diplomarbeit nicoletti 2005

Entwicklung einer durch Piezoaktoren angetriebenen Mechanik für die Micoroscan-

Vorrichtung eines Telecine - Filmscanners

Diplomarbeit

von

Nicoletti, Michele Geb. am 25.10.1974

Fachhochschule München

Fachbereich 06 Feinwerk- und Mikrotechnik

Studiengang Feinwerk- und Mikrotechnik

Studienrichtung Medizintechnik

Referent: Prof. Dr.-Ing. O. Wallrapp

Koreferent: Prof. Dr. A. Fuchsberger

Externer Betreuer Michael Cieslinski

bei Arnold und Richter Cine Technik Türkenstraße 89 80799 München

Tag der Einreichung: 15.03.2005

München 2005

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Erklärungen des Diplomanden:

Nicoletti Michele Name Vorname 1) Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbständig

verfasst und noch nicht anderweitig zu Prüfungszwecken vorgelegt habe.

Sämtliche benutzte Quellen und Hilfsmittel sind angegeben, wörtliche und sinngemäße Zitate sind als solche gekennzeichnet.

München, 15.03.05 Ort, Datum Unterschrift 2) Ich erkläre mein Einverständnis, dass die von mir erstellte

Diplomarbeit in die Bibliothek der Fachhochschule München eingestellt wird. Ich wurde darauf hingewiesen, dass die Fachhochschule in keiner Weise für die missbräuchliche Verwendung von Inhalten durch Dritte infolge der Lektüre der Arbeit haftet. Insbesondere ist mir bewusst, dass ich für die Anmeldung von Patenten, Warenzeichen oder Geschmacksmuster selbst verantwortlich bin und daraus resultierende Ansprüche selbst verfolgen muss.

München, 15.03.05 Ort, Datum Unterschrift

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Bibliographische Beschreibung Entwicklung einer durch Piezoaktoren angetriebenen Mechanik für die Micoroscan-Vorrichtung eines Telecine Filmscanner Michele, Nicoletti –178 S., 88 Bilder, 23 Tabellen, 38 Lit. Fachhochschule München Fachbereich 06 Feinwerk & Mikrosystemtechnik Diplomarbeit 2005 Stichworte - Bildsensoren - Compliant Mechanisms - Federgelenke - FEM Analyse - Flexure joints - Mechanischer Anti Alias - Microscan

- Mikromechanik - Modelbildung - Optimierung - Piezoaktoren - Simulation - Schwingungsmoden

Abstrakt Die vorliegende Arbeit beinhaltet die Entwicklung eines durch Piezowandler angetriebenen Mechanismus zur Positionierung eines Bildsensors. Die Positionierung soll im Mikrometerbereich erfolgen und zur Erzeugung zusätzlicher virtuellen Pixel dienen. Dieser Vorgang nennt man in der Fachsprache „Microscannen“ und findet seine Anwendung in einem telecine Filmscanner der Firma „ARRI“. Der Mechanismus besitzt neben der Eigenschaft, den Sensor zu führen, auch die Möglichkeit, den vom Piezowandler erzeugten Hub durch eine Übersetzung zu vergrößern. Das Design der Mechanik orientiert sich an zweidimensionalen X-Y-Positioniereinheiten, bestehend aus Federgelenken (Flexure joints) und Federführungen. Bei der Übersetzung wird das Prinzip des Hebelarms angewandt, wobei die Gesamtübersetzung auf zwei Stufen verteilt wird. Diese Arbeit setzt den Schwerpunkt im Wesentlichen auf das Design der mechanischen Komponenten. Dabei kommen analytische Methoden, Ersatzmodellen und die Finite-Elemente-Methode zum Einsatz. Im ersten Teil der Arbeit wird auf das Entwerfen, Modellieren, Auslegen und Simulieren so genannter „Compliance“ Mechanismen (elastische Mechaniken) eingegangen. Es wird ein methodisches Vorgehen beim Entwickeln elastischer Mechanismen vorgestellt und am Beispiel der Positioniermechanik durchgeführt. Ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist die Anwendung methodischer Designstrategien in der Praxis beim Entwerfen elastischer und teilelastischer Mechanismen. Darüber hinaus wird gezeigt, wie durch mikromechanischen Maßnahmen Einfluss auf signaltechnische Größen der Bildverarbeitung genommen werden kann.

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Development of a piezo-actuator driven micro scan mechanism of a telecine film scanner. Abstract: The study displays the development of a piezo-actuator powered mechanism for the alignment of a picture sensor. The adjustment should take place in the micrometer range and aid with the generation of additional virtual pixels improving resolution of the digitised image. The process in the jargon is called micro scanning and has its use in telecines film scanners developed by the company ARRI GmbH, Munich. The mechanism, besides having the ability to position the sensor, also has the possibility to enlarge the range produced by the piezo-actuator through a transmission process. The design of the mechanism is based on a two dimensional x-y positioning axis, consisting of flexure joints and flexure controls. In the conversion process the principle of the lever is used to position the overall range which is split into two-grade. This study is centred on the design of the mechanical component, hereby analytical methods, analogous models and the finite-element-method are used. The first part of the study focuses on the designing, modelling, outlay and simulation of so called compliance mechanisms. A methodical approach is used to develop elastic mechanisms that can be visualised through the positioning mechanism. A main part of the study is the application of a methodical design strategy in practice, that can aid in the development of elastic and partly-elastic joints and mechanisms. Furthermore the study shows how one can influence the signal size of the picture processing mechanism through micro mechanical processes.

Inhaltsverzeichnis

7

Inhaltsverzeichnis

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS........................................................................................... 9

VORWORT ............................................................................................................................. 10

1. EINLEITUNG.................................................................................................................... 11

1.1 MOTIVATION................................................................................................................... 11 1.2 ZIELSETZUNG UND GLIEDERUNG DER ARBEIT................................................................. 12 1.3 KONTEXT DER ARBEIT .................................................................................................... 13 1.4 DIGITALE BILDVERARBEITUNG ....................................................................................... 15

1.4.1 Bildsensoren ........................................................................................................... 15 1.4.2 Microscannen ......................................................................................................... 17

1.5 STARRE UND ELASTISCHE MECHANISMEN....................................................................... 19 1.5.1 Klassifizierung........................................................................................................ 19 1.5.2 Elastizitätstheorie.................................................................................................... 20 1.5.3 Die Biegung............................................................................................................ 23 1.5.4 Die Feder ................................................................................................................ 25

1.6 AKTORIK ......................................................................................................................... 28 1.6.1 Piezoaktoren ........................................................................................................... 29

2. DESIGNSTRATEGIE ...................................................................................................... 35

2.1 ENTWURFSPROZESS......................................................................................................... 35 2.2 DESIGNSTRATEGIE NACH SALOMON................................................................................ 36

3. DESIGN-SPEZIFIKATION............................................................................................. 39

3.1 ERMITTLUNG DER ALLGEMEINEN GRUNDANFORDERUNGEN ........................................... 39 3.1.1 Ermittlung der Bildsensorversetzung ..................................................................... 39 3.1.2 Registrierung und Kalibrierung .............................................................................. 41

3.2 ERMITTLUNG DES DYNAMIKBEREICHES .......................................................................... 42 3.3 ERMITTLUNG DER TECHNOLOGISCHEN GRUNDVORAUSSETZUNGEN................................ 43

3.3.1 Piezo- Wandler ....................................................................................................... 43 3.3.2 Federwerkstoff........................................................................................................ 48

3.4 SPEZIFIKATIONSPARAMETER ........................................................................................... 51

4. GETRIEBETOPOLOGIE................................................................................................ 53

4.1 ANORDNUNG DER AKTOREN ........................................................................................... 53 4.2 FÜHRUNGSPRINZIPIEN ..................................................................................................... 55 4.3 ÜBERTRAGUNGSPRINZIPIEN ............................................................................................ 57 4.4 TOPOLOGIESYNTHESE ..................................................................................................... 58 4.5 ANALYSE DER KINEMATIK .............................................................................................. 60

5. PSEUDO-RIGID-BODY-MECHANISMS ..................................................................... 71

5.1 ELASTISCHE GELENKE .................................................................................................... 71 5.2 KINETOSTATISCHE ANALYSE .......................................................................................... 74

Inhaltsverzeichnis

8

5.3 FOLGEN FÜR DAS MECHANIKDESIGN ............................................................................... 79

6. FERTIGUNG ..................................................................................................................... 89

6.1 FUNKENEROSIONSVERFAHREN EDM............................................................................... 89 6.2 AUSWIRKUNG DES ERODIEREN AUF DIE MECHANISCHEN EIGENSCHAFTEN...................... 91 6.3 KONSTRUKTIVE MAßNAHMEN ......................................................................................... 93

7. KONSTRUKTIVE UMSETZUNG .................................................................................. 95

7.1 AUSWAHL UND ZUWEISUNG DER GELENKE ..................................................................... 96 7.2 DIE RÜCKSTELLFEDER..................................................................................................... 97 7.3 DIE FERTIGUNGSUNTERLAGEN ........................................................................................ 98

8. FEM-ANALYSE ................................................................................................................ 99

8.1 VERFORMUNGS- UND SPANNUNGSANALYSE.................................................................. 100 8.2 STRUKTURDYNAMISCHE ANALYSE................................................................................ 102 8.3 ERMITTLUNG DER MECHANIKKENNLINIE ...................................................................... 106

9. MESSUNG DER EIGENMODEN ................................................................................. 109

9.1 DIE LASERVIBROMETRIE ............................................................................................... 109 9.2 MESSUNG ZUR ANPASSUNG DER FEM-MODELLE.......................................................... 111 9.3 DIE KONTROLLMESSUNG............................................................................................... 114

10. ZUSAMMENFASSUNG, DISKUSSION UND AUSBLICKE .................................. 117

10.1 ZUSAMMENFASSUNG ................................................................................................... 117 10.2 DISKUSSION................................................................................................................. 118 10.3 AUSBLICKE .................................................................................................................. 121

ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................... 117

TABELLENVERZEICHNIS.............................................................................................. 126

LITERATURVERZEICHNIS............................................................................................ 127

ANHANG A: DEFINITIONEN.......................................................................................... 131

ANHANG B: ERGÄNZUNGEN ........................................................................................ 134

ANHANG C: PIEZO DATENBLATT............................................................................... 137

ANHANG D: DATENBLÄTTER MARAGING STAHL................................................ 145

ANHANG E: MAPLE-BERECHNUNGEN...................................................................... 151

ANHANG F: TECHNISCHE ZEICHNUNGEN & MONTAGEANLEITUNG............ 169

Abkürzungsverzeichnis

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Abkürzungsverzeichnis Zeichen Bedeutung SI Einheit A Fläche m² d() Gewöhnliches Differenziationssymbol -

()∂ Partielles Differenziationssymbol - det() Determinante einer Matrix od. Vektors - di,j Piezomodul m/V E Elastizitäts-Modul Gpa F Kraft N FEM Finite Elemente Methode - Fps Frame pro second s 1/s FFT Fast Fourie Transformiert - g Anzahl der Gelenke - Hr Relative Feuchte % I Flächenträgheit m3

k Federkonstante (Federrate) N/m (N/rad) Lp Linienpaare - M Moment Nm MKA Mehrkörpersystem MTF Modular-Transfer-Funktion Lp/mm MTTFr Lebensdauer Stunden PRB Pseudo Rigid Body - r Radius m r Ortsvektor - Sλ Elektromechanische Dehnung eines Piezos m S Sicherheitsfaktor bei dyn. Beanspruchung - Re Streckgrenze Mpa Rm Zugfestigkeit (Bruchgrenze) Mpa RGB Rot, Grün, Blau - Tr Umgebungstemperatur °C U Elektrische Spannung V w Biegung m W Arbeit W γ Übersetzung - εi,j Permitivitätszahl - ε Dehnung % κ Wärmeausdehnungskoeffizient m/K υ Poisson´sche Zahl - ρ Dichte Kg/m³ σ Mechanische Spannung Mpa σ bw Wechselbiegefestigkeit Mpa τ Schubspannung Mpa τj Gelenkverdrehung ° ϑ Temperatur °C φ Lagewinkel °

Vorwort

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Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit bei der Firma Arnold & Richter Cine Technik, in der Abteilung Forschung und Entwicklung. In meiner nun schon dreijährigen Tätigkeit in der Abteilung für Digitaltechnik konnte ich mein Wissen über digitale Bildverarbeitung und feinwerktechnische Konstruktion erweitern und vertiefen. Meinen besonderen Dank gilt da meinem Betreuer Michael Cislinski, der mich in der Vergangenheit immer mit neuen anspruchvollen Aufgaben betreut hat und mir immer neue Denkanstösse gab, um mich weiter zu entwickeln. Aus dieser Tätigkeit heraus ist das Thema dieser Diplomarbeit entstanden. Weiter danke ich Prof. Dr.-Ing. O. Wallrapp für die wertvollen Hinweise und die engagierte Betreuung meiner Arbeit. Des Weiteren möchte ich Prof. Dr. N. Stokhausen danken für die Bereitstellung der messtechnischen Einrichtungen. Letztendlich möchte ich meiner Frau Alexandra Nicoletti (geb. Matsel) danken für ihre Geduld und Unterstützung.

Einleitung

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1. Einleitung 1.1 Motivation Der Wunsch nach mehr Mobilität und Komfort, gepaart mit dem Drang nach immer leistungsfähigeren Systemen, hat in den letzten Jahren zu einem Umdenken, ja schon fast zu einem Paradigmenwechsel in den technischen Disziplinen geführt. Die klassischen Disziplinen wie Mechanik, Elektronik und Optik werden immer mehr von interdisziplinär geprägten Fachgebieten wie der Mechatronik verdrängt. Wie in Abbildung 1-1 dargestellt, entstehen diese Fachgebiete durch Überlappung von verschiedener klassischen Disziplinen. Diese erfordern aber neue Ansätze in der Betrachtung und Gestaltung daraus entstehender hybriden Systeme. In den letzten Jahren entstanden mehrere Ansätze für solche Modellbetrachtungen, wie z.B. in der elektromechanischen Netzwerktheorie [Ise 14].

