea erivatelor (adic a derivatelor pariale ale) acestei funcii, n special acelor de ordinul II, este ceva mai laborioas. Pe de alt parte, valorile lor n origine se potgsi doar apelnd la definiie, deci ca derivate ale funciilor pariale. Oricum, se va constatac originea este punct staionar, de altfel i unicul. Natura sa ca punct de extrem locxal estemai greu de stabilit cu ajutorul diferenialelor ; de exemplu, difereniala a II-a este nul norigine. Dar originea ca punt de maxim, nu numai local ci i global, rezult imediat dininegalitile i implicaiile

x 2 + y 2

2

0 (x 2 + y 2 )2 / 3

2

0 (x 2 + y 2 )2 / 3

2

0

1 (x 2 + y 2 )2 / 3

2 1 f( 2 ) 1.

Mai mult dect att, ntruct f(0, 0) = 1 i(x , y)( , )

lim f(x , y) = rezult c

f( 2 ) = (, 1] max f( 2 ) = 1.

7o n enunul acestui exerciiu din volumul Gh. Procopiuc 2001, p.361 , regiunea ncare urmeaz a se gsi i studia punctele staionare este restrns prin inegalitile x > 0 ,

y > 0. Dar toate cele 5 puncte staconare ale funciei sunt situate exact pe frontiera primuluicadran al reperului (O ; xv, y) adic pe semiaxele pozitive (O x) & (O y) . Din acest motivam relaxat inegalitile la x 0 , y 0 . Aadar, vom cuta i studia punctele staionare dinprimul cadran "nchis", adic din domeniul nemrginit [0 , + ) [0 , + ).. Sistemulalgebric pentru coordonatele punctelor staionare este

x 2y 2(18 4x 3y) = 0,

x 3y (12 2x 3y) = 0.. (8.188)

Cele 5 puncte staionare ale funciei sunt M1(0, 0) , M2(0, 4) , M3(6, 0) , M4(0, 6) ,M5(9/2, 0) . Primul punct este chiar originea. n primele patru puncte, toate elementelematricei hessiene se anuleaz ntruct l conin pe x drept factor, deci d2f 0. i nu poatecontribui la stabilirea naturii acestor puncte. Avnd n vedere expresia analiticf(x , y) = x 3y 2 (6 x y) i limitarea domeniului la primul cadran (inclusiv semiaxele), seconstat c punctele Mi (i = 1, 2) sunt puncte de minim local cu f(Mi) = 0. DariM5(9/2, 0) este un punct de minim local ntruct f(M5) = 0 i exist o vecintate UM5suficient de mic n care f(UM5 {M5}) > 0, pentru y > 0. Faptul c M5 este punct deminim local se poate constata i cu criteriul (8.168) ntruct

A5 = B5 = 0 dar C5 = 37/ 8 > 0 d2f = 37

8d y2 > 0

S ncheiem discuia acestei funcii (mai interesant dect altele) cu observaia c funcia seanuleaz n punctele dreptei (6 x y = 0) , situate n primul cadran, dar numaiextremitile segmentului respectiv sunt puncte staionare : M3(6, 0) , M4(0,6) ; ele sunt

puncte a ntruct f(M3) = f(M4) = 0 dar funcia i schimb semnul cnd punctul curent

M(x , y) se afl ntr-o vecintate semidisc a lui M3, respectiv M4 i traverseaz dreapta(6 x y = 0) .

197


18/25

8o Sistemul pentru punctele staionare este

x 3 x + y = 0,

y 3 + x y = 0. (8.189)

Prin scderea celor dou ecuii (membru cu membru) se poate ajunge la sistemul(x y) (x 2 + x y + y 2 2) = 0,

y 3 + x y = 0. (8.190)

Varianta x = y conduce la originea O (0, 0) ca punct staionar, cu f(0 , 0) = 0. Cellaltsistem posibil (cu substituia x = y y 3) conduce la o ecuaie de gradul 6 n y sau la una deordinul 3 n y 2, cu singurele rdcini reale y = 2 Se obin alte dou puncte staionarede coordonate 2 , 2 . Pe baza coeficienilor formei ptratice d2f(elementelematricelor hessiene de ordinul 2) se va constata c aceste dou puncte sunt puncte de minimlocal, cu f 2 , 2 = 8. n origine, d2feste o form ptratic degenerat dar

negativ semidefinit, deci acest prim punct staionar este unul de maxim local.

