GHEORGHE DANIEL ANDREESCU

ESTIMATOARE

ÎN SISTEME DE CONDUCERE

A ACŢIONĂRILOR ELECTRICE

APLICAŢII LA MAŞINI SINCRONE CU MAGNEŢI PERMANENŢI

EDITURA ORIZONTURI UNIVERSITARE TIMIŞOARA 1999

GHEORGHE DANIEL ANDREESCU

ESTIMATOARE ÎN SISTEME DE CONDUCERE A ACŢIONĂRILOR ELECTRICE

APLICAŢII LA MAŞINI SINCRONE CU MAGNEŢI PERMANENŢI

ESTIMATORS IN CONTROL OF ELECTRICAL DRIVES APPLICATIONS TO PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTORS

Referenţi ştiinţifici: Prof.dr.ing. Ştefan Preitl Conf.dr.ing. Radu-Emil Precup

Tehnoredactare computerizată:

Gheorghe Daniel Andreescu Coperta: Consilier editorial:

Prof.dr.ing. Ştefan Kilyeni

© 1999 Editura ORIZONTURI UNIVERSITARE Timişoara

7

CUPRINS

1. Introducere…………………………………………………………….….. 11

2. Modele matematice ale maşinii sincrone cu magneţi i

13

2.1. Modele matematice vectoriale………………………….……..…….….. 13 2.1.1. Vectori spaţiali. Transformări de coordonate…………………….…… 13 2.1.2. Modele matematice ale subsistemului electromagnetic…………….….. 15 2.1.3. Modele matematice ale subsistemului mecanic………………….……. 18 2.1.4. Concluzii…………………………………………………………… 19

2.2. Modele matematice vectoriale i lifi

21 2.2.1. Model matematic în referenţialul rotoric………………………….….. 21 2.2.2. Model matematic în referenţial rotoric estimat……………………….. 22 2.2.3. Model matematic în referenţialul statoric……………….……….…… 23

2.3. Determinarea experimentală a il

24 2.3.1. Determinarea experimentală a parametrilor magnetici……………..… 25 2.3.2. Determinarea experimentală a parametrilor mecanici………………… 27 2.3.4. Concluzii…………………………………………………………… 28

2.4. Modelul invertorului de tensiune………………………………………..

29

3. Metode de conducere vectorială a MSMP…………………………… 31

3.1. Metode de conducere vectorială în 31 3.1.1. Definirea mărimilor pentru studiul comparativ al metodelor de conducere…. 32 3.1.2. Metode optimizate de conducere vectorială în curent…………………. 34 3.1.3. Analiza comparativă a metodelor. Concluzii…………………………. 36

3.2. Conducerea vectorială cu orientare după câmp……………………..….. 38 3.2.1. Principiul conducerii vectoriale cu orientare după câmp……….……… 38 3.2.2. Structura de conducere……………………………………………… 39 3.2.3. Decuplarea curent-tensiune………………………………….………. 41 3.2.4. Concluzii…………………………………………………………… 43

3.3. Conducerea vectorială directă în cuplu şi fl

44 3.3.1. Principiul conducerii directe în cuplu şi flux. Structura de conducere…. 44 3.3.2. Estimarea fluxului şi cuplului……………………………….……….. 49 3.3.3. Concluzii…………………………………………………………… 52

8

4. Estimatoare de viteză şi l i

53

4.1. Estimatoare de derivate de ordin m cu tehnica fil ă ii

54

4.2. Estimatoare de derivată de ordin 1 cu metode de integrare i ă

55

4.3. Estimatoare de viteză momentană cu aproximări li i l

56 4.3.1. Evoluţii polinomiale ale vitezei…………………………..…………. 57 4.3.2. Aproximări polinomiale utilizând dezvoltări în serie Taylor………….. 59

4.4. Estimatoare de viteză momentană cu diferenţe d

60

4.5. Estimatoare de viteză momentană cu metoda celor mai mici ă

61

4.6. Observator de viteză momentană din viteza di

63

4.7. Observatoare de viteză, acceleraţie şi cuplu echivalent de sarcină din i i

66 4.7.1. Observator extins de stare şi perturbaţie - caz general………………… 67 4.7.2. Observatoare de viteză, acceleraţie şi cuplu echivalent - cazuri particulare…. 69 4.7.3. Rezultate comparative de simulare numerică………………….……… 73

4.8. Observator de acceleraţie din i i

76

4.9. Observator de viteză cu structură variabilă din poziţie………………… 77

4.10. Observator de viteză şi poziţie de ordin complet din curenţi şi tensiuni 79

4.11. Analiza comparativă a estimatoarelor. Concluzii……………….…….. 80

5. Estimatoare de flux şi cuplu electromagnetic………………….…….. 83

5.1. Problematica estimării fl l i

83

5.2. Estimatoare de flux fără corecţii……………………………………….. 84

5.3. Observatoare de flux cu modele combinate de tensiune şi 86

5.4. Estimatoare de flux din model de tensiune cu integrator difi

90

5.5. Estimator de flux din modelul de tensiune cu cascadă de filtre trece jos d i

97

5.6. Estimatoare de cuplu electromagnetic………………………………….. 100

5.7. Concluzii……………………………………………………………….. 100

6. Estimatoare de perturbaţii……………………………………………… 101

6.1. Observatoare de cuplu echivalent de i

101 6.1.1. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină - abordare fizică a fenomenelor 101 6.1.2. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină cu tehnica filtrării……….. 102 6.1.3. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină de ordin complet………… 103 6.1.4. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină de ordin redus…………… 105

6.2. Estimarea cuplului de frecări…………………………………………... 107

9

6.3. Estimarea pulsaţiilor în cuplul l i

109

6.4. Filtre de zgomot…………………………………………………..…….. 110

6.5. Concluzii………………………………………………………….……. 111

7. Structură de conducere vectorială directă în cuplu şi flux a MSMP 113

7.1. Structura sistemului de conducere……………………………………… 113

7.2. Observator robust de flux şi cuplu l i

115

7.3. Rezultate de simulare numerică………………………………………… 119

7.4. Rezultate i l

124

7.5. Concluzii……………..………………………………………….…….. 128

8. Obsevatoare în conducerea fără traductoare de mişcare a MSMP 129

8.1. Aspecte introductive. Structură generală de d

129

8.2. Observator de ordin complet în referenţial rotoric i

132

8.2.1. Preliminarii……………………………………..…………………. 132 8.2.2. Observator de poziţie şi viteză de ordin complet……………………… 133 8.2.3. Rezultate de simulare numerică……………………………….….. 137 8.2.4. Concluzii…………………………………………………………… 141

8.3. Observator cu moduri alunecătoare în referenţial rotoric i

142

8.3.1. Preliminarii………………………………………………………… 142 8.3.2. Observator de perturbaţie cu moduri alunecătoare - caz general 1….….. 143 8.3.3. Observator de poziţie şi viteză cu moduri alunecătoare……………….. 146 8.3.4. Rezultate de simulare numerică……………………………………… 149 8.3.5. Rezultate experimentale…………………………………………….. 154 8.3.6. Concluzii…………………………………………………………… 158

8.4. Observator cu moduri alunecătoare în referenţial i

159

8.4.1. Preliminarii………………………………………………………… 159 8.4.2. Observator de perturbaţie cu moduri alunecătoare - caz general 2…..… 160 8.4.3. Observator de tensiune indusă cu moduri alunecătoare…………….….. 161 8.4.4. Observator de poziţie şi viteză cu calare pe fază şi moduri alunecătoare…… 165 8.4.5. Rezultate de simulare numerică……………………………………… 168 8.4.6. Concluzii…………………………………………………………… 176 8.4.7. Rezultate experimentale comparative privind structurile cu observatoare cu

moduri alunecătoare în referenţial statoric şi în referenţial rotoric estimat….

177

10

8.5. Observator de viteză adaptiv cu model de f i ă

185

8.5.1. Preliminarii………………………………………………………… 185 8.5.2. Estimator de tensiune indusă cu tehnica filtrării adaptive…………….. 186 8.5.3. Observator de tensiune indusă cu observator de perturbaţie adaptiv…… 188 8.5.4. Observator de viteză adaptiv cu model de referinţă…………………… 189 8.5.5. Concluzii…………………………………………………………… 194

8.6. Observator de poziţie şi viteză adaptiv cu model de f i ă

195

8.6.1. Preliminarii. Principiul observatorului adaptiv cu model de referinţă…….… 195 8.6.2. Observator de flux adaptiv……………………………………….….. 196 8.6.3. Mecanism de adaptare…………………………………………….… 198 8.6.4. Structura de conducere……………………………………………… 200 8.6.5. Rezultate experimentale………………………………………….….. 201 8.6.6. Concluzii…………………………………………………………… 205

9. Structura hardware şi software a unui sistem experimental de conducere 206

9.1. Structura hardware…………………………………………...………… 206

9.2. Structura software…………………………………………………..….. 208 9.2.1. Program de administrare a resurselor cuplorului de proces ADA-1100… 208 9.2.2. Program principal……………………………………………….….. 210 9.2.3. Programe specifice aplicaţiei de conducere…………………………… 214

9.3. Concluzii……………………………………………………………….. 218

Bibliografie…………………………………………………………………… 219

5

PREFAŢĂ

Lucrarea de faţă este prima carte publicată la noi care oferă o sinteză amplă

asupra estimatoarelor de stare şi perturbaţie utilizate în sisteme de conducere a acţionărilor electrice, cu dezvoltări aplicative la conducerea maşinilor sincrone cu magneţi permanenţi (MSMP) cu distribuţie sinusoidală a câmpului din întrefier. O mare parte din estimatoarele prezentate, precum şi metodologia şi ideile unor studii de caz pentru MSMP, se pot utiliza direct în sisteme de conducere pentru alte tipuri de maşini electrice.

Cartea se adresează studenţilor, inginerilor, cercetătorilor şi cadrelor didactice universitare din următoarele specializări: automatică şi informatică tehnică, electronică industrială, maşini şi acţionări electrice, electroenergetică, ş.a. Obiectivele principale ale lucrării se referă la câteva probleme esenţiale, de mare actualitate, din vastul domeniu al conducerii acţionărilor electrice şi anume: i) estimarea mărimilor de stare: poziţie, viteză, acceleraţie, flux şi cuplu electromagnetic,

precum şi estimarea perturbaţiei - în special perturbaţia echivalentă; ii) strategii de conducere vectorială a MSMP - în special conducerea vectorială directă

în cuplu şi flux; iii) observatoare pentru conducerea fără traductoare de mişcare a MSMP; iv) simulări sub Simulink-Matlab şi implementări practice a unor structuri prezentate.

Domeniul abordat, cu un caracter complex multi- şi interdisciplinar, are la bază: tehnici moderne de conducere automată, metode avansate de conducere vectorială a acţionărilor electrice, sisteme numerice de calcul, programare a aplicaţiilor în timp real, electronică de putere, maşini electrice şi traductoare, - fiind de un real interes la nivel mondial. Tratarea problematicii propuse s-a dorit a se realiza în spiritul sintezei soluţiilor pe căi cât mai simple, concise şi directe, cu surprinderea esenţei fenomenelor fizice, având tot timpul în minte ideea: “The nature is simple in essence” - Hideki Yukawa. Estimatoarele au la bază modele matematice ale proceselor conduse, caracterizate prin structură şi parametri, şi au ca scop estimarea unor mărimi nemăsurabile din mărimi măsurabile. Pornind de la o documentare bibliografică actuală, abordarea temei a urmărit etape succesive specifice ingineriei de automatică în conducerea proceselor: modelare matematică, identificare a parametrilor, strategii de conducere, estimatoare de stare şi perturbaţie, simulări numerice, implementare numerică în timp real a sistemelor de conducere - structură hardware, structură software, interfeţe; integrare, experiment, concluzii. Studiile de caz prezentate au un caracter pragmatic în sensul că se porneşte de la elemente principiale şi se ajunge la structuri de estimare şi de conducere, unele fiind cu finalizare practică. La sfârşitul fiecărui capitol sau subcapitol principal se prezintă concluzii punctuale finale cu utilitate practică şi recomandări semnificative. Cartea este structurată în nouă capitole.

6

Capitolul 1 prezintă stadiul actual şi tendinţele de evoluţie a acţionărilor electrice şi încadrează problematica estimatoarelor în sistemele de conducere a acţionărilor electrice. Capitolul 2 prezintă trei modele matematice simplificate multivariabile nelineare şi cuplate de ordin patru ale MSMP utilizând vectori spaţiali. Modelele s-au dovedit utile în dezvoltările ulterioare ale estimatoarelor. În continuare se prezintă metode inginereşti eficiente de determinare experimentală a parametrilor MSMP şi un model simplificat al invertorului de tensiune util în simulări şi la estimarea vectorului de tensiune statorică. Capitolul 3 abordează metode moderne de conducere vectorială a MSMP: metode optimizate de conducere vectorială în curent - cu un studiu critic comparativ; conducerea vectorială cu orientare după câmp; şi conducerea vectorială directă în cuplu şi flux, prezentându-se principii, structuri de conducere şi problematica specifică de estimare. Capitolele 4-6 sunt dedicate unei sinteze ample asupra estimatoarelor de stare şi perturbaţie utilizate în general la sisteme de conducere a acţionărilor electrice, cu unele particularizări la MSMP. Se prezintă soluţii de estimare pentru: estimatoare de viteză şi acceleraţie; estimatoare de flux şi cuplu electromagnetic; estimatoare de perturbaţii: cuplu echivalent de sarcină, cuplu de frecări şi filtre de zgomot. Acolo unde au fost mai multe soluţii pentru aceeaşi problemă s-au întocmit studii critice comparative concluzionate cu recomandări practice concrete de utilizare. Capitolul 7 tratează teoretic şi practic o variantă de structură de conducere vectorială directă în cuplu şi flux, aplicarea acestei metode performante la MSMP fiind de dată recentă. Se dezvoltă un observator robust de flux şi cuplu electromagnetic cu funcţionare în gamă extinsă de turaţii. Rezultatele extensive de simulare numerică şi testele experimentale arată fezabilitatea şi performanţele soluţiei prezentate. Capitolul 8, cu cea mai mare întindere, dezvoltă cinci cazuri de studiu privind observatoare de poziţie şi viteză utilizate la conducerea fără traductoare de mişcare a MSMP şi anume: i) observator de ordin complet în referenţialul rotoric estimat; ii) observator cu moduri alunecătoare în referenţial rotoric estimat; iii) observator cu moduri alunecătoare în referenţial statoric; iv) observator de viteză adaptiv cu model de referinţă; v) observator de poziţie şi viteză adaptiv cu model de referinţă. Se prezintă fundamentat sinteza teoretică a acestora, iar pentru unele observatoare se studiază critic prin simulări numerice extensive: robusteţea, performanţele de regim tranzitoriu şi permanent precum şi limitările lor, în gama de viteze mari cât şi mici, cu încărcare de cuplu şi pentru o variaţie reală a parametrilor MSMP. Rezultatele experimentale prezentate urmăresc îndeaproape testarea performanţelor, pe cât posibil în condiţiile folosite la simulări. Capitolul 9 prezintă un stand experimental de conducere în timp real destinat implementării şi testării practice a structurilor de conducere pentru MSMP. Se prezintă structura hardware şi se detaliază structura software. Autorul aduce calde mulţumiri domnilor: prof.dr.ing. Ştefan Preitl, prof.dr.ing. Toma-Leonida Dragomir, prof.dr.ing. Ion Boldea, prof.dr.ing. Gheorghe Atanasiu, de

7

la Universitatea “Politehnica” din Timişoara, pentru discuţiile şi observaţiile asupra unor aspecte din această carte şi pentru accesul la unele lucrări bibliografice. Gheorghe Daniel Andreescu

11

1. INTRODUCERE

Sistemele de conducere a acţionărilor cu maşini de curent alternativ cu turaţie reglabilă au cunoscut o dezvoltare multidisciplinară complexă şi rapidă ca urmare a progreselor din următoarele domenii: tehnici moderne de conducere automată, sisteme numerice de calcul bazate pe microelectronică cu un înalt grad de integrare, electronică de putere performantă. Câteva informaţii semnificative recente [Bold99] sunt relevante pentru a arăta tendinţele de evoluţie a sistemelor de acţionare electrică: i) Piaţa internaţională pentru totalul acţionărilor electrice are o rată de creştere anuală de 10%; ii) Acţionările de curent alternativ (c.a.) au o pondere din ce în ce mai mare faţă de cele de curent continuu (c.c.): raportul c.a./c.c. va fi de 75/25 în anul 2000, faţă de cel de 60/40 în 1990; iii) Circa 20% din totalul acţionărilor lucrează la turaţie variabilă; iv) Preţul convertoarelor electronice de putere este mai mare ca preţul maşinilor electrice utilizate, raportul de preţuri fiind 5…2; acest raport descreşte spre puteri mai mari de la kW la MW; v) Performanţele acţionărilor depind hotărâtor de sistemele de conducere din ce în ce mai complexe - în principal de structura şi tipul algoritmilor şi de suportul hardware. O comparaţie detaliată între acţionările cu MSMP şi cele cu maşini de inducţie [Pill91] arată că MSMP este în multe privinţe superioară maşinii de inducţie, în principal datorită eficienţei mai ridicate privind: densitatea de putere, raportul cuplu /curent, raportul cuplu /moment de inerţie. Prin urmare, indicele performanţă /preţ - decisiv pe piaţa mondială, este favorabil deseori acţionărilor cu turaţie reglabilă cu MSMP şi în consecinţă aceste acţionări, dotate cu sisteme de conducere numerică tot mai complexe, reprezintă o alternativă puternică în competiţia din domeniul aplicaţiilor industriale. Realizări recente privind electronica de putere din acţionări sunt prezentate în [Bose97c]. O clasificare a maşinilor sincrone cu magneţi permanenţi cuprinde: i) MSMP comandate cu curenţi trapezoidali - numite şi maşini de curent continuu fără perii; ii) MSMP comandate cu curenţi sinusoidali cu o distribuţie sinusoidală a câmpului din întrefier (denumite pe parcursul lucrării pe scurt MSMP). i) Pentru aplicaţii în gama de turaţii pînă la 1 /1.000 (de exemplu, în domeniul roboţilor industriali) se recomandă utilizarea MSMP comandate cu curenţi trapezoidali, datorită simplităţii sistemului de conducere şi a unei disponibilităţi în cuplu cu 15% mai mare. Ca dezavantaj esenţial însă, pulsaţiile în cuplu sunt mari la turaţii reduse. ii) Pentru aplicaţii de înaltă precizie, în gama extinsă de turaţii 1 /10.000 (de exemplu, în domeniul maşinilor unelte, în prelucrări fine) se recomandă MSMP comandate cu curenţi sinusoidali datorită pulsaţiilor reduse în cuplu inclusiv la turaţii foarte mici.

12

MSMP sunt sisteme multivariabile la intrare şi ieşire, cu parametri variabili în timp, nelineare, puternic cuplate, de ordin superior, sisteme care necesită strategii şi algoritmi de conducere compleşi în scopul obţinerii de performanţe superioare. Principalele strategii moderne de conducere vectorială a MSMP sunt: conducerea vectorială în curent, conducerea vectorială cu orientare după câmp, conducerea directă în cuplu si flux, conducerea în domeniul larg de turaţii prin slăbire de câmp. Funcţie de strategia de conducere, se pot cere estimări pentru: flux şi cuplu electromagnetic, cuplu echivalent de sarcină, viteză şi acceleraţie, - fără a utiliza traductoare specifice. Algoritmii moderni de conducere a mişcării sunt algoritmi robuşti la variaţia parametrilor procesului şi la perturbaţii de sarcină. Dintre aceştia se remarcă: algoritmi cu model de referinţă adaptiv, algoritmi cu structură variabilă, algoritmi care utilizează tehnica fuzzy, algoritmi cu reţele neuronale, algoritmi genetici. În acţionări performante în viteză şi precizie, în gamă extinsă de turaţii (1:1000, 1:10000), se utilizează MSMP dotate obligatoriu cu traductor de poziţie. În general, în cadrul acţionărilor reglabile, traductoarele de mărimi cinematice - de poziţie şi viteză, prezintă următoarele dezavantaje: măresc gabaritul, greutatea şi costul acţionării; sunt sensibile la perturbaţii şi variaţii de temperatură; determină o fiabilitate mai scăzută. Ca şi alternativă se impune conducerea fără traductoare de mişcare care a dat rezultate pentru aplicaţii în gamă moderată de turaţii (1:100), ca de exemplu la: maşini de bobinat, liţat, trefilat, tăiere termică, instalaţii din industria textilă şi cea a hârtiei, agregate, pompe, ventilatoare, mori de ciment, instalaţii de foraj petrolier, ş.a. Estimarea mărimilor cinematice se bazează pe tehnica observatoarelor de stare şi perturbaţie care utilizează doar informaţii de curent şi tensiune măsurabile la borne. Implementarea sistemelor de conducere în timp real a acestor acţionări necesită două perioade de eşantionare, uzual 50-100 μsec - pentru algoritmii de conducere directă a invertoarelor echipate cu IGBT, şi 0.5-1 msec - pentru algorimii de conducere a mişcării. Prin urmare, la implementare se utilizează procesoare rapide: procesoare specializate, procesoare de semnal, sisteme multiprocesor. Companii de remume ca Siemens, ABB, Hitachi, Klockner Moeller, produc acţionări cu MSMP de performanţă ridicată cu procesoare specializate. Texas Instruments a promovat recent un procesor de semnal cu resurse de microcontroler (TMS320C240F) utilizat în conducerea acţionărilor. Sistemele de programe de conducere şi supraveghere a acţionărilor necesită gestionarea în timp real a unui număr de 4-8 taskuri, cele mai inportante fiind: task de conducere a invertorului, task de reglare a mişcării, task de achiziţie şi filtrare, task de identificare a parametrilor la pornire, task de supraveghere şi identificare în timp real a parametrilor, task automat programabil, task de comunicaţie, task deservire operator. Importanţa acordată pe plan mondial domeniului abordat este relevată în plan ştiinţific de preocupările de cercetare ale colectivelor din universităţi de prestigiu şi centre de cercetare de profil din întreaga lume, iar în plan productiv de interesul crescând al marilor companii în dezvoltarea şi implementarea structurilor de sisteme de conducere pentru acţionări cu MSMP. Tematica cercetărilor teoretice şi a

13

implementării aplicaţiilor privind sistemele moderne de conducere a acţionărilor cu MSMP sunt cuprinse în secţiuni tot mai largi la conferinţe şi simpozioane internaţionale de renume (IEEE-IAS, EPE, PCIM, PEMC, OPTIM, ş.a.), În acest context lucrarea de faţă tratează tocmai aspecte privind estimatoare de stare şi de perturbaţie pentru acţionări electrice şi strategii moderne de conducere vectorială cu aplicaţii la MSMP, acest domeniu “fierbinte” fiind de un real interes pe plan mondial.

13

2. MODELE MATEMATICE ALE MAŞINII SINCRONE

CU MAGNEŢI PERMANENŢI

2.1. Modele matematice vectoriale Clasificarea modelelor matematice ale maşinilor electrice

Modelele matematice ale maşinilor electrice se pot clasifica în modele cu parametri concentraţi (modele de circuit) şi modele cu parametri distribuiţi (modele de câmp). Primele modele prezintă interes pentru sistemele de conducere a acţionărilor electrice - în analiza, proiectarea şi simularea acestor sisteme, pe când celelalte modele se folosesc în analiza şi proiectarea maşinilor electrice şi în simulări pretenţioase. Modelele matematice cu parametri concentraţi se pot împărţi în două categorii principale ţinând cont de sistemul de referinţă (referenţialul) în care se lucrează: modele în coordonatele fazelor şi modele în axe ortogonale. Modelele în coordonatele fazelor se referă la maşina reală având ecuaţiile de tensiune ale fazelor cu parametri (inductanţe) variabili cu poziţia rotorului. Modelele în axe ortogonale, numite şi modele bifazate, au avantajul că echivalează maşina m-fazată cu o maşină bifazată şi în anumite condiţii parametrii (inductanţele) sunt independenţi de poziţia rotorului şi deci constanţi din acest punct de vedere [Bold91b]. 2.1.1. Vectori spaţiali. Transformări de coordonate 2.1.1.1. Vectori spaţiali În cadrul modelelor ortogonale, o metodă modernă, eficientă, frecvent utilizată în analiza şi sinteza sistemelor de conducere pentru acţionări cu maşini de curent alternativ este metoda vectorilor (fazorilor) spaţiali [Kova88], [Kele89], [Leon85]. Metoda foloseşte o singură ipoteză simplificatoare: câmpul magnetic în întrefierul maşinii are o distribuţie spaţială sinusoidală. Neglijând armonicele de spaţiu, această ipoteză este satisfăcută, în general, pentru maşini electrice simetrice cu înfăşurări cu repartiţie sinusoidală. În referenţialul ortogonal αβ, fix faţă de statorul trifazat, cu axa reală α de-a lungul fazei a, se defineşte vectorul curent statoric is ca fiind rezultanta vectorială a curenţilor din fazele a,b,c ale maşinii, cu proprietatea: ia = Re(is), conform relaţiei:

14

is = 2/3 ( ia a + ib b + ic c ), a = 1, b = e j 2π /3, c = e j 4π /3 (2.1.1-1) unde: ia, ib, ic sunt curenţii pe fazele a,b,c având orice formă de variaţie în timp, iar a, b, c sunt versorii axelor a, b, c îndreptaţi de-a lungul axelor magnetice ale fazelor respective, axa a fiind considerată axă reală. În mod similar se definesc şi vectorii tensiune statorică us şi flux statoric λs. 2.1.1.2. Transformări de coordonate Sistemele de referinţă (de coordonate) uzuale pentru vectorii mărimilor electrice din maşini electrice sunt:

i) sistem de referinţă abc fix faţă de stator; ii) sistem de referinţă αβ fix faţă de stator; iii) sistem de referinţă dq fix faţă de rotor.

La MSMP axa d este fixată de-a lungul fluxului magnetului permanent λ0. Trasformările de coordonate sunt transformări vectoriale echivalente, adică generează modele echivalente ale maşinii electrice. Legătura dintre sistemul mărimilor reale abc şi sistemul mărimilor transformate dq se face prin trasformarea de coordonate abc>dq, numită transformare Park P(θ), care este în fond o trasformare de rotaţie de unghi electric (-θ). Ea se obţine prin proiecţia vectorilor electrici asociaţi fazelor a,b,c pe cele două axe ortogonale dq. Transformarea directă abc>dq şi cea inversă dq>abc sunt [Bold83], [Kele89]:

[ ]P( ) cos( ) cos( 2 / 3) cos( / 3)sin( ) sin( 2 / 3) sin( 4 / 3)

1 / 2 1 / 2 1 / 2θ

θ θ π θ πθ θ π θ π=

− − + − +− − + − +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

23

4 (2.1.1-2)

[ ]P /( )cos sin

cos( ) sin( )cos( ) sin( )

θθ θ

θ π θ πθ π θ π

−=

−− − −− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

11

2 3 2 3 14 3 4 3 1

// /

(2.1.1-3)

[ ] [ ] [ ]d q P a b cT T ( ) 0 = θ , [ ] [ ] [ ]a b c P d qT T

( ) -1= θ 0 (2.1.1-4)

unde componenta notată cu "0" este componenta homopolară. Alte transformări de coordonate utile în sistemele de conducere a acţionărilor cu maşini electrice sunt: abc>αβ, αβ>abc, αβ>dq, dq>αβ, fiind caracterizate, în corespondenţă, de următoarele matrice de transformări: Taα, Tαa, Tαd, Tdα [Bold83], [Kele89]:

15

Taα = 2 3 1 3 1 3

0 1 3 1 31 3 1 3 1 3

/ / // /

/ / /

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, Tαa = 1 0 1

1 2 3 2 11 2 3 2 1

−− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

/ // /

(2.1.1-5)

[ ] [ ]α β α 0 T TTa a b c= , [ ] [ ]a b c T aT T 0= α α β (2.1.1-6)

Tαd(θ) = cos sinsin cos

θ θθ θ−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , Tdα(θ) = Tαd(θ)-1 = Tαd(-θ) (2.1.1-7)

[ ] [ ]d q T dT T = α α β , [ ] [ ]α β α T TTd d q= (2.1.1-8)

2.1.2. Modele matematice ale subsistemului electromagnetic 2.1.2.1. Ecuaţii vectoriale ale tensiunilor Ecuaţia vectorială a tensiunii statorice în referenţialul αβ este: λs

° = us - R is , λs(0) = λs0 (2.1.2-1) unde R este rezistenţa unei faze statorice, iar λs = λs(is, θ). Pentru a scrie ecuaţia vectorială a tensiunii şi pentru rotor, se alege un referenţial comun pentru stator şi rotor. Fie acesta un sistem care se roteşte faţă de stator cu o turaţie oarecare (la alegere) ωb, constantă, sau variabilă în timp. Ecuaţiile vectoriale ale tensiunilor statorice u şi rotorice ur în acest referenţial rotitor sunt [Kova88]: λ° = - j ωb λ + u - R i , λ(0) = λ0 (2.1.2-2) λr

° = - j (ωb - ωr) λr + ur - Rr ir , λr(0) = λr0 (2.1.2-3) unde: i, u şi λ sunt respectiv vectorii curent, tensiune şi flux statoric (s-a omis indicele inferior “s” pentru a nu confunda mărimile electrice statorice exprimate în referenţialul rotoric dq cu cele din referenţialul statoric αβ), ωr - turaţia electrică a rotorului, Rr - rezistenţa echivalentă rotorică, iar ir, ur şi λr sunt respectiv vectorii curent, tensiune şi flux rotoric. În relaţiile (2.1.2-2), (2.1.2-3) se evidenţiază vectorii tensiune electromotoare indusă totală, cu cele două componente: de pulsaţie şi de rotaţie.

16

Prin proiecţia vectorilor din relaţiile (2.1.2-2), (2.1.2-3) pe cele două axe ortogonale ale referenţialului ales se obţine o echivalare a maşinii m-fazate cu o maşină bifazată. Pentru anumite valori ωb rezultă următoarele referenţiale particulare: ωb = 0 - referenţial αβ sau abc, fix faţă de stator; ωb = ωr - referenţial dq, fix faţă de rotor; ωb = ω - referenţial sincron, unde ω este pulsaţia curenţilor statorici. La maşini sincrone ωr = ω, caz în care modelul dq se identifică cu modelul Blondel-Park. Modelul bifazat al MSMP trifazate în referenţialul ortogonal dq fix faţă de rotor, cu axa reală d de-a lungul fluxului magnetului permanent λ0, este prezentat în fig.2.1.2_1. Înfăşurările statorice a, b, c s-au înlocuit cu înfăşurări echivalente d şi q plasate respectiv pe axele d, q. Colivia de amortizare din rotor, existentă în unele variante costructive, s-a înlocuit cu două înfăşurări echivalente sinusoidal distribuite în scurtcircuit D şi Q, plasate respectiv pe axele d, q. Magnetul permanent (MP) din rotor se poate înlocui printr-o înfăşurare echivalentă supraconductoare E plasată pe axa d, înfăşurare al cărui curent echivalent Ie este constant indiferent de regimul de funcţionare [Măgu90] şi deci fluxul MP este λ0 = Le Ie.

Componentele ecuaţiilor vectoriale ale tensiunilor în referenţialul dq, pentru ωb = ωr = ω, se obţin prin proiectarea relaţiilor (2.1.2-2), (2.1.2-3) pe axele d, q rezultând:

iQ

d

q

uq

ud

iq

idiD

QD E

Ie

q

dωr

ωb

b

c

a

Fig.2.1.2_1. Modelul bifazat în dq al MSMP

17

λ

λω

ω

λ

λ

λ

λ

λ

λd

q

d

q

d

qs

d

q

d

q

d

q

uu

Rii

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

,

(0)(0)

00

0

0 (2.1.2-4)

λ

λ

λ

λ

λ

λD

Qr

D

Q

D

Q

D

QR

ii

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

, (0)(0)

0

0 (2.1.2-5)

u(ud, uq), i(id, iq), λ(λd, λq) sunt vectorii tensiune, curent şi flux statoric având componente d, q iar ir(iD, iQ), λr(λD, λQ) sunt vectorii curent şi flux rotoric având componente D, Q. În ecuaţiile (2.1.2-4), (2.1.2-5) nu s-au luat în considerare pierderile în fier. Considerarea acestora impune adăugarea unor înfăşurări (şi deci ecuaţii) după fiecare axă în stator [Bold91b], şi în consecinţă ordinul modelului creşte cu doi.

Observaţia 2.1.2-1. În relaţiile (2.1.2-2) - (2.1.2-5) nu apar explicit inductanţele, deci aceste relaţii au avantajul că înglobează, sub această formă, fenomenul de saturaţie magnetică. 2.1.2.2. Relaţii dintre fluxuri şi curenţi Având în vedere că axele magnetice ale maşinii bifazate echivalente în referenţialul dq sunt ortogonale, rezultă [Măgu90]: λd = Ld id + LdD iD + λ0 (2.1.2-6) λq = Lq iq + LqQ iQ λD = LD iD + 3/2 LDd id + λ0 (2.1.2-7) λQ = LQ iQ + 3/2 LqQ iq unde: Ld, Lq - inductanţe sincrone: longitudinală şi respectiv transversală; LD, LQ - inductanţe proprii ale înfăşurărilor D, Q; LdD, LqQ - inductanţe de cuplaj mutual între înfăşurările specificate ca indice. Aceste inductanţe sunt independente de poziţia rotorului, şi în absenţa saturaţiei magnetice, ele sunt independente şi de curenţi, deci sunt constante. 2.1.2.3. Saturaţia magnetică Saturaţia magnetică este un fenomen complex, care conduce la modele matematice cu parametri variabili în timp [Bold91b]. În prezenţa saturaţiei

18

inductanţele depind de curenţi, şi în plus apare un cuplaj suplimentar între circuitele magnetice de pe cele două axe ortogonale. La MSMP cu rotor cu MP înecaţi, Lq > Ld saturaţia magnetică se manifestă preponderent pe axa q. La MSMP cu rotor cu MP aparenţi, Ld = Lq, inductanţele au valori mai mici, iar saturaţia se poate neglija. Degradarea performanţelor acţionării datorită saturaţiei circuitelor magnetice se poate evita prin controlul (limitarea) curenţilor, sarcină realizată de sistemul de conducere al acţionării. În mod obişnuit, în literatura de specialitate, modelele utilizate în sistemele de conducere a acţionărilor cu MSMP nu ţin cont de saturaţia magnetică. 2.1.2.4. Cuplul electromagnetic Cuplul electromagnetic momentan Te, în orice referenţial, este dat de interacţiunea dintre vectorul flux şi vectorul curent [Leon85]: Te = 3/2 p Im( λ* i ) (2.1.2-8) unde: λ* - conjugat al vectorului flux, i - vector curent, p - număr de perechi de poli şi Im - operator parte imginară. În particular, în referenţialul dq, respectiv αβ, Te are expresia:

Te = 3/2 p ( λd iq - λq id ) , Te = 3/2 p ( λα iβ - λβ iα ) (2.1.2-9)

2.1.3. Modele matematice ale subsistemului mecanic În general, maşina electrică este cuplată cu sarcina (maşina de lucru) printr-o transmisie mecanică caracterizată prin: factor de transmisie, elasticitate şi joc mecanic. Analiza dinamicii acţionării având un cuplaj elastic este prezentată în [Leon85]. În continuare se consideră că sarcina este cuplată rigid cu maşina electrică, sarcina având un moment de inerţie echivalent redus la arborele maşinii J constant. Dinamica mişcării este caracterizată de legea a doua a dinamicii corpului solid în mişcare de rotaţie, cu Tr -cuplul total de sarcină:

θω

θω

θω

θω

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

• 00

0 00

0

1 0

, (0)(0)p

JT p

JTe r (2.1.3-1)

ω = p Ω (2.1.3-2) unde: Ω este viteza unghiulară mecanică a rotorului.

19

Dacă J este dependent de poziţia unghiulară: J = J(θ), caz întâlnit de exemplu la acţionări pentru roboţi industriali, ecuaţia de echilibru a cuplurilor devine: J dΩ /dt + Ω2 dJ /dθ = Te - Tr (2.1.3-3) Componentele cuplului total de sarcină Tr sunt următoarele [Leon85], [Bold92]: • cuplul de frecări având principalele componente:

i) cuplul de frecări statice Ts la viteza zero; ii) cuplul de frecări coulombiene Tc, care este constant cu viteza; iii) cuplul de frecări vâscoase Tv, care este proporţional cu viteza: Tv = B' Ω ,

• cuplul de ventilaţie Tw cauzat de frecarea cu aerul, care este aproximat prin: Tw = C Ω2 , • cuplul mecanic util de sarcină TL. O metodă interesantă, cu caracter ingineresc, pentru identificarea experimentală a componentelor cuplului de frecări şi compensarea acestora în conducerea mecanismelor de poziţionare precisă este prezentată în [John92]. O altă soluţie de estimare şi compensare a cuplului de frecări coulombine în controlul poziţiei este prezentată în [Acke89]. Într-o primă aproximaţie, des utilizată în literatură, ecuaţia (2.1.3-1) se rescrie:

θω

θω

θω

θω

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

+−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

• 0

0

0 00

0

1

,

(0)(0)B

JpJ

T pJ

Te L (2.1.3-4)

unde B este coeficientul echivalent de frecări vâscoase. 2.1.4. Concluzii Considerând ipotezele simplificatoare prezentate, modelul matematic cu vectori spaţiali pentru MSMP în referenţialul dq este dat de: ecuaţiile tensiunilor (2.1.2-4), (2.1.2-5); ecuaţiile de legătură între fluxuri şi curenţi (2.1.2-6), (2.1.2-7); ecuaţia cuplului electromagnetic (2.1.2-9); şi ecuaţia de echilibru a cuplurilor (2.1.3-4). Modelul matematic este multivariabil la intrare şi ieşire (MIMO), neliniar, cuplat, cu parametri constanţi şi are ordinul 6.

