cap 12-sisteme de conducere fuzzy

Capitolul 12

Sisteme de conducere fuzzy

12.1 Introducere

Metodele de conducere convenţională se bazează pe o modelare corespunzătoare a sistemului supus reglării şi o tratare analitică cu ajutorul funcţiilor de transfer sau a ecuaţiilor de stare. În majoritatea cazurilor, o tratare completă a problemei conducerii impune cunoştinţe avansate de matematică şi sisteme de conducere.

În contrast cu tehnicile convenţionale, metodele fuzzy de conducere oferă soluţii mult mai pragmatice, cu evidente facilităţi de aplicare în domenii diverse, impunând cunoştinţe de nivel acceptabil în domeniul sistemelor, logică de control şi tehnologie.

Utilizarea logicii fuzzy în implementarea unor sisteme de conducere în condiţiile absenţei unei informaţii totale asupra sistemului a reprezentat, de asemenea, unul din factorii care au determinat larga răspândire a controlului fuzzy în cele mai diverse domenii. Am asistat ( în ultimele două decenii) şi asistam la o adevărată explozie a tehnicilor de implementare de tip fuzzy atât în problemele clasice de control cât şi în domeniul sistemelor expert, ale inteligenţei artificiale sau în complexele probleme de decizii în domeniul economic.

Conceptul de Logică Fuzzy a fost introdus pentru prima dată de Lotfi A. Zadeh de la Universitatea din California, Berkley, în 1965 în lucrarea Fuzzy Sets [1]. La acea epocă, de afirmare a calculatoarelor numerice bazate pe logică exactă 0, 1, un astfel de concept părea neverosimil. Zadeh, prin această logică fuzzy a impus o altă modalitate de tratare a problemelor în care mărimile ce determină evoluţia unui sistem nu au frontierele clar definite, 0 sau 1, alb sau negru, aceasta putând fi asociate unei anumite zone incerte, „gri”. De fapt, logica fuzzy dă o nouă interpretare a „logicii cu mai multe valori” formulată de Lukasievici [2]. De exemplu, sistemele ternare (cu trei valori logice 0, 1/2, 1) au fost studiate în

Roboţi industriali

nenumărate lucrări de algebră de comutaţie, dar Zadeh a introdus conceptul de mulţime fuzzy, „vagă” pentru cazurile când frontiera valorii 1/2 are o caracteristică incertă.

Primele aplicaţii ale acestui nou concept au apărut în jurul anilor 1975 în domeniile economic şi medicină. Ulterior, japonezii au introdus metodele fuzzy în sistemele de control cu aplicaţii diverse în industrie sau în echipamente electrocasnice.

Sfârşitul secolului trecut marchează o creştere spectaculoasă a metodelor fuzzy datorată atât noilor domenii de aplicaţie: robotică, inteligenţă artificială, industrie uşoară, industria materiilor compozite, navigaţie, economie, etc., cât şi extinderii geografice a noilor utilizatori în SUA şi Europa.

12.2 Principiul logicii fuzzy

Logica fuzzy poate fi interpretată ca un concept de implementare a logicii umane în problemele de tip ingineresc. În limbajul uman există diferite tipuri de inceritudini numite frecvent „incertitudini lexicale” care identifică imprecizia în evaluarea unor concepte sau în stabilirea unor concluzii.

Să considerăm cuvinte ca „bărbat înalt”, „bărbat tânăr” sau „zi caldă”, ce nu exprimă foarte clar atributul asociat. Un bărbat poate fi înalt dacă are 1,80 m, dar unul care are numai 1,79 m nu poate fi considerat imediat ca unul de „înălţime medie”. De asemenea, atributul de înalt poate fi diferit interpretat de un copil, pentru care toţi bărbaţii sunt înalţi, şi altfel de un adult.

În aceeaşi manieră se poate interpreta „bărbat tânăr”. Pentru un om de 60 de ani, toţi cei care au 54 de ani pot intra în această categorie, ceea ce evident că nu corespunde unor alte criterii de apreciere. Acesta poate fi considerat „între două vârste” sau „în vârstă”, dar delimitarea nu poate fi în nici un caz exactă.

Aceste exemple sugerează faptul că o eventuală abordare a acestor incertitudini într-o tratare logică necesită introducerea unui model matematic.

Să reconsiderăm, pentru exemplificare, modelul lingvistic „bărbaţi înalţi”. Într-o tratare convenţională, conform teoriei mulţimilor, mulţimea „bărbaţi înalţi” va cuprinde toţi bărbaţii cu înălţime peste 1,77 m (de exemplu). Deci se poate introduce o funcţie care să poată identifica exact apartenenţa sau neapartenenţa unui element (bărbat) la această mulţime (figura 12.1).

164

Capitolul 6. Sisteme de conducere fuzzy

În figura 12.2 este prezentată o mulţime în care elementele ei pot fi „mai mult sau mai puţin” definite ca „bărbaţi înalţi”. Această mulţime este o „mulţime fuzzy”.Fiecărui element al acestei mulţimi i se poate asocia un anumit grad de apartenenţă la „bărbaţi înalţi”. Acest grad este numit „grad al funcţiei de apartenenţă” (x) al elementului xX.

Reprezentarea printr-o funcţie continuă a funcţiei de apartenenţă este redată în figura 12.3. Rangul lui este de la 0 la 12.

165

Figura 12.1 Mulţimea „Bărbaţi înalţi” conform teoriei convenţionale a mulţimilor

Mulţime „Bărbaţi înalţi”

1,64

1,72

1,481,70

1,75

1,68

1,90

1,85

1,78

1,92

Figura 12.2 Mulţimea fuzzy „Bărbaţi înalţi”

Mulţime fuzzy „Bărbaţi înalţi”

1,64

1,72

1,48 1,70

1,75

1,68

1,90

1,85

1,88

1,92

1,74

1,78

Roboţi industriali

Figura 12.3 Funcţia de apartenenţă (x)

Figura 12.4 Funcţii de aprtenenţă pentru câteva etichete lingvistice

Exemplul de mai sus poate fi extins şi pentru alte „etichete lingvistice” cum ar fi: „bărbaţi scunzi” şi „bărbaţi de înălţime medie” cărora li se vor atribui funcţii de apartenenţă corespunzătoare (figura 12.4).

Deci funcţia de apartenenţă transformă X într-un spaţiu M al funcţiei de apartenenţă (x). Dacă M conţine numai două puncte 0 şi 1, atunci caracterul incert dispare şi se poate discuta de o mulţime convenţională (figura 12.5).

Figura 12.5

166

1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,90 1,95

x

µ(x)

1

µ(x)

1

x

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90

„bărbaţi scunzi” „bărbaţi de înălţime medie ”

„bărbaţi înalţi”

µA

1

x1,80


Dacă se consideră submulţimea bărbaţilor cu înălţime „peste 1,80 m” atunci fiecare element x al universului de discurs poate aparţine sau nu (cu certitudine) acestei submulţimi:

A:X[0,1] (12.1)

Să considerăm universul X definit de mulţimea valorilor unghiulare ale unui braţ robot în coordonate cilindrice. În jurul poziţiei de echilibru a braţului se pot defini următoarele etichete lingvistice: ZERO, POZITIV MEDIE, POZITIV MARE, NEGATIV MEDIE, NEGATIV MARE, ceea ce corespunde unei delimitări în coordonate unghiulare ca cea sugerată în figura 12.6. Acestora li se pot asocia funcţiile de apartenenţă reprezentate în figura 12.7.

Elementele prezentate mai sus permit introducerea conceptului de „mulţime fuzzy” şi identificarea elementelor sale specifice.

O mulţime clasică (mulţime crisp) este definită ca o colecţie de elemente sau obiecte xX care poate fi finită, numărabilă sau nu. Dacă considerăm acum o submulţime A, AX, un element x poate să „aparţină lui A” sau să „nu aparţină lui A”. Dacă xA atunci declaraţia „aparţine lui A” este adevărată, în caz contrar fiind falsă.

O mulţime fuzzy este o mulţime de perechi ordonate:

(12.2)

unde este funcţia de apartenenţă a lui x în . De exemplu, să considerăm

poziţia braţului . Pentru cele 5 variabile lingvistice reprezentate în Figura

12.7, poziţia va fi definită prin:

167

Poziţie iniţială

POZITIV MARE

POZITIV MEDIE

NEGATIV MARE

ZERO

θ

Figura 12.6

Roboţi industriali

(12.3)

(12.4)

(12.5)

(12.6)

(12.7)

Deci, mulţimea fuzzy asociată mulţimii POZITIV MARE va fi:

(12.8)

Pentru submulţimea ZERO obţinem:

(12.9)

În mod similar pot fi construite submulţimile fuzzy pentru celelalte funcţii de apartenenţă prezentate în figura 12.7.

