05.03.2016

1

}1)}{({)}({)}({

)}({)}({)(

122

12

221

zthZthZzthZ

TthZthZzH ed

(2.119)

Ca să se obţină Z{h2(t)} mai întâi se discretizează h2(t)

trecâdu-se la h2(kTe).

Un alt procedeu constă în transformarea ecuaţiei diferenţiale

care descrie sistemul continuu în ecuaţii cu diferenţe

echivalente, cu precizarea legii de variaţie a semnalului de

intrare între momentele de eşantionare. Pentru un sistem a cărui funcţie de transfer H(s) admite numai

poli simpli nakpk ,1,

din suma componentelor yk(t) definite de relaţiile :

mărimea de ieşire din sistem y(t) rezultă

na

kk

k

kkk tyty

ps

sUcLsYLty

1

11 )()( };)(

{)}({)( (2.120)

Fiecare componentă yk(t) satisface următoarea ecuaţie

diferenţială )()()()()1( tuctytpty kkkk (2.121)

În condiţii iniţiale nule, soluţia acestei ecuaţii este

duectyt

tpkk

k )()(0

)(

(2.122)

Prin discretizarea timpului t = iTe rezultă

])()([

)()(

)1(

0 )1(

)1(

0

Tei iTe

Tei

ppTepTeipk

iTepiTep

kek

duedueeec

dueecTiy

kkkk

kk

(2.123)

iTe

Tei

piTepkek

Tepek dueecTiyeTiy kkk

)1(

)())1(()( deci (2.124)

În mod frecvent pentru u(t) sunt utilizate legi simple de variaţie

],)1[( pentru ))1(()( TiTiTiuu eee

],)1[( pentru )] ( ))1(([5.0)( TiTiTiuTiuu eeee

],)1[( pentru )()] ())1(()[()( TiTiTiuTiuTiuT

iu eeeee

e

1.

2.

3.

(2.125)

05.03.2016

2

care corespund extrapolatoarelor de diferite ordine. Dacă luăm

în consideraţie cazul 1 din (2.125) rezultă

iTeTei

pe

k

iTepk

ekTep

ekk

k

k eTiup

ecTiyeTiy )1())1(())1(()(

Folosind operatorul de întârziere z-1 se obţine

)1)(()()( 11 Tepe

k

kek

Tepek

kk eTiuzp

cTiyzeTiy

(2.126)

Funcţia de transfer discrete Hdk(z-1) asociată componentei

yk(iTe) şi Hd(z-1) asociată întregului sistem sunt date de relaţiile:

na

kTep

Tep

k

kd

Tep

Tep

k

kdk

ze

ze

p

czH

ze

ze

p

czH

k

k

k

k

11

11

1

11

1

)1()(

;1

)1()(

(2.127)

2.4.1.3. Schimbarea de reprezentare continuu-

discret în ecuaţii de stare

Pentru sistemul continuu caracterizat de ecuaţiile de stare

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

(2.128)

matricea de transfer corespunzătoare este

BAsICsH 1)()(

Ecuaţiile de stare continue sunt transformate în ecuaţii de

stare discrete echivalente

)()(

)()()1(

kCxky

kuBkxAkx dd

(2.129)

(2.130) BAIeBdeBeA ATeTe

TeAd

ATed

1

0

)( )( ;

05.03.2016

3

Soluţia ecuaţiei diferenţiale de stare a sistemului continuu este

(2.131)

Introducând : t=(k+1)Te ; τ=kTe ; u(σ)= u(kTe), pentru ]T), (kT [kσ ee 1

se obţine din (2.131)

Te

eTeA

eATe

e

Tek

kTee

ATekAe

ATee

TkuBdeTkxeTkx

dTkBueeTkxeTkx

0

)(

)1()1(

)()())1((

)()())1((

(2.132)

Comparând (2.132) cu (2.129) rezultă matricile Ad , Bd:

Te

A(Te-σd

ATed BdσeBeA

0

) ; (2.133)

În MATLAB, trecerea din timp continuu în timp discret se

face cu funcţia c2d, care se apelează astfel

t

tAtA d)u(Bexetx

)()( )()(

),,(2],[ TBAdcBA dd (2.134)

Dacă sistemul continuu este cunoscut prin funcţia de transfer

H(s), se face mai întâi trecerea în planul stărilor cu

intrucţiunea tf2ss

),(2],,,[ dennumsstfDCBA

(2.135)

unde num şi den sunt numărătorul şi respectiv numitorul

funcţiei de transfer H(s). Cu matricile A, B din (2.135) şi

adoptând perioada de eşantionare Te , cu (2.134) se determină

matricile Ad, Bd ale sistemului discret.

