exerciții statistica probabilitati

S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU Seminar Statistica Aplicata Master IC

1/6

1 Exercițiul utilizând schema Bernoulli cu bilă întoarsă

Un strung universal se consideră că este normal utilizat dacă cel puţin 80%

din timpul de lucru este în funcționare.

Dintr-un studiu statistic s-a obţinut că probabilitatea ca strungul să fie normal

ocupat într-o zi este p = 8

7

.

Se cere să se calculeze probabilitatea ca mașina unealtă să fie normal ocupată

în cinci zile din cele şapte zile ale unei săptămâni.

1.1 Rezolvare:

Calculul acestei probabilităţi se face cu schema lui Bernoulli cu bila întoarsă,

unde n=7, k=5; p= 8

7 şi q = 1-p =

8

1. Astfel se obţine că:

P(7,5) = 5 5 2

7

7 1( ) ( ) 0,168 8

C

2 Exercițiu schema multinominală

Piesele produse de o maşină sunt supuse la două teste independente.

Probabilităţile ca o piesă să treacă aceste teste sunt respectiv 3

2

şi 4

3

.

Se cere să se calculeze probabilitatea ca din 5 piese luate la întâmplare, 2 să

treacă ambele teste, 1 numai primul test, 1 numai al doilea test, iar una să nu treacă

nici un test.

2.1 Rezolvare:

Această probabilitate se calculează cu schema multinomială, unde n=5, s=4,

1,2 4321 , iar pentru că testele sunt independente, vom avea:

1 2 3 4

2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10,5; (1 ) 0,16; (1 ) 0,25; (1 )(1 ) 0,08

3 4 2 3 4 6 3 4 4 3 4 12p p p p

Astfel, putem scrie: P(5; 2,1,1,1) = 25! 1 1 1 1 5

( ) 0,052!1!1!1! 2 6 4 12 96

.

3 Exercițiu schema lui Bernoulli cu bilă neîntoarsă

Într-un lot de 50 de piese, 10 sunt defecte. Se iau la întâmplare 5 piese. Vrem

să calculăm probabilitatea ca trei piese din cele cinci să nu fie defecte.

3.1 Rezolvare:

Această probabilitate se calculează cu schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă,

unde a+b=50; a=40, b=10, n=5 şi k=3. Avem P(5;3) = 3 2

40 10

5

50

0,04C C

C

.


2/6

4 Exercițiu

Patru trăgători trag asupra unei ţinte. Primul atinge ţinta cu probabilitatea 3

2,

al doilea cu probabilitatea 4

3, al treilea cu probabilitatea

5

4, iar al patrulea cu

probabilitatea 6

5.

Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă exact de 3 ori?

4.1 Rezolvare:

Evenimentele iA = trăgătorul "i" atinge ţinta; i = 1,2,3,4 sunt independente şi:

3

11;

6

5)(

;5

4)(;

4

3)(;

3

2)(

1144

332211

pqAPp

APpAPpAPp

6

11;

5

11;

4

11 443322 pqpqpq

.

Probabilitatea ca din aceste patru evenimente să se realizeze trei şi unul nu,

este coeficientul lui 3x din dezvoltarea polinomului:

Q(x) = )6

1x

6

5)(

5

1x

5

4)(

4

1x

4

3)(

3

1x

3

2( , adică:

.427,06

5

5

4

4

3

3

1

6

5

5

4

4

1

3

2

6

5

5

1

4

3

3

2

6

1

5

4

4

3

3

2

5 Exercițiu Doi jucători sunt angrenaţi într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător

câştigă o partidă cu probabilitatea p = 3

1 şi o pierde cu probabilitatea q = 1-p =

3

2. Să se

calculeze probabilitatea că:

a) prima partidă câştigată de primul jucător să se producă după cinci partide pierdute;

b) a treia partidă câştigată de primul jucător să se producă după un total de şase partide

pierdute.

5.1 Rezolvare: a) Se aplică schema geometrică. Prin urmare, probabilitatea cerută este dată de P(1,5) =

p 5q = 729

32)

3

2(

3

1 5 .

b) Se utilizează schema lui Pascal, unde n=3, k=6, p= 3

1, q=

3

2. Astfel, probabilitatea

cerută este:

P(3,6) = .)3

2(

2

7)

3

2()

3

1(C 9636

8


3/6

6 Exercițiu Într-o cutie sunt 12 bile marcate cu 1; 8 sunt marcate cu 3 şi şase sunt marcate cu 5. O

persoană extrage la întâmplare din cutie 4 bile. Să se calculeze probabilitatea ca suma obţinută să

fie cel mult 13.