O notaţie destul de frecvent întâlnită în literatura de specialitate [2, 3] pentru un univers de discurs discret şi finit este dată de:

168

θ0

NEGATIV MARE

-50 -10 0 10 50 90-90

NEGATIV MEDIE

ZERO POZITIV MEDIE

POZITIV MARE

0,2

0,8

Figura 12.7


(12.10)

iar în cazul universului de discurs continuu şi infinit se utilizează:

(12.11)

12.3 Funcţii de apartenenţă

Exemplele precedente au pus în evidenţă importanţa cunoaşterii funcţiei de apartenenţă în condiţiile definirii corecte a unei mulţimi fuzzy. Conform elementelor prezentate anterior, considerând X un univers de discurs şi o submulţime A a lui X, atunci submulţimii fuzzy i se asociază funcţia caracteristică, funcţia de apartenenţă:

(12.12)

prin care este specificat gradul prin care x este un membru al submulţimii A.Formele cele mai des întâlnite ale funcţiilor de apartenenţă în aplicaţii

industriale sunt cele triunghiulare şi trapezoidale (figura 12.8) [2], [3].

Figura 12.8 Funcţii de apartenenţă triunghiulare şi trapezoidale

169

M1 M3 M1 M3

M2 M2

M2 M3

M1 M4

Roboţi industriali

Gradul de apartenenţă este exprimat, în aceste cazuri, prin relaţii liniare. În mod normal, aceste funcţii sunt definite prin punctele de referinţă M1, M2, M3 sau M1, M2, M3, M4, respectiv.

Sunt utilizate de asemenea şi alte forme [3] (figura 12.9).

Figura 12.9 Funcţii de apartenenţă „clopot”

definite prin relaţiile:

; (12.13)

respectiv:

; (12.14)

unde x0 defineşte poziţia vârfului pentru μ=1 iar a reprezintă lărgimea domeniului.O funcţie de apartenenţă care derivă din caracteristica trapezoidală şi cea

definită de relaţia (12.14) poate fi determinată de relaţiile [3]:

170

aa

1

0.5

xx0

(b)

aa

1

xx0

0.5

(a)


; (12.15)

; (12.16)

; (12.17)

Forma acestei funcţii este prezentată în figura 12.10.

Figura 12.10 Funcţia de apartenenţă definită prin relaţiile (12.15 – 12.17)

Forma generală a unei funcţii de apartenenţă este prezentată în Figura 12.112. În structura reprezentării distingem următoarele zone:

baza funcţiei de apartenenţă definită ca acea regiune a universului de

discurs pentru care .

suportul corespunde acelei regiuni a universului pentru care .

frontierele funcţiei de apartenenţă sunt definite ca acele regiuni pentru care

. Punctelor de pe frontieră le sunt asociate o „anumită incertitudine”.

171

a1

1

xx2

)(x

x1

Roboţi industriali

Figura 12.11 Forma generală a unei funcţii de apartenenţă

12.4 Strategia de control lingvistică

Să reconsiderăm cazul comenzii unui braţ de robot (figura 12.6). Să

presupunem că dorim să mişcăm braţul din poziţia iniţială ( ) în poziţia de

origine, dorită ( ). Conducerea convenţională a braţului este bazată pe

procesarea erorii,

(12.18)

utilizând regulatoare standarde PI sau PID (figura 12.12).

Figura 12.12 Sistem de conducere convenţional

Algoritmul de control al braţului determină o lege de variaţie a cuplului de acţionare M(t) astfel încât eroarea staţionară a sistemului să tindă către valoarea zero.

172

d Regulator PI BRAŢM e

-

1

suport

frontiera baza frontiera


(12.19)

O astfel de abordare impune o analiză exactă a mişcării braţului, determinarea ecuaţiilor diferenţiale ce guvernează mişcarea precum şi calculul corespunzător al parametrilor regulatorului în scopul obţinerii performanţelor dorite.

O tratare cu totul diferită de procedura de control convenţională este oferită de aşa numită „strategie de control lingvistică”. Un operator uman poate realiza un control cu performanţe acceptabile printr-o evaluare euristică a poziţiei (a erorii de urmărire) şi luarea unor decizii corespunzătoare. În esenţă, un operator va acţiona după următoarele reguli:

1. Porneşte braţul din poziţia iniţială cu o valoare „medie” a cuplului M.

2. Dacă distanţa faţă de poziţia dorită „mare”, creşte valoarea cuplului la o valoare „mare”.

3. Dacă distanţa este „medie” el micşorează valoarea cuplului la o valoare „medie”.

4. Dacă distanţa este „zero” valoare cuplului este redusă la „zero” sau se poate impune chiar o valoare „negativă zero” astfel încât să fie realizată oprirea în poziţia dorită.

Regulile precizate impun introducerea unor mulţimi fuzzy corespunzătoare pe universul de discurs reprezentat de „cuplul de acţionare”. Convenţional acestea vor fi notate prin: NEGATIV ZERO, POZITIV ZERO, MEDIE, MARE şi cărora li se va asocia funcţii de apartenenţă de tip triunghiular (figura 12.13).

Figura 12.13 Funcţii de apartenenţă ale cuplului de acţionare

173

-M1 0 +M1 +M2 +M3

NEGATIVZERO

POZITIVZERO MEDIE MARE

M

Roboţi industriali

Scrise într-un formalism specific controlului fuzzy, regulile de mai sus sunt specificate prin aşa numitele „reguli If-Then”.

Regula 1 If Unghiul=POZITIV MARE Then Cuplul=MARE

Regula 2 If Unghiul=POZITIV MEDIU Then Cuplul=MEDIE

Regula 3 If Unghiul=ZERO Then Cuplul=NEGATIV ZERO

Regulile prezentate mai sus definesc aşa numitul mecanism de „inferenţă” ce reprezintă o etapă importantă în introducerea conceptului „fuzzy” într-un sistem de conducere. Evident, aceste reguli au, în acest exemplu, o formă simplă, corespunzând problemei tratate.

Să presupunem că mişcarea braţului din poziţia iniţială până în poziţia dorită face parte dintr-un ciclu tehnologic de preluare a unei piese supusă unui proces de tratare termică. Introducând o nouă variabilă TEMPERATURA , asociindu-i acesteia domeniile: TEMPERATURĂ JOASĂ, TEMPERATURĂ MEDIE, TEMPERATURĂ MARE şi asociindu-le funcţiile de apartenenţă din figura 12.14, regulile prezentate mai sus vor introduce condiţii suplimentare. Aceste condiţii sunt impuse în corpului regulii prin operatori ŞI (AND), respectiv SAU (OR), în funcţie de logica interpretării.

Astfel, noile reguli vor avea forma:Regula 1 IF Unghiul=POZITIV MARE AND Temperatura =

TEMPERATURA JOASĂ THEN Cuplul=POZITIV ZERORegula 2 IF Unghiul=POZITIV MEDIU AND Temperatura =

TEMPERATURĂ MEDIE THEN Cuplul=MARE

Figura 12.14 Funcţii de apartenenţă ale variabilei Temperatură

174

100 1000 10000

TEMP.JOASĂ

TEMP.MEDIE

TEMP.MARE

TEMPERATURĂ20

1


Regula 1 se interpretează astfel: dacă piesa ce urmează a fi preluată nu este suficient încălzită (TEMPERATURĂ JOASĂ) atunci mişcarea braţului nu este necesară (Cuplu=POZITIV ZERO).

Pentru Regula 2 avem următoarea interpretare: dacă Temperatura atinge valoarea necesară (domeniul TEMPERATURĂ MEDIE) şi dacă braţul are poziţia iniţială (Unghiul=POZITIV MARE) atunci braţul este pus în mişcare (Cuplu=MARE) pentru prinderea piesei, etc.

Desigur, în alte situaţii pot apare şi operatori de tipul SAU (OR) sau negaţie (NOT) care implementează în concept fuzzy logica clasică.

12.5 Operatori în logică fuzzy

Operatorii uzuali NEGAŢIE, ŞI, SAU sunt trataţi în logică fuzzy prin aplicarea regulilor „min”, „max” asupra funcţiilor de apartenenţă.

12.5.1 Operatorul SAU (OR)

Se vor considera trei mulţimi fuzzy , , , definite pe acelaşi univers de discurs X. Operatorul SAU corespunde operaţiei de reuniune:

(12.20)

În tratarea fuzzy, operatorul este realizat prin funcţia de maxim aplicată la nivelul funcţiilor de apartenenţă (figura 12.15):

(12.21)

În cazul în care variabilele sunt diferite, procedura se păstrează:

(12.22)

Evident că anumite proprietăţi ale algebrei logice convenţionale (booleene), comutativitatea şi idempotenţă se păstrează.