Variabilele de stare ale modelului se pot alege din două seturi: (i) care foloseşte fluxurile: λd, λq, λD, λQ, θ şi ω; (ii) care foloseşte curenţii: id, iq, iD, iQ, θ şi ω.

Se fac următoarele observaţii:

20

• Setul de variabile de stare (i) are avantajul că include şi fenomenul de saturaţie magnetică, dar în schimb variabilele λd, λq, λD, λQ sunt dificil de măsurat direct. Fluxurile pot fi estimate din ecuaţiile de tensiune (2.1.2-1) - (2.1.2-5).

• Setul de variabile de stare (ii), la care în ecuaţii intervin inductanţele maşinii, este influenţat de saturaţie, dar are avantajul că variabilele id, iq pot fi calculate cu uşurinţă din ia, ib.

Modelul matematic al MSMP se poate separa în două subsisteme structurale, fiind prezentat în fig.2.1.4_1.

a) Subsistemul electromagnetic (EM), care are, în referenţialul dq: mărimi de intrare - tensiunile statorice ud, uq; mărime de ieşire - cuplul electromagnetic Te; variabile de stare - fluxurile din setul (i) sau curenţii din setul (ii); mărime de perturbaţie - turaţia ω. b) Subsistemul mecanic (M) care are: mărime de intrare cuplul electromagnetic Te; mărimi de ieşire - mărimile cinematice θ, ω; variabile de stare θ, ω; mărime de perturbaţie cuplul de sarcină TL. Observaţia 2.1.4-1. Datorită faptului că viteza electrică ω este perturbaţie în subsistemul EM, în vederea decuplării celor două subsisteme, apare ideea compensării acesteia în EM. Observaţia 2.1.4-2. În general, subsistemul electromagnetic are constante de timp mici, deci este rapid, pe când subsistemul mecanic are constante de timp mai mari, deci este mai lent. Acest fapt sugerează ca în structura sistemului de conducere să existe două bucle de reglare: una rapidă - pentru cuplul electromagnetic, şi alta mai lentă - pentru mărimile cinematice ω, θ.

2.2. Modele matematice vectoriale simplificate

TL

ωus θ

iTeEMe-jθ Mu

λ

Fig.2.1.4_1. Modelul structural al MSMP

21

2.2.1. Model matematic în referenţialul rotoric Modelul matematic de ordin 6 se poate simplifica eliminând ecuaţiile corespunzătoare înfăşurărilor D, Q. Se obţine astfel un model de ordin 4, frecvent utilizat în literatura de specialitate. Aceste simplificări se pot efectua datorită faptului că, în general, constantele de timp aferente circuitelor D, Q sunt mult mai mici (cu un ordin de mărime) decât constantele de timp aferente circuitelor d, q. Mai mult, sunt variante constructive ale MSMP la care colivia de amortizare lipseşte, deci implicit lipsesc circuitele magnetice D, Q. În referenţialul dq, în exprimare vectorială, ecuaţia de tensiune (2.1.2-2) devine (2.2.1-1) iar relaţia flux-curent (2.1.2-6) devine (2.2.1-2). λ° = - j ω λ + u - R i , λ(0) = λ0 (2.2.1-1) λ = λ0 + Ld id + j Lq iq (2.2.1-2) Modelului matematic simplificat al MSMP de ordin 4 având ca variabile de stare i(id, iq), θ şi ω, este dat de ecuaţiile (2.2.1-3), unde s-au partajat relaţiile corespunzătoare subsistemelor electromagnetic (EM) şi mecanic (M).

EM:L iL i

R L

L R

ii

uu

ii

ii

d d

q q

q

d

d

q

d

q

d

q

d

q

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

,

(0)(0)

ω

ωω λ

01 0

0

0

(2.2.1-3)

Te = 3/2 p iq [ λ0 - ( Lq - Ld ) id ] , Lq ≥ Ld

M: θω

θω

θω

θω

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

• 0

0

0 00

0

1

,

(0)(0)B

JpJ

T pJ

Te L

Fig.2.2.1_1 prezintă schema bloc informaţională a acestui model în referenţialul dq. Se evidenţiază caracterul neliniar al modelului caracterizat prin blocurile care înmulţesc varibile şi cuplajele existente între canalele de intrare ieşire. Acest model în referenţialul rotoric dq este cel mai utilizat model în sistemele de conducere vectorială a acţionărilor cu MSMP şi în simulări. El are avantajul că inductanţele sunt constante şi vectorul flux λ depinde doar de vectorul curent statoric i. În regim permanent variabilele electrice sunt constante în timp. Un dezavantaj îl constituie faptul că variabile electrice în referenţialul echivalent dq se

22

obţin din variabilele din referenţialul statoric asupra cărora se aplică transformări de rotaţie care necesită cunoaşterea precisă a poziţiei unghiulare a rotorului θ, şi care cer un aport suplimentar de calcul. 2.2.2. Model matematic în referenţial rotoric estimat Problema care se pune este de a determina modelul matematic al subsistemului EM al MSMP într-un referenţial rotoric estimat dq^(θ^), care diferă faţă de referenţialul rotoric dq(θ) cu unghiul Δθ = θ - θ^ (fig.2.2.2_1). În referenţialul dq(θ), unde mărimile electrice s-au notat cu indicele 1, vectorul flux λ1(i1) este: λ1 = λ0 + Ld id1 + j Lq iq1 (2.2.2-1)

În referenţialul estimat dq^(θ^), unde mărimile electrice s-au notat fără indice, vectorul flux λ se obţine din relaţia (2.2.2-1) asupra căreia s-a aplicat operatorul de rotaţie e jΔθ.

λ = λ0 e jΔθ + Ld id + j Lq iq (2.2.2-2)

unde: λ = λ1 e jΔθ, i = i1 e jΔθ, u = u1 e jΔθ, (2.2.2-3) şi se consideră aproximările Ld(Δθ) ≈ Ld şi Lq(Δθ) ≈ Lq valabile pentru Δθ suficient de mic [Mats96b].

X

X

X

ud

uq

id

iq

θ

ω

Te

TL

ω

EM M

Lq

Ldλ0

λ0 B/p

p/JLq -Ld

1/R Lq/R

1/R Ld/R 3/2pωε

- -

-

-

-

Fig.2.2.1_1. Modelul matematic de ordin 4 al MSMP în referenţialul rotoric dq

θ ^d ^θ

a , α

dλ ο

Fig.2.2.2_1. Referenţiale rotorice

23

Ecuaţia de tensiune în referenţialul rotoric estimat dq^(θ^) este [Kova88]: λ° = - j ω^ λ + u - R i , λ(0) = λ0 (2.2.2-4) Modelul matematic al subsistemului EM explicitat în referenţialul dq^(θ^) se obţine din relaţiile (2.2.2-2) şi (2.2.2-4) şi este:

L iL i

R L

L R

ii

uu

d d

q q

q

d

d

q

d

q

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

sin cos

$

$

ω

ωω λ

ΔθΔθ 0 (2.2.2-5)

Relaţia (2.2.2-5) evidenţiază un model neliniar cuplat, cu parametri variabili în timp ce depind de ω^, şi care are ca perturbaţie matricea ce conţine ωλ0 - tensiunea electromotoare indusă prin rotaţie. Pentru Δθ suficient de mic, această matrice devine: ωλ0 [Δθ -1]T. Este de notat faptul că matricea din termenul de perturbaţie conţine informaţii preţioase asupra erorii de poziţie Δθ între referenţialul real şi cel estimat. Modelul (2.2.2-5) reprezintă punctul de plecare în abordarea unor metode de conducere fără traductoare de mişcare, metode tratate pe larg în paragrafele 8.2 şi 8.3. 2.2.3. Model matematic în referenţialul statoric În referenţialul statoric abc, în ipoteza neglijării circuitelor magnetice din rotor, inductanţa echivalentă Laa a fazei a are expresia (2.2.3-1) [Bold92], unde Lsσ - inductanţa proprie de dispersie, L0 - inductanţa proprie principală, L2 - inductanţa de cuplaj mutual. Laa = Lsσ + L0 + L2 cos 2θ (2.2.3-1) În referenţialul statoric αβ, cu axa α suprapusă peste axa fazei a, expresia vectorului flux λs (is, θ) este funcţie de vectorul curent statoric is şi de poziţia θ [Bold92]: λs = L is + 3/2L2 is* e j2θ + λ0 e jθ, L = Lsσ + 3/2L0 (2.2.3-2) unde: is* este conjugatul vectorului is. Inductanţele Ld, Lq corespunzătoare axelor d, q sunt: Ld = L - 3/2 L2, Lq = L + 3/2 L2 (2.2.3-3) Pentru MSMP izotropă, L2 = 0 sau se poate neglija comparativ cu L, şi deci:

24

Ld = Lq = L. Relaţia (2.2.3-2) se simplifică şi devine: λs = L is + λ0 e jθ (2.2.3-4) Ecuaţia de tensiune este cea dată de relaţia (2.1.2-1) care se rescrie local: λs

° = us - R is , λs(0) = λs0 (2.2.3-5) Modelul matematic în referenţialul statoric αβ sau abc are avantajul că nu necesită utilizarea transformărilor de rotaţie şi permite determinarea vectorului flux λs prin integrarea relaţiei (2.2.3-5), dar cu probleme datorate offsetului la măsurarea tensiunii us şi curentului is, precum şi prezenţei unei componente continue la ieşirea integratorului care poate să apară în procese tranzitorii [Bose97a], (vezi paragraful 5.2). Un dezavantaj este acela că vectorul flux λs = λs(is, θ) este dependent nu numai de vectorul curent is ci şi de poziţia θ. Acest model este utilizat în metoda de conducere vectorilă directă în cuplu şi flux prezentată în paragraful 3.3 şi în metode de conducere fără traductoare de mişcare prezentate în paragrafele 8.4 - 8.6.

2.3. Determinarea experimentală a parametrilor Cunoaşterea parametrilor modelului matematic al MSMP este cerută în analiza şi proiectarea sistemelor de conducere pentru acţionări cu MSMP. Determinarea parametrilor se poate face teoretic sau experimental. Cea de a doua cale - determinarea experimentală a parametrilor, este de preferat deoarece se referă la maşina reală - cu parametrii reali, nu la cea proiectată - cu parametrii calculaţi. În lucrarea de referinţă [Bold91b] se prezintă pe larg metode de determinare a parametrilor maşinilor electrice, tratându-se unitar identificarea, estimarea şi validarea parametrilor. Pentru maşina sincronă, metodele de estimare a parametrilor sunt:

i) cu maşina în repaus: i1) - probe de stingere a curentului în axa d, respectiv q şi i2) - probe de răspuns în frecvenţă;

ii) cu maşina în rotaţie: ii1) - probe de mers în gol şi ii2) - probe de răspuns în frecvenţă.

În continuare se prezintă soluţii de determinare experimentală a parametrilor principali ai modelului MSMP de ordin 4 (2.2.1-3). Se determină: inductanţele sincrone Ld şi Lq, fluxul λ0, momentul de inerţie echivalent redus la arbore J, şi coeficientul de frecări vâscoase B. 2.3.1. Determinarea experimentală a parametrilor magnetici

25

2.3.1.1. Determinarea inductanţelor Ld, Lq prin metoda stingerii curentului în repaus Inductanţele sincrone Ld şi Lq apar în modelul subsistemului electromagnetic şi de aceea punctul de plecare pentru determinarea experimentală a acestora îl constituie prima relaţie matriceală din (2.2.1-3). Conform observaţiei aferente relaţiei (2.1.1-1), aceste ecuaţii sunt valabile pentru orice formă de variaţie în timp a tensiunilor şi deci a curenţilor fazelor a,b,c. Se consideră restricţia cum că măsurătorile se efectuează numai la bornele maşinii cu nulul neaccesibil, fazele fiind legate în stea. În plus, în scopul achiziţiei unui număr minim de mărimi se particularizează variabilele din relaţiile (2.2.1-3), condiţiile particulare impuse fiind:

(i) ω = 0 (maşina în repaus), (ii) u(ud, uq) = 0, adică ud = 0 , uq = 0 ( scurtcircuit la borne). Rezultă deci:

L iL i

Rii

ii

ii

d d

q q

d

q

d

q

d

q

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

, (0)(0)

0

0 (2.3.1-1)

Aceste ecuaţii sunt decuplate, şi prezintă pentru curentul i(id, iq) o evoluţie de tip element PT1 cu intrare nulă, plecând din starea iniţială i0(id0, iq0). Inductanţele Ld, Lq pot fi determinate separat prin achiziţia pe un interval de timp dat a unui singur curent corespunzător lui id respectiv iq, urmată de o integrare numerică. Vectorul curent statoric i(id, iq) se exprimă funcţie de curenţii pe faze cu transformata Park: i(id, iq) = id + j iq = [ ia + j ( ib - ic ) /√3 ] e - j θ (2.3.1-2) O prima soluţie pentru determinarea inductanţei Ld constă în a impune în relaţia (2.3.1-2) condiţia particulară suplimentară:

iii) θ = 0, adică axa d suprapusă peste axa a şi deci id = ia.

Pentru a realiza această condiţie se alimentează maşina cu o tensiune continuă constantă E sau cu o sursă de curent constant I, având faza a înseriată cu fazele b şi c conectate în paralel, conform schemei din fig.2.3.1_1a, energizând-o cu un curent ia0. În consecinţă rotorul se va deplasa automat în poziţia dorită θ = 0. Mai mult, cum ib = ic = - ia/2, rezultă iq = 0.

Fig.2.3.1_1a,b. Determinarea inductanţei Ld prin metoda stingerii curentului

26

După aceasta, se aplică condiţia de scurtcircuit (ii), se achiziţionează curentul ia cu perioada de eşantionare h, apoi se integrează prima ecuaţie din (2.3.1-1) pentru t ∈ (0, ∞) şi se obţine (2.3.1-3). Pentru integrarea numerică s-a utilizat metoda dreptunghiului.

L Ri

i i ER

ids

aa a

sa= = =

∞

∞∫0 0

023

0dt, cu , sau L hRi

ids

aak

k

N

==

∑0 0

(2.3.1-3)

O soluţie pentru determinarea inductanţei Lq este impunerea în (2.3.1-2) a condiţiei: iv) θ = - π/2, condiţie realizată după energizarea schemei din fig.2.3.1_1a şi rotirea forţată din exterior a rotorului cu - π/(2p), urmată de blocarea mecanică a rotorului (cuplând frâna). Din (2.3.1-2) rezultă iq = ia şi id = 0. Aplicând condiţia de scurtcircuit (ii), se achiziţionează curentul ia, apoi se integrează a doua ecuaţie din (2.3.1-1) şi se obţine pentru Lq aceeaşi expresie (2.3.1-3) ca pentru Ld. În concluzie, pentru determinarea inductanţelor Ld, Lq se utilizează proba stingerii curentului în axa d, respectiv q, cu maşina în repaus. Se achiziţionează, cu o perioadă de eşantionare corespunzătoare, curentul ia(t) în regim tranzitoriu până când ia atinge câteva procente din ia0, startând achiziţia sincron cu realizarea condiţiei de scurtcircuit, după care se efectuează numeric integrala din (2.3.1-3). O a doua soluţie pentru determinarea inductanţei Ld este prezentată în schema din fig.2.3.1_1b, în care tensiunea continua E sau o sursă de curent constant I, alimentează fazele b şi c legate în serie. În această situaţie rotorul se va deplasa automat în poziţia θ = π/2 şi deci iq = ia = 0 şi cum ib = - ic, din (2.3.1-2) rezultă că id = 2/√3 ib, cu ib0 = E/(2R). Calculul inductanţei Ld se face similar cu cel dat de relaţia (2.3.1-3) în care în locul lui ia se foloseşte ib, la efectuarea integralei.

ib

b

Ic

a

ic

S N

θ = 0

+

E

ia

ia0

d

Fig.2.3.1_1a. θ = 0

NS

+b

c

a

ib

ic

θ = π/2IE

ib0d

Fig.2.3.1_1b. θ = π/2

27

Observaţia 2.3.1-1. Fixând diferite valori pentru curentul iniţial ia0 se pot ridica experimental curbele Ld, Lq funcţie de ia0. Aceste dependenţe dau informaţii cu privire la saturarea inductivităţilor respective. Fenomenul de stingere a curentului de la valori tot mai mari ale acestuia conduce la fluxuri remanente tot mai mari în maşină şi deci apar erori. Pentru a elimina acest efect de histerezis, este util ca după fixarea curentului ia0 să se inverseze sensul curentului de câteva ori pentru a se anihila fluxul remanent din maşină [Bold91b]. 2.3.1.2. Determinarea fluxului magnetului permanent λ0 prin proba de

mers în gol O soluţie o constituie proba de mers în gol. Particularizând în relaţia (2.2.1-3): id = 0, iq = 0 şi deci ud = 0, şi cum din transformarea Park ua = - uq sinθ, se obţine:

λω0

2= =

u Up

q aef Ω

(2.3.1-4)

Maşina se antrenează mecanic din exterior cu o turaţie Ω constantă, cunoscută sau măsurată. Maşina este în regim de generator, şi prin măsurarea tensiunii efective induse între două faze Uab se determină uq, după care se calculează λ0 cu relaţia (2.3.1-4). 2.3.2. Determinarea experimentală a parametrilor mecanici 2.3.2.1. Determinarea momentului de inerţie echivalent J O soluţie o constituie o probă de accelerare a maşinii, cu plecare din repaus (Ω0 = 0), la un cuplu controlat Te = constant, având cuplul mecanic util TL = 0. Cum în general, factorul de frecări vâscoase se poate neglija (B ≅ 0), din (2.1.3-4) rezultă: J dΩ /dt = Te deci: J = Te t1 /Ω1 (2.3.2-1) unde Ω1 este turaţia măsurată la momentul t1, în zona de mişcare cu acceleraţie constantă.

28

2.3.2.2. Determinarea factorului de frecări vâscoase B O soluţie o constituie o probă de oprire liberă (Te = 0), fără cuplu de sarcină (TL = 0), plecând de la o turaţie cunoscută Ω(0) = Ω0. Se achiziţionează Ω şi din (2.1.3-4) rezultă prin integrare, cu Ω∞ = 0

B J dt=∞

∫ Ω0 / Ω0

(2.3.2-2)

2.3.3. Concluzii În acest paragraf s-au prezentat metode inginereşti eficiente de determinare experimentală a parametrilor modelului de ordin 4 (2.2.1-3) al maşinii sincrone cu magneţi permanenţi şi anume:

• probe de stingere a curentului în axa d sau q cu maşina în repaus, pentru determinarea inductanţelor sincrone Ld, Lq considerând maşina cu nul neaccesibil;

• proba de mers în gol, pentru determinarea fluxului magnetului permanent λ0;

• proba de accelerare la cuplu controlat, pentru determinarea momentului de inerţie echivalent redus la arbore J;

• proba de oprire liberă fără cuplu de sarcină, pentru determinarea coeficientului de frecări vâscoase B.

Parametrii modelului matematic al MSMP se utilizează pe larg în analiza şi proiectarea sistemelor de conducere pentru acţionări cu MSMP. Unele dintre metodele prezentate de determinare experimentală a parametrilor MSMP au fost aplicate practic în lucrarea de faţă la determinarea inductivităţilor sincrone Ld şi Lq, (familii de curbe funcţie de ia0) şi la determinarea momentului de inerţie echivalent redus la arbore J.

2.4. Modelul invertorului de tensiune

29

În mod uzual, invertorul din structura unei acţionări cu MSMP este un invertor de tensiune trifazat, realizat cu elemente de comutaţie statică rapide, de exemplu IGBT. Acest invertor poate fi modelat utilizând trei funcţii de comutaţie binară: Sa, Sb, Sc ∈ {0, 1}. Funcţia binară Sa, pentru faza a, se defineşte astfel: Sa = 1 dacă faza a este conectată la borna plus a sursei de tensiune continuă Vdc de la intrarea invertorului şi Sa = 0 dacă faza a este conectată la borna minus a sursei. În mod similar se definesc şi funcţiile Sb şi Sc pentru fazele b şi c (fig.2.4_1).

Neglijând timpul mort la comutaţia invertorului, vectorul tensiune statorică us în referenţialul αβ este de tip discret având opt valori vectoriale us = Vi(Sa, Sb, Sc), i = 0 - 7. Şase vectori au modul constant şi poziţii fixate succesiv la π/3 radiani: us = 2/3 Vdc e j (k -1) π/3, k = 1…6, (2.4-1) Doi vectori sunt nuli: V0(0,0,0) şi V7(1,1,1), deoarece în aceste situaţii fazele maşinii sunt în scurtcircuit fiind conectate fie la borna minus a sursei de tensiune continue de la intrarea invertorului, fie la borna plus. În referenţialul abc, vectorul tensiune statorică us (ua, ub, uc) are componentele [Xue 91]: ua = 1/3 Vdc ( 2Sa - Sb - Sc ) (2.4-2) ub = 1/3 Vdc ( -Sa + 2Sb - Sc ) uc = 1/3 Vdc ( -Sa - Sb + 2Sc ) În referenţialul αβ, vectorul tensiune statorică us (uα, uβ) se obţine din (2.4-2) cu ajutorul transformării abc>αβ şi are componentele: uα = 1/3 Vdc ( 2Sa - Sb - Sc ) (2.4-3) uβ = 1/√3 Vdc ( Sb - Sc ) În concluzie, modelul matematic simplificat al invertorului de tensiune stabileşte legătura dintre funcţiile de comutaţie binară Sa, Sb, Sc - livrate de sistemul

Sb Sc

Vdc

ca

bSa

=+

10 0

1 10

-

Fig.2.4_1 Modelul invertorului de tensiune

30

de conducere al invertorului funcţie de o anumită strategie, şi vectorul tensiune statorică us (ua, ub, uc). Indiferent de metoda de conducere utilizată, comanda curentă a invertorului de tensiune se materializează prin generarea unui cuvânt de 3 biţi (Sa, Sb, Sc). Acest model al invertorului de tensiune cu vectori discreţi se utilizează în strategii de conducere vectorială, ca de exemplu în conducerea directă în cuplu şi flux (paragraful 3.3) şi în simulări. Sunt situaţii, de exemplu în conducerea fără traductoare de mişcare a MSMP (capitolul 8), care necesită cunoaşterea vectorului tensiune statorică. Din relaţiile (2.4-2) sau (2.4-3) se poate estima vectorul tensiune statorică us din funcţiile de comutaţie binară Sa, Sb, Sc livrate de sistemul de conducere al invertorului, eventual măsurând tensiunea Vdc de la intrarea invertorului, şi prin urmare se elimină traductoarele de tensiune statorică de pe fazele maşinii.

31

3. METODE DE CONDUCERE VECTORIALĂ A MSMP

În ultimul deceniu, în scopul obţinerii unor performanţe ridicate pentru acţionări cu MSMP se utilizează metode moderne de conducere: conducerea vectorială în curent, conducerea vectorială cu orientare după câmp, şi recent, conducerea vectorială directă în cuplu şi flux. Metodele de conducere vectorială în curent au la bază criterii de optim pentru elaborarea vectorului de curent prescris i* funcţie de cerinţa de cuplu Te*. Conducerea vectorială cu orientare după câmp are la bază conducerea decuplată prin două bucle de reglare principale paralele: o buclă de reglare după cuplu (rapidă) şi o buclă de reglare după modulul fluxului din întrefier (mai lentă). În aceast caz performanţele dinamice ale acţionării se îmbunătăţesc radical, deoarece menţinând constant fluxul în maşină, constantele de timp relativ mari aferente circuitelor fluxului nu mai intervin în răspunsul tranzitoriu în cuplu. Conducerea vectorială directă în cuplu şi flux conduce direct cuplul electromagnetic şi vectorul flux statoric din maşină folosind un tabel al comutaţiilor optime pentru comanda invertorului de tensiune. Această metodă inginerească asigură un răspuns rapid, o funcţionare în gamă extinsă de turaţii, o rejectare eficientă a perturbaţiilor şi o implementare relativ simplă.

3.1. Metode de conducerea vectorială în curent

Performanţele sistemelor de acţionare a MSMP cu turaţie reglabilă, precum şi capacitatea cerută invertorului de tensiune, depind în mare măsură de metoda de conducere utilizată şi de geometria rotorului. În acest paragraf se analizează cinci metode de conducere vectorială în curent pentru acţionări cu MSMP [Take88], [Mori90a]. În esenţă, metodele de conducere prezentate impun anumite criterii de optim care se materializează prin controlul unghiului de sarcină β funcţie de cuplul dorit Te*, deci prin controlul vectorului curent statoric i(id, iq) determinat de impunerea componentelor id* şi iq* prescrise. Pentru fiecare metodă se studiază: cuplul electromagnetic, capacitatea invertorului, factorul de putere, factorul de demagnetizare în funcţie de modulul vectorului curent statoric I0 şi de geometria rotorului (ρ = Lq /Ld). În final se trag concluzii utile cu privire la alegerea optimă a metodei de conducere în funcţie de cerinţele impuse.

3.1.1. Definirea mărimilor pentru studiul comparativ al metodelor de conducere în curent În referenţialul rotoric dq, componentele id şi iq ale curentului statoric i se pot exprima funcţie de modulul curentului statoric I0 şi unghiul de sarcină β, definit ca unghi dintre vectorul curent statoric i şi axa q (fig.3.1.1_1).

d

qi

iq

id

λo0

βI0

id = - I0 sinβ , (3.1.1-1)

32

q ⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

sincos 0

0ββ ω λ

iq = I0 cosβ u

δ

Fig.3.1.1_1. Vectorul i(I0, β)

Ecuaţiile tensiunii statorice în regim permanent ale MSMP sunt:

uu

IR LL R

d

q d

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢ =

0

ωω

(3.1.1-2)

Cuplul electromagnetic Te se poate exprima funcţie de I0 şi β. Din (2.1.2-9) şi (3.1.1-1) rezultă:

Te = 3/2 p I0 [ λ0 cos β + 1/2 ( Lq - Ld ) I0 sin 2β ] (3.1.1-3) unde, primul termen reprezintă cuplul datorită magnetului permanent (MP), iar al doilea termen reprezintă cuplul de reluctanţă. Se definesc următorii coeficienţi importanţi în analiza eficienţei metodelor de conducere: a) Coeficientul de tensiune K este definit ca raport între modulele tensiunii statorice în sarcină şi respectiv fără sarcină (I0 = 0) şi deci din (3.1.1-2) rezultă:

K U u ud q= =+

0

0

2 2

0ωλ ωλ , sau

K R I L I R Iq= + +1

00 0 0ωλ

β ω β β( sin cos ) ( cos L Id− +0 0ω β ωλ sin )2 2 (3.1.1-4)

Acest coeficient caracterizează capacitatea invertorului de tensiune. Dacă K este mare, se cere o largă capacitate în tensiune a invertorului.

b) Coeficientul de demagnetizare ξ este definit ca raport între fluxul de reacţie pe axa d şi fluxul λ0 al MP, deci:

33

λβ

λ= − =

L i L Id d d

0

0

0

sin (3.1.1-5) ξ

Dacă ξ este mare şi intensitatea câmpului magnetic coercitiv al MP nu este suficientă, atunci MP se poate demagnetiza ireversibil, rezultând o scădere a cuplului electromagnetic.

c) Factorul de putere cosφ , unde φ = δ - β este unghiul între vectorii u şi i cosφ = cos ( δ - β ) (3.1.1-6)

tg uu

R IR I

d

qδ

L IL I

q

d

β ω β

β ω β ω λ

+

− +

cos sin

0 0

0 0 0= − =

sin

cos (3.1.1-7)

Aceşti trei coeficienţi definiţi mai sus şi ecuaţia cuplului (3.1.1-3) decid caracteristicile de performanţă ale MSMP şi capacitatea de tensiune a invertorului. Ecuaţiile de definiţie prezentate conţin parametrii MSMP şi anume: Ld, Lq, λ0, R. În scopul exprimării acestor ecuaţii independent de parametrii absoluţi ai MSMP, se utilizează mărimile normate, scrise cu caractere drepte: I0, Te, R.

I , T

, R =00

0 e= =L I T

p Ld e

dλ λ3 202 /

, =RL

LLd

q

dωρ (3.1.1-8)

Coeficientul ρ caracterizează geometria rotorului: ρ ≅ 1 (MP izotrop) pentru rotor MP cu poli plini şi ρ > 1 pentru rotor MP cu poli înecaţi (MP anizotrop). Dacă turaţia ω nu este prea mică, se poate neglija R în relaţia (3.1.1-2) şi deci ecuaţiile (3.1.1-3) - (3.1.1-7) se rescriu în formă normată funcţie de I0 şi β astfel: Te = I0 [ cosβ + 1/2 ( ρ - 1 ) I0 sin 2β ] (3.1.1-9)

K = −( I01 +sin ) ( I cos )20

2β ρ β (3.1.1-10) ξ = I0 sinβ (3.1.1-11)

tgδρ β

β=

− I cos

I sin0

01 (3.1.1-12)

3.1.2. Metode optimizate de conducere vectorială în curent Prin controlul unghiului de sarcină β funcţie de cuplul dorit Te* - proporţional cu I0, deci prin controlul vectorului curent statoric, impunând anumite criterii de optim, se obţin caracteristici de performanţă remarcabile pentru MSMP. Pentru toate cele 5 metode de conducere vectorială în curent pentru MSMP considerate în continuare se urmăreşte găsirea relaţiei între I0 şi β în condiţiile unui criteriu de optim impus.

(i) Metoda de conducere cu id = 0 Această metodă impune β=0 şi deci din (3.1.1-9) rezultă I0 = Te, adică modulul curentului este proporţional cu cuplul electromagnetic. Cum id = 0, rezultă iq = I0. Din (3.1.1-11) rezultă ξ = 0 şi deci demagnetizarea MP nu există. Din (3.1.1-12) rezultă tgδ = ρI0 adică unghiul δ între vectorul u şi axa q creşte cu sarcina, şi de asemenea U0 creşte, fiind deci cerută o largă capacitate a invertorului (3.1.1-4). Din (3.1.1-6) rezultă δ = φ şi considerând relaţiile de mai sus rezultă:

φ = arctg (ρTe) (3.1.2-1) Observaţia 3.1.2-1. Cum unghiul φ poate fi calculat uşor din u şi i măsurate în referenţialul statoric αβ, rezultă o idee de conducere interesantă, fără a utiliza traductoare de mişcare. Pentru o turaţie Ω = ω/p impusă prin fixarea pulsatiei ω a curenţilor statorici printr-o prescriere Ω* în rampă cu limitare, se poate introduce o buclă de reglare după φ: prescrierea este φ* = arctg (ρTe*) conform (3.1.2-1), unde Te* se obţine la ieşirea regulatorului de turaţie, iar mărimea de reacţie este φ calculată din u (Sa, Sb ,Sc) cu (2.4-3) şi i măsurat. (ii) Metoda de conducere cu factor de putere unitar cos φ = 1 Din (3.1.1-6) această condiţie este realizată pentru β = δ şi deci rezultă:

34

I sinsin cos0 2 2=

+β

β ρ β (3.1.2-2)

(iii) Metoda de conducere având cuplu liniar dependent de curent Pentru îndeplinirea condiţiei Te = I0 este necesar ca în (3.1.1-9) paranteza dreaptă [.] să fie egalată cu 1, şi deci rezultă:

I ( cos )( )sin0 =

−−

2 11 2

βρ β

(3.1.2-3)

(iv) Metoda de conducere cu flux rezultant λ = constant

În regim permanent, în referenţialul rotoric dq, neglijând rezistenţa statorică R rezultă: u ≅ jωλ şi impunând condiţia λ = λ0 = constant, pentru oricare I0, rezultă U0 ≅ ω λ0, adică din (3.1.1-4) K = 1 şi din (3.1.1-10) rezultă:

35

I sinsin cos0 2=

+2

2 2β

β ρ β (3.1.2-4)

(v) Metoda de conducere cu cuplu maxim pentru un curent dat Această optimizare se obţine din (3.1.1-3) impunând condiţia ca dTe /dβ = 0 şi d2Te/d2β < 0 [Mori93b].

β = arcsinρ

ρ− + + −

−( ) I

( )I02

0

1 1 8 1 2

4 1

i Ia r* *= +0 sin( )θ β

b r* /= + − 2 3 sin( )θ β πi i ic a b* *= − +( *)

(3.1.2-5)

Metoda se poate aplica în zona de cuplu maxim constant. Pentru ρ = 1 rezultă β = 0, din (3.1.1-3).

În concluzie, unghiul de sarcină β rezultă funcţie de modulul curentului I0 din relaţiile neliniare (3.1.2-2) - (3.1.2-5) corespunzător metodelor de conducere (ii-v), având ca şi parametru coeficientul ρ. I0 este proporţional cu cuplul dorit Te* disponibil la ieşirea regulatorului de turaţie. Pentru metoda (i), β = 0 pentru oricare I0, pe când la celelalte metode β creşte cu I0. Relaţiile dintre β şi I0 sunt afectate de configuraţia geometrică a rotorului prin coeficientul ρ. O soluţie de implementare a sistemului de coducere a MSMP folosind oricare din metodele de conducere (i-v) este prezentată în schema bloc din fig.3.1.2_1. Amplitudinea I0* a curentului se obţine la ieşirea regulatorului de turaţie Rω, I0* ∼ Te*. Unghiul β este tabelat într-o memorie conform relaţiei stabilite β(I0*). Sistemul de curenţi trifazaţi simetrici prescrişi ia*, ib*, ic* se obţine prin proiecţia vectorului i* pe axele a, b, c:

i I*

0 (3.1.2-6)

Implementarea acestei transformări [Mori93a] se poate realiza prin tabelarea celor două funcţii sinus în memorii EPROM care sunt adresate cu θ* = θr + β, unde θr este obţinut de la un traductor de poziţie al rotorului (θr) aliniat cu fluxul

NRreversibil

sin(θ*) CNA

sin(θ*-2π/3) CNA

Estim.ω^

ω

ω*

θ*θr

ib*

ia*

I0*

O

Te*∼ I0*

TIR

- Rω ββI0*

Fig.3.1.2_1. Sistem de conducere vectorială în curent λ0, iar înmulţirile din (3.1.2-6) se pot realiza cu convertoare numeric analogice (CNA) care înmulţesc o mărime analogică I0* cu o mărime numerică sin(.), rezultatul fiind o mărime analogică. În această situaţie regulatoarele de curent pe faze se implementează în tehnică analogică. 3.1.3. Analiza comparativă a metodelor. Concluzii Caracteristicile de performanţă ale MSMP sunt afectate de metoda de conducere vectorială în curent folosită (i-v) şi de configuraţia geometrică a rotorului ρ. Având la bază relaţiile din paragraful 3.1.2, se prezintă un studiu comparativ asupra dependenţei cuplului Te, a factorului de tensiune K, a factorului de putere cosφ şi a coeficientului de demagnetizare ξ în funcţie de curentul I0 pentru coeficienţi ρ tipici, pentru metodele de conducere (i-v).

a) Cazul ρ >1, tipic ρ = 2 La metoda de conducere (i), cuplul Te este proporţional cu I0 iar ξ = 0. De aceea performanţele în cuplu sunt foarte bune, iar demagnetizarea MP nu există. Ca dezavantaj, factorul de tensiune K creşte şi factorul de putere descreşte rapid cu creşterea sarcinii I0 rezultând cerinţa unei largi capacităţi a invertorului. La metoda de conducere (ii), raportul cuplu/curent este mic şi are un maxim, cuplul Te fiind limitat. Tensiunea U0 nu creşte cu creşterea sarcinii I0. La metoda de conducere (iii-v), cuplul Te este proporţional cu I0 şi se obţine un factor de putere bun. Metoda (v) generează cuplu maxim la un curent dat deci are un optim energetic. Capacitatea cerută invertorului este mai mică la metodele (ii) şi (iv-v). Coeficientul de demagnetizare este relativ mare la metodele (ii-v), fapt de care se ţine cont pentru a preveni demagnetizarea ireversibilă a MP. Se recomandă folosirea MP cu o intensitate mare a câmpului magnetic coercitiv, cum sunt MP cu pamânturi rare [Mori90a]. b) Cazul ρ = 1

36

37

Metodele (i) şi (v) sunt identice. La metoda de conducere (ii) caracteristicile pentru K şi cosφ sunt asemănătoare cu cele de la cazul ρ = 2. La metodele (iii-iv), cosφ se înrăutăţeşte şi ξ este mai mic. O comparaţie concisă între metodele de conducere în curent studiate în acest paragraf, funcţie de ρ şi mărimile definite în paragraful 3.1.1, se prezintă în tabelul 3.1.3-1, în care notaţiile au următoarele semnificaţii: E - excelent; B - bun; M - mediu; S - slab; N - necorespunzător. Se reamintesc notaţiile pentru metodele de conducere: (i) id = 0; (ii) cosφ = 1; (iii) Te ~ I0; (iv) λ = λ0; (v) Te /I0 - maxim Tabel 3.1.3-1.Comparaţie între metodele de conducere vectorială în curent a MSMP ρ ρ > 1 ρ = 1 ρ < 1 metoda de conducere i ii iii iv v i ii iii iv v i ii iii iv v cuplu electromag. Te E N E B E E N E M E E N E E E factor de tensiune K N E B E E S E S E S B E N E M factor de putere cosφ N E B B B S E S M S B E S B B coef.de demagnet. ξ E S S S S E S E S E E M B B B

Concluziile privind metodele de conducere vectorială în curent a MSMP sunt: 1) Metoda de conducere în curent a MSMP se alege ţinând cont de coeficientul ρ =

Lq /Ld care caracterizează geometria rotorului. 2) Metoda de conducere (i) cu id = 0, are performanţe foarte bune pentru cuplu, Te

fiind proporţional cu curentul I0, iar demagnetizarea nu apare. Ca dezavantaj, însă capacitatea cerută invertorului este mare. Această metodă se recomandă pentru MSMP cu ρ ≤ 1. Pentru ρ = 1 metoda (i) este identică cu metoda (v) Te

/I0 - maxim. 3) Metoda de conducere (ii) cu cosφ = 1, are raportul cuplu/curent mic şi

caracteristica cuplului este neliniară, deci performanţele în cuplu sunt slabe. Această metodă nu se recomandă pentru acţionări cu turaţie reglabilă, dar este bună pentru acţionări cu turaţie constantă, pentru care cerinţele privind capacitatea invertorului sunt mici.

