CONSTANTIN PETROVICI MIHAELA NEAGU

ELEMENTE DE DIDACTICA MATEMATICII N

GRDINI I NVMNTUL PRIMAR

Ediia a II-a, revzut i completat

Editura Pim

2006

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

PETROVICI, CONSTANTIN Elemente de didactica matematicii n grdini i nvmntul primar / Constantin Petrovici, Mihaela Neagu. - Ed. a 2-a, rev. - Iai : PIM, 2006 ISBN (10) 973-716-447-4 ; ISBN (13) 978-973-716-447-6 I. Neagu, Mihaela 371.3:51:373.24+373.3

EDITURA PIM Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498 Tel. / fax: 0232-212740 e-mail:editurapim@pimcopy.ro www.pimcopy.ro EDITUR ACREDITAT CNCSIS BUCURETI 66/01.05.2006

ISBN 10: 973-716-447-4 ISBN 13: 978-973-716-447-6

Din partea autorilor

Matematica este considerat, pe drept cuvnt, un element de cultur general absolut necesar n orice domeniu de activitate uman. n etapa contemporan, matematicii i se rezerv un rol esenial n procesul de nvmnt. Schimbrile i modificrile ce au loc n structura nvmntului preuniversitar, corelarea interdisciplinar a anumitor aspecte comune mai multor obiecte de nvmnt, trecerea de la nvmntul informativ la cel formativ, ca i noua viziune asupra didacticii disciplinei, au impus necesitatea elaborrii acestei lucrri.

Reforma nvmntului matematic n grdini i n nvmntul primar are drept scop reamplasarea accentelor. Astfel, accentul se deplaseaz de pe volumul informaional, tradiional extins, care trebuia s fie nsuit de ctre elevi, pe formarea i dezvoltarea capacitilor i atitudinilor pe baza unei cantiti de informaie mai redus.

Particularitile eseniale privind implementarea noului curriculum la matematic pentru clasele primare sunt:

centrarea pe obiective; conturarea explicit a unei noi paradigme didactice pentru matematic; propunerea unor activiti variate de predare-nvare centrate pe elev, care s asigure

atingerea obiectivelor propuse; propunerea unor coninuturi adecvate din punct de vedere psihopedagogic. Noua paradigm didactic vizeaz formarea de structuri ale gndirii specifice

matematicii. Aceasta nseamn c se predau concepte, adic entiti structurate care cuprind definiii, reguli, dar, mai ales, formarea unui mod propriu matematic de gndire, adecvat vrstei elevilor.

Atingerea obiectivului major privind predarea-nvarea-evaluarea matematicii n grdini i n nvmntul primar const n faptul c prin modul de prezentare a cunotinelor, prin folosirea unui material didactic adecvat, prin exemplele date si aplicaiile fcute, prin munca independent a elevilor .a. trebuie s se ajung la o deplin atingere de ctre toi elevii a obiectivelor preconizate n curriculum.

3

CAPITOLUL 1

Bazele psihopedagogice ale predrii-nvrii matematicii n nvmntul preprimar i primar

1.1. Premisele psihopedagogice ale nvrii matematicii; formarea reprezentrilor i

conceptelor matematice; structura conceptual a disciplinei Rolul activitii matematice n grdini i n ciclul primar este de a iniia copilul n

procesul de matematizare, pentru a asigura nelegerea unor modele uzuale ale realitii avnd ca ipotez de lucru specificul formrii reprezentrilor matematice pe nivele de vrst. Procesul de matematizare trebuie conceput ca o succesiune de activiti observare, deducere, concretizare, abstractizare fiecare conducnd la un anumit rezultat.

La vrsta de 3 ani, copilul percepe mulimea ca pe o colecie nedeterminat care nu are nc structur i limite precise1. El difereniaz prin limbaj obiectele singulare de grupuri de obiecte (un copil muli copii), dar mulimea nu este perceput ca un grup distinct. Copiii de 3-4 ani au manifestri tipice n contact cu noiunea de mulime datorit caracterului percepiei la aceast vrst. Astfel, experimentele au evideniat urmtoarele aspecte caracteristice:

copiii percep o grupare de obiecte ca pe o mulime numai dac este compus din acelai fel de obiecte (jucrii);

percepia difereniat a cantitii se reflect n limbaj (ppu ppui); copiii nu percep limitele mulimii i nici criteriul de grupare (relaia logic dintre

elemente); copiii nu percep schimbrile cantitative ce pot interveni (nu observ dac dintr-o

mulime cu 6-7 obiecte se adaug sau se iau 1-2 obiecte) i nici nsuiri cantitative; culoarea i forma sunt dominante sub raport perceptiv;

intuiiile elementare ale numrului sunt prenumerice, lipsite de conservare; copilul observ dac din cinci bomboane i lipsesc trei, dar nu observ absena unei singure bomboane.

La vrsta de 4-5 ani reprezentrile despre mulimi se dezvolt i copilul percepe mulimea ca pe o totalitate spaial-structurat. Aciunea manual nsoit de cuvnt i de percepie vizual conduce la nelegerea mulimii i copilul face abstracie de determinrile concrete ale elementelor sale. Reprezentrile copiilor rmn subordonate ns condiiilor spaiale concrete n care percepe mulimea.

Prezena cuvntului n arsenalul lingvistic al copilului nu indic i dobndirea noiunii desemnate prin cuvnt (de exemplu, noiunea de clas se consider dobndit dac este neleas, n plan psihologic, ca reacie identic a subiectului fa de obiectele pe care el le consider ntr-o clas i, n plan logic, ca echivalen calitativ a tuturor elementelor clasei).

De la aciunea nsoit de cuvnt pn la concept, procesul (L.S. Vgotski, J. Piaget) se desfoar n etape care se pot schematiza astfel:

etapa contactului copil-obiecte: curiozitatea copilului declanat de nouti l face s ntrzie perceptiv asupra lor, s le observe;

etapa de explorare acional: copilul descoper diverse atribute ale clasei de obiecte, iar cunoaterea analitic l conduce la obinerea unei sistematizri a calitilor perceptive ale mulimii;

etapa explicativ: copilul intuiete i numete relaii ntre obiecte, clasific, ordoneaz, seriaz i observ echivalene cantitative;

1 Piaget, J.: Construcia realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureti, 1976

5

etapa de dobndire a conceptului desemnat prin cuvnt: cuvntul constituie o esenializare a tuturor datelor senzoriale i a reprezentrilor i are valoare de concentrat informaional cu privire la clasa de obiecte pe care o denumete (procesul se ncheie dup vrsta de 11-12 ani).

n cazul noiunii de mulime, n primele trei etape se formeaz abilitile de identificare, triere, sortare, clasificare, seriere, apreciere global, ce conduc spre dobndirea conceptului.

Numrul i numeraia reprezint abstraciuni care se formeaz pe baza analizei proprietilor spaiale ale obiectelor i a clasificrilor. Noiunea de mulime joac un rol unificator al conceptelor matematice, iar numrul apare ca proprietate fundamental a mulimii.

Fundamentale n formarea numerelor sunt, dup J. Piaget i B. Inhelder, operaiile de: clasificare: n grupe omogene i neomogene, compararea grupelor de obiecte,

stabilirea asemnrilor i deosebirilor; seriere. Numrul este expresia unei caracteristici obiective a lucrurilor i este o nsuire de grup.

Aceast caracteristic nu rezult spontan din percepia lucrurilor, dar analiza prin percepie constituie punctul de plecare.

n procesul de formare a numrului copilul traverseaz trei etape: senzorial-motrice (operare cu grupe de obiecte); operare cu relaii cantitative pe planul reprezentrilor (operare cu numere concrete); nelegerea raportului cantitativ ce caracterizeaz mulimea (operare cu numere

abstracte). Numrul, ca abstraciune, ca nsuire de grup, apare ntr-un proces de ndeprtare a

tuturor celorlalte nsuiri ale mulimii i ale obiectelor ei; copilul reine numai componenta numeric i generalizeaz nsuiri numerice desemnate verbal.

Aprecierea cantitii la grupe mici de obiecte (3-5) se face, de obicei, prin numeraie la 5-7 ani. Numrul doi se nsuete ca denumire de grup, dar pentru 3-5 obiecte, la denumirea cardinalului mulimii se ajunge cu ajutorul numeraiei.

Cercetrile au evideniat c majoritatea precolarilor de trei-patru ani reproduc corect irul numeric pn la 3-5, dar numesc apoi numere pe srite. Aceasta se explic prin faptul c numrarea unui ir de obiecte este mult mai dificil, ca sarcin, dect reproducerea mecanic a irului numeric natural, ce constituie un automatism verbal, fr semnificaie real. Numrarea unui grup de obiecte solicit asociaii verbale automatizate, dar i atribuirea unui coninut adecvat cuvintelor i s-a constatat experimental c exist o legtur ntre irul numeric i obiectele numrate.

Numrul i numeraia sunt rezultatul analizei i sintezei efectuate pe diverse nivele asupra obiectelor. Numeraia necesit o perfecionare a mecanismelor analitico-sintetice implicate n percepie, reprezentare i conceptualizare. Numai dup ce percepia global-sincretic a realitii este depit i se ajunge la o percepere difereniat, apare posibilitatea constituirii treptate a operaiei numerice i a generalizrii numerice la nivelul formal de conceptualizare a numrului natural.

La vrsta de 3-4 ani, numeraia are un caracter concret i analitic numrul este socotit ca o simpl nsuire a obiectelor pe care le desemneaz n procesul numrrii, precolarii confundnd numrul cu nsui procesul numrrii. n acest caz numrul numete locul n irul numeric, este neles ca nsuire a obiectului, procesul de formare n plan cognitiv a conceptului de numr nu este ncheiat i relev dificultile de sintez n gndirea copilului, datorate caracterului ei preponderent concret. Esena noiunii de numr o constituie tocmai aspectul cantitativ care caracterizeaz mulimile. Copilul nu are format capacitatea de a sesiza acest aspect cantitativ al mulimii i reduce formal irul numerelor cardinale la irul

6

ordinal. La aceast vrst, numrul nu este neles sub aspectul su cardinal, ci ca numr ordinal, termen al unei serii ordonate de la mic la mare, ca reper ntr-o succesiune cantitativ.

Atunci cnd copilul ajunge s sesizeze raportul dintre mulime i unitate, numrul dobndete caracter sintetic i desemneaz o proprietate de grup, ceea ce semnific dobndirea capacitii de sintez. n formarea unui numr sunt implicate att analiza, n activitatea practic cu obiecte din procesul numrrii, ct i sinteza, n reprezentarea mulimii ce nglobeaz obiectele numrate.

Reprezentarea numeric are caracter spaial, componenta numeric fiind legat de spaialitate, n reprezentare dar i n percepie. Componenta spaial sprijin reprezentarea numeric i o limiteaz datorit faptului c reprezentrile, ca i percepiile, cuprind un spaiu limitat.

Numrul cardinal este o clas, o structur alctuit din elemente neintuitive. Apare deci necesitatea realizrii unei noi sarcini de nvare; serierea se face n ambele sensuri, dar i prin dispunerea aleatorie a elementelor, indiferent de forma lor concret, elementele fiind concepute ca uniti, pentru ca ordinaia s fie absorbit n numrul cardinal prin clasificare, sintez operatorie i includerea seriei n clase dispuse gradat.