(12.23)

175

Roboţi industriali

(12.24)

Operatorul SAU poate fi construit şi prin operaţia aritmetică de adunare, mai precis de mediere

(12.25)

Divizarea prin 2 s-a impus pentru a exclude eventualele depăşiri a valorii 1 a funcţiilor rezultate prin însumare.

Figura 12.15 Operatorul SAU realizat prin „maximum”

12.5.2 Operatorul ŞI (AND)

Ca şi în algebra convenţională acest operator se obţine prin operaţia de intersecţie realizată la nivelul funcţiilor de apartenenţă prin operatorul „minim”:

176

1

x

1

1

B~

C~

x

x


(12.26)

(12.27)

În figura 12.16 este prezentat operatorul ŞI prin operaţia de „minim” aplicată funcţiilor de apartenenţă.

Toate proprietăţile descrise mai sus se regăsesc şi la acest operator:

(12.28)

(12.29)

(12.30)

În foarte multe aplicaţii, operatorul ŞI este realizat prin operaţia aritmetică de înmulţire:

(12.31)

177

x

1

1

x

x

A~

B~

C~

Roboţi industriali

Figura 12.16 Operator ŞI realizat prin operaţia „minimum”

12.5.3 Operatorul NEGAŢIE (NOT)

Acest operator realizează complementul funcţiei de apartenenţă în raport cu 1 (figura 12.17):

(12.32)

(12.33)

Figura 12.17 Operatorul NU (Negaţie)

1.6 Proprietăţi generale ale unui sistem de conducere în logică fuzzy

Sistemele convenţionale de conducere ale unui robot (ale componentelor sale mecanice) se încadrează în configuraţia clasică a sistemelor de reglare (figura 12.18).

Figura 12.18 Sistem convenţional de conducere

178

dq Regulator Sist. de acţionare Element mecanic

Traductor

e u

mu q

Tq

-

x

1

1

x


Într-o astfel de structură, valoare dorită a variabilei de poziţie (de referinţă) qd este comparată cu valoarea reală măsurată de traductor (qT). Eroarea rezultată este procesată într-un regulator care generează mărimea de comandă a sistemului de acţionare u şi prin aceasta este determinată mişcarea elementului mecanic (braţul robotului):

Regulatoarele uzuale utilizate în aceste sisteme sunt de tipul P, PI şi PID, ele asigurând, în condiţii de alegere corespunzătoare a parametrilor regulatorului, performanţele de control dorite.

Un sistem de conducere în logică fuzzy (SCLF) respectă configuraţia generală a oricărui sistem de conducere, rolul regulatorului convenţional fiind preluat de un Controler în Logică Fuzzy (CLF) (figura 12.19).

Figura 12.19 Sistem de conducere în logică fuzzy

Un CLF va implementa, deci, un algoritm de conducere care, prin procesarea

erorii e (sau a unui vector eroare ) să determine

performanţele calitative dorite pentru întregul sistem de conducere, în mod curent obţinerea unei erori staţionare zero.

În contrast cu regulatorul standard, CLF nu implementează o relaţie mate-matică bine definită (algoritmul de reglare) ci utilizează inferenţe cu mai multe re-guli bazate pe variabile lingvistice şi care sunt tratate prin operatori în logică fuzzy.

Configuraţia generală a unui CLF cuprinde trei părţi (figura 12.20) [2, 3, 6]:

Fuzificare Inferenţe (baza de reguli) Defuzificare.

179

dq CLF Sist. de acţionare Element mecanic

Traductor

e u q

Tq

-

FUZIFICARE INFERENŢE DEFUZIFICARE

Variabilecrisp

Variabilefuzzy

Variabilefuzzy

Variabilecrisp

e u

Roboţi industriali

Figura 12.20 Structura unui CLF

Blocul de fuzificare transformă datele de intrare, eroarea sistemului, în mărimi fuzzy, atribuind acestor mărimi variabile lingvistice şi asociindu-le funcţii de apartenenţă corespunzătoare.

Blocul de inferenţe reprezintă partea principală a unui CLF. Acest bloc generează legea de control sub forma unei familii de reguli logice de tipul IF...THEN ce descriu relaţiile între intrarea e (eroare) şi ieşirea u a controlerului. Adaptând un model direct, aceste reguli implementează de fapt o lege de forma generală:

(12.34)

Din considerente practice, implementarea unei astfel de legi pentru este extrem de complexă şi dificil de aplicat. În mod curent, legea de control de mai sus capătă forma simplificată:

(12.35)

sau:

(12.36)

Existenţa unei legi de conducere de tipul (12.42)-(12.6.44) nu înseamnă că CLF poate fi definit printr-o funcţie de transfer sau printr-o ecuaţie de diferenţe. Legea de control este generată prin baza de reguli IF...THEN sub forma:

(12.37)

şi deci ieşirea actuală se obţine sub forma:

180


(12.38)

un astfel de CLF este numit CLF-Mamdani după numele cercetătorilor Mamdani şi Assilian care l-au propus prima dată în anul 1975 (figura 12.21) [12].

Figura 12.21 Variabilele de intrare şi ieşire într-un CLF

Fiecare din regulile bazei este caracterizată printr-o parte IF numită „antecedent” şi o parte THEN numită „consecinţă”. Antecedentul unei reguli conţine setul de condiţii, consecinţa conţine concluzia. Modul în care operează CLF-ul este următorul: dacă condiţiile antecedentului sunt satisfăcute, atunci concluzia, consecinţa, este activă. Deci CLF-ul poate fi privit ca un sistem care are ca intrări variabilele incluse în antecedentele regulilor şi ca ieşire variabila inclusă în consecinţă. Deci, se va putea defini eroarea e(k) şi variaţia ei Δe(k) ca intrări în sistem, iar ieşirea poate fi reprezentată de variaţia Δu(k) (figura 12.21). Un exemplu de regulă poate fi următorul:

IF e(k) este POZITIV AND Δe(k) este ZEROTHEN Δu(k) este POZITIV

...Este evident că intrările şi ieşirile unui CLF sunt stări, sau substări ale

întregului sistem controlat, deci CLF poate fi privit şi ca un controler de variabilă de stare guvernat de o familie de reguli şi un mecanism de inferenţă fuzzy.

Ultimul bloc al unui CLF, blocul de defuzificare, asigură formarea unor semnale crisp, prin metode specifice, compatibile cu sistemele de acţionare utilizate în controlul roboţilor.

Elementele prezentate mai sus pot pune în evidenţă caracteristicile generale ale sistemelor conduse prin metode bazate pe logica fuzzy şi permit identificarea avantajelor şi dezavantajelor acestor noi concepte de conducere.

Avantajele esenţiale pot fi sumarizate în următoarele [10], [11, [12]: nu se impune un model precis al sistemului condus; strategia de conducere se bazează pe operatori lingvistici şi o bază de reguli

uşor de implementat;

181

u(k)

CLFΔ

-

ke

1ke keΔ

ku

Roboţi industriali

pot fi conduse procese complexe cu neliniarităţi dificil de modelat; implementarea se poate realiza tehnologic relativ facil fie prin proiectarea

unor configuraţii particulare de controlere, fie prin utilizarea unor procesoare dedicate.

Dezavantajele utilizării acestor sisteme sunt: nu există o metodică precisă pentru realizarea tuturor fazelor implementării

unui CLF: fuzificare, inferenţe, defuzificare, în multe situaţii soluţiile adoptate având un caracter euristic, artizanal, nesistematic;

dificultatea demonstrărilor, în toate cazurile, a stabilităţii sistemelor; posibilitatea apariţiei ciclurilor limită datorită funcţionării pe caracteristici

neliniare; performanţele sistemului condus pot să nu fie întotdeauna la nivelul dorit; imposibilitatea implementării practice a unui CLF cu un număr mare de

variabile de intrare (peste 4) datorită dimensiunii bazei de reguli implicată.În orice caz, este evident că sistemele de conducere în logică fuzzy

reprezintă o alternativă clară faţă de sistemele de conducere convenţionale. Acest lucru este demonstrat de numeroasele aplicaţii în economie şi industrie, de volumul cercetărilor pe plan mondial în această direcţie, de eforturile tehnologice pentru a pune la dispoziţie resursele software şi hardware specializate.

12.7 Fuzificarea mărimilor în CLF

După prezentarea generală a caracteristicilor de bază în SCLF, vom aborda în detaliu principalele aspecte ale procedurilor de implementare a unui CLF.

Interfaţarea pe intrare a unui astfel de controler este realizată prin blocul de fuzificare. Acesta trebuie să asigure:

Conversia mărimilor de intrare (eroare) e într-o formă digitală compatibilă cu procesarea ulterioară în logică fuzzy. Dacă eroarea e este un semnal continuu, se impune o conversie analog-numerică corespunzătoare. De asemenea, dacă e este un semnal numeric, o procesare numerică suplimentară este necesară pentru asigurarea performanţelor dorite.

