429

8. CIRCUITE ELECTRICE Din punctul de vedere al electrocineticii, circuitul electric este un sistem fizic format dintr-unul sau mai multe "lanuri" nchise de corpuri conductoare (lanuri numite i ochiuri sau bucle), n care "acioneaz" cel puin un cmp electric imprimat i/sau solenoidal.

Din punctul de vedere al tehnicii, circuitul electric este alctuit din surse i din receptoare de energie electric, conectate ntre ele n scopul transformrii energiei dintr-o form neelectric (la surse) n alta (tot neelectric, la receptoare) prin intermediul unor procese de cmp electromagnetic. Dup variaia n timp a mrimilor electrice de circuit (t.e.m., intensitate a curentului, poteniale ale diferitelor puncte ale circuitului etc.) exist: circuite de curent continuu i circuite de curent alternativ.

8.1. Elementele circuitelor electrice. Parametri de circuit

Din punctul de vedere al proceselor de cmp, circuitele conin ca elemente constitutive: rezistoare, bobine i condensatoare, numite i componente de circuit. Acestea pot fi active (n special rezistorul i bobina), cnd sunt sediul unor tensiuni electromotoare, sau pasive. Dac parametrii caracteristici ai acestor dispozitive (rezisten, inductan, capacitate) sunt independeni de curentul electric sau de tensiunea aplicat la bornele lor, ele constituie elemente de circuit liniare. n conductoarele metalice, legea conduciei electrice exprimat prin relaiile JE = sau

Riu = se realizeaz cu foarte mare precizie i de aceea metalele sunt ncadrate n categoria de conductoare numite liniare. n lichide, cu unele excepii, deplasarea sarcinilor electrice se face de asemenea n concordan cu legea conduciei. Curentul electric n gaze nu se supune ns nici mcar cu aproximaie legii lui Ohm. Un astfel de mediu conductor n care curentul electric nu se supune legii conduciei se numete neliniar. n afar de gaze, exist numeroase corpuri conductoare neliniare: straturile de tranziie dintre metale i oxizii lor, anumite compoziii ceramice, semiconducrorii etc. n cadrul elementelor de circuit electric sunt considerate neliniare arcul electric, dispozitivele semiconductoare, tuburile electronice sau ionice, bobinele cu miez de fier etc. Comportarea acestor componente n regim electrocinetic este descris de caracteristica tensiune - curent )(ifu = sau )(ufi = , numit caracteristic volt - amper, care este neliniar. Elementele neliniare, ntr-o reea, aduc uneori prejudicii funcionrii reelei ns alteori, particularitile lor sunt folosite la rezolvarea unor probleme importante de electrotehnic. De aceea, cunoaterea efectelor neliniaritii circuitelor i a consecinelor ei este o chestiune de mare importan practic.

8.1.1. Parametrii circuitelor electrice

Parametrii de circuit sunt mrimi fizice care caracterizeaz comportarea elementelor de circuit aflate n cmp electromagnetic. Ei sunt rezistena, conductana, inductivitatea (inductana) proprie, inductivitatea (inductana) mutual, capacitatea, elastana precum i impedana, admitana, reactana, susceptana -pentru circuitele de curent alternativ sinusoidal.

430

Parametrii de circuit pot fi concentrai, adic localizai n anumite elemente ale circuitului, sau distribuii (uniform sau dup o anumit lege) i depind de dimensiunile i forma corpului, de natura materialului, de omogeneitatea i izotropia sa etc. Ei sunt adesea sub influena unor factori de mediu cum sunt temperatura, umiditatea etc, nfluen care n unele aplicaii poate fi neglijat.

8.1.2. Elemente de circuit

Elementele de circuit sunt constituite n scopul realizrii unor anumite procese de cmp: rezistorul pentru a transforma energia electromagnetic n cldur, bobina pentru a produce cmp magnetic, condensatorul pentru a produce cmp electric. Comportarea lor este caracterizat prin parametri de circuit cum sunt: rezistena, conductana, inductana proprie i/sau mutual, capacitatea etc. Dei construite pentru a prezenta un anumit parametru de circuit, orice elemente de circuit prezint simultan mai muli parametri al cror efect este mai mult sau mai puin semnificativ. n regimuri cvasistaionare, nu i la frecvene foarte ridicate, putem considera, fr erori pentru calculele practice, c rezistorul prezint numai rezisten, bobina numai inductan iar condensatorul numai capacitate. n cele mai multe cazuri elementele de circuit nu au dimensiuni mari, iar acest lucru permite s neglijem distribuia spaial a parametrilor circuitului, pe care i considerm concentrai.

Rezistoare

Aceste elemente au rolul de a introduce n circuit o rezisten electric, consecin a proprietii fizice pe care o au. Dup mrimea rezistivitii, corpurile care prezint rezisten electric pot fi: - conductori electrici, propriu-zii, avnd rezistivitatea pn la circa 1 cm; - semiconductori, a cror rezistivitate este cuprins ntre circa 1 cm i 1010 cm; - izolani, cu rezistivitatea mai mare dect limita considerat maxim pentru rezistivitatea semiconductorilor.

Limitele de mai sus sunt orientative i nu riguroase: un corp cu rezistivitatea cuprins ntr-o categorie poate prezenta proprieti specifice altei categorii. Prezena rezistenei n circuitele electrice are urmtoarele efecte: - cderea de tensiune, efect definit prin diferena de potenial la bornele rezistorului de rezisten R atunci cnd este sub curentul i: Riu = . ntr-un circuit ca acela din figura 8.1, compus din sursa de t.e.m e , receptorul de energie R i conductoarele de legtur cu rezistenele

1R i 2R rezult: ri cderea de tensiune pe rezistena intern a sursei, rieu =0 tensiunea la bornele sursei, iRiRuuul 2121 +=+= cderea de tensiune n conductoarele de legtur, luuu = 01 tensiunea aplicat receptorului. n reelele electrice industriale se admite o cdere de tensiune procentual n conductoarele de legtur (n linie) de maximum 5 %, n vederea asigurrii unei tensiuni normale de funcionare la receptor; - pierderea de putere i energie. n regim electrocinetic se produce o degajare de cldur. Viteza de transformare a energiei n cldur este egal cu puterea electric absorbit de rezistor:

2Riuip == . Rezistoarele aparatelor electrice de nclzit sunt construite tocmai pentru realizarea acestui efect (efectul termic al electrocineticii).

431

Rezistena unui conductor metalic variaz cu temperatura ca i rezistivitatea, dup modelul )1(0 += RRR . n calculele practice este admis nlocuirea lui R0 cu R20, temperatura de referin fiind de 20 C, iar fiind luat n raport cu aceast temperatur. Diferena dintre coeficienii de temperatur ai rezistenei i rezistivitii se poate neglija practic, lundu-se

=R , deoarece variaia dimensiunilor materialului cu temperatura este nesemnificativ fa de variaia rezistivitii. n apropiere de zero absolut rezistivitatea majoritii metalelor scade brusc. Fenomenul se numete supraconductivitate electric (v. 4.6.2). n zona de temperaturi cuprins ntre zero i 100 C rezistena conductoarelor variaz liniar cu temperatura. Conductorii situai la limit ntre proprietile materialelor conductoare i ale celor semiconductoare, cum sunt nichelina, constantanul, manganina, prezint particularitatea unei rezistene practic constante ntre zero i 200 C. Ele servesc la confecionarea reostatelor pentru pornirea motoarelor electrice i la confecionarea rezistenelor pentru cuptoarele electrice. Caracteristicile )(ifu = pentru cazurile menionate mai sus sunt cele din figura 8.2. Rezistena conductoarelor metalice se mai modific i ca urmare a tratamentelor mecanice i termice; prin ecruisare rezistivitatea crete iar prin tratamentele de recoacere sau de revenire crete conductivitatea. Din punctul de vedere constructiv rezistoarele se clasific n rezistoare fixe i rezistoare variabile, iar din punctul de vedere al realizrii prii rezistive exist trei tipuri de rezistoare: - rezistoare bobinate - la care partea rezistiv este un conductor metalic de mare rezistivitate bobinat pe un suport izolant; - rezistoare peliculare - la care elementul rezistiv este format dintr-o depunere pelicular, rezistiv, cu grosime mai mic dect 100 m, pe un suport izolant; - rezistoare de volum - cu elementul rezistiv format dintr-un corp "masiv" de diferite forme (de obicei cilindric). Rezistoarele de acest tip se numesc i rezistoare chimice fiind realizate dup o tehnologie de tip chimic. Rezistoarele fixe au simbolul grafic reprezentat n figura 8.3 i sunt caracterizate prin: - rezistena nominal, nR i tolerana acesteia exprimat n procente din nR . Rezistoarele etalon au tolerana de 1% sau 2,5%, rezistoarele de precizie au tolerana de 2,5% i 5%, iar cele de uz curent au tolerane de la 5% pn la 20%; - puterea de disipaie nominal reprezint puterea electric maxim

2nn IR ce poate fi dezvoltat n rezistor fr ca temperatura acesteia s

depeasca valoarea maxim admis; - tensiunea nominal, nU , definit ca fiind tensiunea maxim de durat ce poate fi aplicat la bornele rezistorului; - intervalul temperaturilor de lucru, n limitele cruia se asigur funcionarea de durat a rezistorului.

Fig. 8.1

Fig. 8.2

Fig. 8.3

432

Rezistoarele variabile al cror simbol de schem este prezentat n figura 8.4 sunt caracterizate n funcie de tipul lor constructiv prin: - rezisten iniial, 0r , definit ca rezistena n poziia iniial a contactului mobil; - rezistena saltului iniial, sr definit ca variaia minim a rezistenei la deplasarea contactului mobil din poziia iniial; - rezistena de contact, kr , adic rezistena dintre contactul mobil i partea fix (rezistiv); - rezoluia sau precizia reglrii exprimat prin variaia minim posibil a rezistenei la deplasarea contactului mobil; - modul de variaie al rezistenei, de exemplu, liniar, logaritmic etc, n funcie de parametrul de poziie al contactului

mobil; - puterea necesar acionrii contactului mobil, numit i cursor. Contactul mobil se execut n diverse moduri ca: lamel, perie sau plot din bronz fosforos, alam sau oel "apsat" pe parte fix cu ajutorul unui arc spiral sau lamelar. Din punct de vedere constructiv, rezistoarele variabile pot fi de form rectilinie sau circulare. Cele circulare pot fi elicoidale (cu deplasare elicoidal a cursorului) sau cu unghi de rotaie. n montaje, rezistoarele variabile se pot conecta n dou moduri: reostatic (fig. 8.5) i poteniometric (fig. 8.6).

Alte modaliti de legare a rezistoarelor variabile sunt prezentate n figura 8.7: reostat cu scurtcircuitare (a), reostat dublu (b), poteniometru cu contact fix (c). Poteniometrul cu contact median fix realizeaz un reglaj de la U la +U al tensiunii de ieire.