2.4.2. Schimbarea de reprezentare neparametric –

parametric

Modelele parametrice pot fi estimate direct din datele de

intrare–ieşire sau utilizând o reprezentare neparametrică

intermediară. Utilizarea celei de-a doua variantă se justifică

prin:

05.03.2016

4

1. modelele neparametrice se obţin fără dificultate cu ajutorul

unor semnale de probă care se pot genera uşor ;

2. pentru că deducerea unui model neparametric nu necesită

precizarea structurii modelului se reduce considerabil timpul

necesar pentru validarea structurii;

3. modelele parametrice deduse indirect au uneori o precizie

comparabilă cu cea a modelelor parametrice deduse direct

din datele intrare–ieşire;

În domeniul timpului, modelul neparametric este dat prin

valorile ieşirii y(t) (sau y(kTe), k=0, 1, 2,… în cazul unui

model discret). Modelul parametric căutat, având o structură S şi parametri

concentraţi în vectorul , are ieşirea y(k, S, ), fig.2.13..

Problema schimbării de reprezentare poate fi formulata ca o

problemă de optimizare, trecerea de la modelul neparametric la

cel parametric se realizează din condiţia de minimizare

a erorii medii pătratice de modelare.

N

k

N

kθ

Skyky

SkV

1

2

1

2

)),,()((2

1minarg

),,(2

1minarg)(minargˆ

(2.136)

Model

neparametric

Model parametric

u(k) +

-

y(k)

Fig. 2.13

)θS,y(k,

θ)s,ε(k,

unde V() este funcţia criteriu.

Pentru schimbarea de reprezentare este necesară precizarea modelului

parametric, a algoritmului de optimizare şi a procedurii de determinare a

structurii. De obicei, modelul continuu este funcţia de transfer

,na, i pn, na

ps

sjb

sH ina

ii

nb

jj

10 ;

)(

)(

1

0

(2.137)

05.03.2016

5

căruia îi corespunde răspunsul indicial

..210 ;

)()(

)(1

,1

0

1

0 ,., , ke

pp

pb

p

bTkw

na

i

kTtp

ji

na

jij

nb

j

jij

na

ii

ei

(2.139)

Dacă se consideră modelul discret, funcţia de transfer poate fi de

forma

na

i

ii

nb

j

jj

d

za

zb

zH

1

01

1

)((2.140)

care are răspunsul indicial

(k,na)mnb kcu

ikwabkwbwwnb

i

m

idiiddd

min si

)()( )1( ;0)0(1 1

;1

(2.141)

Algoritmul de optimizare poate fi de tip gradient sau de tip cvasinewton.

Pentru determinarea structurii se determină vectorii parametrilor

pentru un şir.

de structuri din ce în ce mai complexe S1 S2……Sn

, incluse una în alta.

Odată cu complicarea structurii, minimul funcţiei criteriu scade, adică

)(ˆ( ...... )(ˆ()(ˆ( 21 nSVSVSV (2.142)

Va exista deci o structură Si pentru care nu se mai obţine o reducere

substanţială şi care se poate considera ca fiind cea reală.

2.5. Modelarea semnalelor de intrare

Metodele de identificare care folosesc semnale de probă sunt metode

active pentru că se intervine din exterior asupra procesului. Proiectarea şi analiza semnalelor de intrare s-au dezvoltat în paralel cu

studiul algoritmilor de identificare. Primele proceduri de identificare,

bazate pe o aparatură de calcul modestă, utilizau semnale de intrare

speciale (de probă) pentru obţinerea unor informaţii direct utilizabile

despre proces.

Metodele de identificare cu semnale de probă conduc exclusiv la modele

neparametrice (funcţie pondere, răspuns indicial, caracteristici de

frecvenţă),

05.03.2016

6

greu de utilizat în proiectarea sistemelor de reglare.

Dezvoltarea tehnicii de calcul a permis aplicarea unor metode

de identificare care nu sunt condiţionate de un tip special de

semnal de probă dar care implică algoritmi relativ complicaţi.