Formarea variabilelor ce vor determina condiţiile antecedentului în baza de reguli a CLF. În general, aşa cum s-a arătat anterior, o primă variabilă de intrare este eroarea e(k), dar impunerea unor condiţii complexe necesită generarea şi a altor variabile de intrare. Acestea pot fi definite prin mărimea de eroare evaluată la câteva momente de timp, e(k-1), e(k-2),..., e(k-v) sau de alte variabile de stare ale sistemului condus, cum ar fi viteza sau acceleraţia braţului mecanic (pentru controlul unui sistem robot).

182


Exprimarea variabilelor de intrarea ca mulţimi fuzzy. În acest sens, mărimilor fizice li se atribuie variabile lingvistice, variabile fuzzy şi funcţii de apartenenţă. Se determină totodată universul de discurs pe care este definită fiecare variabilă.

Funcţiile de apartenenţă utilizate în sistemele de conducere au forme triunghiulare sau trapezoidale. De asemenea, universul de discurs este frecvent ales ca [-1,1] iar variabilele de intrare astfel definite sunt considerate normalizate. Este evident că aceasta impune utilizarea unor factori de scală corespunzători pentru fiecare variabilă.

Figura 12.22 Funcţii de apartenenţă ale variabilelor de intrare în CLF

În figura 12.22.a sunt reprezentate funcţiile de apartenenţă a cinci mulţimi fuzzy ce reprezintă etichetele lingvistice ale erorii: NM, NI, Z, PI, PM (NEGATIV MARE, NEGATIV INFERIOR, ZERO, POZITIV INFERIOR, POZITIV MARE, respectiv). Rangul de operare al erorii, universul său de discurs, se presupune [-1,1]. Se observă că trei mulţimi au funcţii de apartenenţă triunghiulare iar două, trapezoidale.

183

1-0.6 -0.2 0.2 +0.6

NI PIZ

-1

NM PM

(a)

e

-1 -0.2 0.2 +1

N PZ

(b)

-0.5Q -0.2Q 0.2Q +0.5Q

NS PI Z

-0.8Q 0.8Q..q

PSNM NI PM

(c)

Roboţi industriali

În mod analog, în figura 12.22.b sunt reprezentate cele trei funcţii de apartenenţă ale mulţimilor fuzzy asociate etichetelor lingvistice ale variaţiei erorii Δe: N,Z,P (NEGATIV, ZERO, POZITIV) al cărui univers de discurs este de asemenea normalizat.

În figura 12.22.c sunt prezentate funcţiile de apartenenţă ale mulţimilor fuzzy ce reprezintă acceleraţia mişcării ( ), în condiţiile în care baza de reguli ce urmează a fi stabilită impune introducerea acestor variabile. Sunt definite şapte mulţimi fuzzy asociate etichetelor NM, NS, NI, Z,PI, PS, PM (NS=NEGATIV SUPERIOR, PS=POZITIV SUPERIOR). Universul de discurs nu mai este normalizat şi este utilizat chiar domeniul de variaţie al variabilei de stare, acceleraţia .

Cele trei exemple prezentate mai sus ilustrează faptul că alegerea funcţiilor de apartenenţă nu poate să fie supusă unor reguli foarte precise. Acestea pot fi alese simetrice sau nesimetrice (în raport cu originea), triunghiulare sau trapezoidale, echidistante sau nu, pe universul de discurs normalizat sau nu. Totuşi, indiferent de modalităţile de alegere se impun categoric respectarea următoarelor condiţii:

, (12.39)

, (12.40)

Semnificaţia acestor condiţii va fi ilustrată mai târziu dar o analiză elementară indică că relaţia (12.39) impune ca pentru orice punct din universul de

discurs, U să fie definită cel puţin o funcţie . A doua condiţie este

determinată de o anumită comoditate în calculele numerice ale CLF.

Figura 12.23 Forme ale funcţiilor de apartenenţă

184

PI PSZNINS

PZN PMNM

x

x


În figura 12.23 sunt prezentate câteva tipuri de funcţii de apartenenţă care nu respectă condiţiile (12.39), (12.40). Astfel de forme nu pot determina o implementare corectă a conceptului de logică fuzzy. Se remarcă că funcţiile descrise în figura 12.22 verifică cele două condiţii (12.39), (12.40), modelul lor servind ca referinţă pentru implementări curente. Trebuie subliniat faptul că, în funcţie de problema abordată, pot fi utilizate şi alte tipuri de funcţii de apartenenţă, cu forme specifice, particulare, [5, 6] care să ofere anumite facilităţi în generarea bazei de reguli (evident că restricţiile (12.39), (12.40) trebuie să fie satisfăcute).

Pentru a evita eventualele confuzii ulterioare menţionăm că particularităţile specificate mai sus sunt valabile pentru funcţiile de apartenenţă asociate numai variabilelor de intrare într-un CLF. Variabilelor de ieşire, mărimile crisp, li se asociază de asemenea funcţii de apartenenţă, dar acestora nu li se mai impun restrictiv condiţiile (12.39), (12.740). Procesul de generare ale acestor variabile este defuzificarea şi va fi discutat ulterior. Funcţiile de apartenenţă utilizate pot fi de tipul celor prezentate în figura 12.22, dar pot avea şi forma aparte ca în figura 12.24.b. Funcţiile de apartenenţă din figura 12.24.a pot intra în categoria „normale”, acestea respectând condiţiile (12.39), (12.40), dar cele din figura 12.24.b, funcţii numite „singleton”, nu verifică nici una din condiţii. Aceste funcţii sunt utilizate frecvent în condiţiile în care se doreşte obţinerea, în procesul de defuzificare, a unei relaţii simplificate pentru variabilele de ieşire.

Figura 12.24 Funcţii de apartenenţă pentru variabilele de iesire

185

a

0

NI PIZ

-1 1

PMNM

NS PIZ

-1 1

PMNM

u

NI PS

NS PS

u

b

Roboţi industriali

12.8 Baza de reguli

Partea principală a unui CLF, cea care implementează algoritmul de conducere al sistemului este baza de reguli (blocul de inferenţe) a sistemului.

Aşa cum am arătat în paragrafele anterioare, fiecare regulă este formată din două părţi: partea IF numită şi antecedent şi o parte THEN numită consecinţă.

IF

THEN

IF

THEN

Antecedentul conţine condiţia sau condiţiile (variabile de intrare) care activează regula. Dacă mai multe variabile formează condiţiile de activare, acestea sunt legate prin AND. Consecinţa permite generarea variabilei sau a variabilelor de ieşire activate ca urmare a îndeplinirii condiţiilor regulii.

Pentru a fixa ideile vom analiza baza de reguli pentru un sistem de conducere al unui braţ în mişcare de translaţie (figura 12.25).

Figura 12.25 Sistem de conducere al unui braţ robot

Se va construi baza de reguli pentru un CLF cu două variabile de intrare e(k) şi Δe(k) şi o variabilă de ieşire u(k). Se va presupune că universul de discurs este normalizat atât în ceea ce priveşte variabilele de intrare cât şi pe cea de ieşire, iar funcţiile de apartenenţă au forma din figura 12.26.

186

dx

CLFBraţ robot +

Sistem acţionare

Δ

-

ke

ke

u x

-

1ke


Figura 12.26 Funcţiile de apartenenţă pentru e, Δe,u

Formarea corectă a bazei de reguli depinde de ordinul sistemului condus şi de performanţele dorite. În principiu, nu există o procedură sistematică pentru determinarea regulilor, acestea fiind determinate în mare măsură de abilitatea şi experienţa proiectantului. Totuşi, pentru cazul analizat, regulile pot fi stabilite relativ uşor, acestea fiind determinate de condiţia evoluţiei stabile a sistemului către o dreaptă de comutare [3], [7], [8]. Detaliile asupra acestei metode vor fi tratate ulterior.

În sinteză, baza de reguli pentru exemplul discutat, conţine nouă reguli în forma următoare:

Regula 1 IF e este N AND Δe este PTHEN u este Z

Această regulă sugerează că în condiţiile în care eroarea este negativă şi variaţia ei este pozitivă, comanda generată u poate fi zero, evoluţia sistemului ducând către domeniul e=0. Celelalte reguli au interpretări similare.

Regula 2 IF e este Z AND Δe este PTHEN u este N

Regula 3 IF e este P AND Δe este PTHEN u este N

187

-1 0.4 +1-0.4

N PZ

μe, μΔe

eΔe

-1 0.2 +1-0.2

N PZ

u

μu

Roboţi industriali

Regula 4 IF e este N AND Δe este ZTHEN u este P

Regula 5 IF e este Z AND Δe este ZTHEN u este Z

Regula 6 IF e este P AND Δe este ZTHEN u este N

Regula 7 IF e este N AND Δe este NTHEN u este P

Regula 8 IF e este Z AND Δe este NTHEN u este P

Regula 9 IF e este P AND Δe este NTHEN u este Z

Se remarcă că fiecare regulă este definită prin operatorul logic AND (ŞI) ce defineşte intersecţia condiţiilor logice asociate regulii. Deşi, neformulat explicit, baza de reguli conţine şi operatorul OR (SAU) aplicat ca operator reuniune intrinsec pe mulţimea regulilor bazei. Exemplu anterior poate fi rescris sub forma următoare:

Regula 1 ............................................ , ORRegula 2 ............................................ , OR

.