Constituirea percepiei obiectuale i categoriale (clasificare, ordonare) creeaz dificulti n formarea unui alt mod de caracterizare a mulimilor, care solicit ignorarea nsuirilor variate ale obiectelor i reine numai proprietatea numeric. Aici apare rolul esenial al nvrii dirijate n scopul de a-l orienta i angaja pe copil la o analiz i sintez numeric.

Conceptul de numr se consider format dac se dezvolt raporturi reversibile de asociere numr la cantitate i invers, cantitate la numr, i se realizeaz sinteza irului numeric. Copilul interiorizeaz operaia de numrare spre 6-7 ani, cnd numr numai cu privirea obiectele ce alctuiesc o anumit grupare. Are loc un proces de transpunere a operaiei externe n operaie intern, adic o interiorizare a aciunii externe, i se dobndete numrul la nivel formal. Este pregtit acum contactul perceptiv al copilului cu o nou noiune, cea de operaie aritmetic. Piaget caracterizeaz operaia aritmetic drept un act de gndire ce este pregtit de coordonri senzorio-motrice i de reglrile reprezentative preoperatorii2

Cunoaterea i nelegerea procesului de formare, pe etape, a reprezentrilor i conceptelor matematice genereaz cerine de ordin psihopedagogic ce se cer respectate n conceperea actului didactic:

orice achiziie matematic s fie dobndit de copil prin aciune nsoit de cuvnt; copilul s beneficieze de o experien concret variat i ordonat, n sensul

implicaiilor matematice; situaiile de nvare trebuie s favorizeze operaiile mentale, copilul amplificndu-i

experiena cognitiv; dobndirea unei anume structuri matematice s fie rezultatul unor aciuni concrete cu

obiecte, imagini sau simboluri, pentru acelai coninut matematic; dobndirea reprezentrilor conceptuale s decurg din aciunea copilului asupra

obiectelor, spre a favoriza reversibilitatea i interiorizarea operaiei; nvarea s respecte caracterul integrativ al structurilor, urmrindu-se transferul

vertical ntre nivelele de vrst i logica formrii conceptelor; aciunile de manipulare i cele ludice s conduc treptat spre simbolizare.

2 Piaget, J.: Construcia realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureti, 1976

7

1.2. Aspecte ale dezvoltrii intelectuale a colarului mic Antrenat continuu n activitatea colar, activitatea intelectual se intensific i sufer

modificri dup 6 ani la majoritatea copiilor. Primul aspect al modificrilor mai semnificative pe planul acesteia se exprim n schimbri ale caracterului investigativ i comprehensiv al percepiei i observaiei ca instrumente ale cogniiei.3

Importante aspecte discriminative se dezvolt la copii n legtur cu spaiul mic. Orientarea spaial pe foaia de hrtie, percepia spaiului, decodificarea prin difereniere a grafemelor antreneaz o extrem de fin activitate perceptiv. Orientarea dreapta-stnga, sus-jos, n rndurile orizontale ale scrierii, constituie punctul de plecare pentru o activitate intelectual complex. Aceast activitate cuprinde antrenarea memoriei, a inteligenei, a ateniei, a reprezentrilor. Citirea i scrierea numerelor solicit i nsuirea unui sistem de decodificare a sistemului zecimal.

Raporturile ntre mrimi, proporiile, identificarea ntregului, utilizarea metrului, centimetrului, identificarea liniilor verticale, orizontale, ale poziiilor spaiale etc. devin indicii de orientare dup ce li se decodific nelesul.

Tot pe planul perceptiv se contureaz evaluri din ce n ce mai fine legate de mrime i mas - se introduc kilogramul, multiplii i submultiplii acestuia. Perceperea structurii materialelor (pietre, roci, diferite soluri, cristale, crmizi, argile, esene de lemn, sticl, materiale plastice, hrtie de diferite feluri, stofe) cu diferenele ce le caracterizeaz, intr n experiena curent a copilului colar.

Raporturile spaiale deja intuite - legate de ceea ce se nelege prin aproape, pe, lng, deasupra, sub etc. includ i noiunea de distan. Totui, evaluarea mrimii este nc deficitar (copiii de 8-9 ani supraestimeaz mrimile i distanele).

Spaiul capt i alte dimensiuni n perioada micii colariti. Astfel, nvarea geografiei creeaz nelegerea simbolisticii elementare legate de formele de relief. Ca aspecte mai semnificative n legtur cu aceasta este nelegerea ideii de micare la scar, de comprimare a spaiului n vederea redrii lui grafice i a citirii ulterioare a simbolurilor respective.

De fapt, prin procesul nvrii copilul trebuie s manipuleze o cantitate enorm de informaii asimilate sau care se cer asimilate. Acest fapt nu este posibil fr transformarea cunotinelor n reprezentri. Acestea din urm se consider a fi activiti cognitive de dou feluri: scheme i imagini. Schemele sunt imagini integrate ale percepiei. Schemele i imaginile spaiale, sub multiple ipostaze evocate, contribuie la modificarea opticii existeniale, la anularea egocentrismului infantil.

i n privina timpului i a duratei evenimentelor au loc modificri evidente. Timpul subiectiv are tendina s se relaioneze i raporteze la timpul cronometrabil, care ncepe s capete consisten. Ceasul i citirea lui devine instrument al autonomiei psihice. Exist i o organizare a schemei timpului, determinarea i plasarea evenimentelor n timp devine calendaristic. Evenimentele ncep s se raporteze le aceste repere. Ele fac legtura cu timpul istoric a crui nelegere se refer la situaiile nelegate n nici un fel direct de evenimentele biografiei personale. Schema timpului ca i imagini ale cronologiei imediate a activitilor programate prin ceas i orar constituie elemente coordonatoare imediate. Totui, modul de referine temporale este nc plin de erori la copilul colar mic.

Printre unitile cognitive se mai enumer, alturi de scheme i imagini, categoria simbolurilor i a conceptelor. Cele patru uniti de cunoatere se modific ontogenetic n ceea

3 chiopu Ursula., Verza Emil: Psihologia vrstelor, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1995

8

ce privete proporiile. Ca fenomen expresiv se semnaleaz creterea numrului simbolurilor i apoi a conceptelor asimilate n perioada colar mic.

Ca i imaginile i schemele, simbolurile sunt ci de exprimare a evenimentelor concrete i evideniaz caracteristicile obiectelor i ale aciunilor. Cele mai numeroase simboluri sunt literele, cuvintele i numerele. Exist ns i alte simboluri. Ele sunt foarte numeroase n activitatea social. n procesul nvrii colare, nelegerea a numeroase probleme de geometrie sau geografie implic utilizarea masiv de scheme, imagini, simboluri.

Conceptele reprezint setul comun de atribute ce se pot acorda unui grup de scheme, imagini sau simboluri. Deosebirea principal dintre concepte i simboluri const n faptul c n timp ce simbolurile se refer la evenimente specifice, singulare, conceptul reprezint ceea ce este comun mai multor evenimente..

Exist trei atribute ale conceptelor ce se modific odat cu vrsta. Aceste atribute sunt: validitatea, statutul i accesibilitatea (ele sunt strns intercorelate).

Validitatea conceptelor se refer la gradul n care nelesul ce este acordat unui concept de ctre copil este acceptat ca adevrat. Aceasta depinde de nivelul de dezvoltare al copilului - spre sfritul perioadei mici, copilul dispune de aproximativ 300 de concepte relativ valide.

Statutul conceptelor este unul din atributele cele mai importante ale acestora i se refer la claritatea, exactitatea i stabilitatea de folosire a conceptului n planul gndirii. Conceptul de numr capt statut de folosire conceptual doar la colarul mic, la fel conceptul de mulime ca i conceptele de corp i substan ca forme conceptuale, integratoare. Prin statut transpare aspectul de integrare n reea de sistem a conceptelor. Perioada colar mic este prima n care se constituie reele de concepte empirice prin care se constituie i se organizeaz piramida cunotinelor.

Accesibilitatea se refer la disponibilitatea satisfacerii nevoii de informaie a gndirii, de a nelege ansamblul atributelor conceptului, conform statutului lor real (atributele centrale critice sunt adesea greu de desprins din cauza relaiilor dintre aparen i esen). Accesibilitatea se refer deci la capacitile de nelegere i comunicare a conceptelor. Modul n care copilul opereaz cu un concept pune n eviden obstacole i dificulti n nelegerea i folosirea efectiv a acestora.

n procesul nvrii i n mentalitatea comun, conceptele sunt considerate ca absolute. Este necesar ca colarul mic s sesizeze faptul c unul i acelai concept utilizeaz unele din nsuirile sale definitorii (centrale) n cazul unei anumite relaii i alte nsuiri definitorii n cazul altor relaii evocate.

n perioada colar mic se dezvolt cunoaterea direct, ordonat, contientizat, prin lecii, dar crete i nvarea indirect, dedus, suplimentar, latent implicat n cunoaterea colar de ansamblu. Are loc trecerea spre o concepie realist-naturalist. n gndire ncepe s se manifeste independen (8 ani), suplee (9-10 ani) i devine mai evident spiritul critic ntemeiat logic. Gndirea opereaz cu cunotine (scheme, imagini, simboluri, concepte), dar i cu operaii i reguli de operare. Exist o interrelaie operaional ntre reguli, deoarece elementele de baz ale regulilor sunt operaiile.

Operaiile sunt instrumentele de baz ale relaionrii efectuate de gndire i inteligen cu conceptele sau cu informaiile. Regulile exprim valorificarea conceptelor efectuat de inteligen, ordinea pe care inteligena i gndirea o realizeaz prin intermediul informaiei. Accesibilitatea regulilor este dependent de nivelul de dezvoltare a gndirii i inteligenei, inclusiv a informaiilor de care dispune i pe care le poate manipula.

J. Piaget4 a elaborat un sistem psihologic n care a fcut referiri cu predilecie la reguli i la operarea cu reguli, studiind n special dezvoltarea ontogenetic a operaiilor i a gruprilor

4 Piaget J.: Psihologia inteligenei,Editura tiinific, Bucureti, 1965

9

de operaii prin care se pun n eviden regulile informale i formale convertibile. Aceast form de operativitate este de prim ordin i exprim caracteristicile operativitii nespecifice a gndirii. Amplificarea treptat a acestora are loc pe linia gruprii de operaii simple i de relaionare simpl i complex.

La fiecare nivel al dezvoltrii psihice a copilului exist o vast tipologie a gndirii i o plasare de nivel operativ foarte divers. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a inteligenei i o tipologie a gndirii ce este evident la nivelul de dezvoltare dintre 6-10 ani. n acest sens, exist variante de gndire concret-intuitiv, variante de gndire teoretic , variante de gndire social.

n perioada colar mic, operativitatea gndirii avanseaz la planurile figural, simbolic, semantic i acional la nivelul unitilor claselor, relaiilor i sistemelor i ceva mai lent la nivelul transformrilor i implicaiilor.

Operativitatea specific a gndirii se organizeaz n grupri sau structuri de operaii (reguli) nvate, destul de flexibile pentru a fi aplicate la situaii foarte diverse i destul de unitare spre a constitui grupri sau structuri de operaii distincte.