Semnalele de probă utilizate pentru identificări pot fi

deterministe sau aleatoare. Semnalele deterministe reprezintă

mărimi a căror evoluţie în timp este predictibilă, generarea lor

având la bază legi deterministe Precizia metodelor care folosesc semnale de probă

deterministe este influenţată în mare măsură de prezenţa

perturbaţiilor care se suprapun peste răspunsul la semnalul

de probă aplicat. Principial metodele de identificare cu semnale aleatoare se

bazează pe măsurarea funcţiilor de corelaţie sau a funcţiilor de

densitate spectrală, care permit deducerea unui model al

procesului.

Prin tehnicile de corelaţie se elimină efectele perturbaţiilor,

semnalele de probă nefiind corelate cu acestea. Semnalele

aleatoare pot fi uşor suprapuse peste mărimile curente din

funcţionarea normală a procesului, cu condiţia ca media lor să

fie nulă şi dispersia suficient de mică pentru a nu deranja

funcţionarea normală.

Pentru ca generarea semnalelor aleatoare de tipul

zgomotului alb este dificilă, se preferă semnale de tipul celor

pseudoaleatoare binare care permit utilizarea avantajoasă a

tehnicilor numerice.

2.5.1. Descrierea matematică a semnalelor deterministe

Semnalele continue de o formă oarecare pot fi descrise

matematic prin dezvoltare într-un set de funcţii ortogonale.

În acest mod, o funcţie arbitrară de timp poate fi descrisă

aproximativ printr-un număr finit de coeficienţi

05.03.2016

7

Definiţia 2.2 O funcţie reală f(t) : [a, b] este de pătrat integrabil

pe [a, b] dacă există integralele

b

a

dttf )( tdtfb

a

)(2şi (2.143)

Mulţimea funcţiilor de pătrat integrabil se notează cu L2. Norma unei

funcţii f(t) L2 pe intervalul [a, b] se defineşte prin

b

a

dttftf )()( 2 (2.144)

Definiţia 2.3. Dacă f(t) L2 atunci integrala L2 şi g(t)

b

a

dttgtfgf )()(,(2.145)

se numeşte produs scalar al funcţiilor f(t) şi g(t).

Definiţia 2.4 Un şir finit de funcţii de pătrat integral pe [a, b],

niti ,1)},({ se numeşte ortogonal pe [a, b] dacă

ji ; 0

j i ; 0)()(

i

b

aji dttt

(2.146)

Dacă toţi i = 1, atunci sistemul niti ,1)},({ se numeşte sistem ortonormat.

niti ,1)},({

nitt ii ,1},)(/)({

)(ti

Orice sistem ortogonal poate fi normat. Astfel dacă

este ortogonal, atunci sistemul .

este ortonormat,

unde este norma funcţiei )(ti

niti ,1,)(

Definiţia 2.5 Dat fiind un sistem ortogonal de funcţii

:

şi o funcţie f(t) L2 pe [a, b], atunci numerele

b

ai

b

ai

i

ii

dtt

dtttf

t

tfc

)(

)()(

)(

))(,(

22

(2.147)

se numesc coeficienţii Fourier ai funcţiei f(t) în raport cu

sistemul niti ,1,)(

Dacă sistemul este ortonormat atunci coeficienţii Fourier sunt

(t)ici = (f(t), )

05.03.2016

8

b

aiii dtttfttfc )()())(),((

Un semnal oarecare u(t) poate fi aproximat printr-o combinaţie

liniară finită de funcţii ortogonale, în sensul minimizării erorii

medii pătratice

Fie un set de funcţii ortonormate niti ,1,)( aproximarea

m

iii tatu

1

)()(ˆ

şi eroarea medie pătratică de aproximare

b

a

m

iiim dttatuaaaV

1

221 ))()((),...,( (2.148)

Minimizând V(a) în raport cu ai rezultă din (2.148):

0)())()((2),...,(

1

1

b

a

m

ikii

k

m dtttatua

aaV

b

a

m

i

b

akiik dtttadtttu

1

)()()()( (2.149)

