UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

Facultatea de Matematica si Informatica

Departamentul Matematici Fundamentale

Andrei PERJAN

Ecuatii diferentiale cu derivate partiale

Aprobat deConsiliul Facultatii de

Matematica si Informatica

CHISINAU, 2015

CEP USM

CZUP

Recomandat de Catedra Analiza Matematica si Ecuatii Diferentiale a USM,si de Comisia de Asigurare a Calitatii

Recenzent - Nicolae Jitarasu, dr. hab., prof. univ.

c Andrei Perjan, 2015c USM, 2015

2

CUPRINS

Prefata 4

1 Preliminarii 5

1.1 Unele notatii uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Integrala Lebesgue pe varietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Introducere. Notiuni generale 17

2.1 Modele din fizica guvernate de ecuatii diferentiale cu derivate partiale . . . 172.2 Clasificarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale semiliniare de ordinul

al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale semiliniare de

ordinul al doilea cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale semiliniare de

ordinul al doilea cu doua variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Problema Cauchy. Notiune de caracteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Teorema S. Cowalevskaia. Notiune de corectitudine n sens Hadamar . . . . 40

3 Problema Cauchy pentru ecuatia undelor 44

3.1 Problema Cauchy pentru ecuatia oscilatiilor mici ale coardei . . . . . . . . . 443.2 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru pentru ecuatia undelor . . . . . 473.3 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor n cazul 3-dimensional 503.4 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor n cazul 2-dimensional 56

4 Problema Cauchy pentru ecuatia difuziei 62

4.1 Principiul de maxim pentru solutiile ecuatiei difuziei n domeniu marginit . 624.2 Principiul de maxim pentru solutiile ecuatiei difuziei n n fasie . . . . . . . 644.3 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia difuziei . . . . . . . . . . 66

5 Functii armonice 70

5.1 Teorema despre valoarea medie a functiie armonice . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Metoda Fourier 71

Bibliografie 72

3

PrefataAceasta lucrare reprezinta un suport de curs, destinat studentilor ciclului I de la spe-

cialitatile matematice, el fiind tinut pe parcursul mai multor ani studentilor de la Facultateade Matematica si Informatica a Universitatii de Stat din Moldova.

Suportul de curs este dedicat expunerii elementelor de baza ale teoriei ecuatiilor diferentialecu derivate partiale.

Fara a exagera prea mult, am putea spune ca majoritatea proceselor deterministe dinfizica, chimie, biologie si alte domenii ale stiitlor naturii sunt guvernate de ecuatii diferentiale,n special de ecuatii diferentiale cu derivate partiale. Printe aceste fenomene ar fi propagareaundelor sonore, undelor de lumina, undelor electromagnetie, propagarea caldurii, reactiichimice si alte fenomene de difuzie, miscarea planetelor, comportarea electronolor n atomisi molecule si multe altele. De aceea, teoriea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale esten plina dezvoltare. Cercetarile din acest domeniu necesita aplicarea diferitor metode dinanaliza matematica, analiza functionala, teoria functiilor de variabila reala si de variabilacomplexa, algebra, geometrie si alte discipline. De aceea, si studierea materiei din cursul defata se bazeaza pe notiunile necesare din cursurile enumarate mau sus din planul de studiiprenargatoare acestuia.

Aparitia acestei lucrari este motivata de faptul ca, desi exista numeroase surse dedicareecuatiilor diferentiale cu derivate partiale n limbile rusa romana si engleza, sursele existentesau ca au fost editate cu mult timp n urma sau ca nu sunt accesibile studentilor.

La ndemana cititorului, materia prevazuta de curricula cursului, este prefatata de uncapitol preliminariu n care sunt prezentate notiunile de baza, legate de integralele Lebesguesi Riemann si proprietatile acestora. Aceste proprietati sunt bine cunoscute si pot fi gasiten manualele de analiza functionala. Ele sunt utilizate din plin pe parcursul expunerii cursu-lui. Unele proprietati, care au o importanta deosebita pentru expunerea materialului, suntprezentate cu demonstratii.

In ncheiere, autorul aduce multumiri conferentiarului universitar Galina Rusu pentruajutorul acordat la tehnoredactarea computerizata a lucrarii.

4

1 Preliminarii

1.1 Unele notatii uzuale

N: multimea numerelor naturale;Nn = { = (m1,m1, . . . ,mn) ;mk N, k = 1, 2, . . . , n};R: multimea numerelor reale, R = [, +], R+ = [0, +];Rn = {x = (x1, ..., xn) , xk R}, k = 1, 2, . . . , n: spatiul euclidian n-dimensional cu

norma ||x|| =(

nk=1

x2k

)1/2si produsul scalar (x, y) =

nk=1

xkyk;

C: multimea numerelor complexe; = (1, . . . , n) Nn: multiindice, || = 1 + + n este lungimea multiindicelui ;x: x = x11 x22 xnn pentru x = (x1, x2, . . . , xn) Rn si = (1, . . . , n) Nn;!: ! = 1! n! (0!=1) pentru = (1, . . . , n) Nn;C : C = C11 C22 Cnn pentru = (1, . . . , n), = (1, . . . , n) Nn;f : f =

||fx11 . . . x

nn

pentru f : Rn 7 R si = (1, . . . , n) Nn;Br(x0): bila deschisa din Rn de raza r cu centrul n x0, Br(x0) = {x Rn; ||xx0|| < r},

Br := Br(0);n: aria suprafetei sferice de raza 1 n Rn, n = 2pin/2/(n/2);wn: volumul sferei de raza 1 n Rn, wn = n/n;: frontiera multimii Rn;A: functia caracteristica a multimii A, A(x) = 1 pentru x A si A(x) = 0 pentru

x / A;f =

{f

x1, . . . ,

f

xn

}: gradientul functiei f : Rn R;

divf =nk=1

fkxk

: divergenta functiei f ;

=nk=1

2

x2k: operatorul lui Laplace;

supp f = {x ; f(x) 6= 0} : suportul funtiei f : Rn 7 C n ;dist (A,B) = inf

xA, yB||x y|| : distanta dintre multimile A si B din Rn;

Cp(): spatiul liniar al tuturor functiilor f : 7 C, pentru care derivatele f suntcontinue n pentru orice || p, p N; C(): C() =

pNCp(), C0() = C();

Cp0 (): Cp0 () = {f Cp(); supp f } (A B, daca A B si dist (A, B) > 0);

||f ||Cp() = supx, ||p

|f(x)|: norma n spatiul Banach al tuturor functiilor f Cp(),pentru care derivatele f sunt marginite n pentru orice || p;

Mn(R): algebra matricelor n n, elementele carora sunt numere reale.

5

En Mn(R): matricea unitate.

1.2 Integrala Lebesgue

In aceasta sectiune vom prezenta proprietatile principale ale integralei Lebesgue, care vorfi utilizate n continuare.

Fie I Rn un paralelipiped n-dimensional nchis de forma I = {x = (x1, ..., xn); ai xi bi, i = 1, ..., n}. Masura (volumul) paralelipipedului I se defineste astfel: m(I) =ni=1

(bi ai).Orice multime deschisa Rn poate fi reprezentata ca o reuniune cel mult numarabila

de paralelipipede Iv, v = 1, 2, ... fara puncte comune interioare, =v=1

Iv. Atunci, n mod

natural, masura Lebesgue a multimii deschise se defineste prin formula m () =v=1

m (Iv).

Daca K Rn este un compact, atunci masura lui m(K) se defineste astfel: m(K) =inf {m (D) ; K D, D deschisa}.

Daca A Rn este o multime marginita, atunci masura exterioara m (A) a multimiiA este m (A) = inf {m (D) ; A D, D deschisa}, iar masura interioara a multimii A estem(A) = sup{m(K); K A, K compact}. Multimea marginita A se numeste masurabila,daca m (A) = m (A), iar m (A) = m (A) = m (A) se numeste masura multimii A.

Multimea nemarginita A Rn se numeste masurabila, daca pentru orice bila Br = {x Rn; ||x|| < r} multimea ABr este masurabila. In acest caz, m(A) = sup

r>0m(A

Br).

Vom spune ca multimea A Rn este multime de masura nula, daca pentru orice > 0ea poate fi acoperita cu bile ale caror volum total este mai mic decat .

Evident, orice submultime a unei multimi de masura nula este de masura nula. Deasemenea, reuniunea unui numar cel mult numarabil de multimi de masura nula este demasura nula.

Vom spune ca o oarecare proprietate P are loc aproape peste tot n Rn (abreviata.p.t.), daca multimea punctelor din pentru care proprietatea P nu are loc este de masuranula.

Functiile f, g : 7 C se numesc echivalente n , daca f(x) = g(x) aproape peste totn .

Functia f : Rn 7 R se numeste masurabila, daca pentru orice a R este masurabilamultimea {x; f (x) a}. Functia f : Rn 7 C se numeste masurabila, daca functiile Refsi Imf sunt masurabile. Functia f : 7 C se numeste masurabila, daca este masurabilafunctia f , unde este functia caracteristica a multimii .

Vom mentiona ca daca f si g sunt functii masurabile, atunci sunt masurabile si functiile:

6

f g, f g, max (f (x) , g (x)) , min (f (x) , g (x)) , |f (x)| , f/g (daca g 6= 0), f+ si f,unde f+ (x) = max (f (x) , 0) , f (x) = max (f (x) , 0). De asemenea, limita punctualaa unui sir de functii masurabile a.p.t. convergent este o functie masurabila. Orice functiecontinua pe o multime nchisa sau deschisa este masurabila. Daca functiile f : Rm 7 R sig : x = (x1, . . . , xn) 7 y = (y1, . . . , ym), yk = gk(x), k = 1, . . . ,m, sunt functii masurabile,atunci este masurabila si functia x Rn 7 f (g1 (x) , ..., gm (x)).

Definitia 1.2.1. Functia f : Rn 7 R se numeste etajata (sau functie n scara), daca ea areforma

f(x) =N=1

aA (x), (1.2.1)

unde a R, A sunt multimi masurabile, marginite, disjuncte (AjAi = pentru i 6= j).

Teorema 1.2.1. Daca f este o functie masurabila, atunci exista un sir de functii etajate{fm}m=1 care converge punctual catre f .

Definitia 1.2.2. Integrala Lebesgue a unei functiei etajate f de forma (2.3.1) se numestenumarul

I (f) =N=1

m (A) a .

Functia masurabila f : Rn 7 R+ se numeste integrabila Lebesgue, daca

I(f) = sup {I(); 0 f, simpla}

Notam cu L1 () multimea functiilor integrabile Lebesgue pe si L1 = L1 (Rn).In continuare, vom reaminti proprietatile principale ale integralei Lebesgue.Pentru orice f, g L1 () si orice , C functia f + g L1 () si

(f (x) + g (x)) dx =

f (x) dx+

g (x) dx.

Fie 1,2 Rn masurabile, m (1

2) = 0 si = 1

2. Daca f L1 (k) , k =1, 2, atunci f L1 () si

f (x) dx =

1

f (x) dx+

2

f (x) dx.

Teorema 1.2.2. Functia f : 7 R+, f L1(), este egala cu zero a.p.t. n , daca sinumai daca

f (x) dx = 0.

Teorema 1.2.3. Functiile f si |f | sunt simultan integrabile Lebesgue si

f (x) dx

|f (x)| dx.

Daca |f (x)| g (x) a.p.t. n si g L1(), atunci f L1() si

|f (x)| dx

g (x) dx.

In plus, orice functie masurabila si marginita pe o multime masurabila de masura finitaeste integrabila n sens Lebesgue.

Teorema 1.2.4. (de convergenta dominanta a lui Lebesgue). Fie fm : 7 R un sir defunctii masurabile a.p.t. convergent n catre f si |fm (x)| g (x) a.p.t., unde g L1().Atunci f L1() si

limm

fm (x) dx =

limm

fm (x) dx =

f(x) dx. (1.2.2)

Teorema 1.2.5. (de derivare a integralei n raport cu parametru). Fie Rn, Q Rm,f : Q 7 Rn+m si f(x, ) Cs(Q), s 0, a.p.t. n . Daca exista g L1 () astfelncat y f (x, y) g (x) , y Q, a.p.t. n , || s,

8

atunci

f (x, y) dx Cs (Q) si are loc egalitatea

y

f (x, y) dx

=

y f (x, y) dx, y Q.

Urmatoarea teorema stabileste legatura dintre integrala Riemann si integrala Lebesgueale unei functii.

Teorema 1.2.6. Daca functiile f si |f | sunt integrabile n sens Riemann pe Rn (nsens propriu sau impropriu), atunci ele sunt integrabile si n sens Lebesgue pe si integralelerespective ale lor coincid.

Teorema 1.2.7. (schimbul de variabile n integrala Lebesgue). Presupunem ca transfor-marea x = (y) este de clasa C1(), adica xk = k (y1, y2, ..., yn), k = 1, 2, ..., n, k C1(), si aplica bijectiv Rn pe 1 Rn. Fie J (y) = det (k/yj)nk,j=1 6= 0, y .

