1

Esantionarea semnalelor

Discretizarea variatiei in timp a semnalului.

Toerema esantionarii

Esantionarea ideala

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

12 2

0

;

e

e

e e e

e e ek k

e e Tk k

T e ek

u t t t

x t u t x u t

x t u t kT x kT u t kT

x t u t kT x kT u t kT

lim u t t

lim u t kT t kT t

x t x t t x kT t kT

∆

∆ ∆

∆ ∆∞ ∞

∆ ∆=−∞ =−∞

∆∆→

∞ ∞

∆∆→ =−∞ =−∞

∞

=−∞

⎡ ⎤∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= σ + −σ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦≅

− ≅ −

− ≅ −

= δ

− = δ − = δ

= δ = δ −

∑ ∑

∑ ∑

∑

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )eT e e

kx t x t t x kT t kT

∞

=−∞= δ = δ −∑

Spectrul semnalului esantionatideal

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ωδ∗ω=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ωδπ∗ωπ

=δ=ω

ω=π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ωδπ↔δ

keee

ke

kee

T

^

ee

kee

T

TkX

TTkX

T

Tk

TXttxX

TTk

Tt

e

e

2121

2221

222

F

;

3

( ) ∑∞

−∞= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ω=ωk

ee

^

TkX

TX 21

Eroarea de aliere.

Teorema esantionarii semnalelorde banda limitata

( ) er

MecM

Me

TH =

ω−ω≤ω≤ωω>ω

0aliere. apareNu

2

4

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) a.p.t ,

1

0

txtx

,XpTkXT

HXXthtxtx

,,T

pTH

r

kee

e

rrrr

MecMc

ceer

c

c

=

ω=ωω−ω=

=ω⋅ω=ω↔∗=

ω−ω≤ω≤ω⎩⎨⎧

ω>ωω≤ω

=ω=ω

∑∞

−∞=ω

ω

alierea. Apare

MMe ω<ω−ω

5

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )eM

eM

ker

Me

ec

ece

ke

c

e

ece

kee

ce

ke

ek

ec

err

cerer

kTtkTtsinkTxtx

kTtkTtsinkTx

kTtkTtsinTkTxkTt

ttsinTkTx

kTtkTxttsinTtxthtx

ttsinTthpTH

c

−ω−ω=

ω=ω−ω−ω

ωω=

=−π−ω=−δ∗

πω=

=−δ∗πω=∗=

πω=↔ω=ω

∑

∑

∑∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

ω

:devine

tiereconstruc de formulaNyquist frecventa la iiesantionar cazulIn Nyquist. eesantionar de frecventa de denumirea poarta si 2 este minima eesantionar de Frecventa

2

Teorema WKS (Whittaker, Kotelnicov, Shannon)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

.kTtkTtsinkTxtx

tx,ZnnTx

tx,Xtx

MecMc

ec

ec

e

c

ke

Me

M

M

ω−ω≤ω≤ωω−ω−ω

ωω=

ω≥ω∈

ω>ω≡ωω

∑∞

−∞=

: relatia satisfaca saincat ales astfel fie sa ca conditiacu

2:relatiaprin a.p.t sale, leesantioanedin ireconstitu poate se

initial semnalul sus mai de conditiileIn maxime. frecventei dublulputin cel este eesantionar de frecventa adica ,2 daca sale

lor esantioane multimea de determinat unic este atuncipentru 0 ca sensulin , la limitata banda de este semnalul Daca

e

6

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

2

2

10

c ece

e c ek

c e ece e

e c e ek

eM M e

e ek

e n ,k ek

n ,k

sin t kTx t x kT

t kT

sin nT kTx nT x kT

nT kT

T

sin n kx nT x kT

n k

x kT x nT

, n k, n k

∞

=−∞∞

=−∞

∞

=−∞∞

=−∞

ω −ω=ω ω −

ω −ω=

ω ω −ω

ω = ⇒ ω = π

π −= =

π −

= δ =

=⎧δ = ⎨ ≠⎩

∑

∑

∑

∑

Reconstructia prin filtrare trece-jos ideala

Reconstructia prin interpolare( )

