Ion TUDOR

lnotetnoticdalgebr6, geometrie

. ModolitEti de lucru diferenJiote. Pregdtire suplimentord prin plonuri individuolizot-e

ColeE do lucruSemestu! I

Editura Paraleh 15

TEsrE DE EVALUARE rxrlur-A ..............

ALGEBR,fCaprror-ur, I. NUMERE RATToNATE

Lec{ia 1. Multimea numerelor ratrionale. Reprezentarea mrmerelor rafionale pe axanumerelor. Opusul unui numdr ralional. Modulul unui numdr ra{ional....................8

Lec[ia2. Comparareanumerelorra]ionale........... .......................12Evaluqre sumativd* Autoevaluare ................. .........15Lec\ia3. Adunareanumerelorralionale. Proprietilile adundrii............................................16Lec[ia 4. Sclderea numerelor rationale ..................19Leclia 5. inmultirea numerelor ra{ionale. Proprietifile inmutlirii ....................22Lectia 6. Puterea cu exponent natural a unui numlr rational ...........................25Lec\ia7 . impdrtirea numerelor rafionale....... .........28Leclia 8. Ordinea efectulrii opera{iilor ..................31Evaluare sumativd* Autoevaluare ................. .........34Lec\ia9. Ecua{ii cu coeficien{i numere ra}ionale ........................36Leclia 10. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua!iilor...... ...........................39Evaluare sumativd* Autoevaluare ............".... .........41Fi;d pentru portofoliul elevulai........ ........................43

CIpTToT,UI II. NUMERE REALELec{ia I l. Rdddcina pdtratd a unui numlr natural pdtrat perfect. Rddlcina pdtrati

a unui numdr ratrional pozitiv scris sub formi de fraciie ordinari ...-...45Lec[ia 12. Extragerea rldlcinii pltrate dintr-un numlr natural pdtrat perfect.........................48Leclia 13. Numere ira{ionale. Multimea numerelor reale ............... ....,..............51Lec\ia 14. Valoarea absolutl a unui numdr real .............. ..............53Leclia 15. Axa numerelor reale. Aproximdri. Rotunjiri ................55Lectia 16. Scoaterea factorilor de sub radical. Inhoducerea factorilor sub radical....................57Evaluare sumativdx Autoevaluare ..........................59

Leclia lT.Adunarea qi sclderea numerelor reale de forma ali ; a, b e Q, b > 0..................61

Leclia 18. inmul{irea numerelor reale de farma ali ; a, b e Q, b > 0...................................63

Lectia 1 9. Puterea cu exponent natural a numerelor reale de torma ali ; a, b e Q, 6 > 0 ....66

Lec\ra20.1mp64irea numerelor reale de forma al$ ; a, b e Q, 6 > 0...................................69

Lec\ia2l. Rationatizarea numitorilor de forma oJb ; o,D e Q , a *0, b > 0. Ordinea

efectulrii operatiilor.... .......72Lec[ia22. Media aritmeticl qi media geometricd a doul numere reale po2itive.....................75Evaluare sumativd* Autoevaluare ...,".....................77FiSd pentru portofoliul e1qru1ui........ ........................79Aplicdm ce am fnvdtrar................... ...........................80

GEOMETRIEC,Aprrolul, I. Plrnur,lrrnur,

Leclial. Patrulaterul convex......... ...........................81Lec[ia2. Paralelogramul................... .......................83Lec{ia 3. Dreptunghiul ........................86Leclia 4. Rombul........ .........................88Leclia 5. P6tratul ............90Evaluare sumativd* Autoevaluare ...............-. .........93Lecfia 6. Trapezul. Trapezul isoscel.......... ...............94LecliaT. Linia mijlocie in kiunghi. ..........................97Lecjia 8. Linia mijlocie a trape2u1ui.................... ..........................99Lecfia 9. Aria triunghiului.............. ........................102Lecfia 10. Aria patrulaterului ........... ......................104

Eyaluare sumativd* Autoevaluare ........................107FiSd pentru portofoliul elevului ........108Aplicdm ce am invd1at.................... .......-................110

Ca,prrorr,r II. AspurAN.q.REA TRTUNGHIURTLoRLeclia I l. Raportul a doul segmente. Segmente propor[ionale .......................1l lLec[ia 12. Centrul de greutate al triunghiu1ui.................... ..........113Lectia 13. Teorema lui Thales..... ...... 1 15

Leclta 14. Reciproca teoremei lui Thales ..... .......... I 18

Evaluore sumativd* Autoevaluare ........................120Lecfia 15. Triunghiuri asemenea..... .......................122Lecfia 16. Teorema fundamentalI a aseminlrii. .........................124Leclta 17 . Criterii de asemdnare a triunghiurilor.................. .......127Evaluare sumativd* Autoevaluare................. .......130FiSd pentru portofoliul elevului ........132Aplicdm ce am invd|a1.................... ........................133

Moorr.B or rEzE pENTRU SEMESTRUL I .................. ...................135

INnrcalrr $r RAspriNsrJRr ....................137

ALGEBRA

oI

F{l-{

oovto\))Ei.9+ctEq)+,o

=t

Capitolul INunnnnE RATToNALE

Competenfe specifice:

O ldentificarea caractedsthihr nwreretor ralionale gi a formelor de scriere a acestora in contextevariateO Aplicarea regulilor de calcrd cu numere rafionale, a estimirilor 9i a aproximirilor pentrurezolvarea unor ecuatiiO utilizarea propriefliloroperaliilorin efectuarea calculelor cu numere ralionaleO Garacterizarea muffiihr de numere 9i a retaliilor dintre acestea, utilizdnd limbajul logiciimatematice gi teoda muffiitorO Determinarea regulilor efcbnh de calcul in efectuarea operaliilor cu numere ralionaleO lnterpretarca rn#nilicl a unor probleme practice prin utilizarea operaliilor cu numererationale gi a ordlr$ eftcfir*ii operatiilor

Lecfia 1. Mu$imea numerelor rafionale. Reprezentareanumerelor rafionale pe a-a numerelor. Opusul unuinumer rafional. Modulul unui num5r rafional

) Ce trebuie sE gtim

Definifie: orice pereche de numere nafurale (a, b), a + o, b + o, scrisd sub forma Ib

este un numlr rafional pozitiv.

orice fracfie echivalentr cu fractia 1 reprezina acelagi numrr ra{ional pozitiv.b'Mu[imea numerelor rafionale pozitive se noteazl cu e*.

Defini(ie: oace i(a e N*, b e N-) este un numir rafional pozitiv,numdrul -.1 il lro-b

numi numtrr rafional negativ.Mu[imea numerelor rafionale negative se noteazI cu Q_.

Reuniunea mullimilor Q_, {0} gi Q* se numegte mulfimea numerelor rafionale gi se

noteazd,cu Q. ln concluzie: Q : A- u {0} u Q*. Aqadar:

Definifie: o pereche de numere intregi (a, b), b + 0, scrisl sub forma 9 se numegte

numlr rafional.

Observafii:. intre mullimile N, Z gi Q au loc incluziunile: N c Z c e.

o Orice num[r ra{ional poate fi reprezentat printr-o frac(ie ordinarl sau printr-ofrac{ie zecimald finit[ sau infinitd periodic[ (simpl[ sau mixt[).Axa numerelor este o dreaptl pe care am fixat un punct O, numit origine, un senspozitiv (de la origine spre dreapta), un sens negativ (de la origine spre st6nga) gi ounitate de misuri.

O A(o) +a

Oric[rui numir rafional a ii corespunde pe axa numerelor un punct A, notat w A(a),caxe se numeste imaginea num6ru1ui a. Numirul ralional a se numegte abscisa punctu-hiA.Definifie: Doud numere ra{ionale se numesc opuse dac[ sunt abscisele a dou[ punctedistincte de pe axa numerelor, egal deplrtate de origine.Observafie: Opusul lui 0 este 0.

4433Exemple: opusul numdrului - este - 5

; opusul num6rului -l este a.

Definifie: Distanfa, misurati pe axa numerelor, intre origine gi punctul a c[rui abscisleste num[rul rational x se numegte modulul lui r gi se noteaz[ lxl.

AOlxl: oA

Exemple:lsl 8l21 2I l- . I l-

Itl-r' i-1rl- r1

Proprietlfile modulului1. lrl > 0, oricare ar fi r e Q.

3. lxl : l-rl, oricare ar fi xe Q .

9timPropozi{ia

2.lxl:0, dac[ qi numai daclx: 0.

[-r- daci -r > 04. lxl= {Ir

l-x,dac6x<0

sd rdspundem?

,,Pe axa numerelor, dou[ fracfii echivalente au aceeaqi imagine." este

O in1"l"g.r."+ Identificore (56 rezolvdm ?mpreun6)

1. Transformali in frac{ii ordinare ireductibile urm[toarele frac{ii zecimale:c) 2,8(3).

oI

l{l.{

oovtc,6

rei(,+oEo,,Fo

=

a) 1,2;Solulie:

a)1.2:nQ -a '10 5

b) 4,(6);

b) 4,(6) : o*" =01=T,

c)2.8(3)- 283-8 =r75(ts =21=17909066

2. Se considerl num5rul rational *: 19 .'6

a) Reprezentafi pe axa numerelor opusul numirului ra{ional.rUj n"pr"r"rrt ii p. u"u numerelor modulul num[rului rafional x.c) Reprezentati sub forml de fractie zecimallnum[ru] rafional.r.

Solulie:19 19

a) Opusul numdrului : este -7; ,l?-l =+B+ol96

19

6

c) Dup[ efectuarea imp6rfirii 19 : 6, reniltd, "U +

:3,1(6).

g Fixore ,* insusireo cunostinlelor

1. se considera mullim "u

e :{!,-1,1,- !.,-?,19}. o"r..-inafi elementele' 12' s'6' il' 8'4s)mullimilor:

a) E : {x e Al x este fracfie pozitiv[] ; b) F : {x e A I x este frac{ie negativl].

2. Stabiliti valoarea de adev[r a urm6toarelor propozilii. Opusul numirului ra{ional:

a) lf este 2

......; b) -Z este f ......, c) 1 este -1 ...... 8 s'z 13 g g 6 6 ; d)-este-g

3. Scrie{i opusele urm[toarelor numere ra{ionale:

^)i ..;o); .....;.)-: o)-1

4. Scrieli sub formd zecimaldurmdtoarele frac(ii ordinare:

. 8132l-:'10

.53el-:'100c,I

l-ll{

C'octo6

,ci.g.l-oEa)+o€

2th)_:' 1000

o#: ;

5. Trruformali urm6toarele fraclii ordinare in fracfii zecimale:

. lll _ s07 209 -. 8031

")tO:"""""""; t) td:"""""""'; g) rd:""""""""; h) loF

=

6. Transformali urmiroarele frac{ii ordinare in fracfii zecimale:,t' b,+; ,)1; o*; .)#; ,?' ,) +o n) *f10

7. Scrieli sub forml zecimaldurm[toarele fracfii ordinare:

,f, or?, "r+; a)T; ")3; off; etfi:8. Scrie{i sub form[ de frac(ii ordinare ireductibile:

n', z'30

9. Scrieli sub forml de fractii ordinare ireductibile:

a) 6,5;e) 1,1251;

a) 0,1(3);e) 14,8(3);

a) 17,(2);e) 802,(107);

b)0,24;f) 0,016;

b) 0,1(6);

I t,02(7);

b) 40,(5);f) 300,2(58);

c) 17,5;

g) 0,0048;

c) 7,(3);g) 1,(03);

c) t,2(6);g) 0,24(54);

c) l,(24);g) 10,1(203);

d) 5,04;h) 0,0375.

d) 5,(6);h) 2,(54).

d) 2,2(3);h) 0,2(387).

d) 5,(75);h) r,73(42s).

a) 0,(3); b) 0,(6);e) 4,(18); 0 0,(36);

@ Aflicore * Exersore

10. Scriefi sub forml de frac{ii ordinare ireductibile:

11. Reprezentafi pe axa numerelor urmdtoarele numere ralionale:

.1 3 7 il -.5 7 2516u) ,'-r' 4'-T; b) a'-e'- 6'T;. ll 9 t3 t7 -. 5 16 n 9ar __ d) _. __.v' 6' 2'3'6' -'s' 5'lo' z'

12. Stabiliti valoarea de adev[r a propozi{iilor:,l*l=* ; ', |-il=-l ;., 1+l=| ,

,Ffl=l ',l#l =X ;,|jl=-i13. Determina{i valoarea absolutl a urmitoarelor numere ra(ionale:

,I, ur -i' , -i' o, tr' t -3, et -ff;34

14. Calculali:

, |_,1l.Fil

, Pil-l-il,

h) 81

'98

;H1;[g,1,;l.l+1,

1 5 . Determina(i a 7 5-a zecimal[ a urm[toarelor numere rafionale:

oIH

FI

oovtoo

lO.(J{.oEq)

c,

=

@! Dezvoltore (Putem moi mult)

16. Determina{i num[ru] natural ob , o *0, care indeplinegte condilia: 4 =rO,W .a

17. Determina(i cifrele nenule a, b Sic pentru "ur"

g =13,a(b).

I

Leefia 2. Compararea numerelor rafionale

@ Ce trebuie si 5timNumirul rational a este mai mic decdt numilrul rafional D dacl punctul A(a) estesituat pe axa numerelor in stlinga punctului A(D). Notnm a < b sau b > a.Observafii:

1. Oricare dou[ numere ra{ionale a gi D pot fi comparate, adici ele se glsesc in unadin situaliile a> b san a : b salu a < b.2. Oice num[r rafional negativ este mai mic decdt 0 gi orice numlr ra{ional pozitiveste mai mare decdt 0.3. Pentru a compara doul numere ra(ionale pozitive sau negative reprezentate defracfii ordinare este utiH aducerea fracfiilor respective la acelaqi numitor comun sau laacelagi numlrdtor comun.4. Pentru a compara dou[ numere ra{ionale pozitive sau negative reprezentate defractii zecimale se compar[ mai intdi p[{ile lor intregi gi dacl acestea sunt egale,se compar[ pe4ile lor zecimale cifrd cu cifr6 incepdnd din partea stdng6.

@ gtim sd r6spundem?

Propozilia ,,Dintre doul numere ra{ionale negative, este mai mare cel care are va-loarea absolut[ mai mic[." este ...........

oI

l-lH

oovtooxi.lJ{-oEo)+o=t2

O inlelegere * Identificore (5d rezolvdm ?mpreunA)

1. Compara(i fracfiile:

' 7 '8 bl2.iZ.a)-i $,7; 4,3,Solufie:

a) Deoarece -7 . ori !, 0. rezulti "a -L. L'6767

b) Deoarece 3, o, 1, o ui 9-3 < 4.7,renilta"e Z.l- .4 -1 4 3

c) Deoarece - 6 . 0. -

q . 0 si 6 . 9 < 7 . 8- rezulti "a -9, - I'7979

6c)-l .8sl --,9

2. Scrie(i in ordine crescltoare frac(iile:

b) 1,7(3); l,(73); 1,73;. l1 7 32

u) T'r' q ;236

c) -J' -i, - 7.Solulie:

a) Aducem frac{iile la acelagi numitor comun: t'+=

,gr,

t':=#, " +=#

observim "a

9.9 66

1g lg. 1g , prinurmare fractiile se scriuin ordine crescitoare astfel:

7 32 11

2' g' 3'b) Deoarece 1,7(3) : 1,733...; l,(73) : 1,737...; 1,73 : 1,730, renl/ltl cd 1,73 <

< 1,7(3) < l,(73);

'\2 6 ')3 6 D6 6c) Aducem frac[iile la acelaqi numir[tor comun: ;= -;, -; = -;, i = -l .

Observlm cd -2. -!. -9, prin unnare frac{iile se scriu in ordine crescdtoare7 9 l0'^astfet: -9. -2. -17' 3' s

g Fixare * insusireo cunottinfelor

I . Stabit4l valoarea de adev[r a urm[toarelor propozilii:16t2131195

u) Tr; ............; b) ? 7 ............; ") -s. s

............'

"t 1. 3

............' o ar t ............, nl 9.-6 ...........,'t4 10 '17 lt -'7 5

2. Dintre semnele ,,{" $i ,,}" scrieti-l in caseti pe cel corespunzltor:

,+z*, b)+.+, ,]tr;, ,;tr;,.)-+tr:, rtJJ-f,, ,+tr+' D-:tr-;

3. Dintre semnele ,,(" $i ,,)" scrieti-l in caseti pe cel corespunzitor:

,;E;,13 r-- 13e) qJ-T;

ol -1, -?'77

h) -2>-2'8 4

,ili,,:tr;' ,:tr;'D -#J#; s)-#n-*' h)-#tr-i;

oI

l-{H

C'ovtc'Glci(,IoEq,+-E'

=13

4. Ointre semnele ,,(" $i ,,)" scrieti-l in caset[ pe cel corespunzltor:

,;tr:,o -+n-f,'

, itr;,21.-- 35

e) -TL__l-T'

, *tr;'fl _ 33 v_2s' 10' ' 6