.

.Regula 9 ............................................ .Descrierea de mai sus a bazei de reguli este aşa numita „descriere

lingvistică”. Ea este utilizată frecvent în condiţiile în care dimensiunea bazei este rezonabilă, numărul de variabile de intrare în CLF nedepăşind valoare trei. În mod frecvent, baza de date poate fi reprezentată sub formă tabelară şi printr-o matrice de inferenţă. De exemplu, regulile stabilite mai sus pot fi redate sintetic ca în Tabelul 12.12.

e

N Z P

P Z N NZ P Z N

N P P Z

Tabelul 12.1 Baza de reguli pentru variabilele e,

188


Matrice cuprinde, pe linii şi coloane etichetele lingvistice ale variabilelor e şi Δe, respectiv. Fiecare pereche linie, coloană defineşte condiţiile unei anumite reguli iar în celula corespunzătoare a matricei este introdusă eticheta lingvistică a valorii generate, u (consecinţă).

Matricile de inferenţe de tipul celei prezentate sunt practice pentru baze de reguli cu un număr mare de variabile de intrare în CLF. De exemplu, dacă condiţiile în CLF sunt date de e, Δe şi Δ2e (acceleraţia sistemului), atunci baza de reguli poate fi sintetizată prin matricea de inferenţe din Tabelul 12.2.

e

N Z P

N Z P N Z P N Z P

P Z Z N Z N N Z N N

Z P Z Z P Z N Z Z N

N P P Z P P Z P Z Z

Tabelul 12.2 Baza de reguli pentru variabilele e,

Procedura poate fi extinsă pentru structuri mai complexe, cu un număr mai mare de variabile de intrare, dar trebuie avut în vedere că o creştere a complexităţii bazei de date implică o procesare mai laborioasă, prelucrarea unui număr mare de variabile, un timp de calcul sporit şi multe inconveniente în implementarea practică a algoritmului de control.

12.9 Implementarea bazei de reguli

Este evident că procesarea unor reguli într-o bază (mecanismul de inferenţă) impune determinarea, în primul rând, a condiţiilor ce definesc regula şi a gradului lor de activare. Acest lucru este obţinut prin tratarea condiţiei ca mulţime fuzzy şi prin testarea gradului de activare al acesteia cu ajutorul funcţiilor de apartenenţă asociate.

Într-o scriere sintetică, o regulă poate fi exprimată sub forma: Regula j: IF CONDIŢIA C1 AND CONDIŢIA C2 AND ... AND

CONDIŢIA CP

THEN DECIZIA Dj

Considerând , mulţimea fuzzy asociată condiţiei C1, gradul de activare al

condiţiei pentru o valoare x=x* în universul de discurs este exprimat prin

189

Roboţi industriali

(12.41)

În figura 12.26 este ilustrat grafic modul de calcul al gradului de activare.

Figura 12.26 Calculul gradului de activare

Pentru o regulă completă definită prin condiţiile C1, C2, ..., Cp cărora li se

asociază mulţimile fuzzy , , ...., , definite pe universul de discurs x1,

x2, ..., xp, se obţine:

, i=1, 2, ..., p (12.42)

Condiţiile Ci sunt interpretate prin operatorul AND

(12.43)

unde va reprezenta funcţia de activare al variabilei de ieşire, consecinţă,

decizie a regulii determinate de expresia THEN.Sinteza deciziei, la nivelul unei reguli, este obţinută în general prin

algoritmul Mandami [12] care formal este scris sub forma:

(12.44)

unde , ,..., sunt mulţimi fuzzy definite pe universul de discurs U al

variabilei de ieşire u.

190

x=x*

)( *~~11

xg AA

x

1~A

1


Figura 12.27 Calculul gradului de activare al unei reguli

Figura 12.28 ilustrează tehnica de formare a deciziei în cadrul unei reguli. Pe întreaga bază, procedura este repetată pentru fiecare regulă.

Figura 12.28 Generarea deciziei pentru regula j

191

*px

)( *~ pA

xgp

x

pA~

1

xp

*2x

)( *2~

2xgA

x

2~A

1

x2

*1x

)( *1~

1xg A

x

1~A

1

x1

AND

u

jD~

.

.

.

)(

)(

)(

*~

*2~

*1~

2

1

pA

A

A

xg

xg

xg

p

AND

fDj

jD*~jD

~

Roboţi industriali

În figura 12.29 este:

Figura 12.29 Generarea deciziilor pentru doua reguli.

prezentată generarea deciziilor în două reguli j şi m, şi reprezentând

mulţimile fuzzy corespunzătoare definite pe universul de discurs al variabilei de ieşire.

(12.45)

Implementarea numerică a bazei de reguli corespunde de fapt modului de tratare a operatorilor AND - OR. Cea mai des întâlnită modalitate de evaluare este cunoscută sub numele „min - max” în care operatorii AND sunt evaluaţi prin funcţia „min”, iar operatorii OR prin „max”.

192

)(

)(

)(

*~

*2~

*1~

2

1

pA

A

A

xg

xg

xg

p

)(

)(

)(

*~

*2~

*1~

2

1

pA

A

A

xg

xg

xg

p

u

.

.

.

AND

jD~

jD*~fDj

u

.

.

. AND

mD~

mD*~

fDm

OR ?


(12.46)

(12.47)

Pentru exemplificarea ultimului operator, în figura 12.30 este prezentată funcţia max aplicată pe cele două reguli j şi m ilustrate în figura 12.29.

Figura 12.30 Generarea deciziei prin operatorul „max”

(12.48)

Alte proceduri de implementare sunt definite ca „prod - max”, unde:

(12.49)

iar operatorul OR păstrează forma (12.46).De asemenea, se utilizează şi forma „prod - sumă” în care operatorul AND

este tratată după relaţia (12.47), iar OR prin:

(12.50)

Pentru ilustrarea acestor proceduri se va utiliza baza de reguli prezentată în paragraful precedent, cu funcţiile de apartenenţă ale celor două variabile de intrare e, Δe şi de ieşire u.

u

...

fDj

fDm

D~

193

Roboţi industriali

Se va analiza metoda „min - max” ce implementează condiţiile logice AND şi OR prin operatori min şi max, respectiv. În figura 12.31 este ilustrată grafic această metodă. Sunt analizate primele două reguli ale bazei şi este exemplificată procedura pentru câteva valori particulare ale variabilelor de intrare e şi Δe,

şi .

Pentru Regula 1, determină un grad de activare , pentru funcţia

de apartenenţă N:

(12.51)

iar , pentru funcţia de apartenenţă P, determină:

(12.52)

Condiţia Regulii 1, „IF e este N AND Δe este P THEN u este Z” este tratată prin operatorul min:

(12.53)

Similar, pentru Regula 2 se obţine:

(12.54)

(12.55)

Cele două funcţii de activare , determină deciziile , iar decizia

finală (după două reguli) va fi conform relaţiei (12.46),

(12.56)

Aplicarea procedurii „prod - max” va determina câteva modificări cantitative

(12.57)

(12.58)

care se vor repercuta în noile forme ale deciziilor , şi corespunzător decizia

finală .

194


Figura 12.31 Implementarea regulilor 1 şi 2 prin metoda “min-max”

În mod similar se obţine decizia prin algoritmul „prod - sumă”. Pentru comparare, în figura 12.32 sunt prezentate cele două metode.

Figura 12.32 Analiza comparativă a metodelor

195

-1

1

-0.2 0.2 u1

0.1250.375 D*

1

-0.2 0.2-1 u1

0.1250.5

D*

u~

e~ u~e~N P

ge=0.75

-0.4 0 0.4 e

N Z Pge=0.75

-0.4 0 0.4 e

N Z P

ge=0.5

-0.4 0 0.4

N Z P

fZ1=0.5

-0.2 0 0.2 u

e~

N Z P

ge=0.25

-0.4 0 0.4 e

e~

fN2=0.25

-0.2 0 0.2 u

N Z P

-0.4 0 0.4

ge=0.5

N Z Pu~

2.0ee=-0.3

min

min

N Z P

0.2 u1

0.250.5

R1

R2

Roboţi industriali

12.10 Defuzificarea

Paragrafele anterioare au abordat etapele principale în implementarea unui CLF, fuzificarea mărimilor de intrare şi procesarea algoritmului de conducere sub forma unei baze de reguli. În final, mărimea de ieşire este generată sub forma unei mulţimi fuzzy. Este evident că se impune compatibilizarea acestei mărimi cu procesul condus, deci este necesară reconversia mărimii de ieşire într-o mărime crisp. Procedura aceasta este cunoscută sub numele de defuzificare.