4) Metodele de conducere (iii) Te ~ I0, (iv) λ = λ0 = constant şi (v) Te /I0 - maxim, au performanţe asemănătoare. Ele se recomandă pentru MSMP cu ρ > 1 pentru care caracteristica de cuplu este practic liniară, iar capacitatea cerută invertorului este comparativ mai mică.

38

3.2. Conducerea vectorială cu orientare după câmp

3.2.1. Principiul conducerii vectoriale cu orientare după câmp

Conducerea vectorială cu orientare după câmp (CVOC) a maşinilor de curent alternativ (m.c.a.), numită şi conducere transvector, este o metodă de conducere modernă, performantă, tratată pe larg în literatura de specialitate [Leon85], [Kele89], [Măgu90], [Bold92], [Bose97b]. Principiul CVOC pentru m.c.a. are la bază conducerea decuplată după două bucle de reglare principale paralele: o buclă de reglare după cuplu (rapidă) şi o buclă de reglare după modulul fluxului din întrefier (mai lentă). În aceast caz performanţele dinamice ale m.c.a. se îmbunătăţesc radical, deoarece menţinând constant fluxul în maşină, constantele de timp relativ mari aferente circuitelor fluxului nu mai intervin în răspunsul tranzitoriu în cuplu, cuplul fiind mărimea de ieşire esenţială din subsistemul electromagnetic. Ideea conducerii vectoriale cu orientare după câmp a m.c.a. îşi are originea în analogia cu conducerea maşinii de curent continuu (m.c.c.) cu excitaţie derivaţie şi anume: la flux de excitaţie constant, în cazul plasării periilor pe axa neutră, cuplul electromagnetic este direct proporţional cu curentul rotoric. Principiul de funcţionare al m.c.c. asigură decuplarea intrinsecă a celor două bucle de reglare de cuplu şi flux, mărimile scalare de execuţie fiind tensiunea din circuitul rotoric, şi respectiv tensiunea din circuitul de excitaţie. Problema fundamentală care se pune la CVOC este: cum să se asigure decuplarea celor două bucle de reglare de cuplu şi flux? Problema se ridică pentru că m.c.a. sunt maşini conduse vectorial, mărimea de execuţie fiind sistemul trifazat simetric de tensiuni (de curenţi) şi deci nu se dispune direct de mărimi de execuţie care să controleze decuplat cele două mărimi esenţiale de conducere - cuplul şi fluxul în maşină. Pentru aceasta, în mod natural, să examinăm relaţia cuplului Te din (2.1.2-8):

Te = 3/2 p Im (λ* i) (3.2.1-1) relaţie valabilă în orice referenţial. În vederea decuplării procesului de reglare, particularizăm relaţia (3.2.1-1) pentru un referenţial deqe fix faţă de rotor, cu axa reală de fixată de-a lungul fluxului din întrefier λ. Această alegere motivează denumirea de conducere vectorială cu orientare după câmp. Cum λde = λ şi λqe = 0:

Te = 3/2 p ( λde iqe - λqe ide ) = 3/2 p λ iqe (3.2.1-2) Pentru MSMP fără colivie de amortizare, în referinţialul dq vectorul flux λ are expresia:

λ = λ0 + Ld id + j Lq iq (3.2.1-3)

q

i

Diagrama vectorială aferentă relaţiei vectoriale (3.2.1-3) este prezentată în fig.3.2.1-1 unde δ este unghiul între vectorul flux λ (axa de) şi axa d, iar θ este unghiul electric al rotorului măsurat cu un traductor de poziţie θ = pθr, θr fiind poziţia unghiulară mecanică a rotorului.

dLd id

Lq iqλ

λ0

de

δ

Fig.3.2.1_1. Referenţiale dq şi deqe

Din relaţia (3.2.1-2) se observă că pentru λ = constant, cuplul Te este direct proporţional cu componenta iqe, iar modulul λ al fluxului rezultant poate fi controlat prin componenta ide. În concluzie, problema decuplării procesului de reglare de cuplu şi flux la m.c.a. se realizează în referenţialul rotoric de qe astfel: • pentru bucla de reglare de cuplu mărimea de execuţie este componenta iqe a

curentului; • pentru bucla de reglare de flux mărimea de execuţie este componenta ide a

curentului. 3.2.2. Structura de conducere Concluziile din paragraful 3.2.1, privind decuplarea procesului de reglare în două bucle de reglare paralele pentru cuplu şi flux, conduc la o variantă de structură de conducere vectorială cu orientare după câmpul din întrefier prezentată în fig.3.2.2_1. Ieşirea regulatorului de turaţie Rω este proporţională cu cuplul de referinţă Te* şi deci cu componenta iqe* aşa cum rezultă din (3.2.1-2).

Observaţia 3.2.2-1. La ieşirea oricărui regulator de mişcare (de poziţie sau de turaţie) se obţine o mărime proporţională cu cuplul de referinţă dorit Te*, deoarece modificări ale turaţiei se obţin acţionând asupra cuplului activ dezvoltat de maşină (vezi legea a II-a a dinamicii solidului rigid aflat în mişcare de rotaţie (2.1.3-1)).

39

iqe

iqe*Rω

Rλ

Riqe

Ride

e-jδ

Calculλ, δ

λ0(Tr)

Ride

P(-θ)

P(θ+δ)-

-

-

-

ω*

ω

λ*

λide

ide*

λδ

θδ

i1qe*

iq

id ia

ib

ia*ib*ic*

λ0

i1de*

Tr

Ts

Fig.3.2.2_1. Structură de conducere vectorială cu orientare după câmp

Deci, mărimea de execuţie pentru controlul mărimilor cinematice θ, ω este cuplul electromagnetic Te. Ieşirea regulatorului de flux Rλ este proporţională cu componenta ide*. Erorile corespunzătoare curenţilor ide, iqe sunt prelucrate de bucle de reglare interioare realizate cu regulatoarele Riqe şi Ride. În scopul obţinerii curenţilor echivalenţi ide, iqe din curenţii statorici măsuraţi ia, ib, ic se utilizează transformările de coordonate prezentate în paragraful 2.1.1: abc>dq -transformata Park P(-θ) şi dq>deqe -transformata de rotaţie e -jδ

de unghi δ. Pentru obţinerea curenţilor prescrişi în referenţialul statoric abc se utilizează transformata Park inversă P(θ+δ), deqe>abc. Aceste transformări implică măsurarea unghiului θ cu un traductor de poziţie, respectiv calculul unghiului δ. O soluţie de realizare a blocului de calcul pentru λ şi δ lucrează în referenţialul rotoric dq şi livrează cele două mărimi conform relaţiilor:

λd = λ0 + Ld id , λq = Lq iq (3.2.2-1)

λ λ λ= +d q2 2 , sinδ = λq /λ , cosδ = λd /λ (3.2.2-2)

Unghiul δ poate fi calculat din (3.2.2-2), dar acest lucru nu este necesar deoarece în transformările de coordonate care utilizează δ apar funcţiile sinδ şi cosδ şi deci se utilizează direct valorile acestora date de (3.2.2-2). Deoarece fluxul magnetului permanent λ0 variază cu temperatura rotorică Tr [Măgu90], [Pill91], dependenţa λ0(Tr) se poate tabela într-o memorie EPROM. În cazul uzual când dependenţa λ0(Tr) este liniară, calculul este mai simplu şi se face

40

direct. Cum Tr nu se poate măsura direct, Tr se calculează funcţie de temperatura statorică Ts, temperatură care se poate măsura direct, spre exemplu, cu o termorezistentă plasată în stator. Funcţia de transfer Tr /Ts se aproximează cu cea a unui element de transfer de ordin unu (PT1) având constatanta de timp Tt de ordinul minutelor [Bose88]:

41

T sT s s T

r

s t

( )( )

11

=+

(3.2.2-3)

În concluzie, din punct de vedere informaţional, structura de conducere vectorială cu orientare după fluxul din întrefier, prezentată în fig.3.2.2_1, are: - mărimi de conducere (de prescriere): turaţia prescrisă Ω* şi modulul fluxului prescris λ*; - mărimi de reacţie măsurate: poziţia θ, viteza Ω, curenţii ia, ib, temperatura statorică Ts; - mărimi de ieşire: curenţii prescrişi ia*, ib*, ic*; - mărimi de perturbaţie: cuplul de sarcină, tensiunea de alimentare a invertorului, temperatura rotorică, saturaţia magnetică. Structura prezentată este dependentă de parametrii electromagnetici ai MSMP: λ0 - care se modifică cu temperatura şi Ld şi Lq (3.2.2-1), (3.2.2-2) care se modifică cu saturaţia. Observaţia 3.2.2-2. Având în vedere că există regulatoare de curent în referenţialul rotoric deqe, nu mai sunt necesare regulatoare de curent în referenţialul statoric abc. Comanda invertorului de tensiune se poate realiza folosind principiul modulării în durată (PWM) cu un semnal modulator triunghiular de frecvenţă ridicată (zeci de kHz). 3.2.3. Decuplarea curent-tensiune Sistemele de conducere prezentate până acum folosesc conducerea în curent. Alte variante perfecţionate de conducere, dezvoltate în ultimul deceniu, folosesc decuplarea curent-tensiune [Schr91b], [Levi91], [Roby92], [Kraf94], [Mori94a], [Andr96c] cu avantajul compensării perturbaţiei ω în subsistemul electromagnetic (vezi observaţia 2.1.4-1) în scopul decuplării conducerii pe cele două axe d, q. Ecuaţiile aferente subsistemului electromagnetic în referenţialul rotoric dq sunt (2.2.1-3), care se reiau mai jos:

42

R - L

L R

ii

q

d

d

q

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

0

ωω

λ

- L

ii

qo d

q o

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

0

0

ωω

λ

uu

L L

ii

d

q

d

q

d

q

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

•

00 ω

(3.2.3-1)

În vederea decuplării subsistemului electromagnetic de subsistemul mecanic se compensează în (3.2.3-1) termenii neliniari care conţin viteza ω ca şi perturbaţie. Considerând condiţia de realizabilitate fizică, comanda ud* conţine doi termeni: primul este proporţional cu componenta id* dorită, iar cel de-al doilea conţine termenul de compensare neliniar ωLqo iq . Comanda uq* conţine de asemenea doi termeni: primul este proporţional cu componenta iq* dorită, iar cel de-al doilea conţine termenul de compensare neliniar ω(λ0 + Ldo id). În concluzie, comanda în tensiune livrată de blocul de decuplare curent-tensiune va fi:

u

uR

i

i L d

qo

d

q do

∗

∗

∗

∗

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢0

ω (3.2.3-2)

unde: Ro, λ0o, Ldo şi Lqo sunt valorile estimate ale parametrilor corespunzători. Schema bloc a părţii aferente decuplării curent-tensiune este prezentată în fig.3.2.3_1, unde mărimile ω, iq, id sunt mărimi de reacţie. În situaţia de acordare ideală, atunci când valorile estimate ale parametrilor din (3.2.3-2) coincid cu valorile reale din (3.2.3-1) şi considerând invertorul de tensiune ideal, adică u = u*, se obţine pentru ansamblul bloc de decuplare curent-tensiune, invertor de tensiune şi MSMP, următorul model cu două canale independente, decuplate tip PT1:

L iL i

ii

i

id d

q q

d

q

d

q

⎤

⎦⎥ = −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

• ∗

∗ (3.2.3-3) 1

R⎡

⎣⎢

În concluzie, blocul de decuplare curent-tensiune (3.2.3-2) decuplează subsistemul electromagnetic de subsistemul mecanic prin compensarea termenilor care conţin perturbaţia ω din (3.2.3-1), rezultând un model (3.2.3-3) liniar, decuplat, tip PT1 pentru subsistemul electromagnetic. În această situaţie, proiectarea regulatoarelor Rω şi Rλ din fig.3.2.2_1 se simplifică, partea fixată pentru regulatoare fiind procese de tip PT1. Această structură este dependentă de estimarea parametrilor electromagnetici Ro, λ0o, Ldo şi Lqo, dar chiar fără ca estimarea să fie ideală, efectul compensării este benefic [Andr96c]. 3.2.4. Concluzii Conducerea vectorială cu orientare după fluxul din întrefier a MSMP constă în esenţă în conducerea decuplată prin două bucle de reglare paralele: una pentru cuplu (rapidă) şi alta pentru flux (mai lentă). Mărimile de execuţie corespunzătoare celor două bucle sunt curenţii iqe, respectiv ide într-un referenţial fix faţă de rotor cu axa de de-a lungul fluxului rezultant din întrefier. Conform observaţiei 3.2.2-2, nu sunt necesare regulatoare de curent în referenţialul abc. Această metodă de conducere asigură un răspuns dinamic foarte rapid - de exemplu, pentru MSMP cu puteri de ordinul kW, răspunsul în cuplu la semnal treaptă este n x msec. În consecinţă, perioada de eşantionare h a sistemului numeric de conducere este cu un ordin de mărime mai mică şi deci este h = n x 100 μsec. Implementarea sistemului de conducere este relativ complexă datorită unui volum mare de calcule în timp real (tipic h = 100μs): transformări de coordonate, calculul modulului fluxului λ şi al unghiului δ, determinarea dependenţei λ0(Ts), calcule aferente celor patru regulatoare. Ca urmare, implementarea se realizează cu

Roid* idud* = ud

ωLqo iq ωLq iq1/R Ld /R id

1 Ldo /Roid*-

Roiq* iquq* = uq

ω(Ldo id +λ0o)

1/R Lq /Riq

1 Lqo /Ro

iq*

-ω(Ld id +λ0)

Decuplare (3.2.3-2) EM-MSMP (3.2.3-1) Model echivalent (3.2.3-3)

Fig.3.2.3_1. Principiul decuplării curent-tensiune

43

44

sisteme de calcul rapide (eventual sisteme multimicroprocesor) şi anume: procesoare de semnal în virgulă fixă sau mobilă (de exemplu - familia TMS320 a firmei Texas Instruments), procesoare de semnal cu resurse de microcontroler TMS320F240, procesoare cu set redus de instrucţii (RISC), procesoare specializate pe aplicaţie, sau microcontrolere pe 16 biti (de exemplu familia MCS'96 a firmei INTEL). În paragraful 3.2.3 s-a arătat că prin introducerea blocului de decuplare curent-tensiune dat de relaţiile (3.2.3-2), în cazul ideal, se obţine o decuplare totală a subsistemului electromagnetic de cel mecanic. Subsistemul electromagnetic se reduce la un sistem liniar cu două canale independente, decuplate intrare-ieşire de tip PT1 (3.2.3-3) pentru cele două axe d,q. Această realizare asigură performanţe dinamice îmbunătăţite, în special privind răspunsul la perturbaţii de cuplu, şi o proiectare simplă a regulatoarelor de turaţie şi de flux, cu toate că decuplarea este dependentă de estimarea parametrilor electromagnetici.

3.3. Conducere vectorială directă în cuplu şi flux Sistemele de conducere vectorială în curent şi cele cu orientare după câmp au la bază criterii de optim pentru elaborarea vectorului de curent prescris i* funcţie de cerinţa de cuplu Te*. La turaţii ridicate, la trecerea din zona de cuplu constant în zona de putere constantă (slăbire de câmp) apar însă întârzieri în răspunsul în curent datorită intrării în limitare a regulatoarelor de curent din cauza reducerii rezervei de tensiune a invertorului. Ca urmare apar degradări ale performanţelor de regim dinamic şi staţionar. O rezolvare a acestei probleme constă în folosirea conducerii combinate curent-tensiune, dar cu un efort de calcul ridicat şi unele probleme la trecerea dintr-un regim în altul [Mori90b], [Bold92], [Mori94c]. Conducerea vectorială directă în cuplu şi flux (CVDCF) conduce direct cuplul electromagnetic şi vectorul flux folosind un tabel al comutaţiilor optime pentru comanda invertorului de tensiune. Această metodă inginerească asigură un răspuns rapid, o funcţionare în gamă extinsă de turaţii, o rejectare eficientă a perturbaţiilor şi o implementare relativ simplă. Metoda CVDCF este de dată relativ recentă, a fost aplicată mai întâi de I. Takahashi la conducerea maşinii de inducţie cu rotor în colivie [Taka86], fiind generalizată de I. Boldea pentru conducerea oricărei maşini electrice [Bold88]. Companii de renume în domeniul acţionărilor industriale ca ABB au introdus recent CVDCF [Nash97]. În [Bold91a] se prezintă CVDCF pentru o maşină sincronă cu reluctanţă variabilă, cu simulări extensive. Aplicaţii ale CVDCF la MSMP sunt de dată recentă: [Andr94a], [Andr95], [Andr96a], [Fren96b], [Zhon97], [Rahm97], fapt confirmat şi de lucrarea de referinţă asupra stadiului conducerii acţionărilor cu MSMP [Jahn94] în care CVDFC a MSMP nu apare.

3.3.1. Principiul conducerii vectoriale directe în cuplu şi flux. Structura de conducere Schema de principiu a CVDCF este prezentată în fig.3.3.1_1 [Bold92]. CVDCF are la bază conducerea directă a maşinii după cele două mărimi esenţiale - cuplul Te şi fluxul λ, prin regulatoare bipoziţionale sau tripoziţionale cu histereză care comandă direct (Sabc) vectorul tensiunii statorice livrat către invertorul de tensiune (INV) prin intermediul unei tabel al comutaţiilor optime.

Ideea fundamentală a CVDCF se concretizează prin două aspecte majore: i) Maşina se conduce urmărind două deziderate esenţiale concretizate prin bucle

de reglare independente pentru cuplu şi flux statoric, bucle care lucrează în paralel;

ii) Elementul de execuţie final este invertorul de tensiune care este comandat în

ultimă instanţă prin selecţia stării cheilor din puntea trifazată.

Tabelcomutaţiioptime

(tab.1-1)

INV MSMP

Estimatoareλ^, Te^ şi θiλ^

Te*

Te^

-

-

λ*

τ

φ

θi , i = 1…6

Sabc

is

us

/3

/

/2

3/

/1

Vdc

θ2

/2

Fig.3.3.1_1. Schema de principiu a CVDCF

Problema fundamentală care se pune la CVDCF este: care este dependenţa dintre tendinţele de modificare pentru cuplu şi flux - livrate de sistemul de conducere - şi starea cheilor invertorului de tensiune?

Pentru aceasta, să analizăm mai întâi funcţionarea invertorului de tensiune al cărui model a fost prezentat în paragraful 2.4 şi este reluat concis în fig.3.3.1_2. Se defineşte funcţia de comutare binară Sa ∈ {0, 1} pentru faza a astfel: Sa = 1 atunci când cheia Sa este închisă la plusul sursei de alimentare; Sa = 0 atunci când cheia Sa este închisă la minusul sursei. Cheia Sa este un comutator basculant realizat fizic din cele două tranzistoare de pe un braţ al punţii trifazate corespunzatoare fazei a. În mod similar se definesc şi celelalte funcţii de comutare binare Sb şi Sc. Funcţie de starea celor trei funcţii Sa,Sb,Sc se pot genera opt vectori discreţi de tensiune

45

statorică us = 2/3 Vdc e j (k -1) π/3, k = 1..6, adică Vk (Sa,Sb,Sc) cu k = 0..7, dintre care şase vectori au modul constant şi poziţii fixate succesiv cu π/3 în planul refenţialului αβ (fig.3.3.1_3a), iar doi vectori sunt nuli: V0 (0,0,0) şi V7 (1,1,1).

Sb Sc

Vdc

ca

bSa

=+

10 0

1 10

-

Fig.3.3.1_2. Model invertor de tensiune

Componentele vectorului tensiune statorică us în referenţialul statoric abc se pot exprima analitic într-o forma concisă funcţie de starea comutatoarelor Sa, Sb, Sc şi de tensiunea continuă de alimentare a invertorului Vdc [Xue 91].

uuu

Va

b

c

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=SSS

dca

b

c

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥3

2 -1 -1-1 2 -1-1 -1 2

(3.3.1-1)

În referenţialul statoric αβ componentele vectorului us se determină din (3.3.1-1) cu ajutorul transformării de coordonate abc>αβ rezultând:

uu

Va

b

dc⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

3

SSS

a

b

c

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2 -1 -1

0 3 - 3 (3.3.1-2)

Relaţiile (3.3.1-1) sau (3.3.1-2) modelează invertorul de tensiune într-o formă simplificată (vezi şi paragraful 2.4), utilă în simulări şi în proiectare. S-a neglijat timpul mort al invertorului, frecvenţa de comutaţie a acestuia fiind de ordinul zecilor de kHz, tipic 10-20 kHz.

Principiul CVDCF are la bază ecuaţia vectorială a tensiunii exprimată în referenţialul αβ.

λs° = us - R is , λs(0) = λs0 (3.3.1-3)

Dacă R is << us, relaţie valabilă la turaţii nu prea mici, se poate neglijea R is şi prin integrarea relaţiei (3.3.1-3) rezultă relaţia vectorială care arată evoluţia vectorului λs funcţie de us.

46

47

us dtt

0∫

α

λs = λs0 + (3.3.1-4)

În intervalul de timp t ∈ [0, t1) dintre două comutaţii succesive ale invertorului, vectorul discret de tensiune us = us(Sa, Sb, Sc) este constant ca amplitudine şi orientare fiind fixat de starea cheilor invertorului Sa, Sb, Sc şi prin urmare relaţia (3.3.1-4) devine:

λs = λs0 + us ( Sa, Sb, Sc ) t , t ∈ [0, t1) (3.3.1-5) Această relaţie vectorială fundamentală pentru CVDCF reprezintă legătura vectorială directă dintre evoluţia fluxului statoric şi starea comutatoarelor invertorului de tensiune. Planul αβ în care evoluează vectorul de tensiune us se împarte, într-o primă aproximaţie, în şase sectoare θi, i = 1...6. Fiecare sector este de π/3 radiani şi are ca bisectoare vectorul Vi corespunzator (fig.3.3.1_3a). Fie spre exemplu situaţia când vectorul flux λs0 se află în sectorul θ1. Vectorii optimi de tensiune us = Vi (Sa, Sb, Sc) posibil a fi aplicaţi şi efectele lor privind evoluţia vectorului flux statoric λs dată de relaţia (3.3.1-5) şi a cuplului electromagnetic sunt prezentaţi în fig.3.3.1_3b [Bold92]. Dacă se aplică un vector de tensiune nul, din (3.3.1-5) rezultă: λs = λs0, deci fluxul se opreşte păstrând o amplitudine constantă. În realitate modulul fluxului descreşte lent datorită termenului Ris, care a fost neglijat în (3.3.1-5) şi în consecinţă cuplul descreşte lent. Concluziile care rezultă din analiza figurii 3.3.1-3b, considerând cazul general când λs0 se află în sectorul θi, sunt [Andr94a]: i) Vectorul de tensiune din sectorul θi şi cel opus acestuia nu se folosesc pentru că

nu discriminează în mod univoc, pe întreg sectorul θi, cerinţa de evoluţie a cuplului.

V2

V6

V3

V5

λs0

β

θ1

ω

Te↑, λ↑Te↑, λ↓

Te↓, λ↓

Te↓, λ↑θ2

Fig.3.3.1_3b. Vectorii optimi de tensiune şi efectele lor asupra evoluţiei Te şi λs

V4(0,1,1)V1(1,0,0)

β

V3(0,1,0)

V5(0,0,1) V6(1,0,1)

V2(1,1,0)

α, a

θ2

θ4

θ5

θ3

b

c

θ1

θ6

Fig.3.3.1_3a.Vectorii discreţi Vi(Sa Sb Sc)

48

ii) Pentru accelerarea cuplului în sensul de rotaţie dat se aleg vectorii de tensiune din primele două sectoare care urmează lui θi în acest sens, respectiv în sens opus - pentru decelerare.

iii) Pentru creşterea fluxului statoric se aleg vectorii de tensiune imediat vecini sectorului θi, iar pentru descreşterea fluxului se aleg vectorii mai îndepărtaţi de sectorul θi.

Comanda directă a comutatoarelor invertorului de tensiune se realizează prin alegerea optimă a tripletului (Sa, Sb, Sc) funcţie de: 1) - eroarea de cuplu, aplicată de exemplu unui regulator tripoziţional cu histereză

cu ieşirea τ (1, 0, -1); 2) - eroarea de flux, aplicată de exemplu unui regulator bipoziţional cu histereză cu

ieşirea φ (1, 0); 3) - sectorul θi, i = 1...6 în care se află vectorul flux λs. Convenţiile privind acţiunea dorită a variabilelor de la ieşirea regulatoarelor sunt: τ = 1 - cuplul va creşte; τ = 0 - cuplul rămâne nemodificat; τ = - 1 - cuplul va descreşte. φ = 1 - fluxul va creşte, φ = 0 - fluxul va descreşte. Luând în consideraţie concluziile privind alegerea vectorilor de tensiune statorică us = Vi (Sa, Sb, Sc) funcţie de cerinţele de evoluţie ale cuplului şi fluxului (fig.3.3.1_3b), rezultă tabelul 3.3.1-1 de comutaţii optime. Tabelul se poate implementa într-o memorie care are ca intrări şase biţi de adresă (doi biţi pentru τ; un bit pentru φ, şi trei biţi pentru θi) şi care are ca ieşiri trei biţi de dată care indică starea comutatoarelor invertorului (Sa, Sb, Sc). Tabelul 3.3.1-1. Tabel de comutaţii optime

φ,τ θi θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

τ = 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 φ = 1 τ = 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 τ = -1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 φ = 0 τ = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 τ = 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 τ = -1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1

Observaţia 3.3.1-1. Tabelul 3.3.1-1 este valabil atât pentru maşina de inducţie cu rotor în colivie [Taka86], pentru maşina sincronă cu reluctanţă variabilă [Bold91a], cât şi pentru MSMP [Andr94a] deoarece statorul acestor maşini este în principiu identic, iar CVDCF conduce maşina luând în considerare fluxul statoric.

49

Observaţia 3.3.1-2. Dacă în scopul obţinerii unui răspuns rapid şi robust în bucla de mişcare se folosesc algoritmi de reglare cu moduri alunecatoare (sliding mode) cu funcţia de comutare tip releu bipoziţional, atunci regulatorul de cuplu poate lipsi. Variabila τ se va lua de la ieşirea regulatorului de mişcare şi deci este implicit de forma τ(1, 0). În acest caz regulatorul de flux se poate modifica din regulator bipoziţional cu histereză în tripoziţional cu histereză. Pentru această situaţie rezultă un alt tabel al comutaţiilor optime obţinut în mod similar [Bold91a].

Observaţia 3.3.1-3. În scopul unui control mai fin al vectorului λs numărul de sectoare θi se poate extinde, de exemplu: la 12 [Bold92], sau la 24 [Kazm91].

Frânarea recuperativă este asigurată direct, fără intervenţie în schemă, prin simpla reducere a prescrierii de turaţie, fapt care duce la o referinţă de cuplu Te* de semn opus. Pentru MSMP apare problema estimării poziţiei iniţiale a fluxului magnetului permanent, deci a axei d. O soluţie simplă este ca la pornire să se comande invertorului de tensiune cu un vector de tensiune predeterminat fixat, de exemplu V1(1,0,0), aplicat repetitiv în impulsuri cu durata de câteva milisecunde, fapt care va aduce rotorul într-o pozitie cunoscută, în acest caz θ = 0. La pornirea acţionării, mai întâi se fixează prescrierea de turaţie la zero până când fluxul statoric ajunge la o valoarea impusă, adică până când bucla lentă de reglare a fluxului ajunge în regim permanent. După aceea se aplică prescrierea de turaţie dorită. Cum CVDCF conduce direct maşina în cuplu, şi după modulul şi poziţia fluxului statoric, prin urmare este necesară estimarea cuplului şi a vectorului flux. 3.3.2. Estimarea fluxului şi a cuplului Estimarea fluxului şi a cuplului electomagnetic se poate face în două moduri funcţie de modelele matematice ale MSMP folosite în cele două referenţiale: (i) referenţialul rotoric dq, sau (ii) referenţialul statoric αβ. i) Estimator de flux în referenţialul rotoric dq Considerând MSMP fără colivie de amortizare, estimata vectorului flux λ^ este dată de (3.3.2-1) cu componentele (3.3.2-2). Estimata modulului λ^ şi estimata unghiului γ^ al fluxului λ^ faţă de axa reală d rezultă din (3.3.2-3).

λ^ = λ0o + Ldo id + j Lqo iq (3.3.2-1)

λd ^ = λ0o + Ldo id , λq^ = Lqo iq (3.3.2-2)

$ $λ λd q2 2+

( u Rα −∫ ( )du R i tβ β

λ^ = , γ^ = arcsin (λq^ /λ^) (3.3.2-3)

Curenţii id, iq se obţin din curenţii statorici măsuraţi utilizând transformările de coordonate: abc>αβ>dq. Sectorul θi unde se află vectorul flux estimat se determină în referenţialul αβ din unghiul de poziţie θλ^ al lui λ^ care este θλ^ = θ + γ^, θ fiind poziţia electrică măsurată a rotorului. Estimata cuplului electromagnetic Te ^ se calculează din relaţia:

Te ^ = 3/2 p iq [ λ0o - ( Lqo - Ldo) id ] , Lqo > Ldo (3.3.2-4) Transformarea de rotaţie αβ>dq utilizată la determinarea în referenţialul rotoric dq a vectorului curent statoric is(id, iq) necesită cunoaşterea poziţiei θ provenită, de exemplu, de la un traductor de poziţie de tip TIRO sau rezolver. Observaţia 3.3.2-1. Pentru determinarea unghiului γ^ s-a utilizat funcţia arcsin şi nu arctg pentru că argumentul celei dintâi este cuprins în intervalul [0, 1], pe când la cea de-a doua argumentul este cuprins între [- ∞, ∞). Cum aceste funcţii sunt de obicei tabelate în memorii, rezultă o precizie mult mai bună de reprezentare pentru arcsin comparativ cu arctg pentru aceeaşi capacitate de memorie folosită. ii) Estimator de flux în referenţialul statoric αβ În acţionările mai puţin pretenţioase privind turaţiile mici, în scopul scăderii costului acţionării, estimarea fluxului şi cuplului se realizeză în referenţialul statoric αβ, fapt care nu necesită un traductor de poziţie. Din ecuaţia de tensiune (3.3.1-3) rezultă estimatele componentelor vectorului flux λs^(λα^, λβ^) (3.3.2-5), estimatele modulului λ^ precum şi a poziţiei θλ^ vectorului flux fiind date în (3.3.2-6). λα^ = , λ)di tα β^ = −∫ (3.3.2-5)

$ $λ λα β2 2+λ^ = , θλ^ = arcsin (λβ^ / λ^) (3.3.2-6)

La turaţii mici, apar probleme aferente integratoarelor pure (3.3.2-5) datorită modificării rezistenţei R cu temperatura, precum şi datorită prezenţei offsetului la măsurarea curenţilor şi tensiunilor. Pentru estimări mai precise se pot folosi următoarele procedee: se ia în consideraţie dependenţa rezistenţei statorice R cu temperatura; se înlocuiesc integratoarele cu elemnte PT1 cu erorile de aproximare corespunzătoare; se folosesc estimatoare şi observatoare de flux prezentate în paragraful 4.2.

50

51

Estimata cuplului electromagnetic Te ^ este dată de relaţia:

Te ^ = 3/2 p ( λα^ iβ - λβ^ iα ) (3.3.2-7)

Curenţii şi tensiunile în referenţialul statoric αβ se obţin din curenţii şi tensiunile fazelor a,b,c cu ajutorul transformării de coordonate abc>αβ. Pentru determinarea vectorului curent statoric is sunt necesare doar două traductoare de curent pe faze, deoarece curenţii ia, ib, ic nu sunt liniar independenţi. Pentru configuraţia în stea, aceşti curenţi satisfac relaţia: ia + ib + ic =0. Observaţia 3.3.2-2. Vectorul tensiune statorică us poate fi determinat conform relaţiilor (3.3.1-1), (3.3.1-2) fără a folosi traductoare de tensiune pe faze, măsurând eventual doar tensiunea continuă Vdc de la intrarea invertorului de tensiune. Tensiunile pe faze ua, ub, uc sunt fixate de tripletul stărilor comutatoarelor invertorului de tensiune Sa, Sb, Sc, stări pe care sistemul de conducere le comandă, deci implicit aceste stări se cunosc. Apare însă ca problemă considerarea compensării, în principal, a tensiunii de saturaţie a elementelor de comutaţie şi a timpului mort al invertorului. O altă variantă pentru determinarea vectorului us este folosirea a doar două traductoare de tensiune pe faze, din considerente similare cu cele prezentate la determinarea vectorului is. Observaţia 3.3.2-3. Pentru cazul estimării fluxului şi cuplului în referenţialul statoric αβ, în relaţiile (3.3.2-5) - (3.3.2-7) nu intervin inductanţe şi nici fluxul magnetului permanent λ0. Rezultă că aceste relaţii includ fenomenul de saturaţie a circuitelor magnetice ale MSMP, şi deci se recomandă din acest punct de vedere implementarea cu varianta (ii). Observatia 3.3.2-4. Pentru determinarea tabelului comutaţiilor optime pentru invertorul de tensiune este necesară doar cunoaşterea numărului asociat sectorului de π/3 radiani θi, i = 1..6 unde se afla λs^. Aceasta se poate realiza prin compararea θλ^ = arctg (λβ^/λα^) cu limitele impuse pentru fiecare sector. O soluţie simplă constă numai în compararea semnelor pentru λα^ , λβ^ şi (√3 |λβ^| - |λα^|), astfel că sectorul θi se obţine din tabelul 3.3.2-1 [Bold92].

Tabel 3.3.2-1. Determinarea sectorului θ i

sign λα^ + + - - - + sign λβ^ + + - - sign (√3 |λβ^| - |λα^|) - + + - + + θ i θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 θ 5 θ 6

În concluzie, structurile de calcul pentru estimatoare de flux λ^, cuplu Te ^ şi sector θi, corespunzător metodelor (i) şi (ii) sunt prezentate în figurile 3.3.2_1a, respectiv 3.3.2_1b. Estimările în referenţialul rotoric dq depind de parametrii electromagnetici: λ0, Ld, Lq şi necesită cunoaşterea poziţiei θ. Estimările în referenţialul statoric αβ depind de rezistenţa statorică R, necesită cunoaşterea tensiunii statorice us , dar prezintă probleme cu integratoarele pure. 3.3.3. Concluzii Sistemele de conducere vectorială directă în cuplu şi flux CVDFC pentru MSMP sunt puţin tratate în literatura de specialitate fiind de dată foarte recentă, autorul aplicând pentru prima dată principiul CVDCF la conducerea MSMP. O problemă esenţială este estimarea fluxului şi a cuplului electromagnetic într-o gamă largă de turaţii, în special la turaţii mici. Performanţe comparative între răspunsul în cuplu cu CVDCF şi cu conducerea vectorială cu orientare după câmp (CVOC) pentru o maşină de inducţie cu rotor în colivie de 1 kW arată că răspunsul este rapid în ambele cazuri, dar cu aproximativ 30% mai lent în cazul CVDCF (tr ≅ 4 ms), dar în schimb pulsaţiile în cuplu sunt mai mici fiind controlate direct [Taka86]. În cazul unei maşini sincrone cu reluctanţă variabilă de 1,5 kW cu CVDCF şi regulator de turaţie cu moduri alunecatoare [Bold91a], rezultatele simulării arată că se asigură o conducere robustă într-o gamă extinsă de turaţie (0,2 - 12.000 rpm) fără o adaptare specială a structurii. Pentru o MSMP de 0,5 kW cu CVDCF, rezultatele de simulare [Andr94a] dovedesc un răspuns rapid în cuplu. Utilizarea unor observatoare robuste de flux şi cuplu electromagnetic cu modele combinate de tensiune şi curent [Andr95], [Andr96a], prezentate în paragraful 4.2.3, asigură performanţe ridicate ale acţionării inclusiv la turaţii mici şi la variaţii reale în limite largi ale parametrilor acţionării.

Problemele care pot fi îmbunătăţite la conducerea MSMP cu CVDCF sunt: • estimarea mai exactă a fluxului şi a cuplului electromagnetic cu ajutorul

52

us

Ro (3.3.2-5)(3.3.2-6)(3.3.2-7)b(3.3.2-1)Ta

λ^Te^θi

is

-

(3.3.2-2)(3.3.2-3)(3.3.2-4)λs^

iP(-θ)

is

θ

λ^Te^θi

Fig.3.3.2_1a. Estimatoare în αβ Fig.3.3.2_1b. Estimatoare în dq

53

observatoarelor de stare, în special la turaţii mici (cap. 5); • îmbunătăţirea tabelului comutaţiilor optime prin considerarea unui număr mai

mare de sectoare θi analizate; • utilizarea suplimentară a unei modulări în durată PWM, cu folosirea vectorului

de tensiune zero în cadrul unei perioade de eşantionare, în scopul îmbunătăţirii pulsaţiilor de curent în special la turaţii mici;

• compensarea timpului mort al invertorului; • utilizarea informaţiilor de curent continuu (Vdc, Idc ) de la intrarea invertorului

de tensiune - doar două traductoare, asociate cu starea comutatoarelor invertorului în scopul estimării curenţilor şi tensiunilor statorice;

• conducerea fără traductoare de mişcare (cap. 8).

4. ESTIMATOARE DE VITEZĂ ŞI ACCELERAŢIE

Estimarea stării constituie o problemă majoră în conducerea performantă a acţionărilor electrice. Problema se pune în cazul când aceste mărimi nu sunt măsurabile, sau se doreşte funcţionarea fără traductoare de mărimi specifice. Estimatoarele au la bază modele ale proceselor conduse. Funcţia lor este de a estima mărimi nemăsurabile din alte mărimi măsurabile.

