CURS 4Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri
A. Arusoaie
e-mail: [email protected]
Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html
Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi
22 Octombrie, 2020
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii absolut convergenteSerii alternate
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 33
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii absolut convergenteSerii alternate
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 33
Serii cu termeni oarecare
I Spunem ca seria∞∑n=1
xn este o serie cu termeni oarecare, daca termenul
general al seriei, xn, nu are acelasi semn pentru orice n ∈ N∗.
I Un caz particular de serii cu termeni oarecare ıl reprezinta seriile alternate de
forma∞∑n=1
(−1)nyn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 33
Serii cu termeni oarecare
Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1
(−1)n+1 1
neste convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 33
Serii cu termeni oarecare
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 33
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn = x1 + . . .+ xn, n ∈ N∗.Daca
1 sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;
2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton descrescator cu limn→∞
yn = 0,
atunci seria∞∑n=1
xnyn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 33
Exemplu
Exemplu: Sa se arate ca seria∞∑n=1
cosn√n
este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 33
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ doua siruri de numere reale. Daca
1 seria∞∑n=1
xn este convergenta;
2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,
atunci seria∞∑n=1
xnyn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 33
Exemplu
Exemplu: Aratati ca seria∞∑n=1
sinn · cos 1n
n
este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 33
Serii absolut convergente
Definitie
Spunem ca seria de numere reale∞∑n=1
xn este
i) absolut convergenta, daca∞∑n=1
|xn| este convergenta - notam∞∑n=1
xn(AC);
ii) semiconvergenta, daca∞∑n=1
xn este convergenta iar∞∑n=1
|xn| este divergenta -
notam∞∑n=1
xn(SC).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 33
Serii absolut convergente
Observatie: Pentru serii cu termeni pozitivi, absoluta convergenta esteechivalenta cu convergenta.
Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1
(−1)n+1 1
neste semiconvergenta deoarece
∞∑n=1
(−1)n+1 1
n(C), ınsa
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n+1 1
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1
n(D) (seria armonica simpla).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 33
Serii absolut convergente
Propozitie
Daca o serie de numere reale este absolut convergenta, atunci ea este convergenta.
Demonstratie: Fie∞∑n=1
xn o serie absolut convergenta.
Fie ε > 0; deoarece∞∑n=1
|xn|(C), exista nε ∈ N∗ astfel ıncat
|xn+1|+ . . .+ |xn+p| < ε,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗.
Insa cum |xn+1 + . . .+ xn+p| ≤ |xn+1|+ . . .+ |xn+p|, obtinem
|xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,∀n ≥ ne,∀p ∈ N∗.
Conform teoremei lui Cauchy, seria∞∑n=1
xn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 33
Criteriul radacinii
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n√|xn| = ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D);
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 33
Criteriul raportului -D’Alembert
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
|xn+1||xn|
= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 33
Criteriul lui Raabe-Duhamel
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n
(|xn||xn+1|
− 1
)= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 33
Serii alternate
Spunem ca seria∞∑n=1
xn este alternata, daca xn · xn+1 ≤ 0,∀n ∈ N∗.
Orice serie alternata poate fi scrisa astfel:
∞∑n=1
(−1)nyn, unde yn ≥ 0,∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 33
Serii alternate
Teorema (Criteriul lui Leibniz)
Daca (yn)n∈N∗ este un sir de numere reale pozitive, descrescator si convergent la
0, atunci seria∞∑n=1
(−1)nyn este convergenta.
Demostratie: Folosim criteriul lui Dirichlet.
Exemplu: Seria∞∑n=1
(−1)n 1n
este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 33
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii absolut convergenteSerii alternate
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 33
Serii de puteri
Definitie
Fie (an)n∈N un sir de numere reale.Se numeste serie de puteri centrata ın y0 ∈ R o serie de forma
a0 + a1(y − y0) + . . .+ an(y − y0)n + . . . =
∞∑n=0
an(y − y0)n, y ∈ R. (1)
Termenii an se numesc coeficienti ai seriei.Daca facem schimbarea de variabila x = y − y0, seria (1) se poate scrie ın forma
a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n + . . . =
∞∑n=0
anxn. (2)
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 33
Serii de puteri
Teorema (Abel)
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista un numar R, 0 ≤ R ≤ +∞, numit
raza de convergenta a seriei de puteri∞∑n=0
anxn, astfel ıncat:
i. Seria∞∑n=0
anxn(AC) pentru orice x ∈ (−R,R);
ii. Seria∞∑n=0
anxn(D) pentru orice x ∈ R \ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 33
Serii de puteri
Putem rescrie teorema lui Abel si astfel:
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista R, 0 ≤ R ≤ +∞ asa ıncat:
i) daca R = 0, atunci unicul punct de (absoluta) convergenta pentru seria∞∑n=0
anxn este x = 0;
ii) daca R > 0, atunci seria∞∑n=0
anxn(AC) pe intervalul (−R,R);
iii) daca 0 < R < +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(D) pe (−∞,−R) ∪ (R,+∞);
iv) daca R = +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(C) pe R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 33
Serii de puteri
Daca notam
Dc - domeniul de convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(C)
},
Dac - domeniul de absoluta convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(AC)
},
atunci, pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn au loc urmatoarele incluziuni:
(−R,R) ⊆ Dac ⊆ Dc ⊆ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 33
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ρ = limn→∞
n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei
∞∑n=0
anxn este
R =
0, cand ρ = +∞;
1
ρ, cand 0 < ρ < +∞;
∞, cand ρ = 0.
Daca nu exista limn→∞
n√|an|, vom calcula R similar, doar ca de data asta,
ρ = lim supn→∞
n√|an|.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 33
Exemplu
Sa se studieze convergenta seriei∞∑n=0
3nxn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 33
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ` = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ ∈ R, atunci raza de convergenta este data de
R =
0, cand ` = +∞;
1
`, cand 0 < ` < +∞;
∞, cand ` = 0.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 33
Exemplu
Sa se studieze convergenta seriei de puteri∞∑n=1
1
n(n+ 1)xn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 33
Exemple de serii de puteri
1. Seria nula: an = 0, n ∈ N. In acest caz, R =∞, Dac = Dc = R.
2. Seria geometrica,∞∑n=0
xn. Avem R = 1, Dac = Dc = (−1, 1).
I Daca x ∈ (−1, 1), atunci∞∑
n=0
xn =1
1− x
3. Seria∞∑n=0
n!xn: R = 0, Dac = Dc = {0}.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 33
Exemple de serii de puteri
4. Seria∞∑n=1
1
nαxn, cu α ∈ R.
Avem R = 1 si
Dac =
{(−1, 1), α ≤ 1;[−1, 1] , α > 1;
,
Dc =
(−1, 1), α ≤ 0;[−1, 1), α ∈ (0, 1] ;[−1, 1] , α > 1;
.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 29 / 33
Exemple de serii de puteri
5. Seria exponentiala,∞∑n=0
xn
n!. Avem R = +∞, Dac = Dc = R. Mai mult
∞∑n=0
xn
n!= ex.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 30 / 33
Exemple de serii de puteri
6. Seriile trigonometrice,∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1 si
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n.
Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem
sinx =
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1, ∀x ∈ R;
cosx =
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n, ∀x ∈ R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 31 / 33
Exemple de serii de puteri
7. Seriile hiperbolice,∞∑n=0
1
(2n+ 1)!x2n+1 si
∞∑n=0
1
(2n)!x2n.
Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem
shx =
∞∑n=0
1
(2n + 1)!x2n+1 :=
ex − e−x
2, ∀x ∈ R;
chx =
∞∑n=0
1
(2n)!x2n :=
ex + e−x
2, ∀x ∈ R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 32 / 33
Bibliografie
Anca Precupanu - Bazele analizei matematice, Editura Polirom, Iasi, 1998.
V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica,Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom,Bucuresti, 2006.
M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”FairPartners”, Bucuresti, 2011.
Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLADepartment of Mathematics, Los Angeles, 2015.
M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:PowerSeries), Imperial College London, Department of Computing, 2016.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 33 / 33