exemple 2 - 4 - met eliminarii totale.pdf
TRANSCRIPT
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚII
1
4. Metoda eliminării totale Gauss - Jordan
Problema
Fie sistemul de n ecua\ii cu n necunoscute:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LL
L
L
2211
22222121
11212111
[n care:
ix ( )ni ,,1 L= - necunoscutele,
iia ( )nji ,,1, L= - coeficien\ii necunoscutelor,
ib ( )ni ,,1 L= - termenii liberi ai ecua\iilor.
Se calculează valorile neconoscutelor printr-o metodă directă.
Principiul metodei
o Se scrie matricea extinsă a sistemului:
=
+
+
+
1,)0()0(
2)0(
1)0(
1,2)0(
2)0(
22)0(
21)0(
1,1)0(
1)0(
12)0(
11)0(
21
222221
111211
nnnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
baaa
baaa
baaa
L
LL
L
L
L
LL
L
L
o Matricea extins` se rescrie succesiv pentru fiecare element de pe diagonala
principal` ( iia , ni ,,1 L= ). Elementul de pe diagonal` considerat [ntr-o etap`
de calcul se nume]te pivot. Matricea se rescrie după următoarul algoritm de
eliminare a necunoscutelor:
- se consider` iia drept pivot
- elementele de pe linia pivotului se [mpart la pivot - elementele situate pe coloanele din st@nga pivotului r`m@n neschimbate (se
copiaz` neschimbate) - elementele situate pe coloana acestuia devin nule, cu excep\ia pivotului
care va avea valoarea 1. - celelalte elemente se calculeaz` ca un raport av@nd:
- la num`r`tor: determinantul matricii de ordinul 2 format` din elementele ce formeaz` dreptunghiul a c`rui diagonal` este dat` de pivot ]i de elementul care urmeaz` s` fie [nlocuit,
- la numitor: pivotul
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚII
2
Reprezentare a matricii la iteratia k:
Dup` aplicarea algoritmului se ob\ine o matrice extins` format` dintr-o matrice unitate ]i un vector coloan` al necunoscutelor:
( )
=
nx
x
x
XIMM
2
1
100
010
001
+
+
+
+
)(
1,
)(
)(
)(
1,)(
)(
)(
1,2
)(
2
)(
1,1
)(
,1
000
100
010
001
k
nn
k
nn
k
kn
k
nkk
kn
k
kn
k
n
k
n
k
n
k
k
aa
a
a
a
a
aa
aa
LL
LL
LL
LL
LL
LL
pivotul din pasul de calcul curent
linia pivotului
coloana pivotului elemete care
se recalculeaz`
pivo\i din itera\ii anterioare
⋅−⋅
=
→
=
ik
ikjijkii
ii
ik
ii
ii
ik
jkji
ikii
D
D
λ
λλλλ
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λλ
0
1
det0
1
elementul recalculat
pivotul
devine
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚII
3
o Condiții de aplicabilitate a metodei:
- elementele de pe diagonala principală a matricii extinse să fie diferite de
zero. Ordinea ecuațiilor în sistem poate fi schimbată astfel încât condiția să
fie satisfăcute.
Exemplu de calcul
Problemă:
Să se rezolve sistemul de mai jos prin metoda eliminării parțiale Gauss:
−=−+
=−+
=−+
22
12
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
;
=
=
=
?
?
?
3
2
1
x
x
x
Rezolvare:
Matricea extinsă a sistemului:
−−
−
−
2211
1121
1132
Verificarea condițiilor de aplicabilitate a metodei:
- elementele de pe diagonala principală să fie diferite de zero:
02 ≠ ; 02 ≠ ; 02 ≠− ⇒ condiție îndeplinită
o Iterația 1: calcul asupra matricii extinse inițiale, considerând pivot elementul de
pe prima linie și prima coloană:
−−
−
−
2211
1121
1132
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚII
4
o Iterația 2: se consideră pivot elementul de pe a doua linie și a doua coloană:
−−−
−
−
5,25,15,00
5,05,05,00
5,05,05,11
o Iterația 3:
−−
−
−
2200
1110
1101
o Iterația 4:
−
1100
2010
2001
1
2
2
3
2
1
=⇒
=⇒
−=⇒
x
x
x
Soluția problemei:
=
=
−=
1
2
2
3
2
1
x
x
x
Verificare:
−=⋅−+−=−+
=−⋅+−=−+
=−⋅+−⋅=−+
212222
112222
1123)2(232
321
321
321
xxx
xxx
xxx