Rezistoare neliniare. Dup alura caracteristicii volt amper, deosebim elemente neliniare simetrice i nesimetrice. Cele din prima categorie ( de exemplu: lampa cu filament metalic figura 8.8a, lampa cu filament de crbune - figura 8.8b, tubul baretor cu filament de fier sau volfram i umplut cu hidrogen sub presiune figura 8.8c, termistorul confecionat din pulberi de oxizi de cupru, titan sau zinc, presate la temperaturi nalte figura 8.8d, varistorul confecionat din carbur de siliciu figura 8.8e) au curba caracteristic simetric n raport cu originea axelor de

coordonate, ceea ce arat c rezistena lor depinde de curent n mod identic pentru ambele sensuri ale acestuia. La elementele nesimetrice (cum sunt dioda cu vid figura 8.9a sau dioda semiconductoare figura 8.9b) rezistena depinde i de sensul curentului prin element.

Fig. 8.4

Fig. 8.5 Fig. 8.6

Fig. 8.7

433

Caracterizarea rezistoarelor neliniare se face prin rezistena static corespunztoare punctului de funcionare, M, i prin rezistena dinamic. Prima, este definit prin:

== tg/ mMs iuR , (8.1) (v. fig. 8.10), iar cealalt prin:

.tgddlim

0=

=

=

MMid i

uiuR (8.2)

Din cele de mai sus rezult c rezistena static are numai valori pozitive, rezistena dinamic putnd fi negativ pe acele poriuni ale caracteristicii pe care variaiile tensiunii i curentului au sensuri opuse. Rezistena dinamic ne indic modul cum variaz rezistena rezistorului neliniar la creterea tensiunii aplicat la bornele sale.

Rezistoare neliniare comandate. Prin comanda rezistoarelor se nelege procedeul prin care se modific poziia sau forma caracteristicilor acestuia n planul de reprezentare ( iu, ). O deosebit importan practic o prezint comanda prin mrimi electrice a rezistoarelor electrice neliniare. Caracteristica rezistorului fiind descris de relaia )(uii = n care considerm curentul ca "semnal de rspuns", dependent neliniar de "semnalul de excitaie principal" u , prin comand se realizeaz o nou caracteristic ),( cuuii = , cu ajutorul unui al doilea semnal de excitaie, cu , numit "semnal de comand". Pentru un rezistor comandat, caracteristica .const)( == cuuii se numete caracteristic de sarcin sau caracteristic de lucru iar .const)( == ucuii se numete caracteristic de comand. Rezistoarele neliniare comandate cu cea mai larg utilizare n tehnic sunt trioda electronic i trioda semiconductoare (tranzistorul) i -pentru puteri mari- tiristorul.

Rezistorul liniar variabil n timp (parametric). Rezistorul parametric are ecuaia caracteristic )()()( titRtu = , n care )(tR se numete rezisten parametric. Rezistoarele eteroparametrice i

modific rezistena sub aciunea unor cauze exterioare. Ea poate varia continuu sau prin salt, instantaneu sau inerial.

Fig. 8.10 Fig. 8.9

Fig. 8.8

434

n tehnic, rezistoarele eteroparametrice au utilizri multiple i se realizeaz ntr-o gam larg de tipuri ca de exemplu: rezistoarele din particule de crbune care i modific rezistena sub aciunea presiunii; rezistoarele filiforme care se alungesc n domeniul elastic, dac sunt supuse la eforturi mecanice; termorezistenele a cror rezisten se modific sub aciunea temperaturii etc. Rezistoarele autoparametrice sunt rezistoare neliniare neineriale, care i modific rezistena dinamic sub aciunea unor excitaii periodice sau neperiodice, un exemplu tipic fiind dioda semiconductoare.

Bobine electrice

Bobina electric este elementul de circuit constituit dintr-o succesiune de spire n serie i destinat producerii cmpului magnetic, atunci cnd spirele sunt "parcurse" de curent, sau destinat a fi sediul unei tensiuni electromotoare induse, cnd circuitul bobinei se afl ntr-un cmp magnetic variabil n timp. De asemenea, bobina ca element de circuit poate fi destinat limitrii vitezei de cretere a curentului n circuit ca urmare a fenomenului autoinduciei. n acest caz se spune c bobina este destinat introducerii ntr-un anume loc din circuit a unei inductane (inductiviti) sau a unei reactane. Bobinele destinate producerii cmpului magnetic (bobine de excitaie) i acelea destinate producerii prin inducie electromagnetic a curenilor, intr n componena mainilor i aparatelor electrice cum sunt mainile rotative, aparatele de msurat, releele, contactoarele etc. Bobinele destinate introducerii inductivitii n circuite se pot constitui ca bobine autonome cum sunt bobinele de inductan, bobinele de reactan, bobinele etalon, bobinele de oc etc. Din punctul de vedere al electrocineticii bobinele sunt caracterizate prin parametrul inductivitate (inductan) proprie L i/sau inductivitate (inductan) mutual M. Inductivitatea este parametrul de circuit care exprim, aa cum s-a artat n capitolul 5, posibilitatea circuitelor, aflate n regim electrocinetic, de a produce flux magnetic prin anumite suprafee. Clasificarea constructiv a bobinelor se face dup criterii exterm de variate, ce nu pot fi cuprinse n acest capitol. De aceea ne limitm la cteva criterii generale. Din punctul de vedere funcional bobinele pot fi fixe pentru care inductivitatea L este constant n tot timpul funcionrii i variabile pentru care variaia inductivitii este funcional necesar. Simbolurile lor de schem sunt prezentate n figura 8.11a i, respectiv, 8.11b. Bobinele cuplate, caracterizate prin inductivitate mutual M, se reprezint pe scheme aa ca n figura 8.12. n figura 8.12a este prezentat simbolul pentru bobine cu cuplaj fix, iar n figura 8.12b, simbolul pentru bobine cu cuplaj variabil. Asteriscurile cu care sunt marcate una din cele dou extremiti ale bobinei arat n mod convenional asocierea sensului de referin al curentului cu sensul de bobinare al spirelor. Astfel,

dac n prima bobin sensul curentului este de la borna polarizat ctre cea nepolarizat, atunci n cea de a doua bobin se induce o tensiune electromotoare cu sensul de referin tot de la borna polarizat ctre cea nepolarizat.

Fig 8.11 Fig 8.12

435

Bobinele se realizeaz, de regul, dintr-un conductor bobinat elicoidal, ntr-unul sau mai multe straturi, pe o carcas din material izolant. Bobinele fr miez de fier sunt liniare n sensul c inductivitile lor (L, M) sunt constante. Miezul de fier ofer posibilitatea obinerii de inducii magnetice mari cu ajutorul unor cureni de intensitate relativ mic, pe seama permeabilitii mari a materialului feromagnetic. Din cauza faptului c permeabilitatea magnetic a feromagneilor depinde de intensitatea cmpului magnetic exterior, relaia HB = nu este liniar. Tot neliniar va fi i dependena )(if= reprezentnd caracteristica magnetic a bobinei (fig. 8.13) i, prin urmare, inductivitatea bobinei

iNL /= nu mai este constant (cu N s-a notat numrul de spire). Bobina cu miez de fier este deci un element de circuit cu comportare neliniar. Carcasele bobinelor pot fi tubulare, cu seciune ptrat, dreptunghiular sau rotund (dup forma miezului) sau cu flane laterale sau intermediare. Materialul din care se execut se alege n funcie de rezistena de izolaie necesar n timpul funcionrii, de rezistena mecanic, de stabilitatea termic, de stabilitatea la umezeal etc. Bobinajul propriu-zis se execut din conductoare de cupru sau aluminiu cu seciune rotund sau dreptunghiular, izolate cu emailuri (lacuri pe baz de polivinilacetat, rini poliuretanice, epoxidice, siliconice etc), fibre textile (bumbac, mtase), fibre anorganice (sticl) i izolaii mixte (email-bumbac, email-mtase etc). Bobinele tehnice sunt caracterizate prin urmtoarele mrimi: - inductivitate nominal L ; - rezisten electric a nfurrii r ; - rezisten de pierderi (echivalent pierderilor n fier, prin cureni turbionari i prin histerezis, la o anumit frecven de lucru v. subcap. 7.3); - inducia magnetic maxim n miez; - tensiunea de lucru (nominal); - curentul de lucru (nominal).

Bobina neliniar. Studiul bobinei cu miez de fier presupune rezolvarea sistemului neliniar :

t

Riudd+= ; (8.3)

)(i= . (8.4) Parametrul principal al bobinei neliniare l constituie inductana ei. n cazul n care caracteristica de magnetizare este reprezentat n planul

),( HB se definete ca parametru permeabilitatea. Inductivitatea static i permeabilitatea magnetic static sunt proporionale cu panta dreptei OM (fig. 8.14):

== tgLM

Mst ki

L (8.5)

i

== tgkHB

M

Mst . (8.6)

unde iL kkk /= i HB kkk /= reprezint coeficienii de scar ai inductivitii i respectiv permeabilitii.

Fig. 8.13

Fig. 8.14

436

Inductivitatea dinamic i permeabilitatea magnetic dinamic sunt proporionale cu panta tangentei n M la curba de magnetizare:

(8.7) =

= tgdd

LM

d kiL

i

(8.8) =

= tgdd kHB

Md .

n figura 8.15 s-au trasat curbele )(iB , )(iLst i )(iLd pentru ntreg domeniul de variaie al curentului. Se observ c ambele mrimi au numai valori pozitive.

Bobina neliniar comandat. Comanda bobinei neliniare se realizeaz prin aplicarea unui cmp magnetizant suplimentar, n mod obinuit pe direcia cmpului magnetic principal. Deosebit de important n practic este comanda n curent continuu, realizat cu o nfurare cu cN spire plasate pe acelai miez cu bobina propriu-zis (nfurarea de sarcin) avnd sN spire (fig. 8.16).

Limitarea curenilor indui de circuitul de sarcin n cel de comand se face, fie prin nserierea unei bobine de inductan, L , n nfurarea de comand (fig. 8.16), fie dispunnd bobinele pe dou miezuri ca n figura 8.17a. n majoritatea aplicaiilor practice intereseaz caracteristicile de comand .const)( == cIsss IUU (valori eficace) figura 8.17b i .const)( == sUcss III figura 7.17c.

Bobina liniar variabil n timp (parametric) i necuplat magnetic. Variaia inductivitii unei bobine poate fi realizat fie prin variaia dimensiunilor geometrice, fie prin

variaia permeabilitii. Bobina eteroparametric

este este prevzut cu ntrefier variabil (de exemplu mainile cu poli apareni) sau cu posibilitatea introducerii n ntrefier a unor lamele din material feromagnetic, n care se induc cureni turbionari al cror cmp magnetic contribuie substanial la modificarea nductivitii. Ea se

poate realiza i cu ajutorul unor cuplaje magnetice variabile n timp (de exemplu mainile cu poli necai). Traductoarele inductive de deplasare utilizeaz asemenea principii. Bobinele neliniare neineriale pot fi considerate autoparametrice deoarece inductana lor variaz periodic n timp datorat variaiei periodice a semnalului de excitaie.

Fig. 8.15 Fig. 8.16

Fig. 8.17

437

Condensatoare electrice

Elementul de circuit conceput s aib ca parametru principal capacitatea este condensatorul electric, numit, uneori, capacitor. Utilizrile condensatoarelor sunt multiple i sunt bazate pe proprietatea pe care o au, de a restitui total sau parial enrgia nmagazinat pentru stabilirea cmpului electric ntre armturi. Din acest punct de vedere un rol deosebit l joac dielectricul, iar caracteristicile condensatoarelor depind de natura dielectricului folosit. Dac dielectricul condensatorului nu este liniar, adic dac permitivitatea depinde de intensitatea local i momentan a cmpului, atunci dependena )(uqq = dintre sarcina i tensiunea condensatorului nu mai este liniar. n acest caz se pot defini mai multe capaciti care depind de punctul de funcionare al condensatorului (fig. 8.18). Capacitatea static, sC , ntr-un anumit punct de funcionare (fig. 8.18a) este definit prin relaia:

= tg=uqCs , (8.9)

dependent, dup cum se vede, de tensiunea aplicat la bornele condensatorului. Capacitatea diferenial dC , se definete prin relaia (v. fig.8.18b ):

=

=

= tgd

dlim0

MMud i

uiuC . (8.10)

Ea ne arat cum variaz sarcina la variaia tensiunii n jurul punctului de funcionare i este ,de asemenea, o funcie de tensiunea aplicat. Capacitatea dinamic a unui condensator neliniar reprezint raportul dintre amplitudinea

aq a variaiei sarcinii i amplitudinea corespunztoare au a variaiei tensiunii, la alimentarea cu o tensiune variabil n timp, alternativ, dar care are o component continu 0U (ce corespunde punctului mediu de funcionare) i o component periodic sinusoidal:

=

a

a

uqCdin (8.11)

Capacitatea dinamic depinde, la rndul ei, de punctul de funcionare precum i de amplitudinea componentei alternative i de frecvena ei. Din punctul de vedere al dielectricului utilizat, condensatoarele se clasific n: condesatoare cu dielectric gazos (cu aer, cu vid, cu azot sub presiune sau rarefiat etc), condesatoare cu dielectric lichid (ulei), condesatoare cu dielectric anorganic solid (hrtie, pelicule plastice etc) i condensatoare cu dielectric mixt (cu dielectrici n combinaii diverse). Condensatoarele cu vid sau condensatoarele cu gaz comprimat se folosesc la instalaiile de nalt tensiune i de frecvene radio, deoarece au rigiditate dielectric mare i pierderi n dielectric foarte mici.

Fig. 8.18

438

Prin rigiditate dielectric nelegem, dup cum s-a artat n capitolul 3, raportul dintre tensiunea sU la care apare strpungerea unui strat dielectric plasat ntre doi electrozi plani i grosimea d a acestui strat:

(8.12) d

UE ss = , [kV/cm]. Rigiditatea dielectric este, prin urmare, egal cu valoarea maxim a intensitii cmpului la

care poate fi strpuns dielectricul i este o caracteristic a oricrui material izolant. Condensatoarele cu ulei, avnd capacitatea specific mai mare i tensiunea de strpungere mare se folosesc n instalaiile electroenergetice, la 50 Hz i la tensiuni de lucru pn la 100 kV. Condensatoarele electrolitice se folosesc la montajele de filtraj ale redresoarelor cu tensiuni pn la 1000 V (valoare de vrf). Condensatoarele cu hrtie sunt ieftine i sunt folosite n circuitele de joas frecven, n special la aplicaii de tip industrial (de exemplu, pentru compensarea puterii reactive a lmpilor fluorescente). Din punct de vedere constructiv, condensatoarele pot fi condensatoare fixe, a cror capacitate se stabilete la fabricaie i rmne constant pe ntreaga durat de funcionare i condensatoare variabile a cror capacitate se poate modifica n limite stabilite n timpul funcionrii sau pentru reglaj iniial. Simbolizarea lor n scheme este fcut ca n figurile 8.19a, respectiv, 8.19b. Condensatoarele fixe au diverse forme constructive: plan, cilindric, bobinat. Pentru obinerea unor performane superioare se realizeaz tipuri speciale de condensatoare plane cum

sunt cele constituite dintr-o folie de mic argintat (pentru nlturarea interstiiei dielectric-armtur), condensatoarele ceramice cu strat de baraj (armtur-strat semiconductor-strat dielectric ceramic-strat semiconductor-armtur) care obin capaciti specifice foarte mari (permind miniaturizarea condensatoarelor) etc. Condensatoarele variabile se construiesc dup dou principii distincte: cu variaia capacitii prin variaia suprafeei armturilor, distana dintre armturi rmnnd constant sau, cu variaia distanei dintre armturi, suprafaa lor rmnnd constant. Condensatoarele din prima categorie sunt preferate deoarece prezint o caracteristic

)(AfC = liniar (fig. 8.20a). Condensatoarele variabile prin reglarea distanei dintre armturi au caracteristica

)(dfC = neliniar (fig. 8.20b) i sunt utilizate acolo unde sunt necesare reglaje foarte fine pe poriuni mici.

Principalele caracteristici ale condensatoarelor sunt de natur electric i tehnologic. Caracteristicile electrice ale condensatoarelor sunt: - capacitatea electric nominal nC , la condensatoarele fixe i limitele nCC 0 ntre care poate fi reglat capacitatea unui condensator variabil;

- tolerana capacitii la condensatoarele fixe (2% pentru clasa 0, 5% pentru clasa I, 10% pentru clasa II i 20% pentru clasa III); - tensiunea de strpungere sU ; - pierderile de putere n regim periodic permanent.

Fig. 8.19

Fig. 8.20

439

Caracteristicile tehnologice ale condensatoarelor sunt: - tensiunea nominal (de lucru) continu cU ; - coeficientul de siguran, dat de raportul cs UU / ; - tensiunea nominal de lucru alternativ U (valoare eficace); - temperatura maxim de lucru; - poziia de funcionare; - capacitatea specific (F/cm3). Condensatorul cu pierderi. Materialele izolante nu sunt n realitate dielectrici ideali

deoarece n ei apar mici cureni de conducie (care produc pierderi n dielectric i nclzirea acestuia) sau prezint fenomenul de histerezis dielectric caracterizat printr-o dependen neliniar (fig. 8.21) dintre sarcina q de pe armturi i tensiunea u aplicat condensatorului (sarea Seignette, titanatul de bariu), aa cum s-a artat n capitolul 3. Fenomenul de histerezis dielectric const de fapt n rmnerea n urm a induciei n raport cu cmpul electric, dependena q(u) reprezentnd la alt scar dependena D(E) aa cum rezult din legea fluxului electric i din relaia de definiie a tensiunii:

qAD =

d (8.13)

i ulE =

21d . (8.14)

Caracteristica )(uq pune n eviden proprieti remanente ale substanelor numite seignettoelectrice sau feroelectrice. Ea reprezint ciclul de ncrcare al condensatorului, n timp ce relaia )(EDD = reprezint ciclul de polarizare electric. Forma ciclului dinamic de histerezis depinde i de conductivitatea dielectricului. Dac se noteaz cu 0G conductana dielectricului i cu 0i intensitatea curentului de conducie prin dielectric, expresia curentului absorbit de la surs va fi dat de relaia:

+=+=tquG

tqii

dd

dd

00 (8.15)

Pierderile dielectrice se obin nmulind relaia de mai sus cu tensiunea la bornele condensatorului:

tquuGui

dd2

0 += (8.16) i sunt egale cu suma dintre pierderile prin conducie: 20uGpJ = (8.17) i pierderile prin histerezis dielectric:

=tquph d

d (8.18)

Se vede c pierderile prin histerezis dielectric sunt proporionale cu aria ciclului respectiv. Condensatorul liniar variabil n timp (parametric). Condensatoarele eteroparametrice

se construiesc cu distana ntre armturi variabil sau cu aria suprafeei armturilor variabil i prezint interes n special pentru utilizarea lor ca traductoare. Condensatoarele neliniare sunt totodat condensatoare autoparametrice deoarece capacitatea lor dinamic variaz periodic sub aciunea semnalelor periodice.

Fig. 8.21

440

Generatorul independent de tensiune

Generatorul ideal de tensiune este elementul activ de circuit a crui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, generatorul fiind caracterizat de variaia n timp a tensiunii electromotoare: (8.19) )(teu = . n planul ( iu, ) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel la axa io (fig. 8.22). Deoarece intensitii curentului i corespunde univoc o valoare a tensiunii, generatorul ideal de tensiune poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de curent. Simbolul su grafic este acela din figura 8.23.

Generatorul este de tensiune continu dac tensiunea electromotoare este constant n timp: Ete =)( . Generatorul real de tensiune continu este caracterizat de tensiunea electromotoare E i de rezistena gR (fig. 8.24), caracteristica de funcionare fiind o dreapt (fig. 8.25) de ecuaie: (8.20) ggb IRUE = .

Generatorul independent de curent

Generatorul ideal de curent este elementul activ de circuit avnd intensitatea curentului independent de tensiune, ecuaia caracteristic fiind: (8.21) )(tii g= . n planul ( iu, ) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel la axa uo (fig. 8.26). Deoarece tensiunii i corespunde univoc o valoare a intensitii curentului, generatorul ideal de curent poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de tensiune. Simbolul su grafic este acela din figura 8.27.

Fig. 8.22 Fig. 8.23

Fig. 8.24 Fig. 8.25

441

Dac intensitatea curentului este constant n timp, gg Iti =)( , generatorul este de curent continuu. Generatorul real de tensiune continu este caracterizat de injecia de curent gI i de conductana gG (fig. 8.28), caracteristica de funcionare fiind:

ggg UGII = . (8.22)

8.2. Mrimi electrice de circuit

Studiul circuitelor linire se face cu ajutorul mrimilor intensitate a curentului electric de conducie, densitate a curentului electric de conducie, tensiune electromotoare i tensiune electric, mrimi care sunt numite, n mod obinuit, mrimi electrice de circuit.

8.2.1. Intensitatea curentului de conducie i

Asupra conductoarelor aflate n stare electrocinetic se exercit n cmpul magnetic fore suplimentare n raport cu cele electrice, termomecanice i cu cele magnetice determinate de deplasarea sarcinii odat cu conductorul sau de momentele magnetice ale corpurilor. O poriune rectilinie de lungime l (orientat n sensul deplasrii sarcinii pozitive) este supus n cmpul magnetic uniform forei electromagnetice , ale crei intensitate, direcie i sens satisfac regula efecturii produsului BliF = . Factorul de proporionalitate i este o mrime primitiv, global (integral), scalar, pozitiv, negativ sau nul, dependent numai de starea electrocinetic a conductorului, pe care n felul acesta o caracterizeaz. Macroscopic, aceast mrime, numit intensitate a curentului electric de conducie, este definit ca raport dintre fora maxim ce corespunde cazului Bl i produsul modulelor celor doi vectori:

BlBlFi

= .

. (8.23)

Unitatea de msur a intensitii curentului electric de conducie, amperul [A], este definit ca fiind acea valoare a intensitii curentului care stabilete ntre dou conductoare paralele, situate n vid la distana de 1m, o for electrodinamic de 2.10-7N/m (v. 1.2.1). Unitatea de msur este astfel aleas nct, sub aspect microscopic, ea s corespund unei viteze de deplasare a sarcinii prin seciunea conductorului de un coulomb pe secund [1C/s].

Fig. 8.26 Fig. 8.27

Fig. 8.28

442

8.2.2. Densitatea curentului electric de conducie

Caracterizarea local a strii electrocinetice se face cu ajutorul mrimii numit densitate a curentului electric de conducie. Ea este definit ca intensitate pe unitatea de arie perpendicular pe direcia deplasrii sarcinilor, a unei suprafee ce se strnge n jurul punctului considerat (fig.

8.29): Ai

AiJ A d

dlim 0 == [A/m2]. Atribuind densitii curentului de conducie direcia i sensul

deplasrii sarcinilor o definim ca fiind mrimea vectorial al crei flux printr-o suprafa este egal cu intensitatea curentului prin acea suprafa (v. 1.2.1):

(8.24) ;d.d AJi = (8.25) .d.

= AJi

n calculele tehnice de dimensionare ale conductoarelor circuitelor electrice se admite ipoteza conductorului filiform, ori de cte ori dimensiunile seciunii sunt mici n raport cu lungimea conductorului. Aceasta revine la a considera densitatea de curent uniform repartizat n seciune iar vectorul densitate de curent omoparalel cu tangenta la axa

conductorului. Dac seciunea conductorului este constant, relaia (8.25) devine: (8.26) JAi = , adic:

(8.27) =AiJ

Relaia (8.27) este folosit pentru a verifica dac densitea de curent n conductor rmne n limita admis.

8.2.3. Tensiunea electromotoare

Starea electrocinetic a conductoarelor este consecin a deplasrii purttorilor de sarcin n conductor atunci cnd nu mai este ndeplinit condiia de echilibru electrostatic ( 0+ iEE ).

Mrimea valoric egal cu lucrul mecanic efectuat de forele electrice i neelectrice pentru a deplasa sarcina pozitiv de un coulomb de-a lungul unui contur nchis se numete tensiune electromotoare de contur. Ea este modelat de circulaia cmpului electric rezultant de-a lungul conturului:

(8.28) ( )

+=+= lElElEEe iiD

c ddd .

Prima integral din membrul al doilea exprim tensiunea electric de-a lungul conturului , iar cealalt, tensiunea electromotoare imprimat. T.e.m. imprimat caracterizeaz sursele cu cmp electric imprimat, exprimnd capabilitatea forelor neelectrice de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii (v. subcap 4.3). n cazul unui regim electrocinetic staionar transportul sarcinilor se realizeaz numai pe contururi nchise. n acest caz tensiunea electromotoare de contur provine numai din tensiunea electromotoare imprimat deoarece 0d =

lE , conform teoremei potenialului electric staionar,

regimul electrocinetic staionar fiind ntreinut, aa cum s-a artat n capitolul 4, numai de cauze neelectrice. El se realizeaz pe seama consumului de energie neelectric acumulate n cmpurile imprimate aa cum se ntmpl, de exemplu, n sursele chimice, unde forele neelectrice efectueaz lucru mecanic pentru transportul sarcinilor pe seama consumului energiei unor reacii chimice.

Fig. 8.29

443

n regim electrocinetic nestaionar intensitatea cmpului electric are o component potenial cE , numit i cmp electric coulombian i una rotaional sE , produs prin inducie electromagnetic, numit i cmp electric indus: sc EEE += . n acest caz, tensiunea electromotoare de contur va fi produs de cmpul electric indus i de cmpul electric imprimat, fiind egal cu suma dintre t.e.m. indus i t.e.m. imprimat:

+= lElEe isc dd . (8.29)

Prin tensiune electromotoare ntre dou puncte ale unei curbe deschise se nelege circulaia sumei cmpului electric indus i a cmpului electric imprimat, efectuat ntre cele dou puncte: ( ) .d

+=

baisab lEEe (8.30)

Din cele expuse, rezult c t.e.m. este o mrime scalar, cu valoare pozitiv sau negativ n funcie de sensul ales pentru integrare. Sensul ales pentru integrare va fi sensul de referin pentru care valoarea rezultat prin integrare va fi pozitiv (v. i . 2.5). Evident, unitatea de msur pentru t.e.m. este voltul [V].

8.2.4. Tensiunea electric

Tensiunea electric exprim capabilitatea forelor cmpului electric rezultant de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii de-a lungul unei curbe, ntre dou puncte ale acesteia, modelul su fiind:

( )

+=21)(

12 dc

sc

DlEEu . (8.31)

Tensiunea la borne a unui dipol, bu , are ca model circulaia cmpului electric rezultant pe o curb deschis, c , prin dielectricul ce separ bornele a i b, iar tensiunea n lungul firului, fu , este definit de circulaia cmpului electric coulombian pe curba deschis dus prin conductor ntre cele dou borne (fig. 8.30): ( ) b

bacsc

D

ab ulEEu =+= )(

d , (8.32)

respectiv:

fba

c

D

abf ulEu == )(

d . (8.33)

n regim electrocinetic nestaionar cele dou tensiuni sunt diferite, fb uu . n schimb, n regimul electrocinetic staionar ( 0=sE ) rezult:

=

bac

bacc lElE

)()(

dd , (8.34)

deoarece circulaia vectorului cE nu depinde de drum, aa c fb uu = . Ca i tensiunea electromotoare, prezentat n paragraful anterior, tensiunea electric este o mrime scalar afectat de semnul plus sau minus dependente de sensul de integrare n raport cu sensul de referin. Sensul de referin este acela care d o valoare pozitiv tensiunii i care se indic printr-o sgeat sau un arc orientat unind cele dou borne.

Fig. 8.30

444

8.2.5. Asocierea sensurilor de referin

Caracterul algebric al unor mrimi scalare de circuit, rezultat din definiia lor n care intervin elemente geometrice (de arie i de curb) orientate, susceptibile de valori pozitive, nule sau negative impune alegerea unor sensuri de referin pentru calculul lor precum i stabilirea unor convenii de asociere a acestor sensuri de referin, pentru cazurile n care intervin, n aceeai relaie, mai multe asemenea mrimi. n absena unor reguli unice de asociere a sensurilor de referim, evident, scrierea ecuaiilor i concluziile asupra soluiilor sunt susceptibile de interpretri i chiar de erori. Din acest motiv, pentru scrierea legilor electromagnetismului se stabilesc reguli care se transmit i teoremelor deduse din aceste legi. Ele au fost expuse cu ocazia prezentrii legilor teoriei macroscopice a cmpului electromagnetic n subcapitolul 1.3. n cele ce urmeaz se reiau cteva din ele, cu referire la scrierea corect a ecuaiilor circuitelor electrice: i) n legile n care intervin fluxuri conservative prin seciunile transversale S ale unor tuburi de linii de cmp i circulaii n lungul unor curbe C , n general deschise, sensul de referin al fluxului se ia acelai cu sensul de referin al circulaiei - lA d||d (fig. 8.31).

Aceast regul este folosit i la scrierea sub form integral a legii lui Ohm, unde sensul de referin al tensiunii de-a lungul firului, fu , respectiv al t.e.m., se asociaz cu sensul de referin al curentului, i : (8.35) =+

SCi AJRlEE dd)( sau Rieu f =+ .

S-a considerat aria seciunii aceeai n lungul tubului. Aceast regul se va aplica, evident, i la scrierea teoremei a II-a a lui Kirchhoff care este o consecin a legii lui Ohm;

ii) n legile n care intervin fluxuri prin suprafee nchise , se alege ca sens de referin sensul determinat de normalele exterioare ale suprafeei. Astfel, la scrierea legii conservrii sarcinii, asociind sensul de referin al curentului cu semnul pozitiv al sarcinii electrice q din interiorul suprafeei (fig. 8.32), rezult: (8.36)

tqAJd

dd

= sau = tqi dd

Aplicnd aceast regul la scrierea teoremei I a lui Kirchhoff, consecin a legii conservrii sarcinii, se stabilete ca sens de referin al curentului sensul normalei exterioare la suprafaa imaginar ce nconjoar nodul (fig. 8.33) ;

Fig. 8.31

Fig. 8.32 Fig. 8.33

445

iii) n scrierea teoremelor ce intervin n calculul circuitelor se ntlnete adesea tensiunea la borne, modelat printr-o integral de linie referitoare la curbe deschise, situate ntre dou borne, A i B (fig. 8.34).

La scrierea relaiilor pentru circuite ca acela din figura 8.34 este necesar asocierea sensurilor pentru diferitele mrimi electrice n acelai mod n care s-a fcut aceast asociere la enunarea legilor. Acolo unde sensurile de referin a dou mrimi sunt independente ntre ele, trebuie s se prezinte n mod explicit convenia folosit pentru scrierea relaiilor dintre aceste mrimi.

La scrierea legii lui Ohm, curentul i tensiunea electromotoare s-au asociat cu acelai sens de referin iar curentul i tensiunea de-a lungul firului s-au asociat de asemenea cu acelai sens de referin.

Tensiunea la borne nu depinde de drumul de integrare. Ea poate fi calculat ntre cele dou borne ale circuitului pe oricare poriuni de contururi cuprinse ntre bornele A i B ce trec prin conductor sau prin exterior.

Integrnd pe conturul ' n sensul curentului, adic de la borna B ctre borna A, rezult: .dd

)( 'BAAB

A

BAB

uVVVlE ===

(8.37)

Integrnd pe conturul " , tot n sensul curentului, se obine: .dd

)( "ABBA

B

ABA

uVVVlE ===

(8.38)

Aa dar, sensul pozitiv al tensiunii la bornele A i B ar depinde, n fond, de sensul n care integrm pe un contur ce trece prin cele dou borne, urmnd s precizm acest lucru, n mod explicit, printr-o sgeat.

Pentru a se realiza ns o unitate n ceea ce privete modul de scriere a ecuaiilor circuitului se adopt urmtoarele convenii de atribuire a sensului pozitiv pentru tensiunea la borne:

- regula de generator (surs): Tensiunea la bornele sursei este pozitiv n sensul de la A la B, dac curentul prin surs are sensul dinspre borna B ctre borna A;

- regula de la receptor : Tensiunea la bornele receptorului este pozitiv n sensul de la A la B, atunci cnd curentul prin receptor are sensul tot de la borna A ctre borna B.

Prin atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne n circuitul din figura 8.34. dup cele dou reguli, ecuaia legii lui Ohm pe ramura sursei se va scrie: rieuAB =+ , (8.39) iar pe ramura receptorului: RiuAB = . (8.40)

Scriind acum ecuaiile bilanurilor de puteri: iuRiei AB+= 2 i respectiv 2RiiuAB = se constat c regula de la receptor i regula de la generator au urmrit atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne, astfel nct puterea iup AB= vehiculat prin borne s fie pozitiv atunci cnd este efectiv cedat la generator i primit de receptor.

Valoarea practic a regulilor de asociere a tensiunilor se poate aprecia integral n cazul circuitelor de curent alternativ, aa cum se va vedea n subcapitolul 8.5. n figura 8.35 se exemplific modul n care se aplic aceste reguli la scrierea ecuaiilor unui dipol, de unde se poate vedea c pentru studiul dipolului regula adoptat este indiferent, dar rezultatele calculelor trebuie nterpretate n raport cu sensurile de referin alese;

Fig. 8.34

446

iu) n cazul condensatoarelor, regulile uzuale de asociere a sensurilor de referin sunt cele utilizate la formularea legii conservrii sarcinii. n figurile 8.36 a i b sunt indicate aceste sensuri de referin, iar ecuaiile corespunztoare sunt:

(8.41) = tiCub d1 cu tqi dd= , respectiv:

(8.42) = tiCub d1 cu ;dd tqi =

ui) n cazul bobinelor, regulile care asociaz sensurile de referin pentru fluxuri i curenii care le produc rezult din legea circuitului magnetic n care, sensului de referin al fluxului i este asociat sensul de referin al curenilor dup regula burghiului drept, toate inductivitile fiind pozitive. n teoremele lui Maxwell pentru inductiviti:

(8.43) =

=n

kkjkj iL

1

,

inductivitatea mutual jkL fiind pozitiv sau negativ, este ns necesar s se indice sensurile de referin pentru circuitele cuplate prin jkL (fig. 8.37) cu ajutorul asteriscurilor care indic bornele considerate de nceput ale bobinei (n sensul de bobinare). n funcie de acestea, inductivitatea jkL se consider pozitiv dac ambii cureni intr sau ies prin bornele marcate i negativ dac cei doi cureni ies diferit n raport cu bornele respective.

Potrivit celor de mai sus, fluxul mutual din circuitul j produs de curentul ki va fi

kjkjk iL= pentru circuitele a i b, respectiv kjkjk iL= pentru circuitele c i d. Figura 8.37e sugereaz c bobinele au sensuri de bobinare diferite i n raport cu sensurile asociate curenilor se va lua 0>jkL ; uii) mrimile care nu respect regulile de asociere a

sensurilor de referin se introduc n ecuaii cu semn schimbat. Dac din calcule rezult valori negative, mrimile respective au sensul contrar celui de referin.

Fig. 8.35 Fig. 8.36

Fig. 8.37

447

8.3. Circuite liniare de curent continuu Aceste circuitele se compun din surse de curent continuu i din rezistoare, legate ntre ele prin conductoare a cror rezisten foarte mic se neglijeaz. Excepie fac problemele transportului de energie n curent continuu unde, datorit lungimii relativ mari, rezistena conductoarelor de legtur trebuie luat n calculul cderilor de tensiune (v. 8.3.2.).

Studiul circuitelor de curent continuu se face pe baza legilor electrocineticii ale cror consecine sunt reflectate n teoremele care vor fi prezentate n cadrul metodelor de rezolvare ale acestor circuite. Rezolvarea const n a se determina intensitile curenilor din laturi cnd se cunosc caracteristicile rE, ale surselor i rezistenele R ale receptoarelor.

8.3.1. Circuitul simplu de curent continuu

Circuitul simplu (fig. 8.38) cuprinde o singur surs de tensiune electromotoare E i

rezisten intern r , debitnd pe un rezistor de rezisten R . Conductoarele de legtur se consider filiforme i de rezisten neglijabil. Se reamintete c prin conductor filiform se nelege conductorul a crui seciune are dimensiuni mici n raport cu lungimea, ceea ce permite s se aprecieze c densitatea curentului electric de conducie este uniform repartizat n seciune i c vectorul densitate de curent este tangent la axa conductorului n oricare punct al seciunii.

Calculul intensitii curentului

Relaia de calcul a intensitii curentului este furnizat de legea conduciei: RiEU f =+ .

Tensiunea de-a lungul firului, datorat cmpului coulombian generat de acumularea pe electrozii sursei de curent a sarcinilor este nul pentru conturul nchis , descris de circuit, aa c vom avea:

( )IRrE += i deci rR

EI += , (8.44) n care rR + este rezistena total a circuitului. Produsele de forma RI sau rI se numesc cderi de tensiune.

Din punctul de vedere practic, intereseaz valoarea intensitii curentului prin receptorul de rezisten R sau prin conductoarele de legtur i care este comod a fi exprimat n funcie de tensiunea aplicat la bornele receptorului sau circuitului, potrivit formulrii RIU = a legii conduciei, cu att mai mult cu ct, spre deosebire de tensiunea electromotoare, tensiunea se msoar uor cu voltmetrul.

Tensiunea la bornele sursei, aici egal cu tensiunea aplicat la bornele receptorului, este o mrime care intervine n mod obinuit n calculul circuitelor.

La scrierea relaiilor ntre mrimile de circuit, este necesar -dup cum s-a artat- asocierea sensurilor pentru diferitele mrimi electrice n acelai mod n care s-a fcut aceasta asociere la enunarea legilor. Acolo unde sensurile de referin a dou mrimi sunt independente ntre ele, trebuie s se prezinte n mod explicit convenia folosit pentru scrierea relaiilor dintre aceste mrimi.

Prin atribuirea sensului de referin al tensiunii la borne pentru circuitul din figura 8.38, de la A la B, este satisfcut att regula de la generator ct i regula de la receptor. Astfel, n funcie de sensul de referin al curentului, pentru ramura sursei, cuprins ntre cele dou borne, se va scrie:

Fig. 8.38

448

(8.45) rIEU =+ , iar pentru ramura receptorului: (8.46) .RIU =

Din prima ecuaie se deduce: (8.47) ,rIEU = de unde se vede c tensiunea electromotoare a sursei este egal tensiunea la borne cu la mersul n gol ( 0=I ) precum i semnificaia de cdere de tensiune a produsului rI .

Bilanul puterilor i energiilor. Transferul maxim de putere

Ecuaia de tensiune (8.47), nmulit n ambii membri cu intensitatea curentului, devine ecuaia bilanului de puteri: (8.48) ,2 UIrIEI = n care: EI este puterea produs de surs (puterea generat gP ),

2rI este pierderea de putere n surs, iar UI este puterea debitat dP .

Dac se neglijeaz rezistena conductoarelor de legtur, puterea debitat de sursa rezult egal cu aceea consumat de receptor: (8.49) 2RIPc = .

Randamentul circuitului simplu este, prin definiie, gc PP /= . nlocuindu-se puterile cu expresiile lor, rezult:

(8.50) +=+==

rRR

ErR

ER

EIRI 2

Randamentul va fi maxim atunci cnd puterea debitat va fi maxim i se realizeaz cu condiia 0d/d =RPd , de unde rezult: (8.51) rR = , adic rezistena circuitului exterior sursei sa fie egal cu rezistena ei intern. Valoarea maxim a randamentului transformrii energiei chimice n energie electric este, prin urmare, de 50%.

n intervalul de timp de la 0 la t, ecuaia de bilan energetic al circuitului simplu va fi: (8.52) ,2 tIUtIrtIE = unde tIE este energia generat, tIr 2 energia pierdut prin efect Joule n rezistena sursei, iar

tIU este energia debitat, egal n cazul de fa cu aceea consumat de receptor: tRI 2 .

8.3.2.Transportul energiei n curent continuu

Atunci cnd energia este transportat de la surs la receptor printr-o linie format dintr-un conductor de ducere i unul de ntoarcere, avnd lungimea l (fig. 8.39) i rezistena neneglijabil, are loc o cdere de tensiune i o pierdere de putere n linia de transmisie.

Dac tensiunea la captul liniei este 1U , curentul n linie are valoarea )/(1 RRUI l += , unde lR este rezistena liniei iar R , rezistena receptorului.

Datorit cderii de tensiune pe linia de lungime l , exprimat prin relaia:

(8.53) IslIRU 21 == ,

tensiunea la bornele receptorului va fi: UUU = 12 . La o Fig. 8.39

449

valoare mare a cderii de tensiune pe linie, tensiunea 2U la bornele receptorului poate fi insuficient pentru funcionarea normal. De aceea, seciunea conductoarelor de legtura trebuie aleas astfel nct cderea de tensiune pe linie s fie cel mult egal cu cderea de tensiune maxim admis de receptor: .max.adUU .

Seciunea necesar se va determina cu ajutorul relaiei:

,2

.n

max.adnec IU

ls (8.54) unde nI este curentul nominal al receptorului nscris pe placa indicatoare sau calculat fie n funcie de tensiunea nominal i de rezistena receptorului, fie n funcie de tensiunea i puterea nominal:

==n

nnn U

PR

UI2

2 (8.55)

Conductorul ales trebuie s corespund i din puncul de vedere al nclzirii maxime admise. La "trecerea" curentului prin conductor are loc nclzirea acestuia prin efect Joule, care corespunde unei pierderi de putere n linie: 2IRP l= . Pentru ca temperatura conductorului s nu depeasc anumite limite, dincolo de care nu mai este garantat integritatea izolaiei liniei, se verific dac intensitatea I a curentului pe linie nu este mai mare dect intensitatea maxim admis n conductorul ales.

Puterea transmis de surs fiind:

,)()(

21

1

21

11 IRRRRUIUP +=+== (8.56)

rezult c, datorit pierderilor de putere n linie, la receptor va ajunge puterea:

RR

UUIURIPPP +==== 121

22

12 , (8.57)

iar randamentul transmisiei (liniei) care primete la intrare puterea 1P i cedeaz la ieire puterea

2P va fi:

==+=== 111

1

2

1

2 1U

IRU

UURR

RUU

PP l

l

(8.58)

Randamentul unei linii trebuie s fie de circa 95%. Punnd condiia %5= adP , rezult un nou criteriu de dimensionare al acesteia, plecnd de la relaia pierderilor:

221%2

100I

slIRPPP lad === , (8.59)

de unde, inndu-se seama c 11 /UPI = , rezult c seciunea necesar este: = 21%2

1

102

UPlPs

adnec (8.60)

Seciunea conductorului ales pe acest criteriu se verific la cdere de tensiune ca mai sus.

8.3.3. Calculul circuitelor de curent continuu

Circuitele sau reelele electrice de curent continuu, sunt circuite ramificate coninnd L laturi i N noduri. Latura este poriunea neramificat de circuit format din rezistoare (latura pasiv), rezistoare i surse (latura activ) sau numai surse de tensiune electromotoare. Nodul este punctul de ramificaie n care se ntlnesc cel puin trei laturi. Succesiunea de laturi care formeaz un contur nchis se numete ochi de reea. Se demonstreaz ca o reea avnd N noduri i L laturi este constituit din LN+1 ochiuri independente (al cror contur nu se obine prin combinaii ale contururilor altor ochiuri).

450

Analiza reelelor de c.c. se bazeaz pe legea lui Ohm, legea conservrii sarcinii electrice i pe teoreme, consecine ale legilor, care vor fi expuse n continuare.

Metoda reducerii

Metoda este aplicat reelelor care grupeaz sursele separat de receptoare, ca n figura 8.40 i reduce practic calculul circuitului electric la calculul circuitului simplu.

Dac se nlocuiesc receptoarele printr-unul echivalent, de rezisten eR , n conformitate cu teoremele rezistenelor echivalente, iar sursele cu una echivalent, avnd tensiunea electromotoare

eE i rezistena intern er , se reduce circuitul la unul simplu, ca n figura 8.41.

Teoremele rezistenelor echivalente arat c: - rezistena echivalent a n rezistoare n serie este dat de relaia:

(8.61) =

=n

iies RR

1

;

- rezistena echivalent a n rezistoare n paralel este dat de relaia:

(8.62) = =

n

i iep RR 111

Tensiunea electromotoare echivalent i rezistena echivalent a surselor n serie rezult din aplicarea legii lui Ohm poriunii de circuit din figura 8.42. Se obine relaia: (8.63) ( ) ( )IrrrEEEU nn +++=++++ ........ 2121 .

nlocuindu-se cele n surse printr-una singur, se va scrie: (8.64) IrEU ee =+ i prin identificarea relaiilor (8.63) i (8.64), membru cu membru, rezult:

(8.65) =

=n

kkes EE

1

i

(8.66) .1=

=n

kkes rr

Fig. 8.40

Fig. 8.41

Fig. 8.42 Fig. 8.43

451

Pentru sursele n paralel, care au aceeai tensiune la borne (fig. 8.43.), se scrie legea lui Ohm pentru fiecare latur: 111 IrEU =+ , 222 IrEU =+ , - - - - - - - - - - - (8.67) nnn IrEU =+ iar pentru sursa echivalent se scrie, analog: eee IrEU =+ , (8.68) unde: nIIII +++= ...21 . (8.69)

Explicitnd curenii din ecuaiile (8.67) i (8.68) i nlocuindu-i n ecuaia (8.69) se obine, prin identificara membrului stng cu membrul drept:

=

==+++

+++= n

k k

n

k k

k

n

n

n

e

r

rE

rrr

rE

rE

rE

E

1

1

21

2

2

1

1

11...11

... (8.70)

i

=+++= =

n

k kne rrrrr 12111...111 (8.71)

Revenind la reeaua din figura 8.40, se va obine, succesiv: )(1 eee RrEI += , 1,...3,2 IRU mepAB = i 22 / RUI AB= , ..., mABm RUI /= , 1, IRU pnepBC = i nBCn RUI /= , np III = 1 , unde mepR ,...3,2 i pnepR , sunt rezistenele echivalente ale rezistoarelor n paralel, al cror indice urmeaz dup "ep". n continuare, fiind cunoscut tensiunea la bornele sursei, 1IRU e= , se pot determina curenii prin ramurile sale cu ajutorul relaiilor (8.64) la (8.66).

Metoda superpoziiei

Aceasta metod poate simplifica calculul reelelor electrice n care lucreaz mai multe surse de energie electric. Ea se bazeaz pe principiul suprapunerii efectelor enunat de Helmoltz, potrivit cruia, din suprapunerea mai multor stri de echilibru rezult tot o stare de echilibru.

Potrivit acestui principiu, curentul ntr-o latur oarecare a circuitului va rezulta ca sum algebric a curenilor produi n acea latur de fiecare tensiune electromotoare n parte. n consecin, se determin curenii produi de fiecare surs n latura de circuit respectiv, presupunnd c sursa lucreaz singur n reea, i se nsumeaz apoi curenii pariali, inndu-se seama de sensul lor.

Atunci cnd se calculeaz curenii, se au n vedere rezistenele Fig. 8.44

452

interioare ale tuturor surselor de circuit. Cu alte cuvinte, se pasivizeaz laturile circuitului n afara de una singur.

Pentru exemplificare, se aplic metoda superpozitiei pentru circuitul din figura 8.44a. Se presupune, mai nti, c n circuit acioneaz numai sursa 1E , ca n figura 8.44b.

Notndu-se rezistenele laturilor 1 i 2 cu 11'

1 rRR += i 22'2 rRR += , curenii produi n reea de sursa 1E vor fi:

'2

'2'

1

1'1

RRRRR

EI

++= , '

2

'2'

1'

RRRII += i += '2

'1

'2 RR

RII

Se calculeaz, n continuare, curenii produi n reea de sursa 2E cnd sursa 1E este pasivizat (fig. 8.44c):

'1

'1'

2

2"2

RRRRR

EI

++= , '

1

'1'

2"

RRRII += i += '1

'2

"1 RR

RII

Curenii reali prin laturi vor rezulta prin suprapunerea celor calculai mai sus, inndu-se seama de sensurile curenilor din cele trei scheme: ''1

'11 III = , '2''22 III = i ''' III += .

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Metoda fiind cunoscut nc de la fizica de liceu, se va reaminti aici numai metodologia

utilizrii ei. Aplicarea teoremei I a lui Kirchhoff (consecin a legii conservrii sarcinii electrice), cu

referire la nodurile reelei, conduce la N1 ecuaii independente, iar aplicarea teoremei a II-a, cu referire la conturul ochiurilor independente (consecin a legii conduciei electrice), conduce la alte LN+1 ecuaii. Se obine un sistem de L ecuaii, necesar i suficient pentru determinarea celor cureni din laturi.

Scrierea ecuaiilor trebuie s se fac cu respectarea regulilor de asociere a sensurilor de referin i comporta urmtoarele etape:

- se atribuie curentului din fiecare latur un sens arbitrar, notat cu o sgeat; - se scriu ecuaiile teoremei I pentru N1 noduri, considernd pozitivi curenii care ies din

nod i negativi pe aceia care intr:

(8.72) ;1...1,0)(1

)( ===

NpIn

pk

pk

- se alege un sens arbitrar de parcurgere a fiecrui ochi independent, notat cu o sgeat rond, i se scrie ecuaia teoremei a II-a pentru fiecare:

(8.73) .1...1,)(1

)()(

)(1

)( +====

NLmIREn

mk

mkmk

n

mk

mk

n aceaste ecuaii sunt pozitive tensiunile electromotoare orientate n sensul de parcurgere al ochiului i cderile de tensiune corespunztoare curenilor care se asociaz tot cu sensul de parcurgere; - soluiile sistemului liniar format cu cele L ecuaii (8.72) i (8.73), sunt intensitile curenilor din laturi. Dac unele rezult cu valori negative, sensul curenilor respectivi este invers fa de acela presupus iniial.

453

Metoda tensiunii ntre noduri

Dac reeaua are dou noduri, ca n figura 8.45, curenii din laturile sale pot fi determinai printr-o metod mai simpl i mai rapid dect prin rezolvarea ecuaiilor obinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

Se adopt ca sens de referin pentru curenii i pentru tensiunile electromotoare sensul de la nodul B ctre nodul A i se noteaz potenialele nodurilor cu AV i BV . Tensiunea ntre cele dou noduri este: BA VVU = .

Scriindu-se ecuaia legii lui Ohm fiecare latur, se obine expresia intensitii curentului din latura respectiv sub forma:

( ) kkk

kk GUER

UEI == . (8.74) Teorema I a lui Kirchhoff aplicat nodului

A conduce la relaia:

( ) 01 111 = ===

===n

k

n

kkkk

n

kkk

n

kk GUGEGUEI

,

de unde rezult expresia tensiunii dintre noduri:

=

=

=n

kk

n

kkk

G

GEU

1

1 (8.75)

n rezistenta kR a unei laturi se include i rezistena kr a sursei respective, iar tensiunile electromotoare orientate de la nodul A ctre nodul B vor apare n relaia (8.75) cu semnul minus.

Cunoscndu-se tensiunea ntre noduri calculat astfel, se poate calcula intensitatea fiecruia dintre cureni cu ajutorul relaiilor (8.74). Dac din calcule rezult valori negative de cureni, nseamn c sensul lor real nu se asociaz cu sensul de referin ales.

Metoda circuitelor independente

Aceasta metod, numit i metoda buclelor sau metoda curenilor de ochiuri a lui Maxwell, permite determinarea intensitii curenilor din reelele electrice, cu ajutorul unui numr redus de ecuaii fa de acela ce rezult din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

n metoda circuitelor independente se consider reeaua ca o suprapunere de circuite simple, separate, aa cum s-a reprezentat punctat n figura 8.46.

Se presupune c fiecare din aceste circuite sunt parcurse de cureni proprii, notai cu J . Ei se numesc cureni simpli, cureni de bucl sau cureni ciclici. Sensul curenilor de bucl este ales arbitrar i notat cu o sgeat rond.

Pentru fiecare bucl n parte se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff, inndu-se cont de urmtoarele:

- tensiunile electromotoare ale surselor care debiteaz n sens invers celui arbitrar ales pentru curentul din bucl, se iau cu semnul minus;

- n rezistenele unei bucle, dau cderi de tensiune i

Fig. 8.45

Fig. 8.46

454

curenii ciclici din buclele adiacente. Aceste cderi de tensiune se iau cu semnul minus atunci cnd curenii care le produc sunt de sens contrar celui n care se parcurge bucla la care se face referirea.

inndu-se cont i de rezistenele surselor, care n figura 8.46 se consider nglobate n rezistena total a laturilor, se obine un sistem de ecuaii, n numr egal cu acela care rezult din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff n reea:

( )=+++ 11212111 .... EJRJRJR nn ,

( )=+++ 22222121 .... EJRJRJR nn , (8.76) M

( )=+++ nnnnnn EJRJRJR ....2211 , n care jjR reprezint suma rezistenelor din bucla j , iar kjjk RR = reprezint rezistena laturii comune a circuitelor simple k i j . Cu

( )j R s-a notat suma tensiunilor electromotoare din circuitul simplu j .

Curenii reali din laturile reelei se obin prin suprapunerea curenilor J din circuitele simple care conin latura respectiv.

Sub form matriceal, sistemul ecuaiilor (8.76) se scrie:

(8.77)

nnnnn

n

n

nJ

JJ

RRR

RRRRRR

E

E

E

.

.

.

.........

......

.

.

.2

1

21

22221

11211

2

1

=

.

Sistemele de ecuaii de tipul (8.77) se rezolv imediat cu ajutorul unui subprogram din biblioteca MATLAB.

Metoda potenialelor la noduri

Se consider o reea electric i o latur a acesteia, cuprins ntre nodurile j i k (fig. 8.47). Ecuaia legii lui Ohm, scris pentru fiecare asemenea latur, va conduce la ecuaii de tipul:

jkjkjkkj IREVV =+ , din care rezult intesitile curenilor cu expresii:

jk

kjjkjk R

VVEI

+= , sau: (8.78) ( ) jkkjjkjk GVVEI += . Curenii din laturi vor fi astfel determinai dac se vor cunoate potenialele nodurilor reelei.

Dac se consider potenialul nodului oarecare q drept potenial de referint ( 0=qV ) i se vor scrie ecuaiile teoremei I a lui Kirchhoff la toate nodurile, cu excepia nodului q ,

folosind pentru cureni expresiile (8.78) se obin N1 ecuaii de forma:

Fig. 8.47

455

=k

jkjkk

kjkk

jkj EGVGGV , (8.79)

n care: jV este potenialul nodului j ; k

jkG este suma conductanelor laturilor conectate n

nodul j ; kk

jkVG este suma produselor dintre conductanele laturilor din nodul j i potenialele nodurilorde la cellalt capt al laturii; jkE sunt tensiunile electromotoare ale surselor din laturile ce converg n nodul j . Produsele jkjkGE sunt pozitive cnd tensiunea electromotoare din latur este orientat ctre nodul j.

Notndu-se jjk

jk GG = i jk

scjkk

jkjk IIEG == , unde scjkI este curentul de scurtcircuit al laturii kj , rezult sistemul ecuaiilor metodei sub forma:

,....

,....,....

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

IVGVGVG

IVGVGVGIVGVGVG

=+++

=+++=+++

M (8.80)

unde conductantele iiG sunt pozitive iar ijG sunt negative. Sistemul ecuaiilor (8.80), scris sub forma:

nnnnnn

n

n

I

II

V

VV

GGG

GGGGGG

MMM2

1

2

1

21

22221

11211

...

.......

= , (8.81)

se rezolv rapid cu ajutorul subprogramelor aflate n biblioteca MATLAB.

Metodele generatoarelor echivalente

Aceste metode sunt utile pentru simplificrile care se pot obine n calcule, atunci cnd intereseaz, de fapt, intensitatea curentului ntr-o singura latur a unei reele. Metoda generatorului echivalent de tensiune (Thvenin-Helmholtz) presupune o reea pentru care se cere numai intensitatea curentului prin latura ce conine rezistorul R din figura 8.48 (restul reelei este sugerat prin chenarul punctat).

Pentru rezistorul R , restul reelei este echivalent cu un generator ale crui borne sunt A i B.

Tensiunea electromotoare a generatorului echivalent este egal cu tensiunea 0ABU la bornele A, B cnd rezistorul R este deconectat, iar rezistena sa intern, 0ABR , se calculeaz, considernd sursele pasivizate, cu ajutorul teoremelor rezistenelor echivalente. Fiind cunoscute aceste mrimi se obine:

+= RRUIAB

AB

0

0 (8.82)

Ecuaia (8.82) reprezint teorema Thvenin-Helmholtz , conform creia curentul I debitat de reeaua liniar pe rezistorul R este egal cu raportul dintre tensiunea de mers n gol la bornele A, B i suma dintre rezistena exterioar R i rezistena echivalent a reelei pasivizate, vzut prin aceleai borne (cu rezistorul R deconectat).

Fig. 8.48

456

Metoda generatorului echivalent de curent (Norton), consider aceeai reea din figura 8.48 i utilizeaz teorema Norton, conform creia tensiunea U produs n sarcin de reeaua liniar activ care alimenteaz rezistena exterioar R este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al reelei i suma dintre conductana interioar a reelei pasivizate i conductana exterioar.

Din ecuaia (8.82) se obine:

(8.83) ,1

0

0

0

AB

sc

AB

AB

RR

IRU

I+

=

unde:

(8.84) scAB

AB IRU =

0

0 ,

este curentul de scurtcircuit al generatorului echivalent cu reeaua . Introducndu-se conductanele i innd cont de expresia (8.84), relaia (8.83) devine:

(8.85) ABO

sc

ABO

sc

GGGI

GGII +=+

=1

sau ABo

sc

GGI

U +=

i exprim teorema lui Norton. Curentul de scurtcircuit al sursei se calculeaz considernd nodurile A i B ale reelei din

figura 8.48 ca fiind n contact galvanic (rezistena R deconectat iar bornele scurcircuitate cu un conductor de rezisten neglijabil).

8.4. Circuite liniare n regim electrocinetic nestaionar oarecare

Regimul electrocinetic numit aici nestaionar oarecare este regimul variabil n care intensitile curenilor, tensiunile, potenialele electrice etc sunt funcii oarecare de timp. El se supune legilor electrocineticii, prezentate n capitolul 4: legea conservrii sarcinii, legea transformrii energiei prin curentul electric de conducie (Joule - Lenz), legea conduciei electrice (Ohm), legi a cror valabilitate nu este restrns la nici un regim de variaie n timp a fenomenelor.

8.4.1. Ecuaiile circuitelor electrice n regim variabil

Caracterizarea local a regimului electrocinetic se face cu ajutorul legii lui Ohm

JEE i =+ n care, intensitatea cmpului electric E poate avea o component de tip coulumbian - cE i una de tip rotaional - sE produs prin inducie electromagnetic. Sub o form mai desfurat, legea se scrie: (8.86) JEEE isc =++ .

Sub forma global, cu referire la o poriune neramificat de conductor, legea are forma: (8.87) Rieeu if =++ , n care

fu este tensiunea de-a lungul firului, e este t.e.m. indus iar ie este tensiunea electromotoare provenit din cmpuri electrice imprimate.

O poriune neramificat de circuit poate conine rezistoare, bobine, capaciti. Diverii parametrii, considerai concentrai, se admit ca fiind sediul unei singure forme de transformare a energiei. Dac asupra unui circuit electric exercit o aciune electromagnetic alt circuit din exterior, atunci la parametrii concentrai se adaug i inductivitatea mutual M .

457

Exemplele urmtoare vor fi edificatoare pentru modul n care se scriu ecuaiile circuitelor ntr-un asemenea regim n care, spre deosebire de cele din subcapitolul 8.3, cmpul electric nu mai este irotaional:

i) pentru circuitul simplu cu rezistor, cruia i se aplic la borne o tensiune variabil n timp )(tu (fig. 8.49), ecuaia (8.87) va fi:

( ) Ritu = . (8.88) de unde rezult:

( ) =Rtui (8.89)

Curentul are deci aceeai form de variaie n timp ca i tensiunea aplicat la borne; ii) ecuaia (8.87) pentru bobina ideal -cu rezistena neglijabil- (fig. 8.50), alimentat cu

tensiunea ( )tu se scrie: ( ) 0=+ etu , (8.90)

unde e este t.e.m. autoindus:

tLi

tiL

tLi

te

dd

dd

dd

dd === (8.91)

i prin urmare (considerndu-se L =const. n timp) :

( ) ,0dd =tiLtu

adic:

( )tiLtu

dd= (8.92)

i

( ) ;d1 = ttuLi (8.93) iii) circuitul simplu cu condensator din figura 8.51 are

ecuaia:

( ) ,Cqtu = (8.94)

de unde: ( ),tCuq = (8.95) ( ) ( )

tCtu

ttuC

tqi

dd

dd

dd +== (8.96)

i (considerndu-se C =const. n timp):

( ) ;d1 tiC

tu = (8.97) iu) ecuaia poriunii neramificate de circuit care conine mai muli parametrii (fig. 8.52) va

fi: ( ) ,Rieeeutu mic =+++ (8.98) unde

ie este t.e.m. imprimat, tiLe

dd= este

t.e.m. autoindus, iar tiMem d

d= este t.e.m. de inducie mutual (considerndu-se M constant n timp).

Fig. 8.49

Fig. 8.50

Fig. 8.51

Fig. 8.52

458

inndu-se seama de relaia (8.97) ecuaia (8.98) se scrie:

(8.99) ( ) +++=+ tiCtiMtiLRituei d1dddd Pentru circuitul nchis al unei bucle dintr-o reea complex ( 0=u ) ecuaia (8.99),

exprimnd teorema a II-a a lui Khirchhoff, va fi:

(8.100) ,d1dd ti

CtiLiRe k

k kk

kk

kkkk ++=

unde ke este suma t.e.m. a surselor (inclusiv a t.e.m. produse prin inducie mutual). Tensiunea electromotoare de inducie mutual se va introduce n membrul I al ecuaiei

(8.100) cu semnul plus ( tiMem d/d= ) dac curenii i i i sunt ambii n sensul de parcurgere al buclei i cu semnul minus ( tiMem d/d= ) dac ambii sunt n sens invers fa de acela n care se parcurge bucla. Dac cei doi cureni au sensuri diferite, semnul este minus atunci cnd curentul i este n sensul de parcurgere al buclei i plus n caz contrar.

8.4.2. Energetica circuitelor electrice n regim variabil

Se consider circuitul din figura 8.53 a crui ecuaie este:

(8.101) ( ) ++=Cq

tiLRitu

dd

nmulindu-se ambii termeni ai ecuaiei (8.101) cu tiq dd = se obine ecuaia de bilan energetic pentru intervalul de timp td :

(8.102) .d1ddd 2 qqC

iLitRitui ++= n intervalul de timp de la 0 la t n care

intensitatea curentului crete de la 0 la i iar sarcina pe armturile condensatorului de la 0 la q , energia intrat n circuit se transform o parte

n cldur n rezistena circuitului, iar cealalt parte se acumuleaz n cmpul magnetic al bobinei i n cmpul electric al condensatorului:

(8.103) ,d1ddd000 0

2 ++=qLt t

qqC

iLitRitui

adic:

(8.104) ++= CqLitRituitt 2

2

0

2

0 21

21dd

Energiile nmagazinate n cmpul magnetic al bobinei i n cmpul electric al condensatorului, reprezentate de ultimii doi termeni, se restituie circuitului n acele intervale de timp n care curentul este n scdere. ntr-adevr, n intervalul de timp de la 0 la t n care intensitatea curentului scade de la i la 0, iar sarcina condensatorului de la q la 0 ecuaia de bilan este:

(8.105) ,d1ddd00

0

2

0

qqC

iLitRituiqi

tt +==

adic:

(8.106) ,21

21dd

22

0

2

0 CqLitRitui

tt

=

Fig. 8.53

459

sau:

=++

tRiCqLitui

tt

d21

21d

0

22

2

0

(8.107)

Prin urmare, energia furnizat de surs, energia nmagazinat n cmpul magnetic al bobinei i aceea nmagazinat n cmpul electric al condensatorului se transform, n acest interval de timp, n cldur n rezistena circuitului. Prin "nmagazinat n cmpul ..." se nelege c energia aste rezident n materialul n care se produce cmpul (magnetic i electric).

8.4.3. Metode operaionale de rezolvare a circuitelor n regim variabil

Metoda direct de studiu a regimului variabil este laborioas i practic ineficient n cazul circuitelor cu structura complicat. Pentru acestea devin practice metodele care transform ecuaiile integro-difereniale ale circuitelor n ecuaii algebrice cu ajutorul operatorilor liniari care asociaz funciilor de timp o anumit imagine.

Metoda transformatei Laplace

Calculul se sistematizeaz scriind direct ecuaiile teoremelor lui Kirchhoff sub forma operaional, care exprim relaiile dintre imaginile curenilor i tensiunilor.

La forma operaional a teoremelor lui Kirchhoff se ajunge cu ajutorul teoremelor cunoscute ale transformrii Laplace (v. cap. 9):

[ ]

+

+

=

=

`uLu Lu L L

0 L L

CkLkRkkkkk

k

kk

e

i. (8.108)

Imaginile funciilor de timp din (8.108) sunt:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ,01dL1L

,0dd

LL

,LL,L

k

kk

kk

kCk

kkkk

kLk

kkkkRk

Kk

sCq

sIsC

tiC

u

sIsLti

Lu

sIRiRusIi

+==

=

===

=

unde: ( )0kq este valoarea iniial a sarcinii condensatorului i ( )0kL este valoarea iniial a fluxului bobinei din latura k .

Mrimile:

( )k

CkR sCsZRZ

kk

1, == i kL sLsZ k =)( , se numesc impedane operaionale proprii, ( ) kmkm sLsZ = se numete impedana operaional mutual dintre laturile k i m , iar mrimea:

( ) ( ) ( ) ,000

k

kkk sC

qsE = se numete t.e.m. operaional corespunztoare condiiilor iniiale. n cazul condiiilor iniiale nule

( ) 00

=sEk . Cu precizrile fcute, teoremele lui Kirchhoff sub form operaional se vor scrie:

460

=k

ki 0)L(

i

( ) ( )[ ] [ ] [ ]

+

++=+

km

kmkm

kkk

kkk isLisC

sLRsEEk

LL1L0

.

Se noteaz: ( )k

kkk sCsLRsZ 1++= , numit impedan proprie operaional a laturii k i

se scriu teoremele lui Kirchhoff sub forma:

(8.109) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+=+=

sIsZsIsZsEsE

sI

mk km

kmkK

kk

kk

k

kk

0

0

Se observ analogia formal dintre ecuaiile (8.109) i ecuaiile lui Kirchhoff pentru regimul staionar. Aceasta are drept consecin extinderea formal neschimbat la studiul regimurilor variabile a tuturor metodelor de calcul ale circuitelor: metoda curenilor ciclici, metoda potenialelor la noduri, metoda impedanelor echivalente etc.

Exemplu: s se studieze variaia n timp a curentului i tensiunii la bornele condensatorului n circuitul din figura 8.54 dup deschiderea la t = 0 a ntreruptorului K.

T.e.m corespunztoare condiiior iniiale este:

( ) ( ) ( )sE

REL

sCCE

REL

sCqLisE === 000 ,

iar ecuaia operaional a circuitului rezult:

( )sIsC

sLRsE

REL

++=+ 1 ,

de unde:

( ) +++=

12 RCsLCssLR

RECsI

Se noteaz: =L

R2

i 22 1

= LC, rezultnd expresia operaional a curentului:

( ) ( )( ) 222++

+=sR

sEsI ,

expresie care se descompune n fracii simple:

( ) ( ) ( ) .2222

++

+++

+=ss

sREsI

Se utilizeaz acum teorema deplasrii i se obine:

( )

+= tte

REti t sincos

Forma operaional a tensiunii la bornele condensatorului este:

( ) ( ) ( )( )11 2 +++== RCsLCsRs LsREsICssU , de unde, cu aceleai notaii se obine:

( ) ( )[ ]( ) 22/12++

+=s

RCsEsU

i

Fig. 8.54

461

( ) ( ) ( ) ( )

++

++

+++

+=222222

1sRCss

sEsU ,

care conduce la expresia:

( )

+= t

RCLRtEetu t sin1

21cos .

Metoda rspunsului tranzitoriu

O mrime care evolueaz n timp dup o lege oarecare (fig.8.55) poate fi aproximat ca o

succesiune de mrimi n treapt, retardate unele fa de altele cu . Aproximaia este cu att mai bun cu ct intervalele de timp sunt mai mici i cu ct numrul treptelor este mai mare.

Se demonstreaz c prima treapt ( ) ( )tui 10 + , unde ( )t1 este funcia treapt unitate, determin o mrime de ieire ( ) ( )tfui +0 , ( )tf fiind rspunsul la funcia treapt unitate. Se demonstreaz, n continuare, c treptele retardate determin cte o mrime de ieire de forma:

( ) ( ) ( ) =

=

dddd tfutf

tu

it

i , (8.110)

stabilit n cazul n care intervalul de timp tinde ctre 0 i numrul treptelor ctre infinit.

Prin aplicarea principiului superpoziiei se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= d00

tfutfutut

ii . (8.111)

Mrimea de ieire este deci exprimat prin integrala Duhamel care se mai poate scrie sub oricare din formele:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,d0

,d0

0

0

++=

++=

tfutfutu

ftutfutu

t

iie

t

iie

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= d0 '0

ftutfutut

iie .

Metodologia de calcul va fi urmtoarea: - se determin rspunsul sistemului la o mrime de intrare treapt unitar; - se determin mrimea de ieire cu ajutorul integralei Duhamel. Exemplu: s se determine expresia curentului tranzitoriu al unui circuit RL serie supus

tensiunii atUu = e . Expresia general a curentului este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= t ii tfutfuti0

d0 ,

unde:

Fig. 8.55

462

( )( )( )( ) .e

,e,0,e

===+

=

ai

ai

i

ati

aUuUu

UuUtu

Pentru circuitul RL serie rspunsul la tensiunea treapt unitate (E=1V) este:

( )

= tL

R

Rtf e11 ,

i

( ) ( ) .e11

= tLR

Rtf

Rezult:

( ) ( ) ( ) .de11ee10

+

= t tLRtLR RaURUti

Efectund calculele deducem:

( )

=

tLR

at

aLRUti ee

Metoda transformatei Fourier

Se numete transformata Fourier a funciei )(tf , funcia )( definit de relaia:

(8.112) ( ) ( ) ( ) ttftFf t de0

j == . Transformarea invers este definit de:

(8.113) ( ) ( ) ( ) ==

de21 j1 ttfF .

Notndu-se ( ) ( )= j

2G se scrie:

(8.114)

=

d)j(e)( j Gtf t

)j( G se numete spectrul funciei )(tf . Este uor de vzut c transformata Fourier i transformata Laplace ale unei funcii de timp

au expresii analoge, transformata Fourier obinndu-se din transformata Laplace prin simpla nlocuire a lui s cu j .

n consecin, metodologia de calcul a proceselor tranzitorii cu ajutorul transformrii Fourier va fi analog:

- se determin spectrul mrimii de intrare ( )jiU ; - se determin spectrele impedanelor laturilor; - se determin spectrele curenilor din laturi; - prin transformri inverse se determin expresiile valorilor instantanee ale curenilor. Exemple: i) conectarea circuitului R, L pe o surs de tensiune constant E.

( ) ==

j1

2de

21j j EtEU t

463

Impedana spectral a circuitului este: ( ) += LRZ jj , iar intensitatea curentului rezult din ecuaia:

( ) ( )( )( )

( ) +

==

LRE

ZUtI

tt

jjjde

j2de

jj jj

Calculndu-se integrala prin metoda reziduurilor se obine:

( ) ;e1

= tR

L

REti

ii) conectarea circuitului R, L pe o surs de tensiune sinusoidal. Fie ( ) tEte = sin2 .Conform identitii lui Euler se poate scrie:

( ) ( )= ttj

Ete jj ee2

2

Deoarece mrimile din parantez sunt complex conjugate se lucreaz numai cu una din ele i se ia dublul prii reale a rezultatului:

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )[ ] ( )[ ]

+

=+===

.jjj

jde2

221

je

22

21

,12

221de

j22

21j

jj

j

LRE

LREti

EtEG

tt

t

Integrala se calculeaz prin metoda reziduurilor. Notndu-se: =+ jej ZLR cu 222 += LRZ i

RLtg = , se obine:

( ){ } ( )

== tLR

tZ

EtFii esinsin2Re2

8.5. Circuite liniare n curent alternativ sinusoidal

n acest subcapitol se studiaz comportarea circuitelor liniare, filiforme i cu parametri

CLR ,, localizai, n regim electrocinetic periodic sinusoidal, numit curent alternativ sinusoidal.

8.5.1. Mrimi sinusoidale

Se tie c o tensiune electromotoare sinusoidal, variabil n timp, poate fi produs -n principiu- prin rotirea unei spire sau a unei bobine ntr-un cmp magnetic fix (fig. 8.56).

Potrivit legii induciei electromagnetice:

( ) ( ) ,sincosddcos

dd

dd

tNBAtBAt

NBAt

Nt

Ne f ==== sau: .sinmax tEe = (8.115)

Dac se alimenteaz cu aceasta tensiune electromotoare un circuit electric, prin circuit se stabilete un curent care trece periodic, n raport cu timpul, prin valori pozitive i valori negative. Acelai lucru se ntmpl i cu celelalte mrimi electrice sau magnetice: poteniale, diferene de potenial, cmp, flux etc.

Mrimile de acest gen se exprim printr-o funcie de timp )(tfa = . Dac mrimea variabil n timp (sau n spatiu) se reproduce identic la intervale de timp egale (fig. 8.57) , ea este o mrime periodic. Mrimea periodic a crei variaie n timp este sinusoidal se numete numai sinusoidal.

464

Intervalul de timp minim, dup trecerea cruia valoarea instantanee a mrimii periodice se repet, n aceeai succesiune, de un numr infinit de ori, se numete perioad i se noteaz cu T .

Rezult, prin definiie, proprietatea: (8.116) ( ) ( ) ( ) ( )nTtfTtfTtftfa +==+=+== ...2 . Perioada se msoar n secunde.

Raportul dintre un numr ntreg de perioade i timpul necesar producerii acestora se numeste frecven :

(8.117) ==TnT

nf 1

Unitatea de msur a frecvenei se numete hertz , cu simbolul Hz. Valoarea pe care o ia funcia la un moment dat se numete valoare instantanee i se noteaz

de obicei cu liter mic. Valoarea maxim, pozitiv sau negativ, pe care o poate lua valoarea instantanee pentru o anumit valoare a variabilei, se numete amplitudine.

Valoarea medie a unei mrimi periodice, definit n intervalul de timp 12 tt ,este dat de relaia:

(8.118) ( )= 21 d1 12t

tmedttf

ttA ,

iar valoarea medie ptratic sau eficace, n acelasi interval de timp, se calculeaz cu relaia:

(8.119) ( ) = 21 d1 212t

tefttf

ttA

Dac valoarea medie pe o perioad a mrimii periodice este nul, ( ) 0d10

== Tmed ttfTA , mrimea periodic este i alternativ (fig. 8.58).

Mrimile sinusoidale variabile n timp sunt mrimi periodice alternative. Ele au forma )sin( = tAa m sau )cos( = tAa m n care intervine ca un factor constant numit pulsaie, iar este un unghi care depinde de alegerea axelor de coordonate i se numete faza iniial.

Unghiul t , caracteriznd starea funciei la momentul t , se numete faz la timpul t .

Reprezentarea mrimilor sinusoidale se face lund pe abscis fie unghiul (fig. 8.59a), fie timpul (fig. 8.59b).

Fig. 8.56 Fig. 8.57

Fig. 8.58

465

n prima reprezentare, faza la timpul T este evident 2 i deci, pentru o mrime sinusoidal, perioada este:

= 2T , (8.120)

iar frecvena:

==2

1T

f , (8.121)

de unde rezult: f= 2 . (8.122)

Mrimea sinusoidal se anuleaz pentru unghiul = kt n prima reprezentare i respectiv, pentru timpul 4/2/ kTt = n cea de a doua reprezentare.

n reelele de curent alternativ, curentul, tensiunea i celelalte mrimi electrice variaz dup curbe asemntoare aceleia din figura 8.58. n fapt, reelele de curent alternativ sunt reele de curent periodic. n marea majoritate a cazurilor ns, variaia acestor mrimi poate fi presupus sinusoidal, ipotez n care se studiaz n acest subcapitol curentul alternativ.

Frecvena reelelor industriale este standardizat la 50Hz n Europa i 60Hz n S.U.A. Pentru utilizri speciale se mai ntlnesc: frecvene de 25Hz i 162/3Hz n traciunea electric, 200Hz n industria lemnului i n industria minier, 400Hz pe avioane i submarine etc. n tehnica radioului i televiziunii se utilizeaza frecvene de milioane sau miliarde de Hz. Frecvenei de 50 Hz i corespund perioada T=0,02s i pulsaia 1s314 = .

Defazajul mrimilor periodice alternative sinusoidale

Tensiunea electromotoare sinusoidal avnd expresia (8.115) se anuleaz, evolund n sens cresctor, n momentele 0t date de relaia ,20 = kt unde ,...2,1,0=k (fig. 8.60a). Trecnd prin zero n sens cresctor n momentul 0=t , corespunztor originii scrii unghiului (sau a timpului n reprezentarea n funcie de timp) se spune c mrimea este n faz cu originea.

Tensiunea electromotoare )sin(max = tEe , trecnd prin zero n sens cresctor la timpul 0t dat de relaia = kt 20 (fig. 8.60b), adic la kTkt

=

= 20 , este defazat n urma originii .

Unghiul == kt 200 poart numele de faz sau defazaj fa de origine al mrimii respective. Dac reprezentarea se face n funcie de timp, atunci timpul

kTt +== //00 este numit defazaj fa de origine.

Fig. 8.59

466

Defazajul fa de origine poate fi