CONSTANTIN PETROVICI MIHAELA NEAGU

ELEMENTE DE DIDACTICA MATEMATICII ÎN

GRĂDINIŢĂ ŞI ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR

Ediţia a II-a, revăzută şi completată

Editura Pim

2006

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

PETROVICI, CONSTANTIN Elemente de didactica matematicii în grădiniţă şi învăţământul primar / Constantin Petrovici, Mihaela Neagu. - Ed. a 2-a, rev. - Iaşi : PIM, 2006 ISBN (10) 973-716-447-4 ; ISBN (13) 978-973-716-447-6 I. Neagu, Mihaela 371.3:51:373.24+373.3

EDITURA PIM Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498 Tel. / fax: 0232-212740 e-mail:editurapim@pimcopy.ro www.pimcopy.ro EDITURĂ ACREDITATĂ CNCSIS BUCUREŞTI 66/01.05.2006

ISBN 10: 973-716-447-4 ISBN 13: 978-973-716-447-6

Din partea autorilor

Matematica este considerată, pe drept cuvânt, un element de cultură generală absolut necesară în orice domeniu de activitate umană. În etapa contemporană, matematicii i se rezervă un rol esenţial în procesul de învăţământ. Schimbările şi modificările ce au loc în structura învăţământului preuniversitar, corelarea interdisciplinară a anumitor aspecte comune mai multor obiecte de învăţământ, trecerea de la învăţământul informativ la cel formativ, ca şi noua viziune asupra didacticii disciplinei, au impus necesitatea elaborării acestei lucrări.

Reforma învăţământului matematic în grădiniţă şi în învăţământul primar are drept scop reamplasarea accentelor. Astfel, accentul se deplasează de pe volumul informaţional, tradiţional extins, care trebuia să fie însuşit de către elevi, pe formarea şi dezvoltarea capacităţilor şi atitudinilor pe baza unei cantităţi de informaţie mai redusă.

Particularităţile esenţiale privind implementarea noului curriculum la matematică pentru clasele primare sunt:

• centrarea pe obiective; • conturarea explicită a unei noi paradigme didactice pentru matematică; • propunerea unor activităţi variate de predare-învăţare centrate pe elev, care să asigure

atingerea obiectivelor propuse; • propunerea unor conţinuturi adecvate din punct de vedere psihopedagogic. Noua paradigmă didactică vizează formarea de structuri ale gândirii specifice

matematicii. Aceasta înseamnă că se predau concepte, adică entităţi structurate care cuprind definiţii, reguli, dar, mai ales, formarea unui mod propriu matematic de gândire, adecvat vârstei elevilor.

Atingerea obiectivului major privind predarea-învăţarea-evaluarea matematicii în grădiniţă şi în învăţământul primar constă în faptul că prin modul de prezentare a cunoştinţelor, prin folosirea unui material didactic adecvat, prin exemplele date si aplicaţiile făcute, prin munca independentă a elevilor ş.a. trebuie să se ajungă la o deplină atingere de către toţi elevii a obiectivelor preconizate în curriculum.

3

CAPITOLUL 1

Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării matematicii în învăţământul preprimar şi primar

1.1. Premisele psihopedagogice ale învăţării matematicii; formarea reprezentărilor şi

conceptelor matematice; structura conceptuală a disciplinei Rolul activităţii matematice în grădiniţă şi în ciclul primar este de a iniţia copilul în

„procesul de matematizare”, pentru a asigura înţelegerea unor modele uzuale ale realităţii având ca ipoteză de lucru specificul formării reprezentărilor matematice pe nivele de vârstă. Procesul de matematizare trebuie conceput ca o succesiune de activităţi – observare, deducere, concretizare, abstractizare – fiecare conducând la un anumit rezultat.

La vârsta de 3 ani, copilul percepe mulţimea ca pe o colecţie nedeterminată care nu are încă structură şi limite precise1. El diferenţiază prin limbaj obiectele singulare de grupuri de obiecte (un copil – mulţi copii), dar mulţimea nu este percepută ca un grup distinct. Copiii de 3-4 ani au manifestări tipice în contact cu noţiunea de mulţime datorită caracterului percepţiei la această vârstă. Astfel, experimentele au evidenţiat următoarele aspecte caracteristice:

• copiii percep o grupare de obiecte ca pe o mulţime numai dacă este compusă din acelaşi fel de obiecte (jucării);

• percepţia diferenţiată a cantităţii se reflectă în limbaj (păpuşă – păpuşi); • copiii nu percep limitele mulţimii şi nici criteriul de grupare (relaţia logică dintre

elemente); • copiii nu percep schimbările cantitative ce pot interveni (nu observă dacă dintr-o

mulţime cu 6-7 obiecte se adaugă sau se iau 1-2 obiecte) şi nici însuşiri cantitative; culoarea şi forma sunt dominante sub raport perceptiv;

• intuiţiile elementare ale numărului sunt prenumerice, lipsite de conservare; copilul observă dacă din cinci bomboane îi lipsesc trei, dar nu observă absenţa unei singure bomboane.

La vârsta de 4-5 ani reprezentările despre mulţimi se dezvoltă şi copilul percepe mulţimea ca pe o totalitate spaţial-structurată. Acţiunea manuală însoţită de cuvânt şi de percepţie vizuală conduce la înţelegerea mulţimii şi copilul face abstracţie de determinările concrete ale elementelor sale. Reprezentările copiilor rămân subordonate însă condiţiilor spaţiale concrete în care percepe mulţimea.

Prezenţa cuvântului în arsenalul lingvistic al copilului nu indică şi dobândirea noţiunii desemnate prin cuvânt (de exemplu, noţiunea de clasă se consideră dobândită dacă este înţeleasă, în plan psihologic, ca reacţie identică a subiectului faţă de obiectele pe care el le consideră într-o clasă şi, în plan logic, ca echivalenţă calitativă a tuturor elementelor clasei).

De la acţiunea însoţită de cuvânt până la concept, procesul (L.S. Vîgotski, J. Piaget) se desfăşoară în etape care se pot schematiza astfel:

• etapa contactului copil-obiecte: curiozitatea copilului declanşată de noutăţi îl face să întârzie perceptiv asupra lor, să le observe;

• etapa de explorare acţională: copilul descoperă diverse atribute ale clasei de obiecte, iar cunoaşterea analitică îl conduce la obţinerea unei sistematizări a calităţilor perceptive ale mulţimii;

• etapa explicativă: copilul intuieşte şi numeşte relaţii între obiecte, clasifică, ordonează, seriază şi observă echivalenţe cantitative;

1 Piaget, J.: Construcţia realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1976

5

• etapa de dobândire a conceptului desemnat prin cuvânt: cuvântul constituie o esenţializare a tuturor datelor senzoriale şi a reprezentărilor şi are valoare de concentrat informaţional cu privire la clasa de obiecte pe care o denumeşte (procesul se încheie după vârsta de 11-12 ani).

În cazul noţiunii de mulţime, în primele trei etape se formează abilităţile de identificare, triere, sortare, clasificare, seriere, apreciere globală, ce conduc spre dobândirea conceptului.

Numărul şi numeraţia reprezintă abstracţiuni care se formează pe baza analizei proprietăţilor spaţiale ale obiectelor şi a clasificărilor. Noţiunea de mulţime joacă un rol unificator al conceptelor matematice, iar numărul apare ca proprietate fundamentală a mulţimii.

Fundamentale în formarea numerelor sunt, după J. Piaget şi B. Inhelder, operaţiile de: • clasificare: în grupe omogene şi neomogene, compararea grupelor de obiecte,

stabilirea asemănărilor şi deosebirilor; • seriere. Numărul este expresia unei caracteristici obiective a lucrurilor şi este o însuşire de grup.

Această caracteristică nu rezultă spontan din percepţia lucrurilor, dar analiza prin percepţie constituie punctul de plecare.

În procesul de formare a numărului copilul traversează trei etape: • senzorial-motrice (operare cu grupe de obiecte); • operare cu relaţii cantitative pe planul reprezentărilor (operare cu numere concrete); • înţelegerea raportului cantitativ ce caracterizează mulţimea (operare cu numere

abstracte). Numărul, ca abstracţiune, ca însuşire de grup, apare într-un proces de îndepărtare a

tuturor celorlalte însuşiri ale mulţimii şi ale obiectelor ei; copilul reţine numai componenta numerică şi generalizează însuşiri numerice desemnate verbal.

Aprecierea cantităţii la grupe mici de obiecte (3-5) se face, de obicei, prin numeraţie la 5-7 ani. Numărul doi se însuşeşte ca denumire de grup, dar pentru 3-5 obiecte, la denumirea cardinalului mulţimii se ajunge cu ajutorul numeraţiei.

Cercetările au evidenţiat că majoritatea preşcolarilor de trei-patru ani reproduc corect şirul numeric până la 3-5, dar numesc apoi numere pe sărite. Aceasta se explică prin faptul că numărarea unui şir de obiecte este mult mai dificilă, ca sarcină, decât reproducerea mecanică a şirului numeric natural, ce constituie un automatism verbal, fără semnificaţie reală. Numărarea unui grup de obiecte solicită asociaţii verbale automatizate, dar şi atribuirea unui conţinut adecvat cuvintelor şi s-a constatat experimental că există o legătură între şirul numeric şi obiectele numărate.

Numărul şi numeraţia sunt rezultatul analizei şi sintezei efectuate pe diverse nivele asupra obiectelor. Numeraţia necesită o perfecţionare a mecanismelor analitico-sintetice implicate în percepţie, reprezentare şi conceptualizare. Numai după ce percepţia global-sincretică a realităţii este depăşită şi se ajunge la o percepere diferenţiată, apare posibilitatea constituirii treptate a operaţiei numerice şi a generalizării numerice la nivelul formal de conceptualizare a numărului natural.

La vârsta de 3-4 ani, numeraţia are un caracter concret şi analitic – numărul este socotit ca o simplă însuşire a obiectelor pe care le desemnează în procesul numărării, preşcolarii confundând numărul cu însuşi procesul numărării. În acest caz numărul numeşte locul în şirul numeric, este înţeles ca însuşire a obiectului, procesul de formare în plan cognitiv a conceptului de număr nu este încheiat şi relevă dificultăţile de sinteză în gândirea copilului, datorate caracterului ei preponderent concret. Esenţa noţiunii de număr o constituie tocmai aspectul cantitativ care caracterizează mulţimile. Copilul nu are formată capacitatea de a sesiza acest aspect cantitativ al mulţimii şi reduce formal şirul numerelor cardinale la şirul

6

ordinal. La această vârstă, numărul nu este înţeles sub aspectul său cardinal, ci ca număr ordinal, termen al unei serii ordonate de la mic la mare, ca reper într-o succesiune cantitativă.

Atunci când copilul ajunge să sesizeze raportul dintre mulţime şi unitate, numărul dobândeşte caracter sintetic şi desemnează o proprietate de grup, ceea ce semnifică dobândirea capacităţii de sinteză. În formarea unui număr sunt implicate atât analiza, în activitatea practică cu obiecte din procesul numărării, cât şi sinteza, în reprezentarea mulţimii ce înglobează obiectele numărate.

Reprezentarea numerică are caracter spaţial, componenta numerică fiind legată de spaţialitate, în reprezentare dar şi în percepţie. Componenta spaţială sprijină reprezentarea numerică şi o limitează datorită faptului că reprezentările, ca şi percepţiile, cuprind un spaţiu limitat.

Numărul cardinal este o clasă, o structură alcătuită din elemente neintuitive. Apare deci necesitatea realizării unei noi sarcini de învăţare; serierea se face în ambele sensuri, dar şi prin dispunerea aleatorie a elementelor, indiferent de forma lor concretă, elementele fiind concepute ca unităţi, pentru ca ordinaţia să fie absorbită în numărul cardinal prin clasificare, sinteză operatorie şi includerea seriei în clase dispuse gradat.

Constituirea percepţiei obiectuale şi categoriale (clasificare, ordonare) creează dificultăţi în formarea unui alt mod de caracterizare a mulţimilor, care solicită ignorarea însuşirilor variate ale obiectelor şi reţine numai proprietatea numerică. Aici apare rolul esenţial al învăţării dirijate în scopul de a-l orienta şi angaja pe copil la o analiză şi sinteză numerică.

Conceptul de număr se consideră format dacă se dezvoltă raporturi reversibile de asociere număr la cantitate şi invers, cantitate la număr, şi se realizează sinteza şirului numeric. Copilul interiorizează operaţia de numărare spre 6-7 ani, când numără numai cu privirea obiectele ce alcătuiesc o anumită grupare. Are loc un proces de transpunere a operaţiei externe în operaţie internă, adică o interiorizare a acţiunii externe, şi se dobândeşte numărul la nivel formal. Este pregătit acum contactul perceptiv al copilului cu o nouă noţiune, cea de operaţie aritmetică. Piaget caracterizează operaţia aritmetică drept un „act de gândire ce este pregătit de coordonări senzorio-motrice şi de reglările reprezentative preoperatorii”2

Cunoaşterea şi înţelegerea procesului de formare, pe etape, a reprezentărilor şi conceptelor matematice generează cerinţe de ordin psihopedagogic ce se cer respectate în conceperea actului didactic:

• orice achiziţie matematică să fie dobândită de copil prin acţiune însoţită de cuvânt; • copilul să beneficieze de o experienţă concretă variată şi ordonată, în sensul

implicaţiilor matematice; • situaţiile de învăţare trebuie să favorizeze operaţiile mentale, copilul amplificându-şi

experienţa cognitivă; • dobândirea unei anume structuri matematice să fie rezultatul unor acţiuni concrete cu

obiecte, imagini sau simboluri, pentru acelaşi conţinut matematic; • dobândirea reprezentărilor conceptuale să decurgă din acţiunea copilului asupra

obiectelor, spre a favoriza reversibilitatea şi interiorizarea operaţiei; • învăţarea să respecte caracterul integrativ al structurilor, urmărindu-se transferul

vertical între nivelele de vârstă şi logica formării conceptelor; • acţiunile de manipulare şi cele ludice să conducă treptat spre simbolizare.

2 Piaget, J.: Construcţia realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1976

7

1.2. Aspecte ale dezvoltării intelectuale a şcolarului mic Antrenată continuu în activitatea şcolară, activitatea intelectuală se intensifică şi suferă

modificări după 6 ani la majoritatea copiilor. Primul aspect al modificărilor mai semnificative pe planul acesteia se exprimă în schimbări ale caracterului investigativ şi comprehensiv al percepţiei şi observaţiei ca instrumente ale cogniţiei.3

Importante aspecte discriminative se dezvoltă la copii în legătură cu spaţiul mic. Orientarea spaţială pe foaia de hârtie, percepţia spaţiului, decodificarea prin diferenţiere a grafemelor antrenează o extrem de fină activitate perceptivă. Orientarea dreapta-stânga, sus-jos, în rândurile orizontale ale scrierii, constituie punctul de plecare pentru o activitate intelectuală complexă. Această activitate cuprinde antrenarea memoriei, a inteligenţei, a atenţiei, a reprezentărilor. Citirea şi scrierea numerelor solicită şi însuşirea unui sistem de decodificare a sistemului zecimal.

Raporturile între mărimi, proporţiile, identificarea întregului, utilizarea metrului, centimetrului, identificarea liniilor verticale, orizontale, ale poziţiilor spaţiale etc. devin indicii de orientare după ce li se decodifică înţelesul.

Tot pe planul perceptiv se conturează evaluări din ce în ce mai fine legate de mărime şi masă - se introduc kilogramul, multiplii şi submultiplii acestuia. Perceperea structurii materialelor (pietre, roci, diferite soluri, cristale, cărămizi, argile, esenţe de lemn, sticlă, materiale plastice, hârtie de diferite feluri, stofe) cu diferenţele ce le caracterizează, intră în experienţa curentă a copilului şcolar.

Raporturile spaţiale deja intuite - legate de ceea ce se înţelege prin aproape, pe, lângă, deasupra, sub etc. includ şi noţiunea de distanţă. Totuşi, evaluarea mărimii este încă deficitară (copiii de 8-9 ani supraestimează mărimile şi distanţele).

Spaţiul capătă şi alte dimensiuni în perioada micii şcolarităţi. Astfel, învăţarea geografiei creează înţelegerea simbolisticii elementare legate de formele de relief. Ca aspecte mai semnificative în legătură cu aceasta este înţelegerea ideii de mişcare „la scară”, de comprimare a spaţiului în vederea redării lui „grafice” şi a „citirii” ulterioare a simbolurilor respective.

De fapt, prin procesul învăţării copilul trebuie să manipuleze o cantitate enormă de informaţii asimilate sau care se cer asimilate. Acest fapt nu este posibil fără transformarea cunoştinţelor în reprezentări. Acestea din urmă se consideră a fi activităţi cognitive de două feluri: scheme şi imagini. Schemele sunt imagini integrate ale percepţiei. Schemele şi imaginile spaţiale, sub multiple ipostaze evocate, contribuie la modificarea opticii existenţiale, la anularea egocentrismului infantil.

Şi în privinţa timpului şi a duratei evenimentelor au loc modificări evidente. Timpul subiectiv are tendinţa să se relaţioneze şi raporteze la timpul cronometrabil, care începe să capete consistenţă. Ceasul şi citirea lui devine instrument al autonomiei psihice. Există şi o organizare a schemei timpului, determinarea şi plasarea evenimentelor în timp devine calendaristică. Evenimentele încep să se raporteze le aceste repere. Ele fac legătura cu timpul istoric – a cărui înţelegere se referă la situaţiile nelegate în nici un fel direct de evenimentele biografiei personale. Schema timpului ca şi imagini ale cronologiei imediate a activităţilor programate prin ceas şi orar constituie elemente coordonatoare imediate. Totuşi, modul de referinţe temporale este încă plin de erori la copilul şcolar mic.

Printre unităţile cognitive se mai enumeră, alături de scheme şi imagini, categoria simbolurilor şi a conceptelor. Cele patru unităţi de cunoaştere se modifică ontogenetic în ceea

3 Şchiopu Ursula., Verza Emil: Psihologia vârstelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1995

8

ce priveşte proporţiile. Ca fenomen expresiv se semnalează creşterea numărului simbolurilor şi apoi a conceptelor asimilate în perioada şcolară mică.

Ca şi imaginile şi schemele, simbolurile sunt căi de exprimare a evenimentelor concrete şi evidenţiază caracteristicile obiectelor şi ale acţiunilor. Cele mai numeroase simboluri sunt literele, cuvintele şi numerele. Există însă şi alte simboluri. Ele sunt foarte numeroase în activitatea socială. În procesul învăţării şcolare, înţelegerea a numeroase probleme de geometrie sau geografie implică utilizarea masivă de scheme, imagini, simboluri.

Conceptele reprezintă setul comun de atribute ce se pot acorda unui grup de scheme, imagini sau simboluri. Deosebirea principală dintre concepte şi simboluri constă în faptul că în timp ce simbolurile se referă la evenimente specifice, singulare, conceptul reprezintă ceea ce este comun mai multor evenimente..

Există trei atribute ale conceptelor ce se modifică odată cu vârsta. Aceste atribute sunt: validitatea, statutul şi accesibilitatea (ele sunt strâns intercorelate).

Validitatea conceptelor se referă la gradul în care înţelesul ce este acordat unui concept de către copil este acceptat ca adevărat. Aceasta depinde de nivelul de dezvoltare al copilului - spre sfârşitul perioadei mici, copilul dispune de aproximativ 300 de concepte relativ valide.

Statutul conceptelor este unul din atributele cele mai importante ale acestora şi se referă la claritatea, exactitatea şi stabilitatea de folosire a conceptului în planul gândirii. Conceptul de număr capătă statut de folosire conceptuală doar la şcolarul mic, la fel conceptul de „mulţime” ca şi conceptele de „corp” şi „substanţă” ca forme conceptuale, integratoare. Prin statut transpare aspectul de integrare în reţea de sistem a conceptelor. Perioada şcolară mică este prima în care se constituie reţele de concepte empirice prin care se constituie şi se organizează piramida cunoştinţelor.

Accesibilitatea se referă la disponibilitatea satisfacerii nevoii de informaţie a gândirii, de a înţelege ansamblul atributelor conceptului, conform statutului lor real (atributele centrale critice sunt adesea greu de desprins din cauza relaţiilor dintre aparenţă şi esenţă). Accesibilitatea se referă deci la capacităţile de înţelegere şi comunicare a conceptelor. Modul în care copilul operează cu un concept pune în evidenţă obstacole şi dificultăţi în înţelegerea şi folosirea efectivă a acestora.

În procesul învăţării şi în mentalitatea comună, conceptele sunt considerate ca absolute. Este necesar ca şcolarul mic să sesizeze faptul că unul şi acelaşi concept utilizează unele din însuşirile sale definitorii (centrale) în cazul unei anumite relaţii şi alte însuşiri definitorii în cazul altor relaţii evocate.

În perioada şcolară mică se dezvoltă cunoaşterea directă, ordonată, conştientizată, prin lecţii, dar creşte şi învăţarea indirectă, dedusă, suplimentară, latent implicată în cunoaşterea şcolară de ansamblu. Are loc trecerea spre o concepţie realist-naturalistă. În gândire începe să se manifeste independenţă (8 ani), supleţe (9-10 ani) şi devine mai evident spiritul critic întemeiat logic. Gândirea operează cu cunoştinţe (scheme, imagini, simboluri, concepte), dar şi cu operaţii şi reguli de operare. Există o interrelaţie operaţională între reguli, deoarece elementele de bază ale regulilor sunt operaţiile.

Operaţiile sunt instrumentele de bază ale relaţionării efectuate de gândire şi inteligenţă cu conceptele sau cu informaţiile. Regulile exprimă valorificarea conceptelor efectuată de inteligenţă, ordinea pe care inteligenţa şi gândirea o realizează prin intermediul informaţiei. Accesibilitatea regulilor este dependentă de nivelul de dezvoltare a gândirii şi inteligenţei, inclusiv a informaţiilor de care dispune şi pe care le poate manipula.

J. Piaget4 a elaborat un sistem psihologic în care a făcut referiri cu predilecţie la reguli şi la operarea cu reguli, studiind în special dezvoltarea ontogenetică a operaţiilor şi a grupărilor

4 Piaget J.: Psihologia inteligenţei,Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1965

9

de operaţii prin care se pun în evidenţă regulile informale şi formale convertibile. Această formă de operativitate este de prim ordin şi exprimă caracteristicile operativităţii nespecifice a gândirii. Amplificarea treptată a acestora are loc pe linia grupării de operaţii simple şi de relaţionare simplă şi complexă.

La fiecare nivel al dezvoltării psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii şi o plasare de nivel operativ foarte diversă. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a inteligenţei şi o tipologie a gândirii ce este evidentă la nivelul de dezvoltare dintre 6-10 ani. În acest sens, există variante de gândire concretă-intuitivă, variante de gândire teoretică , variante de gândire socială.

În perioada şcolară mică, operativitatea gândirii avansează la planurile figural, simbolic, semantic şi acţional la nivelul unităţilor claselor, relaţiilor şi sistemelor şi ceva mai lent la nivelul transformărilor şi implicaţiilor.

Operativitatea specifică a gândirii se organizează în grupări sau structuri de operaţii (reguli) învăţate, destul de flexibile pentru a fi aplicate la situaţii foarte diverse şi destul de unitare spre a constitui grupări sau structuri de operaţii distincte.

Aceste reguli operative sunt adevăraţi algoritmi ai activităţii intelectuale şi se pot grupa în trei categorii:

• algoritmi de lucru sau de aplicare-rezolvare; • algoritmi de identificare sau de recunoaştere a unor structuri, relaţii, tip de fenomene; • algoritmi de control. Orice algoritm al activităţii intelectuale este compus din paşi şi strategii. Paşii, ca

expresii ale componentelor elementare ale gândirii, reguli de operare - pot fi puţini (algoritmi simpli), numeroşi , variaţi sau de acelaşi tip, ca în adunările sau scăderile cu numere mari. Algoritmii complecşi conţin paşi numeroşi şi variaţi. În funcţie de strategiile implicate în algoritmi, acestea pot fi liniare (ca la adunare şi scădere) sau ciclice (ca la înmulţirea şi împărţirea cu numere mari).

Algoritmii de lucru, cum ar fi cei de adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ai regulii de trei simplă şi regulii de trei compusă, ai calculului ariei dreptunghiului sau triunghiului, sunt implicaţi în rezolvările de probleme şi exerciţii aritmetice sau geometrice.

Algoritmii de recunoaştere sunt specifici pentru situaţiile de identificare a datelor cunoscute şi necunoscute ale unei probleme aritmetice, sau în rezolvarea unor sarcini specifice exerciţiilor de observare şi identificare a unor proprietăţi ale unor figuri sau corpuri geometrice.

Algoritmii de control se utilizează în calculele aritmetice, în activităţi intelectuale, care se supun unor reguli implicite (ce trebuie respectate de fiecare dată) şi ale căror rezultate duc la relaţii controlabile.

Algoritmii activităţilor specifice pentru domeniul aritmeticii se însuşesc prin învăţare şi exerciţiu şi condensează cunoştinţele şi operaţiile valide pentru un domeniu, ceea ce înseamnă că odată însuşiţi, algoritmii permit rezolvarea prin efortul intelectual a numeroase situaţii-problemă. Învăţarea algoritmilor permite aplicarea lor cu uşurinţă în rezolvarea de probleme.

Algoritmii sunt supuşi erodării prin uitare în caz de neutilizare sau de neconsolidare satisfăcătoare prin exerciţiu. Prin intermediul algoritmilor activităţii intelectuale se realizează o permanentă analiză şi o continuă restructurare a cunoştinţelor şi se dezvoltă competenţa de domeniu (aritmetic, gramatical, geografic).

Unii copii posedă algoritmi de lucru foarte bine consolidaţi, dar algoritmii de identificare sunt încă slab dezvoltaţi. Aceşti copii dau rezultate foarte bune la exerciţii (deoarece exerciţiile indică prin semnele corespunzătoare operaţiile cerute), dar nu reuşesc să se descurce în cazul problemelor, deoarece nu identifică uşor structurile operative solicitate. La copiii care posedă algoritmi de identificare dezvoltaţi şi algoritmi de lucru încă slab

10

dezvoltaţi, se remarcă determinarea corectă a modului de rezolvare a problemei şi greşeli de calcul pe parcurs, greşeli care alterează rezultatele şi care sunt adeseori trecute pe seama neatenţiei. Se poate combina tipologia de mai sus şi cu starea operativă a algoritmilor de control.

Pe parcurs, între 6 şi 10/11 ani, operativitatea specifică devine tot mai complicată, conţinutul problemelor fiind din ce în ce mai complex, fapt ce creează dificultăţi relativ mari în rezolvarea lor.

Aceste dificultăţi se manifestă, pe de o parte, prin creşterea numărului de operaţii necesare pentru obţinerea rezultatului final, pe de altă parte, dificultatea creşte datorită prezenţei de numere mari şi mici, întregi şi fracţionare, dar şi datorită faptului că unii algoritmi nu au trecut de fazele critice de constituire.

În procesul de învăţare pot apărea în problemele de rezolvat două sau trei căi de soluţionare şi posibilitatea de control prin rezultate, fapt ce lărgeşte ideea de echivalenţă.

Spre 9-10 ani, operativitatea specifică a gândirii, cu structurile disponibile de algoritmi creează un mare grad de libertate gândirii nespecifice a copilului în situaţii-problemă, fapt ce intensifică activismul clasificărilor de operaţii (întâi de colecţii figurale elementare, cu grad ridicat de asimilare), apoi se intensifică organizarea de subcolecţii figurale şi nonfigurale – pentru ca în continuare să aibă loc clasificări ierarhice şi combinări mobile de procedee de incluziune, descendente sau ascendente (J. Piaget).

Dar operativitatea nespecifică se dezvoltă nu numai pe seama operativităţii algoritmice specifice, ci şi în alte situaţii. Există probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute (algoritmii disponibili la nivelul de şcolarizare primar). Sesizarea acestora creează un fel de interes şi o stare de incertitudine intelectuală specifică ce face ca aceste situaţii problematice să devină de mare stimulaţie a dezvoltării intelectuale.

Un aspect similar se manifestă în legătură cu situaţiile în care sunt contrariate cele cunoscute. Astfel de situaţii se numesc de „disonanţă cognitivă”. Termenii „consonanţă” şi „disonanţă” se referă la relaţiile care există între perechi de elemente (cunoştinţe) din punct de vedere al aşteptării persoanei. La nivelul copilului de 9-10 ani disonanţa cognitivă devine o situaţie de problematizare.

Dezvoltarea intelectuală nu se consumă numai prin rigorile lecţiilor şcolare. În contextul vieţii de fiecare zi există o creştere a aptitudinilor intelectuale în genere şi o creştere a tensiunii cunoştinţelor acumulate şi a cerinţei de coeziune între ele. Mai mult decât atât, ca şi în cazul limbajului şi în cel al planului mintal se manifestă racordări ce dau structuri matriceale complexe (de concepte, imagini, simboluri, scheme, algoritmi, reguli) ce exprimă funcţii generative. Toate acestea creează o complexă antrenare a capacităţilor psihice multilaterale, dar şi condiţii diverse de antrenare a numeroase abilităţi, ale inventivităţii, ale antrenării de strategii şi tehnici creative şi de inteligenţă care suplimentează activ dezvoltarea psihică.

1.3 Teorii privind formarea reprezentărilor şi conceptelor matematice

Teoriile behavioriste Dintre toate teoriile asupra învăţării, sunt cu siguranţă cele care au dominat cel mai

adesea, dacă nu în realitate, cel puţin în intenţii, predarea-învăţarea matematicii. Din acest punct de vedere trebuie să menţionăm că behaviorismul nu este o teorie ci o familie de teorii care se întinde de la conexionismul lui Thorndike până la behaviorismul social al lui Staats, trecând prin teoriile de condiţionare clasică a lui Pavlov şi de condiţionare operantă a lui Skinner pentru a nu cita decât aceste nume.

11

Behavioriştii, definesc învăţarea ca pe o schimbare intervenită în comportamentul persoanei care învaţă, schimbare care constituie în opinia lor singura „realitate” a acestei învăţări. Prima mare caracteristică a acestor teorii este de a vedea cunoaşterea ca pe un produs al influenţelor mediului înconjurător asupra subiectului: informaţia este transmisă persoanei care învaţă şi această transmitere vine din exteriorul persoanei. Pentru a învăţa, persoana captează, prin canalul simţurilor sale, informaţia venită din exterior şi, pe parcursul experienţelor sale, o face să fie, progresiv, a sa.

Behavioriştii consideră, de altfel, orice cunoştinţă de nivel superior ca fiind suma achiziţiilor anterioare, rezultatul juxtapunerii abilităţilor mai simple. Aceste abilităţi mai simple sunt organizate în ierarhii fondate pe interdependenţa lor în planul învăţării. În această perspectivă, putem descrie frecvent cunoştinţele şcolare sub forma obiectivelor care la rândul lor sunt descompuse în subobiective a căror atingere ar trebui să asigure achiziţia obiectului cunoaşterii, pentru care sunt părţi constituente. Putem trage uneori concluzia că orice individ poate, dacă am recurs la metode sau procedee potrivite, să înveţe cu succes orice noţiune. Mecanismele prin care cunoştinţele sunt integrate rămân în acest timp, însă, învăluite în mister: creierul rămâne acea „cutie neagră” despre care se recunoaşte cu onestitate că nu i se cunoaşte funcţionarea; totul se limitează la a provoca această funcţionare prin diverşi stimuli şi la a judeca funcţionare prin analizarea răspunsurilor furnizate la aceşti stimuli.

Pedagogia de tip behaviorist se sprijină în mod fundamental pe această noţiune de stimul-răspuns: este vorba de a furniza stimuli care să provoace reacţii la individ. Aceste reacţii sunt apoi întărite fie pozitiv (recompensa), fie negativ (pedeapsa) până când răspunsul optim la un stimul dat este bine integrat. O eroare comisă de suiect, este în acest context, un răspuns greşit semnificând că învăţarea nu este completă în sensul aşteptat; trebuie deci continuate exerciţiile şi întăririle până când va fi corectată, adică a o face să dispară în schimbul unui răspuns mai acceptabil. Manipularea obiectelor joacă un rol important (ca şi manipularea mentală a unor noţiuni abstracte). Pentru behaviorişti, manipularea constituie un factor de învăţare în măsura în care intervine repetarea acţiunii asupra unui material dat sau asupra unor materiale asemănătoare, intenţia fiind aceea de a-i oferi subiectului posibilitatea ca atunci când se confruntă cu situaţii noi, să recunoască, în aceste situaţii, elementele echivalente cu altele întâlnite anterior şi să aplice asupra lor, prin asociere, schemele care s-au dovedit atunci eficiente.

Această manieră de a privi învăţarea este extrem de seducătoare, în primul rând pentru că este suficient, s-ar părea, să reglăm bine comportamentul profesorului şi/sau să programăm corect stimulii pentru ca achiziţiile elevilor să crească continuu, de asemenea, pentru că evaluarea acestei creşteri devine foarte uşoară, o simplă verificare a răspunsurilor permiţând să judecăm progresul acestor elevi şi deci calitatea performanţei lor. Rolul profesorului este în mod particular bine definit şi-l pune, într-o oarecare măsură, la adăpost faţă de surprizele insecurizante: rol foarte activ şi exigent, dar îi permite să controleze totul pentru că el este cel care declanşează învăţarea şi tot el este motorul acestei învăţări, propunând obiectele acestei învăţări, furnizând motivarea, stimulii de plecare şi exerciţiile care, prin mijlocirea unei succesiuni de întăriri, vor permite elevilor să ajungă la răspunsul dorit. Secvenţa de învăţare fiind bine construită, succesiunea etapelor organizată, ierarhia noţiunilor potrivită, nimic imprevizibil nu poate să apară şi elevul trebuie să reuşească. Dacă acesta nu reuşeşte, el nu poate decât să-şi reproşeze lipsa de asiduitate în activitate. Cu toate că, nu i se recunoaşte decât un rol pasiv acestui elev, pentru că este considerat ca un receptor al cunoştinţelor produse în exteriorul său şi care îi sunt transmise prin intermediul exerciţiilor şi consolidărilor provenite de asemenea dintr-o sursă exterioară. Nu-i rămâne decât să urmărească docil şi cu aplicaţie calea trasată către succes.

12

Seducătoare prin multe aspecte, această concepţie behavioristă asupra învăţării, are totuşi numeroase lipsuri şi anumite limite. Astfel, chestiunea înţelegerii nu este deloc abordată: nu pentru că ar fi exclusă, ci pentru că este pur şi simplu ignorantă. Accentul este pus cu acuitate pe abilităţi, pe performanţă şi în scopul de a facilita învăţarea, repartizăm dificultăţile în etape pe cât se poate de reduse ca în acele programe în care conţinuturile matematice sunt decupate în tranşe fine, constituind tot atâtea obiective şi subobiective pe care elevul trebuie să le atingă.

Există multe semne de întrebare privitoare la această misiune a cunoştinţelor şi abilităţilor complexe ca sumă de cunoştinţe elementare sau juxtapunerea de abilităţi mai simple. De asemenea, este pusă sub semnul întrebării eficacitatea reală a unui învăţământ care se bazează pe transmiterea de cunoştinţe, care se vor acumula precum un lichid într-o sticlă, la un individ, receptor pasiv, hrănit de o persoană mai activă decât el. Un învăţământ bazat pe condiţionare poate fi utilizat cu succes atunci când vizează antrenarea pentru utilizarea unui algoritm sau îşi propune să mărească viteza de execuţie a unor sarcini bine precizate, şi aceasta, chiar în cadrul unor sarcini complexe cum ar fi cele care conduc la rezolvarea unui tip dat de probleme.

În concluzie, din ce în ce mai mulţi cercetători îşi dau seama că un astfel de învăţământ centrat pe stimuli-răspuns-consolidare este adesea reducţionist: el permite dezvoltarea unor mecanisme, a unor deprinderi şi priceperi, dar acest învăţământ nu se sprijină decât prea rar pe înţelegere, care dezvoltă persoana care învaţă. Oare această persoană va putea, în aceste condiţii, să se înarmeze cu un sistem de referinţă şi să-şi dezvolte un spirit inventiv suficient pentru a înfrunta apoi situaţii noi şi/sau neprevăzute? Suntem departe de a nega importanţa priceperilor şi deprinderilor, dar trebuie să admitem că o cunoştinţă nu se limitează la anumite abilităţi, că în spatele tuturor manifestărilor de abilitate există cu siguranţă ceva care o susţine.

A preda înseamnă, atunci, mai mult decât a enunţa adevăruri, a-l pune pe elev să le repete şi a-l supune pe acesta unor exerciţii de aplicare repetitivă până când va reuşi să le rezolve corect şi repede. Dacă dorim să depăşim abilităţile şi să ajungem la o înţelegere a conceptelor şi noţiunilor care să nu fie superficială, trebuie să recunoaştem că pentru copilul care învaţă, matematica este de construit, în acelaşi fel ca pentru un matematician care o inventează sau o descoperă. Şi se pare că la aceasta se referă viziunea constructivistă asupra învăţării.

Teoriile constructiviste

Sunt considerate ca fiind constructiviste acele teorii care afirmă că individul care învaţă construieşte el însuşi cunoştinţele. La originea acestui curent de gândire se găsesc lucrările lui Piaget şi ale multiplilor săi colaboratori de la Şcoala din Geneva, lucrări care au fost reluate, criticate, prelungite, aproape peste tot în lume.

Dacă, în perspectiva constructivistă, subiectul este cel care, printr-un act intern, construieşte propriile sale cunoştinţe, aceasta nu înseamnă că o face în afara oricărui obiect, a oricărui mediu înconjurător. Dimpotrivă, această construcţie nu este posibilă decât dacă există o interacţiune între subiect şi obiectul cunoaşterii. Prin obiect, trebuie să precizăm, nu se înţelege numai obiectul concret, pe care îl putem atinge fizic, ci de asemenea un obiect abstract, o noţiune care poate fi „manipulată” mental. În actul său de cunoaştere, persoana atribuie o anumită semnificaţie unui obiect care îi corespunde într-o manieră mai mult sau mai puţin satisfăcătoare, în funcţie de felul în care el corespunde sau nu schemelor interne proprii acelei persoane care şi-l însuşeşte.

Introducerea unui nou obiect în câmpul de cunoaştere al unui subiect îi provoacă acestuia fie un fenomen de asimilare a acestui obiect alături de cele deja cunoscute, fie un fenomen de acomodare a schemelor subiectului cu scopul de a face posibilă interiorizarea

13

obiectului. Inteligenţa se construieşte în măsura în care cunoştinţele noi nu reprezintă numai un element suplimentar care vine să se juxtapună peste achiziţiile anterioare, ci o ocazie de reorganizare, de restructurare a acestor achiziţii, într-o formă nouă care să poată îngloba noul element şi să rămână coerentă. Este prezenţa unui conflict între obiectul însuşit şi schemele utilizate pentru această însuşire care forţează adaptarea, restructurarea cunoştinţelor dar şi conştientizarea acestei prezenţe; această conştientizare îi poate aparţine persoanei care îşi construieşte o experienţă tatonând, dar poate fi de asemenea pusă în evidenţă, sau accelerată, de un factor extern, de exemplu prin confruntarea punctelor de vedere în cadrul unui grup.

În perspectiva constructivistă, deci, profesorul nu mai este un simplu transmiţător de cunoştinţe, element declanşator şi motor al învăţării cum este perceput la behaviorişti. Acţiunea sa este mult mai discretă, chiar dacă ea rămâne esenţială. Rolul său este în primul rând să proiecteze o apropiere largă, care urmează legile dezvoltării genetice. El poate introduce în mediul elevilor elemente susceptibile de a provoca dezechilibre cognitive şi să favorizeze luarea la cunoştinţă a faptului că acel obiect nou nu se înscrie în schemele deja elaborate şi că solicită deci o modificare a acestor scheme. În plan practic, dacă ne gândim la matematică, profesorul poate propune sub forma unei probleme care suscită un anumit interes anumite date care să conducă spre o anumită noţiune matematică. Dar nu este el cel care construieşte calea. El este acolo pentru a susţine eforturile personale ale elevilor prin remarci sau întrebări, pentru a relansa activitatea, eventual, prin intervenţii judicioase, atunci când reflexia se înfundă pe căi mai puţin fructuoase, dar făcând dovadă de tot respectul şi de toată răbdarea necesare, astfel ca elevii să aibă ocazia să exploreze liber pistele care li se deschid în imaginaţie. Ceea ce nu împiedică profesorul să atragă atenţia asupra unui fenomen particular, să-şi ajute elevii să-şi analizeze acţiunile şi reflexiile; sau să-şi elaboreze sintezele. Într-un cuvânt, profesorul nu este un simplu catalizator care facilitează o reacţie fără a lua parte activă la ea, dar activitatea sa nu înlocuieşte activitatea elevului, servind mai degrabă la a o susţine şi, la nevoie, la a o orienta. Rolul său este de a-l plasa pe elev în condiţiile cele mai favorabile pentru ca acesta să-şi poată asuma propria formare.

Nu se poate postula existenţa unei căi optime, valabile pentru ansamblul tuturor subiecţilor care învaţă. Chiar dacă recunoaşte existenţa stadiilor de dezvoltare care sunt în mare măsură aceleaşi pentru mulţimea indivizilor sau dacă acceptă să descrie elaborarea înţelegerii conceptelor şi noţiunilor în modele care, fixează etapele, constructivismul admite existenţa diferenţelor importante între persoane, diferenţe care se manifestă între altele în planul învăţării. Astfel, într-o anumită şcoală, în clasele de acelaşi nivel, elevii nu au toţi exact aceeaşi vârstă, nu au atins acelaşi grad de maturitate; provin din medii, uneori, foarte diverse şi au trăit experienţe de viaţă unice. Profesorul care respectă individualitatea şi conştient de importanţa efortului lor personale, va trebui să adapteze intervenţiile sale ţinând cont de aceşti factori: el nu va putea recurge în nici un caz la o pedagogie „standardizată” ca cea sugerată de behaviorişti, modul său de acţiune trebuind, dimpotrivă, să fie cât se poate de diferenţiat. Fără a merge până la o pedagogie individualizată, pedagogia de inspiraţie constructivistă recunoaşte că nu toţi pleacă din acelaşi punct şi acceptă, în măsura în care constrângerile mediului şcolar o permit, că nu toţi vor atinge exact acelaşi scop şi că fiecare persoană alege o cale care, prin intermediul activităţilor din clasă, rămâne a sa, proprie. În concluzie, o pedagogie care, mai puţin uniformizată şi uniformizantă decât cea de tip behaviorist, se dovedeşte adesea mai exigentă şi insecurizantă pentru profesor pentru că aici nu se poate prevedea şi organiza totul.

Manipularea are de asemenea un rol important în viziunea constructivistă, dar acest rol este foarte diferit de cel care îi era acordat la behaviorişti. Fie că este vorba de a se juca fizic cu obiecte concrete sau de a „jongla” cu noţiuni abstracte, această manipulare serveşte ca suport pentru interiorizarea acţiunii: intervin aici elemente ca anticiparea rezultatului acţiunii

14

şi de verificare a ipotezii avansate. Repetiţia nu prezintă decât un interes minor, putând conduce, prin antrenament, la dezvoltarea unei abilităţi mai mari care se traduce prin executarea mai rapidă a gesturilor adecvate unei situaţii, dar contribuţia sa la dezvoltarea gândirii rămâne indirectă.

Eroarea este un alt element considerat diferit de adepţii celor două misiuni. Pentru behaviorişti, o eroare este un răspuns greşit care trebuie corectat şi adus la o formă conformă cu o normă ceea ce elevul se va forţa să facă cu ajutorul unor diverse consolidări şi prin repetarea exerciţiilor potrivite. Eroarea apare deci ca o anomalie asupra căreia elevul nu se opreşte decât pentru a provoca dispariţia sa sau înlocuirea cu un răspuns mai acceptabil. Constructivistul, din punctul său de vedere, acceptă eroarea ca pe o etapă, poate nu neapărat obligatorie, dar nici anormală, a demersului subiectului de însuşire a cunoştinţelor. Eroarea, din punctul său de vedere, nu este niciodată gratuită, dar poate pune în evidenţă anumite conflicte conceptuale la cel care învaţă: ea nu este decât rareori fructul hazardului, ci cel mai adesea produsul logic şi coerent al schemelor individului, scheme care nu sunt încă complet adaptate la noua situaţie sau la un obiect al cunoaşterii care solicită restructurarea lor. Astfel, constructivistul recunoaşte în această eroare nu numai ceva ce trebuie să dispară şi care trebuie uitat ci o sursă preţioasă de informare asupra procesului de gândire al subiectului care învaţă, sursă de informare de care poate profita pentru a înţelege mai bine aceste procese şi, global, demersul de cunoaştere. Şi astfel el recunoaşte în acelaşi timp că cel care învaţă poate progresa prin comiterea unor erori, pentru că ele reprezintă tocmai ocaziile care îi permit să ia cunoştinţă de conflictele care există în modul să de însuşire a obiectului: astfel îi este posibil să le depăşească mai uşor integrând contradicţiile aparente într-un ansamblu de scheme mai largi şi mai generale decât cele de care dispunea la plecare, integrare care constituie esenţa însăşi a actului cunoaşterii.

Constatăm că există numeroase şi profunde divergenţe între aceste teorii behavioriste şi constructiviste: divergenţe fundamentale care pot fi explicate într-o mare măsură prin viziunea, perspectiva, pe care o au adepţii uneia sau alteia dintre doctrine asupra învăţării.

Pe de o parte, behavioriştii se declară convinşi de impenetrabilitatea intelectului, de inaccesibilitatea procesului de gândire, pentru a putea să pătrundă misterele a ceea ce ei califică drept „cutie neagră”. Astfel, ei se limitează la a nu considera decât relaţiile directe între stimulii care ating un individ şi răspunsurile acestuia, neglijând ceea ce ar putea exista ca intermediar între ele. Gândirea individului este astfel evacuată în profilul singurelor manifestări exterioare ale comportamentului său. Nu trebuie să fim surprinşi, în aceste condiţii, de rolul pasiv pe care îl are subiectul în actul cunoaşterii, în timp ce se atribuie roluri mult mai active unor diverse elemente – profesor, obiecte… care înconjură acest subiect. Putem astfel înţelege rolul desemnat manipulării sau locul foarte limitat al erorii într-un demers care vizează înainte de toate dezvoltarea abilităţilor, a deprinderilor şi în care este cvasi imposibil să se ţină seama de înţelegerea pe care o are subiectul asupra conceptelor şi noţiunilor abordate, de semnificaţia pe care acestea o au în ochii săi.

Constructiviştii, de partea lor, consideră în primul rând învăţarea din interior: ei propun o descriere a actului cunoaşterii ca fiind un proces în care individul se adaptează activ la obiectul cunoaşterii. Cunoaşterea se rezultă din propria sa acţiune: el trebuie să reconstruiască interior obiectul sprijinindu-se pe o anume continuitate, achiziţiile anterioare nefiind îndepărtate sau ţinute la distanţă de proces ci trebuind să fie restructurate într-o manieră în care să facă loc noului obiect. Accentul este pus aici nu pe răspunsurile / produs al învăţării ci pe procesul însuşi, care asigură progresul cunoaşterii. De unde această recunoaştere a activităţii subiectului, recunoaştere a importanţei semnificaţiei pe care acest subiect o poate atribui obiectelor, conceptelor şi noţiunilor, a importanţei înţelegerii pe care el şi-o construieşte. De unde rolul diferit al manipulării, locul noi acordat erorii şi, dacă ne gândimla

15

contextul şcolar, la viziunea nouă asupra rolului profesorului care devine mai puţin un prezentator al noţiunilor cât un animator care sprijină copii în demersul lor de redescoperire sau de reinventare.

Conform acestei concepţii, matematica este un dialog între indivizi ce au probleme matematice. Conceptele şi dovezile dezvoltate pentru rezolvarea unor astfel de probleme, nu sunt niciodată considerate ca definitive sau perfecte. Se poate lucra din nou la ele atunci când se schimbă standardele sau când se prezintă noi provocări sau probleme. Cunoştinţele matematice, contrar celor sugerate de cele două poziţii precedente, sunt failibile şi corigibile. Sunt construcţii sociale, cu reguli şi convenţii, în care procesele sociale interpersonale de dialog şi critică joacă un rol fundamental.

Dacă matematica este o construcţie socială, învăţarea acestei materii se va face de asemenea prin construcţia de cunoştinţe. Această concepţie socio-constructivistă a învăţării îşi are fundamentele în cercetările de psihologie genetică, psihologie socială şi didactică. Mai multe repere constituie baza acestei concepţii.

Primul reper al acestei abordări este recunoaşterea rolului activ jucat de elev. Acest principiu este fundamental la Piaget, pentru care „acţionând se învaţă”. Această recunoaştere a rolului activ al elevului este în opoziţie completă cu modelul transmiterii de cunoştinţe în care elevul primeşte informaţia de la învăţătoare sau învăţător. Elevul, care ia parte activă la învăţarea sa, decodifică şi analizează o situaţie pornind de la reprezentări, concepţii şi modele, pe care le-a dezvoltat în prealabil.

Noţiunea de reprezentare sau de concepţie, care constituie al doilea reper al acestei abordări, a fost introdusă de Gaston Bachelard, filosof francez, care denunţa astfel ideea „capului vid”, avansată de susţinătorii modelului transmiterii de cunoştinţe şi a abordării comportamentale. Reprezentările dezvoltate de elev sunt formate din imagini mentale, tehnici de rezolvare, proceduri şi algoritmi provenind în parte din învăţările anterioare. Greşelile şi procesele care conduc aici constituie indici interesanţi ale acestor reprezentări. În acest sens Bachelard afirma: „Greşeală, tu nu eşti un rău.”. Într-adevăr, dacă învăţarea este bazată pe cunoştinţe anterioare se poate ca o astfel de concepţie să fie insuficientă sau inadecvată într-un context dat. Bachelard zicea de altfel: „Cunoaştem datorită unei cunoştinţe anterioare.”

Al treilea reper, împrumutat de la Piaget, afirmă că cunoaşterea trece de la o stare de echilibru la alta prin intermediul unor faze tranzitorii, de-a lungul cărora cunoştinţele anterioare sunt repuse în chestiune, ceea ce provoacă o stare de dezechilibru. Pentru a surmonta acest dezechilibru, trebuie să procedăm la o reorganizare a cunoştinţelor pentru a le integra în cunoştinţele anterioare. Învăţarea nu este atunci datorată unei simple memorizări, unei juxtapuneri de cunoştinţe sau unei condiţionări.

Al patrulea reper dispune de mijloace de punere în practică pentru a asigura trecerea de la o stare de echilibru la alta, făcând ca elevul să treacă printr-o fază de dezechilibru, cu scopul de a-i uşura învăţarea. Vom putea, de exemplu, să îi prezentăm probleme care îl vor aşeza în faţa unui conflict. Pentru a face acest lucru vom alege probleme pentru care cunoştinţele sale sunt insuficiente sau vom recurge la un conflict cognitiv, prezentându-i probleme ale căror soluţii intră în contradicţie cu anticiparea rezultatului de către acesta, bazată pe concepţiile sale. Situaţiile care favorizează un asemenea conflict sunt numite situaţii-problemă.

Ultimul reper este legat de socio-constructivism, adică de recunoaşterea importanţei interacţiunilor sociale în clasă. Acest tip de interacţiuni poate fi utilizat la munca în echipă sau când se lucrează cu toată clasa. Astfel, elevul este pus să-şi modifice modalitatea de lucru în funcţie de a altuia în realizarea sarcinii, dar şi să-şi explice maniera de a proceda sau strategia ceea ce îl face să precizeze modul de a gândi. Confruntat cu diverse modalităţi de lucru, el îşi restructurează în mod progresiv gândirea şi îşi rafinează metodele de muncă.

16

Concepţia socio-constructivistă a învăţării se bazează deci pe rolul activ al elevului, care îşi construieşte cunoştinţele plecând de la reprezentările, concepţiile şi cunoştinţele sale anterioare. Chestiunea care intervine atunci pentru învăţătoare sau învăţător este de a şti cum să aducă elevul să treacă de la concepţie iniţială la o concepţie nouă ce vizează o noţiune dată.

Obiectivele matematice surprind succesiunea treptelor de învăţare în domeniul cognitiv, iar organizarea învăţării matematicii trebuie să se realizeze ţinând cont de implicaţiile pe care Piaget le atribuie dezvoltării stadiale:

• ordinea achiziţiilor matematice să fie constantă – achiziţia conceptului de număr este ulterioară achiziţiei mulţimii, iar în succesiunea temelor ce pregătesc numărul există o ordine logică (grupare, clasificare, ordonare, seriere, punere în perechi, conservare, număr);

• fiecare stadiu se caracterizează printr-o structură – cunoaşterea condiţiilor specifice fiecărui nivel intermediar ce influenţează dezvoltarea joacă un rol important în metodologia obiectului;

• caracterul integrator al structurilor – structurile specifice unui substadiu devin parte integrantă în structurile vârstei următoare şi determină implicaţii matematice în achiziţia conceptului. Achiziţiile matematice dintr-un anumit stadiu sunt preluate şi valorificate în condiţii noi la nivelul următor; de exemplu, achiziţia conceptului de conservare a masei trebuie valorificată la conservarea numerică pentru a fi înţeleasă descompunerea numărului.

Z. P. Diènes valorifică implicaţiile matematice ale teoriei lui Piaget în elaborarea unui sistem de învăţare a conceptelor matematice cu accent pe învăţarea prin acţiune şi experienţă proprie a copilului şi folosirea materialelor structurate (piese logice, riglete). În acest sistem, structurile matematice sunt dobândite sub forma acţiunii, imaginii sau simbolului, materialele structurate constituind mijloace de construcţie prin acţiune a structurilor. Valoarea materialului structurat creşte în măsura în care el reuşeşte să evidenţieze atributele esenţiale ale noţiunii iar jocul capătă o poziţie privilegiată, în sensul că, prin joc şi îndeosebi prin jocul logic, se înlesneşte dobândirea noţiunii de mulţime, relaţie şi a elementelor de logică.

Z. P. Diènes identifică trei stadii în formarea conceptelor matematice la vârsta preşcolară, cărora le sunt specifice diferite tipuri de jocuri:

Stadiul preliminar – în care copilul manipulează şi cunoaşte obiecte, culori, forme, în cadrul unor jocuri organizate fără un scop aparent.

Stadiul jocului dirijat – jocuri structurate organizate în scopul evidenţierii constantelor şi variabilelor mulţimii.

Stadiul de fixare şi aplicare a conceptelor – ce asigură asimilarea şi explicitarea conceptelor matematice în aşa-numitele jocuri „practice” şi „analitice”.

Z. P. Diènes formulează patru principii de bază de care trebuie să se ţină cont în conceperea oricărui model de instruire centrat pe formarea unui concept matematic:

Principiul constructivităţii orientează învăţarea conceptelor într-o succesiune logică, de la nestructurat la structurat. Astfel, este indicat să se treacă de la jocul manipulativ (nestructurat) la jocul de construcţii (structurat), în scopul clasificării noţiunilor.

Principiul dinamic este reflectat în drumul parcurs de copil în instruire prin activităţi ludice. Astfel, învăţarea progresează de la un stadiu nestructurat „de joc” la un stadiu mai structurat „de construcţie”, în care se asigură înţelegerea unui fapt matematic şi care apoi se integrează într-o structură matematică.

Principiul variabilităţii matematice asigură formarea gândirii matematice ce are la bază procesele de abstractizare şi generalizare. Se impune, deci, ca familiarizarea cu noţiunile matematice să se facă în situaţii matematice variate prin experienţe.

Principiul variabilităţii perceptuale exprimă faptul că formarea unei structuri matema-tice se realizează sub forme perceptuale variate. Respectarea acestui principiu conduce la apariţia operaţiei de abstractizare, ce va sprijini formarea gândirii matematice.

17

Integrarea în practica educaţională a acestor principii conduce la dobândirea unor reprezentări matematice. Conceptele sunt prezente sub forma concretizărilor pe materiale structurate în scopul transferului aceleiaşi structuri matematice prin acţiune dirijată, imagine, simbol verbal sau nonverbal.

Aceasta se justifică prin faptul că diversele însuşiri ale obiectului nu apar în aceleaşi condiţii în percepţie şi în reprezentare. Astfel, cercetările au dovedit că în reprezentările preşcolarilor, au prioritate însuşirile funcţionale, componente prin care se acţionează, chiar dacă acestea nu sunt dominante. Reprezentarea se formează deci ca o construcţie ce apare în condiţii speciale. Jean Piaget consideră că reprezentarea rezultă din imitaţia conduitei umane, exerciţiile de imitare organizate vor sprijini reproducerea prin imagine a obiectului dacă sunt integrate într-un context operaţional perceptiv, reprezentativ pentru copil. Astfel, funcţia de simbolizare pe care o îndeplineşte reprezentarea este determinată de contextul activităţii.

Perioada preşcolară este caracterizată printr-o învăţare ce face apel la experienţa copilului, iar literatura de specialitate demonstrează că accelerarea dezvoltării psihice a preşcolarului se poate obţine prin introducerea de orientări intuitive şi verbale adecvate.

Orientarea verbală în perioada preşcolară şi şcolară este superioară celei intuitive, dar cuvântul devine eficient numai asociat cu intuitivul (reprezentările). În formarea gândirii, orientarea verbală are un rol activizator, iar în activităţile matematice este utilă valorificarea posibilităţilor sale funcţionale; cuvintele pot îndeplini funcţii de planificare în acţiune numai dacă semnificaţia lor reflectă o anumită experienţă legată de obiectele cu care acţionează.

Astfel, cercetările efectuate de psihologi relevă faptul că preşcolarii înţeleg raporturile spaţiale indicate prin cuvintele „sub” şi „deasupra” şi acţionează corect numai dacă aceste cuvinte se referă la raporturi obişnuite, normale, dintre lucruri şi acţiuni cunoscute: sarcina „pune acoperişul deasupra casei” are sens pentru copil. În caz contrar, dacă sarcina cere să „aşeze acoperişul sub casă”, copiii greşesc, sunt dezorientaţi şi ignoră sensul cuvântului pentru că raporturile spaţiale cerute ies din normal.

La copilul de 3-4 ani, experienţa ce constituie suportul semantic al cuvintelor este de ordin senzorio-motor şi perceptiv. Copilul afirmă, dar nu explică; gândirea ce însoţeşte limbajul nu este de fapt gândire logică, ci inteligenţă intuitiv-acţională, întrucât gândirea preşcolarului nu operează cu concepte abstracte (este prelogică). J. Piaget afirmă că logica gândirii infantile este intuiţia. Restructurarea acestei forme de gândire se produce prin interiorizarea acţiunilor. Există deci o legătură şi o interacţiune directă între planul concret acţional şi cel verbal. Aceste planuri se află în strânsă corelaţie şi se îmbogăţesc reciproc.

La vârsta de 5-6 ani acţiunile verbale nu mai sunt subordonate situaţiilor sincretice, ci se supun „logicii obiectelor”, în măsura în care sunt dirijate de reguli.

Vîgotski introduce în procesul învăţării cuvântul şi limbajul ca instrumente de instruire în completarea percepţiei şi observaţiei prin acţiuni. Formarea noţiunii matematice necesită relevarea, compararea şi reunirea mai multor caracteristici precum: numărul obiectelor într-o mulţime, relaţiile cantitative între mulţimi pentru a determina procesele activităţii perceptive obiectuale şi a celei mentale, necesare pentru formarea noţiunilor corespunzătoare.

Deci, pentru a-şi forma reprezentări conceptuale corecte, copilul trebuie să-şi însuşească procedee de activitate mentală cu ajutorul cărora se realizează sinteza caracteristicilor unei anumite clase de obiecte, căci operaţiile mentale corespunzătoare şi structurile cognitive (reprezentările şi conceptele) rezultă din acţiunile practice, se fixează în cuvinte şi în operaţiile cu cuvinte şi sunt orientate prin scopul şi condiţiile activităţii practice.5

5 Galperin, P. I: Psihologia gîndirii şi teoria formării în etape a acţiunilor mentale, în Studii asupra gândirii în psihologia sovietică (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1970

18

CAPITOLUL 2 Curriculum naţional la disciplina matematică pentru învăţământul primar

2.1 Finalităţile învăţării matematicii pe cicluri de învăţământ şi cicluri curriculare6

Ciclurile curriculare reprezintă periodizări ale şcolarităţii care grupează mai mulţi ani de

studiu, care aparţin uneori de niveluri şcolare diferite şi au în comun obiective specifice. Aceste periodizări ale şcolarităţii se suprapun peste structura formală a sistemului de învăţământ, cu scopul de a focaliza obiectivul major al fiecărei etape şcolare şi de a regla procesul de învăţământ prin intervenţii de natură curriculară.

Introducerea ciclurilor curriculare se exprimă la nivel de: • obiective care particularizează finalităţile grădiniţei, ale învăţământului primar şi ale

învăţământului secundar; • metodologie didactică specifică. Introducerea ciclurilor curriculare devine operativă prin: • modificări în planurile de învăţământ, privind: - gruparea obiectelor de studiu; - momentul introducerii în planurile-cadru a unor anumite discipline; - ponderea disciplinelor în economia planurilor; • modificări conceptuale la nivelul programelor şi al manualelor şcolare; • modificări de strategie didactică (condiţionate de regândirea formării iniţiale şi

continue a învăţătorilor şi a profesorilor). Ciclurile curriculare ale învăţământului primar şi gimnazial sunt prezentate în schema

de mai jos:

Fiecare ciclu curricular oferă un set coerent de obiective de învăţare care consemnează

ceea ce ar trebui să atingă elevii la capătul unei anumite etape a parcursului lor şcolar. Prin aceste obiective ciclurile curriculare conferă diferitelor etape ale şcolarităţii o serie de dominante care se reflectă la programelor şcolare.

Introducerea ciclurilor curriculare vizează următoarele efecte: - crearea continuităţii la trecerea de la o treaptă de şcolaritate la alta (grădiniţă-

învăţământ primar, primar-gimnaziu, gimnaziu-liceu) prin: - transferul de metode - stabilirea de conexiuni explicite la nivelul curriculum-ului; - crearea premiselor necesare pentru extinderea şcolarităţii către vârstele de 6 şi 15 ani şi

construirea unei structuri a sistemului de învăţământ mai bine corelate cu vârsta psihologică. Întrucât activitatea la clasă ar trebui orientată către atingerea obiectivelor ciclurilor

curriculare, le reamintim în cele ce urmează:

6 După MEC şi CNC: Ghid practic metodologic pentru aplicarea programelor de Matematică primar-gimnaziu, Ed. Aramis, Bucureşti 2001

Vârsta 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Clasa I II III IV V VI VII VIII IX Ciclul Curricular Achiziţii

fundamentale Dezvoltare Observare şi

orientare

19

Ciclul achiziţiilor fundamentale (clasele I - a III-a) are ca obiective majore acomodarea la cerinţele sistemului şcolar şi alfabetizarea iniţială. Acest ciclu curricular vizează:

• asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenţionale (scris, citit, calcul aritmetic);

• stimularea copilului în vederea perceperii, cunoaşterii şi stăpânirii mediului apropiat; • stimularea potenţialului creativ al copilului, a intuiţiei şi a imaginaţiei acestuia; • formarea motivării pentru învăţare, înţeleasă ca o activitate socială. Ciclul de dezvoltare (clasele a IV-a - a VII-a) are ca obiectiv major formarea

capacităţilor de bază necesare pentru continuarea studiilor. Ciclul de dezvoltare vizează: • dezvoltarea achiziţiilor lingvistice şi încurajarea folosirii limbii române, a limbii

materne şi a limbilor străine pentru exprimarea în situaţii variate de comunicare; • dezvoltarea unei gândiri structurate şi a competenţei de a aplica în practică

rezolvarea de probleme; • familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoaşterii; • constituirea unui set de valori consonante cu o societate democratică şi pluralistă; • încurajarea talentului, a experienţei şi a expresiei în diferite forme de artă; • formarea responsabilităţii pentru propria dezvoltare şi sănătate; • formarea unei atitudini responsabile faţă de mediu. Ciclul de observare şi orientare (clasele a VIII-a - a IX-a) are ca obiectiv major

orientarea în vederea optimizării opţiunii şcolare şi profesionale ulterioare. Planul-cadru reprezintă documentul reglator esenţial care jalonează resursele de timp ale

procesului de predare-învăţare.

2.2 Structura programei şcolare Programa şcolară descrie oferta educaţională a unei anumite discipline pentru un

parcurs şcolar determinat. Structura programei şcolare este următoarea: o notă de prezentare, obiective-cadru,

obiective de referinţă, exemple de activităţi de învăţare, conţinuturi ale învăţării şi standarde curriculare de performanţă.

Nota de prezentare descrie parcursul obiectului de studiu respectiv, argumentează, structura didactică adoptată, sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative de către autorii programei.

Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate şi complexitate. Ele se referă la formarea unor capacităţi şi atitudini specifice disciplinei şi sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu.

Obiectivele de referinţă specifică rezultatele aşteptate ale învăţării şi urmăresc progresia în achiziţia de competenţe şi de cunoştinţe de la un an de studiu la altul.

Acest mod de a concepe obiectivele conţinute în programă are următoarele avantaje: - oferă o imagine sintetică asupra domeniului de cunoaştere modelat prin intermediul

didacticii obiectului de învăţământ avut în vedere; - asigură evidenţierea unei dezvoltări progresive în achiziţia de competenţe şi capacităţi

de la un de studiu la altul; - reprezintă un instrument conceptual care, utilizat corect la nivelul evaluării, oferă o

hartă clară a evoluţiei capacităţilor copilului şi posibilitatea stimulării formative a acelor competenţe insuficient formate şi dezvoltate în cazul fiecărui elev în parte.

- creează premisele pentru centrarea actului didactic pe aspectele formative ale predării-învăţării şi nu pe transmiterea de informaţii.

20

Exemplele de activităţi de învăţare propun modalităţi de organizare a activităţii în clasă. Pentru realizarea obiectivelor propuse pot fi organizate diferite tipuri de activităţi de

învăţare. Programa oferă cel puţin un exemplu de astfel de activităţi pentru fiecare obiectiv de referinţă în parte. Exemplele de activităţi de învăţare sunt construite astfel încât să pornească de la experienţa concretă a elevului şi să se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de învăţare.

Conţinuturile sunt mijloace prin care se urmăreşte atingerea obiectivelor cadru şi de referinţă propuse. Unităţile de conţinut sunt organizate fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor obiecte de studiu.

Standardele curriculare de performanţă sunt standarde naţionale, absolut necesare în condiţiile introducerii unei oferte educaţionale diversificate, concretizate în existenţa unor planuri-cadru de învăţământ, a unor noi programe şcolare şi a manualelor alternative. Ele reprezintă, pentru toţi elevii, un sistem de referinţă comun şi echivalent, vizând sfârşitul unei trepte de şcolaritate.

Standardele curriculare de performanţă sunt criterii de evaluare a calităţii procesului de învăţare. În termeni concreţi, standardele constituie specificări de performanţă vizând cunoştinţele, competenţele şi comportamentele stabilite prin curriculum. Standardele permit evidenţierea progresului realizat de elevi la de la o treaptă de şcolaritate la alta. Ele sunt exprimate simplu, sintetic şi inteligibil pentru toţi agenţii educaţionali şi reprezintă baza de plecare pentru elaborarea descriptorilor de performanţă, respectiv a criteriilor de notare.

Standardele sunt centrate pe elev şi relevante din punctul de vedere al motivării acestuia pentru învăţare, fiind orientate spre profilul de formare al elevu-lui la finalizarea parcursului şcolar şi la intrarea în viaţa socială. Ele ar trebui să motiveze elevul pentru învăţarea continuă şi să conducă la structurarea capacităţilor proprii învăţării active.

