• Fisa de lucru, 01.10.2009

Partea I: 1. Dacă dreapta a este coplanară cu dreapta b , iar dreapta b este coplanară cu dreapta c , atunci dreapta a este coplanară cu dreapta c ? JustificaŃi răspunsul. 2. Numărul maxim al dreptelor diferite determinate de câte două din 4 puncte distincte este egal cu …. 3. Un cub vopsit în galben a fost tăiat în 27 cubuleŃe identice. Numărul cuburilor vopsite doar pe o faŃă este egal cu …. 4. Fie 5 puncte distincte astfel încât exact 4 dintre ele sunt coplanare. a) Numărul minim de drepte distincte determinate de câte două din aceste puncte este egal cu …. b) Numărul maxim de drepte distincte determinate de câte două din aceste puncte este egal cu …. 5. Fie 6 puncte distincte două câte două. a) Numărul minim de plane care pot fi determinate de câte 3 din cele 6 puncte este egal cu …. b) Numărul maxim de plane care pot fi determinate de câte 3 din cele 6 puncte este egal cu …. 6. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “există patru puncte coliniare necoplanare” este …. 7. Fie tetraedrul .ABCD PrecizaŃi valoarea de adevăr a fiecărei propoziŃii: a) ( );A BCD∈ b) ( );BD ABD∈ c) ( );AB ABC⊂ d) , ,A B C necoplanare.

8. Se dă paralelipipedul dreptunghic ' ' ' 'ABCDA B C D . PrecizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) ( )' ' ' ;A D BCD⊂ b) ( ) ( )'ABC ACC≡ ; c) ( )' ' ' .C A B C∈

Partea a II-a: 9. Se dă cubul ' ' ' 'ABCDA B C D cu 4AB = cm, ( )'M BB∈ şi ' ' { }.AB A B O∩ =

a) AflaŃi BM , astfel încât 'OM MC+ să fie minimă. b) Ştiind că 2,(6)BM = , determinaŃi valoarea cosinusului .BOM∢ 10. Fie tetraedrul ABCD cu toate muchiile congruente. a) Ştiind că 6AB = cm, determinaŃi poziŃia punctului ( ), ,P P AC∈ astfel încât BP PD+ să fie

minimă. b) Dacă M este mijlocul muchiei AB şi N este mijlocul muchiei ,CD arătaŃi că

.2

AD BCMN

+<

11. Prin vârfurile paralelogramului ABCD construim dreptele a b c d� � � . Fie

' , ' , 'A a C c D d∈ ∈ ∈ , de aceeaşi parte a planului ( )ABC , astfel încât ' 4AA = cm, 'CC = 3 cm şi

' 2DD = cm. DeterminaŃi lungimea segmentului ', 'BB B b∈ , astfel încât ' ' ' 'A B C D să fie paralelogram. 12. Într-un cub ' ' ' 'ABCDA B C D se notează cu ,O P şi Q centrele pătratelor ABCD , ' 'ADD A şi respectiv ' 'CDD C . a) ArătaŃi că 'D O , CP şi AQ sunt concurente într-un punct S ;

b) Dacă 5PS = cm, calculaŃi lungimea laturii .AB