Ţinând seama de (2.146) şi (2.149), rezultă soluţia

b

akkk cdtttua )()(ˆ (2.150)

ka

ia

Deci, dacă coeficienţii sunt chiar coeficienţii Fourier ai

semnalului u(t) în raport cu sistemul ortogonal de funcţii, eroarea

pătratică medie de aproximare este minimă. De observat că valoarea lui nu depinde de m, deci de numărul funcţiilor

ortonormate utilizate. Minimul erorii medii pătratice este

b

a

m

iiii dttctucV

1

2 0))()(()(min

b

a

b

a

m

i

b

a

m

iiiii dttcdtttucdttu

1 1

22 0))(()()(2)(

b

a

m

i

b

a

b

a

m

i

m

jiji

b

ajijiiiii dtttccdttcdtttucdttu

1 1 ,1,

222 0)()(2)()()(2)( adică

05.03.2016

9

Ţinând seama de proprietăţile de ortonormalitate a

funcţiilor φi(t) şi de definiţia coeficienţilor ci , rezultă din (2.151),

inegalitatea lui Bessel

m

i

b

ai dttuc

1

22 )( (2.152)

Dacă aproximarea se face cu un şir infinit de funcţii ortonormate,

eroarea medie pătratică tinde la zero şi ca urmare (2.152) devine

egalitatea lui Parceval.

1

22 )(i

b

ai dttuc (2.153)

Noţiunile de ortogonalitate şi ortonormalitate pot fi extinse şi

prin introducerea unei funcţii de ponderare.

Definiţia 2.6 Un sistem de funcţii de pătrat integrabil ntii ,1)(

este ortogonal pe [a, b] cu ponderea p(t) dacă

b

a iji dttptt

ji 0

ji 0)()()(

(2.154)

În tabelul 2.1 sunt date seturi de funcţii ortogonale şi funcţiile de

ponderare corespunzătoare frecvent utilizate în aproximarea

semnalelor. Dintre acestea reprezentarea Fourier este cea mai

cunoscută. Alegerea acestui sistem de funcţii ortogonale, face

posibilă evidenţierea în mod practic a liniilor spectrale armonice.

Dezvoltarea în serie Fourier a semnalului x(t) periodic de perioadă

T, , este cunoscută sub forma )22

(T

tT

k

tjkk

k

tjk ecekStx )()(

2

2

)(1

)()(

T

Tk

tjk cdtetxT

kSkS (2.155)

sunt coeficienţii Fourier complecşi (linii de spectru

Se poate exprima S(kν) sub forma

05.03.2016

10

kkj

k jBAeMkS k )( (2.156)

care este funcţia spectrală a funcţiei periodice x(t).

Denumirea Intervalul Functia

pondere

Functia

Seturi discrete

Fourier

1

Polinoame

Legendre

-1 t 1 1

Polinoame

Cebîsev

-1 t 1

Polinoame

Laguerre

0 t <

Seturi

continue Fourier

TR

Dirac TR

t jktk etf )(

k

k

k

kk tdt

d

k

ktP )1(

!22

12)( 2

)coscos(2

)( 1 tktTk

te )(!

1)( tk

k

kt

k etdt

de

ktL

tjetf )(

)()( ttg

Tabelul 2.1

21

1

t

Funcţia spectru S(kν) pentru semnal fizic realizabil, este o

funcţie de frecvenţă pozitivă

Se deduce

2/

2/

2)(1

)(T

T

tkj dtetxT

kS (2.157)

care este funcţia spectrală a funcţiei periodice x(t).

Observaţie. Pentru un semnal periodic, funcţia spectrală se poate

exprima sub forma

kkk kSSkS )()()()( (2.158)

în care s-a folosit “funcţia

- periodică”

)2()( SS

Atunci când funcţia semnal x(t) este neperiodică şi

conform relaţiei

)()( 1 RLtx

, locul seriei Fourier va fi luat de integrala Fourier, care

va defini spectrul de frecvenţă al funcţiei, notat cu

)()()( jXdtetxS tj

(2.160)

Prin transformata Fourier inversă a spectrului de frecvenţă se

obţine semnalul original

dejXdeStx tjtj )(2

1)(

2

1)( (2.161)

05.03.2016

11

Spectrul S(ω) este în general o funcţie complexă

)()()()()( jeMjBAS

unde

sinus)ata (transform sin)()(

cosinus)ata (transform cos)()(

tdttxB

tdttxA

(2.162)

(2.163)

În analiza spectrală se utilizează frecvent funcţia densitatea

spectrală de putere

)()()()(2

SSSSxx (2.164)

unde )()()( jBAS este spectrul conjugat..