Abbildung 1-1 Interdisziplinarietät von mechatronischen Systemen

Auf der anderen Seite steht die fortschreitende Miniaturisierung der Systemkomponenten, die den Motor der Entwicklung vorantreibt. Auch bei kraft- und bewegungsübertragenden Mechanismen und Getrieben macht der Trend zur Miniaturisierung keinen Halt und somit die Verschmelzung mit anderen Disziplinen. So werden die Kinetik und die Dynamik des Mikrokosmos immer stärker in den Vordergrund treten und uns vor neuen Herausforderungen stellen. Neue Fachgebiete wie Mikro- und Nanomechanik bringen neue Fertigungs- und Montageanforderungen mit sich, die ganz neue Ansätze erfordern. Eine große Herauforderung bildet da der Entwurf solcher Mechanismen, die nicht selten durch ihre Komplexität ins Auge fallen. Hier eine Systematik und effiziente Vorgehensweise zu erarbeiten, die auf die Anforderungen eines mikroskopischen Maßstabes anlehnt, ist eins der wichtigsten Anliegen, um ein wirtschaftliches Entwickeln zu gewährleisten. Die Simulation sowohl elektronischer als auch mechanischer Systeme nimmt hier eine zentrale Rolle ein. Sie ermöglicht eine hoch optimierte Voruntersuchung, ohne dass man aufwendige Fertigungsverfahren unnötig in Anspruch nimmt. Höchste Präzision und minimaler Aufwand werden die Ziele der Mechanik in der Zukunft sein. Mikroroboter, Mikropositionierung, Mikromotorik sind nur einige Schlagworte, die uns in nächster Zukunft begegnen werden.

Einleitung

12

1.2 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit Ziel dieser Arbeit ist eine mechanische, durch Piezoaktoren angetriebene, Vorrichtung zu entwickeln, mit der beim Microscanen ein Bildsensor hochgenau positioniert wird. Das System soll hinsichtlich minimaler Baugröße, Robustheit und maximaler Zyklusfrequenz optimiert werden. Es soll ein Konzept, die Zeichnungen zur Fertigung und das System charakterisiert werden. Hierbei sind folgende Forderungen zu beachten:

• es soll ein geeignetes Übersetzungsgetriebe entworfen werden, das sich aus den signaltechnischen Anforderungen ableitet

• es sollen geeignete Federgelenke entworfen werden • es sind fertigungstechnische Aspekte zu berücksichtigen die vorzugsweise

firmeninterne Ressourcen nutzen • ein geeignetes Material soll gefunden werden.

Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Abschnitt 1 gibt einen Überblick über die Umgebung, in der die Arbeit entsteht. Hier

werden auch die theoretischen Vorrausetzungen, die für das Verständnis nötig sind, gelegt und die Problematik aufgezeigt.

Abschnitt 2 erläutert die Vorgehensweise beim Design elastischer bzw. teilelastischer

Mechanismen. Abschnitt 3 behandelt die Randbedingungen des Mechanismus und seiner Bestandteile. Abschnitt 4 widmet sich der Synthese eines starrgliedrigen Mechanismen und dessen

Analyse. Abschnitt 5 behandelt die Erweiterung des im Abschnitt 4 synthetisierten Mechanismus

um den elastischen Teil und analysiert ihn. Abschnitt 6 beinhaltet die fertigungstechnischen Parameter, die bei der Konstruktion des

Mechanismus zu berücksichtigen sind. Abschnitt 7 widmet sich der konstruktiven Umsetzung der Ergebnisse aus dem Abschnitt 5. Abschnitt 8 behandelt die Frage, ob der Mechanismus im Rahmen seiner Anforderungen

ist, unter Anwendung einer FEM- Analyse. Abschnitt 9 beinhaltet die Ergebnisse aus den Messungen der Eigenmoden mit einem

Laservibrometer. Abschnitt 10 beinhaltet die Bewertung der erlangten Ergebnisse und die Zusammenfassung

mit Ausblick.

Einleitung

13

1.3 Kontext der Arbeit Die entwickelte Mechanik soll Bestandteil eines Telecine Film Scanner der Firma Arnold und Richter (ARRI) werden. Der Arriscan findet seine Anwendung in der Filmindustrie als Antwort auf hochqualitative und effiziente Scannaufgaben (Anwendung für Kameranegativ, Cut Negativ, Archivierung & Restauration, Digital Dailies). Die wesentlichen Merkmale sind eine filmmaterial schonende LED- Beleuchtung, ein planer Filmtransport und ein CMOS Bildsensor mit 3300 X 2600 Pixel.

Kopierwerk

FilmProjection

ARRISCAN ARRILASER

Analoge Filmkette

Digitale Filmkette

Aufnahme DistributionProjektionProduktion

IP Intermediate

Print

DigitalIntermediate

Negativ

0101 1001

Digitale Effekte

Restaurierung

ARRI CMS

Abbildung 1-2 Digitale Prozesskette

Der Arriscan ist nach dem Arrilaser ein weiterer Beitrag zur Homogenisierung der digitalen Prozesskette. Diese nimmt, wie in Abbildung 1-2 dargestellt, ihren Anfang bei der Aufnahme der Filmszenen und erstreckt sich bis weit über die Distribution des Filmmaterials hinweg. Ziel von ARRI ist es, eine durchgängige Lösung anzubieten, die die Schnittstellenproblematik zwischen den einzelnen Prozessschritten minimiert. Beim Arriscan handelt es sich um einen so genannten Filmabtaster zur Umsetzung von Filmbildern in elektrische bzw. digitale Daten. Dazu wird der Film durchleuchtet und das Licht über eine Optik auf einen Bildwandler geleitet. Im Wesentlichen besteht ein Filmabtaster aus vier Hauptbestandteilen: einem Filmtransport zur Auf- und Abwinklung der Filmrollen, einer leistungsfähigen Beleuchtung, die das gesamte Farbspektrum ausreichend abdeckt, einer hochgenauen Optik und einem Bildwandler. Bei den Bildwandlern wird allgemein unterschieden zwischen Bildpunkt-, zeilenweiser und bildweiser Abtastung. Beim Arriscan handelt es sich um eine bildweise Abtastung, die über einen CMOS Halbleitersensor mit flächiger Ausdehnung erbracht wird. Der Bildwandler (Sensor) befindet sich, wie in Abbildung 1-4 b) angedeutet, auf der Positioniereinheit, die ihrerseits ein Teil des in Abbildung 1-3 b) dargestellten Kamerakopfes ist.

Einleitung

14

Abbildung 1-3 Der ARRISCAN: a) Prototyp 1 für die NAB1 b) Schnitt durch den ARRI Scanner

1 National Association of Broadcasters. Weltweit größte Messe der Filmindustrie

Abbildung 1-4 a) Positioniermechanik mit Piezoaktoren (Grün) b) Sensormodul

a) b)

a) b)

Einleitung

15

1.4 Digitale Bildverarbeitung Am Anfang der digitalen Bildverarbeitung steht das Abtasten eines Objektes. Im zweidimensionalen Fall bezeichnet man den Abtastvorgang als Scannen. Somit ist der Scanner die direkte Schnittstelle zwischen realer und elektronischer bzw. digitaler Welt. Beim Scannen wird ein Objekt mittels Helligkeitsmessung einzelner Bildabschnitte zweidimensional abgetastet. Die sich aus der Helligkeitsmessung ergebenden Werte werden als diskrete Zahlenwerte abgespeichert und als so genannte Pixel dargestellt. Die so erzeugten Pixel können auf einem Rechner als Pixelgrafik oder als ASCII- Datensatz weiterverarbeitet werden. Bei der Weiterverarbeitung wird die Pixeldarstellung von einem Segmentierungsprogramm in Pixelbereiche zerlegt und anschließend von einem ORC2 klassifiziert und dargestellt. Dieser Abschnitt soll einen kleinen Überblick über die Schnittstelle Scanner geben und den Aufbau seiner Komponenten ein wenig näher bringen. 1.4.1 Bildsensoren Kernstück eines jeden Scanners ist der Bildsensor. Wie er funktioniert und was er tut, soll im Folgenden erläutert werden. Ein moderner Bildsensor besteht im Wesentlichen aus einer Aneinaderreihung von Fotodioden, die auf einer Fläche (Array) oder in einer Zeile angeordnet werden. Man unterscheidet bei Bildaufnahmegeräten zwischen zwei Typen von Sensortechnologien, der

• CCD (Charge Coupled Device) und der • CMOS (Complementary Metal Oxyde Semiconductors)

Technologie. Das physikalische Prinzip, auf dem die Fotodiode aufbaut, ist bei beiden Technologien der Fotoeffekt in Halbleitern. Bei diesem werden wie in Abbildung 1-5 a) die Elektronen durch Lichtquanten (hf) angeregt, aus dem Valenzband in das Leitungsband gehoben, wobei sich Elektronen-Loch-Paare bilden. Durch Kurzschließen der Diode, wie in Abbildung 1-5 c) angedeutet, werden die Elektronenlochpaare rekombiniert. Die Sperrichtung der Diode führt dazu, dass dieser Vorgang nur in Durchlassrichtung geschieht und einen messbaren Strom zur Folge hat, der seinerseits äquivalent zur auftreffenden Lichtmenge ist.

A

hλIphoto

p nRaumladungszone

hλ

hλ

Abbildung 1-5 Photoeffekt in einer Photodiode:

a) Ladungserzeugung in einer p-n Diode dargestellt im Energieniveauschema b) Aufbau einer p-n Diode c) kurzgeschaltete Diode in Durchlassrichtung zur Messung des Photostroms

2 ORC : Optical character recompilation (z.B. Photoshop)

a) b) c)

Einleitung

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Abbildung 1-6 Pixel als integriertes Bauteil: a) Schaltungsarchitektur eines Dreitransistor- CMOS- Pixels b) Layout des Dreitransistor- CMOS- Pixels

Ein Pixel setzt sich aus Sicht eines Sensors, wie in Abbildung 1-7 dargestellt, aus aktiven und inaktiven Flächen zusammen. Die aktive Pixelfläche ist die eigentliche Fotodiode, die einfallende Lichtintensität in eine Ladung wandelt. Die inaktive Pixelfläche beherbergt bei CMOS- Sensoren integrierte Bauteile, die zur Verarbeitung und Weitergabe des Ladungssignals dienen (siehe Abbildung 1-6). Das Verhältnis zwischen aktiver und inaktiver Pixelfläche bezeichnet man als Fill-Faktor. Durch anschließende Analog- Digitalwandlung wird jedem Pixel ein diskreter Zahlenwert zugeordnet, der Zahlenwert entspricht der Helligkeit des auf dem Pixel einfallenden Lichtes.

Abbildung 1-7 Bildsensorarchitektur : a) Pixelaufbau b) Microscann eines Frames

a) b)

a) b)

Fotodiode

(Quelle: Fa. FillFactory N.V)

Einleitung

17

1.4.2 Microscannen Wozu wird eigentlich microgescannt und wie funktioniert das? Um die Auflösung eines digitalen Bildes zu erhöhen, wendet man beim Scannen das Microscannverfahren an. Das Microscannverfahren geht auf Dr. Reimar Lenz zurück und wird bei Aufnahmen statischer Bilder angewandt. Es findet Anwendung sowohl in den Rückteilen von professionellen Fotokameras, wie z.B. der Sinar (Sinarbak), als auch in Kameras von Jenoptik im high-end Bereich. Das Mikroscannen von Bildern verfolgt im Wesentlichen zwei Ziele: zum ersten die Erhöhung der Auflösung, zum zweiten das Unterdrücken von Morie (Alias) Artefakte durch mechanisches Tiefpassfiltern. Erhöhung der Auflösung Um die Auflösung eines Bildes zu erhöhen, muss das Bild in feine Abschnitte unterteilt werden. Diese Unterteilung kann entweder durch Erhöhung der Pixel pro Flächeneinheit, oder durch mathematische Interpolation erreicht werden. Bei der mathematischen Interpolation werden die vorhandenen benachbarten Pixel herangenommen, um zusätzliche Pixel über mathematische Operationen, wie der Mittelwertbildung zu erzeugen. Der Nachteil dieser Vorgehensweise ist, dass Informationen die im Originalbild schon verloren gegangen sind, nicht mehr zurückgeholt werden können. Die bessere Alternative wäre die, den Abstand zwischen den Pixel zu verkleinern und somit mehr aktive Pixelflächen pro Flächeneinheit unterzubringen. Diese Variante hat den Vorteil, dass die Information des aufgenommenen Objektes erheblich detailreicher ist, als das „Originalbild“ des mathematisch interpolierten Bildes. Die Grenzen dieser Alternativen liegen im technologisch möglichen sowie im nicht unerheblichen Preis eines höher auflösenderen Sensors. Das Microscanverfahren könnte man als Hybrid beider Vorgehensweisen auffassen. Hierbei wird der Sensor, wie in Abbildung 1-6 b) angedeutet, im Subpixelbereich (ca. ~ 4 µm) so verschoben, das sich die aktiven Pixelflächen anschließend genau dort wieder finden, wo sich einst die inaktiven Pixelflächen befanden. Durch mehrmaliges zweidimensionales Versetzen und Belichten des Sensors in diesen verschobenen Positionen werden mehrere Bilder erzeugt. Diese Bilder werden im Anschluss mathematisch übereinander gelegt und optimiert. Das Ergebnis sind durch die Versetzung erzeugte virtuelle Pixel, die wie in Abbildung 1-8 dargestellt, im Gegensatz zum nicht microgescanten Bild eine Erhöhung der Auflösung zur Folge haben.