Estimatoarele se pot clasifica în două categorii principale: i) estimatoare fără corecţie (fără reacţie), sau mai pe scurt - estimatoare. ii) estimatoare asimptotice sau observatoare (cu reacţie) care dispun de o

corecţie predictivă în scopul asigurării unei convergenţe mai rapide şi a unei mai bune robusteţi de estimare la variaţia parametrilor sistemului şi la perturbaţii exogene.

În conducerea specifică a MSMP, funcţie de cerinţe, se întâlnesc următoarele tipuri de estimatoare care se prezintă, se analizează şi se dezvoltă în capitolele următoare:

1. Estimatoare de viteză şi acceleraţie din poziţia măsurată (cap. 4) care se folosesc în regulatoare de mişcare - poziţie / viteză, regulatoare după stare, regulatoare cu moduri alunecatoare, etc.;

2. Estimatoare de poziţie şi viteză din curenţi şi tensiuni statorice măsurate care se folosesc în conducerea fără traductoare de mişcare (cap. 8);

3. Estimatoare de flux şi cuplu electromagnetic (cap. 5) care se folosesc în conducerea vectorială cu orientare după câmp şi conducerea vectorială directă în cuplu şi flux (cap. 7);

4. Estimatoare de perturbaţii (cap. 6) care se folosesc în compensatoare de perturbaţie echivalentă.

În practica conducerii acţionărilor electrice este necesară deseori estimarea derivatelor unor mărimi măsurabile, spre exemplu estimarea vitezei ω şi acceleraţiei ε din informaţia de poziţie θ. Aceste estimatoare se prezintă în capitolul de faţă.

53

ω θ ε θ= & , && = (4.1-1)

Câteva cazuri concrete unde se folosesc aceste estimări sunt: regulatoare de poziţie şi/sau de viteză, regulatoare după stare, regulatoare cu moduri alunecătoare, sisteme de conducere fără traductoare specifice, etc. 4.1. Estimatoare de derivate de ordin m cu tehnica filtrării O soluţie pentru a obţine estimatele vitezei ω^ şi acceleraţiei ε^ din informaţia de poziţie măsurată θ este utilizarea operatorului de derivare. Se prezintă două direcţii de abordare pentru estimatoare de derivate de ordin m - în caz general.

i) Cum elementul de derivare ideal de ordin m nu este fizic realizabil datorită caracterului său pur anticipativ, se utilizează elementul de derivare real. Acesta poate fi considerat ca o înseriere de două elemente de transfer: un filtru trece-jos de ordin n (PTn), urmat de un element derivator pur sm de ordin m, cu n ≥ m.

ii) Orice mărime fizică măsurată din proces este necesar a se filtra pentru a reduce efectul perturbaţiilor asupra măsurătorilor. Deci implicit pe calea de măsură există un filtru, în caz general de ordin n (PTn). Pentru a obţine derivata de ordin m a mărimii măsurate, de data aceasta şi filtrate, se conectează în serie cu filtrul un element de derivare ideal de ordin m.

54

prezentate conduc laÎn concluzie, cele două abordări

schema bloc a estimatorului de derivată de ordin m prezentată în fig.4.1_1. Funcţia de transfer echivalentă a estimatorului de derivată de ordin m este:

y^FiltruPTn

Derivatorpur sm

y y^(m)

Fig.4.1_1. Estimator derivată ordin m

$

...y

ya

a a

m m

nn

n

( ) ss s s

=+ + +−

−0

11

22 a a

n ms +

, +

≥1 0

(4.1-2)

O realizare a funcţiei de transfer (4.1-2), cu proprietăţi deosebit de utile, este dată de forma canonică controlabilă prezentată în fig.4.1_2. Cazul limită se obţine pentru m = n.

a0a1a2an -1

yyy^(2)y^(n -1)y^(n)

y^^(1)

-a0

Fig. 4.1_2. Estimator de derivate - formă canonică controlabilă

Observaţia 4.1-1. Se remarcă faptul că realizarea din fig.4.1_2 generează nu numai estimata pentru derivata de ordin m, ci şi toate estimatele de derivată de ordin 1...(n-1), precum şi mărimea măsurată filtrată. În cazul m = n estimata y(n) este cea mai sensibilă la perturbaţii deoarece se obţine la ieşirea sumatorului care are ca intrare mărimea măsurată y. O soluţie care elimină acest dezavantaj este utilizarea unui estimator (4.1-2) cu n > m, de exemplu n = m+1.

În fig.4.1_3a şi fig.4.1_3b se prezintă două cazuri particulare pentru estimatoare de derivată de ordin 1 şi respectiv 2, cazuri care rezolvă problema prezentată în relaţia (4.1-1): estimarea ω^ şi ε^ din θ. Coeficienţii filtrelor sunt notaţi în conformitate cu forma standard pentru elemente tip PT1 şi PT2.

θ ω^

ω0

ω0

θ^

-

ε^ ω^

ω20

ω20

θ^θ

-2ξω0

Fig.4.1_3a. Estimator derivată ordin 1 Fig.4.1_3b. Estimator derivată ordin 1-2

Proiectarea estimatorului dat de relaţia (4.1-2) se realizează printr-o alocare adecvată a polilor şi anume: spectrul estimatorului trebuie să fie situat la stânga spectrului sistemului condus, în semiplanul stâng operaţional "s", pentru a realiza o estimare rapidă a valorilor dorite, dar nu exagerat spre stânga pentru a nu amplifica zgomotele din semnalul măsurat. O realizare a estimatorului general de derivată de ordin m din fig.4.1_2 se regăseşte şi în [Buhl86], unde este utilizat în conducerea cu moduri alunecătoare. Ideea prezentată în acest paragraf de obţinere a estimatorului general de derivată de ordin m utilizând un filtru de rejecţie a perturbaţiilor pentru mărimea măsurată înseriat cu un derivator ideal (vezi fig.4.1_1) şi implementarea acestuia folosind forma canonică controlabilă este naturală, inginerească şi mai directă.

55

4.2. Estimatoare de derivată de ordin 1 cu metode de integrare numerică O altă soluţie pentru determinarea derivatei de ordinul 1 este folosirea metodelor de integrare numerică, unde funcţia de sub integrală (integrantul) este aproximată printr-un polinom de aproximare de ordin N care utilizează valorile eşantionate ale integrantului. Estimatoare de derivată de ordin 1 în domeniul timp discret, care utilizează un polinom de aproximare de grad N, au expresiile (4.2-1) [Vanl85] de o deosebită frumuseţe matematică:

56

$&yyN

N

N=− +

− +

Z[s ]Z[s ]

( )

( )

1

2 , N = 0, 1, 2,... (4.2-1)

Cazurile particulare pentru N = 0, 1, 2 conduc la reguli de integrare cunoscute: regula dreptunghiului întârziată, regula trapezului (Tustin), formula lui Simpson [Prei92], [Drag87]. În tabelul 4.2-1 sunt date transformatele Z ale integratoarelor pure s-i, i = 1...6 în vederea utilizării în relaţia (4.2-1) pentru estimarea derivatei de ordinul 1, unde h este perioada de eşantionare folosită. Tabel 4.2-1. Transformatele Z [s-i]

s-i Z [s-i] s-1 z (z - 1)-1

s-2 hz (z - 1)-2

s-3 (1/2)h2 z (z + 1) (z - 1)-3

s-4 (1/6) h3 z (z2 + 4z + 1) (z - 1)-4

s-5 (1/24) h4z (z3 + 11z2 + 11z + 1) (z - 1)-5

s-6 (1/120) h5z (z4 + 26z3 + 66z2 + 26z + 1) (z - 1)-6

4.3. Estimatoare de viteză momentană cu aproximări polinomiale Problema care se pune este de a estima viteza momentană din viteza medie pe o perioadă de eşantionare

$ωω , aceasta fiind obţinută prin prelucrarea

impulsurilor provenite de la un traductor de poziţie de tip incremental rotativ optic (TIRO).

În procesele tranzitorii, în cazul folosirii vitezei medii ω apare o întârziere între viteza reala ω şi viteza medie ω . Această întârziere duce la înrăutăţirea stabilităţii sistemului în cazurile când se cere un răspuns rapid în viteză, ca de exemplu în aplicaţiile unde există un cuplu de sarcină cu vibraţii mecanice accentuate cum ar fi în acţionări pentru maşini unelte, roboţi industriali, mori de ciment, etc. Pentru a înlătura aceste dezavantaje este necesară estimarea vitezei momentane din viteza medie $ω . ω Ideea fundamentală de obţinere a estimatei $ω are la bază ipoteze apriorice privind evoluţia vitezei reale ω între puncte succesive eşantionate rezultând estimatoare cu predicţie. 4.3.1. Evoluţii polinomiale ale vitezei

O primă soluţie pentru a estima viteza momentană $ω din valori ale vitezei medii o constituie considerarea unei evoluţii polinomiale a vitezei [Sait88]. ω

valoarea medie a vitezei într-o perioadă de eşantionare h la pasul k : Fie ω k

57

ω ωkt

t

ht dt

k

k

=−

∫1

1

( ) , h = tk - tk-1 (4.3.1-1)

unde h este perioada de eşantionare constantă utilizată în bucla de reglare a vitezei. Având în vedere această ipoteză, se poate reconstitui viteza momentană ωk la pasul k din valori măsurate ale vitezei medii ω k i− , i = 0...N, unde N este gradul polinomului de aproximare. a1) Estimator de ordin 1

Se consideră că evoluţia ω(t) între două puncte succesive de eşantionare este liniară: ω(t) = at + b (4.3.1-2)

Ecuaţiile în timp discret pentru ω k şi ωk -1 se obţin din (4.3.1-1) şi (4.3.1-2) funcţie de ωk , după care se determină ω k −1

$ω1k

funcţie de ωk , rezultând în final estimata .

ω ωk kah

= −2

, ω ω k ah= − k-1

$ω ω ω1 112

3k k k= −( ) ω ω ω 112k k k= + −− −( ) (4.3.1-3)

a2) Estimator de ordin 2

Se consideră că evoluţia ω(t) între trei puncte succesive eşantionate este parabolică: ω(t) = at2 + bt + c (4.3.1-4)

Similar ca în cazul a1), se determină din (4.3.1-1) şi (4.3.1-4) ω k şi ωk -1 funcţie de ωk , după care se determină şi ω k −1 ω k −2 funcţie de ωk , se elimină apoi a, b şi tk rezultând în final . $ω2k

ω ω ωk k k kaht ah bh= − + − −13

12

21, ω k kaht ah bh= − + −2 2

$ω ω16

11 ω ω2 1 27 2k k k k= − +− −( )

$ω3k

(4.3.1-5)

a3) Estimator simplificat de ordin 2

Utilizarea relaţiei (4.3.1-5) necesită trei înmulţiri. În scopul reducerii timpului de calcul şi având în vedere relaţia (4.3.1-3), se propune estimatorul simplificat de ordinul 2 , în calcule fiind necesară doar operaţia de deplasare:

$ω ω ω ω ω ω3 112

12k k k k k= + − + −( ) [( ω ω1 1 2k k k− −− − − −] ( )],

$ 12

(ω ω ω ω3 1 23k k k k= − − −4 + )

$

(4.3.1-6)

Performanţele comparative ale celor trei estimatoare de viteză momentană prezentate se analizează în domeniul frecvenţă în timp discret. Se introduce parametrul m care reprezintă numărul de determinări ale vitezei ω într-o perioadă T a semnalului sinusoidal aplicat la intrarea estimatorului, h fiind perioada de eşantionare. m = T / h (4.3.1-7) Conform teoremei eşantionării a lui Shanon m ≥ 2.

Analiza caracteristicilor de frecvenţă (atenuare şi fază) conduce la următoarele observaţii:

• pentru m∈[2,5) atenuarea este supraunitară iar întârzierea de fază este pronunţată, estimarea fiind nesatisfăcătoare pentru toate cele trei estimatoare;

• pentru m∈[5,10] estimatoarele de ordin 2 au caracteristici apropiate şi au o comportare satisfăcătoare practic, fără întârzieri de fază;

• pentru m > 10 toate cele trei estimatoare au o comportare practic ideală.

58

În concluzie, se recomandă: i. alegerea unei perioade de eşantionare h cât mai mici astfel ca pentru cazul cel

mai defavorabil (pentru frecvenţa maximă a perturbaţiilor cuplului de sarcină) să fie îndeplinită relaţia: m ≥ 5;

ii. utilizarea estimatoarelor de ordin 2: (a2) şi (a3), cel mai bun fiind (a2).

Utilizarea acestor estimatoare micşorează timpul de răspuns al buclei de viteză şi reduce substanţial, spre exemplu cu 50% [Sait88], efectul vibraţiilor mecanice asupra vitezei reale ω. 4.3.2. Aproximări polinomiale utilizând dezvoltări în serie Taylor

59

$ O a doua soluţie pentru a estima viteza momentană ω din valori ale vitezei medii ω o constituie aproximările polinomiale ale evoluţiei vitezei utilizând dezvoltări în serie Taylor [Brow92]. Viteza medie ω de la TIRO are expresia: k ω k kx Tk k k kT t t= = − −, 1Δ / (4.3.2-1)

unde: Δxk reprezintă numărul de impulsuri contorizate de la TIRO, într-un interval de timp Tk . Prin normarea expresiei (4.3.2-1) rezultă două metode de determinare a vitezei medii: a1) metoda măsurării frecvenţei (MF) pentru care: T 1 x x tk k k k= =, , ( )ω Δ (4.3.2-2) a2) metoda măsurării perioadei (MT) pentru care: Δx Tk k k= = t x T t tk k k k= − −1), 1 1, / , (ω (4.3.2-3)

Metoda expusă în continuare determină derivata unei funcţii x(tk) sau t(xk), în ipoteza că funcţia se aproximează cu un polinom de grad N care trece exact prin valorile funcţiei, pentru valori specificate ale argumentului funcţiei. În cazul metodei MF, xk (t) şi dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei xk - i în jurul valorii k este:

x x i dxdt

ik i k− = + − + −( )

1!( )

2!d xdt

i d xdt

k k k+ − +( )3!

...2 32

2

3

3

, ,...k k k Nf x x x− −( )1

$

(4.3.2-4)

Prin particularizarea relaţiei (4.3.2-4) pentru i = 1...N şi trunchierea derivatelor de ordin superior lui N, se obţine un sistem de N ecuaţii având ca necunoscute derivatele de ordin 1...N. Din acest sistem rezultă derivata de ordin 1 dxk /dt prin eliminarea derivatelor de ordin superior. Estimata de ordin N a vitezei momentane este: $ /ω k kdx dt≅ = (4.3.2-5)

Având în vedere că Δxk = xk - xk -1, rezultă expresiile estimatei ω k

$

de ordin i = 1...3 cu metoda MF, expresii prezentate în tabelul 4.3.2-1 coloana din dreapta. Tabel 4.3.2-1. Estimatele vitezei ω k de ordin 1...3 obţinute cu metodele MT şi MF

ordin MT ( Δxk = 1 ) MF ( Tk = 1 ) 1 $ω k $= 1 /Tk ω k = Δxk

2 $ω k $= 1 /Tk + 1/2 (1 /Tk - 1 /Tk -1) ω k = Δxk + 1/2 (Δxk - Δxk -1)

3

60

$ / / // / / /

ω k k k k

k k k

/

k

k k

k

T T TT T T

TT T

T

= + − +

− − −−

− − −

−

1 1 2 1

81 1 1 1

1

1 1 2

1

( )

( )

$1

ω k = Δxk + 1/2 (Δxk - Δxk -1) + + 1/8 (Δxk - 2Δxk -1 + Δxk -2)

În cazul metodei MT se consideră tk (x) şi pentru a obţine estimatele ω de ordin i = 1...3, se înlocuieşte în expresiile obţinute cu metoda MF: x cu t şi Δx cu T [Brow92], rezultând expresiile prezentate în tabelul 4.3-1 coloana din stânga.

$ k

$ k $ β

4.4. Estimatoare de viteză momentană cu diferenţe retardate Estimata ω a vitezei momentane la timpul tk se poate obţine din estimata ω a vitezei momentane la timpul tβ prin dezvoltarea în serie Taylor [Brow92]:

$ $$ $

ω ωω ω

ββ

ββ

βk k kddt

t tddt

t t= + − −11

12!

( ) +!

( )2

2$ωβ

βkddt

t t−12 3+

3!( ) +...

33

$ $ω ωβ βk kt t= −=

∞

∑ 1

0 j! ( )

j

(j) j

$ωβ( j ) $

(4.4-1)

unde este derivata de ordin j a lui β . ω

61

$ωβ

$ωβ

$

Dacă se estimează ca fiind egală cu valoarea vitezei medii măsurate pe

durata celei mai recente durate de măsură Tk (4.4-2), atunci momentul de timp tβ este probabil să se găsească în centrul duratei de măsură Tk (4.4-3):

≈ Δxk /Tk (4.4-2)

( tk - tβ) ≈ Tk /2 (4.4-3) Derivatele de ordinul 1...j ale lui β , utilizând diferenţe retardate, au expresiile: ω

$ $ / $ $ω ω ω ωβ β β β(1) ( )≈ = − −Δ T Tk k1 / /( )≈ − −Δ Δx

TxT

Tk

k

k

kk

1

$ $ /ω ωβ β(j -1) (j -1)( )− −T Tk k1

$ k

$

(4.4-4)

$ $ /ω ωβ β(j) (j -1)≈ =Δ (4.4-5)

Estimata ω de ordin N se obţine trunchiind în dezvoltarea (4.4-1) derivatele superioare lui N şi înlocuind apoi expresiile (4.4-3) şi (4.4-5). Similar cu cele expuse în paragraful 4.3 privind normarea lui ω k

$ k

$ω k

$

, considerând j = 1...3, se obţin următoarele rezultate: -în cazul metodei MT, se ia Δxk = 1, iar ω are expresiile prezentate în tabelul 4.4-1 coloana din stânga; -în cazul metodei MF, se ia Tk = 1, iar are expresiile prezentate în tabelul 4.4-1 coloana din dreapta.

ω k de ordin 1...3 obţinute cu metodele MT şi MF Tabel 4.4-1. Estimatele vitezei ordin MT ( Δxk = 1 ) MF ( Tk = 1 )

1 $ω k $= 1 /Tk ω k = Δxk

2 $ω k $= 1 /[Tk + 1/2 (Tk - Tk -1)] ω k = Δxk + 1/2 (Δxk - Δxk -1) 3 $ω k $= 1 /[Tk + 1/2 (Tk - Tk -1) +

+ 1/3 (Tk - 2Tk -1 + Tk -2)] ω k = Δxk + 1/2 (Δxk - Δxk -1) + + 1/3 (Δxk - 2Δxk -1 + Δxk -2)

4.5. Estimatoare de viteză momentană cu metoda celor mai mici pătrate Ideea fundamentală folosită pentru obţinerea acestei clase de estimatoare de derivată constă în aproximarea unei funcţii cu un polinom de grad N pe baza ultimelor M valori eşantionate (M > N + 1) utilizând metoda celor mai mici pătrate, şi apoi derivarea acestui polinom [Brow92], [Dote90]. Fie cazul măsurării vitezei prin metoda măsurării perioadei (MT), unde Δxk = 1, iar tk (x). Polinomul de aproximare de grad N este:

62

$t c xk ii

N

ki=

=∑

0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥M M M

N

N

1 1 1 ... 1

1 2 2 ... 2: : : ... :

1 ...

2

2

$

(4.5-1)

Ecuaţia (4.5-1) se particularizează pentru cele mai recente M eşantioane consecutive tk, k = 1...M şi cum Δxk = 1, rezultă sistemul: t = A C (4.5-2)

unde: (4.5-3) t:

, C:

,=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

tt

t

cc

c

A=

M N

1

2

0

1

Pentru M ≥ N + 1, sistemul de ecuaţii (4.5-3) este nedeterminat. În acest caz coeficienţii C se determină utilizând tehnica minimizării erorii totale medii pătratice, eroare între vectorul eşantioanelor măsurate t şi vectorul estimatelor t , rezultând:

C A A A t A tT T= =− +( ) , unde: A A A AT T=+ − ( )1 1

dx c ixM i ki

i

N

/ = −

=∑ ( ) 1

0

dx/ &q A t &h tT T= =+

[ ]q , &h &q AT T T= = +1

$ M

$ &M M i i

M

dx h t= = ∑( / ) /-1

i=1

1

(4.5-4) Derivata dtM / dx se obţine din (4.5-1):

dt$ (4.5-5)

Cum coeficientii ci se cunosc din (4.5-4), expresia (4.5-5) devine:

dt M$ (4.5-6)

unde: (4.5-7) & 0 1 2 3 2 M M NM N -

Viteza estimată ω este inversa relaţiei (4.5-6):

$ω dt (4.5-8)

Estimatorul (4.5-8) se poate implementa ca un filtru digital de ordin M cu răspuns la impuls în timp finit (FIR).

Etapele proiectării estimatorului sunt: 1. se alege N - gradul polinomului de aproximare, uzual N = 1…3; 2. se alege M - numărul celor mai recente eşantioane consecutive măsurate t,

uzual M∈{4; 8}; 3. se calculează A din relaţia (4.5-3); A+ din (4.5-4); q•T şi apoi h•T din (4.5-7).

63

$ω M

&hi

&i

&h

Implementarea estimatorului presupune achiziţia celor mai recente M eşantioane t şi calculul lui cu (4.5-8).

În tabelul 4.5-1 se dau coeficienţii ai FIR pentru următoarele cazuri: - aproximare liniară prin 4 puncte ( N = 1, M = 4 ); - aproximare parabolică prin 8 puncte ( N = 2, M = 8 ); - aproximare cubică prin 8 puncte ( N = 3, M = 8 ). Tabel 4.5-1. Coeficienţii h ai FIR

i | N/M 1/4 2/8 3/8

1 - 0,3 0,2083333 - 0,2777778 &h2 - 0,1 - 0,0178571 0,3293651 &h3 0,1 - 0,1607143 0,3253968 &h4 0,3 - 0,2202381 - 0,0119048 &h5 - 0,1964286 - 0,4047619 &h6 - 0,0822857 - 0,5753968 &h7 0,1011905 - 0,2460317 &h8 0,3750000 0,8611111 &h

Se recomandă această clasă de estimatoare la viteze mari, rezultatele cele mai bune fiind pentru ( N = 2, M = 8 ) [Brow92], sau ( N = 1, M = 4 ) [Dote90]. 4.6. Observator de viteză momentană din viteză medie La acţionarile reglabile de poziţionare, utilizarea unui traductor special de viteză prezintă următorele dezavantaje: cost mai ridicat; existenţa unor frecvenţe joase de rezonanţă mecanică ale ansamblului traductor-cuplaj datorită erorilor de centrare mecanică; elasticitatea cuplajului. Frecvent, la aceste acţionări reglabile se utilizează, ca traductoare de poziţie, traductoare incrementale rotative optice (TIRO). Viteza se calculează fie prin metoda măsurării frecvenţei (MF) - care determină numărul de impulsuri generate de TIRO într-o fereastră de timp fixată, fie prin metoda măsurării

perioadei (MT) - care determină intervalul de timp dintre două impulsuri succesive. Aceaste metode calculează o viteză medie ω şi deci din principiu introduc un timp mort. Mai mult, la viteze mici, calculate cu metoda MT, perioada impulsurilor generate de TIRO devine mai mare decât o perioadă de eşantionare. În această situaţie nu se obţin informaţii asupra vitezei medii în perioada curentă de eşantionare, timpul mort creşte cu micşorarea vitezei ducând la instabilitate. Este necesară deci estimarea unei viteze momentane care să reducă timpul mort şi să prezinte o cât mai mare precizie de estimare, în special la viteze mici. O primă soluţie pentru estimarea vitezei momentane $ω la viteze mici este folosirea unui observator de stare şi perturbaţie de tip Luenberger extins (4.6-1). Acesta are la bază modelul dinamic al acţionării (subsistemul mecanic) având ca intrare cuplul electromagnetic estimat Te^, şi consideră pentru cuplul de sarcină T un model exogen din clasa semnalelor treaptă, model adecvat având în vedere că într-o perioadă de eşantionare T

$L

L ≅ constant. Corecţia predictivă a compensatorului utilizează eroarea de viteză medie Δω ω= − $ω .

J

T TT

kk

o

L Le

P

I

0

( ),$

$

$

$$ $ω ω

ω ω1

0 10

10

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

•

T TL L

( )

( )

$

$

$

$

ω ω

1 1

0

10

0

0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

$

(4.6-1)

unde: Jo este estimata momentului de inerţie echivalent redus la arbore.

-TL

^

1/Jo

kI

kPθ

TIRO1/Timp

Mediere

Te^

-

ϖ ω^

ϖ^

-

TL1^

ε^

Fig.4.6_1. Observator de viteză momentană din viteză medie folosind TIRO

Schema bloc a observatorului de viteză momentană ω este prezentată în fig.4.6_1. În acest caz, se observă că se estimează în plus acceleraţia ε^ precum şi cuplul de sarcină . Estimata cuplului de sarcină are două realizări: care conţine cuplul de sarcină mediu şi

$TL$TL1

$TL care are o dinamică mai bună datorită corecţiei kp. În regim staţionar constant cele două estimate coincid pentru că Δ ω = 0. Structura de compensare este echivalentă cu un regulator PI de urmărire care prelucrează eroarea de estimare a vitezei medii în scopul anulării asimptotice a acesteia. În continuare se dau ecuaţiile de implementare în timp discret a observatorului. Există două perioade de eşantionare luate în consideraţie:

64

- himp - durata între două impulsuri provenite de la TIRO; - h - perioada de eşantionare care utilizează în calcule viteza momentană, ca de exemplu perioada de eşantionare pentru bucla de reglare de viteză. În notaţia (i, j), i se referă la himp, iar j se referă la h. Pentru discretizare s-a utilizeazat metoda lui Euler (regula dreptunghiului), dar pentru discretizări mai precise se recomandă formula lui Tustin (regula trapezului) (4.6-2):

65

s =− −1 1zh

(dreptunghi), s = −+

−

−

2 11

1

1hzz

$TL

(Tustin) (4.6-2)

Cuplul de sarcină estimat este calculat la sosirea fiecărui impuls i de la TIRO:

$T i k i i hL P( ) [ ( ) ( )]+ = − +1 ω ω$ $k k kimp Ik

i

[ ( ) ( )]−=

∑1

ω ω (4.6-3)

(i) - viteza medie măsurată între impulsurile i şi i+1; $ω (i) - estimata lui (i). ω ω$L $Pentru un cuplu de sarcină T (i) constant în perioada himp, estimată ω este:

$ , $ ,ω ω( ) (i j i j= − 1 $ , $) + [ ( ) ( )]hJ

T i j T io

e L− (4.6-4)

unde: Te^(i, j) este cuplul electromagnetic momentan calculat folosind una din metodele arătate în paragraful 4.2.6, sau cuplul disponibil cu aproximaţie la ieşirea regulatorului de viteză. O altă soluţie (4.6-5) mediază Te^ pe două perioade de eşantionare h. $ω

$ ,ω( )i j(i) se

obţine prin medierea lui cu o rată h pe durata himp (4.6-6).

$ , $ , $ ,ω ω( ) ( ) + [ (i j i j hJ

T i jo

= − 12

$ , $) + ( ) - 2 ( )]T i j T ie e L− 1 (4.6-5)

$ $ω ω( ) (ihimp j

m

=∑1

1

, ), i j h mhimp= ≅ (4.6-6)

Dinamica observatorului de viteză momentană se fixează prin alocare de poli, urmărind o convergenţă a algoritmului într-un timp impus.

În concluzie, observatorul implementează relaţiile (4.6-3) - (4.6-6). Ca şi dezavantaj, observatorul este sensibil în regim dinamic la variaţia momentului de inerţie echivalent Jo. Viteza medie ω necesară în algoritmul de mai sus se poate calcula din impusuri provenite de la TIRO cu următoarele metode, aratându-se domeniul de aplicare funcţie de precizia metodei [Dote90], [Will85]. • metoda determinării frecvenţei impulsurilor (MF), recomandabilă la viteze mari;

Ni

Nf

SI

SI

h

h+αfi

TIRO

(4.1.6-8) ϖ

h

h+α

TIRO

fi

Fig.4.6_2. Metoda MTF de determinare a vitezei de la TIRO

• metoda determinării perioadei impulsurilor (MT), recomandabilă la viteze mici. Pentru acţionări ce necesită un domeniu larg de viteze se recomandă utilizarea combinată a metodelor (MF) şi (MT) selectarea acestora fiind funcţie de domeniul de viteză, sau metoda (MTF) prezentată în continuare, metodă deosebit de elegantă.

• Metoda (MTF) utilizează două numărătoare de impulsuri separate, diagramele de timp fiind prezentate în fig.4.6_2. Un numărător Ni contorizează numărul de impulsuri de la TIRO, având constanta n [impuls/rotaţie], într-o fereastră de timp fixată h. Al doilea numărător Nf contorizează numărul de impulsuri provenite de la un generator de frecvenţă ridicată fi într-o fereastră de timp (h+α), unde α este un timp variabil, fereastră determinată exact între fronturile ridicătoare ale primului şi ale ultimului impuls contorizat de Ni. În consecinţă conţinutul celor două numărătoare dat de variabilele Ni şi Nf au semnificaţiile:

Ni - 1 = (h + α) n ω , Nf = (h + α) fi (4.6-7) Din (4.6-7) se elimină (h+α) rezultând care este independentă de durata (h+α). ω

66

ω =−f

nN

Ni i

f

1 (4.6-8)

4.7. Observatoare de viteză, acceleraţie şi cuplu echivalent de sarcină din poziţie În ultima perioadă, eliminarea traductoarelor de mişcare în conducerea sistemelor de acţionare electrică a constituit o preocupare importantă a specialiştilor. Aceste traductoare prezintă următoarele dezavantaje: introduc surse semnificative de erori, costuri adiţionale şi adaugă acţionării în ansamblu volum şi greutate suplimentară în spaţiul de lucru.

67

În cadrul sistemelor de conducere performante pentru acţionări electrice, destinate spre exemplu roboţilor industriali şi maşinilor unelte cu comandă numerică, în scopul obţinerii unor rezoluţii şi precizii dinamice cerute privind poziţia, se utilizează obligatoriu traductoare de poziţie de tip TIRO sau rezolver pentru a măsura poziţia unghilară θ. Problema care se pune este de a estima viteza ω^, acceleraţia ε^, şi cuplul echivalent de sarcină TL^ utilizând ca informaţie de intrare poziţia măsurată θ şi eventual estimata cuplului electromagnetic Te^. Mărimile astfel estimate sunt cerute în sisteme de conducere a vitezei, sisteme de conducere după stare, sisteme de conducere cu reacţie după acceleraţie [Lore91], în sisteme de conducere cu moduri alunecătoare [Buhl86], [Namd92], [Namd95], etc., fără a utiliza traductoare specifice acestor mărimi. Dacă este necesară estimata cuplului electromagnetic Te^, aceasta poate fi calculată astfel: a) Pentru MSMP, şi în general pentru maşini de curent alternativ:

Te^ = 3/2p Im( λ* i ) = 3/2p ( λα iβ - λβ iα ) (4.7-1) λ• = u - Ro i, λ(0)= λ0 (4.7-2) Relaţia (4.7-1) este valabilă în orice referenţial. În referenţialul statoric αβ, se reaminteşte semnificaţia simbolurilor utilizate: λ(λα, λβ) - vector flux din întrefier, i(iα, iβ) - vector curent statoric, u(uα, uβ) - vector tensiune statorică, Ro - rezistenţa unei faze statorice, p - număr de perechi de poli. Vectorul flux magnetic λ poate fi calculat în principiu cu relaţia (4.7-2), sau mai bine poate fi estimat cu observatore (paragraful 5.2). În final, Te^ se obţine utilizând mărimi măsurate i, u, şi eventual θ.

b) Pentru maşini de curent continuu cu excitaţie derivaţie, Te^ este un caz particular al relaţiei (4.7-1)

Te^ = kT id iq, (4.7-3)

unde: id - curent de excitaţie, şi iq - curent rotoric. O soluţie pentru a estima viteza ω^, acceleraţia ε^ şi cuplul echivalent de sarcină TL^ utilizând informaţia de poziţie θ şi eventual estimata cuplului electromagnetic Te^ este folosirea observatoarelor de stare şi perturbaţie. În această situaţie, un avantaj major este acela că rezoluţia mărimilor estimate de observator nu mai este limitată de rezoluţia traductorului de poziţie utilizat ci numai de precizia de calcul numeric, recomandându-se calculul în virgulă mobilă.

4.7.1. Observator extins de stare şi perturbaţie - caz general Fie un sistem continual liniar (fig.4.7.1_1a) multivariabil la intrare şi ieşire (MIMO), cu ecuaţiile de stare (4.7.1-1), unde: u ∈ Rm -vector de intrare, v ∈ Rr -vector de perturbaţie externă, x ∈ Rn -vector de stare, y ∈ Rp -vector de ieşire, şi A, A1, B, B1, C -matrice cu dimensiuni corespunzătoare. Perturbaţia v este specificată de un model exogen dat de matricea A1 şi de condiţiile initiale v0 [Mull89], [Drag95], model care utilizează informaţii din experienţa practică asupra evoluţiei lui v(t), deci un model pentru o clasă particulară a perturbaţiei v.

68

vxu y

Fig.4.7.1_1a.Sistem MIMO

x• = A x + B1 v + B u , x(0) = x0

v• = A1 v , v(0) = v0 (4.7.1-1) y = C x

Sistemul extins este prezentat în fig.4.7.1_1b, şi modelul (4.7.1-1) devine:

~x~u ~x ~A ~x ~B ~u , ~x ~x

y ~C ~x

• = +

=

=

(0) 0

[ ]B ~C C= , = ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

0

~x~ ~A,

y

y

Fig.4.7.1_1b. Sistem extins (4.7.1-2)

unde: (4.7.1-3) ~xxv

~uu ~A

A BA

~B1

1= , = , =

, ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0 0

Un observator extins de ordin complet (OEOC) tip Luenberger [Drag79], [Căli85], [Dumi93], [Andr96b] pentru sistemul echivalent extins (4.7.1-2) estimează starea echivalentă , deci estimează atât starea x cât şi perturbaţia v. Cu perechea ( C ) observabilă ecuaţiile OEOC sunt:

~u ~$x~$x Fig.4.7.1_1c. OEOC

(4.7.1-4) ~$x ~A ~$x ~B ~u K y $y ~$x ~$x

$y ~C ~$x

• = + + −

=

, =

( ) (0) 0

~$x ~x

unde este valoarea estimată a lui , iar K este matricea compensatorului aplicată erorilor ieşirii pentru a realiza o corecţie predictivă asupra estimarii stării în scopul obţinerii unei viteze de convergenţă dorite şi pentru a înbunătăţi robusteţea estimării la variaţii ale parametrilor sistemului. Din (4.7.1-2) şi (4.7.1-4), ecuaţia dinamică a erorii de estimare e este:

69

e ~x ~$x− = ,

~$x ~x

~A ~C P= PLACE ( ), , σ

e ~A K ~C e• = − ( ) (4.7.1-5)

Stabilitatea asimptotică a observatorului, adică e→0 sau echivalent → , poate fi garantată printr-o proiectare adecvată a matricei K utilizând spre exemplu metoda alocării polilor. Polii Pσ∈Rn+r ai sistemului (4.7.1-4) sunt aleşi reali negativi în stânga polilor sistemului (4.7.1-2), în scopul asigurării unei bune dinamici a estimării şi a unei viteze de convergenţă rapide, fără suprareglaj. Pentru proiectarea matricei K, se poate utiliza funcţia PLACE (.) din mediul Matlab [Matl ].

K (4.7.1-6)

În continuare se prezintă două aplicaţii [Andr96b], care sunt cazuri particulare ale OEOC analizat, în scopul estimării vitezei ω^, acceleraţiei ε^ şi cuplului echivalent de sarcină TL^ utilizând informaţia de poziţie θ şi eventual estimata cuplului electromagnetic Te^. 4.7.2. Observatoare de viteză, acceleraţie şi cuplu echivalent - cazuri particulare 4.7.2.1. OEOC cu intrările θ şi Te^ (OEOC+Te)

O soluţie pentru a estima mărimile ω^, ε^ şi TL^ este de a utiliza OEOC (4.7.1-4) având ca termen de corecţie predictivă eroarea de poziţie Δθ şi ca intrare directă cuplul calculat Te^. Se utilizează modelul dinamic al acţionării cu un model exogen pentru TL din clasa semnalelor treaptă. Ecuaţiile şi matricea A a OEOC+Te sunt date de (4.7.2-1), unde BBo - factor de frecări vâscoase, Jo - moment de inerţie echivalent.

$

$

$

$

$

$

$ $ , Aθω

θω θ θ

T

BJ J

TJ

Tkkk

k

k

kL

o

o oL

oe

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

−

−

−

⎡• 0 1 0

0 1

0 0 0

01

0

1

2

3

1

2

3

- -

( ) =

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

BJ J

o

o o

1 01

0 0

- -

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

(4.7.2 -1)

70

( , ) si ( , )$ $ $ $ω ω1 1T TL L ( si )$ $ω1 1TL

Structura OEOC+Te este prezentată în fig.4.7.2_1a. Este de remarcat faptul că pentru a estima ω^ şi TL^ sunt disponibile două estimate pentru fiecare mărime:

. Se recomandă utilizarea estimatelor deoarece acestea conţin termeni suplimentari de corecţie care fac ca estimarea să fie mai rapidă în regim dinamic. Proiectarea matricei K = [k1 k2 k3]T foloseşte metoda alocării de poli [Ione85], [Drag87]. Polii OEOC rezultă din polinomul caracteristic Δ(s) = det ( sI - A ). Pentru polii impuşi Pσ = {p1, p2, p3} ∈ R_, reali negativi, cu notaţiile (4.7.2-2), componentele matricei K sunt date de (4.7.2-3).