2

2

2

e

r ee

TsinH T T

ω⎛ ⎞⎜ ⎟

ω = ⎜ ⎟ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

7

Reconstructia prin extrapolare de ordinul zero

( )

( )

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

e

e

e

e

e

er T

eTj

eTje

e

eTjr e

e

je

e

Th t p t

Tsine

Tsine T T

TsinH e T T

sine

ω−

ω−

ω−

ω− πω

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

ω

↔ =ωω

=ω

ω

ω = =ω

ωπω

= ωπω

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Spetrul semnalului reconstruit:

1e

e

je

r r e ee k

e

je

ek

e

sinX X H X k T e

T

sine X k

ω∞ − πω

=−∞

ω∞ − πω

=−∞

ωπ⎛ ⎞ ω

ω = ω ω = ω− ω =⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ πω

ωπω

= ω− ωωπω

∑

∑

Eroarea scade daca e M .ω ω

8

Esantionarea ideala a semnalelor periodice

( )( )

( )

0 0 e 00

0 0 0

0 0

0 0 0

e 0

2 ; ;

Pentru ca sa nu apara suprapunerea lobilor centrali este necesar ca:N

Diferenta dintre si trebuie sa fie de forma:

, R=1,2,...sau

M

e

N MT

N M N

M N N

M N N R

M

πω = ω ω = ω = ω

ω < ω − ω = ω −

ω − ω

ω − − ω = ω

ω = ω = ( )

( )

0

e 0 0

2adica

2 2 ; R=1,2,...M

N R

N R R

+ ω

ω = + ω = ω + ω

( ) ( ) 0 0

e 0 0 0

; N0

Pentru a evita aparitia erorilor de aliere este necesar ca: sau 2 2

Spre deosebire de semnalele aperiodice unde 2 pentru semnalele p

c

e cr e c e

c

e M

e M

T ,H T p N

,

N N N,

ω⎧ ω ≤ ω⎪ω = ω = ω < ω < ω − ω⎨ ω > ω⎪⎩

ω − ω > ω ω > ω = ωω ≥ ω

eriodice trebuie sa esantionam astfel incat 2 Pe perioada celei mai rapide componente spectrale

trebuie sa prelevam mai mult de doua esantioane (adica cel putin3).

e M .ω > ω

9

( ) ( )0

e 0e 0

0

Daca este perioada fundamentalei si daca esantionarea se2 2face conform relatiei 2 atunci 2 ; T

R=1,2,...sau 2

Doar 2N+R esantioane pot fi distincte ca urmare a periodicitatii

e

T

N R N RT

TT

N R

π πω = + ω = +

=+

0

semnalului supus esantionarii. Toate pot fi prelevate intr-o singura perioada a fundamentalei T .

( ) ( ) ( )0 0

00 0

Acelasi rezultat se poate obtine si preluand esantioane succesive din perioade succesive.

2Aceasta posibilitate este valorificata in constructia osciloscoapelo

e e e

e e

x kT x T kT x kT kTT

T ' kT T kTN R

= + = +

= + = ++

r cu esantionare.

10

http://www.jhu.edu/~signals/sampling/index.html

Relatii energetice

( ) ( )

( ) ( )0

22

22

0

Pentru semnale aperiodice esantionate este adevaratarelatia de tip Rayleigh:

Pentru semnale periodice esantionate este valabila relatiade tip Parseval:

1 1 ; M

e ek

eT

W x t dt T x kT

P x t dt x kTT M

∞ ∞

=−∞−∞

= =

= =

∑∫

∫1

0=2N+R, R=1,2,...

Energia sau puterea pot fi calculate fie din forma de variatie in timpfie in domeniul frecventa.

