functii excel

BioMat – Semestrul I Aplicatii numerice ale unor functii matematice elementare Remus Câmpean

3. Aplicatii numerice ale unor functii matematice elementare

Cuvinte cheie. Putere, exponentiala, logaritm, radical, modul, POWER, EXP, LOG, LN, LOG10, SQRT,

ABS.

Programul Microsoft Excel cuprinde în lista sa de func tii matematice predefinite

câteva functii elementare: functia radical, functia putere, functia exponentiala, functia

logaritm pentru diferite baze, etc... Aceste functii sunt continue pe domeniile lor de

definitie. Totusi, în Excel, nu putem calcula decât valori discrete ale acestor functii,

pentru valori precizate apartinând domeniului de definitie. Prin urmare vom putea opera

doar cu functii definite tabelar ca în modelul din figura de mai jos

x Valori alese din domeniul de definitie

f(x) Valori calculate corespunzatoare ale functiei

Vom prezenta în continuare câteva din cele mai utilizate functii matematice Excel.

§ 2.1. Functia putere (POWER)

Functia putere este definita prin: nxxfRRf =→ )( ,: , n∈R

Ridicarea la putere se realizeaza în Excel utilizând functia POWER. Sintaxa functiei

este:

=POWER(number, power)

Cele doua argumente sunt:

§ Number: reprezentând baza

§ Power: reprezentând exponentul la care se ridica baza

Apelarea functiei POWER se face astfel:

1. Meniul Insert, comanda Function…, categoria de functii Math&Trig


2. Selectati functia POWER.

Exercitiul 2.1

Calculati puterile a 2-a, a 3-a si a 5-a pentru numerele prime 11, 13, 17 si 19 .

Indicatii

§ Scrieti numerele prime pe o linie în foaia de calcul.

§ Scrieti puterile 2, 3 si 5 pe o coloana alaturata astfel încât foaia de calcul sa fie

organizata astfel:

x

Puterile

11 13 17 19

2

3

5

§ În prima celula, corespunzatoare puterii 112 apelati functia POWER.

§ În câmpul Number veti intrtoduce adresa numarului 11 fixând linia acestei adrese

(se introduce simbolul $ în fata numarului de linie).

§ În câmpul Power veti introduce adresa puterii 2 fixând coloana acestei adrese

( se intrtoduce simbolul $ în fata indicativului de coloana).

§ Actualizati formula de calcul pe prima linie pâna la ultima pozitie,

corespunzatoare puterii 192

(folositi comanda Auto Fill “tragând” de patratelul negru din coltul drept-jos al

celulei în care ati facut calculul 112).

§ Actualizati formula de calcul pe verticala copiind formula de calcul pentru tot

restul tabelului folosind aceeasi comanda Auto Fill. De aceasta data selectati

prima linie calculata si “trageti în jos” de butonul Auto Fillal al ultimei

celule(corespunzatoare calculului 192) pâna la ultima pozitie (linia

corespunzatoare puterii a 5-a).


Observatie

Odata introdusa formula de calcul dorita, comanda AutoFill se poate apela si prin

combinatiile de taste CTRL + D sau CTRL + R dupa directia în care dorim sa o folosim:

§ CTRL + D, în jos (Down);

§ CTRL + R, spre dreapta (Right).

§ 2.2. Functia exponentiala (POWER, EXP)

Functia exponentiala este definita prin:

xaxfRf =∞→ )( ),,0(:

unde a reprezinta baza, a∈R*+. Se cunoaste faptul ca pentru baze supraunitare, a>1,

functia exponentiala este crescatoare, iar pentru baze subunitare, 0<a<1, functia

exponentiala este descrescatoare.

