Download - Tema Nr 1_econometrie
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 1
TEMA NR. 1
1. Un fabricant de automobile a estimat că un nou tip de maşini obţine un consum mediu de 11 litri la 100
km, dar compania care dorea să comercializeze aceste maşini pretindea că acest consum depaseşte
estimaţia producătorului. Pentru a susţine afirmatia, compania a selectat 36 de maşini şi a înregistrat
consumul. Au rezultat datele: 𝑥 =11.8 litri / 100 km; s = 3.0 litri / 100 km.
a) Dacă cei interesati doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri / 100 km, care este
ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativa?
b) Efectuati testarea pentru 𝛼 = 0.05.
Rezolvare:
a) Dacă cei interesati doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri / 100 km, care
este ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativa?
𝑛 = 36 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 11, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 > 11 , ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUD) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝜎
𝑛
=𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 > 𝑧𝛼
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 > 𝑧𝛼
b) Efectuati testarea pentru 𝛼 = 0.05.
𝑥 =11.8 litri / 100 km;
s = 3.0 litri / 100 km;
𝑛 = 36 ;
𝜇0 =11.0 litri / 100 km.
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
=11.8−11
3
36
=0.8
3
6
= 0.8 ∗ 2 = 1.6
𝑧𝛼 = 𝑧0.05 = 1.645
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 2
𝑧 < 𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că nu sunt suficiente
dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea că nivelul
mediu al consumului este mai mare de 11.0 litri / 100 km.
2. Analiza unui esantion aleator de 49 de observaţii a dus la următoarele rezultate: 𝑥 = 20.7 ; ( 𝑥𝑖 −
𝑥 )2 = 2.155
a) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 , cu ipoteza alternativă: μ < 20.47 , utilizând o probabilitate de 99%.
b) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 cu ipoteza alternativă μ ≠ 20.47 utilizând o probabilitate de 90%.
Rezolvare:
a) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 , cu ipoteza alternativă: μ < 20.47 , utilizând o probabilitate de 99%.
𝑛 = 49 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 20.47, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 < 20.47 , ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de stângă (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝜎
𝑛
=𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 < −𝑧𝛼
P = 99% => 𝛼=0.01;
𝑥 = 20.7;
( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 2.155 => 𝜎𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛=
2.155
49= 0.044=> 𝑠 = 0.044 = 0.21
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
=20.7−20.47
0.21
49
=0.230.21
7
= 0.23 ∗7
0.21= 7.67
𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326
𝑧 > −𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 99%, rezultă că nu sunt suficiente
dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 .
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 3
b) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 cu ipoteza alternativă μ ≠ 20.47 utilizând o probabilitate de 90%.
𝑛 = 49 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 20.47, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 ≠ 20.47 , ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test bilateral iar testul statistic calculat este dat de următoarea formulă:
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝜎
𝑛
=𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼/2 sau 𝑧 > 𝑧𝛼/2
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 < −𝑧𝛼/2 sau
𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 > 𝑧𝛼/2
P = 90% => 𝛼=0.10;
𝑥 = 20.7;
( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 2.155 => 𝑠𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛=
2.155
49= 0.044=> 𝑠 = 0.044 = 0.21
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
=20.7−20.47
0.21
49
=0.230.21
7
= 0.23 ∗7
0.21= 7.67
𝑧𝛼/2 = 𝑧0.005 = 2.576
𝑧 > 𝑧𝛼/2 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 90%, rezultă că sunt suficiente
dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 .
3. Un producător de imprimante pentru calculatoare personale doreşte să estimeze media numărului de
caractere tipărite pâna când se consumă cerneala. Costul crescut al unei astfel de anchete impune
utilizarea unui eşantion de volum redus. Presupunem ca au fost testate n = 15 imprimante si s-au calculat:
𝑥 =1.13 milioane caractere, s = 0.27 milioane caractere.
a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul mediu de caractere.
b) Să se testeze ipoteza nulă μ =1.00 milioane, cu ipoteza alternativa μ >1.00 milioane caractere, utilizând
o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a numărului de caractere în colectivitatea generală.
Rezolvare:
a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul mediu de
caractere.
𝑛 = 15 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 4
𝑥 =1.13 milioane caractere;
s = 0.27 milioane caractere;
n = 15;
P = 90% => 𝛼=0.10.
