8/9/2019 Functi cu Proprietatea lui Darboux Teorie3

1/4

Funcii cu proprietatea lui Darboux

Definiie: FieRI

, I interval iRIf :

o funcie. Spunem c f are

proprietatea lui Darboux dac baIba

8/9/2019 Functi cu Proprietatea lui Darboux Teorie3

2/4

y

xO

f(b)

f(a)

a

x

b

=+

Interpretare fizic:

Dac un automobil are le*ea vite$ei o funcie continu pe un interval de

timp I, #:IR i dac la dou momenteItt

(,

admite vite$ele

)),((

t##t## ==

, atunci orice vite$ intermediar este atins la un moment

situat ntre(,tt

Teorema 1:

Fie un intervalRI

i funciaRIf :

care are proprietatea lui Darboux i

care nu se anulea$ n nici un punct. -tunci f(x)$&, ( ) Ix

sauf(x)%&, ( )

Ix

fare semn constant peI).

Corolar:

FieRI

, Iinterval i funciaRIf :

care are proprietatea lui Darboux peI.

DacIba ,

a'b astfel nctfa)fb)'&, atunci

c

(a,b)pentru carefc)/&.

Propoziia 2:

FieRI

, I interval iRIf :

o funcie. -tunci urmtoarele condiii suntec0ivalente:

(1fare proprietatea lui Darboux2

1IJ

un interval, atuncif(J)este interval2

31Iba ,

a'b, atuncif4a, b5) este interval2

61I&

convex, atuncif(&)este convex.

8/9/2019 Functi cu Proprietatea lui Darboux Teorie3

3/4

Propoziia 3:

FieRI

,Iinterval iRIf :

o funcie in7ectiv cu proprietatea lui Darboux.-tuncifeste strict monoton.

Corolar:

FieRI

,Iinterval iRIf :

o funcie cu proprietatea lui Darboux. -tunci f

este strict monoton

feste in7ectiv.

Propoziia :

FieRI

, I interval de extremiti a, bR

iRIf :

o funcie cu

proprietatea lui Darboux. Dac

8"& aIx

respectiv

8"& bIx

) i existf(x

&

#&)

respectivf(x&

9&)), atuncif(x&

!')=f(x&

)respectivf(x&

9&) /f(x&

)),decifnu arediscontinuiti de prima spe.

-ltfel spus, dac exist cel puin una din limitele laterale ale lui f n

punctulx&

din interiorul intervaluluiI, atunci aceasta este e*al cuf(x&

)).

Corolar:

FieRI

,Iinterval iRIf :

o funcie monoton cu proprietatea lui Darboux,atuncifeste continu.

Propoziia !:

FieRI

,Iinterval de extremiti a, bR

iRIf :

o funcie cu proprietatealui Darboux.

-tunci 8"& aIx

respectiv8"& bIx ), exist irul

(x)

((

,(x

I cu

proprietatea

(x

& respectiv(x

;&), astfel nctf(x

)

8/9/2019 Functi cu Proprietatea lui Darboux Teorie3

4/4

a =ondiia ca f s fie definit pe un interval este esenial. Dac funciacontinufeste definit pe o mulime care nu este interval, de exemplu oreuniune de intervale dis7uncte, este posibil ca funcia s ia dou valoridiferite, dar s nu mai ia nici o valoare intermediar.

b >eorema lui ?ol$ano face le*tura ntre dou clase de funcii: cele

continue=I)) i cele care au proprietatea lui Darboux )IDb), ntre ele

existnd relaia)) IDI) b

Teorema ': #Teorema l$i Ca$c()*+eierstrass*%olzano&

FieRI

, I interval,RIf :

o funcie continu. -tuncifare proprietatea luiDarboux peI.

De*o+traie:

FieIJ

interval. -tunci conform teoremei precedentef(J)este interval,

decifare proprietatea lui Darboux.

Observaie:

@eciproca acestei teoreme nu este adevrat. Axist funcii care auproprietatea lui Darboux i care sunt discontinue.

,-empl$:

=

=

&,&

&,(

sin),:

x

xxxfRRf

are proprietatea lui Darboux i are un punct

de discontinuitate de spea a doua:x/&.

Teorema .:

FieRI

, I interval iRIf :

o funcie monoton. -tunci urmtoareleafirmaii sunt ec0ivalente:

(1feste continu1fare proprietatea lui Darboux31f(I)este interval