În Excel se foloseste tot functia POWER astfel:

§ În câmpul Number se trece valoarea bazei

§ În câmpul Power se trece adresa variabilei

Exercitiul 2.2

Calculati valorile functiilor exponentiale:

f(x) = 3x si g(x) = (1/3)x

pentru valorile indicate în tabelul de mai jos:

x -10 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 10

f(x) … …

g(x) … …

Comparati valorile celor doua functii pentru fiecre argument.


Cazul “ex”

În practica se lucreaza frecvent cu o particularizare a functiei exponentiale si anume

se considera baza a = e. xexfRf =∞→ )( ),,0(:

Reamintim ca numarul “e” este un numar irational, cu un numar infinit de zecimale,

numit numarul lui Euler si are valoarea aproximativa e ≅ 2,71828182845905. Calculul

puterulor lui e se realizeaza în Excel cu ajutorul functiei EXP. Sintaxa acestei functii

este:

=EXP(number)

unde câmpul number reprezinta valoarea exponentului lui “e”.

Apelarea acestei functii se face astfel:

1. Meniul Insert, comanda Function…, categoria de functii Math&Trig

2. Selectati functia EXP

Exercitiul 2.3

Dupa administrarea unui medicament, concentratia plasmatica a acestuia verifica o

functie exponentiala ce depinde de timp,

C( t ) = A e-k t.

Se cunosc valoarea coeficientului A = 8 µg/mL si valoarea constantei vitezei de

eliminare a medicamentului k = -0.406 h-1 . Sa se calculeze valorile concentratiilor

plasmatice la diferite intervale de timp dupa administrarea medicamentului.

Organizati acest calcul într-o foaie de calcul Excel dupa modelul tabelului de mai jos.

(t ore) 1/4 1/2 3/4 1 1.5 2 3 4 5 10

C

Indicatii.

§ Pentru calculul valorilor e-k t folositi functia Excel EXP. Argumentul functiei va fi

valoarea constantei -k înmultita cu adresa curenta al lui t).


§ Dupa ce ati calculat valoarea concentratiei C în prima celula a tabelului, calculati

restul valorilor folosind comanda Autofill.

§ Ultima etapa a calculului este înmultirea valorilor exponentialei cu valorile

constantei A. Pentru aceasta, introduceti cursorul în zona de editare a formulei de

calcul si completati formula cu valoarea constantei A = 8.

§ 2.3. Functia logaritmica

Functia logaritmica se defineste prin:

xxfRf alog)( ,),0(: =→∞

unde a este baza logaritmului, un numar real ce respecta conditiile:

≠>

10

aa

Observatie. Functia logaritmica este inversa functiei exponentiale f(x) = ax.

Daca

logax = n

atunci prin logaritmul numarului real pozitiv, diferit de zero x întelegem acel numar real

n, cu proprietatea:

an = x.

De cele mai multe ori în practica se lucreaza cu logaritmi pentru care au fost

particularizate bazele:

§ Pentru a = 10 se obtine logaritmul zecimal notat prin Lg.

§ Pentru a = e, numarul lui Euler, se obtine logaritmul natural, notat prin Ln.

În Excel avem trei functii care calculeaza valorile logaritmilor:

1. Functia LOG(number, base): returneaza valoarea logaritmului unui numar real

pentru o baza precizata. Prin urmare functia matematica Excel LOG are doua

argumente:


§ Number: pentru numarul caruia dorim sa- i calculam logaritmul

§ Base: pentru baza în care dorim sa logaritmam.

Atât baza cât si argumentul functiei trebuie sa respecte conditiile specifice

functiei logaritmice. Folosind notatia deja introdusa logax, aceste conditii sunt:

>≠>

0arg,1,0

xumentulaabaza

2. Functia LN(number) : returneaza valoarea logaritmului natural pentru numarul

precizat în câmpul Number. Aceasta functie are doar un singur argument întrucât

baza logaritmului, “e”, este implicita. Bineînteles si în acest caz trebuie respectata

conditia asupra argumentului functiei LN si anume ca acesta sa fie un numar real

pozitiv.