Microscan

Abbildung 1-8 Schematische Darstellung der Pixelvervielfältigung durch Erzeugung virtueller

Pixel

Einleitung

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Tiefpassfilterung Zerlegt man ein Bild nach einem regelmäßigen Schema, so kann das unter Umständen mit der Entstehung von Alias-Strukturen verbunden sein. Die bei einem Bildsensor regelmäßig angeordneten Pixelstrukturen, wie sie schon in Abbildung 1-7 a) dargestellt wurden, erfordern unter Beachtung des Abtasttheorems eine Tiefpassfilterung, um ein Alias auszuschießen. Nach dem Abtasttheorem müssen die Abtaststrukturen doppelt so fein sein wie die feinsten aufzulösenden Bildelemente. Der Tiefpassfilter hat nun die Aufgabe, die feinsten Strukturen im Bild soweit zu verwischen, das sie mindestens doppelt so grob aufgelöst werden wie die der Abtaststruktur des Sensors. In Gegensatz zur den gängigen Verfahren, bei denen die Tiefassfilterung entweder optisch oder über mathematische Operationen an der Bildmatrix geschieht, wird bei den mechanischen Tiefpassfilterungen das Prinzip der Bewegungsunschärfe ausgenutzt. In Abbildung 1-9 wird der Vergleich zwischen optischem und mechanischem Tiefpassfilter mit einer Versetzung von 8 µm gezeigt. Hierbei wird die Modulations-Transfer-Funktion (MTF)3 über die Ortsfrequenz4 aufgetragen. Wie man sehen kann, ist der Unterschied zum optischen Tiefpass gering.

V e rg le ic h P ie z o -o p tis c h e r T ie fp a s s fü r d ie B ild h ö h e 1 2 m m

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

O rts fre q u e n z (L p /m m )

MTF

O p tis c h e r T ie fp a s sP ie z o

Abbildung 1-9 Vergleich zwischen optischem und Piezo- Tiefpass [Kha 17]

3 Siehe Anhang A 4 Siehe Anhang A

(Quelle: Fa. ARRI)

Einleitung

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1.5 Starre und elastische Mechanismen Was versteht man eigentlich unter einem elastischen Mechanismus und wie beschreibt man solche Mechanismen? Diese Frage soll hier kurz beantwortet werden, um die Vorgehensweise bei der Synthese5 des Positioniermechanismus zu verstehen. 1.5.1 Klassifizierung In der klassischen Auffassung eines mechanischen Getriebes bzw. Mechanismus wird eine bewegliche Verbindung von Gliedern verstanden, die Kräfte, Bewegungen bzw. Leistungen überträgt. Als Schnittstelle zwischen den Gliedern stehen Gelenke, sie gewährleisten die eigentliche Übertragung der Leistung von einem Glied zum anderen. Aus der Konstruktion sind drei Arten von Verbindungen bekannt, in die auch die Gelenke eingeteilt werden können:

• kraftschlüssige Verbindungen • formschlüssige Verbindungen • und stoffschlüssige Verbindungen.

Die meist verbreitetste Art der Gelenkverbindung ist die formschlüssige Verbindung. Beispiele hierfür sind Dreh- und Schubgelenke. Daher ist auch ein Grossteil der Methoden zur Analyse und Synthese auf diese Gelenke ausgerichtet. Kraftschlüssige Gelenke erhalten ihre Zwangsbedingung aus dem Prinzip „der Aktio gleich Reaktio“ einer gerichteten Kraft. Beispiele für kraftschlüssige Gelenkeverbindung sind Passivgelenke6. Ein Sonderfall dieser Gelenkklasse sind reibschlüssige Gelenke wie in Riemenantrieben. Das stoffschlüssige Gelenk wird in der klassischen Getriebelehre zwar in Form von Federgelenken erwähnt, führen da aber ein Schattendasein. Dies ist der Grund dafür, dass mit den konventionellen Analyse- und Synthesemethoden Mechanismen mit solchen Gelenke nur unbefriedigend bearbeitet werden können. Dieser Nachteil bei Federgelenkmechanismen währt daher, dass man in der Betrachtung der Kinetik und Statik immer von der Annahme ausgeht, dass die Glieder des Mechanismus ideal steif sind. Diese Voraussetzung der klassischen Getriebelehre ist aber bei elastischen und teilelastischen Mechanismen nicht gegeben. So definierte z.B. Salomon 1989 in seiner Dissertation zum Thema Compliance Mechanism und Howell in seinem erstmals 1994 erschienenen Aufsatz zur Klassifizierung von elastischen Mechanismen ein elastisch nachgebenden Mechanismus als: „ A compliant mechanism is one which gains all or part of its mobility from the relative flexibility of its members unlike as in rigid body mechanisms” 7 Diese sehr umfassende Definition wehrt daher, dass bei vielen Mechanismen eine diskrete Einteilung zwischen Gelenken und Gliedern nicht immer möglich ist. Die in der Tabelle 1-1 dargestellte Klassifizierung geht sogar einen Schritt weiter und erweitert sie um die Annahme, dass der Aktor als Teil des Mechanismus auch deformierbar ist, zu einem adaptiven System.

5 Unter der Synthese eines Mechanismus versteht man das theoretische Erzeugen eines Getriebes. 6 Siehe Abschnitt 6.2 Abbildung 6-3. 7 „Ein Mechanismus, bei dem die ganze oder ein Teil der Mobilität von der relativen Flexibilität seiner Glieder bestimmt wird“.

Einleitung

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Tabelle 1-1 Erweiterung klassischer mechanischer Modelle

Klassischer Mechanismus Compliance Mechanismus Adaptiver Mechanismus Starre Glieder Flexible Glieder Flexible Glieder

Starre (flexible) Gelenke Flexible Gelenke Flexible Gelenke Starre Aktoren Starre Aktoren Flexible Aktoren

1.5.2 Elastizitätstheorie Um Funktionsweise und Eigenarten von elastischen Mechanismen zu verstehen, muss man die Natur elastischer Körper begreifen. Im folgenden Abschnitt soll eine kleine Zusammenfassung der wesentlichen Züge der Elastizitätstheorie gegeben werden. Die Elastizitätstheorie beschreibt den Zustand von verformbaren Körpern unter Einwirkung von Kräften. Eines der Hauptbetätigungsfelder ist die Vorhersage von Spannungen und Verzerrungen als Folge von Deformationen. Ziel ist es, Bauteile so auszulegen, dass sie die geforderten Funktionen im Rahmen des Zulässigen erfüllen. Abbildung 1-10 zeigt schematisch die Vorgehensweise bei solchen Problemen.

Abbildung 1-10 Vorgehensschema bei der Festigkeitsuntersuchung

Wird ein Bauteil von außen mit einer Kraft oder einem Moment belastet, so treten im Inneren des Bauteils infolgedessen Beanspruchungen auf, die als Spannungen bezeichnet werden. Darüber hinaus ist die Größe und Richtung der Spannungen noch von der Geometrie und Größe des Bauteils abhängig, sie wird in Abbildung 1-10 als Abmessung A bezeichnet. Für die zulässige Spannung, die ein Bauteil aufnehmen kann, werden materialabhängige Größen herangezogen. Welche man nimmt, ist abhängig von der Problemstellung. Wie aus Abbildung 1-11a zu entnehmen ist, können das z.B. die Elastizitätsgrenze Reh, die Plastizitätsgrenze Rel oder die maximale Belastungsgrenze Rm sein. Diese Werkstoffwerte werden in der Regel nie vollständig ausgenutzt, aus lebensdauertechnischen Gründen, in die im Abschnitt 3.3 näher eingegangen wird, werden diese meist noch mit einem Sicherheitsfaktor S beaufschlagt. Die Festigkeitsbedingung ist dann erfühlt, wenn die Ungleichung von SOLL (σ) und IST(σzul) erfüllt ist. Man unterscheidet bei der Festigkeitsberechnung fünf Grundbelastungsfälle, die alle auf eine

Abmessungen[ A ]

Äußere Belastung[ F od. M ]

Sicherheitsbeiwert[ S ]

Festigkeitsbedingung

Werkstoffkennwerte(Abhängig von der Problemstellung i)

[ Ri ]

zulσ σ≤

Wirkende Spannung

FA

σ =

Zulässige Spannung

izul

RS

σ =

Einleitung

21

Kraft F bzw. auf ein Moment M zurückzuführen sind:

• die Zugbelastung • die Druckbelastung • die Biegebelastung • die Schubbelastung • die Torsionsbelastung.

Die Grundlage der Elastizitätstheorie bildet das Hooke’sche8 Gesetz. F k l= ∆ [1.1] Es beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Elongation ∆l an einer elastischen Feder. Die lineare Proportionalitätskonstante k wird in der Technik als Federkonstante bezeichnet und ist sowohl vom Material, als auch von der Geometrie der Feder abhängig. Durch Normierung der Elongation, indem man sie durch die unbelastete Länge l0 dividiert, erhalten wir die Dehnung ε als Maß für die Deformation. Für die Kraft F wird nun die Spannung σ, als Verhältnis von Kraft pro Flächeneinheit, eingeführt. Dies bringt uns somit zur allgemeinen Form des Hookshen Gesetzes. Eσ ε= [1.2] Die lineare Proportionalitätskonstante E wird als E- Modul bezeichnet und ist eine rein materialspezifische Größe. Die allgemeine Form beschreibt somit den linearen Zusammenhang zwischen der Spannung σ, die aufgrund einer Belastung auftritt, und der Formänderung ε eines Körpers. In Abbildung 1-11 a) wird der Spannungsverlauf eines Körpers dargestellt, wobei der gerade Verlauf zwischen Nullpunkt und der Elastizitätsgrenze Reh als elastisch reversibel im Hooke`schen Sinne angesehen werden kann. Bei der Spannung muss, wie in Abbildung 1-11 b), vorzeichnen bedingt, zwischen positiver Zugspannung und negativer Druckspannung unterschieden werden. Da die Spannung eine vektorielle Größe darstellt, wird zusätzlich noch eine weitere Unterscheidung nach der Richtung vorgenommen, die sie bezüglich dem Körper hat. Wie in Abbildung 1-11 c) dargestellt, werden die Spannungen an einem Körper in die Normalspannungen σij, die normal zur Fläche wirken, und in die Schubspannungen τij die parallel zur Fläche wirken, eingeteilt.

Abbildung 1-11 Spannungen a) Spannungs- Dehnungs- Diagramm b) Spannungen an einem Kragträger c) Spannungszustände an einem Volumenelement

Befindet sich nun der Körper in einem Euklidischen Raum R(3), so können die Spannungen, 8 Hooke, Robert (1635 bis 1703)

b) c) a)

F

(Quelle: [Dem 6])

Einleitung

22

die in einen Volumenelement dV wirken, als Spannungstensor S dargestellt werden.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

Sσ τ ττ σ ττ τ σ

=

[1.3]

Bei der mechanischen Auslegung eines Bauteils muss auf materialabhängige Besonderheiten des Werkstoffes eingegangen werden. So können Materialien sehr unterschiedlich auf Spannungsrichtungen reagieren. So sind einige Werkstoffe empfindlicher gegen Schubspannungen, andere mehr gegen Normalspannungen oder Druckspannungen, andere wiederum mehr gegen Zugspannungen. Dieses unterschiedliche Verhalten gegenüber Spannungen läst sich mit dem unterschiedlichen Aufbau von Festkörpern erklären, wobei die Orientierung der Kristallstruktur von Festkörpern wohl die häufigste Ursache hierfür sein mag. Dieses Verhalten führt dazu, dass bei der Auslegung eines Bauteils spezielle Spannungshypothesen aufgestellt werden müssen. Sie entstehen durch Überlagerung der einzelnen Spannungskomponenten, wobei je nach Hypothese die einzelnen Spannungskomponenten verschieden gewichtet werden. Aus diesen Spannungshypothesen geht eine Vergleichsspannung σv hervor. Mit dieser Vergleichsspannung lassen sich nun auch durch mehrachsige Belastungen verursachte Spannungen beschreiben. Somit können mehrachsige Spannungszustände in einen virtuellen einachsigen Zustand überführt werden. Die bekanntesten (zweiachsigen) Hypothesen im x-z Koordinatensystem sind hier:

• Die Normalspannungshypothese

2

2max2 2

x z x zv xz

σ σ σ σσ τ σ+ + = + + =

[1.4]

• Die Schubspannungshypothese

( )2 2max max min2 4v x z xzσ τ σ σ σ σ τ= = − = − + [1.5]

• Dehnungshypothese

2 2

2 2

2 2 2 2x yx z x z x z

v xz xz

σ σσ σ σ σ σ σσ τ µ τ

+ + − − = + + − − +

[1.6]

• Die Gestaltänderungshypothese (auch Huber- Mises- Henky` sches Fliesskriterium)9

2 2 23v x z x z zxσ σ σ σ σ τ= + − + [1.7] Hierbei sind σx und σz die beiden Normalspannungen, τxz und τxz die Schubspannungen und µ die Querkontraktionszahl. Es muss daher darauf geachtet werden, dass für das verwendete Material die dazupassende Hypothese gewählt wird, so dass die kritischen Spannungskomponenten auch angemessen gewertet werden. So ist die Normalspannungshypothese geeignet für spröde Materialien wie Grauguss oder Beton. Die Schubspannungshypothese eignet sich mehr für kristallin aufgebaute Werkstoffe. Die Dehnungshypothese eignet sich mehr für spröde Materialien oder verschlissene Bauteile. Die Gestaltänderungshypothese ist für zähe Werkstoffe wie Stahl geeigneter. 9 unter ANSYS als von Mises Spannung definiert (Richard von Mises (1883-1953))

Einleitung

23

1.5.3 Die Biegung Eine der zentralsten Fragen dieser Arbeit ist: „Unter welchen Bedingungen verbiegt sich ein Festkörper?“ Die ersten Überlegungen zur Biegung von Körpern stammen von Leonardo da Vinci10 , er stellte bei Untersuchungen an Balken fest, dass die Durchbiegung des Balkens sowohl von seiner Länge, als auch von der Querschnittsfläche und deren Geometrie abhängt. Diese Erkenntnis führte später zum Begriff der Flächenträgheitsmomente Iij, in dem die Auswirkungen der Querschnittsfläche und deren Geometrie zusammengefasst sind. Sie wird definiert, wenn x- Achse gleich Balkenachse als: 2 2

yy zzA A

I z dA I y dA= =∫ ∫ [1.8]

Wobei die Indizes an I die Biegeachse angibt, auf die sich das Flächenträgheitsmoment bezieht. Hinzu kommen materialabhängige Faktoren, die durch den E- Modul beschrieben werden. Aus diesen Erkenntnissen läst sich sagen, dass die Auslenkung w in z- Richtung unter einer Belastung F (sei hier eine Kraft) einer Funktion des E- Moduls E, der Länge l, des Flächenträgheitsmomentes Iyy, und der Kraft F ist. Nimmt man nun die Durchbiegung w als Funktion an, so kann man ihre Änderung als Verschiebung ansehen, wie in Abbildung 1-12 a) dargestellt. Bei der Ableitung der Funktion w nach dem Ort x, kann man wie in Abbildung 1-12 b) gezeigt von einer Neigung gegenüber x sprechen. Die zweite Ableitung nach dem Ort liefert (Abbildung 1-11 c)) eine Näherung für die Krümmung.

1''( )

rw x

≈'( )w x( )w x

( )bM x ( )bM x l+

1z

y x

Abbildung 1-12 Ableitung der elastischen Linie aus den Ableitungen der Versetzung w(x)

Die Berechnung von Biegungen mit beliebigen Querschnitten kann sehr kompliziert werden und sehr oft nur noch numerisch erfolgen. Dies führt dazu, dass eine Vereinfachung der Randbedingungen zur Berechnung von Biegungen unablässig ist. Den einfachsten Fall einer Vereinfachung in der Mechanik bietet die Euler- Bernoulli11- Hypothese. Sie gibt eine gute Nähehrung für kleine Versetzungen w bezüglich der Länge l eines Balken12. Die Euler- Bernoulli-Hypothese besagt nun, das die Querschnitte zur neutralen Faser auch unter Belastung senkrecht zur neutralen Faser bleiben. Mathematisch werden Teilstücke des gebogenen Balkens, wie in Abbildung 1-13 dargestellt, durch Kreisbögen beschrieben (die Kreisbögen sind nur eine Näherung). Für die Länge l ergibt sich somit für die Biegung ein Krümmungsradius r. 10 (1452-1519) 11 Leonhard Euler (1707-1783) Johan Bernoulli (1667-1748) 12 Mechanisch wird ein Balken definiert: als ein prismatischer Körper, bei dem die Längsausdehnung wesentlich größer als seine Querschnittabmessung ist.

a) b) c)

∼

Einleitung

24

ϕr

l r ϕ=

y

z

xl

σ+

σ−

0z =

dz

l∆

neutrale Fase

20

h

Abbildung 1-13 Definition der Biegung

Wie man aus Abbildung 1-13 ersehen kann, erfolgt an der Oberkante des Balkens (bei Z =h/2) eine Dehnung, analog an der Unterkante (bei z =-h/2) eine Stauchung, wobei die neutrale Fase (bei Z=0) ihre Länge l beibehält. Der Betrag, der durch die Stauchung bzw. Dehnung erzeugten Längenänderung ∆l ergibt sich aus:

( ) ll z z zr

ϕ∆ = = [1.9]

Damit ein Festkörper so eine Längenänderung mitmacht, müssen für alle infinitesimal dünnen Schichten entsprechend Gleichung 1-2 die zugehörigen Spannungen aufgebracht werden. Aus Gleichung 1-2 folgt für den Betrag der Normalspannungen:

l zE E El r

σ ε σ∆= = = = [1.10]

Auf eine infinitesimal dünne Schicht dz wirkt somit eine Kraft:

bdF b dz E z dzr

σ= = [1.11]

Hierbei ist b die Querschnittsbreite des Balkens. Das durch die Kraft erzeugte Moment in y-Richtung ergibt sich somit aus:

2y

bdM E z dzr

= [1.12]

Summiert man nun die Momente der einzelnen schichten über die Höhe h des Balkens auf ergibt sich:

2

2

2

1h

yh

M E z dz br −

= ∫ [1.13]

Dieses von der Biegung erzeugte Moment, wirkt also dem Moment entgegen das die Biegung verursacht. Daraus folgt das wen die Biegung durch ein Biegemoment Mb erzeugt wird, die Biegung dem Moment Mb ein Moment -My entgegnet, so dass eine Gleichgewichtssituation entsteht. Wird eine Biegung durch ein Biegemoment Mb erzeugt, so kann man für den Krümmungsradius r in Gleichgewicht aus Gleichung (Mb = -My) 1-13und 1-8 folgende Beziehung aufstellen.

/ 22

/ 2

1 b bh

yy

h

M Mr E I

E z dz b−

= − = −

∫ [1.14]

Einleitung

25

Somit ist der Krümmungsradius r eines unter der Last Mb gebogenen Balkens, abhängig von seinem E- Modul und einem Flächenträgheitsmomentes Iyy. In der Mathematik [Sas 32] wird die Krümmung einer Kurve beschrieben durch:

2 3

1 ( )(1 ( ) )

w xr w x

′′=

′+ [1.15]

Unter Anwendung der Taylor-Entwicklung kann nun, für kleine Auslenkungen w(x) in Bezug zur Länge l, für den Krümmungsradius die folgende Nähehrung gemacht werden (siehe Abbildung 1-12).

1 ( )w xr

′′≈ [1.16]

Beim Gleichsetzen der Gleichungen 1-14 und 1-16 ergibt sich für kleine Biegungen folgende Beziehung:

( ) b

yy

Mw xE I

′′ = − [1.17]

Diese Beziehung ist in der Mechanik als Gleichung für die elastische Biegelinie für gerade Balken bekannt. Sie gibt in guter Näherung die Biegung eines Balkens bei kleinen Auslenkungen wieder. 1.5.4 Die Feder Die Grundlage für die Betrachtung jeglicher Federn bildet das oben in Gleichung 1-1 schon eingeführte Hookesche Gesetz. In Abbildung 1-14 werden einige Federkennlinien dargestellt, die das Verhalten einer Feder charakterisieren. Hierbei ist F die Kraft in Newton13, die zur Formänderung der Feder benötigt wird und s die Stauchung bzw. Streckung in Metern. Da man bei den Kennlinien nicht zwischen Stauchung und Streckung unterscheidet, ist das Hock´sche Gesetz unabhängig von der Art bzw. Richtung der Belastung (Druck oder Zug). Die Steigung der Kennlinie entspricht der Konstanten k aus Gleichung 1-1 und wird nach DIN 2089 als Federrate oder Federkonstante bezeichnet. Je nach Kennlinienverlauf unterscheidet man zwischen linearen und nichtlinearen Kennlinienverläufen. Bei den nicht linearen wird zwischen progressiven, degressiven und Hystereseverläufen unterschieden (Abbildung 1-14 b) u. c)). Die Steifheit einer Feder erkennt man an der Steilheit der Kennlinie, wobei eine flachere Kennlinie eine weiche Feder charakterisiert und eine steilere eine härtere Feder beschreibt. Bei der Beschreibung von Feder die rotatorische Formänderungen vollziehen, wird analog zur Gleichung 1-1 die Beziehung für Drehfedern wie folgt formuliert: DM k ϕ= ∆ [1.18] Hierbei ist ∆φ der Verdrehwinkel und kD die Drehfederkonstante.

13 Isaak Newton 1642- 1727 (Hauptwerk: Philosophiae naturalis principia mathematica)

Einleitung

26

[ ]F N [ ]F N [ ]F N

[ ]s m[ ]s m[ ]s m

harte Feder

Federarbeit

weiche Feder

progressiv

linear

degressiv Verlustarbeit

Hysterese

Abbildung 1-14 Federkennlinien:

a) Kennlinien zur Steifigkeit einer idealen Feder und die dazugehörige Arbeit b) lineare und nicht lineare Federn c) Verlauf einer realen Feder und ihre Verlustarbeit

Die an einer Feder verrichtete Arbeit berechnet sich aus der in Abbildung 1-14 a) schraffierten Fläche unter der Kennlinie und ist wie folgt definiert: federW F ds= ∫ [1.19] Für lineare Federn wie in Abbildung 1-14 a) gilt folglich:

2

2.

1 12 2lin feder

FW k lk

= ∆ = [1.20]

Für ideale Federn wie in Abbildung 1-14 a) und b) gilt: die Kennlinien für Be- und Entlastung sind gleich. Daraus folgt, dass die zur Verformung der Feder benötigte Arbeit vollständig gespeichert (konserviert14) und bei Entlastung vollständig wieder abgegeben wird. Bei realen Federn ist dies nicht der Fall, da bei genauerer Betrachtung der Kennlinie immer ein Hystereseverlauf zu erkennen ist (siehe Abbildung 1-14 c). Die Fläche, die von der Hystereseschleife umschlossen wird, bezeichnet die Arbeit bzw. Energie, die bei der Be- und Entlastung einer Feder verloren geht (z.B. thermisch). Die in Gerätebau am häufigsten vorkommenden Federausfürungen sind:

• die zylindrische Schraubenfeder • die Tellerfeder • die Biegefeder und • die Drehstabsfeder.

In dieser Arbeit werden wir uns auf die Betrachtung von Biegefedern beschränken. Die Biegefeder leitet sich aus der oben betrachteten Balkenbiegung ab. In ihrer einfachsten Ausführung stellt sie einen Kragbalken dar (siehe Abbildung 1-11 b). Nach VDI 2252 Blatt 9 [VDI 37] ergibt sich die Federkonstante einer einfachen Biegefeder aus:

14 Ein System bestehend aus Federn wird daher auch als konservatives System bezeichnet

a) b) c)

Einleitung

27

3

12E h bk

l= [1.21]

Das an einer Biegefeder maximal zulässige Biegemoment ermittelt sich aus:

2

. 6z zulh bM σ= [1.22]

In diesem Zusammenhang werden im Abschnitt 5.1 die Steifigkeiten von Biegefedern in der Ausführung als elastische Gelenke näher betrachtet. Die Federwerkstoffe werden in Abschnitt 3.3.2 näher erläutert. Beim Zusammenschluss von Federn zu einem Federsystem unterscheidet man in der Technik zwei Schaltungsformen:

• die Parallelschaltung • die Reihenschaltung.

Die Parallelschaltung, wie in Abbildung 1_15 b) dargestellt, ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Federn den gleichen Weg zurücklegen. Die Gesamtsteifigkeit eines solchen Systems berechnet sich wie folgt:

1 21

...n

ges n ii

k k k k k=

= + + + = ∑ [1-23]

Die Reihenschaltung, wie in Abbildung 11-15 a) dargestellt, ist ihrerseits dadurch gekennzeichnet, dass auf alle Federn die gleiche Kraft einwirkt. Die Gesamtsteifigkeit eines in Reihe geschalteten Systems berechnet sich wie folgt:

11 2

1 1 1 1...n

gesin i

kk k k k=

= + + + = ∑ [1-24]

1k

2k

nk

xF

F

1k 2knk

x

Abbildung 1-15 Schaltungsformen von Federn: a) Reihenschaltung

b) Parallelschaltung

a) b)

Einleitung

28

1.6 Aktorik Was sind Aktoren und wie funktionieren sie? Diese zentrale Frage soll hier beantwortet werden, wobei der Schwerpunkt auf den in der Positioniereinheit verbauten Piezoaktoren liegt. Eine der gängigsten Definitionen des Begriffs „Aktor“ stammt aus der Steuerungstechnik und besagt, dass Aktoren die Bindeglieder zwischen der Steuerung und dem Prozess an sich sind [Hüt 13]. Wie in Abbildung 1-16 gezeigt, werden die Prozesse von Aktoren nach vorgegebenen Programmen gesteuert. Der größte Teil der gängigen Aktore wird elektrisch angesteuert und wandelt die zugeführte elektrische Energie in mechanische Arbeit um. Der Aktor lässt sich grob in drei Funktionsglieder unterteilen, die in Reihe geschaltet einen Aktor bilden.

Prozeß- Mechanisch- Hydraulisch- Adaptive Strukturen- Hybride Systeme

Aktor

Energiesteller Energiewandler GetriebeProgramm- Festkörperwandler- Motoren- Shape Memory Alloy- Bimetalle

- Elektrische Energie- Chemische Energie- Thermische Energie- Strömungsenergie

- VHDL- C- LabView- Hardware

- Positionieren- Greifen- Schließen- Drehen

Z.B

Hilfsenergie

Sensor

Abbildung 1-16 Der Aktor: Aufbau und seine Bedeutung im steuerungstechnischen

Zusammenhang

Die Funktionsglieder sind Energiesteller, Energiewandler und Getriebe. Unter dem Begriff des Energiestellers verbirgt sich eigentlich nichts anderes, als ein Leistungsverstärker, mit dem die vom Programm stammenden Steuersignale in leistungsstarke signalmodulierte Einspeisgrößen für den Energiewandler erstellt werden. Als Energiewandler werden verschiedene Wechselwirkungen zwischen physikalischen Größen ausgenutzt, um Energie bzw. Leistung von einer Form (z.B. elektrisch) in die andere (z.B. mechanisch) zu transformieren. Das Getriebe wandelt, formt um und überträgt Bewegungen und Kräfte, und somit auch Energie. Dies kann z.B. über mechanische, hydrostatische oder hybride Systeme geschehen. Grob gesagt, besteht ein Aktor aus einem Vorverstärker, einem Wandler und einem Nachverstärker. Im Allgemeinen beschränkt sich die Anwendung des Wortes „Aktor“ häufig nur auf den Wandler. So bezeichnet man z.B. einen Piezowandler sehr oft als Aktuator oder Aktor. Nach der obigen Definition wäre dementsprechend die gesamte Positioniereinheit mit Vorverstärkern und Stellmechanik als Aktor anzusehen. Zur Beschreibung der Piezoaktoren in diesem Kapitel wird daher noch zwischen dem Aktor als System und dem Wandler als Teil dieses Systems unterschieden. In den folgenden Kapiteln wird dann dazu übergegangen, als Aktor nur den Wandler zu bezeichnen, was in englischsprachiger Literatur durchaus eine gängige Praxis ist.

Einleitung

29

1.6.1 Piezoaktoren Die Piezoaktoren15 basieren auf dem inversen piezoelektrischen Effekt16. Legt man nun eine Spannung an ein Piezokristall an, kommt es zu einer Formänderung, was den Aufbau von Aktoren erlaubt. Piezoaktoren zeichnen sich in erster Linie durch ihre präzisen Bewegungen mit Auflösungen im Nanometerbereich aus. Die kurze Ansprechzeit und die damit gepaarte hohe Stellgeschwindigkeit erlauben darüber hinaus einen dynamischen Betrieb von mehreren MHz. Die Translations- und Krafterzeugung geschieht bei Piezoaktoren völlig reibungsfrei, was zu einem verschleißfreien Betrieb im Vergleich zu anderen Aktoren führt. Mit einem Wirkungsgrad von ca. 60% erzeugen sie schon im Niedervoltbetrieb bei 100 V Kräfte bis zu 1000 N. Diese Eigenschaften machen den Piezoaktor zu einem idealen Energiewandler für hoch dynamische Positionieraufgaben. Piezoaktoren gehören zur Klasse der Festkörperaktoren und ihre Eigenschaften leiten sich somit aus der Festkörperphysik ab. Die größten Nachteile der Piezoaktoren sind die in Abbildung 1-17 dargestellten Effekte. So sind Piezoaktoren stark hysteresebehaftet, was dazu führt, dass sie für genaue Versetzungsaufgaben nur geregelt angewandt werden können. Des Weiteren neigen sie dazu, bei gleich bleibender Spannung mit zunehmender Zeit ihre Größe zu verändern, was man als „Kriechen des Aktors“ bezeichnet.

Abbildung 1-17 Parasitäre Eigenschaften eines Piezoaktors a) Hysterese

b) Kriechverhalten

1.6.1.1 Physikalischer Hintergrund Der inverse piezoelektrische Effekt tritt in Kristallen auf, die eine Perowskit-Struktur, wie in Abbildung 1-18 dargestellt, aufweisen. Hierzu zählen unter anderen Stoffe wie Quarz, PZT und Zinkblende. Perowskit-Strukturen sind kristalline Strukturen, die kein Symmetriezentrum besitzen und somit anisotrop sind. Dies erlaubt eine Wechselwirkung zwischen angelegter Feldstärke und der Form des Kristalls.

15 gr. Piezo: ich drücke 16 1880 von Gebrüder Curie entdeckt

(Quelle: Fa. Tokin/NEC) a) b)

Einleitung

30

Abbildung 1-18 Perowskit- Struktur eines Kristalls

Die Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen Zuständen in einem Kristall bezeichnet man als Piezoelektrizität, sie ist beschränkt auf polarisierte Dielektrika17. In einem polarisierten Kristall wird durch Anlegen eines elektrischen Feldes ein elektrisches Dipolmoment induziert, das zu einem Verschieben der positiven und negativen Ionen gegeneinander führt und so ein Verformen des Kristalls zur Folge hat. Der piezoelektrische Effekt kann neben seiner Anwendung als Aktor auch als Sensor (direkter piezoelektrischer Effekt) genutzt werden. Ansätze, in denen Piezoelemente gleichzeitig als Sensoren und Aktoren genutzt werden, finden sich unter Smarte Aktoren [Jen 15]. Der Piezoaktor verbraucht nur beim Heben Energie. Da das Aufrechthalten eines elektrischen Feldes außer einem geringen Leckstrom kaum Strom in Anspruch nimmt, ergibt sich der niedrige Energieverbrauch und der hohe Wirkungsgrad. Die Curietemperatur ist der Punkt, ab dem in ferroelektrischen Materialien keine spontane Polarisation mehr möglich ist. Bei keramischen polykristallinen Materialien, wie z.B. PZT18, muss das Material erst polarisiert werden. Dies geschieht knapp unter der Curietemperatur unter Einfluss eines starken elektrischen Feldes. Hierbei werden die ungeordneten Dipolmomente entlang der elektrischen Feldlinien orientiert. Der Piezoeffekt ist aufgrund seiner Abhängigkeit von der Kristallgeometrie stark richtungsabhängig, diese Abhängigkeit wird mit den Indizes i und j beschrieben. Die so genannten Bravais- Miller- Indizes stammen aus der Kristallographie und orientieren sich an ein kartesisches Koordinatensystem, in dem wie in Abbildung 1-19 a) gezeigt definitionsgemäß die Z-Achse mit 3 die Y-Achse mit 2 und die X-Achse mit 1 bezeichnet wird. Zusätzlich werden die Rotationen um die Z-Achse mit 6, um die Y-Achse mit 5 und um die X-Achse mit 4 bezeichnet. Wie in Abbildung 1-19 b) dargestellt, werden je nach Polarisations- und Translationsrichtung verschiedene Teileffekte unterschieden und durch die Indizes markiert. Dabei orientiert sich der Polarisationsvektor definitionsgemäß in Richtung der positiven Z-Achse. Wenn i die Richtung des elektrischen Feldes angibt und j die der Auslenkung, ergeben sich folgende Indizes für die verschiedenen Teileffekte:

33 für den Längseffekt 31 für den Quereffekt 15 für den Schereffekt

So ist z.B. das Piezomodul dij für den Längsdehnungseffekt mit d33 indiziert.

17 Elektrisch isolierendes Material 18 PZT: Blei-Zirkon-Titan

(Quelle: [Her 11])

Einleitung

31

Abbildung 1-19 Darstellung der Bravais-Miller-Indizierung und den dazugehörigen Auslenkungseffekten: a) Bravais-Miller-Indizierung b) Auslenkungseffekte Abhängig von der Polarisationsrichtung P

In Tabelle 1-2 werden die wichtigsten piezoelektrischen Werkstoffe aufgezählt. Verglichen werden die Längseffekte 33 bei folgenden Kennwerten: Kopplungsfaktor kij: Maß für die Umwandlung elektrischer in mechanische Energie

(geeignet zum Vergleichen von Piezomaterialien). Permitivitätszahl εij: Fähigkeit, elektrische Ladung zu speichern. Piezomodul dij: Zusammenhang zwischen aufgebrachter Ladung und resultierender

Dehnung . Tabelle 1-2 Wichtigste piezoelektrische Werkstoffe (Quelle: [Jen 15])

Werkstoff Kristallstruktur Kopplungsfaktork33 [-]

Piezomodul d33 [10-12m/V]

Permitivitätszahl ε33 [-]

Curietemperaturϑc [°C]

Quarz Einkristall 0,09 2- 7 5 570 PZT Polykristallin 0,15- 0,72 50- 765 300- 4000 180- 400 PVDF Teilkristallin 0,12 20 12 100

1.6.1.2 PZT- Keramiken Bei den in dieser Arbeit verwendeten Piezoaktoren handelt es sich um Multilayer-PZT- Keramik-Aktoren. Die Vorteile der keramischen PZT-Piezoaktoren gegenüber Einkristallinen und Plymerren (PVDF) liegt in vergleichsweise niedrigem Preis (ca. 50 €), der hohen Stetigkeit, der hohen Dielektrizitätszahl, dem hohen Koppelfaktor (vgl. Tabelle 1-2) und nicht zuletzt der guten Verfügbarkeit bei den Zulieferern. Zu den oben erwähnten Nachteilen wie die Hysterse und das Kriechen kommen noch eine starke Materialalterung und ein Temperaturdriften hinzu. Die handelsüblichen Formen sind:

• Multilayer od. Stapelwandler • Streifenwandler • Tubuswandler • Biegewandler

d33

d31

d35

b) a) (Quelle: [Her 11])

Einleitung

32

Für die Leerlaufauslenkung eines Multilayerstapelaktors mit Längsausdehnung gilt: 0 33x n d U= ⋅ ⋅ , [1.25] wobei x0 der vom Stapel erzeugte Hub ist, n die Anzahl der Layers19 angibt, U die am Stapel angelegte Spannung ist und d33der Piezo-Modul des verwendeten Werkstoffes ist. Mechanische Eigenschaften von PZT-Stapelaktoren Da PZT-Aktoren für sich auch als elastische Bauteile gesehen werden können, ist eine Betrachtung ihres elastischen Verhaltens sehr wichtig. Aufgrund ihres keramischen Aufbaus kann man von ihrem E- Modul auf ihre Steifigkeit kAktor schließen. Bei der Anwendung von PZT-Stapelaktoren unterscheidet man folgende Betriebsfälle:

• die Ausdehnung gegen eine konstante Last • die Ausdehnung gegen eine wegabhängige Last • die Ausdehnung gegen eine unendlich steife Wand

Bei der Ausdehnung gegen eine konstante Last Fkonst. kommt es aufgrund der Stauchung s des Aktors zu einer Nullpunktsverschiebung. Aus der Gleichung 1-1 ergibt sich der Betrag ∆l für die Nullpunktsverschiebung wie folgt:

.konst

Aktor

Flk

∆ = [1.26]

Bei Überschreitung einer kritischen Last ist darüber hinaus zusätzlich mit einem Rückgang des erzeugten Hubes zu rechnen. In Abbildung 1-20 ist dieser Vorgang für Stapelaktoren verschiedener Hersteller aufgezeigt. Bei den hier gezeigten Verläufen spielt nur die Last eine Rolle, das zeitliche Verhalten entspricht dem in Abbildung 1-17 b) gezeigten Kriechverhalten.

Abbildung 1-20 Stapelaktoren unterschiedlicher Anbieter unter konstanter Last: a) Hub des Aktors in µm bei 0 Kg, 4,5 Kg und 9 Kg bei 0,2 Hz b) Hub des Aktors in µm bei 0 Kg, 4,5 Kg und 9 Kg bei 11 Hz

19 eng. Layer : Schicht. In diesem Fall die Keramikschichten (PZT)

a) b)

Einleitung

33

Bei der Ausdehnung gegen eine wegabhängige Last, wie es z.B. bei einer Feder mit der Federrate kFeder der Fall ist, reduziert sich der vom Aktor erzeugte Hub ∆h wie folgt:

0 ( )Aktor

FAktor Feder

kh hk k=∆ = ∆

+ [1.27]

Hierbei ist l ∆h F=0 der Hub des Aktors im unbelasteten Zustand. Bei der Ausdehnung gegen eine unendlich steife Wand wird der vom Aktor generierte Hub gleich Null, und die vom Aktor erzeugte Arbeit wandelt sich komplett in Kraft um. Diese maximal vom Aktor erreichbare Kraft bezeichnet man auch als Blockierkraft. In Abbildung 1-21 wird der Zusammenhang zwischen Blockierkraft und Hub dargestellt.

Abbildung 1-21 Zusammenhang zwischen Hub und Blockierkraft

Handhabung mit PZT-Stapelaktoren Bei der Handhabung mit Piezoakoren müssen einige Punkte berücksichtigt werden, um einen einwandfreien Betrieb der Aktoren zu garantieren.

• Curietemperatur Die PZT-Keramik darf die angegebene Curietemperatur nicht übersteigen, da sie sonst depolarisiert und somit an Leistung verliert. Für den Dauerbetrieb wird eine Betriebstemperatur von 0,5- bis 0,75- fache der Curietemperatur empfohlen [Jen 15] .

• Depolarisationsdruck

PZT- Keramiken können aufgrund des direkten piezoelektrischen Effektes unter Anwendung mechanischen Druckes depolarisieren. Der dazu benötigte Druck liegt je nach Sorte zwischen 100 und 150 Mpa weit unter der Bruchgrenze von etwa 700 bis 800 Mpa. Daher muss durch gezielte konstruktive Maßnahmen dies verhindert werden.

• Zugbelastungen

Wie alle keramischen Werkstoffe, sind auch PZT-Keramiken sehr empfindlich gegen Zug-, Scher- und Torsionskräfte, sie dürfen somit nur axial belastet werden. So dürfen PZT- Keramiken unter Zug eine Dehnung von 1‰ nicht überschreiten, andere Anbieter geben als Wert 20 bis 50% der maximal erzeugten Kraft an. Da Keramiken gegen Druck unempfindlicher sind, sollten konstruktive Maßnahmen wie eine Vorspannung vorgesehen werden.

(Quelle: Fa.Tokin/NEC)

Einleitung

34

• Lebensdauer Die Lebensdauer von PZT-Keramiken ist abhängig von der Betriebsspannung, der Temperatur und vor allem der Luftfeuchtigkeit. Hierbei sollte man beachten, den Aktor nicht mit der maximal angegebenen Versorgungsspannung zu betreiben, sondern bei Dauerbetrieb mit ca. 50% der empfohlenen Spannung. Bei der Temperatur sollte man darauf achten, dass der Aktor im Betrieb nicht wärmer, als 40°C wird, da sonst die Lebensdauer nachlässt. Das größte Problem für die Aktoren bildet die Feuchtigkeit. Sie diffundiert zwischen den Elektroden und bringt sie zum Korrodieren. Zwar gibt es mittlerweile speziell gekapselte Stapelaktoren, aber dieses Problem ist noch nicht vollständig gelöst. Zu empfehlen ist es daher, die Aktoren so trocken wie möglich zu halten.