Atunci f L1 (1), daca si numai daca f (x (y)) |J (y)| L1 (). In acest caz, are locegalitatea

f (x (y)) |J (y)| dy =1

f (x) dx. (1.2.3)

Un caz particular, des utilizat, este trecerea de la coordonatele carteziene la coordonatelesferice n Rn. Trecerea de la coordonatele carteziene la cele sferice cu centrul n x0 seefectueaza cu ajutorul formulelor x = x0 + r, scrise n coordonate astfel

xk = x0k + rk, k = 1, 2, ..., n, (1.2.4)

unde

r2 =nk=1

(xk x0k

)2,

1 = cos 1,

2 = sin 1 cos 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n1 = sin 1 sin 2 sin n2 cos n1,n = sin 1 sin 2 sin n2 sin n1,

(1.2.5)

i (0, pi) , i = 1, ..., n 2, n1 (0, 2pi)

9

Vom calcula Jacobianul transformarii (1.2.4), Jn = detD(x1, x2, . . . , xn)

D(r, 1, 2, . . . , n1).

Jn =

cos 1 r sin 1 0 . . . 0sin 1 cos 2 r cos 1 cos 2 r sin 1 sin 2 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

cos n1 r ctg 1 cos n1 r ctg 2 cos n1 . . . r sin n1 sin n1 r ctg 1 sin n1 r ctg 2 sin n1 . . . r cos n1

,

unde = sin 1 sin 2 sin n2. Observam ca Jnn1

= 0. De aceea, la calcularea Jnputem pune n1 = 0. Prin calcul direct se stabileste formula recurenta Jn = r Jn1. Prinurmare, pentru Jn obtinem formula

Jn = rn1 sinn2 1 sinn3 2 sin n2. (1.2.6)

Conform formulei Teoremei 1.2.7, avem

dx = |Jn| drd1... dn1 = rn1 sinn2 1 sinn3 2... sin n2 dr d1 d2 . . . dn1. (1.2.7)

Vom deduce formula pentru elementul dSr al sferei Sr de raza r cu centrul n originea sis-temului sferic de coordonate. Este cunoscut ca daca S este o suprafata (n 1)-dimensionaladefinita de egalitatea xn = F (x1, x2, . . . , xn1) si F C1, atunci pentru elementul desuprafata dS are loc formula dS =

dx1 dx2 . . . dxn1| cos (, xn)| , unde este normala la S, iar xn

este vectorul unitate de pe axa Oxn. In cazul sferei Sr avem

| cos (, xn)| = | cos (r, xn)| = |xn x0n|

r=

n1k=1

sin k

.Deoarece pe Sr coordonata r este constanta, rezulta ca

dx1 dx2 . . . dxn1 =

det D(x1, x2, . . . , xn)D(1, 2, . . . , n1) d1 d2 . . . dn1.

Jacobianul din ultima formula se obtine din Jn, eliminand din Jn prima coloana si ultimalinie. In determinantul ramas toate elementele mai sus de diagonala principala sunt nule, deaceea acest determinant este egal cu produsul elementelor de pe diagonala. Prin urmare,

dSr = rn1 sinn2 1 sinn3 2 sin n2 d1 d2 . . . dn1. (1.2.8)

Din (1.2.7) si (1.2.8) rezulta formulele

dSr = rn1 dS1, dx = dr dSr = rn1 dr dS1, |Sr| = n rn1, (1.2.9)

10

unde |Sr| este aria suprafetei sferice de raza r, iar n este aria suprafetei sferice de raza 1 nRn. Vom calcula n,

n =

pi0

pi

0

2pi0

sinn21 sinn3 2 sin n2 d1 d2 dn1 =

= 2pin2k=1

pi0

sink d = 2pin2k=1

2 pi/20

sink

d.Gratie substitutiei sin2 = t avem

2

pi/20

sink d =

10

t(k1)/2 (1 t)1/2 dt = B(k + 1

2,1

2

)=

(k+1

2

)(

12

)(k+2

2

) = pi (k+12 )(k+2

2

) ,unde B si sunt integralele lui Euler de speta ntai si a doua respectiv (a se vedea [4])

B(p, q) =

10

xp1 (1 x)q1 dx, p > 0, q > 0, () =

0

x1exdx, > 0. (1.2.10)

Prin urmare, n =2 pin/2

(n/2). Daca Vr este volumul sferei de raza r, atunci

Vr =

||x|| 0,astfel ncat

|f(x)| M ||x||, ||x|| r, (1.2.11)atunci

||x|| 0, astfel ncat

|f(x)| M ||x||, ||x|| r, (1.2.13)

atunci ||x||>r

|f(x)| dx nM rn. (1.2.14)

11

Demonstratie. Trecem la coordonate sferice cu centrul n originea de coordonate,aplicand (1.2.4) si Teorema 1.2.3, obtinem

||x|| 0 astfel ncat pentru orice multime masurabila E cuproprietatea m(E) < are loc

E

f(x) dx

< .Urmatoarea teorema evidentiaza legatura dintre integralele multiple si cele repetate.

Teorema 1.2.9. (Fubini-Tonelli)a) Presupunem ca

Q

|f(x, y)|dy

Vom defini functia : Rn 7 R, numita nucleul lui Sobolev, prin formula

(x) = C

e 1

1||x||2 , ||x|| < 1,0, ||x|| 1,

C =

||x|| 0, definim functia (x) = n (x/). Usor se demonstreaza ca functia ,

de asemenea, verifica cele trei proprietati din (2.4.2).

Lema 1.3.1. Fie Rn o multime deschisa, iar K un compact. Exista o functie : 7 R cu proprietatile: 1) 0 (x) 1, x ; 2) (x) = 1 ntr-o vecinatate acompactului K; 3) C0 ().

Demonstratie. Fie > 0, astfel ncat 3 < dist (K, ). Notam prin K = {x ; dist(x,K) > }. Fie (x) functia caracteristica a multimii K2 . Functia (x), definitaprin formula

(x) =

(y) (x y) dy, (1.3.3)

verifica proprietatile enuntate. Intr-adevar, proprietatea 1) urmeaza din relatiile

0 (x)

||xy||

Demonstratie. Pentru fiecare i, i = 1, . . . , N, exista un compact Ki astfel ncat Ki i si K

Ni=1

Ki. Conform Lemei 2.4.1 pentru fiecare Ki exista o functie i : Rn 7 Rcu proprietatile: i C0 (i), 0 i(x) 1, x i, i(x) 1 ntr-o vecinatate acompactului Ki. Definim functiile i : Rn 7 R,

1(x) = i(x), i(x) = i(x)(1 1(x)

) (1 i1(x)), i = 2, . . . , N.Este clar ca i C0 (i) si 0 i(x) 1 pentru orice x Rn. Prin calcul direct deducemegalitatea

Ni=1

i(x) = 1(1 1(x)

) (1 N(x)), x Rn. (1.3.4)Deoarece

(1 1(x)

) (1 N(x)) = 0 ntr-o vecinatate a multimii Ni=1

Ki, atunci din

(2.4.4) rezulta caNi=1

i(x) = 1 ntr-o vecinatate a compactuluiK. In acelasi timp, din (2.4.4)

urmeaza ca 0 Ni=1

i(x) 1 pentru orice x Rn.

Definitia 1.3.1. Multimea nchisa S Rn se numeste varietate (n 1)-dimensionala declasa Ck, k 1, daca pentru orice x0 S exista o vecinatate n-dimensionala U(x0) si ofunctie Fx0 : U(x0) 7 R, astfel ncat Fx0 Ck

(U(x0)

), Fx0(x) 6= 0 n U(x0) si multimea

SU(x0) se defineste de ecuatia Fx0(x) = 0, adica toate punctele multimii S

U(x0)

verifica ecuatia Fx0(x) = 0 si orice punct x ce verifica ecuatia Fx0(x) = 0 apartine multimiiSU(x0).

Astfel, S este o varietate (n 1)-dimensionala de clasa Ck daca pentru orice x0 Sexista o vecinatate n-dimensionala U(x0), astfel ncat multimea S

U(x0) se proiecteaza

bijectiv pe un domeniu Dx0 Rn1 , adica SU(x0) se defineste de ecuatia xp = gp(xp),

unde xp = (x1, . . . , xp1, xp+1, . . . , xn) Dx0 Rn1 si gp Ck(Dx0).Daca S este o varietate (n1)-dimensionala de clasa C1 si x0 S, atunci multimea Tx0 =

{ Rn : (, F (x0)) = 0} se numeste hiperplan tangent la varietatea S n x0. HiperplanulTx0 nu depinde de F , iar vectorul (x0) = F (x0)/|F (x0)| se numeste versor normal la Sn punctul x0.

Fie Sp Rn1 o varietate (n1)-dimensionala de clasa C1 definita de ecuatia xp = gp(xp),unde xp Vp Rn1 si gp C1(Vp). Functia f : Sp R se numeste integrabila Lebesgue pevarietatea Sp daca functia f

(x, gp(xp)

)este integrabila Lebesgue pe Vp. Intergrala functiei

f pe Sp se defineste prin formulaSp

f(x)ds =

Vp

f(xp, gp(x

p))

1 + ||p gp (xp)||2 dxp , (1.3.5)

14

unde p gp(xp) =(gx1 , ..., gxp1 , gxp+1 , , gxn

)si dx = dx1 dxp1 dxp+1 dxn.

Sa trecem la definirea integralei Lebesgue pe o varietate (n 1)-dimensionala S Rn1

compacta de clasa C1. Pentru S exista o acoperire finita cu multimi deschise S Np=1

p,

p Rn, astfel ncat multimile Sp = S

p sunt definite de ecuatiile xp = gp(xp), undexp Vp Rn1 si gp C1(Vp). Exista familia {p}Np=1 cu proprietatile din Teorema 1.3.1.Fie f : S 7 R o functie data. Atunci

f(x) =Np=1

p(x) f(x), x S.

Prin definitie, functia f este integrabila pe S daca functiile p f , p = 1, 2, ..., N suntintegrabile pe Sp. In acest caz, avem

S

f(x) dS =Np=1

Sp

p(x) f(x) dS.

Se poate arata ca atat proprietatea de integrabilitate, cat si integrala nu depind desistemul (p, Vp, gp) si de partitia unitatii {p} a varietatii S.

Varietatea (n1)-dimensionala S se numeste masurabila daca S este integrabila Lebesgue.Fie Rn o multime deschisa si marginita cu frontiera de clasa C1 si fie fk : 7 R,

fk C1(), k = 1, . . . , n. Daca (x) este versorul normalei exterioare la , iar xk =(0, . . . , 0, 1

k

, 0, . . . , 0), atunci are loc egalitatea

nk=1

fk(x)

xkdx =

nk=1

fk cos(, xk) dS,

numita formula lui Ostrogradski-Gauss. In particular, daca P, Q C1(), atunci are locurmatoarea formula, numita formula integrarii prin parti:

P (x)

xkQ(x) dx =

P (x)Q(x) cos(, xk) ds

P (x)Q(x)

xkdx, k = 1, n. (1.3.6)

Fie Rn o multime masurabila Lebesgue si 1 p < . Notam cu Lp() spatiulliniar de functii masurabile f : 7 C pentru care

fLp() =

|f(x)|pdx1/p 0 ; |f(x)| C, a.p.t n }. (1.3.8)

15

Teorema 1.3.2. Spatiile Lp() sunt spatii Banach cu norma (2.5.1) (1 p < ) sau(2.5.2) (p =). In cazul p = 2, spatiul L2 () este un spatiu Hilbert cu produsul scalar

(f, g

)L2()

=

f(x) g(x) dx.

In realitate, fiecare element al spatiului Lp() reprezinta o clasa de functii masurabile siechivalente n . Daca = Rn, atunci vom nota Lp(Rn) = Lp.

Amintim ca pentru f Lp(), g Lq(), p, q [0,], are loc inegalitatea lui Holderf gL1()

f Lp()

gLq()

, 1/p+ 1/q = 1, (1.3.9)

iar pentru f, g Lp() si p [0,] are loc inegalitatea lui Minkowskif + gLp()

f Lp()

+g

Lp(). (1.3.10)

16

2 Introducere. Notiuni generale

2.1 Modele din fizica guvernate de ecuatii diferentiale cu derivate

partiale

Ecuatia oscilatiilor mici ale coardei. Vom formula urmatoarea problema.O coarda de lungimea l, ntinsa de o forta de tensiune

T0(x) se afla ntr-o pozitie rectilinie

de echilibdu. La momentul initial t = 0 tuturor punctelor coardei li se comunica deplsarilevitezele initiale (x) si (x). Sa se determine modelul matematic al oscilatiilor mici transver-sale ale coardei pentru t > 0, cauzate de actiunea unei forte exterioare cu demsitatea liniarap(x, t), n cazurile cand capetele coardei sunt fixate. Rezistenta mediului se neglijeaza.

Fie ca n starea nedeformata coarda se afla pe axa intervalul [0, l] al axei Ox. Notam cuu(x, t) abaterea coardei de la starea de echilibru n punctul x la momentul de timp t. Atuncigraficul functiei u(x, t) n planul cartezian xOu va nsemna forma coardei la momentul detimp t.

