8/12/2019 E2 CIG

1/21

Testarea ipotezelor statistice

8/12/2019 E2 CIG

2/21

Etapele verificrii ipotezelor statistice

Identificarea ipotezelor (H0,H1) ce trebuie testate

Alegerea testului statistic

Specificarea nivelului de semnificaie

Stabilirea regiunii critice Rc

Stabilirea unor presupuneri referitoare la populaia ce va fieantionat (ex: normalitate)

Calcularea valorii testului pe baza datelor din eantion

Utilizarea valorii testului pentru a calcula p-value si respingereaH0 dac p-value

Luarea deciziei statistice si aplicarea ei

8/12/2019 E2 CIG

3/21

I. Teste pentru media populaiei:

dispersia 2este cunoscut

Testul z

Se formuleaz ipoteza

Se extrage un eantion aleator din populaie

i se calculeaz media

Se calculeaz valoarea statisticii z:

Se stabilete pragul de semnificaie (de regul 0,05)

Se compar valoarea calculat zcu o valoare tabelat z

(valoare critic) i se ia decizia de acceptare/respingere

0

/

xz

n

1: ( ,..., )nx x x

x

8/12/2019 E2 CIG

4/21

TESTIpoteza

nul

H0

Ipoteza

alternativ

HA

Decizia

bilateral unilateral

dreapta >

unilateral

stnga <

/ 2 0

0

z z resping H

altfel accept H

>

0

0

z z resping H

altfel accept H

>

0

0

z z resping H

altfel accept H

<

8/12/2019 E2 CIG

5/21

Regiunea critic

a) b) c)

Regiunea critic pentru:a) test bilateral; b) test unilateral dreapta; c) test unilateral stnga

/ 2z

/ 2z z z

8/12/2019 E2 CIG

6/21

Exemplu

Se tiec vnzrilemedii zilnice ale unui magazin alimentarsunt de 8000 lei, cu o abatere standard de 1200 lei.Magazinul

organizeaz mai multe campanii publicitare pentru cretereavnzrilor.

Pentru a vedea dac a crescut volumul vnzrilor ca efect alpublicitii,se nregistreazvnzrilezilnice pe o perioadde64 zile ise obineun volum mediu zilnic de 8250 lei.

Se poate afirma, folosind o probabilitate de 95%, cvolumul

mediu al vnzrilor este semnificativ mai mare n urmacampaniei publicitare?

8/12/2019 E2 CIG

7/21

Soluie-testul z

Variabila de interes: Xvolumul mediu al vnzrilor

presupunem o distribuie normal Dispersia populaiei este cunoscut, deci aplicm testul z.

Ipotezele (test unilateral dreapta):

H0: 0

H1: > 0

Pragul de semnificaie: Valoarea critic: z(0,05)=1,65

0.05 (5%)

12008250

80000

x

8/12/2019 E2 CIG

8/21

Valoarea testului:

Verificarea:

z=1,67 > z(0,05)= 1,65 => respingem H0

=> acceptam H1:putem afirma cu probabilitatea de 95% cvolumul mediu al vnzrilor n urma capaniei publicitareeste semnificativ mai mare dect volumul mediu nainte de

efectuarea campaniei publicitare.

67,1

64

1200

80008250

z

8/12/2019 E2 CIG

9/21

Recomandri

Un volum mare al eantionului (n30) este adecvat cndutilizm procedura de testare utilizat n aceast seciune(testul z)

Dac n< 30 trebuie avut n vedere distribuia populaieieantionateianume:

Dacpopulaiae normal distribuit,procedura de testare ecea pe care am descris-o ipoate fi utilizatptr orice volumal eantionului

Dac populaia nu e normal distribuit, dar e aproapesimetric, pentru un volum mic al eantionului, procedurade testare poate furniza rezultate acceptabile.

8/12/2019 E2 CIG

10/21

II. Teste pentru media populaiei() :

dispersia 2este necunoscut

0

/

xt

s n

Testul t

Se estimeaz dispersia populaiei cu dispersia de eantion:

Se aplic testul t. Se calculeaz valoarea statisticii:

Valorile critice se obtin din tabelele repartiiei t(Student), n funciede nivelul de semnificaie ales, cu n-1grade de libertate

2

2 1

( )

1

n

i

i

x x

sn

8/12/2019 E2 CIG

11/21

Regiunea critic-testul t

a) b) c)

Regiunea critic pentrua) test bilateral; b) test unilateral dreapta; c) test unilateral stnga