Designstrategie

35

2. Designstrategie Der folgende Abschnitt befasst sich mit der systematischen Herangehensweise an die Fragestellungen aus Mechatronik und elastischen Mechanik. 2.1 Entwurfsprozess

Abbildung 2-1 Einflussfaktoren auf den Entwurf: Unterteilung in primäre und sekundäre

Faktoren

Beim Entwerfen eines Mechanismus, der ein Teil eines mechatronischen Systems ist, wurde wie in Abbildung 2.1 dargestellt, zwischen primären und sekundären Einflussfaktoren unterschieden. Die primären Einflussfaktoren setzen sich zusammen aus dem Design, der Kinematik, der Dynamik und den fertigungstechnologischen Aspekten. Hierbei umfasst das Design die räumlichen Gesichtspunkte, mit denen die Abmessungen des Bauteils eingegrenzt werden. Die kinetischen Aspekte umfassen die Bewegung des Bauteiles. Die Dynamik umfasst hier das Schwingverhalten und dessen Auswirkung. Letztendlich muss natürlich auch die Fertigbarkeit des Bauteils gewährleistet werden. Neben den primären Einflussfaktoren beeinflussen auch nicht direkt beteiligte Größen den Entwurf der Mechanik. Dies können sein: Thermik, Elektronik, Messverfahren und Regelungs- bzw. steuerungstechnische Aspekte. Die Thermik bezieht sich hierbei darauf, dass die vom Sensor abgegebene Wärme abgeleitet werden kann, darüber hinaus ist bei verschiedenen Werkstoffpaarungen auf die Kombination der Wärmeausdehnungs-koeffizienten zu achten. Die Wechselwirkungen mit der peripheren Elektronik ist gerade bei mechatronischen Systemen sehr groß. Die Art der Wegmessung hat einen Einfluss auf das Aussehen der Mechanik. Schließlich ist die Frage, ob die Mechanik nur gesteuert oder zusätzlich geregelt wird, ein entscheidender Faktor für die Güte der Bewegung und somit für die Auslegung der Getriebestruktur und der Gelenkauswahl. Wie Abbildung 2-1 zeigt, spielen sich die sekundären Einflussfaktoren nur peripher ab, müssen aber mit größter Sorgfalt beachtet werden.

Designstrategie

36

2.2 Designstrategie nach Salomon Wie im Abschnitt 1.5 schon gezeigt, ist im Gegensatz zu klassischen starren Mechanismen ein Compliant-Mechanismus bei größeren Versetzungen von nichtlinearen konservativen Eigenschaften geprägt, die sich auf den Wirkungsgrad des Mechanismus auswirken. Die von Salamon (1989) [Sal 31] vorgeschlagene Designstrategie, wie in Abbildung 2-2 dargestellt, führt eine methodische Vorgehensweise zum iterativen Entwickeln auch komplexerer Mechanismen vor. Ausgehend vom Pflichtenheft, werden die für das Design maßgebenden Randbedingungen definiert und in der Spezifikation dokumentiert. Darauf aufbauend wird ein erster Mechanismus entworfen, bestehend aus konventionellen Gliedern und Gelenken, und anschließend analysiert. Als nächster Schritt werden die elastischen Komponenten definiert und in Form von Ersatzfedern an den Gelenken angebracht. Das daraus entstandene Modell entspricht einem Meta-Modell zwischen elastischem und starrem Modell, auch bekant als Pseudo-Rigid-Body-Mechanismus. Die konservativen Eigenschaften, die aufgrund der Federgelenke auftreten, können nun mit guter Nährung in die topologische Auslegung des Mechanismus einbezogen werden. Die anschließende Analyse gibt Aufschluss, ob der Mechanismus konform mit den geforderten Spezifikationen ist. Bei Abweichungen greift die erste iterative Schleife, wobei eine Änderung der elastischen Gelenke oder die Veränderung der mechanischen Topologie zur Option steht. Am Ende der Iterationsschleife stehen Designparameter zur Verfügung, die zur Konstruktion eines elastischen Modells herangezogen werden, was seinerseits einer erneuten Analyse unterzogen werden muss. Die vollelastische Analyse geschieht numerisch unter Verwendung eines FEM-Programms (Ansys 7.1). Wobei neben der kinematischen und dynamischen Untersuchung ein besonderes Augenmerk auf die Spannungsverteilungen innerhalb des Bauteils in Hinblick auf die Lebensdauer gelegt wird. Im letzten Design-Review wird erneut die Konformität mit der Spezifikation geprüft und eventuell erneut iterativ nach der Trial-and-Error Methode20 vorgegangen. Dieses methodische Vorgehen unter Inanspruchnahme der Pseudo-Rigid-Body-Modelle macht ein ökonomischeres Entwerfen von elastischen Mechanismen möglich. Vor allem Pseudo-Rigid-Body-Modelle ermöglichen es, im Voraus eine Topologie zu designern, in der elastische Verformungseigenschaften berücksichtigt werden und mathematisch erfasst werden. Die langwierige Trial-and-Error Vorgehensweise, die heute noch beim Design von Compliant-Mechanismen angewandt wird, verkürzt sich um ein Wesentliches und erlaubt somit ein schnelleres Entwickeln.

20engl.: Versuch- und Fehlermethode (Besser bekannt unter der Ausprobiermethode)

Designstrategie

37

Design Spezifikation

Synthese des Starrkörper- Mechanismus

Definition der elastischenStrukturen

Pseudo-Starrkörper-Mechanismus

Analyse des Mechanismus

Design Reviewvgl. mit Spec. und

Zwangsbedingungen

Verbesserung durchÄnderung des

Pseudo-StarrkörperModell ?

Nein

Vollelastischer Mechanismus

Analyse des Mechanismus(FEM Ansys)

Design Reviewvgl. mit Spec. und

Zwangsbedingungen

Verbesserung durchÄnderung desvollelastischen

Modells ?

Endgültiges Design

Nein Ja

OK

Nein

OK

Nein Ja

Abbildung 2-2 Vorgehensweise beim Design eines elastischen Mechanismus nach Salamon (1989) [How 12][Sal 31]

Designstrategie

38

Design-Spezifikation

39

3. Design-Spezifikation In der Spezifikation werden die Randbedingungen erfasst, die zum Erstellen der Mechanik notwendig sind. Hierbei unterscheidet man zwischen allgemeinen und technologischen Randbedingungen. Die allgemeinen Randbedingungen erfassen alle durch den Auftraggeber vorgegebenen Größen wie Versetzungsweite und Abtastfrequenz. In den technologischen Randbedingungen werden die Größen berücksichtigt, die aus den Aktorkomponenten selbst entstehen, z.B. die den Piezowandler betreffen. Falls die Vorgaben nicht ausreichend sind, müssen zusätzliche Parameter aus den vorhandenen Daten extrapoliert werden und in eine für das Design verwertbare Form gebracht werden. 3.1 Ermittlung der allgemeinen Grundanforderungen In den allgemeinen Anforderungen werden die Randbedingungen erfasst und charakterisiert, die vom Auftraggeber gefordert bzw. gewünscht werden. Die Forderungen, meist nur allgemein formuliert, müssen in quantitative Parameter umformuliert werden, um eine Bewertung der Zielerreichung zu gewährleisten. Andrerseits, bilden sie den Ausgangspunkt für die Auslegung des Designs der Mechanik und grenzen den Entwicklungsraum ab. Die Eingrenzung des Entwicklungsspielraums ist dahingehend von Bedeutung, da eine Über- bzw. Unterauslegung die Entwicklung und das Endprodukt unnötig verteuern bzw. die Qualität nicht der gewünschten entspricht. Eine genaue Erfassung der Forderungen bzw. Wünsche geschieht im Allgemeinen durch das Lastenheft. Die Umformulierung in die technischen Parameter erfolgt im Pflichtenheft. Beide sind firmenintern und dürfen im Rahmen dieser Arbeit nicht vollständig veröffentlicht werden. In der Spezifikation werden die Parameter zusammengefasst, die zur Berechnung und Auslegung der Mechanik notwendig sind. 3.1.1 Ermittlung der Bildsensorversetzung Der Ausgangspunkt für die Ermittlung der Maximalversetzung ist zum einen der Aufbau des Bildsensors und zum zweiten der Aufnahmemodus21. Der verwendete Bildsensor der FillFactory N.V hat einen Pixelabstand von 8 µm (siehe Abbildung 1-7), woraus sich für das Microscannen eine Versetzung von 4 µm ergibt. Da der Bildsensor aber fehlerhafte Pixel aufweist, wird eine Versetzung von 12 µm (1,5 Pixel) benötigt. Diese zusätzliche Versetzung dient der frequenzunabhängigen Korrektur von fehlerhaften Pixeln durch Interpolation aus der Umgebung. Zum Tiefpassfiltern wird eine Kreisbahn (siehe Abbildung. 3.1) mit einem Durchmesser 7 µm durchlaufen. Zusätzlich zu den o. g. Versetzungen werden noch 8 µm (1 Pixel) zur Registrierung benötigt. Die Registrierung orientiert sich an den Perforationen am Filmrand und soll gewährleisten, dass

21 Aufnahmemodus: Telecine bzw. HDTV siehe Anhang A


40

eine Bildregion beim erneuten Scannen mit demselben Pixel wie beim ersten Scannen aufgenommen wird. Aus den erwähnten Bedingungen ergibt sich für das Microscannen eine Maximalversetzung des Sensors von: Microscann 12 µm + Registrierung 8 µm ------------------------------------ max. Versetzung 20 µm Für das Microscannen einschließlich Tiefpassfilterung (Abbildung 3-1) folgt: Microscann 12 µm

+ Tiefpass- Radius 7 µm + Registrierung 8 µm ---------------------------------- max. Versetzung 27 µm

Ø 7 µm

19 µm

12µm

1

2

3

4

Abbildung 3-1 Bahn für Microscann mit Tiefpassfilterung


41

3.1.2 Registrierung und Kalibrierung Wie im oberen Abschnitt erwähnt, wird für die Registrierung und Kalibrierung des Filmmaterials eine zusätzliche Verschiebung benötigt. Diese hat neben dem quantitativen Aspekt noch einen qualitativen, der einen zusätzlichen Freiheitsgrad mit sich bringt. Neben der Translation in Y- und Z-Richtung soll wie in Abbildung 3-2 dargestellt zur Korrektur des Bildstandes noch eine minimale Rotation um die X-Achse ermöglicht werden, um eventuelle Fehlstellungen des Filmmaterials zu kompensieren. Die Filmstandskorrektur wurde bisher, wie in Abbildung 3-2 a) dargestellt über eine Glasplatte realisiert. Der an der Glasplatte gebrochene Lichtstrahl wurde durch Verkippen der Glassplatte so abgelenkt, dass die Fehlstellung korrigiert wurde. Bei der vorgesehenen neuen Bildstandskorrektur wird die Fehlstellung, wie in Abbildung 3-2 b) angedeutet, durch Verdrehen des Sensors um die X-Achse und durch Versetzen entlang der Y- und Z-Achse realisiert.

Abbildung 3-2 Filmregistrierung und –kalibrierung: a) bisherige Filmstandkorrektur b) Filmstandkorrektur durch Positioniermechanik

z

yMx

x∆

Glasplatte

Lichtstrahl

Filmtransport

yϕ∆

a) b)


42

3.2 Ermittlung des Dynamikbereiches Der Dynamikbereich wird von der Belichtungszeit und vom Aufnahmemodus begrenzt. Aus den Belichtungsmoden ergeben sich die in Tabelle 3-1 tabellierten Belichtungszeiten:

Tabelle 3-1 Belichtungsmoden

Belichtungsmodus Belichtungszeit [ms] kurze Belichtung 2,4 lange Belichtung 24

Aus den Aufnahmemoden ergeben sich die in Tabelle 3-2 tabellierten Frequenzen:

Tabelle 3-2 Aufnahmemoden

Aufnahmemodus Frequenz [Hz] Telecine bei 24 Fps 24 Telecine bei 24 Fps RGB 72 Telecine bei 24 Fps IR RGB 96

Bei der RGB-Aufnahme läuft pro Farbe (rot, grün, blau) ein Zyklus durch. Bei der IR-RGB-Aufnahme kommt zusätzlich noch ein Zyklus für die Infrarotbelichtung hinzu. Dieser Modus wird für die Archivierung von den Filmaufnahmen benötigt, wo eine Dynamik von 24 Fps22 nicht zwingend notwendig ist. Bei den ersten Maschinen wird eine Dynamik von 1 Fps RGB verwendet, was einer Frequenz von 3 Hz entspricht. Die Auslegung der Mechanik soll aber schon jetzt die Anforderungen der nächsten Generation erfüllen und somit eine telecine Aufnahme in RGB und Real-Timen mit 72Hz ermöglichen.

