I. ECUAII CU DERIVATE PARIALEMotto: Unde formele canonice sunt inta si cheia1. ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL al II-lea1.1 Ecuaii cvasiliniare. Forme canonice.Problema lui Cauchy( ) 0 u ,..., u , u ,..., u , u , t , z , y , x Ftt xx t x (1)este forma general a unei ecuaii cu derivate pariale de ordinul al doilea, pentru o funcie u de patru variabile reale x,y,z,t cu semnificaii posibile x, y,z coordonatele unui punct , R D M3 t, timpul, u o mrime fizic ale crei valori depind de M i t.Iniial studiem ecuaii de forma (1).Definiie. O funcie R R D : f2 (D deschis) se numete soluie a ecuaiei(1) pe mulimea D dac:(1s)f admite derivate pariale de ordinul al doilea pe D(2s)( )( , , ( , ), ( , ),..., ( , )) ,( , )x yyx y fx y f x y f x y Ex y D (3s)( )( , , ( , ), ( , ),..., ( , ) 0,( , )x yyF x y fx y f x y f x yx y D Dac f este soluie pe D a ecuaiei (1), suprafaa S de ecuaieD ) y , x ( ), y , x ( f z se numete suprafa integral a ecuaiei (1). Definiie. O ecuaie de forma:2 2222( , ) 2 ( , )( , ) , , , , 0 (2)u ua x y b x yx y xu u uc x y d x y ux y y + + _ + + ,se numete ecuaie cvasiliniar.R R D : c , b , a2 (D domeniu), . R R D : d3 Dac ) y , x ( u ) y , x (yu) y , x (xu) y , x (yu,xu, u , y , x d + + +

,_

cu , R D : , , , ecuaia se numete liniar.Dac( ) D ) y , x ( 0 ) y , x ( ecuaia se numete liniar i omogen.1.2. CaracteristiciEcuaia diferenial 0 ) y , x ( c y ) y , x ( b 2 y ) y , x ( a2 + (3)cu o singur funcie necunoscut. Dac lum y ca parametru rmne de determinat funcia x din ecuaia diferenial:0 x ) y , x ( c x ) y , x ( b 2 ) y , x ( a2 + (4)Prin abuz de limbaj oricare din ecuaiile (6), (7), (8) se numete ecuaia diferenial a caracteristicilor ecuaiei (3), dei curbele integrale ale acestor ecuaii sunt curbe din domeniul D, proiecii ale curbelor caracteristice.S considerm de exemplu, ecuaia (7). Aceasta conduce la dou ecuaii difereniale ordinare, sub forma canonic:) y , x ( y) y , x ( y2 1 (5)unde 1i2 sunt rdcinile ecuaiei:prin yobinem0 c b 2 a2 + (6)Integralele generale ale ecuaiilor (5) pot fi scrise sub forma:2 2 1 1k ) y , x (k ) y , x ( (7)unde2 1k , ksunt constantearbitrarerealesaucomplexedupcum 2 1, sunt funcii realesau complexe.Considerm ecuaia (2) pe un domeniu D D0 i o schimbare de variabil arbitrar ( ). D r D : r0 0 0 ) y , x ( ), y , x () y , x ( ), y , x (2 1 (8)cu i funcii de clas 2C pe 0D.Fie inversa sa:( ) ( ) , y y , x x(9)Cu aceast schimbare de variabil, vom obine din (2) o nou ecuaie cu derivate pariale pentru funcia U:( ) ( )0 pe , ) , ( y ), , ( x u , U .innd seama c:( ), ) y , x ( ), y , x ( U ) y , x ( u avem derivatele funciilor compuseyUyUyuxUxUxu + + 2 22 2 2 22 2 22 22 22u U U Ux x x x xU Ux x _ _ + + + , , + + 2 2 222 2 22u U Ux y x y x y y xU U Ux y x y x y _ + + + , + + + 2 22 2 2 22 2 22 22 22u U U Uy y y y yU Uy y _ _ + + + , , + + (*)1.3. Ecuaii liniare i omogene n raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficieni constaniUn caz frecvent ntlnit n aplicaii, este cel al ecuaiei:0yucy xub 2xua22 222+ + (10)cu a,b,c constani. Ecuaia diferenial a caracteristicilor este:( ) 0 c y b 2 y a2 + a) Cu schimbarea de variabile din teorem, x y , x y2 1 se obine forma canonic:0U2 (11)Ecuaia (11) se scrie0U

,_

Deci( ) fU(nu depinde de ) unde f este o funcie arbitrar care admite primitive cel puin local.Fie una din primitive. Din ultima egalitate rezult c:( ) ( ) ( ) + , Ub) Cazul cnd . 0 ac b2 Dac a = 0 sau c = 0 atunci b = 0 i suntem n forma canonic. Dac0 a , ecuaia diferenial a caracteristicilor se reduce la. 0 b y a Soluia general a acestei ecuaii fiind ay bx = k, schimbarea de variabilex , bx ay transform ecuaia datn :, 0U22 de unde( ) ( ) ( ) + , Ucu i arbitrare. Revenind la vechile variabile). bx ay ( ) bx ay ( x ) y , x ( u + c) Dac 0 ac b2< , forma canonic este ecuaia lui Laplace:0U U2222 + pentru care nu mai putem scrie mulimea soluiilorfolosind funcii reale arbitrare.1.4. Aplicaii1. a. S se determine tipul ecuaiei:( ) 0yuyu3 y x 2y xux 2xu222 2+ + 1.b. Luai un punct n fiecare domeniu. Soluie: . 3 y x 3 y x 2 x ac b2 2 2 2 + + Dup cum0 , 0 , 0 < > ecuaia este de tip hiperbolic, parabolic sau eliptic. Se va lua un punct deasupra parabolei, 3 x y2 + unul pe ea respectiv un punct sub parabol.2. Aducei la forma canonic:. 0yuxu2yuy xuxu222 222+ +Soluie:Aplicm schimbarea de variabile potrivitEcuaia caracteristicelor este: 22121,222 1 011 1 82 1 0142d y dydx dx t + ' adic .21dxdy, 1dxdy Soluiile generale ale acestor ecuaii difereniale sunt: . c x y 2 , c y x2 1 + Fcnd schimbarea de variabile y 2 x , y x + cu formulele (a) de derivare obinem:. 0u u32 3. Determinai soluiile ecuaiilor cu condiiile iniiale specificate.0yu3y xu7xu222 222+ cu( ) . y0 x xu , y0 x0 , x u3 Soluie:Cu y x 3 + i x y 2 + ajungem la forma canonic:, 0u0u2

,_

implic( ) ( ) ) ( h g ) ( h d ) ( f u , fu + + Deci( ) ). x y 2 ( h y x 3 g ) y , x ( u + + + Cu condiiile iniiale:( ) y y , 0xu , y ) y , 0 ( u3obinem:3(0, ) ( ) (2 )(1)(0, ) 3 ( ) (2 ) (2)u y g y h y yuy g y h y yx + ' + Integrnd (2) n raport cu y avem:2313 ( ) (2 )2 2( ) (2 )yg y h y cg y h y y+ +'+ i de aici2 33 21 1( )5 56 1(2 )5 5g y y y kh y y y k +' i( ) ( )2 33 21 1(3 ) 3 35 53 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )20 20g x y x y x y kh x y x y x y k+ + + +;+ + + (3)