2.3 Tipuri de curriculum la matematică

Curriculum nucleu reprezintă programa şcolară obligatorie a unei anumite discipline

pentru populaţia şcolară dint-un an de studiu. • Aprofundarea reprezintă acea formă de CDŞ (curriculum la decizia şcolii) care primeşte alocare de timp din plaja orară şi care reprezintă parcurgerea programei şcolare în mai multe ore decât cele prevăzute prin planul cadru. Cf. Ordinului ministrului nr. 3638/ 11 aprilie 2001, aprofundarea se aplică numai în cazuri de recuperare pentru acei elevi care nu reuşesc să atingă standardele minimale prevăzute de programă în anii anteriori. • Extinderea reprezintă acea formă de CDŞ care primeşte alocare de timp din plaja orară şi care presupune parcurgerea programei în întregime (inclusiv elementele marcate cu asterisc). • Opţionale: 1. Opţionalul la nivelul disciplinei constă fie din activităţi, module, proiecte care nu sunt incluse în programa şcolară avansată de autoritatea centrală, fie dintr-o disciplină care nu este prevăzută în planul-cadru deloc sau pentru o anume clasă/ ciclu curricular (un exemplu de acest gen îl constituie limba modernă în clasa. I). 2. Opţionalul la nivelul ariei curriculare presupune alegerea unei teme care implică cel puţin două discipline dintr-o arie. In acest caz, pornind de la obiectivele-cadru ale disciplinelor, vor fi formulate obiective de referinţă din perspectiva temei pentru care s-a optat. 3. Opţionalul la nivelul mai multor arii curriculare implică cel puţin două discipline aparţinând unor arii curriculare diferite. Ca şi în cazul opţionalului integrat la nivel de arie informaţiile cu care elevii vor opera au un caracter complex şi, ca atare, permit dobândirea de achiziţii cognitive de ordin înalt (de tipul generalizării, transferului).

21

Elaborarea programei de opţional Pentru elaborarea programei de opţional propunem următoarea schemă de proiectare

care este în acord cu modelul programelor de trunchi comun.

Pentru Argument, se va redacta ½ - 1 pagină care motivează cursul propus: nevoi ale

elevilor, ale comunităţii locale, formarea unor competenţe de transfer etc. Obiectivele de referinţă (pentru un opţional de o oră pe săptămână se vor defini şi

urmări 5-6 obiective de referinţă - pe care elevii urmează să le atingă până la sfârşitul anului) – vor fi formulate după modelul celor din programa naţională (al materiilor de trunchi comun), dar nu vor fi reluări ale acestora. Dacă opţionalul ar repeta obiectivele de referinţă ale programei şcolare a disciplinei curriculum-ului nucleu, atunci opţionalul respectiv nu ar aduce nimic nou din punctul de vedere al formării şi dezvoltării unor capacităţi ale gândirii (ar aprofunda eventual, prin adăugarea unor conţinuturi, competenţele care se formează prin urmărirea obiectivelor din programa naţională).

Un obiectiv de referinţă este corect formulat dacă prin enunţul său se răspunde la întrebarea “ce poate să facă elevul?”. Dacă răspunsul la această întrebare nu este clar (ceea ce poate face elevul nu poate fi demonstrat şi evaluat) atunci obiectivul este prea general definit.

Lista de conţinuturi cuprinde informaţiile pe care opţionalul le propune ca bază de operare pentru formarea capacităţilor vizate de obiective. Altfel spus, sunt trecute în listă acele informaţii care vor fi vehiculate, introduse, combinate şi recombinate între ele şi cu altele învăţate anterior. Curriculum-ul la decizia şcolii în învăţământul obligatoriu

Tip de CDŞ Caracteristici ale programei Regim orar

Notare în catalog

Aprofundare Programa pentru trunchiul comun (curriculum nucleu) (In cazuri de recuperare – respectiv pentru elevi care nu au reuşit să dobândească achiziţiile minimale prevăzute prin programa anilor de studiu anteriori - este permisă parcurgerea curriculum-ului nucleu, prin depăşirea numărului de ore alocat trunchiului comun prin planul cadru)

Ore din plaja orară

Aceeaşi rubrică din catalog cu disciplina sursă

Extindere - Obiective de referinţă notate cu * - Conţinuturi notate cu * (se regăsesc în programa disciplinei de trunchi comun)

Ore din plaja orară

Aceeaşi rubrică din catalog cu disciplina sursă

Opţional la nivelul disciplinei

- Noi obiective de referinţă - Noi conţinuturi (noutatea este definită faţă de programa disciplinei de trunchi comun)

Ore de opţional

Rubrică nouă în catalog

Opţional integrat la nivelul ariei sau al întregului curriculum

- Noi obiective - complexe - Noi conţinuturi - complexe (noutatea este definită faţă de programele disciplinelor de trunchi comun implicate în integrare)

Ore de opţional

Rubrică nouă în catalog

Argument Obiective de referinţă Activităţi de învăţare 1 2 3 … Lista de conţinuturi Modalităţi de evaluare

22

CAPITOLUL 3

Relaţia între curriculum şi proiectarea didactică

3.1 Proiectarea didactică, demers educativ coerent de transpunere a paradigmei curriculare în activitatea didactică

Existenţa unor programe centrate pe achiziţiile elevilor determină un anumit sens al schimbării în didactica fiecărei discipline. Tabelul următor7 prezintă în antiteză caracteristici ale procesului de predare-învăţare din didactica tradiţională şi didactica actuală. Aceste caracteristici sunt exprimate la un nivel teoretic general; ele evidenţiază anumite accente şi nu definesc activitatea concretă la clasă a învăţătorilor, care în mod obişnuit combină trăsături din ambele tipuri de didactică.

Criterii Strategii didactice centrate pe predare

Strategii didactice centrate pe învăţare

Urmăreşte prelegerea, expunerea, explicaţia învăţătorului/ profesorului

Exprimă puncte de vedere proprii

Încearcă să reţină şi să reproducă ideile auzite

Realizează un schimb de idei cu ceilalţi

Acceptă în mod pasiv ideile transmise

Argumentează; pune şi îşi pune întrebări cu scopul de a înţelege, de a realiza sensul unor idei

Rolul elevului

Lucrează izolat Cooperează în rezolvarea problemelor şi a sarcinilor de lucru

Expune, ţine prelegeri Facilitează şi moderează învăţarea Impune puncte de vedere Ajută elevii să înţeleagă şi să

explice punctele de vedere proprii

Rolul profesorului

Se consideră şi se manifestă în permanenţă “ca un părinte”

Este partener în învăţare

Predominant prin memorare şi reproducere de cunoştinţe, prin apel doar la exemple “clasice”, validate

Predominant prin formare de competenţe şi deprinderi practice

Modul de realizare a învăţării

Competiţie între elevi, cu scopul de ierarhizare

Învăţare prin cooperare

Măsurarea şi aprecierea cunoştinţelor (ce ştie elevul)

Măsurarea şi aprecierea competenţelor (ce poate să facă elevul cu ceea ce ştie)

Accent pe aspectul cantitativ (cât de multă informaţie deţine elevul)

Accent pe elementele de ordin calitativ (valori, atitudini)

Evaluare

Vizează clasificarea “statică” a elevilor

Vizează progresul în învăţare la fiecare elev

Elementul central în realizarea proiectării didactice este programa şcolară. Ea reprezintă

un document reglator în sensul că stabileşte obiective, adică ţintele ce urmează a fi atinse, prin

7 După MEC, CNC, Matematică Ghid metodologic primar - gimnaziu, Ed. Aramis, Bucureşti, 2002

23

intermediul actului didactic. Programa şcolară nu este tabla de materii a manualului şi nici un element de îngrădire pentru educatoare/învăţător. Proiectarea demersului didactic presupune: - lectura programei - planificarea calendaristică - proiectarea secvenţială (a unităţilor de învăţare sau a lecţiilor). Programa se citeşte “pe orizontală”, în succesiunea de mai jos: Fiecărui obiectiv cadru îi sunt asociate obiective de referinţă. Atingerea obiectivelor de referinţă se realizează cu ajutorul unităţilor de conţinut (care se regăsesc în ultima parte a programei). Învăţătorul va selecta din lista de conţinuturi acele unităţi de conţinut care mijlocesc atingerea obiectivelor. Învăţătorul poate opta pentru folosirea unora dintre activităţile recomandate prin programă sau poate construi activităţi proprii (exemplele din programă au caracter orientativ, de sugestii şi nu implică obligativitatea utilizării numai a acestora în activitatea didactică). In contextul noului curriculum, planificarea calendaristică este un document administrativ care asociază într-un mod personalizat elemente ale programei (obiective de referinţă şi conţinuturi) cu alocarea de timp considerată optimă de către învăţător pe parcursul unui semestru, respectiv an şcolar. În elaborarea planificărilor, recomandăm parcurgerea următoarelor etape: 1. Realizarea asocierilor dintre obiectivele de referinţă şi conţinuturi 2. Împărţirea pe unităţi de învăţare 3. Stabilirea succesiunii de parcurgere a unităţilor de învăţare 4. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare conţinut, în concordanţă cu obiectivele de referinţă vizate. Întregul cuprins al planificării are valoare orientativă, eventualele modificări determinate de aplicarea efectivă la clasă putând fi consemnate în rubrica „Observaţii”. Planificările pot fi întocmite pornind de la următoarea rubricaţie:

Unitatea de învăţare

Obiective de referinţă

Conţinuturi Număr de ore alocate

Săpt. Obs.

3.2 Conceptul de unitate de învăţare. Proiectarea unei unităţi de învăţare

O unitate de învăţare reprezintă o structură didactică deschisă şi flexibilă care are următoarele caracteristici:

• determină formarea unui comportament specific prin integrarea unor obiective de referinţă

• este unitară din punct de vedere tematic • se desfăşoară în mod continuu într-o perioadă de timp • se finalizează prin evaluare.

Realizarea unei unităţi de învăţare impune un demers didactic proiectat de fiecare învăţător. Alocarea timpului afectat unei unităţi de învăţare se face prin planificarea anuală. Metodologia de proiectare a unei unităţi de învăţare constă într-o succesiune de etape,

obiectiv cadru

obiective de referinţă

conţinuturi activităţi de învăţare

24

înlănţuite logic, în vederea atingerii obiectivelor de referinţă. Etapele proiectării sunt aceleaşi oricare ar fi unitatea de învăţare vizată.

Proiectarea unei unităţi de învăţare se recomandă a fi făcută ţinând seama de următoarele:

• centrarea demersului didactic pe obiective (nu pe conţinuturi); • implicarea în proiectare a următorilor factori: o obiective (de ce?): obiective de referinţă o conţinuturi (ce?) o activităţi (cum?): activităţi de învăţare o evaluare (cât?): descriptori de performanţă o resurse (cu ce?)

De ce voi

face? Ce voi

face? Cu ce voi

face? Cum voi

face? Cum voi şti dacă s-a

realizat ce trebuia?

Precizarea obiectivelor

Alegerea conţinuturilor

Analiza resurselor

Elaborarea strategiei

Evaluare

Considerăm că proiectarea unităţii de învăţare trebuie să pornească de la următoarea schemă de generare: Unitatea de învăţare ............................

Conţinuturi OR8 Activităţi de învăţare

Resurse Demers didactic Evaluare

Resursele cuprind: resurse materiale - manuale, texte auxiliare (culegeri, antologii, enciclopedii, tabele matematice, hărţi etc.); mijloace audio-video etc.; resurse procedurale (tipul de organizare a clasei, metode de lucru şi alocarea de timp). De asemenea, sunt considerate resurse: timpul, spaţiul în care se desfăşoară ora de curs, resursele umane (elevul cu personalitatea sa, învăţătorul cu experienţa sa, influenţele comunităţii etc.). Învăţătorul va alătura fiecărui obiectiv sau grup de obiective, acele resurse pe care le consideră necesare pentru conceperea strategiei şi realizarea demersului didactic.

Deşi denumirea şi alocarea de timp pentru unităţile de învăţare se stabileşte prin planificare, este recomandabil ca proiectele complete ale unităţilor de învăţare să se realizeze ritmic, pe parcursul unui an şcolar.

Facem observaţia că în condiţiile noului curriculum, lectura manualului nu mai este în mod obligatoriu liniară. Programa trebuie parcursă în mod necesar de către toţi, manualul însă se pliază unei citiri personale şi adaptate (vezi schema următoare).

8 Se va trece numărul OR (Obiectivelor de Referinţă) din programă

25

Considerăm că proiectarea planului de lecţie – conceput ca document separat – este o formalitate consumatoare de timp şi energie. Unitatea de învăţare conţine suficiente elemente pentru definirea unei ore de curs. Astfel, în tabelul care sintetizează proiectarea unităţii de învăţare, prin linii orizontale (punctate) se poate delimita spaţiul aferent unei ore de curs: ea cuprinde conţinutul lecţiei, obiectivele de referinţă la care se raportează, câteva activităţi de învăţare precum şi resursele necesare desfăşurării în bune condiţii a lecţiei. Uneori, în cuprinsul spaţiului delimitat pentru o oră apar şi specificaţii de evaluare. Rubrica de evaluare va cuprinde tipul de instrumente aplicate la clasă. Toate programele de matematică au prevăzute conţinuturi şi obiective de referinţă marcate cu “ * “ (asterisc) şi cu literă italică.

Planul cadru de învăţământ pentru clasele I-IV prevede pentru matematică următoarea alocare de timp:

Clasa I II III IV Matematică 3-4 3-4 3-4 3-4

Dacă s-a optat pentru alegerea a 3 ore de matematică, se va parcurge doar curriculum nucleu. În cazul în care s-a optat pentru alegerea a 4 ore de matematică, opţiune posibilă conform planului cadru de mai sus, învăţătorul poate parcurge doar curriculum nucleu (dacă opţiunea este pentru aprofundare) sau curriculum extins, care cuprinde şi conţinuturile/obiectivele marcate în programă cu asterisc , sau cu caractere italice (dacă opţiunea este pentru extindere).

Din practica şcolară se evidenţiază situaţii care solicită o anumită decizie educaţională. Evidenţiem câteva astfel de situaţii şi modalităţi de rezolvare: Conţinuturi care se parcurgeau în mod tradiţional într-un anumit an de studiu şi care sunt prevăzute în actuala programă, în mod explicit, la un alt an de studiu. Acest tip de situaţii poate genera încărcarea artificială a conţinuturilor.

Deplasările de conţinuturi “pe verticală în sus” au fost determinate de necesitatea de a acorda prioritate înţelegerii noţiunilor şi relaţiilor între acestea, faţă de operarea cu algoritmi aplicaţi acestor noţiuni. În esenţă, este mai importantă calitatea achiziţiilor elevului decât logica internă a obiectului şi tradiţia studierii unor conţinuturi în anumiţi ani de studiu. Conţinuturi noi introduse în programele şcolare

Unele conţinuturi, ca de exemplu: “estimări”, “organizarea datelor”, sunt elemente noi ale programelor, prin raportare la vechile programe. Aceste noţiuni apar mai întâi implicit, doar în formularea obiectivelor de referinţă, deoarece cuprinderea la lista de conţinuturi a unei clase ulterioare necesită pregătirea prin activităţi de învăţare desfăşurate în clasele anterioare.

Alte materiale-suport

Modalităţi de intervenţie asupra unor unităţi de conţinut din manual

Adaptare Înlocuire Omitere Adăugare ee

26

Conţinuturile de acest tip sunt pregătite prin formarea unor capacităţi explorativ-investigative semnificative şi specificate prin obiectivele de referinţă subordonate obiectivului cadru 2. Ulterior, aceste conţinuturi apar explicit şi vizează obiective de referinţă care ţin de formarea conceptelor. Toate aceste demersuri au ca efect mărirea decalajului dintre nivelul de achiziţii al unor elevi şi nivelul de achiziţii minimale cerut prin programele şcolare. Înainte de a emite judecăţi de valoare despre cele semnalate mai sus, este util să analizaţi evoluţia principalelor conţinuturi/concepte în învăţământul obligatoriu, evoluţie cuprinsă în schemele următoare. Conţinuturi care apar în ani de studiu diferiţi sunt formulate asemănător sau identic. De exemplu, în lista de activităţi de învăţare apar:

• la clasa I: - exerciţii de observare şi descriere verbală empirică a figurilor geometrice cunoscute; - identificarea formelor plane în modele simulate şi în natură;

• la clasa a II-a: - recunoasterea şi descrierea verbală a formei obiectelor din mediul înconjurător; - exerciţii de identificare şi discriminare a formelor geometrice plane şi spaţiale utilizând obiecte, modele şi desene;

• la clasa a III-a: - identificarea formelor plane şi a formelor spaţiale pe modele fizice, desene sugestive şi

în mediul înconjurător; - descrierea unor figuri plane şi a unor corpuri cu observarea vârfurilor, laturilor, feţelor;

• la clasa a IV-a: - identificarea formelor plane şi a formelor spaţiale pe modele fizice, desene sugestive şi

în mediul înconjurător; - recunoaşterea formelor învăţate la obiectele din mediul apropiat; - identificarea şi numirea elementelor constitutive ale figurilor geometrice plane; În aceste situaţii, diferenţierea nivelului de dificultate şi de complexitate pe fiecare clasă

trebuie să se facă prin compararea obiectivelor de referinţă şi a exemplelor de activităţi de învăţare specificate în programă.

Evoluţia de la o clasă la alta a conceptelor referitoare la figuri şi corpuri geometrice nu va însemna deci o adăugare de conţinuturi, ci o adâncire a nivelului de analiză a proprietăţilor figurilor şi corpurilor respective, realizată de către elev prin lucrul direct cu materialul didactic. Devine astfel evidentă utilitatea şi necesitatea consultării orientative a programei clasei anterioare şi a programei clasei următoare, pentru a proiecta activităţi de învăţare adecvate programei clasei respective.

3.3 Etapele proiectării demersului didactic

Construcţia curriculară avută în vedere pentru realizarea noilor programe necesită o

anumită structurare a demersului de proiectare. Centrarea pe formarea unor deprinderi şi capacităţi solicită organizarea unei învăţări preponderent de tip inductiv, ceea ce presupune parcurgerea în învăţare a următoarelor etape: 1. Familiarizarea

Această etapă vizează introducerea unui nou conţinut noţional prin intermediul unor situaţii problemă. Rezolvarea situaţiilor- problemă solicită utilizarea unor concepte, tehnici de lucru şi deprinderi anterior formate, dar sarcinile de lucru deplasează accentul spre descoperirea unor noi noţiuni şi procedee de lucru. În acest mod, elevul descoperă elementele noi de conţinut ca răspuns la sarcinile propuse, se familiarizează cu procedurile specifice de

27

calcul, cu modalitatea de verbalizare a răspunsului. Acest tip de demers didactic dezvoltă la elevi, pe de o parte, o atitudine activă, de căutare şi colectare de informaţii în situaţii concrete, elevul fiind pus în situaţia să acţioneze pentru rezolvarea sarcinilor de lucru, iar pe de altă parte, o atitudine reflexivă şi pragmatică. Cum pot face asta? şi De ce să fac aşa? sunt întrebări pe care activităţile de învăţare propuse trebuie să şi le genereze şi răspunsul să poată fi găsit prin efort propriu de observare, analiză, comparare şi căutare a unor noi modalităţi de rezolvare.

În această etapă, rolul învăţătorului este de a dirija învăţarea, de a preciza într-un limbaj simplu etapele de parcurs pentru rezolvarea sarcinilor date, de a provoca şi menţine interesul elevilor pe tot parcursul activităţii pentru ca aceştia să găsească soluţiile prin efort propriu dirijat.

Învăţarea se realizează printr-o succesiune de sarcini de lucru, concepute gradat, prin intermediul cărora elevul descoperă şi se familiarizează cu noul conţinut. Învăţarea activă devine efectivă, elevul descoperă noul conţinut ca răspuns la sarcinile date şi nu printr-un demers expozitiv realizat de către învăţător.

Forme de organizare: de preferat, activitate individuală sau de grup dirijată/semidirijată de către învăţător/învăţător, joc de rol, manipulare obiectuală. 2. Structurarea noţională

Elevii analizează rezultatele activităţii desfăşurate în etapa anterioară şi tehnicile folosite precum şi noţiunile noi apărute. Ei îşi sistematizează progresiv propriile proceduri de acţiune, îşi consolidează competenţele operatorii, identifică legături între noţiuni prin conversaţie euristică. Acest proces de sinteză se poate desfăşura, - în funcţie de nivelul clasei şi de vârstă- dirijat la ciclul primar, semidirijat sau independent la ciclul gimnazial.

În această etapă, rezolvarea de probleme are ca utilizarea unor concepte în situaţii cât mai variate, rafinarea unor tehnici operatorii sau algoritmizarea unor procedee de lucru. Elevii sunt antrenaţi în activităţi care solicită precizarea modului în care au obţinut informaţii relevante, şi modul în care pot fi relaţionate acestea. Comunicarea modului în care elevii au judecat o problemă, formularea de judecăţi deductive pe enunţuri prezentate în forme variate: imagini, diagrame, tabele, text sunt sarcini semnificative pentru realizarea sistematizării şi structurării noţionale. Forme de organizare: de preferat, activitate individuală sau de grup dirijată/semidirijată. 3. Aplicarea şi exersarea direcţionată

Exersarea direcţionată oferă oportunităţi de antrenament, consolidare şi dezvoltare a capacităţilor de rezolvare de probleme. Intervenţia pedagogică este centrată pe întărirea unor tehnici, proceduri şi metode de lucru, pune accent pe dezvoltarea capacitatăţii de a reflecta asupra unui demers, favorizează formarea automatismelor de calcul.

Exerciţii complementare favorizează individualizarea învăţării (adică adaptarea demersului didactic prin organizarea de activităţi de recuperare şi de dezvoltare).

Evaluarea formativă permite formularea de judecăţi în legătură cu nivelul achiziţiilor elevilor, dar şi a autonomiei personale, a capacităţii de autoevaluare.

Formă de organizare: de preferat, activitate individuală independentă diferenţiată. Necesitatea proiectării activităţilor didactice pe unităţi de învăţare este o consecinţă a

modelului prezentat anterior. Acest model este centrat pe formarea unor capacităţi cognitive/operatorii şi pe structurarea unor noţiuni.

În aceste condiţii, este esenţială existenţa unei viziuni educaţionale unitare pe o perioadă mai mare de timp decât ora tradiţională. Din acest motiv, proiectarea activităţilor didactice trebuie realizată într-o structură care este coerentă din punctul de vedere al obiectivelor de referinţă, este unitară din punct de vedere tematic şi permite feed-back prin evaluare eficientă

28

a achiziţiilor comportamentale/ operatorii exersate pe o perioadă determinată de timp în contextul specific acestei structuri.

Pentru a identifica unităţile de învăţare, trebuie să avem în vedere principalele caracteristici ale acestora, şi anume:

• unitate (de conţinuturi); • coerenţă (a obiectivelor); • continuitate (în timp); • finalizare (prin evaluare). Practic, alegerea unităţilor de învăţare se poate realiza urmărind unul dintre algoritmii

descrişi mai jos. Algoritmul 1 1. Identificăm conţinuturi unitare din punct de vedere tematic 2. Asociem obiective de referinţă care pot fi atinse prin aceste conţinuturi 3. Adăugăm conţinuturi sau/şi renunţăm la unele conţinuturi alese, după criteriul

relevanţei în raport cu obiectivul identificat 4. Corelăm conţinuturile selectate şi cu alte obiective de referinţă (asociate diverselor

obiective cadru) În cazul în care adoptăm acest algoritm, putem preciza în rubrica “Conţinuturi” din

planificare, pe cele selectate din programă. Algoritmul 2 Acest algoritm utilizează matricea de asociere dintre obiectivele de referinţă şi

conţinuturile programei; matricea evidenţiază legăturile explicite (evidente, directe, cauzale) marcate cu „X” şi legăturile implicite (mai puţin evidente, indirecte, deduse) marcate cu „O”. Matricea se poate completa în urma citirii atente şi a interpretării personale a programei, deoarece evidenţierea unora dintre legături se poate face doar prin imaginarea activităţilor ce urmează a fi desfăşurate la clasă. În acest sens este utilă lecturarea exemplelor de activităţi de învăţare din programă.

În tabelele următoare sunt exemplificate porţiuni din matrici de asociere pentru mai multe clase:

Clasa I Conţinuturi/ Obiective de referinţă 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.93.1 4.1 4.2 Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

O O X O X O O X O O

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20 fără trecere peste ordin

O O X O X O O X O O

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30 fără trecere peste ordin cu numere formate din zeci întregi

O O X O X O O X O O

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30 fără trecere peste ordin cu numere formate din zeci şi unităţi

O O X O X O O X O O

Comentariu: se observă că toate temele fac parte din acelaşi capitol şi pot contribui la atingerea obiectivelor de referinţă 1.3, 2.5, 3.1. Ele se deosebesc doar prin modul în care unele conţinuturi pot fi adecvate pentru a se realiza obiectivele 2.3, 2.6, 2.7, sau 4.1, 4.2.

29

De aceea, temele prezentate se pot grupa în mod diferit în unităţi de învăţare. Prima posibilitate: gruparea tuturor temelor într-o singură unitate de învăţare cu titlul “Adunarea şi scăderea în concentrul 0-30 fără trecere peste ordin”. A doua posibilitate: gruparea temelor în trei unităţi de învăţare cu titlurile : 1- Adunarea şi scăderea în concentrul 0-10; 2- Adunarea şi scăderea în concentrul 0-20; 3- Adunarea şi scăderea în concentrul 0-30; Se constată că primul mod de grupare deplasează accentul de la fragmentarea pe tipuri de calcul şi concentre mici, la algoritmul de calcul, algoritm care se păstrează indiferent de concentrul în care se lucrează. Acest mod de conducere a învăţării are şi avantajul că exersează deprinderile de calcul pe exemple variate şi nu conduce la învăţarea prin memorare. În al doilea exemplu de grupare în unităţi de învăţare este păstrată structura tradiţională. Succesiunea propusă permite reluări şi lărgirea lentă a concentrelor. În acest caz ultimele două unităţi de învăţare vizează aceleaşi obiective de referinţă şi doar opţiunea învăţătorului pentru parcurgerea fragmentată a temelor face ca aceste conţinuturi să facă parte din unităţi de învăţare diferite. Clasa a III-a Obiective de referinţă

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.1 4.1 4.2 4.3

Unităţi de măsură unităti de măsurat lungimea: metrul, multipli, submultipli (fără transformări)

0 0 0 0 X 0 X 0 0

unităti de măsurat capacitatea: litrul, multipli, submultipli (fără transformări)

0 0 0 0 X 0 X 0 0

unităti de măsurat masa: kilogramul, multipli, submultipli (fără transformări)

0 0 0 0 X 0 X 0 0

unităti de măsură pentru timp: ora, minutul, ziua, săptămâna, luna, anul

0 0 0 0 X 0 X 0 0

monede şi bancnote 0 0 0 0 X 0 X 0 0 utilizarea instrumentelor de măsură adecvate: metrul, rigla gradată, cântar, balanţa

X X 0 0

Comentariu: Obiectivul de referinţă 2.8 care se referă strict la utilizarea instrumentelor de măsură şi la cunoaşterea unităţilor de măsură standard şi nonstandard poate fi realizat doar prin parcurgerea conţinuturilor selectate.

Există posibilitatea grupării acestor conţinuturi în şase unităţi distincte ce urmează succesiunea conţinuturilor din programă. Acest mod de organizare are avantajul că presupune un demers didactic tradiţional cunoscut şi exersat ce conduce la învăţare în paşi mici. Pe de

30

altă parte, organizarea acestor conţinuturi în unităţi distincte are dezavantajele că separă noţiuni similare şi repetă un tip de demers cu consum mare de timp şi conduce la lipsa posibilităţilor de a observa asemănări între multiplii şi submultiplii unităţilor standard. De aceea, sugerăm gruparea conţinuturilor în două unităţi de învăţare care presupune abordarea concomitentă a măsurării şi unităţilor de măsură pentru lungime, masă, capacitate şi evidenţierea asemănărilor între tehnicile de calcul şi denumirile multiplilor şi submultiplilor.

Se are în vedere parcurgerea conţinuturilor în succesiunea dată în programă. În a doua variantă unităţile de măsură pentru capacitate, masă, lungime, sunt asociate în

mod natural cu identificarea şi descrierea unor proprietăţi simple ale figurilor şi corpurilor geometrice. În acest fel, unităţile de măsură sunt exersate în contexte practice de măsurare a unor figuri şi corpuri geometrice.

Pentru a contura mai bine unitatea de învăţare, este indicat ca, după parcurgerea paşilor din algoritmul precedent, să răspundem la următoarele întrebări:

• asigură conţinuturile alese unitate tematică? • este respectată logica internă a obiectului? • se pot parcurge conţinuturile într-un optim de 6-8 ore la clasă? • sunt avute în vedere obiective de referinţă corespunzătoare tuturor obiectivelor cadru? • obiectivele pot fi atinse prin parcurgerea conţinuturilor? • este edificatoare evaluarea făcută în urma parcurgerii acestor conţinuturi? • sunt şi alte conţinuturi care ar putea fi incluse în această unitate de învăţare respectând

condiţiile anterioare? • sunt avute în vedere obiective de referinţă corespunzătoare tuturor obiectivelor

cadru?

Secvenţe de planificare alternative pentru clasa a IV-a Exemplul 1 Unitatea de

învăţare Obiective

de referinţă

Conţinuturi

Număr de ore

alocate

Săpt. Obs.

1.Figuri geometrice

2.1, 2.8, 3.1, 4.1, 4.2, 4.3

• Drepte paralele şi drepte perpendiculare; • Figuri geometrice plane: - Observare şi descrierea unor proprietăţi simple referitoare la laturi şi unghiuri: triunghi, pătrat, dreptunghi, romb; - Figuri geometrice care admit axe de simetrie: pătrat, dreptunghi, romb; - Utilizarea proprietăţilor figurilor plane în calculul perimetrului unor figuri geometrice plane;

4 ore

2.Corpuri geometrice

2.1, 2.8, 3.1, 4.1, 4,2, 4,3

• Forme spaţiale: - Observarea şi descrierea unor proprietăţi simple referitoare la vârfuri, laturi, feţe ale cubului, paralelipipedului dreptunghic (cuboid), piramidei; - Desfăşurarea cubului şi a cuboidului şi asamblarea unor desfăşurări date.

4 ore

3. Unităţi de măsură

2.8, 2.9, 3.1, 4.1,

• Măsurări folosind etaloane convenţionale: utilizarea instrumentelor de măsură adecvate:

10 ore

31

4.2, 4.3 metrul, rigla gradată, cântar, balanţa, ceas. • Unităţi de măsură: - unităţi de măsurat lungimea: metrul,

multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 1000;

- unităţi de măsurat capacitatea: litrul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 1000;

- unităţi de măsurat masa: kilogramul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 100;

- unităţi de măsură pentru timp: ora, minutul, secunda, ziua, săptămâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul;

- monede şi bancnote. Exemplul 2

Unitatea de învăţare

Obiective de

referinţă

Conţinuturi Număr de ore alocate

Săpt. Obs.

Corpuri geometrice şi unităţi de măsură

2.1, 2.8, 2.9, 3.1, 4.1, 4.2, 4.3

• Forme spaţiale: - Observarea şi descrierea unor proprietăţi simple referitoare la vârfuri, laturi, feţe ale cubului, paralelipipedului dreptunghic (cuboid), piramidei; - Desfăşurarea cubului şi a cuboidului şi asamblarea unor desfăşurări date. - Unităţi de măsurat

capacitatea: litrul, multiplii, submultiplii.

- Unităţi de măsurat masa: kilogramul, multiplii, submultiplii.

6 ore

Figuri geometrice şi unităţi de măsură pentru lungimi

2.1, 2.8, 2.9, 3.1, 4.1, 4.2, 4.3

• Drepte paralele şi drepte perpendiculare; • Figuri geometrice plane: - Observare şi descrierea unor proprietăţi simple referitoare la laturi şi unghiuri: triunghi, pătrat, dreptunghi, romb; - Figuri geometrice care admit axe de simetrie: pătrat, dreptunghi, romb; - Utilizarea proprietăţilor figurilor plane în calculul perimetrului unor figuri geometrice plane; - Unităţi de măsurat lungimea:

metrul, multiplii, submultiplii.

6 ore

32

Transformări. Unităţi de măsură pentru lungimi, capacitate, masă, timp, valoare

2.1, 2.8, 2.9, 3.1, 4.1, 4.2, 4.3

• Măsurări folosind etaloane convenţionale: utilizarea instrumentelor de măsură adecvate: metrul, rigla gradată, cântar, balanţa, ceas.

• Unităţi de măsură: - unităţi de măsurat lungimea: metrul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 1000;

- unităţi de măsurat capacitatea: litrul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 1000;

- unităţi de măsurat masa: kilogramul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100 şi 100;

- unităţi de măsură pentru timp: ora, minutul, secunda, ziua, săptămâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul;

- monede şi bancnote.

6 ore

Comentariu: Prima variantă de planificare este o modalitate tradiţională de grupare a conţinuturilor. Se are în vedere parcurgerea conţinuturilor în succesiunea dată în programă.

În a doua variantă unităţile de măsură pentru capacitate, masă, lungime şi arie sunt asociate în mod natural cu identificarea şi descrierea unor proprietăţi simple ale figurilor şi corpurilor geometrice. În acest fel, unităţile de măsură sunt exersate în contexte practice de măsurare a unor figuri şi corpuri geometrice.

Prin gruparea obiectivelor 2.1, 2.8 şi 2.9 în unităţi de învăţare separate, în exemplul 2 se urmăreşte atingerea concomitentă a acestor obiective pe conţinuturi grupate în unităţi de învăţare diferite

Câteva întrebări şi răspunsuri ∗ Cum se transpune scriptic proiectarea unităţii de învăţare? În situaţia în care proiectarea trebuie realizată, învăţătorul va trece în coloana

corespunzătoare demersului didactic doar cuvintele-cheie care arată cum se produce învăţarea în clasă. Este important de precizat: forma de organizare a activităţii (activitate pe grupe, individuală, frontală etc), tipul de material didactic, modul de raportare şi timpul estimativ alocat activităţii. În celelalte coloane se trec detalierile de conţinut, obiectivele de referinţă vizate şi activităţile de învăţare necesare atingerii acestora.

∗ Cum se face detalierea pe ore? Nu este necesară proiectarea la nivelul fiecărei ore; împărţirea pe ore rezultă din

timpul estimativ de la rubrica “Resurse”. În situaţia în care învăţătorul trebuie să justifice

33

activitatea unei ore, el va delimita în interiorul unităţii de învăţare activităţile corespunzătoare orei respective. Nu este nevoie de întocmirea separată a unui plan de lecţie.

∗ Cum se completează condica? Pentru evidenţierea în condică a activităţii didactice a zilei, există două posibilităţi: - precizarea numelui unităţii de învăţare şi a numărului de ordine în acea unitate de

învăţare al orei respective; - alocarea unor titluri generice pentru activităţile de învăţare din ora în cauză. ∗ Cum procedăm dacă nu ne putem încadra în timpul alocat ? În cazul în care timpul estimat pentru unele activităţi de învăţare s-a dovedit nerealist,

învăţătorul poate să regândească alocarea de timp pentru activităţile care urmează, poate să refacă proiectarea întregii unităţi (prevăzând eventual mai puţine obiective de referinţă şi alte activităţi de învăţare) sau poate utiliza orele la dispoziţia învăţătorului din planificarea anuală. În această ultimă situaţie, rubrica de observaţii din planificarea anuală îşi dovedeşte utilitatea.

∗ Cum utilizăm manualul? Manualul reprezintă o resursă importantă, ce trebuie folosită ori de câte ori este

posibil. Exemplele, tabelele, unele sarcini de lucru se pot găsi în manuale, ceea ce conduce la o importantă economie de timp. În utilizarea manualului, este posibil să constataţi existenţa unor neconcordanţe între aceasta şi traseul educaţional propus de dumneavoastră. De exemplu, inversarea unor conţinuturi prin gruparea în unităţi de învăţare după alte criterii decât cele ale autorilor manualului poate conduce la imposibilitatea utilizării aplicaţiilor pro-puse de autori. În acest caz, trebuie utilizate la clasă şi alte resurse auxiliare.

În practică, s-a dovedit că unele manuale prezintă conţinuturi care nu sunt în concordanţă cu programele în vigoare. Consultaţi lista de conţinuturi şi obiectivele de referinţă din programă; utilizarea pentru proiectare doar a manualului poate conduce la o încărcare artificială cu conţinuturi.

∗ Cum formulăm activităţile de învăţare? Este important ca activităţile de învăţare să fie formulate în termeni de comportamente

asociate unor obiective de referinţă vizate în unitatea de învăţare şi nu în termeni de conţinuturi. În acest mod se accentuează încă din etapa de proiectare centrarea demersului de învăţare pe ceea ce face elevul şi nu doar pe ceea ce trebuie să ştie.

∗ Cum putem şti dacă activităţile de învăţare şi-au atins scopul? Este util să existe forme de evaluare ale activităţilor de învăţare; această evaluare,

centrată pe proces (modul în care elevul se comportă), reprezintă evaluarea formativă. În evaluarea activităţilor de învăţare putem avea în vedere următoarele repere de ordin

comportamental şi atitudinal, care reprezintă criterii de evaluare în observarea sistematică a elevilor :

- modalitatea de colaborare din cadrul grupului pentru a rezolva sarcina; - explicarea modului de lucru; - modul de comunicare şi validitatea răspunsului; - optimizarea metodei (numărul de paşi parcurşi în rezolvare, eficienţa procedurilor de

lucru găsite); - aplicarea în alte situaţii de învăţare. ∗ Care este rolul învăţătorului în proiectarea şi realizarea demersului didactic?

34

Din modul în care este concepută şi înţeleasă unitatea de învăţare, dobândirea de către elev a comportamentelor centrate pe obiectivele de referinţă solicită din partea învăţătorului o atentă proiectare şi conducere a învăţării. Din aceste considerente, accentul se mută de la comunicarea de informaţii spre organizarea şi dirijarea activităţii elevilor.

Este util să avem în vedere prezentarea sintetică din tabelul următor:

Predă, expune, ţine prelegeri.

Organizează, dirijează, orchestrează, regizează învăţarea.

Explică şi demonstrează.

Facilitează şi moderează activitatea de învăţare.

Impune puncte de vedere proprii.

Ajută elevii să înţeleagă lucrurile şi să le explice.

Sensul schimbărilor în activitatea învăţătorului

Se consideră şi se mani-festă ca un expert în ceea ce predă.

Acceptă şi stimulează expri-marea punctelor de vedere diferite în legătură cu o problemă; este partener în învăţare.

∗ Cum se identifică obiectivele de referinţă specifice unei unităţi de învăţare? Teoretic, proiectarea unităţii de învăţare trebuie să înceapă cu fixarea unor obiective de referinţă, urmată de identificarea conţinuturilor prin care acestea se pot atinge şi de gruparea acestor conţinuturi astfel încât să existe unitate tematică. În această situaţie, obiectivele de referinţă specifice unităţii de învăţare sunt de la început precizate.

În practică, s-a dovedit că proiectarea unităţilor de învăţare se face de regulă dinspre conţinuturi spre obiective. În această situaţie, este recomandabil să avem permanent în atenţie întrebările: “ce trebuie să ştie elevul?” şi “de ce trebuie să ştie elevul un anumit lucru?”.

În practică, este posibil ca anumite obiective de referinţă din programă să nu fie realizate (în termeni operaţionali) de către toţi elevii clasei sau să nu poată fi dovedite comportamental. În acest caz, învăţătorul este obligat să organizeze activităţi de învăţare corespunzătoare, adecvate situaţiei concrete din clasă.

De exemplu, dacă se organizează activităţi de învăţare care solicită utilizarea celor patru operaţii cu numere naturale, dar în clasă există elevi care au dificultăţi în efectuarea înmulţirilor:

- elevii pot păstra la îndemână un tabel cu tabla înmulţirii; - elevii pot folosi un calculator de buzunar; - elevii pot folosi alte procedee prin care se deduce rezultatul înmulţirii.

În acest fel, este depăşită dificultatea de calcul, iar activitatea de învăţare se poate desfăşura şi se pot realiza obiectivele de referinţă vizate.

35

CAPITOLUL 4

Metode de învăţământ specifice activităţilor matematice

4.1. Definiţii. Funcţii pedagogice ale metodelor

Metoda de învăţământ reprezintă: • o cale de organizare şi dirijare a învăţării în vederea atingerii obiectivelor specifice

disciplinei; • un ansamblu organizat de procedee. Metoda constituie modalitatea prin care se obţine transmiterea şi însuşirea conţinutului

noţional al activităţilor matematice. Specificitatea conţinutului, aspectul logic al cunoştinţelor matematice, impune un

caracter obiectiv metodelor de învăţământ. Odată stabilit conţinutul, se identifică şi căile de transmitere şi însuşire ale acestuia şi,

deci, metodele specifice obiectului, iar orice schimbare în conţinut determină o adaptare corespunzătoare a metodologiei de predare-învăţare a obiectului;

De asemenea, metoda influenţează şi determină modul de receptare a conţinutului, gradul de accesibilitate al cunoştinţelor şi valoarea informativă şi formativ-educativă a actului didactic. Astfel, între scop şi conţinut, metoda apare ca un instrument în vederea atingerii finalităţilor urmărite.

Similar suitei de operaţii ce constituie acţiunea didactică, metoda adecvată acţiunii propuse încorporează o suită de procedee ordonate logic. Fiecare procedeu reprezintă o tehnică de acţiune şi rămâne o componentă particulară a metodei, un instrument de aplicare efectivă a metodei.

Deci, metoda se constituie dintr-o varietate de procedee ce concură la atingerea scopului propus, iar eficienţa metodei este asigurată de calitatea şi varietatea procedeelor alese de către educatoare/învăţător.

Ca elemente structurale ce caracterizează metoda, procedeele sunt subordonate finalită-ţilor urmărite, determinantă fiind relaţia dinamică între procedeu şi metodă. De exemplu, metoda explicaţiei devine procedeu în cadrul jocului, iar jocul poate constitui un procedeu în cadrul metodei exerciţiului.

Eficienţa unei metode depinde de modul în care declanşează la copil actele de învăţare şi de gândire prin acţiune, de măsura în care determină şi favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noţiunii.

Din acest motiv se impune, la nivelul activităţilor matematice din grădiniţă, reconsi-derarea metodelor şi folosirea acelora ce pun accentul pe formarea de deprinderi şi dobândirea de abilităţi prin acţiune.

Funcţiile metodei se structurează astfel: 1. Funcţia cognitivă este o funcţie de conţinut, de organizare şi dirijare a învăţării. Ea exprimă faptul că metoda traduce în act de învăţare (de cunoaştere) o acţiune

proiectată de educatoare/învăţător în plan mental, conform unei strategii didactice, transformând în experienţe de învăţare, pentru copii, obiective (prestabilite) de ordin cognitiv.

Din acest punct de vedere, metoda constituie o modalitate de a acţiona practic, sistemic şi planificat, determinând la copil achiziţii de cunoaştere.

2. Funcţia formativ-educativă contribuie la realizarea obiectivelor din sfera operatorie şi cea atitudinală.

37

Metodele au calităţi ce exersează şi elaborează funcţiile psihice şi fizice ale copilului şi conduc la formarea unor noi deprinderi intelectuale, aptitudini, atitudini, capacităţi şi comportamente.

3. Funcţia operaţională (instrumentală) serveşte drept tehnică de execuţie, în sensul că favorizează atingerea obiectivelor.

4. Funcţia normativă optimizează acţiunea, arată cum trebuie să se predea, cum trebuie să se procedeze şi permite educatoarei-învăţătorului dirijarea, corectarea şi reglarea acţiunii instructive în direcţia impusă de finalitatea actului instrucţional.

Funcţia operaţională şi cea normativă acţionează asupra actului instructiv şi constituie funcţii de organizare.

Funcţia unei metode este determinată de caracterul obiectivelor şi este dominantă sub aspectul atingerii unui anumit tip de obiectiv (cognitiv sau formativ).

Astfel, conversaţia, demonstraţia, exerciţiul, prin folosirea lor în scopul exersării unor deprinderi şi formării unor capacităţi intelectuale, îşi evidenţiază funcţiile cognitivă şi formativă ca dominante.

Literatura pedagogică oferă variante de clasificare a metodelor de învăţământ, dar luând în considerare specificul activităţilor matematice în învăţământul preşcolar şi primar considerăm utilă următoarea clasificare având drept criterii:

1. Scopul didactic urmărit. Metodele de învăţământ se clasifică în: • metode de dobândire a cunoştinţelor; • metode de formare şi consolidare de priceperi şi deprinderi; • metode de sistematizare şi verificare. Această formă de clasificare stă la baza alegerii sistemului de metode în funcţie de tipul

de activitate matematică. 2.Dezvoltarea bazei senzoriale de cunoaştere şi de familiarizare cu forme de gândire

matematică şi logică, bazate pe activitatea concretă a copilului. Ţinând cont că acţiunea cu obiectele declanşează actul intelectual, metodele se pot

clasifica în: • metode intuitive (concret senzoriale) Copilul observă obiectele, recepţionează şi acumulează percepţii şi reprezentări,

realizând o cunoaştere intuitivă; • metode active Copilul acţionează cu obiectele, însuşindu-şi treptat şi nuanţat reprezentări; • metode verbale Copilul ajunge la cunoaştere prin intermediul cuvântului. Din consideraţiile anterioare apare evident că metodele verbale devin procedee eficiente

de realizare a metodelor intuitive şi active, iar cele intuitive devin procedee pentru metodele active. Uneori, metodele active devin ele însele procedee pentru alte metode active (elementul de joc susţine şi realizează exerciţiul).

4.2. Metode specifice activităţilor matematice

Explicaţia – metodă verbală de asimilare a cunoştinţelor prin care se progresează în

cunoaştere, oferind un model descriptiv la nivelul relaţiilor. A explica înseamnă, în viziunea lui D’Hainaut, a descoperi, a face să apară clare pentru

copil relaţii de tipul cauză-efect. Pentru a fi eficientă, explicaţia, ca metodă de învăţământ specifică în cadrul activităţilor

matematice trebuie să aibă următoarele caracteristici:

38

• să favorizeze înţelegerea unui aspect din realitate; • să justifice o idee pe bază de argumente, adresându-se direct raţiunii, antrenând

operaţiile gândirii (analiza, clasificarea, discriminarea); • să înlesnească dobândirea de cunoştinţe, a unor tehnici de acţiune; • să respecte rigurozitatea logică a cunoştinţelor adaptate pe nivel de vârstă; • să aibă un rol concluziv, dar şi anticipativ; • să influenţeze pozitiv resursele afectiv-emoţionale ale copiilor. În utilizarea eficientă a acestei metode se cer respectate următoarele cerinţe: • să fie precisă, concentrând atenţia copiilor asupra unui anume aspect; • să fie corectă din punct de vedere matematic; • să fie accesibilă, adică adaptată nivelului experienţei lingvistice şi cognitive a copiilor; • să fie concisă. Dacă explicaţia, ca metodă, este corect aplicată, ea îşi pune în valoare caracteristicile,

iar copiii găsesc în explicaţie un model de raţionament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situaţii-problemă, şi astfel ei înţeleg mai bine ideile ce li se comunică.

La nivelul activităţilor matematice, explicaţia este folosită atât de educatoare/învăţător, cât şi de copii:

Educatoarea/ învăţătorul: • explică procedeul de lucru (grupare de obiecte, formare de mulţimi, ordonare etc.); • explică termenii matematici prin care se verbalizează acţiunea; • explică modul de utilizare a mijloacelor didactice (material intuitiv); • explică reguli de joc şi sarcini de lucru. Copilul: • explică modul în care a acţionat (motivează); • explică soluţiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic. Explicaţia însoţeşte întotdeauna demonstraţia şi o susţine. În cursul explicaţiei se pot

face întreruperi, cu scopul de a formula şi adresa întrebări copiilor, prin care să se testeze gradul de receptare şi înţelegere a celor explicate, dar întreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susţinut.

Metoda explicaţiei se regăseşte în secvenţele didactice ale diverselor tipuri de activităţi. Demonstraţia – este metoda învăţării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact

prin care se obţine reflectarea obiectului învăţării la nivelul percepţiei şi reprezentării. Demonstraţia este una din metodele de bază în activităţile matematice şi valorifică

noutatea cunoştinţelor şi a situaţiilor de învăţare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în activităţile de dobândire de cunoştinţe şi valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepţiei copilului. O situaţie matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate şi explicate de educatoare/învăţător. Nivelul de cunoştinţe al copiilor şi vârsta acestora determină raportul optim dintre demonstraţie şi explicaţie. Eficienţa demonstraţiei, ca metodă, este sporită dacă sunt respectate anumite cerinţe de ordin psihopedagogic:

• demonstraţia trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realităţii, în măsură să reprezinte o susţinere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a copilului, noţiunile fiind prezentate în mod intuitiv prin experienţe concret-senzoriale;

• demonstraţia trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învăţare a unei noţiuni sau acţiuni;

• demonstraţia trebuie să păstreze proporţia corectă în raport cu explicaţia, funcţie de scopul urmărit;

39

• demonstraţia trebuie să favorizeze învăţarea prin crearea motivaţiei specifice (trezi-rea interesului).

Demonstraţia, ca metodă specifică învăţării matematice la vârsta preşcolară, valorifică funcţiile pedagogice ale materialului didactic. Astfel, demonstraţia se poate face cu:

• obiecte şi jucării – fapt specific pentru grupa mică şi grupa mijlocie din grădiniţă, folosindu-se în activităţile de dobândire de cunoştinţe, dar şi în activităţi de consolidare şi verificare. La acest nivel de vârstă, demonstraţia cu acest tip de material didactic contribuie la formarea reprezentărilor corecte despre mulţimi, submulţimi, corespondenţă, număr.

• material didactic structurat – specific pentru grupa mare şi grupa pregătitoare precum şi pentru învăţământul primar. Materialul confecţionat va fi demonstrativ (al educatoarei/ învăţătorului) şi distributiv (al copiilor), favorizând transferul de la acţiunea obiectuală la reflectarea în plan mental a reprezentării.

Contactul senzorial cu materialul didactic structurat favorizează atât latura formativă, cât şi pe cea informativă a învăţării perceptive. Acest material didactic trebuie să respecte cerinţe pedagogice ca:

o adaptare la scop şi obiective; o să asigure perceperea prin cât mai mulţi analizatori:

- formă stilizată; - culoare corectă (conform realităţii); - dimensiune adaptată necesităţilor cerute de demonstraţie;

o funcţionalitate (uşor de manipulat). • reprezentări iconice – specifice pentru grupa mare şi grupa pregătitoare precum şi

pentru învăţământul primar. Integrarea reprezentărilor iconice în demonstraţie realizează saltul din planul acţiunii

obiectuale (fază concretă, semiconcretă) în planul simbolic. Obiectul, ca element al mulţimii, va fi prezentat pentru început prin imaginea sa desenată, figurativ, pentru ca ulterior să fie reprezentat iconic (simbolic).

Există şi o formă aparte a demonstraţiei, care îşi datorează separarea de celelalte sprijinirii ei pe mijloace tehnice. Motivarea folosirii mijloacelor tehnice este foarte concretă adică:

- redau realitatea cu mare fidelitate, atât în plan sonor, cât şi în plan vizual; - pot surprinde aspecte care pe altă cale ar fi imposibil sau cel puţin foarte greu de redat; - ele permit reluarea rapidă , ori de câte ori este nevoie; - datorită ineditului pe care îl conţin şi chiar aspectului estetic pe care îl implică, ele sunt

mai atractive pentru elevi şi mai productive. Cerinţele pe care le implică sunt : organizarea specială a spaţiului de desfăşurare -

alegerea judicioasă a momentului utilizării lor pentru a nu bruia activitatea elevului - pregătirea pentru utilizarea şi întreţinerea în stare funcţională a dispozitivelor, materialelor, aparaturii cuprinse în acest demers.9

Conversaţia – metodă de instruire cu ajutorul întrebărilor şi răspunsurilor în scopul

realizării unor sarcini şi situaţii de învăţare. În raport cu obiectivele urmărite şi cu tipul de activitate în care este integrată,

conversaţia, ca metodă, are următoarele funcţii:10

9 Gerghit I., Metode de învăţământ, Polirom, Iaşi, 2006

10 Idem

40

• euristică, de valorificare a cunoştinţelor anterioare ale copiilor pe o nouă treaptă de cunoaştere (conversaţie de tip euristic);

• de clarificare, de aprofundare a cunoştinţelor (conversaţia de aprofundare); • de consolidare şi sistematizare (conversaţia de consolidare); • de verificare sau control (conversaţia de verificare). Mecanismul conversaţiei constă într-o succesiune logică de întrebări. Întrebările trebuie

să păstreze o proporţie corectă între cele de tip reproductiv-cognitiv (care este, ce este, cine, când) şi productiv-cognitive (în ce scop, cât, din ce cauză).

Ca metodă verbală, conversaţia contribuie operaţional la realizarea obiectivelor urmărite, iar întrebările constituie instrumentul metodei ce trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:

• să respecte succesiunea logică a sarcinilor de învăţare; • să stimuleze gândirea copilului orientând atenţia spre elementele importante, dar

neglijate, ale unei situaţii-problemă; • să ajute copiii în a-şi valorifica şi reorganiza propriile cunoştinţe, pentru a ajunge la

noi structuri cognitive prin întrebări ajutătoare, necesare rezolvării unor situaţii problematice; • să fie clare, corecte, precise; • să nu sugereze răspunsurile; • să nu supraestimeze capacitatea de explorare a copiilor, respectând principiul „paşilor

mici”. Răspunsurile copiilor trebuie să fie: • complete, să satisfacă cerinţele cuprinse în întrebare; • să dovedească înţelegerea cunoştinţelor matematice, să fie motivate; • să fie formulate independent. Educatoarea/învăţătorul trebuie să creeze cât mai multe situaţii generatoare de

întrebări şi căutări, să dea posibilitatea copilului de a face o selecţie a posibilităţilor de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înşişi întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: „Ce ai aici?, „Ce ai făcut?”, „De ce?” pun copiii în situaţia de a motiva acţiunea şi astfel limbajul relevă conţinutul matematic al acţiunii obiectuale şi se realizează schimbul de idei.

În cazul conversaţiei de consolidare, răspunsul vizează adaptarea la o situaţie problematică şi presupune o elaborare mentală sau practică. Educatoarea/învăţătorul trebuie să acorde timpul necesar pentru formularea răspunsului sau pentru acţiune, acceptând chiar anumite greşeli, ce vor fi corectate după formularea răspunsurilor. În cazul răspunsurilor incorecte se va recurge la activitatea diferenţiată.

O atenţie deosebită se va acorda întăririi pozitive a răspunsului, nefiind recomandate metodele de dezaprobare totală care au efect descurajator.

Conversaţia euristică este concepută astfel încât să conducă la descoperirea a ceva nou pentru elev. Un alt nume al acestei metode este conversaţia socratică.

Aceasta metodă constă în serii legate de întrebări şi răspunsuri, la finele cărora să rezulte, ca o concluzie, adevărul sau noutatea pentru elevul antrenat în procesul învăţării. Ea este condiţionată de experienţa elevului care să-i permită să dea răspunsuri la întrebările ce i se pun.

Conversaţia (dialogul) educatoare-copil sau învăţător-elevi este considerată ca una dintre cele mai active şi mai eficiente modalităţi de instrucţie şi educaţie.

Pedagogii contemporani caută să îmbunătăţească această metodă prin perfecţionarea întrebărilor. Tipuri diferite de întrebări, sub raportul conţinutului şi al formulării lor, orientează diferenţiat şi solicită la diferite nivele activităţile mintale. Întrebărilor cu funcţie

41

reproductivă sau reproductiv-cognitive trebuie să le ia locul întrebărilor productiv-cognitive de tipul: de ce?, cum?.

Didactica actuală preconizează o mai frecventă utilizare a problemelor (întrebărilor) convergente (care îndeamnă la analize, comparaţii), divergente (care exersează gândirea pe căi originale), precum şi a întrebărilor de evaluare (care solicită elevilor judecăţi proprii).

Metoda observării (observaţia) – constă din urmărirea sistematică de către elev a

obiectelor şi fenomenelor ce constituie conţinutul învăţării, în scopul surprinderii însuşirilor semnificative ale acestora.

Ion Cerghit apreciază observarea ca una dintre metodele de învăţare prin cercetare şi descoperire. Este practicată de elevi în forme mai simple sau complexe, în raport cu vârsta.11

Funcţia metodei nu este în primul rând una informativă, ci mai accentuată apare cea formativă, adică de introducere a elevului în cercetarea ştiinţifică pe o cale simplă.

Dacă întâi elevul doar recunoaşte, descrie, analizează progresiv, el trebuie învăţat să explice cauzele, să interpreteze datele observate, să reprezinte grafic rezultatele, să arate dacă corespund sau nu cu unele idei, să aplice şi alte situaţii , create prin analogie. Elevul trebuie să-şi noteze , să-şi formuleze întrebări, deci să aibă un caiet de observaţie, putând face uşor transferul la caietul de studiu.

Observaţia ştiinţifică însoţită de experiment atinge cote maxime în învăţarea matematicii.

Observaţia este o activitate perceptivă, intenţionată, orientată spre un scop, reglată prin cunoştinţe, organizată şi condusă sistematic, conştient şi voluntar.

Formularea unui scop în observaţie impune sarcina de a dirija atenţia copilului spre sesizarea unor elemente esenţiale, astfel încât, treptat, reprezentările să se structureze, să se clarifice şi să se fixeze. Prin scop este concentrată atenţia copilului spre observarea unor anumite elemente şi sunt activizate mecanisme discriminative.

Observaţia, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoaşterii, asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte şi însuşirile caracteristice ale acestora. Îmbogăţirea bazei senzoriale a copilului se realizează în mare măsură prin observaţie dirijată, copilul învaţă prin explorare perceptivă, ce depinde în mare măsură de calitatea observaţiei.

Calitatea observaţiei poate fi sporită prin respectarea următoarelor condiţii: • organizarea unor condiţii materiale propice observaţiei; • acordarea timpului necesar pentru observaţie; • dirijarea prin cuvânt (explicaţie, conversaţie); • acordarea libertăţii de a pune întrebări în timpul observaţiei; • valorificarea cunoştinţelor obţinute prin observaţie; • reluarea observării însoţite de explicaţii, de câte ori se impune. Observaţia, ca metodă, apare însoţită de explicaţie, ultima fiind elementul de dirijare a

observaţiei spre scopul propus. Explicaţia, ca procedeu, are un rol deosebit în cadrul observaţiei, datorită faptului că

prin intermediul cuvântului: • se stabileşte scopul observaţiei; • sunt actualizate cunoştinţe şi integrate în cadrul observativ; • se explorează câmpul perceptiv, scoţându-se în evidenţă elementele semnificative; • se fixează şi se valorifică rezultatele observaţiei în activitatea (acţiunea) ce asigură

integrarea percepţiei;

11 Gerghit I., Metode de învăţământ, Polirom., Iaşi, 2006

42

• se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare ştiinţifică şi accesibilitate.

Aceste aspecte ale limbajului constituie şi elemente de continuitate între ciclurile de învăţământ preşcolar şi primar şi conduc la înţelegerea corectă a unor noţiuni. Din aceste considerente, este necesar să se ţină cont de importanţa utilizării unui limbaj corect în cadrul explicaţiei ce însoţeşte observaţia.

Funcţie de nivelul de vârstă şi de tipul de activitate, observaţia dirijată se regăseşte în diferite secvenţe ale demersului didactic.

Exerciţiul – este o metodă ce are la bază acţiuni motrice şi intelectuale, efectuate în

mod conştient şi repetat, în scopul formării de priceperi şi deprinderi, al automatizării şi interiorizării unor modalităţi de lucru de natură motrice sau mentală.

Prin acţiune exersată repetat, conştient şi sistematic, copilul dobândeşte o îndemânare, o deprindere, iar folosirea ei în condiţii variate transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor şi priceperilor, dobândite şi exersate prin exerciţii în cadrul activităţilor matematice, conduce la automatizarea şi interiorizarea lor, transformându-le treptat în abilităţi.

La nivelul activităţilor matematice din grădiniţă, abilităţile se dobândesc prin acţiunea directă cu obiecte şi exersează potenţialul senzorial şi perceptiv al copilului.

O acţiune poate fi considerată exerciţiu numai în condiţiile în care păstrează un caracter algoritmic. Ea se finalizează cu formarea unor componente automatizate, a unor abilităţi deci, ce vor putea fi aplicate în rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate.

Pentru ca un ansamblu de exerciţii să conducă la formarea unor abilităţi, acesta trebuie să asigure copilului parcurgerea următoarelor etape:12

• familiarizarea cu acţiunea în ansamblul ei, prin demonstraţie şi aplicaţii iniţiale; • familiarizarea cu elementele componente ale deprinderii (prin descompunerea şi

efectuarea pe părţi a acţiunii); • unificarea acestor elemente într-un tot, asigurând organizarea sistemului; • reglarea şi autocontrolul efectuării operaţiilor; • automatizarea şi perfectarea acţiunii, dobândirea abilităţii. Cunoaşterea şi respectarea acestor etape de către educatoare/învăţător favorizează: • consolidarea cunoştinţelor şi deprinderilor anterioare; • amplificarea capacităţilor operatorii ale achiziţiilor prin aplicarea în situaţii noi; • realizarea obiectivelor formative asociate (psihomotrice, afective). Pentru a asigura formarea de abilităţi matematice, ca finalităţi ale disciplinei, exerciţiul

trebuie să fie integrat într-un sistem, atât la nivelul unei abilităţi, dar şi la nivel de unitate didactică.

Conceperea, organizarea şi proiectarea unui sistem de exerciţii în scopul dobândirii unei abilităţi trebuie să asigure valorificarea funcţiilor exerciţiului:13

• formarea deprinderilor prin acţiuni corect elaborate şi consolidate; • adâncirea înţelegerii noţiunilor prin exersare în situaţii noi; • dezvoltarea operaţiilor mentale şi constituirea lor în structuri operaţionale; • sporirea capacităţii operatorii a cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor şi transfor-

marea lor în abilităţi (operaţionalizarea achiziţiilor). În cadrul activităţilor matematice, sistemul de exerciţii vizează, pentru început,

capacitatea de reproducere a achiziţiilor. Odată dobândite, abilităţile asigură prin exersare caracterele reversibil şi asociativ ale operaţiei, iar exerciţiul devine astfel operaţional. 12 Roşca, A., Zorgo, B., Aptitudinile, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1972 13 Cerghit, I., Metode de învăţământ, Polirom, Iaşi, 2006

43

În conceperea unui sistem eficient de exerciţii, educatoarea/învăţătorul trebuie să ţină cont de următoarele condiţii psiho-pedagogice, subordonate etapelor de formare a abilităţilor:

• asigurarea succesiunii sistemice a exerciţiilor, respectând etapele de formare a unei noţiuni;

• succesiunea progresivă prin eşalonarea lor după gradul de dificultate; • aplicarea diferenţiată a exerciţiilor, funcţie de particularităţile capacităţilor de învăţare; • varietatea exerciţiilor prin schimbarea formei, a modului de execuţie sau a materialului

didactic; • creşterea treptată a gradului de independenţă a copiilor în executarea exerciţiilor (de la

exerciţiul de imitaţie dirijat, la exerciţiul de exemplificare semidirijat şi independent); • repartizarea în timp a exerciţiilor, în scopul sporirii eficienţei învăţării; • asigurarea unei alternanţe raţionale între exerciţiile motrice şi cele mentale, funcţie de

nivelul de vârstă şi scopul urmărit. Sistemul de exerciţii nu-şi poate atinge scopul formativ fără a acorda atenţia cuvenită

desfăşurării exerciţiilor ce formează ansamblul. Din acest motiv, este util pentru cadrul didactic să reţină câteva aspecte pentru organizarea situaţiilor şi sarcinilor de învăţare.

El trebuie • să cunoască bine structura, valoarea şi limitele exerciţiului de executat; • să motiveze corect efectuarea repetată a unor exerciţii, precum şi performanţele de

atins; • să explice şi să demonstreze modelul acţiunii; • să creeze situaţii cât mai variate de exersare; • să aibă în vedere o ordonare a exerciţiilor, după complexitate şi grad de dificultate; • să îmbine procedeul execuţiei globale cu cel al fragmentării; • să impună (precizeze) un ritm optim de acţiune, cu unele verificări imediate, ca şi

crearea unor posibilităţi de autocontrol. După funcţiile pe care le îndeplinesc în formarea deprinderilor, exerciţiile sunt

imitative (domină funcţia normativă şi cea operaţională) şi de exemplificare (funcţiile cognitivă şi formativă).

Exerciţiile de imitare. Orice exerciţiu nou din cadrul unui sistem de exerciţii este, pentru început, de tip imitativ. Copiii imită, luând ca model exerciţiul educa-toarei/învăţătorului, sunt îndrumaţi şi corectaţi spre a evita greşelile şi procedeele incorecte. Educatoarea/învăţătorul urmăreşte modul de îndeplinire a sarcinilor, insistă asupra fazelor şi a succesiunii etapelor exerciţiului, urmărind modul cum copiii aplică îndrumările date.

Exerciţiile de exemplificare (de bază) asigură consolidarea unei deprinderi (priceperi, abilităţi matematice) şi se regăsesc sub forma repetărilor succesive pe care le realizează copiii, căutând să se apropie de model.

Exerciţiul se poate folosi în scopul de a consolida cunoştinţele însuşite anterior, de a forma priceperi şi deprinderi, cât şi pentru a dezvolta capacităţile creatoare.

Victor Ţârcovnicu1 arată că exerciţiile pot fi de trei feluri: - de antrenament; - de bază; - paralele. De exemplu, pentru însuşirea adunării cu trecere peste ordin a numerelor formate din

zeci şi unităţi, după ce am demonstrat cu material intuitiv, după ce am făcut exerciţiile de calcul oral, vom trece la exerciţiile de calcul scris. Vom propune spre rezolvare exerciţii cu

1 Ţârcovnicu Victor, Pedagogie generală, Ed. Didactică şi Pedagogică, Buc., 1985

44

adunări, vom realiza evaluarea, observând în acest mod elevii care au greşit: acestea sunt exerciţii de antrenament sau introductive. După ce suntem convinşi că toţi elevii au înţeles procedeul, vom da elevilor exerciţii numeroase pentru formarea deprinderilor de calcul.

Pentru menţinerea acestor deprinderi, atunci când se trece mai departe la scăderea numerelor naturale formate din zeci şi unităţi se vor da, pe lângă exerciţii de scădere, şi exerciţii de adunare, sau exerciţii de efectuare a probei prin operaţia inversă. Acestea sunt modele de exerciţii paralele.

Treptat, prin intermediul metodei exerciţiului, elevii trebuie să treacă de la o activitate imitativă spre o activitate creatoare.

Lucrul cu manualul – este o metodă didactică în cadrul căreia învăţarea are ca sursă

esenţială şi ca instrument de formare a elevului cartea şcolară sau alte surse similare. Finalitatea ei este dublă:

- dobândirea de către elevi a fondului perceptiv necesar înţelegerii; - capacitatea deprinderii de a utiliza cartea; Lucrările de didactică o prezintă ca pe o metodă de bază de învăţare în clasele mici.

Totuşi apariţia manualelor alternative a dus la diminuarea lucrului cu manualul şi utilizarea mai frecventă a surselor similare.

Lucrul cu cartea capătă valenţe active mai ales în etapa dobândirii cunoştinţelor, în iniţierea în studiu independent, în documentaţie, ca punct de plecare în viitoarea cercetare. La matematică lucrul cu cartea dă rezultate bune în aprofundarea , repetarea şi sistematizarea cunoştinţelor.

Problematizarea reprezintă una dintre cele mai utile metode, prin potenţialul ei euristic

şi activizator. Se face o distincţie foarte clară între conceptul de „problemă” şi de conceptul de „situaţie – problemă” implicat în metoda problematizării. Primul vizează problema şi rezolvarea acesteia din punctul de vedere al aplicării, verificării unor reguli învăţate, al unor algoritmi ce pot fi utilizaţi în rezolvare.