Defuzificarea reprezintă o etapă importantă în structura generală a proiectării unui CLF şi literatura de specialitate abundă în soluţii [2, 3, 4, 5]. În cele ce urmează se vor prezenta câteva din tehnicile de implementare cele mai eficiente.

Defuzificarea prin „centru de greutate” este cea mai răspândită procedură de reconversie a deciziei fuzzy de la ieşirea CLF într-o variabilă crisp. Această metodă se bazează pe evaluarea funcţiei de apartenenţă a deciziei fuzzy după aceleaşi reguli ca cele utilizate în calculul centrului de greutate din mecanica clasică. În acest mod se asociază funcţiei de apartenenţă a decizie variabilei de ieşire o valoare crisp corespunzătoare.

Pentru fixarea ideilor, se va considera decizia D* reprezentată în figura 12.33. Funcţia de apartenenţă a acestei decizii fuzzy este obţinută din primele două reguli ale aplicaţiei discutate în paragraful precedent (figura 12.31).

Prin evaluarea „centrului de greutate” al ariei definită de funcţia de apartenenţă a deciziei D* se obţine pe abscisă:

Figura 12.33 Defuzificarea deciziei D*

(12.59)

ceea ce reprezintă o măsură crisp a deciziei fuzzy.În cazul general, defuzificarea apelează la formula clasică a „centrului de

greutate”:

196

u

1

-0.2 0.2-1 1

0.25

0.5D*

u*=-0.395


(12.60)

unde este funcţia de apartenenţă a deciziei finale obţinută prin relaţia (12.46), numitorul reprezintă aria delimitată de funcţia de apartenenţă, iar numărătorul defineşte momentul ariei. În această relaţie s-a presupus că universul de discurs U este normalizat. Într-o formă mai generală, expresia (12.59) poate fi rescrisă ca:

(12.61)

În mod curent este utilizată o procedură de discretizare

(12.62)

ceea ce permite, în cele mai multe cazuri, un calcul uşor de implementat.Pentru anumite cazuri particulare ale funcţiei de apartenenţă, relaţiile (12.59)

– (12.61) pot căpăta anumite forme simplificate. De exemplu, dacă ieşirea este definită prin funcţii singleton, expresia (12.61) devine (figura 12.34):

(12.63)

unde:

197

Roboţi industriali

(12.64)

Figura 12.34 Defuzificarea pentru ieşire de tip singelton

O interpretare şi mai facilă, deşi evident destul de aproximativă, se poate obţine dacă funcţia de apartenenţă conţine un maxim sau domenii maximale (figura 12.35).

(12.65)

Figura 12.35 Defuzificarea prin valoarea maximă

12.11 Un exemplu de calcul

În paragrafele precedente a fost prezentată în detaliu metodologia de proiectare a unui CLF. Pentru a concretiza mai bine procedura şi pentru a permite o mai bună familiarizare cu tehnicile de implementare, se va relua exemplul oferit de conducerea unui braţ de robot (figura 12.25) cu baza de reguli prezentată în Tabelul

198

NM

PS

PM1

-u1 u2 u3

1

2

3

u

u*

u* u

max


1 şi funcţiile de apartenenţă din figura 12.26. Se vor trata regulile de conducere prin metoda „min - max” pentru regimul de lucru definit prin:

Primele două reguli sunt analizate în figura 12.31 şi în continuare vor fi analizate celelalte şapte reguli ale bazei.

Astfel, Regula 3 impune algoritmul:IF e este P AND Δe este PTHEN u este N

Gradul de activare al mulţimilor fuzzy se obţine în aceeaşi manieră ca cea prezentată în paragraful 12.8:

iar funcţia de activare a ieşirii, pe decizia N, va fi

ceea ce identifică decizia regulii, conform relaţiei (12.45), ca mulţimea valorilor 0 în domeniul de discurs al variabilei de ieşire:

,

În mod similar sunt analizate celelalte reguli Regula 4, ..., Regula 9

obţinându-se deciziile sub forma mulţimilor fuzzy , , , , , ,

respectiv.Decizia finală, pentru variabilele de intrare se obţine

după formula (12.46):

Întreaga procedură este ilustrată în figurile 12.36 şi 12.37.

199

Roboţi industriali

Defuzificarea finală permite determinarea valorii crisp a mărimii de ieşire, conform relaţiei (12.60), (12.62).

200

e~N Z P

ge=0-0.4 0 0.4 e

e~

fN6=0

-0.2 0 0.2

u

N Z P

-0.4 0 0.4

ge=0.5

N Z P

u~

2.0ee=-0.3

min N6*

e~e~ u~e~

N Z Pge=0.75

-0.4 0 0.4

e

N Z Pge=0.75

0 0.4 e

N Z P

ge=0-0.4 0 0.4

N Z P

fP7=0

0 0.2 u

min P7*Reg 7

Reg 6

e~e~ u~e~

N Z P

ge=0.25

-0.4 0 0.4

e

N Z P

0 0.4 e

N Z P

ge=0.5

-0.4 0 0.4

N Z P

fZ5=0.25

-0.2 0 0.2 u

min Z5*Reg 5

e~e~ u~e~

N Z P

-0.4 0 0.4

e

N Z P

ge=00 0.4 e

N Z P

ge=0.5

-0.4 0 0.4

N Z P

fN3=0

-0.2 0 0.2 u

min N3*Reg 3

e~N Z P

ge=0.75

-0.4 0 0.4 e

e~

fP4=0.5

-0.2 0 0.2 u

N ZP

-0.4 0 0.4

ge=0.5

N Z Pu~

2.0e

minP4

*

Reg 4


Figura 12.36 Implementarea bazei de reguli – conducerea unui brat robot

Figura 12.37 Defuzificarea decizie – conducerea unui robot

12.12 Analogia între CLF şi regulatoarele convenţionale PD, PI, PID

Exemplul analizat în paragraful precedent ilustrează modul de calcul al variabilei de ieşire u în funcţie de eroarea e(k)şi variaţia erorii Δe(k), deci determină o lege de conducere de forma

(12.66)

201

u*=-0.22

1

-0.2 0.2-1 u1

0.25

0.5 D*

N Z

ge=0.25

-0.4 e

N Z P

0 e

N Z P

ge=0

-0.4 0 0.4

N Z P

-0.2 u

Z P

ge=0-0.4 0 0.4 e

e~

fZ9=0

-0.2 0 0.2 u

N Z P

-0.4 0 0.4

ge=0

N Z P

2.0ee=-0.3

min Z9*

Reg 8

Reg 9

Roboţi industriali

O astfel de lege de conducere este similară cu cea stabilită în regulatoarele convenţionale de tip PD care generează un control sub forma unei combinaţii între o componentă de tip proporţional şi una de tip derivativ [10, 11]:

(12.67)

unde kP şi kD sunt parametrii regulatorului PD.Prin analogie, o lege de conducere obţinută într-un CLF, de forma (12.66) se

va numi CLF – PD.Dacă regulile unui CLF nu generează valoarea u(k), ci variaţia mărimii de

ieşire Δu(k):

(12.68)

deci se implementează o lege de conducere generală de forma

(12.69)

atunci această lege se poate asocia cu cea oferită de un regulator convenţional de tip PI descris prin relaţia:

(12.70)

unde kP şi kI sunt parametrii regulatorului PI.În acest sens, un CLF a cărei bază de reguli defineşte un algoritm de forma

(12.69) se va numi de tipul CLF – PI.Procedura poate fi extinsă pentru legi de conducere mai complexe. De

exemplu, dacă legea unui CLF este generată sub forma:

(12.71)

unde:

(12.72)

202


ea va fi de tipul PID, întrucât este similară cu cea obţinută de regulatorul convenţional cu acelaşi nume:

(12.73)

Este evident că o astfel de lege impune în CLF o bază de reguli mai

complexă, definită pe variabilele , , . De exemplu, o regulă a

bazei poate fi următoarea:

IF este ZERO AND este MEDIE AND este

POZITIVĂTHEN este POZITIVĂ

O formă modificată a legii (12.12.6) care poate fi acceptată în definirea unui CLF – PID poate fi de forma:

(12.74)

care corespunde regulatorului PID discret:

(12.75)

Desigur, pot fi adoptate şi alte legi de conducere, cu algoritmi mai sofisticaţi, dar este evident că o creştere a numărului de variabile de intrare (antecedente) în structura regulilor, determină o implementare extrem de dificilă şi în multe cazuri cu totul nepractică. Din acest motiv, introducerea a mai mult de două variabile de intrare în structura regulilor este acceptată numai în condiţii de performanţe cu totul speciale.

