Funcii derivabile Teorie

Definiie: Fie A o mulime de numere reale. Fie f:AR o funcie i un punct de acumulare pentru mulimea A (de exemplu A poate fi o reuniune de intervale nereduse la un punct). Spunem c funcia f are derivat n punctuldac n limita

, notat f().

Dac derivata f() exist i este finit, spunem c f este derivabil n .Observaii:a) n punctele izolate ale lui A nu se pune problema derivatei.b)

Dac A este interval, atunci problema derivatei se poate pune n orice punct A.c)

Pentru f() se mai utilizeaz notaiile df() sau .d)

Notnd f=f(x)-f(), care reprezint creterea funciei, i x=x- , care reprezint creterea argumentului, atunci f() este limita raportului dintre creterea funciei i creterea argumentului, atunci cnd creterea argumentului tinde la 0.

f()= .

Limita exist dac i numai dac exist . n acest caz, cele dou limite sunt egale.e)

Egalitatea = f() este echivalent cu propoziia:

(x)un ir de puncte din A, cu x , x, n

f()f)

Derivata f() reprezint viteza de variaie a funciei f n punctul .

Interpretarea geometric a derivatei:

Fie IR un interval i f:IR o funcie. Notm G={(x,f(x))| xI} graficul lui f.

Dac funcia f este derivabil n punctul I, atunci graficul ei admite tangent unic n punctul A(,f()), iar f() este tangenta (trigonometric) a unghiului pe care l face tangenta la grafic n punctul cu axa Ox.

n acest caz, ecuaia tangentei la curb este y-f()=f()(x-), unde

f() reprezint panta sau coeficientul unghiular al tangentei.

Dac funcia f este continu n punctul I i are derivat infinit n acest punct, atunci tangenta la grafic n punctul specificat exist, este paralel cu axa Oy, i are ecuaia x=

Dac nu exist , atunci graficul funciei nu are tangent unic n punctul A(,f()) sau tangenta nu exist. Teorem: (Continuitatea unei funcii derivabile)Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.

Observaii:1. O funcie poate fi continu ntr-un punct, fr a fi derivabil n acel punct. Condiia de continuitate ntr-un punct este o condiie necesar pentru derivabilitatea funciei n punctul respectiv. Nu are sens s punem problema derivabilitii unei funcii n punctele de discontinuitate ale acesteia.1. Exist funcii continue, dar care nu sunt derivabile. Un exemplu clasic este funcia f:RR, f(x)=|x|, care este continu peste tot, dar este nederivabil n 0.

Definiii: Spunem c funcia f:AR este derivabil pe o mulime BA dac este derivabil n fiecare punct din B. Dac f este derivabil pe tot domeniul de definiie, spunem simplu c f este derivabil.

Dac f:AR este derivabil pe mulimea BA definim funcia f:BR,

f(x)= care asociaz fiecrui punct xB derivata funciei f n acest punct.Aceasta se numete funcia derivat a funciei f sau derivata lui f.Operaia prin care f se obine din f se numete operaia de derivare a lui f.

Mulimea BA a tuturor punctelor n care funcia este derivabil , adic cea mai vast submulime a lui A n care exist f, se numete domeniul de derivabilitate a lui f i se noteaz D, cu DD.Observaie: Trebuie s se fac distincie ntre derivata funciei f ntr-un punct oarecare, care este un numr, i derivata f a funciei f, care este tot o funcie.

Derivate laterale

Analog conceptelor de limit la stnga sau la dreapta i de continuitate la stnga sau la dreapta se poate vorbi de derivabilitate la stnga sau la dreapta.

Definiie: Fie f:AR i A un punct de acumulare pentru A(-,). Derivata la stnga n punctul a este , dac aceast limit exist n . Dac spunem c f este derivabil la stnga n punctul .

Definiie: Fie f:AR i A un punct de acumulare pentru A(,). Derivata la dreapta n punctul este , dac aceast limit n . Dac spunem c f este derivabil la dreapta n .Observaie:

Dac A=[], atunci problema derivatei are sens n orice punct din intervalul (). n are sens problema derivatei la dreapta, iar n are sens problema derivatei la stnga.Teorem:

Fie f:AR i A un punct de acumulare (bilateral) pentru mulimea A.

Funcia f are derivat n punctul dac i numai dac exist n ,

iar .Teorem:

Fie derivabil. Dac f are limit la stnga n b, atunci f are limit la stnga n b.