Relaţia în baza căreia se calculează intervalul de încredere pentru medie este următoarea:
𝑥 −𝜎
𝑛∗ 𝑧1−
𝛼
2< 𝜇 < 𝑥 +
𝜎
𝑛∗ 𝑧1−
𝛼
2
1.13 −0.27
15∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 +
0.27
15∗ 1.64 => 1.13 −
0.27
3.87∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 +
0.27
3.87∗ 1,64
1.13 − 0.070 ∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 + 0.070 ∗ 1.64 => 1.0152 < 𝜇 < 1.2448
Rezultă că intervalul de încredere este (1.0152; 1.2448)
b) Să se testeze ipoteza nulă μ =1.00 milioane, cu ipoteza alternativa μ >1.00 milioane caractere,
utilizând o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a numărului de caractere în
colectivitatea generală.
𝑥 =1.13 milioane caractere;
s = 0.27 milioane caractere;
n = 15;
P = 95% => 𝛼=0.05;
𝜇0 = 1.00 milioane caractere
𝑛 = 15 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 1.00, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 > 1.00 , ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUD) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑡 =𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝑠𝑥
𝑛
, unde 𝑠𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥
𝑛
> 𝑡𝛼,𝑛−1
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 5
𝑡 =1.13−1.00
0.27
15
=0.130.27
3.87
= 0.13 ∗3.87
0.27= 1.86
𝑡0.05,14 = 2.145
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 < 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că nu sunt
suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea
că media numărului de caractere tipărite pâna când se consumă cerneala este mai mare de 1.00 milioane.
4. Valoarea medie a unei locuinţe aflate în imediata apropiere a unui colegiu este de 58,950 unităţi
monetare. Se presupune că valoarea locuinţelor creşte cu cât ele sunt situate mai aproape de acest
colegiu. Pentru a testa această ipoteza, au fost selectate aleatoriu 12 locuinţe din zona colegiului; în urma
evaluării acestora, a rezultat o valoare medie de 62,460 unităţi monetare, cu o abatere medie pătratică de
5,200 unităţi monetare. Testaţi această ipoteză, pentru un nivel de semnificatie de 5%.
Rezolvare:
𝑛 = 12 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)
𝑥 = 62,460 u.m.;
s = 5,200 u.m.;
n = 12;
𝛼=0.05;
𝜇0 = 58,950 u.m.
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 58,950 - ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 > 58,950 - ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUD) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑡 =𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝑠𝑥
𝑛
, unde 𝑠𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥
𝑛
> 𝑡𝛼,𝑛−1
𝑡 =62,460−58,950
5,200
12
=3,5105,200
3.46
= 3,510 ∗3.46
5,200= 2.34
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 6
𝑡0.05,11 = 1.796
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt
suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea
că valoarea locuinţelor creşte cu cât acestea sunt situate mai aproape de acest colegiu.
5. Un reporter se documentează pentru un articol privind costurile tot mai ridicate ale educaţiei primite în
învaţământul superior. Pentru aceasta, el a luat în considerare variabila „costul unui manual” în semestrul
în curs (variabila x). În urma considerării unui eşantion de 41 de manuale, el a găsit că: 𝑥𝑖= 550.22 u.m.;
( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2= 1,617.984 u.m. Se cere:
a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs, la nivelul
eşantionului considerat;
b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m., pentru un nivel
de semnificaţie de 1%.
Rezolvare:
a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs, la nivelul
eşantionului considerat:
𝑛 = 41 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)
𝑥𝑖= 550.22 u.m => 𝑥 =550 .22
41= 13.42 u.m.
( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 1,617.984 => 𝜎𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛=
1,617.984
41= 39.46 𝑢. 𝑚.=> 𝑠 = 39.46 = 6.28u.m.
b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m., pentru un
nivel de semnificaţie de 1%.
𝑛 = 41 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 15, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 < 15 , ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 7
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝜎
𝑛
=𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝜎𝑥 < −𝑧𝛼
P = 99% => 𝛼=0.01;
𝑥 = 13.42;
s = 6.28
𝑧 =𝑥 −𝜇0
𝑠
𝑛
=13.42−15
6.28
41
=−1.58
6.28
6.40
= −1.58 ∗6.40
6.28= −1.61
𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326
𝑧 > −𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 99%, rezultă că nu sunt suficiente
dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea că
valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m.