3. Functia LOG10(number): returneaza valoarea logaritmului zecimal în aceleasi

conditii ca si functia LN.

Toate cele trei functii se gasesc în acelasi set de functii Math&Trig.

Exercitiul 2.4

Calculati valorile functiilor logaritmice:

f(x) = log 3 x, g(x) = log 1/3 x, h(x) = ln x, u(x) = lg x

pentru valorile prezentate în tabelul de mai jos:

X 1/10 1/9 … 1 2 3 … 9 10

f(x) … …

g(x) … …

h(x) … …

u(x) … …

Comparati valorile celor patru functii pentru fiecre argument.


Exercitiul 2.5

Stiind ca pH-ul unei solutii este 7,35, sa se calculeze concentratia molara a ionilor de

hidroniu din solutia respectiva.

Abordarea matematica

Egalitatea de definitie a pH-ului este reprezentata printr-o ecuatie logaritmica de forma:

y = - lg x

unde y va fi pH-ul solutiei iar x, necunoscuta în cazul nostru, va reprezenta concentratia

molara a ionilor de hidroniu [H+].

pH = - lg [H+]

Ecuatia logaritmica de mai sus are solutia

yx

101

= .

Prin urmare, concentratia [H+] se va exprima prin

pHH

101

][ =+

Calculul în Excel

Vom face apel la functia POWER în cadrul unei formule de calcul.

§ Apelati functia POWER. Scrieti argumentele 10 ca baza (câmpul Number) si

7.35, valoarea pH-ului, ca exponent (câmpul Power)

§ Într-o celula alaturata scrieti formula de calcul

=1/adresa unde ati calculat 10 pH

§ Acelasi rezultat îl obtineti daca scrieti direct formula de calcul în care apelati

functia POWER:

=1/POWER(10,7.35)

§ 2.4. Functia radical (SQRT)


În Excel functia matematica SQRT returneaza valoarea radacinii patrate a unui

numar real. Bineînteles numarul trebuie sa fie pozitiv penrtu a respecta conditiile de

existenta a radicalului de ordin par. Functia matematica radical se defineste astfel:

{0}.\Nn ,)( ,:

Nn ,)( ),,0[),0[:12

2

∈=→

∈=∞→∞+n

n

xxfRRf

xxff

Pentru calculul în Excel al radicalilor de ordin superior ordinului doi, atât par cât si

impar, vom utiliza functia matematica Excel POWER. Se va folosi scrierea radicalilor cu

ajutorul exponentilor rationali. Reamintim exprimarea radicalilor prin puteri rationale:

NpmNmxx mp

m p ∈≥∈= ,2 , ,

Sintaxa functiei SQRT este:

=SQRT(number)

unde în câmpul number se trece numarul sau adresa numarului real pozitiv pentru care

dorim sa calculam radicalul.

Apelarea functiei SQRT ( Insert / Functions / Math&Trig / SQRT) este exemplificata în

figura de mai jos:

§ 2.5. Modulul unui numar real (ABS)

Functia matematica modul, sau valoarea absoluta a unui numar real, se defineste prin:

<−=

>

=∞→.0,

;0,0

;0,

)(),,0[:xx

x

xx

xfRf

Calculul modulului unui numar real se face în Excel cu functia ABS din setul de functii

Math&Trig. Aceasta are ca argument numarul sau adresa numarului pentru care dorim sa

calculam valoarea absoluta.

Observatie. De multe ori este nevoie sa utilizam valoarea absoluta a unei valori în cadrul

unei formule de calcul. În aceste situatii scriind formula de la tastatura vom “combina”


functia ABS cu celelalte functii matematice Excel necesare calculului. De exemplu Daca

avem de calculat logaritmul unei diferente va trebui sa utilizam si valoarea absoluta

întrucât argumentul logaritmului trebuie sa fie un numar real pozitiv.

yxLnE −=

Astfel, vom introduce într-o celula a foii de calcul o formula de tipul:

=LN(ABS(adresa lui x-adresa lui y))

Exercitiu 2.6

Se dau vectorii de dimensiune n = 7:

X: ( 30, 35, 55, 60, 80, 85, 90 )

Y: ( 25, 40, 45, 65, 70, 75, 85 )

Sa se laculeze valorile

§ 7,1, =− iyx ii folosind Functiile SQRT si ABS

§ 1,7i ,3 =− ii yx folosind functia POWER.