9o Prin determinarea erivatelor de primul ordin, se va ajunge la sistemul algebric

x(1 x 2 y 2 ) = 0,

y(1 x 2 y 2 ) = 0. (8.191)

care furnizeaz nu mai puin de 5 puncte staionare : originea O sau M0(0, 0) , M1(0, 1) ,M2(0,1) , M3(1, 0) , M4(1, 0) . Dar se constat cu uurin c nu numai aceste patrupuncte ci toate punctele de pe conturul cercului de raz 1 centrat n origine verific sistemul(8.191) ntruct ecuaia acestuia este exact x 2 + y 2 = 1. Originea va fi gsit ca un punct

de minim global. M1 & M2 vor furniza difereniale secunde degenerate dar negativsemidefinite, deci sunt puncte de maxim local, la fel ca si celelalte dou. Dari n oricepunct de pe cercul C(O, 1) se va gsi (de exemplu folosind substituia y 2 = 1 x 2) omatrice hessian care conduce la o diferenial secund degenerat dar negativ semidefinit:

J(x) = 2e2x 2 2x 1 x 2

2x 1 x 2 2x 2 2

A C B2 = 4x 2(1 x 2 + x 2 1) = 0 .

Not. Natura punctelor staionare se poate deduce i din expresia analitic a funciei. Oeste un punct de minim globalcu f(0 , 0) = 0 n timp ce toate punctele de pe cercul unitarsunt puncte de maxim globalcu valoarea acestui maxim = 1 / e .

10o Funcia este un polinom de gradul II n x , y , z care se poate rescrie imediat ca sumde ptrate perfecte minus o constant. Se va gsi ca unic punct de minim globalM1(1, 2, 3) cu f(M1) = 14. Cititorul interesat va putea regasi acest punct drept punctstaionari va putea verifica i calitatea sa de punct de minim cu criteriul (8.168), dupdeterminarea erivatelor pn la ordinul al doilea.

11o Expresiile erivatelor de primul ordin conduc la sistemul algebric

198


19/25

2

3x 2 + 12y = 0,

12x + 2y = 0,

2z = 2

S :M1(0,0, 1) ,

M2(24, 144, 1) ,(8.192)

Verificarea celor dou puncte staionare cu criteriul (8.168) necesit matricea hessian(ntr-un punct curent)

J(x , y , z) =

6x 12 0

12 2 0

0 0 2

. (8.193)

Pe baza coeficienilor din matricea (8.193) se obin diferenialele secunde

d2f(M1 ; d x, d y, d z) = 24 d x d y + 2 d y 2 + 2 d z2

d2f(M2; d x, d y, d z) = 144 d x 2 + 24 d x d y + 2 d y 2 + 2 d z2 .(8.194)

Prima diferenial din (8.194-1) este nedefinit ntruct ea se poate rescrie sub forma

d2f(M1 ; d x, d y, d z) = 2 [(d y 2 + 12 d x d y ) + d z2 ] =

= 2 [(d y + 6 d x ) 2 36 d x 2 + d z2 ] (8.195)

iar forma ptratic din (8.195) poate lua att valori pozitive ct i negative. A doua formptratic, cea din (8.194-2), este pozitiv definit, deci M2 este un punct de minim local, cu

f(M2) = 17855..Aceast afirmaie se poate verifica scriindu-i matriceaJ(24, 144, 1) = J2 i apoi diagonaliznd-o sau doar aplicnd teorema lui Jacobi.

12o Se vor cuta punctele staionare i eventualele puncte de extrem local doar n ptratulnchis [0 , /2] 2 = [0 , /2] [0 , /2] . Aceast limitare este justificat (i) prin faptul cexpresia funciei.conine funcii trigonometrice care sunt periodice. erivatele de primulordin sunt

fx(x , y) = cos x sin (x + y) = sin (/2 x) sin (x + y),

fy(x , y) = cos y sin (x + y) = sin (/2 y) sin (x + y).