M

k

−

=∑

11

Esantionarea cu memorare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 2

2

22 2

22

eT

t tj jt

x t x t t h t x t h t

t tsin sinth t p t e e t t

ω∆ ω∆− −∆

⎡ ⎤= δ ∗ = ∗⎣ ⎦ω∆ ω∆

∆⎛ ⎞= − ↔ = ∆⎜ ⎟ ω∆ω⎝ ⎠

Spectrul semnalului esantionat cu memorare

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

1 2

2

2

2

tje

e k

tje

ek

ee

eke

tsinX e t X ktT

tsintX e X ktT

tsinTt X ktTT

ω∆∞ −

=−∞

ω∆ ∞

=−∞

∞

=−∞

ω∆

ω = ∆ ω− ωω∆

ω∆∆ω = ω− ω =ω∆

∆π∆= ω− ω

∆π

∑

∑

∑

12

Pentru a limita erorile ce afecteaza lobul spectral central este necesar sa avem:

2

ceea ce implica scurtarea duratei a impulsurilor.Reconstructia prin extrapolare de ordinul zero este

Mt

t

π ω∆

∆

un cazparticular PAM cu et T .∆ =

Esantionarea naturala

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

2

22unde

2

e eT T e ek k

j t

t

x t x t q t x t h t t x t x t h t kT x t h t kT

tsinth t p t H e

∞

=−∞ =−∞

ω∆−∆

⎡ ⎤= = ∗δ = − = −⎣ ⎦

ω∆∆⎛ ⎞= − ↔ ω =⎜ ⎟ ω⎝ ⎠

∑ ∑

13

Spectrul semnalului esantionat natural

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

2

1 222

2

2

2

2

2

e

e

e

tjT e

e k

ek tje

eek

ek tje

eek

tsinX x t h t t X e t kt T

k tsintX e kk tT

k tsinte X kk tT

ω∆ ∞−

=−∞

ω ∆∞ −

=−∞

ω ∆∞ −

=−∞

ω∆⎡ ⎤⎢ ⎥π⎡ ⎤ω = ∗δ = ω ∗ ∆ δ ω− ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ω∆π ⎢ ⎥⎣ ⎦

ω ∆∆= ω ∗ δ ω− ω =ω ∆

ω ∆∆= ω− ω

ω ∆

∑

∑

∑

F

Lobii spectrali obtinuti in urma esantionarii naturale nu sunt deformati ca in cazul esantionarii cu memorare. Lobul central este asemanator cu cel obtinut la esantionarea ideala. Filtrand trece jos c

( )

u

si o amplificare , se poate recuperasemnalul initial,

M c e M

eT / t

x t .

ω ≤ ω ≤ ω −ω∆

( )0

ec

c

T,

H t,

⎧ ω ≤ ω⎪ω = ∆⎨⎪ ω > ω⎩

14

Relatia dintre spectrul unui semnal discret si spectrul

semnalului analogic din care provine

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1Se stie ca este spectrul semnalului esantionat ideal.

se poate calcula si prin aplicarea directa a transformatei Fourier semnalului

F F

a ee k

a e a e ek k

X X kT

X x t .

X x t t kT x kT t kT

∞

=−∞

∞

=−∞

ω = ω− ω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪ω = δ − = δ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

( ) ( ) ( )F ej kTa e e a e

k kx kT t kT x kT e

∞

=−∞∞ ∞

− ω

=−∞ =−∞

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= δ − =

∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

S-au obtinut 2 expresii echivalente pentru spectrul

1

Spectrul semnalului discret obtinut in urma esantionarii :

Se observa ca:

ej kTa e a e

e k k

j k j kd d a e

k k

a

X X k x kT eT

X x k e x kT e

x kT

∞ ∞− ω

=−∞ =−∞

∞ ∞− Ω − Ω

=−∞ =−∞

ω = ω− ω =

Ω = =

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

( )

si deci :

1 1 2

adica :