Dacă Pσ = { p1, 2 = r (-cosϕ ± j sinϕ), p3 = p | r > 0, ϕ ∈ [0, π/2], p < 0 }, deci Pσ conţine doi poli complexi conjugaţi, rezultă (4.7.2-2’). S = p1 + p2 + p3 , SP2 = p1 p2 + p2 p3 + p3 p1 , P = p1 p2 p3 (4.7.2-2) S = -2 r cosϕ + p, SP2 = r2 -2 p r cosϕ, P = p r2 (4.7.2-2’) k1 = -S - Bo /Jo , k2 = SP2 - k1 BB

ω1^

θ^

o /Jo , k3 = Jo P (4.7.2-3)

Te^

ε^TL^ -

1/Jo

k3

Jo k2

θ

Te^

-

ω^

-

TL1^

k1

Bo-TL

^, TL1^

θ^

θ

ω^, ω1^

ε^

Fig.4.7.2_1a. Observator OEOC+Te pentru a estima ω^, ε^ şi Tl^

Coeficienţii matricei K de ponderare a erorii OEOC+Te depind, aşa cum era de aşteptat, de parametrii subsistemului mecanic - în special de Jo. Aceşti coeficienţi determină dinamica vitezei de convergenţă a observatorului şi se aleg pentru a satisface dezideratele impuse: timp de răspuns minim fără suprareglaj. În această situaţie polii observatorului se aleg practic pe axa reală negativă în punctul unde pentru o mică creştere a coeficienţilor se obţine un uşor suprareglaj.

Ideea utilizării ca intrări în observator a tuturor mărimilor disponibile fizic (inclusiv cuplul electromagnetic Te^), alături de o bună estimare a parametrilor

acţionării (Jo), conduce la o realizare performantă a observatorului, cu întârziri dinamice minime.

O variantă de realizare în domeniul Z (în timp discret) este prezentată în fig.4.7.2_1b, unde pentru discretizare s-a folosit regula dreptunghiului avansată şi cea întârziată precum şi regula trapezului (Tustin), h fiind perioda de eşantionare. Rezoluţia observatorului nu mai este limitată de rezoluţia traductorului de poziţie utilizat, ci numai de precizia de calcul numeric, recomandându-se implementarea în virgulă mobilă.

ε^TL^ -

Jo k2

Te^

71

(4.7.2 - 4)

ω1^

θ^

θ

-

ω^

-

TL1^

k1

h zz

−

−−

1

11h z

z11

1

1

+2 −

−

−

h kz

311− −

1/Jo

Bo-

Fig.4.7.2_1b. Realizare discretă a observatorului OEOC+Te din fig.4.7.2_1a

4.7.2.2. OEOC cu intrarea θ fără Te^ (OEOC-Te) O altă soluţie pentru a estima ω^ şi ε^ este de a utiliza OEOC (4.7.1-4) considerând doar termenul de corecţie al eroarii de poziţie Δθ, fără altă intrare. Modelul mişcării este ales cu ε = constant, caz frecvent întâlnit în regimurile permanente de mişcarea cu viteză constantă, şi în regimul de accelerare la cuplu electromagnetic constant. În acest caz, ecuaţiile OEOC-Te şi matricea A sunt: $

$

$

$

$

$

$ Aθωε

θωε

θ θ

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

•0 1 00 0 10 0 0

1 00 10 0

1

2

3

1

2

3

( ), =

kkk

kkk

ε1^

k3

72

ε ω θ= =& &&

Structura OEOC-Te e prezentată în fig.4.7.2_2. Ca şi în cazul OEOC+Te din fig.4.7.2_1, pentru a estimara ω^ şi ε^ sunt două posibilităţi pentru fiecare, de preferat fiind ω1^ şi ε1^.

Proiectarea compensatorului K = [k1 k2 k3]T pentru OEOC-Te se face prin metoda alocării de poli, în mod analog cu proiectarea prezentată pentru OEOC+Te. Utilizând notaţiile (4.7.2-2 sau -2’), componentele matricei K sunt: k1= -S , k2 = SP2 , k3 = - P (4.7.2-5) Este de remarcat faptul că parametrii OEOC-Te nu depind de parametrii procesului. 4.7.2.3. Observator de viteză şi acceleraţie cu tehnica filtrării (OTF) În scopul efectuării unui studiu comparativ asupra performanţelor de estimare a vitezei ω^ şi a acceleraţiei ε^ se ia în considerare şi un estimator care utilizează tehnica filtrării. Având disponibil prin măsurare poziţia θ, se pot estima ω^ şi ε^ utilizând metode de derivare cu tehnica filtrării. Aşa cum s-a prezentat în paragraful

4.1, operatorul de derivare ideal de ordin m (Dm) este caracterizat printr-o dinamică anticipativă pură, deci acesta nu este practic realizabil. O soluţie realizabilă este aceea de a utiliza un filtru de ordin n (PTn) pentru mărimea măsurată θ, conectat în serie cu un operator de derivare pur Dm, respectând restricţia n ≥ m. Ţinând cont că , deci m = 2, alegem n = 3. Estimatele pentru ω^ şi ε^ sunt:

$

$

$

$

$

$

$

ε θθωε

θωε

=+ + +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

•

aa a a a a a

02

32

21 0

0 1 2

0 1 00 0 1s

s s s, sau

θ

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥a0

00

(4.7.2 - 6)

ω1^

θ^

θ

ω^

-k1

θ^

θ

ω^, ω1^

ε^, ε1^

k2

ε^

Fig.4.7.2_2. Observator OEOC-Te pentru a estima ω^ şi ε^

a0

73

$ $& $&&ε ω θ= =

θ^

θ

ω^-

a1

θ^

θ

ω^

ε^

a2

ε^

-

Fig.4.7.2_3. Observator OTF pentru a estima ω^, ε^

În fig.4.7.2_3 este prezentată structura observatorului care utilizează forma canonică controlabilă (4.7.2-6). Cu toate că la estimarea cu tehnica filtrării nu s-a plecat de la ideea corecţiei după eroarea de estimare a ieşirii ca în cazul observatoarelor, realizarea din fig.4.7.2_3 evidenţiază o corecţie de acest tip care îndreptăţeşte denumirea de observator a structurii. Se remarcă faptul că există un singur termen de corecţie directă după eroarea Δθ prin intermediul coeficientului a0, deci din acest punct de vedere este de aşteptat ca răspunsul dinamic al estimării să fie mai lent. Termenii a1, a2 apar ca reacţii după stare, nu după eroarea de estimare. Relaţiile între estimatele mărimilor cinematice arată ca şi în cazul real:

, fapt care nu se întâmplă la cele două observatoare studiate mai înainte.

Proiectarea estimatorului utilizează de asemenea metoda alocării de poli, în relaţia (4.7.2-6) punându-se în evidenţă matricea estimatorului. Cu notaţiile (4.7.2-2 sau -2’) rezultă coeficienţii estimatorului: a2 = -S, a1 = SP2, a0 = -P (4.7.2-7) 4.7.3. Rezultate comparative de simulare numerică În scopul testării comparative prin simulare numerică a performanţelor dinamice ale celor trei observatoare studiate (OEOC+Te, OEOC-Te, OTF) se utilizeză o structură tipică simplificată a unui sistem de acţionare electrică, structură prezentată în fig.4.7.3_1. Subsistemul electromagnetic (EM) al acţionării, caracterizat de funcţia de transfer Te/Te*, este redus la un element PT1 cu o constantă mică de timp Tem, fapt real pentru acţionări implementate cu metode moderne de conducere vectorială. Regulatorul de viteză este de tip PI cu

Fig.4.7.3_1. Sistem de conducere simplificat al unei acţionări electrice pentru testarea estimărilor dinamice ale observatoarelor OEOC+Te, OEOC-Te, OTF

74

constantele Kp, Ki şi este în mod intenţionat acordat pentru a obţine un răspuns la semnal treaptă cu suprareglaj în scopul comparării comportării dinamice a celor trei structuri de observatoare. Mărimile de intrare pentru observatoare: θ şi Te^ se obţin din fig.4.7.3_1. Parametrii sistemului sunt: Kp = 5, K = 1, Tem = 4 ms, Telim = ±30 Nm, J = 0.005 kgm2, B = 0.001 Nm/(rad/s). În scopul unei analize comparative, în cadrul proiectării prin alocare de poli pentru toate cele trei observatoare s-a alocat acelaşi spectru: Pσ = {-100, -200, -400} rezultând:

• pentru OEOC+Te: k1 = 700, Jo k2 = 700, k3 = -40e3; • pentru OEOC-Te: k1 = 700, k2 = 140e3, k3 = 8e6; • pentru OTF: a0 = 700, a1 = 140e3, a2 = 8e6.

Simulările numerice s-au realizat sub mediul Matlab+Simulink cu metoda de integrare tip Euler cu o perioadă de eşantionare h = 1 ms. Se aplică la intrări semnale treaptă pentru viteză, respectiv pentru cuplu de sarcină, după cum urmează: la t0 = 0, ω* = 100 rad/s, şi la t1 = 60 ms, TL* = 10 Nm. Fig.4.7.3_2 arată un bun răspuns al estimatei cuplului echivalent de sarcină TL1^ obţinut cu OEOC+Te. Fig.4.7.3_3 prezintă răspunsul tranzitoriu în cuplu electromagnetic Te al acţionării din fig.4.7.3_1, răspuns cu suprareglaj mare impus din proiectare şi limitat. În fig.4.7.3_4 sunt prezentate răspunsurile tranzitorii ale vitezei reale ω (fig.4.7.3_4a) şi ale celor trei estimate ale vitezei ω^ (fig.4.7.3_4b,c,d) obţinute cu cele trei observatoare analizate.

Fig.4.7.3_2. Estimata TL1^ a OEOC+Te Fig.4.7.3_3. Răspuns în cuplu

Fig.4.7.3_4a. Răspuns în viteză Fig.4.7.3_5a. Răspuns în acceleraţie

Fig.4.7.3_4b. Estimata ω1^ a OEOC+Te Fig.4.7.3_5b. Estimata ε^ a EOC+Te

Fig.4.7.3_4c. Estimata ω1^ a OEOC-Te Fig.4.7.3_5c. Estimata ε1^ a OEOC-Te

75

Fig.4.7.3_4d. Estimata ω1^ a OTF Fig.4.7.3_5d. Estimata ε^ a OTF

În fig.4.7.3_5 sunt prezentate răspunsurile tranzitorii ale acceleraţiei reale ε (fig.4.7.3_5a) şi ale celor trei estimate ale acceleraţiei ε^ (fig.4.7.3_5b,c,d). Se observă că în toate cazurile cele trei structuri de observatoare au o bună stabilitatea asimptotică. În cazul observatoarelor OEOC+Te şi OEOC-Te estimatele vitezei ω^ şi acceleraţiei ε^ converg rapid deoarece aceste structuri utilizează termeni de corecţie pentru toate stările estimate. Mai mult, OEOC+Te are ca intrare cuplul electromagnetic Te^ care este mărimea de execuţie principală pentru controlul variabilelor de mişcare şi care reduce întârzierile de estimare. Altfel apare cazul structurii observatorului bazat pe tehnica filtrării OTF care are o viteză de convergenţă mai lentă şi ca urmare prezintă o eroare tranzitorie mare deoarece acesta utilizează doar un singur termen de corecţie directă după eroarea Δθ prin intermediul coeficientului a0. În regim staţionar, toate cele trei structuri de observatoare au performanţe identice, estimarea asimptotică a variabilelor cinematice fiind fără eroare de regim staţionar. În final, în scopul obţinerii unei dinamici de estimare rapide pentru o alocare dată a spectrului observatoarelor se recomandă utilizarea structurilor de observatoare OEOC+Te sau OEOC-Te care prezintă performaţe dinamice apropiate. Observatorul OEOC+Te este ceva mai bun în special privind estimata acceleraţiei şi livrează în plus estimata cuplului echivalent de sarcină TL^. Acesta are însă dezavantajul că relaţiile de proiectare ale constantelor observatorului depind de parametrii procesului, în special de estimata momentului de inerţie redus la arbore Jo şi necesită estimarea cuplului electromagnetic Te^. Observatorul OEOC-Te este mai robust la variaţia parametrilor procesului şi nu necesită estimarea cuplului Te^. Utilizarea acestor observatoare conduce la obţinerea unor performanţe de regim dinamic şi permanent sensibil îmbunătăţite. Pulsaţiile datorită estimării vitezei şi acceleraţiei sunt mai mici, acţionarea este mai silenţioasă şi mai precisă mai ales în aplicaţii de conducere a proceselor cu vibraţii însemnate cum ar fi roboţi industriali, maşini unelte cu comandă numerică, mori de ciment, etc. Observatorul OEOC+Te este utilizat în structura din paragraful 8.2.

76

4.8. Observator de acceleraţie din poziţie

77

$ε

$ $ε $θ

$θ$

Problema care se pune este de a estima cât mai fidel în regim dinamic acceleraţia din mărimea măsurată a poziţiei θ. Observatoarele de acceleraţie asigură o estimare a acceleraţiei momentane, rezoluţia fiind determinată de precizia internă de calcul a observatorului implementat numeric. Topologia observatorului [Schm92], [Wall92] conţine două observatoare conectate în paralel. Primul observator este de viteză de tipul celui prezentat în fig.4.7.2_1b iar al doilea este de acceleraţie prezentat în fig.4.8_1.

ω1^

ε^TL^ -

ω^

θ^

k2

Te^

θ

-

ω^

TL1^

-

k1

h zz

−

−−

1

11h z

z211

1

1

+−

−

−

h kz

311− −

1/Jo

ε^

-Obs. vitezã

Fig.4.7.2_1b

θ

Fig.4.8_1. Observator de acceleraţie pentru a estima θ^, ω^, ε^

Observatorul de acceleraţie poate fi divizat în două secţiuni principale: prima de tip "feed-forward" şi a doua de tip "feed-back". Secţiunea de tip "feed-forward" are la bază modelul dinamic al acţionării care are ca intrare estimata cuplului electromagnetic Te^. Această parte funcţionează în paralel cu sistemul condus şi poate fi privită ca o estimare fără reacţie a mărimilor de interes: ω , şi . Precizia acestei secţiuni este determinată în principal de precizia de estimare a cuplului electromagnetic Te^ şi a momentului de inerţie Jo. Secţiunea de tip "feed-back" constă în compensatorul de tip PI având parametrii k2, k3 care, în scopul asigurării convergenţei de estimare, prinde în buclă închisă prima secţiune utilizând ca referinţă poziţia măsurată θ şi ca reacţie poziţia estimată , corecţia fiind după eroarea de poziţie. Se foloseşte în plus o buclă paralelă de viteză cu k1 a cărei referinţă este estimata vitezei ω1 provenită de la observatorul de viteză. Observatorul astfel realizat are o sensibilitate redusă la variaţia parametrilor acţionării (J) prin topologia aleasă şi printr-o bună optimizare a benzii de frecvenţă (spectrul) impusă. O banda de frecvenţă joasă face ca observatorul să fie dependent

de variaţia parametrilor din secţiunea "feed-forward". Din acest punct de vedere este favorabilă deci impunerea unei benzi largi (valori mari ale coeficienţilor compensatoarelor) pentru a reduce sensibilitatea la variaţia parametrilor procesului. Acest lucru are însă dezavantajul amplificării zgomotelor din semnalul măsurat θ. Perioada de eşantionare este un alt parametru de proiectare important, având în vedere că ea stabileşte limita superioară a benzii observatorului (teorema Shanon). Un compromis practic între cerinţele contradictorii privind alegerea benzii de frecvenţă a observatorului conduce la fixarea experimentală a frecvenţelor de frângere ale observatorului spre exemplu: 5, 50, 150 Hz [Wall92].

În concluzie, observatorul de acceleraţie se poate implementa utilizând un singur traductor de mişcare şi anume de poziţie θ, fără a fololsi operatorul de derivare numerică care prezintă dezavantajele menţionate. Topologia aleasă permite estimarea valorilor momentane pentru ω^ şi ε^ cu o bună robusteţe la variaţia parametrilor şi o convergenţă rapidă. Mărimile estimate care se vor utiliza în buclele de reglare a mişcării sunt: θ^, ω^, ε^ mărimi obţinute din fig.4.8_1. Structura observatorului prezentat se recomandă pentru acţionări unde există un cuplu de sarcină perturbator cu o dinamică pronunţată. Este cazul roboţilor industriali unde apare efectul de cuplaj între axe şi modificarea în limite largi a cuplului de sarcină funcţie de configuraţia momentană a structurii mecanice. Alt exemplu este cel al morilor de ciment unde apar vibraţii puternice. Alte variante pentru estimarea acceleraţiei utilizează viteza medie ω şi au aplicaţii directe în reglarea cu moduri alunecatoare a vitezei. Soluţii de acest tip sunt prezentate în [Nand90], [Nand92]: observator de ordin complet; observator de stare adaptiv şi observator de ordin redus rapid. Studiul şi analiza acestor variante arată clar importanţa estimării corecte, cu întârzieri minime, a acceleraţiei în conducerea cu moduri alunecătoare în vederea obţinerii robusteţii sistemului de reglare. Implementarea cea mai simplă este cea a observatorului de ordin redus, care dacă este rapid, satisface cerinţele impuse. 4.9. Observator de viteză cu structură variabilă din poziţie Altă variantă remarcabilă de observator neliniar robust de viteză este prezentată în fig.4.9_1. Structura este asemănătoare cu cea din fig.4.6_1 însă, de această dată, legea de compensare este neliniară, cu structură variabilă [Dote90]. S-a adoptat această lege în scopul asigurării unei convergenţe cât mai rapide şi pentru o cât mai bună rejecţie a perturbaţiilor externe, deci pentru a realiza robusteţea observatorului.

78

79

Noutatea structurii constă în continua adaptare a coeficienţilor kVP şi kVI ai compensatorului PI, care are ca intrarare modulul erorii |e|, precum şi utilizarea unei reacţii de tip "feedforward" derivativă având coeficientul kVDf de asemenea adaptabil. Legile de adaptare ale coeficienţilor folosesc structuri variabile cu moduri alunecatoare având dreapta de comutaţie S, şi au expresiile:

k SS

kVPb

P=+| | δ

, kP > 0 , δb > 0 (4.9-1)

kVIS

SS k

bI= −

+[ ] sgn( )1 | |

| | δ , kI > 0 , δb > 0 (4.9-2)

kVDf = +1 SS

kf

Df+[ sgn( )]

| |&

δθ , kDf > 0, δf > 0 (4.9-3)

Ce e= + &

θ^

TL1^

ε^e |e|-

TL^

kVI

kVPθ

Te^

-

ω^

s

C S

skVDf

1/s

1/J 1/sos

ω^

Fig.4.9_1. Observator de viteză cu structură variabilă

S , C > 0 (4.9-4)

δb-δb

S

/kP

/kI

kVP

kVI

1

-1

Fig.4.9_2. kVP şi kVI funcţie de S

Observaţia 4.9-1. Dependenţele kP(S), kI(S) prezentate în fig.4.9_2, realizează dezideratele ideale pentru un observator: pentru |S| mare kVP este mare pentru a accelera convergenţa, iar pentru |S| mic kVI este mare pentru ca în regim staţionar să nu existe eroare de estimare şi zgomotele de măsură să nu fie amplificate. Alt avantaj este acela că se păstrează robusteţea dată de tehnica modurilor alunecatoare, însă fără a produce oscilaţii mici în jurul originii erorii de estimare pentru că legea de modificare a coeficienţilor este continuă. Referiri la problema stabilităţii unei clase de observatoare neliniare din care face parte şi observatorul prezentat este tratată în [Suyi93]. 4.10. Observator de viteză şi poziţie de ordin complet din curenţi şi tensiuni Ecuaţiile de stare ale MSMP sunt neliniare şi cuplate. În referenţialul dq fix faţă de rotor, cu notaţiile cunoscute privind variabilele, aceste ecuaţii au forma:

80

i i

−ω ω ω

θ θ

(0) =

, (0) =

(0) =

0

0

0

TL

$

&i Ai A i H Bu& Ci i C i&

2T

2

= + + +

= + − −

=

ω ω

ω ω

θ ω

,

sgn( )

,

b f (4.10-1)

unde i = i(id, iq) şi u = u(ud, uq) sunt vectorii curent şi tensiune statorică în referenţialul dq obţinuţi din cei corespunzători din referenţialul αβ utilizând operarul de rotaţie având ca argument pozitia unghiulară θ. Matricele utilizate sunt constante şi de dimensiuni corespunzătoare. În scopul estimării vitezei ω^ şi a poziţiei θ^ din mărimile măsurate ale curenţilor şi tensiunilor se poate folosi un observator de stare de ordin complet (OSOC) tip Luenberger, la care eroarea de predicţie este eroarea de curent ( i - i ). Ecuaţiile OSOC sunt de forma: $&i A$i $ A $i H $ Bu K i $i$& C$i $i C $i $ $ K i

$& $

i= + + + + −

= + − − +

=

ω ω

ω ω ω

θ ω

2 ( ) ,

sgn( ) (

,

T b f ω

$i $i$i $ $

$ $

− ω ω

θ θ

2 0

0

(0) =

) , (0) =

(0) =

0

(4.10-2)

Pentru concizie, s-a utilizat exprimarea relaţiilor în timp continuu. Relaţiile în timp discret sunt similare, obţinându-se prin discretizare cu o perioadă de eşantionare dată, de exemplu prin metoda Euler avansată.

Parametrii acţionării care se pot modifica în timp sunt în special cei aferenţi părţii mecanice: momentul de inerţie echivalent Jo, coeficientul de frecări vâscoase b, coeficientul de frecări tip Coulomb f. Aceşti parametri pot fi estimaţi folosind un estimator recursiv cu metoda celor mai mici pătrate ponderate cu un factor de uitare [Sepe92], însă implementarea în timp real este dificilă. Cuplul de sarcină TL se poate estima cu una dintre metodele prezentate în paragraful 4.3.1. OSOC (4.10-2) este neliniar, ca de altfel şi ecuaţiile modelului MSMP (4.10-1) de la care s-a plecat. Prin urmare, viteza de convergenţă a OSOC este variabilă cu ω pentru o alegere a compensatorului KI ,Kω - matrice constante. În vederea îmbunătăţirii convergenţei se pot determina prin simulare KI, Kω pe domenii discriminante funcţie de ω [Chan94]. O idee asemănătoare privind OSOC (4.10-2) este prezentată în [Sepe90], [Sepe92], însă performanţele acţionării la viteze relativ mici sunt deficitare.

81

$

$θ

Observaţia 4.10-1. Relaţiile (4.10-2) ale OSOC conduc aparent la o structură de conducere a MSMP fără traductoare de mişcare. Însă referenţialul dq utilizează transformările de coordonate abc>dq pentru curenţi şi tensiuni în care apare poziţia θ care, în această situaţie este estimata θ . Prin urmare, referenţialul dq este estimat pentru că foloseşte în loc de θ, deci pot apare implicaţii serioase privind stabilitatea. Structuri eficiente de conducere fără traductoare de mişcare care utilizează doar traductoare de curenţi şi tensiuni statorice sunt prezentate extensiv în capitolul 8. 4.11. Analiza comparativă a estimatoarelor. Concluzii În acest capitol s-au prezentat soluţii privind algoritmi de estimare a derivatelor cu aplicaţii la estimarea vitezei momentane şi a acceleraţiei momentane utilizând uzual poziţia măsurată. Estimatoarele prezentate se împart în două categorii: i) estimatoare fără corecţii (fără reacţie) care utilizează pentru aproximări ipoteze

apriorice; ii) estimatoare asimptotice sau observatoare, care lucrează în buclă închisă şi care

dispun de o corecţie predictivă în scopul asigurării unei convergenţe mai rapide şi a unei mai bune robusteţi la variaţia parametrilor sistemului şi la perturbaţii.

i) Estimatoare fără corecţii (paragrafele 4.1 - 4.5) Estimatoarele de derivate cu filtre sau cu metode de integrare numerică au dezavantajul principial că prezintă o întârziere de estimare care poate afecta stabilitatea sistemului. O soluţie de preferat din acest punct de vedere este folosirea

82

estimatoarelor cu predicţie, dar care însă presupun ipoteze apriorice privind evoluţia în timp a variabilelor de estimat. O mare parte din aplicaţii necesită estimarea vitezei momentane din poziţia măsurată cu TIRO, mai precis - din viteza medie obţinută prin metoda măsurării perioadei (MT) sau prin metoda măsurării frecvenţei (MF). Pentru această clasă de estimatoare se prezintă o analiză critică detaliată a performanţelor acestora.

Tipurile de estimatoare de viteză momentană analizate prin simulare, atât din clasa MT, cât şi din clasa MF, sunt:

a) de ordin 1 cu filtru (fig.4.1_3a), notat EF1; b) de ordin 2 şi 3 cu aproximări polinomiale (tabel 4.3-1), notate EAP2,

EAP3; c) de ordin 2 şi 3 cu diferenţe retardate (tabel 4.4-1), notate EDR2, EDR3; d) de ordin 4 şi 8 cu metoda celor mai mici pătrate -ecuaţia (4.5-8) şi tabelul

4.5-1, notate, cu referire la parametrul M/N: EMP1/4, EMP2/8, EMP3/8.

În scopul testării şi evaluării performanţelor dinamice şi de regim staţionar ale acestor estimatoare, s-au folosit la intrare semnale de probă de următoarele tipuri [Brow92]: un profil oscilant amortizat de viteză mică cu suprareglaj de 50%; un profil oscilant amortizat de viteză mare cu suprareglaj de 50%; un profil trapezoidal de viteză mică. Testarea s-a realizat în două situaţii: succesive

t1) cu TIRO perfect, adică impulsurile sunt echidistante cu Δxk = 1; t2) cu TIRO imperfect, adică cu secvenţa impulsurilor de forma Δx4i+1 = 0,95, Δx4i+2 = 0,95, Δx4i+2 = 0,90, Δx4i = 1,2 pentru orice i.

Analiza erorilor relative de estimare în situaţiile t1) şi t2) pentru metoda MT şi respectiv pentru metoda MF conduc la următoarele concluzii: Nu există un tip anume de estimator superior pentru toate situaţiile analizate. Alegerea celui mai bun estimator depinde de aplicaţie, utilizând următoarele criterii de selecţie:

• La viteze mari se recomandă estimatoarele din clasa MF. Erorile cele mai mici pentru regimul permanent se obţin cu EMP. Erorile minime de urmărire în viteză în regim dinamic se obtin cu EDR3 sau EAP3, pentru viteze mai mari ca 100 impulsuri /perioadă. La viteze foarte mari, unde timpul de calcul devine important, se recomandă EF1.

• La viteze mici se recomandă estimatoarele din clasa MT. Datorită faptului că acestea sunt sensibile la imperfecţiunile TIRO, nu se utilizează EAP sau EDR, ci se recomandă EMP, care filtrează aceste imperfecţiuni şi asigură totodată un bun răspuns tranzitoriu.

• Pentru domeniu extins de viteză se recomandă utilizarea îmbinată a estimatoarelor din clasa MT şi MF, selecţia acestora fiind realizată funcţie de domenii de viteză sau cel mai bine soluţia MTF din paragraful 4.6. ii) Estimatoare asimptotice - observatoare (paragrafele 4.6 - 4.10) Observatoarele de viteză şi acceleraţie din poziţie, prin reacţia negativă predictivă folosită, au avantajul unei convergenţe mai rapide, cu o întârziere de fază minimizată şi cu o reducere a sensibilităţii estimării la variaţia parametrilor.

83

$ , $ $&θ ω ω ,

Analiza studiilor de caz pe baza rezultatelor de simulare numerică din paragraful 4.7.3 conduce la concluziile următoare privind estimarea variabilelor

din poziţia măsurată θ. În scopul obţinerii unei dinamici de estimare rapide se recomandă utilizarea structurilor de observatoare OEOC+Te sau OEOC-Te din paragraful 4.7.2.

• Observatorul OEOC+Te foloseşte cuplul electromagnetic estimat Te^, sau posibil pe cel prescris Te*, obţinându-se astfel o întârziere de fază minimă. Acesta livrează în plus estimata cuplului echivalent de sarcină TL^, dar are însă dezavantajul că constantele observatorului depind de estimata momentului de inerţie Jo.

• Observatorul OEOC-Te este mai robust la variaţia parametrilor procesului şi nu necesită estimarea cuplului electromagnetic Te^.

• Un observator neliniar eficient este observatorul de viteză cu structură variabilă din poziţie, prezentat în paragraful 4.9, prevăzut cu filtre de zgomot de tipul celor prezentate în paragraful 6.3.4.

• Observatoare de poziţie şi viteză din curenţi şi tensiuni statorice, observatoare eficiente utilizate în structuri de conducere fără traductoare de mişcare sunt prezentate în capitolul 8.

Utilizarea acestor observatoare conduce la obţinerea unor performanţe de regim dinamic şi permanent sensibil îmbunătăţite. Pulsaţiile datorita estimării vitezei şi acceleraţiei sunt mai mici, acţionarea este mai silenţioasă şi mai precisă mai ales în aplicaţii de conducere a proceselor cu vibraţii însemnate cum ar fi roboţi industriali, maşini unelte cu comandă numerică, mori de ciment, etc.

83

5. ESTIMATOARE DE FLUX ŞI CUPLU

ELECTROMAGNETIC 5.1. Problematica estimării fluxului Metodele moderne de conducere a MSMP, cum sunt conducerea vectorială cu orientare după câmp sau conducerea vectorială directă în cuplu şi flux, necesită estimarea vectorului flux din întrefier şi a cuplului electromagnetic. Estimarea fluxului la MSMP se poate realiza prin: i) Estimatoare de flux fără corecţii (pe scurt - estimatoare) care folosesc

modele ale subsistemului electromagnetic al MSMP. Estimarea este sensibilă la variaţii de parametri şi deci prezintă dezavantajul unor erori mai mari de estimare.

ii) Observatoare sau estimatoare asimptotice de flux care folosesc modele ale subsistemului electromagnetic al MSMP cu reacţii de tip corecţie predictivă a erorii de estimare în scopul asigurării unei convergenţe mai rapide şi a reducerii senzitivităţii estimării la variaţia parametrilor maşinii.

Estimarea fluxului la MSMP cu estimatoare de flux fără corecţii este larg folosită [Bold91a], [Bold92], [Lage94], pe când estimarea cu observatoare de flux este mai puţin tratată în literatură [Bile93], [Andr94b], [Andr96a], [Vaga97], [Andr98d]. Altfel stă problematica estimării fluxului la maşina asincronă cu rotorul în colivie, problematică care are mai multe abordări în literatura de specialitate: Estimarea fluxului numai cu model de tensiune constituie o abordare atractivă datorită simplităţii, dar apar probleme datorită utilizării integratorului pur. Foarte recent, în acest domeniu s-au propus câteva soluţii interesante şi eficiente aplicate la maşina asincronă, soluţii care se concentrează asupra compensării offsetului integratorului [Bose97a], [Prof98], [Hurs98], [Hu 98]. Observatoarele de flux care utilizează o combinaţie între modelele de tensiune şi modelele de curent sunt tratate pe larg pentru maşina asincronă, în literatură deosebindu-se două direcţii: i. o tratare având la bază teoria matematică a observatoarelor neleniare (de ordin

complet sau de ordin redus) [Verg88]; ii. o tratare combinată, punându-se accentul pe aspectul fizic al fenomenelor

electromagnetice din maşină [Jans94a], [Lore94], [Casa96].

Unele idei şi soluţii privind estimarea fluxului de la maşina asincronă se pot extinde şi la MSMP.

5.2. Estimatoare de flux fără corecţii Modelele matematice cu vectori spaţiali pentru subsistemul electromagnetic al MSMP, în ipoteza neglijării coliviei de amortizare, cuprind ecuaţii vectoriale ale tensiunii statorice (Eu) şi relaţii dintre fluxuri şi curenţi (Ei) (paragraful 2.2), scrise fie în referenţialul statoric αβ sau abc, fie în referenţialul rotoric dq. Estimatoarele de flux fără corecţii sunt realizate pe baza acestor modele, având expresiile scrise în formă vectorială, cu notaţiile cunoscute:

84

$ $s sλ λ= ( )0 0

$ $r r r rλ λ=, ( )0 0

Eus: (5.2-1) $& i us s sλ = − +Ro ,

Eur: (5.2-2) $& $ i ur rλ λ= − − +j ω Ro

Eis: $ i i $s sλ λso o o

sL L= + +32 2 0 * e e ; sau j 2 j θ θ L io

s so o= + 0( ) ( )λ θ λ θ

$ $ L ir ror rλ λ = + oλ λ0 0

λ r ri u= =( , ), ( , )i i u ud q d q

(5.2-3)

Eir: (5.2-4) = + +L i L ido d o qo qj ; sau

λ s s s ri u= = = =( , ), ( , ), ( , ), ( , ), λ λ λ λα β α β α βi i u u d q

Indicele superior arată referenţialul considerat: "s" - statoric αβ, respectiv "r"- rotoric dq; "^" indică variabile estimate. Indicele inferior "o" indică parametri estimaţi. Mărimile electrice vectoriale sunt: u - tensiune statorică, i - curent statoric, λ - flux din întrefier, iar θ este poziţia unghiulară electrică. Parametrii estimaţi sunt: Ro - rezistenţa unei faze statorice; Lo = Lsσo + 3/2L0o inductanţa echivalentă a unei faze; L2o -inductanţa de cuplaj mutual; Ldo, Lqo - inductanţele sincrone longitudinală, respectiv transversală; λ0o - fluxul magnetului permanent. Mărimile de intrare măsurabile sunt: us, is, θm - poziţia unghiulară mecanică a rotorului, iar mărimea de ieşire este λr sau λs. Transformările din referenţialul "s" în "r" şi invers, folosesc transformata de rotaţie e -jθ, respectiv e jθ, unde θ = pθm, p - număr perechi de poli. În fig.5.2_1a,b,c,d se prezintă schemele bloc vectoriale ale celor patru estimatoare de flux corespunzătoare ecuaţiilor (5.2-1) - (5.2-4), estimatoare notate astfel:

Eus - estimator de flux cu model de tensiune în referenţialul "s"; Eur - estimator de flux cu model de tensiune în referenţialul "r"; Eis - estimator de flux cu model de curent în referenţialul "s";

Eir - estimator de flux cu model de curent în referenţialul "r".

us

is

λs

Ro

-

a. Estimator Eus

θ

isLs

oo(θ)

λ0o(θ)

λs

c. Estimator Eis

jX

ur

ir

λr

Ro

- -

ω

b. Estimator Eur

irLr

o

λ0o

λr

d. Estimator Eir

Fig.5.2_1. Estimatoare de flux la MSMP

În continuare se face o analiză critică a estimatoarelor de flux.

85

jω $ rλ

i. Estimatorul Eur prezintă avantajul că integratorul are reacţie locală şi deci este stabil pentru ω ≠ 0, însă are următoarele dezavantaje: - este neliniar depinzând de ω prin termenul ; - la viteze mici este sensibil cu variaţia rezistenţei Ro.

ii. Estimatorul Eis conţine parametrii magnetici ai MSMP variabili cu θ şi deci din acest punct de vedere nu se recomandă în implementări.

iii. Estimatoarele Eus şi Eir au parametrii invarianţi cu θ şi deci se recomandă în implementări. Pe de altă parte, Eir foloseşte operatorul de rotaţie funcţie de θ.

iv. Estimatorul Eus se recomandă în gama de viteze începând de la viteze nu prea mici (ω > nx10 rad/s) până în zona de slăbire de câmp inclusiv, situaţie în care Ro is << us şi deci estimatorul este practic puţin sensibil la variaţia rezistenţei Ro cu temperatura statorului Ts. La viteze mici însă această relaţie nu mai este îndeplinită deoarece tensiunea electromotoare indusă prin rotaţie este comparabilă cu Ro is şi deci estimatorul este puternic sensibil la variaţia lui Ro. Mai mult, integratorul nu are reacţie locală şi deci sistemul este la limita de stabilitate şi este sensibil la zgomote şi la offsetul provenit la măsurarea curenţilor is şi a tensiunilor us.

v. Estimatorul Eir conţine parametrii magnetici ai MSMP. Matricea inductanţelor Lr

o (Ldo, Lqo) este practic constantă până la apariţia saturaţiei magnetice, fenomen care poate fi evitat prin limitările impuse curenţilor is de către sistemul de conducere. Variaţia cea mai importantă este cea a fluxului magnetului permanent λ0o(Tr) variabil cu temperatura rotorului Tr după o lege cunoscută (tabelată). Dacă materialul utilizat este ferită atunci această lege este de tip

86

liniar. Temperatura rotorului Tr se poate determina din temperatura statorului Ts, funcţia de transfer Tr /Ts fiind bine aproximată cu cea a unui element de transfer tip PT1 având constanta de timp de ordinul minutelor [Bose88]. Estimatorul Eir nu are dinamică fiind de tip P şi deci este stabil.

vi. Cu toate că estimatoarele au topologii similare cu modelele electomagnetice ale MSMP, ele se deosebesc profund de acestea prin aceea că în cadrul estimatoarelor nu are loc un trasfer fizic de energie, variabilele fiind limitate de domeniul de reprezentare numeric.

vii. Fluxurile estimate prezintă avantajul că au forme de variaţie în timp cu un zgomot de comutaţie mult redus comparativ cu formele de variaţie în timp a curenţilor.

În concluzie, consideraţiile prezentate mai sus conduc la următoarele observaţii şi recomandări de utilizare a estimatoarelor de flux. 1. Estimatorul Eir se recomandă la viteze mici inclusiv viteza zero. Acest

estimator nu are dinamică, dar este sensibil în special la variaţia fluxului magnetului permanent λ0o(Tr) cu temperatura rotorului şi în plus foloseşte operatorul de rotaţie care este funcţie de θ.