6. Gradul de poluare a aerului se poate determina prin măsurarea mai multor elemente, printre care şi
nivelul monoxidului de carbon existent în atmosfera. Un ecologist vrea sa arate că oraşul X are un grad
ridicat de poluare a aerului, ilustrat printr-un nivel mediu al monoxidului de carbon mai mare de 4,9. Pentru
a verifica această afirmatie, au fost înregistrate nivelurile monoxidului de carbon din 12 zile consecutive,
valorile gasite fiind următoarele:
Ziua 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CO 3.5 3.9 2.8 3.1 3.1 3.4 4.8 3.2 2.5 3.5 4.4 3.1
a) calculaţi abaterea medie pătratică, dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile;
b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?
Rezolvare:
a) calculaţi abaterea medie pătratică, dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile:
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 8
Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – Descriptive Statics, iar probabilitatea luată în
calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat următorul tablou:
CO
Mean 3.441667
Standard Error 0.188478
Median 3.3
Mode 3.1
Standard Deviation 0.652907
Sample Variance 0.426288
Kurtosis 0.555528
Skewness 0.881889
Range 2.3
Minimum 2.5
Maximum 4.8
Sum 41.3
Count 12
Termenii din limba engleză prezintă următoarea semnificaţie:
Mean = media aritmetica
Standard Error = eroare standard
Median = mediana
Mode = modulul
Standard Deviation = abaterea medie patratica
Sample Variance = dispersie
Kurtosis = coeficientul de boltire
Skewness = coeficientul de asimetrie
Range = amplitudinea de sondaj
Minimum = valoarea minimă din eşantion
Maximum = valoarea maximă din eşantion
Sum = suma valorilor incluse în eşantion
Count = volumul esantionului
3.442
0.188
3.3
3.1
0.653
0.426
0.556
0.882
2.3
2.5
4.8
41.3
12
Conform valorilor calculate au rezultat următoarele valori:
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 9
- abaterea medie pătratică a nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile = 0.653;
- dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile = 0.426.
b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?
𝐻0: 𝜇 = 4.9 , ipoteza nulă
𝐻1:𝜇 > 4.9, ipoteza alternativă
Regiunea critică se calculează după următoarea formulă:
𝑡 =𝑥 −𝜇
𝑆𝑥 / 𝑛 =>
3.442−4.9
0.653/ 12=
−1.458
0.653/3.46= −1.458 ∗ 5.30 = −7.725
Nu există specificată în problema pragului de semnificaţie însă valorile acestuia pentru testul unilateral
de dreapta (TUD) sunt pozitive, prin urmare se respinge ipoteza ecologistului întrucât t< 0.
7. 7 experti îşi exprimă opiniile privind preţul unui produs, în anul viitor. Rezultatele anchetei sunt exprimate
de indicatorii sintetici: 𝑥 = 5.8 mii lei, s = 1.72 mii lei. ( 𝑠2 = (𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1) , deoarece este un eşantion de
volum redus). Dacă se ştie că anul acesta preţul mediu a fost de 3.54 mii lei, sunt motive suficiente pentru
a susţine ipoteza că anul viitor preţul mediu va fi semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta? Se va
utiliza o probabilitate de 95% de garantare a rezultatelor.
Rezolvare:
𝑥 = 5.8 mii lei;
s = 1.72 mii lei
n = 7
𝜇0 = 3.54
𝑛 = 7 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 3.54, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 > 3.54 , ipoteza alternativă.
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 10
Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUD) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑡 =𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝑠𝑥
𝑛
, unde 𝑠𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥
𝑛
> 𝑡𝛼,𝑛−1
𝑡 =5.8−3.54
1.72
7
=2.261.72
2.65
= 2.26 ∗2.65
1.72= 3.48
𝑡0.05,6 = 1.943
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt
suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea
că anul viitor preţul mediu va fi semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta de 3.54 u.m..
8. Managerul unei firme ce oferă servicii de curierat rapid susţine că timpul său mediu de expediere, într-un
anumit perimetru, este mai mic de 6 ore. Pentru verificarea acestei afirmaţii, a fost considerat un eşantion
aleator de 10 expedieri ale unor pachete, pentru care s-au înregistrat timpii necesari pentru expedierea
acestora la destinaţie (ore): 7; 3; 4; 6; 10; 5; 6; 4; 3; 8. Există suficiente dovezi pentru a susţine afirmaţia
managerului, pentru un nivel de semnificatie de 5%?
Rezolvare:
Ipotezele acestui test vor fi următoarele:
𝐻0: 𝜇 = 6, ipoteza nulă;
𝐻1: 𝜇 < 6 , ipoteza alternativă.