1 2

e

e

e

j kT j ke a e

k kT

d a e ae e e ek kT

d ae e ek

e x kT e

X X k X kT T T T

X X kT T T

∞ ∞− ω − Ω

Ωω==−∞ =−∞

∞ ∞

Ωω==−∞ =−∞

∞

=−∞

=

⎛ ⎞Ω πΩ = ω− ω = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Ω πΩ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

∑

15

Intre cele doua axe de frecventa corespunzatoare spectrului semnalului analogic esantionat respectivspectrului semnalului discret exista relatia: Se explica acum si natura periodica a spectrulueT .Ω = ω

( )

i

semnalului discret Intre si exista relatia: ; d M M M M e eM

X . T T .πΩ Ω ω Ω = ω ≤ω

Esantionarea semnalelor discrete

In prelucrarea numerica a semnalelor apar situatii in care,ulterior achizitionarii esantioanelor, se constata ca frecventade esantionare a fost prea mare. In astfel de situatii, cand nuse mai poate es

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

antiona semnalul analogic, este posibila esantionarea semnalului numeric, retinandu-se tot a N-a valoare. Fie:

Semnalul discret esantionat, x se obtine prin produsul:

Nk

Nk

n n - kN

n ,

x n x n n x n n kN

∞

=−∞

=

δ = δ

= δ = δ −

∑

[ ] [ ]k

x kN n kN .∞ ∞

−∞ =−∞= δ −∑ ∑

16

N=3.

[ ] ( ) ( )

( ) [ ] [ ] ( ) ( )

2

1 2 22

e

e

F ;

Pentru calculul convolutiei circulare se recurge la restrictionarea la perioada principala a celor doi termeni, la calculul c

eN e e ek

N ek

n k , .N

X x n n X k .N N

∞

Ω=−∞

∞

=−∞

πδ ↔Ω δ Ω =Ω δ Ω − Ω Ω =

π πΩ = δ = Ω ⊗ δ Ω − Ω Ω =π

∑

∑

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

1 1 2e

onvolutiei necirculare si la prelungireaprin periodicitate a rezultatului obtinut.

, N N

r r e r ek k

X X k X kN N N

− −

= =

πΩ = Ω ∗ δ Ω − Ω = Ω − Ω Ω =∑ ∑

N=3.

17

[ ]Cum , unde este frecventa maxima din spectrul semnalului analogic din care provine ,iar pasul cu care acest semnal analogic a fostesantionat, rezulta:

; ;

S-ar fi

M e M M

e

e e e eM M

Tx n

T

NT T ' T ' NT

Ω = ω ω

π π≤ ≤ =ω ω

( ) e

respectat teorema WKS chiar daca semnalul ar fi fost esantionat cu pasul Daca

apare suprapunerea lobilor spectrali vecini, adicaerori de tip "alias".

e M Mx t T ' . Ω −Ω <Ω

Reconstruirea semnalului discret din esantioanele sale

( ) 2 .

0 in restc

r M c e MN , k

H,

⎧ Ω− π ≤ΩΩ = Ω ≤Ω ≤Ω −Ω⎨

⎩

18

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

c

Raspunsul la impuls al filtrului de reconstructie este:

; .2

Dar 0 pentru si si deci

c er

c

r r

rk

rm m

sinnh n

n N

x n x n h n x n

x n x k h n k

x k k Nm x Nm x Nm

sin n mNx n x Nm h n Nm x Nmn m

N

∞

=−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

Ω Ω π= Ω = =Ω

= ∗ = ⇔

= −

= ≠ =

π⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠= − = π − π

∑

∑ ∑

Esantionarea si decimarea unui semnal discret

1Intre doua valori nenule si consecutive ale unui semnal esantionat sunt intercalate valori nule. Prin omiterea acestora se obtine un nou

semnal, numit decimatul semnalului esantionat, care se va n

N −

[ ]

( ) [ ] [ ]

[ ] [ ]

1

ota cu

Din semnalul decimat se poate reconstrui semnalul nedecimat prin simpla inserare a cate zerouri intre doua valori consecutive.

F D D

D

j n

Dn

j mj n N

n

x n .