Aceste reguli operative sunt adevrai algoritmi ai activitii intelectuale i se pot grupa n trei categorii:

algoritmi de lucru sau de aplicare-rezolvare; algoritmi de identificare sau de recunoatere a unor structuri, relaii, tip de fenomene; algoritmi de control. Orice algoritm al activitii intelectuale este compus din pai i strategii. Paii, ca

expresii ale componentelor elementare ale gndirii, reguli de operare - pot fi puini (algoritmi simpli), numeroi , variai sau de acelai tip, ca n adunrile sau scderile cu numere mari. Algoritmii compleci conin pai numeroi i variai. n funcie de strategiile implicate n algoritmi, acestea pot fi liniare (ca la adunare i scdere) sau ciclice (ca la nmulirea i mprirea cu numere mari).

Algoritmii de lucru, cum ar fi cei de adunare, scdere, nmulire, mprire, ai regulii de trei simpl i regulii de trei compus, ai calculului ariei dreptunghiului sau triunghiului, sunt implicai n rezolvrile de probleme i exerciii aritmetice sau geometrice.

Algoritmii de recunoatere sunt specifici pentru situaiile de identificare a datelor cunoscute i necunoscute ale unei probleme aritmetice, sau n rezolvarea unor sarcini specifice exerciiilor de observare i identificare a unor proprieti ale unor figuri sau corpuri geometrice.

Algoritmii de control se utilizeaz n calculele aritmetice, n activiti intelectuale, care se supun unor reguli implicite (ce trebuie respectate de fiecare dat) i ale cror rezultate duc la relaii controlabile.

Algoritmii activitilor specifice pentru domeniul aritmeticii se nsuesc prin nvare i exerciiu i condenseaz cunotinele i operaiile valide pentru un domeniu, ceea ce nseamn c odat nsuii, algoritmii permit rezolvarea prin efortul intelectual a numeroase situaii-problem. nvarea algoritmilor permite aplicarea lor cu uurin n rezolvarea de probleme.

Algoritmii sunt supui erodrii prin uitare n caz de neutilizare sau de neconsolidare satisfctoare prin exerciiu. Prin intermediul algoritmilor activitii intelectuale se realizeaz o permanent analiz i o continu restructurare a cunotinelor i se dezvolt competena de domeniu (aritmetic, gramatical, geografic).

Unii copii posed algoritmi de lucru foarte bine consolidai, dar algoritmii de identificare sunt nc slab dezvoltai. Aceti copii dau rezultate foarte bune la exerciii (deoarece exerciiile indic prin semnele corespunztoare operaiile cerute), dar nu reuesc s se descurce n cazul problemelor, deoarece nu identific uor structurile operative solicitate. La copiii care posed algoritmi de identificare dezvoltai i algoritmi de lucru nc slab

10

dezvoltai, se remarc determinarea corect a modului de rezolvare a problemei i greeli de calcul pe parcurs, greeli care altereaz rezultatele i care sunt adeseori trecute pe seama neateniei. Se poate combina tipologia de mai sus i cu starea operativ a algoritmilor de control.

Pe parcurs, ntre 6 i 10/11 ani, operativitatea specific devine tot mai complicat, coninutul problemelor fiind din ce n ce mai complex, fapt ce creeaz dificulti relativ mari n rezolvarea lor.

Aceste dificulti se manifest, pe de o parte, prin creterea numrului de operaii necesare pentru obinerea rezultatului final, pe de alt parte, dificultatea crete datorit prezenei de numere mari i mici, ntregi i fracionare, dar i datorit faptului c unii algoritmi nu au trecut de fazele critice de constituire.

n procesul de nvare pot aprea n problemele de rezolvat dou sau trei ci de soluionare i posibilitatea de control prin rezultate, fapt ce lrgete ideea de echivalen.

Spre 9-10 ani, operativitatea specific a gndirii, cu structurile disponibile de algoritmi creeaz un mare grad de libertate gndirii nespecifice a copilului n situaii-problem, fapt ce intensific activismul clasificrilor de operaii (nti de colecii figurale elementare, cu grad ridicat de asimilare), apoi se intensific organizarea de subcolecii figurale i nonfigurale pentru ca n continuare s aib loc clasificri ierarhice i combinri mobile de procedee de incluziune, descendente sau ascendente (J. Piaget).

Dar operativitatea nespecific se dezvolt nu numai pe seama operativitii algoritmice specifice, ci i n alte situaii. Exist probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute (algoritmii disponibili la nivelul de colarizare primar). Sesizarea acestora creeaz un fel de interes i o stare de incertitudine intelectual specific ce face ca aceste situaii problematice s devin de mare stimulaie a dezvoltrii intelectuale.

Un aspect similar se manifest n legtur cu situaiile n care sunt contrariate cele cunoscute. Astfel de situaii se numesc de disonan cognitiv. Termenii consonan i disonan se refer la relaiile care exist ntre perechi de elemente (cunotine) din punct de vedere al ateptrii persoanei. La nivelul copilului de 9-10 ani disonana cognitiv devine o situaie de problematizare.

Dezvoltarea intelectual nu se consum numai prin rigorile leciilor colare. n contextul vieii de fiecare zi exist o cretere a aptitudinilor intelectuale n genere i o cretere a tensiunii cunotinelor acumulate i a cerinei de coeziune ntre ele. Mai mult dect att, ca i n cazul limbajului i n cel al planului mintal se manifest racordri ce dau structuri matriceale complexe (de concepte, imagini, simboluri, scheme, algoritmi, reguli) ce exprim funcii generative. Toate acestea creeaz o complex antrenare a capacitilor psihice multilaterale, dar i condiii diverse de antrenare a numeroase abiliti, ale inventivitii, ale antrenrii de strategii i tehnici creative i de inteligen care suplimenteaz activ dezvoltarea psihic.

1.3 Teorii privind formarea reprezentrilor i conceptelor matematice

Teoriile behavioriste Dintre toate teoriile asupra nvrii, sunt cu siguran cele care au dominat cel mai

adesea, dac nu n realitate, cel puin n intenii, predarea-nvarea matematicii. Din acest punct de vedere trebuie s menionm c behaviorismul nu este o teorie ci o familie de teorii care se ntinde de la conexionismul lui Thorndike pn la behaviorismul social al lui Staats, trecnd prin teoriile de condiionare clasic a lui Pavlov i de condiionare operant a lui Skinner pentru a nu cita dect aceste nume.

11

Behavioritii, definesc nvarea ca pe o schimbare intervenit n comportamentul persoanei care nva, schimbare care constituie n opinia lor singura realitate a acestei nvri. Prima mare caracteristic a acestor teorii este de a vedea cunoaterea ca pe un produs al influenelor mediului nconjurtor asupra subiectului: informaia este transmis persoanei care nva i aceast transmitere vine din exteriorul persoanei. Pentru a nva, persoana capteaz, prin canalul simurilor sale, informaia venit din exterior i, pe parcursul experienelor sale, o face s fie, progresiv, a sa.

Behavioritii consider, de altfel, orice cunotin de nivel superior ca fiind suma achiziiilor anterioare, rezultatul juxtapunerii abilitilor mai simple. Aceste abiliti mai simple sunt organizate n ierarhii fondate pe interdependena lor n planul nvrii. n aceast perspectiv, putem descrie frecvent cunotinele colare sub forma obiectivelor care la rndul lor sunt descompuse n subobiective a cror atingere ar trebui s asigure achiziia obiectului cunoaterii, pentru care sunt pri constituente. Putem trage uneori concluzia c orice individ poate, dac am recurs la metode sau procedee potrivite, s nvee cu succes orice noiune. Mecanismele prin care cunotinele sunt integrate rmn n acest timp, ns, nvluite n mister: creierul rmne acea cutie neagr despre care se recunoate cu onestitate c nu i se cunoate funcionarea; totul se limiteaz la a provoca aceast funcionare prin diveri stimuli i la a judeca funcionare prin analizarea rspunsurilor furnizate la aceti stimuli.

Pedagogia de tip behaviorist se sprijin n mod fundamental pe aceast noiune de stimul-rspuns: este vorba de a furniza stimuli care s provoace reacii la individ. Aceste reacii sunt apoi ntrite fie pozitiv (recompensa), fie negativ (pedeapsa) pn cnd rspunsul optim la un stimul dat este bine integrat. O eroare comis de suiect, este n acest context, un rspuns greit semnificnd c nvarea nu este complet n sensul ateptat; trebuie deci continuate exerciiile i ntririle pn cnd va fi corectat, adic a o face s dispar n schimbul unui rspuns mai acceptabil. Manipularea obiectelor joac un rol important (ca i manipularea mental a unor noiuni abstracte). Pentru behavioriti, manipularea constituie un factor de nvare n msura n care intervine repetarea aciunii asupra unui material dat sau asupra unor materiale asemntoare, intenia fiind aceea de a-i oferi subiectului posibilitatea ca atunci cnd se confrunt cu situaii noi, s recunoasc, n aceste situaii, elementele echivalente cu altele ntlnite anterior i s aplice asupra lor, prin asociere, schemele care s-au dovedit atunci eficiente.

Aceast manier de a privi nvarea este extrem de seductoare, n primul rnd pentru c este suficient, s-ar prea, s reglm bine comportamentul profesorului i/sau s programm corect stimulii pentru ca achiziiile elevilor s creasc continuu, de asemenea, pentru c evaluarea acestei creteri devine foarte uoar, o simpl verificare a rspunsurilor permind s judecm progresul acestor elevi i deci calitatea performanei lor. Rolul profesorului este n mod particular bine definit i-l pune, ntr-o oarecare msur, la adpost fa de surprizele insecurizante: rol foarte activ i exigent, dar i permite s controleze totul pentru c el este cel care declaneaz nvarea i tot el este motorul acestei nvri, propunnd obiectele acestei nvri, furniznd motivarea, stimulii de plecare i exerciiile care, prin mijlocirea unei succesiuni de ntriri, vor permite elevilor s ajung la rspunsul dorit. Secvena de nvare fiind bine construit, succesiunea etapelor organizat, ierarhia noiunilor potrivit, nimic imprevizibil nu poate s apar i elevul trebuie s reueasc. Dac acesta nu reuete, el nu poate dect s-i reproeze lipsa de asiduitate n activitate. Cu toate c, nu i se recunoate dect un rol pasiv acestui elev, pentru c este considerat ca un receptor al cunotinelor produse n exteriorul su i care i sunt transmise prin intermediul exerciiilor i consolidrilor provenite de asemenea dintr-o surs exterioar. Nu-i rmne dect s urmreasc docil i cu aplicaie calea trasat ctre succes.

12

Seductoare prin multe aspecte, aceast concepie behaviorist asupra nvrii, are totui numeroase lipsuri i anumite limite. Astfel, chestiunea nelegerii nu este deloc abordat: nu pentru c ar fi exclus, ci pentru c este pur i simplu ignorant. Accentul este pus cu acuitate pe abiliti, pe performan i n scopul de a facilita nvarea, repartizm dificultile n etape pe ct se poate de reduse ca n acele programe n care coninuturile matematice sunt decupate n trane fine, constituind tot attea obiective i subobiective pe care elevul trebuie s le ating.

Exist multe semne de ntrebare privitoare la aceast misiune a cunotinelor i abilitilor complexe ca sum de cunotine elementare sau juxtapunerea de abiliti mai simple. De asemenea, este pus sub semnul ntrebrii eficacitatea real a unui nvmnt care se bazeaz pe transmiterea de cunotine, care se vor acumula precum un lichid ntr-o sticl, la un individ, receptor pasiv, hrnit de o persoan mai activ dect el. Un nvmnt bazat pe condiionare poate fi utilizat cu succes atunci cnd vizeaz antrenarea pentru utilizarea unui algoritm sau i propune s mreasc viteza de execuie a unor sarcini bine precizate, i aceasta, chiar n cadrul unor sarcini complexe cum ar fi cele care conduc la rezolvarea unui tip dat de probleme.

n concluzie, din ce n ce mai muli cercettori i dau seama c un astfel de nvmnt centrat pe stimuli-rspuns-consolidare este adesea reducionist: el permite dezvoltarea unor mecanisme, a unor deprinderi i priceperi, dar acest nvmnt nu se sprijin dect prea rar pe nelegere, care dezvolt persoana care nva. Oare aceast persoan va putea, n aceste condiii, s se narmeze cu un sistem de referin i s-i dezvolte un spirit inventiv suficient pentru a nfrunta apoi situaii noi i/sau neprevzute? Suntem departe de a nega importana priceperilor i deprinderilor, dar trebuie s admitem c o cunotin nu se limiteaz la anumite abiliti, c n spatele tuturor manifestrilor de abilitate exist cu siguran ceva care o susine.

A preda nseamn, atunci, mai mult dect a enuna adevruri, a-l pune pe elev s le repete i a-l supune pe acesta unor exerciii de aplicare repetitiv pn cnd va reui s le rezolve corect i repede. Dac dorim s depim abilitile i s ajungem la o nelegere a conceptelor i noiunilor care s nu fie superficial, trebuie s recunoatem c pentru copilul care nva, matematica este de construit, n acelai fel ca pentru un matematician care o inventeaz sau o descoper. i se pare c la aceasta se refer viziunea constructivist asupra nvrii.

Teoriile constructiviste

Sunt considerate ca fiind constructiviste acele teorii care afirm c individul care nva construiete el nsui cunotinele. La originea acestui curent de gndire se gsesc lucrrile lui Piaget i ale multiplilor si colaboratori de la coala din Geneva, lucrri care au fost reluate, criticate, prelungite, aproape peste tot n lume.

Dac, n perspectiva constructivist, subiectul este cel care, printr-un act intern, construiete propriile sale cunotine, aceasta nu nseamn c o face n afara oricrui obiect, a oricrui mediu nconjurtor. Dimpotriv, aceast construcie nu este posibil dect dac exist o interaciune ntre subiect i obiectul cunoaterii. Prin obiect, trebuie s precizm, nu se nelege numai obiectul concret, pe care l putem atinge fizic, ci de asemenea un obiect abstract, o noiune care poate fi manipulat mental. n actul su de cunoatere, persoana atribuie o anumit semnificaie unui obiect care i corespunde ntr-o manier mai mult sau mai puin satisfctoare, n funcie de felul n care el corespunde sau nu schemelor interne proprii acelei persoane care i-l nsuete.

Introducerea unui nou obiect n cmpul de cunoatere al unui subiect i provoac acestuia fie un fenomen de asimilare a acestui obiect alturi de cele deja cunoscute, fie un fenomen de acomodare a schemelor subiectului cu scopul de a face posibil interiorizarea

13

obiectului. Inteligena se construiete n msura n care cunotinele noi nu reprezint numai un element suplimentar care vine s se juxtapun peste achiziiile anterioare, ci o ocazie de reorganizare, de restructurare a acestor achiziii, ntr-o form nou care s poat ngloba noul element i s rmn coerent. Este prezena unui conflict ntre obiectul nsuit i schemele utilizate pentru aceast nsuire care foreaz adaptarea, restructurarea cunotinelor dar i contientizarea acestei prezene; aceast contientizare i poate aparine persoanei care i construiete o experien tatonnd, dar poate fi de asemenea pus n eviden, sau accelerat, de un factor extern, de exemplu prin confruntarea punctelor de vedere n cadrul unui grup.

n perspectiva constructivist, deci, profesorul nu mai este un simplu transmitor de cunotine, element declanator i motor al nvrii cum este perceput la behavioriti. Aciunea sa este mult mai discret, chiar dac ea rmne esenial. Rolul su este n primul rnd s proiecteze o apropiere larg, care urmeaz legile dezvoltrii genetice. El poate introduce n mediul elevilor elemente susceptibile de a provoca dezechilibre cognitive i s favorizeze luarea la cunotin a faptului c acel obiect nou nu se nscrie n schemele deja elaborate i c solicit deci o modificare a acestor scheme. n plan practic, dac ne gndim la matematic, profesorul poate propune sub forma unei probleme care suscit un anumit interes anumite date care s conduc spre o anumit noiune matematic. Dar nu este el cel care construiete calea. El este acolo pentru a susine eforturile personale ale elevilor prin remarci sau ntrebri, pentru a relansa activitatea, eventual, prin intervenii judicioase, atunci cnd reflexia se nfund pe ci mai puin fructuoase, dar fcnd dovad de tot respectul i de toat rbdarea necesare, astfel ca elevii s aib ocazia s exploreze liber pistele care li se deschid n imaginaie. Ceea ce nu mpiedic profesorul s atrag atenia asupra unui fenomen particular, s-i ajute elevii s-i analizeze aciunile i reflexiile; sau s-i elaboreze sintezele. ntr-un cuvnt, profesorul nu este un simplu catalizator care faciliteaz o reacie fr a lua parte activ la ea, dar activitatea sa nu nlocuiete activitatea elevului, servind mai degrab la a o susine i, la nevoie, la a o orienta. Rolul su este de a-l plasa pe elev n condiiile cele mai favorabile pentru ca acesta s-i poat asuma propria formare.

Nu se poate postula existena unei ci optime, valabile pentru ansamblul tuturor subiecilor care nva. Chiar dac recunoate existena stadiilor de dezvoltare care sunt n mare msur aceleai pentru mulimea indivizilor sau dac accept s descrie elaborarea nelegerii conceptelor i noiunilor n modele care, fixeaz etapele, constructivismul admite existena diferenelor importante ntre persoane, diferene care se manifest ntre altele n planul nvrii. Astfel, ntr-o anumit coal, n clasele de acelai nivel, elevii nu au toi exact aceeai vrst, nu au atins acelai grad de maturitate; provin din medii, uneori, foarte diverse i au trit experiene de via unice. Profesorul care respect individualitatea i contient de importana efortului lor personale, va trebui s adapteze interveniile sale innd cont de aceti factori: el nu va putea recurge n nici un caz la o pedagogie standardizat ca cea sugerat de behavioriti, modul su de aciune trebuind, dimpotriv, s fie ct se poate de difereniat. Fr a merge pn la o pedagogie individualizat, pedagogia de inspiraie constructivist recunoate c nu toi pleac din acelai punct i accept, n msura n care constrngerile mediului colar o permit, c nu toi vor atinge exact acelai scop i c fiecare persoan alege o cale care, prin intermediul activitilor din clas, rmne a sa, proprie. n concluzie, o pedagogie care, mai puin uniformizat i uniformizant dect cea de tip behaviorist, se dovedete adesea mai exigent i insecurizant pentru profesor pentru c aici nu se poate prevedea i organiza totul.

Manipularea are de asemenea un rol important n viziunea constructivist, dar acest rol este foarte diferit de cel care i era acordat la behavioriti. Fie c este vorba de a se juca fizic cu obiecte concrete sau de a jongla cu noiuni abstracte, aceast manipulare servete ca suport pentru interiorizarea aciunii: intervin aici elemente ca anticiparea rezultatului aciunii

14

i de verificare a ipotezii avansate. Repetiia nu prezint dect un interes minor, putnd conduce, prin antrenament, la dezvoltarea unei abiliti mai mari care se traduce prin executarea mai rapid a gesturilor adecvate unei situaii, dar contribuia sa la dezvoltarea gndirii rmne indirect.

Eroarea este un alt element considerat diferit de adepii celor dou misiuni. Pentru behavioriti, o eroare este un rspuns greit care trebuie corectat i adus la o form conform cu o norm ceea ce elevul se va fora s fac cu ajutorul unor diverse consolidri i prin repetarea exerciiilor potrivite. Eroarea apare deci ca o anomalie asupra creia elevul nu se oprete dect pentru a provoca dispariia sa sau nlocuirea cu un rspuns mai acceptabil. Constructivistul, din punctul su de vedere, accept eroarea ca pe o etap, poate nu neaprat obligatorie, dar nici anormal, a demersului subiectului de nsuire a cunotinelor. Eroarea, din punctul su de vedere, nu este niciodat gratuit, dar poate pune n eviden anumite conflicte conceptuale la cel care nva: ea nu este dect rareori fructul hazardului, ci cel mai adesea produsul logic i coerent al schemelor individului, scheme care nu sunt nc complet adaptate la noua situaie sau la un obiect al cunoaterii care solicit restructurarea lor. Astfel, constructivistul recunoate n aceast eroare nu numai ceva ce trebuie s dispar i care trebuie uitat ci o surs preioas de informare asupra procesului de gndire al subiectului care nva, surs de informare de care poate profita pentru a nelege mai bine aceste procese i, global, demersul de cunoatere. i astfel el recunoate n acelai timp c cel care nva poate progresa prin comiterea unor erori, pentru c ele reprezint tocmai ocaziile care i permit s ia cunotin de conflictele care exist n modul s de nsuire a obiectului: astfel i este posibil s le depeasc mai uor integrnd contradiciile aparente ntr-un ansamblu de scheme mai largi i mai generale dect cele de care dispunea la plecare, integrare care constituie esena nsi a actului cunoaterii.

Constatm c exist numeroase i profunde divergene ntre aceste teorii behavioriste i constructiviste: divergene fundamentale care pot fi explicate ntr-o mare msur prin viziunea, perspectiva, pe care o au adepii uneia sau alteia dintre doctrine asupra nvrii.

Pe de o parte, behavioritii se declar convini de impenetrabilitatea intelectului, de inaccesibilitatea procesului de gndire, pentru a putea s ptrund misterele a ceea ce ei calific drept cutie neagr. Astfel, ei se limiteaz la a nu considera dect relaiile directe ntre stimulii care ating un individ i rspunsurile acestuia, neglijnd ceea ce ar putea exista ca intermediar ntre ele. Gndirea individului este astfel evacuat n profilul singurelor manifestri exterioare ale comportamentului su. Nu trebuie s fim surprini, n aceste condiii, de rolul pasiv pe care l are subiectul n actul cunoaterii, n timp ce se atribuie roluri mult mai active unor diverse elemente profesor, obiecte care nconjur acest subiect. Putem astfel nelege rolul desemnat manipulrii sau locul foarte limitat al erorii ntr-un demers care vizeaz nainte de toate dezvoltarea abilitilor, a deprinderilor i n care este cvasi imposibil s se in seama de nelegerea pe care o are subiectul asupra conceptelor i noiunilor abordate, de semnificaia pe care acestea o au n ochii si.