𝑛 = 10 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)
Acesta reprezintă un test unilateral de stânga (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea
formulă:
𝑡 =𝑥 −𝜇0
𝑠𝑥 =
𝑥 −𝜇0𝑠𝑥
𝑛
, unde 𝑠𝑥2 =
(𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑡 < −𝑡𝛼 ,𝑛−1
Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0
𝑆𝑥 < −𝑡𝛼 ,𝑛−1
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 11
𝑥 =7+3+4+6+10+5+6+4+3+8
10=
56
10= 5.6 ℎ
𝜇0 = 6 ℎ
𝑠2 = (𝑥𝑖−𝑥 )2
𝑛−1=
(7−5.6)2+(3−5.6)2+ 4−5.6 2+(6−5.6)2+(10−5.6)2+(5−5.6)2+(6−5.6)2+(4−5.6)2+(3−5.6)2+(8−5.6)2
10−1=
1.96+6.76+2.56+0.16+19.36+0.36+0.16+2.56+6.76+5.76
9=
46.40
9= 5.16
𝑠 = 5.16 = 2.27
𝑡 =5.6−6
2.27
10
=−0.42.27
3.16
= −0.4 ∗3.16
2.27= −0.557
𝑡0.05,9 = 1.833
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > −𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt
suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza alternativă 𝐻1 şi pentru a accepta ipoteza nulă 𝐻0 , prin aceea
că timpul său mediu de expediere, într-un anumit perimetru, nu este mai mic de 6 ore.
9. Un specialist afirmă că persoanele care manânca cereale la micul dejun vor consuma la masa de prânz,
în medie, mai puţine calorii ca aceia care nu manâncă cereale la micul dejun. Pentru a testa această
afirmaţie, au fost selectaţi aleator 30 de persoane şi au fost întrebate ce manânca în mod regulat la micul
dejun şi la masa de prânz. Fiecare persoană a fost identificată că un consumator sau nonconsumator de
cereale la micul dejun şi fiecărei persoane i-au fost calculate numărul de calorii consumate la masa de
prânz. Rezultatele obţinute sunt următoarele:
Consumatori de cereale: 640, 605, 529, 591, 596, 564, 615, 560, 635, 623 (calorii)
Nonconsumatori de cereale: 502, 703, 735, 707, 523, 534, 768, 626, 620, 589, 736, 565, 686, 529, 632,
951, 744, 632, 593, 847 (calorii)
Se poate spune cu un nivel de semnificatie de 5% că specialistul are dreptate?
Rezolvare:
Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – t-Test: Two-Sample Assuming Unequal, iar
probabilitatea luată în calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat
următorul tablou:
t-Test: Two-Sample Assuming Unequal
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 12
Variances
Consumatori de cereale
Nonconsumatori de cereale
Mean 595.8 661.1
Variance 1273.511111 13375.25263
Observations 10 20
Hypothesized Mean Difference 0 df 25 t Stat -2.31433179 P(T<=t) one-tail 0.014576434 t Critical one-tail 1.708140745 P(T<=t) two-tail 0.029152868 t Critical two-tail 2.059538536
Valoarea statisticii t este egală cu -2.314332; valoarea lui p pentru un test unilateral este 0.014576 (pragul
de semnificaţie = 1 = probabilitatea de garantare a rezultatelor) iar valoarea p pentru un test bilateral este
0.029153.
Întrucât valoarea lui p pentru un test unilateral (0.014576) este mică se poate afirma ca aceste date
dovedesc că cei care consumă cereale la micul dejun consumă mai puţine calorii la masa de prânz (se
acceptă ipoteza alternativă că există diferenţe semnificative) cu o probabilitate de 98.54 %.
10. Pe 20 de maşini selectate aleator se instalează un tip de anvelope şi se măsoara numărul de kilometri
parcurşi până la uzura totală a acestora. Apoi pe aceleaşi maşini se instalează un nou tip de anvelope şi se
procedează similar cu cazul anterior. Se poate spune că distanţa medie parcursă cu noul tip de anvelope
diferă semnificativ faţă de cea parcursă cu vechiul tip?