(8.196)

Diferenele din ultimele expresii ale erivatelor se pot transforma n produse i se ajunge lasistemul de ecuaii trigonometrice

sin (/2 x) sin (x + y) = 0,

sin (/2 y) sin (x + y) = 0

2 sin (/4 x y / 2) cos (/4 + y / 2) = 0,

2 sin (/4 x / 2 y) cos (/4 + x / 2) = 0.(8.197)

Sistemul (8.197), sub ultima sa form, este echivalent cu exact 4 sisteme mai simple ntructfiecare din membrii stngi este un produs de dou funcii.

sin (/4 x y / 2) = 0,

sin (/4 x / 2 y) = 0 /4 x y / 2 = k ,

/4 x / 2 y = ; (8.197-1)

199


20/25

sin (/4 x y / 2) = 0,

cos (/4 + x / 2) = 0

/4 x y / 2 = k ,

/4 + x / 2 = (2 m + 1) / 2 ;(8.197-2)

cos (/4 + y / 2) = 0,

sin (/4 x / 2 y) = 0

/4 + y / 2 = (2 n + 1) / 2 ,

/4 x / 2 y = ;

(8.197-3)

cos (/4 + y / 2) = 0,

cos (/4 + x / 2) = 0

/4 + y / 2 = (2 n + 1) / 2

/4 + x / 2 = (2 m + 1) / 2 .(8.197-4)

Pentru fiecare dintre aceste 4 sisteme se vor cuta soluiile din ptratul [0 , /2] 2. Desigur,toi coeficienii k, , m, n sunt numere ntregi, dar vom accepta numai valori care vorconduce la (perechi de) coordonate din ptratul menionat, adic valori din {1,0,1}. .

(8.197-1) x = y = 6

M16

, 6

S ;

(8.197-2) x = y = 2 M2 2 ,

2

S;

(8.197-3) x = y = 2

M22

, 2

S;

(8.197-4) x = y = 2

M22

, 2

S.

Aadar, n subdomeniul impus se gsesc numai dou puncte staionare distincte,M1

6

, 6

& M22

, 2

..Derivatele pariale secunde sunt elementele matricei

hessiene

H(x , y) =

2fx2

2fx y

2fy x

2f

y 2(8.196)

=

= sin x cos (x + y) cos (x + y)

cos (x + y) sin y cos (x + y). (8.198)

(8.198) H(M1) =1 1 / 2

1 / 2 1

A1C1 B12 = 3

4

> 0 M1 punct de

maxim ;

(8.198) H(M2) =0 1

1 0 A2 C2 B2

2 = 1 < 0 M2 punct a.

Valoarea funciei n punctul de maxim local este f(M1) = 12+ 1

2+ 1

2= 3

2.

Not. Toate afirmaiile, expresiile analitice i valorile numerice din rspunsurile irecomandrile de rezolvare la aceste 12 aplicaii urmeaz a fi verificate i completate de

ctre studenii care urmeaz seminarul de Analiz matematic.

200


21/25

8.6 Dependena funcional

Exist mai multe accepiuni ale noiunii de dependen funcional. nainte de a prezentadefiniii formale, s anticipm cu dou cazuri : dependena unei funcii de alte funcii date,

respectiv dependena n cadrul unui sistem de funcii.Fie funcia de n variabile u = f(x1, x2 , , xn ) , unde f este o funcie vectorial cu m

componente iar u = (u1, u2 , , um ) este de asemenea o funcie vectorial cu mcomponente. Fiecare funcie component fk a funciei vectoriale f este definit pe undomeniu D n, domeniu care este n general o mulime deschis, care este formatnumai din puncte interioare. Formal,

fk : D , (X = (x1, x2 , , xn) D) fk(x1, x2 , , xn ) = uk . (8.199)

Definiia 6.1. Funcia uk = fk(x1, x2 , , xn ) depinde (funcional) de celelalte m 1funcii componente ale funciei f pe domeniul D dac exist o funcie de m 1variabile

astfel nct(X = (x1, x2 , , xn) D) fk(X) = [f1(X) , , fk1(X) , fk+1(X) , , fm(X)] . (8.200)

Folosind notaiile din u = (u1, u2 , , um ), relaia de dependen funcional se poate scrie

uk = (u1 , , uk1 , uk+1 , , um ) . (8.201)

Dac nu exist nicio astfel de funcie pentru nici una dintre funciile componenteu1, u2 , , um atunci ele sunt funcional independente.