Constructivitii, de partea lor, consider n primul rnd nvarea din interior: ei propun o descriere a actului cunoaterii ca fiind un proces n care individul se adapteaz activ la obiectul cunoaterii. Cunoaterea se rezult din propria sa aciune: el trebuie s reconstruiasc interior obiectul sprijinindu-se pe o anume continuitate, achiziiile anterioare nefiind ndeprtate sau inute la distan de proces ci trebuind s fie restructurate ntr-o manier n care s fac loc noului obiect. Accentul este pus aici nu pe rspunsurile / produs al nvrii ci pe procesul nsui, care asigur progresul cunoaterii. De unde aceast recunoatere a activitii subiectului, recunoatere a importanei semnificaiei pe care acest subiect o poate atribui obiectelor, conceptelor i noiunilor, a importanei nelegerii pe care el i-o construiete. De unde rolul diferit al manipulrii, locul noi acordat erorii i, dac ne gndimla

15

contextul colar, la viziunea nou asupra rolului profesorului care devine mai puin un prezentator al noiunilor ct un animator care sprijin copii n demersul lor de redescoperire sau de reinventare.

Conform acestei concepii, matematica este un dialog ntre indivizi ce au probleme matematice. Conceptele i dovezile dezvoltate pentru rezolvarea unor astfel de probleme, nu sunt niciodat considerate ca definitive sau perfecte. Se poate lucra din nou la ele atunci cnd se schimb standardele sau cnd se prezint noi provocri sau probleme. Cunotinele matematice, contrar celor sugerate de cele dou poziii precedente, sunt failibile i corigibile. Sunt construcii sociale, cu reguli i convenii, n care procesele sociale interpersonale de dialog i critic joac un rol fundamental.

Dac matematica este o construcie social, nvarea acestei materii se va face de asemenea prin construcia de cunotine. Aceast concepie socio-constructivist a nvrii i are fundamentele n cercetrile de psihologie genetic, psihologie social i didactic. Mai multe repere constituie baza acestei concepii.

Primul reper al acestei abordri este recunoaterea rolului activ jucat de elev. Acest principiu este fundamental la Piaget, pentru care acionnd se nva. Aceast recunoatere a rolului activ al elevului este n opoziie complet cu modelul transmiterii de cunotine n care elevul primete informaia de la nvtoare sau nvtor. Elevul, care ia parte activ la nvarea sa, decodific i analizeaz o situaie pornind de la reprezentri, concepii i modele, pe care le-a dezvoltat n prealabil.

Noiunea de reprezentare sau de concepie, care constituie al doilea reper al acestei abordri, a fost introdus de Gaston Bachelard, filosof francez, care denuna astfel ideea capului vid, avansat de susintorii modelului transmiterii de cunotine i a abordrii comportamentale. Reprezentrile dezvoltate de elev sunt formate din imagini mentale, tehnici de rezolvare, proceduri i algoritmi provenind n parte din nvrile anterioare. Greelile i procesele care conduc aici constituie indici interesani ale acestor reprezentri. n acest sens Bachelard afirma: Greeal, tu nu eti un ru.. ntr-adevr, dac nvarea este bazat pe cunotine anterioare se poate ca o astfel de concepie s fie insuficient sau inadecvat ntr-un context dat. Bachelard zicea de altfel: Cunoatem datorit unei cunotine anterioare.

Al treilea reper, mprumutat de la Piaget, afirm c cunoaterea trece de la o stare de echilibru la alta prin intermediul unor faze tranzitorii, de-a lungul crora cunotinele anterioare sunt repuse n chestiune, ceea ce provoac o stare de dezechilibru. Pentru a surmonta acest dezechilibru, trebuie s procedm la o reorganizare a cunotinelor pentru a le integra n cunotinele anterioare. nvarea nu este atunci datorat unei simple memorizri, unei juxtapuneri de cunotine sau unei condiionri.

Al patrulea reper dispune de mijloace de punere n practic pentru a asigura trecerea de la o stare de echilibru la alta, fcnd ca elevul s treac printr-o faz de dezechilibru, cu scopul de a-i uura nvarea. Vom putea, de exemplu, s i prezentm probleme care l vor aeza n faa unui conflict. Pentru a face acest lucru vom alege probleme pentru care cunotinele sale sunt insuficiente sau vom recurge la un conflict cognitiv, prezentndu-i probleme ale cror soluii intr n contradicie cu anticiparea rezultatului de ctre acesta, bazat pe concepiile sale. Situaiile care favorizeaz un asemenea conflict sunt numite situaii-problem.

Ultimul reper este legat de socio-constructivism, adic de recunoaterea importanei interaciunilor sociale n clas. Acest tip de interaciuni poate fi utilizat la munca n echip sau cnd se lucreaz cu toat clasa. Astfel, elevul este pus s-i modifice modalitatea de lucru n funcie de a altuia n realizarea sarcinii, dar i s-i explice maniera de a proceda sau strategia ceea ce l face s precizeze modul de a gndi. Confruntat cu diverse modaliti de lucru, el i restructureaz n mod progresiv gndirea i i rafineaz metodele de munc.

16

Concepia socio-constructivist a nvrii se bazeaz deci pe rolul activ al elevului, care i construiete cunotinele plecnd de la reprezentrile, concepiile i cunotinele sale anterioare. Chestiunea care intervine atunci pentru nvtoare sau nvtor este de a ti cum s aduc elevul s treac de la concepie iniial la o concepie nou ce vizeaz o noiune dat.

Obiectivele matematice surprind succesiunea treptelor de nvare n domeniul cognitiv, iar organizarea nvrii matematicii trebuie s se realizeze innd cont de implicaiile pe care Piaget le atribuie dezvoltrii stadiale:

ordinea achiziiilor matematice s fie constant achiziia conceptului de numr este ulterioar achiziiei mulimii, iar n succesiunea temelor ce pregtesc numrul exist o ordine logic (grupare, clasificare, ordonare, seriere, punere n perechi, conservare, numr);

fiecare stadiu se caracterizeaz printr-o structur cunoaterea condiiilor specifice fiecrui nivel intermediar ce influeneaz dezvoltarea joac un rol important n metodologia obiectului;

caracterul integrator al structurilor structurile specifice unui substadiu devin parte integrant n structurile vrstei urmtoare i determin implicaii matematice n achiziia conceptului. Achiziiile matematice dintr-un anumit stadiu sunt preluate i valorificate n condiii noi la nivelul urmtor; de exemplu, achiziia conceptului de conservare a masei trebuie valorificat la conservarea numeric pentru a fi neleas descompunerea numrului.

Z. P. Dines valorific implicaiile matematice ale teoriei lui Piaget n elaborarea unui sistem de nvare a conceptelor matematice cu accent pe nvarea prin aciune i experien proprie a copilului i folosirea materialelor structurate (piese logice, riglete). n acest sistem, structurile matematice sunt dobndite sub forma aciunii, imaginii sau simbolului, materialele structurate constituind mijloace de construcie prin aciune a structurilor. Valoarea materialului structurat crete n msura n care el reuete s evidenieze atributele eseniale ale noiunii iar jocul capt o poziie privilegiat, n sensul c, prin joc i ndeosebi prin jocul logic, se nlesnete dobndirea noiunii de mulime, relaie i a elementelor de logic.

Z. P. Dines identific trei stadii n formarea conceptelor matematice la vrsta precolar, crora le sunt specifice diferite tipuri de jocuri:

Stadiul preliminar n care copilul manipuleaz i cunoate obiecte, culori, forme, n cadrul unor jocuri organizate fr un scop aparent.

Stadiul jocului dirijat jocuri structurate organizate n scopul evidenierii constantelor i variabilelor mulimii.

Stadiul de fixare i aplicare a conceptelor ce asigur asimilarea i explicitarea conceptelor matematice n aa-numitele jocuri practice i analitice.

Z. P. Dines formuleaz patru principii de baz de care trebuie s se in cont n conceperea oricrui model de instruire centrat pe formarea unui concept matematic:

Principiul constructivitii orienteaz nvarea conceptelor ntr-o succesiune logic, de la nestructurat la structurat. Astfel, este indicat s se treac de la jocul manipulativ (nestructurat) la jocul de construcii (structurat), n scopul clasificrii noiunilor.

Principiul dinamic este reflectat n drumul parcurs de copil n instruire prin activiti ludice. Astfel, nvarea progreseaz de la un stadiu nestructurat de joc la un stadiu mai structurat de construcie, n care se asigur nelegerea unui fapt matematic i care apoi se integreaz ntr-o structur matematic.

Principiul variabilitii matematice asigur formarea gndirii matematice ce are la baz procesele de abstractizare i generalizare. Se impune, deci, ca familiarizarea cu noiunile matematice s se fac n situaii matematice variate prin experiene.

Principiul variabilitii perceptuale exprim faptul c formarea unei structuri matema-tice se realizeaz sub forme perceptuale variate. Respectarea acestui principiu conduce la apariia operaiei de abstractizare, ce va sprijini formarea gndirii matematice.

17

Integrarea n practica educaional a acestor principii conduce la dobndirea unor reprezentri matematice. Conceptele sunt prezente sub forma concretizrilor pe materiale structurate n scopul transferului aceleiai structuri matematice prin aciune dirijat, imagine, simbol verbal sau nonverbal.

Aceasta se justific prin faptul c diversele nsuiri ale obiectului nu apar n aceleai condiii n percepie i n reprezentare. Astfel, cercetrile au dovedit c n reprezentrile precolarilor, au prioritate nsuirile funcionale, componente prin care se acioneaz, chiar dac acestea nu sunt dominante. Reprezentarea se formeaz deci ca o construcie ce apare n condiii speciale. Jean Piaget consider c reprezentarea rezult din imitaia conduitei umane, exerciiile de imitare organizate vor sprijini reproducerea prin imagine a obiectului dac sunt integrate ntr-un context operaional perceptiv, reprezentativ pentru copil. Astfel, funcia de simbolizare pe care o ndeplinete reprezentarea este determinat de contextul activitii.

Perioada precolar este caracterizat printr-o nvare ce face apel la experiena copilului, iar literatura de specialitate demonstreaz c accelerarea dezvoltrii psihice a precolarului se poate obine prin introducerea de orientri intuitive i verbale adecvate.

Orientarea verbal n perioada precolar i colar este superioar celei intuitive, dar cuvntul devine eficient numai asociat cu intuitivul (reprezentrile). n formarea gndirii, orientarea verbal are un rol activizator, iar n activitile matematice este util valorificarea posibilitilor sale funcionale; cuvintele pot ndeplini funcii de planificare n aciune numai dac semnificaia lor reflect o anumit experien legat de obiectele cu care acioneaz.

Astfel, cercetrile efectuate de psihologi relev faptul c precolarii neleg raporturile spaiale indicate prin cuvintele sub i deasupra i acioneaz corect numai dac aceste cuvinte se refer la raporturi obinuite, normale, dintre lucruri i aciuni cunoscute: sarcina pune acoperiul deasupra casei are sens pentru copil. n caz contrar, dac sarcina cere s aeze acoperiul sub cas, copiii greesc, sunt dezorientai i ignor sensul cuvntului pentru c raporturile spaiale cerute ies din normal.

La copilul de 3-4 ani, experiena ce constituie suportul semantic al cuvintelor este de ordin senzorio-motor i perceptiv. Copilul afirm, dar nu explic; gndirea ce nsoete limbajul nu este de fapt gndire logic, ci inteligen intuitiv-acional, ntruct gndirea precolarului nu opereaz cu concepte abstracte (este prelogic). J. Piaget afirm c logica gndirii infantile este intuiia. Restructurarea acestei forme de gndire se produce prin interiorizarea aciunilor. Exist deci o legtur i o interaciune direct ntre planul concret acional i cel verbal. Aceste planuri se afl n strns corelaie i se mbogesc reciproc.

La vrsta de 5-6 ani aciunile verbale nu mai sunt subordonate situaiilor sincretice, ci se supun logicii obiectelor, n msura n care sunt dirijate de reguli.

Vgotski introduce n procesul nvrii cuvntul i limbajul ca instrumente de instruire n completarea percepiei i observaiei prin aciuni. Formarea noiunii matematice necesit relevarea, compararea i reunirea mai multor caracteristici precum: numrul obiectelor ntr-o mulime, relaiile cantitative ntre mulimi pentru a determina procesele activitii perceptive obiectuale i a celei mentale, necesare pentru formarea noiunilor corespunztoare.

Deci, pentru a-i forma reprezentri conceptuale corecte, copilul trebuie s-i nsueasc procedee de activitate mental cu ajutorul crora se realizeaz sinteza caracteristicilor unei anumite clase de obiecte, cci operaiile mentale corespunztoare i structurile cognitive (reprezentrile i conceptele) rezult din aciunile practice, se fixeaz n cuvinte i n operaiile cu cuvinte i sunt orientate prin scopul i condiiile activitii practice.5

5 Galperin, P. I: Psihologia gndirii i teoria formrii n etape a aciunilor mentale, n Studii asupra gndirii n psihologia sovietic (trad.), E.D.P., Bucureti, 1970

18

CAPITOLUL 2 Curriculum naional la disciplina matematic pentru nvmntul primar

2.1 Finalitile nvrii matematicii pe cicluri de nvmnt i cicluri curriculare6

Ciclurile curriculare reprezint periodizri ale colaritii care grupeaz mai muli ani de

studiu, care aparin uneori de niveluri colare diferite i au n comun obiective specifice. Aceste periodizri ale colaritii se suprapun peste structura formal a sistemului de nvmnt, cu scopul de a focaliza obiectivul major al fiecrei etape colare i de a regla procesul de nvmnt prin intervenii de natur curricular.

Introducerea ciclurilor curriculare se exprim la nivel de: obiective care particularizeaz finalitile grdiniei, ale nvmntului primar i ale

nvmntului secundar; metodologie didactic specific. Introducerea ciclurilor curriculare devine operativ prin: modificri n planurile de nvmnt, privind: - gruparea obiectelor de studiu; - momentul introducerii n planurile-cadru a unor anumite discipline; - ponderea disciplinelor n economia planurilor; modificri conceptuale la nivelul programelor i al manualelor colare; modificri de strategie didactic (condiionate de regndirea formrii iniiale i

continue a nvtorilor i a profesorilor). Ciclurile curriculare ale nvmntului primar i gimnazial sunt prezentate n schema

de mai jos:

Fiecare ciclu curricular ofer un set coerent de obiective de nvare care consemneaz

ceea ce ar trebui s ating elevii la captul unei anumite etape a parcursului lor colar. Prin aceste obiective ciclurile curriculare confer diferitelor etape ale colaritii o serie de dominante care se reflect la programelor colare.

Introducerea ciclurilor curriculare vizeaz urmtoarele efecte: - crearea continuitii la trecerea de la o treapt de colaritate la alta (grdini-

nvmnt primar, primar-gimnaziu, gimnaziu-liceu) prin: - transferul de metode - stabilirea de conexiuni explicite la nivelul curriculum-ului; - crearea premiselor necesare pentru extinderea colaritii ctre vrstele de 6 i 15 ani i

construirea unei structuri a sistemului de nvmnt mai bine corelate cu vrsta psihologic. ntruct activitatea la clas ar trebui orientat ctre atingerea obiectivelor ciclurilor

curriculare, le reamintim n cele ce urmeaz:

6 Dup MEC i CNC: Ghid practic metodologic pentru aplicarea programelor de Matematic primar-gimnaziu, Ed. Aramis, Bucureti 2001

Vrsta 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Clasa I II III IV V VI VII VIII IX Ciclul Curricular Achiziii

fundamentale Dezvoltare Observare i

orientare

19

Ciclul achiziiilor fundamentale (clasele I - a III-a) are ca obiective majore acomodarea la cerinele sistemului colar i alfabetizarea iniial. Acest ciclu curricular vizeaz:

asimilarea elementelor de baz ale principalelor limbaje convenionale (scris, citit, calcul aritmetic);

stimularea copilului n vederea perceperii, cunoaterii i stpnirii mediului apropiat; stimularea potenialului creativ al copilului, a intuiiei i a imaginaiei acestuia; formarea motivrii pentru nvare, neleas ca o activitate social. Ciclul de dezvoltare (clasele a IV-a - a VII-a) are ca obiectiv major formarea

capacitilor de baz necesare pentru continuarea studiilor. Ciclul de dezvoltare vizeaz: dezvoltarea achiziiilor lingvistice i ncurajarea folosirii limbii romne, a limbii

materne i a limbilor strine pentru exprimarea n situaii variate de comunicare; dezvoltarea unei gndiri structurate i a competenei de a aplica n practic

rezolvarea de probleme; familiarizarea cu o abordare pluridisciplinar a domeniilor cunoaterii; constituirea unui set de valori consonante cu o societate democratic i pluralist; ncurajarea talentului, a experienei i a expresiei n diferite forme de art; formarea responsabilitii pentru propria dezvoltare i sntate; formarea unei atitudini responsabile fa de mediu. Ciclul de observare i orientare (clasele a VIII-a - a IX-a) are ca obiectiv major

orientarea n vederea optimizrii opiunii colare i profesionale ulterioare. Planul-cadru reprezint documentul reglator esenial care jaloneaz resursele de timp ale

procesului de predare-nvare.

2.2 Structura programei colare Programa colar descrie oferta educaional a unei anumite discipline pentru un

parcurs colar determinat. Structura programei colare este urmtoarea: o not de prezentare, obiective-cadru,

obiective de referin, exemple de activiti de nvare, coninuturi ale nvrii i standarde curriculare de performan.

Nota de prezentare descrie parcursul obiectului de studiu respectiv, argumenteaz, structura didactic adoptat, sintetizeaz o serie de recomandri considerate semnificative de ctre autorii programei.

Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate i complexitate. Ele se refer la formarea unor capaciti i atitudini specifice disciplinei i sunt urmrite de-a lungul mai multor ani de studiu.

Obiectivele de referin specific rezultatele ateptate ale nvrii i urmresc progresia n achiziia de competene i de cunotine de la un an de studiu la altul.

Acest mod de a concepe obiectivele coninute n program are urmtoarele avantaje: - ofer o imagine sintetic asupra domeniului de cunoatere modelat prin intermediul

didacticii obiectului de nvmnt avut n vedere; - asigur evidenierea unei dezvoltri progresive n achiziia de competene i capaciti

de la un de studiu la altul; - reprezint un instrument conceptual care, utilizat corect la nivelul evalurii, ofer o

hart clar a evoluiei capacitilor copilului i posibilitatea stimulrii formative a acelor competene insuficient formate i dezvoltate n cazul fiecrui elev n parte.

- creeaz premisele pentru centrarea actului didactic pe aspectele formative ale predrii-nvrii i nu pe transmiterea de informaii.

20

Exemplele de activiti de nvare propun modaliti de organizare a activitii n clas. Pentru realizarea obiectivelor propuse pot fi organizate diferite tipuri de activiti de

nvare. Programa ofer cel puin un exemplu de astfel de activiti pentru fiecare obiectiv de referin n parte. Exemplele de activiti de nvare sunt construite astfel nct s porneasc de la experiena concret a elevului i s se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de nvare.

Coninuturile sunt mijloace prin care se urmrete atingerea obiectivelor cadru i de referin propuse. Unitile de coninut sunt organizate fie tematic, fie n conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor obiecte de studiu.

Standardele curriculare de performan sunt standarde naionale, absolut necesare n condiiile introducerii unei oferte educaionale diversificate, concretizate n existena unor planuri-cadru de nvmnt, a unor noi programe colare i a manualelor alternative. Ele reprezint, pentru toi elevii, un sistem de referin comun i echivalent, viznd sfritul unei trepte de colaritate.

Standardele curriculare de performan sunt criterii de evaluare a calitii procesului de nvare. n termeni concrei, standardele constituie specificri de performan viznd cunotinele, competenele i comportamentele stabilite prin curriculum. Standardele permit evidenierea progresului realizat de elevi la de la o treapt de colaritate la alta. Ele sunt exprimate simplu, sintetic i inteligibil pentru toi agenii educaionali i reprezint baza de plecare pentru elaborarea descriptorilor de performan, respectiv a criteriilor de notare.

Standardele sunt centrate pe elev i relevante din punctul de vedere al motivrii acestuia pentru nvare, fiind orientate spre profilul de formare al elevu-lui la finalizarea parcursului colar i la intrarea n viaa social. Ele ar trebui s motiveze elevul pentru nvarea continu i s conduc la structurarea capacitilor proprii nvrii active.

2.3 Tipuri de curriculum la matematic

Curriculum nucleu reprezint programa colar obligatorie a unei anumite discipline

pentru populaia colar dint-un an de studiu. Aprofundarea reprezint acea form de CD (curriculum la decizia colii) care primete alocare de timp din plaja orar i care reprezint parcurgerea programei colare n mai multe ore dect cele prevzute prin planul cadru. Cf. Ordinului ministrului nr. 3638/ 11 aprilie 2001, aprofundarea se aplic numai n cazuri de recuperare pentru acei elevi care nu reuesc s ating standardele minimale prevzute de program n anii anteriori. Extinderea reprezint acea form de CD care primete alocare de timp din plaja orar i care presupune parcurgerea programei n ntregime (inclusiv elementele marcate cu asterisc). Opionale: 1. Opionalul la nivelul disciplinei const fie din activiti, module, proiecte care nu sunt incluse n programa colar avansat de autoritatea central, fie dintr-o disciplin care nu este prevzut n planul-cadru deloc sau pentru o anume clas/ ciclu curricular (un exemplu de acest gen l constituie limba modern n clasa. I). 2. Opionalul la nivelul ariei curriculare presupune alegerea unei teme care implic cel puin dou discipline dintr-o arie. In acest caz, pornind de la obiectivele-cadru ale disciplinelor, vor fi formulate obiective de referin din perspectiva temei pentru care s-a optat. 3. Opionalul la nivelul mai multor arii curriculare implic cel puin dou discipline aparinnd unor arii curriculare diferite. Ca i n cazul opionalului integrat la nivel de arie informaiile cu care elevii vor opera au un caracter complex i, ca atare, permit dobndirea de achiziii cognitive de ordin nalt (de tipul generalizrii, transferului).

21

Elaborarea programei de opional Pentru elaborarea programei de opional propunem urmtoarea schem de proiectare

care este n acord cu modelul programelor de trunchi comun.

Pentru Argument, se va redacta - 1 pagin care motiveaz cursul propus: nevoi ale

elevilor, ale comunitii locale, formarea unor competene de transfer etc. Obiectivele de referin (pentru un opional de o or pe sptmn se vor defini i

urmri 5-6 obiective de referin - pe care elevii urmeaz s le ating pn la sfritul anului) vor fi formulate dup modelul celor din programa naional (al materiilor de trunchi comun), dar nu vor fi reluri ale acestora. Dac opionalul ar repeta obiectivele de referin ale programei colare a disciplinei curriculum-ului nucleu, atunci opionalul respectiv nu ar aduce nimic nou din punctul de vedere al formrii i dezvoltrii unor capaciti ale gndirii (ar aprofunda eventual, prin adugarea unor coninuturi, competenele care se formeaz prin urmrirea obiectivelor din programa naional).

Un obiectiv de referin este corect formulat dac prin enunul su se rspunde la ntrebarea ce poate s fac elevul?. Dac rspunsul la aceast ntrebare nu este clar (ceea ce poate face elevul nu poate fi demonstrat i evaluat) atunci obiectivul este prea general definit.

Lista de coninuturi cuprinde informaiile pe care opionalul le propune ca baz de operare pentru formarea capacitilor vizate de obiective. Altfel spus, sunt trecute n list acele informaii care vor fi vehiculate, introduse, combinate i recombinate ntre ele i cu altele nvate anterior. Curriculum-ul la decizia colii n nvmntul obligatoriu

Tip de CD Caracteristici ale programei Regim orar

Notare n catalog

Aprofundare Programa pentru trunchiul comun (curriculum nucleu) (In cazuri de recuperare respectiv pentru elevi care nu au reuit s dobndeasc achiziiile minimale prevzute prin programa anilor de studiu anteriori - este permis parcurgerea curriculum-ului nucleu, prin depirea numrului de ore alocat trunchiului comun prin planul cadru)

Ore din plaja orar

Aceeai rubric din catalog cu disciplina surs

Extindere - Obiective de referin notate cu * - Coninuturi notate cu * (se regsesc n programa disciplinei de trunchi comun)

Ore din plaja orar

Aceeai rubric din catalog cu disciplina surs

Opional la nivelul disciplinei

- Noi obiective de referin - Noi coninuturi (noutatea este definit fa de programa disciplinei de trunchi comun)

Ore de opional

Rubric nou n catalog

Opional integrat la nivelul ariei sau al ntregului curriculum

- Noi obiective - complexe - Noi coninuturi - complexe (noutatea este definit fa de programele disciplinelor de trunchi comun implicate n integrare)

Ore de opional

Rubric nou n catalog

Argument Obiective de referin Activiti de nvare 1 2 3 Lista de coninuturi Modaliti de evaluare

22

CAPITOLUL 3

Relaia ntre curriculum i proiectarea didactic

3.1 Proiectarea didactic, demers educativ coerent de transpunere a paradigmei curriculare n activitatea didactic

Existena unor programe centrate pe achiziiile elevilor determin un anumit sens al schimbrii n didactica fiecrei discipline. Tabelul urmtor7 prezint n antitez caracteristici ale procesului de predare-nvare din didactica tradiional i didactica actual. Aceste caracteristici sunt exprimate la un nivel teoretic general; ele evideniaz anumite accente i nu definesc activitatea concret la clas a nvtorilor, care n mod obinuit combin trsturi din ambele tipuri de didactic.

Criterii Strategii didactice centrate pe predare

Strategii didactice centrate pe nvare

Urmrete prelegerea, expunerea, explicaia nvtorului/ profesorului

Exprim puncte de vedere proprii

ncearc s rein i s reproduc ideile auzite

Realizeaz un schimb de idei cu ceilali

Accept n mod pasiv ideile transmise

Argumenteaz; pune i i pune ntrebri cu scopul de a nelege, de a realiza sensul unor idei

Rolul elevului

Lucreaz izolat Coopereaz n rezolvarea problemelor i a sarcinilor de lucru

Expune, ine prelegeri Faciliteaz i modereaz nvarea Impune puncte de vedere Ajut elevii s neleag i s

explice punctele de vedere proprii

Rolul profesorului

Se consider i se manifest n permanen ca un printe

Este partener n nvare

Predominant prin memorare i reproducere de cunotine, prin apel doar la exemple clasice, validate

Predominant prin formare de competene i deprinderi practice

Modul de realizare a nvrii

Competiie ntre elevi, cu scopul de ierarhizare

nvare prin cooperare

Msurarea i aprecierea cunotinelor (ce tie elevul)

Msurarea i aprecierea competenelor (ce poate s fac elevul cu ceea ce tie)

Accent pe aspectul cantitativ (ct de mult informaie deine elevul)

Accent pe elementele de ordin calitativ (valori, atitudini)

Evaluare

Vizeaz clasificarea static a elevilor

Vizeaz progresul n nvare la fiecare elev

Elementul central n realizarea proiectrii didactice este programa colar. Ea reprezint

un document reglator n sensul c stabilete obiective, adic intele ce urmeaz a fi atinse, prin

7 Dup MEC, CNC, Matematic Ghid metodologic primar - gimnaziu, Ed. Aramis, Bucureti, 2002

23

intermediul actului didactic. Programa colar nu este tabla de materii a manualului i nici un element de ngrdire pentru educatoare/nvtor. Proiectarea demersului didactic presupune: - lectura programei - planificarea calendaristic - proiectarea secvenial (a unitilor de nvare sau a leciilor). Programa se citete pe orizontal, n succesiunea de mai jos: Fiecrui obiectiv cadru i sunt asociate obiective de referin. Atingerea obiectivelor de referin se realizeaz cu ajutorul unitilor de coninut (care se regsesc n ultima parte a programei). nvtorul va selecta din lista de coninuturi acele uniti de coninut care mijlocesc atingerea obiectivelor. nvtorul poate opta pentru folosirea unora dintre activitile recomandate prin program sau poate construi activiti proprii (exemplele din program au caracter orientativ, de sugestii i nu implic obligativitatea utilizrii numai a acestora n activitatea didactic). In contextul noului curriculum, planificarea calendaristic este un document administrativ care asociaz ntr-un mod personalizat elemente ale programei (obiective de referin i coninuturi) cu alocarea de timp considerat optim de ctre nvtor pe parcursul unui semestru, respectiv an colar. n elaborarea planificrilor, recomandm parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Realizarea asocierilor dintre obiectivele de referin i coninuturi 2. mprirea pe uniti de nvare 3. Stabilirea succesiunii de parcurgere a unitilor de nvare 4. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare coninut, n concordan cu obiectivele de referin vizate. ntregul cuprins al planificrii are valoare orientativ, eventualele modificri determinate de aplicarea efectiv la clas putnd fi consemnate n rubrica Observaii. Planificrile pot fi ntocmite pornind de la urmtoarea rubricaie:

Unitatea de nvare

Obiective de referin

Coninuturi Numr de ore alocate

Spt. Obs.

3.2 Conceptul de unitate de nvare. Proiectarea unei uniti de nvare

O unitate de nvare reprezint o structur didactic deschis i flexibil care are urmtoarele caracteristici:

determin formarea unui comportament specific prin integrarea unor obiective de referin

este unitar din punct de vedere tematic se desfoar n mod continuu ntr-o perioad de timp se finalizeaz prin evaluare.

Realizarea unei uniti de nvare impune un demers didactic proiectat de fiecare nvtor. Alocarea timpului afectat unei uniti de nvare se face prin planificarea anual. Metodologia de proiectare a unei uniti de nvare const ntr-o succesiune de etape,

obiectiv cadru

obiective de referin

coninuturi activiti de nvare

24

nlnuite logic, n vederea atingerii obiectivelor de referin. Etapele proiectrii sunt aceleai oricare ar fi unitatea de nvare vizat.

Proiectarea unei uniti de nvare se recomand a fi fcut innd seama de urmtoarele:

centrarea demersului didactic pe obiective (nu pe coninuturi); implicarea n proiectare a urmtorilor factori: o obiective (de ce?): obiective de referin o coninuturi (ce?) o activiti (cum?): activiti de nvare o evaluare (ct?): descriptori de performan o resurse (cu ce?)

De ce voi

face? Ce voi

face? Cu ce voi

face? Cum voi

face? Cum voi ti dac s-a

realizat ce trebuia?

Precizarea obiectivelor

Alegerea coninuturilor

Analiza resurselor

Elaborarea strategiei

Evaluare

Considerm c proiectarea unitii de nvare trebuie s porneasc de la urmtoarea schem de generare: Unitatea de nvare ............................

Coninuturi OR8 Activiti de nvare

Resurse Demers didactic Evaluare

Resursele cuprind: resurse materiale - manuale, texte auxiliare (culegeri, antologii, enciclopedii, tabele matematice, hri etc.); mijloace audio-video etc.; resurse procedurale (tipul de organizare a clasei, metode de lucru i alocarea de timp). De asemenea, sunt considerate resurse: timpul, spaiul n care se desfoar ora de curs, resursele umane (elevul cu personalitatea sa, nvtorul cu experiena sa, influenele comunitii etc.). nvtorul va altura fiecrui obiectiv sau grup de obiective, acele resurse pe care le consider necesare pentru conceperea strategiei i realizarea demersului didactic.

Dei denumirea i alocarea de timp pentru unitile de nvare se stabilete prin planificare, este recomandabil ca proiectele complete ale unitilor de nvare s se realizeze ritmic, pe parcursul unui an colar.

Facem observaia c n condiiile noului curriculum, lectura manualului nu mai este n mod obligatoriu liniar. Programa trebuie parcurs n mod necesar de ctre toi, manualul ns se pliaz unei citiri personale i adaptate (vezi schema urmtoare).

8 Se va trece numrul OR (Obiectivelor de Referin) din program

25

Considerm c proiectarea planului de lecie conceput ca document separat este o formalitate consumatoare de timp i energie. Unitatea de nvare conine suficiente elemente pentru definirea unei ore de curs. Astfel, n tabelul care sintetizeaz proiectarea unitii de nvare, prin linii orizontale (punctate) se poate delimita spaiul aferent unei ore de curs: ea cuprinde coninutul leciei, obiectivele de referin la care se raporteaz, cteva activiti de nvare precum i resursele necesare desfurrii n bune condiii a leciei. Uneori, n cuprinsul spaiului delimitat pentru o or apar i specificaii de evaluare. Rubrica de evaluare va cuprinde tipul de instrumente aplicate la clas. Toate programele de matematic au prevzute coninuturi i obiective de referin marcate cu * (asterisc) i cu liter italic.

Planul cadru de nvmnt pentru clasele I-IV prevede pentru matematic urmtoarea alocare de timp:

Clasa I II III IV Matematic 3-4 3-4 3-4 3-4

Dac s-a optat pentru alegerea a 3 ore de matematic, se va parcurge doar curriculum nucleu. n cazul n care s-a optat pentru alegerea a 4 ore de matematic, opiune posibil conform planului cadru de mai sus, nvtorul poate parcurge doar curriculum nucleu (dac opiunea este pentru aprofundare) sau curriculum extins, care cuprinde i coninuturile/obiectivele marcate n program cu asterisc , sau cu caractere italice (dac opiunea este pentru extindere).

Din practica colar se evideniaz situaii care solicit o anumit decizie educaional. Evideniem cteva astfel de situaii i modaliti de rezolvare: Coninuturi care se parcurgeau n mod tradiional ntr-un anumit an de studiu i care sunt prevzute n actuala program, n mod explicit, la un alt an de studiu. Acest tip de situaii poate genera ncrcarea artificial a coninuturilor.

Deplasrile de coninuturi pe vertical n sus au fost determinate de necesitatea de a acorda prioritate nelegerii noiunilor i relaiilor ntre acestea, fa de operarea cu algoritmi aplicai acestor noiuni. n esen, este mai important calitatea achiziiilor elevului dect logica intern a obiectului i tradiia studierii unor coninuturi n anumii ani de studiu. Coninuturi noi introduse n programele colare

Unele coninuturi, ca de exemplu: estimri, organizarea datelor, sunt elemente noi ale programelor, prin raportare la vechile programe. Aceste noiuni apar mai nti implicit, doar n formularea obiectivelor de referin, deoarece cuprinderea la lista de coninuturi a unei clase ulterioare necesit pregtirea prin activiti de nvare desfurate n clasele anterioare.

Alte materiale-suport

Modaliti de intervenie asupra unor uniti de coninut din manual

Adaptare nlocuire Omitere Adugare ee

26

Coninuturile de acest tip sunt pregtite prin formarea unor capaciti explorativ-investigative semnificative i specificate prin obiectivele de referin subordonate obiectivului cadru 2. Ulterior, aceste coninuturi apar explicit i vizeaz obiective de referin care in de formarea conceptelor. Toate aceste demersuri au ca efect mrirea decalajului dintre nivelul de achiziii al unor elevi i nivelul de achiziii minimale cerut prin programele colare. nainte de a emite judeci de valoare despre cele semnalate mai sus, este util s analizai evoluia principalelor coninuturi/concepte n nvmntul obligatoriu, evoluie cuprins n schemele urmtoare. Coninuturi care apar n ani de studiu diferii sunt formulate asemntor sau identic. De exemplu, n lista de activiti de nvare apar:

la clasa I: - exerciii de observare i descriere verbal empiric a figurilor geometrice cunoscute; - identificarea formelor plane n modele simulate i n natur;

la clasa a II-a: - recunoasterea i descrierea verbal a formei obiectelor din mediul nconjurtor; - exerciii de identificare i discriminare a formelor geometrice plane i spaiale utiliznd obiecte, modele i desene;

la clasa a III-a: - identificarea formelor plane i a formelor spaiale pe modele fizice, desene sugestive i

n mediul nconjurtor; - descrierea unor figuri plane i a unor corpuri cu observarea vrfurilor, laturilor, feelor;

la clasa a IV-a: - identificarea formelor plane i a formelor spaiale pe modele fizice, desene sugestive i

n mediul nconjurtor; - recunoaterea formelor nvate la obiectele din mediul apropiat; - identificarea i numirea elementelor constitutive ale figurilor geometrice plane; n aceste situaii, diferenierea nivelului de dificultate i de complexitate pe fiecare clas

trebuie s se fac prin compararea obiectivelor de referin i a exemplelor de activiti de nvare specificate n program.

Evoluia de la o clas la alta a conceptelor referitoare la figuri i corpuri geometrice nu va nsemna deci o adugare de coninuturi, ci o adncire a nivelului de analiz a proprietilor figurilor i corpurilor respective, realizat de ctre elev prin lucrul direct cu materialul didactic. Devine astfel evident utilitatea i necesitatea consultrii orientative a programei clasei anterioare i a programei clasei urmtoare, pentru a proiecta activiti de nvare adecvate programei clasei respective.

3.3 Etapele proiectrii demersului didactic

Construcia curricular avut n vedere pentru realizarea noilor programe necesit o

anumit structurare a demersului de proiectare. Centrarea pe formarea unor deprinderi i capaciti solicit organizarea unei nvri preponderent de tip inductiv, ceea ce presupune parcurgerea n nvare a urmtoarelor etape: 1. Familiarizarea

Aceast etap vizeaz introducerea unui nou coninut noional prin intermediul unor situaii problem. Rezolvarea situaiilor- problem solicit utilizarea unor concepte, tehnici de lucru i deprinderi anterior formate, dar sarcinile de lucru deplaseaz accentul spre descoperirea unor noi noiuni i procedee de lucru. n acest mod, elevul descoper elementele noi de coninut ca rspuns la sarcinile propuse, se familiarizeaz cu procedurile specifice de

27

calcul, cu modalitatea de verbalizare a rspunsului. Acest tip de demers didactic dezvolt la elevi, pe de o parte, o atitudine activ, de cutare i colectare de informaii n situaii concrete, elevul fiind pus n situaia s acioneze pentru rezolvarea sarcinilor de lucru, iar pe de alt parte, o atitudine reflexiv i pragmatic. Cum pot face asta? i De ce s fac aa? sunt ntrebri pe care activitile de nvare propuse trebuie s i le genereze i rspunsul s poat fi gsit prin efort propriu de observare, analiz, comparare i cutare a unor noi modaliti de rezolvare.

n aceast etap, rolul nvtorului este de a dirija nvarea, de a preciza ntr-un limbaj simplu etapele de parcurs pentru rezolvarea sarcinilor date, de a provoca i menine interesul elevilor pe tot parcursul activitii pentru ca acetia s gseasc soluiile prin efort propriu dirijat.

nvarea se realizeaz printr-o succesiune de sarcini de lucru, concepute gradat, prin intermediul crora elevul descoper i se familiarizeaz cu noul coninut. nvarea activ devine efectiv, elevul descoper noul coninut ca rspuns la sarcinile date i nu printr-un demers expozitiv realizat de ctre nvtor.

Forme de organizare: de preferat, activitate individual sau de grup dirijat/semidirijat de ctre nvtor/nvtor, joc de rol, manipulare obiectual. 2. Structurarea noional

Elevii analizeaz rezultatele activitii desfurate n etapa anterioar i tehnicile folosite precum i noiunile noi aprute. Ei i sistematizeaz progresiv propriile proceduri de aciune, i consolideaz competenele operatorii, identific legturi ntre noiuni prin conversaie euristic. Acest proces de sintez se poate desfura, - n funcie de nivelul clasei i de vrst- dirijat la ciclul primar, semidirijat sau independent la ciclul gimnazial.

n aceast etap, rezolvarea de probleme are ca utilizarea unor concepte n situaii ct mai variate, rafinarea unor tehnici operatorii sau algoritmizarea unor procedee de lucru. Elevii sunt antrenai n activiti care solicit precizarea modului n care au obinut informaii relevante, i modul n care pot fi relaionate acestea. Comunicarea modului n care elevii au judecat o problem, formularea de judeci deductive pe enunuri prezentate n forme variate: imagini, diagrame, tabele, text sunt sarcini semnificative pentru realizarea sistematizrii i structurrii noionale. Forme de organizare: de preferat, activitate individual sau de grup dirijat/semidirijat. 3. Aplicarea i exersarea direcionat

Exersarea direcionat ofer oportuniti de antrenament, consolidare i dezvoltare a capacitilor de rezolvare de probleme. Intervenia pedagogic este centrat pe ntrirea unor tehnici, proceduri i metode de lucru, pune accent pe dezvoltarea capacitatii de a reflecta asupra unui demers, favorizeaz formarea automatismelor de calcul.

Exerciii complementare favorizeaz individualizarea nvrii (adic adaptarea demersului didactic prin organizarea de activiti de recuperare i de dezvoltare).

Evaluarea formativ permite formularea de judeci n legtur cu nivelul achiziiilor elevilor, dar i a autonomiei personale, a capacitii de autoevaluare.

Form de organizare: de preferat, activitate individual independent difereniat. Necesitatea proiectrii activitilor didactice pe uniti de nvare este o consecin a

modelului prezentat anterior. Acest model este centrat pe formarea unor capaciti cognitive/operatorii i pe structurarea unor noiuni.

n aceste condiii, este esenial existena unei viziuni educaionale unitare pe o perioad mai mare de timp dect ora tradiional. Din acest motiv, proiectarea activitilor didactice trebuie realizat ntr-o structur care este coerent din punctul de vedere al obiectivelor de referin, este unitar din punct de vedere tematic i permite feed-back prin evaluare eficient

28

a achiziiilor comportamentale/ operatorii exersate pe o perioad determinat de timp n contextul specific acestei structuri.

Pentru a identifica unitile de nvare, trebuie s avem n vedere principalele caracteristici ale acestora, i anume:

unitate (de coninuturi); coeren (a obiectivelor); continuitate (n timp); finalizare (prin evaluare). Practic, alegerea unitilor de nvare se poate realiza urmrind unul dintre algoritmii

descrii mai jos. Algoritmul 1 1. Identificm coninuturi unitare din punct de vedere tematic 2. Asociem obiective de referin care pot fi atinse prin aceste coninuturi 3. Adugm coninuturi sau/i renunm la unele coninuturi alese, dup criteriul

relevanei n raport cu obiectivul identificat 4. Corelm coninuturile selectate i cu alte obiective de referin (asociate diverselor

obiective cadru) n cazul n care adoptm acest algoritm, putem preciza n rubrica Coninuturi din

planificare, pe cele selectate din program. Algoritmul 2 Acest algoritm utilizeaz matricea de asociere dintre obiectivele de referin i

coninuturile programei; matricea evideniaz legturile explicite (evidente, directe, cauzale) marcate cu X i legturile implicite (mai puin evidente, indirecte, deduse) marcate cu O. Matricea se poate completa n urma citirii atente i a interpretrii personale a programei, deoarece evidenierea unora dintre legturi se poate face doar prin imaginarea activitilor ce urmeaz a fi desfurate la clas. n acest sens este util lecturarea exemplelor de activiti de nvare din program.

n tabelele urmtoare sunt exemplificate poriuni din matrici de asociere pentru mai multe clase:

Clasa I Coninuturi/ Obiective de referin 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.93.1 4.1 4.2 Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-10

O O X O X O O X O O

Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-20 fr trecere peste ordin

O O X O X O O X O O

Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-30 fr trecere peste ordin cu numere formate din zeci ntregi

O O X O X O O X O O

Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-30 fr trecere peste ordin cu numere formate din zeci i uniti

O O X O X O O X O O

Comentariu: se observ c toate temele fac parte din acelai capitol i pot contribui la atingerea obiectivelor de referin 1.3, 2.5, 3.1. Ele se deosebesc doar prin modul n care unele coninuturi pot fi adecvate pentru a se realiza obiectivele 2.3, 2.6, 2.7, sau 4.1, 4.2.

29

De aceea, temele prezentate se pot grupa n mod diferit n uniti de nvare. Prima posibilitate: gruparea tuturor temelor ntr-o singur unitate de nvare cu titlul Adunarea i scderea n concentrul 0-30 fr trecere peste ordin. A doua posibilitate: gruparea temelor n trei uniti de nvare cu titlurile : 1- Adunarea i scderea n concentrul 0-10; 2- Adunarea i scderea n concentrul 0-20; 3- Adunarea i scderea n concentrul 0-30; Se constat c primul mod de grupare deplaseaz accentul de la fragmentarea pe tipuri de calcul i concentre mici, la algoritmul de calcul, a