Maşina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de
anvelope noi 57 64 102 62 81 87 61 62 74 62
Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de
anvelope vechi 48 50 89 56 78 75 50 49 70 66
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 13
Maşina 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de
anvelope noi 100 90 83 84 86 62 67 40 71 77
Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de
anvelope vechi 98 86 78 90 98 58 58 41 61 82
Rezolvare:
Întrucât cele două tipuri de anvelope sunt instalate pe aceleaşi autoturisme, se va testa dacă mediile a
două populaţii dependente sunt egale. Datele sunt cantitative iar obiectivul testului este cel de a compara
numărul de kilometri parcurşi pentru cele două populaţii pereche. Deci ipoteza care trebuie testată este
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 şi cu ipoteza alternativă 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 .
Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – t-Test: Paired Two Sample for Means, iar
probabilitatea luată în calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat
următorul tablou:
t-Test: Paired Two Sample for Means
Distanţa parcursă în
mii de kilometri cu
tipul de anvelope noi
Distanţa parcursă în
mii de kilometri cu
tipul de anvelope
vechi
Mean 73.6 69.05
Variance 242.7789474 316.3657895
Observations 20 20
Pearson Correlation 0.914678935 Hypothesized Mean Difference 0 df 19 t Stat 2.817586929 P(T<=t) one-tail 0.005496978 t Critical one-tail 1.729132792 P(T<=t) two-tail 0.010993955 t Critical two-tail 2.09302405
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 14
Valoarea testului este 2.81759. Întrucât avem un test bilateral, valoarea lui p este 0.010993, iar valoarea
critică este 2.093024. Deoarece valoarea lui p este mică, se respinge ipoteza nulă conform căreia cele
două medii au valori egale, astfel se poate afirma ca anvelopele de tip nou sunt mai bune ca cele de tip
vechi.
11.O companie doreşte să introducă o nouă metodă de realizare a unui produs. Se selecteaza 50 de
produse pentru care se înregistreaza timpii de realizare cu vechea metodă şi 50 de produse pentru nouă
metodă. Rezultatele sunt ( serie perfect simetrica):
Metoda actuală Noua metodă
𝑛1 = 50 𝑛2 = 30
𝑠1 = 3.7min 𝑠2 = 3.1min
𝑥1 = 27.3min 𝑥2 = 25.4min
Să se determine, utilizând o probabilitate de 95%, dacă rezultatele oferă suficiente informaţii pentru a
indica faptul că noua metodă duce la un consum de timp semnificativ mai mic.
Rezolvare:
Se doreşte verificarea afirmaţiei prin care timpii de realizare au scăzut ca urmare a utilizării a noii metode
(𝜇2 < 𝜇1), astfel se va efectua un test unilateral la dreapta (TUD):
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 (𝜇2 − 𝜇1 = 0),
𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 (𝜇2 − 𝜇1 > 0),
Pentru un prag de semnificaţie 𝛼 = 0.05 (probabilitatea de garantare a rezultatelor (1-𝛼)100 = 95%,
𝑧𝛼 = 1.645
Presupunând că cele două eşantioane (înainte de noua metodă şi după noua metodă) sunt independente,
se va calcula testul z:
𝑧 = 𝑥1 −𝑥2 −0
𝜎(𝑥1 −𝑥2 )=
𝑥1 −𝑥2
𝜎𝑥1
2
𝑛1+
𝜎𝑥22
𝑛2
=𝑥1 −𝑥2
𝑠𝑥1
2
𝑛1+
𝑠𝑥22
𝑛2
=27.3−25.4
3.72
50+
3.12
30
=1.9
0.27+0.32=
1.9
0.59=
1.9
0.77= 2.47
Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 > 𝑧𝛼
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 15
Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 (2.47) > 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 (1.645) => Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt suficiente dovezi
pentru a respinge ipoteza nulă şi de a accepta ipoteza alternativă, prin aceea că noua metodă duce la un
consum de timp semnificativ mai mic faţă de vechea metodă.
12.Un producător de jucării electronice doreşte să verifice dacă procentul jucariilor defecte este mai mic
de 14%. Presupunem ca sunt selectate aleator 100 de jucării, fiecare dintre acestea este testată şi sunt
găsite 12 jucării defecte. Oferă aceste informaţii suficiente dovezi ca procentul jucăriilor defecte este mai
mic de 14%. Utilizaţi o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.