Ex. 8.19 Funciile

u1 = x12 + x2

2 + + xn2,

u2 = x1 + x2 + + xn ,

u3 = x1x2 + x1x3 + + xn1xn

(8.202)

sunt funcional dependente ntruct

(8.202) u22 = u1 + 2 u3. (8.203)

Pentru relaia de dependen din (8.203), funcia care intervine n definiia general(8.201) poate fi

u1 = (u2 , u3 ) cu (u2 , u3 ) = u22 2 u3. (8.204)

Desigur, relaia de dependen funcional exprimat prin (8.203) & (8.204) nu esteunica posibil (sau existent) ntre funciile din (8.202). De exemplu, cu funcia de douvariabile (u , v) = u + 2 v , relaia de dependen din (8.203) poate fi scris i subforma u2 = (u1 , u3 ) . Am admis aparenta ambiguitate cu semnele la funcia ntruct semnul (valoriei) funciei u2 = x1 + x2 + + xn poate fi i negativ.

Relaii de dependen funcional pot fi considerate i ntre funcii reale de o singurvariabil real. De exemplu, ntre funciile trigonometrice fundamentale exist cunoscuta

relaie sin 2x + cos 2x = 1.Aceast relaie poate fi scris sub forma echivalent

201


22/25

(u1 , u2 ) = 1 unde (u , v) = u 2 + v 2. , u1 = sin x , u2 = cosx.

Dependena funcional ntre mai multe funcii date (prin expresiile lor analitice) poatefi caracterizat cu ajutorul derivatelor pariale, mai exact al determinanilor funcionali. Oastfel de caracterizare face obiectul teoremei ce urmeaz.

Teorema 6.1. Fie m funcii de n variabile reale cu n m , i : D m (D n),i = 1, m

u1 = 1(x1 , , uk, um+1 , , un ) ,

u2 = 2(x1 , , uk, um+1 , , un ) ,

um = m(x1 , , uk, um+1 , , un ) .

, (8.205)

toate fiind definite & difereniabile ntr-o vecintate a punctului M0(x10, x2

0 , , xn0 ). Dac

determinantul func

ional (jacobian)D (1, 2, , m )D (x1, x2 , , xm )

(M0 ) 0 (8.206)

atunci funciile 1,2, , m sunt independente ntr-o vecintate a punctului M0.

Comentarii. Nu oferim o demonstraie a acestei teoreme. Ea poate fi gasit n orice manualuniversitar de Analiz matematic. Precizm c determinantul funcional (jacobian) din(8.206) este determinantul format cu primele m coloane ale matricei derivatelor pariale deprimul ordin,

J =ixj mn . (8.207)

S mai observm c alegerea primelor m variabile n raport cu care se consider erivateledin (8.206) este o chestiune de convenie sau de comoditate. n principiu, erivatele pot ficonsiderate n raport cu oricare m dintre cele n variabile (sau argumente) ale funciilori ,i = 1, m , de indici j1, j2, , jm cu 1 j1 < j2


23/25

D(i1 ,i2 , , ir)D(xj1 , xj2 , , xjr)

(M0 ) 0 . (8.208)

Ex. 8.20 S se arate c funciile de mai jos sunt funcional dependente i s se gseasc

o relaie ntre ele.

f(x , y,z) = x + y + z,

g(x, y,z) = x 3 + y 3 + z3 + 6x y z,

h (x, y,z) = x y (x + y) + y z(y + z) + z x (z+ x) .

