Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică

6

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2011 Proba E. c)

Probă scrisă la MATEMATICĂ MODEL

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. CalculaŃi modulul numărului complex 1 3z i= − .

5p 2. DeterminaŃi mulŃimea valorilor funcŃiei ( ) 2: , 1f f x x x→ = + +ℝ ℝ .

5p 3. Ştiind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt 3 6b = şi 5 24b = , determinaŃi termenul 7b .

5p 4. DeterminaŃi 0x > , ştiind că log 2log 3 3log 2a a ax = − , unde 0, 1a a> ≠ .

5p 5. ScrieŃi ecuaŃia dreptei care conŃine punctul ( )3, 2A şi este perpendiculară pe dreapta : 2 5 0+ + =d x y .

5p 6. Ştiind că ,2

x ∈

ππ şi

2 2sin

3x = , calculaŃi cos x .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea ( )21 2 4

0 1 4

0 0 1

x x

A x x

− = −

din mulŃimea ( )3 ℝM .

5p a) CalculaŃi ( ) ( )( )20102 0A A− .

5p b) ArătaŃi că ( ) ( ) ( )A x A y A x y⋅ = + , oricare ar fi ,x y∈ℝ .

5p c) DemonstraŃi că matricea ( )A x este inversabilă şi calculaŃi inversa matricei ( )A x .

2. Pe mulŃimea ( )0,1G = se defineşte legea de compoziŃie asociativă

2 1

xyx y

xy x y∗ =

− − +.

5p a) VerificaŃi dacă 1

2e = este elementul neutru al legii „∗”.

5p b) ArătaŃi că orice element din mulŃimea G este simetrizabil în raport cu legea „∗”.

5p c) DemonstraŃi că funcŃia ( ) 1: , 1f G f x

x

∗+→ = −ℝ este un izomorfism de la grupul ( ),G ∗ la grupul ( ),∗

+ ⋅ℝ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcŃia ( ) ( )( )( )( ): , 2 3 4 5 1f f x x x x x→ = − − − − +ℝ ℝ .

5p a) CalculaŃi ( )' 5f .

5p b) CalculaŃi ( )( )

1 1lim

1

n

n

f n

f n→+∞

+ − −

.

5p c) ArătaŃi că ecuaŃia ( )' 0f x = are exact trei soluŃii reale distincte.

2. Fie şirul ( )( )21

0 20

1,

1

n

n nn

x x xI I dx

x≥

+ + −=

+∫ .

5p a) CalculaŃi 0I .

5p b) VerificaŃi dacă 2 0I I− ∈ℚ .

5p c) ArătaŃi că 4 1nI + ∈ℚ , oricare ar fi n∈ℕ .

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu

Prof. O

vidiu

Bădes

cu