Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică
6
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2011 Proba E. c)
Probă scrisă la MATEMATICĂ MODEL
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. CalculaŃi modulul numărului complex 1 3z i= − .
5p 2. DeterminaŃi mulŃimea valorilor funcŃiei ( ) 2: , 1f f x x x→ = + +ℝ ℝ .
5p 3. Ştiind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt 3 6b = şi 5 24b = , determinaŃi termenul 7b .
5p 4. DeterminaŃi 0x > , ştiind că log 2log 3 3log 2a a ax = − , unde 0, 1a a> ≠ .
5p 5. ScrieŃi ecuaŃia dreptei care conŃine punctul ( )3, 2A şi este perpendiculară pe dreapta : 2 5 0+ + =d x y .
5p 6. Ştiind că ,2
x ∈
ππ şi
2 2sin
3x = , calculaŃi cos x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea ( )21 2 4
0 1 4
0 0 1
x x
A x x
− = −
din mulŃimea ( )3 ℝM .
5p a) CalculaŃi ( ) ( )( )20102 0A A− .
5p b) ArătaŃi că ( ) ( ) ( )A x A y A x y⋅ = + , oricare ar fi ,x y∈ℝ .
5p c) DemonstraŃi că matricea ( )A x este inversabilă şi calculaŃi inversa matricei ( )A x .
2. Pe mulŃimea ( )0,1G = se defineşte legea de compoziŃie asociativă
2 1
xyx y
xy x y∗ =
− − +.
5p a) VerificaŃi dacă 1
2e = este elementul neutru al legii „∗”.
5p b) ArătaŃi că orice element din mulŃimea G este simetrizabil în raport cu legea „∗”.
5p c) DemonstraŃi că funcŃia ( ) 1: , 1f G f x
x
∗+→ = −ℝ este un izomorfism de la grupul ( ),G ∗ la grupul ( ),∗
+ ⋅ℝ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcŃia ( ) ( )( )( )( ): , 2 3 4 5 1f f x x x x x→ = − − − − +ℝ ℝ .
5p a) CalculaŃi ( )' 5f .
5p b) CalculaŃi ( )( )
1 1lim
1
n
n
f n
f n→+∞
+ − −
.
5p c) ArătaŃi că ecuaŃia ( )' 0f x = are exact trei soluŃii reale distincte.
2. Fie şirul ( )( )21
0 20
1,
1
n
n nn
x x xI I dx
x≥
+ + −=
+∫ .
5p a) CalculaŃi 0I .
5p b) VerificaŃi dacă 2 0I I− ∈ℚ .
5p c) ArătaŃi că 4 1nI + ∈ℚ , oricare ar fi n∈ℕ .
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu
Prof. O
vidiu
Bădes
cu