N

X x n x n e

x nN e x m e XN

− Ω∞

=−∞Ω∞ −− Ω

=−∞

−

Ω = =

Ω⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑m

.∞

=−∞∑

19

( )

( )

Tinand seama de faptul ca spectrul semnalului esantionat reprezinta prelungirea

prin periodicitate a spectrului semnalului de esantionat, relatia

1 2se mai scrie: . In co

D

D

X XN

kX XN N

Ω⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ω− π⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1

01 1

0 1

nsecinta 2

1 1 2 1 2 . Dar 2

ca urmare a periodicitatii cu 2 a transformatei Fourier in timp discret. In consecinta

suma di

ND

kN Nk l

k l

X

( k ) lX X X XN N N N N N

−

=− + =

= =

Ω − π =

Ω − + π Ω − π Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π

∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )

1

0

1 2n membrul drept poate fi scrisa sub forma , care reprezinta

tocmai Asadar, s-a demonstrat ca: 2 spectrul semnalului esantionat si decimat este o functie periodica

N

l

D D D

lXN N

X . X X ,

−

=

Ω − π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ω Ω− π = Ω

∑

( )

de perioada 2 Pentru 0 se obtine 1lobul central, care se anuleaza pentru Intinderea lobilor spectrali

ai lui este de ori mai mare decat intinderea lobilor spectrali

M

D

. k

X .N N N

X N

π =Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ω [ ]ai semnalului x n .

20

N=2.

Esantionarea spectrului unui semnal discret de durata finita[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

Fie un semnal aperiodic in timp discret cu spectrul Se esantioneaza

ideal spectrul prin inmultire cu

Dar

e e

ee e e N ek k

e

x n X .

X , . X X

X k X k k . n

Ω Ω

∞ ∞

Ω=−∞ =−∞

Ω

Ω δ Ω Ω = Ω δ Ω =

= Ω δ Ω− Ω = Ω δ Ω− Ω δ ↔Ω δ Ω =

=Ω δ

∑ ∑

( ) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2 1

1

2

e

-1 -1 -1

; de unde De aceea

F F F

sau , semnalul reprezinta prelungirea prin periodicitate a

semnalului Pentru ca semnalu

e

e e

e Nek

Ne

k

k , n .N

x n X X x n n

Nx n x n kN x n

x n .

∞

Ω=−∞

Ω Ω

∞

=−∞

πΩ− Ω Ω = δ ↔δ ΩΩ

= Ω δ Ω = Ω ∗ δ Ω = ∗ δΩ

= −π

∑

∑

[ ] [ ]l sa poata fi recuperat din semnalul

este ne esar ca suportul sau sa fie marginit.

x n x n

21

[ ]

[ ]

Fie cu suportul 0 1 In urma esantionarii spectrului acestui semnal se obtine 2semnalul periodic de perioada Daca nu se produce suprapunerea

grupurilor temporale corespunzatoare die

x n n M .

x n N . N M

≤ ≤ −π= ≥

Ωverselor valori k.

22

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2 0 1Prin multiplicarea semnalului cu fereastra temporala rectangulara

0 in rest

se obtine semnalul reconstruit , identic cu semnalul

r

r r r

, n Nx n w n N

,

x n x n : x n x n x n w n .

π⎧ ≤ ≤ −⎪= ⎨⎪⎩

= =

( )[ ]

Daca spectrul se esantioneaza prea rar, , apare suprapunerea

grupurilor temporale, adica erori de tip "alias". Semnalul nu mai poate fi reconstruit din spectrul esantionat.

X M N

x n

Ω <

23

Masuri practice la esantionarea semnalelor analogice

De obicei nu se cunoaste largimea de banda a semnalului ce urmeaza a fi santionat. Acesta poate avea componente spectralede frecventa mare, neinteresante in aplicatia considerata.Acestea pot fi de exemplu cauzate de zgomotul ce insotestesemnalul util. Exista deci riscul aparitiei erorilor de tip "alias".Pentru evitarea lor se prevede in structura lantului de prelucrarea semnalului, inaintea circuitului de esantionare, un filtru trece josnumit filtru "anti-alias" sau filtru de garda.