12.13 Consideraţii asupra universului de discurs

În general, universul de discurs al variabilelor de intrare şi de ieşire la un CLF este reprezentat de dreapta numerelor reale. În practică, fiecare univers este restricţionat la un interval bine definit între o valoare maximă şi una minimă în conformitate cu rangul mărimilor fizice.

Să luăm, pentru exemplificare, conducerea unui braţ robot (figura 12.25) unde:

(12.76)

203

Roboţi industriali

Universul de discurs al erorii va fi definit practic de valorile maximale şi minimale ale variabilelor de poziţie prescrise xd şi măsurate x.

(12.78)

(12.79)

(12.80)

În mod analog se vor defini universele de discurs ale variaţiei erorii şi ale variaţiei de ieşire (de control) u:

(12.81)

(12.82)

(12.83)

(12.84)

Este evident că în funcţie de problema de conducere abordată, domeniile universurilor de discurs pot fi extrem de diverse. Totuşi, pentru simplificarea tratării şi unificarea metodologiei de proiectare, este de preferat să se opereze pe universuri de discurs normalizate.

Pentru exemplificare se va considera că variabilele e(k), Δe(k) şi u(k)

operează pe domeniile , , , respectiv şi se vor

presupune universele normalizate corespunzătoare:

(12.84)

(12.85)

(12.86)

Pentru a transforma domeniile de operare ale variabilelor de intrare măsurate e(k), Δe(k) în universul de discurs normalizat se utilizează factori de scală [10, 11]:

(12.87)

(12.88)

204


Aceşti coeficienţi vor transforma valorile reale măsurate ale intrărilor în CLF, e(k), Δe(k), în valorile e*(k), Δe*(k) din universul normalizat:

(12.89)

(12.90)

unde:

(12.91)

(12.92)

Algoritmul bazei de reguli se va aplica mărimilor normalizate şi va permite după defuzificare, obţinerea unei variabile de ieşire din universul corespunzător normalizat:

(12.93)

Implementarea completă a CLF-ului impune generarea ieşirii în universul real de activare, deci este necesară o „denormalizare” printr-un factor de scală corespunzător:

(12.94)

(12.95)

ceea ce determină revenirea variabilei de ieşire în domeniul .

În general, universul normalizat poate fi identic cu un rang real de operare al unei variabile, dar, pentru cele mai multe aplicaţii, acesta coincide cu intervalul închis [-1,1].

Factorii de scală joacă un rol extrem de important în proiectarea unui CLF. Este evident că scalarea erorii şi a variaţiei acesteia înseamnă efectiv o transformare a spaţiului de stare ceea ce va determina o modificare automată a performanţelor. În literatura de specialitate [8, 9, 10] sunt menţionate următoarele reguli ce se impun în selecţia factorilor de scală:

205

Roboţi industriali

Alegerea unor valori mari ale factorilor ke determină erori staţionare mici, timp de creştere mic şi suprareglaj ridicat, în timp ce valori mici ale lui ke determină o comportare opusă;

Valori mari ale lui kd determină o convergenţă rapidă; Timpul de creştere este ridicat pentru valori mici ale factorului ku.

12.14 Metodele Takagi – Sugeno – Kang (TSK)

Modelele fuzzy discutate anterior se bazau pe reguli în care atât partea condiţională cât şi cea decizională cuprindea mulţimi fuzzy

Regula i: IF CONDIŢIA C1 AND CONDIŢIA C2 AND ... MULŢIMI FUZZY

THEN DECIZIA Di MULŢIMI FUZZYAstfel de modele nu conţin nici o formă explicită a funcţiei obiectiv şi sunt

cunoscute frecvent sub denumirea de modele Mandani.O altă modalitate de tratare, atrăgătoare în cazul sistemelor mari şi

complexe, este oferită de modelul Takagi – Sugeno – Kang (TSK) în care ieşirea, decizia sistemului este obţinută după o lege non-fuzzy, ca o funcţională pe variabilele de intrare.

Regula i: IF x1 este C1i AND x2 este C2i AND ... MULŢIMI FUZZY

THEN MULŢIMI NON-FUZZY

Marele avantaj al acestui model rezidă în posibilitatea de tratare a sistemelor complexe prin decompoziţia acestora în subsisteme mai simple, uneori chiar, subsisteme liniare. De asemenea, o altă posibilitate de abordare constă în descompunerea spaţiului de stare al sistemului în subspaţii disjuncte şi identificarea modelelor dinamice pentru fiecare subspaţiu. Ieşirea finală este obţinută printr-o compunere logică a ieşirilor fiecărui subspaţiu.

În cele mai dese cazuri, partiţionarea spaţiului de stare este astfel realizată încât ieşirea să poată fi generată sub forma unor modele liniare.

Regula 1: IF x1 este C11 AND ... AND xn este Cn1

THEN

. . .Regula p: IF x1 este C1p AND ... AND xn este Cnp

THEN

În ceastă bază de reguli, Cij (j=1,p), (i=1,n) sunt mulţimi fuzzy pe spaţiul de stare al sistemului X1, X2, ..., Xn iar x1, x2, ..., xn sunt valori crisp ale variabilelor de intrare (stare). Partea decizională a regulilor poate fi considerată ca modele liniare ce definesc variabilele de ieşire u1, u2, ..., up (mărimi crisp) în funcţie de variabilele de intrare (stare), variabile crisp. Ieşirea globală u a întregului model TSK se obţine

206


printr-o medie ponderată a ieşirilor crisp ui pentru fiecare subsistem liniar. Considerând gradul de activare al fiecărei condiţii Cij:

i=1,...,n; j=1,...,p (12.96)

iar funcţia de activare la nivelul unei reguli:

(12.97)

ieşirea generală va fi:

(12.98)

Dacă ieşirea fiecărei reguli este o funcţie neliniară ,

modul de calcul dat de relaţia (12.98) se păstrează, ieşirea u fiind obţinută tot ca o medie ponderată pe ieşirile neliniare ale fiecărei reguli.

Modelul TSK poate fi utilizat pentru implementarea unui CLF de tipul PI, PD, sau PID. De exemplu, un CLF – PI poate fi modelat prin următoarea bază de reguli:

Regula 1: IF e(k) este C11 AND Δe(k) este C21

THEN

…Regula p: IF e(k) este C1p AND Δe(k) este C2p

THEN

Ieşirea CLF va fi:

(12.99)

unde se obţine conform relaţiilor (12.96), (12.97).

Analogia acestui model cu un regulator convenţional PI permite identificarea parametrilor regulatorului:

207

Roboţi industriali

(12.100)

deci:

(12.101)

(12.102)

12.15 Controlul cinematic diferenţial prin CLF

După cum este bine cunoscut în literatura de specialitate [6], controlul cinematic diferenţial utilizează modelul diferenţial al unui robot, model ce permite calculul diferenţial dX al coordonatelor operaţionale (variabile ce definesc poziţia în spaţiul de lucru) în funcţie de variaţia dq a coordonatelor generalizate (variabile asociate fiecărei articulaţii mecanice). Analitic, această dependenţă este scrisă printr-o matrice Jacobian, în forma

(12.103)

Structura clasică a unui control cinematic diferenţial este prezentată în figura 12.38.

Aşa după cum se cunoaşte, punctul slab al unei astfel de conduceri îl constituie calculul inversei matricei Jacobian, calcul ce nu poate fi realizat off-line datorită dependenţei coeficienţilor matricei de parametrii qi. Cu toate că în

literatură s-au dezvoltat o serie de metode care permit calculul rapid al lui ,

ele cer, în general, sisteme hardware de mare viteză, cu un preţ de cost întotdeauna prohibitiv, pentru o operare eficientă în timp real.

208


Figura 12.38 Controlul cinematic diferenţial convenţional

În cele ce urmează, se va analiza o soluţie de control cinematic diferenţial utilizând un CLF care va permite calculul inversei matricii Jacobian adoptând euristic o bază de reguli corespunzătoare.

Este evident că atât structura convenţională cât şi cea utilizând logica fuzzy trebuie să urmărească acelaşi criteriu de calitate, minimizarea erorii sistemului de conducere.