6.1 Rezolvare: Dacă notăm cu A evenimentul ca suma obţinută de cele patru bile să fie cel mult 13,

atunci evenimentul contrar A este evenimentul ca suma să fie cel puţin 14. Se vede că suma

maximă ce se poate obţine este 54 = 20.

De asemenea, avem că

.143351;14113152;163252;161153;183153 Alte posibilităţi

de a obţine suma cel puţin 14 din patru bile nu există. Aşadar, pentru a obţine suma 14, trebuie

luate două bile marcate cu 5 din cele şase existente, una marcată cu 3 din cele opt şi una marcată

cu 1 din cele 12, respectiv una marcată cu 5 şi 3 marcate cu 3.

Folosind schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă cu 3 stări se obţine că:

7475

888

C

CCC

C

CCC)0,3,1;4(P)1,1,2;4(PP

4

26

0

12

3

8

1

6

4

26

1

12

1

8

2

6

14 .

Analog, avem că:

1495

66

C

CCC

C

CCC)1,0,3;4(P)0,2,2;4(PP

4

26

1

12

0

8

3

6

4

26

0

12

2

8

2

6

16 ;

.1495

16

C

CCC)0,1,3;4(PP

4

26

0

12

1

8

3

6

18 4

26

0

12

0

8

4

6

20C

CCC)0,0,4;4(PP .

Avem că:

P( A ) = 14950

2611PPPP 20181614 , de unde

P(A) = 1-P( )A = 1- 14950

2611=

14950

12339 825,0 .

7 Exercițiu La un supermarket s-a făcut un sondaj printre clienţii acestuia, punându-li-se trei întrebări la care

să răspundă prin DA sau NU. S-a constatat că răspunsul DA la prima, a doua respectiv a treia

întrebare a fost de 60%, 80% respectiv 70%. Care este probabilitatea ca un client să dea :

a)trei răspunsuri DA?

b)trei răspunsuri NU?

c)două răspunsuri DA şi unul NU?

d)cel mult două răspunsuri DA?

e)primele două răspunsuri NU?

f)primul răspuns DA şi încă unul DA?

7.1 Rezolvare: a) Suntem în condiţiile schemei lui Poisson (presupunând că răspunsurile sunt

independente unul de celălalt) cu 3 urne şi cu probabilităţile : p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 =

0,2; p3 = 0,7; q3 = 0,3. Astfel probabilitatea ca să avem 3 răspunsuri DA este coeficientul lui x3

din polinomul (p1x + q1)(p2x + q2)(p3x + q3) adică

pa = p1p2p3 = 0,6 ∙0,8∙0,7 = 0,336.

b) Probabilitatea să avem trei răspunsuri NU este coeficientul lui x0 (termenul liber) din

polinomul de mai sus, adică

q1q2q3 = 0,4 ∙0,2∙0,3 = 0,024.


4/6

a) În acest caz probabilitatea este coeficientul lui x2 din acelaşi polinom,

adică p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,6∙0,8∙0,3 +

+ 0,6∙0,2∙0,7 + 0,4∙0,8∙0,7 = 0,452.

b) Evenimentul dat este reuniunea a trei evenimente incompatibile două câte

două, respectiv de a da 0, 1, 2 răspunsuri DA, deci probabilitatea sa este suma

coeficienţilor lui x0, x

1, x

2 din polinomul de la punctul a). Avem

pd = q1q2q3 + (p1q2q3 +q1p2q3 + q1q2p3) + (p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3) = = 0,024 + 0,188 +

0,452 = 0,664.

Astfel, evenimentul nostru este contrar evenimentului de la punctul a), deci pd = 1 – pa =

1 – 0,336 = 0,664.

c) Putem reduce schema lui Poisson la 2 urne cu probabilităţile :

p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 = 0,2. Probabilitatea cerută este coeficientul lui x0 din

polinomul (p1x + q1)(p2x + q2), adică

q1q2 = 0,08. Astfel, evenimentul dat este intersecţia a două evenimente independente cu

probabilităţile q1 respectiv q2, de unde probabilitatea cerută este produsul q1q2.

d) Evenimentul este reuniunea evenimentelor “numai primul şi al doilea

răspuns DA ” şi “numai primul şi al treilea răspuns DA”, care sunt incompatibile,

deci probabilitatea evenimentului dat este suma probabilităţilor celor două, adică pf =

p1p2q3 + p1q2p3 = 0,228.

e)

8 Exercițiu La o bancă s-a constatat că din 100 de credite acordate, 10 sunt neperformante. Dacă se

acordă 5 credite, care este probabilitatea ca:

a) toate să fie neperformante?

b) toate să fie performante?

c) numai 4 să fie performante?

d) cel puţin 4 să fie performante?