Esantionarea trebuie facuta cu o frecventa de cel putin 2 ori mai mare decat frecventa deoprire 2De asemenea trebuie sa avem

Deci:

2Cu cat banda de tranzitie

este mai m

s e s

M p

eM p s

s p

.

.

.

ω ω ≥ ω

ω ≤ ω

ωω ≤ ω < ω ≤

ω −ω

are, cu atat frecventade esantionare trebuie sa fie mai mare decat frecventa Nyquist2 M .ω

24

2

Banda de tranzitie mai mare ordin de filtru mai redus, mai putine elemente constructive, mai ieftin.Cu scaderea lui scaderorile de tip "alias" darcresc si deci si s e .

⇒

ε

ω ω

Sisteme de telefonie numerica - 3 4 KHz, 8 KHz.Sisteme de televiziune - 5 MHz, 18 MHz.

M e

M e

f , ff f

= =≅ =

Esantionarea semnalelor trece banda

[ ] [ ]Semnale de tip "trece jos" - spectrul concentrat in benzi care includ frecventa nula.Semnale de tip "trece banda" - au suportul spectrului de forma M m m M, , .−ω −ω ∪ ω ω

Reconstructia perfecta a unui semnal trece banda esantionat ideal se poate realiza pe baza teoremei WKS, 2Uneori semnalele trece banda pot fi reconstruite din esantioanele lor chiar daca s-a fol

e M .ω ≥ ω

osit o frecventa de esantionare mai mica decat frecventa Nyquist.

25

Cazul semnalelor trece banda de banda ingusta

( ) [ ] [ ]

1

Suportul spectrului unui semnal trece banda de banda ingustaesantionat ideal este de forma:

supp

M m

m

e M e m e m e M en Z

.

X n , n n , n .∈

ω −ω<

ω

ω = −ω + ω −ω + ω ∪ ω + ω ω + ω∪

Semnalul trece banda de banda ingusta poate fi reconstruitperfect din esantioanele sale chiar daca a fost folosita o frecventa de esantionare mai mica decat frecventa Nyquist.

[ ] [ ][ ] [ ]

( )M

Conditia de reconstructie perfecta este: ,

Pentru 0 conditia devine adica:

- 22sau 1 1

Daca exista

M e m e m e M e

M e m e m M

e m mMe

M e M

k , k l , l , k l Z .

l , k , k , k Z .

k.

k k k

−ω + ω −ω + ω ω + ω ω + ω =∅ ∀ ∈

= −ω + ω −ω + ω ω ω =∅ ∀ ∈

ω + ω ≤ ω⎧ ωω ≤ ω ≤⎨−ω + + ω ≥ ω +⎩

∩

∩

valori intregi , pentru care aceasta conditie este satisfacuta, atunci exista valori ale frecventei de esantionare inferioare frecventei Nyquist pentru care semnalele trece banda de banda ingusta po

k

t fi reconstruite in urma esantionarii ideale.

26

( )

0

Solutia din multimea numerelor intregi a dublei inecuatii

obtinute este: 0 Notand cu partea intreaga

a fractiei , rezulta ca frecventa de esantionare

va apartine unor intervale de f

m

M m

m M m

k . n

/

ω< ≤

ω −ωω ω −ω

0

m 0

22orma cu 11

Exemplu

8 si 10 Valoarea factorului este 4

Valorile admisibile pentru sunt 1, 2, 3 si 4. Acestor valori lecorespund urmatoarele domenii pentru

mM

mM

m M

, k ,...,n .k k

. n .

k

ωω⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥+⎣ ⎦

ωω = π ω = π =

ω −ω

[ ] [ ] [ ] [ ]frecventa de esantionare:

4 5 , 5,33 6 66 , 8 10 , 16 20 , , .π π π π π π π π ∞∪ ∪ ∪ ∪