O situaţie-problemă desemnează o situaţie contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realităţi: experienţa anterioară, cognitiv-emoţională şi elementul de noutate, necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Acest conflict incită la căutare şi descoperire, la intuirea unor soluţii noi, a unor relaţii aparent inexistente între ceea ce este cunoscut şi ceea ce este nou pentru subiect. O întrebare devine situaţie-problemă atunci când se declanşează curiozitatea, tendinţa de căutare, de depăşire a obstacolelor. În problematizare, cea mai importantă este crearea situaţiilor problematice şi mai puţin punerea unor întrebări.

Problematizarea trebuie înţeleasă ca fiind o modalitate instructivă prin care se recurge la cunoaşterea realităţii, constituind forma pedagogică prin care stimulăm elevul să participe conştient şi intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei probleme propuse şi o nouă experienţă care tinde să restructureze vechea sa experienţă.

O problemă trebuie să dezvolte o atitudine creatoare. Creativitatea ca găsire a unei soluţii noi, originale, implică o situaţie problematizantă şi se cultivă pe terenul conflictual al acesteia asigurând flexibilitatea gândirii. Lipsa de încurajare, de apreciere a efortului, pot curma o gândire creatoare.

O problemă sau o situaţie problemă nu trebuie confundată cu conversaţia euristică, unde elevul este pus în situaţia de a da un răspuns, cu un efort relativ uşor, la o întrebare care-i direcţionează procesele de cunoaştere. Scopul întrebării de tip euristic în problematizare este de a deschide calea pentru rezolvarea altor probleme mai simple, ca trepte în soluţionarea problemei centrale.

45

În orice situaţie problematică, în general, se disting două elemente principale: primul – o scurtă informaţie care-l pune pe elev în temă şi al doilea –întrebarea care provoacă dificultatea de rezolvare, antrenând capacitatea de reflexie.

Etape posibile în abordarea unei situaţii-problemă: - definirea punctului de plecare şi a scopului urmărit; - punerea problemei prin cunoaşterea profundă a situaţiei de plecare şi selectarea

informaţiei; - organizarea informaţiei; - transformarea informaţiei pe calea raţionamentului, inducţiei şi deducţiei, a intuiţiei şi

analogiei, inclusiv a utilizării şi a altor procedee para-logice în vederea identificării soluţiilor posibile;

- luarea deciziilor – opţiunea pentru soluţia optimă; - verificarea soluţiei alese şi a rezultatelor. - Problematizarea are o deosebită valoare formativă: - se consolidează structuri cognitive; - se stimulează spiritul de explorare; - se formează un stil activ de muncă; - se cultivă autonomia şi curajul în afişarea unor poziţii proprii. Utilizarea acestei metode presupune o antrenare plenară a personalităţii elevilor, a

componentelor intelectuale, afective şi voliţionale. Problematizarea este atributul activ al învăţământului şi constă în a transforma actul

instructiv dintr-un act de receptare relativ pasiv a cunoştinţelor, într-un act de permanentă căutare, prin cunoştinţe şi cunoaştere a unui răspuns la o întrebare. Prin aplicarea acestei metode elevul participă conştient şi activ la autodezvoltarea sa pe bază de cunoaştere dobândită şi o nouă experienţă care tinde să restructureze şi să-i dezvolte capacitatea cognitivă.

Dezvoltarea potenţialului de gândire şi creativitate se realizează prin activităţi care solicită independenţă, originalitate. De aceea, trebuie să fim receptivi la ceea ce interesează şi place copiilor, la ceea ce vor şi pot realiza, valorificând în activitate toate capacităţile lor, satisfăcându-le interesele.

Învăţarea pe bază de probleme presupune ca învăţătorul să le relateze şi să le folosească, în clasă, fie ca punct de plecare în trezirea interesului pentru dobândirea cunoştinţelor, fie ca punct de punere în valoare a informaţiei elevilor prin noi combinări sau restructurări, în vederea elaborării de noi concepte.

Exemplu: Elevii vor fi puşi în situaţia de a găsi mai multe variante de compunere/ descompunere a unui număr, având ca sarcină de distribuit 9 elemente în două mulţimi.

? + ? = 9 7 2 7 9

46

Se pot folosi, de asemenea, probleme care-i obligă pe elevi să construiască ipoteze şi să încerce soluţii pe baza ipotezelor. Exemplu: Costel are 8 mere şi 7 pere. Dintre acestea el îi dă fratelui său 3 fructe. Câte mere şi câte pere îi rămân lui Costel de fiecare dată? Elevii pot găsi soluţii variate folosindu-se de următorul tabel:

ARE

DĂ

ÎI RĂMÂN

mere pere mere pere mere pere

8 7 3 0 8-3=5 7-0=7 2 1 8-2=6 7-1=6 1 2 8-1=7 7-2=5

0 3 8-0=8 7-3=4

Predarea problematizată presupune un ansamblu de activităţi desfăşurate pentru formularea de probleme propuse spre rezolvare elevilor, cu acordarea unui ajutor minim şi coordonarea procesului de găsire a soluţiei, de fixare, sistematizare şi aplicare a noilor achiziţii inclusiv în rezolvarea altor probleme. Metoda poate fi utilizată în predarea unor tehnici de rezolvare a problemelor la clasa a IV-a.

În predarea problemelor de aritmetică se poate începe cu enunţarea unei probleme şi formularea de indicaţii de rezolvare a acesteia prin reprezentarea grafică a datelor de intrare (ipoteza problemei). Exemplu: Doi copii au împreună o sumă de bani egală cu 100 000 lei. Al doilea copil are cu 20 000 lei mai mult decât primul. Câţi lei are fiecare copil? Învăţătorul va sugera modalitatea de reprezentare grafică a datelor de intrare a problemei, oferind astfel indicaţii necesare rezolvării problemei de către elevi. Bunăoară, se va sugera elevilor să reprezinte suma de bani pe care o posedă primul copil printr-un segment de dreaptă, în faţa căruia se înscrie cifra I romană, tocmai pentru a ilustra semnificaţia segmentului respectiv. Indicaţia poate continua sub forma unei întrebări adresate elevilor (intervenind astfel conversaţia euristică în combinaţie cu problematizarea): Cum am putea reprezenta grafic suma posedată de cel de-al doilea copil? Răspunsul obţinut va fi cu siguranţă tot un segment de dreaptă, dar, de data aceasta, de lungime mai mare, pentru că suma posedată de cel de-al doilea copil este mai mare decât cea a primului copil. Se va obţine, deci, următoarea reprezentare grafică a ipotezelor problemei: I II Prin întrebări şi răspunsuri succesive se va ajunge la constatarea că, dacă mărimea segmentelor AB şi CD este aceeaşi, atunci mărimea segmentului DE reprezintă tocmai suma de bani pe care o are în plus al doilea copil, adică 20 000 lei. Acum elevii pot fi lăsaţi să rezolve singuri problema, reamintindu-li-se că suma pe care cei doi copii o au împreună este de 100 000 lei. Cadrul didactic va analiza apoi (după un interval de timp de lucru individual pentru elevi) propunerile de rezolvare oferite de elevii care au reuşit să rezolve complet problema. Se solicită apoi rezolvarea problemei la tablă de către unul din aceştia, subliniind

A B

C

D

E

47

pentru toată clasa raţionamentele ce trebuie făcute în continuarea indicaţiilor date, pentru obţinerea soluţiei: faptul că valoarea cumulată a segmentelor AB şi CD se poate determina scăzând din suma totală de 100 000 lei valoarea segmentului DE (stabilită anterior ca fiind suma egală cu diferenţa dintre sumele celor doi copii), adică 20 000. Se obţine astfel: AB + CD reprezintă 100 000 lei – 20 000 lei = 80 000 lei Cum segmentele AB şi CD reprezintă aceeaşi valoare, şi anume cea corespunzătoare sumei primului copil, această sumă se poate afla împărţind valoarea cumulată a segmentelor AB şi CD la 2: AB (suma primului copil) reprezintă 80 000 lei : 2 = 40 000 lei Acum putem afla şi suma de bani pe care o are cel de-al doilea copil: 40 000 lei + 20 000 lei = 60 000 lei Elevii au posibilitatea să rezolve, pe cont propriu şi în ritm propriu fiecăruia, problema dată. Chiar dacă unii dintre ei nu vor reuşi să rezolve corect şi complet problema, efortul intelectual depus în scopul rezolvării ei va determina însuşirea corectă măcar a modului de reprezentare grafică a problemei şi fixarea temeinică a modului de a raţiona, conform cu cele stabilite ulterior prin rezolvarea completă a problemei la tablă. Este momentul în care cadrul didactic trebuie să ghideze gândirea logică a elevilor pentru valorificarea superioară a rezolvării problemei enunţate. El trebuie să formuleze, cu ajutorul clasei, un enunţ general al clasei de probleme din care face parte problema şi anume: "Se cunoaşte suma a două numere naturale şi diferenţa lor. Se cere să se determine cele două numere."

Prin analogie cu rezolvarea problemei particulare anterior rezolvate se pot fixa paşii unui algoritm de rezolvare prin metoda grafică a unei astfel de probleme. Pasul I: Se reprezintă printr-un segment de dreaptă cel mai mic dintre numere. Pasul II: Cel de-al doilea număr (cel mai mare) se reprezintă printr-un segment de dreaptă de lungime mai mare, situat sub cel ce reprezintă primul număr (cel mai mic). Pasul III: Se delimitează pe segmentul mai mare un segment de dreaptă egal ca lungime cu primul (cel care prezintă numărul mai mic). În felul acesta se pune în evidenţă, pe segmentul mai mare, un alt segment care reprezintă diferenţa dintre cele două numere. Întreaga sumă se descompune astfel în două segmente egale cu primul şi un altul reprezentând diferenţa numerelor. Pasul IV: Se determină valoarea corespunzătoare sumei celor două segmente egale cu primul număr, scăzând din suma totală diferenţa numerelor. Pasul V: Prin împărţirea la 2 a valorii deţinute la pasul IV se obţine valoarea primul număr, adică cel mai mic. Pasul VI: Prin adunarea la valoarea obţinută la pasul V a diferenţei celor două numere se obţine valoarea numărului mai mare. În acest fel lecţia se încheie cu achiziţionarea, prin efort conjugat (elev-cadru didactic), a unei scheme de rezolvare prin metoda grafică a tuturor problemelor de aritmetică ce se încadrează în categoria celei enunţate.

Prin valorificarea acestor achiziţii ale elevilor, aceştia vor putea rezolva orice problemă din clasa prezentată prin enunţul generalizat, indiferent de forma acestui enunţ. Învăţarea prin descoperire (redescoperire) poate fi de tip descoperire dirijată şi descoperire independentă. Prin această metodă se pun în evidenţă în primul rând căile prin care se ajunge la achiziţionarea informaţiilor, prilejuindu-se elevilor cunoaşterea ştiinţei ca proces. Parcurgând drumul redescoperirii, elevul reface anumite etape ale cunoaşterii ştiinţifice şi îşi însuşeşte astfel elemente ale metodologiei cercetării ştiinţifice.

48

Această metodă are o deosebită valoare formativă dezvoltând atât capacităţile de cunoaştere ale elevilor (interesul, pasiunea) cât şi importante trăsături ale personalităţii (tenacitate, spiritul de ordine, disciplina, originalitatea). Modalităţile de învăţare prin redescoperire corespund în general formelor de raţionament pe care se întemeiază. Astfel se disting:

- descoperirea pe cale inductivă; - descoperirea pe cale deductivă; - descoperirea prin analogie.

Descoperirea pe cale inductivă urmăreşte în final formarea schemelor operatorii. În rezolvarea exerciţiilor de tipul: 17 + 2 şi 17 - 2 se produc trei acţiuni: descompunerea, gruparea, operaţia. Exemplu: 1) (10 + 7) + 2; 2) 10 + (7 + 2); 3) 10 + 9 (10 + 7) - 2; 10 + (7 - 2); 10 + 5 Descoperirea pe cale deductivă este aceea în care elevul are un moment de căutare care implică încadrarea unui sistem mai larg, apoi sfera se restrânge până la recunoaşterea particularităţilor. Exemplu: 27 + 13 şi 27 + 14 27 + 13 = (20 + 7) + (10 + 3) = (20 + 10) + (7 + 3) = 30 + 10 = 40; 27 + 14 = (20 + 7) + (10 + 4) = (20 + 10) + (7 + 3) + 1 = (30 + 10) + 1 = 41 În rezolvarea celui de al doilea exemplu este angajată gândirea analitică. Descoperirea prin analogie constă în aplicarea unui procedeu cunoscut la un alt caz cu care are asemănări.

7 + 2 = 9 - 2 = 5 + 3 = 6 - 2 = 70 + 20 = 90 - 20 = 50 + 30 = 60 - 20 = 700 + 200 = 900 - 200 = 500 + 300 = 600 - 200 =

Predarea înmulţirii şi a împărţirii, după ce elevii şi-au însuşit adunarea şi scăderea, este

tipică învăţării prin descoperire. Elevii, cunoscând adunarea, vor rezolva exerciţii de înmulţire pe baza adunării repetate şi exerciţii de împărţire pe baza scăderii repetate. Descoperirea unui adevăr prin eforturi proprii angajează structurile intelectuale însăşi şi determină o participare activă şi productivă la lecţie a elevilor.

Se desprinde faptul că elevul trebuie pus în situaţia de a descoperi independent lucruri cunoscute, dar care au aspect nou pentru el. Apropiată mai mult de învăţarea prin cercetare, prin adaptare la ciclul primar, această învăţare iniţiază elevul în specificul căutării, fără a considera că rezultatul este nou pentru domeniu, ci doar pentru el.

Învăţarea prin descoperire şi învăţarea prin problematizare constituie modalităţi de lucru eficiente pentru activizarea elevilor. Între cele două tipuri de învăţare există o deosebire esenţială: în cadrul problematizării accentul cade pe crearea unor situaţii conflictuale care declanşează procesul de învăţare, iar în cadrul descoperii accentul cade pe aflarea soluţiei pornindu-se de la elemente deja cunoscute. Utilizând învăţarea prin descoperire elevii îşi dezvoltă spiritul de observaţie, memoria, gândirea, îşi formează deprinderi de muncă independentă.

Descoperirea în învăţare este dirijată. Educatorul trebuie să îndrume elevul în aflarea noutăţilor. Didactica generală subliniază că este importantă respectarea etapelor cunoscute:

49

-formularea sarcinii, problemei; -efectuarea de reactualizări; -formularea ipotezei de rezolvare; -stabilirea planului, mijloacelor; -verificarea; -formularea unor generalizări; -evaluarea; -valorificarea;

Rezolvarea de probleme diverse de matematică implică învăţarea prin descoperire în sensul că elevilor nu li se pune la dispoziţie nici un procedeu sau mod de rezolvare. Elevii trebuie să descopere acest mod de rezolvare. Deoarece rezolvarea de probleme generează o nouă învăţare, ea reprezintă un tip de învăţare. Intelectul elevului este supus la un efort susţinut în etapa emiterii ipotezelor şi a descoperirii soluţiei. Prin activitatea depusă, elevul nu numai că a rezolvat problema, dar învaţă şi ceva nou. De aceea condiţia de bază a rezolvării problemelor este experienţa anterioară, actualizarea regulilor învăţate anterior. Există un grăunte de descoperire în soluţia oricărei probleme. Putem avea în faţă o problemă modestă, dar ea stârneşte curiozitatea şi, dacă se rezolvă prin mijloace proprii, se poate simţi încordarea dinaintea descoperii apoi ne putem bucura de triumful rezolvării ei. Astfel de experienţe la vârsta elevilor de ciclu primar, de mare receptivitate, pot crea gustul pentru munca intelectuală. Acestea îşi pun pentru toată viaţa amprenta asupra minţii şi asupra caracterului elevului. Elevului trebuie să-i lăsăm impresia propriei iniţiative, să-i sădim încrederea în propriile puteri. Important este să sesizăm, în fiecare caz, caracteristicile unei probleme matematice, procesul de gândire, grăuntele de descoperire, justificarea soluţiei şi comentarea ei, verificarea rezultatelor obţinute. Modelarea se bazează pe valorificarea caracterului euristic al analogiei, care permite ca pe baza asemănării unor elemente a două sisteme să se presupună asemănarea probabilă a acestor sisteme.

Utilizarea acestei metode în învăţământul primar, pe lângă faptul că-i obişnuieşte pe elevi cu un procedeu de investigaţie ştiinţifică, are şi o mare valoare formativă.

Totodată, exersarea elevilor în trecerea de la un model la altul, pentru a exprima acelaşi conţinut informativ, dezvoltă mobilitatea şi flexibilitatea gândirii.

Caracterul reflectiv al modelelor, valoarea lor cognitivă, atribuie acestora însemnate virtuţi operaţionale, în sensul că ele oferă examinării elevilor un material mai maleabil, elemente incluse în structura unui model se pot manevra cu uşurinţă şi sunt supuse controlului.

Un model îndeplineşte o funcţie euristică (explorativ-explicită) întrucât incită elevii la un efort de căutare şi investigare. Pentru elevii ciclului primar sunt accesibile modelele materiale. Algoritmul este un sistem de raţionamente şi operaţii care se desfăşoară într-o anumită succesiune finită care, fiind respectată riguros, conduce în mod sigur la recunoaşterea şi rezolvarea problemelor de acelaşi tip. Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmi în învăţare.

Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operaţii mintale pe care trebuie să le efectueze pentru a recunoaşte într-un context nou, noţiunea sau teorema învăţată anterior şi a putea opera cu ea.

În plan didactic aceste operaţii mintale se exteriorizează prin rezolvarea unor exerciţii şi probleme de acelaşi tip. Pentru ca algoritmii să devină instrumente ale gândirii elevilor, este necesar să nu fie daţi ci să-i punem pe elevi în situaţia de a parcurge toate etapele elaborării

50

lor, pentru a putea conştientiza fiecare element. Folosirea metodei algoritmizării ne ajută să înzestrăm elevii cu modalităţi economice de gândire şi acţiune.

Vom exemplifica printr-un exerciţiu în care elevii vor folosi cunoştinţele dobândite anterior în rezolvarea unui exerciţiu descompunându-l în operaţii intermediare.

Exemplu: {[(14a - 60) : 4 + 38] · 12 - 200} : 250 = 4 Care este valoarea lui a? [(14a - 60) : 4 + 38] · 12 - 200 = 1000 (250 · 4) [(14a - 60) : 4 + 38] · 12 = 1200 (1000 +200) (14a - 60) : 4 + 38 = 100 (1200 : 12) (14a - 60) : 4 = 62 (100 - 38) 14a - 60 = 248 (62 · 4) 14a = 308 (248 + 60) a = 22 (308 : 14) În rezolvarea acestor exerciţii elevii vor parcurge un număr de operaţii. În această

succesiune de operaţii vor obţine rezultate intermediare pe care le vor folosi mai departe într-o anumită ordine. Această succesiune a operaţiilor într-o anumită ordine este denumită rezolvare algoritmică a exerciţiului dat.

În cazul rezolvării unui anumit tip de probleme, elevul îşi însuşeşte o suită de operaţii pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip. Încă din clasa I vom obişnui elevii să rezolve şi să alcătuiască probleme după formule numerice sau literale.

Jocul de rol ca metodă se bazează pe ideea că se poate învăţa nu numai din experienţa directă, ci şi din cea simulată. A simula este similar cu a mima, a te preface, a imita, a reproduce în mod fictiv situaţii, acţiuni, fapte.

Scopul jocului este de a-i pune pe participanţi în ipostaze care nu le sunt familiare tocmai pentru a-i ajuta să înţeleagă situaţiile respective şi pe alte persoane care au puncte de vedere, responsabilităţi, interese, preocupări şi motivaţii diferite. Este ştiut faptul că de cele mai multe ori avem tendinţa de a subaprecia, de a blama sau, dimpotrivă, de a supraaprecia „rolurile” pe care diferite persoane cu care intrăm în contact trebuie să le îndeplinească. De asemenea, de multe ori „încremenirea în propriul proiect” ne împiedică să vedem posibile variaţii şi alternative ale propriilor „roluri”. Din această perspectivă, prin jocul de rol elevii pot învăţa despre ei înşişi, despre persoanele şi lumea din jur într-o manieră plăcută şi atrăgătoare.

Există mai multe variante, dintre care menţionăm: Jocul cu rol prescris, dat prin scenariu – participanţii primesc cazul şi descrierea rolurilor pe care le interpretează ca atare. Jocul de rol improvizat, creat de cel care interpretează – se porneşte de la o situaţie dată şi fiecare participant trebuie să-şi dezvolte rolul. Etapele metodei:

- Stabiliţi obiectivele pe care le urmăriţi, teme/problema pe care jocul de rol trebuie să le ilustreze şi personajele de interpretat.

- Pregătiţi fişele cu descrierile de rol. - Decideţi împreună cu elevii câţi dintre ei vor juca roluri, câţi vor fi observatori, dacă se

interpretează simultan, în grupuri mici sau cu toată clasa. - Stabiliţi modul în care se va desfăşura jocul de rol:

• ca o povestire în care naratorul povesteşte desfăşurarea acţiunii şi diferite personaje care o interpretează;

• ca o scenetă în care personajele interacţionează, inventând dialogul odată cu derularea acţiunii;

51

• ca un proces care respectă în mare măsură o procedură. Acordaţi elevilor câteva minute pentru a analiza situaţia şi pentru a-şi pregăti rolurile/ reprezentaţia. Dacă este nevoie, aranjaţi mobilierul pentru a avea suficient spaţiu.

- Elevii interpretează jocul de rol. În timpul reprezentării, uneori este util să întrerupeţi într-un anumit punct pentru a le cere elevilor să reflecteze la ceea ce se întâmplă (dacă se ajunge la un moment exploziv în interpretarea unui conflict este chiar necesar să le cereţi să-l rezolve într-un mod neviolent).

- În final, este important ca elevii să reflecteze la activitatea desfăşurată ca la o experienţă de învăţare. Evaluaţi activitatea cu „actorii” şi „spectatorii”. Întrebaţi-i: • Ce sentimente aveţi în legătură cu rolurile/situaţiile interpretate? • A fost o interpretare conformă cu realitatea? • A fost rezolvată problema conţinută de situaţie? Dacă da, cum? Dacă nu, de ce? • Ce ar fi putut fi diferit în interpretare? Ce alt final ar fi fost posibil? • Ce aţi învăţat din această experienţă?

La clasă se poate aplica jocul de rol pe tema „La cumpărături”. Având la dispoziţie o anumită sumă de bani şi obiecte care au preţuri prestabilite, elevii au ca sarcină „efectuarea de cumpărături”, cu condiţia să se încadreze exact în suma de bani pe care o au la dispoziţie. Deoarece jocul de rol simulează situaţiile reale, se pot ivi întrebări care nu au un răspuns simplu, de exemplu despre comportamentul corect sau incorect al unui personaj. În aceste situaţii, este indicat să sugeraţi că nu există un singur răspuns şi nu trebuie să vă impuneţi un punct de vedere asupra unor probleme controversate. Este foarte important ca elevii să accepte punctele în care se pare că s-a ajuns la o înţelegere şi se pot lăsa deschise anumite aspecte care sunt discutabile.14 Cubul este o metodă folosită în cazul în care se doreşte explorarea unui subiect, a unei situaţii etc. din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor posibilitatea de a-şi dezvolta competenţele necesare unei abordări complexe şi integratoare. Etapele metodei: 1. Se confecţionează un cub pe ale cărui feţe s-au notat cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează. 2. Se anunţă tema/subiectul pus în discuţie (Figuri şi corpuri geometrice) 3. Se împarte grupul în 6 subgrupuri, fiecare subgrup urmând să examineze tema aleasă din perspectiva cerinţei de pe una din „feţele” cubului, astfel: Descrie: culorile, formele, mărimile etc. (sunt descrise principalele figuri şi corpuri geometrice.) Compară: ce este asemănător şi ce este diferit? (sunt comparate două dintre figuri: pătratul şi dreptunghiul.) Asociază: la ce te îndeamnă să te gândeşti? (elevii fac legătura cu obiectele din mediul înconjurător, stabilind asemănări ale formei.) Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune etc? (stabilesc numărul de laturi, unghiuri ale figurilor geometrice, feţele corpurilor etc.) Aplică: ce poţi face cu el? Cum poate fi el folosit? (folosesc corpurile geometrice la construirea unei case.)

14 Nick Wilson & al: Învăţarea activă, Ghid pentru formatori şi cadre didactice, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Seria CALITATE ÎN FORMARE, Bucureşti, 2001

52

Argumentează pro sau contra şi enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmaţiei tale. (sunt implicaţi în studiul unei probleme, de exemplu forma paralelipipedică a acoperişului unei case.)

Prin brainstorming, participanţii pot identifica idei novatoare pe care le pot include apoi într-un paragraf sau două referitoare la tema respectivă. 4. Forma finală a scrierii este împărtăşită întregului grup. 5. Lucrarea în forma finală poate fi desfăşurată pe tablă sau pe pereţii clasei. Brainstorming. Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele „brain” =creier şi „storm” = furtună, plus „-ing” specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă „furtună în creier” – efervescenţă, aflux de idei, o stare de intensă activitate imaginativă, un asalt de idei.

Prin folosirea acestei metode se provoacă şi se solicită capacitatea de a trăi anumite situaţii, de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce priveşte alegerea soluţiilor optime şi se exersează atitudinea creativă şi exprimarea personalităţii.

Etapele metodei: - Se alege tema şi se anunţă sarcina de lucru; grupuri de minimum 10 persoane. - Se solicită exprimarea într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte şi concrete, a tuturor

ideilor – chiar trăsnite, neobişnuite, absurde, fanteziste, aşa cum vin ele în minte legate de rezolvarea unei situaţii-problemă conturate. Se pot face asociaţii în legătură cu afirmaţiile celorlalţi, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup, dar atenţie, fără referiri critice. Se suspendă orice gen de criticism, nimeni nu are voie să facă observaţii negative. În acest caz funcţionează principiul „cantitatea generează calitatea”.

- Totul se înregistrează în scris, pe tablă, flipchart, video, reportofon, etc. - Se lasă o pauză (de 15 minute, uneori chiar şi o zi) pentru „aşezarea” ideilor emise şi

recepţionate. - Se reiau pe rând ideile emise, iar grupul găseşte criterii de grupare a lor pe categorii-

simboluri, cuvinte-cheie, imagini care reprezintă posibile criterii. - Grupul se împarte în subgrupuri, în funcţie de categoriile de idei listate, pentru

dezbatere. Dezbaterea se poate desfăşura însă şi în grupul mare. În această etapă are loc analiza critică, evaluarea, argumentarea şi contraargumentarea ideilor emise anterior. Se selectează ideile originale sau cele mai aproape de soluţii fezabile pentru problema pusă în discuţie. Se discută liber, spontan, riscurile şi contradicţiile care apar.

- Se afişează ideile rezultate de la fiecare subgrup, în forma cât mai variate şi originale: cuvintele, propoziţii, colaje, imagini, desene, cântece, joc de rol, pentru a fi cunoscute de ceilalţi.

Învăţătorul trebuie să fie un autentic catalizator al activităţii, care să încurajeze exprimarea ideilor, să nu permită intervenţii inhibante şi să stimuleze explozia de idei. Ştiu/Vreau să ştiu/Am învăţat. Cercetările în domeniu au arătat că învăţarea este optimizată atunci când se bazează pe o cunoaştere şi experienţe anterioare ale elevilor care le permit acestora să lege ceea ce ştiu de noile informaţii care trebuie învăţate. Prin metoda „Ştiu/vreau să ştiu/am învăţat”15 se trece în revistă ceea ce elevii ştiu deja despre o temă şi apoi se formulează întrebări la care se aşteaptă găsirea răspunsurilor în lecţie. 15 Nick Wilson & al: Învăţarea activă, Ghid pentru formatori şi cadre didactice, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Seria CALITATE ÎN FORMARE, Bucureşti, 2001

53

Etapele metodei: - Cereţi la început elevilor să formeze perechi şi să facă o listă cu tot ceea ce ştiu despre

tema abordată. În timp ce elevii realizează lista, învăţătorul construieşte pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Ştiu; Vreau să ştiu; Am învăţat.

- Ştiu

- Ceea ce ştim/credem că ştim

- Vreau să Ştiu - Ceea ce vrem să ştim

- Am Învăţat - Ceea ce am învăţat

- - - - Cereţi perechilor să spună ce au scris şi notaţi în coloana din stânga informaţiile cu care

tot grupul este de acord. - Folosind această metodă elevii vor elabora o listă de întrebări. - Elevii vor identifica întrebările pe care ei le au despre subiectul abordat, iar învăţătorul

le va lista în a doua coloană a tabelului. Aceste întrebări vor evidenţia nevoile de învăţare ale elevilor în legătură cu tema abordată.

- Elevii citesc un text individual sau cu un coleg sau învăţătorul îl citeşte elevilor. - După lectura textului, reveniţi asupra întrebărilor formulate în prima coloană, constataţi

la care s-au găsit răspunsurile în text şi treceţi-le la coloana „Am învăţat”. - Elevii vor face comparaţie între ceea ce ei ştiau deja despre tema abordată, tipul şi

conţinutul întrebărilor pe care le-au formulat şi ceea ce ei au învăţat prin lecturarea textelor. - Elevii compară ceea ce cunoşteau înainte de lecturare (informaţiile din prima coloană a

tabelului ) cu ceea ce ei au învăţat (a treia coloană a tabelului). Discutaţi cu elevii unde ar putea căuta respectivele informaţii. Unele din întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns şi s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigaţii personale.

- Informaţia cuprinsă în coloana a treia „Am învăţat” poate fi organizată în diferite categorii.

Această metodă poate fi aplicată la clasă în cadrul lecţiilor de matematică referitoare la metode de rezolvare a problemelor. Mozaicul este o metodă de învăţare prin colaborare şi are la bază împărţirea grupului mare de elevi în mai multe grupe de lucru, coordonate de învăţător.

Etapele metodei: Etapa 1 Se împarte clasa de elevi în grupe pe cât posibil eterogene a câte 4 elevi, apoi elevii fiecărei grupe numără până la 4, astfel încât fiecare membru al grupei să aibă un număr de la 1 la 4. Se dă apoi fiecărui membru al grupei o fişă de învăţare care cuprindea o unitate de cunoaştere (o problemă16 şi 4 cerinţe referitoare la aceasta): Diagrama următoare indică masa unor alimente de bază consumate, într-un an, de către fiecare locuitor al uneia din cele patru ţări. Aflaţi cantitatea totală de alimente consumată anual de un locuitor în: Germania, Franţa , Marea Britanie, Italia

16 Neagu M., Petrovici C., Aritmetică – exerciţii, jocuri şi probleme, clasa a IV -a, Editura Polirom, Iaşi, 1997

54

0

10

20

30

40

50

60

70

80

fructe zahăr carne unt

GermaniaFranţaMarea BritanieItalia

După cum se observă, problema cuprinde atâtea sarcini câte grupe de elevi s-au constituit, fiecare grupă primind o sarcină a problemei. Se discută pe scurt enunţul problemei. Apoi se explică elevilor că pentru ora respectivă, sarcina lor este să înţeleagă diagrama pentru a reuşi să rezolve cerinţele problemei. Se specifică faptul că, la sfârşitul orei, fiecare elev va trebui să ştie să rezolve întreaga problemă, şi că aceasta va fi predată de colegii de grup, pe fragmente. De asemenea, se atrage atenţia că problema cuprinde patru cerinţe. Toţi cei care au numărul 1 vor primi prima parte, cei care au numărul 2 vor primi a doua parte, ş.a.m.d. Etapa 2: Toţi elevii care aveau numărul 1 se aduna într-un grup, cei cu numărul 2 în alt grup etc. Se explică faptul că grupurile formate din cei cu numerele 1, 2, 3 şi 4 se vor numi de acum grupuri de „experţi”. Sarcina lor este să rezolve corect cerinţa prezentată în secţiunea din articol care le revine. Trebuie s-o citească şi s-o discute între ei pentru a o înţelege bine. Apoi vor hotărî împreună modul în care o pot preda, pentru că urmează să se întoarcă la grupul lor originar pentru a preda această parte celorlalţi. Se atrage atenţia că este foarte important ca fiecare membru al grupului de experţi să înţeleagă că el este responsabil de predarea acelei porţiuni a problemei celorlalţi membri ai grupului iniţial, acordându-le destul timp pentru a parcurge cerinţa lor din problemă, pentru a discuta şi elabora strategiile de predare. Etapa 3: După ce grupele de experţi şi-au încheiat lucrul, fiecare elev se întoarce la grupul său iniţial şi predă celorlalţi conţinutul pregătit. Se atrage din nou atenţia că este foarte important ca fiecare elev din grup să stăpânească conţinutul tuturor cerinţelor problemei. Elevii notează orice întrebări sau nelămuriri au în legătură cu rezolvarea problemei şi cer apoi învăţătorului clarificări pe acea secţiune. Unii elevi care rămân în continuare nelămuriţi, vor adresa întrebarea întregului grup de experţi în acea secţiune. În final, învăţătorul reaminteşte tema şi unităţile de învăţare, apoi cere elevilor să prezinte oral, în ordinea iniţială, fiecare cerinţă a problemei, aşa cum au asimilat-o în cadrul grupului de „experţi”. Astfel se trece în revistă tema în unitatea ei logică. Pentru feed-back-ul activităţii, învăţătorul aplică un test, adresează întrebări pentru a verifica gradul de înţelegere a noului conţinut, capacitatea de analiză, sinteză, de argumentare a

55

afirmaţiilor făcute. De exemplu, se pot adresa elevilor întrebări de tipul: „ În ce ţară un locuitor consumă cea mai mare cantitate de fructe?”, „Câte kg de unt consumă un britanic într-un an?”, „Care este naţionalitatea celui de-al doilea consumator de carne?”, „Care este în acelaşi timp al doilea consumator de unt şi primul consumator de zahăr?” etc, cu scopul de a evalua capacitatea de interpretare a graficelor de către elevi. În timpul învăţării prin colaborare învăţătorul monitorizează predarea, pentru a fi sigur că informaţia se transmite corect şi că poate servi ca punct de plecare pentru diverse întrebări; stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.

Această metodă prezintă avantaje deoarece are un caracter formativ, stimulează încrederea în sine a elevilor, dezvoltă abilităţi de comunicare argumentativă şi de relaţionare în cadrul grupului, dezvoltă gândirea logică, critică şi independentă, dezvoltă răspunderea individuală şi de grup. Organizatorul grafic (O.G.), ca metodă de învăţare activă uşurează esenţializarea unui material informativ care urmează să fie exprimat sau scris , schematizând ideea/ideile. Pe de altă parte, se poate afirma că „organizatorul grafic” este pentru învăţător şi/sau pentru elevi o grilă de sistematizare a noţiunilor, o gândire vizualizată prin reprezentarea grafică a unui material.

Această metodă ajută elevii să poată face o corelare între ceea ce ştiu şi ceea ce urmează să înveţe sau la ceea ce vor trebui să răspundă, iar pe învăţător îl ajută să stabilească obiectivele lecţiei, să conştientizeze mai bine ceea ce vrea să predea şi ceea ce vrea să evalueze, să descopere punctele tari şi slabe ale elevilor pentru a le oferi sprijin.

Organizatorul grafic oferă posibilitatea eliminării redundanţei din informaţie. Reprezentarea vizuală a unor noţiuni, fenomene, concepte, în ajută pe elev să recurgă la informaţia anterioară deţinută, să analizeze, să sintetizeze, să evalueze şi să decidă (poate în urma unui asalt de idei) ce va lua în considerare şi ce va omite din tot ceea ce ştie pentru a rezolva o problemă/situaţie problemă.

Organizatorul grafic se poate utiliza pentru prezentarea structurată a informaţiei în cinci moduri: Organizatorul grafic pentru monitorizarea structurilor de tip comparativ. Prin această metodă vor fi solicitaţi elevii să găsească asemănările şi deosebirile sau diferenţele dintre pătrat şi dreptunghi, între cub şi paralelipiped, între adunare şi înmulţire etc. şi apoi să completeze un O.G. (după ce au studiat cu atenţie materialele). Se cer elevilor explicaţii asupra asemănărilor şi deosebirilor găsite şi înscrise în O.G., prin compararea celor două sau mai multe noţiuni, concepte, lucruri. De exemplu:

PĂTRATUL ŞI DREPTUNGHIUL

ASEMĂNĂRI DEOSEBIRI

56

1._________________ 2. ________________ 3. ________________

Organizatorul grafic pentru structuri de tip descriere. De exemplu, se va cere elevilor să noteze/să descrie caracteristicile, proprietăţile, utilizările, componentele figurilor şi corpurilor geometrice, după analiza şi studierea acestora. Exemplu schematic: Organizator grafic pentru structuri de tip secvenţial. În acest caz elevii sunt solicitaţi să listeze concepte, evenimente, itemi, operaţii etc, în ordine cronologică, numerică, deci etapizat, secvenţial. Exemplu schematic: De exemplu : Scrieţi numele râurilor din tabelul dat în ordinea crescătoare a lungimii lor.

NUMELE RÂULUI LUNGIMEA ÎN KM. 1. MUREŞ 559 2. PRUT 742 3. TROTUŞ 162 4. SIRET 761 5. MOLDOVA 213 6. OLT 615

Sau: Comparaţi suprafaţa României cu a celorlalte ţări. Pe a doua linie realizaţi un clasament.

Republica Moldova

România Ucraina Italia Iugoslavia Bulgaria Ungaria Franţa

33 700 km² 237 500 km² 603 700 km² 301 252 km² 102 173 km² 110 912 km² 93 030 km² 551 500 km²

CUBUL

Unghiuri drepte

Muchii egale

6 feţe pătrate

8 vârfuri

Laturi paralele

57

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000 Suprafaţa

Completaţi în grafic cu ajutorul datelor din tabelul anterior numele ţărilor: Un alt exemplu poate fi următoarea problemă pentru clasa a IV-a: Asişti la un concurs de paraşutism. Enumeră toate evenimentele posibile atunci când un concurent sare cu paraşuta şi estimează şansele de realizare a fiecărui eveniment în parte. Ordonează apoi aceste evenimente de la „imposibil” la „ sigur”. 4. Organizator grafic pentru structuri de tip cauză-efect. Elevii sunt antrenaţi, prin această metodă, să facă legătura dintre cauza şi efectul rezultat al unei acţiuni, fenomen etc. De exemplu, într-o problemă de tipul: Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este de 24 metri. Dacă se măreşte lungimea cu 9 metri, câţi metri de sârmă vor fi necesari pentru împrejmuirea terenului cu 3 rânduri de sârmă? Exemplu schematic: 5. Organizator grafic pentru structuri de tip problemă-soluţie. În această situaţie elevilor li se cere să detecteze problema /situaţia – problemă şi sunt puşi în situaţia de a o rezolva, de a găsi soluţia. Elevii care vor completa un O.G. vor enunţa problema şi vor lista una sau mai multe soluţii la problema enunţată. De exemplu: În 12 cutii cu bomboane, fiecare bomboană ar trebui să aibă 10 grame. Din greşeală, într-o cutie fiecare bomboană este cu un gram mai uşoară. Cum putem descoperi cutia respectivă făcând o singură cântărire?

Lungimea se măreşte cu 9 m

Se măreşte perimetrul cu ..............................

Se măreşte cantitatea de sârmă necesară cu .........................

Se măreşte aria cu .....................

Soluţia Problema

58

Se enunţă problema şi se listează una sau mai multe soluţii. O altă variantă este de a se formula o întrebare, iar apoi se abordează răspunsul la aceasta. Studiul de caz este o metodă care se bazează pe cercetare şi stimulează gândirea critică prin analiza, înţelegerea, diagnosticarea şi rezolvarea unui caz. Ea constă în confruntarea elevului cu o situaţie reală de viată, prin a cărei observare, înţelegere , interpretare, urmează să realizeze un proces de cunoaştere. Pentru ca o situaţie să devină caz trebuie să întrunească următoarele caracteristici:

• să fie autentică; • să suscite interesul; • să fie legată de interesele grupului, pentru ca participanţii să deţină informaţiile

necesare şi să găsească soluţii de rezolvare; • să fie complet prezentată;

să conţină toate datele necesare pentru a fi soluţionată. După I. Gherghit17 s-ar identifica următoarele etape ale studiului de caz:

- alegerea cazului şi conturarea principalelor elemente semnificative; - lansarea cazului ca o situaţie problematică; - procurarea informaţiei în legătură cu cazul (prin observare, anchetă, experiment); - sistematizarea materialului; - dezbatere asupra informaţiei culese; - stabilire concluziilor şi valorificarea proprie.

Toate aceste elemente ne îndreptăţesc să o considerăm o metodă complexă care concentrează în sine o suită întreagă de alte metode fără de care nu poate exista. Această metodă este greu utilizabilă în orele de matematică, dar poate fi folosită cu succes în cercurile matematice de elevi. Jocul ca metodă la clasele mici, accentuează rolul formativ al activităţilor matematice prin:

- exersarea operaţiilor gândirii (analiză, sinteză, comparaţie, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea);

- dezvoltă spiritul de iniţiativă, de independenţă , dar şi de echipă; - formarea unor deprinderi de lucru corect şi rapid; - însuşirea conştientă, temeinică, într-o formă accesibilă, plăcută şi rapidă, a

cunoştinţelor matematice; Ca formă de activitate, jocul didactic matematic este specific pentru vârstele mici. Structura jocului didactic matematic se referă la:

- Scopul didactic; - Sarcina didactică; - Elemente de joc; - Conţinutul matematic; - Materialul didactic; - Regulile jocului;

Desfăşurarea jocului didactic matematic cuprinde următoarele etape: - introducerea în joc; - prezentarea materialului; - anunţarea titlului jocului şi prezentarea acestuia; - explicarea şi demonstrarea regulilor jocului;

17 Cerghit I., Metode de învăţământ, Polirom, Iaşi, 2006

59

- fixarea regulilor; - executarea jocului de probă; - executarea jocului de către copii; - complicarea jocului, introducerea de noi variante; - încheierea jocului evaluarea conduitei de grup sau individuale. O activitate matematică bazată pe exerciţiu poate fi rigidă şi monotonă mai ales pentru

copiii de 7-8 ani. Învăţătorul trebuie, în acest caz, să întreţină şi să stimuleze interesul pentru activitate, introducând elemente cu caracter ludic. În acest mod exerciţiul devine dinamic, precis, corect, atractiv şi stimulează participarea la lecţie a elevilor.

Chiar dacă porneşte de la o sarcină euristică, învăţătorul poate transforma intenţia de joc în acţiune propriu-zisă de învăţare şi motivează participarea activă a elevilor prin elementele sale specifice: competiţia, manipularea, surpriza, aşteptarea.

Orice exerciţiu sau problemă matematică poate deveni joc didactic dacă: realizează un scop şi o sarcină didactică din punct de vedere matematic; foloseşte elementele de joc în vederea realizării sarcinii; foloseşte un conţinut matematic accesibil şi atractiv, utilizează reguli de joc cunoscute anticipat şi respectate de elevi. Instruirea programată este o metodă multifuncţională cuprinzând o înlănţuire de algoritmi, dar şi de probleme de rezolvat, prezentate preponderent în formă verbală, dar şi cu includerea unor aspecte intuitive. A fost “brevetată” de B.F. Skinner, imediat după 1950.18 Parcurgerea unei teme se face programat ,adică inserat pe nişte fişe, ce se pot utiliza individual de către fiecare elev. Pe fişe sunt înscrise, în mod sistematic, secvenţele care conduc treptat la învăţarea temei, dar şi o listă cu răspunsurile exacte. Principiile instruirii programate sunt: - Principiul paşilor mici – materia de învăţat se împarte în fragmente, până la nivelul de înţelegere al copiilor. - Principiul răspunsului efectiv (principiul participării active) – nu sunt îngăduite golurile de răspuns, fiecare răspuns se sprijină pe rezolvarea altora anteriore lui. - Principiul confirmării imediate – după fiecare răspuns, elevul se confruntă cu lista răspunsurilor exacte. - Principiul ritmului individual.19 Avantajele instruirii programate sunt susţinute în legătură directă cu principiile enumerate: posibilitatea sporită de înţelegere, prin divizare a materiei; înlăturarea inconvenientelor de ritm al învăţării, dată fiind individualizarea; căpătarea treptată a independenţei de către elev; economia de timp (unii autori o neagă). Dezavantajele utilizării acestei metode sunt: - nu toate materialele şi nu toate noţiunile se pot organiza riguros; - fărâmiţarea excesivă contrazice modul de gândire a elevului, care este nu numai analitic ci şi sintetică; - tutelarea excesivă a elevului îi limitează posibilitatea dezvoltării capacităţilor creatoare; - conduce la negarea dialogului viu dintre învăţător şi elev; Ca urmare ar trebui introduse în compunerea ei şi unele secvenţe euristice propriu-zise, chiar în forma unor situaţii problematizante.20 Investigaţia reprezintă o activitate care poate fi descrisă astfel: 18 Cerghit I., Metode de învăţământ, Polirom, Iaşi, 2006

19 idem

20 idem

60

elevul primeşte o sarcină prin instrucţiuni precise, sarcină pe care trebuie să o înţeleagă; elevul trebuie să rezolve sarcina, demonstrând şi exersând totodată o gamă largă de cunoştinţe şi capacităţi în contexte variate; Prin investigaţii, învăţătorul poate urmări procesul de învăţare, realizarea unui produs sau/şi atitudinea elevului. Sarcinile de lucru adresate elevilor de către învăţători în realizarea unei investigaţii, pot varia ca nivel de complexitate a cunoştinţelor şi competenţelor implicate, după cum urmează: -simpla descriere a caracteristicilor unui obiect, lucruri deprinse din realitatea imediată sau fenomene observate direct de către elev şi comunicarea în diferite moduri a observaţiilor înregistrate prin intermediul desenelor, graficelor, tabelelor; -utilizarea unor echipamente simple pentru a face observaţii, teste referitoare la fenomenele supuse atenţiei elevilor. Aceste fenomene constituie baza pentru realizarea unor comparaţii adecvate între fenomenele respective sau între ceea ce au înregistrat direct şi ceea ce au presupus că se va întâmpla (confirmarea sau nu a predicţiilor făcute). Pe baza înregistrării sistematice a observaţiilor se emit concluzii prezentate într-o formă ştiinţifică şi argumentată logic pentru confirmarea predicţiilor formulate. Selectarea materialelor adecvate realizării sarcinii, înregistrarea observaţiilor specifice, prezentarea acestora sub formă de concluzii, utilizând desene, tabele şi grafice, sunt tot atâtea operaţii care antrenează elevii într-o formă de activitate teoretico-practică cu puternice valenţe formative. Proiectul reprezintă o modalitate de învăţare mult mai amplă decât investigaţia. Proiectul se structurează în timp astfel: - începe în clasă, prin definirea şi înţelegerea sarcinii de lucru eventual şi prin începerea rezolvării acesteia; - se continuă acasă pe parcursul a zile sau săptămâni, timp în care elevul are permanente consultări cu învăţătorul; - se încheie tot în clasă, prin prezentarea în faţa colegilor a unui raport asupra rezultatelor obţinute şi, dacă este cazul, a produsului realizat; Etapele proiectului presupun direcţionarea eforturilor elevilor în două direcţii la fel de importante din punct de vedere metodologic şi practic: colectarea datelor; realizarea produsului;

Proiectul poate lua forma unei sarcini de lucru individuale sau de grup, ţinând cont şi de faptul că o bună parte a activităţilor presupuse de acesta poate fi realizat şi în afara orelor de curs. Alegerea temei pentru proiect poate fi făcută de către învăţător sau poate aparţine elevilor. În demersul de realizare a unui proiect următorii paşi sunt foarte important de urmărit:

- stabilirea domeniului de interes; - stabilirea premiselor iniţiale, cadrul conceptual, metodologic, datele generale ale

investigaţiei/anchetei; - identificarea şi selectarea resurselor materiale; - precizarea elementelor de conţinut ale proiectului.

Elementele de conţinut ale proiectului se pot organiza după următoarea structură: Pagina de titlu pe care, de obicei, se consemnează tema proiectului, numele autorului, şcoala, perioada în care s-a elaborat proiectul. Cuprinsul proiectului care prezintă titlurile capitolelor şi subcapitolelor pe care se structurează lucrarea .

61

Introducerea care include prezentarea cadrului conceptual şi metodologic căruia i se circumscrie studiul temei propuse. Dezvoltarea elementelor de conţinut, a capitolelor şi subcapitolelor care oferă substanţă şi fundament analizei iniţiale. Concluzii care sintetizează elementele de referinţă deprinse în urma studiului temei respective, sugestii/propuneri de ameliorare a aspectelor vulnerabile semnalate. Bibliografia Anexa care include toate materialele importante rezultate în urma aplicării unor instrumente de investigaţie (grafice, tabele, chestionare, fişe de observaţie etc.) şi care susţin demersul iniţiat. În practica instruirii, proiectul poate fi utilizat în diferite forme şi cu şcolarii mici prin: - efectuarea de investigaţii privind noţiunile matematice studiate; - proiectarea şi confecţionare unor modele matematice. Strategia de evaluare a proiectului trebuie să fie clar definită prin criterii negociate sau nu cu elevii, astfel încât să valorizeze efortul exclusiv al elevului în realizarea proiectului.

4.3 Forme de organizare a activităţii elevilor Având în vedere că învăţământul se desfăşoară în clasă, pe clase, organizarea lui se referă, în primul rând, la activitatea desfăşurată de colectiv, încât fiecare elev să fie angajat intens, să realizeze sarcinile învăţării, încă din timpul lecţiei. Teoria didactică înregistrează mai multe forme de organizare a activităţilor elevilor, distincte sau combinate. Învăţătorul poate face apel la următoarele forme21, după condiţiile determinate de celelalte elemente ale sistemului instruirii: 1(a) Activitate frontală caracterizată prin:

- sarcină frontală unică; - elevii - rezolvă în colectiv; - răspund în colectiv; - învăţătorul sintetizează răspunsul colectiv.

1(b) Activitate frontală caracterizată prin: - sarcină frontală unică; - elevii - rezolvă independent; - formulează răspunsuri individuale; - învăţătorul sintetizează răspunsul final.

2(a) Activitate independentă în grupuri eterogene caracterizată prin: - sarcină unică, frontală, nediferenţiată; - grup eterogen - elevii rezolvă independent, individual în cadrul grupului; - elevii răspund prin cooperare pe grupe; - învăţătorul sintetizează răspunsurile primite de la grupurile de elevi.

2(b) Activitate independentă în grupuri eterogene caracterizată prin: - sarcină frontală, diferenţiată, echivalentă; - elevii rezolvă individual în cadrul grupului; - elevii dau răspunsuri independente , - învăţătorul sintetizează răspunsurile primite de la grupurile de elevi.

3 Activitate independentă pe grupe omogene se caracterizează prin: - sarcini diferenţiate ca obiective, conţinut şi mod de realizare;

21 Joiţa E., Didactica aplicată – învăţământul primar, Editura “Gheorghe Alexandru”, Craiova,1994

62

- elevii rezolvă independent; - formulează răspunsuri individuale; - învăţătorul îndrumă şi apreciază răspunsurile finale..

4 Activitate independentă individualizată se caracterizează prin: -sarcini individualizate ca obiective, conţinut , realizare; -elevii rezolvă , independent, individual; -răspund individual -învăţătorul distribuie sarcinile, urmăreşte modul de realizare, îndrumă activitatea

elevilor. Aceste forme de organizare trebuie îmbinate (2-3) pe parcursul unei lecţii. Se observă că majoritatea variantelor au o strategie euristică, că rolul învăţătorului este fundamental în stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru, în cunoaşterea nivelului de dezvoltare al elevilor, în îndrumare şi finalizare, deci un rol de dirijare, nu de simplu transmiţător, realizând mai multe aspecte formative, educative. În ceea ce priveşte activitatea în grup, învăţătorii trebuie să fie atenţi ca sarcinile date să corespundă grupurilor de elevi. Grupurile eterogene primesc sarcini echivalente, iar grupurile de nivel presupun o tratare diferenţiată. Organizarea pe grupe de nivel se impune pentru o învăţare deplină, pentru prevenirea rămânerii în urmă la învăţătură, pentru stimularea elevilor capabili de performanţă. Munca în grup trebuie proiectată, organizată, condusă şi evaluată de cadrul didactic. Ea presupune:

-analiza temei şi a sarcinilor de instruire sau autoinstruire; -împărţirea sarcinilor pe membri grupului; -documentarea asupra temelor prin cercetarea diferitelor surse; -emiterea unor ipoteze şi opinii asupra rezultatelor probabile; -efectuarea de investigaţii practic-aplicative sau teoretice; -consemnare rezultatelor obţinute; -interpretarea rezultatelor obţinute; -întocmirea referatului final; -aprecierea şi evaluare rezultatelor.

Este important ca forma competitivă de lucru să fie îmbinată cu cea cooperativă, de ajutor reciproc, astfel încât să se dezvolte şi să se exerseze la elevi simţul responsabilităţii, atât pentru munca proprie, cât şi cea a colegilor din grupa de lucru.

4.4. Activitatea diferenţiată

Activitatea diferenţiată în cadrul lecţiilor este una din căile menite să realizeze o tratare adecvată a copiilor.

Strategia diferenţierii conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru şi modalităţi de organizare a activităţii pentru a îmbina cele trei forme de activitate (frontală, de grup şi individuală).

Indiferent de formele de activitate matematică pe care le desfăşoară elevii (la tablă, pe caiete, în grup, pe fişe individuale), învăţătorul trebuie să urmărească aplicarea întregului sistem diferenţiat. Sunt situaţii când în diferite forme de activitate se dau exerciţii care presupun toate gradele de dificultate lăsând elevilor posibilitatea de a rezolva numai pe acelea pe care reuşesc. La fel se poate proceda şi în rezolvarea problemelor, unde se pot formula sarcini multiple: de analiză, apoi de a rezolva prin alt procedeu, de a pune în exerciţiu, de a compune o problemă asemănătoare.

63

+ _

Tratarea diferenţiată a elevilor folosind fişele de muncă independentă este de un real folos, asigurând caracterul individual şi independent al învăţării, ritmul propriu de lucru al elevului, conform capacităţilor şi nivelului său de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi.

În activitatea la clasă, vom realiza întocmirea fişelor de muncă independentă folosind un conţinut diferenţiat, în funcţie de tematica propusă. Ele ajută la însuşirea temeinică a cunoştinţelor pe căi cât mai accesibile, specifice diferitelor grupe de elevi, dezvoltării intelectuale a acestora, stării lor de disciplină. Tipuri de fişe:

-fişe care conţin exemple prin care se verifică o definiţie dată; -fişe de predare-învăţare de cunoştinţe noi; -fişe de consolidare; -fişe de recuperare; -fişe de dezvoltare; -fişe pentru autocorectare;

Folosirea fişelor demonstrează că: -dispare pasivitatea elevului, fiecare lucrează în ritm propriu şi profită de maximum de lucrul efectuat; -elevii învaţă să gândească şi să acţioneze autonom, se creează un sentiment de răspundere proprie de învăţare; -stimulează creativitatea elevilor, dând posibilitatea de manifestare spontană a caracteristicilor individuale; -fixează tot atât de bine concepte cât şi tehnici; -permite învăţătorului să evalueze zilnic progresele realizate de şcolarii săi;

Fişele se folosesc în diferite momente ale lecţiei potrivit cu necesitatea desfăşurării ei în atingerea obiectivului urmărit.. În final se face o corectare frontală, o prezentare a soluţiilor de către învăţător. Dacă învăţătorul efectuează şi o activitate de sintetizare a rezultatelor, clasându-le şi trecându-le în tabele nominale, va putea urmări munca fiecărui elev, nivelul atins de acesta.

Fişele de muncă independentă pot avea diferite scopuri. Astfel există fişe de dezvoltare şi consolidarea cunoştinţelor, fişe de recuperare, dar şi fişe de elaborare (creativitate). I. Fişele de dezvoltare conţin exerciţii care să pună probleme în faţa elevilor foarte buni, să le solicite un efort, iar cu restul clasei vom lucra individual pe caiete de muncă independentă şi la tablă. Exemplu: a) Compune cât mai multe exerciţii de adunare şi scădere cu numerele 7, 3, 10. b) Completează căsuţele cu numere potrivite: 40 + = 80 - 60 - = 30 + Efectuează operaţiile conform săgeţilor (calculele în circuit) completând cu numerele potrivite: +

9 110

4

2

64

II. Fişele de consolidare şi fixare a cunoştinţelor au ca scop corectarea greşelilor colective şi individuale pe care le fac elevii în operaţii de adunare şi scădere. Exemplu: a) Completaţi fiecare căsuţă liberă cu numărul potrivit: 8 + 2 = - 3 = 10 + 3 = 7 19 - = 12 b) Completaţi căsuţele libere cu numere care să satisfacă egalităţile: 2 + 3 - = 19 5 + - 4 = 41 20 - 6 - =3 7 - + 6 = 10 III. Fişe de elaborare (creativitate): Exemplu: 1. Compuneţi 4 exerciţii de adunare a două numere în care suma să treacă de 10. 2. Compuneţi o problemă care să se rezolve printr-o operaţie de scădere şi una de adunare. 3. "Gândeşte şi socoteşte!" 12 + ? = 15 19 - 3 = ? ? - 60 = 20 18 - ? = 1

4.5. Modalităţi de integrare a calculatorului în lecţia de matematică

Calculatorul poate juca, în învăţare, doar un rol auxiliar - acela de a exemplifica şi

sublinia sau preciza spusele învăţătorului. El va prelua numai anumite segmente ale procesului de instruire. Nu se pune problema de a înlocui învăţătorul, ci de a prelua funcţiuni din activitatea sa de instruire , precum şi momente auxiliare din munca elevului. Explicaţia materialului nou prezentat o face, de regulă învăţătorul, care este sursa informaţiei, şi nu calculatorul. În secvenţele de muncă independentă/ diferenţiată, calculatorul poate interveni cu succes, deoarece este în stare să modifice ritmul de prezentare a temei în funcţie de particularităţile elevilor, să ofere subprograme diferenţiate de sprijin sau corectare, să regleze o segmentare mai extinsă sau mai comprimată a temei în funcţie de cerinţele elevilor.

Folosirea calculatorului presupune elaborarea unor variante/seturi de programe – adaptabile atât ritmurilor de lucru ale elevilor, cât şi etapelor proceselor de învăţare – care să fie introduse în prealabil în memoria calculatorului. Chiar şi în acest caz rămâne o parte de improvizaţie creativă, de adaptare din mers, imprevizibilă, care nu poate fi prelucrată integral de către calculator.

Utilizarea calculatorului se impune în secvenţa de instruire pe care învăţătorul nu le poate organiza şi realiza cu rezultate mulţumitoare în activităţi didactice obişnuite tradiţionale:

- simularea unor procese şi fenomene în mişcare prin imagini animate şi suplinirea, în felul acesta, a unor demonstraţii experimentale;

- desfăşurarea de activităţi diferenţiate pe grupe de nivel; - desfăşurarea de activităţi recapitulative; - organizarea de jocuri didactice în scopul aprofundării cunoştinţelor şi abilităţilor sau în

scopul îmbogăţirii acestora.

65

Utilizarea calculatorului impune pregătirea cadrelor didactice pentru a-l folosi. Acest program de învăţare este deja iniţiat în ţara noastră.

Calculatorul poate fi folosit în activităţile didactice în diferite forme: - secvenţe de pregătire pentru transmiterea de informaţii; - chestionare; - rezolvări de exerciţii şi probleme; - prezentarea de algoritmi şi diagrame; - aplicaţii practice; - demonstrarea unor metode; - interpretarea unor date; - simularea unor fenomene, experienţe şi interpretarea lor; - simularea unor jocuri didactice; - evaluarea rezultatelor şi autoevaluarea; - organizarea şi dirijarea învăţării independente pe baza unor programe de învăţare;

66

CAPITOLUL 5

Materiale şi mijloace didactice specifice activităţilor matematice

5.1. Mijloacele didactice Mijloacele didactice sunt elemente materiale adaptate sau selectate în scopul înde-plinirii sarcinilor instructiv-educative, încărcate cu un potenţial pedagogic şi cu funcţii specifice. Pornind de la faptul că mijloacele de învăţământ sunt instrumente în procesul de învăţare, ele se pot clasifica în două mari categorii: Mijloace de învăţământ care includ mesaj sau informaţie didactică; Mijloace de învăţământ care facilitează transmiterea mesajelor sau a informaţiilor; Din prima categorie fac parte acele mijloace care redau sau reproduc informaţiile pentru activitatea de învăţare, atât pentru formarea unor reprezentări sau imagini, cât şi prin exersarea unor acţiuni necesare în vederea formării operaţiilor intelectuale. În ultimii ani învăţământul primar utilizează manuale de matematică care au păstrat tematica clasică prezentată în alternative diferite, pe de o parte, iar pe de altă parte şi-au lărgit tematica cu subiecte noi , specifice perioadei de dezvoltare a societăţii şi a copiilor. Pe lângă manual sunt propuse şi diverse caiete pentru elevi , ca material auxiliar, cu menirea de a-i ajuta în învăţare. Au apărut şi diferite publicaţii cu teste, fişe, care au menirea de a-l ajuta pe elev să-şi verifice cunoştinţele, priceperile şi deprinderile, să-şi cunoască propriile performanţe sau lacune. Culegerile de exerciţii şi probleme ajută elevul în fixarea deprinderilor şi priceperilor deja însuşite. Ele conduc la obţinerea de performanţe în învăţarea activă a matematicii. Dacă aceste mijloace sunt folosite de elev sub directa îndrumare a învăţătorului, eficienţa învăţării matematicii atinge cote maxime.22 Prin prezentarea publicaţiilor de teste, fişe şi a culegerilor, am intrat de fapt şi în sfera mijloacelor care facilitează transmiterea mesajelor şi informaţiilor. Alte mijloace de învăţământ ar fi : -materiale grafice şi figurative - scheme, grafice, diagrame, fotografii, planşe, benzi desenate ( vezi Organizatorii grafici) -modele substanţiale, funcţionale şi acţionale (riglete, numere în culori, tabla magnetică cu modelele aferente, jetoane ştampilate); În practica educativă nu s-a renunţat şi nici nu trebuie să se renunţe la utilizarea mijloacelor de învăţământ din generaţiile I-III. Deşi face parte din prima generaţia a mijloacelor de învăţământ, tabla rămâne foarte folosită în procesul instructiv-educativ. Mijloacele tehnice de instruire sunt considerate ansambluri de procedee mecanice, optice, electrice şi electronice, de înregistrare, păstrare şi transmitere a informaţiei. În literatura pedagogică românească, mijloacele tehnice de instruire sunt definite ca ansamblu al mijloacelor de învăţământ cu suport tehnic şi care pretind respectarea unor norme tehnice de utilizare speciale.23 Mijloacele tehnice de instruire se pot clasifica după analizatorul solicitat astfel:

- vizuale, - auditive,

22 Neagu M., Beraru G., Activităţi matematice în grădiniţă, Editura Polirom, Iaşi, 1997

23 Herescu Ghe. I., Dumitru A.C., Matematică, Îndrumător pentru învăţători şi institutori, Editura Corint, Bucureşti, 2001

67

- audiovizuale. După caracterul static sau dinamic al imaginii ele pot fi:

- statice (epidiascopul, retroproiectorul); - dinamice (filmul, televiziunea, calculatoarele electronice);

Mijloace tehnice vizuale: - aparate - epiproiectorul, epidiascopul, diascopul, aspectomatul, aspectarul,

retroproiectorul, videoproiectorul, camera de luat vederi şi instalaţia video; - materiale - pentru proiecţia cu aparate video, documente tipărite, documente rare

(manuscrise, pergamente), diapozitive, diafilme, microfilme, folii pentru proiecţie, casete video. Mijloacele tehnice audio frecvent utilizate în şcoală sunt: radioul, pick-up-ul, magnetofonul, casetofonul, reportofonul, playerul CD etc. Mijloacele tehnice audio-vizuale sunt: televizorul, videocasetofonul în conexiune cu un monitor TV sau videoproiector. Mijloacele utilizate în instruirea programată pot fi: fişele programate, manualele programate, maşinile de învăţat (cele mai riguroase fiind calculatoarele).24 Diferitele funcţii pedagogice ale mijloacelor didactice determină o nouă clasificare a acestora în: • mijloace informativ-demonstrative ce servesc la exemplificarea, ilustrarea şi concretizarea noţiunilor matematice şi sunt constituite din: – materiale intuitive ce ajută la cunoaşterea unor proprietăţi ale obiectelor, specifice fazei concrete a învăţării; – reprezentări spaţiale şi figurative, corpuri şi figuri geometrice, desene (specifice rezolvării problemelor după imagini); – reprezentări simbolice, reprezentări grafice introduse de educatoare în faza semiabstractă de formare a unor noţiuni (simbolizările elementelor unor mulţimi, conturul mulţimii, cifrele şi simbolurile aritmetice). • mijloace de exersare şi formare de deprinderi – din această categorie fac parte jocurile de construcţii, trusa Diènes, trusele Logi I şi Logi II, rigletele. • mijloace de raţionalizare a timpului – constituite din şabloane, jetoane, ştampile, folosite de copii în activităţile matematice. Acestea se folosesc atât în activităţile frontale, cât şi în cele individuale. Copilul preşcolar şi şcolarul mic au la această vârstă o gândire preponderent intuitivă, operează la nivel concret cu mulţimi obiectuale şi în acest mod pătrunde sensul conceptului fundamental de mulţime şi îşi însuşeşte logica acestuia. De aceea, atât mijloacele, cât şi materialele didactice trebuie să fie cât mai variate şi mai reprezentative. Pe lângă materialul didactic confecţionat cu mijloace proprii, educatoarea/învăţătorul are posibilitatea să aleagă, funcţie de obiectivul urmărit şi tipul de activitate, o gamă variată de mijloace didactice.

Considerăm utilă enumerarea câtorva dintre aceste instrumente de lucru ce favorizează şi sprijină însuşirea şi formarea noţiunilor matematice în grădiniţă: 1. Trusa Diènes – formată din 48 de piese ce se disting prin patru atribute, fiecare având o serie de valori distincte. Atribute: – mărime cu 2 valori: mare, mic; – culoare cu 3 valori: roşu, galben, albastru; – formă cu 4 valori: pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc;

24 Ionescu M., Radu I., Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001

68

– grosime cu 2 valori: gros, subţire. Numărul pieselor este dat de toate combinaţiile posibile ale celor 4 atribute, fiecare fiind unicat. În total sunt: 2x3x4x2=48 piese. Numărul lor poate fi redus în cazul în care se renunţă la unele atribute sau valori, de exemplu: Grupa mică: – formă (cerc, pătrat); (12 piese) – culoare (roşu, albastru, galben); – mărime (mare, mic). Grupa mijlocie): – formă (cerc, pătrat, triunghi); (36 piese) – culoare (roşu, albastru, galben); – mărime (mare, mic); – grosime (gros, subţire). Grupa mare, clasa I: – formă (cerc, pătrat, triunghi, dreptunghi) ( 48 piese) – culoare (roşu, albastru, galben); – mărime (mare, mic); – grosime (gros, subţire).

Trusa poate fi folosită ca mijloc de exersare şi formare de deprinderi în activităţile matematice pe bază de exerciţii şi în jocurile logico-matematice, la formarea de mulţimi sau la numeraţie. 2. Logi I – trusă ce cuprinde figuri geometrice cu patru forme distincte (cerc, pătrat, triunghi, dreptunghi) în 3 culori diferite şi 2 dimensiuni, în total 24 de piese, deosebite de trusa Diènes prin faptul că nu au atributul de grosime. Dacă din trusa Diènes se elimină piesele groase, ea poate înlocui trusa Logi I. 3. Logi II – cuprinde în plus, faţă de trusa Logi I, forma de oval. 4. Rigletele Cuisenaire – conţin riglete în 10 culori şi lungimi de la 1 cm la 10 cm, simbolizând numerele naturale de la 1 la 10. Fiecare număr este reprezentat printr-o rigletă de o anumită lungime şi culoare: Numărul 1 – rigletă de culoare albă (de exemplu) – lungime 1 cm, iar numărul acestora este mai mare de 10 (12-50). Numărul 2 – rigletă de culoare roşie – lungime 2 cm, formată din două unităţi, pătrate cu latura de 1 cm. Numărul 10 – rigletă de culoare portocalie – lungime 10 cm, formată din 10 unităţi, pătrate cu latura de 1 cm, 10 bucăţi.

