UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCURESTI

FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE

Studiul dispozitivelor electromagnetice utilizand mediul de calcul COMSOL

Autori:

Florin-Alexandru COJOCARUIonut FIERARUVictor MITRISAnul I, Facultatea de Automatica si Calculatoare

Coordonatori stiitifici:

Drd. ing. Daniel DANProf. Dr. Ing. Mihai IORDACHE

Prof. Dr. Ing Daniel IOANDepartamentul Electrotehnic

Bucuresti2012

CUPRINS

1. Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Etapele modelarii dispozitivelor electromagnetice in vederea proiectarii . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Introducere in COMSOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Preferinte COMSOL in analiza campului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Tipuri de probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. TEORIE

1.1 Etapele modelarii dispozitivelor electromagnetice in vederea proiectarii

1. Modelarea fizica

Am stabilit ipoteze simplificatoare care fac problema reala sa fie susceptibila de o rezolvare matem-atica, adica am identificat fenomenele fizice esentiale si am neglijat, in mod explicit, fenomene pecare le-am considerat neesentiale(de exemplu am identificat regimul magnetostatic);

Am efectuat aproximari si idealizari de natura geometrica, temporala, de material sau ale surselorde camp.

2. Modelarea matematica

Am notat marimile fizice (definite anterior) si am stabilit proprietatile lor, care au devenit proprietatimatematice;

Am scris ecuatiile matematice care descriu fenomenele esentiale; Am adaugat conditii suplimentare(de frontiera, initiale) care asigura buna formulare matematica

problemei in sens Hadamard adica solutia sa existe, sa fie unica si sa depinda in mod continuu dedatele problemei.

Pentru a evita erorile, am identificat mai ntai Teorema de unicitate specificamodelului fizic pecare l-am adoptat.

3. Modelarea numerica

Calculatoarele opereaza cu reprezentari discrete ale realitii continue Problema se discretizeaza in vederea rezolvarii ei cu resurse (timp e calcul si memorie) finite de

calcul, ceea ce presupune aproximarea spatiilor continue de functii care descriu variatiile spatio-temporale ale marimilor fizice prin spatii discrete, finit dimensionale, precum si discretizarea opera-torilor care intervin in ecuatiile campului.

Aceasta discretizare este facuta automat in mediile de proiectare. Rezolvarea modelului numeric se face cu un algoritm, implementat ntr-un limbaj de programare. Mediile de proiectare faciliteaza elaborarea, rezolvarea si analiza modelelor numerice. Ele imple-

menteaza diferite metode de rezolvare (de exemplu metoda elementelor finite - COMSOL, FLUX,metoda integralelor finite) si ofera utilizatorilo o interfata grafica prietenoasa. De asemenea, ele oferao multitudine de variante de rezolvare ale sistemelor de ecuatii care rezulta (metode directe, iterative,multigrid, etc).

1. Teorie 4

1.2 Introducere in COMSOL

1. Prezentare generala

Mediu interactiv pentru modelarea si rezolvarea unor probleme stiintifice si ingineresti bazate peecuatii cu derivate partiale (PDE)

Permite rezolvarea unor probleme n care apar fenomene cuplate (electrice, termice, mecanice, etc) Variante de lucru:

interfata grafica

scrierea de script-uri ntr-un limbaj specific COMSOL sau MATLAB

Nu este nevoie de cunostinte profunde de matematica sau analiza numerica, ci doar cunoastereafenomenelor fizice si buna formulare matematica a lor (nu trebuie definite ecuatiile propriu-zisematematice ci doar descrisa problema: geometrice, material, surse, conditii de frontiera; COMSOLdeduce intern ecuatiile din aceasta formulare) - physiscs mode

Mai exista si alte moduri de descriere a PDE descrierea explicita a coeficintiilor

descrierea formei slabe a ecuatiilor

Tipuri de analize ce pot fi facute:

Stationare sau variabile in timp Medii liniare sau neliniare Calcul de frecvente proprii si analiza modala

Rezolvarea PDE - cu metoda elementelor finite (finite element method FEM)

Retea de discretizare (mesh) adaptiva Controlul erorii Diferite metode de rezolvare numerica(solver)

2. Etapele modelarii in COMSOL

Pasii tipici ai modelarii in COMSOL Multiphysiscs:

(a) Crearea sau importarea geometriei

(b) Discretizarea geometriei

(c) Definirea proprietatilor de material si a conditiilor de frontiera

(d) Rezolvarea modelului

(e) Postprocesarea solutiei

(f) Realizarea unor studii parametrice

Interfata grafica cu utilizatorul (Graphical user interface - GUI) faciliteaza toate etapele procesului demodelare:

Specificarea geometriei Specificarea proprietatilor fizice prin ecuatii, date de material, conditii de frontiera, conditii de cuplaj,

etc

Discretizare, asamblare si rezolvare a modelului de elemnte finit Postprocesarea si vizualizarea solutiei si a altor marimi

1. Teorie 5

1.3 Preferinte COMSOL in analiza campului electromagnetic

Regimul magnetostatic

Campul magnetostatic este campul magnetic n regim magnetostatic, caracterizat de absenta transformarilorde energie (in conductoare nu se dezvolta caldura, nu exista curent electric), iar marimile de stare nu variazan timp. Campul magnetostatic este un camp potential (rotH = 0) si este produs de polarizatia magneticapermanenta (a magnetilor permanenti) si temporara, a corpurilor.

1. Modelul fizic al regimului magnetostatic

2. Modelul matematic al regimului magnetostatic

Teoremele regimului magnetostatic Legea fluxului magnetic:

= 0 Teorema fluxului magneticLocal : divB = 0

Local, pe Sd : divsB = 0 Bn1 = Bn2

Obs. Nu exista sarcina magnetica

Legea circuitului magnetic:

um = JS

+dSdt FALS! Teorema potentialului magnetic scalar:

um = 0

()

Hdl = 0

Local : rotH = 0 ( H este irotational)

Local, pe Sd : rotsH = 0 Ht1 = Ht2

Obs:

rotH = 0 V a.. H = gradVm umAB =

CAB

Hdl = (Vm)A (Vm)B Legea legaturii in camp magnetic + legea magnetizatiei temporare ( Teorema legaturii dintre B

si H)

B = 0(H + M)M = Mt(H) + MpMt(H) = mH

B = 0(1 + m)H + 0Mp B = H + 0Mp (1.1) medii liniare : Mp = 0 B = H medii liniare si izotrope :B = H

Ecuatii de gradul IFormele locale ale teoremelor anterioare:

divB = 0rotH = 0B = H + 0Mp

Mp=0=

divB = 0rotH = 0B = H

(1.2)

Ecuatii de gradul al II-lea

{rotH = 0 H = gradVmB = H + 0Mp

ll

B = gradVm + 0Mp (1.3) divB = 0 div(gradVm) = 0divMp (1.4)

1. Teorie 6

Ecuatia Poisson generalizataCaz particular(cazul pe care noi il studiem):

-mediu omogen, izotrop, liniar : Vm = 0divMp

Obs: Ecuatia de ordinul al II-lea in A este:

rot(1rotA) = J + rot(10Mp)

J = 0

Un magnet permanent poate fi nlocuit cu o distributie de curent care produce acelasi camp magnetic

Teorema de unicitate

Campul magnetic ntr-un domeniu D este unic determinat daca se cunosc urmatoarele date:

geometrice - forma si dimensiunile domeniului D

de material - permeabilitatea n orice punct al domeniului D

sursele interne - Mp in orice punct din D

sursele externe = conditiile de frontiera : M D,fie Ht - conditiile Dirichlet, fie Bn - conditii Neumann

Obs : Prin rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea n aceste conditii de unicitate se obtineVm H = gradVm B

3. Modelul geometric

1.4 Tipuri de probleme

Circuite electrice Circuite rezistive de curent continuu

Circuite de curent alternativ

Circuite in regim tranzitoriu

Camp electromagnetic Regimuri statice (electrostatic, magnetostatic)

Regimuri stationare(electrocinetic stationar, magnetic stationar)

Regimuri cuasistationare(electric, magnetic)

Regim general variabil(unde electromagnetice)

Probleme cuplate Camp electromagnetic + circuite

Camp electromagnetic + camp termic

Etc, etc, etc

Regimul general variabil (FW - full wave) sau regimul frecventelor nalte (HF - EM - High FrequencyElectromagnetics)

Este cazul cel mai general

Generarea si propagarea undelor in spatiu, precum si interactiunea undelor cu mediile dielectrice saumetalice nu mai poate fi neglijata

Din punct de vedere al modelului fizic, nu se face nici o ipoteza simplificatoare in relatiile generaleale campului electromagnetic

Din punct de vedere matematic, ecuatiile de rezolvat sunt ecuatii hiperbolice

Terminologia HF este uzuala, dar confuza, trebuie evitata

1. Teorie 7

Modelarea/simularea in acest regim este necesara atunci cand lungimea de unda este comparabilasau mai mica decat dimensiunile geometrice ale dispozitivului de proiectat/simulat(in general, pentrufrecvente mai mari de 500 KHz)

Exemple: proiectarea antenelor, a circuitelor integrate de microunde, etc

Regimul frecventelor joase (LF- EM low frequency electromagnetics) Frecventa este 0 Hz sau are o valoare astfel ncat lungimea de unda este mult mai mare decat

dimensiunile geometrice ale dispozitivului de analizat/proiectat astfel ncat fenomenele de propagarepot fi neglijate

Nu exista o delimitare precisa ntre LF si HF. De exemplu, printr-un conductor solid curentul se dis-tribuie uniform n curent continuu, sau la frecvente joase, dar pe masura ce frecventa creste, curentultrece doar pe la suprafata conductorului (efect pelicular skin effect), iar la frecvente mari, numai omica parte din energie este transmisa prin conductor, restul se transmite prin spatiul nconjurator,conductorul devenind ceea ce se numeste un ghid de unda

Terminologia LF EM nu este riguroasa, mai riguros este sa se specifice regimul campului electromag-netic dupa cum urmeaza:

Regimuri cvasistationare regimuri variabile in timp, dar in care variatiile sunt suficient de lente astfelncat fenomenele de propagare sa poata fi neglijate (ex: motoare electrice, contactoare, MEMS)

Regimuri stationare regimuri n care nu exista variatie n timp a marimilor care intervin, dar n carepot exista transformari de energie (ex: conductoare parcurse de curent continuu)

Regimuri statice regimuri stationare n care nu exista transformari de energie (ex: campul electricprodus de corpuri electrizate imobile, campul magnetic produs de magneti permanenti)

TeorieEtapele modelarii dispozitivelor electromagnetice in vederea proiectariiIntroducere in COMSOLPreferinte COMSOL in analiza cmpului electromagneticTipuri de probleme