2. Estimatorul Eus se recomandă la viteze medii şi mari unde este practic insensibil la variaţia parametrilor MSMP fiind deci mai bun ca Eir.

3. Cele două estimatoare Eir şi Eus au comportări complementare şi sugerează ideea găsirii unei topologii care să îmbine avantajele acestora în sensul folosirii estimatorului Eir la viteze mici şi respectiv a estimatorului Eus la viteze mai mari, cu o tranziţie lină între cele două variante de estimare în funcţie de ω.

4. Fluxurile estimate prezintă avantajul că au forme de variaţie în timp mai line, cu un zgomot de comutaţie mult redus comparativ cu formele de variaţie în timp a curenţilor.

5.3. Observatoare de flux cu modele combinate de tensiune şi de curent Având în vedere observaţiile şi recomandările privind utilizarea celor patru estimatoare de flux prezentate în paragraful precedent, se propune realizarea unor observatoare de flux folosind combinaţii între estimatoarele de flux cu modele de tensiune (Eu) şi cele cu modele de curent (Ei). Principial, observatoarele de flux utilizează ideea observatorului tip Luenberger, dar compensatorul K al erorii de corecţie nu mai este liniar ci cu dinamică funcţie de viteza ω, în scopul selectării estimatorului tip Ei - la viteze mici, inclusiv viteza zero, respectiv a estimatorului tip Eu - la viteze medii şi mari, cu o trecere lină între cele două variante funcţie de viteza ω. Corecţia se aplică la nivelul estimatorului tip Eu, care are dinamică şi

87

conţine un element integrator, în scopul îmbunătăţirii stabilităţii şi a eliminării posibilului offset de componentă continuă. Vectorul de stare măsurabil este vectorul curent statoric is. Estimatoarele Eu cu dinamică estimează vectorul flux λ^( es) funcţie de tensiunea indusă es = us - Rois. Estimatoarele Ei fără dinamică estimează vectorul flux λ^( i) funcţie de vectorul curent statoric i, sau pot realiza operaţia inversă, adică să estimeze vectorul curent statoric i^( λ^) funcţie de estimata vectorului flux λ^.

În concluzie, ideile prezentate mai sus conduc la următoarelor criterii de clasificare - şi implicit de generare - a structurilor de observatoare de flux:

i) - după natura erorii de corecţie: • corecţie după eroarea de flux; estimatoarele Eu şi Ei lucrează în conexiune

paralel; observatoarele sunt denumite observatoare paralele, notate Oλλ. • corecţie după eroarea de curent; estimatoarele Eu şi Ei lucrează în

conexiune serie (cascadă); observatoarele sunt denumite observatoare serie, notate Oλi.

ii) - după tipul referenţialului în care se obţine corecţia: • referenţial statoric (αβ), notat cu indicele superior “s”; • referenţial rotoric (dq), notat cu indicele superior “r”.

ii) - după tipul perechii de estimatoare de flux folosite (Eux, Eiy) cu referire la referenţialul în care lucrează fiecare estimator, pereche notată - xy ∈{s, r}.

Exemplu: - notaţia Oλλs-sr semnifică: observator de flux cu: - i) corecţie după eroarea de flux (observator paralel Oλλ); - ii) corecţie în referenţialul statoric (s); - iii) foloseşte perechea (Eus, Eir).

Din punct de vedere al criteriilor i) şi iii) rezultă următoarele opt tipuri de observatoare de flux prezentate în tabelul 5.3-1. Observatoare paralele - corecţie Δλ Observatoare serie - corecţie Δi

Eu / Ei Eis Eir Eu / Ei Eis Eir

Eus Oλλs-ss Oλλs-sr Eus Oλis-ss Oλis-sr Eur Oλλs-rs Oλλr-rr Eur Oλis-rs Oλir-rr

Tabel 5.3-1. Tipuri de observatoare de flux cu modele combinate de tensiune şi curent Luând în considerare şi criteriul ii) numărul structurilor de observatoare de flux s-ar dubla, dar s-au selectat doar acele structuri (topologii) care folosesc un număr minim de transformări de rotaţie. Prin urmare, în fig.5.3_1 se prezintă cele opt topologii de observatoare de flux care au rezultat din considerentele de mai sus.

-Eus

Eis

K

is

es

$ sλ

$csλ

θθ

88

| Dezavantaje | Avantaje

Oλ / D-A. Eis(θ) Eur(ω) ejθ λs^ λr^ ir er Clasat Oλλs-ss x x 3 Oλλs-sr x x x 1 Oλλs-rs x x x x x 4 Oλλr-rr x x x x x 2 Oλis-ss x x 3 Oλis-sr x x x 1 Oλis-rs x x x x x 4 Oλir-rr x x x x x 2

Tabel 5.3-2. Comparaţie critică între observatoarele de flux pentru MSMP anizotrope

-Eus

Eir

K

is

es

$ sλejθe-jθ

Oλλs-ss Oλλs-sr

ω

-

Eis

K

is

es

$ sλ

$csλ

θ

θ

Eur ejθe-jθ

-Eur

Eir

K

is

es

$λ r

$cλ r

ω

e-jθ

e-jθ

θ

Oλλs-rs Oλλr-rr

esθ

$i s

-Eus Eis

K

is

es

$ sλ

Oλis-ss

-Eus Eir

K

is$ sλ

Oλis-sr

e-jθ ejθθ

irωes $i s

-EisEur

K

is$ sλ

Oλis-rs

e-jθ ejθθ

ω θ

-Eur Eir

K

es

$λ r

Oλir-rr

e-jθ

e-jθ

$csλ

$i s

$i r

Fig.5.3_1. Structuri de observatoare de flux Oλλ şi Oλi

89

În tabelul 5.3-2 se prezintă o comparaţie critică între observatoarele Oλλ şi Oλi şi se dă un clasament al acestora. Se consideră ca dezavantaje faptul că în structura observatorului apar funcţii neliniare ca: Eis(θ) care este funcţie de θ; Eur(ω) care este funcţie de ω; operatorii de rotaţie e ± jθ. Se consideră ca avantaje faptul că la nivelul observatorului sunt disponibile pe lângă λs^ şi/sau λr^ şi variabile în referenţialul rotoric dq: ir, er.

Studiind cu atenţie structurile de observatoare propuse, se evidenţiază următoarele observaţii şi concluzii:

i) Structurile de observatoare de flux Oλ propuse utilizează, într-un mod fericit, părţile bune ale estimatoarelor fără corecţii de tip Eu şi Ei rezultând o estimare mai performantă a fluxului funcţie de viteza ω, comparativ cu cea obţinută numai cu estimatoarele fără corecţii.

ii) Se accentuează ideea esenţială cum că compensatorul K trebuie să fie cu dinamică (PID, cu moduri alunecătoare, neliniar, etc.) în scopul realizării, în principal, a selecţiei estimatoarelor Ei sau Eu din componenţa observatorului de flux şi a tranziţiei line între cele două estimatoare funcţie de viteza ω. În paragraful 7.1.2 se demostrează că structura cea mai simplă a compensatorului K, care satisface dezideratele impuse, este de tip PI, dându-se şi relaţii de proiectate parametrică şi recomandări de utilizare. Zona de tranziţie între cele două modele este dictată de banda de frecvenţă a observatorului care se poate ajusta prin alegerea parametrilor compensatorului.

iii) Observatoarele de tip Oλλ sunt mai puţin sensibile de perturbaţii; folosesc estimate ale fluxului care au forme de undă mai puţin zgomotoase comparativ cu formele de undă ale curenţilor statorici afectate de zgomotele de comutaţie ale invertorului, mai ales în cazurile defavorabile când MSMP nu este încărcată cu cuplu de sarcină.

iv) La observatoarele de tip Oλi în tensiunea indusă se poate înlocui termenul Roi cu se termenul Roi^ în scopul îmbunătăţirii stabilităţii, în special în cazul utilizării estimatorului Eus care are caracter de integrator pur.

v) Observatoarele de tip Oλi prind în buclă închisă ambele estimatoare Eu şi Ei din componenţa lor şi prin urmare este de aşteptat ca aceste observatoare să fie mai puţin sensibile la variaţii ale parametrilor MSMP.

vi) Estimatoarele Eis şi Eir sunt ambele dependente de poziţia θ, dar se preferă utilizarea în observator a Eir care are parametrii - inductanţele constante.

vii) Estimatorul Eur este dependent de viteza ω, dar integratorul are reacţie locală, şi variabilele în referenţialul "r" sunt constante în timp în regim permanent.

În rezumat, observaţiile de mai sus împreună cu comparaţia critică între observatoarele de flux din tabelul 5.3-2 evidenţiază următoarele recomandări de utilizare în practică:

1) Observatoarele de flux Oλλs-sr şi Oλis-sr sunt clasate pe locul întâi şi deci se recomandă în aplicaţii. Aceste structuri au parametrii invarianţi cu viteza ω şi cu poziţia θ. Oλλs-sr are în plus faţă Oλis-sr avantajul dat de observaţia iii).

90

$ i sλ so oL= + λ θ

0 e j

e u i= − Ro unde:

2) Pentru MSMP izotrope (L2o = 0, şi deci Ld=Lq) se recomandă Oλλs-ss şi Oλis-ss deoarece modelul Eis: este simplificat şi deci efortul de calcul este mai redus.

3) Observatoarele de flux Oλλr-rr şi Oλir-rr sunt clasate pe locul doi şi se recomandă în situaţiile când se doreşte utilizarea variabilelor electrice în referenţialul rotoric dq, cu toate că modelul Eur(ω) este funcţie de viteza ω.

4) Observatoarele de flux Oλλr-rs şi Oλir-rs sunt clasate pe locul patru şi nu se recomandă în aplicaţii.

Concluzia acestui studiu sintetic evidenţiază şase structuri de observatoare de flux cu modele combinate de tensiune şi curent care prezintă interes în practică. 5.4. Estimatoare de flux din model de tensiune cu integrator modificat compensat neliniar 5.4.1. Problematica estimării fluxului cu model de tensiune Estimarea vectorului flux λ^ se poate realiza, în principiu, prin integrarea vectorului tensiune indusă e din modelul de tensiune Eus în referenţialul statoric αβ.

$ e $λ λ= +∫ dt tt

t

0

( ), 0 (5.4-1)

Tensiune indusă e este de formă armonică, în cazul ideal. Metoda este deosebit de atractivă deoarece necesită doar informaţii de tensiune statorică u şi de curent statoric i şi nu necesită informaţii despre mărimi cinematice - poziţie şi/sau viteză. Singurul parametru care depinde de modelul MSMP este rezistenţa unei faze statorice R care se modifică liniar cu temperatura statorului. Erori în estimarea acestui parametru influenţează negativ estimarea din (5.4-1), în special la viteze mici, când căderea de tensiune Roi devine comparabilă cu tensiunea statorică u. Pe de altă parte, implementarea unui integrator pur ridică probleme practice dificile legate de compensarea driftului şi stabilirea condiţiilor iniţiale [Wu 91], [Hu 98]. Sunt mai multe cauze care pot destabiliza integratorul [Hurs98]: - offset

91

de curent continuu şi zgomote pe canalele de măsură; - erorile de cuantizare şi de aproximare numerică; - erori de estimare a parametrilor (rezistenţa statorică R). În practică, la măsurarea curenţilor statorici i şi/sau a tensiunilor statorice u apare inevitabil o componentă continuă care, oricât de mică ar fi, poate conduce ieşirea integratorului în saturaţie. O altă problemă este corecta iniţializare a celor două componente ale integratorului, corespunzătoare axelor α,β, cu condiţia iniţială λ^(t0), având în vedere că intrările sunt semnale armonice. Dacă iniţializarea nu este corectă rezultă un offset la ieşire de valoare constantă suprapus peste componentele armonice utile. O altă sursă care poate genera offset la ieşire apare în situaţiile de modificare bruscă a semnalelor de la intrare [Hu 98] - a caracterului lor armonic, spre exemplu în cazul reversărilor de viteză [Bose97a].

• O primă soluţie simplă la aceste probleme este înlocuirea integratorului pur cu un filtru trece jos de ordin 1 (FTJ1), care însă prezintă dezavantajul că produce erori în amplitudine şi întârziri de fază, în special pentru frecvenţe mai mici ca frecvenţa de frângere. Din acest motiv, estimatoarele care folosesc această soluţie lucrează într-un domeniu mic de viteze 1:10. O îmbunătăţire a acestei soluţii ar putea fi utilizarea unui filtru trece jos adaptiv (FTJA1) cu viteza [Hurs98], [Andr98d] şi compensarea caracteristicilor de frecvenţă.

• A doua soluţie utilizează un fitru trece jos FTJ1 cu o frecvenţă de frângere nu prea scăzută şi cu un mecanism de compensare rapidă a offsetului. Metoda de detecţia a offsetului şi driftului se bazează pe determinarea a două valori extreme consecutive ale componentei fluxului pe axa respectivă - un maxim şi un minim [Prof98]. Înainte de pornire, se determină offsetul iniţial al traductoarelor de curent şi/sau tensiune, idee propusă şi în [Lage94]. Aplicaţiile care utilizează această metodă acoperă un domeniu destul de larg de viteze, viteza minimă atinsă experimental fiind de 10 rpm, pentru o acţionare cu motor de inducţie [Prof98].

• A treia soluţie ingenioasă, prezentată în paragraful 5.5, echivalează integratorul, din punct de vedere al caracteristicilor de frecvenţă, cu o cascadă de filtre trece jos identice adaptive FTJA1, cu frecvenţa de frângere adaptiv modificată cu viteza şi cu compensări ale amplitudinii şi fazei după relaţii neliniare relativ complicate [Bose97a], [Bose97b]. Această soluţie dă rezultate bune într-o plajă destul de largă de viteze, inclusiv la viteze mici, dar necesită măsurarea sau estimarea vitezei şi estimarea rezistenţei R în timpul funcţionării şi un efort de calcul considerabil mărit.

• A patra soluţie interesantă constă într-un integrator modificat cu mecanisme neliniare de compensare pentru a rejecta offsetul şi a evita distorsiunile [Hu 98]. Metoda dă rezultate bune în plaja de viteze 1:100, şi nu necesită măsurarea mărimilor cinematice, deci se pretează la sisteme de conducerea fără traductoare de mişcare. În continuare se prezintă patru variante structurale ale acestei soluţii.

5.4.2. Observator de flux cu integrator modificat cu reacţie de compensare - caz principial Atât un integrator pur (I) cu eventuale reacţii de corecţie pentru stabilizare, cât şi un filtru trece jos de ordin 1 (FTJ1), pot fi exprimate printr-o relaţie generală (5.4-2), unde: e - mărime de intrare, z - mărime de compensare, λ - mărime de ieşire.

λ =ω

ωω+

++

1s

es

zc

c

c (5.4-2)

Cele două elemente pot fi privite ca şi cazuri particulare ale acestei relaţii. Pentru z = λ relaţia (5.4-2) este echivalentă cu un integrator pur (λ = e/s) [Hurs98], iar pentru z = 0 rezultă un FTJ1 cu frecvenţa de frângere ωc. Pentru semnale armonice, FTJ1 aproximează un integrator, din punct de vedere al caracteristicilor de frecvenţă, cu atât mai bine cu cât frecvenţa de intrare ω este mai mare ca ωc, şi prezintă avantajul că limitează la ieşire efectul unei eventuale componente continue prezente la intrare, deci ieşirea nu se saturează. În continuare se dezvoltă patru integratoare modificate cu reacţii de compensare neliniare care se bazează pe relaţia (5.4-2) la care compensarea z este modificată, obiectivul principal fiind rejectarea offsetului şi evitarea distorsiunilor. 5.4.3. Integrator modificat cu reacţie de compensare saturată O primă variantă de integrator vectorial modificat -cu reacţie de compensare saturată, este prezentată în fig.5.4_1. Ieşirea λ^ se compune din două componente λ1^ -componentă directă, şi λ2^ -componentă de reacţie: λ^ = λ1^ + λ2^. Se analizează cazurile privind limitarea:

1s c+ ω

ωωc

cs +

e λ^λ1^

λ2^ z L

Fig.5.4_1. Integrator vectorial modificat cu compensare saturată

• dacă λ^ < L, atunci structura are caracter de integrator pur; • dacă λ^ > L, atunci ieşirea λ^(λα, λβ) devine:

$λ =+1 e z+

+s sL

c

c

cωω

ω ( ) (5.4-3)

92

unde z(L) este ieşirea blocului de saturare a cărei amplitudine este limitată la valoarea L. În acest caz estimata λ^ este distorsionată cu toate că filtrul trece jos FTJ1 de pe calea de reacţie reduce aceste distorsiuni neliniare.

93

e L(cc) (cc) / c= +ω Dacă se consideră la intrare un semnal continuu constannt e(cc) atunci valoarea maximă a ieşirii este: , care arată că ieşirea nu este condusă spre saturaţie cu condiţia ca nivelul limitării L să fie corect ales.

$λ

În concluzie, principala dificultate constă în determinarea nivelului de limitare L. În scopul eliminării componentei continue de la ieşire, se recomandă a se alege L=λ, unde λ este amplitudinea fluxului. Dacă L >λ, atunci ieşirea conţine o componentă armonică utilă plus o componentă continuă nedorită: λ^ =λ^arm + λ(cc). Dacă L <λ, atunci ieşirea nu conţine nici o componentă continuă, dar estimata λ^ este distorsionată neliniar [Hu 98]. 5.4.4. Integrator modificat cu limitator de amplitudine

A doua variantă de integrator modificat dispune în reacţia de compensare de un limitator de amplitudine în scopul evitării apariţiei distorsiunilor neliniare prezente în prima variantă. În fig.5.4_2 se prezintă structura acestei variante care foloseşte trasformări vectoriale de coordonate - din Cartezian în Polar şi invers (5.4-4), şi un bloc care limitează amplitudinea componentelor λ^ la o valoare fixată

L.

$ $ $ $ $ $ $$ $λ λ= = = +λ λ λ λ λθ θ

α βe , e , , sin jL L

j 2 2 $$

$$

$

$= =θ

λ

λθ

λ

λβ α, cos

λβ^

(5.4-4)

1s c+ ω

ωωc

cs +

eα

1s c+ ω

ωωc

cs +θ^

Polar↓

Cartez

Cartez↓

Polar

L

eβ

λ

λα^

^λL^

λα1^

λα2^

λβ1^

λβ2^

Fig.5.4_2. Integrator modificat cu limitator de amplitudine

Avantajul major al soluţiei constă în faptul că componenta de reacţie λ2^ nu mai este distorsionată neliniar din cauza saturării amplitudinii, ea fiind, de acestă dată, tot timpul o mărime armonică cu amplitudinea limitată. Pe de altă parte, apare următorul dezavantaj: dacă nivelul limitării L nu este corect ales, sau amplitudinea λ a fluxului nu este constantă rezultă o eroare de fază a vectorului λ^ [Hu98].

În concluzie, integratorul modificat cu limitator de amplitudine se recomandă în situaţiile când amplitudinea λ a fluxului este constantă. O soluţie complementară constă în modificarea adaptivă a nivelului limitării L corelat cu amplitudinea vectorului λ^: L = λ. Acest fapt se poate implementa uşor în sistemele de conducere care controlează amplitudinea λ a fluxului - conducere vectorială cu orientare după câmp, conducere vectorială directă în cuplu şi flux, unde amplitudinea λ a fluxului este menţinută constantă prin bucla de flux. 5.4.5. Integrator modificat cu compensare adaptivă tip e⊥λ A treia variantă de integrator modificat este cel cu compensare adaptivă tip e⊥λ prezentat în fig.5.4_3, şi se recomandă atunci când amplitudinea λ a fluxului este variabilă. Ideea care stă la baza acestei structuri constă în faptul că vectorul tensiune indusă e şi vectorul flux λ sunt ortogonali, - vezi exprimarea din (5.4-5), deci vectorii e şi λ prezintă o diferenţă de fază de π/2 în maşina reală. Datorită unui posibil offset, vectorul flux estimat λ^ se poate modifica, un exemplu fiind prezentat în fig.5.4_4 unde noul flux este λ^’, şi ca urmare apare o eroare de ortogonalitate de unghi δ definit de relaţia (5.4-6). Având în vedere exprimările vectorilor din (5.4-5), eroarea de ortogonalitate δ din (5.4-6) rezultă din expresiile Re(e λ*^) (5.4-7) care conduc la relaţia (5.4-8).

94

λα^

λ^

λβ^

1s c+ ω

ωωc

cs +

eα

1s c+ ω

ωωc

cs +θ^

Polar↓

Cartez

Cartez↓

Polar

eβ

PI

eαλα^ + eβλβ^

λc^

<eλ→π/2

δλα1^

λα2^

λβ1^

λβ2^

Fig.5.4_3. Integrator modificat cu compensare adaptivă e⊥λ

Este de remarcat faptul că din (5.4-8) se observă limitările acestei metode la viteze mici când e → 0.

95

e e= = ⊥, e , jθλ λλ λ

ee j eθ (5.4-5)

Δθ = − = +θ θπ

δλe$

2

sin$ $ $= +e e eλ δ λ λα α β β

(5.4-6)

Re( )e $*λ = − (5.4-7)

δλ λ

λα α β β≅ −

+ e e

e

$ $

$

δ

e

λ2^

λ2 ’̂

λ^

λ ’̂

λ1^

Fig.5.4_4. Vectorii e şi λ^ = λ1^ + λ2^

(5.4-8)

Un mecanism de adaptare realizează o compensare adaptivă a erorii de ortogonalitate δ, mecanism care funcţionează după cum urmează. Se calculează δ cu relaţia (5.4-8), apoi se forţează această eroare asimptotic către zero cu ajutorul unui compensator tip PI care ajustează amplitudinea λc^, şi deci amplitudinea componentei de reacţie λ2^ care este mărimea de execuţie a corecţiei. Un exemplu de compensare este dat în fig.5.4_4, unde este necesară o tendinţă de scădere a mărimii de execuţie λ2^’ în scopul ca eroarea δ să tindă către zero. În concluzie, integratorul modificat cu cu compensare adaptivă tip e⊥λ se poate utiliza cu succes în situaţiile când amplitudinea λ a fluxului este variabilă. 5.4.6. Integrator modificat cu compensare adaptivă tip λ1⊥λ2 A patra variantă de integrator modificat este cel cu compensare adaptivă tip e⊥λ prezentat în fig.5.4_5, constituind o alternativă la varianta a treia. Ideea acestui tip de compensare adaptivă provine din următoarea observaţie, cu referire la

λα^

λ^

λβ^

1s c+ ω

ωωc

cs +

eα

1s c+ ω

ωωc

cs +θ^

Polar↓

Cartez

Cartez↓

Polar

eβ

PI

λα1^λα2^ + λβ1^λβ2^λc^

<eλ→π/2

δλα1^

λα2^

λβ1^

λβ2^<λ1λ2→π/2

Fig.5.4_5. Integrator modificat cu compensare adaptivă λ1⊥λ2

fig.5.4_4: în situaţia corectă de funcţionare când δ = 0, componentele vectoriale ale fluxului λ^: λ1^ şi λ2^ sunt ortogonale, ele fiind fixate de aceeaşi întârziere de fază Φ = -atan(ω/ωc) introdusă de filtrele FTJ1 de pe calea directă şi cea de reacţie. Această constatare conduce la o altă variantă a mecanismului de adaptare: eroarea de ortogonalitate δ se determină din componentele vectorilor λ1^ şi λ2^ (5.4-9). Cum vectorul λ1^ este fixat faţă de e, mărimea de execuţie este tot vectorul λ2^.

96

λ λ λ λ

λ λα α β β≅ −

+$ $ $ $

$ $1 2 1 2

1 2

(5.4-9) δ

În concluzie, avantajul acestei soluţii este acela că în mecanismul de adaptare se utilizează numai componente filtrate. În consecinţă, se atenuează substanţial zgomotul datorită comutaţiilor invertorului, zgomot care este prezent în semnalul de intrare: e = u - Ri. Această variantă se recomandă în situaţiile când amplitudinea λ a fluxului este variabilă, ca şi în cazul celei de a treia variante. 5.4.6. Concluzii În acest paragraf s-au prezentat patru variante de estimare a fluxului din modelul de tensiune cu integratoare modificate cu reacţii de compensare neliniare.

1. Varianta 1 - cu integrator modificat cu reacţie de compensare saturată prezintă distorsiuni neliniare sau offset dacă limitarea L ≠ λ, şi prin urmare nu se recomandă în implementare.

2. Varianta 2 - cu integrator modificat cu limitator de amplitudine elimină distorsiunile de neliniaritate, dar în situaţia L ≠ λ apar distorsiuni de fază. Soluţia se recomandă pentru aplicaţii la care se cunoaşte λ: λ = const., sau λ este controlat prin buclă de flux.

3. Variantele 3 şi 4 - cu integrator modificat cu compensări adaptive tip e⊥λ, respectiv tip λ1⊥λ2 ajustează automat nivelul amplitudinii fluxului de compensare λc^ către o valoare optimă astfel că problemele de offset şi de condiţii iniţiale sunt în mod esenţial eliminate. Aceste variante se recomandă în cazurile când amplitudinea λ a fluxului este variabilă.

4. Comparativ, varianta 4 faţă de varianta 3 are avantajul că în mecanismul de adaptare se utilizează numai componente filtrate, deci se atenuează zgomotul datorită comutaţiilor invertorului şi, ca urmare, sunt de aşteptat performanţe mai bune în special la viteze mici.

5. Variantele de estimare a fluxului dau rezultate bune în domeniul specificat de aplicaţii, într-o plajă destul de largă de viteze 1:100, şi nu necesită măsurarea

mărimilor cinematice deci se pretează la sisteme de conducere a MSMP fără traductoare de mişcare.

5.5. Estimator de flux din model de tensiune cu cascadă de filtre trece jos adaptive Problema care se pune este de a estima vectorul flux din modelul de tensiune Eus în cazul în care acţionarea lucrează într-un domeniu mai larg de viteze, inclusiv la viteze mici apropiate de zero. În acest scop, o soluţie simplă constă în a integra vectorul tensiune indusă e = u - Ri în referenţialul statoric αβ cu ajutorul unui integrator real implementat cu un filtru trece jos de ordin 1 (FTJ1) care este proiectat cu o constantă de timp foarte mare. Această soluţie are un dezavantaj major la viteze mici prin aceea că compemsarea offsetului (componenta continuă) se realizează cu o viteză de convergenţă foarte lentă dictată de constanta de timp aleasă. Cum fluxul este o mărime armonică, componenta continuă de offset conduce la erori grave.

Pe de altă parte, dacă integratorul este echivalat cu o cascadă de filtre FTJ1 cu constante de timp mici, compensarea offsetului se realizează mult mai rapid, şi deci se rezolvă problema ridicată. În continuare se dezvoltă această soluţie [Bose97a], [Bose97b] având în vedere că semnalele de intrare u şi i sunt armonice.

Fie un filtru trece jos FTJ1 cu funcţia de transfer în domeniul frecvenţă:

H K K(j )j

e , ( ) ( ) ,jωτω

ω τ=+

= = +11

1 1 2Φ / ( ) arctg( )ω ω τω= −Φ

n

(5.5-1)

unde: τ - constanta de timp a filtrului, ω - frecvenţa (pulsaţia) la intrare, K(ω) - atenuarea şi Φ(ω) - faza (întârzierea) filtrului. Dacă se conectează în cascadă un număr de n astfel de filtre, atunci faza totală ΦT şi atenuarea totală KT au respectiv următoarele expresii:

97

Φ Φ Φ ΦT n= + + + = − − − −1 2 1... arctg( ) arctg( 2 ...) arctg( )τ ω ω (5.5-2) τ ω τ

K K K KT n= = +1 2 121 1 1... / [ ( ) ][ (τ ω n+ +2

2 21) ]...[ ( ) ]τ ω τ ω

Φ Φ= =

(5.5-3) Dacă toate cele n filtre sunt identice, expresiile (5.5-2), respectiv (5.5-3) devin:

K KTn n= = +1 1 2/ [ ( ) ]τωT n n− arctg( )τω , (5.5-4)

Dacă cascada de filtre are ca scop realizarea integrării unui semnal armonic, atunci caracteristicile de frecvenţă ale cascadei trebuie să fie identice cu cele ale

unui integrator pur, deci: ΦT = -π/2 şi G KT = 1/ω, unde G - factor de compensare a atenuării cerută de integrare. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al caracteristicilor de frecvenţă, integratorul este echivalat cu cascada de filtre FTJ1. Substituind condiţiile de mai sus în relaţiile (5.5-4) rezultă:

98

τ ωω

π ( ) tg( )=1

2n (5.5-5)

G ω n( ) [ ( ) ]ω

τω= +1 1 2 (5.5-6)

Relaţiile (5.5-5), (5.5-6) dau parametrii adaptivi τ(ω) şi G(ω) funcţie de frecvenţa ω, deci filtrele trece jos sunt adaptive cu ω (FTJA1). În scopul reducerii constantei de timp τ(ω) este necesar ca numărul n de filtre să fie cât mai mare, dar acest fapt necesită un efort de calcul mărit care ar putea conduce la creşterea nesatisfăcătoare a perioadei de eşantionare.

Observaţia 5.5-1. Din relaţia (5.5-5) rezultă că τω = tg [π/(2n)] = constant pentru un n dat. Deci, prin utilizarea parametrilor adaptivi τ(ω), G(ω) calculaţi din (5.5-5), (5.5-6) în toate etajele cascadei de filtre adaptive întârzierile de fază Φi şi atenuările Ki , i=1…n, definite de relaţiile (5.5-1) sunt egale şi constante -invariante cu frecvenţa ω.

În fig.5.5_1 se prezintă un estimator de flux pentru maşini de curent alternativ, inclusiv MSMP, la care integratorul este implementat cu o cascada de n filtre adaptive identice FTJA1 (n = 3), unde ω este pulsaţia mărimilor electrice din stator. În plus, se consideră şi corecţia de fază Φa şi de atenuare Ka introdusă de filtre analogice cu parametri constanţi FTJ1, plasate pe căile de măsură a semnalelor de intrare i şi u. Pentru un invertor cu perioda de comutaţie Tinv, filtrele analogice antialiasing sunt proiectate cu constanta de timp τa = 1,6 Tinv ; - în concret pentru o valoare tipică Tinv = 0,1 ms rezultă τa = 0,16 ms. Prin urmare, ţinând cont şi de corecţia necesară datorită utilizării filtrelor antialiasing, parametrii adaptivi τ(ω) şi G(ω) din (5.5-5), (5.5-6) devin:

Φ Φi (2

- )= −13

πa

e=u-Ri λ

ωτ(ω)(5.5-7)

τ

1 τ 1 τ 1 τG(ω)(5.5-8)

Fig.4.5_1. Estimatoar de flux cu cascadă de filtre trece jos adaptive, n = 3

Fig.5.5_2a. Constanta de timp τ(ω), ωmin =5rad/s; Fig.5.5 _2b. Factor compensare G(ω)

τ ωω

( ) tg=1 π τ ω ( arctg( ) )−2/ a

n (5.5-7)

G( ) [ (ωω

= +1 n

a) ] [ ( ) ]τω τ ω+1 12 2 (5.5-8)

În fig.5.5_2a, respectiv fig.5.5_2b se prezintă respectiv graficele τ(ω) şi G(ω) din (5.5-7), respectiv (5.5-8) funcţie de ω. Se remarcă faptul că în acest caz filtrele antialiasing pot fi proiectate în scopul filtrării armonicelor datorită comutaţiilor invertorului fără a considera suplimentar măsuri de compensare a atenuării şi a întârzierii de fază introduse, deoarece acestea sunt compensate prin software de către cascada de filtre.

În concluzie, soluţia prezentată este elegantă, dar are totuşi probleme la viteze mici apropiate de zero, după cum urmează:

1. La viteze apropiate de zero (ω→0), din relaţiile (5.5-7), (5.5-8) rezultă că soluţia propusă se degradează.

2. Eroarea de estimare a rezistenţei statorice R are efect dominant asupra acurateţei de estimare a fluxului la viteze apropiate de zero. Prin urmare, este necesară o bună estimare şi compensare în timp real a rezistenţei R care este funcţie liniară de temperatura statorică dependentă şi de curentul statoric. O soluţie simplă constă în a măsura temperatura statorului cu un termistor şi a corecta rezistenţei R. Altă soluţie nu utilizează senzori de temperatură, rezistenţa fiind estimată din modelul termic al maşinii, cu tehnici fuzzy [Bose97b].

3. Eroarea de estimare a frecvenţei ω (viteza unghiulară electrică), dacă nu este măsurată direct, afectează semnificativ acurateţea de estimare a fluxului, ea intervenind în calculul parametrilor adaptivi τ(ω), G(ω).

99

5.6. Estimatoare de cuplu electromagnetic

Dacă există o bună estimare a fluxului λ^, cuplului electromagnetic Te^ se

poate calcula direct din λ^(λ^x, λ^y) şi i(ix, iy) în orice referenţial xy:

100

$ $T p i ie x y y x= 3 / 2 ( )λ λ+$ (5.6-1)

Această estimare este simplu de implementat, dar este dependentă de estimarea λ^. O altă soluţie, estimează cuplul Te

^ considerând armonicele de cuplu. Coeficienţii armonicelor se identifică în timp real cu un estimator recursiv cu metoda celor mai mici pătrate ponderată cu un factor de uitare exponenţial [Low 92]. Metoda este laborioasă şi necesită o putere mare de calcul în timp real. 5.7. Concluzii 1. Analiza critică a celor 4 estimatoare de flux fără reacţie conduce la concluzia

utilizării în practică a următoarelor estimatoare discriminate funcţie de viteză: i) în zona vitezelor mici, inclusiv viteza zero, se recomandă estimatorul Eir,

fără dinamică, dar sensibil la variaţia parametrilor magnetici ai MSMP; ii) în gama de viteze extinsă începând de la viteze nu prea mici se recomandă

estimatorul Eus, de tip integrator pur, sensibil la variaţia lui R şi cu probleme de offset - dar numai la viteze mici. Aceste estimatoare sunt invariante cu θ.

2. Studiul sintetic efectuat asupra observatoarelor de flux cu modele combinate de tensiune şi de curent evidenţiază şase structuri de observatoarelor de flux în gamă extinsă de viteze care prezintă interes în imlementarea practică. Se recomandă clasa Oλλ care au forme de variaţie în timp mai puţin perturbate.

3. Comparaţia critică tabelară recomandă în practică: Oλλs-sr şi Oλis-sr pentru MSMP anizotrope; şi Oλλs-ss şi Oλis-ss pentru MSMP izotrope.

4. Estimatoarele de flux din model de tensiune cu integratoar modificat cu compensare neliniară adaptivă tip e⊥λ sau λ1⊥λ2 elimină problemele de offset şi de condiţii iniţiale şi se recomandă în gama de viteze 1 : nx100, la flux variabil. Estimatorul tip λ1⊥λ2 este mai puţin sensibil la perturbaţii.

5. Estimatoarele de flux cu integratoare modificate nu necesită măsurarea mărimilor cinematice, deci se pretează la sisteme de conducere fără traductoare de mişcare.

6. Estimatoarele de flux din model de tensiune cu cascadă de filtre trece jos adaptive dau rezultate bune în gama de viteze 1:100, dar la viteze mici necesită adaptarea rezistenţei R.

7. Estimata cuplului electromagnetic se face prin calcul direct din estimata fluxului.

6. ESTIMATOARE DE PERTURBAŢII

În sistemele de acţionare electrică, o problemă importantă este compensarea perturbaţiilor în scopul obţinerii unor performanţe superioare privind rapiditatea şi robusteţea răspunsului. Perturbaţia echivalentă are următoarele componente principale: cuplul de sarcină, cuplul de frecări, pulsaţiile în cuplul electromagnetic dezvoltat, erorile şi zgomotele de măsurare a curenţilor, vitezei sau poziţiei, şi variaţia parametrilor mecanici ai sistemului de acţionare. În principiu, compensarea perturbaţiei echivalente se realizează printr-o reacţie de tip "feed-forward", perturbaţia echivalentă fiind estimată cu un observator de perturbaţie cu o întârziere de fază minimă. 6.1. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină O componentă preponderentă a perturbaţiei echivalente este cuplu echivalent de sarcină. Observatoarele de cuplu echivalent de sarcină (OCES) prezentate în continuare, au ca punct de plecare modelul dinamic al acţionării:

101

Te Lω ωJ T& ω= − , (0) = 0

J K K In ni i a− + −ω ω( ) ( )& *

$TL

$ω$Te

$

(6.1-1)

T T T B JL Lext Cb= + + + (6.2-2)

Componentele cuplului echivalent de sarcină TL sunt [Mura93]: TLext - cuplul de sarcină extern; TCb - cuplul de frecări tip Coulumb; Bω - cuplul de frecări vâscoase; iar ultimii doi termeni se datoresc variaţiei momentului de inerţie echivalent J, şi respectiv distribuţiei nesinusoidale a fluxului magnetic în întrefier (pulsaţii ale cuplului electromagnetic Te), indicele n semnificând valorile nominale. În continuare se prezintă soluţii care conduc la obţinerea lui cu OCES.