Pentru a urmari în paralel valorile calculate organizati-va foaia de calcul astfel:

X 30 35 55 60 80 85 90

Y 25 40 45 65 70 75 85

ii yx −

3ii yx −


Indicatii

§ Pentru calculul valorilor primului radical veti apela functia SQRT, iar în corpul

acesteia se va apela functia ABS. Apelarea functiei modul este necesara pentru ca

toate valorile calculate xi - yi sa se transforme în valori pozitive. Altfel radicalul

de ordin par nu are sens;

§ Pentru calculul valorilor celui de al doilea radical, de ordin impar Veti apela

functia POWER cu exponentul 1/3.

Exercitiul 2.7

Sa se calculeze valoarea coeficientului de activitate pentru ioniii de hidrogen, fH+,

cunoscând urmatoarele date:

§ ZH+ = 1, valenta electrochimica a ionului H+;

§ J = 0.01, taria ionica a solutiei.

Formula de calcul al coeficientului de activitate fH+ este:

J

Jz

Hf +

⋅⋅−=+

1505.0 2

10

Indicatii

§ Calculati mai întâi exponentul scriind o formula de calcul ce apeleaza de doua ori

functia SQRT;

§ Calculati apoi puterea lui 10 cu exponentul calculat folosind functia POWER.

Exercitiul 2.8

Vom considera aceeasi vectori ca la exercitiul precedent:

X: ( 30, 35, 55, 60, 80, 85, 90 )

Y: ( 25, 40, 45, 65, 70, 75, 85 )

Relativ la cei doi vectori, sa se calculeze urmatoarele doua marimi:


Întrucât vectorii X si Y sunt de dimensiune 7 vom considera n = 7.

Observatie. Factorul f1 se numeste factorul de diferenta între cei doi vectori, iar f2

poarta numele de factorul de similaritate a celor doi vectori de valori. Cei doi factori se

folosesc în studiul bioechivalentei medicamentelor, la compararea profileleor de disolutie

a substantelor medicamentoase.

Indicatii

Pentru calculul factorului f1

1. Calculati într-o coloana a foii de calcul diferentele ABS(xi - yi) pentru 7,1=i .

2. Însumati coloana calculata la punctul (1).

3. Însumati coloana vectorului X.

4. Realizati împartirea din formula si înmultiti cu 100.

Pentru calculul factorului f2

1. Calculati într-o coloana separata a foii de calcul diferentele la patrat

POWER(xi - yi ; 2 ) pentru 7,1=i .

2. Însumati aceasta coloana si împartiti la numarul de valori, n.

Adunati valoarea 1.

3. Extrageti radicalul din aceasta ultima valoare si impartiti 100 la aceasta.

4. Aplicati functia LN ultimului rezultat si inmultiti cu 50.

Observatie.

( )∑

∑

∑

=−+

⋅=

⋅

=

=−

=

n

iiyix

n

f

n

ix

n

iyx

f

i

ii

1

211

100ln502

100

1

11


1. Acest algoritm de calcul al celor doi factori nu este unic. Cele doua formule se pot

calcula în diverse moduri. Încercati sa scrieti câte o singura formula de calcul,

pentru fiecare factor, din care sa rezulte rezultatele finale.

2. Suma ( )∑=

−n

iiyix

1

2 din expresia factorului f2 se poate calcula folosind func tia

matematica Excel SUMXMY2.

functii excel

Documents