Download - MODELAREA BAZATĂ PE ECUAȚII
MODELAREA BAZAT PE ECUAII1. SISTEME DINAMICE CONTINUE NELINIARE
Exemplul 3:Modelul de cretere echilibrat al lui SolowIpoteze:
1. funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil, omogen de grad unu;
nzestrarea tehnic a muncii;
venitul per capita;Calculul venitului per capita:
2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:
3.Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor.
4. n echilibru, economiile sunt egale cu investiiile: S(t)=I(t).
5. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital plus nlocuirea capitalului fix uzat:
Unde este rata amortizrii.Modelul:
nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:
Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.
Transformm modelul n mrimi per capita:
Atunci:
Ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiia net n mrimi per capita:
Condiia iniial:
Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie per capita.Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):
Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:
Ecuaia diferenial obinut este:
ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:Schimbarea de variabil:
Derivm n raport cu timpul:
Explicitm din relaia de mai sus:
mprim ecuaia de dinamic la :
nlocuim n ecuaia de mai sus:Obinem:
Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n cu soluia:
Considerm condiiile iniiale:
Atunci:
Sau:
Aceasta este traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii.
Este traiectoria de evoluie a stocului de capital.Puncte staionare:
Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:
i Modelul Solow are deci dou puncte fixe.
Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.
La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .
Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:
Rezult c:
, deci este atractor
este repelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd .
ntruct dintr-o vecintate a lui , traiectoria tinde ctre , sistemul este local stabil.
ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre , sistemul este local, asimptotic stabil.
Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).Tema 1:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita i a venitului total, cunoscnd datele:
, pentru T=10 ani.Investiie de compesare: investiii necesare pentru nlocuirea capitalului fix uzat i pentru nzestrarea tehnic a sporului populaiei.
sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a sporului populaiei.sf(k) sunt investiiile brute, egale cu economile;
n punctul , investiia brut este egal cu investiia de compensare:
Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare
Pentru k= , , respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile de compensare.
Dac , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital per capita va crete.
Dac , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i a capitalului fix uzat.Am obinut rezultatele:
capitalul crete;
capitalul scade;
capitalul rmne la valoarea staionar, pe temen indefinit.Tem 2: Aplicaie numericSe cunosc datele:
a) Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL:
b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL.
c) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL
d) Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:
e) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru , facei graficele n EXCEL:
f) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale i facei graficele.
Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv: i .
, sunt investiiile i respectiv consumul, n mrimi actuale.
g) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;
-asupra consumului: stabilii numeric c dac , consumul crete , sau dac consumul scade.
Ecuaii difereniale neliniareAproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:
f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.n general, aceste ecuaii nu se pot rezolva analitic.
Trebuie s gsim punctele fixe pentru , deci pentru.Presupunem f este continu, difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x = x (punctul fix).
Aproximm f folosind dezvoltarea Taylor:
este restul.Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:
Dac punctul iniial este suficient de aproape de punctul fix x, atunci
.
Dac x este chiar punctul fix, atunci i putem aproxima f(x) n punctul x prin:
Exemplu:Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin aproximare liniar.Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita:
Punctele fixe sunt:
Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix :
Cu:
Considerm acum :Atunci :
Rezult c panta curbei pentru este
Rezult aproximarea liniar:
ntruct iar n i sunt pozitive, atunci funcia f(k) are pant negativ n
i deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor.
Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului este:
Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.
Ecuaia omogen:
Soluia particular verific ecuaia neomogen:
Aplicm condiiile Cauchy:
Soluia:
Pentru aproximarea liniar, , respectiv este punct fix asimptotic local stabil pentru aproximarea liniar.
////Tem: Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar i a ecuaiei de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor i consumului per capita, ct i a indicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli i prin aproximarea liniar).
////Ecuaii difereniale de ordin superiorCazul generalEcuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:
Rezolvm ecuaia omogen:
Facem ipoteza c soluia are forma i o punem s verifice ecuaia omogen:
mprim la , obinem ecuaia caracteristic:
Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, are n soluii care pot fi reale (diferite sau multiple) sau complexe conjugate.Soluia general a ecuaiei omogene, cazul rdcinilor reale, distincte:
unde A1 ,A2 ,An sunt constante generalizate arbitrare.Cazul rdcinilor multiple de ordin m