(8.209)

Matricea funcional (sau jacobian) asociat celor trei funcii din (8.209) este

J(x , y , z) =

1 1 1

3x 2 + 6y z 3y 2 + 6x z 3z2 + 6x y

y2

+ z2

+ 2x (y + z) z2

+ x2

+ 2y (z+ x) x2

+ y2

+ 2z(x + y)

. (8.210)

(8.210) detJ(x , y , z) =

= 3det

1 0 0

x 2 + 2y z y 2 x 2 + 2z(x y) z2 y 2 + 2x (y z)

y 2 + z2 + 2x (y + z) x 2 y 2 + 2z(y x) y 2 z2 + 2x (z y)

=

= 3dety 2 x 2 + 2z(x y) z2 y 2 + 2x (y z)

x 2 y 2 + 2z(y x) y 2 z2 + 2x (z y)= 0 . (8.211)

Anularea determinantului din (8.211) rezult din faptul c liniile sale sunt opuse una alteia(ca semn). Relaia de dependen ntre cele trei funcii este f3 = g+ 3 h .

Aplicaii cu dependen /.independen funcional

8.8 - A S se studieze dependena / independena funcional pentru sistemele defuncii de mai jos.

(i) f(x , y,z) = ln(x 2 + y 2 + z2 ) , g(x, y,z) = arctg xy yx + z .

(ii)

f(x , y,z) = x y z,

g(x, y,z) = x z+ y ,

h (x, y,z) = (x 2 + 1)(y 2 + z2 ) (x 2 1)y z x (y 2 z2 );

(iii)

f1 (x1 , x2, x3, x4 ) = x1 + x2 x3 ,

f2 (x1 , x2, x3, x4 ) = x12 + x2

2 + x32 + x4

2 ,

f3 (x1 , x2, x3, x4 ) = 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x4

2 ;

203


24/25

(iv)

u (x , y,z) = x + y + z,

v (x, y,z) = x 2 + y 2 + z2 x y y z z x ,

w (x, y,z) = x 3 + y 3 + z3 3x y z;

(v)u (x , y,z) = x y + y z+ z x , ,v (x, y,z) = x y z(x + y + z) ,

w (x, y,z) = x 2y 2 + y 2z2 + z2x 2 ;

(vi)

f(x , y,z) = x + y + z,

g(x, y,z) = x y + z,

h (x, y,z) = 4 (x y + y z) .

Rspunsuri - recomandri pentru rezolvare.

(i) Matricea jacobian este

J(x , y , z) =

2xx 2 + y 2 + z2

2yx 2 + y 2 + z2

2zx 2 + y 2 + z2

1y +

y

x 2

1 + xy y

x + z2

xy 2

1x

1 + xy y

x + z2

1

1 + xy y

x + z2

Dup eliminarea numitorilor de pe cele dou linii (acetia fiind > 0 pe 3 {O (0, 0)}),

se va constata c matricea rmas are rangul 2, deci cele dou funcii sunt independente.(ii) Se va scrie matricea jacobian i se va constata c rangul ei este mai mic dect 3,

deci funciile sunt dependente ; o relaie de dependen este h = f2 f g+ g2. A se verificaaceste afirmaii.

(iii) Situaia este similar cu cea de la aplicaia precedent.

rangD (f1, f2 , f3 )

D (x1, x2 , x3 ,x4 )< 3 dependena.

O relaie de dependen este f2 + f3 = f12.

(iv)D ( u , v , w)D (x , y , z)

=1 1 1

2x y 2y z 2z x

3x 2 3y z 3y 2 3x z 3z2 3x y

.

Pentru calculul acestui jacobian se poate proceda n maniera de la Ex. 8.20 ; se va gsijacobianul ca fiind nul i se va putea gsi / verifica relaia de dependen = u v .

(v) Dup determinarea celor 9 derivate de primul ordin i scrierea jacobianului, acestapoate fi dezvoltat dup efectuarea transformrilor C3 C2, C2 C1 i nc o dat C3 C2

(Cj = coloana j). Se va putea scoate din determinant un factror comun (produs de 4factori) i se va ajunge la un determinant = 0. Relaia de dependen este u 2 = 2 v + w. Se

recomand i verificarea acestei relaii.

204


25/25

(vi)D ( u , v , w)D (x , y , z)

= 4

1 1 1

1 1 1

y x + z y

= 0 (ntruct C1 = C3).

Se va gsi relaia de dependen h = f2 g2.

functii reale de mai multe variabile

Documents