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2. ECUATII TRIGONOMETRICE
1. Functia arcsinus
‚ Functia f :”
´π
2,π
2
ı
Ñ r´1, 1s, fpxq “ sinx este inversabila, inversa ei fiind:
f´1 : r´1, 1s Ñ”
´π
2,π
2
ı
, f´1pxq “ arcsinx
numita functie arcsinus.
‚ Sunt valabile formulele:
sin parcsinxq “ x @x P r´1, 1s, arcsin psinxq “ x @x P”
´π
2,π
2
ı
arcsin p´xq “ ´ arcsinx @x P r´1, 1s .
2. Functia arccosinus
‚ Functia f : r0, πs Ñ r´1, 1s, fpxq “ cosx este inversabila, inversa ei fiind:
f´1 : r´1, 1s Ñ r0, πs, f´1pxq “ arccosx
numita functie arccosinus.
‚ Sunt valabile formulele:
cos parccosxq “ x @x P r´1, 1s, arccos pcosxq “ x @x P r0, πs
arccos p´xq “ π ´ arccosx @x P r´1, 1s .
Teme de recapitulare pentru BAC M1Geometrie si trigonometrie: 2. Ecuatii trigonometrice
´1´ Profesor Marius Damian, Braila
3. Functia arctangenta
‚ Functia f :´
´π
2,π
2
¯
Ñ R, fpxq “ tg x este inversabila, inversa ei fiind:
f´1 : RÑ´
´π
2,π
2
¯
, f´1pxq “ arctg x
numita functie arctangenta.
‚ Sunt valabile formulele:
tg parctg xq “ x @x P R, arctg ptg xq “ x @x P´
´π
2,π
2
¯
arctg p´xq “ ´ arctg x @x P R.
4. Ecuatii trigonometrice fundamentale
‚ sinx “ a P r´1, 1s ðñ x “ p´1qk arcsin a` kπ, k P Z‚ cosx “ a P r´1, 1s ðñ x “ ˘ arccos a` 2kπ, k P Z‚ tg x “ a P Rðñ x “ arctg a` kπ, k P Z
5. Rezolvarea ecuatiei a sinx` b cosx “ c, a, b, c P R, a2 ` b2 ‰ 0
‚ Daca c2 ą a2 ` b2, atunci ecuatia nu are solutii reale.
‚ Daca c2 ď a2 ` b2, atunci se ımparte ecuatia prin?a2 ` b2 si avem
a sinx` b cosx “ cðña
?a2 ` b2
sinx`b
?a2 ` b2
cosx “c
?a2 ` b2
Tinand cont ca
ˆ
a?a2 ` b2
˙2
`
ˆ
b?a2 ` b2
˙2
“ 1, rezulta ca exista t P r0; 2πq astfel ıncat
a?a2 ` b2
“ cos t sib
?a2 ` b2
“ sin t.
In consecinta, ecuatia devine
sinx cos t` sin t cosx “c
?a2 ` b2
ðñ sin px` tq “c
?a2 ` b2
.
In final, obtinem solutiile ecuatiei:
x “ p´1qk arcsinc
?a2 ` b2
´ t` kπ, k P Z.
Teme de recapitulare pentru BAC M1Geometrie si trigonometrie: 2. Ecuatii trigonometrice
´2´ Profesor Marius Damian, Braila