8.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei lui Bernoulli cu două culori, unde

p = 0,9 şi q = 1-p =0,1 considerând bile albe creditele performante, iar bile negre cele

neperformante. Vom obţine astfel:

a) 00001,0)1,0()9,0()0;5( 500

5 CP ;

b) 59049,0)1,0()9,0()5;5( 055

5 CP ;

c) 32705,0)1,0()9,0()4,5( 144

5 CP ;

d) 91754,0)5,5()4,5()4;5( PPP .

9 Exercițiu Într-un partid parlamentar sunt 10 deputaţi şi 5 senatori. Se ia la întâmplare un grup de 5

parlamentari ai partidului respectiv, pentru a forma o comisie. Cu ce probabilitate grupul conţine:

a) 3 deputaţi şi 2 senatori;

b) numai deputaţi;

c) numai senatori;

d) cel mult 2 senatori;

e) cel puţin un deputat.


5/6

9.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei hipergeometrice cu 2 culori, unde

a = 10, b = 5 şi n = 5. Vom avea:

a) 5

15

2

5

3

10)2,3;5(C

CCP

;

b) 5

15

0

5

5

10)0,5;5(C

CCP

;

c) 5

15

5

5

0

10)5,0;5(C

CCP

;

d) 5

15

2

5

3

10

1

5

4

10

0

5

5

10)2,3;5()1,4;5()0,5;5(C

CCCCCCPPPPd

;

e)

5

1

5

15

15

5

510)5,;5(i i

ii

eC

CCiiPP sau altfel

5

15

11)5,0;5(1

CPPe .

10 Exercițiu Probabilitatea ca un agent comercial să vândă un anumit produs este 0,3. Dacă acesta

oferă produsul spre vânzare pe rând la 4 magazine cu ce probabilitate el vinde produsul:

a) la primul magazin;

b) la al doilea magazin;

c) la ultimul magazin;

d) cel mult la al treilea magazin.

10.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei geometrice cu p = 0,3 ( se presupune că agentul poate

vinde produsul unui singur magazin). Prin urmare avem:

a) P1 = pq1-1

= 0,3 ;

b) P2 = pq2-1

= pq = 0,3 ∙0,7 = 0,21 ;

c) P4 = pq4-1

= pq3 = 0,3 ∙(0,7)

3 = 0,1029 ;

d)Pd =P1+P2+P3=p + pq + pq2 = p(1+q+q

2) = 0,3(1+0,7+0,49)=0,657

11 Probleme propuse:

11.1 Problema 1 O familia are şase copii. Se cere probabilitatea ca:

a. doi din cei şase copii să fie fete;

b. cel puţin doi copii să fie băieţi.

11.2 Problema 2 O comisie analizează 10 dosare de creditare de la banca B1, 20 de la banca B2, 30 de la

banca B3. Se iau la întâmplare 12 dosare. Să se determine probabilitatea ca din cele 12 dosare, 3

să provină de la B1, 4 de la B2 şi 5 de la B3.


6/6

11.3 Problema 3 Patru fabrici produc acelaşi tip de rachetă de tenis. Produsele celor patru fabrici sunt

rebuturi în procent de 2%, 1%, 5% şi 4%. Se ia câte o rachetă de tenis produsă de fiecare fabrică.

Să se determine probabilitatea ca:

a. din cele patru rachete, două să fie rebut?

b. cel puţin una să fie rebut?

11.4 Problema 4 Un investitor la bursă, cumpără acţiuni la trei companii. Probabilităţile ca cele trei

investiţii să fie profitabile sunt următoarele: p1 = 0,8, p2 = 0,75, p3 = 0,82. Să se determine

probabilitatea ca:

a. toate cele trei investiţii să fie profitabile;

b. două investiţii să fie profitabile;

c. o investiţie să fie profitabilă;

d. cel mult două investiţii să fie profitabile;

e. cel puţin una să fie profitabilă.

11.5 Problema 5 Doi jucători sunt angajaţi într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător câştigă

o partidă cu probabilitatea p = 0,25. Să se determine probabilitatea ca:

a. a patra partidă câştigată de primul jucător să fie obţinută după cinci partide pierdute.

b. prima partidă câştigată de primul jucător să apară după cinci partide pierdute.

exerciții statistica probabilitati

Documents