22 FPS: (engl.) Frame pro second; (deu.) Bild pro Sekunde


43

3.3 Ermittlung der technologischen Grundvoraussetzungen In den technologischen Anforderungen werden die Randbedingungen erfasst und charakterisiert, die von den Aktor-Subsystemen (Bestandteilen) ausgehen. Diese sind aus den Angaben der Hersteller zu entnehmen. Dabei sind neben quantitativen Parametern auch qualitative Vorgaben, die maßgeblichen Einfluss auf die Gestaltung haben, zu berücksichtigen. Vor allem bei dem elektromechanischen Wandler sind konstruktive Maßnahmen für einen zuverlässigen Dauerbetrieb zu beachten. Diese Maßnahmen müssen hier ermittelt und ebenfalls in technischen Parametern umgesetzt werden. 3.3.1 Piezo- Wandler Als Teil des Aktors sind die Anforderungen des Wandlers beim Design der Mechanik zu berücksichtigen. Bei verwendetem Piezo-Wandler handelt es sich um eine Multilayer-PBZ-Keramik der Nec/Tokin Corporation, Modell AE0203D16 (siehe Anhang C). Die benötigten Parameter für das Mechanikdesign wurden dem beigefügten Datenblatt entnommen (siehe Anhang C, Seite 138)

Tabelle 3-3 Mechanische Daten des Piezowandlers

Parameter Werte E- Modul 44 [Gpa] Zugfestigkeit (1/10 der max. Kraft) 20 [N] Resonanzfrequenz 69 [KHz] Maximalhub ( bei 150 [V]) 17,4 ± 2 [µm] Empfohlener Hub ( bei 100 [V] ) 11,6 ± 2 [µm] Maximale Kraft ( bei 0 [µm] Hub) 200 [N] Arbeitstemperatur -25°C bis 85° C

Aufgrund der geringen Zugfestigkeit wird vom Hersteller eine Vorspannung auf Druck von 20 bis 50 % der maximalen Kraft vorgeschlagen. Für das Modell AE0203D16 folgt daraus eine Vorspannung Fv von 40 [N]. 3.3.1.1 Ermittlung des Maximalhubes des Piezowandlers unter Vorspannung Zur Ermittlung des Maximalhubes des Piezowandlers unter Vorspannung wird ein lineares Modell für den Wandler entwickelt. Ausgehend von der linearen piezoelektrischen Zustandsgleichung [Jen 15] für die mechanische Dehnung23 S eines Piezoaktors ergibt sich folgender Zusammenhang: ,

, ,E E

j jS d E s Tϑ ϑλ λ λ λ µ µα ϑ= ⋅∆ + ⋅ + ⋅ [3.1]

mit ϑ∆ : Temperatur [K]

E : elektrisches Feld [N/C] T : mechanische Spannung [pa]

, ,d sα : Zugehörige Materialkoeffizienten.

23 Anders als in der Mechanik wird die mechanische Dehnung nicht mit ε bezeichnet, sondern mit S. Grund dafür ist, dass ε bei der Beschreibung von Piezoaktoren für die Permitivitätszahl verwendet wird.


44

Bei den Indizes λ und µ handelt es sich um eine Tensorindizierung. Aufgrund der Symmetrie der indizierten Tensoren wird auf die übliche Doppelindizierung Ti,j verzichtet und stattdessen die einfachere Matrix-Einzelindizierung angewandt. Bei der Einzelindizierung sind λ = 1...3, z.B. beim Spannungstensor, die Normalspannungen und λ = 4...6 die Scherspannungen. Die Indizes im Exponenten geben zusätzlich Auskunft, von welchen physikalischen Größen die Materialkoeffizienten noch abhängig sind. Insgesamt werden zur Beschreibung eines Piezoaktors 55 Materialkoeffizienten24 definiert. Zusammen mit dem vom Hersteller angegebenen Graphen (siehe Anhang B) unter Vernachlässigung der Hysterese und unter der Annahme des Isothermen Fall ( ϑ∆ = 0), wird wie in Abbildung 3-3 dargestellt ein stark vereinfachtes lineares Ersatzmodell für den Piezowandler aufgestellt. In Abbildung 3-3 a) wird schematisch der Betriebszustand des Aktors aufgezeigt. Hierbei hängt der erzeugte Piezohub h nur von der angelegten elektrischen Spannung U und der Vorlast Fv ab. Systemtechnisch kann man, wie in Abbildung 3-3 b) dargestellt, den Wandler als Übertragungsglied ansehen, an dessem Eingang eine elektrische Spannung U und die Vorspannung Fv sich befinden und als Ausgang der Piezohub h erzeugt. Das Verhalten des Übertragungsgliedes wird mit dem in Abbildung 3-3 c) dargestellten mechanischen Ersatzmodell beschrieben. Dabei sind EEp die expansive Einheit und kAktor die Steifigkeit des Wandlers.

Fv

~ U

PiezowandlerU

hG(Fv;U)

Fv

i= const.

h

EEp Cp

Abbildung 3-3 Ersatzmodell für den Piezoaktor:

a) schematische Darstellung des Piezowandlers unter Vorspannung Fv [N] b) Systemtechnische Darstellung der relevanten Größen c) Mechanisches Ersatzmodell für den Piezowandler

Die expansive Einheit wandelt die Spannung in einen Hub um, wobei dies hier als linear angenommen wird, der Proportionalitätsfaktor ist dabei das Piezomodul d33. Da dieser vom Hersteller nicht angegeben wird, wird als Proportionalitätsfaktor Ku,h berechnet. Bei einem geschlossen polarisierten Element, wird für die als linear angenommene Abhängigkeit zwischen erzeugtem Hub und angelegter Spannung folgender Proportionalitätsfakto Ku,h angenommen:

6

7,

17,6 10 1.16 10 0,116150u h

h m m µmKU V V V

−−∆ ⋅

= = = ⋅ =∆

[3.2]

24 Die Materialkoeffizienten ergeben sich aus der 10x10 Zustandsmatrix des Piezoaktors. Aufgrund der Achsensymmetrie der Zustandsmatrix reichen 55 Koeffizienten für die Beschreibung völlig aus. (Siehe [Jen 15])

b)a) c)

kAktor


45

Für die Abhängigkeit zwischen Hub und angelegter Blockierspannung ergibt sich aus Gleichung 1-26 für die Proportionalitätsfaktor KPZT folgender Wert:

76

200 1.1 1017,6 10

BlockierPZT

F N NKh m m−

∆= = = ⋅

∆ ⋅ [3.3]

Für die Abhängigkeit zwischen erzeugter Blockierkraft Fp und angelegter Spannung gilt folgender Proportionalitätsfaktor KF,U:

,200 1,3150

BlockierF U

F N NKU V V

∆= = =

∆ [3.4]

Die Kräftebilanz zwischen angelegter Vorspannkraft Fv und vom Wandler erzeugten Kraft Fp ergibt die resultierende Kraft FT, die in eine Translationsbewegung übergeführt wird: T p vF F F= − [3.5] Die resultierende Kraft FT in Abhängigkeit von der angelegten Spannung U ergibt sich aus folgender Beziehung:

( ) 1,3 [ ]T vF U U V F= − [3.6]

Für den Piezohub in Abhängigkeit von der angelegten Spannung U und der Vorspannung Fv lassen sich nun die folgenden näherungsweisen Abhängigkeiten ermitteln: 1 1 8

,( ; ) ( ) ( ) (1,3 ) 9,1 10 [ ]T v T PZT F U v PZT vh U F F U K K U F K U F m− − −= = − = − ⋅ [3.7] In der Literatur findet sich eine Reihe von Ersatzmodelle für Piezowandler [Len 21][Ise 14], die aber den Rahmen des Geforderten sprengen würde. Für das konstruktive Auslegen der Mechanik ist das lineare Modell aus Gleichung 3-7 vollkommen ausreichend. 3.3.1.2 Konstruktive Maßnahmen Konstruktiv ist die Art, wie die Vorspannung aufgebracht wird, zu erörtern. In Abbildung 3-4 werden einige Möglichkeiten dargestellt, um eine Vorspannung anzubringen.

Abbildung 3-4 Vorspannungsprinzipien: a) Geometrische Vorspannung b) Federvorspannung c) Einstellbare Federvorspannung

a) b) c)


46

Die Vorspannung sollte laut Hersteller nicht unter 40 N liegen. Für die Prototypen sollte eine variable Spannvorrichtung, wie in Abbildung 3-4 c) gezeigt, eingesetzt werden, um im Versuch die ideale Vorspannung ermitteln zu können. Für die Serienfertigung ist eine geometrische Vorspannung zu bevorzugen, da sie keiner Einstellung bedarf. Wenn jedoch die Piezoaktoren in ihren Toleranzen stark abweichen oder nicht immer vom selben Hersteller bezogen werden können, sollte die einstellbare Variante c) auch für die Serie beibehalten werden. Wie aus Abschnitt 1.5 hervorgeht, sind keramische PTZ- Aktoren sehr empfindlich gegen Quer- und Scherkräfte. Zur Vermeidung von Schäden wird der Piezoaktor von diesen Kräften entkoppelt. Hierzu werden wie in Abbildung 3-5 b) dargestellt an den beiden Enden des Aktors zusätzliche Gelenke angebracht, die es erlauben, dass der Aktor in Querrichtung nachgibt.

Piezowandler

FF

xσ

yσxyτ

xFσ

Abbildung 3-5 Scherkraftkompensation: a) nicht erlaubte Spannungsrichtungen b) Gelenkkompensation c) Kurvenschleifenersatzmodell

3.3.1.3 Lebensdauerbetrachtung des Piezoaktors Wie lange ist die Lebenserwartung eines Piezoaktors und wovon hängt sie ab? Auf einige Aspekte der Lebensdauer wurde schon in Abschnitt 1.6.1.2 eingegangen. Hier soll anhand einer vom Aktorhersteller angegebenen empirisch ermittelten Formel die Lebensdauer berechnet werden. r s v h tMTTF MTTF A A A= [3.8] Wobei:

MTTFr : die Lebenserwartung in Stunden, MTTFs : eine Referenzgröße von 500 Stunden, Av : der Faktor für die spannungsabhängige Alterungsbeschleunigung, Ah : der Faktor für die feuchtigkeitsabhängige Alterungsbeschleunigung, At : der Faktor für die temperaturabhängige Alterungsbeschleunigung ist.

Die Korrekturfaktoren ihrerseits errechnen sich folgendermaßen:

3,2

150v

r

AV

=

[3.9]

a) b) c)


47

4,9

90h

r

AH

=

[3.10]

40

101,5rT

tA−

= [3.11] Hierbei sind:

Vr: die am Piezoaktor angelegte Spannung in [V], Hr: die relative Feuchtigkeit in der Umgebung des Piezoaktor in [%], Tr: die am Piezoaktor herrschende Umgebungstemperatur in [°C].

Ausgehend von der Annahme, dass der Scanner 10 Jahre im Betrieb gehalten wird bei einem 16 Stunden-Tag entspricht dies einer zu erfüllenden Lebensdauer von 58400 Stunden. Tabelle 3-4 Lebensdauer der Piezoaktoren in Stunden bei konstanter Temperatur Tr=40°C

mit variabler Spannung U und relative Feuchte Hr

Hr in [%] 70 50 30 10 U in[ V]

150 1784 9277 113364 24681266 100 6529 33955 414921 90335709 75 16394 85253 1041764 226810634 50 60003 312034 3812952 830147839

Aus der Tabelle 3-4 und der Gleichung 3-10 läst sich schliessen, dass die relative Feuchte den größten Einfluss auf die Lebensdauer des Piezoaktors hat. Daher wird der Sensor feuchtigkeitsdicht mit Trocknungsmittel gekapselt. Somit wird erreicht, dass die Aktoren keine höhere Feuchte als 30% erfahren. Darüber hinaus wird die Ansteuerspannung auf 90 [V] maximal begrenzt, was zu einer Reduzierung des möglichen Piezohubes führt.


48

3.3.2 Federwerkstoff Der Wahl des richtigen Werkstoffes kommt gerade bei Mechanismen mit hoher Lebensdauer und hoher dynamischen Beanspruchung eine zentrale Rolle zu. Bei einer Lebensdauer von mindestens 10 Jahren (was der Qualitätsphilosophie von ARRI entspricht) und einer angenommenen 16 Stunden betrieb pro Tag bei einem telecine-RGB-Belichtungsmodus (72 Hz) ergibt sich eine Lastwechselzahl von ca. ~

972 (10 365 16 3600) 19 10 Lastwechsel⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ Weitere Anforderungen an das Material sind:

• Passender Wärmeausdehnungskoeffizient (α) Da verschiedene Materialien miteinander verklebt werden, ist ein Temperatur-Ausdehnungskoeffizient α von 9 bis 10 µm/K wünschenswert.

• Korrosionsbeständigkeit • Gute Verarbeitbarkeit

Dies bezieht sich auf die fräsende Bearbeitung, aber vor allem auf die EMD- Bearbeitung.

• Hohe Dehnbarkeit Ein guter Anhaltspunkt hierfür ist das Verhältnis aus Dehngrenze und dem Elastizitätsmodul σ/E, wobei ein großer Wert einen großen elastischen Bereich bei geringer Krafteinwirkung darstellt

• Eine hohe Dauerbiegewechselfestigkeit Aus den genannten Eigenschaften fiel die Wahl auf 1.6358 (vgl. Tabelle 3-5). Ausschlaggebend hierfür war die hohe Dauerbiegewechselfestigkeit von 730 Mpa bei 10 hoch 7 Lastwechseln, die gute Verarbeitbarkeit des Werkstoffes und das gute σ/E-Verhältnis von 9,2. Werkstoffe aus Titanlegierungen fielen trotz ihrer guten σ/E Verhältnisse aufgrund ihrer schlechten funkenerosiven Verarbeitbarkeit heraus. Werkstoffe wie CuBe 2 hingegen waren schlicht zu teuer. Tabelle 3-5 Kenngrößen von metallischen Werkstoffen

Werkstoff Dichte ρ [kg/m³]

E-Modul [Gpa]

σ 0.2 [Gpa]

α 10-6 m/k

σ bW [Mpa]

σ/E [10-3]

CuBe 2 8,9 127 1,12 - - 10

Ti Legierung 4,4 115 1,4 7,5 420 12,2

1.6358 (Marange Stahl) 8,2 193 1,815 10,2 730 9,4

XC75 (Federstahl) - 210 1,1 - - 5,2

1.4104 (Vergüteter Stahl) 7,7 210 0,45 10 - 2,1

1.8159 (Werkzeugstahl) - 206 1,18 - - -


49

3.3.2.1 Lebensdauerabschätzung Für das Werkstück sind folgende möglichen Schädigungen zu berücksichtigen:

• bleibende plastischen Verformungen • Brüche • Verschleiß bzw. Materialermüdung • Korrosion • fertigungstechnisch bedingte Minderung der Werkstofffestigkeit.