Figura 12.39 Control cinematic diferenţial cu CLF

Într-o scriere generală, eroarea poate fi definită [8], [9] astfel:

(12.104)

unde Xd este vectorul de poziţie dorit în spaţiul cartezian. Legea de conducere care se va introduce trebuie să determine variaţii Δq care să permită micşorarea erorii. O soluţie simplă se bazează pe utilizarea unei metode de tip „gradient”:

209

J-1(q)

f(q)

xdi ix iq

qi

xi

-

+

CLF

f(q)

xdiix iq

qi

xi

-

+

Roboţi industriali

(12.105)

unde η este un factor de proporţionalitate ales convenabil, . Din relaţia (12.104) rezultă:

(12.106)

astfel încât variaţiile Δq vor fi date de legea:

(12.107)

Se poate arăta uşor că adoptarea unei legi de conducere de tipul (12.107) oferă soluţii bune pentru un sistem de tipul celui prezentat în Figura 12.39, o astfel de conducere determinând convergenţa la zero a erorii (12.104)

(12.108)

Pentru justificarea acestei soluţii se va utiliza metoda a 2-a a lui Liapunov şi se va defini o funcţională Liapunov de forma:

(12.109)

Derivata acestei funcţionale, de-a lungul traiectoriei sistemului va fi:

(12.110)

Aproximând derivata prin:

(12.111)

unde T este timpul de eşantionare, se obţine:

210


(12.112)

sau:

(12.113)

dar, cu excepţia cazurilor în care matricea este singulară, aceasta este pozitiv

definită, deci:

(12.114)

ceea ce confirmă convergenţa la zero a erorii e din (12.104).Pentru ilustrarea metodei vom analiza sistemul de conducere pentru un robot

planar cu două articulaţii (figura 12.40)Coordonatele operaţionale sunt:

(12.115)

iar matricea Jacobian va fi:

(12.116)

Pentru o eroare de forma:

(12.117)

se impune o lege de conducere de forma (12.107) care va fi implementată într-un CLF:

(12.118)

211

Roboţi industriali

(12.119)

Figura 12.40 Modelul unui robot planar cu 2 articulaţii

sau într-o formă simplificată:

(12.120)

(12.121)

unde Jij sunt componentele matricei Jacobian iar ex, ey reprezintă erorile pe cele două coordonate operaţionale.

Pentru transpunerea celor două relaţii (12.120), (12.121) într-o bază de reguli se vor adopta funcţiile de apartenenţă din figura 12.41.

Numărul mare de variabile (de intrare) antecedent în definirea regulilor

impune construirea bazei sub forma unei tabele.

De exemplu, prima regulă se va formula astfel:Regula 1: IF ex este N AND J11 este N AND ey este P AND J21 este P

THEN Δq1 este PM.. . .

212

Y

Xx0

(x,y)=Xq2

q1

-E -0.1E 0.1E +E

N PZ

ex, ey Iij-I -0.2I 0.2I +I

N PZ


Figura 12.41 Funcţii de apartenenţă

J21 J11 ey ex

N Z PN Z P N Z P N Z P

PP PM Pm ZP Pm Pm Pm ZP Pm PM

Z Pm ZN Nm ZN ZP ZP Nm ZN Pm

N ZN Nm NM Nm Nm Nm NM Nm ZN

ZP Pm ZN Nm ZN ZN ZP Nm ZP Pm

Z Pm ZP Nm Nm ZN ZP Nm ZP Pm

N ZN ZN Nm ZN ZN ZP Nm ZP Pm

NP ZP Nm NM Nm Nm Nm NM Nm ZN

Z Pm ZN Nm ZN ZN ZN Pm ZP Pm

N PM Pm ZP Pm Pm Pm ZP Pm PM

Tabelul 12.3 Bază de reguli

Toate celelalte reguli se vor formula într-o manieră similară, variabila de ieşire Δq1 obţinându-se din funcţiile de apartenenţă prezentate în figura 12.41.

12.16 Proiectarea unui CLF ca un sistem ca structură variabilă

213

-0.6Q- 0.2Q 0.2Q +0.6Q

Nm PmZ

-Q Qiq

PM NM

Roboţi industriali

Paragrafele precedente au pus în evidenţă tehnicile generale de implementare a unui CLF şi asimilarea sa cu regulatoare convenţionale PD, PI, PID. Metodologia de proiectare şi implentare a subliniat ideea că un CLF este un controler robust care permite obţinerea unor performanţe de conducere satisfăcătoare în condiţiile unei cunoaşteri, deseori insuficientă, a modelului matematic al sistemului. De fapt, ideea agreată în această proiectare constă în poziţionarea spaţiului stărilor şi adoptarea unor legi de conducere PI sau PD în fiecare spaţiu, parametrii de conducere fiind modificaţi la comutarea dintr-un subspaţiu în altul. Deci, în esenţă, un CLF este un sistem cu structură variabilă.

Pentru a ilustra această metodă se va considera modelul dinamic definit de ecuaţia:

(12.122)

prezentat în figura 12.42.

Figura 12.42 Conducerea cu un controler cu structură variabilă

În ecuaţia (12.122), funcţiile şi nu sunt cunoscute exact dar este cunoscut semnul şi domeniul în care sunt mărginite.

Starea dorită a evoluţiei este definită ca:

(12.123)

iar eroarea de urmărire va fi:

(12.124)

sau:

(12.125)

214

dx CSV SISTEMxe

-


Dacă se consideră suprafaţa:

(12.126)

unde este o matrice pozitiv definită, de exemplu, o matrice diagonală:

(12.127)

Suprafaţa:

(12.128)

este un subspaţiu de dimensiune (2n-1) şi este numită suprafaţă de comutaţie. Această suprafaţă divide spaţiul în două regiuni pentru o parte a suprafeţei

şi pentru partea opusă.

În cazul n=1, corespunde unei drepte cu pantă :

(12.129)

Un controler cu structură variabilă CSV (figura 12.43) va conduce sistemul spre suprafaţa de comutare într-un timp finit şi constrânge sistemul să rămână pe suprafaţa de comutare.

Figura 12.43 Traiectoria într-un sistem cu structură variabilă

Când sistemul operează pe suprafaţa (dreapta) de comutare se spune că acesta evoluează în mod „alunecător” (sliding).

215

Roboţi industriali

Una din cele mai simple legi de control poate fi:

(12.130)

dar legea de control poate fi mai complexă în funcţie de complexitatea sistemului.Se va analiza, în continuare, conducerea unui braţ mecanic al unui sistem

descris prin ecuaţia:

(12.131)

şi se vor considera , , valorile dorite ale poziţiei, vitezei şi acceleraţiei

ceea ce va determina evaluarea unor erori corespunzătoare:

(12.132)

Din relaţia (12.129) se obţine:

(12.133)

şi, din (12.132), (12.133), expresia (12.131) devine:

(12.134)

unde:

(12.135)

Se va presupune că legea de control va avea forma:

(12.136)

216


unde c este o constantă, , a doua componentă mH asigură o compensare a componentelor definite de eroarea e şi stare dorită xd iar ultimul termen uF este generat de un CLF (figura 12.44).

Figura 12.44 Conducerea unui braţ-robot cu CLF şi controler convenţional

Figura 12.45 Funcţiile de apartenenţă pentru e,

Figura 12.46 Funcţiile de apartenenţă pentru ieşirea uF

217

dx Braţ robot

CLF

e

1u

Fu

x

-

Controler conventionalu1=-cs+H

-0.6 -0.1 0.1 0.6

Nm PmZ

-1 1.e

PMNM

e

0

Nm PmZ

-0,8 0,8

NM PM

uF0.4-0.4

Roboţi industriali

Pentru a determina condiţiile de stabilitate ale sistemului, se va considera metoda a 2-a a lui Liapunov. Se va utiliza o funcţie Liapunov de forma:

(12.137)

deci:

(12.138)

şi din (12.134) se obţine:

(12.137)

Condiţia de stabilitate impune

(12.138)

deci:

(12.139)

(12.140)

Pentru implementarea CLF, se vor adopta funcţiile de apartenenţă pentru şi conform figurii 12.45.

Notaţiile folosite NM, Nm,Z,Pm, PM desemnează etichetele lingvistice NEGATIV MARE, NEGATIV MEDIU, ZERO, POZITIV MEDIU, POZITIV MARE, respectiv. Pentru funcţia de ieşire, se vor adopta, cu aceleaşi etichete, funcţii singleton (Figura 12.46).

Baza de reguli va implementa relaţia (12.142) şi este prezentată sintetic în Tabelul 12.4. Se remarcă că deasupra diagonalei regulile impun o

schimabare a semnului semiplanului , deci funcţii negative pentru uF. pe partea opusă diagonalei sunt adoptate semne contrarii pentru ieşire. De asemenea, funcţiile de apartenenţă sunt crescătoare odată cu creşterea distanţei faţă de diagonală. Pe diagonală s-au alocat funcţiile de apartenenţă Z.

e e NM Nm Z Pm PM

218


PM Z Nm Nm NM NMPm Pm Z Nm Nm NM

Z Pm Pm Z Nm NmNm PM Pm Pm Z NmNM PM PM Pm Pm Z

Tabelul 12.4 Baza de reguli

Regulile tabelei vor avea următoarea interpretare:Regula 1: IF este NM AND este PM

THEN este Z

Regula 2: IF este NM AND este Nm

THEN este Nm

...Regula 16: IF este PM AND este NM

THEN este Z

219

cap 12-sisteme de conducere fuzzy

Documents