6.1.1. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină - o abordare fizică Pornind de la relaţia (6.1-1), în fig.6.1.1_1 se prezintă schema bloc a OCES, care foloseste ideea din fig.4.6_1 de la observatorul de viteză momentană . Intrările în observator sunt viteza măsurată ω şi cuplul electromagnetic estimat . În scopul obţinerii estimatei asimptotice a vitezei ω mărimea de execuţie la ieşirea blocului compensator kP are interpretarea fizică de cuplu echivalent de sarcină T . $

LP

ω TLP^

TLm^

TL^

1/Jo

kI

kP

Te^

-

ω^-

Fig.6.1.1_1. Observator de cuplu echivalent de sarcină

102

$ $T kLP P= −( )ω ω

$TLm

J &ω ω

(6.1.1-1) Dacă compensatorului kP i se adaugă o componentă integrală cu ponderea kI , atunci la ieşirea acesteia se obţine valoarea medie a estimatei cuplului echivalent de sarcină . OCES prezintă un caracter astatic eliminând erorile provenite prin estimarea cuplului electromagnetic Te^. OCES din fig.6.1.1_1 se implementează numeric utilizând o metodă de discretizare cunoscută ca de exemplu transformarea bilineară (Tustin) cu corecţie de frecvenţă. 6.1.2. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină cu tehnica filtrării Din relaţia (6.1-1) rezultă: T TL e= − ω , (0) = 0 (6.1.2-1) Cum mărimea măsurată este ω, iar acceleraţia ε = ω&

$TL

$ $T T J QL e o n= − ⋅( s ) (s)ω

$L

nu se poate obţine cu un element de derivare pur datorită nerespectării condiţiei de realizabilitate fizică, estimata se poate obţine utilizând un filtru trece jos (FTJ) Qn(s) de ordin n ≥ 1 a cărui intrare este TL din (6.1.2-1).

TL

^ω s Jo

Te^

-FTJQn(s)

(6.1.2-2) Fig.6.1.2_1 Estimator de $TL

De altfel, filtrul FTJ Qn(s) este necesar şi pentru a reduce zgomotele din semnalul măsurat ω. În fig.6.1.2_1 se prezintă structura estimatorului de T cu tehnica filtrării. Un exemplu de un astfel de filtru este cel din clasa filtrelor de tip Butterworth de ordin 1-3 [Umen91], având caracteristici apropiate de cele ale unui FTJ ideal şi un singur parametru de proiectare τ.

103

Q11

1(s)

(s )=

+τ (6.1.2-3a)

1 41 1

1 41 1 (s )

(s ) (s )2+

+ +,

,τ

τ τ (6.1.2-3b) Q2 (s) =

Q3(s)(s )

=2 2 1

2 2 1(s ) (s )

(s ) (s )

2

3 2+ +

+ + +τ τ

τ τ τ

$TL

(6.1.2-3c)

Obţinerea lui din (6.1.2-2) prin tehnica filtrării cu un filtru de ordin 1 se regăseşte în diverse variante echivalente în [Umen91], [Mats93], [Mura93].

Observaţia 6.1.2-1. Pentru un filtru de ordin 1 (6.1.2-3a) cu τ = J ko P/

TL e

OCES (6.1.2-2) este echivalent cu OCES prezentat în fig.6.1.1_1, cu compensator kP.

Valoarea constantei τ a filtrelor se determină experimental în mod specific funcţie de zgomotele din semnalul măsurat ω, o primă aproximare fiind [Mats93]: τ ≈ 10 h (6.1.2-4) unde h este perioada de eşantionare. Spre exemplu pentru h=200μs rezultă τ = 2 ms. 6.1.3. Observator de cuplu echivalent de sarcină de ordin complet Din ecuaţia dinamică (6.1.3-1) şi în ipoteza în care cuplul de sarcină TL este modelat ca fiind de tip semnal treaptă, modelul matematic intrare stare ieşire (MMISI) extins al acţionării este (6.1.3.-2). J B T&ω ω ω ω= − − + , (0) = 0 (6.1.3-1)

ω ωT

BJ J

T J TL L

e⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− −⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

•

,

1

0 0

1

0

ω ωT TL L

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

( )( )00

0

0

[ ] [ ]y TL= =ω ω1 0 T

(6.1.3-2)

Sistemul linear extins (6.1.3-2) are perechea corespunzătoare (AC) observabilă. Observatorul de stare de ordin complet (OSOC) tip Luenberger, având

104

$ , $ TLmatricea de ponderare a erorii de predicţie [k1 k2]T, intrările ω, Te şi ieşirile ω are expresia:

$

$

$

$$ω ω

ω ωT

BJ J

T J TkkL

o

o oL

o e⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

•

1

0 0

1

0

1

2

$$

$

$

$ω ωT TL L

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥( ) ,

( )( )00

0

0

$ , $ω TL

(6.1.3-3)

Observaţia 6.1.3-1. OSOC (6.1.3-3) prezentat în fig.6.1.3_1 care estimează este echivalent cu OCES prezentat în fig.6.1.1_1 cu compensator PI.

Proiectarea matricei de corecţie [k1 k2]T se face prin metoda alocării de poli pentru o dinamică de convergentă a OSOC impusă. Fie cei doi poli impuşi ai OSOC de forma: P ,σ α α α π= = − ± ∈{ ( cos j sin p r1 2 ) | ( , / )}0 2

r k J ro22= −/ , cos α

$TL $ω$TL

ω

(6.1.3-4)

TL^

1/Jo

k1

Te^ ω^-

k2

Bo

-

-

$TLFig.6.1.3_1. OSOC pentru

Coeficienţii k1, k2 rezultă:

k B Jo o1 2= − + (6.1.3-5) Matricea K = [k1 k2]T se poate obţine şi utilizând comanda Matlab: K = PLACE ( A, C, Pσ ) Se recomandă utilizarea OSOC (6.1.3-3) în sisteme de conducere care necesită atât estimarea cât şi , de exemplu în conducerea cu moduri alunecătoare a poziţiei θ, la care se adaugă şi compensarea perturbaţiei . În paragraful 4.7.2 s-a prezentat o altă variantă de observator extins de ordin complet OEOC+Te care are ca intrări poziţia măsurată θ şi cuplul electromagnetic

105

$ , $ , $θ ω ε $TL

Bu x = x , ( )0 0

x Py

xu=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

yx

yxu u

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

0

00

( )( )

[ ]y I 0 y

xu=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

$x w Lyu = +

LA L A LA y

estimat Te^ şi care estimează, pe lângă mărimilor cinematice , şi cuplul echivalent de sarcină . 6.1.4. Observatoare de cuplu echivalent de sarcină de ordin redus Pentru început, se prezintă un rezumat al metodologiei de proiectare a unui observator de stare de ordin redus (OSOR) [Vanl85]. Fie sistemul linear MMISI cu x ∈ Rn, y ∈ Rm, notaţiile fiind cele cunoscute:

&x Axy Cx

= +

= (6.1.4-1)

Se face o schimbare de variabile de stare de forma:

(6.1.4-2)

unde xu este un vector (n - m) dimensional ce conţine stările nemăsurabile. Folosind această schimbare de variabile, sistemul (6.1.4-1) devine:

yx

A AA A

yx

BB

uu u

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•11 12

21 22

1

2 , (6.1.4-3)

În cazul când perechea (A22, A12) este observabilă, OSOR de ordin minim (n - m) al sistemului (6.1.4-3) este:

(6.1.4-4)

&w A LA w B LB u A L= − + − + − + −( ) ( ) (22 12 2 1 22 )12 21 11 Ca şi în cazul OSOC, matricea L determină dinamica OSOR adică viteza sa de convergenţă.

Proiectarea OSOR, adică determinarea matricei L, se face prin alocare de poli, astfel ca spectrul OSOR sa fie un spectru impus Pσ*:

σ(A22 - LA12) ≡ Pσ* (6.1.4-5)

Matricea L se poate obţine utilizând comanda PC - Matlab:

L = PLACE (A22, A12, Pσ*)

Se revine la variabilele de stare originale x utilizând relaţia (6.1.4-2). Proiectarea OSOR în timp discret este similară cu cea a OSOR continual. După discretizarea modelului matematic, în relaţii se face înlocuirea variabilelor:

106

) si (.) (.)→ →i+ i1

(.) (.& (6.1.4-6)

iar spectrul impus Pσ* devine cercul unitar. Pentru exemplificare, se analizează cazul OSOR discret pentru sistemul extins (6.1.3-2). Se discretizează (6.1.3-2) cu perioada de eşantionare h, rezultând:

ω ωi

L i

o

o oi

L io e iT

hBJ

hJ

T

hJ T+

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

1

1

0 1 0

,

ω ωi

L i

i

L iT T⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

0

00

( )

( )

[ ] [ ]y Ti i i L i= =ω ω1 0 T

$T z LL i i i = + ω

M z zi o i i i

(6.1.4-7)

Se reaminteşte ipoteza cum că TLi este de tip treaptă şi deci TLi nu se modifică în cursul unei perioade de eşantionare. Se identifică matricele partajate din (6.1.4-3) pentru sistemul (6.1.4-7). Din (6.1.4-4) rezultă ecuaţiile OSOR discret (6.1.4-8) în acest caz particular.

(6.1.4-8)

z A z b Ti o i o e+ = + + =1 00 , ( ) ω A hLo oJ b hL Jo o= + = −1 / , / ,

M hL L B Jo o o

= +( ) /

OSOR discret este prezentat în fig.6.1.4_1. Toate mărimile din OSOR (6.1.4-8) sunt scalare. Polul acestuia este:

η η+ <L Jo o1 1/ ,

TL^

ωMo

Te^

= =A h (6.1.4-9)

Inegalitatea din (6.1.4-9) este impusă de condiţia de stabilitate şi prin urmare rezultă L < 0.

bo z -1

L

z

$TL

Ao

Fig.6.1.4_1. OSOR pentru

Observaţia 6.1.4-1. În scopul reducerii zgomotelor conţinute în viteza măsurată ω, precum şi reducerii componentei pulsaţiilor din cuplul electromagnetic estimat Te cauzate de asimetrii în comanda invertorului, în structurile prezentate ale OCES se includ filtre de valoare medie (FVM) cât şi filtre nelineare cu structură variabilă (FSV). În fig.6.1.4_1 se prezintă o structură de OCES care foloseşte astfel de filtre [Dote90] care sunt tratate în paragraful 6.4.

FVM

FVMOCES FVM FSV

Te^

ωTL^

Fig.6.1.4_1. OCES cu filtre

107

$ O altă variantă de OSOR estimează şi apoi calculează $TL ω utilizând ca intrare Te(iT) şi viteza medie ω [Fuji92] obţinută prin metoda măsurării perioadei impulsurilor livrate de TIRO. În scopul identificării momentului de inerţie echivalent Jo se utilizează un sistem adaptiv cu model de referinţă care utilizează un estimator recursiv în timp discret de tip Landau. În final se autoadaptează atât parametrii OSOR cât şi parametrii regulatorului de turaţie rezultând un sistem robust de reglare a vitezei.

6.2. Estimarea cuplului de frecări Cuplul de frecări Tf are un caracter nelinear complex şi reprezintă factorul dominant care determină limitarea performanţelor sistemelor de poziţionare precisă a servo-mecanismelor, în special controlul vitezei la valori foarte mici inclusiv zero.

Δω

ω

TSo

TCo

În fig.6.2_1 se prezintă un model cauzal nelinear al cuplului de frecări cu zonă de "înţepenire" [John92], care înglobează componentele fizice ale fenomenului de frecare.

Există două zone distincte specifice, discriminate funcţie de ω:

Fig.6.2_1. Model al lui Tf ω < Δω : zona statică de "înţepenire", caracterizată prin aceea că viteza ω

este zero până când cuplul activ depăşeşte cuplul static de "înţepenire" TSo. i.

108

$Tf

{ }În acest caz estimata are expresia: $ $ ,T T Tf e So= min sgn( $T Be o<) , ω ω

$Te

(6.2-1)

unde este estimata cuplului electromagnetic dezvoltat. ii. ω > Δω

$Tf

: zona de alunecare caracterizată prin cuplul de frecări tip Coulomb

Tc = constant şi cuplul de frecări vâscoase proporţional cu ω. În acest caz are expresia:

( )$T Tf Co= + sgn Bo > , ω ω ω Δω

TSo TCo

(6.2-2)

Pentru identificarea parametrilor modelului nelinear (6.2-1), (6.2-2) se cunosc mai multe metode experimentale:

a) Cu maşina în repaus, se creşte foarte lent cuplul electromagnetic Te şi se măsoară valorile acestuia imediat înainte şi imediat după ce mişcarea a început. Aceste valori estimează şi respectiv . Ca dezavantaj, metoda nu ţine cont de cuplul de inerţie, care necesită determinarea cu precizie a acceleraţiei, lucru dificil de realizat în acest caz limită.

b) Metoda de identificare a parametrilor modelului (6.2-1), (6.2-2) care se bazează pe utilizarea erorilor de reglare a mişcării [John92]. Această metodă este prezentată în continuare.

Fie sistemul de conducere a mişcării din fig.6.2_2, sistem care conţine un bloc de tip "feed-forward" şi un bloc reglare paralelă a poziţiei şi vitezei. Primul bloc asigură comanda de urmărire Tff a referinţelor de mişcare. Al doilea bloc asigură în principal, prin comanda Tfb, rejecţia perturbaţiilor de tip sarcină sau a perturbaţiilor dinamice necunoscute, cum ar fi cele datorate frecării, şi deci acţionează ca un estimator de perturbaţie. În această structură de conducere cele

ω

ω

Tfb

Tfb

Bo=B

Tff=0

ω

ω

Tfb

Tfb

Jo=J

TSo=TS

TCo=TC

a

bTe ^

Bo

Jo

(6.2-1,-2)

-

-

θ

ω

ω*

θ*

ω* (ω)

ε*

Tfb

Tff

T*

Tf ^ω* (ω)

c

d

Fig.6.2_2. Procedeu de compensare şi identificare progresivă a modelului Tf ^

două blocuri se proiectează separat.

109

J B T To o Co So, , ,

$Tf

Fie la intrare un semnal de probă periodic triunghiular simetric pentru ω* şi semnale în corespondenţă pentru θ* şi ε*. În fig.6.2_2a,b,c,d sunt prezentate răspunsurile Tfb în etape iterative succesive de acordare a componentelor de compensare . În concluzie aceste componente se obţin implicit în procesul de acordare depinzând de parametrii sistemului Compensarea Tf se realizează adăugând la T* componenta nelineară din

(6.2-1) şi (6.2-2), unde ω poate fi ω măsurat sau cel de referinţă ω*. În ambele variante performanţele sunt asemănătoare obţinându-se o îmbunătăţire substanţială a preciziei prin reducerea erorilor de poziţie şi viteză. În [John92] se arată că pentru un dispozitiv de prehensiune al unui robot, eroarea de urmărire a poziţiei se reduce de patru ori în cazul compensării nelineare a lui Tf, sistemul având o bună robusteţe la variaţia parametrilor acţionării.

O altă soluţie [KimS94] compensează cuplul de frecări cu zonă de "înţepenire" utilizând logica fuzzy, natural aplicată în acest caz. Structura cuprinde două nivele ierarhice: un precompensator fuzzy urmat de un compesator PD fuzzy. Rezultatele arată o îmbunătăţire substanţială a performanţelor şi robusteţe la neliniarităţile din zona de "înţepenire".

6.3. Estimarea pulsaţiilor în cuplul electromagnetic La MSMP, pulsaţiile în cuplul electromagnetic se datoresc în special factorilor legaţi de construcţia imperfectă a maşinii şi sunt [Mats93], [Holt96]: cuplul în crestături Tcr (6.3-1) şi armonicele datorate distribuţiei nesinusoidale a inducţiei magnetice B din întrefier (6.3-2): Tcr = Tcro cos 6θ (6.3-1) B(θ) = B0 (cos θ + K3 cos 3θ + K5 cos 5θ +...) (6.3-2) unde θ este unghiul electric, iar Ki sunt coeficienţii armonicelor de ordin i ale inducţiei (fluxului) din întrefier. În această situaţie cuplul electromagnetic dezvoltat Te este [Mats93]: Te ≅ Te0 [1 - ( K5 - K7 )cos 6θ ] (6.3-3) unde Te0 este cuplul de referinţă prescris. Pulsaţiile în cuplul electromagnetic sunt prezente în (6.3-3) prin termenul cosinusoidal de argument 6θ:

ΔT = - Te0 ( K5 - K7 )cos 6θ (6.3-4)

Identificarea factorului (K5 -K7) ridică probleme, deoarece coeficienţii Ki sunt variabili în timp, spre exemplu - cu temperatura. În [Low 92] este prezentat un estimator recursiv on-line pentru coeficienţii Ki, estimator care utilizează metoda celor mai mici pătrate ponderate cu un factor de uitare exponenţial. Metoda propusă necesită un volum mare de calcule în timp real şi a fost implementată practic doar off-line utilizând un proces de semnal.

Pulsaţiile în cuplu electromagnetic (6.3-4), prezente în (6.3-3), se pot compensa prin adăugarea la cuplul de referinţă prescris Te0* a unei componente de forma (6.3-4) cu semn schimbat [Mats93], [Bold92].

6.4. Filtre de zgomot Componentele zgomotului conţinut în semnalele de intrare a sistemului de conducere constau, în principal, din armonici ale frecvenţei de comutaţie a invertorului şi din zgomote în circuitele de măsurare a curenţilor, vitezei sau poziţiei. Aceste zgomote înrăutăţesc performanţele statice, dinamice şi stabilitatea sistemului de acţionare. Se prezintă două soluţii ale acestei probleme care utilizează filtre de zgomot.

a) În scopul reducerii zgomotelor cauzate de componentele armonice amintite se utilizează filtre de valoare medie ponderată având ecuaţia discretă de forma:

110

j u i j / a jj

N

) ( ) ( )= −=

∑1

y i) aj

N

( (=

∑1

(6.4-1)

unde semnificaţia mărimilor este: u - intrare, y - ieşire, a - coeficienţi de ponderare ai celor mai recente eşantioane ale intrarii u. De obicei se utilizează filtre de ordin 1, 2.

b) Zgomotele din circuitele de măsură conţin componente atât de frecvenţă joasă cât şi înaltă, deci ele nu pot fi eliminate doar prin folosirea filtrelor de valoare medie. Pentru a răspunde la această cerinţă se propune în [Dote90] un filtru nelinear din fig.6.4_1 privit ca un sistem de urmărire:

Kfe yu

-

Fig.6.4_1. Filtru nelinear de zgomot

111

| | mine e K Kf f≤ =1 :

,e e e K f∈( ) : 1 2

maxe e K Kf f≥ =2 :

y(i +1) = y(i) + Kf (i) e(i) (6.4-2) e(i) = u(i) - y(i ) În fig.6.4_2a se consideră probabilitatea de distribuţie pentru semnalul util şi zgomot funcţie de eroarea e = u - y între intrarea u şi ieşirea y a filtrului. În consecinţa, utilizând logica fuzzy, se propune ca coeficientul Kf al filtrului să fie variabil funcţie de eroarea e conform fig.6.4_2b. Se remarcă trei zone:

i) Pentru semnalul util u în regim staţionar, zgomotele suprapuse peste u nu

sunt amplificate.

ii) | | variază linear cu e. Zona (ii) asigură o variaţie continuă a lui Kf între zonele (i) şi (iii).

iii) | | . Pentru semnalul util u în regim tranzitoriu, ieşirea y urmăreşte rapid pe u.

În concluzie, filtrul propus este deosebit de eficace privind rejecţia zgomotelor. Coeficientul Kf are o variaţie continuă funcţie de schimbările nivelului semnalului de intrare u şi asigură o bună stabilitate a sistemului.

6.5. Concluzii

iii iiiii i iii-e2 -e1 e1 e20e(p.u.)

Kf

Kfmin

Kfmax

-1 -e1 e1 10

1 1

00

semnal

zgomot

probabilitate

Fig.6.4_2a. Probabilitatea semnal /zgomot 6.4_2b. Variaţia coeficientului Kf (e)

În acest capitol s-a prezentat problematica estimării şi compensării perturbaţiilor privind: cuplul de sarcină, cuplul de frecări, pulsaţiile în cuplul electromagnetic şi filtrarea zgomotelor pe canalele de măsură.

112

$L $

1. Dintre observatoarele de cuplu echivalent de sarcină prezentate se recomandă observatorul din fig.6.1.1_1 echivalent cu observatorul de ordin complet din paragraful 6.1.3 care estimează atât T cât şi viteza ω , cu aplicaţii spre exemplu, în reglarea cu moduri alunecătoare. Un alt observator performant de

, ω din poziţia θ a fost prezentat în paragraful 4.7.2. $TL $ , $ε

2. Estimarea şi compensarea componentelor cuplului de frecări conduce la îmbunătăţirea substanţială a performanţelor servosistemelor de poziţionare precisă în special la viteze mici, dar metoda prezentată este sensibilă la variaţia parametrilor mecanici ai acţionării. Varianta enunţată care utilizează logica fuzzy constituie o soluţie naturală şi este robustă la variaţia parametrilor.

3. Estimarea şi compensarea pulsaţiilor în cuplul electromagnetic cu un termen de forma (6.3-4) este utilă, dar are amplitudinea sensibilă la variaţiile parametrilor electrici ai maşinii, identificarea acesteia fiind dificil de efectuat în timp real.

4. Filtrele de valoare medie (6.4-1), şi în special filtrul nelinear (6.4-2), se recomandă pentru rejecţia zgomotelor din canalele de măsură.

În concluzie, chiar dacă unele estimări ale componentelor perturbaţiei echivalente sunt sensibile la variaţia parametrilor acţionării, compensările perturbaţiilor astfel estimate sunt benefice şi duc la creşterea performanţelor sistemului de acţionare în ceea ce priveşte rapiditatea şi robusteţea răspunsului.

113

7. STRUCTURĂ DE CONDUCERE VECTORIALĂ

DIRECTĂ ÎN CUPLU ŞI FLUX A MSMP Conducerea vectorială directă în cuplu şi flux (CVDCF) a maşinilor electrice conduce direct cuplul electromagnetic şi vectorul flux statoric folosind un tabel al comutaţiilor optime pentru comanda invertorului de tensiune. O problemă principală este estimarea cât mai precisă a fluxului şi implicit a cuplului electromagnetic, problemă tratată în capitolul 5. Această metodă inginerească asigură un răspuns rapid, o funcţionare în gamă extinsă de turaţii, o rejectare eficientă a perturbaţiilor şi o implementare relativ simplă. Aplicaţii ale CVDCF la MSMP sunt de dată recentă: [Andr94a], [Andr95], [Andr96a], [Fren96b], [Zhon97], [Rahm97], [Bold99]. În paragraful 3.3 s-a prezentat principiul şi problematica CVDCF a MSMP. În continuare se dezvoltă o variantă de structură de conducere CVDCF pentru acţionări cu MSMP care are în componenţă: un observator robust de flux cu modele combinate de tensiune şi curent (paragraful 5.3) şi care lucrează într-o gamă extinsă de viteze, şi un regulator de viteză cu moduri alunecătoare. Se prezintă relaţii de proiectare structurală şi parametrică pentru observatorul de flux şi se evaluează critic performanţele variantei de conducere propusă prin simulări numerice extensive şi apoi prin teste experimentale.

7.1. Structura sistemului de conducere Structura de conducere CVDCF a MSMP, bazată pe rezultatele din paragraful 3.3, este prezentată în fig.7.1_1. Comanda directă Sabc(Sa,Sb,Sc) a cheilor invertorului de tensiune, generată de tabelul de comutaţii optime, depinde de trei variabile digitizate:

i) eroarea de cuplu electromagnetic, prelucrată de un regulator de cuplu de tip tripoziţional cu histereză (3H) cu ieşirea τ(1,0,-1);

ii) eroarea de flux, prelucrată de un regulator de flux de tip bipoziţional cu histereză (2H) cu ieşirea φ(1,0).

iii) sectorul unde se află vectorul flux θi, i = 1 - 6;

Acţiunile asociate ieşirilor regulatoarelor în corespondenţă cu valorile din paranteze sunt următoarele:

a) pentru τ(1, 0, -1) : (creştere, nemodificare, descreştere) a cuplului Te; b) pentru φ(1, 0) : (creştere, descreştere) a modulului fluxului λ.

Fig.7.1_1. Structura sistemului CVDFC a MSMP

Tabelul de comutaţii optime se implementează într-o memorie cu şase biţi de intrare pentru adrese (doi biţi pentru τ, un bit pentru φ, şi trei biţi pentru θi), şi trei biţi de ieşire pentru date care conţin stările comutatoarelor invertorului (Sa, Sb, Sc), deci vectorul us = Vi (Sa, Sb, Sc). Tabelul de comutaţii optime, precum şi un tabel care generează sectorul θi, funcţie de componentele vectorului flux în referenţialul statoric αβ, au fost detaliate în paragraful 3.3.

Regulatorul de viteză cu moduri alunecătoare (Rω) are legea de comandă de tip releu bipoziţional (7.1-1) cu dreapta de comutaţie σ = 0 (7.1-2) în planul stărilor mărimilor cinematice. Această soluţie asigură un sistem de conducere a vitezei robust la variaţii parametrice şi la perturbaţii de tip sarcină. Mărimea de ieşire din regulatorul Rω o reprezintă cuplul electromagnetic prescris Te* Te* = Tmax* sign (σ) (7.1-1)

114

ω τ*), = 4...5 *tr

σ τ ω ω= + (& − (7.1-2) unde Tmax* este cuplul maxim de referinţă şi tr* este timpul de răspuns impus pentru bucla de viteză. Dinamica erorii de viteză impusă, atunci când s-a atins regimul alunecător pe dreapta de comutaţie, este de tip PT1 cu constanta de timp τ.

Estimator de viteză şi acceleraţie din poziţie. Viteza ω şi acceleraţia ω•, cerute de ecuaţia (7.1-2), pot fi estimate din poziţia θ măsurată. O soluţie pentru a estima aceste derivate cinematice o constituie tehnica filtrării prezentată în paragraful 4.1. În concret, derivata a doua (acceleraţia) este estimată (7.1-3) considerând o realizare formată dintr-un filtru PT2 conectat în serie cu un derivator pur de ordinul doi. Structura estimatorului de viteză şi acceleraţie din poziţia măsurată este prezentată în fig.7.1_2, şi foloseşte pentru implementare forma canonică controlabilă. Proiectarea estimatorului se face prin metoda alocării de poli.

115

$&ω θ=+ +

as a s a

s02

1 0

2 (7.1-3)

Polii estimatorului se aleg ţinând cont de timpul răspuns tr* impus şi de domeniul de frecvenţă al perturbaţiilor. Pentru o estimare

rapidă, poli tipici sunt: ω1 = ω2 = nx100.

Fig.7.1-2. Estimator de viteză şi acceleraţie

7.2. Observator robust de flux şi cuplu electromagnetic O problemă foarte importantă la sistemul CVDCF a MSMP este estimarea vectorului flux λ^ şi a cuplului electromagnetic Te^, utilizând mărimi măsurabile la bornele maşinii: curenţii statorici is, tensiunile statorice us şi eventual poziţia unghiulară rotorică θ sau viteza ω. În scopul estimării fluxului λ, s-a ales pentru implementare observatorul de flux cu modele combinate de tensiune şi curent tip Oλλs-sr din paragraful 5.3, acesta fiind selectat ca urmare a considerentelor favorabile prezentate. În rezumat, evaluarea critică a estimatoarele de flux fără reacţie privind senzitivitatea la variaţia parametrilor, evaluare prezentată în paragraful 5.2, concluzionează că în practică se recomandă folosirea a două estimatoare de flux discriminate funcţie de viteză: Eir şi Eus.

i) La viteze mici, inclusiv viteza zero, se recomandă estimatorul Eir bazat pe modelul de curent în referenţialul rotoric dq, fără dinamică, puternic dependent de identificarea parametrilor electromagnetici λ0, Lq, Ld, şi care necesită cunoaşterea poziţiei θ utilizată în operatorii de rotaţie;

ii) La viteze medii şi mari se recomandă estimatorul Eus bazat pe modelul de tensiune în referenţialul statoric αβ, mai bun ca Eir la aceste viteze, dependent doar de identificarea rezistenţei R, dar cu probleme la viteze mai mici datorită caracterului său de integrator pur.

iii) Ambele estimatoare sunt invariante cu viteza ω.

Observatorul de flux Oλλs-sr cu corecţie de flux în referenţialul statoric, prezentat în paragraful 5.3, combină părţile bune ale celor două estimatoare Eir şi Eus. Oλλs-sr are topologia de tip paralel dată în fig.7.2_1a şi structura detaliată în fig.7.2_1b. Corecţia se realizează la nivelul estimatorului Eus în scopul îmbunătăţirii stabilităţii integratorului. Mai mult, aceasta atenuează efectele negative ale offsetului provenit din circuitele de măsură ale lui is sau us, sau ca urmare a variaţiei rezistenţei R.

Fig.7.2_1. Observator de flux Oλλs -sr

Proiectarea compensatorului K

a) Proiectarea structurală

Intrările observatorului - mărimile electrice din stator is şi us, sunt semnale armonice cu frecvenţa ω în sincronism cu viteza rotorică. În această situaţie, este naturală ideea utilizării analizei în frecvenţă pentru a caracteriza dinamica observatorului. Compensatorul K poate avea diverse topologii şi este privit ca un element care are obiectivul de a realiza tranziţia între cele două estimatoare utilizate în structura observatorului, în funcţie de viteza ω. Cu referire la fig.7.2_1b, observatorul Oλλs-sr are ca intrări echivalente uf

s şi λs*^, iar ieşirea este λs^. În domeniul frecvenţă, compensatorul K este privit ca un filtru care are comportări diferite pentru cele două intrări specificate în scopul utilizării combinate a avantajelor celor două estimatoate: Eir la viteze mici şi Eus la viteze mai mari. În consecinţă, cerinţele de proiectare impuse sunt:

i) dacă ω < ω1, atunci λs^ ≅ λs*^, adică este selectat estimatorul Eir; ii) dacă ω > ω2, atunci λs^ ≅ 1/s uf

s , adică este selectat estimatorul Eus; iii) dacă ω∈(ω1, ω2), atunci ambele estimatoare Eir şi Eus sunt selectate în această

bandă de frecvenţă avînd contribuţii în ponderi apropiate asupra ieşirii λs^. Tranziţia între aceste estimatoare se cere a se realiza lin şi monoton.

Având în vedere aceste cerinţe, rezultă următoarele relaţii în formă scalară formală pentru componentele de pe axele α, β:

λs^ = Hλλ* λs*^ + Hλuf uf

s (7.2-1)

Hλλ* = λs^ / λs*^ = K / ( s + K ) (7.2-2)

Hλuf = λs^ / ufs = 1 / ( s + K ) (7.2-3)

Scopul este de a proiecta compensatorul K, adică de a alege o structură şi apoi de a detemina parametrii acesteia în conformitate cu cerinţele impuse. Structura compensatorului se analizează în domeniul frecvenţă, în două etape mai importante:

116

117

1) În primul rând, interesează comportarea în frecvenţă a funcţiei de transter Hλ

uf

Din cerinţa (i) şi relaţia (7.2-1), dacă ω ≅ 0 sau ω ≅ de valoare mică, atunci rezultă Hλuf ≅ 0. Din cerinţa (ii) şi relaţiile (7.2-1) şi (7.2-3), dacă ω este mai mare, atunci rezultă Hλuf ≅ 1/s. Cea mai simplă funcţie de transfer Hλuf , în acord cu condiţiile cerute mai sus, este o funcţie de ordin doi de tipul unui fitru trece bandă (FTB), cu expresia dată de relaţia (7.2-4). Din relaţiile (7.2-3) şi (7.2-4), prin simplă identificare, rezultă că structura compensatorului K este de tip PI (7.2-5).

Hλuf = s / (s2 + a1 s + a0) (7.2-4)

K = a1 + a0 / s, sau K = kp + ki / s (7.2-5) 2) În al doilea rând, în aceste condiţii, se verifică comportarea în frecvenţă a funcţiei de transter Hλλ* :

Din relaţiile (7.2-2) şi (7.2-5) rezultă expresia pentru funcţia Hλλ*, de tipul unui filtru trece jos (FTJ) de ordinul doi.

Hλλ* = (a1 s + a0) / (s2 + a1 s + a0) (7.2-6)

Dacă ω ≅ 0 sau ω ≅ mediu, atunci Hλλ* ≅ 1, adică dacă ω este în banda filtrului FTJ, condiţiile (i) şi (iii) sunt verificate. Dacă ω ≅ mare, atunci Hλλ* ≅ a1 / s. În scopul de a satisface şi cerinţa de proiectare (ii) pentru Hλλ* , se impune următoarea restricţie:

a1 << ufs / λs*^ (7.2-7)

O realizarea MMISI, utilizată la implementarea ecuaţiilor recursive discrete este:

118

$ $ x*λ − λ+ + ( )R k ko p i$& u i

&x $ $*

λ

λ − λ

= −

= (7.2-8)

În concluzie, structura compensatorului K a rezultat de tip PI (7.2-5), şi respectă cerinţele de proiectare impuse i), ii), iii), cu adăugaea restricţiei (7.2-7). În rezumat, structura completă a observatorului de flux Oλλs -sr este prezentată în fig.7.2_2.

Observaţia 7.2-1. Deoarece compensatorul K are un termen integral, rezultă că această structură elimină efectul negativ al offsetului de componentă contuinuă care poate fi prezent în circuitele de măsură ale curentului is şi/sau ale tensiunii statorice us - vezi relaţia (7.2-4). b) Proiectarea parametrică

Parametrii compensatorului K se aleg utilizând metoda alocării de poli. În scopul realizării cerinţei de proiectare iii), privind o tranziţie lină şi monotonă între cele două estimatoare Eir şi Eus, polii observatorului se aleg reali negativi: ω1, ω2 ∈ R-. Coeficienţii compensatorului K de tip PI din (7.2-5) sunt:

kp = - (ω1 + ω2) , ki = ω1 ω2 (7.2-9)

Dimensiunea în frecvenţă a zonei de tranziţie este dată de banda observatorului. Se recomandă a fi selectată o bandă de frecvenţă mică atunci când parametrii electromagnetici λ0 , Ld , Lq prezintă erori mai mari de identificare. În acest caz se forţează mai repede tranziţia spre estimatorul Eus, având în vedere că

Fig.7.2_2. Structura completă a observatorului de flux Oλλs-sr

119

acesta nu este sensibil la variaţia parametrilor amintiţi (depinde doar de R). Din aceste motive se recomandă următoarea alegere pentru ω1 şi ω2:

ω1 = 2...10 rad/s , ω2 = ( 3...10 ) ω1 (7.2-10)

În concret, în aplicaţia de faţă, având în vedere variaţia parametrilor prezentată în paragraful 7.3, se alege ω1 = 3 rad/s şi ω2 = 30 rad/s [Andr96a].

Observaţia 7.2-2. Compensatorul K al observatorului Oλis-sr, prezentat în paragraful 4.2.3, are structura identică cu cea prezentată în acest paragraf şi foloseşte aceleaşi consideraţii de proiectare parametrică.

Estimarea cuplului electromagnetic. Dacă estimarea vectorului flux λs se realizează cu acurateţe, atunci estimata cuplului electromagnetic Te^ se calculează simplu din componentele vectorilor flux λs^ şi curent is în referenţialul statoric αβ.

Te^ = 3/2 p (λα^ iβ - λβ^ iα) (7.2-11) 7.3. Rezultate de simulare numerică Sistemul de conducere vectorială directă în cuplu şi flux (CVDCF) a MSMP, cu observatorul Oλλs-sr şi cu regulator de viteză cu moduri alunecătoare, este evaluat prin simulare numerică. Se consideră, ca şi caz de studiu, o MSMP cu ferite tipică de 1 kW, de tipul 130-SFP-7 produsă de Electrotehnica Bucureşti, cu următorii parametri nominali: Teo = 7 Nm, Temax = 12 Nm, Vdco = 200 V, Ωo = 150 rad/s, p = 4, λ0o = 0,2 Wb, Lqo = 8,2 mH, Ldo = 4,1 mH, Ro = 0,6 Ohm, Jo = 0,005 kgm2, BBo = 0,0015 Nms/rad, finv = 10 kHz.

Parametrii regulatoarelor, selectaţi din considerente teoretice şi apoi ajustaţi în cadrul testelor de simulare, sunt:

i) la regulator de turaţie: τ = 10 ms, Tmax = 12 Nm; ii) ii) la regulator de cuplu - histereza ΔTe = 1% Temax; iii) la regulator de flux - histereza Δλ = 0,5% λ0o; iv) la observator de flux: kp = 90, ki = 33 (ω1 = 3 rad/s, ω2 = 30 rad/s).

În cadrul studiului de simulare numerică, se analizează performanţele dinamice şi de regim permanent ale sistemului CVDCF pentru MSMP şi se insistă pe studiul robusteţii sistemului, inclusiv a observatorului privind estimarea fluxului şi cuplului, la o variaţie largă a parametrilor electromagnetici ai MSMP şi la perturbaţii de cuplu, în cazuri reale - cele mai defavorabile.

Cazul observator (Σ) dezacordat (complet dezacordat) se referă la situaţia când apare o variaţie simultană reală a următorilor parametri electromagnetici ai MSMP: R = 1,3Ro; λ0 = 0,85λ0o - corespunzător la o creştere a temperaturii cu 80°C şi Lq = 0,75 Lqo, Ld = 0,75 Ldo - datorită saturaţiei magnetice.

În scopul evaluării performanţelor dinamice, se analizează răspunsurile tranzitorii la semnale severe de intrare - treaptă de viteză de referinţă Ω* şi treaptă de cuplu de sarcină TL, pe o durată de 200 ms, în următoarea secvenţă:

1) la t = 0 s, Ω* = 50 rad/s, (Ω* = 0,33 Ωo); 2) la t = 80 ms, TL = 6 Nm (TL = 0,85 Teo); 3) la t = 120 ms, TL = 0; 4) la t = 140 ms, Ω* = 0.

