1.

x x− + + >5 61 9 0

Suma a două module este totdeauna un număr pozitiv. Ea este nulă când ambii moduli sunt nuli. SoluŃia va fi mulŃimea numerelor reale din care va trebui să scădem acele numere reale (dacă sunt) care anulează ambele module. x x− = ⇒ =5

1 0 1 (singura soluŃie reală). .x x+ = ⇒ ∈∅6

9 0 ( , ,x x x x≥ ∀ ∈ ⇒ + > ∀ ∈6 60 9 0ℝ ℝ )

În concluzie, soluŃia inecuaŃiei este .S = ℝ

2. .xx

=−−3

3 1

28

EcuaŃia are sens doar dacă fracŃiile din cele două module au sens, adică:

( )( ).

x x xx

xx

x

−≠

+ + ≠− ≠ ⇒ ⇒ − ≠ − ≠

23 2 2 4 08 0

2 0 0

2

2

Avem, în condiŃiile de mai sus:

.

x x x x xx x x x x

x x x x x x x

saux x x x

= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒− − − − −− + + + +

⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ − + + + + + +

⇒ = =−+ + + +

3 2 2

2 2 2

2 2

3 1 1 3 1 1 3 1

2 2 2 2 28 2 4 2 4

1 3 3 31 0 1 0 1

2 2 4 2 4 2 4

3 31 1

2 4 2 4

Avem două ecuaŃii:

( ) xx x x x xx x

= ⇒ + + = ⇒ =−+ + = ⇒ = ≠+

−+ ⇒+

22 2

2

31 2 4 3 2 1 0 1 0

2 4

1 2

.x x x x xx x

=− ⇒ + + =− ⇒ + + = ⇒ ∈∅+ +

2 2

2

31 2 4 3 2 7 0

2 4

In concluzie, { } .S = −1

3.

.n

n

+− >

+

1 1 1

2 3 2 12

Cred că eşti în clasa a IX-a, de aceea, bănuiesc că trebuie să rezolvi în ℕ (după notaŃia necunoscutei). Altfel, trebuie să ştii să rezolvi o inecuaŃie raŃională. Avem:

( ) ( ), , ,x a x a a a> ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∞ ∀ > 0

.n n n

saun n n

+ + +− > ⇒ − <− − >

+ + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 12 2 3 2 12 2 3 2 12

Rezolv doar o inecuaŃie, cealaltă o rezolvi tu.

( )

( ){ },

n n n n n

n n n

nn n n

n

+ + + − − + +− <− ⇔ − + < ⇔ < ⇔

+ + +

−⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ ∈

+

1 1 1 1 1 1 12 12 12 18 2 30 0

2 3 2 12 2 3 2 12 12 2 3

2 30 2 3 0 2 3 0 1

12 2 3