2. ECUATII TRIGONOMETRICE

1. Functia arcsinus

‚ Functia f :”

´π

2,π

2

ı

Ñ r´1, 1s, fpxq “ sinx este inversabila, inversa ei fiind:

f´1 : r´1, 1s Ñ”

´π

2,π

2

ı

, f´1pxq “ arcsinx

numita functie arcsinus.

‚ Sunt valabile formulele:

sin parcsinxq “ x @x P r´1, 1s, arcsin psinxq “ x @x P”

´π

2,π

2

ı

arcsin p´xq “ ´ arcsinx @x P r´1, 1s .

2. Functia arccosinus

‚ Functia f : r0, πs Ñ r´1, 1s, fpxq “ cosx este inversabila, inversa ei fiind:

f´1 : r´1, 1s Ñ r0, πs, f´1pxq “ arccosx

numita functie arccosinus.

‚ Sunt valabile formulele:

cos parccosxq “ x @x P r´1, 1s, arccos pcosxq “ x @x P r0, πs

arccos p´xq “ π ´ arccosx @x P r´1, 1s .

Teme de recapitulare pentru BAC M1Geometrie si trigonometrie: 2. Ecuatii trigonometrice

´1´ Profesor Marius Damian, Braila

3. Functia arctangenta

‚ Functia f :´

´π

2,π

2

¯

Ñ R, fpxq “ tg x este inversabila, inversa ei fiind:

f´1 : RÑ´

´π

2,π

2

¯

, f´1pxq “ arctg x

numita functie arctangenta.

‚ Sunt valabile formulele:

tg parctg xq “ x @x P R, arctg ptg xq “ x @x P´

´π

2,π

2

¯

arctg p´xq “ ´ arctg x @x P R.

4. Ecuatii trigonometrice fundamentale

‚ sinx “ a P r´1, 1s ðñ x “ p´1qk arcsin a` kπ, k P Z‚ cosx “ a P r´1, 1s ðñ x “ ˘ arccos a` 2kπ, k P Z‚ tg x “ a P Rðñ x “ arctg a` kπ, k P Z

5. Rezolvarea ecuatiei a sinx` b cosx “ c, a, b, c P R, a2 ` b2 ‰ 0

‚ Daca c2 ą a2 ` b2, atunci ecuatia nu are solutii reale.

‚ Daca c2 ď a2 ` b2, atunci se ımparte ecuatia prin?a2 ` b2 si avem

a sinx` b cosx “ cðña

?a2 ` b2

sinx`b

?a2 ` b2

cosx “c

?a2 ` b2

Tinand cont ca

ˆ

a?a2 ` b2

˙2

`

ˆ

b?a2 ` b2

˙2

“ 1, rezulta ca exista t P r0; 2πq astfel ıncat

a?a2 ` b2

“ cos t sib

?a2 ` b2

“ sin t.

In consecinta, ecuatia devine

sinx cos t` sin t cosx “c

?a2 ` b2

ðñ sin px` tq “c

?a2 ` b2

.

In final, obtinem solutiile ecuatiei:

x “ p´1qk arcsinc

?a2 ` b2

´ t` kπ, k P Z.

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´2´ Profesor Marius Damian, Braila