Rezolvare:
Ipotezele pentru această aplicaţie sunt:
𝐻0: 𝑝 = 0.14 - ipoteza nulă;
𝐻1:𝑝 < 0.14 – ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test unilateral de stânga (TUS) iar testul statistic pentru proporţia p este dat de
următoarea formulă:
𝑧 =𝑓−𝑝0
𝑝(1−𝑝
𝑛)≈
𝑓−𝑝0
𝑓(1−𝑓)/𝑛
Regiunea critică este dată de:
𝑧 < −𝑧𝛼
Testul statistic este:
𝑧 =𝑓−𝑝0
𝑓(1−𝑓)/𝑛=
0.12−0.14
0.12∗0.88/100=
−0.02
0.001056=
−0.02
0.032= −0.625
𝑓 =12
100= 0.12
P = 99% => 𝛼=0.01
𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326
Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 −0.625 > −𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 −2.326 =>că nu ne aflăm în regiunea critică (𝑅𝑐) . Cu o
probabilitate de 99%, rezultă că nu avem suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci procentul
defectelor din 100 de jucării nu este mai mic de 14%.
13. Un post de radio promovează un grup muzical aflat în mare vogă. În trecut 60% dintre ascultătorii
postului de radio declaraseră că le-au plăcut grupurile muzicale promovate de acest post. Dintr-un eşantion
de 100 de ascultători, 56 au declarat că le place grupul recent promovat. Pentru un nivel de semnificaţie de
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 16
0.05, testaţi ipoteza conform căreia nu există diferenţe semnificative între preferinţele ascultătorilor din
trecut şi prezent.
Rezolvare:
Ipotezele pentru această aplicaţie sunt:
𝐻0: 𝑝 = 0.60 - ipoteza nulă;
𝐻1:𝑝 ≠ 0.60 – ipoteza alternativă.
Acesta reprezintă un test bilateral iar testul statistic pentru proporţia p este dat de următoarea formulă:
𝑧 =𝑓−𝑝0
𝑝(1−𝑝
𝑛)≈
𝑓−𝑝0
𝑓(1−𝑓)/𝑛
Regiunea critică este dată de:
𝑧 < −𝑧𝛼/2 sau 𝑧 > 𝑧𝛼/2
Testul statistic este:
𝑧 =𝑓−𝑝0
𝑓(1−𝑓)/𝑛=
0.56−0.60
0.56∗0.44/100=
−0.04
0.0024=
−0.04
0.05= −0.80
𝑓 =56
100= 0.56
𝛼=0.05
𝑧𝛼/2 = 𝑧0.05/2 = 𝑧0.025 = 1.960
Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 −0.80 > −𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 −1.960 => că nu ne aflăm în regiunea critică ( 𝑅𝑐) . Cu o
probabilitate de 95%, rezultă că nu avem suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci există diferenţe
semnificative între preferinţele ascultătorilor din trecut şi prezent.
14. În depozitul unui magazin en-gros, de tip cash&carry sunt depozitaţi saci de cartofi de 50 kg şi saci de
ceapă de 100 kg. Atmosfera magaziei este controlată pentru a împiedica pierderea greutăţii prin
deshidratare. Se presupune că greutatea unui sac este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală. Să se
verifice ipotezele conform cărora dispersiile celor două eşantioane sunt egale, pentru un nivel de
semnificatie de 5%.
F - Test Two - Sample for Variances
saci cartofi saci ceapă
Mean 49.48333333 33.83333333
TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT Page 17
Standard Deviation 1.1 108.1666667
Observations 6 6
F 98.33
df 5 5
F Critical one-tail 5.05
Rezolvare:
Din tabel, abaterea medie pătratică cunoaşte următoarele valori:
𝑠1 = 1.1 , sacii de cartofi;
𝑠2 = 108.167, sacii de ceapă
𝛼 = 0.05
Ipotezele statistice sunt:
𝐻0:𝜎1
2
𝜎22 = 1 , ipoteza nulă;
𝐻1:𝜎1
2
𝜎22 ≠ 1 , ipoteza alternativă.
Testul statistic cunoaşte următoarea valoare:
𝐹 =𝑆2
2
𝑆12 =
108.1666667
1.1= 98.333
𝐹𝛼
2,𝑛1−1,𝑛2−1 = 𝐹0.025 ,49,99 = 1.96
𝐹1−𝛼
2,𝑛1−1,𝑛2−1
= 𝐹0.975,49,99 = 1.96
Cum 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝐹1−𝛼
2,𝑛1−1,𝑛2−1
=> ipoteza nulă este respinsă (aceea că raportul dintre cele două
dispersii este egal cu 1) şi se acceptă ipoteza alternativă. Cu o probabilitate de 95%, se acceptă ipoteza
conform căreia greutatea unui sac este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală.