REPREZENTAREA DREPTEI
17
2. REPREZENTAREA DREPTEI
2.1 Epura dreptei
În general, o dreaptă oarecare este definită de două puncte. Prin urmare, pentru a
construi în spaţiu sau în plan o dreaptă, este suficient să se construiască proiecţiile a două
puncte ale ei.
Fie dreapta D din spaţiu, definită de punctele A şi B, ce aparţin dreptei (fig.2.1, a).
Proiectantele duse din A şi B pe planul orizontal de proiecţie vor determina proiecţia
orizontală a dreptei, d. În mod similar se determină proiecţia pe planul vertical, d’ şi pe
planul lateral, d”.
Reprezentarea
în epură a dreptei D
(fig.2.1 b) se obţine
prin construirea pro-
iecţiilor punctelor ca-
re definesc dreapta şi
unirea proiecţiilor de
acelaşi fel ale celor
două puncte, astfel:
a b = d,
a’ b’ = d’,
a” b” = d”.
Punctul M(m,m’)
se găseşte pe dreapta D(d,d’), atunci când proiecţiile lui se situează pe proiecţiile de acelaşi
fel ale dreptei: m d şi m’ d’ (fig.2.1). Rezultă că, în epură, atunci când este dată o
proiecţie a unui punct ce aparţine unei drepte, cealaltă proiecţie a punctului poate fi
determinată pe proiecţia de nume contrar a dreptei şi pe aceeaşi linie de ordine.
2.2 Studiul dreptei
Prin studiul dreptei se urmăreşte urmelor, stabilirea diedrelor pe care le străbate şi
determinarea punctelor de intersecţie cu planele bisectoare.
Urmele dreptei sunt punctele unde dreapta intersectează planele de proiecţie.
Dreapta D(d,d’) din figura 2.2, a, intersectează planele de proiecţie în punctele: H(h,h’,h”)
- urmă orizontală, V(v,v’,v”) - urmă verticală şi L(l,l’,l”) - urmă laterală.
Pentru a se determina urmele dreptei în epură, trebuie să se ţină seama de condiţia
de apartenenţă a punctului la dreaptă şi de definiţia urmei dreptei.
Urmele, fiind puncte conţinute în planele de proiecţie, au una din coordonate nulă.
Astfel, în figura 2.2, b, pentru determinarea urmei orizontale a dreptei D, se prelungeşte
proiecţia verticală d’ până la intersecţia cu axa Ox (adică, se caută un punct care să aibă
cota zero), determinându-se punctul h’- proiecţia verticală a urmei orizontale. Pentru
determinarea proiecţiei orizontale a urmei orizontale, se duce linia de ordine prin proiecţia
h’ care intersectează proiecţia orizontală a dreptei, d, în h; h” = d” Ox.
La determinarea urmei verticale a dreptei D (punct de depărtare zero), se
procedează în mod similar, prelungind proiecţia orizontală d a dreptei până la intersecţia cu
axa Ox, unde se obţine punctul v – proiecţia orizontală a urmei verticale. Prin proiecţia v se
a
a'
x O
[H]
D
az
ax
a"
ay
[L]
z
y
Bb'
bz
byb
bx b"
m'
m"
m
M
d
d"A
d'
[V]
a b
a
a'
x
az
ax
a"
z
y
y1O
ay
b
b"b'
bx
by
bzd'
m
m"m'
d
d"
Fig.2.1 Reprezentarea dreptei: a) în spaţiu, b) în epură
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
18
duce o linie de ordine până la intersecţia cu proiecţia verticală d’ a dreptei şi se determină
punctul v’ - proiecţia verticală a urmei verticale; v” = d” Oz.
Urma laterală este un punct din planul lateral, deci are abscisa nulă, iar pentru
determinarea ei în epură se poate proceda în două moduri (fig.2.2, b):
- se prelungeşte proiecţia orizontală d până la intersecţia cu Oy şi se determină
proiecţia orizontală a urmei laterale l; se duce un arc de cerc cu centrul în O şi de rază Ol
până la intersecţia cu Ox; se ridică o perpendiculară până la intersecţia cu d”, unde se
obţine l” – proiecţia laterală a urmei laterale a dreptei D; l’ = d’ Oz.
- se prelungeşte proiecţia verticală d’ până la intersecţia cu Oz şi se determină l’,
proiecţia verticală a urmei laterale; se duce o paralelă la Ox prin l’ până la intersecţia cu d”
unde se obţine l” - proiecţia laterală a urmei laterale a dreptei D; l = d Oy.
Împărţirea dreptei în regiuni înseamnă stabilirea diedrelor pe care le străbate
aceasta. Delimitarea porţiunilor de dreaptă ce sunt cuprinse în fiecare diedru este făcută de
urmele orizontale şi verticale ale dreptei, care sunt „puncte de graniţă” pentru dreaptă, fiind
situate în planele de proiecţie ce definesc diedrele.
O dreaptă de poziţie generală străbate trei diedre. Segmentul de dreaptă cuprins
între urmele H şi V se află într-un singur diedru, iar celelalte două semidrepte, din stânga şi
dreapta urmelor, în alte două diedre.
x O
D
[V]
[L]
z
y
d
d"d'
a b
x
z
y
[H]
h'
v" V=v'
H=h
l'L=l"
v
lh"
d"d'
v"
l' l"
v
v'
h
l
Oh'
d
y1
h"
Fig.2.2 Urmele dreptei
==x O
[B1]D
[V]
z
y
H = h d
d'
a b
x
z
y
O
V = v'
h' v
i
I
Jj'
j
i'
[H]
[B4]
DI
DIV
DII
v'
v
h
h'
j = j'
d'
d
DIIDIDIV
i'
i
a'
a
axb'
b
bx
Fig.2.3 Împărţirea dreptei în regiuni. Intersecţia cu planele bisectoare
REPREZENTAREA DREPTEI
19
Pentru identificarea diedrelor străbătute de dreapta D(d,d’) din figura 2.3, se
analizează semnele depărtărilor şi cotelor punctelor dreptei, considerând un punct pe
dreaptă în fiecare regiune, astfel:
- în regiunea din dreapta urmei V(v,v’), punctul A(a,a’) are depărtarea negativă
(axa 0) şi cota pozitivă (axa’ 0); rezultă că semidreapta străbate diedrul DII ;
- în regiunea cuprinsă între urme, punctul I(i,i’) are depărtarea pozitivă şi cota
pozitivă; segmentul de dreaptă VH din dreapta D se găseşte în diedrul DI ;
- în regiunea din stânga urmei H(h,h’), punctul B(b,b’) are depărtarea pozitivă
(bxb 0) şi cota negativă (bxb’ 0); rezultă că semidreapta străbate diedrul DIV.
Pentru determinarea punctelor în care dreapta intersectează planele bisectoare se
ţine seama de faptul că, punctul de intersecţie cu bisectorul [B1-3] va avea depărtarea egală
cu cota şi de acelaşi semn, iar punctul de intersecţie cu bisectorul [B2-4] va avea depărtarea
şi cota egale în modul şi de semne contrare.
Analizând dreapta D(d,d’) din figura 2.3, a, se observă că aceasta intersectează
semiplanul bisector [B1] şi [B4]. Pentru a determina aceste puncte, în epură, se face o
construcţie pur geometrică. Se duce din punctul h’ o dreaptă simetrică proiecţiei verticale
d’, faţă de axa Ox, care intersectează proiecţia orizontală d în i (fig.2.3, b), rezultând şi
proiecţia verticală i’, situată pe d’ şi astfel punctul I(i,i’) este punctul de intersecţie cu
semiplanul bisector [B1] (depărtarea egală cu cota). Punctul J(j,j’) este punctul de
intersecţie cu semiplanul [B4] şi se determină prelungind proiecţiile d şi d’ ale dreptei până
la intersecţia lor (depărtarea şi cota egale în modul).
2.3 Drepte în poziţii particulare
2.3.1 Dreaptă paralelă cu unul din planele de proiecţie
a) Dreapta orizontală (dreaptă de nivel) este dreapta paralelă cu planul orizontal de
proiecţie (fig.2.4).
Proprietăţi: - toate punctele orizontalei au aceeaşi cotă;
- proiecţiile verticală, d’ şi laterală, d’’, ale orizontalei sunt paralele cu axa Ox;
- proiecţia orizontală a orizontalei, d, are o poziţie oarecare. Orice segment din
dreapta orizontală se proiectează pe planul orizontal în adevărată mărime: AB = ab;
- unghiul pe care-l face orizontala cu planul vertical, , se proiectează în
adevărată mărime pe planul orizontal şi se regăseşte în epură între proiecţia orizontală, d, a
orizontalei şi linia de pământ, Ox;
- orizontala are numai urmă verticală V(v,v’,v’’) şi laterală L(l,l’,l’’).
a
a'
xO
[H]
D
a"
[V]
[L]
z
y
B
b'
b
b"
d
d"A
d'
a b
a
a'
x
a"
z
y
y1
O
b
b"b'
d'
d
d"
V = v'
v
l
l"
v"=l'
v
v"=l' l"
l
v'
Fig.2.4 Reprezentarea dreptei orizontale, D [H]: a) în spaţiu, b) în epură
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
20
b) Dreapta de front (frontala) este dreapta paralelă cu planul vertical de proiecţie
(fig.2.5).
Proprietăţi: - toate punctele frontalei sunt egal depărtate de planul vertical;
- proiecţia orizontală a frontalei, d, este paralelă cu linia de pământ, Ox;
- proiecţia verticală a frontalei, d’, are o poziţie oarecare. Orice segment de
dreaptă, AB, aflat în poziţie de frontală în spaţiu, se proiectează în adevărată mărime pe
planul vertical: AB = a’b’;
- proiecţia laterală a frontalei, d”, este perpendiculară pe axa Oy1;
- unghiurile pe care le face frontala cu planul orizontal, , şi respectiv cu
planul lateral, , se regăsesc în epură între d’ şi axa Ox, şi respectiv axa Oz, ;
- frontala are numai urmă orizontală H(h,h’,h”) şi laterală L(l,l’,l”).
c) Dreapta de profil este dreapta paralelă cu planul lateral de proiecţie (fig.2.6).
Proprietăţi: - toate punctele dreptei de profil au aceeaşi abscisă;
- proiecţiile orizontală, d şi verticală, d’, ale dreptei de profil sunt în prelungire
şi perpendiculare pe linia de pământ, Ox;
- proiecţia laterală a dreptei de profil, d”, are o poziţie oarecare. Un segment al
dreptei de profil se proiectează în adevărată mărime pe planul lateral: AB = a”b”;
- unghiurile pe care le face dreapta de profil cu planul orizontal, şi vertical,
, se identifică în epură ca fiind unghiurile dintre d” şi axa Oy1 - şi axa Oz - ;
- dreapta de profil are numai urmă orizontală H(h,h’,h”) şi verticală V(v,v’,v”).
a
a'
x
O
[H]
D
a"
[V]
[L]
z
y
B
b'
b
b"
d
d"A
d'
a b
a
a'
x
a"
z
y
y1O
b
b"b'
d'
d
d"
H = h
h'
h"=l
l"
l'
h'
l' l"
l
h"
h
Fig.2.5 Reprezentarea dreptei de front, D [V]: a) în spaţiu, b) în epură
a
a'
x
O
[H]
D
a"[V]
[L]
z
y
B
b'
b
b"
d
d"
A
d'
a b
a
a'
x
a"
z
y
y1O
b
b"b'd'
d
d"
H = h
v = h'
h"
v"
h"
h
V = v'
v' v"
v = h'
Fig.2.6 Reprezentarea dreptei de profil, D [L]: a) în spaţiu, b) în epură
REPREZENTAREA DREPTEI
21
2.3.2 Dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecţie
a) Dreapta verticală este dreapta perpendiculară pe planul orizontal de proiecţie
(fig.2.7).
Proprietăţi: - toate punctele verticalei sunt egal depărtate de planul vertical şi de planul
lateral de proiecţie;
- proiecţia orizontală a verticalei, d, este un punct şi se confundă cu urma
orizontală, d h;
- proiecţiile verticală, d’ şi laterală, d”, ale verticalei sunt paralele cu axa Oz;
- dreapta verticală nu are urmă verticală şi laterală, doar urmă orizontală.
b) Dreapta de capăt este dreapta perpendiculară pe planul vertical de proiecţie
(fig.2.8).
Proprietăţi: - toate punctele dreptei de capăt au aceeaşi abscisă şi aceeaşi cotă;
- proiecţia verticală a dreptei de capăt, d’, este un punct şi se confundă cu urma
verticală, d’ v’;
- proiecţia orizontală a dreptei de capăt, d, este paralelă cu axa Oy;
- proiecţia laterală a dreptei de capăt, d”, este paralelă cu axa Oy1;
- dreapta de capăt nu are urmă orizontală şi laterală, doar urmă verticală.
z
a'
x
O[H]
D
a"
[V]
[L]
y
B
b'
d = a = b = h
b"
d"
A
d'
a b
a'
x
a"
z
y
y1O
b"b'
d' d"
h'
h"
h"
d = a = b = h
h'
Fig.2.7 Reprezentarea dreptei verticale, D [H]: a) în spaţiu, b) în epură
xO
[H]
D
a"[V]
[L]
y
B
d
b"
d"
A
a b
x
a"
z
y
y1
O
d"d' = a' = b' = v' v"
h"v
b
a
d' = a' = b' = v' b"v"
z
b
a
d
v
Fig.2.8 Reprezentarea dreptei de capăt, D [V]: a) în spaţiu, b) în epură
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
22
c) Dreapta fronto-orizontală este dreapta perpendiculară pe planul lateral de
proiecţie (fig.2.9).
Proprietăţi: - toate punctele fronto-orizontalei au aceeaşi depărtare şi aceeaşi cotă;
- proiecţia laterală a fronto-orizontalei, d”, este un punct identic cu urma
laterală, d” l” ;
- proiecţiile orizontală, d şi verticală, d’, ale fronto-orizontalei sunt paralele cu
linia de pământ, Ox;
- dreapta fronto-orizontală nu are urmă orizontală şi verticală, doar urmă
laterală.
2.4 Poziţiile relative a două drepte
a) Drepte paralele
Două drepte paralele
în spaţiu, AB MN
(fig.2.10, a), au în epură
proiecţiile de acelaşi nume
paralele între ele, ab mn şi
a’b’ m’n’ (fig.2.10, b).
Observaţie: Dacă
două drepte paraleleîntre ele
şi paralele cu unul din
planele de proiecţie sunt
date în epură numai prin
proiecţiile pe celelalte două
plane (unde apar paralele), pentru a verifica paralelismul lor, este obligatoriu să se verifice
dacă şi în cea de a treia proiecţie sunt paralele.
b) Drepte concurente
În spaţiu, două drepte sunt concurente când au un punct comun, punctul de
intersecţie al lor. În epură, condiţia ca două drepte să fie concurente este ca proiecţiile lor
de acelaşi nume să se intersecteze, iar punctele de intersecţie ale proiecţiilor (orizontale şi
verticale) să fie pe aceeaşi linie de ordine.
xO
[H]
D
[V][L]
y
B
d
d"= a"= b"= l"A
a b
x
z
y
y1
O
a' l'
ba
z
ba
dl
b'd'a' b'd' l'
l
d"= a"= b"= l"
Fig.2.9 Reprezentarea dreptei fronto-orizontale, D [L]: a) în spaţiu, b) în epură
xO
[H]
[V]
z
y
B
b'A
a b
x
z
y
O
a'
ba
b'
a'
ab
NM
m'n'
m
n
m'n'
nm
Fig.2.10 Reprezentarea dreptelor paralele:
a) în spaţiu: AB MN, b) în epură: ab mn, a’b’ m’n’
REPREZENTAREA DREPTEI
23
În figura 2.11, a,
AB MN = I, iar în epură
(fig.2.11, b), ab mn = i şi
a’b’ m’n’ = i’, proiecţiile
punctului de intersecţie i şi
i’ sunt pe aceeaşi linie de
ordine, ii’ Ox.
Două drepte se pot
intersecta în spaţiu sub un
unghi oarecare sau sub un
unghi drept. Dacă un unghi
oarecare are laturile parale-
le cu un plan de proiecţie,
unghiul se proiectează în
adevărată mărime pe planul respectiv.
Pentru unghiul drept este suficient ca numai una dintre laturile lui să fie paralelă cu
planul de proiecţie pentru ca acesta să se proiecteze în adevărată mărime pe acel plan –
teorema unghiului drept.
Rezultă că, în sistemul de proiecţie dublu ortogonal, unghiul drept se proiectează în
adevărată mărime pe unul din planele de proiecţie, atunci când una din laturile unghiului
este o orizontală (fig.2.12, a), o frontală (fig.2.12, b) sau o dreaptă de profil (fig.2.12, c).
Pe baza celor de mai sus se poate formula şi reciproca teoremei unghiului drept:
dacă proiecţia unui unghi este de 900, atunci unghiul proiectat este drept numai dacă cel
puţin una dintre laturile lui este paralelă cu acel plan de proiecţie.
c) Drepte disjuncte
Dreptele disjuncte sunt oricare drepte din spaţiu care nu sunt nici paralele, nici
concurente.
Acestea sunt necoplanare, după cum se observă şi în figura 2. 13, a, AB [Q] şi
MN [R]. Din reprezentarea lor în epură (fig.2.13, b) chiar dacă proiecţiile verticale se
intersectează, a’b’ m’n’ = i’1, acesta este doar un punct de concurenţă aparent, deoarece
ducând linia de ordine, în proiecţia orizontală îi corespund două proiecţii, pe fiecare
proiecţie orizontală a dreptei în parte, i1 ab şi i2 mn. Rezultă că dreptele sunt
neconcurente. De asemenea, ele nu sunt paralele, chiar dacă au proiecţiile orizontale
paralele, pentru că nu este verificată condiţia de paralelism în proiecţia verticală.
xO
[H]
[V]
z
y
b'
A
a b
x
z
y
O
a'
b
a
b'
a'
a
b
N
M
m'
n'
mn
m'
n'
n
m
B
I
i'
i
i'
i
Fig.2.11 Reprezentarea dreptelor concurente:
a) în spaţiu: AB MN = I, b) în epură
a
x
z
y
b
a'
O
b'
a
b c
c' e'
c
e
x
z
y
n
m'
O
n'
m
j'
i'
j i
x
z
ys
r'
O
s'
r
f'
g'
f
r"
s'f"
g"
g
AB CE MN IJRS FG
Fig.2.12 Teorema unghiului drept
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
24
Vizibilitatea în epură
Dintre două puncte care au pe unul din planele de proiecţie, orizontal vertical sau
lateral, proiecţiile suprapuse, este vizibil punctul care se află la distanţă mai mare de acel
plan, adică cel care are cota, depărtarea respectiv abscisa mai mare.
Astfel, în figura 2.13, a se observă că dreapta MN este situată în faţa dreptei AB.
Pentru a stabili acest lucru în epură (fig.2.13, b) se consideră punctul unde proiecţiile
verticale ale dreptelor se intersectează şi unde există două puncte suprapuse, i1’ ≡ i2’. Este
vizibil punctul care are depărtarea mai mare şi anume punctul I2, implicit dreapta MN.
În figura 2.14 dintre punctele A şi B este vizibil punctul B, în fiecare dintre cazuri.
2.5 Probleme rezolvate
1. Fie punctele A(25,14,17) şi B(10,10,5). Să se reprezinte în epură dreapta
D(d,d’,d”), definită de punctele A şi B. Să se determine urmele dreptei, diedrele pe care le
străbate dreapta şi punctele de intersecţie cu planele bisectoare.
Rezolvare: Pentru rezolvarea problemei se procedează astfel (fig.2.15):
- se reprezintă epura punctelor A(a,a’a”) şi B(b,b’,b”);
- se unesc proiecţiile de acelaşi nume ale punctelor şi se obţin proiecţiile d, d’ şi d”
ale dreptei D: a b = d, a’ b’ = d’, a” b” = d”;
- pentru determinarea urmei orizontale H(h,h’,h”) – punct de cotă nulă – se
intersectează proiecţia verticală d’ cu axa Ox, rezultând proiecţia verticală a urmei
orizontale h’, d’ Ox = h’; se duce linia de ordine din h’ până pe proiecţia orizontală d,
xO
[H]
z
y
B
b'
A
a b
x
z
y
O
a'
ba
b'
a'
a
b
N
M
m'
n'
m
n
m'
n'
nm
i1'= i2'
[V]
I1
I2
i1
i2
[R]
[Q]i1'= i2'
i1
i2
Fig.2.13 Reprezentarea dreptelor disjuncte AB MN = : a) în spaţiu, b) în epură
a
x
z
y
a'
O
b'
a = b
b
x
z
y
a O
b
a' = b'
c
x
z
y
a'
O
b' a"= b"
b a
Fig.2.14 Vizibilitatea în epură
REPREZENTAREA DREPTEI
25
unde se determină proiecţia orizontală h; la intersecţia dintre proiecţia laterală d” cu axa
Oy1 se determină proiecţia laterală h”, d” Oy1 = h”;
- pentru determinarea urmei verticale V(v,v’,v”) – punct de depărtare nulă – se
intersectează proiecţia orizontală d cu axa Ox, rezultând proiecţia orizontală a urmei
verticale v, d Ox = v; se duce linia de ordine din v până pe proiecţia verticală d’, unde se
determină proiecţia verticală v’; la intersecţia dintre proiecţia laterală d” cu axa Oy se
determină proiecţia laterală v”, d” Oy = v”;
- proiecţiile orizontală şi verticală ale urmei laterale se determină la intersecţia axei
Oy, respectiv Oz, cu proiecţia orizontală, respectiv verticală, a dreptei : d Oy = l, d’ Oz
= l’; proiecţia laterală a urmei laterale l” se află trasând o paralelă la axa Ox prin l’, până la
intersecţia cu proiecţia laterală d”;
- diedrele pe care le străbate
dreapta sunt determinate de urma
orizontală şi urma verticală: în stânga
urmei orizontale dreapta stăbate diedrul
DI, pentru că punctul A DI; între urma
orizontală şi cea verticală s-a considerat
punctul C(c,c’), c d, c’ d’, care are
cota negativă şi depărtarea pozitivă, deci
C DIV (TVIII) şi implicit şi dreapta
străbate diedrul DIV; în dreapta urmei
verticale dreapta stăbate diedrul DIII,
pentru că punctul care s-a luat pe
dreaptă, e d, e’ d’, aparţine
diedrului DIII, E DIII (TVII);
- dreapta intersectează semipla-
nele bisectoare [B1] şi [B2]:
- punctul de intersecţie I(i,i’) cu bisectorul [B1] se determină trasând prin
punctul h’ simetrica proiecţiei verticale d’, faţă de linia de pământ Ox; aceasta
intersectează proiecţia orizontală d în i; ducând linia de ordine prin i, la intersecţia cu
proiecţia verticală d’ se determină i’, punctul I, având cota şi depărtarea egale.
- punctul de intersecţie J(j,j’) cu bisectorul [B2] se determină la
intersecţia proiecţiilor orizontală şi verticală, d d’ = j ≡ j’, punct care are cota şi
depărtarea egale în modul.
2. Să se reprezinte în epură dreapta
D(d,d’,d”), definită de punctele A(15,20,10) şi
B(30,5,30). Să se determine pe dreaptă un punct
M, a cărui depărtare este 30mm şi un punct N a
cărui cotă este 20mm.
Rezolvare: Pentru determinarea epurei
dreptei se reprezintă punctele A(a,a’a”),
B(b,b’,b”) şi se unesc proiecţiile de acelaşi nume
ale punctelor, obţinându-se proiecţiile d, d’ şi d”
ale dreptei (fig.2.16).
Proiecţiile punctelor M(m,m’,m”) şi
N(n,n’,n”) trebuie să fie situate fiecare pe
proiecţia de acelaşi nume a dreptei. Pentru
aflarea lor se fixează pe Ox abscisa punctului M,
Omx = 30 şi pe Oz, cota punctului N, Onz = 20.
Prin punctul mx se trasează linia de ordine până
_x
z
y
d"d'
v
v'
h"
h l
Oh'
d
b"
a'
ab
b'
a"
y1
i'
i
j = j'
l' l"
=
=
_
DIIDI DIII
v"
Fig.2.15 Rezolvarea problemei 1
x
z
y
b"b'm"
a'n"n'
a"
b
a
Omx
d
y1
d' d"
m'
m
nz
n
Fig.2.16 Rezolvarea problemei 2
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
26
la intersecţia cu proiecţiile d şi d’, determinând proiecţiile m şi m’ ale punctului. Proiecţia
m” se găseşte pe paralela dusă prin m’ la Ox şi totodată pe proiecţia d”. Punctul
M(m,m’,m”) este astfel determinat. Pentru punctul N se găsesc mai întâi proiecţiile
verticală şi laterală, n’ şi n”, trasând paralela la Ox prin nz, până la intersecţia cu d’ şi d”,
iar apoi din n’ se coboară o linie de ordine până pe d, unde se determină şi proiecţia n.
3. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”),
definită de punctele A(22,3,14) şi B(22,10,5). Ce
informaţii oferă epura despre dreapta din spaţiu ?
Rezolvare: Din analiza coordonatelor punctelor
care determină dreapta se observă vă aceasta este o
dreaptă de profil, deci are urmă orizontală şi verticală.
Urmele dreptei nu se pot determina conform celor
arătate la o dreaptă oarecare. După trasarea epurei
dreptei D(d,d’,d”), se prelungeşte proiecţia d” până la
intersecţia cu axele Oz şi Oy1, obţinându-se proiecţiile
laterale ale urmelor verticală şi orizontală,
d” Oz = v”, d” Oy1 = h” şi apoi celelalte proiecţii
corespunzătoare (fig.2.17).
Din epura dreptei D se găsesc unghiurile pe care aceasta le face cu planele de
proiecţie, şi anume: (D, [V]) = (d”, Oz) = şi (D, [H]) = (d”, Oy1) = .
4. Să se traseze o dreaptă D1 în planul orizontal, înclinată la 300 faţă de planul
vertical, care întâlneşte axa Ox la 30 mm şi o dreaptă D2 în planul vertical, înclinată la 450
faţă de planul orizontal, care întâlneşte axa Ox la 35 mm.
Rezolvare: În figura 2.18, a s-a trasat din v’ (Ov’= 30) proiecţia orizontală d1 sub un
unghi de 300 faţă de axa Ox şi d1’≡ Ox, respectiv d1”≡ Oy1, dreapta fiind situată în planul
orizontal. De asemenea, pentru dreapta D2, care este o frontală din planul vertical, s-a trasat
proiecţia verticală d2’
sub un unghi de 450
faţă de axa Ox,
pornind din urma
orizontală h (Oh =
35) şi d2 ≡ Ox,
respectiv d2 ≡ Oz (fig
2.18, b).
5. Se dă
punctul A(18,13,4). Să
se stabilească coordo-
natele unui punct B,
astfel încât segmentul de dreaptă AB să fie paralel cu
planul vertical de proiecţie şi să facă un unghi de 300
cu acesta şi a unui punct C, astfel încât AC să fie
verticală.
Rezolvare: Se reprezintă în epură punctul
A(a,a’,a”), se trasează prin proiecţia orizontală a o
paralelă la axa Ox, d, prin proiecţia laterală a” o
paralelă la axa Oy, d” şi prin proiecţia verticală a’ o
dreaptă înclinată la 300, faţă de axa Ox (fig.2.19).
Acestea sunt proiecţiile dreptei D(d,d’,d”), o frontală
care conţine segmentul AB. Rezultă că pentru a
stabili coordonatele unui punct B este suficient să se
a
a'
x
a"
z
y
y1
O
b
b"b'
d'
d
d"
h"
h
v' v"
v = h'
Fig.2.17 Rezolvarea problemei 3
a b
x
z
y
y1O
d1'
D1=d1
d1"
h=h'
z
y
y1O
d2
D2=d2' d2"
300
v=v'
x
450
Fig.2.18 Rezolvarea problemei 4
a = c =
a'
x
a"
z
y
y1O
b
b"b'
d'
d
d"
' d" = "
300
c' c"
bx
cz
Fig.2.19 Rezolvarea problemei 5
REPREZENTAREA DREPTEI
27
ia abscisa punctului, de exemplu: Obx = 9mm, pentru ca
apoi să se determine proiecţiile b, b’ şi b”, astfel încât
acestea să aparţină proiecţiilor dreptei D; rezultă
B(9,13,9).
Prin punctul A(a,a’,a”) se trasează verticala
∆(,’,”), astfel încât a = , ’ Ox, a’ ’ şi
” Oy1, a” ”. Punctul C ∆ are abscisa şi
depărtarea punctului A, iar pentru cotă se consideră
Ocz = 15, C(18,13,15).
6. Prin punctul M(18,7,14) să se traseze
proiecţiile unei drepte orizontale D(d,d’,d”) şi ale unei
drepte verticale ∆(,’,”).
Rezolvare: Se reprezintă epura punctului M; prin
proiecţia verticală m’ se trasează o paralelă la axa Ox, d,
care se prelungeşte şi prin proiecţia laterală, aceasta
reprezentând d”. Problema are o infinitate de soluţii,
deoarece printr-un punct se pot trasa o infinitate de
orizontale. Se consideră o orizontală care să facă 450 cu
planul vertical, deci proiecţia orizontală d se trasează
prin m, înclinată la 450 faţă de axa Ox (fig.2.20).
Verticala ∆(,’,”) se trasează prin punctul
M(m,m’,m”), astfel: m = , ’ Ox, m’ ’ şi
” Oy1, m” ”.
7. Fie dreapta D(d,d’,d”) definită de punctele
A(21,4,8) şi B(8,8,5). Prin punctul N(18,7,20) să se
ducă o paralelă D1 la D, o dreaptă concurentă D2 cu D
şi o dreaptă disjunctă D3.
Rezolvare: Proiecţiile dreptei D1 sunt paralele cu
proiecţiile de acelaşi nume ale dreptei D, d1 d, d1’ d’
şi se trasează prin proiecţiile punctului N, n d, n’ d’.
Dreapta D2, concurentă cu dreapta D, este
definită de punctul N şi de punctul A, a n = d2,
a’ n’ = d2’. Astfel se asigură condiţia ca punctul de
concurenţă să aparţină ambelor drepte.
Dreapta disjunctă D3, este dată de proiecţiile d3
şi d3’, trasate prin n, respectiv n’, care după cum se
observă în figura 2.21, sunt concurente în f şi e’,
proiecţii care nu aparţin aceluiaşi punct al dreptei D,
nefiind situate pe aceeaşi linie de ordine.
8. Se dă frontala AB, A(12,10,16), B(4,10,2) şi
punctul exterior ei, M(20,4,4). Să se traseze în epură
prin M, o dreaptă D perpendiculară pe AB.
Rezolvare: Unghiul drept se proiectează în
adevărată mărime în proiecţia pe planul vertical. Prin
m’ se trasează o perpendiculară d’ pe a’b’ şi se
determină punctul de intersecţie I(i,i’). Unind m cu i se
obţine proiecţia d a dreptei D (fig.2.22).
9. Să se precizeze poziţia relativă a dreptelor
D1, D2, D3 din figura 2.23 şi să se întrerupă proiecţiile
celor invizibile în punctele de concurenţă aparentă.
m =
m'
x
m"
z
y
y1
O
d'
d
d"' "
450
Fig.2.20 Rezolvarea problemei 6
x
z
y
Ob'a'
a b
n'
n
d'
d
d1'
d2
d2'
d1
d3'
d3
e'
f
Fig.2.21 Rezolvarea problemei 7
x
z
y
O
i1'= i2'
i1
i2d1
d3'j1'= j3'd2'
d3
d1'
d2
j2'
j2= j3
j1i3
i3'
Fig.2.23 Rezolvarea problemei 9
x
yb
m'
O
b'
m
a'
i'
a i
zd'
d
Fig.2.22 Rezolvarea problemei 8
REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI
28
Rezolvare: Studiind punctele de concurenţă aparentă I1, I2, J1, J2 şi J3 se constată că
dreptele sunt disjuncte. În proiecţia verticală sunt vizibile punctele I2 faţă de I1 şi J1 faţă de
J3, deci se reprezintă întrerupte proiecţiile d1’ şi d3’. În proiecţia orizontală sunt vizibile
punctul J2 faţă de J3, deci se reprezintă întreruptă proiecţia d3 (fig.2.23).
2.6 Probleme propuse
1. Fie punctele A şi B. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”), definită de
punctele A şi B. Să se determine urmele dreptei, diedrele pe care le străbate dreapta şi
punctele de intersecţie cu planele bisectoare.
a) A(40,10,15) şi B(15,15,10)
b) A(90,30,10) şi B(10,10,60)
c) A(30,-20,10) şi B(10,20,-30)
d) A(10,-20,-30) şi B(30,20,-10)
e) A(15,25,25) şi B(40,10,15)
2. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”), dată de M şi N. Să se găsească
urmele dreptei, diedrele pe care le străbate şi punctele de intersecţie cu planele bisectoare.
a) M(26,17,13) şi N(74,7,40)
b) M(50,10,40) şi N(20,30,10)
c) M(70,40,50) şi N(10,10,15)
d) M(65,35,15) şi N(25,10,50)
e) M(-40,30,20) şi N(30,-20,46)
3. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”) : A(6,30,30) şi B(10,-20,). Să se
determine pe dreaptă un punct M, a cărui depărtare este -10mm şi un punct N a cărui cotă
este 20mm.
4. Să se determine proiecţiile punctului A, de cotă -20mm şi a punctului B, de
depărtare 10mm, ştiind că aparţin dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele E(30,40,10) şi
F(-30,10,60).
5. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele A(-10,20,15) şi
B(10,10,15). Ce particularităţi are dreapta din spaţiu ?
6. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele A(50,30,10) şi
B(30,30,-10). Ce informaţii oferă epura despre dreapta din spaţiu ?
7. Se dă punctul A(30,20,50). Să se stabilească coordonatele unui punct B, astfel
încât segmentul de dreaptă AB să fie paralel cu planul orizontal de proiecţie şi să facă un
unghi de 450 cu acesta şi a unui punct C, aşa încât AC să definească o dreaptă de capăt.
8. Prin punctul M(10,30,15) să se traseze proiecţiile unei drepte frontale D(d,d’,d”)
şi a unei drepte verticale ∆(,’,”).
9. Prin punctul N(25,15,30) să se traseze proiecţiile unei drepte de profil D(d,d’,d”),
care face 300 cu planul vertical şi a unei drepte fronto-orizontale ∆(,’,”).
10. Fie punctul A(20,20,50). Să se traseze prin A o dreaptă orizontală, ştiind că
aceasta întâlneşte semiplanul bisector [B1] la o distanţă de 60mm de planul lateral.
11. Fie dreapta D(d,d’,d”) definită de punctele A(10,30,15) şi B(60,10,5). Prin
punctul N(45,50,40) să se ducă o paralelă D1 la D, o dreaptă concurentă D2 cu D şi o
dreaptă disjunctă D3.
12. Prin punctul C(30,20,40) să se traseze o perpendiculară pe o orizontală D, aflată
la 50mm de planul orizontal, ştiind că face cu planul vertical un unghi de 450.
13. Să se ducă în epură prin punctul M(10,-20,30) o verticală şi o fronto-orizontală.
14. Prin punctul A(20,0,40) să se ducă o frontală care face 600 cu planul orizontal.
15. Să se construiască epura unui triunghi isoscel ABC, ştiind că baza AB este
paralelă cu planul orizontal de proiecţie: A(50,10,20), B(20, 40, 20).