Folosirea rigletelor oferă mai multe avantaje: • fundamentează noţiunile de număr şi măsură; asocierea dintre culoare-lungime-unitate uşurează însuşirea proprietăţilor cardinale şi ordinale ale numărului; • oferă posibilitatea copilului de a acţiona în ritm propriu, potrivit capacităţilor sale, descoperind independent combinaţii de riglete, ce îl conduc spre înţelegerea compunerii, descompunerii numărului, dar şi a operaţiilor aritmetice. • asigură înţelegerea relaţiilor de egalitate şi inegalitate în mulţimea numerelor naturale, a operaţiilor aritmetice; copilul poate să afle lungimea părţii neacoperite când se suprapun două riglete de lungimi diferite. • asigură controlul şi autocontrolul în rezolvarea fiecărei sarcini prin caracterul structural al materialului; • oferă copilului posibilitatea de a acţiona, a aplica, a valorifica, a înţelege, asigurându-se astfel formarea mecanismelor operatorii.

69

În mod tradiţional, rigletele sunt folosite în lecţiile de matematică în clasa I. Datorită multiplelor avantaje de ordin pedagogic şi uşurinţei în folosire, utilizarea acestora la grupa mare şi la cea pregătitoare favorizează sistematizări la număr şi numeraţie şi determină transformări calitative în achiziţia acestui concept. 5. Jetoanele

Este vorba de jetoane colorate (cel puţin patru culori). Acest material are avantajul că este ieftin şi la îndemână. De asemenea, el este foarte uşor de mânuit. Jetoanele vor fi folosite pentru exerciţii de schimb (pentru constituirea noţiunii de bază) şi apoi pentru reprezentarea (urmată sau precedată de scriere) a diferitelor numere. 6. Minicalculator (Papy) Acest material, se compune din plăci pătrate împărţite în patru regiuni: una albă, una roşie, una roz şi una maro. Numerele de la 0 la 9 sunt reprezentate în baza 2. Două jetoane în regiunea albă echivalentă cu un jeton în regiunea roşie; două jetoane în regiunea roşie corespund la un jeton în regiunea roz; două jetoane în regiunea roz se înlocuiesc cu un jeton în regiunea maro.

maro roz roşu alb

Iată configuraţia numerelor de la 0 la 9. x x x x x x x x x x x x x x x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pentru a reprezenta numerele în baza 10, se adaugă o a doua regulă: de fiecare dată când un jeton se află în regiunea maro şi un altul în cea roşie, ele vor fi înlocuite cu un singur jeton în regiunea albă al unei a doua plăci (placa zecilor) pe care o plasăm la stânga primeia. Minicalculatorul permite efectuarea operaţiilor. Placa zecilor Placa unităţilor

x x

0 9 x x x x x x

1 0

5.2 Materialul didactic utilizat la matematică

Materialul didactic are un rol prioritar în cadrul strategiei didactice. Elasticitatea strategiei este dată nu numai de bogăţia şi mobilitatea metodelor, ci şi de folosirea flexibilă a

9+1

70

materialului didactic solicitat de particularităţile metodice ale fiecărei situaţii de învăţare sau secvenţă a lecţiei.

Termenul material didactic desemnează atât obiectele naturale, originale, cât şi pe cele concepute şi realizate special pentru a substitui obiecte şi fenomene reale.

Ceea ce oferă eficienţă materialului didactic este posibilitatea de a realiza o legătură permanentă între activitatea motrice, percepţie, gândire şi limbaj în etapele de realizare a sarcinilor didactice.

Manipularea obiectelor este impusă de particularităţile copiilor, care sunt tributari situaţiilor concrete, şi conduce mai rapid şi mai eficient la formarea percepţiilor. Manipularea cu obiecte este un punct de plecare (şi nu de sosire) şi totodată un mijloc de revenire atunci când apar nesiguranţe, dificultăţi de înţelegere, de aplicare şi de a putea trece apoi la manipularea imaginilor şi numai după aceea se continuă cu simboluri (aceasta fiind calea pentru accesul copiilor spre noţiuni abstracte).

Din punct de vedere psihologic, materialul didactic, corelat cu calitatea acţiunii în momentul perceperii, ajută la perfecţionarea capacităţii perceptive. Astfel, descrierea imaginii se realizează la un nivel superior atunci când copilul nu se rezumă să o observe, ci indică şi ceea ce vede. Astfel, descrierile copiilor devin mai organizate, abaterile de la sarcină sunt mai puţin frecvente. Ca efect al exersării pe un material didactic adecvat, are loc perfecţionarea actului perceptiv. În caz contrar, inerţia activităţii cognitive se explică printr-o lipsă de perfecţionare a percepţiei în procesul contactului repetat cu un obiect.

În folosirea materialului concret ca sprijin pentru formarea noţiunilor este necesar să se ţină seama de faptul că posibilităţile de generalizare şi abstractizare sunt limitate la copil. Din această cauză, trebuie eliminate orice elemente de prisos din materialul intuitiv şi din acţiunile efectuate, care ar putea orienta gândirea spre elemente întâmplătoare, neesenţiale. Selecţionarea strictă a materialului intuitiv, utilizarea lui într-un sistem economic şi logic organizat sunt mai importante decât folosirea unui material didactic abundent.

La preşcolar şi la şcolarul mic apar dificultăţi de diferenţiere, de separare a obiectului de fond; el nu sesizează că anumite obiecte se situează în prim plan, la un moment dat, în raport cu celelalte. Acum el îşi concentrează atenţia asupra stimulilor relevanţi şi, din punct de vedere perceptiv, forma prezintă variabilitate mai puţin consistentă decât culoarea, care este însă mai dinamică, mai sugestivă şi se impune mai direct în câmpul perceptiv.

Raportul de dominanţă formă-culoare depinde şi de modul în care culoarea este distribuită pe suprafaţa obiectului. Dacă obiectul este colorat într-o singură tonalitate, uniform distribuită, se produce un efect de adaptare la culoare, care trece culoarea pe planul doi în percepţie, iar forma devine dominanta perceptivă. Educatoarea/învăţătorul însoţeşte acţiunea cu materialul didactic cu explicaţii, iar activitatea este dirijată. Gândirea fiind concret-intuitivă, imaginea constituie suportul ei.

De multe ori, în activităţile matematice trebuie izolată una dintre proprietăţile obiec-tului. Pentru aceasta se pregătesc obiecte identice în toate privinţele, cu excepţia unei singure calităţi, care variază. De exemplu, pentru aprecierea dimensiunilor, materialul didactic trebuie să aibă aceeaşi formă, culoare şi să varieze numai elementul ce scoate în evidenţă dimensiunea. Acest procedeu izbuteşte să dea o mare claritate în actul de apreciere a dimensiunilor.

Materialul didactic bogat, variat, este un mijloc foarte eficient de comunicare între educatoare şi copil, căci dezvoltă capacitatea copilului de a observa şi de a înţelege realitatea, de a acţiona în mod adecvat; se asigură conştientizarea, înţelegerea celor învăţate, precum şi motivarea învăţării. În lecţie antrenează capacităţile cognitive şi motrice şi, în acelaşi timp, declanşează o atitudine afectiv-emoţională, favorabilă realizării obiectivelor propuse.

71

În realizarea unui obiectiv pedagogic apare astfel mai evident rolul metodelor şi al materialului didactic comparativ cu alţi factori ai procesului de învăţământ. Astfel, materialul didactic: • sprijină procesul de formare a noţiunilor, contribuie la formarea capacităţilor de analiză, sinteză, generalizare şi constituie un mijloc de maturizare mentală; • oferă un suport pentru rezolvarea unor situaţii-problemă ale căror soluţii urmează să fie analizate şi valorificate în lecţie; • determină şi dezvoltă motivaţia învăţării şi, în acelaşi timp, declanşează o atitudine emoţională pozitivă; • contribuie la evaluarea unor rezultante ale învăţării.

Un anumit material didactic este cu atât mai eficient cu cât înglobează o valoare cognitivă şi formativă mai mare, iar contextul pedagogic şi metoda folosită determină eficienţa materialului didactic prin valorificarea funcţiilor sale pedagogice. 1. Funcţia de comunicare (informare). Copilul dobândeşte cunoştinţe prin efort personal, sub directa îndrumare a cadrului didactic, pe baza unui material didactic cu rol de familiarizare a copilului în noul conţinut. 2. Funcţia ilustrativ-demonstrativă. Demonstrarea cu ajutorul materialului natural contribuie la formarea unor reprezentări şi noţiuni clare, cu un conţinut bogat şi precis, favorizând trecerea la operarea cu material iconic. 3. Funcţia formativ-educativă exersează capacitatea operaţională a proceselor gândirii, contribuind astfel la realizarea unui învăţământ formativ. Observarea devine exploratoare sistematică, iar analiza, sinteza, comparaţia sunt favorizate prin acţiunea directă a copilului pe material didactic. Atenţia este activizată şi percepţia este stimulată prin activităţi senzoriale, ca bază a perceperii corecte a proprietăţilor obiectelor şi, totodată, condiţie primordială a dezvoltării proceselor psihice de cunoaştere. 4. Funcţia stimulativă. Materialul didactic trezeşte interesul şi curiozitatea pentru ceea ce urmează să fie cunoscut de către copii. Ei devin activi şi interesaţi când trec la folosire în învăţatul obiecte şi participă cu mai multă uşurinţă la discuţii, căci materialul didactic suscită interes, trezeşte necesităţi noi de cunoaştere şi acţiune, concentrează atenţia şi mobilizează efortul de învăţare în timpul lecţiei. 5. Funcţia ergonomică decurge din calităţile unor materiale didactice de a contribui la raţionalizarea efortului copiilor în timpul desfăşurării procesului de învăţământ la limita valorilor fiziologice corespunzătoare dezvoltării somatice şi psihice şi le asigură ritmuri de învăţare în concordanţă cu particularităţile de vârstă ale copiilor. 6. Funcţia de evaluare a randamentului învăţării constă în posibilitatea oferită de materialul didactic de a pune în evidenţă rezultatele obţinute de copii şi de a uşura diagnosticarea şi aprecierea progresele înregistrate de aceştia. Se pot obţine astfel o serie de informaţii referitoare la rezultatele procesului didactic (cunoştinţe stocate, capacităţi şi deprinderi formate etc.). Se pot confecţiona şi utiliza materiale multifuncţionale pentru crearea de situaţii-problemă, menite să testeze posibilităţile copiilor de a opera cu datele învăţate. Aceştia vor trebui să identifice, să compare, să interpreteze situaţiile nou-create, educatoarea/învăţătorul având astfel posibilitatea de a verifica răspunsurile primite.

Deci, pentru a-i imprima o finalitate pedagogică, materialul didactic trebuie conceput şi realizat în aşa fel încât să contribuie la antrenarea preşcolarilor în activitatea de învăţare, să stimuleze participarea lor nemijlocită în dobândirea deprinderilor de aplicare a cunoştinţelor în practică.

Pentru atingerea scopului formativ al mijloacelor de învăţământ, trebuie îndeplinite o serie de condiţii psihopedagogice.

72

Nivelul de satisfacere a obiectivelor cărora le este destinat mijlocul de instruire; un element important în definirea calităţii pedagogice a unui material didactic îl reprezintă calitatea sa de a contribui la optimizarea corelaţiei dintre factorii de ordin ştiinţific, metodic şi psihologic implicaţi în conţinutul materialului şi în realizarea actului didactic. Integrat în actul de instruire, materialul didactic trebuie să ajute la parcurgerea fără obstacole a fiecăruia dintre nivelele de conceptualizare pentru orice achiziţie matematică, deoarece are un rol determinant în dobândirea nivelului concret, identificator şi clasificator, în formarea reprezentărilor şi conceptelor matematice. Aceasta presupune că educatoarea/învăţătorul trebuie să aleagă materialul didactic, mijloacele de învăţământ utile în realizarea unui anume obiectiv, în funcţie de etapele în care se formează orice reprezentare matematică. În etapa concretă, copilul manipulează obiecte concrete în scopul formării unor reprezentări matematice concrete şi clare. În etapa semiconcretă, educatoarea/învăţătorul va introduce materiale structurate (truse Diènes, riglete, figuri geometrice, piese magnetice), iar în etapa simbolică, obiectivul urmărit se atinge prin folosirea diagramelor şi desenelor.

Calitatea estetică a mijloacelor de învăţământ contribuie la realizarea unor obiective de ordin afectiv, la stimularea motivaţiei de învăţare, dar calitatea estetică trebuie să constituie un factor de întărire şi nu de distragere a atenţiei copilului.

Dimensionarea în raport cu vârsta copilului: materialele didactice folosite de educatoare trebuie să aibă şi indici de vizibilitate adaptaţi spaţiului şi vârstei. Acelaşi material folosit demonstrativ va fi suficient de mare pentru a favoriza intuirea elementelor esenţiale, conform scopului în care este utilizat, iar dacă este distributiv, atunci trebuie să aibă dimensiuni optime. Dacă va fi prea mare, va ocupa prea mult loc şi va fi greu de folosit, iar dacă va fi prea mic, va crea dificultăţi în manipulare, datorită faptului că musculatura mâinilor copilului nu este maturizată funcţional (îl va lua cu greutate, îl va scăpa jos, nu-l va putea plasa uşor în poziţia solicitată în cadrul rezolvării unei situaţii de învăţare).

Soluţiile constructive adoptate pentru mijloacele didactice trebuie să confere materi-alului uşurinţă în manipulare şi calitate actului educativ: exemplele cele mai elocvente în acest sens sunt oferite de trusa Diènes, rigletele, trusele Logi I şi II.

Folosirea unor tehnici de instruire ce satisfac aceste criterii favorizează participarea copiilor la activitatea de instruire, asigură calitatea instructiv-educativă a mesajului transmis şi dau valoare formativă comportamentului prin care copilul probează că şi-a însuşit cunoştinţele transmise.

În folosirea materialului didactic trebuie să se respecte următoarele cerinţe: Materialele didactice să fie adecvate nivelului dezvoltării copiilor şi vârstei; la grupele

mici, în prima etapă a învăţării noţiunii de mulţime, materialul didactic va servi nu numai pentru familiarizare, dar şi pentru precizarea şi lărgirea reprezentărilor, precum şi pentru stimularea interesului copiilor faţă de activitatea matematică, pentru formarea unei atitudini pozitive faţă de acest gen de activitate. În acest scop, sunt necesare materiale intuitive concrete şi atractive, estetic executate, care să reprezinte obiecte şi să poată fi uşor mânuite de către copii. Treptat, materialul didactic va deveni tot mai schematic, pentru a contribui la formarea şi exersarea capacităţilor de abstractizare.

În prima etapă a familiarizării şi identificării noţiunii de mulţime, cel mai convingător material didactic îl constituie obiectele concrete (jucării), pe care copiii le pot mânui cu uşurinţă. Mai târziu se introduc figuri geometrice şi desene.

Materialele didactice prezentate în scopul realizării unei generalizări trebuie să reliefeze constant elementul esenţial pentru scopul propus (culoare, formă).

Materialul didactic folosit în scopul formării noţiunilor de „mulţime”, „număr”, al realizării generalizărilor şi abstractizărilor solicită variante pentru fiecare nouă situaţie de

73

învăţare, pentru că în acest fel generalizările se realizează pe baza desprinderii caracteristicilor comune a elementelor şi sunt uşor de intuit de către copii.

Materialul didactic nu trebuie folosit excesiv, ci trebuie treptat diversificat, pe măsura formării reprezentărilor matematice; materialul intuitiv va fi folosit cu precădere în dobândirea cunoştinţelor şi diversificat în lecţiile de consolidare a cunoştinţelor.

Materialul didactic poate fi folosit în două moduri: frontal (demonstrativ) pentru întreaga clasă şi individual (distributiv). Materialul demonstrativ trebuie să fie suficient de mare pentru a fi uşor văzut de către copii, iar cel distributiv să fie uşor de mânuit.

Varietatea materialelor didactice într-o activitate nu trebuie să fie prea mare, deoarece în acest caz se încarcă inutil lecţia, se distrage atenţia copiilor de la ceea ce este esenţial şi generalizările se realizează cu dificultate. Numărul optim de materiale didactice, ce pot fi folosite într-o activitate de dobândire de cunoştinţe şi priceperi este de minimum 2 şi de maximum 4, cu necesară alternare demonstrativ/distributiv.

În acest sens, trebuie să se ţină seama şi de posibilităţile de mânuire a materialului, de anumite greutăţi întâmpinate de copii în trecerea de la mânuirea unui material didactic la altul. De aceea, se impune ca materialul didactic individual să nu fie prea abundent, pentru a nu se pierde timpul cu mânuirea lui, trebuie să asigure perceperea clară şi să fie ales în funcţie de scopul propus.

Pentru stimularea interesului faţă de conţinutul activităţii, este important ca preşcolarii să fie atraşi în activitatea de confecţionare a materialelor didactice (mai ales la grupa mare şi pregătitoare). Interesul copiilor pentru activităţile de matematică este mai mare atunci când se foloseşte şi materialul confecţionat de ei înşişi. Confecţionarea acestuia de către copii poate fi sarcină în activităţile practice sau în activităţile alese şi complementare. Astfel, pot fi confecţionate diferite forme geometrice din hârtie lucioasă, panglici colorate (de diferite mărimi) etc. şi acestea pot fi folosite ca material distributiv în unele situaţii de învăţare, accentuând caracterul intuitiv şi practic-aplicativ al învăţării.

Făcând parte din strategia didactică, mijloacele şi materialele didactice intră în relaţie directă cu metodele.

O importanţă deosebită o are integrarea mijloacelor şi materialelor în activitate. Abuzul duce la dispersarea şi îndepărtarea sintezei, corelării, aplicării. Limitarea la materialul didactic simplu dăunează efectuării operaţiilor gândirii, etapelor învăţării.

74

CAPITOLUL 6

Evaluarea progresului şcolar

6.1 Forme de evaluare

În procesul educaţiei se disting trei componente: predarea, învăţarea şi evaluarea. Acest proces depinde în mare măsură de modul în care este proiectată evaluarea.

Se folosesc trei modalităţi de realizare a evaluării: • evaluarea iniţială sau predictivă, • evaluarea continuă sau formativă, • evaluarea sumativă sau cumulativă.

Evaluarea iniţială se aplică de obicei la început de ciclu şcolar sau la începutul fiecărui an şcolar, pentru a depista nivelul cunoştinţelor, al priceperilor şi deprinderilor, în momentul respectiv.

Evaluarea continuă sau formativă îmbracă diferite forme, determinate fie de vârsta elevilor, fie de volumul de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi cu care operează aceştia, obiectul de învăţământ, programa şcolară şi manualul folosit. Ea are loc pe tot parcursul desfăşurării procesului de învăţământ şi are caracter permanent.

În cadrul orelor de matematică se folosesc diferite metode şi procedee de evaluare formativă, dintre care menţionăm:

a) Observarea şi aprecierea verbală. Se face zilnic, în orice moment al lecţiei, pentru stimularea elevilor prin calificative orale de tipul „foarte bine”, „bine”, „ai făcut progrese”, etc.

b) Chestionarea orală, o formă de conversaţie prin care se estimează cantitatea şi calitatea cunoştinţelor, a priceperilor şi deprinderilor elevilor şi a capacităţilor de a opera cu ele.

c) Probe scrise care permit verificarea cunoştinţelor unui număr mare de elevi într-un timp scurt. În evaluările de scurtă durată (5 – 10 minute) se dau elevilor spre rezolvare exerciţii, probleme pregătite anterior, privind aspectele esenţiale ale lecţiei. Elevii vor completa răspunsurile pe foile multiplicate în prealabil sau copiate de la tablă, apoi, uneori, vor schimba între ei foile, caietele, corectând răspunsurile şi notându-le conform baremului anunţat.

d) Verificarea prin lucrări practice se realizează, în special, la capitolele „Unităţi de măsură” şi “ Elemente de geometrie“.

Evaluarea cumulativă sau sumativă se face la intervale mai mari de timp, fiind în esenţă normativă.

Noile alternative de evaluare aduc inovaţii, sub aspectul principiilor şi normelor unitare de aplicare în activitatea de evaluare a progresului şcolar. Principala caracteristică a evaluării este posibilitatea utilizării tuturor metodelor şi tehnicilor de evaluare, pe care învăţătorul le are la dispoziţie. Fie că este vorba de metodele tradiţionale de apreciere a progresului şcolar (probe orale, scrise, practice, teme pentru acasă) sau de metode alternative (investigaţia, observarea sistematică a comportamentului şcolar, proiectul, portofoliul, autoevaluarea), învăţătorul este cel care le va alege pe cele mai potrivite obiectivelor instruirii, disciplinei de învăţământ, tipului de conţinut şi particularităţilor de vârstă.

Învăţarea şi dezvoltarea sunt în mod constant în schimbare. În consecinţă, cadrele didactice trebuie să aibă în vedere o evaluare permanentă. Evaluarea continuă care se desfăşoară în contextul activităţilor la clasă poate oferi o imagine exactă, corectă şi reprezentativă a capacităţilor şi progresului copiilor. În mod tradiţional, evaluările s-au

75

concentrat asupra responsabilităţii elevilor folosind tipuri frecvente de evaluare cu creioane şi hârtie ca lucrări pe nivele de clasă, teste săptămânale de verificare a cunoştinţelor şi teste standardizate. Învăţătorii aveau tendinţa de a evalua munca copiilor pentru a avea la dispoziţie, împreună cu părinţii şi conducerea şcolii, dovada cifrică a progresului copilului.

Cu toate acestea tendinţele recente din educaţie au promovat metode alternative elaborate de educatori, pentru evaluarea şi încurajarea progresului copilului. Evaluarea reală, autentică, spre deosebire de evaluarea performanţelor, este o formă de evaluare care are loc continuu în contextul unui mediu de învăţare semnificativ, în dezvoltare. Aceasta reflectă experienţele reale şi demne de reţinut in procesul învăţării, care pot fi documentate prin observaţii, întâmplări consemnate, jurnale, caiete de observaţie, mostre de lucru propriu-zise, şedinţe, fişe ale elevilor, rezultatele în îndeplinirea unor sarcini, şi alte metode. Evaluarea autentică este folositoare elevilor şi se desfăşoară în paralel cu procesul învăţării, fiind o condiţie primordială a dezvoltării elevului.

Reflecţiile recente privind evaluarea subliniază importanţa descoperirii a ceea ce copii ştiu şi pot face şi se concentrează mai puţin asupra a ceea ce copii nu ştiu şi nu pot face. Dacă dorim cu adevărat să ştim de ce sunt capabili elevii noştri, trebuie să-i observăm cum îşi îndeplinesc ei sarcinile în situaţii obişnuite, unde au numeroase ocazii de a-şi demonstra cunoştinţele şi aptitudinile, mai degrabă decât să se bazeze numai pe teste scrise. Perspectivele asupra evaluării trebuie corelate cu gradul de dezvoltare a copilului, pentru a furniza o imagine mai cuprinzătoare asupra capacităţilor şi realizărilor sale; rezultatele testelor nu sunt elocvente în acest sens.

Principalul scop al evaluării este să urmărească progresul copilului şi să stabilească exact la ce nivel de dezvoltare se află fiecare elev în parte, astfel încât parcurgerea programei să vină în întâmpinarea nevoilor copiilor, priviţi individual, şi să asigure succesul experienţelor tuturor.

Identificarea copiilor cu nevoi speciale şi care ar putea necesita sprijin ori intervenţii suplimentare, reprezintă un alt obiectiv al evaluării.

Evaluarea trebuie să asigure o interdependenţă activă între ceea ce se predă şi ceea ce se învaţă în cursul procesului de instruire.

Evaluarea autentică trebuie: • Să valorifice punctele forte ale fiecărui elev, în loc să-i detecteze erorile; • Să furnizeze procesului de instruire indicaţii asupra a ceea ce trebuie predat şi

asupra modului în care să se facă predarea; • Să reprezinte o componentă permanentă a procesului de instruire; • Să fie multidimensională, axată atât asupra dezvoltării sociale şi afective a

copilului, cât şi asupra celei cognitive; • Să includă rezultatele colaborării active dintre părinţi şi învăţători, precum şi

dintre învăţători şi copii; • Să accentueze importanţa învăţării; • Să promoveze un învăţământ optimal, care să asigure succesul pentru toţi

elevii; • Să fie corect înţeleasă de elevi şi de părinţii lor.

6.2 Metode alternative de evaluare

Practicile de evaluare elaborate în conformitate cu gradul de dezvoltare a copilului mic

trebuie să ofere multe informaţii despre dezvoltarea fizică, socială, afectivă şi intelectuală a copiilor. Metodele informale de evaluare, ca de exemplu observaţia directă, consemnarea unor întâmplări, seturile cu mostre din lucrările copiilor, ajută la aprecierea a ceea ce ştie şi trebuie

76

să facă un copil. Folosirea acestor metode de evaluare este crucială, ca garanţie a faptului că predarea şi evaluarea sunt complementare şi că sunt folosite procedee potrivite gradului de dezvoltare a copilului. Observarea sistematică a elevilor - poate fi făcută pentru a evalua performanţele elevilor dar mai ales pentru a evalua comportamente afectiv-atitudinale. Caracteristicile ce pot fi evaluate sunt:

• concepte şi capacităţi • organizarea şi interpretarea datelor • selectarea şi organizarea corespunzătoare a instrumentelor de lucru • descrierea şi generalizarea unor procedee, tehnici, relaţii • utilizarea materialelor auxiliare pentru a demonstra ceva • identificarea relaţiilor • utilizarea calculatorului în situaţii corespunzătoare • atitudinea elevilor faţă de sarcina dată • concentrarea asupra sarcinii de rezolvat • implicarea activă în rezolvarea sarcinii • punerea unor întrebări pertinente învăţătorului • completarea/ îndeplinirea sarcinii • revizuirea metodelor utilizate şi a rezultatelor • comunicarea: discutarea sarcinii cu învăţătorul în vederea înţelegerii

acesteia Această formă de evaluare este eficientă în a determina ce şi cât pot învăţa copiii

mici. Învăţătorul adună multe informaţii valide şi credibile, în timpul activităţilor zilnice de la clasă, observându-i pe copii obiectiv şi documentându-şi observaţiile. Această informaţie alimentează judecăţile făcute asupra copiilor şi a metodelor de instruire potrivite.

Toţi învăţătorii practică observarea continuă. Din necesităţi de evaluare, observaţiile sunt uneori informale şi nu includ documentarea; alteori, ele se fac cu un scop precis, ca de exemplu pentru a ne documenta dacă elevul a căpătat o anumită deprindere sau a înţeles corect ceva. Observaţiile formale şi informale, cumulate, dau învăţătorilor o imagine clară asupra deprinderilor şi capacităţilor fiecărui copil.

Exemple de metode de înregistrare a observaţiilor: o Consemnarea unor evenimente; o Liste de verificare; o Fotografii; o Înregistrări audio; o Registre de inventar.

Pentru a evalua copii în mod corect, învăţătorul trebuie să efectueze observarea cu un scop specific. Pentru a fi eficiente, observaţiile trebuie să fie înregistrate sistematic, obiectiv, selectiv, exhaustiv şi atent.

Cu ajutorul observării şi a documentării, învăţătorii obţin informaţii legate de nivelul de cunoştinţe însuşite şi menţinute de elevi. Evaluarea corectă, care este permanentă în context şi foloseşte o varietate de tehnici, susţine procesul de instruire şi îmbogăţeşte planificarea din programă.

Linii directoare care ajută învăţătorul să realizeze observaţii sistematice: • Să observe ce face copilul; • Să consemneze observaţiile cât mai repede posibil;

77

• Să observe copiii în locuri diferite, în momente diferite ale timpului petrecut la şcoală;

• Să fie realişti în programarea informaţiilor; • Să se concentreze asupra unui singur copil, o dată; • Să evite să se distingă în efectuarea observaţiilor; • Să protejeze confidenţialitatea; • Să aleagă un sistem practic de înregistrare a informaţiilor.25

Investigaţia reprezintă o situaţie complicată care nu are rezolvare simplă deşi sarcina

poate fi scurtă, timpul de lucru este relativ lung începe, se desfăşoară şi se termină în clasă poate fi individuală sau de grup Presupune obiective care urmăresc:

• înţelegerea şi clarificarea sarcinilor • aflarea procedeelor pentru găsirea de informaţii • colectarea şi organizarea datelor sau informaţiilor necesare • formularea şi testarea ipotezelor de lucru • schimbarea planului de lucru sau colectarea altor date dacă este necesar • scrierea unui scurt raport privind rezultatele investigaţiei • caracteristici personale ale elevilor care pot fi urmărite: • creativitate şi iniţiativă • participarea în cadrul grupului • cooperare şi preluarea conducerii/ iniţiativei în cadrul grupului • persistenţă • flexibilitate şi deschidere către idei noi • dorinţa de generalizare

Prin investigaţie, învăţătorul poate urmări procesul, realizarea unui produs sau/şi atitudinea elevului. Sarcinile de lucru adresate elevilor de către învăţător în realizarea unei investigaţii, pot varia ca nivel de complexitate a cunoştinţelor şi competenţelor implicate, după cum urmează:

Simpla descriere a caracteristicilor unor obiecte, lucruri desprinse din realitatea imediată sau fenomene observate direct de către elev şi comunicarea în diferite moduri a observaţiilor înregistrate, prin intermediul: desenelor, graficelor, tabelelor, hărţilor.

Utilizarea unor echipamente simple pentru a face observaţii, teste referitoare la fenomenele supuse atenţiei elevilor. Aceste observaţii constituie baza unor comparaţii adecvate între fenomenele respective sau între ceea ce au înregistrat direct şi ceea ce au presupus că se va întâmpla (confirmarea sau nu a predicţiilor făcute). Identificarea factorilor implicaţi în contextul supus observaţiei, prin intermediul aparaturii specifice. Elevii pot repeta observaţiile şi măsurătorile pentru a oferi explicaţii pertinente diferenţelor sesizate în derularea activităţii.

Pe baza înregistrării sistematice a observaţiilor şi rezultatelor măsurătorilor se emit concluzii prezentate într-o formă ştiinţifică şi argumentată logic pentru confirmarea predicţiilor formulate.

Selectarea echipamentului adecvat realizării sarcinii, efectuarea unor serii de măsurători, înregistrarea observaţiilor specifice, prezentarea acestora sub formă de concluzii,

25 *** Crearea claselor orientate după necesităţile copiilor, C.E.D.P Step by Step, 1999

78

utilizând tabele, grafice şi hărţi sunt tot atâta operaţii care antrenează elevii într-o formă de activitate teoretico-practică cu puternice valenţe formative.

Proiectul este o activitate mai amplă decât investigaţia care începe în clasă prin definirea şi înţelegerea sarcinii (eventual şi prin începerea rezolvării acesteia), se continuă acasă pe parcursul a câtorva zile sau săptămâni (timp în care elevul are permanente consultări cu învăţătorul/profesorul ) şi se încheie tot în clasă, prin prezentarea în faţa colegilor a unui raport asupra rezultatelor obţinute şi dacă este cazul , a produsului realizat. Proiectul poate fi individual sau de grup. Titlul/subiectul va fi ales de către învăţător/profesor sau elevi . Criterii de alegere a proiectului. Elevii trebuie:

• să aibă un anumit interes pentru subiectul respectiv; • să cunoască dinainte unde îşi pot găsi resursele materiale ; • să fie nerăbdători în a crea un produs de care să fie mândri; • să nu aleagă subiectul din cărţi vechi sau să urmeze rutina din clasă ;

Capacităţile/competenţele care se evaluează în timpul realizării proiectului: • metodele de lucru ; • utilizarea corespunzătoare a bibliografiei ; • utilizarea corespunzătoare a materialelor şi a echipamentului ; • corectitudinea/acurateţea tehnică ; • generalizarea problemei ; • organizarea ideilor şi materialelor într-un raport ; • calitatea prezentării ; • acurateţea schiţelor/desenelor, etc.

Proiectul ca instrument de evaluare poate lua forma unei sarcini de lucru individuale sau de grup, ţinând cont şi de faptul că o bună parte a activităţii presupuse de acesta poate fi realizat şi în afara orelor de curs.

Alegerea temei pentru proiect poate fi făcută de către învăţător sau poate aparţine elevului însuşi.

În demersul de realizare a unui proiect următorii paşi sunt foarte important de urmărit: - Stabilirea domeniului de interes; - Stabilirea premiselor iniţiale – cadru conceptul, metodologic, datele generale

ale investigaţiei/anchetei; - Identificarea şi selectarea resurselor materiale; - Precizarea elementelor de conţinut ale proiectului.

Elementele de conţinut ale proiectului se pot organiza după următoarea structură: pagina de titlu cuprinsul introducerea dezvoltarea elementelor de conţinut

Pentru realizarea unei evaluări cât mai obiective a proiectului trebuie avute în vedere câteva criterii generale de evaluare, criterii care ţin de aprecierea calităţii proiectului (sau de calitatea produsului), pe de o parte, şi altele care ţin de calitatea activităţii elevului (sau de calitatea procesului), pe de altă parte. Fiecare dintre cele două categorii de criterii obiectivează aspecte concrete care vizează modul de realizare şi prezentare a unui proiect. O modalitate de structurare a criteriilor de evaluare a unui proiect poate fi funcţie de: I. Stabilirea scopului/obiectivelor proiectului şi structurarea conţinutului; II. Activitatea individuală realizată de către elev (investigaţie, experiment, anchetă );

79

III. Rezultate, concluzii, observaţii. Aprecierea succesului proiectului în termeni de eficienţă, validitate, aplicabilitate etc. IV. Prezentarea proiectului( calitatea comunicării, claritate, coerenţă, capacitate de sinteză etc.); V. Relevanţa proiectului ( utilitate, conexiuni interdisciplinare) .

Opţiunea pentru modul de definire a criteriilor de evaluare a unui proiect aparţine în ultimă instanţă învăţătorului, în funcţie de nivelul de generalitate la care acesta doreşte să-şi plaseze demersul evaluativ.

Strategia de evaluare a proiectului, care este una de tip holistic, trebuie, la rândul ei, să fie clar definită prin criterii negociate sau nu cu elevii, astfel încât să valorizeze efortul exclusiv al elevului în realizarea proiectului.

Prezentăm în rândurile următoare un model de proiect care poate fi realizat la clasa I în semestrul al II-lea, având ca unitate tematică de studiu „Pâinea”. Pornind de la tema dată, se stabilesc sarcini de lucru pe discipline, grupele de elevi fiind împărţite pe criteriul abilităţilor pe care aceştia le posedă, conform teoriei inteligenţelor multiple. Sarcinile au fost împărţite astfel: Dezvoltarea vorbirii Lecturi de poezii sau cărţi despre pâine; Se redactează povestiri despre pâine; Se compun scenete cu acelaşi subiect care urmează să fie jucate în clasă; Se scriu reţete de pâine; Se participă la studiul privind pâinea în întreaga şcoală; Se scrie o carte informativă despre facerea pâinii; Se discută despre ce ştim şi ce vrem să învăţăm despre pâine (ştiu/vreau să ştiu/am învăţat); Se fac cărţi despre pâine. Artă Se lucrează cu plastilina; Se face un colaj cu boabe; Se întocmesc meniuri de pâine pentru centrul dramatic; Se confecţionează bonete de brutar; Se realizează un panou şi o vizită la brutărie; Se realizează decoruri pentru piesă. Matematică Se estimează numărul de felii dintr-o franzelă tăiată; Se compun probleme având pâinea ca obiect; Se înregistrează şi se reprezintă grafic rezultatele studiului; Se fac exerciţii practice cu bani de diferite valori; Se compară şi se clasifică sortimente de pâine şi preţurile lor; Se estimează şi apoi se cântăresc diferite sortimente de pâine; se discută rezultatele; Se numără şi se compară câte lopăţele de făină intră în diferite cutii Studii sociale Se discută despre valori speciale ale pâinii (serbări, religie, tradiţii de familie etc). Se vizitează o brutărie sau o fabrică de pâine; Se degustă şi se discută despre pâine în diferite culturi: pâinea irlandeză, pita, matzal etc; Se vizitează o moară sau o fabrică – se discută despre tehnologie şi schimbare în producerea pâinii; Se studiază istoria pâinii: interviuri cu bunicii; se efectuează vizite la diferite persoane implicate în fabricarea pâinii; Pâinea ca aliment de bază la toate popoarele; despre nutriţie.

80

Muzică şi mişcare Se reprezintă dospirea; Se reprezintă momentul boabelor; Pantomimă cu subiect – frământatul pâinii; Se compune un dans al pâinii; Se reprezintă o poveste despre pâine şi se interpretează sceneta clasei despre pâine. Ştiinţe Se examinează şi se observă grăunţele de grâu, germenii şi tărâţele; Se macină grăunţe de grâu ; Se plantează seminţe şi se observă creşterea grâului; Se realizează experienţe cu drojdia; Experienţe cu aluat; Se fac modele de grăunţe de grâu; Se compară reacţiile prafului de copt şi ale bicarbonatului cu apa; Aspecte nutriţionale ale pâinii. Proiectul se poate desfăşura pe toată perioada unui semestru.

Portofoliul - reprezintă o colecţie exhaustivă de informaţii despre progresul şcolar al unui elev, obţinut printr-o varietate de metode şi tehnici de evaluare

Utilitatea portofoliilor este dată de faptul că: • elevii devin parte a sistemului de evaluare şi pot să-şi urmărească, pas cu pas,

propriul progres • elevii şi învăţătorii/profesorii pot comunica (oral sau în scris) calităţile, defectele şi

ariile de îmbunătăţire a activităţilor • elevii, învăţătorii/profesorii şi părinţii pot avea un dialog concret despre ceea ce

elevii pot realiza, atitudinea faţă de o disciplină şi despre progresul care poate fi făcut la acea disciplină în viitor

• factorii de decizie, având la dispoziţie portofoliile elevilor, vor avea o imagine mai bună asupra a ceea ce se petrece în clasă

Ce conţine un portofoliu? • Selecţii din însemnări care exemplifică reflecţii, originalitate, culoare, pătrundere • Produse elaborate, variate tipuri • Produse care arată procesul de dezvoltare: început, planificare, revizuiri • Produse care indică interesele, stilul elevului şi folosirea unei varietăţi de

inteligenţe • Criteriile pe baza cărora munca va fi evaluată

Portofoliul de evaluare este o colecţie a muncii unui elev, cuprinzând mostre ce

ilustrează eforturile, progresele şi realizările sale în timp. Atât elevul, cât şi învăţătorul sunt implicaţi în selectarea mostrelor.

Evaluarea trebuie să se bazeze pe următoarele premise: • Trebuie să stimuleze acumularea de cunoştinţe, înţelegerea şi încrederea copilului

în sine. • Să se axeze pe obiective importante şi să implice multiple surse de informaţii . • Să se sprijine şi să informeze asupra practicilor de instruire în conformitate cu

gradul de dezvoltare a copilului.

81

• Părinţii şi elevii sunt parteneri de bază în procesul de evaluare. Un proces de evaluare bine gândit trebuie să servească anumitor scopuri şi are ca rezultat faptul că:

• Elevii reflectează mai mult asupra lor înşişi şi îşi controlează învăţarea. • Învăţătorii se concentrează mai bine asupra procesului de instruire; • Învăţătorii hotărăsc care copii au nevoie de mai mult ajutor; • Părinţii percep mai corect progresele copiilor, priviţi ca persoane implicate în

procesul învăţării; • Conducătorii instituţiilor de învăţământ înţeleg cum progresează în învăţare

grupurile de elevi; • Cadrele didactice cunosc exact nivelul elevilor evaluaţi prin acest model.

Portofoliile sunt stabilite printr-un proces care este oarecum subiectiv. Atunci când ajută la alegerea unor exemple ale realizărilor unui elev, învăţătorul îşi poate dori să reflecteze asupra următoarelor întrebări:

- Ce este bine pentru acest elev? - Sunt calităţile dovedite în acest exemplu care demonstrează şi progresul din cadrul studiului efectuat de copil? - Ce legătură are acest exemplu de lucru cu alte exemple în portofoliul copilului?

Folosirea portofoliilor pentru reflectare şi evaluare constituie o bogată sursă de informare privind creşterea şi dezvoltarea copilului. Un portofoliu de evaluare este de valoare în primele clase pentru că oferă o înregistrare a procesului de studiu parcurs de copil. În realizarea unui portofoliu se parcurg următorii paşi: 1. Se stabileşte tema şi proiectul unui program de execuţie şi de evaluare (adică ce va cuprinde portofoliul).Acest pas se realizează împreună cu elevii, stabilindu-se exact ce va cuprinde. Exemplu: lucrări şi exerciţii realizate acasă într-un anumit interval de timp – un obiect, desen, colaj; rapoarte de observaţie, interviuri, recenzii etc. 2. Sub ce formă se realizează portofoliul (tip de dosar sau plic, casetă, cutie etc). 3. Cine face selecţia (elevul sau grupul de elevi împreună cu învăţătorul). 4. Cine păstrează şi unde se păstrează portofoliul. Deosebit de important este să se stabilească liste de criterii în măsură să reflecte achiziţiile şcolare, reale şi măsurabile, la nivelul vârstei şi posibilităţilor copilului. La matematică, la clasa a patra, se poate realiza împreună cu elevii un portofoliu care să conţină: - rezultate obţinute de elevi în urma aplicării unor evaluări (teste, probe practice etc.); - investigaţii individuale sau de grup; - biografii matematice;

- recenzia unei cărţi; - soluţii la probleme deosebite; - probleme compuse de elevi.

Autoevaluarea este scopul final al evaluării. Ea permită elevilor să se autoevalueze.

Elevul este pregătit, din punct de vedere al dezvoltării, pentru a reflecta asupra propriei evoluţii într-un anumit domeniu. Această reflecţie poate fi îndrumată de învăţător, care poate sprijini procesele de gândire cu întrebări şi încurajări.

Punctul central al evaluării este de a permite celui care învaţă să devină liber şi independent. Reflecţia elevului supra lui însuşi este o parte integrantă a evaluării autentice. Autoevaluarea poate să meargă de la autoaprecierea verbală şi până la autonotarea mai mult sau mai puţin supravegheată de către învăţător.

82

Implicarea elevilor în aprecierea propriilor rezultate are efecte benefice pe mai multe planuri26:

• învăţătorul dobândeşte confirmarea aprecierilor sale în opinia elevilor, referitoare la rezultatele constatate;

• elevul exercită rolul de subiect al acţiunii pedagogice, de participant la propria sa formare;

• ajută pe elevi să aprecieze rezultatele obţinute şi să înţeleagă eforturile necesare pentru atingerea obiectivelor stabilite;

• cultivă motivaţia lăuntrică faţă de învăţătură şi atitudinea pozitivă, responsabilă, faţă de propria activitate.

Calitatea autoevaluării realizată de învăţător se repercutează direct asupra capacităţii de autoevaluare a elevului. Interiorizarea repetată a grilelor de evaluare cu care operează învăţătorul constituie o premisă a posibilităţii şi validităţii autoaprecierii elevului. Pe lângă această modalitate implicită a capacităţii de autoevaluare, se pot utiliza căi explicite de formare şi educare a spiritului de evaluare obiectivă. Următoarele posibilităţi pot fi folosite cu succes în cadrul lecţiei de matematică:

• Autocorectarea sau corectarea reciprocă • Autonotarea controlată. • Notarea reciprocă.

Evaluarea efectuată de elev reprezintă un aspect important al procesului general al evaluării. Ea permite elevului să-şi aprecieze propriul progres, să devină conştient de procesul şi produsul învăţării şi să îşi asume responsabilitatea lui.

Caietele de observaţie, jurnalele, listele de verificare, inventariile, opiniile scrise ale elevului pe marginea muncii sale, toate indică progresul său. Copiii devin mai implicaţi în procesul învăţării când învăţătorul îi ajută să-şi stabilească obiective personale sau să-şi evalueze propriul progres. Copiii doresc să ştie ce aşteaptă de la ei învăţătorii şi părinţii, cum sunt evaluaţi şi cum se percepe progresul lor. Când sunt încurajaţi să-şi stabilească propriile obiective, copiii îşi orientează ei înşişi procesul învăţării.

Pentru a stimula tendinţa spre autoevaluare, elevilor li se pun următoarele întrebări, ale căror răspunsuri sunt consemnate ulterior, într-un jurnal:

• Care din aptitudinile mele s-au îmbunătăţit anul trecut? • La ce mă pricep mai bine? • Ce aptitudini îmi pot perfecţiona? • Asupra cărui lucru mă voi axa anul acesta? • Ce sper să învăţ anul acesta?

Atunci când învăţătorii le dau ocazia elevilor să se gândească la ceea ce au învăţat, elevii devin conştienţi de ceea ce au realizat sau ei ştiu ceva ce înainte nu ştiau. În procesul de reflecţie, copii pot observa că au încercat ceva pentru prima dată. Atunci când ei analizează exemple ale muncii lor efectuate pe o perioadă de timp şi recunosc progresul pe care l-au făcut, ei au dovada concretă a competenţei lor

Întrebări pe care elevii ar trebui să şi le pună: - Există şi un alt mod (metodă) de a rezolva această sarcină? - Am rezolvat sarcina suficient de bine? - Ce ar trebui să fac în pasul următor? - Ce produs, care mă reprezintă, ar trebui sa-l pun în portofoliu?

26 Radu, I. T.: „Evaluarea randamentului şcolar”, în Curs de pedagogie, Universitatea Bucureşti, 1988

83

Condiţii necesare pentru formarea deprinderilor autoevaluative la elevi: - prezentarea obiectivelor pe care elevii trebuie să le atingă - încurajarea elevilor în a-şi pune întrebările de mai sus şi a da răspunsul în scris - încurajarea evaluării în cadrul grupului

completarea la sfârşitul unei sarcini importante a unor propoziţii de genul: - Am învăţat ... - Am fost surprins de faptul că ... - Am descoperit că ... - Am folosit metoda ... deoarece ... - In realizarea acestei sarcini am întâmpinat următoarele dificultăţi ...

6.3 Probe de evaluare elaborate de învăţător

Prin probă vom înţelege orice instrument de evaluare proiectat, administrat şi corectat

de către învăţător Prin item vom înţelege un element component al unei probe Pentru elaborarea probelor, învăţătorul va avea în vedere următoarele întrebări: - Ce tip de itemi trebuie construiţi? - Ce grad de dificultate trebuie sa aibă? - Cum trebuie sa arate itemii din punct de vedere tehnic? - Cum se va face asamblarea itemilor (relevanta, concizie)? - Cum vor fi formulate instrucţiunile probei? - Va măsura testul astfel construit un eşantion semnificativ de rezultate ale învăţării?

Itemi obiectivi testează un număr şi o varietate mare de elemente de conţinut, dar, de

cele mai multe ori, capacităţi cognitive de nivel inferior. Acest tip de itemi au următoarele caracteristici:

• Fidelitate27 şi validitate28 ridicate (sunt folosiţi în teste standardizate); • Obiectivitate29 şi aplicabilitate30 ridicate; • Scheme de notare foarte simple; • Timp scurt de răspuns şi de corectare; • Posibilitatea utilizării unui număr mare de astfel de itemi într-un test

Dezavantaje: • elaborarea de distractori plauzibili şi paraleli este dificilă • raţionamentul prin care elevul ajunge la răspuns nu poate fi evidenţiat (urmărit) • posibilitatea ghicirii răspunsurilor • familiarizarea elevilor cu această tehnică şi deci obişnuirea cu un anumit tip de

învăţare • necesitatea explicaţiilor la început

27 Fidelitate = calitate a instrumentului de evaluare: consecvenţa cu care produce rezultate/punctaje constante în urma aplicării sale repetate (indiferent de cine este corector sau de momentul în timp Când se face corectarea). 28 Validitate = calitate a instrumentului de evaluare: măsura în care testul măsoară ceea ce îşi propune/este destinat să măsoare. 29 Obiectivitate = calitate a instrumentului de evaluare: gradul de concordanţă între evaluatori independenţi asupra a ceea ce constituie un răspuns “bun” la fiecare dintre itemii unui test. 30 Aplicabilitate = calitatea testului de a fi administrat şi interpretat

84

După structură, itemii obiectivi sunt clasificaţi astfel: Itemi cu alegere duală – solicită răspunsuri de tip DA/NU, adevărat/fals,

acord/dezacord, Itemi de tip pereche – solicită stabilirea de corespondenţe/asociaţii între elemente

aşezate pe 2 coloane. Criteriul sau criteriile pe baza cărora se stabileşte răspunsul corect sunt enunţate explicit în instrucţiunile care preced coloanele de premise şi răspunsuri

Itemi cu alegere multiplă – solicită alegerea unui singur răspuns corect/alternativă optimă dintr-o listă de soluţii/alternative;

Itemi semiobiectivi au următoarele caracteristici: • Răspuns limitat ca spaţiu, formă, conţinut prin structura enunţului/întrebării; • Sarcină foarte bine structurată; utilizează materiale auxiliare; • Elevii trebuie sa producă efectiv răspunsul; • Libertate restrânsă de a reorganiza informaţia şi de a formula răspunsul în forma

dorită; • Elevii trebuie să demonstreze, pe lângă cunoştinţe, şi abilitatea de a structura cel

mai corect şi mai scurt răspuns; • Uşurinţă şi obiectivitate în notare;

Dezavantaje: • Nu verifică realizarea unor capacităţi şi competenţe cu caracter foarte complex.

După structură, temii semiobiectivi sunt clasificaţi astfel: Itemi cu răspuns scurt - întrebare directă care solicită un răspuns scurt (expresie, cuvânt, număr, simbol etc.)

Recomandări: - răspunsul să fie scurt - să nu existe dubii (ambiguităţi în formularea propoziţiilor) - tipul de răspuns trebuie precizat în cazul unităţilor numerice

Itemi de completare – enunţ incomplet care solicită completarea de spaţii libere cu unul, două cuvinte care să se încadreze în contextul dat Recomandări:

- spaţiul liber nu va fi pus la începutul propoziţiei - dacă într-o frază există mai multe răspunsuri de completare ce trebuie găsit, acestea trebuie să aibă aceeaşi lungime

Întrebări structurate – mai multe subîntrebări (de tip obiectiv, semiobiectiv sau mini-eseu) legate printr-un element comun.

Modul de prezentare include: - un material/stimul (texte, date, diagrame, grafice, etc.); - date suplimentare; - alte subîntrebări.

Răspunsul la fiecare subîntrebare nu trebuie să fie dependent de răspunsul corect la subîntrebarea precedentă!

Întrebările structurate au următoarele caracteristici: o Răspuns limitat ca spaţiu, formă, conţinut prin structura enunţului/

întrebării; o Sarcină foarte bine structurată; utilizează materiale auxiliare; o Elevii trebuie sa producă efectiv răspunsul; o Libertate restrânsă de a reorganiza informaţia şi de a formula răspunsul în

forma dorită;

85

o Elevii trebuie să demonstreze, pe lângă cunoştinţe, şi abilitatea de a structura cel mai corect şi mai scurt răspuns;

o Uşurinţă şi obiectivitate în notare; Dezavantaje:

o Nu verifică realizarea unor capacităţi şi competenţe cu caracter foarte complex.

Itemii cu răspuns deschis au următoarele caracteristici:

o Forma tradiţională de evaluare în România; o Uşor de construit; o Solicita răspunsuri deschise; o Evaluează procese cognitive de nivel înalt; o Verifică obiective care vizează creativitatea, originalitatea;

Dezavantaje: o Fidelitate şi validitate scăzută ; o Necesită scheme de notare complexe şi greu de alcătuit; o Corectarea durează mult;

Aceşti itemi se pot structura în forme variate: Rezolvarea de probleme (situaţii problemă) – activitate nouă, diferită de activităţile de învăţare curente, menită să rezolve o situaţie problemă; se evaluează elemente de gândire convergentă şi divergentă, operaţii mentale complexe (analiză, sinteză, evaluare, transfer, etc.) Itemi de tip eseu – solicită elevilor să construiască/producă un răspuns liber (text) în conformitate cu un set de cerinţe date. Aceşti itemi pot fi: - Eseu structurat/semistructurat – răspunsul aşteptat este dirijat, orientat şi ordonat cu ajutorul unor cerinţe, indicii, sugestii; de exemplu: Compunere/eseu după un plan de idei - Eseu liber (nestructurat) – valorifică gândirea creativă, originalitatea, creativitatea, nu impune cerinţe de structură.

Probe scrise, alături de celelalte tipuri de itemi sunt o parte integrantă a evaluării. Când practicile curente de evaluare subliniază importanţa folosirii mai multor metode de evaluare, probele scrise nu trebuie să fie cu desăvârşire discreditate. Totuşi, învăţătorii trebuie să fie conştienţi de limitările unor astfel de probe. Învăţătorii trebuie să fie încurajaţi să-şi adapteze probele la condiţiile concrete ale activităţii elevului. Întrebările cu răspuns deschis permit o varietate de răspunsuri şi reflectă adecvat cunoştinţele copiilor.

E corect ca rezultatele probelor să fie folosite pentru a evalua progresul fiecărui copil, nu pentru a compara copii între ei. Un standard fix permite evaluarea elevului în raport cu un anumit nivel de performanţă, nu prin compararea lui cu un alt copil.

Prezentăm în continuare câteva tipuri de probe scrise aplicate la clasa a IV-a, la sfârşitul capitolului Exerciţii şi probleme cu cele patru operaţii: PROBA NR. I (nivelul cunoştinţelor de bază): 1. Calculaţi: 55 x 10 + 6 400 : 200 – 19 x 11 = ( 408 : 3 + 359 x 476 – 75 283) x 0 – 0 : 128 343 = 2. Puneţi parantezele pentru a face adevărată egalitatea: 5 + 5 x 5 – 5 : 5 = 1 3. Găsiţi valoarea lui „x” din egalitatea: ( x + 11 x 25) : 500 – 1 998 = 6 219

86

4. Problemă: Într-o ladă se află de patru ori mai multă făină decât în alta. Dacă din una se scot 960 kg şi din cealaltă se scot 60 kg, în cele două lăzi rămân cantităţi egale. Ce cantitate de făină se afla iniţial în cele două lăzi? PROBA NR.II (nivel mediu şi sporit de cunoştinţe): 1.Efectuaţi: 22 730 + 1 170 : [ 150 – 2 800 : (63 + 77)] x 30 : 230 = 2. Problemă: Într-o dimineaţă, o fabrică de pâine trimite la trei centre de desfacere 48 324 de pâini. După ce fiecare centru vinde acelaşi număr de pâini, la primul mai rămân nevândute 87 pâini, la al doilea centru rămân 86 pâini, iar la al treilea rămân 85 pâini. Câte pâini a primit fiecare centru de la fabrică? 3.Compune o problemă după expresia numerică: 3 200 x 18 + ( 3 200 + 80 ) x 10 4.Pentru fiecare din exerciţiile de mai jos, găseşte numerele naturale a ≠ 0: a) a : a + 3 ≤ 7; b) 0 : a + a ≤ 4; c) a x 0 + a ≤ 4; d) a : 1 + a ≤ 4

6.4 Matrice de evaluare Un singur instrument de evaluare nu poate măsura totul. De aceea este necesar să se proiecteze evaluarea avându-se în vedere varietatea instrumentelor de evaluare ce pot fi utilizate, astfel încât prin evaluarea realizată pe întreg parcursul anului (formativă + sumativă) să se acopere toate (cât mai multe) obiectivele din programă. Proiectarea eficientă a evaluării pe obiective/competenţe se poate realiza prin întocmirea unei matrice de evaluare centrată pe capacităţi/competenţe. În mod similar, pentru disciplinele la care însuşirea/cunoaşterea unor elemente de conţinut este esenţială, se pot construi matrice de evaluare pe conţinuturi şi domenii de conţinut.

Pornind de la matricele realizate se pot construi apoi instrumentele cele mai potrivite pentru evaluarea capacităţilor sau conţinuturilor prevăzute de programe. Unitatea de învăţare : ……………………………………………………………………

Instrumente de evaluare

Descriptori de performanţă

Probă scrisă

Probă orală

Probă practică

Temă de lucru în clasă

Temă pentru acasă

Observarea sistematică a elevilor etc.

Testarea tradiţională poate eşua în îndeplinirea scopului adiacent evaluării, care este

instruirea optimă. Evaluarea autentică doreşte să meargă dincolo de formularele scrise convenţionale, pentru a crea o gamă mai largă de modele, care să evalueze mai corect capacităţile intelectuale ale copilului şi să permită mai multe demonstraţii ale competenţei. La clasă folosim multe tipuri de evaluare autentică. Prin folosirea a mai multor moduri de evaluare, învăţătorul va putea avea o imagine reprezentativă a tuturor laturilor personalităţii copilului.

87

CAPITOLUL 7

Jocul didactic matematic

7.1. Clasificări şi funcţii ale jocului didactic matematic Tipuri de jocuri didactice matematice

Exerciţiile-joc sau jocurile didactice pot avea multiple variante. Acestea servesc de obicei efectuării în diferite forme a exerciţiilor atât de necesare consolidării unor cunoştinţe (pe plan cognitiv) sau al formării unor deprinderi, ori dezvoltarea unor laturi ale personalităţii (pe plan formativ).Variantele pot cuprinde sarcini asemănătoare dar prezente în formă diferită sau mărind gradul de dificultate în funcţie de vârstă sau nivel de cunoştinţe.

Trecerea prin grade diferite de dificultate se face şi pe cale metodică prin modul de prezentare a sarcinii didactice şi de desfăşurare a jocului:

- cu explicaţii şi exemplificare; - cu explicaţii, dar fără exemplificare; - fără explicaţii, cu simpla enunţare a sarcinii. Jocurile didactice, prin marea lor diversitate, prin variantele pe care le poate avea

fiecare dintre ele, precum şi prin faptul că pot fi jucate de o clasă întreagă sau de grupe de copii sau chiar individual constituie un instrument maleabil.

Jocurile pot fi clasificate:

- în funcţie de scopul şi sarcina didactică; - în funcţie de aportul lor formativ;

În funcţie de scopul şi sarcina didactică ele pot fi împărţite: a) După momentul în care se folosesc în cadrul lecţiei: - jocuri didactice matematice ca lecţii de sine stătătoare - jocuri didactice matematice ca momente propriu-zise ale lecţiei - jocuri didactice matematice în completarea lecţiei, intercalate pe parcursul lecţiei sau

în final. b) După conţinutul capitolelor de însuşit în cadrul disciplinei de învăţământ: - jocuri matematice pentru aprofundarea însuşirii cunoştinţelor specifice unui capitol

sau grup de lecţii; - jocuri didactice specifice unei vârste sau grupe. În funcţie de aportul lor formativ , jocurile pot fi clasificate ţinând cont de acea operaţie

sau însuşire a gândirii căreia sarcina jocului i se adresează în mai mare măsură: a) Jocuri didactice pentru dezvoltarea capacităţii de analiză; b) Jocuri didactice pentru dezvoltarea capacităţii de sinteză; c) Jocuri didactice pentru dezvoltarea capacităţii de a efectua comparaţii; d) Jocuri didactice pentru dezvoltarea capacităţii copiilor de a face abstractizări şi generalizări; Jocuri didactice pentru dezvoltarea perspicacităţii; Clasificarea jocurilor se poate face şi în funcţie de materialul didactic folosit:

a ) Jocuri didactice cu material didactic: - standard (confecţionat) - natural (din natură)

89

b ) Jocuri didactice fără material didactic (orale: ghicitori, cântece, povestiri, scenete). La rândul lor jocurile didactice care se referă la conţinutul capitolelor pot fi: - de pregătire a actului învăţării; - de îmbogăţire a cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor; - de fixare:

*de evaluare *de dezvoltare a atenţiei, memoriei, inteligenţei *de dezvoltare a gândirii logice *de dezvoltare a creativităţii

- de revenire a organismului: *de revenire a atenţiei şi modului de concentrare *de formare a trăsăturilor moral-civice şi de comportament În funcţie de conţinutul noţional prevăzut pentru activităţile matematice în grădiniţă ţi în

clasa I organizate sub formă de joc, considerăm următoarea clasificare a jocurilor didactice: • jocuri didactice de formare de mulţimi; • jocuri logico-matematice (de exersare a operaţiilor cu mulţimi); • jocuri didactice de numeraţie. Clasificarea are ca punct de plecare observaţiile lui Piaget asupra structurilor genetice în

funcţie de care evoluează jocul: exerciţiul, simbolul şi regula, adaptate etapelor de formare a reprezentărilor matematice.

Jocurile didactice matematice de formare de mulţimi au aceeaşi structură generală, dar sarcina de învăţare implică exerciţii de: imitare, grupare, separare şi triere, clasificare şi care vor conduce la dobândirea abilităţilor de identificare, triere, selectare şi formare de mulţimi.

Jocurile didactice matematice de numeraţie contribuie la consolidarea şi exersarea deprinderilor de aşezare în perechi, comparare, numărare conştientă, de exersare a cardinalului şi ordinalului, de familiarizare cu operaţiile aritmetice şi de formare a raţionamentelor de tip ipotetico-deductiv.

Jocurile logico-matematice sunt jocuri didactice matematice care introduc, în verba-lizare, conectorii şi operaţiile logice şi urmăresc formarea abilităţilor pentru elaborarea judecăţilor de valoare şi de exprimare a unităţilor logice.

Jocurile logico-matematice oferă posibilitatea familiarizării copiilor cu operaţiile cu mulţimi. Orice noţiune abstractă, inclusiv noţiunea de mulţime, devine mai accesibilă, poate fi însuşită conştient dacă este inclusă în jocul logico-matematic, deoarece el oferă un cadru afectiv-motivaţional adecvat.

Scopul principal al jocurilor de acest tip este de a-i înzestra pe copii cu un aparat logic suplu, care să le permită să se orienteze în problemele realităţii înconjurătoare, să exprime judecăţi şi raţionamente într-un limbaj simplu, familiar.

Făcând exerciţii de gândire logică pe mulţimi concrete (figuri geometrice), copiii dobândesc pregătirea necesară pentru înţelegerea numărului natural şi a operaţiilor cu numere naturale pe baza mulţimilor şi a operaţiilor cu mulţimi (conjuncţia, disjuncţia, negaţia, implicaţia, echivalenţa logică – fundamentează intersecţia, reuniunea, complementara, incluziunea şi egalitatea mulţimilor). În principal, se solicită efectuarea unor sarcini de clasificare, comparare şi ordonare ale elementelor mulţimii după anumite criterii.

Exerciţiile de formare de mulţimi după una, două sau mai multe însuşiri de culoare, formă, mărime, grosime reprezintă modalităţi eficiente de exersare a abilităţii de clasificare. Folosind un limbaj adecvat, preşcolarii intuiesc operaţia de complementariere prin negaţie, reuniunea prin disjuncţie logică şi ajung să utilizeze principiile generale ale logicii (al negării

90

negaţiei, al contradicţiei), ceea ce uşurează drumul raţionamentului spre obţinerea unor rezultate conforme cu sarcina.

Tot prin intermediul jocurilor logice, copiii sunt familiarizaţi cu alte concepte matematice, ca acela de relaţie, relaţie funcţională, ceea ce pregăteşte şi uşurează înţelegerea corespondenţei biunivoce.

Prin structura şi conţinutul lor, jocurile logice corespund necesităţii de a accentua caracterul formativ al actului didactic, se încadrează în spiritul actualei programe şi sprijină nu numai formarea reprezentărilor matematice, ci şi celelalte activităţi prevăzute de programă.

Mijloacele didactico-materiale utilizate frecvent în jocurile logico-matematice sunt trusele cu piese geometrice Diènes, Logi I, Logi II.

Organizarea jocurilor logice solicită un demers didactic adaptat: uneori se lucrează frontal, cu întreaga grupă, alteori pe echipe de 4-6 copii, fiecare echipă având un reprezentant, educatoarei rămânându-i rolul de organizator, îndrumător, arbitru.

În ansamblu, jocul logic respectă structura jocului didactic şi componentele jocului se distribuie pe secvenţele activităţii.

Organizarea activităţilor matematice sub forma jocului didactic realizează modificări semnificative atât în conţinutul, dar şi în calitatea proceselor cognitive.

Prin joc, activitatea matematică devine mijloc de formare intelectuală. • jocul face trecerea în etape de la acţiunea practică spre acţiunea mintală; • favorizează dezvoltarea aptitudinilor imaginative (imaginaţia reproductivă şi

creatoare); • realizează trecerea de la reproducerea imitativă la combinarea reprezentărilor în

imagini; Organizarea activităţilor matematice sub forma jocului didactic oferă multiple avantaje

de ordin metodologic: • acelaşi conţinut matematic se consolidează, se poate repeta şi totuşi jocul pare nou, prin modificarea situaţiilor de învăţare şi a sarcinilor de lucru; • aceeaşi sarcină (obiectiv) se exersează pe conţinuturi şi materiale diferite, cu reguli noi de joc, în alte situaţii de instruire; • regulile şi elementele de joc modifică succesiunea acţiunilor, ritmul de lucru al copiilor; • stimulează şi exersează limbajul în direcţia urmărită prin obiectivul operaţional, dar şi aspecte comportamentale prin regulile de joc; • în cadrul aceluiaşi joc, repetarea răspunsurilor, în scopul obţinerii performanţelor şi reproducerea unui model de limbaj adaptat conţinutului pot fi reguli de joc. Ca formă de activitate, jocul didactic este specific, pentru vârstele mici, iar forma

dominantă de organizare a instruirii pentru vârstele mai mari o constituie activităţile pe bază de exerciţiu cu material individual ce include elemente de joc.

7.2 Structura jocului didactic

Gabriela Stolz arată că “jocul didactic are un conţinut şi o structură bine organizată, subordonate particularităţilor de vârstă şi sarcina didactică se desfăşoară după anumite reguli şi la momentul ales de adult, sub directă supraveghere”.31

Jocul didactic are un scop didactic, cuprinde o sarcină didactică şi se realizează prin elemente proprii de joc:

Surpriza (este partea finală care stimulează în primul rând memoria şi imaginaţia);

31 Stolz G., Jocul didactic – metodă de stimulare a capacităţilor creatoare ale elevilor, EDP,1980

91

Întrecerea (acest element dezvoltă principalele calităţi ale gândirii: rapiditatea şi individualitatea).

Sarcina didactică (este elementul propriu-zis de instruire). Făcând legătura cu matematica, orice exerciţiu sau problemă matematică, în general, pot

deveni joc didactic dacă întruneşte următoarele condiţii: - are un scop şi o sarcină didactică cu conţinut matematic; - are elemente de joc specifice; - conţinutul matematic este accesibil, atractiv şi recreativ; - regulile de joc sunt cunoscute dinainte de către elev, iar învăţătorul are rol de

“arbitru”. În general, acţiunea trebuie să se desfăşoare la comandă, respectându-se cu fermitate

regulile şi mergând până la excluderea vinovaţilor din joc; se va da astfel şi un caracter de seriozitate, de creştere a importanţei jocului.

Nu trebuie niciodată încheiat un joc didactic fără a se face o evaluare a rezultatelor prin aprecieri individuale sau colective, recompense mici. Acest lucru îi antrenează mai mult, iar numărul copiilor care doresc să se afirme este în continuă creştere.

O altă latură prin care jocul didactic se deosebeşte de cel spontan este acela că prin practicarea sa dirijată şi sistematică se realizează o mare parte din sarcinile didactice ale lecţiei.

Structura jocului didactic impune: - jocul didactic trebuie să trezească interesul pentru sarcina şi regulile sale (element

emotiv, de aşteptare, de surpriză, de întrecere); - sarcina didactică în relaţie cu regulile jocului trebuie să fie accesibilă. Între sarcini şi

reguli trebuie să fie un echilibru permanent. Apar situaţii când deşi sarcinile sunt accesibile, regulile pot inhiba, enerva, instalându-se indiferenţa sau refuzul de participare; în cealaltă extremă, deşi sarcinile pot fi destul de dificile, simplitatea regulilor instaurează plictiseala.

7.3 Componentele jocului didactic matematic

a) Scopul didactic se formulează în concordanţă cu cerinţele programei şcolare pentru

clasa respectivă, convertite în finalităţi funcţionale de joc. Formularea trebuie să fie clară şi să oglindească problemele specifice de realizare a jocului. O bună formulare a scopului, corespunzătoare jocului, determină o bună orientare, organizare şi desfăşurare a activităţii respective.

b) Sarcina didactică constituie elementul de bază prin care se transpune la nivelul copilului scopul urmărit într-o activitate matematică. Sarcina didactică este legată de conţinutul jocului, structura lui, referindu-se la ceea ce trebuie să facă în mod concret copiii în cursul jocului pentru a realiza scopul propus.

Sarcina didactică reprezintă esenţa activităţii respective antrenând intens operaţiile gândirii – analiza, sinteza, comparaţia, abstractizarea, generalizarea – dar şi al imaginaţiei.

Jocul matematic cuprinde şi rezolvă cu succes o singură sarcină didactică. Spre exemplu, în jocul didactic Caută vecinii, scopul didactic este consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere, iar sarcina didactică: să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat.

În jocul Cine urcă scara mai repede? scopul didactic este consolidarea deprinderilor de calcul cu cele patru operaţii, iar sarcina didactică efectuarea unor exerciţii de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire. La jocul didactic Găseşte locul potrivit scopul didactic este formarea deprinderilor de a efectua operaţii cu mulţimi, iar sarcina didactică este să formeze mulţimi după unul sau două criterii.

92

Când copiii nu reuşesc să rezolve jocul propus, se verifică dacă nu s-a structurat vreo greşeală, dacă ei au noţiunile necesare pentru rezolvarea lui, dacă gradul de dificultate nu este prea ridicat.

c) Elementul de joc se stabileşte de regulă în raport cu cerinţele şi sarcinile didactice ale jocului. Ele pot fi cât se poate de variate. Într-un joc se pot folosi mai multe elemente, dar nu pot lipsi cu desăvârşire, deoarece sarcina didactică rezolvată fără asemenea element nu mai este joc.

Elementele de joc pot apărea sub formă de: 1 întrecere – individual sau pe grupe 2 cooperare – spiritul de colectivitate 3 recompensare–recompensele să fie de ordin moral, astfel să nu diminueze

interesul pentru joc şi să se rezume doar la obţinerea recompensei. 4 penalizare – să nu se accepte abaterile de la regulile jocului. Alte elemente de joc pot fi aplauzele şi cuvintele stimulatorii. Elementele de joc se împletesc strâns cu sarcina didactică şi mijlocesc realizarea ei în

cele mai bune condiţii. Se pot organiza jocuri în care întrecerea, recompensa sau penalizarea să nu fie evidente.

De exemplu în Jocul cifrei 1, obiectivul urmărit este acela de consolidare a noţiunilor referitoare la cifra 1. Aici elementul de joc este acela de întrecere între elevii clasei şi urmăreşte în plus şi formarea deprinderii de mânuire a beţişoarelor. Sarcina didactică este aceea ca fiecare elev să formeze pe bancă din cele 10 beţişoare cifra 1. Cel care termină primul este câştigătorul jocului şi este recompensat cântându-i o strofă dintr-un cântec, iar ultimul primeşte o “pedeapsă” din partea clasei să spună o ghicitoare, să cânte, să recite.

d) Conţinutul matematic al jocului este subordonat particularităţilor de vârstă şi sarcinii didactice. Trebuie să fie accesibil, recreativ şi atractiv. Prin forma în care se desfăşoară, prin mijloacele de învăţământ utilizate, prin volumul de cunoştinţe la care apelează.

Conţinutul didactic se referă la următoarele conţinuturi matematice: o mulţimi o operaţii cu mulţimi o elemente de logică o relaţii de ordine o relaţii de echivalenţă o numere naturale o operaţii cu numere naturale o unităţi de măsură o elemente de geometrie spaţială

e) Materialul didactic să fie ales din timp, să fie corespunzător, să contribuie la reuşita jocului, să fie variat. Jocurile didactice pot folosi drept material ajutător obiecte (creioane, cărţi, baloane, jucării) sau materiale luate din natură (flori, pietricele, ghinde. castane), dar mai frecvent folosim:

o jetoane cu desene, cu numere, cu semne de operaţii, sau cu operaţii;

o figuri geometrice (trusa “Logi I sau II”); o planşe; o riglete, alte materiale confecţionate.

Materialul didactic trebuie: - să fie mobil, putând fi uşor de mânuit de către copii; - să conţină o problemă didactică de rezolvat.

93

f) Regulile jocului – Fiecare joc didactic are cel puţin două reguli: • prima regulă transpune sarcina didactică într-o acţiune concretă, atractivă şi astfel

exerciţiul este transpus în joc; • a doua regulă a jocului didactic are rol organizatoric şi precizează momentul când

trebuie să înceapă sau să se termine o anumită acţiune a jocului, ordinea în care trebuie să intre în joc etc.

Regulile trebuie să fie formulate clar, corect, să fie înţelese de elevi şi în funcţie de reguli se stabilesc şi rezultatele jocului – punctajul. Acceptarea şi respectarea regulilor jocului îl determină pe copil să participe la efortul comun al grupului din care face parte. Subordonarea intereselor personale celor ale colectivului, lupta pentru învingerea dificultăţilor, respectarea exemplară a regulilor de joc şi în general succesul vor pregăti treptat pe omul de mâine.

Şcolarul mic este la vârsta curiozităţii, este la vârsta când trece da la o gândire intuitivă la o gândire operatorie, de la o memorie mecanică la una logică. Atenţia este încă instabilă. Elevul oboseşte foarte repede. De aceea este nevoie să introducem în lecţii jocul didactic. Lecţiile interesante, bogate în materiale intuitive şi presărate cu jocuri didactice ajută elevii în aprofundarea cunoştinţelor matematice, menţinându-le mai mult timp concentrată atenţia.

Strategiile jocului sunt strategii euristice în care şcolarii mici îşi manifestă isteţimea, iniţiativa, răbdarea, îndrăzneala.

7.4 Organizarea şi desfăşurarea jocului didactic matematic

A ) Pregătirea educatoarei/învăţătorului în vederea organizării şi desfăşurării jocului

didactic matematic Procesul de instrucţie şi educaţie – ca activitate conştientă, organizată şi întreprinsă

sistematic, orientată în direcţia atingerii unor finalităţi – presupune o temeinică organizare a activităţilor şi proceselor prin care se realizează. Complexitatea deosebită, multitudinea şi varietatea proceselor şi acţiunilor pe care le cuprinde, ca şi realizarea treptată a scopurilor sale, fac necesară programarea şi pregătirea minuţioasă a acesteia.

Educatorul trebuie să deţină o temeinică pregătire generală şi o foarte atentă pregătire pentru lecţie. Să aibă o bună pregătire psiho-pedagogică ştiinţifică şi metodică, pentru a-l ajuta, în alegerea metodelor adecvate, necesare eficientizării lecţiei.

O activitate matematică în care se foloseşte jocul didactic devine ca o situaţie problemă, iar rezolvarea ei se află în pregătirea minuţioasă a acestei activităţi: în alegerea jocului matematic potrivit, în alegerea materialului corespunzător, în potrivirea momentului când trebuie folosit şi felul cum se vor fructifica rezultatele.

B) Proiectarea, organizarea şi desfăşurarea metodică a jocului didactic matematic Pentru buna desfăşurare a jocului se au în vedere următoarele cerinţe: o pregătirea jocului didactic o organizarea judicioasă a acestuia o respectarea momentelor (evenimentelor) jocului didactic o respectarea ritmului jocului, alegerea unei strategii de conducere potrivită o stimularea elevilor în vederea participării la joc o asigurarea unei atmosfere prielnice pentru joc o varietatea elementelor de joc (complicarea jocului, introducerea altor variante de joc)

94

Pregătirea jocului didactic presupune în general următoarele: - studierea atentă a conţinutului acestuia, a structurii sale; - pregătirea materialului didactic (confecţionarea sau procurarea lui); - elaborarea proiectului (planului) jocului didactic. Organizarea jocului didactic matematic necesită o serie de măsuri. Astfel trebuie să se

asigure o împărţire a elevilor în funcţie de acţiunea jocului şi uneori chiar o reaşezare a mobilierului pentru reuşita lui în sensul rezolvării pozitive a sarcinii didactice.

O altă problemă organizatorică este aceea a distribuirii materialului necesar desfăşurării jocului. În general materialul se distribuie la începutul activităţii de joc şi aceasta pentru următorul motiv: cunoscând (intuind) în prealabil materialele didactice necesare jocului respectiv, copiii vor înţelege mult mai uşor explicaţia educatoarei/învăţătorului referitoare la desfăşurarea jocului. Există şi jocuri didactice matematice în care materialul poate fi împărţit elevilor după explicarea jocului.

Organizarea judicioasă a jocului didactic are o influenţă favorabilă asupra ritmului de desfăşurare a acestuia, asupra realizării cu succes a scopului propus.

Respectarea momentelor (evenimentelor) jocului didactic constituie o altă cerinţă pentru buna desfăşurare a jocului.

Desfăşurarea jocului didactic cuprinde, de regulă următoarele momente (faze): a) introducerea în joc (discuţii pregătitoare); b) anunţarea titlului jocului şi a obiectivelor; c) prezentarea materialului didactic; d) explicarea şi demonstrarea regulilor de joc; e) fixarea regulilor; f) executarea jocului de probă; g) executarea jocului de către elevi; h) complicarea jocului; i) introducerea de noi variante; j) încheierea jocului şi evaluarea conduitei de grup sau individuală. a) Introducerea în joc, ca etapă, îmbracă forme variate în funcţie de tema jocului.

Uneori, atunci când este necesar să familiarizăm copii cu conţinutul jocului, activitatea poate să înceapă printr-o scurtă discuţie cu efect motivator. Alteori introducerea în joc se poate face printr-o scurtă expunere sau descriere care să stârnească interesul şi atenţia elevilor. În alte jocuri introducerea se poate face prin prezentarea materialului sau anunţând direct titlul jocului.

b) Anunţarea titlului jocului şi a obiectivelor trebuie făcută sintetic, în termeni precişi, spre a nu lungi inutil începutul acestei activităţi.

c) Prezentarea materialului didactic trebuie făcută explicit axându-se pe obiectivele urmărite. Explicaţiile trebuie date atât pentru materialul model cât şi pentru cel individual, iar în timpul prezentării putem aplica şi câteva exerciţii de mânuire şi folosire a materialului.

d) Explicarea şi demonstrarea regulilor de joc Un moment hotărâtor pentru succesul jocului didactic este explicarea şi demonstrarea

acestuia. Învăţătorului îi revin următoarele sarcini: -să facă pe elevi să înţeleagă sarcinile ce le revin; -să precizeze regulile jocului asigurând însuşirea lor rapidă şi corectă; -să prezinte conţinutul jocului şi principalele etape în funcţie de regulile jocului; -să dea explicaţii cu privire la modul de folosire a materialului didactic; -să scoată în evidenţă sarcinile conducătorului şi cerinţele pentru a deveni câştigător.

95

Răspunsurile la întrebările jocului pot fi date prin acţiune sau prin explicaţii verbale. În cazul când jocul se repetă, se renunţă la explicaţii şi se trece la desfăşurarea jocului. e) Fixarea regulilor Uneori în timpul explicaţiei sau după explicaţie se vor fixa regulile jocului. Acest lucru

se recomandă, de regulă, când jocul are o acţiune mai complicată, impunându-se astfel o subliniere specială a acestor reguli. De multe ori fixarea regulilor nu se justifică, deoarece se realizează formal, elevii reproducându-le în mod mecanic.

Educatoarea/învăţătorul trebuie să acorde o atenţie deosebită copiilor care au o capacitate mai redusă de înţelegere sau acelora care au o exprimare mai greoaie.

f) Executarea jocului de probă presupune executarea unor secvenţe ale jocului pentru a se asigura înţelegerea sarcinii şi a regulilor de către toţi copiii.

g) Executarea jocului de către elevi Jocul începe la semnalul conducătorului jocului. La început acesta intervine mai des în

joc reamintind regulile jocului, dând unele indicaţii organizatorice. Pe măsură ce înaintează în joc sau copiii capătă experienţa jocurilor matematice, propunătorul acordă independenţă copiilor lăsându-i să se acomodeze liber.

Se desprind, în general, două moduri de a conduce jocul elevilor: Conducerea directă (propunătorul având rol de coordonator) Conducerea indirectă (propunătorul ia parte activă la joc fără să interpreteze rolul de

conducător) Pe parcursul desfăşurării jocului, propunătorul poate trece de la conducerea directă la

cea indirectă sau le poate alterna. Totuşi, chiar dacă propunătorul nu participă direct la joc, sarcinile ce-i revin sunt

deosebite. Astfel, în ambele cazuri propunătorul trebuie: - să imprime un anumit ritm jocului (timpul este limitat); - să menţină atmosfera de joc; - să urmărească evoluţia jocului evitând momentele de monotonie, de stagnare; - să stimuleze iniţiativa şi inventivitatea copiilor, să-i lase să-şi confrunte părerile, să

caute singuri soluţii, să înveţe din propriile greşeli. Dădăceala nu are ce căuta în astfel de activităţi, ea fiind profund dăunătoare;

- să controleze modul în care elevii rezolvă sarcina didactică respectându-se - regulile stabilite; - să creeze condiţii necesare pentru ca fiecare elev să rezolve în mod independent sau în

cooperare sarcinile; - să urmărească comportarea elevilor, relaţiile dintre ei, propunătorul neimpunând un

anumit sistem de lucru. Expresii ca “Fă aşa”, “aşază piesa aici”, “nu e bine cum faci” nu sunt indicate a fi folosite de propunător. Nu toate procedeele indicate de adulţi sunt accesibile copilului. De multe ori copilul înţelege mai bine când îi explică un alt copil.

Propunătorul nu are rol de “a preda” cunoştinţele sau de a prezenta de-a gata soluţiile unor probleme, el provoacă doar anumite probleme, anumite situaţii în faţa cărora sunt puşi copiii. Calea de rezolvare trebuie descoperită de copil, ea fiind doar (în caz de necesitate) sugerată în mod discret.

- să activeze toţi copiii la joc, găsind mijloace potrivite pentru a-i antrena şi pe cei timizi;

- să urmărească felul în care se respectă regulile jocului. Rolul nu se reduce la contemplarea situaţiei în care a fost pus copilul. Acesta reflectă

asupra acestei situaţii, îşi imaginează singur diferite variante posibile de rezolvare, îşi confruntă propriile păreri cu cele ale colegilor săi, rectifică eventualele erori. Copilul studiază

96

diverse variante care duc la rezolvare, alegând-o pe cea mai avantajoasă, mai simplă şi creează pe baza ei unele noi alternative de rezolvare, pe care să le formeze corect şi coerent. Copilul are deplina libertate în alegerea variantelor de rezolvare, el trebuie totuşi să motiveze alegerea sa, arătând, în faţa colegilor, avantajele pe care le prezintă ea;

În timpul jocului s-ar putea face şi unele greşeli. Copilul învaţă multe lucruri corectându-şi propriile greşeli; dacă nu poate el îl vor ajuta colegii. Educatoarea/învăţătorul nu poate interveni decât cu sugestii.

În desfăşurarea jocului este esenţială activizarea conştientă de continuă căutare, de descoperire a soluţiilor, verbalizarea acţiunilor, exprimarea rezultatelor obţinute, deşi sunt importante, nu se situează pe acelaşi plan cu activitatea însăşi, putându-se folosi vocabularul comun.

h) Complicarea sarcinilor jocului poate interveni atunci când se doreşte o diversificare a modalitaţilor de rezolvare a sarcinii didactice. acest lucru se poate realiza prin adăugarea de noi reguli, prin schimbarea unor reguli, prin modificarea unor reguli, prin modificareaorganizării colectivului de copii, prin adăugarea de noi materiale, etc.

i) Introducerea unor elemente noi; Introducerea unor elemente sau materiale noi. Sunt situaţii când pe parcursul jocului pot interveni elemente noi: Autoconducerea jocului (copiii devin conducătorii jocului, îl organizează în mod

independent); Schimbarea materialului didactic între elevi (pentru a le da posibilitate să rezolve

probleme cât mai diferite în cadrul aceluiaşi joc); j) Încheierea jocului În final, propunătorul formulează concluzii şi aprecieri asupra felului în care s-a

desfăşurat jocul, asupra modului în care s-au respectat regulile de joc şi s-au executat sarcinile primite, asupra comportamentului elevilor, făcând unele recomandări şi evaluări cu caracter individual şi general.

Jocul didactic matematic poate fi organizat cu succes la orice tip de activitate/lecţie şi la orice grupă/clasă, dar mai ales în grădiniţă şi la clasa I.

7.5 Jocul logico-matematic

Jocul logico-matematic este un tip de joc didactic prin care se fundamentează primele

cunoştinţe matematice ale copiilor, folosind elementele de logică matematică. Scopul principal al jocului logic este înzestrarea copiilor cu un aparat logic suplu şi

polivalent care să le permită a se orienta în realităţile înconjurătoare şi să exprime judecăţi şi raţionamente într-un limbaj adecvat.

Jocul logic acordă un rol dinamic intuiţiei şi pune accentul pe acţiunea copilului asupra obiectelor, în scopul formării percepţiilor şi a structurilor operatorii ale gândirii. De la manipularea obiectelor se trece treptat la acţiunea cu imagini ale obiectelor şi se continuă apoi cu desene, urmate de simboluri grafice ce permit accesul copiilor spre noţiuni abstracte. Acţionând asupra obiectelor şi a imaginilor acestora, copiii sunt solicitaţi să interpreteze anumite raporturi între obiecte care apar în cadrul jocului, să le redea într-o exprimare verbală adecvată. Astfel jocurile logice conduc în mod direct la problematica matematică. Fiind precis determinat prin atribute fără echivoc (formă, mărime, culoare, grosime) materialul didactic – trusa Diènes – dispune de o bogată încărcătură logică şi oferă cele mai mari posibilităţi de înţelegere a relaţiilor şi operaţiilor cu mulţimi şi conduce la formarea abilităţilor de identificare la această vârstă (5-7 ani).

97

În scopul evitării unor confuzii privind diferenţierea jocurilor logice de alte tipuri de jocuri şi luând drept criteriu gradul de implicare a operaţiilor logice în elementele de teoria mulţimilor. Apare următoarea clasificare a jocurilor logice.

1. Jocuri de descriere şi caracterizare a mulţimilor şi elementelor lor, cu folosirea în caracterizare a principiilor terţului exclus, contradicţiei şi dublei negaţii:

• un element trebuie să aparţină unei mulţimi formate sau complementarei ei (principiul terţului exclus);

• nici un element nu poate aparţine simultan mulţimii şi complementarei sale (principiul contradicţiei); • complementara complementarei unei mulţimi este mulţimea însăşi (principiul dublei

negaţii). Jocurile din această categorie presupun cu necesitate ca toţi copiii să posede deprinderea

de a forma mulţimi după diverse criterii. Prin acest tip de jocuri se asigură procesul de interiorizare treptată a acţiunii, prin intuirea determinărilor existente între interiorul şi exteriorul mulţimii (prin descriere şi caracterizare), folosind limbajul logic:

• şi... şi… (intersecţia); • şi ... dar nu... (diferenţa); • … sau …; sau... sau… (reuniunea); • nici... nici… (complementara reuniunii). Nu trebuie să se pretindă memorarea şi nici utilizarea accidentală sau mecanică a

acestor expresii, ci trebuie asociată acţiunea cu verbalizarea corectă. Jocurile pentru constituirea de mulţimi pe criterii simple nu pot fi considerate logice,

pentru că ele presupun grupări de elemente în urma analizei însuşirilor lor comune. În acest stadiu nu se evidenţiază determinările dintre mulţimea formată şi mulţimea tuturor obiectelor – aspect ce corespunde etapei de orientare a acţiunii mentale (familiarizarea cu caracteristicile esenţiale ale obiectului prezentat în formă nespaţială) din teoria operaţională a învăţării (P.I. Galperin).

2. Jocurile de comparare – evidenţiază asemănările şi deosebirile dintre elemente şi corespund jocurilor de diferenţă din clasificarea clasică.

3. Jocurile de orientare în tablou – asigură familiarizarea copiilor cu operaţiile logice cu mulţimi, prin clasificare şi seriere într-o ordine şi succesiune prestabilite.

4. Jocurile cu cercuri – sprijinirea intuirii operaţiilor cu mulţimi şi a operaţiilor logice ce decurg din acestea. Copiii intuiesc corect operaţia de complementariere prin intermediul negaţiei logice (este p şi nu este g). Negaţia caracterizează elementele din complementara unei mulţimi în raport cu o mulţime totală, intersecţia mulţimilor se caracterizează prin conjuncţie logică şi elementele din reuniune, prin disjuncţie logică, de asemenea se pot verifica legile lui De Morgan (în forma practică) şi principiile logice (principiul negării negaţiei, al terţului exclus, al contradicţiei). Jocurile ce solicită aceste operaţii favorizează formarea unor raţionamente logice, a unor procese cognitive şi contribuie la organizarea unor structuri elementare ale matematicii.

Clasificarea jocurilor s-a realizat ţinând cont de operaţiile pe care le implică şi care pot sprijini educatoarea/învăţătorul în realizarea obiectivelor.

Câteva dintre cerinţele psiho-pedagogice care se cer respectate pentru ca jocul logic să fie eficient şi să-şi atingă scopul didactic pentru care este organizat sunt:

• ierarhia sarcinilor de învăţare şi a întrebărilor trebuie să urmărească ordinea opera-ţiilor logice pe care educatoarea şi-a propus să le introducă şi care sunt solicitate de joc;

• modul de formulare a sarcinilor nu trebuie să sugereze soluţia de rezolvare, ci să orienteze acţiunea copiilor spre rezolvarea independentă a problemelor;

• organizarea corectă a explicaţiilor privind regulile jocului;

98

• în cazul apariţiei erorilor în acţiune sau verbalizare, se recomandă întreruperea jocului şi reluarea într-o formă nouă a indicaţiilor şi explicaţiilor;

• îmbinarea aspectului de exersare cu cel de verificare; • verbalizarea are un rol important în depăşirea situaţiilor de dificultate şi constituie o

formă de evaluare. Valoarea formativă a jocului logic constă tocmai în faptul că acţionează asupra

capacităţii de învăţare a copiilor prin structura sarcinilor de joc şi se concretizează în: - rolul activ al copilului în joc: el îşi imaginează diferite variante de rezolvare în raport

cu sarcina dată, rezolvă şi motivează, este antrenat într-o activitate conştientă, de căutare şi descoperire a soluţiilor, în limitele prestabilite de reguli;

- realizează o pregătire la nivelul capacităţilor de învăţare, prin numărul de condiţii şi de cerinţe care îl obligă pe copil să lucreze ţinând cont de principii logice şi să opereze cu structuri logice;

- asigură premisele interiorizării operaţiilor logice care au derivat din acţiunile obiectuale nemijlocite, printr-un proces dirijat;

- pune copilul în situaţia de a acţiona asupra obiectelor în lumina unor principii logice implicate în acţiune prin modul de organizare;

- asigură stimularea intelectuală a copiilor din „interior”, fără ca noţiunile de teoria mulţimilor şi logică să apară ca sarcini explicite de învăţare, ci în calitate de reguli fireşti ale jocului, care condiţionează desfăşurarea lui;

- asigură corelaţia între particularităţile de vârstă şi nivelul de cunoaştere a noţiunilor de teoria mulţimilor şi logică.

Concluzionând cele spuse anterior, se poate afirma că jocul logic are drept scop

formarea capacităţii de a elabora judecăţi logice, dezvoltarea capacităţii copilului de a acţiona pe baza unor operaţii şi principii logice şi de a asigura, pe această cale, premisele interiorizării operaţiilor logice ce au derivat din acţiunea obiectuală în cadrul unui proces dirijat.

Esenţa psihologică a jocului logic este ipoteza de formare, pe etape, a acţiunii mentale susţinută prin cercetări experimentale de P.I. Galperin.32 Acţiunea mentală se formează printr-un proces de interiorizare treptată a acţiunii materiale, după traseul:

(1) – formarea bazei de orientare a acţiunii (orientarea în sarcină); (2) – elaborarea formei materializate a acţiunii (dirijarea învăţării); (3) – acţiunea în limbaj, cu voce tare (verbalizarea acţiunii) – copilul este obligat, în

această etapă, să ţină cont de corectitudinea obiectuală a acţiunii şi de cerinţele comunicării corecte a rezultatelor acţiunii;

Această etapă relevă rolul verbalizării şi al limbajului ca instrument al gândirii. (4) – acţiunea în planul limbajului intern, pentru sine (interiorizarea acţiunii). Exemplificăm desfăşurarea jocului logic după un traseu metodic care favorizează

procesul galperian de interiorizare treptată a acţiunii materiale şi relevă valenţele sale formative.

Sarcini • pune în cercul roşu mulţimea pieselor roşii; • pune în cercul albastru mulţimea pătratelor.

32 Galperin, P.I. şi colab., Studii de psihologia învăţării. Teorie şi metodă în elaborarea acţiunilor mentale (trad.) EDP, Bucureşti, 1975

99

În elaborarea formei materializate a acţiunii, copiii vor face probabil greşeli, dar educatoarea va interveni cu întrebări de tipul:

• Sunt toate piesele roşii în cercul roşu? • Sunt toate pătratele în cercul albastru? Întrebările nu trebuie să ofere soluţii, ci să-l conducă pe copil în descoperirea greşelilor

(eventuale) sau să-i ofere confirmări privind corectitudinea rezolvării sarcinii. În rezolvarea sarcinii, copilul face apel la abilităţile însuşite anterior – identificare, sor-

tare, triere, grupare în raport cu un criteriu. El obţine pe baza operaţiilor efectuate mulţimea pătratelor roşii, despre care perceperea directă nu i-ar fi furnizat informaţii suficiente.

Întrebările suplimentare puse de educatoare au şi rolul de orientare în sarcină. Acţiunea materială a copilului dirijează acţiunea mentală – relaţiile obiectuale introduse

de acţiune relevă procesele intelectuale implicate în rezolvarea problemei (analiză şi sinteză). Explicaţiile educatoarei privind regulile jocului trebuie să asigure realizarea unor

corelaţii cu alte sarcini rezolvate de copii în jocul anterior şi au rol de orientare în sarcină. Verbalizarea are rol de autocontrol, dar şi de corectare a erorilor, deoarece: • raportarea a ceea ce copilul spune la situaţia prezentă în joc conduce la sesizarea

nepotrivirilor între cerinţă şi situaţia de joc; • comunicarea modului de lucru într-o formă corectă face ca răspunsul să fie acceptat de

colegi, constituind o cale de desprindere de concretul situativ şi ajută la concretizarea propriei acţiuni; în acest mod, limbajul îşi relevă funcţia sa cognitivă şi favorizează interiorizarea acţiunii.

Din acest punct de vedere, fiecare joc constituie o nouă situaţie experimentală. Rezolvarea sarcinilor jocului logic sporeşte experienţa copiilor şi, prin aplicarea celor

învăţate în situaţii asemănătoare, are loc un transfer nespecific, acţionând asupra capacităţilor de învăţare. Se acţionează astfel şi în direcţia formării mecanismelor informaţionale şi operaţionale din procesul învăţării conceptuale.

Vom face în continuare o scurtă prezentare a unor jocuri logice, cu formularea unor orientări metodice.

Constituirea de mulţimi pe baza unor caracteristici date şi denumirea pieselor cu ajutorul conjuncţiilor de propoziţii: Ce este şi cum este această piesă?

Copiii formează, prin triere şi grupare, mulţimea discurilor. Se lucrează pe această mulţime introducându-se noi criterii de culoare, apoi de mărime şi de grosime pentru mulţimi.

• Prin sarcina de lucru se va solicita copiilor descrierea pieselor astfel: Această piesă este un disc roşu, mare şi subţire.

• Ordinea în care sunt enumerate atributele nu este esenţială, iar atenţia educatoarei se va îndrepta spre enumerarea în totalitate a atributelor, exprimarea corectă şi precisă a acestora.

• Jocul continuă atâta timp cât este necesar pentru a se constata dacă fiecare copil posedă cunoştinţele de bază legate de atributele pieselor şi are capacitatea de exprimare.

Descrierea pieselor trusei Diènes cu ajutorul atributelor şi a negaţiei logice; intuirea complementarei unei mulţimi şi discriminarea atributelor pieselor cu ajutorul negaţiilor:

Cum este şi cum nu este această piesă? Sarcini de învăţare 1.• Copilul alege o piesă şi o caracterizează, precizând ce însuşiri are. • Se aşteaptă răspunsul: piesa aleasă este roşie, mare, groasă şi are forma de triunghi. 2. Se cere copilului să precizeze şi ce însuşiri nu are piesa aleasă (în comparaţie cu

proprietăţile celorlalte piese ale trusei). • Se aşteaptă răspunsul: Piesa nu este albastră, nu este galbenă, nu este subţire, nu

este mică, nu este nici dreptunghi, nici cerc, nici pătrat.

100

• Se pot accepta, la început, răspunsuri incomplete, dar acestea vor trebui completate de ceilalţi copii. • Treptat, în cadrul aceluiaşi joc, copiii vor fi conduşi să facă unele deducţii pentru a uşura răspunsul: Dacă piesa mea este roşie, înseamnă că nu este galbenă şi nu este albastră; dacă este mare, cu siguranţă nu este mică etc. • Prin repetarea exerciţiului, copiii grupei pregătitoare vor înţelege că este mai uşor să enumere succesiv variabilele fiecărei piese: formă, culoare, mărime, grosime şi să utilizeze negaţia pentru acele însuşiri pe care piesa nu le posedă. • Jocul se repetă până când se constată că majoritatea copiilor probează stăpânirea procedeului.

Intuirea operaţiei de complementare şi determinarea atributelor unor piese cu ajutorul negaţiei şi al deducţiei logice: Te rog să-mi dai!

• Jocul se organizează în grupe de câte doi copii. • Piesele trusei se împart în mod egal între cei doi copii, fără a urmări un anumit criteriu

de selecţie. Se pot folosi 24 piese sau 12, funcţie de nivelul grupei. Sarcini de învăţare Unul dintre copii solicită celuilalt o piesă pe care el nu o are în mulţimea primită, denumind-o cu cele patru atribute. Dacă piesa a fost denumită corect şi este corect identificată de colegul său, atunci el o primeşte; în caz contrar, nu primeşte nimic şi este rândul celuilalt copil să solicite o piesă. Aceeaşi sarcină pentru celălalt copil. Câştigător este cel care va avea, la un moment dat, cele mai multe piese. Prin regulile şi sarcinile de joc, copiii îşi dezvoltă procedee inductive şi deductive de căutare şi tatonare, pentru a găsi modalitatea de identificare a pieselor ce le lipsesc. Aceasta este de fapt situaţia problematică a jocului, iar rezolvarea ei aduce un mare câştig în plan formativ. În urma unei bune activităţi de orientare în sarcină conduse de educatoare, copilul observă şi identifică toate atributele pieselor cu care lucrează şi treptat optimizează procedeul de căutare şi înţelege că nu poate descoperi piesele ce îi lipsesc decât dacă organizează mulţimea pieselor în două grupe formate pe criteriul de mărime (de exemplu). Acum, pentru fiecare mărime trebuie să aibă piese cu cele 4 forme (disc, triunghi, pătrat, dreptunghi) şi cele trei culori (roşu, galben, albastru) şi poate forma perechi între piesele cu acelaşi atribut de culoare sau formă, dar de mărimi diferite. În acest fel, copilul va descoperi cu uşurinţă piesa care îi lipseşte (vor rămâne piese fără pereche) şi va şti ce piesă trebuie să ceară partenerului. Piesa va putea fi acum uşor de caracterizat cu ajutorul conjuncţiei şi al negaţiei logice. Pentru începători, educatoarea poate da tehnica de căutare a pieselor lipsă – criteriul de formare a perechilor: mare-mic, gros-subţire, valabil pentru ambii parteneri de joc. Educatoarea poate introduce, pe parcursul jocului, şi elemente de numeraţie (se pot stabili la un moment dat numărul de piese fără pereche, de o anumită formă sau culoare).

101

CAPITOLUL 8

Bazele psihopedagogice şi metodologice ale formării noţiunii de număr natural

8.1 Conservarea numerică si formarea noţiunii de număr la vârsta de 6 -7 ani Noţiunea de număr este influenţată de componenta spaţială, topologică, până în

momentul dezvoltării depline a structurilor logico-matematice ale claselor şi relaţiilor, din a căror sinteză se constituie numărul, adică până la dobândirea invarianţei numerice, a conservării cantitative.

Noţiunea de invarianţă a cantităţii stă la baza conservării numerice (aspectul continuu al numărului) şi a constantei numerice.

Astfel, Jean Piaget arată că: "între 3-7 ani copilul trebuie să-şi dezvolte capacitatea de cunoaştere în direcţia înţelegerii invarianţei cantităţii"33.

Înţelegând invarianţa, deci ceea ce este constant şi identic în lucruri, copilul, va putea înţelege şi faptul că numărul reprezintă o anumită cantitate care, indiferent de însuşirile fizice ale obiectelor care o compun, sau de însuşirea lor în spaţiu, este aceeaşi.

Noţiunea de număr, ca şi orice altă noţiune, reflectă realitatea obiectivă. Deprinderea relaţiilor cantitative necesită însă o activitate de abstractizare şi generalizare complexă, care se formează la copil treptat, în procesul unor activităţi adecvate.

La 4-5 ani, copilul observă că numele numărului nu este eticheta unui obiect, ci desemnează poziţia lui într-o succesiune de obiecte. În această fază domină proprietatea ordinală a numărului, iar sensul acestei reprezentări constă în imaginea reprezentativă pe care şi-o formează copilul despre un anume element al succesiunii.

În următoarea etapă, la 5-6 ani, ca rezultat al experienţei cognitive, copilul abstrage ca atribut distinctiv al acestor clase calitatea numerică sau numărul cardinal; clasele pot fi acum puse în corespondenţă biunivocă.

Proprietatea cardinală a numărului nu mai este acum perturbată de componenta spaţială. Când conceptul de număr ajunge în stadiul formal, corespondenţa unu la unu se păstrează chiar şi atunci când componenta spaţială intervine ca factor perturbator (schimbarea poziţiei), iar baza perceptuală a corespon- denţei dispare.

Această capacitate se formează ca efect al învăţării dirijate, la 6-7 ani. În acest stadiu, copilul este capabil să vizualizeze deplasarea inversă a mulţimii de pătrate, aşa încât să poată realiza perceptiv corespondenţa biunivocă a celor două clase.

Pentru formarea conduitei conservative la copiii de 6-7 ani trebuie avut în vedere şi formarea deprinderilor de triere, comparare, clasificare ale elementelor unei mulţimi, aprecierea globală şi prin punere în perechi a 2-3 mulţimi, compararea mulţimilor "cu tot atâtea", "mai multe/puţine elemente", determinarea diferenţelor cu un element precum şi măsurarea, cu etaloane nestandardizate, a lungimii şi lăţimii, invarianţa masei şi volumului.

Însuşirea principiului conservării reprezintă din punctul de vedere a lui Jean Piaget, o etapă importantă a dezvoltării intelectuale a copilului şi serveşte drept criteriu psihologic al 33 Piaget, J., Construirea realului la copil (trad.), E.D.P., Bucuresti, 1976

103

apariţiei calităţii logice fundamentale a gândirii, reversibilitatea, dovada trecerii copilului la o gândire nouă, operaţional-concretă. Pentru ca invarianţa cantităţii să devină o convingere deplină a copilului, el trebuie învăţat: I – să diferenţieze parametrii obiectului: lungime, adâncime, înălţime, greutate, volum; II – să stabilească, prin experienţă, invarianţa mărimii după fiecare parametru.

Dar pentru aceasta este necesară o unealtă, un instrument, iar o astfel de unealtă este măsura.

Ca unitate de măsură poate fi folosit orice obiect sau o parte a sa. Măsura nu este un simplu mijloc tehnic de apreciere cantitativă, ci reprezintă indiciul şi

rezultatul trecerii de la compararea directă şi globală a obiectelor, aşa cum apar ele în percepţie, la aprecierea lor după rezultatele măsurării prealabile. Cu ajutorul ei se stabileşte invarianţa unei anumite mărimi, atunci când se modifica numai configuraţia ei externă.

Unitatea de măsură este cea care permite transformarea mărimilor concrete în mulţimi matematice şi mai departe compararea lor pe calea raportării biunivoce.

Folosirea unor unităţi de măsură diferite permite desprinderea unor însuşiri diferite ale obiectului şi datorită acestui fapt, se produce depăşirea caracterului global al aprecierii directe.

Posibilitatea folosirii diferitelor unităţi de măsură pune problema respectării stricte a regulii comparării numai pentru mărimi care au fost măsurate cu aceeaşi unitate de măsură. Acţiunea de măsurare este îndeplinită cu uşurinţă de copii şi aceasta poate fi folosită pentru a asigura logica apariţiei numărului şi a primelor noţiuni matematice.

Constantele perceptive şi conservările operatorii constau în conservarea unei anumite proprietăţi a obiectului atunci când:

- mărimea sa reală sau forma sa aparentă sunt modificate; - cantitatea de materie ori greutatea obiectului rămâne neschimbată (în cazul conservării

operatorii) când se toarnă un lichid dintr-un recipient într-altul sau se modifică, de pildă, forma unei bucăţi de plastilina.

- Introducerea măsurii presupune parcurgerea în plan psihologic a următoarelor etape: - separarea cu ajutorul ei a diferitelor însuşiri (parametri) ale lucrurilor; - transformarea unor mărimi concrete în mulţimi matematice propriu-zise; - raportarea biunivocă, compararea mărimilor şi numai după aceea, pe această bază,

introducerea numerelor şi acţiunilor cu ele. În formarea noţiunilor de conservare a cantităţilor se disting trei etape succesive: - prima etapă se caracterizează printr-un ansamblu de conduite preconservatoare; - a doua etapă caracterizată prin conduite intermediare; - a treia de ordin conservator. a) Conduitele primului stadiu dovedesc o nonconservare netă a cantităţii şi au ca

particularitate comuna o centrare pe: acţiune: a vărsa, a turti, a rula; configuraţia statică, aceasta constituind rezultatul unei alterări a formei, care rezultă

din acţiunea prin care a fost modificată forma bilei sau nivelul lichidului, copiii însă neglijează acest fapt.

b) Conduitele intermediare se caracterizează în general prin oscilaţiile de nonconservare şi conservare a cantităţilor.

c) La al treilea nivel copilul afirmă conservarea cantităţilor justificând-o prin argumente. În acest stadiu ei sunt pregătiţi din punct de vedere psihologic pentru dobândirea conceptului de număr natural.

104

8.2 Organizarea activităţii didactice în perioada prenumerică

Aprecierea globală şi punerea în perechi, deprinderi care pregătesc formarea conceptului de număr se sprijină pe capacităţile de grupare a obiectelor şi pe înţelegerea noţiunii de relaţie. Noţiunea de pereche conduce la descoperirea interdependenţei ce există între numărul de elemente ale celor două mulţimi.

Aceste activităţi solicită abilităţi de identificare, grupare, triere, ordonare şi formulare de judecăţi logice în următoarea succesiune:

• trierea şi aprecierea apartenenţei obiectului la o mulţime: se depăşeşte în acest fel faza identificării obiectului, apartenenţa devenind criteriu de grupare;

• grupare în două mulţimi disjuncte (nu au elemente comune), şi aceasta presupune alegerea convenabilă a unor criterii;

• aprecierea cantităţii prin punere în perechi, indispensabilă ca operaţie pentru achiziţia numărului, prin diverse procedee: suprapunere, alăturare, punere în perechi, numărare.

În acest fel, capacitatea de comparare prin apreciere globală a mulţimilor se dobândeşte întâi în plan perceptiv şi apoi în plan reprezentativ.

Pentru a asigura realizarea obiectivelor operaţionale ale acestei unităţi de conţinut, educatoarea/învăţătorul trebuie să ia în considerare faptul că în stabilirea corespondenţelor numerice între mulţimi aşezarea spaţială a elementelor joacă un rol hotărâtor, putând frâna desprinderea şi conştientizarea însuşirilor numerice ale mulţimilor.

Această caracteristică a stadiului perceptiv trebuie valorificată în sensul că se oferă copiilor procedee de apreciere cantitativă (suprapunerea, alăturarea şi punerea în perechi) ce nu solicită numărare. Prin aceste procedee, se substituie componentei numerice componenta spaţială, care este mai puternică şi, în acest fel, copilul de 3-5 ani reuşeşte să formeze mulţimi cu tot atâtea elemente, sprijinindu-se, în percepţie, pe componenta spaţială. La aceste vârste, în soluţionarea unor sarcini de tipul pune mai puţine obiecte decât mine apar dificultăţi datorate faptului că posibilităţile de rezolvare fără a apela la numeraţie sunt mai reduse şi de aceea numărul de obiecte cu care va opera copilul este necesar să fie mic (3-4 obiecte), pentru a putea să exerseze uşor procedeele de apreciere cantitativă.

La 5-7 ani, cunoaşterea raporturilor numerice între grupele de obiecte este mai profundă şi acest tip de sarcină de lucru se rezolvă prin numărare fără dificultate. Acum, compararea globală a mulţimilor se realizează în planul reprezentărilor, copilul nu mai este tentat să reproducă poziţia obiectelor mulţimii. Dacă numărul obiectelor este mare, el foloseşte anumite repere vizuale, grupând obiectele câte 2-3, sarcina se realizează corect, fără numărare, prin stabilirea unei legături între reprezentările numerice şi cele spaţiale (copiii reţin locul obiectelor, configuraţia spaţială având rol de reper).

Această tendinţă a copiilor de a-şi reprezenta în scheme numerice spaţializate cantităţi mai mici de obiecte constituie un suport intuitiv în operarea cu mulţimi. În acest mod, operaţia de descompunere a numărului apare ca rezultat al transferului deprinderilor operării cu mulţimile de obiecte din planul concret-acţional în planul reprezentărilor.

Elementul spaţial joacă un rol perturbator în conservarea numerică la copiii sub 7 ani. Ei ţin cont de spaţiul efectiv ocupat de obiecte şi de spaţiul dintre ele.

Dacă un număr de obiecte mici este înlocuit cu acelaşi număr de obiecte mari, copilul declară că s-a mărit numărul acestora. Schimbarea mărimii este apreciată de copil ca o modificare numerică şi aceasta dovedeşte legătura ce există între reflectarea raporturilor de mărime şi a celor de număr, mărimea dimensiunilor fiind, iniţial, direct proporţională cu mărimea numerică. În acest stadiu, numărul este dependent de atributele spaţiale ale obiectului şi ale grupului, dar modificările de dimensiune, numai la o parte din obiecte, sunt observate de copil cu uşurinţă prin contrast şi atunci nu mai confundă mărimea cu numărul.

105

Dobândirea abilităţii de apreciere globală susţine conservarea cantităţii, ce parcurge diferite stadii de înţelegere: • la 4-5 ani, copilul ia în considerare criteriul de lungime a şirului (elementul spaţial) şi ignoră numărarea; • stabilirea corespondenţei vizuale termen cu termen. Când această aranjare spaţială este modificată, copilul nu mai admite egalitatea numerică, chiar dacă numără elementele, în aprecierea globală predominând acelaşi criteriu (de lungime a şirului); • modificarea criteriului de densitate cu cel de lungime se coordonează (la 6-7 ani). Copilul se detaşează de configuraţia spaţială a elementelor şi de corespondenţa vizuală şi realizează corespondenţa numerică, prin conservarea echivalenţei (egalităţii) obţinute independent de configuraţiile perceptive şi acum aprecierea sa nu mai este sub influenţa elementului spaţial. Aceste observaţii, ce au ca bază cercetări psihopedagogice sunt determinante în conceperea situaţiilor de învăţare şi în formularea sarcinilor de lucru atât la grădiniţă cât şi în perioada prenumeraţie din clasa I. Tema Constituirea de mulţimi cu tot atâtea elemente. Sarcini de învăţare şi etapele de rezolvare

1. • Se reactualizează cunoştinţele privind formarea de mulţimi cu tot atâtea elemente pe material demonstrativ, prin antrenarea a 3-4 copii;

• Pe rând, se cere verbalizarea acţiunilor individuale şi comunicarea în limbaj matematic a rezultatului acţiunii;

2. • Se solicită copiilor să aşeze în plan vertical mulţimea florilor (4) şi alături mulţimea frunzelor (se lucrează individual);

• Se solicită verbalizarea (2-3 copii), pentru a stabili că sunt tot atâtea; 3. • Se cere copiilor să mărească distanţa între elementele unei mulţimi, iar pentru cealaltă

mulţime să micşoreze distanţele; • Se solicită copiilor să precizeze dacă modificarea spaţială influenţează proprietatea

numerică, iar educatoarea/învăţătorul subliniază că sunt tot atâtea frunze cât şi flori (invarianţa cantităţii);

4. • Educatoarea/învăţătorul aşază acum elementele mulţimii de pe panou în diferite locuri pe masă;

• Se întreabă copiii dacă acum sunt tot atâtea elemente în ambele mulţimi. Observaţii • educatoarea/învăţătorul poate introduce exerciţii de comparare numerică între mulţimile obiectelor aflate în clasă sau aşezate intenţionat în diferite locuri; • se pot constitui mulţimi reprezentate prin desen la tablă, cerându-se copiilor să facă comparaţii şi aprecieri, indiferent de poziţia elementelor în desen. Tema Mulţimi echivalente şi invarianţa cantităţii – grupa mare. Constituirea de mulţimi cu „tot atâtea” elemente (indiferent de dimensiune). Sarcini de învăţare şi etapele de rezolvare • Educatoarea/învăţătorul demonstrează, pe masa de lucru, procedeul de constituire a mulţimilor după criteriul dimensiunii; concomitent cu acţiunea, educatoarea/învăţătorul oferă modelul de verbalizare specific acestei situaţii; • Educatoarea/învăţătorul demonstrează şi explică copiilor procedeele prin care se pot determina mulţimi cu tot atâtea elemente (prin suprapunere, alăturare sau prin punere în perechi). Rezolvare

106

• Copiii rezolvă aceeaşi sarcină, pe material individual, după criteriile precizate de educatoare: gros-subţire, mare-mic; • Educatoarea/învăţătorul solicită 2-3 copii să verbalizeze acţiunea efectuată şi să exprime rezultatul acţiunii: sunt tot atâtea buline câte beţişoare şi câte panglici sunt; • Se cere copiilor să aprecieze cantitativ şi apoi să opereze la fel cu celelalte două mulţimi, cea cu obiecte mari şi cea cu obiecte groase, folosind la alegere unul din procedeele prezentate; • Educatoarea/învăţătorul va antrena 3-4 copii pentru verbalizarea rezultatului acţiunii efectuate; • Se vor compara cantitativ mulţimile; se urmăreşte realizarea sarcinii de verbalizare pentru a stabili că sunt tot atâtea elemente, indiferent de dimensiuni; • Pentru complicare, se poate introduce un exerciţiu care să implice sarcini asemănătoare, dar cu grad sporit de dificultate (în cazul a trei mulţimi noi), iar una din mulţimi conţine un element mai mult decât celelalte două. Copiii au sarcina de a egaliza numărul de elemente şi se lasă libertate în alegerea procedeului de rezolvare (se adaugă la celelalte două câte un element sau se ia elementul în plus). Tema Formează perechi între elementele din aceste mulţimi: spune dacă sunt tot atâtea (sau unde sunt mai multe/mai puţine) şi de ce. Organizarea situaţiei de învăţare 1. Se va cere formarea mulţimilor după o anumită proprietate caracteristică; 2. Se va solicita copiilor să spună unde cred ei că sunt mai multe sau mai puţine elemente („sunt mai multe flori, sau mai mulţi fluturi?”). Deoarece la grupa mijlocie copiii au învăţat cum pot compara două mulţimi, se va lăsa câtva timp de gândire pentru ca singuri să descopere (redescopere) procedeul, adică relaţia dintre cele două mulţimi supuse comparaţiei; 3. În continuare, se va cere copiilor să spună ce au descoperit şi cum au descoperit, care mulţime are mai multe (mai puţine) elemente. Un copil va demonstra pe material demonstrativ formarea perechilor, sub atenta îndrumare a educatoarei; 4. Educatoarea/învăţătorul va demonstra modul de lucru; deoarece la grupa mare se vor întâlni situaţii în care întâi este formată o mulţime şi apoi va fi formată o alta şi aranjată în perechi cu alta deja existentă, se va arăta modul de lucru. Formăm mai întâi mulţimea de flori (de exemplu) şi apoi, alături, mulţimea de fluturi. Acum vom forma perechile. Mâna stângă se va aşeza pe o floare, indicând-o, iar cealaltă va aşeza fluturele (un singur fluture) în dreptul florii, la dreapta. Controlăm dacă lângă fiecare floare este un singur fluture, stabilind relaţia: un fluture – o floare, până se verifică toate perechile. Rezultatul comparaţiei va fi exprimat prin acelaşi limbaj ca şi cel folosit la grupa mijlocie. Copiii vor forma mulţimile din elementele primite în coşuleţ, aşezându-le pe masă, apoi le vor pune în corespondenţă, verbalizând în final. Educatoarea/învăţătorul va crea şi alte exerciţii cu materialul demonstrativ: • aşază mulţimi pe tabla magnetică, făcând intenţionat greşeli, copiii trebuind să descopere greşeala şi să motiveze de ce nu este corect; • desenează pe tablă două mulţimi şi va arăta copiilor cum vor proceda ca să deseneze două mulţimi cu tot atâtea elemente; în spaţiul din stânga desenează un pătrat, iar în dreapta un triunghi şi stabileşte grafic corespondenţa ş.a.m.d.; • cere copiilor să execute aceeaşi acţiune pe fişa matematică. Activităţile de compunere de mulţimi şi punere în corespondenţă se pot desfăşura după două obiective: stabilirea echivalenţei a două mulţimi de obiecte prin realizarea corespondenţei element cu element; construirea unei mulţimi echivalentă cu o mulţime dată;

107

Perioada prenumeraţie din clasa I, la fel ca şi perioada preoperatorie din grădiniţă este caracterizată de : utilizarea exerciţiului cu material individual şi a jocului didactic ca metodă sau ca formă de organizare a lecţiei; învăţarea prin acţiune şi verbalizarea acţiunilor; utilizarea materialelor didactice individuale şi a unor tehnici de comunicare specifice grădiniţei; Una dintre premisele psihopedagogice esenţiale în formarea numărului este apariţia la vârsta de 6-7 ani a reprezentărilor despre conservare numerică şi invarianţa numărului (cardinalul unei mulţimi nu depinde de forma elementelor, poziţia spaţială, mărimea elementelor, culoare şi distanţa între elemente). Pentru a ajunge la formarea conceptului de număr este necesară o perioadă pregătitoare în care copilul desfăşoară activităţi de:

- compunere a numerelor, - punere în corespondenţă a elementelor a două sau mai multe mulţimi - comparare a numărului de elemente a două sau mai multe mulţimi - formare de mulţimi după două sau mai multe criterii; - numărare şi numire a numărului de elemente a unor mulţimi date - asociere a numărului la cantitate; - asocierea cantităţii la număr - utilizarea simbolurilor pentru caracterizarea numerică a unor mulţimi.

Aceste activităţi sunt prevăzute în curriculum-ul clasei I atât prin obiectivele de referinţă cât şi prin activităţile de învăţare. Acestea prevăd în mod explicit necesitatea activităţilor obiectuale, în care copiii lucrează cu material didactic pentru a dezvolta şi accentua latura intuitivă a învăţării. Elevii construiesc mulţimi care au tot atâtea elemente, mulţimi echivalente cu o mulţime dată, stabilesc corespondenţe element cu element, rolul acestor activităţi fiind acela de a dezvolta la copiii înţelegerea noţiunii de număr ca o clasă de echivalenţă a mulţimilor finite echipotente cu o mulţime dată. Caracterul stadial al dezvoltării intelectuale (după Piaget) relaţionat cu specificul învăţării la această vârstă – acţional, iconic şi simbolic (după Bruner) conduc la formarea reprezentărilor despre număr şi permit trecerea de la gândirea operatorie concretă la cea abstractă, chir dacă nu se poate încă renunţa la reprezentări materializate, obiectuale. Din aceste considerente, însuşirea conştientă a noţiunii de număr se fundamentează pe: înţelegerea numărului ca proprietate cardinală a mulţimilor echivalente (a mulţimilor cu acelaşi număr de elemente); înţelegerea proprietăţii cardinale, a poziţiei numărului în şirul numeric; înţelegerea proprietăţii ordinale a numărului; cunoaşterea şi utilizarea în scris şi verbal a simbolurilor grafice specifice, cifrele.

8.3 Etapele de predare-învăţare a unui număr

1. Se construieşte o mulţime care reprezintă numărul anterior învăţat şi se verifică prin

numărare, ataşându-se eticheta cu cifra corespunzătoare. 2. Se formează, prin punere în corespondenţă, o mulţime cu un element mai mult decât

mulţimea dată. 3. Se numără conştient, prin încercuire, elementele din noua mulţime, numindu-se

numărul care îi corespunde. 4. Se prezintă simbolul grafic a noului număr. Se scrie cifra respectând etapele de

scriere: se intuieşte forma cifrei, se recunoaşte cifra în diverse contexte, se familiarizează cu

108

forma cifrei prin scriere în aer, se modelează din sârmă, plastilină, se scrie pe bancă, pe caiet fără liniatură, se scriu după model 3-4 cifre, se corectează, se scriu 1-2 rânduri, se corectează.

5. Se fac exerciţii de recunoaştere (identificare) în spaţiul înconjurător a mulţimilor care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondenţă şi numărare.

6. Se formează mulţimi care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondenţă şi numărare (se construieşte clasa de echivalenţă a noului număr).

7. Se prezintă caracterul ordinal al noului număr. Se introduce noul număr în şirul numeric: se numără crescător şi descrescător până (de la) numărul nou, se compară noul număr cu precedentele, subliniindu-se faptul că acesta este cu o unitate mai mare decât precedentul, se numesc vecinii şi se fac exerciţii de completare a vecinilor. Se fac exerciţii de ordonare a unor mulţimi de numere care conţin noul număr.

8. Se compune noul număr din precedentul şi încă o unitate; se compune apoi şi din alte numere.

9. Se descompune noul număr în diferite forme. Se lucrează cu material concret obiectual, cu jetoane şi cu riglete (mai ales la compararea numerelor). Copii vor lucra cu material individual, iar educatoarea/învăţătorul, la flanelograf sau tabla magnetică, cu material expozitiv. Este de preferat ca unele etape din predarea noului număr să fie realizate cu ajutorul unor elevi care vor lucra cu materialul expozitiv.

Învăţarea trebuie să conducă la o legătură reversibilă între noţiunea numerică – exprimare verbală – scriere simbolică.

8.4 Metodologia formării noţiunii de număr natural Probleme specifice ale învăţării numerelor naturale în concentrul 0 -10

Consideraţiile metodice ale învăţării numeraţiei decurg din aspectele de ordin teoretic şi psihopedagogic.

Numărul este proprietatea numerică a unei mulţimi şi constituie cardinalul unei clase de echivalenţă de mulţimi finite de aceeaşi putere. Orice mulţime dintr-o clasă de echivalenţă de mulţimi finite de acelaşi cardinal poate fi luată ca reprezentant al numărului natural considerat. Aşadar, o mulţime finită are un număr de elemente egal cu un număr dat, dacă mulţimea considerată este un reprezentant al acelui număr natural.

Numărul este deci un concept asociat celui de mulţime, deoarece mulţimii i se asociază cardinalul ce caracterizează numeric mulţimea; noţiunea de mulţime este deci determinantă pentru înţelegerea numărului. Deosebirea dintre numărul cardinal şi numărul ordinal este cunoscută ca deosebire între număr şi numeraţie.

Numărul cardinal are la bază corespondenţa biunivocă (element cu element) între două mulţimi.

Numărul ordinal introduce numeraţia. Acţiunea de numărare implică formarea unui sistem de numere în care se dispune o colecţie de obiecte, obiectele fiind caracterizate prin dimensiunea cantitativă a colecţiei.

Numărul, sub aspectul său ordinal, exprimă rezultatul acţiunii copilului cu obiectele concrete; relaţia de ordine apare deci ca un rezultat natural al acţiunii.

Noţiunea de număr este influenţată de componenta spaţială, topologică, până în momentul dezvoltării depline a structurilor logico-matematice ale claselor şi relaţiilor, din a căror sinteză se constituie numărul, adică până la dobândirea invarianţei numerice, a conservării cantitative.

Noţiunea de invarianţă a cantităţii stă la baza conservării numerice (aspectul continuu al numărului) şi a constanţei numerice.

109

La 4-5 ani, copilul observă că numele numărului nu este eticheta unui obiect, ci desemnează poziţia lui într-o succesiune de obiecte. În această fază domină proprietatea ordinală a numărului, iar sensul acestei reprezentări constă în imaginea reprezentativă pe care şi-o formează copilul despre un anume element al succesiunii.

În următoarea etapă, la 5-6 ani, ca rezultat al experienţei cognitive, copilul abstrage ca atribut distinctiv al acestor clase calitatea numerică sau numărul cardinal; clasele pot fi acum puse în corespondenţă biunivocă.

Proprietatea cardinală a numărului nu mai este acum perturbată de componenta spaţială. Când conceptul de număr ajunge în stadiul formal, corespondenţa unu la unu se

păstrează chiar şi atunci când componenta spaţială intervine ca factor perturbator (schimbarea poziţiei), iar baza perceptuală a corespondenţei dispare.

Această capacitate, numită de J. Piaget „conservare numerică”, se formează ca efect al învăţării dirijate, la 6-7 ani. În acest stadiu, copilul este capabil să vizualizeze deplasarea inversă a mulţimii de pătrate, aşa încât să poată realiza perceptiv corespondenţa biunivocă a celor două clase.

Aceste observaţii de ordin psihopedagogic conduc la includerea unor situaţii de învăţare ce favorizează formarea conduitei conservative la copiii de 6-7 ani, fără de care conceptualizarea numărului nu este posibilă la această vârstă.

Ansamblul activităţilor intelectuale (capacitatea de discriminare perceptivă a asemănărilor şi deosebirilor dintre obiecte, clasificarea, serierea, conservarea, verbalizarea) sunt formate în contextul activităţilor cu conţinut matematic, iar strategiile, situaţiile de învăţare orientează sistemul de acţiuni în direcţia dobândirii noţiunii de număr, de asimilare a limbajului specific, matematic.

Operaţiile simple, ca reuniunea a două mulţimi, ordonarea sau serierea, nu se pot realiza la vârsta preşcolară decât acţional-concret, căci la 4-6 ani, copiii au tendinţa de a se orienta după stări sau configurări perceptive şi nu acordă atenţie transformărilor.

Preşcolarii de 5-6 ani reuşesc, relativ uşor, să stabilească relaţii de egalitate şi nonegalitate, ceea ce îi va sprijini în înţelegerea relaţiilor între mulţimi.

Acţiunile concepute pentru egalizarea numerică a mulţimilor sunt premergătoare acţiunilor de „compunere” şi „descompunere” ale numărului (de construcţie a mulţimilor şi descompunere în submulţimi).

Stăpânirea numeraţiei în limitele 0-10 şi operarea în acelaşi concentru sprijină analiza relaţiilor dintre mulţimi, a echivalenţei numerice, dar şi a fenomenului de „conservare a cantităţii” – considerat decisiv pentru dobândirea noţiunii de număr şi în generalizarea caracteristicilor cantitative ale mulţimilor.

Se iniţiază în acest sens exerciţii-joc pentru a descoperi unitatea, ca element al mulţimii. Operaţia de punere în corespondenţă asigură intuirea „constanţei” sau „conservării” cantităţii, iar numeraţia asigură sprijinul verbal în înţelegerea ideii că, oricare ar fi aşezarea spaţială a elementelor, cantitatea de elemente ale unei mulţimi rămâne aceeaşi.

În procesul didactic, copiii trebuie conduşi să perceapă proprietatea numerică a mulţimilor, astfel încât să perceapă atât elementele izolate care alcătuiesc mulţimea, cât şi mulţimea ca întreg; altfel spus, desprinderea lui unu faţă de multe.

În formarea noţiunii de număr, educatoarea/învăţătorul trebuie să aibă concomitent în atenţie aspectele „cardinal” şi „ordinal”, să realizeze sinteza acestora.

Serierea numerică, drept ordonare crescătoare după diferite dimensiuni (mărime, lungime, grosime, lăţime), solicită o coordonare în ordonare (păstrarea constantă a criteriului cantitativ), iar exersarea practică a acţiunii de seriere realizează sinteza pe plan mental a aspectelor cardinal şi ordinal ale numărului. Acţiunea de numărare pe diferite grupări

110

omogene trebuie organizată astfel încât copilul să înţeleagă că fiecare număr reprezintă o cantitate diferită de obiecte (elemente).

În acest scop, se vor concepe situaţii cu sarcini de numărare a elementelor unor mulţimi care reprezintă numere consecutive, fixându-se locul fiecărui număr în şirul numeric, prin efectuarea unor operaţii de comparare a diferitelor numere, în direcţia exprimării „raportului” dintre două numere (cum este 7 faţă de 6 şi faţă de 8).

Compunerea şi descompunerea numărului cu o unitate vor sprijini achiziţia abilităţii de adunare şi scădere cu o unitate.

O modalitate de lucru, care vine în completarea celor prezentate anterior, este formarea noţiunii de număr ca rezultat al măsurării. Metoda formării numărului prin măsurare se fundamentează pe următoarele aspecte, care pot constitui scopuri în organizarea situaţiilor de învăţare:

• numărul ca raportul parte/întreg; • unitatea de măsură apare ca mijloc de modelare a caracteristicilor cantitative ale

obiectului; • analiza dimensiunilor obiectului după criteriul unităţii de măsură favorizează

înţelegerea operaţiilor. Această metodă de formare a numărului foloseşte ca material didactic rigletele. Procesul construcţiei şirului numerelor până la 10 se face progresiv. Din clasa

mulţimilor echivalente cu o mulţime dată se aleg 2-3 mulţimi model, ca reprezentante ale clasei. Esenţial este să se înţeleagă faptul că există un număr infinit de mulţimi echivalente cu mulţimea model, precum şi distincţia dintre număr şi semnul său grafic (cifra corespunzătoare).

A reproduce denumirea unui număr sau a număra mecanic nu înseamnă însuşirea conceptului de număr natural, căci însuşirea conştientă a noţiunii de număr se fundamentează pe:

• înţelegerea de către copii a numărului, ca proprietate a mulţimilor cu acelaşi număr de elemente (cardinalul mulţimilor echivalente);

• înţelegerea locului fiecărui număr în şirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului);

• înţelegerea semnificaţiei reale a relaţiei de ordine pe mulţimea numerelor naturale şi a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

• cunoaşterea cifrelor corespunzătoare numărului. Copiii trebuie să înţeleagă că relaţia de ordine pe mulţimea numerelor naturale nu este

dată de denumirea lor, care de multe ori se învaţă mecanic, ci de relaţiile „mai mic” sau „mai mare” care se stabilesc între numere şi care corespund relaţiilor „mai puţin” sau „mai mult” între numărul de elemente ale mulţimilor.

În formarea conceptului de număr natural, acţiunea va preceda intuiţia, iar modelul didactic asigură parcurgerea aceloraşi etape ca pentru orice alt concept:

• acţiuni cu mulţimi de obiecte; • schematizarea acţiunii şi reprezentarea grafică a mulţimilor; • traducerea simbolică a acţiunilor. Pentru învăţarea unui număr trebuie respectate următoarele etape: • se formează o mulţime de elemente având atâtea elemente cât este ultimul număr

cunoscut; • se construieşte , prin formare de perechi, o altă mulţime ce are cu un element mai

mult;

111

• se precizează că noua mulţime, formată din n elemente şi încă un element, are n+1 elemente şi are cardinalul n+1, se numără conştient şi se încadrează numărul nou în şirul numeric;

• se prezintă cifra corespunzătoare noului număr; • se identifică şi se construiesc alte mulţimi echipotente cu noua mulţime. Pentru fixarea fiecărui număr nou însuşit se fac exerciţii variate, ce solicită antrenarea

mai multor analizatori. Aceste exerciţii au ca sarcini: • raportarea numărului la cantitate (se dă o mulţime de elemente şi se cere să se afle câte

elemente sunt în mulţime), ataşându-se cardinalul corespunzător; • raportarea cantităţii la număr (se indică numărul de elemente şi copiii construiesc

mulţimi cu număr dat de elemente); • raportarea numărului la cifră şi a cifrei la număr şi mulţime; • stabilirea locului unui număr în şirul numerelor naturale învăţate; • formarea „scării numerice” (ordonarea crescătoare sau descrescătoare a unor mulţimi

după numărul lor de elemente); • introducerea numărului ordinal; • numirea locului ocupat de un obiect într-o succesiune şi poziţionarea unui obiect într-o

succesiune. Prima etapă a activităţilor de predare a unui număr nou este rezervată verificării prin

exerciţii de consolidare şi exemplificare a numerelor învăţate anterior. Astfel, la activităţile pe bază de exerciţii cu material individual, având ca obiectiv

învăţarea numărului 9, comparativ cu mulţimea cu 8 elemente, se pot efectua exerciţii cu sarcini de tipul:

• numărare până la 8, raportare a cantităţii la număr şi invers pe bază de material concret (la solicitarea educatoarei/învăţătorului, copiii aşază pe masă un anumit număr de flori; ei trebuie să reţină numărul respectiv şi să aşeze pe masă o mulţime echivalentă);

• comparare a două numere (se solicită aşezarea pe masă a 6 flori în şir vertical, apoi lângă ele 7 frunze; se cere copiilor să precizeze care mulţime are mai multe elemente şi cu cât, care număr este mai mare şi care este mai mic);

• raportare a cantităţii la număr (se solicită copiilor să arate cifra corespunzătoare numărului de jucării).

După efectuarea acestor exerciţii (timp de 5-6 minute), se trece la predarea numă- rului nou.

Pentru început, se verifică cunoaşterea algoritmului de formare a numerelor precedente (1-8). Formulându-se o sarcină-problemă, se poate cere copiilor: Cum am putea forma un număr nou, dacă ştim cum se formează celelalte numere învăţate?

Folosind algoritmul deja cunoscut, copiii vor număra mulţimea de fluturi (8) şi o vor pune în corespondenţă cu mulţimea florilor (dată de educatoare/învăţător). Constată că această mulţime are un element în plus faţă de cea a fluturilor, numără (9) şi ataşează cifra corespunzătoare numărului ei de elemente.

În mod firesc, se pot formula acum sarcini ce vor avea ca obiectiv formarea clasei de echivalenţă, dar şi compararea numerelor şi completarea şirului numeric.

În consolidarea raportării numărului la cantitate, indiferent de amplasare, este favorabilă rezolvarea unor situaţii-problemă de tipul „obstacolului”.

Se distribuie copiilor cartonaşe cu desene corespunzătoare numărului şi cu cifra corespunzătoare şi se solicită: Aşază pe masă cartonaşul cu 7 ciuperci. Cel cu 6 ciuperci unde trebuie aşezat? De ce? Acum aşezaţi cartonaşul cu număr mai mare cu o unitate decât 7. Aşezaţi acum cartonaşul cu 9 ciuperci la locul potrivit.

112

Pentru înţelegerea scării numerice, se porneşte de la formularea unei sarcini-problemă de tipul alternativelor.

Se pune copiilor la dispoziţie un material variat (flori, frunze, ghinde, fluturi etc.), câte 10, şi se solicită formarea scării numerice începând cu numărul 4, în şir vertical, urmând să sesizeze lipsa numerelor mai mici.

Pentru a împiedica formarea mecanică a scării numerice, se evită folosirea fişelor având ca sarcină formarea scării numerice în limitele 1-10. Este bine de evitat şi folosirea termenului de „scară numerică”, folosindu-l pe acela de „aşezare în şir numeric” sau „ordine crescătoare” şi se solicită formarea şirului numeric în limitele 5-8, 7-10, 3-6 etc.

Pentru înţelegerea locului unui număr în şirul numeric, se pot efectua exerciţii de comparare a numerelor. Astfel, se compară numărul 3 cu numerele 2 şi 4 şi se cere copiilor să arate că numărul 4 este cu o unitate mai mare decât 3, iar numărul 2 este mai mic cu o unitate decât 3. Se compară apoi numărul 5 cu numerele 4 şi 6, precizând astfel poziţia numărului 6 faţă de 5.

În concluzie, toate situaţiile de învăţare vor fi concepute astfel încât să se întărească ideea că fiecare număr este mai mare cu o unitate decât numărul precedent şi mai mic cu o unitate decât succesorul său.

Înţelegerea proceselor de compunere şi descompunere ale unui număr se sprijină pe dobândirea conservării numerice şi se pot organiza sarcini în următoarea succesiune:

• se aşază pe primul raft al unui dulap 5 jucării şi se solicită copiilor să spună câte jucării sunt;

• se observă că jucăriile pot fi aşezate şi altfel decât pe un singur rând; • se ia de pe primul raft o jucărie şi se aşază pe al doilea raft; se numără jucăriile; • se solicită copiilor să precizeze câte jucării sunt acum în total şi cum sunt ele aşezate. În felul acesta, copiii sunt puşi în situaţia de a număra obiectele, indiferent de aşezarea

lor spaţială, iar pe de altă parte, vor înţelege că cele 5 obiecte pot fi aşezate diferit în două grupuri: 4 şi 1, 3 şi 2, 2 şi 3, 1 şi 4.

Compunerea şi descompunerea unui număr sunt realizate prin intermediul exerciţiilor cu material concret şi se consolidează prin rezolvarea fişelor matematice, dar şi a sarcinilor de joc.

De exemplu, după introducerea numărului 6, se pot face exerciţii cu material individual prin care copiii să descompună o mulţime cu 6 elemente în două submulţimi, precizând câte elemente sunt în fiecare dintre acestea. Educatoarea/învăţătorul va fixa, concluzionând experienţele individuale ale copiilor, că 6 poate fi format din 1 şi 5, 2 şi 4, 3 şi 3, 5 şi 1.

Numere naturale de la 20 la 100

Activităţile vor fi proiectate şi realizate după următoarea succesiune a activităţilor de învăţare:

Exerciţii de numărare cu sprijin pe obiecte Exerciţii de poziţionare la numărătoarea de poziţionare Se prezintă numărătoarea de poziţionare şi se lucrează câteva exerciţii de transpunere

a numerelor pe numărătoare.

113

Exemplu : Numărul 26 se reprezintă astfel : Punem 2 bile pe "tija zecilor" si 9 bile pe "tija unităţilor". Ce semnificaţie au cele 2 bile de pe "tija zecilor" ? Reprezintă numărul de grupe de câte 10 unităţi, iar 9 reprezintă numărul de unităţi care au rămas după ce am format 2 grupe de câte 10 unităţi. Am mai putea proceda si altfel? Putem pune toate cele 26 de bile pe tija unităţilor. Alegem o altă variantă. Scoatem o mulţime de 10 bile de pe tija unităţilor si o înlocuim cu o singura bila pe care o aşezăm pe tija zecilor. Avem acum numărul format dintr-o zece şi 16 unităţi: 10, 11, 12, ..., 25, 26. Dacă elevii nu descoperă singuri acest mod de reprezentare, învăţătorul va forma numărul la numărătoare şi va solicita elevii să explice semnificaţia acestui mod de grupare. Se discută cu clasa avantajele uneia sau alteia dintre metode şi se decide că primul mod de lucru este mai avantajos. În acest fel se reprezintă folosind mai puţine bile şi numărul se poate citi cu uşurinţă dacă se respectă semnificaţia bilelor de pe fiecare tijă Acest mod de reprezentare îl vom folosi în continuare. Fiecare copil va lucra individual, urmând să reprezinte numerele pe care le va propune învăţătorul. Se verifica ce s-a lucrat si se corectează cu numărătoarea de pe catedra. În cazul în care nu exista numărătoare de poziţionare, se poate lucra cu discuri sau buline diferit colorate : discuri roşii pentru a număra zecile şi discuri albastre pentru unităţi . În această situaţie se pot folosi jetoane pentru a scrie numărul, poziţionând în dreptul discurilor roşii cifra corespunzătoare numărului de zeci şi în dreptul discurilor albastre jetonul cu cifra corespunzătoare numărului de unităţi. Exerciţii de scriere, citire şi reprezentare a numerelor cu respectarea regulilor de poziţionare Vom scrie pentru orice număr format din doua cifre cu doua liniuţe ca sa nu-i greşim scrierea : prima liniuţă va marca locul zecilor, a doua, pe cel al unităţilor. Iată, am desenat pe tablă doua liniuţe: _ _. Copii vor reprezenta numărul pe numărătoarea de poziţionare şi apoi vor scrie cu cifre, insistând pe semnificaţia fiecărei cifre şi poziţia pe care se află în scriere şi reprezentare. Dacă numărul nu are nici o unitate, se va scrie pe liniuţa pentru unităţi cifra 0 care ne arată că numărul este format numai din zeci. Reprezentam cu clasa numărul pe numărătoarea de poziţionare. Se vor formula întrebări de tipul : Cum se citeşte numărul în acest caz? Şasezeci. De ce? Pentru că cifra 6 se află acum pe locul zecilor. Ce înseamnă şase zero? Înseamnă 6 zeci si nici o unitate. Spuneţi altă cifră pentru zeci (3). Cum se va numi numărul obţinut? Treizeci. Să-l scriem şi apoi să-l reprezentăm pe numărătoare: 3 0. Ce arată cifra zero? Lipsa unităţilor. Dar 3? Numărul zecilor. Ce înseamnă 30? Trei zeci si nici o unitate, zecile sunt singure, sunt zeci întregi. În mod asemănător se procedează şi la scrierea altor numere.

8.5 Compararea şi ordonarea numerelor naturale de la 0 la 100 Exerciţii de comparare a numerelor

Învăţătorul va forma la tablă (sau pe o tablă magnetică) demonstrativ, un număr. Exemplu: 24.

Va întreba mai întâi câte zeci indică cifra zecilor. (12 zeci). Va lua 2 bare din câte 10 pătrate şi le va aşeza pe tablă (sau pe tabla magnetică). Apoi va întreba câte unităţi indică cifra unităţilor (4 unităţi). Va aşeza la dreapta zecilor, 4 pătrate reprezentând unităţile.

Alături de numărul 24 format din pătrate, va forma un alt număr, mai mare: 34. Se va cere şi elevilor să formeze cele două numere, pe bănci.

114

a) Se compară numerele formate, începând cu zecile: Câte zeci are numărul 24? (2 zeci). Câte zeci are numărul 34? (3 zeci). Cu câte zeci are

mai puţine numărul 24 faţă de numărul 34? (Cu o zece). Se scrie relaţia: 20 < 30. Deci numărul 24 este mai mic decât numărul 34. (24 < 34). Se explică semnificaţia semnului < (mai mic).

b) Se compară două numere egale, reprezentate prin desene. (Exemplu 23, 23). Se constată că cele două numere au, fiecare, acelaşi număr de zeci: 20 = 20. Se compară apoi unităţile: 3 = 3. Concluzie: 23 = 23.

c) Se compară două numere cu acelaşi număr de zeci, dar cu cifrele unităţilor diferite. (Exemplu 23, 24). Se compară mai întâi zecile: 20 = 20, apoi unităţile: 3 < 4. Se trage concluzia că: 23 < 24.

d) Se pot rezolva şi alte exerciţii de comparare, după manual, la tablă şi pe caiete. Înţelegerea construcţiei şirului de numere naturale

a) Pe tablă se desenează o axă a numerelor. Se scrie primul număr (exemplu: 50). Se cere elevilor să dicteze numărul următor (51) ş. a. m. d. Se întreabă: Cu cât este mai mare 51 decât 50? Dar numărul 52 faţă de precedentul său? Se explică elevilor că mai multe numere dintre care fiecare număr este mai mare cu o unitate decât numărul precedent sau mai mic cu o unitate decât cel următor, se numesc numere consecutive.

Se completează toate numerele consecutive, până la ultima diviziune desenată a axei şi se scrie semnul relaţiei de ordine (<). 50<51< 52<53< 54<55< 56<5 < 58< 59< 60<61<62< 63 ...

b) Înţelegerea numerelor consecutive se poate realiza şi prin joc: sunt scoşi în faţa clasei grupe de 12 — 14 elevi, care au atârnate pe piept cartoane cu numere, de la 50 la 62 (64) sau de la 40 → 52 (54) sau orice alt segment de şir. Ei trebuie să se aşeze astfel, încât să formeze un şir de numere consecutive. Învăţătorul, apoi elevii le vor da sarcini de joc de felul: Să facă un pas înainte:

a) trei numere consecutive cuprinse între 54 şi 58! b) numărul precedent lui 54! c) numărul precedent şi numărul următor faţă de 56! d) patru numere consecutive mai mari decât 50 şi mai mici decât 55! e) trei numere consecutive, cele mai apropiate de 50!

Grupele se pot schimba. Se vor urmări răspunsurile corecte şi scorul fiecărei echipe.

115

CAPITOLUL 9

Conceptul de operaţie în învăţământul primar. Metodologia predării-învăţării operaţiilor cu numere naturale

9.1 Formarea reprezentărilor despre operaţii şi înţelegerea sensului operaţiilor

Operaţia aritmetică decurge din situaţiile matematice din viaţă şi este expresia unei

operaţii mentale ce corespunde unei acţiuni reale, caracterizată prin realizarea transformării matematice, deci simbolice, a acţiunilor.

Orice operaţie aritmetică porneşte de la o situaţie matematică, întâmplătoare sau provocată, care prin observaţie, descoperire, acţiune declanşează un act raţional, de gândire. Intervenţia prin acţiune provoacă o schimbare, situaţia matematică suferă în acest mod o transformare. Această intervenţie prin acţiune este tocmai „operaţia”. Sensul transformării (adăugare, luare, micşorare etc.) conduce la precizarea sensului operaţiei (adunare, scădere).

Învăţarea sensului operaţiilor parcurge trei etape: • operaţia se traduce prin acţiune efectivă, intervenţie directă (ia, adaugă, pune la un

loc); • se renunţă la manipulare directă şi operaţia presupune o căutare (ce trebuie adăugat

sau se efectuează operaţia inversă); • abstractizare şi operare simbolică, asocierea simbolului operaţiei. Capacitatea de efectuare a operaţiei aritmetice ce corespunde unei acţiuni reale

presupune, după J. Piaget, dobândirea conservării cantităţii, indiferent de natură, formă şi poziţie spaţială, şi a reversibilităţii.

Reversibilitatea operaţiei se dobândeşte după vârsta de 6 ani şi necesită: • inversare – reversibilitatea prin inversare – în cazul experimentelor de conservare a

lichidelor: turnăm lichidul din vasul A în vasul B, dar putem turna lichidul din vasul B în vasul A şi ne regăsim în situaţia iniţială, cantitatea de apă nu s-a modificat, indiferent de forma vaselor A şi B;

• reciprocitate – reversibilitate prin compensare – în cazul conservării lichidelor: vasul B este mai înalt, dar mai îngust decât vasul A, deci conţine tot atâta lichid cât se găsea în vasul A (creşterea în înălţime este compensată de micşorarea diametrului vasului).

Fără reversibilitate nu se pot învăţa operaţiile directe (adunarea) şi inverse (scăderea). Dacă acest proces nu are loc, nu se poate înţelege „cât trebuie adăugat la 4 pentru a obţine 6” fiindcă trebuie să se efectueze o scădere, şi anume 6–4=2, şi nu o adunare, 4+2=6 (adunarea este totuşi acceptată).34

În grădiniţă, activităţile ce au ca scop învăţarea operaţiilor aritmetice realizează prima etapă a acestui proces.

Operaţiile de adunare şi scădere efectuate cu obiecte sunt accesibile copiilor de 5-6 ani, dar corectitudinea rezolvării lor este condiţionată de numărul de obiecte folosit. Operaţiile în care termenii depăşesc 3-4 obiecte reale sunt numai în aparenţă concrete, copilul nu poate să-şi reprezinte grupe numerice (de exemplu un grup de 4 mere la care se adaugă încă 5 mere). În aceste cazuri, el renunţă la operarea cu reprezentări şi revine la operarea prin numărare, deoarece preferă să folosească procedee cu care este familiarizat şi apelează la scheme operatorii deja automatizate.

Cercetările au arătat că operaţia se rezolvă cu uşurinţă în cazul când se execută practic cu obiecte, copilul utilizând frecvent numărarea obiectelor. O mică parte dintre copii adaugă 34 Piaget, J., Construirea realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1976

117

unul câte unul obiectele celui de-al doilea termen la primul, luat global, dovedind astfel interiorizarea acţiunii externe.

Efectuarea operaţiilor de adunare şi scădere se face, pe etape, astfel: • acţiune cu obiecte concrete; • acţiune cu obiecte reprezentate grafic sau prin reprezentări simbolice; • operare cu numere abstracte. În formarea unei operaţii aritmetice, ca acţiune mentală, punctul de plecare îl constituie

acţiunea externă, materială, cu obiecte. În acest proces se produc transformări semnificative sub raport cognitiv. Astfel, în cazul operaţiei de adunare, procesul se desfăşoară după următorul traseu:35

• în planul acţiunii materiale – sub forma acţiunii efective, prin deplasare sau adăugare reală a unui grup de obiecte la altul, copilul considerându-le apoi împreună;

• în planul limbajului extern – procesul îşi pierde treptat caracterul concret, „adunarea” se face fără sprijin pe obiecte;

• în planul limbajului intern – operaţia se realizează ca act de gândire verbală, procesul se transpune în plan mental. În această etapă, procesul are loc prin reproducerea structurii generale a acţiunii externe.

Procesul de formare, pe etape, a noţiunii de operaţie (adunarea) se poate reprezenta astfel:

• planul acţiunii externe materiale – copilul formează mulţimi; pune lângă primele trei obiecte încă un obiect, le consideră împreună şi le numără cu glas tare; stabileşte că sunt „la un loc” patru obiecte.

• planul limbajului extern – copilul adaugă unitatea celui de-al doilea termen, dar fără a folosi acţiunea, numărând doar cu privirea.

Au loc: • interiorizarea acţiunii externe – copilul adaugă direct unitatea termenului secund,

numărând în continuare trei-patru fără sprijin pe obiecte; • planul limbajului intern – copilul adaugă la primul termen al doilea termen, luat în

totalitate: „3 şi cu 1 fac 4", acest stadiu marcând conceptualizarea operaţiei; copilul face abstracţie de natura obiectelor, de poziţia lor spaţială, generalizează operaţia; se produce automatizarea ei, transformându-se în stereotip dinamic Copilul înţelege sensul termenilor operaţionali ai aritmeticii (adunare, scădere) printr-un proces similar celui de însuşire a sensului unor cuvinte ce desemnează acţiuni. Simbolul verbal „şi cu” este folosit de educatoare când copilul desfăşoară o acţiune de adăugare a unor elemente la o clasă. Prin acţiune repetată, simbolul verbal capătă sens semnificativ printr-o reprezentare a procesului de adunare, prin generalizarea unor operaţii concrete, executate cu mulţimi de obiecte.

În formarea şi dobândirea abilităţii de calcul este necesar ca adunarea şi scăderea cu o unitate să se realizeze în formă explicită şi verbalizată – pornind de la cadrul acţional în plan material. Copiii vor fi solicitaţi să realizeze practic acţiuni de mărire şi micşorare cu 1-2 unităţi, accentul punându-se pe verbalizarea simultană a operaţiilor (acţiunilor) realizate practic; se utilizează forma: Am mai pus..., am luat..., au rămas.

Achiziţia structurii raţionamentului aritmetic va determina generalizarea operaţiilor de adunare, scădere şi stabilirea egalităţii: şi cu, fără, fac.

În cazul acesta, la grădiniţă şi în clasa I se poate propune următoarea succesiune a situaţiilor de învăţare:

35 Neveanu-Popescu, P., Andreescu, F., Bejat, M., Studii psihopedagogice privind dezvoltarea copiilor între 3 şi

7 ani, E.D.P., Bucureşti, 1990.

118

1. Se solicită copiilor să numere liber; 2. Se solicită numărarea elementelor unei mulţimi date (apropiat de extensia numeraţiei libere); 3. Se solicită formarea unei mulţimi cu un număr dat de elemente; 4. Se solicită să se formeze o mulţime cu „tot atâtea” elemente; 5. Se cere copiilor compararea numărului de elemente ale mulţimilor şi exprimarea

rezultatului; 6. Se solicită formarea unei mulţimi cu un element „mai mult” (puţin); 7. Se propune copiilor să găsească soluţia de a forma mulţimi cu „tot atâtea” elemente

(prin adăugarea sau luarea unui element); 8. Se solicită ca operaţia realizată practic să fie exprimată verbal şi ulterior se pot

introduce şi simbolurile aritmetice corespunzătoare operaţiei efectuate: „+”, „–”. Rezolvarea de probleme trebuie să decurgă ca o necesitate firească solicitată de situaţii

concrete de viaţă. Problema reprezintă: • o situaţie a cărei soluţionare se poate obţine prin procese de gândire şi calcul; • transpunerea unei situaţii practice sau a unui complex de situaţii practice în relaţii

cantitative, pe baza valorilor numerice date şi aflate într-o anumită dependenţă unele faţă de altele şi faţă de una sau mai multe valori numerice necunoscute; se cere determinarea acestor valori necunoscute.36

Activitatea de rezolvare a problemelor pentru grupa mare şi grupa pregătitoare nu este şi nu poate fi în exclusivitate o activitate creativă. În cursul rezolvării problemelor, se elaborează algoritmi de cunoaştere şi algoritmi de lucru. Pentru ca activitatea de rezolvare a problemelor să conducă la dezvoltarea gândirii creatoare, este nevoie de un anume conţinut al problemelor şi de o orientare a activităţii de gândire a acestora.

Dacă rezolvarea problemei se gândeşte, raţionamentul care conduce către soluţie se descoperă folosindu-se anumite elemente de sprijin (relaţii între mărimi).

Operaţiile simple de calcul, implicate în contextul unor probleme ilustrate, contribuie la sistematizarea, aprofundarea şi fixarea cunoştinţelor însuşite în cadrul activităţilor matematice.

Primele probleme introduse au caracter de problemă-acţiune şi lor li se asociază un bogat material ilustrativ, demonstrativ. Noţiunea de „problemă” şi rezolvarea ei se dobândesc de preşcolarii mari (6-7 ani) odată cu rezolvarea primelor probleme simple. Acestea se prezintă într-o formă cât mai firească prin „punerea în scenă a acţiunii problemei” şi prin ilustrarea acţiunii cu ajutorul materialului didactic.

De asemenea, în alegerea modelului acţiunii, educatoarea/învăţătorul trebuie să ţină cont ca problema să nu cuprindă acţiuni secundare, iar relaţia esenţială dintre datele problemei să aibă corespondent în modelul propus.

9.2 Metodologia predării-învăţării operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor naturale fără trecere şi cu trecere peste ordin. Algoritmi de calcul.

Adunarea şi scăderea numerelor naturale până la 20 fără trecere peste ordin

În cunoaşterea de către elevi a operaţiilor aritmetice cu numere, pe baza mulţimilor,

trebuie să parcurgem drumul de la concret la abstract, scoţând în evidenţă permanent

36 Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988

119

trăsătura care constituie esenţa operaţiei respective. De exemplu, în cazul adunării, va trebui

să parcurgem etapele:

- reuniuni de mulţimi concrete de obiecte: demonstrarea reuniunii mulţimilor respective

cu ajutorul ilustraţiilor, desenelor;

- reuniuni de mulţimi ilustrate cu ajutorul figurilor geometrice:

- adunarea numerelor sau calculul cu simboluri numerice (5 + 2 = 7);

- calculul cu simboluri literale (a + b = c).

Încă din etapa obiectuală, când elevii sunt puşi să manipuleze mulţimi concrete, ei încep

să-şi dea seama că importantă este operaţia de reuniune a mulţimilor care rămân constante ca

număr de elemente, indiferent de obiectele sau imaginile folosite.

Această idee trebuie întărită însă prin operarea cu mulţimi redate prin imagini ale

obiectelor (ilustraţii, desene, figuri decupate, cu care se poate construi exerciţiul respectiv de

adunare.

De asemenea se realizează unele reprezentări dobândite prin experienţa de viaţă a

copiilor ( 3 lei + 2 lei, etc.)

Se poate trece apoi la redarea reuniunii mulţimilor prin simboluri grafice, semne care

precizează elementele mulţimilor ce se reunesc. Aceasta se introduce după cum s-au folosit

suficiente exemple cu mulţimi concrete, ilustraţii, desene, pentru ca elevii să înţeleagă

punctul, concrete.

Ilustrarea reuniunii mulţimilor cu simboluri grafice reprezintă o treaptă mai înaltă de

abstractizare decât cea cu mulţimi de obiecte sau cu imagini ale obiectelor.

• • •

• • •

● ● ●

● ●

120

În cazul reuniunilor cu mulţimi de obiecte sau cu imagini ale acestora, copilul este

împiedicat în situarea pe prin plan a reuniunii mulţimilor respective de aspectele concrete de

care dispun acestea (mărimea, forma, culoarea obiectelor) şi care, uneori, sunt foarte bogate,

iar unele din ele constituie excitanţi puternici.

Sublinierea acţiunii de reuniune a mulţimilor („punem la un loc”) duce în mod firesc la

operaţia de adunare exprimată prin „şi cu” termen folosit provizoriu care mai târziu va fi

înlocuit cu cel matematic „plus”, sau „adunat cu”.

Prezentarea reuniunii mulţimilor cu simboluri grafice constituie o generalizare a

reuniunii mulţimilor concrete de obiecte. Nu ne rămâne decât să asociem fiecărei mulţimi

numărul ei cardinal şi am transpus operaţia de reuniune a mulţimilor în operaţie de adunare a

numerelor.

De la operarea cu simboluri numerice putem trece la operarea cu simboluri literale.

În cazul adunării, elementele mulţimilor distincte care se reunesc pot fi încadrate într-o

clasificare (după genul proxim); băieţi, fetiţe → copii; mere, pere, prune → fructe. Suma

trebuie să reprezinte reuniunea elementelor celor două mulţimi, care au rol de termeni.

Prezentăm procedeul de calcul la adunare şi la scădere, prin numărare, pe axa numerelor: Adunarea se porneşte de la numărul care reprezintă primul termen (11) şi se numără crescător atâtea diviziuni, cât indică cel de al 2-lea termen (3). Numărul la care se ajunge, este suma obţinută. Exemplu: 11 + 3 = ?; 15 + 4 = ? + 3 + 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Scăderea se porneşte de la numărul care reprezintă descăzutul (15) şi se numără descrescător atâtea diviziuni de pe axă, cât indică scăzătorul (7). Numărul la care se ajunge este diferenţa (restul). Exemplu: 15 – 7 = ?; 19 – 3 = ? – 7 – 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Se efectuează adunări şi scăderi pe axă, la tablă şi pe caietele de clasă. Exerciţiile de adunare şi de scădere se pot desprinde şi din mici probleme, asemănătoare celor din manual, pagina 11, pentru ca elevii să deprindă ideea de adunare şi de scădere, din limbajul specific, într-o exprimare cât mai variată.

121

Cu ajutorul pătratelor şi cu numărătoarea de poziţionare, se demonstrează legătura dintre adunare şi scădere: ; 5 + 4 = 9 ; 4 + 5 = 9 ; 9 – 4 = 5 ; 9 – 5 = 4

Se reiau cele 4 relaţii cu alte numere, demonstraţiile fiind efectuate de elevi. Exemplu: 6

+ 2; 5 + 3. (Se aleg numere mici, pentru ca aşezarea materialului să nu necesite prea mult timp).

Se explică necesitatea cunoaşterii acestor relaţii dintre adunare şi scădere, pentru: a) a verifica rezultatele obţinute la exerciţii de adunare sau de scădere, prin probă: Exemplu: 6 + 7 = 13 → proba prin scădere: 13 – 7 = 6 sau 13 – 6 = 7 b) a afla un termen necunoscut al adunării, descăzutul sau scăzătorul:

Exemple: 13 + ? = 19; 19 – 13 = 6; deci 13 + 6 = 19 17 – ? = 12; 17 – 12 = 5; deci 17 – 5 = 12 ? – 7 = 11; 11 + 7 = 18; deci 18 – 11 = 7

Se rezolvă la tablă şi pe caiete mai multe adunări şi scăderi la care se efectuează proba prin operaţia inversă.

Se efectuează frontal exerciţii de găsire a unui număr necunoscut. La fiecare exerciţiu este important să se facă verificarea calculului efectuat. Adunarea şi scăderea numerelor formate din zeci întregi

Învăţarea de ″tehnici″ de calcul poate începe de la problemele din manual, sau de la altele asemănătoare, reprezentate prin desene pe tablă.

• Un procedeu agreat de elevi este acela al ″jocului de rol″, elevii înşişi fiind ″personajele″ din povestea problemei. Deci, se scot în faţa clasei 2 elevi. Unul are 3 legături de câte 10 beţişoare, iar celălalt — 6 legături de câte 10 beţişoare.

Elevii sunt solicitaţi să formuleze enunţul cu datele problemei, apoi întrebarea problemei, ştiind că, problema este de tipul a + b = x, sau a – b = y.

Pentru rezolvarea problemei de adunare, se adună grupurile de câte 10 obiecte (bile sau beţişoare), aşa cum se adună unităţile:

3 zeci + 6 zeci = 9 zeci. Se reia calculul după desenul de pe manual (sau de pe tablă), completând cifra 0 la

unităţi: se vor efectua adunările pe axa numerelor. În acest scop, anterior începerii lecţiei, învăţătorul va trasa pe tablă 3 - 4 segmente de axă a numerelor, reprezentând pe ele numerele 0 - 100, din 10 în 10: Se va explica procedeul de calcul al sumei, prin adunare. + 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Se poate organiza activitatea pe grupe, elevii calculând diferenţiat: unii elevi lucrează cu obiecte (grupuri de beţişoare), alţii cu bare de câte 10 pătrate, alţii vor calcula pe ″axa numerelor″. Se vor confrunta rezultatele obţinute, pentru a se observa corectitudinea calculului după cele trei procedee. Elevii scriu pe caiete fiecare exerciţiu de adunare, sub forma: 30 + 50 = 80

122

30 + 50 80

Învăţarea procedeelor de calcul pentru operaţia de scădere se realizează asemănător celei de la adunare, utilizând desenul sau manipularea barelor de câte 10 pătrăţele (în bănci sau la tablă) şi axa numerelor:

z u 60 – 20 = 6 0 – 2 0

4 0 – 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Se reamintesc relaţiile prin care se pun în evidenţă legătura dintre adunare şi scădere, pornind de la un exerciţiu de adunare a două numere formate din zeci întregi.

Învăţătorul scrie pe tablă: 40 + 20 = 60

Apoi se reactualizează relaţiile dintre termeni şi putem afla foarte uşor un termen necunoscut al adunării sau putem efectua proba adunării sau a scăderii prin operaţia inversă.

• Se vor propune spre rezolvare şi probleme de adunare, de scădere, sau de adunare şi scădere. Se va cere elevilor să compună probleme după exerciţiile (sau formulele) problemelor rezolvate.

Problemele pot fi : a) de grupare: În curtea şcolii sunt 30 de băieţi. Mai vin 20 băieţi şi20 de fete. Câţi elevi sunt acum în curte? b) de separare: 90 de elevi pleacă în tabără în grupe de câte 20. Câte grupe vor pleca la mare? c) de comparare şi grupare: Ana are 10 mere, iar sora ei cu 10 mai multe. Câte mere au împreună? d) de egalizare şi grupare: Înt-o cutie sunt 30 de bile albe şi negre. Dacă ar fi cu 10 mai multe bile albe decât negre, atunci numărul bilelor de fiecare fel ar fi acelaşi. Câte bile de fiecare fel sunt? Adunarea numerelor formate din zeci şi unităţi fără trecere peste 10 1) Adunarea unui număr format din zeci şi unităţi, cu un număr format numai din unităţi. Operarea cu obiecte va precede calculul desfăşurat şi în scris. Se scrie calculul pe tablă, elevii urmărind cu atenţie atât scrierea cât şi explicarea orală a fiecărei etape de calcul:

123

2 3 + 6 2 0 + 3 + 6 2 0 + 9 2 9

Se descompune numărul 23 în două zeci şi trei unităţi. Se coboară, pentru adunare, cele 6 unităţi (al doilea termen al adunării).

Se adună numerele formate numai din unităţi: 3 + 6 = 9 şi se coboară zecile întregi (20). Se adună zecile întregi cu totalul unităţilor 20 + 9 = 29 Deci: 23 + 6 = 29. • Elevii vor fi îndrumaţi să scrie şi ei pe pagina caietului calculul sumei, ″în arbore″, ca pe tablă, explicându-le modul de scriere. Se va sublinia tehnica folosită: descompunerea numărului format din zeci şi unităţi cu scopul de a se transforma adunarea în cazuri de adunări învăţate anterior.

În acelaşi mod se procedează pentru învăţarea tehnicii de calcul în cazul când ambele numere care se adună sunt formate din zeci şi unităţi.

Elevii vor fi antrenaţi să redescopere singuri procedeul de calcul, pe baza cazului de adunare învăţat anterior, observând deosebirea: se descompun în zeci şi unităţi ambele numere care se adună.

Elevii efectuează operaţia mai întâi prin manipularea de obiecte: banda de 10 pătrate pentru zeci şi pătrate pentru unităţi. • Se adună laolaltă benzile de câte 10 pătrate, deci zecile: 4 zeci + 2 zeci = 6 zeci. • Se adună, apoi, laolaltă totalul zecilor (60) cu totalul unităţilor (8) şi se obţine suma: 60 + 8 = 68. Urmează demonstrarea calculului scris. Învăţătorul poate explica atât aşezarea calculului pe verticală sub formă de arbore (formă care redă mai concret gândirea calculului) cât şi scrierea calculului (pe linie orizontală) prin utilizarea parantezelor pentru gruparea termenilor, formă mai sintetică şi mai uşor de scris pe caiete. Se vor exersa ambele forme sau numai una dintre ele, în funcţie de resursele colectivului de elevi. 2) Adunarea numerelor formate din zeci şi unităţi Utilizarea obiectelor pentru înţelegerea tehnicii de calcul Se cere elevilor: Aşezaţi pe bancă un grup de 42 de beţişoare. Adăugaţi încă 36 de beţişoare. Câte beţişoare sunt acum, în total? Explicaţi cum aţi procedat pentru a afla suma. Se obţine împreună cu clasa concluzia că se adună zecile cu zecile şi unităţile cu unităţile. • La explicarea concretă a modului de calcul, se va proceda astfel: 42 + 36 = ?

4 2 + 3 6 4 0 + 2 + 3 0 + 6 7 0 + 8 7 8

124

Explicaţie orală:

• Se descompun cele două numere în zeci şi unităţi. • Se adună unităţile cu unităţile şi zecile cu zecile. • Se adună totalul zecilor cu totalul unităţilor.

Suma este 78. 42 + 36 = 40 + 30 + 2 + 6 = = 70 + 8 = 78

Scrierea calculului sub formă de arbore pe tablă este bine să se realizeze pe reţea de pătrăţele asemănătoare caietelor elevilor, pentru ca aceştia să aibă modelul derulării etapelor de calcul şi amplasarea lor în spaţiul reţelei de linii.

Altfel elevii vor trasa săgeţile în dezordine, consumând inutil spaţiul pe foaia de scris şi nepunând în evidenţă pe rânduri orizontale, cele trei etaje ce marchează etapele de calcul: descompunerea numerelor; adunarea separată a zecilor şi a unităţilor; aflarea sumei prin adunarea totalului zecilor cu totalul unităţilor.

Fiind prima lecţie de redactare a calculului desfăşurat, învăţătorul va controla atent scrierea ordonată a acestuia.

După efectuarea a 3 — 4 exerciţii prin activitate frontală (la tablă şi pe caiete), se poate verifica, prin activitate independentă, gradul de însuşire a tehnicilor de calcul învăţate.

Demonstrarea calculului adunării prin calcul scris: a) Etapa concret - intuitivă va urmări fixarea scrierii poziţionale a unităţilor şi a zecilor,

precum şi începerea adunării cu unităţile. Se efectuează adunarea figurativ, prin reprezentarea pe numărătoarea de poziţionare. b) Apoi se demonstrează calculul scris, însoţit de explicaţii orale:

43 + 24 = ? • Se scriu numerele unul sub celălalt, aşezând unităţile sub unităţi şi zecile sub zeci. • Se adună întâi unităţile: 3 + 4 = 7. Scriem cifra 7 la rezultat, pe poziţia unităţilor. • Se adună apoi zecile: 4 zeci + 2 zeci = 6 zeci. Se scrie cifra 6 la rezultat, pe poziţia

zecilor. • Se efectuează la tablă şi pe caiete exerciţii pentru fixarea procedeului de calcul. În timp ce lucrează la tablă, elevii vor verbaliza întreaga activitate, conform explicaţiei

date de învăţător. • În cadrul acestei activităţi frontale, se pot introduce şi adunări cu 3 - 4 termeni, având

grijă ca suma unităţilor să nu depăşească o zece. Elevii le vor efectua singuri (eventual cu sprijin din partea învăţătorului) observând că aplică această tehnică de calcul privind aşezarea poziţională a numerelor unul sub celălalt şi începerea adunării de la unităţi. 3) Adunarea cu trei termeni Se va realiza învăţarea în trei etape: a) Prin reprezentarea pe numărătoarea de poziţionare, a sumei celor trei termeni. (În cazul în care nu există o astfel de numărătoare în dotare, ea se desenează pe tablă (şi elevii pe caiete), sau se apelează la formarea numerelor care se adună din zeci şi unităţi reprezentate prin pătrate).

125

Exemplu: 34 + 12 + 50 = ? • Se formează pe numărătoare fiecare dintre cele trei numere care se adună — trecând unităţile pe poziţia unităţilor şi zecilor pe poziţia zecilor. Se numără apoi totalul bilelor care reprezintă zeci şi bilele care reprezintă unităţi. b) Prin calculul desfăşurat, la tablă şi pe caiete, explicându-le elevilor procedeul de calcul: se adună mai întâi doi dintre termeni, după modelul învăţat anterior, apoi rezultatul obţinut se adună cu al treilea termen: 34 + 12 + 50 = (34 + 12) + 50 = = 46 + 50 = = 96 c) Prin calcul scris la tablă şi pe caiete. Se cere elevilor să exemplifice şi alte posibilităţi de grupare a celor doi termeni, pentru ca efectuarea să se realizeze mai uşor: [34 + (12 + 50); 12 + (34 + 50)]. Se desfăşoară calculul, de fiecare dată, semnalând în aceste cazuri, efectuarea mai întâi a operaţiei dintre paranteze. Adunarea numerelor naturale până la 20 cu trecere peste 10

În prima parte a lecţiei este important să se efectueze activităţi de : • descompunere a numerelor în zeci şi unităţi ; • descompunere în perechi de numere formate numai din unităţi, numerele: 16; 13; 14; 18şi găsirea a cât mai multe posibilităţi, în fiecare caz. Elevii pot realiza descompunerile prin manipulare de materiale (beţişoare, figuri geometrice, numărătoare poziţională sau orice alt material aflat la îndemâna învăţătorului). • compunere de numere cu ajutorul beţişoarelor • scriere pe caiete a tuturor perechilor de numere găsite; 15 15 15 15 15 10 5 9 6 8 7 6 9 7 8

• formularea de probleme pornind de la o situaţie concretă din viaţa cotidiană a copilului; Explicarea tehnicii de calcul prin utilizarea axei numerelor:

Se desenează pe tablă un segment din axa numerelor, cuprinzând numere de la 0 la 20 şi se reprezintă pe ea, prin numărare, numărul 9: + 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13141516171819 20

Zeci Unităţi

126

- Se numără în continuare, pornind de la 9, atâtea unităţi cât reprezintă al doilea termen-8: 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17 .

- În acest mod se ajunge la suma numerelor 9 şi 8. - Se completează pe tablă şi pe caiete: 9 + 8 = 17. - După explicarea procedeului de calcul la tablă, se cere elevilor să deseneze singuri, pe

caiete, o „axă a numerelor“ de la 0 la 20. - Li se cere să efectueze, pe axă, prin numărare, diferite sume, ca: 3 + 8; 6 + 7; 8 + 6. Apoi se trece le următoarele etape: a) Deducerea operaţiei de adunare din expresia „cu a mai mulţi (multe) decât b“; b) Reprezentarea datelor unei problemei prin desen schematic (se lucrează cu

manualul). c) Explicarea procedeului de calcul mintal rapid al adunării cu trecere peste ordin.

Un alt model, deosebit de util pentru efectuarea adunării este cel în care se utilizează cuburi suprapuse. De exemplu: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15 8 + 7 = 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = 8 2 5 = (8 + 2) + 5 1 0 5 = 1 0 + 5 1 5 = 1 5 În cazul în care se desfăşoară calculul în arbore - procedeu de calcul foarte sugestiv, se explică elevilor în ce spaţiu se încadrează cu săgeţile, pentru ca arborele să nu ocupe un spaţiu prea mare pe caiet. Comutativitatea adunării (fără terminologia specifică), este recomandabil să constituie conţinutul de predare-învăţare al unei alte ore. Antrenamentul mental pentru înţelegerea ideii de comutativitate se poate realiza prin exersarea, în continuare, a unor operaţii de adunare, cu trecere peste ordin, în care unul dintre termeni se descompune în două numere mai mici, astfel încât se ajunge la suma de 3 termeni. De exemplu, pentru a efectua adunarea 6 + 9, observăm că descompunerea numărului 6 se poate face în 1 şi 5; 2 şi 4; 3 şi 3; 4 şi 2; 5 şi 1. Pentru efectuarea adunării, se aleg perechile de numere care permit cel mai uşor completarea celuilalt număr (9) până la 10. Aceste perechi sunt: 1 şi 5; 5 şi 1 sau 1 + 5 şi 5 + 1. Se constată că ambele perechi dau suma 6, indiferent de ordinea celor doi termeni.

127

Pentru rezolvarea exerciţiului, se alege perechea de numere care permite cel mai bine completarea zecii: Exemplu: 5 + 1 + 9 = 5 + 10 = 15. Se poate demonstra că şi prin utilizarea perechii de numere 1 + 5, rezultatul este acelaşi: Exemplu: 1 + 5 + 9 = 1 + 9 + 5 = 10 + 5 = 15. Se mai efectuează circa 2 - 3 exerciţii de adunare cu trecere peste ordin. Demonstrarea „comutativităţii“ prin manipularea de obiecte se va realiza mai întâi demonstrativ şi apoi individual, de către elevi. Demonstrarea: Se înşiră la tablă (eventual pe tabla magnetică, sau pe flanelograf) un număr de 12 pătrate, dintre care 5 galbene şi în continuare, 7 albastre. În cazul în care nu există nici acest material, pătratele pot fi desenate pe tablă. Se cere elevilor să numere pătratele galbene, apoi pe cele albastre. Se cere să se formuleze exerciţiul prin care se află suma tuturor pătratelor 5 + 7 = 12. Se inversează apoi locul pătratelor galbene cu al celor albastre (sau se desenează pe tablă şirul de 12 pătrate, schimbând locul pătratelor galbene cu al celor albastre. Se constată că suma obţinută este aceeaşi. Exemplul I g g g g g a a a a a a a 5 + 7 = 2 + 3 + 7 = 2 + 10 = Exemplul II = 12 a a a a a g g g g g g g 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12 Exerciţiul se repetă prin activitate independentă, în bănci: Se cere elevilor: • Aşezaţi pe bancă 9 beţişoare albe şi apoi, în continuarea acestora, 4 beţişoare colorate. • Spuneţi exerciţiul prin care se află suma sau totalul celor două grupe de beţişoare! (9 + 4 = 13). • Reprezentaţi pe caiete, prin desen, beţişoarele adunate şi scrieţi în dreptul lor, operaţia de adunare corespunzătoare. → 9 + 4 = 13. • Aşezaţi acum pe bănci cele 4 beţişoare colorate! • Aşezaţi, în continuarea acestora, cele 9 beţişoare albe! • Spuneţi exerciţiul prin care se află suma beţişoarelor! • Reprezentaţi prin desen beţişoarele adunate şi scrieţi în dreptul lor, operaţia de adunare corespunzătoare! → 4 + 9 = 13. Se strâng beţişoarele şi se cere elevilor: • Comparaţi cele două exerciţii scrise pe caiete şi spuneţi:

a) prin ce se aseamănă? b) prin ce se deosebesc? c) ce s-a întâmplat cu suma obţinută, dacă am schimbat ordinea termenilor adunării?

128

Legătura cu manualul: se lucrează pe pagina corespunzătoare din manualul alternativ ales la clasă. Se explică şi se demonstrează, prin aplicaţii practice necesitatea cunoaşterii acestei proprietăţi, pentru uşurarea calculului. În acest scop se pot efectua exerciţii de adunare cu trei termeni în care se pot opera schimbări ale poziţiilor unor termeni, în scopul uşurării calculului sumei. Exemple: 2 + 7 + 8 = 7 + 2 + 8 = 7 + 10 = 17 sau: = 2 + 8 + 7 = 10 + 7 Se mai pot efectua independent exerciţii de tipul: 3 + 5 + 7, unde se pot opera modificări în poziţia termenilor, fără ca rezultatul să se schimbe. Se propun şi se rezolvă probleme de adunare, operându-se cu un limbaj cât mai divers. Se pot efectua oral sau în scris şi câteva exerciţii de tipul: Priviţi sumele: 6 + 9; 3 + 9; 7 + 6; 8 + 9; 9 + 3; 9 + 6; 6 + 7; 9 + 8. Spuneţi sumele între care puteţi stabili relaţia de egalitate! Sumele egale se pot scrie pe caiete. Exemplu: 6 + 9 = 9 + 6 Lecţia se poate încheia prin câteva exerciţii orale de estimare, care stimulează gândirea şi creativitatea elevilor: • Adunaţi 2 numere care să dea un rezultat mai mare decât 15. • Adunaţi 2 numere care să dea un rezultat mai mic decât 15.

• Se scriu pe tablă exerciţii de adunare şi se cere elevilor să precizeze la care din aceste exerciţii, rezultatul este mai apropiat de 10 decât de 20. Răspunsul se dă oral, fără a scrie pe tablă rezultatul adunării. Se fac efectiv calculele numai dacă apar nelămuriri şi întrebări din partea clasei. Adunarea cu trecere peste ordin

Explorarea metodelor de calcul folosind obiecte • Luaţi 35 de beţişoare (3 zeci legate) şi apoi alte 8 beţişoare. Adăugând beţişoarele

nelegate mai puteţi forma o grupă de 10? Formaţi-o! Câte beţişoare au rămas în afara grupei? (3). Număraţi câte beţişoare aveţi în total.

• Luaţi 16 beţişoare (o zece legată) şi apoi alte 36 de beţişoare (3 zeci legate). Puneţi-le laolaltă şi număraţi câte beţişoare aveţi în total. (Formaţi mai întâi o nouă grupă de 10).

• Folosind numărătoarea de poziţionare, calculaţi 53 + 38. Cum procedaţi? Aşezăm 5 bile pe tija zecilor şi 3 pe tija unităţilor. Deci am poziţionat numărul 53. Apoi

aşezăm 3 bile pe tija zecilor şi 8 pe tija unităţilor. În acest fel am poziţionat numărul 38. Observăm că pe tija unităţilor avem acum mai mult de 10 bile. Înlocuim zece dintre ele cu o bilă pe care o aşezăm pe tija zecilor. Acum să calculăm numărul format: nouă zeci şi unu.

Pregătirea copiilor pentru înţelegerea operaţiei de înmulţire se poate realiza prin exerciţii de înmulţire implicită

• Am 7 grupe cu câte 6 beţişoare în fiecare grupă. Câte beţişoare am în total? 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 12 18 24 30 36 42

129

3 6 + 2 7 3 6 + 4 2 3 4 0 + 2 3

6 3

Copii vor efectua folosind obiecte, numărătoarea sau calculul mintal. Calculul scris va fi ca în exemplul de mai sus. Exerciţii de calcul scris Calcularea sumei prin completarea unui termen până la cel mai apropiat număr format numai din zeci.

36 + 27 = ?

• Învăţătorul formează pe tablă (sau pe tabla magnetică) din bare de 10 pătrate şi pătrate decupate numărul 36, apoi numărul 27. El cere şi elevilor să formeze aceste numere, pe bănci şi întreabă în continuare:

Care este numărul format din zeci întregi, cel mai apropiat de 36? (40). Câte unităţi ar trebui să mai adăugăm la 36, pentru a forma numărul 40? (4 unităţi: 36 + 4 = 40). Luaţi 4 pătrate de la numărul 27 şi adăugaţi-le la 36. Ce numere avem de adunat acum? (40 + 23). Având unul dintre numere format din zeci întregi, adunarea s-a simplificat: 40 + 20 + 3 = 63.

Alt mod de rezolvare: Completăm până la zeci întregi celălalt număr: 27. Luăm 3 unităţi de la 36 şi le completăm la 27, pentru a obţine 30. Acum avem de adunat numerele: 33 + 30 = 63.)

Să arătăm cum vom exprima aceste calcule în scris. Învăţătorul scrie pe tablă şi elevii lucrează pe caiete. 36 + 27 = ? • Coborâm numărul 36 şi descompunem numărul 27 în numerele 4 şi 23. • Adunăm numărul 36 cu 4 pentru a forma 4 zeci întregi şi coborâm numărul 23. • Adunăm numărul 40 cu 23. • Suma este 63. Se reia calculul, rotunjind celălalt număr (27) la 3 zeci întregi şi se realizează cu clasa, la tablă şi pe caiete o schemă asemănătoare dar în care este descompus primul termen al adunării. Numărul 36 se va descompune în 33 şi 3 pentru că lui 27 îi trebuie 3 unităţi pentru a completa 3 zeci. • Descompunem numărul 36 în 33 şi 3 unităţi, de care avem nevoie să le adăugăm la 27 pentru a forma 3 zeci întregi şi coborâm numărul 27. • Coborâm numărul 33 şi adunăm numerele 3 şi 27. • Adunăm numărul 33 cu numărul 30. Suma este tot 63. Exerciţii de calcul desfăşurat • Demonstrarea scrierii calculului desfăşurat prin utilizarea parantezelor: 36 + 27 = 36 + (4 + 23)= 36 + 27 = (33 + 3) + 27 = = (36 + 4) + 23 = = 33 + (3 + 27) = = 40 + 23 = = 33 + 30 = = 63 = 63

130

a) 3 8 + 2 4 3 0 + 8 + 2 0 + 4 5 0 + 1 2 6 2

• Se exersează calculul prin alte 2 - 3 exerciţii, care se scriu pe tablă şi pe caiete: Exemplu: 58 + 24 = 82 a) 58 + 24 b) 58 + 24 = 58 + (2 + 22) = = (58 + 2) + 22 = 58 + 2 + 22 = 60 + 22 = = 82 60 + 22 82 Calcularea sumei prin descompunerea ambelor numere în zeci şi unităţi Se calculează cu ajutorul obiectelor: • Se adună întâi beţişoarele simple (unităţile). • Se observă că numărul beţişoarelor simple depăşeşte o zece. Se iau 10 beţişoare şi se leagă în mănunchi, iar mănunchiul obţinut se adaugă la celelalte 5. Se constată că se formează 6 zeci şi 2 beţişoare, sau 62. Explicaţie orală • Se descompun ambele numere în • Se demonstrează scrierea calculului în arbore şi desfăşurat cu utilizarea parantezelor: zeci şi unităţi. • Se adună zecile cu zecile şi unităţile cu unităţile. • Se adună totalul zecilor cu totalul unităţilor. • Suma este 62. b) 38 + 24 = (30 + 8) + (20 + 4) = •Descompunem numerele în zeci şi unităţi. = (30 + 20) + (8 + 4) = •Adunăm zeci cu zeci şi unităţi cu unităţi. = 50 + 12 = •Adunăm totalul zecilor cu totalul unităţilor. = 62 • Suma este 62. Se lucrează încă 1 - 2 exerciţii, elevii verbalizând etapele de calcul. Scăderea numerelor naturale formate din zeci si unităţi Explorarea metodelor de calcul, prin manipularea obiectelor :

131

• Aşezaţi pe banca 58 de beţişoare (cinci grupe de câte 10 si încă 8). Daţi colegului 32 de beţişoare! Câte beţişoare v-au mai rămas? Cum aţi procedat pentru a calcula cât mai rapid? Din cele 5 grupe de câte 10 am luat 3 zeci si au rămas 2 zeci. Din cele 8 beţişoare nelegate, am luat 2 beţişoare si au rămas 6. Deci, după ce am dat cele 32 de beţişoare, au rămas 26. Se scrie pe tablă şi pe caiete: 58 – 32 = 26. Se poate continua cu încă 2 sau 3 scăderi, accentuându-se ideea că se scad zecile din zeci si unităţile din unităţi. Grupele de zece beţişoare fiind legate, elevii vor ajunge la concluzia dorită prin explicarea modului în care au lucrat. • Folosiţi numărătoarea de poziţionare pentru a efectua scăderea: 58 – 26.

În timp ce se lucrează, 1, 2 elevi sunt solicitaţi să explice cum procedează: Pozitionăm numărul 58 (descăzutul) pe numărătoare. Pentru aceasta, aşezăm 5 bile pe tija zecilor si 8 bile pe tija unităţilor. Efectuăm scăderea: luăm 2 bile de pe tija zecilor şi 6 bile de pe tija unităţilor. Au mai rămas 3 bile pe tija zecilor si 2 bile pe tija unităţilor, deci restul este 32.

58 – 26 = 32 Se mai efectuează individual pe numărătoare 1 — 2 exerciţii, elevii fiind solicitaţi sa

verbalizeze activitatea. Se va accentua concluzia: zecile scăzătorului se scad din zecile descăzutului, iar unităţile, din unităti. Demonstrarea calculului scris desfăşurat, al scăderii:

Se citeşte enunţul unei probleme din manual. În urma analizei datelor se stabileşte operaţia prin care se afla răspunsul problemei; se

scrie pe tabla si pe caiete: 45 – 26 = ? Sunt solicitaţi elevii sa explice cum se procedează pentru efectuarea scăderii : Se scad

zecile din zeci si unităţile din unităti. Învăţătorul demonstrează si explică oral, desfăşurarea calculului efectuat cu obiecte, în

scris: 58 – 26 = (50 + 8) – (20 + 6) =

• Se descompun cele doua numere în zeci şi unităţi; = (50 – 20) + (8 – 6) = • Se scad zecile din zeci si unităţile din unităţi; = 30 + 2 = • Se adună zecile si unităţile rămase; = 32 • Diferenţa este 32. • Se scrie pe tablă şi pe caiete răspunsul problemei. • Se efectuează în acelaşi mod alte 2 - 3 scăderi, elevii verbalizând tehnica de calcul, ca şi învăţătorul. • Se verifică, prin activitate independentă, dacă toţi elevii şi-au însuşit tehnica de calcul.

Zeci

132

Exerciţii de calcul cu material ajutător

a) Pe tablă se reproduce desenul care figurează efectuarea unei scăderi. Exemplu: 54 – 23. În acelaşi timp, elevii vor lucra pe bănci, cu materialul ajutător (bare

de 10 pătrate si cele 10 pătrate decupate). • Învăţătorul întreabă: Pentru a efectua scăderea, cu ajutorul obiectelor, care este operaţia pe care trebuie să

o facem la început? Se poziţionează numărul din care se scade, 54, adică descăzutul, la tablă, (şi elevii - pe

bănci), număr din care se iau unităţile scăzătorului şi apoi zecile. • Într-un tabel de poziţionare liniat alăturat, pe tablă, se scrie numărul 54. • Dialogul cu clasa urmăreşte succesiunea acţiunilor cu beţişoare făcute de copii. Se efectuează, pentru fixare alte 3 - 4 exerciţii de scădere, la tablă şi pe caiete, elevii

care lucrează la tablăa verbalizând etapele de calcul, ca şi învăţătorul. Calculul scris 1)Asezăm numerele unul sub altul, unităţi sub unităţi si zeci sub zeci. 2) Scădem mai întâi unităţile: 8 – 3 = 5 şi scriem rezultatul pe poziţia unităţilor. 68 – 23 5 3) Scădem zecile: 6 – 2 = 4 si scriem rezultatul pe poziţia zecilor. 68 – 23 45 4) Diferenţa este 45.

Pentru verificarea gradului de înţelegere a tehnicii de calcul, elevii vor lucra câteva exerciţii de scădere, independent, din manual, apoi prin probă se verifică rezultatele obţinute şi se utilizează alternativ, proba prin adunare si proba prin scădere. Scăderea cu împrumut la ordinul zecilor - numere naturale de la 0 la 20 Utilizarea axei numerelor în scopul efectuării scăderii prin numărare în ordine descrescătoare. Se pleacă de la o problemă simplă: dintr-un grup de 12 copii, 5 pleacă la gimnastică. Câţi copii rămân? • Se desenează pe tablă (elevii pe caiete) un segment din axa numerelor, cuprinzând numerele 0 - 20. • Se numără mai întâi crescător, de la 0 la 12, pentru a se afla descăzutul (numărul total de copii). • Pornind de la 12, se numără descrescător, cei 5 copii care pleacă de la gimnastică. Numărul la care se ajunge este diferenţa dintre 12 şi 5. Exemplu: –5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15 16 17 18 19 20 Procedeul de calcul al scăderii prin descompunerea descăzutului sau a scăzătorului:

133

Descompunerile condiţionate au rolul de a pregăti înţelegerea acestui procedeu de calcul.

Copiii au pe bancă o grupă de 10 beţişoare legate cu elastic şi alte 10 beţişoare libere. Se pot formula următoarele sarcini:

1) Număraţi 15 beţişoare. Luaţi din mulţimea de 15 beţişoare, 8 beţişoare. Socotiţi câte rămân. Cum procedaţi? (Dăm 5 beţişoare deoparte, apoi desfacem zecea şi luăm încă 3. Rămân 7 beţişoare).

2) Legaţi 10 beţişoare. Număraţi 17 beţişoare şi luaţi 9 din ele. Câte rămân? Explicaţi cum aţi procedat.

Câţiva copii explică pe rând cum se procedează şi lucrează în acelaşi timp cu beţişoare. Este important ca procedura să fie repetată verbal şi faptic.

Pentru a efectua mai uşor un exerciţiu de scădere cu trecere peste ordin, putem să-l transformăm într-un exerciţiu ce cuprinde numai operaţii cu numere cuprinse între 0 şi 10 prin descompunerea numărului ce reprezintă descăzutul sau a numărului ce reprezintă scăzătorul în perechi de numere convenabile. a) Calculul scăderii prin descompunerea numărului ce reprezintă descăzutul în unităţi şi zeci:

Exemplu: 15 – 7 = ? • Descompunem numărul 15 în 10 şi 5. Reluăm scrierea exerciţiului, înlocuind numărul 15 cu cele două numere în care l-am

descompus. Vom schimba ordinea celor 2 numere (deoarece rezultatul nu se schimbă), astfel: 5 + 10 – 7. • Efectuăm scăderea numărului 7 din 10, (scăderea din 10 fiind foarte uşoară!): 5 + 10 – 7 = 5 + 3. • Efectuăm adunarea rămasă: 5 + 3 = 8. Calculul se poate desfăşura în două moduri: 1) 15 – 7 = 5 + 10 – 7 = 5 + 3 = 8 10 + 5 15 – 7 = 5 + 10 – 7 = = 5 + 3 =

= 8 2) 15 – 7 = 15 – 5 – 2 = 10 – 2 = 8

5 2 15 – 7 = 15 – 5 – 2 = = 10 – 2 = = 8 Pentru fixarea procedeului de calcul, se mai pot efectua similar alte 3 - 4 exerciţii de scădere. Scăderea cu împrumut la ordinul zecilor Exerciţii de calcul cu sprijin pe obiecte

Copii sunt solicitaţi să rezolve o problemă în care poate interveni calculul prin scădere cu împrumut la ordinul zecilor a unei sume de bani. Copii vor efectua calculul pe bancă folosind bancnote de carton de mărimi distincte pentru zeci şi unităţi.

134

Se cere efectuarea calculului : 84 – 65 = S-a luat o bancnotă de 10 lei şi s-a transformat în 10 bancnote de câte un leu. S-au obţinut 14 bancnote de 1 leu sau 14 unităţi. Acum putem efectua scăderea unităţilor: 14 – 5 = 14 – 4 – 1 = 10 – 1 = 9. Câte zeci au rămas la descăzut, după ce s-a luat o zece şi s-a transformat în unităţi? (7 zeci). Scădeţi acum zecile scăzătorului din zecile descăzutului: 7 – 6 = 1. Vom poziţiona restul obţinut: 1 zece şi 9 unităţi sau 19. În scris, calculul îl putem aşeza astfel: 84 – 65 19 Se scriu: calculul şi răspunsul problemei pe tablă şi pe caiete. Operarea cu obiecte pentru efectuarea calculului 53 – 26 = ?

- Poziţionăm descăzutul (5zecişi3unităţi). - Poziţionăm, sub el, scăzătorul (2 zeci 6 unităţi). - Începem scăderea unităţilor: 3 – 6 nu se poate efectua pentru că descăzutul, 3, este mai

mic decât scăzătorul, 6. - ″Ne împrumutăm″ la zeci. Luăm o zece din 5 şi rămân 4 zeci. Transformăm zecea

luată în 10 unităţi, la care adunăm cele trei unităţi care au fost la descăzut: 10 + 3 = 13 (unităţi). - Scădem acum unităţile: 13 – 6 = 7. Scriem cifra 7 la rezultat, pe poziţia unităţilor. - Din cele 4 zeci rămase la descăzut, scădem cele 2 zeci ale scăzătorului: 4 zeci – 2 zeci = 2 zeci. Scriem cifra 2 la rezultat, pe poziţia zecilor.

53 – 26 27

Se rezolvă alte 3 - 4 exerciţii de scădere, pentru fixarea tehnicii de calcul, utilizându-se şi numărătoarea de poziţionare : • Se scoate o bilă de pe tija zecilor şi se transformă în 10 bile care se aşază pe tija unităţilor. Pe tija zecilor sunt acum 6 bile, iar pe tija unităţilor 13 bile. • Se scad cele 5 bile de pe tija unităţilor: 13 – 5 = 8 (bile). (Se scrie 8 pe poziţia unităţilor). • Se scad zecile: 6 zeci – 4 zeci = 2 zeci (Se scrie cifra 2 pe poziţia zecilor). • Diferenţa este 28. Se rezolvă numai prin calcul scris alte scăderi, elevii realizând numai mental împrumutul de la zeci fără a mai scrie deasupra zecile rămase şi numărul unităţilor format prin împrumut. În timp ce efectuează scăderea, fiecare elev verbalizează procedeul de calcul, conform explicaţiilor date de învăţător.

135

5 4 – 3 6 5 4 – 3 4 – 2 2 0 – 2 1 8

7 3 – 4 5 6 0 + 1 3 – 4 0 – 5 2 0 + 8 2 8

62 – 51 – 75 – 37 26 47 Exerciţii de calcul desfăşurat prin descompunere

Se propune scăderea: 73 – 45 = ? Calculul se desfăşoară concomitent prin manipulare de către elev a beţişoarelor

individual, pe bănci şi prin scriere - la tablă şi pe caiete a operaţiilor executate cu obiecte. Se formează, din beţişoare şi se poziţionează numărul 73. Se scrie pe tablă numărul 73. Scăzătorul este 45, deci trebuie să luăm 5 beţişoare. Luăm o zece din cele 7 zeci şi o

transformăm în 10 unităţi, care, împreună cu cele 3, formează 13 beţişoare, deci 13 unităţi. Aceasta înseamnă că am descompus numărul 73 în 6 zeci şi 13 unităţi: Se scrie pe tablă: 73 – 45 Se descompune şi scăzătorul în zeci şi unităţi şi se continuă calculul, explicându-se: • Descompunem numărul 73 în zeci şi unităţi, astfel încât să putem efectua scăderea

unităţilor (60 + 13). • Descompunem şi numărul 45 (scăzătorul) în zeci şi unităţi (40 + 5). • Efectuăm scăderea zecilor: 60 – 40 = 20. • Efectuăm scăderea unităţilor: 13 – 5 = 8. • Adunăm restul zecilor cu restul unităţilor: 20 + 8 = 28. Pentru fixare, se mai rezolvă 3 - 4 scăderi, la tablă şi pe caiete Calculul scăderii prin descompunerea convenabilă a unui singur număr. (Demonstraţie

la tablă şi scrierea calculului pe caiete.) • Coborâm numărul 54 (descăzutul). • Descompunem numărul 36 (scăzătorul) într-un număr format din zeci şi tot atâtea

unităţi ca şi descăzutul, şi un număr format din restul unităţilor. • Efectuăm scăderea 54 – 34 = 20 şi coborâm numărul 2. • Efectuăm scăderea unităţilor rămase: 20 – 2 = 18.

136

b) În acelaşi mod putem descompune şi numai descăzutul, astfel încât unul dintre numere să fie egal cu scăzătorul.

Exemplu:

Activitatea se poate desfăşura individual, pe bănci, cu ajutorul beţişoarelor, insistându-

se asupra faptului că, pentru a se completa unităţile până la 6, trebuie să se desfacă o zece (o legătură de 10 beţişoare). Aflarea unui termen necunoscut

Sarcinile au ca scop realizarea unui antrenament mental în scopul exersării relaţiilor de egalitate şi de inegalitate prin:

- Exerciţii de numărare pe segmente din axa numerelor, desenate pe tablă şi exerciţii de comparare a numerelor.

- Exerciţii de utilizare a balanţei pentru compararea unor mărimi. Prin conversaţia euristică care însoţeşte exemplificarea, copiii sunt familiarizaţi cu

folosirea balanţei pentru cântărirea obiectelor şi sunt conduşi spre înţelegerea semnificaţiei poziţiei de echilibru şi de dezechilibru. Exemplu : Aşezăm pe un taler al balanţei 5 cuburi, iar pe celălalt 16 cuburi. Ce se întâmplă cu balanţa? Balanţa se înclină, talerul cu mai multe cubuleţe lăsându-se în jos. Cum putem proceda astfel încât cele două talere să fie pe aceeaşi linie, adică să aducem balanţa în echilibru ? Adăugăm 11 cubuleţe pe talerul cu mai puţine cuburi. De ce trebuie să adăugăm acest număr de cuburi? Pentru că 5 + 11 = 16. Copiii rezolvă încă două - trei exerciţii practice de acest tip. Punem 10 cuburi pe un taler al balanţei şi 10 pe celălalt taler. Balanţa stă în echilibru. De ce? Sunt tot atâtea cuburi pe fiecare taler al balanţei. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 cuburi. Adăugăm câte 3 cuburi pe fiecare taler al balanţei. Ce observăm? După ce am adăugat 3 cuburi pe unul din talere, balanţa se dezechilibrează, apoi după ce am adăugat 3 cuburi şi pe celălalt taler, balanţa revine în echilibru. De ce ? Pe fiecare taler al balanţei sunt tot atâtea cuburi. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 + 3 = 13 (cuburi). Acum dăm la o parte cele 3 cuburi de pe fiecare taler. Să adăugăm câte 5 cuburi pe fiecare taler. Ce se va întâmpla cu balanţa? Va ajunge din nou în echilibru pentru că pe fiecare taler al balanţei sunt tot atâtea cuburi. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 + 5 = 15 (cuburi). Să luăm 7 cuburi de pe un taler. Ce se întâmplă cu balanţa? Se dezechilibrează, înclinându-se înspre talerul unde au rămas mai multe cuburi. Luaţi acum tot atâtea cuburi de pe celălalt taler. Ce se întâmplă cu balanţa ? Balanţa ajunge din nou în echilibru pentru că de pe ambele talere s-au luat tot atâtea cuburi, adică 7, iar pe fiecare taler erau iniţial tot atâtea cuburi. Cu cât cântăreşte mai mult o jucărie, decât cealaltă ? Iepuraşul cântăreşte cu 3 cuburi mai mult decât veveriţa pentru că balanţa s-a echilibrat dacă am adăugat 3 cuburi lângă veveriţă. Răspunsul poate fi formulat astfel : - Iepuraşul cântăreşte cât veveriţa şi încă 3 cuburi.

7 3 – 3 6 3 7 + 3 6 – 3 6 3 7 + 0 3 7

137

- Veveriţa şi încă 3 cuburi au aceeaşi greutate cât iepuraşul. - Iepuraşul este cu 3 cuburi mai greu decât veveriţa. Rolul învăţătorului :

Dirijarea învăţării trebuie să aibă drept consecinţă uşurinţa elevilor de a formula concluziile pentru toate experimentele făcute :

- balanţa este în echilibru dacă pe cele două talere sunt număr egal de cuburi (tot atâtea cuburi cu aceeaşi greutate) ;

- balanţa se dezechilibrează dacă se iau sau se adaugă un număr de cuburi numai pe unul dintre talere;

- balanţa rămâne în echilibru dacă se adaugă sau se iau tot atâtea cuburi(toate cuburile au aceeaşi greutate) .

Observarea şi analiza poziţiei de dezechilibru a balanţei. Se justifică cauza pentru care balanţa nu este în echilibru (Pe unul dintre talere sunt

mai multe cuburi decât pe celălalt). Elevii sunt solicitaţi să răspundă la următoarele întrebări: Câte cuburi sunt pe fiecare taler? Câte cuburi trebuie să mai aşeze pe talerul din stânga, pentru a echilibra balanţa. • Se scriu pe tablă şi pe caiete relaţiile exprimate de cele trei balanţe aflate în

dezechilibru:

30 ≠ 50 25 ≠ 46 37 ≠ 60 30 < 50 25 < 46 37 < 60.

• Se scrie, pe tablă şi pe caiete transformarea fiecărei inegalităţi în relaţie de egalitate:

30 + = 50 25 + = 46 37 + = 60 30 + 20 = 50 25 + 21 = 46 37 + 23 = 60 50 = 50 46 = 46 60 = 60

Deci, dacă mai aşezăm pe fiecare balanţă: respectiv 20, 21, 23 de cuburi, balanţele se echilibrează, aceasta însemnând că numărul de cuburi de pe primul taler este egal cu numărul de cuburi de pe al doilea taler. Este semnificativ de observat că aflarea termenului necunoscut se face în acest caz prin compunere – ce număr trebuie adăugat la 30 pentru a obţine 50 ? Activitatea frontală de lucru pe secvenţe de manual, va fi completată cu momente de activitate independentă, pentru a se verifica înţelegerea poziţiilor balanţei de dezechilibru sau echilibru şi a relaţiilor de egalitate - inegalitate. Rolul învăţătorului : în această secvenţă a demersului didactic accentul este pus pe verificarea înţelegerii poziţiilor balanţei de dezechilibru sau echilibru şi a relaţiilor de egalitate - inegalitate prin :

- scrierea inegalităţilor şi transformarea lor în egalităţi; - scrierea egalităţilor şi găsirea termenului necunoscut prin compunerea numărului din

membrul 2 din termenul 1 şi numărul lipsă; - observarea faptului că echilibrarea balanţei se poate face atât prin adăugarea unei

anumite cantităţi pe talerul care este mai ridicat, sau prin luarea unei anumita cantităţi de pe talerul care este mai coborât.

Accentuarea echivalenţei dintre echilibrare - egalitate, dezechilibrare - inegalitate. Activitatea se poate organiza cu ajutorul manualului şi prin lucru individual pe fişe.

Elevii verbalizează acţiunile, iar relaţiile care se desprind, se scriu pe tablă şi pe caiete.

138

Exemplu : Se pun pe cele două talere ale balanţei trei săculeţi albi cu câte 10 bile şi un săculeţ colorat în care nu ştim câte bile sânt. Dar pe talerul din dreapta? 4 săculeţi albi cu câte 10 bile fiecare.

În ce poziţie se află balanţa? În poziţie de echilibru. Ce înseamnă aceasta? Cantităţile de pe cele 2 talere sunt egale.

Să notăm numărul de bile din săculeţul colorat cu litera a şi Scrieţi fiecare pe caiet relaţia pe care o exprimă balanţa aflată în echilibru: a + 30 = 40.

• Să răspundem acum la întrebarea problemei: Câte bile ar trebui luate pentru ca, pe talerul stâng să rămână numai bilele din săculeţul colorat, iar balanţa să rămână în echilibru?

• Luăm cei trei săculeţi de pe talerul stâng. Ce se întâmplă cu balanţa? Se dezechilibrează. De ce? Pentru că în săculeţul colorat sânt mai puţine bile (este mai uşor) decât bilele din cei 4 săculeţi de pe talerul drept. În scris, această situaţie se prezintă astfel:

a + 30 – 30 ≠ 40 a ≠ 40 a < 40 • Luăm şi de pe talerul din dreapta aceeaşi cantitate de bile: 3 săculeţi cu câte 10 bile,

adică 30 de bile. Balanţa este din nou în echilibru. Aceasta înseamnă că săculeţul colorat este la fel de greu ca şi săculeţul rămas pe talerul din dreapta.

În scris, aceasta se prezintă astfel: a = 40 – 30 a = 10 Deci, săculeţul colorat (a) cântăreşte 10 bile. Se iau cei 3 săculeţi (30 de bile) şi cele 3 bile de pe talerul cu săculeţul colorat şi se

constată că balanţa se dezechilibrează. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că egalitatea se transformă în inegalitate.

b + 33 – 33 ≠ 45 b + 0 < 45 b < 45 . Pentru a se reechilibra balanţa, se ia aceeaşi cantitate (33 de bile) şi de pe talerul din

dreapta şi se constată că balanţa este din nou în echilibru; Între cantitatea de pe talerul stâng şi cea de pe talerul din dreapta este o relaţie de

egalitate: b = 45 – 33 b = 12. verificare : 12 + 33 = 45 Săculeţul b cântăreşte 12 bile. Rolul învăţătorului : - activităţile trebuie conduse astfel încât să conducă elevii spre a formula cu uşurinţă

concluziile: - dacă se ia de pe ambele talere ale balanţei aceeaşi cantitate, balanţa rămâne în

echilibru, pentru că pe talere rămân cantităţi egale; - dacă se ia numai de pe un singur taler o anumită cantitate, balanţa se dezechilibrează,

deoarece cantităţile de pe cele două talere nu mai sunt egale. - scrierea literală a unei situaţii matematice . Prin observarea individuală a acţiunii descrise în manual, sau pe baza unei ilustraţii

mărite, pe tablă. Toţi elevii sânt solicitaţi să compună o problemă pornind de la această situaţie practică.

Compunere de exerciţii cu necunoscute, după desene de balanţe date ; Reprezentarea prin desen (balanţă corespunzătoare) a unui exerciţiu cu o necunoscută. Este necesar să fie exersate ambele tipuri, deoarece ele conduc la rezolvarea conştientă a

ecuaţiilor şi se evită astfel memorarea mecanică a unor reguli algebrice. Mai mult, aceste

139

asocieri repetate ale rezolvărilor scrise cu desenele corespunzătoare, constituie baza gândirii şi înţelegerii conştiente a algoritmilor de calcul de mai târziu, care se vor învăţa prin studiul algebrei.

Şcolarul mic, poate înţelege transformarea expresiei a + 30 = 40 în forma a = 40 – 30. numai prin asocierea cu desenul care exprimă acţiunea luării de lângă cantitatea a a cantităţii cunoscute şi acţiunea reechilibrării balanţei prin luarea aceleiaşi cantităţi de pe celălalt taler al balanţei.

Pentru micul şcolar, regula algebrică a trecerii unui termen cu semn schimbat în celălalt membru al ecuaţiei, nu exprimă nici o bază logică pentru calcul.

Litera care a rămasă singură în membrul stâng al egalităţii exprimă acţiunea din desen: tăierea, deci luarea celor 30 de bile şi rămânerea numai a punguţei notate cu a. Relaţia 40 – 30 reprezintă acţiunea vizibilă pe talerul al 2-lea al balanţei: tăierea, deci luarea celor 30 de bile şi de pe talerul drept.

Deci etapele de rezolvare a ecuaţiei au o bază logică de înţelegere: 1) a + 30 = 40 2) a = 40 – 30 3) a = 10 4) verificare 10+30=40 În alte situaţii, balanţele schimbă locul necunoscutei de pe talerul din stânga în partea

dreaptă, talerul din stânga având numai cantităţi cunoscute. Scrierea exerciţiului începe, deci, cu cantitatea cunoscută: 43 = 31 + c. Aflarea necunoscutei c se bazează pe acelaşi principiu: eliminarea unor cantităţi egale de cuburi (sau bile) de pe ambele talere. În scris aceasta se exprimă astfel: 43 – 31 = c, 12 = c sau c = 12

După fiecare secvenţă de învăţare prezentată în succesiunea indicată în manual şi care s-a explicitat prin activitate frontală, se poate da elevilor activitate independentă distribuită pe parcursul lecţiei, din caietele auxiliare.

9.3 Înmulţirea numerelor naturale folosind adunarea repetată de termeni egali Înmulţirea poate fi introdusă prin două modalităţi: a) prin adunare repetată de termeni egali

A înmulţi a cu b înseamnă a efectua o adunare cu b termeni egali cu a, sau o adunare cu a termeni egali cu b.

a • b = a + a + a +…+ a sau b + b + b +…+ b 14243 14243

b termeni a termeni Observaţii: - dacă b = 1, a • 1 = a, ∀ a ∈ N şi se citeşte a luat o singură dată; - dacă b = 0, a • 0 = 0 + 0 + …+ 0 = 0. 14243 a termeni

Se concluzionează că dacă într-o înmulţire unul din factori este zero, atunci produsul este zero.

- dacă a = 0 , 0 • b = b • 0 = 0 + 0 + 0 +…+ 0 = 0 14243 b termeni

Numerele naturale care se înmulţesc se numesc factori. Rezultatul înmulţirii se numeşte produs. Înmulţirea numerelor naturale este o operaţie totdeauna posibilă în mulţimea

140

numerelor naturale. Regula de operaţie este dată de adunarea repetată a aceluiaşi număr natural. b) folosind produsul cartezian

În acest caz, înmulţirea numerelor a şi b se introduce astfel: se iau două mulţimi A şi B, cu a şi, respectiv, b elemente, se formează mulţimea A x B, iar numărul elementelor acestei mulţimi este tocmai a • b .

B A a = 3 unităţi ● ● ● b = 4 rânduri ● ● ● sau 4 ● ● ● ● ● ● 123

3 Folosind această modalitate de introducere a înmulţirii se parcurg următorii paşi:

♦ se formează perechi ordonate; ♦ se numără perechile ordonate; ♦ se obţine produsul lui a cu b sau produsul numerelor a şi b.

Activităţi de învăţare pentru introducerea operaţiei: - exerciţii de grupare de elemente şi partajare de grupe după reguli date pentru intuirea

înmulţirii; - exerciţii de numărare cu pas dat, cu sprijin în obiecte şi desene pentru intuirea

înmulţirii; - exerciţii de găsire a cât mai multe modalităţi de scriere a unui număr sub formă de

sumă de termeni egali sau de produs; - descompunerea unui număr sub formă de sumă de termeni egali. Dirijaţi de învăţător, elevii vor descrie ceea ce văd în desenele adecvate din manualele

alternative. Ei vor preciza numărul de obiecte de fiecare fel. Modalităţi de aflare a numărului de obiecte de fiecare fel: - se numără cu pasul 1; - se numără cu pas egal cu numărul de obiecte din fiecare grupă; - se numără grupele şi numărul de obiecte din fiecare grupă. Rolul învăţătorului: - dirijează conversaţia pentru ca elevii să evidenţieze avantajele ultimei modalităţi de numărare - precizează modul de formulare al răspunsului - elevii vor răspunde folosind expresia “sunt de ... câte ....”. Precizarea numărului de obiecte apare ca rezultat al unui calcul – adunare cu termeni egali – şi nu prin numărare.

4 3 2 1

(*, 4) (●, 4) (□, 4) (* , 3) (●, 3) (□, 3) (* , 2) (●, 2) (□, 2) (* , 1) (● ,1) (□, 1)

* , ● , □

a • b = 3 • 4

141

Alte întrebări pot cere precizarea numărului de obiecte de fiecare fel care sunt în desen. Elevii pot fi solicitaţi să dea şi alte exemple ca urmare a acţiunii directe cu materialul

didactic individual (beţişoare, piese din trusa Logi) In continuare, accentul se permit înţelegerea operaţiei de adunare cu termeni egali prin

precizarea numărului de termeni şi valoarea unui termen şi modul de calcul. Rolul învăţătorului: - să construiască contexte în care expresia “sunt de ... câte ....” numeşte numărul de obiecte dintr-o colecţie; - să se asigure că toţi elevii au înţeles modul de citire al sumei în relaţie cu dispunerea grupelor de obiecte; - să verifice calitatea învăţării prin sarcini care solicită reprezentarea prin desen a unui număr de obiecte, număr care se scrie ca o sumă cu termeni egali. Sarcinile de învăţare urmăresc ca elevii să-şi formeze deprinderi de:

Scrierea simbolică sub formă de adunare cu termeni egali a unei situaţii reprezentate figural sau prin expresia “de ... câte ....”

Transpunere prin desen sau acţiune a unor operaţii de adunare cu termeni egali . Rolul învăţătorului: integrare şi exersare a acestui procedeu de numărare si adunare pentru consolidarea deprinderilor de operare cu numere mai mici decât 100.

Antrenamentul mental va avea atât rol pregătitor şi atunci va fi plasat la începutul activităţii sub forma unor exerciţii orale de numărare cât si în momentele în care învăţătorul vrea să sublinieze faptul că rezultatul adunării cu termeni egali poate fi găsit prin numărare cu pas egal cu valoarea termenilor egali: Greşeli posibile: elevii pot confunda numărul de termeni cu numărul de grupe, atât în scriere cât şi în grupare.

Pentru a preveni astfel de greşeli este util să se organizeze activităţi în care se solicită compunerea de probleme după exerciţii de tipul: “de 3 ori câte 4“ şi “de 4 ori câte 3“. Analiza enunţului problemelor şi a exerciţiului va evidenţia diferenţele existente între situaţiile matematice pe care le ilustrează deşi rezultatul calculului este acelaşi.

În predarea - învăţarea operaţiei de înmulţire, intuiţia nu mai are un rol predominant (ca la adunare), întrucât elevii au dobândit cunoştinţe şi şi-au format priceperi şi deprinderi în legătură cu operaţia de adunare. Este evident că în predarea noii operaţii, învăţătorul trebuie să se bazeze pe toate acestea. Deşi rolul mijloacelor intuitive în introducerea înmulţirii nu mai este preponderent, pentru ca elevii să înţeleagă înmulţirea ca adunare repetată, învăţătorul nu trebuie să renunţe complet la ele. Materialul concret intuitiv se va folosi mai puţin, însă reprezentările simbolice joacă un rol hotărâtor.

La început, învăţătorul va pune un accent deosebit pe reactualizarea cunoştinţelor despre adunare, insistându-se pe adunări repetate de termeni egali care se vor transforma în produse.

De exemplu: 3 + 3 + 3 + 3 se citeşte în două feluri: termenul 3 se repetă de 4 ori sau de 4 ori 3; 4 + 4 + 4 se citeşte 4 luat de 3 ori sau de 3 ori 4 etc. Invers, să scriem ca sumă de termeni egali 6 luat de 5 ori, ceea ce înseamnă 6 + 6 + 6 + 6 + 6. Învăţătorul trebuie să insiste pe astfel de cerinţe.

Se explică elevilor că pentru sumele de termeni egali se utilizează o nouă scriere: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 (care se citeşte de 4 ori câte 3, de 4 ori 3 sau 4 ori 3); 4 + 4 + 4 = 3 x 4 (adică de 3 ori câte 4, de 3 ori 4 sau 3 ori 4)

4 x 3 = 3 x 4 Prin efectuarea unor astfel de exerciţii se face trecerea de la adunarea repetată la

înmulţire, trecere care constituie momentul cel mai important în predarea înmulţirii. În acest moment elevii identifică operaţia de adunare repetată cu operaţia de înmulţire şi substituie o operaţie cu alta. Se spune elevilor că am scris sumele de termeni egali sub formă de înmulţire

142

cu ajutorul simbolului operaţiei de înmulţire care este “x” sau “●” şi care se citeşte “ori”. Simbolul operaţiei de înmulţire se introduce o dată cu scrierea primei operaţii de înmulţire.

În concluzie, trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se poate realiza asfel: - se stabileşte rezultatul adunării repetate; - se solicită elevilor să exprime prin cuvinte şi altfel această operaţie de adunare repetată; - scrierea sub cele două forme a operaţiei de înmulţire: De exemplu:

• Câte creioane sunt în 5 grupe de câte 2 creioane? • Cum aţi calculat? (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10); • Cum putem spune altfel? (de 5 ori câte 2 creioane fac 10); • Cum scriem? (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2).

În această etapă învăţătorul trebuie să insiste atât pe scrierea unei sume de termeni egali sub formă de înmulţire, cât şi invers, scrierea unei înmulţiri sub formă de sumă de termeni egali. După efectuarea unui număr suficient de exerciţii, elevii vor înţelege semnificaţia operaţiei de înmulţire şi se poate introduce terminologia specifică acestei operaţii:

• cele două numere care se înmulţesc se numesc factori : primul factor arată de câte ori se repetă al doilea factor (în adunarea repetată), iar al doilea factor este numărul care se repetă sau invers; • rezultatul înmulţirii se numeşte produs (P); • simbolul operaţiei de înmulţire este “x” sau “●” şi se citeşte “ori” . Formula înmulţirii este F1 x F2 = P Un alt aspect asupra căruia trebuie insistat în această etapă este proprietatea de

comutativitate a înmulţirii. De exemplu: vom cere elevilor să calculeze prin adunare repetată următoarele înmulţiri:

3 x 5 şi 5 x 3.Conform convenţiei de mai sus avem: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15 şi 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15 Se observă împreună cu elevii, că se obţine acelaşi rezultat (15). Se face precizarea că

dacă într-o înmulţire schimbăm ordinea factorilor, rezultatul (produsul) rămâne acelaşi, deci nu se schimbă. Se spune elevilor că aceasta este proprietatea de comutativitate a înmulţirii, dar noţiunea se dă numai ca titlu informativ.

Se ia ca exemplu o înmulţire în care unul din factori este 0 (zero). De exemplu, 0 x 4 ne spune că în suma cu termeni egali, numărul 4 trebuie considerat

de 0 ori. Acest lucru nu le spune prea mult elevilor, însă, prin comutarea factorilor obţinem: 0 x 4 = 4 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Se concluzionează că: dacă într-o înmulţire unul dintre factori este 0, atunci produsul este 0 .

După această etapă introductivă în predarea-învăţarea operaţiei de înmulţire urmează predarea sistematică a tablei înmulţirii cu fiecare număr în parte: 0, 1, 2, 3, …, 10. În fiecare lecţie, obţinerea rezultatelor înmulţirii trebuie să se bazeze pe o participare activă a elevior. O lecţie în care se predă înmulţirea când avem pe unul din factori un număr dat, trebuie să parcurgă mai multe etape.

Vom exemplifica etapele parcurse la predarea-învăţarea înmulţirii când unul din fatori este 2.

1) Cu ajutorul elevilor se scriu şiruri de adunări repetate care dau înmulţirea cu 2. 1 x 2 = 2 2 x 2 = 2 + 2 = 4 3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6 4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

143

5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 ……………………………………………….. 10 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

În această etapă se parcurg următoarele subetape: a) se scriu înmulţirile care se transformă în adunări repetate sau se scriu adunările repetate care se transformă în înmulţiri; b) pe baza adunării repetate se calculează rezultatul; c) se şterg sumele şi rămâne pe tablă numai tabla înmulţirii cu 2. 2) Se introduce şi se întăreşte terminologia specifică : factor, produs, “de 2 ori mai mare”, dublul; 3) Se fac exerciţii - joc de aflare a produsului când se dau cei doi factori în scopul memorării tablei înmulţirii cu 2, pentru transformarea în automatism. 4) Se scoate în evidenţă proprietatea de comutativitate a înmulţirii, pornindu-se de la baza intuitivă: I. II.

2 4 ● ● ● ● ● ●

4 ● ● 2 ● ● ● ● ● ● ● ●

2 de 4 ori 4 de 2 ori 4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 2 x 4 = 4 + 4 = 8 deci 4 x 2 = 2 x 4 Comutativitatea se va folosi mai ales după înmulţirea cu 5 când o parte din produse se

vor afla pe baza rezultatelor înmulţirilor predate. 5) Aflarea factorului necunoscut – la început factorul necunoscut se va afla folosind modelul balanţei, încercările, iar după ce învaţă şi tabla împărţirii factorului necunoscut se poate afla făcând proba prin împărţire. 6) Proba înmulţirii – la început proba se va face prin înmulţire, iar mai târziu prin împărţire. 7) Se rezolvă probleme simple pentru a se face legătura cu limbajul specific care duce la efectuarea operaţiei de înmulţire şi se vor folosi expresii ca:

• mărit de 2 ori • de 2 ori mai rapid; • creşte de 2 ori • de 2 ori mai înalt ; • de 2 ori mai mare • dublul numărului “X” • produsul numărului 2 şi “X” (x ≤ 10)

De exemplu : X: _____ 2 • X: __________ (dublul lui X) După predarea tablei înmulţirii până la 10 se intervine cu alte sarcini care au drept scop

exersarea algoritmului de cunoaştere, fixare, aplicare a tablei înmulţirii de către toţi copiii: • înmulţirea unui număr cu o sumă sau cu o diferenţă evidenţiindu-se proprietatea de distributivitate a înmulţitii faţă de adunare sau scădere (fără a folosi terminologia) • ordinea efectuării operaţiilor; • rezolvarea de probleme compuse insistându-se mult pe cunoaşterea şi utilizarea corectă a limbajului specific şi diferenţierea înmulţire – adunare;

- de atâtea ori mai mare - cu atât mai mare

144

Se va pune accent deosebit pe rezolvarea de probleme compuse în care se pune în evidenţă diferenţa dintre adunare şi înmulţire.

În predarea - învăţarea înmulţirii în celelalte concentre se va face apel la: • înmulţirea unui număr cu 10, 100, 1000; • proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare; • descompunerea unui factor într-o sumă folosindu-se scrierea sistemică; • descompunerea unui factor într-un produs de factori. De exemplu, în predarea - învăţarea înmulţirii unui număr de o cifră cu un număr întreg

de zeci, sute, mii, se apelează la cunoştinţele anterioare ale elevilor şi se procedează astfel: 7 x 300 ↓ Λ 7 x 3 x 100 » calcul oral scris V 21 x 100 V 2100 • se descompune factorul al doilea într-un produs; • se asociază factorii formaţi dintr-o cifră şi se calculează produsul lor; • produsul obţinut se înmulţeşte cu 100. Scrierea calculului oral scris sub formă de arbore pe tablă este bine să se realizeze pe

reţea de pătrăţele asemănătoare caietelor elevilor, pentru ca aceştia să aibă modelul derulării etapelor de calcul şi amplasarea lor în spaţiul reţelei de linii. Altfel elevii vor trasa săgeţile în dezordine, consumând inutil spaţiul pe foaia de scris şi nepunând în evidenţă pe rânduri orizontale, cele trei etaje ce marchează etapele de calcul.

În predarea-învăţarea înmulţirii unui număr de o cifră cu un număr de două sau trei cifre se procedează astfel (pentru calculul oral scris) :

• se descompune factorul format din două / trei cifre într-o sumă folosindu-se scrierea sistemică; • se aplică distributivitatea înmulţirii faţă de adunare (se înmulţeşte factorul format dintr-o cifră cu fiecare termen al sumei); • se efectuează produsele; • se adună produsele De exemplu:

3 x 275 = 3 x (200 + 70 + 5) = 3 x 200 + 3 x 70 + 3 x 5 = 600 + 210 + 15 = 825

La fel se procedează şi în predarea-învăţarea înmulţirii unui număr de două cifre cu un număr de cel puţin trei cifre.

I. II. 27 x 358 = (20 + 7) x 358 27 x 357= (20 + 7) x (300 + 50 + 7) = 20 x 358 + 7 x 358 = 2 x 10 x 358 + 7 x 358 (se înmulţesc două paranteze) = 7160+ 2506 = 9666 Paralel cu calculul oral scris se va face şi demonstrarea calculului înmulţirii prin calcul

scris. Demonstrarea calculului scris va fi însoţită de explicaţii orale şi va pacurge următorii

paşi:

145

• se aşază convenabil factorii unul sub altul avându-se în vedere următoarele aspecte: • când cel puţin unul din factori se termină în zero; • se scrie pe locul al doilea factorul cu mai puţine cifre căci numărul produselor parţiale este egal cu numărul cifrelor celui de-al doilea factor (dacă acesta nu conţine cifra 0 ). 275 x 475 x 980 x 750 x 2105 x 3 30 56 80 17 ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ se înmulţesc, pe rând, numerele ce reprezintă fiecare ordin din factorul al doilea, considerate ca unităţi simple, cu primul factor; • se adună produsele parţiale obţinute. De exemplu: Primul mod Al doilea mod 25 x 25 x 34 34 ¯¯¯¯ ¯¯¯¯ 100 → produsul parţial 4x25=100 100 x 750 → produsul parţial 30x25=750 75 850 850 Se aşază produsele parţiale unul sub altul, unităţi sub unităţi, zeci sub zeci, sute sub sute

şi apoi se adună. Se observă că cifra 0 de la produsul parţial 750 nu aduce nici o contribuţie la adunare. În această situaţie, acest 0 se poate suprima şi calculul în scris se organizează ca în al doilea mod. Aceasta este forma de calcul în scris care s-a transformat în algoritmul înmulţirii. După aceeaşi metodologie se efectuează şi alte tipuri de înmulţire.

Cazuri aparte le reprezintă înmulţirile cu 10, 100, 1000 etc. La înmulţirea unui număr cu 10, 100, 1000 se aplică acelaşi algoritm al calculului scris şi se constată că primul, al doilea şi, respectiv, al treilea produs parţial este zero şi deci adunarea lor la produsul parţial obţinut prin înmulţirea numărului cu 1, ele nu influenţează rezultatul. Aşadar, pentru a înmulţi un număr cu 10, 100, 1000, se adaugă la sfârşitul numărului care se înmulţeşte unul, două şi, respectiv, trei zerouri (reprezentând cifrele unităţilor, zecilor şi, respectiv, al sutelor), cifrele deînmulţitului reprezentând ordine superioare pentru rezultat cu atâtea ordine câte zerouri are înmulţitorul.

Din aceste considerente, în cazul în care factorul al doilea are o cifră de un anumit ordin zero, la calculul în scris, rezultatul parţial al înmulţirii acestuia cu primul factor nu se mai trece pe linia respectivă, dar trebuie să se aibă grijă ca cifra unităţilor din produsul parţial următor să fie scrisă sub cifra corespunzătoare ordinului pe care îl reprezintă.

O atenţie deosebită se accordă efectuării înmulţirilor cu mai mulţi factori sugerându-li-se elevilor să grupeze convenabil factorii aplicând comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii.

20 x 7 x 5 = (20 x 5) x 7 5 x 9 x 4 x 2 x 25 = (5 x 2) x (4 x 25) x 9 = 100 x 7 = 10 x 100 x 9 = 700 = 1000 x 9

9.4 Împărţirea numerelor naturale

Introducerea operaţiei de împărţire la clasa a III-a se face prin două procedee: • prin scădere repetată; • pe baza tablei înmulţirii

146

La început este bine ca învăţătorul să folosească material concret-intuitiv bogat, variat şi apropiat experienţei de viaţă a copiilor (creioane, bile, beţişoare, nuci, mere, caiete, cărţi, castane, timbre etc.).

După conţinutul problemelor de împărţire, desprinse din situaţiile practice de viaţă, împărţirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee:

a) împărţirea în părţi egale; b) împărţirea prin cuprindere.

Împărţirea în părţi egale Acest procedeu de împărţire este mai accesibil înţelegerii copiilor, exprimarea

întrebuinţată este în concordanţă cu procesul de gândire care are loc, iar justificarea operaţiilor se face fără dificultate. Această împărţire are la bază separarea unei mulţimi în submulţimi disjuncte două câte două, fiecare având acelaşi număr de elemente (echivalente). Se ştie câte submulţimi se formează (numărul lor este egal cu împărţitorul), iar prin împărţire se află câte elemente are fiecare submulţime (câtul).

De exemplu: Dorim să împărţim în mod egal 12 creioane la 4 elevi. Pentru aceasta se repartizează fiecărui elev câte un creion şi mai rămân 8 creioane (12 – 4 = 8). Mai repartizăm câte un creion fiecărui elev şi mai rămân 4 creioane (8 – 4 = 4).Continuăm procedeul de repartizare a creioanelor rămase, acest fapt reflectându-se în scăderea 4–4 = 0. Se constată că am repartizat de trei ori câte un creion fiecărui elev, deci fiecare din cei patru elevi a primit câte trei creioane. Formulăm acest fapt astfel: 12 creioane împărţite în mod egal la 4 elevi dau 3 creioane de fiecare. Acest lucru se scrie astfel:

12 – 4 = 8 8 – 4 = 4 sau 12: 4 = 3 4 – 4 = 0 Deci s-au format 4 submulţimi şi s-au repartizat elementele astfel încât submulţimile

să aibă tot atâtea elemente. Pentru aflarea rezultatului (câtului) numărăm elementele fiecărei submulţimi. Reprezentarea simbolică a acestei împărţiri este următoarea:

* * * * * * * * * * * *

* * *

* * *

* * *

* * *

Simbolul operaţiei de împărţire este ,,:” care se citeşte ,,împărţit”. Numărul care se

împarte (12) se numeşte deîmpărţit (D), iar cel la care se împarte (4) se numeşte împărţitor (Î). Rezultatul împărţirii (3) se numeşte cât (C). În acest tip de împărţire, câtul este egal cu numărul de scăderi ale lui 4 din 12.

Scăderea repetată se foloseşte numai la început, când se introduce operaţia de împărţire, când se pune în evidenţă cu ajutorul materialului intuitiv, semnificaţia acestei operaţii. Pe măsură ce se formează noţiunea de împărţire ca scădere repetată, se va folosi legătura ei cu înmulţirea, scoţându-se în evidenţă faptul că rezultatele ei se găsesc rapid folosind tabla înmulţirii.

De exemplu: spunem elevilor că 12: 4 = 3, deoarece 4 x 3 = 12. Aceasta înseamnă că efectuăm operaţia de împărţire pe baza operaţiei de înmulţire. Împărţirea prin cuprindere

Acest procedeu se bazează pe separarea unei mulţimi în submulţimi disjuncte două câte două, cu acelaşi număr de elemente, egal cu împărţitorul. Cunoscându-se câte elemente are fiecare submulţime, prin operaţia de împărţire se află câte submulţimi se formează. Acest

147

mod de împărţire prezintă un grad mai mare de dificultate, întrucât nu se poate ilustra în mod concret şi atăt de uşor ca la împărţirea în părţi egale.

De exemplu: Dorim să împărţim 12 creioane, câte 4 fiecărui elev. Câţi elevi vor primi creioane? În rezolvarea acestei probleme se parcurg următorii paşi: ● se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul de obiecte primit de

fiecare elev; ● se iau 4 creioane şi se repartizează primului copil, se mai iau 4 creioane şi se repartizează celui

de-al doilea copil ş.a.m.d. până ce nu mai rămâne nici un creion nerepartizat; ● se numără câte scăderi s-au efectuat ele reprezentând câtul împărţirii adică numărul de

elevi care au primit câte 4 creioane. Se efectuează 3 scăderi (12 – 4 = 8; 8 – 4 = 4; 4 – 4 = 0), înseamnă că 3 elevi pot primi

câte 4 creioane. Se scrie 12 : 4 = 3 Reprezentarea simbolică a împărţirii prin cuprindere e următoarea:

* * * * * * * * * * * *

* * *

*

* *

* * *

12 4 4 4 12 – 4 – 4 – 4 = 0 12: 4 = 3 Deci s-au format submulţimi cu câte 4 elemente (împărţitorul) şi se numără

submulţimile formate pentru aflarea câtului. Atât la împărţirea în părţi egale, cât şi la împărţirea prin cuprindere, pentru efectuarea

împărţirii se fac scăderi repetate. Observaţie: La împărţirea în părţi egale cunoaştem numărul părţilor egale, dar nu

cunoaştem câte elemente sunt în fiecare parte. La împărţirea prin cuprindere cunoaştem câte elemente are o parte, dar nu cunoaştem câte părţi egale se formează. Cadrul didactic trebuie să dea exemple clare de situaţii problemă care conduc fie la împărţirea în părţi egale, fie la împărţirea prin cuprindere.

Pentru a sesiza ce este esenţial la fiecare procedeu de împărţire se recomandă rezolvarea unor probleme simple în care operaţia de împărţire este aceeaşi, dar conţinutul problemei conduce la procedee diferite pentru efectuarea împărţirii.

Pentru împărţirea 27: 3 se rezolvă problemele următoare: a) Elevii clasei a IV-a B au răsădit 27 panseluţe pe 3 rânduri, în mod egal. Câte panseluţe sunt pe fiecare rând? (împărţire în părţi egale) b) Elevii clasei a IV- B au răsădit 27 panseluţe, câte 3 pe un rând. Câte rânduri sunt? (împărţire prin cuprindere) După ce elevii şi-au însuşit conştient noţiunile de împărţire în părţi egale şi prin

cuprindere, se trece la alcătuirea tablei împărţirii, folosind, în special, legătura dintre înmulţire şi împărţire. În această situaţie, stabilirea rezultatelor împărţirii se bazează pe tabla înmulţirii. Împărţirea devine astfel operaţia inversă înmulţirii.

De exemplu, din tabla înmulţirii cu 2 se deduce tabla împărţirii la 2. 0 x 2 = 0, rezultă că 0 : 2 = 0 1 x 2 = 2, rezultă că 2 : 2 = 1 2 x 2 = 4, rezultă că 4 : 2 = 2 …….. ……… 10 x 2 =20, rezultă că 20 : 2 = 10

148

* * *

Etapele metodologice parcurse în predarea-învăţarea tablei împărţirii la clasa a III-a sunt: (exemplificarea o vom face pe tema “Împărţirea la 2”):

1) Se scrie tabla împărţirii la 2 făcându-se legătura cu înmulţirea; 2) Se introduce şi se întăreşte terminologia specifică : deîmpărţit, împărţitor, cât,“de

atâtea ori mai puţin”, jumătate, doime etc. 3) Se fac exerciţii-joc de aflare a câtului când se cunosc cei doi termeni în scopul

memorării tablei împărţirii la 2. 4) Se fac exerciţii pentru însuşirea procedeelor de realizare a probei împărţirii: prin

înmulţirea câtului cu împărţitorul se va obţine deîmpărţitul sau prin împărţirea deîmpărţitului la cât pentru a obţine împărţitorul.

5) Se fac exerciţii de aflare a termenului necunoscut de tipul : a) Completaţi: _ : 2 = 6 14 : _ = 7

b) Completaţi tabelul :

6) Se rezolvă probleme simple pentru a se face legătura cu limbajul specific care duce la

efectuarea operaţiei de împărţire : • micşorat de 2 ori; • de două ori mai mic/mai puţin; • scade de două ori; • jumătatea numărului “X”; • doimea numărului “X”; • câtul numerelor “X” şi 2 (X nr. par ≤20) După predarea-învăţarea tablei împărţirii până la 10 se intervine cu alte sarcini care au

drept scop cunoaşterea, fixarea şi aplicarea tablei înmulţirii şi împărţiri: ● rezolvarea de exerciţii care să scoată în evidenţă proprietatea de distributivitate a

operaţiei de împărţire (dar şi de înmulţire) faţă de adunare şi scădere; Observaţie: Fiecare termen al sumei / diferenţei trebuie să se împartă exact la

împărţitor. ●rezolvarea de exerciţii mai complexe în care să intervină cele patru operaţii aritmetice; ●rezolvarea şi compunerea de probleme compuse în care se pune în evidenţă diferenţa

dintre împărţire şi scădere : - de atâtea ori mai mic; - cu atât mai mic. La însuşirea algoritmilor de efectuare a împărţirii numerelor de două sau mai multe cifre

la un număr de o cifră se va face apel permanent la cunoştinţele anterioare ale elevilor. De exemplu, împărţirea unui număr mai mic decât 100 la un număr de o cifră (52: 4) se

va efectua prin: - scădere repetată 52 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 = 0 - calcul desfăşurat care cuprinde următoarele etape: a) se descompune convenabil deîmpărţitul într-o sumă formată din termeni care să se

împartă exact la împărţitor; b) se împarte fiecare termen al sumei la numărul dat; c) se adună câturile obţinute 52: 4 = (40 + 12): 4 = 40: 4 + 1: 4 = 10 + 3 =13

a 20 18 b 2 2 2

a : b 5 8 2 9 5

149

- calculul scris care se organizează astfel: a) se împart zecile deîmpărţitului la împărţitor; b) restul obţinut se transformă în unităţi şi se adună cu unităţile pe care le-a avut

deîmpărţitul;

Spunem: 4 se cuprinde în 5 o dată. Verificăm (înmulţire, scădere, compararea restului cu împărţitorul); 1 este prima cifră a câtului, pe locul zecilor. Transformăm 1 zece (restul) în unităţi; apoi 10 + 2 = 12 (unităţi); 4 se cuprinde în 12 de 3 ori. Verificăm. 3 este a doua cifră a câtului, pe locul unităţilor. În însuşirea tehnicilor de calcul se va pune accent deosebit pe verbalizarea calculelor de către elevi.

La împărţirile mai dificile (cu numere mai mari) se va folosi preponderent doar calculul în scris.

De exemplu: 896 : 7 Această împărţire va începe ca şi celelalte cazuri de împărţire învăţate, de la ordinul mai

mare. Se aplică tehnica de calcul cunoscută parcurgându-se următorii paşi: Pasul I: Spunem: 7 se cuprinde în 8 o dată. Verificăm prin înmulţire, scădere şi

compararea restului cu împărţitorul : 1 x 7 = 7 8 – 7 = 1 1 < 7 Pasul II. Transformăm restul de 1 sute în zeci; 10 + 9 = 19 (zeci); 7 se cuprinde în 19

de 2 ori. Verificăm. Pasul III. Transformăm noul rest de 5 zeci în unităţi; 50 + 6 = 56 (unităţi); 7 se

cuprinde în 56 de 8 ori. Verificăm. Câtul este 128, restul 0. Exerciţiul se va încheia cu efectuarea probei împărţirii prin înmulţire : 128 x 7 = 896 Î x C = D Un caz aparte în predarea-învăţarea operaţiei de împărţire îl constituie împărţirea cu

rest (deîmpărţitul nu se împarte exact la împărţitor). Odată cu introducerea elevilor în împărţirea cu rest, îşi face loc, în explicaţie, o

imprecizie. Este vorba de criteriul de demarcaţie între aşa-zisa împărţire care se face exact şi împărţirea care nu se face exact şi anume prezenţa sau absenţa restului. Se pare că mai corect este să vorbim nu de împărţiri care se fac exact sau inexact (împărţirea, atât cât se face, se face exact, adică fără eroare), ci de împărţiri care se fac complet sau incomplet, în funcţie de faptul dacă, în cursul împărţirii, deîmpărţitul poate fi sau nu divizat până la capăt. Un rest există întotdeauna, el fiind zero sau mai mult. Elementul ce pare a fi nou aici şi către care trebuie orientată sarcina de învăţare nu este atât conceptul de rest care vine să completeze terminologia împărţirii, cât efectul de resemnificare a câtului (până acum elevii învăţaseră de câte ori deîmpărţitul este mai mare decât împărţitorul, de câte ori împărţitorul este mai mic decât deîmpărţitul, de câte ori împărţitorul se cuprinde în deîmpărţit) în condiţiile împărţirii cu rest, în sensul că uneori câtul este, alteori nu este un măsurător complet al relaţiei cantitative dintre deîmpărţit şi împărţitor, în funcţie de faptul dacă : r = 0 sau r >0.

Primele exerciţii de împărţire cu rest trebuie să se bazeze pe probleme-acţiune, pe acţiuni ce se petrec în faţa elevilor şi care le sunt familiale prin experienţa lor de viaţă. Aceste prime exerciţii de efectuare a împărţirilor cu rest trebuie să se bazeze pe probleme cu date concret-intuitive. Se extind aceste constatări la alte cazuri cu date concrete, apoi la altele cu date semiconcrete şi abstracte.

În predarea-învăţarea împărţirii cu rest se va folosi atât procedeul de împărţire în părţi egale, cât şi prin cuprindere şi se va observa că rezultatul este acelaşi. De fapt, folosirea celor

150

c) această sumă de unităţi se împarte la împărţitor.

două procedee se rezumă la efectuarea de scăderi repetate. Câtul împărţirii este dat de numărul de scăderi repetate efectuate, iar restul împărţirii este restul ultimei scăderi posibile.

De exemplu: Dorim să împărţim în mod egal 14 creioane la 3 copii. Vom recurge la şirul de scăderi repetate cu scăzătorul 3:

14 – 3 = 11; 11 – 3 = 8; 8 – 3 = 5; 5 – 3 = 2 Rămân 2 creioane rest, deoarece scăderea 2 – 3 nu este posibilă. Deoarece am efectuat

patru scăderi repetate, înseamnă că am dat fiecărui copil câte 4 creioane. Spunem că această împărţire are câtul 4 şi restul 2 şi scriem 14 : 3 = 4 (rest 2). Reprezentarea simbolică a acestei împărţiri este următoarea:

* * * * * * * * * * * *

* * * *

* * * *

* * * *

* * Pentru verificarea corectitudinii acestei împărţiri putem efectua operaţia : 3 x 4 + 2 = 14

Produsul 3 x 4 reprezintă numărul de creioane care a fost distribuit copiilor. La acest produs am adăugat numărul de creioane care nu a fost distribuit. După efectuarea calculului am obţinut rezultatul 14 (numărul iniţial de creioane) şi spunem că împărţirea a fost efectuată corect. Scrierea 14 : 3 = 4 (rest 2) este echivalentă cu scrierea14=3x4+2

Numărul 14 se numeşte deîmpărţit, numărul 3 se numeşte împărţitor, numărul 4 se numeşte cât, iar 2 se numeşte rest. Se observă că restul este mai mic decât împărţitorul (2 < 3). La împărţirea cu rest, elevii trebuie să înţeleagă faptul că, dacă se dau două numere naturale D şi Î, cu Î ≠ 0, există în mod unic două numere naturale C şi r, r < Î, astfel încât D = Î x C + r . De fapt, dacă împărţirea directă este D: Î = C (rest r), proba ei înseamnă verificarea relaţiilor: D = Î x C + r cu r < Î

Observaţie: Când efectuăm proba, trebuie să verificăm ambele relaţii. De exemplu: 78: 4 = (40 + 38) : 4 = 40: 4 + 38: 4 = 10 + 9 (rest 2) = 19 (rest 2) Proba: 19 x 4 + 2 = 78 2 < 4 În mod asemănător se efectuează împărţirea când deîmpărţitul este format din sute, zeci

şi unităţi. Pentru înţelegerea şi consolidarea operaţiilor studiate, cadrul didactic are sarcina să le prezinte elevilor cât mai multe situaţii practice în care aceştia să identifice astfel de operaţii, să îmbine armonios în cadrul activităţii de predare-învăţare metodele tradiţionale cu cele alternative.

151

CAPITOLUL 10

Conceptele de mărime, măsurare şi măsură în învăţământul primar Metodologia predării-învăţării unităţilor de măsură

10.1 Noţiunea de măsură; conservarea măsurii.

Măsura nu este un simplu mijloc tehnic de apreciere cantitativă, ci reprezintă indiciul şi

rezultatul trecerii de la compararea directă şi globală a obiectelor, aşa cum apar ele în percepţie, la aprecierea lor după rezultatele măsurării prealabile. Cu ajutorul ei se stabileşte invarianţa unei anumite mărimi, atunci când se modifică numai configuraţia ei externă.

Unitatea de măsură este cea care permite transformarea mărimilor concrete în mulţimi matematice şi mai departe compararea lor pe calea raportării biunivoce.

Folosirea unor unităţi de măsură diferite permite desprinderea unor însuşiri diferite ale obiectului şi, datorită acestui fapt, se produce depăşirea caracterului global al aprecierii directe.

Posibilitatea folosirii diferitelor unităţi de măsură pune problema respectării stricte a regulii comparării numai pentru mărimi care au fost măsurate cu aceeaşi unitate de măsură. Acţiunea de măsurare este îndeplinită cu uşurinţă de copii şi aceasta poate fi folosită pentru a asigura logica apariţiei numărului şi a primelor noţiuni matematice.

Constantele perceptive şi conservările operatorii constau în conservarea unei anumite proprietăţi a obiectului atunci când:

• mărimea sa reală sau forma sa aparentă sunt modificate; • cantitatea de materie ori greutatea obiectului rămâne neschimbată (în cazul conservării

operatorii), când se toarnă un lichid dintr-un recipient într-altul sau se modifică, de pildă, forma unei bucăţi de plastilină.

Folosirea acţiunii de delimitare a mărimilor egale cu unitatea de măsură nu încetează odată cu introducerea numerelor. Importanţa acestei acţiuni, nu numai în perioada prenumerică, ci şi în cea a lucrului cu numere, constă în faptul că ea dă posibilitatea copilului să cunoască intuitiv structura numărului, sensul acţiunilor cu numere, componenţa şi relaţiile dintre numere.

Priceperea de a desprinde în obiect diferitele sale însuşiri şi a le măsura pe fiecare în parte reprezintă condiţia necesară pentru însuşirea principiului conservării. Copiii se angajează cu plăcere în sarcina de a determina ce se potriveşte după mărime şi ce nu, ce este mai mare, mai mic sau „la fel” etc.

• se precizează copiilor că unitatea de măsură nu se poate folosi la întâmplare, că la fiecare aplicare a unităţii de măsură trebuie făcută o însemnare, că unul şi acelaşi lucru poate fi măsurat în diferite moduri: după lungime, după suprafaţă, după volum, după greutate, dar şi cu diferite unităţi de măsurare, rezultatele diferite ale măsurării fiind echivalente.

Trebuie făcută o deosebire între unitatea de măsură ca instrument pentru diferenţierea parametrilor unui obiect (cu descoperirea invarianţei în privinţa unuia dintre ei) şi numărul cu ajutorul căruia se marchează şi se fixează ceea ce s-a măsurat şi care este purtător de informaţii. Cu ajutorul lor, copiii pot face comparări prenumerice ale unor mărimi.

• se pot prezenta copiilor, într-o ordine întâmplătoare, două categorii de figurine (mai multe decât pot ei număra). Singura posibilitate prin care pot ei determina în care categorie sunt mai multe (puţine) este punerea în perechi, procedeu prin care se poate obţine un răspuns corect;

• se solicită copiilor compararea a două obiecte cu ajutorul unui al treilea (o panglică de hârtie colorată). Se demonstrează tehnica utilizării panglicii colorate;

153

• se compară lungimea a două linii frânte măsurându-le cu o „fâşie” mai mică, concomitent marcând prin semne partea măsurată.

Organizând astfel de sarcini de învăţare, copiii decodifică diferitele însuşiri ale obiectelor, diferenţiază treptat, în obiecte, parametri diferiţi şi învaţă să aprecieze mărimea unor obiecte nu global, ci relaţionat cu unele însuşiri.

Se poate trece apoi la determinarea, prin experienţe, a greutăţii, lungimii, volumului, suprafeţei, distanţei.

Pentru început, copiii trebuie să măsoare parametrii atât înainte de schimbarea configuraţiei obiectului, cât şi după schimbarea ei. Corect şi într-o formă prescurtată, după regula „Nimic n-am adăugat, nimic n-am luat”, copilul rezolvă probleme referitoare la conservarea lungimii, greutăţii, volumului, suprafeţei. Separarea parametrilor şi măsurarea fiecăruia la începutul experienţei reprezintă fundamentul noţiunii de „conservare a cantităţii”.

Formarea deprinderii de lucru presupune: • introducerea măsurii (cu diferenţiere calitativă şi cantitativă); • separarea cu ajutorul ei a diferiţilor parametri; • transformarea unor mărimi; • raportarea lor biunivocă; • compararea şi apoi introducerea numerelor şi a operaţiilor cu numere. Sugestii în organizarea şi realizarea unor situaţii de învăţare pentru formarea noţiunii de

conservare a măsurii 1. Se iniţiază acţiuni practice de împărţire a unei mulţimi de obiecte în două părţi egale,

respectiv în 4 părţi egale, fără a utiliza numeraţia. • se urmăreşte sesizarea echivalenţei; • materialele cu care se lucrează să fie cunoscute, familiare copiilor, să solicite interes. 2. Educatoarea/învăţătorul propune efectuarea unor exerciţii de măsurare a unei cantităţi

de lichid cu ajutorul a trei sticle (de un litru, jumătate de litru, un sfert de litru). 3. Cu ajutorul a două cantităţi egale de plastilină, se iniţiază exerciţii de transformare a

formei, pe rând, a fiecărei cantităţi şi, concomitent, se utilizează pentru cântărire o balanţă. 4. Se continuă cu un exerciţiu de împărţire a unui disc în 2 jumătăţi şi apoi în 4 sferturi;

prin suprapunere, se măsoară şi se determină corectitudinea împărţirii, se reconstituie întregul din părţile sale.

5. Se solicită copiilor să găsească „mijlocul unei sfori”. • se lasă libertatea de acţiune copiilor prin încercare-eroare-reglare; • exerciţiul se desfăşoară semidirijat sau liber, funcţie de nivelul grupei/clasei. 6. În două sticle identice se pune lichid uşor colorat, la acelaşi nivel. Se schimbă, pe

rând, poziţia lor, iar prin întrebări – „Unde este mai multă apă?”, „Dar acum?” – se urmăreşte argumentarea aprecierilor.

7. Se iniţiază exerciţii practice de măsurare a capacităţii unor lichide din 3 vase, dintre care două sunt de aceeaşi formă.

• în primul exerciţiu se familiarizează copiii cu tehnica de măsurare, luând ca unitate de măsură un alt vas (ceşcuţă), în care se toarnă aceeaşi cantitate de lichid;

• în al doilea exerciţiu, se urmăreşte gradul de înţelegere şi asimilare a conservării volumului prin turnarea unui lichid dintr-un vas în altul (unul dintre ele este diferit).

8. Se prezintă copiilor 4 vase, 3 dintre ele sunt la fel. În primele două sunt cantităţi egale de boabe (fasole, porumb etc.). Cantitatea de boabe din primul se toarnă în al treilea, iar cantitatea din al doilea în al patrulea. Copiii sunt întrebaţi în care vas sunt mai multe boabe; afirmaţiile copiilor sunt verificate (cu ajutorul lor) folosindu-se de vasul „unitate de măsură”.

9. Se iniţiază experienţe, prin exerciţii de cântărire a unor obiecte din acelaşi material şi de aceeaşi formă cu obiectele „unitate de măsură”, de dimensiuni diferite.

154

• Se poate cântări un cui mare cu ajutorul mai multor cuie mai mici: se observă că diferenţa de dimensiune determină diferenţa de greutate; se stabileşte de câte ori obiectul „de cântărit” este mai greu decât obiectul „unitate de măsură”.

• Se pot introduce, ca unitate de măsură, şi alte obiecte din alt material (cretă, nasturi): se observă că greutatea nu depinde numai de volum, ci şi de substanţa din care este format obiectul; se solicită comparaţii între numărul de obiecte „unitate de măsură”

folosite pentru două cântăriri succesive (cuie mici, cretă). • Se realizează exerciţii de cântărire în vederea înţelegerii de către copii a faptului că

schimbarea greutăţii nu este posibilă decât prin modificarea cantităţii (similare cu cele din viaţa cotidiană: cântărirea de legume, fructe).

10. Exerciţiu de cântărire a unui obiect ce-şi poate schimba forma (pânză, hârtie, plasti- lină etc.) – forma nu influenţează masa;

11. Pentru conservarea numerică se pot utiliza, de exemplu, 10 triunghiuri roşii şi 10 pătrate albastre:

• se aşază triunghiurile în şir, iar copiilor li se solicită să aşeze „tot atâtea” pătrate câte triunghiuri sunt în şir; • se apropie triunghiurile, unul lângă altul, pătratele rămânând în aceeaşi poziţie; • se îndepărtează triunghiurile mai mult decât în primul caz. Realizând aceste experienţe prin exerciţii cu obiecte reale, delimitând pentru acestea

parametrii mărimilor, preşcolarii vor învăţa să compare aceste obiecte după o mărime fizică sau alta, determinând egalitatea sau inegalitatea lor.

Surprinderea invarianţei, a ceea ce este constant şi identic în situaţii diferite, se bazează pe capacitatea de coordonare a operaţiilor gândirii, care sprijină înţelegerea reversibilităţii – capacitatea de efectuare în sens invers a drumului de la o operaţie la alta.

Tema Compararea dimensiunilor obiectelor date, prin măsurare. Orientarea în sarcina de învăţare şi rezolvarea acesteia Sarcina 1 • Educatoarea măsoară lungimea camerei de la fereastră până la masă cu ajutorul

paşilor. • Un copil, la tablă, va trasa tot atâtea linii câţi paşi de-ai educatoarei a numărat;

concomitent vor trasa individual, pe fişe, toţi copiii. • După acelaşi procedeu, cu ajutorul unui copil, se măsoară distanţa de la fereastră la

uşă. • Copiii vor trasa pe fişă, sub primul rând de linii, tot atâtea linii câţi paşi de-ai copilului

au numărat. • Se solicită compararea celor două şiruri de liniuţe, prin formare de perechi, constatând

că, „de la fereastră la uşă”, s-au făcut mai mulţi/puţini paşi; deşi distanţa este aceeaşi, numărul de paşi obţinuţi este influenţat de mărimea pasului.

• se numără liniuţele şi se motivează rezultatul acţiunii. Sarcina 2 Aceeaşi distanţă se măsoară cu o sfoară; se suprapun cele două sfori şi se observă care

este mai lungă/scurtă. • Copiii vor măsura independent diferite lungimi, folosind acelaşi etalon; • copiii vor măsura aceeaşi lungime cu etaloane diferite.

155

CAPITOLUL 11

Metodologia predării-învăţării elementelor de geometrie

11.1. Scurt istoric

Istoria geometriei se pierde în negura timpurilor. Herodot, istoric antic, spunea că în fiecare primăvară, după retragerea apelor Nilului, cultivatorii pământului din Egipt erau nevoiţi să măsoare terenurile agricole pentru restabilirea hotarelor dintre terenurile cultivate. Civilizaţia egipteană a extins din punct de vedere practic explicarea cunoştinţelor de geometrie, în lucrări de irigaţii, în proiectarea măreţelor temple, şi monumente funerare.

De altfel, existenţa nemuritoarelor piramide egiptene este dovada ce atestă existenţa unor serioase cunoştinţe de geometrie încă din acele timpuri. Egiptenii au dezvoltat geometria mai ales sub forma imaginilor. Această etapă a dezvoltării geometriei este cunoscută sub denumirea de stadiul imaginilor sau al contemplării directe a figurilor.

Trecând din Egipt în Grecia, geometria cunoaşte o dezvoltare nemaiîntâlnită nu numai sub aspect practic, ci mai ales sub aspect teoretic. Dezvoltarea relaţiilor socio-economice a condus la aprofundarea cercetării şi studiilor teoretice. Filosofii greci au preluat cunoştinţele de geometrie de la egipteni, au sistematizat aceste cunoştinţe, au formulat raţionamente pe baza cărora au descoperit relaţii noi.

Euclid a fost creatorul primei lucrări sistematice de geometrie ( sec. al III-lea î.e.n.) prin care s-au pus bazele ştiinţifice ale geometriei. Lucrarea în care expune sistematic cunoştinţele de geometrie de până atunci, a fost intitulată “Elementele” şi a constituit timp de două milenii punctul de plecare şi modelul tuturor lucrărilor ulterioare de geometrie. Apariţia acestei lucrări arată nivelul înalt la care ajunsese gândirea ştiinţifică în antichitate, iar momentul respectiv marchează trecerea de la stadiul imaginilor în geometrie la cel al noţiunilor.

Sintetizând distingem următoarele etape: 1. Geometria empirică (până la aproximativ anul 600 î.e.n.) se dezvoltă în special la

egipteni. Ca obiect, geometria este strâns legată de nevoi practice imediate. 2. Geometria preeuclidiană ( aproximativ 600-300 î.e.n.) se dezvoltă în Grecia antică în

şcoli închise (Thales, Pitagora, Platon etc.). Ca metodă, adevărul se stabileşte prin raţionament, prin deducţie logică. Thales făcea trecerea între geometria egipteană si cea greacă.

3. Geometria euclidiană (anii 300 – 200 î.e.n.). Adevărurile geometrice acumulate în perioada precedentă se încadrează într-un sistem

logic – deductiv. Prima prezentare axiomatică sau pur deductivă a fost dată de Euclid. Se fac şi cercetări euristice – descoperiri de adevăruri noi (Arhimede se ocupă de cercetări geometrice legate de mecanică, fizică, tehnică, rezolvă probleme legate de calculul ariilor şi volumelor.

4. Etapa de declin şi stagnare ( anii 200 î.e.n. şi 600-1500 e.n.). Apar cercetări mai puţin importante, care nu fac decât să îl completeze pe Euclid.

5. Etapa modernă ( din sec.al XVI-lea până în prezent). Din relaţiile geometriei cu alte discipline matematice apar: - algebra elementară, metoda coordonatelor în geometria analitică (Descartes, 1637);

analiza matematică, apar probleme şi metode noi (teoria curbelor şi suprafeţelor, geometria diferenţială);

- algebra modernă, probleme şi clasificări noi (geometria proiectivă, afină, metrică).

157

Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost dat de către D. Hilbert, în 1899. Axiomatica apare ca un sistem închegat, de sine stătător – axiomele sunt punctul de plecare; în evoluţia istorică ele sunt un rezultat al unui îndelung proces de clarificare.

11.2 Învăţarea geometriei în ciclul primar

Din punct de vedere instructiv, studiul geometriei în clasele I-IV urmăreşte înarmarea

elevilor cu un sistem de cunoştinţe coerent şi bine structurat despre formele obiectelor lumii reale, mărimea şi proprietăţile acestora, efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor mărimi şi distanţe, formarea şi dezvoltarea reprezentărilor spaţiale, calcularea perimetrului şi a ariei unor figuri.

În ciclul primar, prin predarea geometriei se urmăreşte ca elevii să-şi formeze deprinderi de observaţie şi descriere a corpurilor şi figurilor geometrice

Activitatea de observare şi de cercetare experimentală a realităţii, desfăşurate de învăţător cu elevii în vederea descoperirii (redescoperirii) propoziţiilor geometriei, determină la aceştia formarea de reprezentări active, de suporturi imaginative în plan spaţial, foarte necesare în însuşirea ulterioară a cunoştinţelor de geometrie şi în aplicarea acestora. În plus, prin însuşi specificul lor, lecţiile de geometrie angajează elevii într-o activitate intensă prin care li se cere să observe, să descrie, să construiască, să facă măsurători, să facă şi calcule, să rezolve probleme.

Aceasta impune ca studiul geometriei să înceapă prin procese intuitive, pe cale inductivă, cercetarea directă prin văz, pipăit, manipularea mai multor obiecte din realitatea înconjurătoare, în diverse poziţii în vederea descoperirii caracteristicilor comune care conturează imaginea geometrică. Aceste imagini se concretizează apoi prin modele geometrice şi prin desen.

Noţiunile primare de geometrie predate în ciclul primar nu pot fi însuşite de elevi ca abstracţii depline. Elevii vor ajunge treptat la stadiul înţelegerii noţiunilor geometrice, după ce vor măsura, vor decupa şi compara anumite figuri geometrice.

Procesul de formare a noţiunilor geometrice parcurge mai multe faze: A. Intuirea obiectelor din mediul înconjurător care evidenţiază materializat noţiunea

(dreptunghi, pătrat, disc, etc.) cu dirijarea atenţiei elevilor spre ceea ce interesează a fi observat.

B. Analizare prin/şi comparare a proprietăţilor intuite anterior, pe un material didactic (model obiectual în formă de dreptunghi, pătrat, disc, etc.).

C. Reprezentarea prin desen (nivel iconic) a noţiunii intuite şi materializate didactic indicând elementele componente observate, notând, evidenţiind, proprietăţi caracteristice.

D. Enunţarea unei definiţii (dacă e posibil prin analiza genului proxim - patrulater cu laturi opuse paralele (pentru dreptunghi) şi a diferenţei specifice – având unghiuri drepte) sau stabilirea proprietăţilor caracteristice conţinutului noţiunii (poligon – o linie frântă închisă; care “nu se taie pe ea însăşi” şi nu conţine trei vârfuri pe aceeaşi dreaptă).

E. Identificarea noţiunii (figurii) şi în alte situaţii corespunzătoare din mediul înconjurător, decât cele semnalate la A.

F. Construirea materializată a noţiunii (figurii) folosind carton, hârtii, etc. şi instrumente geometrice (prin operaţii de pliere se pot pune în evidenţă axele de simetrie ale unei figuri; prin tăiere şi suprapunere a părţilor astfel obţinute se pot deduce proprietăţi ale paralelogramului – exerciţii de manifestare a capacităţii de deducţie în geometrie.

G. Efectuarea unor operaţii de clasificare prin suprapunere după formă, după proprietăţi,

etc.

158

H. Rezolvarea unor exerciţii şi probleme cu conţinut geometric în combinaţie cu alte metode: figurativă, reducere la unitate; cu probleme de măsurare şi utilizare a unităţilor de măsură pentru lungime; de realizare a transferului de strategie rezolutivă la probleme mai puţin cunoscute, în situaţii geometrice noi.

În ciclul primar se realizează primele două faze. Materialul didactic este folosit pentru observarea proprietăţilor şi justificarea lor. În utilizarea materialului didactic trebuie respectate câteva condiţii legate atât de

materialul confecţionat cât şi de modul în care este folosit de învăţător şi de elevi. Materialul didactic confecţionat trebuie : - să aibă dimensiunile suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate, din orice punct al

clasei - să aibă o formă estetică atractivă, - să fie expresia fidelă a ceea ce vrea să reprezinte; - să contribuie la uşurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate,

a elementelor sale şi a relaţiilor ce există între ele; - să se adreseze elevilor respectând particularităţile lor de vârstă. O insuficientă valorificare a materialului didactic duce la însuşirea formală

a cunoştinţelor, influenţând negativ procesul formării reprezentărilor spaţiale. De un real folos sunt figurile geometrice confecţionate din lemn, carton, plastic, metal, pe care le poate mânui fiecare elev în parte şi instrumentele necesare care sunt rigla şi echerul. Obiectele din realitatea înconjurătoare care au feţe sub formă de pătrat, triunghi sunt observate cu mult interes de elevi şi reprezintă un material didactic specific momentului în care sunt folosite.

În predarea şi învăţarea elementelor de geometrie din ciclul primar, metodele care contribuie la dezvoltarea spiritului de investigare, a imaginaţiei şi creativităţii elevilor sunt: problematizarea şi învăţarea prin descoperire, prin care elevii sunt conduşi ca prin eforturi proprii să ajungă la descoperirea unor adevăruri.

Problematizarea este o metodă care solicită elevului un efort intelectual orientat spre descoperirea de noi cunoştinţe sau procedee de acţiune şi de verificare a soluţiilor găsite. Problematizarea dezvoltă la elev gândirea independentă productivă, scheme operatorii şi asigură motivaţia intrinsecă a învăţării.

Situaţia problemă reprezintă o sarcină cu caracter de noutate, prin a cărei rezolvare îşi însuşeşte noi cunoştinţe.

Situaţie problemă: la predarea pătratului se propune elevilor o problemă a cărei rezolvare urmăreşte legătura cu lecţia nouă.

Construiţi un dreptunghi cu L=4 cm, iar lăţimea egală cu atâţia cm cât arată raportul nr. 32 şi 8.

Observaţi şi spuneţi ce constataţi? Ce figură geometrică aţi obţinut? Învăţarea prin descoperire, metodă euristică ce constă în crearea condiţiilor pentru ca

elevii să descopere prin efort propriu proprietăţi ale formelor geometrice pornind de la relaţia care se stabileşte între cunoştinţele anterioare şi cele la care se ajunge. Se disting trei variante ale descoperirii:

- descoperirea inductivă (când pe baza unor date şi cunoştinţe particulare sunt dobândite cunoştinţe şi se efectuează operaţii cu un grad mai înalt de generalitate);

- descoperirea deductivă (când pe baza unor date şi cunoştinţe generale sunt dobândite cunoştinţe care conduc la concluzii particulare);

- descoperirea transductivă (prin stabilirea unor relaţii analogice între diverse serii de date).

La clasele I-IV în predarea elementelor de geometrie este mai accesibilă elevilor descoperirea inductivă.

159

Cea mai eficientă modalitate de înţelegere a unui fapt geometric, a unei proprietăţi este deci prin descoperirea acestora. Dacă elevul descoperă prin observarea figurilor o proprietate, o va înţelege şi reţine mai uşor.

Proprietăţile diagonalelor pătratului de a avea lungimi egale şi de a se înjumătăţi sunt astfel înţelese dacă elevii observă mai întâi concret pe o figură din hârtie - un pătrat cu diagonalele trasate, diferit colorate - elevii pliază hârtia după axele de simetrie formate de diagonale, vor observa că jumătăţile fiecărei diagonale coincid prin suprapunere. Deci, elevii descoperă că cele două diagonale au lungimi egale şi se înjumătăţesc.

Metoda învăţării prin descoperire poate fi folosită cu succes şi în rezolvarea problemelor. Descoperirea are un rol formativ, pentru că dezvoltă: percepţia, memoria, gândirea, limbajul.

Dintre metodele intuitive, bazate pe observarea directă, concret senzorială, a obiectelor şi fenomenelor realităţii sau a substitutelor acestora sunt observaţia şi demonstraţia.

Observaţia este o metodă de cunoaştere directă a realităţii, elevul aflându-se în contact direct, senzorial, cu realitatea.

Observaţia, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoaşterii, permite formarea de reprezentări clare despre obiecte şi însuşirile caracteristice ale acestora. Această metodă apare însoţită de explicaţie, ultima fiind elementul de dirijare a observaţiei spre scopul propus.

În cadrul lecţiilor cu conţinut geometric vom încerca să-i facem pe elevi să observe anumite obiecte cu forme de cub, sferă, cilindru, con, cuboid, piramidă, să observe şi să descrie proprietăţile simple ale unor figuri geometrice.

Exemplu: Predarea – învăţarea liniei frânte. Se prezintă elevilor metrul de tâmplărie perfect întins, sugerând imaginea unei drepte.

Se “frânge” în dreptul articulaţiilor mobile, se sprijină pe tablă şi se desenează conturul lui. După înlăturarea metrului copiii observă desenul:

Se prezintă elevilor o bucată de aţă subţire bine întinsă, asemănată cu o linie dreaptă.

Construiesc cu această aţă o linie frântă urmărind un traseu din cuişoare bătute în placaj. Observaţi şi spuneţi ce s-a întâmplat cu bucata de aţă ? Acestea sunt linii drepte ? (Nu, sunt “linii frânte”).

Demonstraţia este metoda învăţării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obţine reflectarea obiectului învăţării la nivelul percepţiei şi reprezentării.

O situaţie matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate şi explicate de învăţător. Eficienţa demonstraţiei ca metodă este sporită dacă sunt respectate anumite cerinţe de ordin psihopedagogic.

Demonstraţia trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realităţii, în măsură să reprezinte o susţinere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a elevului. Trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învăţare a unei noţiuni sau acţiuni, trebuie să respecte/păstreze proporţia corectă în raport cu explicaţia, în funcţie de scopul urmărit.Demonstraţia este utilizată fie pentru confirmarea unor idei, fie pentru însuşirea corectă a unor tehnici de lucru, de rezolvare, prin intuire a modelului oferit şi uneori pentru verificare.

160

CAPITOLUL 12

Conceptul de problemă şi de rezolvare de probleme în învăţământul primar. Bazele psihopedagogice şi metodologice ale activităţilor de rezolvare şi compunere de

probleme de matematică

12.1. Clasificarea problemelor

De obicei, spunem că avem o problemă când se cunoaşte un număr de informaţii şi când se propune să se afle alte informaţii care sunt cerute clar în enunţul problemei.

Se poate spune că orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare se numeşte problemă. Aşadar problema reprezintă un proces de gândire declanşat de un sistem de întrebări asupra unei (unor) necunoscute, o aplicare creatoare a cunoştinţelor dobândite anterior.

În acest mod „gândirea se mobilizează la maximum demonstrând posibilităţile de performanţă”.37În esenţa ei, rezolvarea unei probleme este o activitate inventivă, creativă, „ a rezolva o problemă înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este accesibil”38.

Rezolvarea problemelor necesită descoperirea necunoscutei, aflarea relaţiilor necunoscute în raport cu datele cunoscute, apelarea la raţionament. Rezolvarea de probleme presupune formularea de ipoteze, care se verifică pe rând, reorganizarea datelor, reformularea problemei, care să ducă spre soluţionare. Aşadar problemele de matematică sunt răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări şi acţiuni bazate pe date numerice.

Problemele de matematică din ciclul primar se pot grupa astfel: După finalitate şi după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice şi

aplicaţii practice ale noţiunilor învăţate; După conţinutul lor, problemele de matematică pot fi geometrice, de mişcare, de aflare

a densităţii unui amestec sau aliaj etc.; După numărul operaţiilor, vom identifica probleme simple şi probleme compuse.

Problemele simple sunt cele care, de regulă, se rezolvă printr-o singură operaţie aritmetică şi pe care le întâlnim cu precădere în clasa întâi şi a doua. Problemele compuse sunt acelea care, în şirul de raţionamente şi operaţii de rezolvare includ, într-o dependenţă logică, mai multe probleme simple;

După gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, avem probleme generale (în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică) şi probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparaţiei, a mersului invers;

O categorie aparte de probleme cu multiple valenţe formative sunt cele recreative, rebusistice, de perspicacitate şi ingeniozitate (numite şi nonstandard).39 Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conştientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaştere, volitive şi motivaţional-afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată şi antrenată este gândirea, prin operaţiile

logice de analiză, sinteză comparaţie, abstractizare şi generalizare. Rezolvând probleme,

37 Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1965

38 Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1965 39 Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988

161

formăm la elevi priceperi şi deprinderi de a analiza situaţia dată de problemă, de a intui şi descoperi calea prin care se obţine ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea şi dezvoltarea capacităţilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilităţii ei, a capacităţilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacităţii şi spiritului de iniţiativă, la dezvoltarea încrederii în forţele proprii.

12.2. Metode de rezolvare a problemelor

Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii îşi formează deprinderi eficiente de

muncă intelectuală. In acelaşi timp, activităţile matematice de rezolvare şi compunere a problemelor contribuie la îmbogăţirea orizontului de cultură generală a elevilor prin utilizarea în conţinutul problemelor a unor cunoştinţe pe care nu le studiază la alte discipline de învăţământ. Este cazul informaţiilor legate de distanţă, viteză, timp, preţ de cost, plan de producţie, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.

Problemele de matematică, fiind strâns legate, cel mai adesea prin însuşi conţinutul lor, de viaţă, de practică, dar şi prin rezolvarea lor, generează la elevi un simţ al realităţii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva şi alte probleme practice pe care viaţa le pune în faţa lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi şi atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înşişi probleme.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor şi de reformulare a problemei, pe baza activităţii de orientare a rezolvitorului pe drumul soluţiei problemei.

Aceste etape sunt:40 • cunoaşterea enunţului problemei; • înţelegerea conţinutului problemei; • analiza problemei şi întocmirea planului logic; • alegerea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii judecăţilor din planul

logic; • anunţarea rezultatului. Activiţăţi suplimentare: • verificarea rezultatului; • scrierea problemei sub formă de exerciţiu; • găsirea altei căi sau metode de rezolvare; • generalizare; • compunere de probleme după o schemă asemănătoare. Cunoaşterea enunţului problemei se realizează prin citire de către învăţător, sau de către

elevi, sau prin enunţare orală. Se repetă problema de mai multe ori până la însuşirea ei de către toţi elevii. Se scot în evidenţă anumite date şi legături dintre ele, precum şi întrebarea problemei. Scriem pe tablă şi pe caiete datele problemei (folosind scrierea pe orizontală sau pe verticală).

Enunţul problemei conţine un număr necesar de informaţii. Acest minim de informaţie este recepţionat de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acţiuni.

40 După Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988

162

De exemplu: In clasa a- III-a B sunt 32 de elevi, în clasa a-III-a C sunt cu doi elevi mai mult decât în

clasa a - III-a B. Câţi elevi sunt în ambele clase ? Prin discuţii cu elevii aceştia trebuie să reţină elementele matematice importante : datele

problemei, relaţiile dintre date, întrebarea problemei. Unii elevi schimbă sensul unor date (în loc de mai mult cu doi elevi în clasa a -III-a C , reţin că au fost doi elevi ), şi aceasta datorită nerecepţionării corecte a enunţului problemei.

Faza în care se construieşte raţionamentul prin care se rezolvă problema este etapa analizei problemei şi întocmirii planului logic. Prin exerciţiile de analiză a datelor, a semnificaţiei lor, a relaţiilor dintre ele şi a celor dintre date şi necunoscute se ajunge să ne raportăm la situaţiile concrete pe care le prezintă problema (a parcurs ... kilometri ; a cumpărat ... kilograme; a ... lei kilogramul, ş.a.) la nivelul abstract care vizează relaţiile dintre parte şi întreg, viteză, distanţă şi timp etc. Transformând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă, scriind datele cu relaţiile dintre ele într-o coloană ş.a. , evidenţiem esenţa matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conţinutului ei.

Etapa alegerii şi efectuării operaţiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic, este etapa care constă în alegerea şi efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conştientizarea semnificaţiei rezultatelor parţiale ce se obţin prin calculele respective şi a rezultatul final.

Activităţile suplimentare după rezolvarea problemei constau în verificarea soluţiei problemei, în găsirea şi a altor metode de rezolvare şi alegere a celei mai bune. În esenţă etapa se realizează prin autocontrolul asupra felului în care s-a însuşit enunţul problemei, a raţionamentului realizat şi a demersului de rezolvare parcurs.

După rezolvarea unei probleme se scoate în evidenţă categoria din care face parte problema, se fixează algoritmul ei de rezolvare, se trece la scrierea datelor problemei şi a relaţiilor dintre ele într-un exerciţiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme cu aceleaşi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după acelaşi exerciţiu, se descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Toate acestea duc la cultivarea şi educarea creativităţii, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

Pentru formarea deprinderii de a rezolva probleme, pornind de la cele simple, la cele compuse, este necesară înţelegerea noţiunilor matematice începând cu cele mai simple: luăm, adăugăm, mărim, micşorăm, reunim, separăm, mai mult cu, mai puţin cu, mai mare/mic de ,,n” ori. Înţelegerea corectă a acestor noţiuni îi ajută pe elevi să stabilească raţionamente logice pe baza cărora să poată rezolva problema. Baza dezvoltării matematice cu ajutorul rezolvării şi compunerii de probleme de către elevi o formăm începând din clasa I, odată cu predarea operaţiilor aritmetice în cadrul numeraţiei până la 10. În această perioadă deprindem elevii cu rezolvarea şi compunerea de probleme pe bază intuitivă cu ajutorul figurilor sau planşelor, îi deprindem să înţeleagă îmbinările de cuvinte şi legătura cu mulţimile de obiecte.

Probleme formulate cu ajutorul materialului didactic propriu fiecărui elev ca: riglete, jetoane, figuri geometrice, mere, pere, steluţe, ciupercuţe etc., contribuie la înţelegerea conţinutului problemei şi la dirijarea atenţiei spre ceea ce este cunoscut şi necunoscut.

În ceea ce priveşte problemele cu text, acestea pun în faţa elevilor dificultăţi sporite determinate de lipsa obiectelor concrete sau semiconcrete cu care se operează în situaţiile precedente. Singurul suport în înţelegerea conţinutului şi a întrebării a rămas textul problemei.

În scopul familiarizării elevilor cu cele două părţi ale problemei (enunţul şi întrebarea), se aşază datele problemei în coloană, deoarece acest mod de scriere permite ca în dreptul

163

datelor numerice să se noteze prin cuvinte semnificaţia lor. Întrebarea problemei se separă printr-o linie. Mai jos se scrie rezolvarea şi răspunsul.

De exemplu: Pe un raft sunt 32 de cărţi. Pe alt raft sunt cu 6 mai mult. Câte cărţi sunt pe al doilea

raft? 32 de cărţi pe primul raft; cu 6 mai mult pe al doilea raft --------------------------------------- Câte cărţi sunt pe al doilea raft? Rezolvare: 32 + 6 = 38 cărţi pe al doilea raft. Răspuns : 38 cărţi. Trecerea de la probleme simple la probleme compuse se va face în momentul în care

programa specifică faptul că se pot rezolva probleme cu două operaţii. Un element nou în rezolvarea problemelor compuse este planul rezolvării, necesitatea

de a fixa ordinea şi succesiunea operaţiilor înainte de a începe rezolvarea propriu-zisă. Pentru a-i face pe elevi să înţeleagă necesitatea planului, faptul că unele probleme nu se

pot rezolva printr-o singură operaţie, se pot rezolva la început probleme compuse formulate în aşa fel încât cele două etape de rezolvare să fie subliniate în conţinutul problemei. Pentru o rezolvare conştientă se porneşte de la rezolvarea problemelor-acţiuni.

Exemplu : Ionel are 12 timbre. Primeşte de la tatăl său încă 6 timbre. Din ele dăruieşte 7 fratelui

său. Câte timbre i-au rămas lui Ionel? Se cheamă în faţa clasei un elev (Ionel) care ţine în mână 12 timbre; apoi se cheamă alt

băiat (tatăl) care are 6 timbre şi i le dă lui Ionel. Ionel numără câte timbre are în total, apoi din totalul de timbre dă unui alt copil (fratele lui) 7 timbre. Numără câte timbre i-au rămas.

Se adresează clasei următoarele întrebări : Cum a fost rezolvată problema? Ce a aflat Ionel la început? (câte timbre are în total). Ce

a aflat apoi Ionel? (câte timbre i-au rămas). Problema a fost rezolvată printr-o singură operaţie? Nu, prin două operaţii: adunare şi scădere.

Se scriu datele şi rezolvarea ei : are 12 timbre …… primeşte 6 timbre ….. dă 7 timbre ……. ? timbre Câte timbre are Ionel în total ? 12 timbre + 6 timbre = 18 timbre Câte timbre i-au rămas lui Ionel? 18 timbre – 7 timbre = 11 timbre Răspuns : 11 timbre. Rezolvarea problemelor compuse necesită descompunerea în probleme simple. Pentru a

veni în sprijinul elevului sunt necesare următoarele etape: - Citirea conştientă şi însuşirea enunţului; - Analiza (judecata) problemei şi întocmirea schemei de rezolvare; - Realizarea planului de rezolvare după schemă ; - Rezolvarea propriu-zisă ( descoperirea soluţiei ). Aceste etape alcătuiesc un tot fiind într-o strânsă legătură şi alcătuiesc raţionamentul

problemei. Cercetarea problemei se face pe cale analitică sau sintetică. Odată cu analiza problemei se alcătuieşte şi schema de rezolvare. Raţionamentul se concretizează prin scrierea planului de rezolvare (poate fi şi oral). În clasa I planul de rezolvare îl alcătuim oral

164

iar rezolvarea se efectuează în scris. Începând cu clasa a-II-a alcătuirea planului de rezolvare se face scriind întrebările şi imediat răspunsul lor.

Exemplu: Bunicul avea în curte 100 de găini. A dus la piaţă în prima zi 36, iar a doua zi cu 9 mai

mult. Cu câte găini a rămas bunicul în curte? Notarea conţinutului logic al problemei: A avut găini A vândut A vândut în prima zi în a doua zi 100 36 36 + 9 Raţionamentul problemei se prezintă în formula: 100-(36+36+9) =19 găini Treptat, după ce am rezolvat mai multe probleme care se încadrează în acest algoritm, îl

vom exprima într-o formulă generală : a-(b+b+c)=? Este vorba despre drumul pe care-l face elevul ridicându-se de la înţelegerea

conţinutului concret al problemei, prin reformularea treptată a ei, în scopul desprinderii relaţiilor logice şi a ajungerii la o soluţie.

O atenţie deosebită se va acorda problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Şi aceasta pentru că rezolvarea lor cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, formează simţul estetic al şcolarilor (prin eleganţa, simplitatea, economicitatea şi organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minţii, educându-se astfel atenţia, spiritul de investigaţie şi perspicacitate al elevilor.

Exemplu : Într-o livadă sunt 634 pomi . Din aceştia163 sunt meri, 87 sunt peri, 110 cireşi şi 18

nuci. Restul sunt gutui. Câţi gutui sunt în livadă? Unii elevi vor rezolva problema efectuând operaţiile necesare în ordinea acţiunilor

cuprinse în enunţ (din variate motive: neputinţa de a cuprinde şi de a prelucra întregul enunţ, insuficienţa deprinderilor de rezolvare formate până la acest moment, dorinţa de a merge progresiv şi de a vedea câţi gutui sunt).

Alţi elevi, analizând mai bine problema, renunţă la ordinea acţiunilor cuprinse în enunţ şi caută valorile între care pot stabili o relaţie utilă, mai economicoasă şi mai simplă pentru rezolvarea problemei:

634 pomi …163 meri …. 87peri … 110 cireşi … 18 nuci … ? gutui Iată şi modul de rezolvare cu schemele respective : 634 – 163 = 471 163 + 87 + 110 + 18 = 378 471 – 87 = 384 sau 384 – 110 = 274 634 – 378 = 256 274 – 18 = 256 Se mai pot găsi şi alte variante de rezolvare de genul : a – (b+c) – (d+e), sau a – (b+c+d) – e, sau a – b – (c + d + e), faţă de a – b – c – d – e şi a – ( b+c+d+e). Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată şi folosirea

schemelor, desenelor, graficelor etc., iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule

165

numerice sau literale. Transcrierea rezolvării problemei într-un singur exerciţiu cu valori numerice sau literale contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor prin găsirea unor soluţii noi, uneori personale de aşezare în exerciţiu.

Crearea de situaţii noi în care să fie formulate relaţiile din problemă angajează gândirea creatoare a elevilor.

Exemplu : Într-o livadă s-au sădit 845 meri şi cu 316 mai mulţi peri. 1.Să se formuleze întrebarea astfel ca problema să se rezolve printr-o singură operaţie. 2.Să se formuleze întrebarea astfel ca problema să se rezolve prin două operaţii. 3.Să se modifice relaţiile dintre datele problemei astfel încât să se rezolve printr-un

singur fel de operaţii. 4.Să se alcătuiască schema problemei. 5.Să se transpună rezolvarea într-un singur exerciţiu cu valori numerice. 6.Să se transforme rezolvarea într-un singur exerciţiu cu valori literale. 7.Să se alcătuiască o altă problemă după formula literală obţinută. Modificarea datelor problemei încât aceasta să se rezolve prin mai multe operaţii

(recompunerea problemei) cere o mare capacitate de redefinire. Exemplu : S-au cumpărat 5 kg de struguri şi 7 kg de mere. Câte kg de fructe s-au cumpărat în

total? Recompunerea problemei : S-au cumpărat 5 kg de struguri şi 7 kg de mere. Ştiind că un kg de struguri costă 8 lei şi

un kg de mere costă 4 lei, aflaţi câţi lei s-au plătit în total. S-au cumpărat 5 kg de struguri şi 7 kg de mere. Ştiind că în total s-au plătit 68 lei, iar

pe struguri s-au dat 40 lei, aflaţi câţi lei costă un kg de mere. S-au cumpărat 12 kg de fructe (struguri şi mere). Ştiind că în total s-au plătit 68 lei, iar

diferenţa de preţ dintre un kg de mere şi unul de struguri este de 4 lei, aflaţi câte kg s-au cumpărat de fiecare fel.

Aceasta este o formă mult mai elevată şi cere o mai mare capacitate de redefinire care se exprimă în judecata problemei. Operarea cu reprezentări este primul pas către apariţia flexibilităţii adaptative şi a fluenţei asociative, primul pas de desprindere de concret.

Un rol deosebit de important în dezvoltarea capacităţilor creatoare îl are rezolvarea problemelor tipice, care sunt de obicei problemele care se rezolvă prin algoritmi speciali. În rezolvarea problemelor tipice sunt introduse condiţii noi, se fac presupuneri şi se trag concluziile din aceste presupuneri.

În rezolvarea problemelor tipice se va ţine cont de unele cerinţe generale: • Primele probleme în rezolvarea unui anumit tip de probleme trebuie să cuprindă numai

numere mici, să aibă un conţinut simplu şi să se poată rezolva oral. • Elevii trebuie antrenaţi direct în căutarea procedeului de rezolvare. • Unele probleme se rezolvă pe cale analitică (probleme de mişcare, probleme de

împărţire în părţi proporţionale). • Analiza prezintă un anumit tip de raţionament ce constituie mijlocul principal pentru

căutarea procedeului rezolvării, elevul descoperind legătura şi dependenţa dintre mărimile date în problemă.

• În momentul rezolvării unui nou tip de problemă sunt necesare rezolvarea mai multor probleme de acest tip pentru a forma deprinderi de rezolvare. Este necesar să se modifice formularea problemei, să se introducă date suplimentare în problemele de tipul rezolvat.

• În rezolvarea problemelor tipice se va reveni periodic la tipurile învăţate, ca să se compare problemele de tip diferit ce conţin în enunţ unele elemente asemănătoare.

166

După rezolvarea unui anumit număr de probleme de un anumit tip este necesar să se tragă concluziile, să se facă generalizări din care să rezulte care a fost elementul comun în rezolvare şi care sunt deosebirile. Se vor compune cu elevii probleme asemănătoare pentru a aprofunda structura problemei, a conţinutului şi a dependenţei dintre mărimile date în problemă.

Aflarea a două numere cunoscând suma şi diferenţa lor Un grup special de probleme din ciclul primar îl formează problemele de aflare a două

numere cunoscând suma şi diferenţa lor, acestea rezolvându-se prin metoda figurativă. La acest tip de probleme elevii trebuie să învingă dificultăţile legate de raţionamentul problemei, dificultăţi ce pot fi eliminate prin clarificarea noţiunii de parte (care constituie necunoscuta în problemele care se rezolvă în gimnaziu cu ajutorul ecuaţiilor de gradul I).

Exemplu : Să se împartă în mod egal 16 flori în 2 vaze. Câte flori sunt într-o vază? Rezolvare I : 16 flori : 2 = 8 flori. Deci o vază are 8 flori şi cealaltă are tot 8 flori. După ce elevii au înţeles acest procedeu, prin rezolvarea mai multor probleme de acest

gen, se complică problema: Împărţiţi 16 flori în două vaze în aşa fel încât în prima vază să fie cu două flori mai

mult decât în a doua vază. Cum vom împărţi florile? După ce vom lăsa elevii să încerce de mai multe ori, se ajunge la următoarea expresie:

(S – D) : 2 = n La început dăm la o parte două flori (ce trebuie puse în prima vază în plus) : 16 – 2 = 14 (flori) Apoi restul se împarte în două părţi egale : 14 : 2 = 7 (flori) La cea de-a doua parte (7 flori ) se adaugă cele două flori date la o parte: 7 + 2 = 9 (flori existente în prima vază) Se trece la reprezentarea grafică. Se desenează două segmente de dreaptă, primul mai mare (reprezentând florile din

prima vază), al doilea mai mic (reprezentând florile din a doua vază). Împreună formează 16 flori.

Se observă că primul segment este mai mare şi dacă înlăturăm o parte (care reprezintă

cele două flori în plus) se obţine un segment egal cu al doilea. Facem ca cele două cantităţi să se poată repartiza în mod egal în cele două vase. Se scrie pe tablă, planul de rezolvare. Separăm cele două flori care sunt în plus 16 – 2 = 14 (flori) Câte flori se aşază în a doua vază? 14 : 2 = 7 (flori)

16

16

2

167

Câte flori sunt în prima vază? 7 + 2 = 9 (flori) R: 7 flori ; 9 flori. Pentru verificare se face proba: 7 + 9 = 16 flori. Rezolvarea a II-a : (S + D) : 2 = N Putem afla întâi partea mai mare. Elevii îşi vor imagina că adăugăm la partea mai mică

(a doua vază) încă două flori. Obţinem în ambele vaze un număr egal de flori. 2 16 + 2 Vazele conţin împreună 16 + 2 = 18 flori. Deci putem afla o parte (partea cea mai mare): 18 : 2 = 9 (flori) deci : În prima vază sunt 9 flori, iar în a doua vază sunt cu două mai puţine, adică: 9 – 2 = 7 (flori) R: 9 (flori) ; 7 (flori). Aflarea a două numere când se cunoaşte diferenţa şi raportul lor „Un metru de dantelă costă cu 48 de lei mai mult decât un metru de elastic şi este de 7

ori mai scump. Cât costă un metru de dantelă şi cât costă un metru de elastic?” Această problemă se poate rezolva prin două metode : metoda grafică şi metoda

presupunerii. Rezolvarea I : Reprezentăm costul unui metru de elastic printr-un segment AB, costul unui metru de

dantelă va fi reprezentat printr-un segment CD de 7 ori mai mare. A B 48 lei Segmentul ED, care arată cu cât CD este mai mare decât AB, este format din 7 – 1 = 6

părţi egale şi reprezintă 48 lei. 48 : 6 = 8 (lei) (o parte, costul unui metru de elastic) 8 x 7 = 56 (lei) (costul unui metru de dantelă).

C E D

168

Rezolvarea a II- a : Presupunem că un metru de elastic costă 1leu, atunci un metru de dantelă va costa

1 x 7 = 7 lei, deci cu 7 – 1 = 6 lei mai mult. De fapt un metru de dantelă costă cu 48 lei mai mult.

48 : 6 = 8. Deci un metru de elastic costă 1 x 8 = 8 lei , iar un metru de dantelă costă 7 x 8 = 56 lei. În rezolvarea problemelor de aritmetică, reprezentarea grafică poate avea două funcţii

de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcţie îi ajută pe elevi să-şi reprezinte intuitiv un număr, dar nu numai condiţiile iniţiale ci şi soluţia problemei, înlesnind de asemenea, şi stabilirea legăturilor dintre noţiunile aritmetice şi cele geometrice şi contribuind la dezvoltarea gândirii funcţionale a copiilor.

Exemplul 1 : 58 Ana Ina 24 Elevii pot compune următorul enunţ : „Ana are 58 alune. Ina are cu 24 mai puţine. Câte alune au cele două fetiţe

împreună?” Exemplul 2 : „Ana are 58 alune. Dacă Ina ar mai avea 24 alune, ar avea cât Ana. Câte alune au cele

două fetiţe împreună?” La nivelul clasei a III – a se pot da spre alcătuire probleme după graficele următoare: 50 1. 15 2. 18 25 1. Aurel avea 50 timbre. Bogdan avea de trei ori mai multe timbre decât Aurel.

Constantin avea cât Bogdan şi încă 15 timbre. Câte timbre aveau cei trei fraţiîmpreună?” 2. Două bucăţi de pânză aveau aceeaşi lungime. După ce s-au vândut 18 metri din

prima bucată şi 25 de metri din cealaltă bucată, în prima a rămas de două ori mai multă pânză decât în a doua. Câţi metri de pânză au fost în fiecare bucată ?”

A B C

?

169

Elevii vor trebui să sesizeze că diferenţa dintre numărul metrilor vânduţi din a doua bucată şi numărul metrilor vânduţi din prima bucată reprezintă tocmai ceea ce rămâne din a doua bucată după vânzare.

Ne vom imagina lungimile celor două bucăţi de pânză ca fiind nişte segmente. Problema precizează că ele au aceeaşi lungime şi le figurăm prin segmente de aceeaşi

lungime aşezate unul sub celălalt. I. II. Ce înseamnă că vindem din prima bucată 18 metri? Înseamnă că tăiem şi luăm din ea 18

metri. Analog pentru a doua bucată. În prima bucată rămâne de două ori mai multă pânză decât în a doua. Deci segmentul

care reprezintă pânza rămasă din prima bucată este de două ori mai mare decât segmentul care reprezintă pânza rămasă în a doua bucată.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei urmărim graficul şi observăm că el reprezintă diferenţele dintre lungimile de pânză vândute din fiecare bucată. Lungimea pânzei rămase în a doua bucată este de 25 – 18 = 7 metri, iar câţi metri de pânză au fost în fiecare bucată se obţin însumând cât a rămas (de exemplu, în a doua bucată) cu cât s-a vândut din ea, adică 7 + 25 = 32 metri.

Răspuns : în fiecare bucată de pânză au fost câte 32 metri.

Probleme de eliminare a uneia dintre mărimi. Metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie

Problemele rezolvate prin procedeul eliminării uneia dintre mărimi constituie o

dezvoltare ulterioară a problemelor de aflare a unei mărimi necunoscute când cunoaştem diferenţa a două numere.

Şi aici cheia pentru descoperirea procedeului de rezolvare este stabilirea legăturilor cauzale dintre mărimile variabile prin eliminarea provizorie a uneia dintre mărimi care nu influenţează schimbarea celeilalte mărimi.

Exemplu: Într-un camion sunt 17 saci cu grâu şi 26 saci cu porumb cântărind împreună 2 764 kg. În alt camion sunt 35 saci cu porumb şi 17 saci cu grâu cântărind împreună 3 250 kg. Cât cântăreşte un sac cu grâu şi cât cântăreşte un sac cu porumb?

Analiza problemei: Din enunţul problemei aflăm că în al doilea camion sunt mai multe kg. De ce? Pentru că

sunt mai mulţi saci cu porumb. Sacii cu grâu nu-şi schimbă greutatea pentru că în ambele camioane avem acelaşi număr de saci cu grâu. Dacă aflăm cu câte kg de porumb sunt mai mult în al doilea camion şi cu câţi saci de porumb sunt mai mult în al doilea camion, vom putea afla câte kg cântăreşte un sac de porumb.

Rezolvare: 17 saci grâu şi 26 saci porumb ……………2 764 kg 17 saci grâu şi 35 saci porumb ……………3 250 kg Comparând mărimile scrise în cele două rânduri observăm că numărul sacilor de

porumb a crescut cu 9 (35 – 26 ), iar numărul kilogramelor cu 486 (3 250 – 2 764 ). Deci 9 saci cu porumb cântăresc 486 kg.

170

1. Cu câte kg sunt mai mult în al doilea camion decât în primul? 3 250 kg – 2 764 kg = 486 kg 2. Cu câţi saci de porumb sunt mai mult în al doilea camion decât în primul? 35 saci – 26 saci = 9 saci 3. Câte kg cântăreşte un sac de porumb? 486 : 9 = 54 (kg) 4.Câte kg cântăresc 26 saci cu porumb? 26 x 54 kg= 1 404 kg 5.Cât cântăreşte grâul? 2 764 kg – 1 404 kg = 1 360 kg 6.Câte kg cântăreşte un sac cu grâu? 1 360 kg : 17 = 80 kg Răspuns: 54 kg ; 80 kg. După rezolvarea mai multor probleme de acest tip elevii îşi dau seama că în problema

analizată diferenţa dintre cantităţi este dată de diferenţa dintre numărul obiectelor (saci, rochii, cărţi, etc.).

Probleme care se rezolvă prin metoda ipotezelor Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea solicită introducerea unor

date ipotetice şi confruntarea situaţiei obţinute astfel cu situaţia reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările.

Problemele care se rezolvă prin această metodă se pot clasifica astfel: Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză; Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze

succesive. Exemplu: Un grup de elevi aflaţi în excursie, dorind să traverseze un râu cu barca, au

constatat că, dacă rămâneau 4 elevi pe mal, se puteau îmbarca câte 6 în fiecare barcă, iar dacă se îmbarcau câte 8, rămânea o barcă liberă. Câte bărci şi câţi copii erau?

Rezolvare: Ipoteza I Presupunem că ar fi două bărci. Atunci numărul de elevi în cele două situaţii ar fi: când sunt câte 6, ar fi 16, adică 2 x 6 + 4 = 16; când sunt câte 8, ar fi 8, adică 1 x 8 = 8, o barcă e liberă. Ipoteza este falsă pentru că numărul de elevi este diferit în cele două situaţii, o dată 16,

a doua oară 8, diferenţa fiind 8, adică 16 – 8 = 8. Ipoteza a II-a Presupunem că sunt 3 bărci. Atunci numărul de elevi în cele două situaţii, ar fi: când sunt câte 6, ar fi 22 elevi, căci 3 x 6 + 4 =22; când sunt câte 8, ar fi 16 elevi, căci 2 x 8 = 16, o barcă este liberă. Şi această ipoteză este falsă, numărul elevilor este diferit în cele două situaţii, diferenţa

fiind 6,adică 22 – 16 = 6. Constatăm însă următoarele: atunci când am mărit numărul bărcilor cu 1, (în prima

ipoteză am presupus că sunt 2 bărci, în a doua 3), diferenţa dintre cele două numere,

171

reprezentând diferenţa între numerele de elevi, a scăzut cu 2, (întâi diferenţa era 8, apoi 6); faţă de prima ipoteză, când diferenţa era 8, trebuie să mărim numărul bărcilor cu 4, adică cu numărul care arată de câte ori 2 se cuprinde în 8. Atunci, 8 : 2 = 4, iar 2 + 4 = 6. Deci, erau 6 bărci şi 40 de elevi.

Probleme care se rezolvă prin metoda retrogradă (a mersului invers) Metoda mersului invers se aplică în unele probleme în care relaţiile dintre mărimi

depind una de cealaltă într-o ordine succesivă. Urmărind enunţul de la sfârşit la început, trebuie să se determine penultimul rest pe baza relaţiei sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, până când se ajunge la numărul iniţial (întregul). Înţelegerea metodei se bazează pe exerciţiile de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este dat.

Exemplul I: Am ales un număr, l-am înmulţit cu 5, la rezultat am adăugat 42, suma obţinută am

împărţit-o la 7 şi din cât am scăzut 11, obţinând 200. Ce număr am ales? (n x 5 + 42 ) : 7 – 11 = 200. Care este ultima operaţie făcută? (din cât am scăzut 11, obţinând 200). Aceasta

constituie o problemă simplă (în care se dă scăzătorul 11 şi restul 200). Numărul din care scădem este 200 + 11 = 211.

Problema dată devine mai scurtă, având însă acelaşi început: Am ales un număr, l-am înmulţit cu 5, la rezultat am adăugat 42, suma obţinută am

împărţit-o la 7 şi am obţinut 211. Această nouă problemă o urmărim tot de la sfârşit: suma obţinută am împărţit-o la 7 şi

am obţinut 211. Ce număr prin împărţirea la 7 dă 211? Acesta este 211 x 7 = 1477. Problema devine şi

mai scurtă: Am ales un număr, l-am înmulţit cu 5, la rezultat am adăugat 42 şi am obţinut 1477.

Ce număr adunat cu 42 ne dă 1477? 1477 – 42 = 1435. Problema devine: Numărul înmulţit cu 5 dă 1435. Deci numărul căutat este 1435 : 5 = 287. Proba se face făcând asupra numărului găsit operaţiile indicate în problemă. Analizând operaţiile făcute în problemă şi cele făcute de noi în rezolvarea problemei,

constatăm că-n fiecare etapă facem operaţia inversă celei făcute în problemă. Exemplul II: La un chioşc alimentar s-au vândut succesiv următoarele lăzi cu portocale: în prima zi

s-au vândut jumătate din numărul lăzilor şi încă 4, a doua zi jumătate din numărul lăzilor rămase şi încă 2, a treia zi jumătate din numărul lăzilor rămase şi încă o ladă, iar în a patra zi restul de 7 lăzi. Câte lăzi de portocale au fost la început?

Rezolvare: 1. Cât reprezintă jumătate din a treia zi? 7 + 1 = 8 2. Cât s-a vândut a treia zi? 8 x 2 = 16 lăzi 3. Cât reprezintă jumătate din a doua zi? 16 + 8 = 24 lăzi 4. Cât s-a vândut a doua zi? 18 x 2 = 36 lăzi

172

5. Cât reprezintă jumătate din prima zi? 36 + 4 = 40 lăzi. 6. Câte lăzi au fost iniţial? 40 x 2 = 80 lăzi. Răspuns: 80 lăzi Există mai multe metode de rezolvare a problemelor. Pe parcursul avansării în tainele

disciplinei, se pot propune probleme a căror ordine de rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunţ. Gândirea creatoare poate fi stimulată prin provocări. Copiii trebuie provocaţi să compună şi ei probleme după anumite formule numerice şi literale, să găsească cât mai multe soluţii, să rezolve problemele într-un timp cât mai scurt.

Se urmăreşte formarea deprinderii de a lucra cu simboluri, de a folosi raţionamentul deductiv, de a găsi căi originale de rezolvare, de a alcătui alte probleme.

Probleme de mişcare În această categorie intră acele probleme în care trebuie să se afle una din mărimile:

spaţiu (distanţă), viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau diferite relaţii dintre acestea. În general, în problemele de mişcare se pune în discuţie mişcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanţe (spaţii) legate prin expresia:

s = v × t iar din aceasta deducem că: v = s/t şi t = s/v La rezolvarea problemelor de mişcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale şi

speciale, cât şi cele algebrice. Din motive metodologice, la nivelul claselor I-IV. problemele de mişcare le clasificăm

în două categorii şi anume: a) probleme de mişcare în acelaşi sens (de urmărire); b) probleme de mişcare în sens opus (de întâlnire). a) Probleme de mişcare în acelaşi sens Pentru a exemplifica rezolvarea problemelor de acest fel, am pornit de la o problemă

generală şi anume: Problemă: Două mobile pleacă în acelaşi timp şi în acelaşi sens din punctele A şi B situate la

distanţa "d" unul de celălalt. Cel plecat din B se deplasează cu viteza V2, iar cel plecat din A se deplasează cu viteza V1.

După cât timp cel plecat din A ajunge pe cel plecat din B? Rezolvare: Se reprezintă grafic traiectoria rectilinie pe care se mişcă cele două mobile indicând

printr-o săgeată şi sensul. De aici se observă că V1 > V2 ; pentru că numai aşa mobilul plecat din A îl poate ajunge

pe cel plecat din B. A d B V1 V2 Mobilul plecat din A îl urmăreşte pe cel plecat din B de care îl desparte distanţa "d".

Pentru a afla după cât timp îl ajunge, sau după cât timp recuperează decalajul de distanţă "d",

173

ar trebui să aflăm mai întâi cu cât se apropie într-o unitate de timp. Presupunând că vitezele sunt exprimate în km/oră (prin viteză înţelegem distanţa parcursă de un mobil într-o unitate de timp) şi distanţa "d" în km, formulăm întrebarea: "Cu cât se apropie mobilul plecat din A de mobilul plecat din B într-o oră?

Cu V1 km –V2 km Dacă într-o oră mobilul plecat din A recuperează din distanţa "d" (V1 –V2) km, atunci

întreaga distanţă va fi recuperată într-un număr de ore egal cu de câte ori "V1-V2" se cuprinde în distanţa "d".

Concentrând cele două secvenţe într-o singură expresie, găsim că timpul necesar mobilului plecat din A pentru a-l ajunge pe cel plecat din B este

d t = V1 – V2 În continuare vom exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen: Problemă 1: Un grup de excursionişti care se deplasează cu viteaza de 5 km/oră iese din oraş la ora

7 dimineaţa. La ora 14, în aceeaşi zi, se trimite după acest grup un biciclist care se deplasează cu 12 km/oră.

După cât timp şi la ce distanţă de oraş biciclistul va ajunge grupul de excursionişti? Rezolvare: Trebuie să stabilim în ce moment începe urmărirea şi la ce distanţă de oraş se află

grupul de excursionişti în momentul plecării biciclistului. Planul logic al problemei şi operaţiile corespunzătoare vor fi: 1) Cât timp merge grupul de excursionişti singur, până la plecarea biciclistului? 14 ore - 7 ore = 7 ore. 2) Ce distanţă parcurge grupul în 7 ore? d = v x t =5 km/oră x 7 ore = 35 km Din acest moment, lucrurile se prezintă astfel: A 12km/oră B 5km/oră 35km Cu cât se apropie biciclistul de grup într-o oră ? V1-V2 = 12 km - 5 km = 7 km 3) După câte ore biciclistul recuperează cei 35 km? 35 km : 7 km/ora = 5 ore 4) La ce distanţă de oraş ajunge biciclistul grupul? v x t = d = 12km/ora x 5ore = 60km sau 5 ore x (7 km + 5 km) = 60 km sau (5 ore + 7 ore) x 5 km/oră = 60 km Problemă 2: Un călăreţ având viteza de 24 km/oră pleacă din satul A spre satul B. După 3 ore,

pleacă tot din A în aceeaşi direcţie un motociclist având o viteză de 42 km/oră. În cât timp îl va ajunge motociclistul pe călăreţ şi la ce distanţă de satul A?

174

Rezolvare: Din enunţ reiese că până la plecarea motociclistului, călăreţul avea un avans de 3 ore,

deci parcursese o distanţă de 24 km/oră x 3 ore = 72 km. Motociclistul câştigă la fiecare oră 42 km - 24 km = 18 km. Pentru a recupera cei 72 km motociclistul merge un timp de 72 : 18 = 4 (ore), deci atunci când îl ajunge, ei parcurseseră o distanţă de 42 km x 4 = 168 km sau (4 ore + 3 ore) x 24 km/oră = 168 km.

Planul logic al problemei şi operaţiile corespunzătoare sunt: 1) Ce distanţa parcurge călăreţul până la plecarea motociclistului? 24 km x 3 ore = 72 km. 2) Ce distanţă recuperează motociclistul într-o oră? 42 km - 24 km = 18 km. 3) Cât timp îi trebuie motociclistului pentru a recupera cei 72 km? 72 km: 18 = 4 (ore) 4) La ce distanţă de satul A îl ajunge? 42 km/oră x 4 ore = 168 km. Răspuns: 4 ore (timp) 168 km (distanţă) b) Probleme de mişcare în sensuri opuse Pentru a exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen pornim de la o problemă

generală şi anume: Problemă: Două mobile pleacă unul din A şi unul din B, unul spre celălalt. Distanţa dintre A şi B

este de d km. Cel care pleacă din A se deplasează cu V1 km/oră, iar celălalt cu V2 km/oră. După cât timp se întâlnesc? Rezolvare: Conţinutul problemei va fi ilustrat cu un segment de dreaptă (distanţa dintre A şi B). d

V1 V2 Nu este important, pentru acest caz general, să specificăm care dintre viteze este mai

mare. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, este important să aflăm cu cât se apropie cele

două mobile într-o unitate de timp (l oră). Ele se vor apropia cu suma vitezelor. Deci, ele recuperează din distanţa d, care le separă (V1 + V2) km într-o oră. De aici rezultă că distanţa d va fi recuperată după atâtea ore, de câte ori (V1 + V2) se cuprinde în distanţa d.

Planul logic al problemei şi operaţiile exprimate simbolic vor fi: 1) Cu cât se apropie cele două mobile într-o oră? V1 + V2 2)După cât timp se întâlnesc cele două mobile? d V1 + V2

t =

175

Astfel, se prezintă elevilor formula după care se calculează timpul de întâlnire într-o problemă de mişcare în sensuri opuse.

Problemă: Un pieton care parcurge 5 km/oră, pleacă din oraşul A spre oraşul B. În acelaşi timp,

un biciclist pleacă din oraşul B spre oraşul A, cu 22 km/oră. Între oraşe este o distanţă de 81 km.

a) după cât timp se întâlneşte pietonul cu biciclistul? b) la ce distanţă de oraşul B se întâlnesc? Rezolvare: Ilustrăm cu ajutorul unui segment de dreaptă, a cărui lungime reprezintă distanţa dintre

cele două oraşe, conţinutul problemei. A B 5km/h 22km/h Din această reprezentare rezultă că la fiecare oră distanţa dintre pieton şi biciclist se

micşorează cu 5 km + 22 km = 27 km. Distanţa totală de 81 km va fi străbătută în atâtea ore de câte ori 27 se cuprinde în 81. Deci, 81 km : 27 = 3 (ore ), acestea reprezentând timpul după care se întâlnesc.

Deci, se întâlnesc la distanţa de 22 km x 3 = 66 km de oraşul B. Planul de rezolvare este următorul: l) Cu cât se micşorează distanţa dintre pieton şi biciclist într-o oră? 5km + 22 km = 27 km 2) În cât timp va fi parcursă distanţa totală? d 81 V1 + V2 27 81 km : 27 km = 3 (ore) 3) La ce distanţă de oraşul B se întâlnesc? 22 km x 3 = 66 km Verificare 5 km x 3 + 22 km x 3 = 81 km Problemă: Două vase fluviale au plecat în acelaşi timp din două porturi, unul spre celălalt Ştiind

că distanţa dintre porturi este de 375 km şi că primul vas face pe oră 29 km, iar celălalt 18 km, să se afle distanţa dintre cele două vase după 6 ore de mers.

Rezolvare: Pentru ca rezolvarea să fie cât mai sugestivă se pot desena cele două vase iar porturile se

pot reprezenta prin dreptunghiuri.

29km/h 18km/h

t = t = = 3

176

Procedând sintetic, adică pornind de la întrebarea problemei, se pot stabili următoarele: a) pentru a afla distanţa dintre cele două vase după 6 ore de mers, cunoscând

distanţa totală, trebuie să se cunoască distanţa parcursă de cele două vase împreună, b) pentru a afla distanţa, parcursă de cele două vase împreună, după 6 ore de

mers, trebuie să se cunoască distanţa parcursă de fiecare vas sau distanţa parcursă de ambele vase într-o oră apoi în 6 ore.

c) pentru a afla distanţa parcursă de cele două vase separat timp de 6 ore aplicăm formula:

s = V1 x t; s =V2 x t sau s = (V1 + V2) x t Planul de rezolvare este următorul: 1) Ce distanţă a parcurs primul vas în 6 ore? 29 km/h x 6 ore = 174 km 2) Ce distanţă a parcurs al doilea vas în 6 ore? 18 km/h x 6 ore = 108 km 3) Ce distanţă au parcurs cele 2 vase în 6 ore? 174 km + 108 km = 282 km 4) Ce distanţă a rămas între cele două vase după 6 ore? 375 km-282 km = 93 km Răspuns: 93 km În problemele de mişcare, metoda figurativă îşi dovedeşte cu prisosinţă eficienţa,

deoarece în procesul examinării şi rezolvării problemei, gândirea elevului se mişcă în cadrul asociaţiilor indicate de figură sau de schemă, ceea ce determină o alternanţă continuă între percepţie şi gândire, o variaţie a raţionamentului în funcţie de câmpul perceptiv reprezentat sugestiv în acea figură.

12.3 Cultivarea creativităţii elevilor prin activitatea de rezolvare si compunere de

probleme În ideea pregătirii elevilor pentru a întâmpina cerinţele unei lumi în perpetuă schimbare,

este necesar ca aceştia să raţioneze clar şi să comunice eficient. Deprinderile de bază şi înţelegerea aplicaţiilor matematice au menirea să-i ajute pe cei în cauză la utilizarea cunoştinţelor în situaţii noi. Deprinderile corecte în rezolvarea problemelor vor deveni din ce în ce mai importante. Prin munca propriu-zisă în acest domeniu, copiii vor descoperi noi căi de gândire şi raţionare, ceea ce le va putea ridica nivelul matematic şi le va putea clădi încrederea în sine. Deprinderile aritmetice se vor dezvolta în paralel cu alte deprinderi matematice esenţiale, cum ar fi: rezolvarea problemelor, culegerea de date, stabilirea de date, unităţi de măsură şi geometrie.

Pe măsură ce ne concentrăm asupra necesităţilor copiilor, matematica funcţională devine un element important. Elevii acordă numerelor un loc deosebit în microcosmosul lor şi prezintă un interes deosebit pentru descoperirile făcute cu privire la modele şi noi procedee. Aceşti elevi îşi rafinează deprinderile şi îşi dezvoltă noi capacităţi. Rolul învăţătorului devine crucial în asigurarea în sala de clasă a unui mediu care să încurajeze asumarea riscului, discutarea ideilor matematice şi testarea de soluţii. Cu cât matematica este legată mai mult de cotidian, cu atât mai mult elevii vor conştientiza necesitatea matematicii în lumea lor.

Mirela, Eugen şi Răzvan, trei copii din clasa I, au rezolvat această problemă : ,,Andrei avea patru baloane. Cu ocazia zilei de naştere, prietenii i-au mai dat încă şapte baloane. Câte baloane are acum Andrei ?”

177

Deşi cei trei copii au ajuns la concluzia că Andrei are acum 11 baloane, fiecare dintre ei a rezolvat problema în mod diferit. Mirela a folosit baloane pe care le-a numărat. A alcătuit un set de 4 baloane şi un set de 7 baloane. Le-a alăturat şi le-a numărat : « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 » , indicând fiecare balon în timp ce număra.

Eugen şi-a folosit degetele şi a numărat în continuare de la unul din numerele date în problemă. El a spus « 4 » , a făcut o pauză şi a continuat « 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 », întinzând câte un deget la fiecare număr.

Răzvan a folosit o adunare şi o relaţie între numere, pentru a da un răspuns. El a judecat : « 4 şi cu 6 fac 10 şi cu 1 fac 11 » .

Această întâmplare ilustrează anumite convingeri fundamentale privind modul în care copiii de clasa I îşi edifică deprinderile şi gândirea matematică. Aceste convingeri se referă la natura cunoaşterii şi a tipologiei copiilor. Generalizările privind predarea matematicii la clasă izvorăsc din aceste convingeri.

Obiectele concrete din preajma elevilor sunt materia primă asupra căreia copiii acţionează pentru a-şi construi propriile realităţi. Înţelegerea pe care ei o creează este un produs secundar al acţiunii lor legate de obiecte concrete. La început înţelegerea copiilor este legată de acţiunea lor asupra obiectelor; înţelegerea lor în curs de formare, pur şi simplu nu există în afara unor asemenea acţiuni. De exemplu, Mirela a folosit baloane (obiecte) pentru rezolvarea problemei date, pentru că înţelegerea numerelor era legată de acţiunile ei asupra acestor obiecte concrete. Dacă nu ar fi avut la îndemână baloane, numărătoarea ar fi fost imposibilă. Aceste legături ce leagă înţelegerea de lumea fizică devin mai laxe pentru prima oară atunci când copiii îşi construiesc imagini picturale mentale ale acţiunii lor asupra obiectelor. Imaginea este un exemplu pentru copiii a căror gândire a evoluat până în acest punct. El a produs imagini mentale ale obiectelor numărabile şi le-a urmărit prin ridicarea câte unui deget.

Ulterior copiii vor reflecta asupra imaginilor lor mentale. Relaţia abstractă pe care o întruchipează aceste reţele încetează să se bazeze pe obiecte concrete sau picturi mentale. Raţionamentul lui Răzvan dovedeşte o gândire care a evoluat până la acest nivel abstract.

Cei mici învaţă matematica prin explorare, ghicitori, observaţie, testare. Accentul trebuie pus pe gândire şi înţelegere conceptuală, şi nu exclusiv pe acurateţea calcului şi a vitezei. Rezolvarea problemelor de matematică reprezintă, în esenţă, găsirea unor soluţii asemănătoare problemelor reale pe care le putem întâlni în practică. Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfăşoară prin parcurgerea mai multor etape, care solicită un efort intelectual complex, cuprinzând inducţii şi deducţii logice, analogii, analize, generalizări. Stimularea creativităţii se realizează mai ales prin compunere de probleme. Modul delicat în care se intervine în rezolvarea de probleme simple compuse de elevi face să le sporească interesul pentru creaţie proprie.

Activitatea de rezolvare şi compunere de probleme oferă modul cel mai eficient din domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi a inventivităţii. Diferenţa dintre a învăţa „rezolvarea unei probleme” şi „a şti” (a fi capabil) să rezolvi o problemă nouă reprezintă, în esenţă, creativitate, dar de niveluri diferite.

Rezolvarea unei probleme „studiate” oferă mai puţin teren pentru creativitate decât rezolvarea unei probleme noi, care, la rândul ei, este depăşită descompunerea unei probleme noi. Acest lucru nu presupune că în rezolvarea problemelor se lucrează numai pe aspecte creative, renunţând total la cele reproductive. Opoziţia dintre algoritm şi euristic, dintre deprindere şi abilitatea de raţionament este numai aparentă. Creativitatea gândirii, mişcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate şi eficient transferate.

178

Baza dezvoltării gândirii matematice cu ajutorul compunerii de probleme de către elevi se formează începând cu clasa I, în timpul predării operaţiilor pe cale orală. În această perioadă de iniţiere, elevii deprind compunerea de probleme pe bază intuitivă. Capacitatea compunerii independente de probleme constituie piatra de temelie a nivelului de dezvoltare a gândirii independente şi personale. În activitatea de compunere de probleme se va ţine cont de posibilităţile intelectuale ale elevilor prin sarcini gradate, trecând treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerinţe, din ce în ce mai restrictive.

Începând cu clasa I şi în anii următori se pune accent pe compunerea şi rezolvarea problemelor, cerând elevilor să creeze probleme sub următoarele forme, respectând o succesiune graduală:

∗ probleme acţiune sau cu punere în scenă; Exemplu: În clasa noastră sunt 12 băieţi şi 14 fete. Câţi elevi sunt în clasă ? ∗ crearea de probleme după tablouri sau imagini; Exemplu: Se prezintă elevilor o planşă cu un copac în care se află aplicate păsărele şi

frunze. În funcţie de numărul elementelor, elevii vor alcătui diverse probleme, folosind operaţii de adunare şi scădere.

∗ compuneri de probleme după probleme rezolvate anterior; Exemplu: După ce la clasă s-au rezolvat probleme de tipul: Un rinocer indian are

greutatea de aproximativ 2000 kg. O morsă cântăreşte aproximativ 1500 kg. 7 fiinţe de acest fel au fost transportate cu un camion care scârţâia sub cele 125 q pe care le ducea. Câte morse transporta camionul? Dar rinoceri?

Elevii pot compune şi ei probleme de acest fel, cum ar fi: Nisetrul cântăreşte aproximativ 25 kg, iar păstruga aproximativ 9000g. Pescarul a prins 11 peşti de acest fel, aducând 147kg de peşte. Câte exemplare de fiecare fel a pescuit?

∗ crearea de probleme cu indicarea operaţiilor ce trebuie efectuate; Exemplu: Compuneţi o problemă care să se rezolve prin:

• două înmulţiri şi o adunare; • o adunare şi o înmulţire.

∗ compuneri de probleme după un plan stabilit; Exemplu: Elevilor li se pune la dispoziţie planul de rezolvare al unei probleme. Sarcina

dată elevilor este de a reconstitui enunţul problemei pe baza planului. ∗ compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile; Exemplu: Un tren de persoane se compune din 8 vagoane. El poate transporta 1424

călători aşezaţi şi 2640 de călători în total. a) Câte locuri are un vagon? b) Câţi călători încap într-un vagon? ∗ compuneri de probleme cu început dat; Exemplu: La grădina zoologică din Bucureşti sunt 6840 iepuri, de 6 ori mai puţini urşi,

iar lupi cât iepuri şi urşi la un loc. Puneţi întrebarea şi rezolvaţi problema. ∗ compuneri de probleme cu întrebare probabilistică; Exemplu: Într-o cutie sunt 4 bile albe, 8 bile roşii şi 9 bile albastre. Care este numărul

minim de bile ce trebuie scoase, fără a vedea culoarea lor, astfel încât să fim siguri că am scos cel puţin 5 bile de aceeaşi culoare?

∗ compuneri de probleme cu sprijin de limbaj; Exemplu: Completaţi enunţurile următoare cu numerele alese de voi. Respectaţi

ordinele de mărime. Bunicul are…ani, iar bunica …ani. Ei s-au căsătorit acum…ani. Ce vârstă avea

fiecare din ei când s-au căsătorit?

179

Sau : Într-o parcare de …locuri sunt …maşini. Câte locuri libere mai sunt în parcare? ∗ compuneri de probleme cu mărimi/valori numerice date; Exemplu: În problema următoare lipsesc cuvinte. Completaţi cu cuvinte potrivite şi

rezolvaţi: Cu 120000 lei, eu…o… de 45000 lei şi 6… . Care este preţul unei ….? ∗ compuneri de probleme după un exerciţiu simplu sau compus; Exemplu: Alcătuiţi o problemă după exerciţiul: (1849m:10)×4=?m ∗ compuneri de probleme după un model simbolic; Exemplu: Compuneţi o problemă după desenul: a b 6 447 c sau: Aflaţi valorile a, b, c, folosind metoda figurativă, dacă au loc simultan relaţiile. a + b = c a – b = b b + c = 16 Compuneţi apoi o problemă utilizând desenul făcut. ∗ compuneri de probleme cu modificarea conţinutului problemei, cu trei variabile: a) acelaşi conţinut şi date noi; Exemplu: Rescrie o nouă variantă a problemei, schimbând părţile subliniate: Domnul Ionescu face în fiecare zi câte 28 km pentru a merge şi a se întoarce de la

serviciu. El lucrează 5 zile pe săptămână. Calculaţi ce distanţă parcurge într-o săptămână. b) conţinut schimbat cu menţinerea datelor; Exemplu: Schimbă conţinutul problemei anterioare, păstrând datele subliniate din

problemă. c) conţinut şi date schimbate (creare liberă de probleme). Exemplu: Scrieţi toate enunţurile de probleme pe care le puteţi compune cu ajutorul

celor 6 fraze de mai jos: Compunerea problemelor este una dintre modalităţile principale de a dezvolta gândirea

independentă şi originală a copiilor, de cultivare şi educare a creativităţii gândirii lor. Însuşirea şi aprofundarea metodelor aritmetice de rezolvare şi compunere a problemelor

în ciclul primar facilitează introducerea unor noţiuni teoretice mai complexe în clasele superioare.

Într-o şcoală sunt înscrişi 250 de elevi. 120 sunt fete.

Într-o şcoală sunt 97 de băieţi şi 115 fete.

Într-o şcoală sunt 190 de elevi. 97 sunt băieţi.

Câţi elevi sunt?

Câte fete sunt?

Câţi băieţi sunt?

180

Bibliografie

1. Aebli, A. Didactica psihologică (trad.), Bucureşti, 1985. 2. Alexandru, J., Filipescu, V., Instrumente şi modele de activitate în sprijinul pregătirii

preşcolarilor pentru integrare în clasa I, E.D.P., Bucureşti, 1983. 3. Alexandru, J., Herseni, I., Probe de evaluare. Cunoaşterea copilului preşcolar,

Colecţia „Cathedra”, 1992. 4. Andreescu, Fl., Ne jucăm, desenăm, matematică învăţăm, I.P.B.T., 1987. 5. Ausubel, D., Robinson, F., Învăţarea în şcoală – introducere în psihologia

pedagogică (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1981. 6. Babanski, I.K., Optimizarea procesului de învăţământ (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1979. 7. Becheanu, M., Căzănescu, V., Năstăsescu, C., Rudeanu, S., Logica matematică şi

teoria mulţimilor, E.D.P., Bucureşti, 1973. 8. Beraru, I., Aptitudini matematice la şcolari, Editura Academiei, 1991 9. Bobancu, V., Caleidoscop matematic, Editura Albatros, 1997, Bucureşti. 10. Bray, S., Clausard, M., Iniţierea în matematică la grădiniţă. Pregătirea preşcolarului

pentru şcoală (trad.), B.C.P., Bucureşti, 1971. 11. Bruner, J., Procesul educaţiei intelectuale (trad.), Editura {tiinţifică, 1970. 12. Bulboacă, M., Alecu, M., Metodica activităţilor matematice în grădiniţă şi clasa I,

Editura Sigma, 1996 13. Cerghit, I., Metode de învăţământ, Polirom, Iaşi, 2006. 14. Cerghit, I., Radu, I., Popescu, E., Vlăsceanu, L., Didactica, E.D.P., Bucureşti, 1991 15. Cerghit, I. (coord.), Perfecţionarea lecţiei în şcoala modernă, E.D.P., Bucureşti, 1983 16. Cerghit, I., Probleme fundamentale ale pedagogiei, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1982 17. Chateau, J., Copilul şi jocul, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973 18. Chircev, A. şi colab., Psihologia pedagogică, E.D.P., Bucureşti, 1967. 19. Claparede, J., Psihologia copilului şi pedagogia experimentală, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1980 20. Diènes, Z. P., Golding, W.E., Les premiers pas en mathématique. Logique et jeux

logiques, vol. I, Ed. O.C.D.L., Paris, 1970. 21. Diènes, Z. P., Un studiu experimental asupra învăţării matematicii, E.D.P., Bucureşti,

1973. 22. Dottrens, R., A educa şi a instrui (trad.), Bucureşti, 1974. 23. Drăgan, I., Nicola, I., Cercetarea psihopedagogică, Editura Tipomar, 1993. 24. Elkonin, B.D., Psihologia jocului (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1980. 25. Jinga, I., Negreţ, I., Învăţare eficientă, Editura Editis, Bucureşti, 1994 26. Joiţa, E., Didactica aplicată în învăţământul primar, Editura Gh. Alexandrescu,

Craiova, 1994 27. Firimiţă, V., Matematica la grădiniţă şi la şcoală, Editura Garamond, 1999 28. Fischbein, E., Hazard şi probabilitate în gândirea copilului (trad.), Bucureşti, 1974. 29. Fischbein, E., Particularităţile psihice ale copiilor de 6 ani pe care trebuie să se

sprijine munca didactică. Caiete de pedagogie modernă, 1 (trad.), Bucureşti, 1970. 30. Fouré, E. şi colab., A învăţa să fii (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1974. 31. Gagné, R., Condiţiile învăţării (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1975. 32. Gagné, R. M., Briggs, L. Principii de design al instruirii (trad.), E.D.P., Bucureşti,

1977. 33. Galperin, P.I. Psihologia gândirii şi teoria formării în etape a acţiunilor mentale, în

Studii asupra gândirii în psihologia sovietică (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1970.

181

34. Galperin, P.I. şi colab., Studii de psihologia învăţării. Teorie şi metodă în elaborarea acţiunilor mentale (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1975

35. Georgescu, E., Modularitatea – o direcţie posibilă şi necesară de abordare a situaţiilor de învăţare în învăţământul primar, învăţământul primar, nr. 2/1992.

36. Golu, M., Dicu, A., Introducere în psihologie, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1972. 37. Golu, P., Învăţare şi dezvoltare, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985. 38. Gogu, P., Verza, E., Zlate, M., Psihologia copilului (manual pentru clasa a X-a),

Editura didactică şi pedagogică R.A., Bucureşti, 1997. 39. Herescu, Gh., Mătrescu, V., Matematica, Clasa I. Îndrumarul învăţătorului, E.D.P.,

Bucureşti, 1981. 40. Herescu, A., Aritmetica pentru învăţători, E.D.P., Bucureşti, 1979 41. Inhelder, B., Sinclair, H., Bovet, M., Învăţarea şi structurile cunoaşterii (trad.),

E.D.P., Bucureşti, 1977. 42. Ionescu, M., Clasic şi modern în organizarea lecţiei, Editura Dacia, Cluj, 1972. 43. Ionescu, M., Didactica modernă, Editura Dacia, Bucureşti, 1974 44. Ionescu, M., Chis, V., Strategii de predare-învăţare, Editura Ştiinţifică, Bucureşti,

1992. 45. Itelson, L.B., Teoriile psihologice ale învăţării şi modelele procesului de instruire, în

Caietele de pedagogie modernă nr. 6 – Probleme de tehnologie didactică, E.D.P., Bucureşti, 1977

46. Jinga, I., Inspecţia şcolară, E.D.P., Bucureşti, 1983. 47. Jinga, I., Negret, I., Învăţarea eficientă, Editis, Bucureşti, 1994. 48. Joita, E., Didactică aplicată, Editura Gh. Alexandru, Craiova, 1994. 49. Landsheere, G., Landsheere, V., Definirea obiectivelor educaţiei (trad.), E.D.P.,

Bucureşti, 1979. 50. Le Roch, G., Cum să facem exerciţii senzoriale în grădiniţă, E.D.P., Bucureşti, 1980. 51. Lovinescu, A., Jocuri-exerciţii pentru preşcolari, E.D.P., Bucureşti, 1979. 52. Lupu, C., Săvulescu, D., Metodica predării matematicii ( manual pentru cl. a XI-a,

licee pedagogice), Editura Paralela 45, Piteşti, 2000 53. Metodica predării matematicii/activităţilor matematice, Ed. Nedion, Bucureşti, 2006. 54. Montessori, M., Descoperirea copilului, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti,

1977. 55. Neculau, A., Cosma, T., Psihopedagogia, Editura Spiru Haret, Iaşi, 1990 56. Neacşu, I., Motivaţie şi învăţare, E.D.P., Bucureşti, 1978 57. Neacşu, I., Metode şi tehnici de învăţare eficientă, Editura Militară, Bucureşti, 1990. 58. Neacşu, I., Instruire şi învăţare, E.D.P., Bucureşti, 1992. 59. Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1988 60. Neagu, M., Beraru, G., Activităţi matematice în grădiniţă, Editura Polirom, 1996. 61. Neagu, M., Petrovici, C., Aritmetica prin exerciţii şi probleme, cl. I –IV, Ed. Polirom,

Iaşi, 1997. 62. Neagu M. et al., Metodica predării matematicii/activităţilor matematice, Clasa a XI-a,

Bucureşti, Ed. Nedion, 2006 63. Neculau, A., Cozma, T. (coord.), Psihopedagogie, Editura Spiru Haret, Iaşi, 1990. 64. Neveanu-Popescu, P., Dicţionar de psihologie. 65. Neveanu-Popescu, P., Zlate, M., Psihologie. Manual pentru clasa a X-a. {coli normale

şi licee, E.D.P., 1993. 66. Neveanu-Popescu, P., Andreescu, F., Bejat, M., Studii psihopedagogice privind

dezvoltarea copiilor între 3 şi 7 ani, E.D.P., Bucureşti, 1990.

182

67. Neveanu-Popescu, P. şi colab., Studiul generalizării în reprezentare, în „Revista de pedagogie” nr. 4, 1958.

68. Nicola, I., Pedagogie şcolară, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1994 69. Okon, W., Învăţământul problematizat în şcoala contemporană (trad.), E.D.P., 1978. 70. Oprea, O., Tehnologia instruirii, E.D.P., Bucureşti, 1979. 71. Oprescu, N., Modernizarea învăţământului matematic în ciclul primar, E.D.P.,

Bucureşti, 1974. 72. Papy, F., Matematica modernă (trad.), Editura Tineretului, Bucureşti, 1969. 73. Păunescu, C., Musu, I., Metodologia învăţării matematicii la deficienţii mintali,

E.D.P., Bucureşti, 1981. 74. Piaget, J., Scheme de acţiune şi învăţare a limbajului în Teorii ale limbajului, teorii

ale învăţării (trad.), Editura Politică, Bucureşti, 1988. 75. Piaget, J., Inteligenţa – capacitate de adaptare la o situaţie nouă, Editura didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1976. 76. Piaget, J., Psihologia inteligenţei (trad.), Editura {tiinţifică, Bucureşti, 1965. 77. Piaget, J., Construirea realului la copil (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1976. 78. Piaget, J., Inhelder, B., Psihologia copilului (trad.), E.D.P., Bucureşti. 79. Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1965 80. Popescu, R., Roman, I. Lecţii în spiritul metodelor active, E.D.P., Bucureşti, 1980. 81. Popovici, C. şi colab., Culegere de jocuri didactice pentru clasele I-IV, E.D.P.,

Bucureşti, 1971. 82. Radu, T., Sinteze pe teme de didactică modernă, Bucureşti, 1986. 83. Radu, T.I., Teorie şi practică în evaluarea eficienţei învăţământului, E.D.P.,

Bucureşti, 1991. 84. Radu, I. T., Evaluarea randamentului şcolar, în Curs de pedagogie, Universitatea

Bucureşti, 1988. 85. Radu, I., Psihologia învăţării, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, 1969. 86. Radu, M., Radu, N., Reciclarea gândirii, Editura Sigma, Bucureşti, 1991. 87. Reghis, M., Elemente de teoria mulţimilor şi de logică matematică, Editura Facla,

Timişoara, 1981. 88. Roşca, A., Zorgo, B., Aptitudinile, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1972. 89. Salade, A., Didactica, E.D.P., Bucureşti, 1982. 90. Şchiopu, U., Verza, E., Psihologia vârstelor, E.D.P., Bucureşti, 1981. 91. Someşanu, E., Jocuri didactice pentru grădiniţa de copii, I.P.C.D. Iaşi, Suceava, 1977 92. Strauss, S., Teoriile învăţării după Gagné şi Piaget. Implicaţii în structura planului de

învăţământ (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1977. 93. Stoica, A., Creativitatea elevilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 94. Stolz, G., Jocul didactic – metodă de stimulare a capacităţilor creatoare ale elevilor,

1980, 95. Taiban, M., Dima, I., Număratul şi socotitul în grădiniţa de copii, E.D.P., Bucureşti,

1978. 96. Tircovnicu, V., Pedagogie generală, Editura Facla, 1975. 97. Tircovnicu, V., Învăţământ frontal, învăţământ individual, învăţământ pe grupe,

E.D.P., Bucureşti, 1981. 98. Touyarot, M.A., Cum să facem activităţile matematice în grădiniţă (trad.), E.D.P.,

Bucureşti, 1977. 99. Văideanu, G., Educaţia la frontiera dintre milenii, Editura Politică, Bucureşti, 1988. 100. Văideanu, G. şi colab., Pedagogie, E.D.P., Bucureşti, 1979. 101. Vîgotski, L.S., Opere psihologice alese (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1972.

183

102. Wallon, H., Evoluţia psihologică a copilului (trad.), E.D.P., Bucureşti, 1975. 103. Wlodarski, Z., Legităţile psihologice ale învăţării şi predării (trad.), E.D.P.,

Bucureşti, 1980. 104. *** Perfecţionarea activităţii instructiv-educative în grădiniţe (Culegere

metodică), 1975-1981. 105. *** Revista învăţământului preşcolar, 1980-1994. 106. *** Revista învăţământului preşcolar, numerele 3, 4 (1994), numerele 1, 2, 3, 4

(1996) , numerele 1,2 (1997). 107. *** Revista învăţământului preşcolar, Educaţia în anul 2000, numerele 1, 2 (2000). 108. *** Programa activităţilor instructiv-educative în grădiniţa de copii, Ed.Tribuna

învăţământului, Bucureşti, 1993. 109. *** Programa activităţilor instructiv-educative în grădiniţa de copii, Editura

Integral, Bucureşti, 2000. 110. *** Predarea orientată după necesităţile copilului, C.E.D.P., Step by Step, 1999 111. *** Crearea claselor orientate după necesităţile copiilor, C.E.D.P., Step by Step,

1999

184

CUPRINS

CAPITOLUl 1 : Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării matematicii în învăţămîntul preprimar şi primar 1.1 Premisele psihopedagogice ale învăţării matematicii; formarea reprezentărilor şi conceptelor matematice;

CAPITOLUL 2: Curriculum naţional la disciplina matematică pentru învăţământul primar

2.2 Structura programei şcolare………………………………………………..........................................…….........20 2.3 Tipuri de curriculum la matematică........................................................................................................................21 CAPITOLUL 3: Relaţia între curriculum şi proiectarea didactică 3.1 Proiectarea didactică, demers educativ coerent de transpunere a paradigmei curriculare în activitatea didactică......................................................................................................................... 23 3.2 Conceptul de unitate de învăţare. Proiectarea unei unităţi de învăţare.................................................................. 24 3.3 Etapele proiectării demersului didactic……………………………...…….......................................…….......... .27 CAPITOLUL 4 : Metode de învăţământ specifice activităţilor matematice

4.2 Metode specifice activităţilor matematice………………………….........................................……….…..........38 4.3 Forme de organizare a activităţii elevilor …………………....……........................................……....…............. 62 4.4 Activitatea diferenţiată…………………………………………….........................................…………. ...........63 4.5 Modalităţi de integrare a calculatorului în lecţia de matematică..........................................................................65 CAPITOLUL 5:Materiale şi mijloace didactice specifice activităţilor matematice 5.1 Mijloacele didactice folosite în activităţile matematice ……………............................................................……67 5.2 Materialul didactic utilizat la matematică…..........................................................................................................70 CAPITOLUL 6 : Evaluarea progresului şcolar 6.1 Forme de evaluare………………………………………………………….......................................................…75 6.2 Metode alternative de evaluare…………………………………......................................................……………76 6.3 Probe de evaluare elaborate de învăţător………………………..........................................................…………84 6.4 Matrice de evaluare………………………………………………................................................................……87 CAPITOLUL 7: Jocul didactic matematic 7.1 Clasificări şi funcţii ale jocului didactic matematic…….………………....................................................……..89 7.2 Structura jocului didactic……………………………………………........................................................……...91 7.3 Componentele jocului didactic matematic………………………….............................................................……92 7.4 Organizarea şi desfăşurarea jocului didactic matematic……………......................................................…….....947.5 Jocul logico-matematic……………………………………………….........................................................…….97 CAPITOLUL 8: Bazele psihopedagogice şi metodologice ale formării conceptului de număr natural 8.1 Conservarea numerică si formarea conceptului de număr la vârsta de 6-7 ani……..........................…………..103 8.2 Organizarea activităţii didactice în perioada prenumerică...................................................................................105 8.3 Etapele de predare-învăţare a unui număr……….……………………….......................................................…108 8.4 Metodologia formării noţiunii de număr natural …………………...........................................................…….109 8.5 Compararea şi ordonarea numerelor naturale de la 0 la 100…….....................................................…….114 CAPITOLUL 9 : Conceptul de operaţie în învăţământul primar. Metodologia predării-învăţării operaţiilor cu numere naturale

1.3 Teorii privind formarea reprezentărilor şi conceptelor matematice ……….......................................................11

2.1 Finalităţile învăţării matematicii pe cicluri de învăţământ şi cicluri curriculare..................................................19

structura conceptuală a disciplinei...........................................................................................…............................... 5 1.2 Aspecte ale dezvoltării intelectuale a şcolarului mic ……………...…...................................................…......... 8

4.1. Definiţie. Funcţii pedagogice ale metodelor……………….....………............................................……...........37

9.1 Formarea reprezentărilor despre operaţii şi înţelegerea sensului operaţiilor….............................................…..117

186

9.2 Metodologia predării-învăţării operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor naturale

9.3 Înmulţirea numerelor naturale folosind adunarea repetată de termeni egali.......................................................140 9.4 Împărţirea numerelor naturale..............................................................................................................................146 CAPITOLUL 10: Conceptele de mărime, măsurare şi măsură în învăţământul primar. Metodologia predării-învăţării unităţilor de măsură 10.1 Noţiunea de măsură; conservarea măsurii..........................................................................................................153 CAPITOLUL 11: Metodologia predării-învăţării elementelor de geometrie 11.1. Scurt istoric…………………………………………………………….....................................….........….…..157 11.2 Învăţarea geometriei în ciclul primar…………………………..............................................…………………158 CAPITOLUL 12: Conceptul de problemă şi de rezolvare de probleme în învăţământul primar. Bazele psihopedagogice şi metodologice ale activităţilor de rezolvare şi compunere de probleme de matematică 12.1. Clasificarea problemelor……………………………………….............................................…………………161 12.2. Metode de rezolvare a problemelor…………………………………………............................................……162 12.3 Cultivarea creativităţii elevilor prin activitatea de rezolvare si compunere de probleme………………………………………………........................................................…..177 Bibliografie.................................................................................................................................................................181

fără trecere şi cu trecere peste ordin. Algoritmi de calcul.....................................................................................119