Semnalul x(t) şi spectrul său S(ω) exprimă acelaşi fenomen fizic

în două forme diferite, în domeniul amplitudine – timp

(reprezentare temporală) şi în domeniul amplitudine – frecvenţă

(reprezentare frecvenţială).

Pentru unui semnal fizic dat x(t) se poate asocia spectrul

Fourier S(ω) determinat analitic sau experimental.

În cazul semnalelor eşantionate reprezentarea în timp este

ieiTtiTxtx )()()(*

(2.165)

unde Te este perioada de eşantionare, iar reprezentarea în

domeniul frecvenţelor este

iT

i e

ijXiT

jXjX )]([2

)(*

(2.166)

unde X(jω) este transformata Fourier a funcţiei continue. Această

relaţie caracterizează eşantionarea în domeniul frecvenţelor şi

arată că spectrul funcţiei eşantionate se compune din suma

spectrelor funcţiei continue, deplasate pe axa cu multipli ai

frecvenţei de eşantionare

e

TT

2 conform reprezentării

grafice din fig. 2.14.

05.03.2016

12

- 0

)( jX

)X(j

Tω2

T2

TTω ω

Fig. 2.14

Exemplul 2.3 Fie semnalul dreptunghiular periodic δT, de

perioadă T şi de suprafaţă unitară (durata τ şi amplitudine A=1/τ),

reprezentat în fig.2.15. La limită, când acest semnal reprezintă

funcţia δT -periodică (tren de impulsuri Dirac la intervale T). Coeficientul

Fourier complex va fi

0

2

2

2/

2/

2/

2/ )(

11)(

11)(

1

tjkT

T

tjkT

T

tjkk e

jkTdtet

Tdtetx

Tc

2

1

2

2sin

1

2sin

2

2

2 22

kSi

Tk

k

T

k

Tkj

ee

Tk

jkjk

(2.167)

1/

2T T t 0

Tδ

Fig. 2.15

τ

τ

Deci dezvoltarea în serie Fourier va fi

k

tjkek

SiT

tx

2

1)( (2.168)

La limită, când 0 , semnalul δT periodic devine

kk

tjkT tk

TTe

Tt )cos(

211)(

(2.169)

Semnalul δT(t) nu este fizic realizabil. Amplitudinile componentelor

spectrale fiind T

ck

1 independente de k,

kkc2

05.03.2016

13

puterea semnalului este infinită. Funcţia Si(α) este dată de

obicei sub formă tabelată sau grafic.

Exemplul 2.4 Se consideră impulsul Dirac )(t neperiodic, definit prin

1)(lim)(

0dttdtt (2.170)

Transformata Fourier a acestei funcţii este F{δ(t)}=1, deci

spectrul de amplitudine al impulsului este constant pe

întreaga axă a frecvenţei.

Exemplul 2.5. Se consideră funcţia treaptă unitară (Heaviside)

definită prin

0 t 1

0t 0)(t (2.171)

j

tF1

)( excluzând o vecinătate a originii deoarece )(t

nu este absolut integrabilă. Pentru a determina spectrul în întreg

domeniul frecvenţelor se poate aproxima semnalul treaptă,

conform relaţiei

; )(

)(X ;

2

2sin

2( lar triunghiuImpulsul 2/

2

A

jXje

AjX j

0 ; j

1

0 );(

][lim)]([0

teFtF (2.172)

În tabelul 2.2 se prezintă spectrele de frecvenţă ale

unor semnale neperiodice folosite în identificare.

Transformatele Fourier ale acestor semnale sunt date de

relaţiile:

; 1)( DiracImpulsul jX

;)(

)(X ;

2

2sin

)(ular dreptunghi Impulsul 2/

A

jXje

AjX j

; )(idealădTreapta

j

AjX

05.03.2016

14

Denumirea

semnalului

Reprezentarea functiei în timp

Spectrul de frecvenţă

Impulsul

Dirac

x(t) 0 t

0

Impulsul

dreptunghiular

x(t) A

0 t

Impulsul

triunghiular

x(t)

Treaptă

ideală

x(t)

A

0 t

)( jX

)(* jX

/2 /4

2/

)(* jX

/2 /4

)( jX

t

Tabelul 2.2