Mai ntai, vom talmaci unii termeni din problema.

+ 0 ()

() x

u

( + )

( + )

Prin coarda vom ntelege un fir flevibil tensionat ce nu se opune deformarilor care nu suntlegate de schimbarea lungimii lui. Aceasta nsemna ca daca ne imaginam o taetura a coardei

17

n punctul x al ei, atunci actiuneaT (x, t) a unei portiuni a coardei asupra celilalte portiuni

n momentul de timp t are aceeasi directie cu tangenta n x la curba ce reprezinta coarda.Prin oscilatii mici vom ntelege astfel de oscilatii la care deplasarile sunt atat de mici

ncat patratele abaterilor u si patratele derivatelor acestora pot fi neglijate.Oscilatii transversale nsemna ca toate punctele coardei se deplaseaza ntr-un plan, iar

directia deplasarii fiecarui punct este perpendiculara pe pozitia de echilibru a coardei.Densitatea liniara a fortelor exterioare este rezultanta fortelor ce actioneaza pe o portiune

a coardei cu lungimea de o unitate de masura.Pentru a modela acest proces fizic examinam o portiune a caoardei n pozitia de echlibru

(x, x + x) care n momentul de timp t reprezinta arcul AB de pe graficul functiei u(x, t),dar si actiunea tuturor fortelor pe aceasta portiune.

Avand n vedere ca oscilatiile sunt transversale, fortele exterioare si cele de inertie actioneazaparalel cu axa Ou.

In virtutea faptului ca osccilatiile sunt mici, lungimea arcului AB la momentul t va fi

AB = x+xx

1 + u2s(s, t) ds x,

ceea ce nsemna ca n procesul oscilatiilor lungimea portiunii nu se schimba. Prin urmare,conform legii lui Hoock, marimea fortei de tensiune n coarda nu se scimba n timp, adicaT (x, t) = T (x).

Vom utiliza principiul lui DAlambert din mecanica, conform caruia toate fortele ceactioneaza asupra portiunii AB se echilibreaza, adica rezultanta acestor forte este zero.Prin urmare, si suma algebrica ale proiectiilor acestor forte pe axele Ox si Ou vor fi zero.Suma algebrica a proiectiilor a acestor forte pe axele Ox esteT (x+ x) cos (x+ x) T (x) cos (x) = 0, (2.1.1)unde (x) este unghiul format de axa Ox si tangenta la graficul functiei u(x, t) n punctul(x, u). Deoarece

cos (x) =1

1 + tg(x)=

11 + u2(x, t)

1

1

1 + u2(x+ x, t)=

11 + tg(x+ x)

= cos (x+ x),

atunci din (2.1.1) rezulta caT (x + x) T (x), adica se poate considera ca marimea

fortei de tensiune nu depinde nici de x. Rezulta caT (x, t) = T0.

Proectia rezultantei fortelor de tensiune a portiunii AB a coardei pe pe axa Ou este

Ft =T0 [ sin (x+ x) sin (x)] =

18

=T0 [ tg(x+ x)

1 + tg2 (x+ x) tg(x)

1 + tg2 (x)

]=

=T0 [ ux(x+ x, t)

1 + u2x(x+ x, t) ux(x, t)

1 + u2x(x, t)

]

T0 [ux(x+ x, t) ux(x, t)] T0uxx(x, t) x.

Avand n vedere ca forta exterioara cu densitatea liniara p(x, t) actioneaza paralel cu axaOu, proiectia pe axa Ou a rezultantei fortei ce actiuneaza pe portiunea AB va fi Fe =p(x, t) x. Conform legii lui Newton, proectia fortei de inertie a portiunii AB pe axa Oueste Fi = mutt(x, t), unde m este masa acestei portiuni. Daca (x) este densitatea liniaraa materialului din care este confectionata coarda, atunci m = (x) x. Rezulta ca Fi =(x) x. Astfel, egaland cu zero suma algebrica a proiectiilor pe axa Ou a tuturor fortelorce actioneaza pe portiunea AB, obtinem ca Ft + Fe + Fi = 0, adica[T0uxx(x, t) + p(x, t) (x)utt(x, t)]x.Prin urmare,

utt(x, t) = a2(x)uxx(x, t) + f(x, t), x (0, l), t > 0, (2.1.2)

unde a2(x) =T0/(x) si f(x, t) = p(x, t)/(x). Daca coarda este omogena, adica (x) =

const, atunci si a(x) = const. Ecuatia (2.1.2) se numeste ecuatia oscilatiilor mici fortate alecoardei. In plus, functia u verifica si conditiile initiale

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x (0, l). (2.1.3)

Deoarece capetele coardei sunt fixate atunci pentru funtia u obtinem conditiile la frontiera

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t 0. (2.1.4)

Astfel rezumand, problema enuntata mai sus se reduce la gasirea unei functii u C2((0, l) (0,))C([0, l] [0,)) ce verifica ecuatia (2.1.2), conditiile initiale (2.1.3) si

conditiile la frontiera (2.1.4).In cazul cand f(x, t) = 0, adica fortele exterioare lipsesc, ecuatia (2.1.2) se mumeste

ecuatia oscilatiilor mici libere ale coardei.Oscilatiile coardei pot fi conditionate si de alte conditii la frontiera. Astfel, daca capetele

coardei sunt libere, adica ele se deplaseaza liber si transversal, atunci aceste condtii au forma

ux(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, t 0. (2.1.5)

Daca capetele coardei se deplaseaza transversal suportand o rezistenta proportionalaabaterii, acestea fiind fixate de arce elastice, atunci conditiile la frontiera au forma

ux(0, t) hu(0, t) = 0, ux(l, t) + hu(l, t) = 0, t 0, (2.1.6)

19

unde h =T0/k, k fiind coeficientul de elasticitate al arcului de care sunt fixate capetele

coardei.Daca capetele coardei se deplaseaza transversal dupa anumite legi, atunci conditiile la

frontiera au formau(0, t) = 1(t), u(l, t) = 2(t), t 0, (2.1.7)

unde 1 si 2 sunt functiile ce determina legile de deplasare a capetelor coardei.O idealizare a oscilatiilor mici ale unei coarde de o lungime suficiemt de mare, a carei

capete au influente neglijabile asupra oscilatiilor ei ne conduce la modelul matematic guver-nat de problema Cauchyutt(x, t) = a2(x)uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R.

Mentiona ca modelul guvernat de problema (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4), descrie si alte fenomenefizice, cum ar fi spre exemplu, propagarea undelor longitudinale ntr-o bara.

Ecuatia oscilatiilor mici ale membranei omogene. O membrana plana (placa flex-ibila subtire ce nu se opune deformarilor ce nu sunt legate de schimbarea suprsfetei ei)este amplasata n pozitia de echilobru pe domeniul din planul de coordonate rectangularx1Ox2. La momentul initial t = 0 tuturor punctelor membranei li se comunica deplsarileinitiale (x) si vitezele initiale (x). Sa se determine modelul matematic al oscilatiilor micitransversale ale membranei pentru t > 0, cauzate de actiune unei forte exterioare cu dem-sitatea p(x, t) (rezultanta fortelor ce actioneaza pe o unitate de suprafata), n cazurile candmarginea membranei este fixata. Rezistenta mediului se neglijeaza.

Daca notam cu u(x1, x2, t) abatetrea punctului x = (x1, x2) de la pozitia de ecilibrun momentul de timp t, atunci modelul matematic ce guverneaza acest proces de oscilatiieste

utt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x , t > 0,

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x ,u(x, t)

x

= 0, t > 0,

(2.1.8)

unde a = const > 0 si =2

x21+

2

x22este operatorul lui Laplace. Conditia la frontiera din

(2.1.8) se numeste conditia lui Dirichlet.

20

1

2

Deseori n umele modele conditia la frontiera este data sub forma conditiei lui Neumann

u

x

= 0, t 0, (2.1.9)

sau a condictiei lui Robin (u

+ g(x, t)u)

x= 0, t 0, (2.1.10)

unde este normala exterioara la si g este o functie data.In cazul cand memrana = R2, conditiile la frontiera lipsecs si modelul matematic este

guvernat de problema Cauchyutt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x R2, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R2. (2.1.11)Ecuatia propagarii undelor. Diverse procese de propagare a undelor sonore, electromag-netice, de lumina si de alta natura ntr-un corp R3 sunt descrise de ecuatia undelor

utt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x , t > 0,

conditiile initialeu(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x ,

si una din conditiile la frontiera de tip Dirichlet, Neuman sau Robin, unde =2

x1+2

x2+

2

x3este operatorul lui Laplace.

21

Ecuatia propagarii caldurii. Fie un corp din R3 cu frontiera .

3

1

2

V

S

Deducerea ecuatiei propagarii caldurii se bazeaza pe legea lui Fourier din termodinamica,conform careia cantitatea de caldura Q ce trece printr-o suprafata S din interiorul cor-pului n intervalul de timp t se determina de formula

Q = k(x, u) u(x, t)

St,

unde este normala la suprafata S, ndreptata n directia transmiterii caldurii (caldura setransmite de la punctele corpului cu temperatura mai ridicata la punctele cu cu temperaturamai joasa), k(x, u) este coeficientul conductibilitatii termice interioare (cantitate de caldurace trece printr-o unitate de suprafata ntr-o unitate de timp), u(x, t) este temperatura cor-pului n punctul x = (x1, x2, x3) n momentul de timp t. Presupunem ca conductibilitateatermica a corpului Q este izitropa, adica k(x, u) nu depinde de directia propagarii caldurii.Pentru a deduce ecuatia pentru u, evidentiem n Q un corp arbitrar V Q marginit defrontiera S. Atunci, conform legii lui Fourier, cantitatea de caldura ce trece prin suprafataS n intervalul de timp [t1, t2] este

Q1 = t2t1

dt

S

k(x, u)u(x, t)

dS =

t2t1

dt

V

3i=1

xi

(k(x, u)

u(x, t)

xi

)dx.

Daca n interiorul corpului Q exista o sursa de caldura de densitate f(x, t) (cantitatea decaldura generata de o unitate de volum de sursa ntr-o unitate de timp), atunci cantitatea

22

de caldura generata de aceasta sursa n V va fi

Q2 =

t2t1

dt

V

f(x, t) dx.

Prin urmare, camtitatea totala tarnsmisa n V n intervalul de timp [t1, t2] este Q1 + Q2.Aceeasi cantitate de caldura poate fi calculata prin variatia temperaturii n acelasi intervalde timp, si anume

Q =

V

c(x) (x)[u(x, t1) u(x, t2)

]dx =

t2t1

dt

V

c(x) (x)u(x, t)

tdx,

unde c(x) este capacitatea termica specifica a substantei (cantitatea de caldura necesarapentru a ncalzi o unitate de masa de substanta cu un grad) si (x) este densitatea substantei(masa unei unitati de volum de substanta). Deoarece Q = Q1 +Q2, atunci

t2t1

dt

V

[c(x) (x)

u(x, t)

t

3i=1

xi

(k(x, u)

u(x, t)

xi

) f(x, t)

]dx = 0.

Considerand functia de sub integrala continua si avand n vedere ca V Q si [t1, t2] suntarbitrare, din egalitatea de mai sus deducem ca

c(x) (x)u(x, t)

t

3i=1

xi

(k(x, u)

u(x, t)

xi

)= f(x, t), x Q, t > 0. (2.1.12)

Ecuatia (2.1.12) se numeste ecuatia propagarii caldurii. In caz general aceasta ecuatie esteneliniara. Daca coeficientul de conductibilitate termica k nu depinde de temperatura u, adicak(x, u) = k(x), atunci ecuatia (2.1.12) devine liniara. In cazul cand corpul este omogen,adica c(x) = const, (x) = const si k(x) = const ecuatia (2.1.12) ia forma

ut(x, t) = a2 u(x, t) + F (x, t), x , t > 0,

unde a2 = k/(c ), F (x, t) = f(x, t)/c si =

x1+

x2+

x3. Din considerente de natura

fizica rezulta ca pentru a determina n mod unic solutia ecuatiei (2.1.12) este necesar de acunoaste temperatura initiala a corpului, adica

u(x, 0) = (x), x , (2.1.13)

si regimul de tenprtatura la frontiera . Acest regim, de cele mai dese ori, este definit deuna din conditiile lui Dirichlet, Neumann sau Robin, definite mai sus n (2.1.8), (2.1.9) si(2.1.10), respectiv.

23

Uneori ecuatia (2.1.12) se mai numeste si ecuatia difuziei, deoarece ea guverneaza siprocese de difuzie, cum ar fi, spre exemolu, reactiile chimice.

In cazul cand corpul este omogen si coincide cu ntreg spatiul R3, modelul matematical fenomenul de propagare a caldurii este descris de problema Cauchyut(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x R3, t > 0,u(x, 0) = (x), x R3. (2.1.14)

In cazul a doua variabile spatiale x = (x1, x2) R2 ecuatia (2.1.12) guverneazaprocesul de propagare a caldurii ntr-o placa plana, iar n cazul a unei variabile spatialex (0, l) R2 ecuatia (2.1.12) guverneaza procesul de propagare a caldurii ntr-un bara.

In cazul proceselor stationare (procese care nu depind de timp) f(x, t) = f(x) si u(x, t) =u(x), ecuatiile propagarii undelor si cea de propagare a caldurii iau forma

u(x) = f(x), x . (2.1.15)

Din considerente fizice, pentru a determina n mod unic solutia ecuatiei (2.1.15), acesteiecuatii se mai ataseaza o conditie la frontiera care poate fi conditia lui Dirichlet, conditia luiNeumann sau conditia lui Robin.

Ecuatiei (2.1.15) se numeste ecuatia lui Poisson. Daca n (2.1.15) f(x) = 0, atunciobtinem ecuatia lui Laplace

u(x) = 0, x . (2.1.16)Ecuatiile (2.1.15) si (2.1.16) descriu diverse marimi fizice stationare, cum ar fi potentialul

unui camp electrostatic, potentialul unui camp magnetic stationar si alltele.Un sir de alte modele din fizica guvernate de ecuatii diferentiale cu derivate partiale pot

fi gasite n [2], [3], [8].

2.2 Clasificarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale semiliniare

de ordinul al doilea

In aseasta sectiune vom efectua o clasificare algebrica a ecuatiilor diferentiale cu derivatepartiale semiliniare de ordinul al doilea.

Fie Rn o multime deschisa. Examinam ecuatia diferentiala cu derivate partialesemiliniara de ordinul al doilea

ni,j=1

aij(x)uxixj(x) + f(x, u,u) = 0, x = (x1, . . . , xn) Rn, (2.2.1)

24

unde aij, f : 7 R sunt functii date. Membrul din ecuatia (2.2.1) ce contine derivatelede ordinul al doilea se numeste partea principala a ecuatiei. Clasificarea ecuatiilor de forma(2.2.1) se efectuiaza dupa partea principala a acestor ecuatii. In acest scop, vom asocia partiiprincipale a ecuatiei (2.2.1) matricea

A(x) =

a11(x) a12(x) . . . a1n(x)

a21(x) a22(x) . . . a2n(x)

. . . . . . . . . . . .

an1(x) an2(x) . . . ann(x)

.

Deoarece ecuatia (2.2.1) este de ordinul doi, rezulta ca A(x) 6= 0 pentru x . Fara arestrange generalitatea, putem considera ca aij(x) = aji(x), x , adica matricea A(x)este simetrica. Intr-adevar, notan cu

aij(x) =1

2

(aij(x) + aji(x)

), aij(x) =

1

2

(aij(x) aji(x)

).

Deoarece uxixj = uxjxi si aij(x) = aij(x) + aij(x) si, prin urmare,

ni,j=1

aij(x)uxixj(x) =1

2

ni,j=1

aij(x)uxixj(x)1

2

ni,j=1

aji(x)uxjxi(x) = 0,

atuncin

i,j=1

aij(x)uxixj(x) =n

i,j=1

aij(x)uxixj(x) +n

i,j=1

aij(x)uxixj(x) =n

i,j=1

aij(x)uxixj(x)

cu aij(x) = aji(x).Fie x0 arbitrar dar fixat. Nota cu 1(x0), 2(x0), . . . , n(x0) valorile proprii ale

matricei A(x0), adica radacinile ecuatiei

det(A(x0) En

)= 0,

unde En este matricea unitate din Mn(R). Deoarece matricea A(x0) este simetrica, rezultaca toate valorile proprii ale ei sunt reale. Nota cu n+(x0) valorile proprii pozitive, cu n(x0)valorile proprii negative si cu n0(x0) valorile proprii nule ale matricei A(x0).

Definitia 2.2.1. Ecuatia (2.2.1) se numeste:a) de tip eliptic n x0 daca n+(x0) = n sau n(x0) = n;b) de tip parabolic n x0 daca 0 < n0(x0) < n;c) de tip hiperbolic n x0 daca n0(x0) = 0 si n+(x0) = n 1 sau n(x0) = n 1;d) de tip ultrahiperbolic n x0 daca n0(x0) = 0 si 1 < n+(x0) < n 1.

25

Exemplul 2.1.1. Ecuatia lui Laplacenk=1

uxkxk = 0 este de tip eliptic n Rn, deoarece

n acest caz A = En si, prin urmare, 1 = 2 = = n = 1. Adica toate valorile propriiale matricei A n acest caz sunt pozitive.

Exemplul 2.1.2. Ecuatia propagarii undelor utt nk=1

uxkxk = 0 este de tip hiperbolic

n Rn+1, deoarece n acest caz 1 = 1 si 2 = 3 = = n+1 = 1.Exemplul 2.1.3. Ecuatia difuziei ut

nk=1

uxkxk = 0 este de tip parabolic n Rn+1,

deoarece n acest caz 1 = 0 si 2 = 3 = = n+1 = 1.Exemplul 2.1.4. Examinam tipul ecuatiei lui Tricomi x2 ux1x1 ux2x2 = 0 n R2. Usor

se observa ca n acest caz 1(x) = x2 si 2(x) = 1. Prin urmare, aceasta ecuatie estede tip eliptic n semiplanul {x = (x1, x2) R2; x2 < 0}, de tip hiperbolic n semiplanul{x = (x1, x2) R2; x2 > 0} si de tip parabolic pe axa x2 = 0.

Sa observam ca clasificrea algebrica a ecuatiilor (2.2.1) efectuata mai sus, epuizeaza toatecazurile posibile.

Fie x0 un punct arbitrar si U(x0) o vecinate a acestui punct. Vom efectua necuatia (2.2.1) transformarea

y = y(x),(yk = yk(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n

). (2.2.2)

Vom presupune ca transformarea (2.2.2) aplica bijectiv U(x0) ntr-o vecinate V (y0), undey0 = y(x0). In plus, mai presupunem ca aceasta transformare este neteda, adica yk C2(U(x0)

)si nedegenerata, adica det J(x) 6= 0, x U(x0), unde J(x) este matricea Jacobi

a acestei transformari

J(x) =

y1x1

(x)y1x2

(x) . . .y1xn

(x)

y2x1

(x)y2x2

(x) . . .y2xn

(x)

. . . . . . . . . . . .ynx1

(x)ynx2

(x) . . .ynxn

(x)

.

In aceste conditii, conform teoremei de existenta a functiei implicite, exista transformareainversa a transformarii (2.2.2) x = x(y) C2(V (y0)), care aplica bijectiv V (y0) n U(x0).Prin urmare, u(x) = u

(x(y)

)= v(y) si

uxi(x) =nk=1

vyk(y)ykxi

(x(y)

), (2.2.3)

uxixj(x) =n

k,l=1

vykyl(y)ykxi

(x(y)

) ylxj

(x(y)

)+

nk=1

vyk(y)2ykxixj

(x(y)

). (2.2.4)

26

Inlocuind (2.2.3) si (2.2.4) n (2.2.1), obtinem

nk,l=1

bkl(y) vykyl(y) + F (y, v,v) = 0, y V (y0), (2.2.5)

unde

bkl(y) =n

i,j=1

aij(x(y)

) ykxi

(x(y)

) ylxj

(x(y)

). (2.2.6)

Daca notam cu B(y) = ||bkl(y)||nk,l=1, atunci, prin calcul direct, deducem ca B = J AJ t,unde J t este matricea transpusa matricei J . Din algebra se cunoaste ca numarul valorilorproprii pozitive si numarul valorilor proprii negative ale matricei A coincide cu numarulvalorilor proprii pozitive si numarul valorilor proprii negative ale matricei B. Astfel are locurmatoarea propozitie.

Propozitia 2.2.1. Tipul ecuatiei (2.2.1) ramane neschimbat la orice transformare de clasaC2, bijectiva si nedegenerata.

2.3 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale

semiliniare de ordinul al doilea cu coeficienti constanti

Pe parcursul cursului se va vedea ca la fiecare tip de ecuatii se vor aplica diferite metodede cercetare. De aceea, este necesar de a gasi pentru fiecare tip de ecuatie o forma speciala,numita forma canonica. Pentru aceasta forma canonica vor fi studiate metodele principalede cercetare, metode care pot fi aplicate la ntreaga clasa de ecuatii, reprezentata de aceastaforma canonica. Mentionam ca, n caz general, ecuatia (2.2.1) nu poate fi adusa la formacanonica cu ajutorul unei transformari comune pentru toate punctele dintr-un subdomeniual domeniului , n care ecuatia (2.2.1) si pastreaza tipul. Totusi, astfel de transformari potfi gasite n doua cazuti: i) cand coeficientii partii principale a ecuatiei (2.2.1) sunt constantisi ii) cand n = 2.

In aceasta sectiune vom examina cazul i). Asadar, presupunem ca cueficientii ecuatiei(2.2.1) sunt constanti, adica examinam ecuatia

ni,j=1

aij uxixj(x) + f(x, u,u) = 0, x = (x1, . . . , xn) Rn, (2.3.1)

Asociem ecuatiei (2.3.1) forma patratica

ni,j=1

aij ti tj. (2.3.2)

27

si efectuam n ea o transformare nedegenerata t = C , detC 6= 0, care n coordonate areforma

ti =nk=1

cik k, i = 1, . . . , n.

Atuncin

i,j=1

aij ti tj =n

i,j=1

aij

nk=1

cik k

nl=1

cjl l =

=n

k,l=1

k l

ni,j=1

aij cik cjl =n

k,l=1

bkl k l (2.3.3)

unde

bkl =n

i,j=1

aij cik cjl.

Efectuam, acum, n ecuatia (2.3.1) transformarea y = Ct x, care n coordonate are forma

yi =np=1

cpi xp, i = 1, . . . , n.

Atunci u(x) = u((Ct)1 y

)= v(y) si

uxi =nk=1

vyk(y) cik, i = 1, . . . , n. (2.3.4)

uxixj =nk=1

nl=1

vykyl(y) cik cjl, i, j = 1, . . . , n. (2.3.5)

Inlocuind (2.3.4) si (2.3.6) n (2.3.1) obtinem ecuatian

k,l=1

bkl vykyl(y) + F (y, v,v) = 0, y Rn, (2.3.6)

unde bkl sunt aceeiasi ca si n forma patratica (2.3.3). Prin urmare, conchidem ca la trans-formarea x = Cty n ecuatia (2.3.1) pe langa derivatele vykyl se obtin aceeiasi coeficienti casi la transformarea t = C n forma patratica (2.3.2).

Din algebra se cunoaste, ca exista o trabsformare nedegenerata t = C , care aduce formapatratica (2.3.1) la forma

21 + + 2n+ 2n++1 2n++n .Atunci, avabd n vedere ovservatia de mai sus, deducem ca la transformarea y = Ct x ecuatia(2.3.1) va lua forma

n+i=1

vyiyi n++ni=n++1

vyiyi + F (y, v,v) = 0, y Rn. (2.3.7)

Ecuatia (2.3.7) se numeste forma canonica a ecuatiei (2.3.1).

28

2.4 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale

semiliniare de ordinul al doilea cu doua variabile

In aceasta sectiune vom ara cum se aduce la forma canonica ecuatia

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u,u) = 0, (x, y) , (2.4.1)

unde R2 este o multime deschisa. Vom presupune ca a, b, c C2(1). Mai ntai, vomprezenta o clasificare a ecuatiilor de forma (2.4.1), echivalenta cu cea data n sectiunea 2.2

Definitia 2.4.1. Ecuatia (2.4.1) se numeste:de tip hiperboloc n (x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c > 0 n (x0, y0) (n 1 ):de tip parabolic n (x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c = 0 n (x0, y0) (n 1 ):de tip eliptic n (x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c < 0 n (x0, y0) (n 1 ).

Vom efectua n ecuatia (2.4.1) schimbul de variabile

= (x, y), = (x, y), (2.4.2)

care se presupune ca este de clasa C2(1) si nedegenerata, adica

J =

x yx y 6= 0, (x, y) 1 . (2.4.3)

Atunci, conform teoremei de existenta a functiei implicite, avem ca x = (, ), y =(, ) si u(x, y) = u

((, ),(, )

)= v(, ) pentru (, ) = { = (x, y), =

(x, y); (x, y) 1}. Prin urmare,

ux = v x + v x, uy = v y + v y,

uxx = v 2x + 2 v x x + v

2x + v xx + v xx,

uxy = v x y + v(x y + y x

)+ v x y + v xy + v xy,

uyy = v 2y + 2 v y y + v

2y + v yy + v yy.

Substituind aceste derivate n ecuatia (2.4.1), obtinen

a(, ) v + 2 b(, ) v + c(, ) v + F (, , v,v) = 0, (, ) R2, (2.4.4)

unde a(, ) = a 2x + 2 b x y + c

2y ,

b(, ) = a x x + b(x y + y x

)+ c y y,

c(, ) = a 2x + 2 b x y + c 2y .

(2.4.5)

29

Observam ca ecuatia (2.4.4) are acelasi tip n ca si ecuatia (2.4.1) n 1, deoarece

b2 a c = J2 (b2 a c). (2.4.6)

In continuare, vom aduce ecuatia (2.4.1) la forma canonica n dependenta de semnulexpresiei b2 ac.

Cazul hiperbolic. In acest caz (x, y) = b2(x, y)a(x, y) c(x, y) > 0 n 1. Examinamurmatoarea ecuatie

a(x, y)(x

)2+ 2 b(x, y)

x

y+ c(x, y)

(y

)2= 0, (x, y) 1, (2.4.7)

numita ecuatia diferentiala a caracteristicelor ecuatiei (2.4.1). Daca a(x, y) 6= 0 n 1, atunciecuatia (2.4.7) se descompune n doua ecuatii a(x, y)

x( b(x, y)

(x, y)

) y

= 0,

a(x, y)

x( b(x, y) +

(x, y)

) y

= 0.(2.4.8)

Pentru a integra ecuatiile din (2.4.8) alcatuim sistemul de ecuatii diferentiale ordinare (a sevedea [7])

dx

a(x, y)=

dy

b(x, y) +

(x, y)= 0,

dx

a(x, y)=

dy

b(x, y)(x, y) = 0,echivalent cu sistemul [

a(x, y) dy (b(x, y)(x, y)) dx = 0,a(x, y) dy (b(x, y) +(x, y)) dx = 0, (2.4.9)

care la randul sau este ecivalent cu ecuatia

a(x, y)(dy)2 2 b(x, y) dx dy + c(x, y) (dx)2 = 0. (2.4.10)

Integrand sistemul (2.4.9), obtinem integralele prime ale acestor ecuatii[(x, y) = c1,

(x, y) = c2,(2.4.11)

care, datorita faptului ca a, b, c C2(1), exista si , C2(1). Atunci si verificaecuatiile (2.4.8). Curbele (2.4.11) se numesc curbe caracteristice ale ecuatiei (2.4.1). Dacaefectuam n ecuatia (2.4.1) transformarea = (x, y), = (x, y), (2.4.12)

30

cu si din (2.4.11), atunci din (2.4.5) rezulta ca a(, ) = c(, ) = 0, iar din (2.4.6)urmeaza ca b2(, ) = J2 (x, y) > 0, adica b(, ) 6= 0 n .

Vom mentiona ca transformarea (2.4.12) poate fi alesa nedegenerata. Intradevar, fara arestrnge generlitatrea, putem alege conditiile initiale pentru solutiile ecuatiilor din (2.4.8),

astfel ncat

y6= 0 si

y6= 0 n 1. Iar atunci

x:

y=b

a,

x:

y=b

a.

Deorece > 0 rezulta ca

x:

y6= x

:

y.

Prin urmare, J 6= 0 si transformarea (2.4.12) este nedegenerata.Impartind ecuatia (2.4.4) la 2 b(, ), obtinem forma canonica a ecuatiei de tip hiperbolic

v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2, (2.4.13)

Remarca 2.4.1. Uneori drept forma canonica a ecuatiei de tip hiperbolic se consideraecuatia

v (, s) vss(, s) + f(, s, v,v) = 0,care se obtine din (2.4.13), efectuand substitutia nedegenerata

= + s

2,

= s

2.

Cazul parabolic. In acest caz (x, y) = b2(x, y) a(x, y) c(x, y) = 0 n 1. Dacaa(x, y) 6= 0 n 1, atunci sistemul (2.4.9) degenereaza ntr-o singura ecuatie

a(x, y) dy + b(x, y) dx = 0.

Fie(x, y) = c (2.4.14)

integrala prima a acestei ecuatii. In acest caz, vom efectua n ecuatia (2.4.1) transformarea = (x, y), = (x, y), (2.4.15)

31

cu din (2.4.15) si ales arbitrar cu conditia ca aceasta transformare sa fie nedegenerata,adica sa verifice conditia (2.4.3). In acest caz, din (2.4.5) rezulta ca a(, ) = 0, iar din(2.4.6) urmeaza ca b(, ) = 0 n . Deoarece functia este aleasa astfel ncat jacobianultransformarii (2.4.15) este diferit de zero n , atunci c(, ) = 0 n . In caz contrar ecuatia(2.4.4) ar fi de ordinul ntai, ceea ce este imposibil, avand n vedere ca transformarile nede-generate nu schimba ordinul ecuatiei (2.4.1). Impartind ecuatia (2.4.4) la c(, ), obtinemforma canonica a ecuatiei de tip parabolic

v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.

Deoarece sistemul (2.4.8) degenereaza ntr-o singura ecuatie, atunci se poate ntampla can ecuatia (2.4.4) sa avem ca c(, ) = b(, ) = 0 si a(, ) 6= 0 n . In acest caz formacanonica a ecuatiei (2.4.1) va lua forma

v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.

Remarca 2.4.2. Avand n vedere ca n cazul parabolic functia din transformarea (2.4.15)poate fi alesa arbitrar, pentru a evita calcule mari se recomanda a alege functia cat maisimpla, spre exemplu, dependenta numai de una din varisbilele x sau y, totodata urmarindrespectarea conditiei (2.4.3).

Cazul eliptic. In acest caz (x, y) = b2(x, y)a(x, y) c(x, y) < 0 n 1. Vom presupuneca coeficientii a, b, c sunt functii analitice n 1. Atunci, conform Teoremei Kowalevski (a sevedea sectiunea 2.5), sistemul (2.4.9) poseda integrale prime analitice de forma

(x, y) = (x, y) i (x, y) = c, , : 1 7 R (2.4.16)

ntr-un subdomeniu al lui 1, care fara a restrange generalitatea, poate fi considerat chiar1. Rezulta ca functiile verifica ecuatia (2.4.7). Vom alege o astfel de solutie, pentrucare

x

+ y

6= 0 n 1, (2.4.17)si vom efectua n ecuatia (2.4.1) transformarea (2.4.15) cu si din (2.4.16). Aceastatransformare este nedegenerata, deoarece J 6= 0 n 1. Intradevar, substituind n (2.4.8)si separand partea reala si partea imaginara n identitatile obtinute, avem

a(x, y)

x= b(x, y)

y+(x, y)

x,

a(x, y)

y= b(x, y)

y+(x, y)

x.

(2.4.18)

32

Substituind x = x si x = x din (2.4.18) n (2.4.3), obtinem

J =

a

[(y

)2+(y

)2]n 1.

Din aceasta egalitate rezulta ca daca J ar fi egal cu zero n 1, atunci

y=

y= 0 n 1.

Rezulta din (2.4.18) ca si

x=

x= 0 n 1. Prin urmare,

+x

=+y

= 0 n 1, ceea

ce contrazice conditiei (2.4.17).Separamd n identitatea

a(x, y)(+x

)2+ 2 b(x, y)

+x

+y

+ c(x, y)(+y

)2= 0, (x, y) 1,

partea reala si partea imaginara, obtinem

a(x, y)(x

)2+ 2 b(x, y)

x

y+ c(x, y)

(y

)2=

= a(x, y)(x

)2+ 2 b(x, y)

x

y+ c(x, y)

(y

)2n 1 (2.4.19)

si

a(x, y)

x

x+ b(x, y)

[x

y+

y

x

]+ c(x, y)

y

y= 0 n 1. (2.4.20)

Deoarece forma patratica

a(x, y) t21 + 2 b(x, y) t1 t2 + c(x, y) t22

este de semn determinat (pozitiva sau negativa) n 1, atunci fiecare din partile egalitatii(2.4.19) poate sa se anuleze n 1 numai daca

x=

y=

x=

y= 0, n 1,

ceea ce contrazice conditiei (2.4.17). Prin urmare, din (2.4.5) rezulta ca a(, ) = c(, ) 6= 0si b(, ) = 0 in .

Impartind ecuatia (2.4.4) la a(, ), obtinem forma canonica a ecuatiei de tip eliptic

v + v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.

Remarca 2.4.3. Daca a(x, y) = 0 n 1, atunci ecuatia (2.4.10) este echivalenta cu sistemul[dx = 0,

2 b(x, y) dy c(x, y) dx = 0, (2.4.21)

care determina substitutia care aduce ecuatia (2.4.1) la forma canonica n acest caz.

33

2.5 Problema Cauchy. Notiune de caracteristica

In aceasta sectiune vom formula problema Cauchy si notinea de caracteristica, ilustradaceste notiuni pentru cazul unei ecuatii liniare de ordinul al doilea

ni,j=1

aij(x)uxixj(x) +ni=1

ai(x)uxi(x) + a(x)u(x) = f(x), x (2.5.1)

unde Rn este o multime deschisa. Vom presupune ca aij, ai, a, f : 7 R si A(x) =aij(x)ni,j=1 6= 0, n si aij C().Fie S o varietate (suprafata) (n1)-dimensionala neteda, definita de ecuatia F (x) =

0, unde se presupune ca

F : U(S) 7 R, F C2(U(S)), F S6= 0, (2.5.2)

U(S) fiind o vecinatate a varietatii S. Mai presupunem ca pe U(S) este dat un campvectorial l(x) = (l1(x), . . . , ln(x) 6= 0, care nu este tangent la varietatea S, adica(F (x), l(x))

xS 6= 0. (2.5.3)

O

1

1

x S

()

Problema Cauchy pentru ecuatia (2.5.1) consta n a gasi o functie u C2(), care verificaecuatia (2.5.1) n si conditiile Cauchy

u|xS = u0(x), ul

xS

= u1(x), (2.5.4)

unde u0, u1 : S 7 R sunt functii date.

34

Daca n = 1, atunci ecuatia (2.5.1) este o ecuatie diferentiala ordinara si n acest cazproblema Cauchy arata astfela11(x)u(x) + a1(x)u(x) + a(x)u(x) = f(x), x (c, d) Ru(x0) = u0, u(x0) = u1.In acest caz, daca a11(x) 6= 0 n (c, d) si a11, a1 a0, f C(c, d), atunci se stie ca oricare arfi u0, u1 R aceasta problema are o solutie unica ntr-o vecinatate a oricarui punct x0 din(c, d).

Daca nsa n > 1, atunci conditiile de rezolvabilitate a problemei Cauchy (2.5.1), (2.5.4)difera esential de cazul n = 1. Pentru a ne convinge de acest locru luam un pumct arbitrarx0 S si o vecinatate U(x0) a acestui punct. Notam cu S0 = S

U(x0) si examinam

ecuatia (2.5.1) n U(x0). Deeoarece F S6= 0, atunci putem presupune ca Fxn(x0) 6= 0

si chiar Fxn(x) 6= 0 pentru x U(x0). Conform teoremei de existenta a functiei implicite,varietatea S0 se defineste de ecuatia

xn = (x), x = (x1, . . . , xn1) Dn Rn1,

cu C2(Dn). Notam cu Fn(x) functia F (x) si cu Fi(x) = xi x0i , i = 1, . . . , n 1, siaplicam bijectiv U(x0) ntr-o vecinate V a originii de coordonate cu ajutorul transformarii

yi = F (x), x U(x0), i = 1, . . . , n. (2.5.5)

Notam cu imaginea varietatii S0 la transformarea (2.5.5) care, evident, se afla n hiper-planul yn = 0, adica = V

{(y, yn); y = (y1, . . . , yn1) Rn1, yn = 0}. Conformaceleeiasi teoreme de existenta a functiei implicite, exista transformarea inversa a trans-formarii (2.5.5) x = x(y) C2(V ). Prin urmare, u(x) = u(x(y)) = v(y) si

uxi =nk=1

vyk Fkxi , i = 1, . . . , n,

uxixj =n

k,l=1

vykyl Fkxi Flxj +nk=1

vyk Fkxixj , i, j = 1, . . . , n.

Substituind aceste derivate n ecuatia (2.5.1), obtinem ecuatia pentru v

nk,l=1

bkl(y)vykyl +nk=1

bk(y) vyk + b(y) v = g(y), y V, (2.5.6)

undebkl(y) =

(A(x(y)

)Fk(x(y)),Fl(x(y))).35

In particular,bnn(y(x)

)=(A(x)Fn(x),Fn(x)

), x U(x0). (2.5.7)

Observam cau(x)

l

xS0

=nk=1

u(x)

xkcos(l, xk)

xS0

=

=nk=1

nj=1

v(y(x)

)yj

Fj(x)

xkcos(l, xk)

xS0

=

=nj=1

v(y(x)

)yj

nk=1

Fj(x)

xkcos(l, xk)

xS0

=

=nj=1

v(y(x)

)yj

Fj(x)

l

xS0

=(v(y(x)), Fj(x)

l

) xS0

.

Prin urmare, conditiile (2.5.4) vor lua forma

vy = v0(y), (2.5.8)(v(y), (y))

y = v1(y), (2.5.9)

undev0(y)

= u0(y + x0, (y + x0

)),

v1(y)

= u1(y + x0, (y + x0

)),

(y)y =

(F1(x)l

, . . . ,Fn(x)

l

)xS0

,

si, datorita conditiei (2.5.3),Fn

l

S06= 0. Din conditia (2.5.8) deducem ca

vyiy = v0(y

)yi , i = 1, . . . , n 1, (2.5.10)

iar din conditia (2.5.9) deducem ca

vyny =

F(x(y))l

1 (v1(y) n1i=1

v0yiFi(x(y)

)l

)y

. (2.5.11)

Astfel, valorile vectorului v pe pot fi determinate prin functiile v0 si v1, ceea ce esteecivalent cu faptul ca valorile vectorului u pe S0 pot fi determinate prin functiile u0 si u1.

In continuare, vom examina derivatele de ordinul al doilea ale functiei v pe . Din relatiile(2.5.10) si (2.5.11) rezulta ca pe pot fi calculate toate derivatele de ordinul al doilea afarade derivata vynyn . Pentru a calcula vynyn pe utilizam ecuatia (2.5.6). Din aceasta ecuatieavem

bnn(y) vynyn = g(y)n1k,l=1

bkl(y) vykyl

36

n1k=1

bkn(y) vykyn nk=1

bk(y) vyk b(y) v, y V. (2.5.12)

Daca (A(x)F (x),F (x)

)xS0 6= 0, (2.5.13)

atuncibnn(y)

y =

(A(x(y)

)F(x(y)),F(x(y)))y 6= 0.

Deoarece aij,F C(U(S)

), fara a restrange generalitatea, putem considera ca bnn(y) 6= 0

pentru y V . De aceea, mpartind ecuatia (2.5.12) la bnn(y), avem

vynyn = g1(y)n1k,l=1

kl(y) vykyl

n1k=1

kn(y) vykyn nk=1

k(y) vyk (y) v, y V. (2.5.14)

Punand yn = 0 n ecuatia (2.5.14), calculam vynyn pe . Astfel, daca se ndeplineste conditia(2.5.13), atunci pe toate derivatele functiei v de ordinul ntai si de ordinul al doilea seexprima univoc prin functiile v0, v1 si g. Aceasta este echivalent cu faptul ca, n acest caz,pe S0 toate derivatele functiei u de ordinul ntai si de ordinul al doilea se exprima univocprin functiile u0, u1 si f .

Daca, nsa, x S0 este astfel ncat(A(x)F (x),F (x)

)= 0, atunci bnn(y) = 0,

unde y este imaginea transformarii (2.5.5) a punctului x. Prin urmare, n acest caz,(2.5.12) reprezinta o egalitate ce leaga marimile v(y), vyk(y) si vykyl(y), k = 1, . . . , n,l = 1, . . . , n 1, care apriori sunt date. Rezulta ca valorile functiei v0 si derivatele sale deorddinele unu si doi sunt legate printr-o relatie. Prin urmare, functiile u0 si u1 si derivatelesale sunt legate n x printr-o relatie, ceea ce nseamna ca u0 si u1 nu pot fi luate arbitrarpe S0.

Definitia 2.5.1. Fie S o varietate definita de ecuatia F (x) = 0, cu F ce verifica conditiile(2.5.2). Punctul x0 S se numeste punct caracteristic pentru ecuatia (2.5.1) daca(

A(x)F (x),F (x))x=x0

= 0. (2.5.15)

Daca fiecare punct x S este caracteristic, atunci S se numeste varietate caracteristicapentru ecuatia (2.5.1).

Din cele expuse mai sus rezulta ca daca varietatea S este caracteristica pentru ecuatia(2.5.1), atunci problema Cauchy (2.5.1), (2.5.4) are solutie nu pentru orice functii u0 si u1.

37

Daca varietatea S este caracteristica pentru ecuatia (2.5.1) si chiar daca problema Cauchy(2.5.1), (2.5.4) are solutie pentru unele functii u0 si u1, se poate ntampla ca aceasta solutiesa nu fie unica dupa cum arata urmatorul exemplu.

Exemplul 2.5.1. ([5]) Examina n = {x = (x1, x2) R2; x21 + x22 < 1} problemaCauchy ux1x2(x) = f(x), x ,u

x2=0= u0(x1), ux2

x2=0

= u1(x1), x1 (1, 1).(2.5.16)

Observam ca dreapta x2 = 0 este caracteristica pentru ecuatia din (2.5.16). Usor se observa

ca problema (2.5.16) are sulutie din C2() daca si numai dacadu1(x1)

dx1= f(x1, 0) si aceasta

solutie se defineste de formula

u(x1, x2) =

x10

d1

x20

f(1, 2) d2 + u0(x1) + g(x2),

unde g este o functie arbitrara din C1(1, 1) ce ferifica conditiile

g(0) = 0,dg

dx2(0) = u1(0).

Mai mentionam ca daca S este caracteristica, atunci este posibil ca problema Cauchypentru ecuatia (2.5.1) sa fie pusa analog cu problema Cauchy pentru o ecuatie diferentialaordinara, dar nu de ordinul al doilea ci de ordinul ntai. Astfel, n capitolul IV vom arata caproblema ux2 ux1x1 = f(x), x = (x1, x2) R2, x2 > 0u(x1, 0) = u0(x1), x1 R,este rezolbabila. Observam ca, desi ecuatia este de ordinul al doilea, ea are numai o conditieCauchy, dar aceasta conditie este data pe dreapta x2 = 0 care este caracteristica pentruecuatia din problema.

In cele ce urmeaza vom prezenta cateva exemple de suprafete caracteristice ale celor maisimple ecuatii.

Exemplul 2.5.2. Vom gasi suprafetele caracteristice ale ecuatiei lui Laplacenk=1

uxkxk = 0, x Rn.

In acest caz, matricea asociata acestei ecuatii este A = En Mn(R). Daca S este osuprafata caracteristica definita de ecuatia F (x) = 0, atunci functia F trbuie sa verificeconditiile (2.5.2) si (2.5.15), adica

F (x)2S

= 0,F (x)2S6= 0,

38

care, evident, sunt contradictorii. Prin urmare, ecuatia lui Laplace nu are suprafete carac-teristice.

Exemplul 2.5.3. Vom gasi csuprafetele aracteristice ale ecuatiei propagarii undelor

utt nk=1

uxkxk = 0, (t, x) Rn+1.

Matricea A Mn+1(R), asociata acestei ecuatii este

A =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

.

Daca S este o suprafata caracteristica definita de ecuatia F (t, x) = 0, atunci conditiile(2.5.2), (2.5.15), n acest caz, sunt

(F 2t

nk=1

F 2xk)S

= 0,(F 2t +

nk=1

F 2xk)S

= 0.(2.5.17)

Prin calcul direct se stabileste ca pentru orice (t0, x0) Rn+1 functia

F (t, x) = m0 (t t0) +nk=1

mk (xk x0k)

verifica conditiile (2.5.17) daca m20 =

nk=1

m2k,

m20 +nk=1

m2k 6= 0.(2.5.18)

Adica, orice hiperplan de forma

m0 (t t0) +nk=1

mk (xk x0k) = 0

ce trece prin orice punct (t0, x0) Rn+1 si pentru care se ndeplinesc conditiile (2.5.18) estesuprafata caracteristica pentru ecuatia propagarii undelor.

De asemenea, usor se observa ca pentru orice (t0, x0) Rn+1 functia

F (t, x) = (t t0)2 nk=1

(xk x0k)2

39

verifica conditiile (2.5.17). Rezulta ca pentru orice (t0, x0) Rn+1 conul

(t t0)2 =nk=1

(xk x0k)2

este suprafata caracreristica pentru ecuatia propagarii undelor.Exemplul 2.5.4. Vom gasi suprafetele caracteristice ale ecuatiei difuziei

ut nk=1

uxkxk = 0, (t, x) Rn+1.

Matricea A Mn+1(R), asociata acestei ecuatii este

A =

0 0 . . . 0

0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

.Daca S este o suprafata caracteristica definita de ecuatia F (t, x) = 0, atunci conditiile(2.5.2), (2.5.15), n acest caz, sunt

( nk=1

F 2xk)S

= 0,(F 2t +

nk=1

F 2xk)S

= 0.(2.5.19)

Observam ca, n acest caz, functia F (t, x) = t c verifica conditiile (2.5.19). Rezulta cahiperplanele t = c cu c R sunt suprafete caracteristice pentru ecuatia difuziei.

2.6 Teorema S. Cowalevskaia. Notiune de corectitudine n sens

Hadamar

In continuare, vom examina rezolvabilitatea problemei Cauchy (2.5.1), (2.5.4) n clasafunctiilor analitice si corectitudinea ei n sens Hadamar.

Definitia 2.6.1. Functiile aij, ai, a, F, l formeaza datele problemei (2.5.1), (2.5.4).

Definitia 2.6.2. Fie Rn un domeniu (multime deschisa si conexa). Functia f : 7 Rse numeste analitica n x0 , daca exista o vecinatate U(x0) a punctului x0 n carefunctia f se descompune n seria de puteri convergenta catre f n U(x0)

f(x) ==0

a(x x0), x U(x0).

Functia f se numeste analitica n daca ea este analitica n fiecare punct x0 .

40

Vom prezenta fara demonstratie teorema de existenta si unicitate a problemei (2.5.1),(2.5.4), datorata S.Kowalevskaia. Demonstratia acestei teoreme poate fi gasita, spre exem-plu, n sursele [1], [5], [6].

Teorema 2.6.1. Presupunem ca datele problemei (2.5.1), (2.5.4) sunt analitice n , vari-etatea S definita de (2.5.2) nu este ecaracteristica pentru ecuatia (2.5.1) si se ndeplinestecondictia (2.5.3). Atunci exista un subdomeniu 1, S 1 , astfel ncat problema(2.5.1), (2.5.4) are o unca solutie analitica n 1.

Vom mentiona ca Teorema S. Kowalevskaia poarta un caracter general, fiind adevaratapentru problema Cauchy de forma normala

m

tmu(x, t) =

0jm1

aj(x, t, x )

j

tju(x, t), (x, t) (0, T ) Rn+1, (2.6.1)

j

tju(x, 0) = j(x), j = 1, . . . ,m 1, x , (2.6.2)

n cazul cand functiile aj su j sunt analitice n si suptafata t = 0 nu este caracteristicapentru ecuatia (2.6.1).

Remarca 2.6.1. Daca suprafata pe care sunt date conditiile Cauchy este caracteristicapentru ecuatia (2.6.1), atunci problema Cauchy (2.6.1), (2.6.2) poate sa nu aiba solutiianalitice, dupa cum arata exemplul S.Kowalevskaia ce urmeaza.

Exemplul 2.6.1. Examinam n = {x = (x1, x2) R2; x21 +x22 < 1} problema Cauchyux2 ux2x2 = 0, (x1, x2) ,u(x1, 0) =

1

1 + x21, x1 (1, 1).

(2.6.3)

Este evident ca datele acestei probleme Cauchy sunt analitice n . Totodata observamca dreapta x2 = 0 este caracterictica pentru ecuatia din (2.6.3). Daca am presupune caproblema Cauchy (2.6.3) are solutie analitica n vecinatatea punctului (0, 0)

u(x1, x2) =

1=1

2=1

a1,2 x11 x

22 , (2.6.4)

atunci coeficientii a1,2 ar avea forma

a2 k,m =(2 k + 2m)!

(2 k)!m!(1)k+m, a2 k+1,m = 0, k,m N.

Insa seria (2.6.4) nu converge nici ntr-o vecinatate a punctului (0, 0), deoarece ea divergen orice punct (0, x2) daca x2 6= 0. Rezulta ca problema (2.6.3) nu are solutie analitica

41

n vecinatatea punctului (0, 0), cauza fiind ca conditia Cauchy este data pe caracteristicaecuatiei x2 = 0.

Deoarece ecuatiile diferentiale cu derivate partiale descriu diverse procese reale din fizica,chimie, biologie si din alte domenii ale stiintei, problemele ce guverneaza modelele matem-atice ale acestor procese trebuie sa ndeplineasca urmatoarele cerinte:

a) solutia problei trebuie sa existe ntr-o anumita clasa de functii X;b) solutia problemei trebuie sa fie unica ntr-o anumita clasa de functii Y ;c) solutia problemei trebuie sa depinda continuu de datele problemei (de conditiile la

limita, de partea dreapta, de coieficientii ecuatiei etc). Aceasta nsemna ca daca uk estesirul solutiilor cu datele Uk ale problemei cercetate si Uk U , k , ntr-un anumitsens, atunci alegand corespunzator sensul n care ntelegem convergenta trebuie ca uk u,k , u fiind solutia cu datele U .

Conditia de dependenta continua de datele problemei este impusa de faptul ca dateleproblemei fizice sunt determinate din experiente care, de regula, sunt aproximatve. Deaceea, trebuies sa fim siguri de faptul ca solutia problemei nu este esential afectetata deerorile experimentale.

Definitia 2.6.3. Problema care verifica conditiile a), b), c) se numeste corect formulata nsens Hadamard. Multimea X

Y se numeste clasa de corectitudine a problemei.

Exemplul 2.5.1. Problema Cauchy

y = f(x, y), y(x0) = y0, (x, y) R2,

este corect formulata n C(1) (1 este un subdomeniu al domeniului ) daca f C() si fy

verifica conditia Lipschitz n . Atcest fapt este cunoscut din cursul de ecuatii diferentialeordinare (a se vedea, spre exempu, [7], [9]).

Remarca 2.6.2. Chiar daca Teorema S. Kowalevscaia poarta un caracter general, acestateorema asigura ndeplinirea numai primelor doua conditii a) si b) ale definitiei de corecti-tudine a problemei Cauchy n sens Hadamar. Insa conditia c) nu este asigurata de aceastateorema, dupa cum arata urmatorul exemplu datorat lui Hadamard.

Exemplul 2.6.3. Examinam n = {x = (x1, x2) R2; x21 +x22 < 1} problema Cauchypentru ecuatia lui Laplaceux1x1 + ux2x2 = 0, x ,u(x1, 0) = n(x1), ux2(x1, 0) = n(x1), x1 (1, 1), (2.6.5)

42

unden(x1) = 0, n(x1) = n

1 sin(nx1).

Prin calcul direct deducem ca pentru fiecare n N functia

un(x1, x2) = n2 sh (nx2) sin(nx1)

este solutie analitica a problemei (2.6.5). Deoarece x2 = 0 nu este caracteristica pentruecuatia lui Laplace si datele problemei sunt analitice, atunci, conform Teoremei S.Kowalevskaia,aceasta functie este unica solutie a problemei (2.6.5). Observam ca

max|x|1

n(x1) 0, max|x|1 n(x1) 0, n.In acelasi tump, pentru orice x2 6= 0 avem

u( pi

2n, x2

)= n2 sh (nx2), n.

Rezulta ca solutia pronlemei (2.6.5) nu depinde continuu de datele problemei.In capitolile ce urmeaza problemele la limita examinate vor fi studiate din punct de vedere

ale corectitudinii n sens Hadamard.

43

3 Problema Cauchy pentru ecuatia undelor

3.1 Problema Cauchy pentru ecuatia oscilatiilor mici ale coardei

Scopul acestei sectiuni este rezolvarea urmatoarei probleme Cauchy:

utt(x, t) = a2 uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0, (3.1.1)

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R, (3.1.2)unde a = const > 0 si functiile , : R 7 R si f : R [0,) 7 R sunt date.

Definitia 3.1.1. Functia u : R [0,) 7 R se numeste solutie clasica (n continuarenumita solutie) a problemei (3.1.1), (3.1.2) daca u C2(R (0,))C1(R [0,)) si uverifica ecuatia (3.1.1) n R (0,) si conditiile initiale (3.1.2) n R.

Rezolvarea problemei (3.1.1), (3.1.2) se va efectua n cateva etape. Mai ntai, vom rezolvaurmatoarei probleme Cauchy:

utt(x, t) = a2 uxx(x, t), x R, t > 0, (3.1.3)

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R, (3.1.4)

Lema 3.1.1. Presupunem ca C2(R) si C1(R). Atunci problema (3.1.3), (3.1.4)are o solutie unica, definita de formula lui DAlembert:

u(x, t) =(x+ a t) + (x a t)

2+

1

2 a

x+a txa t

() d. (3.1.5)

Demonstratie. Vom gasi solutia generala a ecuatiei (3.1.3). In acest scop vom aduceecuatia (3.1.3) la forna canonica, efectuand substitutia

= x+ a t, = x a t, u(x, t) = u( +

2, 2 a

)= v(, ).

Aceasta substitutie aduce ecuatia (3.1.3) la forma v = 0, a carei solutie gemerala este

v(, ) = g() + (),

unde g, sunt functii arbitrare de clasa C2(R). Prin urmare, solutia generala a ecuatiei(3.1.3) este

u(x, t) = g(x+ a t) + (x at). (3.1.6)

44

In continuare, nlocuind aceasta functie n conditiile initiale (3.1.4), obtinem pentru functiileg si urmatorul sistem de ecuatii:g(x) + (x) = (x),a [g(x)(x)] = (x),care este echivalent cu sistemul

g(x) + (x) = (x),

g(x)(x) = 1a

x0

() d.(3.1.7)

Rezolvand sistemul (3.1.7), obtinem

g(x) =1

2(x) +

1

2 a

x0

() d + C, (x) =1

2(x) 1

2 a

x0

() d C.

Prin urmare, g(x+ a t) =

1

2(x+ a t) +

1

2 a

x+a t0

() d + C,

(x a t) = 12(x a t) + 1

2 a

0xa t

() d C.

Inlocuind functiile g(x+ a t), (x a t) n (3.1.6), obtinem formula (3.1.5).Unicitatea solutiei rezulta din modul cum a fost gasita aceasta. In continuare, vom rezolva urmatoarea probleme Cauchy:

utt(x, t) = a2 uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0, (3.1.8)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R, (3.1.9)

Lema 3.1.2. Presupunem ca f, fx C(R [0,)). Atunci functia

uf (x, t) =1

2 a

t0

x+a (t)xa (t)

f(, ) d d. (3.1.10)

este o solutie a problemei (3.1.8), (3.1.9).

Demonstratie. Folosind formula de derivarea a integralei n raport cu parametru

d

d t

(t)(t)

F (x, t) dx = F((t), t

)(t) F((t), t)(t) + (t)

(t)

tF (x, t) dx, (3.1.11)

45

avem

tuf (x, t) =

1

2 a

t0

t

x+a (t)xa (t)

f(, ) d d =

=1

2

t0

[f(x+ a (t ), )+ f(x a (t ), )] d, (3.1.12)

2

t2uf (x, t) = f(x, t) +

a

2

t0

[

f(x+ a (t ), )

f(x a (t ), )] d, (3.1.13)

xuf (x, t) =

1

2 a

t0

x

x+a (t)xa (t)

f(, ) d d =

=1

2 a

t0

[f(x+ a (t ), ) f(x a (t ), )] d,

2

x2uf (x, t) =

1

2 a

t0

[

f(x+ a (t ), )

f(x a (t ), )] d. (3.1.14)

Din (3.1.13) si (3.1.14) rezulta ca functia uf verifica ecuatia (3.1.8), iar din (3.1.10) si (3.1.12)rezulta ca functia uf verifica conditiile initiale (3.1.9).

Integrala din (3.1.10) se numeste integrala lui Duhamel.

Teorema 3.1.1. Presupunem ca C2(R), C1(R) si f, fx C(R [0,)). Atunci

problema (3.1.1), (3.1.2) are o solutie unica, definita de formula

u(x, t) =(x+ a t) + (x a t)

2+

1

2 a

x+a txa t

() d +1

2 a

t0

x+a (t)xa (t)

f(, ) d d. (3.1.15)

Demonstratie. Prin calcul direct, din Lemele 3.1.1 si 3.1.2, rezulta ca functia u, definitade formula (3.1.15), verifica ecuatia (3.1.1) si conditiile initiale (3.1.2).

Vom demonstra unicitatea solutiei problemei (3.1.1), (3.1.2). Presupunem ca u1 si u2sunt doua solutii ale problemei (3.1.1), (3.1.2) (cu aceleasi functii , si f). Atunci functiau = u1 u2 este solutie a problemeiutt(x, t) = a2 uxx(x, t), x R, t > 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R.Prin urmare, din Lema 3.1.1 rezulta ca u(x, t) 0 pentru (x, t) R [0,), adica u1 u2.

46

Teorema 3.1.2. Solutia problemei (3.1.1), (3.1.2) depinde continuu de datele problemein sensul urmator: daca u1 si u2 sunt doua solutii ale problemei (3.1.1), (3.1.2) cu datele(1, 1, f1) si (2, 2, f2) respectiv, i C2(R), i C1(R) si fi C1

(R [0,)), i = 1, 2,

si pentru T > 0 supxR|1(x) 2(x)| < ,

supxR|1(x) 2(x)| < ,

sup(x,t)R[0,T ]

|f1(x, t) f2(x, t)| < ,(3.1.16)

atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat

sup(x,t)R[0,T ]

|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.1.17)

Demonstratie. Folosind evaluarile (3.1.16), din formula (3.1.15) rezulta

|u1(x, t) u2(x, t)| |1(x+ a t) 2(x+ a t)|2

+|1(x a t) 2(x a t)|

2+

+1

2 a

x+a txa t

|1() 2()| d + 12 a

t0

x+a (t)xa (t)

|f1(, ) f2(, )| d d

+ 2 a

x+aTxaT

d +

2 a

T0

x+a (t)xa (t)

d d

+ T + T

0

(t ) d (

1 + T +T 2

2

), (x, t) R [0, T ].

Din acesta evaluare urmeaza (3.1.17) cu C(T ) = 1 + T + T 2/2.

3.2 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru pentru ecuatia

undelor

In aceasta sectiune vom demonstra unicitatea solutiei clasice a problemei Cauchyutt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x Rn, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x Rn. (3.2.1)Definitia 3.2.1. Functia u : Rn [0,) 7 R se numeste solutie clasica (n continuarenumita solutie) a problemei (3.3.1), (3.3.2) daca u C2(Rn (0,))C1(Rn [0,)) siu verifica ecuatia (3.3.1) n Rn (0,) si conditiile initiale (3.3.2) n Rn.

47

Teorema 3.2.1. Problema (3.2.1) are o solutie clasica unica.

Demonstratie. Vom demonstra teorema n cazul n = 2.Presupunem ca u1 si u2 sunt doua solutii ale problemei (3.2.1). Notan cu v = u1 u2.

Atunci v este solutie a problemei

vtt(x, t) = v(x, t), x = (x1, x2) R2, t > 0, (3.2.2)

v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, x R2. (3.2.3)Pentru orice functie din C2(R3), n particular, sipentru v are loc egalitatea

2 vt(vtt v

)=

t

(v2t + v

2x1

+ v2x2) 2

x1

(vt vx1

) 2 x2

(vt vx2

). (3.2.4)

Pentru (x0, t0) (t0 > 0) arbitrar, notam cu K conul

K = {(x, t) R2 (0, t0); (x1 x01)2 + (x2 x02)2 < (t0 t)2}

cu baza = {x = (x1, x2); (x1x01)2 +(x2x02)2 = t02} din planul x1Ox2 si cu fata laterala,notata cu .

, 0

O

1

2

0, 0

45

0

Integrand egalitatea (3.2.4) pe K, obtinem

0 = 2

K

vt(vtt v

)dx1 dx2 dt =

=

K

[ t

(v2t + v

2x1

+ v2x2) 2

x1

(vt vx1

) 2 x2

(vt vx2

)]dx1 dx2 dt.

48

Folosind formula Gauss-Ostrogradski, din egalitatea de mai sus deducem ca(

+

) [(v2t + v

2x1

+ v2x2)

cos(, t)

2 (vt vx1) cos(, x1) 2 (vt vx2) cos(, x2)] dS = 0, (3.2.5)unde este vectorul unitate al normalei exterioare la , x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0) sit = (0, 0, 1). Din conditiile initiale (3.2.3) avem ca vt(x, 0) = vx1(x, 0) = vx2(x, 0) = 0. Prinurmare, egalitarea (3.2.5) ia forma

[(v2t + v

2x1

+ v2x2)

cos(, t)

2 (vt vx1) cos(, x1) 2 (vt vx2) cos(, x2)] dS = 0. (3.2.6)Oservam ca cos(, t)

=12si cos2(, t) = cos2(, x1) + cos2(, x2) pe . Prin urmare, din

egalitatea (3.2.6) rezulta

[(vt cos(, x1) vx1 cos(, t)

)2+(vt cos(, x2) vx2 cos(, t)

)2]dS = 0

Deoarece functia de sub integrala este nenegativa si continua atunci

vt cos(, x1) vx1 cos(, t), vt cos(, x2) vx2 cos(, t) pe ,

sauvt

cos(, t)=

vx1cos(, x1)

=vx2

cos(, x2)= (x, t) pe . (3.2.7)

Fie (x, 0) punctul de intersectie al unei generatoare g a conului cu planul t = 0. Daca l estevectorul unitate de pe aceasta generatoare, atunci folosind egalitatile (3.2.7), avem

v

l

g

=(vt

cos(t, l) +v

x1cos(x1, l) +

v

x2cos(x2, l)

)g

=

= (x, t)[

cos(, t) cos(t, l) + cos(, x1) cos(x1, l) + cos(, x2) cos(x2, l)]g

=

= (x, t) cos(, l)g

= 0.

Rezulta ca functia v este constanta pe generatoarea g. Prin urmare, v(x0, t0) = v(x, 0) = 0.Avand n vedere ca (x0, t0) este arbitrar, obtinem ca v(x, t) = 0 pentru orice (x, t) R2 [0,), adica u1 u2.

49

3.3 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor n

cazul 3-dimensional

In aceasta sectiune vom demonstra existenta solutiei urmatoarei probleme Cauchy:

utt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.1)

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R3, (3.3.2)unde functiile , : R3 7 R si f : R3 [0,) 7 R sunt date.

Mai ntai vom examina urmatoarea problema Cauchy:

utt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.3)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x R3. (3.3.4)

Lema 3.3.1. Presupunem ca C2(R3). Atunci functia

u(x, t) =1

4pi t

||xy||=t

(y) dSy. (3.3.5)

este o solutie a problemei (3.3.1), (3.3.1).

Demonstratie. Vom efectua schimbul de variabile n integrala din (3.3.5)

yk = xk + k t, k = 1, 2, 3. (3.3.6)

Folosind formuladSy = t

2 dS, (3.3.7)

functia u va lua forma

u(x, t) =t

4 pi

||||=1

(x+ t) dS. (3.3.8)

Deoarece C2(R3), conform teoremei de derivare a integralei n raport cu parametru,u C2

(R3 [0,)) si

2 ux2k

(x, t) =t

4 pi

||||=1

2

x2k(x+ t) dS, k = 1, 2, 3.

Prin urmare, folosind schimbul de variabile (3.3.6) si (3.3.7), avem

u(x, t) =t

4 pi

||||=1

(x+ t) dS =1

4pi t

||xy||=t

(y) dSy. (3.3.9)

50

Conform aceleeasi teoreme, avem

ut

(x, t) =1

4 pi

||||=1

(x+ t) dS +t

4pi

||||=1

3k=1

yk(x+ t) k dS. (3.3.10)

Deorecek|||||=1 = cos(, )|||||=1 = cos(, yk)|||xy||=t, k = 1, 2, 3,

unde si sunt vectorii normalelor exterioare la suprafetele sferice |||| = 1 si ||x y|| = t,respectiv, yk este versorul unitate de pe axa Oyk, atunci, utilizand (3.3.6), (3.3.7) si formulalui Gauss-Ostrogradski, termenul al dollea din partea dreapta a formulei (3.3.10) va luaforma

t

4 pi

||||=1

3k=1

yk(x+ t) k dS =

1

4pi t

||xy||=t

3k=1

(y)

ykcos(, yk) dSy =

=1

4pi t

||xy||

adica functia u verifica si conditiile initiale (3.3.4). In continuare, vom solutiona urmatoarea problema Cauchy:

utt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.12)

u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = 0, x R3. (3.3.13)

Lema 3.3.2. Presupunem ca C3(R3). Atunci functia

v(x, t) =ut

(x, t), (3.3.14)

unde u este definita de formula (3.3.5), n care este nlocuit cu , este o solutie aproblemei (3.3.12), (3.3.13).

Demonstratie. Deoarece C3(R3), conform teoremei de derivare a integralei nraport cu parametru, v C2(R3 [0,). Din Lema 3.3.1 rezulta ca2v

t2(x, t) =

t

2ut2

(x, t) =

tu(x, t) =

ut

(x, t) = v(x, t), (x, t) R3 (0,).

Adica functia v verifica ecuatia (3.3.12).Tot din Lema 3.3.1 rezulta ca

v(x, 0) =ut

(x, 0) = (x), x R3.

si, datorita formulei (3.3.9),

vt(x, 0) =2ut2

(x, 0) = u(x, 0) = 0, x R3,

adica functia v, definita de (3.3.14), este solutie a problemei (3.3.12), (3.3.13). In sfarsit, vom solutiona urmatoarea problema Cauchy:

utt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.15)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R3. (3.3.16)Pentru a solutiona aceasta problema vom utiliza principiul lui Duhamel enuntat n urmatoarealema.

Lema 3.3.3. Pentru 0 fixat, presupunem ca v(x, t; ) este solutie a problemeivtt(x, t; ) = v(x, t; ), x Rn, t > ,v(x, ; ) = 0, vt(x, ; ) = f(x, ), x Rn. (3.3.17)52

Atunci functia

u(x, t) =

t0

v(x, t; ) d (3.3.18)

este o solutie a problemeiutt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x Rn, t > 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x Rn. (3.3.19)Demonstratie. Tinand cont de definitia lui v si utilizand formula (3.1.11), avem

ut(x, t) = v(x, t; t) +

t0

vt(x, t; ) d =

t0

vt(x, t; ) d (3.3.20)

si

utt(x, t) = f(x, t) +

t0

vtt(x, t; ) d. (3.3.21)

In plus,

u(x, t) =

t0

v(x, t; ) d. (3.3.22)

Din (3.3.21) si (3.3.22) rezulta ca

utt(x, t)u(x, t) = f(x, t), x Rn, t > 0.

Din (3.3.18) si (3.3.20) rezulta ca

u(x, 0 = 0, ut(x.0) = 0, x Rn.

Prin urmare, u este solutie a problemei (3.3.19).

Lema 3.3.4. Presupunem ca f C2(R3 [0,)). Atunci functiau(x, t) =

1

4 pi

||xy||

=1

4pi

t0

||xy||=

f(y, t )

dSy d =

=

t0

1

4 pi (t )

||xy||=t

f(y, ) dSy d =

t0

v(x, t; ) d,

unde v(x, t; ) = uf (x, t), uf fiind definit de formula (3.3.5) si cu nlocuit de f . ConformLemei 3.3.1, functia v este solutie a priblemei (3.3.17). Atunci, din Lema 3.3.3 urmeaza cafunctia u, definita de formula (3.3.23) este solutie a problemei (3.3.15), (3.3.16).

Din Lemele 3.3.1, 3.3.2 si 3.3.4, n mod evident, rezulta urmatoarea teorema.

Teorema 3.3.1. Presupunem ca C3(R3), C2(R3) si f C2(R3 [0,)). Atuncifunctia

u(x, t) =

t

1

4pi t

||xy||=t

(y) dSy +1

4 pi t

||xy||=t

(y) dSy+

+1

4 pi

||xy|| 0. Formula (3.3.25) se obtine din (3.3.24), reducand problema (3.3.26) laproblema (3.3.1), (3.3.2) cu ajutorul schimbului de variabile x = x, = a t.

Teorema 3.3.2. Solutia problemei (3.3.1), (3.3.2) depinde continuu de datele problemein sensul urmator: daca u1 si u2 sunt doua solutii ale problemei (3.3.1), (3.3.2) cu datele

54

(1, 1, f1) si (2, 2, f2) respectiv, i C3(R3), i C2(R3) si fi C2(R3 [0,)),

i = 1, 2, si pentru T > 0

supxR3

{|1(x) 2(x)|, ||1(x)2(x)||} < ,supxR3

|1(x) 2(x)| < ,

sup(x,t)R3[0,T ]

|f1(x, t) f2(x, t)| < ,

(3.3.27)

atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat

sup(x,t)R3[0,T ]

|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.3.28)

Demonstratie. Folosind formula (2.2.8), avemu(x, t) t4pi

||||=1

|(x+ t)| dS T supxR3

|(x)|, (x, t) R3 [0, T ], (3.3.29)

ut

(x, t) = 1

4 pi

tt

||||=1

(x+ t) dS

1

4pi

[ ||||=1

|(x+ t)| dS + t

||||=1

3k=1

yk

(x+ t) k

dS] sup

xR3|(x)|+ T

4pi

||||=1

(x+ t) |||| dS sup

xR3|(x)|+ T sup

xR3|(x)|, (x, t) R3 [0, T ]. (3.3.30)

Folosind afirmatia a) din Lema 1.2.1 cu n = 3 si = 1, avem 14 pi

||xy||

3.4 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor n

cazul 2-dimensional

In acesta sectiune, folosindmetoda de coborare, vom demonstra existenta solutiei urmatoareiprobleme Cauchy:utt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x = (x1, x2) R2, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R2, (3.4.1)unde functiile , : R2 7 R si f : R2 [0,) 7 R sunt date.

Lema 3.4.1. Presupunem ca C2(R2). Atunci functia

u(x, t) =1

2pi

||xy|| 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x R2. (3.4.3)Demonstratie. Examinam problema Cauchyutt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x = (x1, x2) R2. (3.4.4)

Conform Lemei 3.3.1, functia

u(x1, x2, x3, t) =1

4pi t

||xy||=t

(y1, y2) dSy =

=t

4 pi

||||=1

(x1 + 1 t, x2 + 2 t) dS (3.4.5)

este solutie a problemei (3.4.4). Din (3.4.5) rezulta ca functia u nu depinde de variabila x3.Prin urmare, u din (3.4.5) este solutie a problemei (3.4.3). Ramane sa aratam ca aceastafunctie coincide cu cea definita de formula (3.4.2). Notam cu

S+t (x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t, y3 x3},

St (x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t, y3 x3}.

56

O

1

2

()

0

3

+()

Atunci St(x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t} = S+t (x)St (x) si functia u din

(3.4.5) se va prezenta sub forma

u(x1, x2, t) = I1(x1, x2, t) + I2(x1, x2, t), (3.4.6)

unde

I1(x1, x2, t) =1

4 pi t

S+t (x)

(y1, y2) dSy, I2(x1, x2, t) =1

4 pi t

St (x)

(y1, y2) dSy.

Deoarece

cos(, y3

)S+t (x)

=y3 x3

t

S+t (x)

=

t2 (y1 x1)2 (y2 x2)2

t

S+t (x)

,

fiind vectorul unitate al normalei exterioare la S+t (x), iar y3 vectorul unitate al axei Oy3,Prin urmare,

dSyS+t (x)

=dy1 dy2

cos(, y3

)Bt(x)

=t dy1 dy2

t2 (y1 x1)2 (y2 x2)2Bt(x)

,

unde Bt(x) = {y = (y1, y2) R2; ||x y|| < t}. Atunci

I1(x1, x2, t) =1

4 pi

||yx||

Inlocuind I1 si I2 din (3.4.7) si (3.4.8) n (3.4.6), obtinem formula (3.4.2). In presupunerea ca C3(R2) si f C2(R2 [0,)), folosind acelasi rationament, din

Lemele 3.3.2 si 3.3.3, n acelasi mod cum a fost obtinuta formula (3.4.2) din (3.3.5), deducemca functia

v(x, t) =ut

=1

2pi

t

||yx|| 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = 0, x R2,iar functia

u(x, t) =1

2 pi

t0

||xy|| 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R2.Din cele expuse rezulta urmatoarea teorema.

Teorema 3.4.1. Presupunem ca C3(R2), C2(R2) si f C2(R2 [0,)). Atuncifunctia

u(x, t) =1

2pi

t

||yx||

+1

2 pi a

||xy|| 0. Formula (3.4.10) se obtine din (3.4.9), reducand problema (3.4.11) laproblema (3.4.1) cu ajutorul schimbului de variabile x = x, = a t.

O

1

2

0

3

+()

12

12

Teorema 3.4.2. Solutia problemei (3.4.1), depinde continuu de datele problemei n sen-sul urmator: daca u1 si u2 sunt doua solutii ale problemei (3.4.1) cu datele (1, 1, f1) si(2, 2, f2) respectiv, i C3(R2), i C2(R2) si fi C2

(R2 [0,)), i = 1, 2, si pentru

T > 0

supxR2

{|1(x) 2(x)|, ||1(x)2(x)||} < ,supxR2

|1(x) 2(x)| < ,

sup(x,t)R2[0,T ]

|f1(x, t) f2(x, t)| < ,

(3.4.12)

59

atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat

sup(x,t)R2[0,T ]

|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.4.13)

Demonstratie. Mai ntai, vom evalua integrala

I(x, t) =

||xy||

12 pi

sup(x,t)R2[0,T ]

|f(x, t)|t

0

I(x, t ) d

T sup(x,t)R3[0,T ]

|f(x, t)|, (x, t) R2 [0, T ]. (3.4.17)

Deoarece functia u = u1u2 este solutie a problemei (3.4.1) cu = 12, = 12si f = f1 f2, atunci, folosind evaluarile (3.4.15), (3.4.16), (3.4.17) si (3.4.12), din formula(3.4.9) obtinem evaluarea (3.4.13) a diferentei solutiilor u si u2.

61

4 Problema Cauchy pentru ecuatia difuziei

4.1 Principiul de maxim pentru solutiile ecuatiei difuziei n dome-

niu marginit

In aceasta sectiune vom demonstra principiul de maxim si de minim pentru solutiileecuatiei difuziei.

Fie Rn un domeniu marginit cu frontiera si T > 0. Notam cu

T = {(x, T ); x }, QT = {(x, t); x , t (0, T )},

BT = {(x, t); x , t (0, T )}, =

BT .

1 O

1

Q

B

Teorema 4.1.1. Presupunem ca u C(QT )C2,1x,t (QT

T ) verifica ecuatia

ut(x, t) = u(x, t), (x, t) QT . (4.1.1)

Atuncimin

(x,t)u(x, t) u(x, t) max

(x,t)u(x, t), (x, t) QT . (4.1.2)

Demonstratie. Notam cu = max(x,t)

u(x, t) si cu M = max(x,t)QT

u(x, t). Este evident,

ca M . Vom demonstra ca M = . Presupunem contrariul, ca M > . Deoarece

62

u C(QT ), rezuta ca exista (x0, t0) QT

T , astfel ncat M = u(x0, t0), adica (x0, t0)este un punct de maxim pentru u n QT

T . Examinam functia

v(x, t) =