/ 2; 1nt / 2; 1nt ; 1nt ; 1nt

8/12/2019 E2 CIG

12/21

Exemplul 1testul t

Un productor de bere afirm c volumul unei cutiieste de 0.33 litri. Inspectorii de calitate vor s verificeacest lucru i selecteaz aleator un eantion de 16

cutii.n urma prelucrrii datelor, s-au obinut urmtoarelerezultate:

1

2

1

5.25

( ) 23.04

n

i

i

n

i

i

x

x x

8/12/2019 E2 CIG

13/21

Variabila de interes: Xvolumul unei cutii de berepresupunem o distribuie normal

Dispersia populaiei este necunoscut - va trebuiestimat:

Volumul mediu ipotetic: Volumul mediu din eantion:

Pragul de semnificaie:

0 0.33

1 0.328

n

i

i

x

xn

0.05 (5%)

2

2 1

( )23.04

1.5361 15

n

i

i

x x

s

n

8/12/2019 E2 CIG

14/21

Ipotezele:

Valoarea critic:

Valoarea testului:

Verificarea:

Decizia : cu probabilitatea 95% nu sunt suficientemotive pentru a respinge ipoteza nul.

0 0

0

:

:A

H

H

/ 2; 1 0.05/ 2;15 2.48 ( , 1)

nt t TINV n

0 0.382 0.33 0.00038/ 1.24 / 16

xt

s n

/ 2; 10.00038 2.48nt t <

8/12/2019 E2 CIG

15/21

8/12/2019 E2 CIG

16/21

8/12/2019 E2 CIG

17/21

Recomandri

Aplicabilitatea procedurii de testare n cazul n care 2 e necunoscut,depinde de distribuiapopulaieieantionateide mrimeaeantionului.

Cndpopulaiae normal distribuit,procedura de testare furnizeazacelairezultat pentru orice n.

Cnd populaia nu e normal distribuit, procedura de testare furnizeazrezultate aproximative:

Pentru n30 rezultatele furnizate sunt bune n majoritatea cazurilor

Dac n< 30 ipopulaia e aproximativ normal distribuit, rezultatelefurnizate sunt acceptabile

Dacpopulaiaprezint asimetrie puternic, atunci este recomandatutilizarea eantioanelormai mari de 50 uniti.

8/12/2019 E2 CIG

18/21

Testarea ipotezei privind proporia populaiei

Pentru variabile alternative (variabile cu 2 variante: admis/respins,DA/NU): media p n colectivitatea general (proporia succeselor) este

raportul dintre nr. cazurilor afirmative (cele care ndeplinesccondiiacerut)inumrultotal de cazuri;

dispersia n colectivitatea general e p(1-p), iar abaterea medieptraticeste

media pentru eantion e notat cu w, dispersia w(1-w), abatereamedieptratic

Pentru testarea ipotezelor statistice privind proporia este necesar canp5 i n(1-p)5 numai n acest caz distribuiaproporiei esteaproximativ normal distribuit.

)1( pp

)1( ww

8/12/2019 E2 CIG

19/21

Ipoteza nul indic faptul cproporia este egal cu o valoarespecificat n timp ce ipoteza alternativ rspunde la una dintrecele trei ntrebri:

dac proporia este diferit de valoarea specificat (testbilateral):

dacproporia este mai mare dect valoarea specificat (testunilateral dreapta):

dacproporia este mai mic dect valoarea specificat (testunilateral stnga): .

01: ppH

0:1 ppH >

01: ppH

zz>

zz

8/12/2019 E2 CIG

21/21

Ex. Managerul unui lan de magazine consider (n urma unei analizefinanciare) cpentru un nou produs comercializarea este profitabildac

procentul cumprtorilor care ar dori s achiziioneze produsul este maimare de 12%. El selecteaz 400 de cumprtoripoteniali iafl c 52

dintre acetiavor achiziionaprodusul. Pentru o probabilitate de 99% suntsuficiente dovezi care sconvingmanagerul scomercializeze produsul?

Rezolvare

Ipotezele sunt: (test unilateral dreapta).

Testul statistic este:

Cum iz= 1,25 < 2,33,rezultcnu ne aflmn regiuneacritic (Rc), deci nu avem suficiente dovezi s respingem ipoteza nul(procentul cumprtorilor 12%) recomandarea este s nucomercializeze produsul.

12,0:0 pH 12,0:1 >pH

25,1016,0

02,0

400/88,012,0

12,014,0

/)01(0

12,0

npp

wz

33,201.0 zz