Observaţia 7.3-1. Domeniul de viteze mecanice specificat Ω* ∈ 0 - 50 rad/s, are în corespondenţă domeniul de viteze electrice ω ∈ 0 - 200 rad/s, care include banda de tranziţie a observatorului de flux de 3 - 30 rad/s. În consecinţă, testele pun în evidenţă şi comportarea dinamică a observatorului de flux, în special tranziţia între modelele Eir şi Eus funcţie de ω. Simularea numerică utilizează pachetul Matlab-Simulink, metoda de integrare numerică selectată este Runge-Kutta 5, cu o perioadă de eşantionare h = 100 μs, în corespondenţă cu frecvenţa de comutaţie tipică invertoarelor industriale cu IGBT. A. Cazul observator (Σ) dezacodat

În acest caz, analiza răspunsurilor tranzitorii ale sistemului CVDCF, în condiţiile de test specificate, conduce la următoarele observaţii:

i) Răspusul în viteza Ω din fig.7.3_1 prezintă un timp de răspuns rapid tr = 50 ms, fără suprareglaj, care corespunde întru-totul cu răspunsul aşteptat al sistemului cu regulator de viteză cu moduri alunecătoare (7.1-1,-2). Încărcarea cu un cuplu de sarcină aproape de valoarea nominală este compensată rapid, meritul fiind atât al regulatorului de turaţie cât şi al sistemului CVDCF.

ii) Răspunsul în cuplu Te^ din fig.7.3_2 este extrem de rapid tr ≈ 5 ms - tipic sistemului CVDCF, practic fără suprareglaj. Cuplul este limitat la Temax. Pulsaţiile în cuplu sunt acceptabile, fiind specifice modurilor alunecătoare.

120

&

&

&

iii) Evoluţia în planul stărilor (eroare de viteză Ω*- Ω şi acceleraţieΩ ) din fig.7.3_3 este elocventă privind regimul alunecător pe dreapta de comutaţie (7.1-2). Tranziţia în planul stărilor are loc în sensul marcat de săgeţile ajutătoare după cum urmează: La pornire, datorită limitării de cuplu, acceleraţia este limitată la 2000 rad/s2 (Ω = Temax /J), după care se atinge dreapta de comutaţie şi ca urmare, regimul alunecător conduce stările după dinamica impusă de aceasta spre punctul static de echilibru (Ω = Ω*, Ω = 0). Aplicarea treptelor de cuplu de sarcină este marcată de linia verticală din centrul diagramei. În final, la aplicarea treptei de viteză Ω* = 0, evoluţia are loc în sensul marcat de săgeata din stânga, asemănător ca la pornire, însă cu o acceleraţie negativă. Fenomenul

de “chattering” - comutaţii de frecvenţă ridicată şi amplitudine mică - specific modurilor alunecătoare, apare în diagramă în special datorită acceleraţiei (în fig.7.3_1 viteza are o evoluţie lină, şi este constantă în regim permanent).

iv) Tranziţia vectorului flux din fig.7.3_4, în planul referenţialului statoric αβ, este condusă de regulatorul de flux, cu referinţa λ* = λ0o, spre o evoluţie circulară de rază egală cu modulul fluxului estimat λ^ de observator. Se confirmă faptul că la viteze mici (pornire, oprire) estimata λ^ este dată de estimatorul cu model de curent Eir care este sensibil la variaţia parametrului λ0 şi prin urmare la pornire se observă că λ = 0,85λ0o. La viteze mai mari, observatorul de flux utilizează estimatorul cu model de tensiune Eus care nu este sensibil cu λ0o şi deci estimarea este corectă, iar regulatorul de flux aduce λ = λ0o = 0,2 Wb. Tranziţia între cele două modele este lină, în conformitate cu considerentele teoretice de proiectare.

Fig.7.3_1. Răspuns în viteză Ω Fig.7.3_2. Răspuns în cuplu Te^

Fig.7.3_3. Răspuns în planul stărilor Fig.7.3_4. Răspuns în flux λ

121

Fig.7.3_5. Eroarea de estimare a fluxului Fig.7.3_6. Eroarea de estimare a cuplului

B. Cazul observator dezacodat selectiv

În scopul investigării mai aprofundate a dinamicii observatorului de flux Oλλs-sr se urmăresc două direcţii privind acurateţea estimării observatorului dezacordat:

a) influenţa vitezei; b) influenţa cuplului de sarcină.

Interesează evoluţia tranzitorie a erorii de estimare a modulului fluxului Δλ şi a erorii de estimare a cuplului electromagnetic ΔTe , exprimate ca mărimi normate:

Δλ / λ0o = (λ - λ^) / λ0o , ΔTe / Temax = (Te - Te ^) / Temax (7.3-1)

unde λ şi Te sunt mărimi reale din MSMP. Erorile dinamice corespunzătoare estimatelor λ^ şi Te^ pentru cazul observator (Σ) dezacodat sunt prezentate în fig.7.3_5 şi respectiv fig.7.3_6; iar pentru observator dezacordat selectiv în condiţiile precizate, - în fig.7.3_7a,b,c, respectiv fig.7.3_8a,b,c. Sunt confirmate considerentele teoretice privind buna funcţionare a observatorului de flux -tranziţia între estimatorul Eir şi estimatorul Eus funcţie de ω.

i) În fig.7.3_5 cea mai mare eroare Δλ / λ0o este de - 15% la viteze mici dată de eroarea de identificare a fluxului magnetului permanent λ0 (fig.7.3_7b); şi - 6% la viteze mari cu cuplu de sarcină dată de eroarea de identificare a rezistenţei statorice R (fig.7.3_7c).

ii) În fig.7.3_6 eroarea maximă tranzitorie ΔTe / Temax este de - 20% dată de eroarea de identificare a lui λ0 (fig.7.3_8b) cât şi a lui R (fig.7.3_8c), în timp ce eroarea maximă de regim permanent este de - 6% dată de eroarea de identificare a lui λ0 (fig.7.3_8b). Aşa cum era de aşteptat, aliurile erorilor de cuplu urmăresc erorile

122

de flux (Te^ se calculează din λ^), cu excepţia zonei de frânare. Acest ultim fapt se explică prin erori de fază care apar în estimata λ^.

C. Cazul observator acodat ideal.

i) În acest caz, erorile de estimare a fluxului (fig.7.3_7d) şi erorile de estimare a cuplului (fig.7.3_8d) sunt neglijabile - practic sunt zero.

ii) Această constatare sugerează ca observatorul de flux să fie adaptiv, cu o identificare în timp real a parametrilor în scopul reducerii erorilor de estimare. O soluţie simplă este aceea de a achiziţiona temperatura statorului în scopul corectării parametrilor λ0 şi R care depind linear de temperatură. Aceşti parametri au ponderea cea mai mare în erorile studiate.

iii) Pe de altă parte, sistemul de conducere limitează curenţii înainte de a se ajunge la saturaţia magnetică; mai mult, dependenţa Lq(iq) poate fi determinată experimental şi tabelată şi deci influenţa variaţiilor inductanţei Lq este diminuată.

123

Fig.7.3_ 7. Erori de estimare a fluxului Fig.7.3_8. Erori de estimare a cuplului

124

125

În concluzie, senzitivitatea estimării observatorului de flux Oλλs-sr la variaţia parametrilor electromagnetici ai MSMP corespunde (este acceaşi):

a) cu a estimatorului Eir, la viteze mai mici ca banda observatorului; b) cu a estimatorului Eus, la viteze mai mari ca banda observatorului.

Comparativ cu cazul de acordare ideal, performanţele privind răspunsurile în viteză şi în cuplu ale sistemului CVDCF a MSMP nu sunt practic afectate de erorile de estimare ale observatorului de flux, dovedind robusteţea sistemului cu acest observator. Robusteţea răspunsului în viteză este realizată semnificativ de regulatorul de viteză cu moduri alunecătoare. Se recomandă implementarea cu o perioadă de eşantionare h cât mai mică. 7.4. Rezultate experimentale Sistemul de conducere vectorială directă în cuplu şi flux din fig.7.1_1, cu observatorul robust de cuplu şi flux prezentat în paragraful 7.2 - fig.7.2_2, a fost implementat pe un stand experimental de conducere în timp real a MSMP. Acest stand se compune din (vezi şi fig.8. _1): calculator PC Pentium la 166 MHz, cuplor de proces tip ADA-1100, interfaţă de adaptare, invertor de tensiune tip VAMSm+s, traductor de poziţie tip rezolver, traductoare de curent, şi MSMP tip 130-SFP-2,4 Programele de conducere în timp real cuprind: o parte specifică scrise în limbaj C şi o parte de administrare a resurselor cuplorului de proces scrise în limbaj de asamblare. În perioada de eşantionare h = 200μs se execută atât algoritmul specific de conducere propriu zis, cât şi estimarea poziţiei şi vitezei din semnale provenite de la rezolver folosind un alt observator de tip cu calare pe fază (PLL). Rezultatele experimentale obţinute prezintă regimuri tranzitorii şi permanente pentru: cuplul electromagnetic estimat Te^, turaţia ω, fluxul λ - în special. Scopul urmărit este acela de a determina fezabilitatea soluţiei punctând performanţele obţinute. Observatorul de flux este testat în toată gama de viteze efectuând o reversare de viteză cu o pantă impusă.

În fig.7.4_1 se prezintă regimurile permanente în gol, în cazul în care regulatorul utilizat a fost unul de tip PI, iar observatorul de turaţie de tip PLL, regimuri care cuprind: turaţia ω, cuplul electromagnetic estimat Te^, componentele fluxului λ(λα^ ,λβ^) şi semnalele de la rezolver: sinθ, cosθ. Pulsaţiile în cuplu sunt de frecvenţă relativ ridicată, fapt specific CVDCF. Estimarea componentelor fluxului este bună, aceste componente având forme de undă relativ curate (cu zgomot redus de comutaţie).

ω [rad/s]

0,5 Te^[Nm]

0,15 λα^ λα^, λβ^ [Wb]

λβ^

Fig.7.4_1. Regimuri permanente: ω, Te^, λα^, λβ^, sinθ, cosθ

126

127

În fig.7.4_2a,b se prezintă răspunsurile tranzitorii ale Te^, ω, pentru ω* triunghiulară pozitivă de 0-100 rad/s cu o perioadă de 120 ms; respectiv pentru ω* triunghiulară simetrică de -50 +50 rad/s. Răspunsurile în cuplu şi viteză sunt similare în ambele situaţii dovedind buna funcţionare a observatorului de flux într-o gamă extinsă de turaţii, inclusiv în zona turaţiei zero.

Răspunsul sistemului CVDCF la referinţă triungiulară de viteză este întârziat cu aprox. 20 ms, aşa cum era de aşteptat, dar urmăreşte bine referinţa în ambele situaţii din fig.7.4_2a,b. Cuplul electromagnetic urmăreşte mai îndeaproape cerinţa referinţei de viteză, cu pulsaţii acceptabile.

În fig.7.4_3 este prezentă evoluţia estimatei vectorului flux λ^ în referenţialul statoric αβ, care tinde către un cerc de rază λ = λ0 = 0,1 Wb. Pulsaţiile în flux sunt dependente de perioada de eşantionare h şi se pot reduce dacă se micşorează h.

Fig.7.4_2a. Răspunsuri la referinţă ω* triunghiulară pozitivă: Te^, ω*, ω

Te^[Nm] Te^[Nm]

[rad/s] [rad/s]

Fig.7.4_2b. Răspunsuri la referinţă ω* triunghiulară simetrică: Te^, ω*, ω

λβ^[Wb]

λα^[Wb]

Fig.7.4_3. Regimuri tranzitorii ale vectorului flux λ^(λ = 0,1 Wb ^, λ ^), λα β 0

7.5. Concluzii 1) În acest capitol s-a prezentat o variantă a CVDCF pentru MSMP care include în

structură un observator robust de flux Oλλs-sr şi cuplu electromagnetic. Se dau relaţii utile de proiectare structurală şi parametrică a Oλλs-sr.

2) Performanţele de regim tranzitoriu şi permanent ale acestei variante de conducere sunt evaluate critic prin simulări extensive şi apoi prin teste experimentale dovedind fezabilitatea soluţiei.

3) Senzitivitatea estimării observatorului de flux la variaţia parametrilor electromagnetici ai MSMP este acceaşi cu a Eir la viteze mai mici, respectiv cu a Eus la viteze mai mari.

128

129

4) Performanţele privind răspunsurile în viteză şi în cuplu ale sistemului CVDCF pentru MSMP nu sunt practic afectate de erorile de estimare ale observatorului de flux, dovedind robusteţea sistemului de conducere cu acest observator. Robusteţea răspunsului în viteză este realizată semnificativ de regulatorul de viteză cu moduri alunecătoare.

5) Preocupări foarte recente (1998) ale unor firme de renume (ABB, Siemens, ş.a.) dezvoltă acţionări industriale bazate pe CVDCF pentru MSMP.

219

BIBLIOGRAFIE [Acke89] Ackermann J., Muller P.C., “Compensation of Coulomb friction in the position

control of elastic robots”, Proc. 7th CISM-IFToMM Symp. on Theory and Practice of Robots and Manipulators, Hermes, pp. 370-377, 1989.

[Andr94a] Andreescu G.D., Pau C., “Torque vector control system for permanent magnet synchronous motor drives”, Buletinul Ştiinţific UTT, Seria Automatică şi Calculatoare, Tom 39 (53), Timişoara, pp. 102-108, 1994.

[Andr94b] Andreescu G.D., “Observers structures for flux estimation in permanent magnet synchronous motors”, Buletinul Ştiinţific UTT, Seria Automatică şi Calculatoare, Tom 39 (53), Timişoara, pp. 109-113, 1994.

[Andr95] Andreescu G.D., “Robust observers for stator flux and torque estimation in permanent magnet synchronous motor drives”, Buletinul Ştiinţific UPT, Seria Automatică şi Calculatoare, Tom 40 (54), Timişoara, pp. 32-43, 1995.

[Andr96a] Andreescu G.D., “Robust direct torque vector control system with stator flux observer for PMSM drives”, Proc. 5th Int. Conf. on Optimization of Electric and Electronic Equipments OPTIM'96, Braşov, vol.5, pp.1441-1454, May 1996.

[Andr96b] Andreescu G.D., “Observers for speed, acceleration and load torque in motion control of electrical drives”, Proc. Automatic Control and Testing Conference A'96-THETA 10, Cluj-Napoca, vol. 1, pp. 307-312, May 1996.

[Andr96c] Andreescu G.D., “Speed control system for PMSM drives with decoupling and speed estimator”, Buletinul Ştiinţific UPT, Trans. on Automatic Control and Computer Science, Tom 41 (55), Timişoara, pp. 5-13, 1996.

[Andr97] Andreescu G.D., “Sensorless drive system based on variable structure observer for permanent magnet synchronous motor”, Buletinul Ştiinţific UPT, Trans. on Automatic Control and Computer Sc., Tom 42 (56), Timişoara, pp.47-56, 1997.

[Andr98a] Andreescu G.D., “Robust sliding mode based observer for sensorless control of permanent magnet synchronous motor drives”, Proc. 8th Int. Power Electronics & Motion Control Conf. PEMC’98, Prague, vol. 6, pp. 172-177, Sept. 1998.

[Andr98b] Andreescu G.D., Uroş S., Spilcă A., Popa A., “Comparison of two sliding mode based observers for PMSM drive sensorless control - Experimental results”, Proc. 3rd Int. Conf. on Technical Informatics CONTI’98, Timişoara, vol. 2, pp. 139-148, Oct.1998.

[Andr98c] Andreescu G.D., “Nonlinear observer for position and speed sensorless control of permanent magnet synchronous motor drives”, Proc. 6th Int. Conf. on Optimization of Electric and Electronic Equipments OPTIM'98, Braşov, vol. 2, pp. 473-478, May 1998.

[Andr98d] Andreescu G.D., Popa A., “Model reference adaptive system based observer for sensorless field oriented vector control of PMSM drives”, Proc. 3rd Int. Conf. on Technical Informatics CONTI’98, Timişoara, vol. 1, pp. 82-89, 1998.

[Blaa96] Blaabjerg F., Christensen L., Hansen S., Kristoffersen J.R., Rasmussen P.O., “Sensorless control of switched reluctance motor with variable-structure observer”, Electromotion, no. 3, pp. 141-152, 1996.

220

[Bile93] Bilewski M., Fratta A., Giordano L., Vagati A., Villata F., “Control of high-performance interior permanent magnet synchronous drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 29, no. 2, pp. 328-337, March/April 1993.

[Bold83] Boldea I., Atanasiu G., Analiza unitară a maşinilor electrice, Editura Academiei, Bucureşti, 1983.

[Bold88] Boldea I., Nasar S.A., “Torque vector control (TVC) - a class of fast and robust torque speed and position digital controllers of electric drives”, Electric Machines and Power Systems, vol. 15, pp. 135-148, 1988.

[Bold91a] Boldea I., Fu Z.X., Nasar S.A., “Torque vector control (TVC) of axially-laminated anisotropic (ALA) rotor reluctance synchronous motors”, Electric Machines and Power Systems, vol. 19, pp. 381-398, 1991.

[Bold91b] Boldea I., Parametrii maşinilor electrice - identificare, estimare şi validare, Editura Academiei Romane, Bucureşti, 1991.

[Bold92] Boldea I., Nasar S.A., Vector Control of AC Drives, CRC Press, Florida, 1992. [Bold99] Boldea I., Nasar S.A., Electric Drives, CRC Press, Florida, 1999. [Bose88] Bose B.K., “A high-performance inverter-fed drive system of an interior

permanent magnet synchronous machine”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 24, no. 6, pp. 987-997, Nov./Dec. 1988.

[Bose97a] Bose B.K., Patel N.R., “A programmable cascaded low-pass filter-based flux synthesis for a stator flux-oriented vector-controlled induction motor”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 44, no. 1, pp. 140-143, Feb. 1997.

[Bose97b] Bose B.K., Patel N.R., “A sensorless stator flux oriented vector controlled induction motor drive with neuro-fuzzy based performance enhancement”, Proc. IEEE-IAS Ann. Meet. Conf. Rec. IAS’97, New Orleans, Oct. 1997.

[Bose97c] Bose B.K., Power Electronics and Variable Frequency Drives: Technology and Apllications, IEEE Press, New York, 1997.

[Brow92] Brown R.H., Schneider S.C., Mulligan M.G., “Analysis of algorithms for velocity estimation from discrete position versu time data”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 39, no. 1, pp. 11-19, Feb. 1992.

[Budi88] Budişan N., Teoria sistemelor, Lito. IPTVT, 1988. [Buhl86] Buhler H., Reglage par mode de glissement, Presses Polytechniques Romandes,

Lausanne, 1986. [Buja98] Buja G., Menis R., “Accuracy of the speed estimation in the sensorless induction

motor drives based on the MRAS techniques”, Proc. 6th Int. Conf. on Optim. Electric Electronic Equip. OPTIM'98, Braşov, vol. 2, pp. 407-414, 1998.

[Casa96] Casadei D., Serra G., Tani A., “Stator flux vector control for high performance induction motor drives using space vector modulation”, Proc. 5th Int. Conf. on Optim. Electric Electronic Equip. OPTIM'96, Braşov, vol.5, pp.1413-1422, 1996.

[Căli85] Călin S., Dumitrache I., Regulatoare automate, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985.

[Chan94] Chang K.-T., Low T.-S., Lee T.-H., “An optimal speed controller for permanent-magnet synchronous motor drives”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 41, no. 5, pp. 503-510, Oct. 1994.

[Colo95] Coloşi T., Codreanu S., Naşcu I., Darie S., Modelling and Simulation of Dynamic Systems, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 1995.

221

[Dote90] Dote Y., Servo Motor and Motion Control Using Digital Signal Processor, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1990.

[Drag79] Dragomir T.L., Preitl Ş., Teoria sistemelor şi reglaj automat, vol. 1-2, Lit. IPTVT, Timişoara, 1979.

[Drag87] Dragomir T.L., Regulatoare automate, vol. 1, Lito. IPTVT, Timişoara, 1987. [Drag95] Dragomir T.L., Bulaviţki I., Nanu S., "Discrete time deterministic models for

disturbed plants", Buletinul Ştiinţific UPT, Seria Automatică Calculatoare, Tom 40(54), Timişoara, pp.169-186, 1995.

[Dumi93] Dumitrache I., Dumitriu S., Mihu I., Munteanu F., Muscă G., Calcev C., Automatizări electronice, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

[Ertu94] Ertugrul N., Acarnley P.P., “A new algorithm for sensorless operation of permanent magnet motors”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 30, no. 1, pp. 126-133, Jan./Feb. 1994.

[Fren96a] French C., Acarnley P., “Control of permanent magnet motor drives using a new position estimation technique”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 32, no. 5, pp. 1089-1097, Sept./Oct. 1996.

[Fren96b] French C., Acarnley P., “Direct torque control of permanent magnet drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 32, no. 5, pp.1080-1088, Sept./Oct. 1996.

[Fuji92] Fujita K., Sado K., “Instantaneous speed detection with parameter identification for AC servosystems”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol.28, no.4, p.864-872, Aug.1992

[Holt96] Holtz J., Springob L., “Identification and compensation of torque ripple in high-precision permanent magnet motor drives”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 43, no. 2, pp. 309-320, April 1996.

[Hu 98] Hu J., Wu B., “New integration algorithms for estimating motor flux over a wide speed range”, IEEE Trans. Power Electr., vol. 13, no. 5, pp. 969-977, Sept. 1998.

[Hurs98] Hurst K.D., Habetler T.H., Griva G., Profumo F., “Zero-speed tacholess IM torque control: simply a matter of stator voltage integration”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 34, no. 4, pp. 790-795, July/Aug. 1998.

[Ilas96] Ilas C., Măgureanu R., “High performance sensorless direct field oriented control of induction motor drives -an improved DSP-based solution”, Proc. 5th Int. Conf. on Opt. of Electric and Electronic Equip. OPTIM'96, Braşov, vol.5, pp.1515-1521, May 1996.

[Ione85] Ionescu V., Teoria sistemelor. Sisteme liniare, vol. 1, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985.

[Jahn94] Jahns T.M., “Motion control with permanent-magnet AC machines”, Proc. IEEE, vol. 82, no. 8, pp. 1241-1252, Aug. 1994.

[Jans94a] Jansen P.L., Lorenz R.D., “A physically insightful approach to the design and accuracy assessment of flux observers for field oriented induction machine drives”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 30, no. 1, pp. 101-110, Jan./Feb. 1994.

[Jans94b] Jansen P.L., Lorenz R.D., Novotny D.W., “Observer-based direct field orientation: analysis and comparation of alternative methods”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 30, no. 4, pp. 945-953, July/Aug. 1994.

[Jian97] Jiang J., Holtz J., “High dynamic speed sensorless AC drive with on-line model parameter tuning for steady-state accuracy”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 44, no. 2, pp. 240-246, April 1997.

222

[John92] Johnson C.T., Lorenz R.D., “Experimental identification of friction and its compensation in precise, position controlled mechanisms”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 6, pp. 1392-1398, Nov./Dec. 1992.

[Kaur97] Kaura V., Blasko V., “Operation of a phase locked loop system under distorted utility conditions”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol.33, no.1, pp.58-63, Jan./Feb. 1997

[Kazm91] Kazmierkowski M.P., Sulkowski W., “A nowell control scheme for transistor PWM inverter-fed induction motor drive”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 38, no. 1, pp. 41-47, Feb. 1991.

[Kele89] Kelemen A., Imecs M., Sisteme de reglare cu orientare după câmp ale maşinilor de curent alternativ, Editura Academiei, Bucureşti, 1989.

[KimS94] Kim S.-H., Park J.-H., Lee S.-W., Chong E.K.P., “A two-layered fuzzy logic controller for systems with deadzones”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 41, no. 2, pp. 155-162, April 1994.

[Koro96] Korondi P., Young K-K.D., Hashimoto H., “Discrete-time sliding mode based feedback compensation for motion control”, Proc. 7th Int. Power Electronic & Motion Control Conf. PEMC'96, Budapest, vol. 2, pp. 244-248, Sept. 1996.

[Koro98] Korondi P., Hashimoto H., Utkin V., “Direct torsion control of flexible shaft in an observer-based discrete-time sliding mode”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 45, no. 2, pp. 291-296, Apr. 1998.

[Kova88] Kovacs K. P., “A short review of the space vector method”, Proc. Int. Conf. on Electric Machine ICEM '88, Pisa, vol. 1, pp. 7-9, Sept. 1988.

[Kraf94] Krafka P., Kunze P., Henrichfreise H., “DSP controller for synchronous drives”, PCIM Europe, pp. 20-21, Jan./Feb. 1994.

[Kubo93] Kubota H., Matsuse K., Nakano T., “DSP-based speed adaptive flux observer of induction motor”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol.29, no.3, pp.344-348, Apr. 1993

[Kubo94] Kubota H., Matsuse K., “Speed sensorless field-oriented control of induction motor with rotor resistance adaptation” IEEE Trans. Industry Applications, vol. 30, no. 5, pp. 1219-1224, Sept./Oct 1994.

[Lage94] Lagerquist R., Boldea I., Miller T.J.E., “Sensorless control of the synchronous reluctance motor”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 30, no. 3, pp.673-682, June 1994.

[Leon85] Leonhard W., Control of electrical drives, Springer Verlag, Berlin, 1985. [Levi91] Levi E., Sokola M., Mironovic V., Rauski, D., “A study of permanent magnet

synchronous machine with current control in stationary and field-oriented reference frame”, Proc. Int. Conf. Evolution and Modern Aspects of Synchronous Machines, SM100'91, Zurich, pp. 279-284, Aug. 1991.

[Lore91] Lorenz R.D., Van Patten K.W., “High-resolution velocity estimation for all-digital, AC servo drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 27, no. 4, pp. 701-705, July/Aug. 1991.

[Lore94] Lorenz R.D., Lipo T.A., Novotny D.W., “Motion control with induction motors”, Proc. IEEE, vol. 82, no. 8, pp. 1215-1240, Aug. 1994.

[Low92] Low T.-S., Lee T.-H., Tseng K.-J., Look K.-S., “Servo performance of a BLDC drive with instantaneous torque control”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 2, pp. 455-462, March/April 1992.

223

[Low93] Low T.-S., Lee T.-H., Chang K.-T., “A nonlinear speed observer for permanent-magnet synchronous motors”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 40, no. 3, pp. 307-316, June 1993.

[Matl ] ***, PC Matlab, A tutorial: Control Systems Tools, Math Works Inc. [Mats92] Matsui N., Shigyo M., “Brushless DC motor control without position and speed

sensors”, IEEE Trans. Ind. Applications, vol.28, no.1, pp.120-127, Jan/Feb. 1992. [Mats93] Matsui N., Makino T., Satoh H., “Autocompensation of torque ripple of direct

drive motor by torque observer”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 29, no. 1, pp. 187-194, Jan./Feb. 1993.

[Mats96a] Matsui N., “Sensorless PM brushless DC motor drives”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 43, no. 2, pp. 300-308, April 1996.

[Mats96b] Matsui N., “Sensorless brushless DC motor drives”, Proc. 7th Int. Power Electronic & Motion Control Conf. PEMC'96, Budapest, vol. 2, pp. 9-16, 1996.

[Măgu90] Măgureanu R., Vasile N., Servomotoare fără perii tip sincron, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990.

[Mori90a] Morimoto S., Takeda Y., Hirasa T., “Current phase control methods for permanent magnet synchronous motors”, IEEE Trans. Power Electronics, vol. 5, no. 2, pp. 133-139, April 1990.

[Mori90b] Morimoto S., Takeda Y., Hirasa T., Taniguchi K., “Expansion of operating limits for permanent magnet motor by current vector control considering inverter capacity”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 26, no. 5, pp. 866-871, Sept./Oct. 1990.

[Mori93a] Morimoto S., Hatanaka K., Tong Y., Takeda Y., Hirasa T., “Servo drive system and control characteristics of salient pole permanent magnet synchronous motor”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 29, no. 2, pp. 338-343, March/April 1993.

[Mori93b] Morimoto S., Takeda Y., Hatanaka K., Hirasa T., “Design and control system of inverter-driven permanent magnet synchronous motors for high torque operation”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 29, no. 6, pp.1150-1155, Nov./Dec. 1993

[Mori94a] Morimoto S., Sanada M., Takeda Y., “Wide-speed operation of interior permanent magnet synchronous motors with high-performance current regulator”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 30, no. 4, pp. 920-926, July/Aug. 1994.

[Mori94b] Morimoto S., Sanada M., Takeda Y., “Effects and compensation of magnetic saturation in flux-weakening controlled permanent synchronous motor drives”, IEEE Trans. Ind. Applications, vol. 30, no. 6, pp. 1632-1637, Nov./Dec. 1994.

[Mull89] Muller P.C., “Indirect measurement of nonlinear effects by state observers”, - , pp. 206-215, 1989.

[Mura93] Murakami T., Yu F., Ohnishi K., “Torque sensorless control in multidegree-of-freedom manipulator”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 40, no. 2, pp. 259-265, April 1993.

[Namd90] Nandam P.K., Sen P.C., “A comparative study of a Luenberger observer and adaptive observer-based variable structure speed control system using self-controlled synchronous motor”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 37, no. 2, pp. 127-132, April 1990.

[Namd92] Nandam P.K., Sen P.C., “Simulation and experimental study of observer-based robust speed control of a self-controlled synchronous motor”, Proc. IEEE-IAS Ann. Meet. Conf. Rec. IAS’92, Houston, Tx., pp. 586-593, Oct. 1992.

224

[Namd95] Namdam P.K., Sen P.C., “Accessible-states-based sliding mode control of a variable speed drive system”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 31, no. 4, pp. 737-743, July/Aug. 1995.

[Nash97] Nash J.N., ”Direct torque control, induction motor vector control without an encoder”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 33, no. 2, pp. 333-341, March/April 1997.

[Noza95] Nozari F., Mezs P.A., Julian A.L., Sun C., Lipo T.A., “Sensorless synchronous motor drive for use on commercial transport airplanes”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 31, no. 4, pp. 850-859, July/Aug. 1995.

[Ohni94] Ohnishi K., Matsui N., Hori Y., “Estimation, identification, and sensorless control in motion control system”, Proc. IEEE, vol.82, no.8, pp.1253-1265, 1994.

[Ostl96] Ostlund S., Brokemper M., “Sensorless rotor-position detection from zero to rated speed for an integrated PM synchronous motor drive”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 32, no. 5, pp. 1158-1165, Sept./Oct. 1996.

[Pill91] Pillay P., Krishnan R., “Application characteristics of permanent magnet synchronous and brushless DC motors for servo drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 27, no. 5, pp. 986-996, Sept./Oct. 1991.

[Prec95] Precup R.E., Preitl Ş., Sisteme de reglare avansate, vol. 1, Lito. UPT, Timişoara, 1995.

[Prei92] Preitl Ş., Teoria sistemelor şi reglaj automat, vol. 1, Lito. UTT, Timişoara, 1992. [Prei96] Preitl Ş., Precup R.E., “On the algorithmic design of a class of control systems

based on providing the symmetry of open-loop Bode plots”, Buletinul Ştiinţific UPT, Trans. on Automatic Control and Computer Science, Tom 41 (55), Timişoara, pp. 47-55, 1996.

[Prof98] Profumo F., Griva G., Vranka P., Donescu V., ”Low speed performance improvement of sensorless flux estimator for field oriented induction motor drives using a fast offset compensation method”, Proc. 8th Int. Power Electronics & Motion Control Conf. PEMC’98, Prague, vol. 4, pp. 82-87, Sept. 1998.

[Rahm97] Rahman M.F., Zhong L., Lim K.W., “A direct controlled interior permanent magnet synchronous motor drive incorporating field weakening”, Proc. IEEE-IAS Ann. Meet. Conf. Rec. IAS’97, New Orleans, pp. 8, Oct. 1997.

[Raja96] Rajashekara K., Kawamura A., Matsuse K., Sensorless control of AC motor drives, IEEE Press, N.J., 1996.

[Răsv87] Răsvan V., Teoria stabilităţii, Ed. Ştiinţifica şi Enciclopedică, Bucureşti, 1987. [Roby92] Robyns B., Buyse H., Labrique F., Sente P., “PM synchronous actuator digital

control based on field orientation and decoupling state feedback”, Proc. Int. Conf. on Electric Machines ICEM'92, vol. 3, pp. 878-882, 1992.

[Roy 97] Roy A. Mc C., Husain I., “Application of a sliding mode observer for switched reluctance motor drives”, Proc. IEEE-IAS Conf. Ann. Meet. IAS’97, Oct. 1997.

[Ryvk96] Ryvkin S., “Sliding mode based observers for sensorless permanent magnet synchronous motor drive”, Proc. 7th Int. Power Electronic & Motion Control Conf. PEMC'96, Budapest, vol. 2, pp. 558-562, Sept. 1996.

225

[Saba89] Sabanovic A., Bilalovic F., “Sliding mode control of AC drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 25, no. 1, pp. 70-75, Jan./Feb. 1989.

[Sait88] Saito K., Kamiyama K., Ohmae T., Matsuda T., “A microprocessor-controlled speed regulator with instantaneous speed estimation for motor drives”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 35, no. 1, pp. 95-99, Feb. 1988.

[Sang96] Sangwongwanish S., “Speed sensorless induction motor drive systems - structure and stability”, Proc. 7th Int. Power Electronic & Motion Control Conf. PEMC'96, Budapest, vol. 2, pp. 78-85, Sept. 1996.

[Scha92] Schauder C., “Adaptive speed identification for vector control of induction motors without rotational transducers”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 5, pp. 1054-1061, Sept./Oct. 1992.

[Schm92] Schmidt P.B., Lorenz R.D., “Design principles and implementation of acceleration feedback to improve performance of DC drives”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 3, pp. 594-599, May/June 1992.

[Scho96] Schonfeld R., Quang N.P., Riese M., “Sensorless control of induction machines”, Proc. 7th Int. Power Electronic & Motion Control Conf. PEMC'96, Budapest, vol. 2, pp. 70-77, Sept. 1996.

[Schr90] Schroedl M., “Control of a permanent magnet synchronous machines using a new position-estimator”, Proc. Int. Conf. on Electric Machine ICEM'90, Boston, MA, vol. 3, pp. 1218-1224, Aug. 1990.

[Schr91b] Schroedl M., “Digital implementation of a sensorless control algorithm for permanent magnet synchronous motors”, Proc. Int. Conf. on Evolution and Modern Aspects of Synchronous Machines, SM100'91, Zurich, pp.430-435, 1991.

[Sepe90] Sepe R.B., Lang J.H., “Adaptive control of the permanent-magnet synchronous motor”, Proc. Int. Conf. on Electric Machine ICEM'90, vol. 2, pp.537-543, 1990.

[Sepe91] Sepe R.B., Lang J.H., “Real-time adaptive control of permanent-magnet synchronous motor”, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 27, no. 4, pp. 706-714, 1991.

[Sepe92] Sepe R.B., Lang J.H., “Real-time observer-based (adaptive) control of permanent-magnet synchronous motor without mechanical sensors”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 28, no. 6, pp. 1345-1352, Nov./Dec. 1992.

[Sols96] Solsona J., Valla M., Muravchik C., “A nonlinear reduced order observer for permanent magnet synchronous motors”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 43, no. 4, pp. 492-497, Aug. 1996.

[Suyi93] Suyitno A., Kobayashi H., Dote Y., “Variable-structured robust controller by fuzzy logic for servomotors”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 40, no. 1, pp. 80-88, Feb. 1993.

[Taka86] Takahashi I., Noguchi T., “A new quick response and high-efficiency control strategy of an induction motor”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 22, no. 5, pp. 820-827, Sept./Oct. 1986.

[Take88] Takeda Y., Morimoto S., Hirasa T., Fuchi K., “Most suitable control method for permanent magnet synchronous motors”, Proc. Int. Conf. on Electric Machine ICEM '88, Pisa, vol. 3, pp. 53-58, Sept. 1988.

226

[Tomi98] Tomita M., Senjyu T., Doki S., Okuma S., “New sensorless control for brushless DC motors using disturbance observers and adaptive velocity estimators”, IEEE Trans. Ind. Electronics, vol. 45, no. 2, pp.274-282, April 1998.

[Utki77] Utkin V.I., “Variable structure system with sliding modes”, IEEE Trans. on Automatic Control, vol. AC-22, no. 2, pp. 212-222, April 1977.

[Utki87] Utkin V.I., “Discontinuous control systems: state of the art in theory and applications”, Proc. 10th World Congress on Automatic Control, Munchen, vol. 1, pp. 75-94, 1987.

[Utki93] Utkin V.I., “Sliding mode control design principles and applications to electric drives”, IEEE Trans. on Ind. Electronics, vol. 40, no. 1, pp. 23-36, Feb. 1993.

[Vaga97] Vagati A., Pastorelli M., Franceschini G., Drogoreanu V., “Digital observer-based of synchronous reluctance motors”, Proc. IEEE-IAS Ann. Meet. Conf. Rec., New Orleans, Louisiana, 8p, Oct. 1997.

[Vanl85] Vanlandingham H.F., Introduction to Digital Control Systems, Macmillan Publishing Comp., New York, 1985.

[Verg88] Verghese G.C., Sanders S.R., “Observers for flux estimation in induction machines”, IEEE Trans. Ind. Electronics, vol. 35, no. 1, pp. 85-94, Feb. 1988.

[Voic86] Voicu M., Tehnici de analiză a stabilităţii sistemelor automate, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1986.

[Wall92] Wallace I.T., Novotny D.W., Lorenz R.D., Divan D.M., “Verification of enhaced dynamic torque per ampere capability in saturated induction machines”, IEEE Trans. Ind. Applications, vol. 30, no. 5, pp. 1193-1201, Sept./Oct. 1994;

[Will85] Williamson T., “Using the 8051 microcontroller with resonant trasducers”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. IE-32, no. 4, pp. 369-373, Nov. 1985.

[Wu 91] Wu R., Slemon G.R., “A permanent magnet motor drive without a shaft sensor”, IEEE Trans. Ind. Applications, vol. 27, no. 5, pp. 1005-1011, Sept./Oct. 1991.

[Xue 91] Xue Y., Xu X., Habetler T.G., Divan D.M., “A stator flux-oriented voltage sourse variable-speed drive based on dc link measurement”, IEEE Trans. Industry Applications, vol. 27, no. 5, pp. 962-969, Sept./Oct. 1991.

[Zhon97] Zhong L., Rahman M.F., Hu W.Y., Lim K.W., “Analysis of direct torque control in permanent magnet synchronous motor drives”, IEEE Trans. Power Electronics, vol. 12, no. 3, pp. 528-536, May 1997.