Bei der Charakterisierung von Brüchen wird in der Technik zwischen folgenden Arten unterschieden:

• Gewaltbrüchen • Schwingungsbrüchen.

Die Gewaltbrüche sind die Folge einer Überbelastung, die oberhalb der Bruchfestigkeit Rm liegt. Um diesem Typus vom Materialversagens entgegen zu wirken, muss darauf geachtet werden, dass der Mechanismus nie einer Belastung >Rm ausgesetzt wird. Der schwingungsbedingte Bruch tritt dagegen schon bei Beanspruchungen unterhalb der Bruchfestigkeitsgrenze Rm auf. Die Ursachen hierfür sind sich ständig wiederholende Belastungen, die eine plastische Verformung im mikroskopischen Bereich an der Oberfläche des Werkstoffes zur Folge haben. Dabei können Versetzungen an der Oberfläche lokal austreten und somit zur Mikrorissbildung und folglich zur Ermüdung des Mechanismus führen. Wie man sehen konnte, haben die durch Wechselbelastungen bedingten Risse ihren Ursprung an der Oberfläche des Werkstückes. Diese Rissausbildung an der Oberfläche kann daher stark durch fertigungstechnisch bedingte Oberflächenstruktur, wie sie beim Fräsen oder Erodieren entstehen, gefördert werden. So geben raue oder grob bearbeitete Oberflächen Keime zur Entstehung von Mikrorissen. Diese Keime findet man gehäuft da, wo lokale Gebiete auf der Oberfläche einen relativ hohen Spannungsgradient aufweisen. Wie man in Abschnitt 6.2 sehen kann, ist die Oberfläche von EMD bearbeiteten Werkstücken durch eine kerbige Struktur gekennzeichnet. Solche Oberflächen bieten ideale Ausgangspunkte für die Ausbreitung von Ermüdungsbrüchen und muss folglich etwas genauer unter die Lupe genommen werden. Gerade beim Design von Federgelenken ist darauf zu achten, dass die Übergänge zwischen Gelenke und Gliedern nicht zu scharf sind, da wie in Abbildung 3-6 gezeigt an diesen Stellen Spannungsspitzen auftreten.

Abbildung 3-6 Spannungsspitzen an scharfen Übergängen


50

Hierbei haben statisch auftretende Belastungen bei zu scharfen Übergängen, wie z.B. bei scharfen Kerben, nur einen sehr geringen Einfluss auf die Festigkeit, wobei hingegen dynamische Beanspruchungen umso fatalere Auswirkungen an solchen Lokalitäten haben. Einer Abschätzung der Lebensdauer unter Berücksichtigung dieser Faktoren kommt bei dynamisch hoch Beanspruchten Systemen eine zentrale Bedeutung zu. Nur so kann gewährleistet werden, dass der Mechanismus den gewünschten Lebenszyklus mit hoher Wahrscheinlichkeit unbeschadet übersteht. Um einen Mechanismus bezüglich seiner Lebensdauer auszulegen, werden zwei Arten von dynamischer Belastung unterschieden: • stochastisch auftretende Belastungen • periodisch auftretende Belastungen. Für unseren Anwendungsfall beschränken wir uns auf die Untersuchung von periodisch wiederkehrenden Belastungen, da sie beim Microscannen überwiegen. Sehr anschaulich ist das Verhalten von Werkstoffen unter periodischen Belastungen an den so genannten Wöhler- Kurven zu beobachten. Die Wöhler- Kurven geben den Zusammenhang zwischen den ertragbaren Lastwechselzahlen (LW) und den zugehörigen Oberspannungen σo wieder (siehe Abbildung 3-7).

Abbildung 3-7 Wöhler- Kurve eines Metalls

Die in Abbildung 3-7 dargestellte Wöhler- Kurve lässt sich in drei Sektoren einteilen:

I. der Kurzfestigkeitsbereich (bis ca. ~ 104 Lastwechsel) II. der Zeitfestigkeitsbereich (bis ca. ~ 107 Lastwechsel) III. der Dauerfestigkeitsbereich (ab ca. ~ 107 Lastwechsel).

Für eine hoch dynamische beanspruchte Mechanik muss daher gewährleistet werden, dass die maximal zulässigen mechanischen Spannungen an den Federgelenken unter denen im Dauerfestigkeitsbereich bleiben. Weitere Einflussfaktoren, die sich auf die Festigkeitsbereiche auswirken, sind zum Beispiel: • Die Bauteilgröße.

So haben größere Bauteile bei gleicher Belastung eine geringere Lastwechselzahl, als kleinere (aufgrund der größeren Oberfläche)

• Einfluss von Kerben. So ist bei weicheren (nicht spröden) Werkstoffen der oben erwähnte negative Einfluss von Kerben geringer. Dies ist dahingehend wichtig, da eine Erhöhung der Werkstoffsteifigkeit keine Erhöhung der Schwingfähigkeit mit sich bringt.

(Quelle: [Sip 35])


51

Dies führt dahin, dass zur Gewährleistung der Lebensdauer bei der Festlegung der zulässigen Spannungen in Dauerbetrieb ein Sicherheitsfaktor zugeschlagen werden muss. Der Sicherheitsfaktor richtet sich hierbei entweder an die maximal zugelassene Spannung (Dauerfestigkeit) oder an die maximal zugelassenen Lastwechsel (Zeitfestigkeit). Bei der Dauerfestigkeit wird bei bekannter Beanspruchung ein Sicherheitsfaktor [Sip 35] von

. 1, 2...1,5zul

Betrib

S σσ

= ≈ [3.12]

empfohlen. Bei Rücksprache mit dem Werkstoffhersteller25 und unter Berücksichtigung der funkenerosiven (EMD) Fertigung wurde ein Sicherheitsfaktor von 3S = gewählt. Für die maximal zulässige Spannung im Betrieb folgen

. 730 2433

zulBetrieb

Mpa MpaS

σσ = = = [3.13]

3.4 Spezifikationsparameter Aus dem vorhergegangenen Betrachten lassen sich folgende Parameter bestimmen: Da der vom Piezo-Wandler erzeugte Hub hPiezo kleiner ist, als der für die Sensorversetzung hSensor benötigte, ist eine mechanische Verstärkung mit einem Verstärkungsfaktor Ü (Übersetzung) wie folgt notwendig:

Sensor

Piezo

hAusgang 27 mÜ 3Eingang h 8,5 m

µ= = = ≈

µ [3.14]

Dieser Wert ist für die Kombination aus Tiefpassfilter und Microscann gedacht. Die Freiheitsgrade des Mechanismus setzten sich zusammen aus zwei translatorischen und einem rotatorischen, woraus sich F = 3 Freiheitsgrade für die Mechanik ergeben. Der Dynamikbereich befindet sich zwischen 4 Hz und 72 Hz. Beim Piezowandler ist darauf zu achten, dass er permanent unter Druck gehalten wird, hierfür ist eine Vorspannvorrichtung zu konstruieren. Für den Werkstoff 1.6358 ist eine maximal zulässige Spannung von σzul = 243 Mpa vorgesehen. In der Tabelle 3-6 werden die wichtigsten Anforderungen an die Mechanik noch einmal übersichtlich zusammengefasst.

25 Fa. Vakuum Schmelze (später die Fa. Böhler)


52

Tabelle 3-6 Zusammenfassung der wichtigsten Anforderungen an den Positioniermechanismus

Anwendung Anforderung Beschreibung Mindestens 3 FHG Mind. zwei translatorische in

X- und Y-Richtung und eine rotatorische um die Z-Achse

Kinematik

Stabil gegen Längskräfte Darf sich nicht unter seinem Gewicht verbiegen

Hohe Steifigkeit Durch parallel angeordnete Federgelenke

Dynamik

Geringe Masse Erhöhung der Eigenfrequenz durch Minimierung der Trägheit

Geometrie Kompakte Bauweise Falten der Strukturen Fertigung EMD- kompatibel Da firmeninterne Ressourcen

ausgenutzt werden sollen Werkstoff Werkstoff mit hoher

Dauerbiegewechselfähigkeit Mechanik muss mehrere Milliarden Lastwechsel aushalten

Getriebetopologie

53

4. Getriebetopologie Die kinematische Kette ist eine geeignete Abstraktionsform zur systematischen Erzeugung von Getriebemechanismen. Sie beschränkt sich nur auf dem strukturellen Zusammenhang der Glieder, gibt aber keine Auskunft über die Funktion der Glieder. Die kinematische Struktur dient beim Positionieren vor allem der Bewegungsübertragung. Zusammen mit dem Aktor hat die kinematische Struktur einen wesentlichen Einfluss auf die Eigenschaften des Gesamtsystems. Die zu klärende Punkte in diesem Zusammenhang sind:

• der Verlauf der Koppelkurve in der Ebene, • die Art des Getriebes.

Hierzu wird das Getriebe in seine Submechanismen unterteilt:

• der Anordnung der Aktoren, • dem Führungsmechanismus und • dem Übertragungsmechanismus.

Der Übertragungsmechanismus sorgt für die Übertragung von Bewegungen und Energie, wobei er bei Bedarf sie verstärkt bzw. wandelt. Der Führungsmechanismus hingegen dient der Führung des Sensors entlang der vorgesehenen Bahn. Die Anordnung der Aktoren ist für die Stabilität und mögliche Einflussnahme bzw. Korrektur der Bahn von Bedeutung. Die Entwicklung eines Starkörpermechanismus verläuft im Wesentlichen in zwei Schritten ab:

• der Synthese der topologischen Struktur und • der Maßsynthese.

Bei der Synthese der topologischen Struktur werden die Getriebetypen ausgewählt, deren Topologie die gewünschten Freiheits- und Laufgrade erfüllen. Bei der anschließenden Maßsynthese werden die Abmessungen des Getriebes festgelegt, so dass es den Anforderungen der Spezifikation entspricht. In der ersten Hälfte dieses Abschnittes werden die Teilaspekte der Aktoranordnung der Führung und der Übertragung betrachtet, wobei mit Hilfe von Konstruktionskatalogen die in Frage kommenden feinwerktechnischen Konstruktionsprinzipien und Getriebetypen ausgewählt werden. Anschließend werden die einzelnen Prinzipien kombiniert und zu einer geschlossenen kinematischen Kette zusammengefügt. Im zweiten Teil wird die erzeugte Kette analysiert und iterativ auf die geforderten Anforderungen angepasst. 4.1 Anordnung der Aktoren Die Freiheitsgrade bzw. der Laufgrad eines Mechanismus entspricht im Wesentlichen der Anzahl der benötigten Aktoren, um einen Zwangslauf in den gewünschten Richtungen zu gewährleisten. In Designspezifikation werden 3 Freiheitsgrade gefordert, die sich aus 2 Translatorischen in X-Y-Richtung und einen Rotatorischen um die Z-Achse zusammensetzen.

Getriebetopologie

54

Aus der reinen Laufgradbetrachtung heraus ist der Zwangslauf und somit die Anforderung aus der Spezifikation mit drei Aktoren erfüllt. Mögliche Anordnungen der Aktoren sind in Abbildung 4-1 dargestellt. Hierbei sind als Pfeile die Aktoren und ihre Versetzungsrichtung darstellen. Die strichgepunkteten Pfeile stellen die Rotation dar, wobei die verursachenden Piezoaktoren farblich hervorgehoben sind.

X

YZ (a) (c) (d)(b) (e)

Abbildung 4-1 Aktoranordnungen: a) Zweiaktorbetrieb b) c) d) Dreiaktorbetrieb e) Vieraktorbetrieb

Für die Translation entlang der X- und Y-Achse wird jeweils ein Aktor benötigt. Die zusätzliche Rotation um die Z-Achse kann, wie in Abbildung 4-1 b) und c) dargestellt, durch einen zusätzlichen Aktor entlang einer der beiden translatorischen Achsen oder wie in Abbildung 4-1 c) durch einen Aktor quer dazu realisiert werden. Bei der in Abbildung 4-1 b) und c) dargestellten Variante wird eine Verdrehung um die Z-Achse durch entgegengesetztes Ansteuern der parallel gegenüberliegenden Aktoren hervorgerufen. Bei der Anordnung in Abbildung 4-1 d) wird die Verdrehung um die Z-Achse durch einem schräg angeordneten Aktor hervorgerufen. Aus früheren Untersuchungen, die an Mechaniken durchgeführt worden sind, die nur für das Microscannen ohne dynamischen Tiefpass ausgelegt waren, konnten folgende Erkenntnisse gewonnen werden: Bei der in Abbildung 4-2 a) dargestellten Mechanik mit nur zwei Freiheitsgraden wurden die Zwangsläufe durch zwei Aktoren (hellgrün) mit der Anordnung aus Abbildung 4-1 a) realisiert.

Abbildung 4-2 Referenzmechaniken: a) im Zweiaktorbetrieb (BMA02a) b) im Vieraktorbetrieb (BMA02b)

Bei Messungen stellte sich aber heraus, dass eine ungewollte Verkippung des Sensors um die Z- Achse zu beobachten war. Die Ursache hierfür ist wahrscheinlich eine ungleichmäßige

a) b)

Getriebetopologie

55

Verteilung der Formänderungsenergie auf die verschiedenen Gelenke des Mechanismus. Die daraus folgenden unterschiedlichen Auslenkungen der Glieder waren die Ursache für das Verkippen. Als Konsequenz wurde die Aktoranordnung symmetrisch, wie in Abbildung 4-1 e) konzipiert. Die daraus hervorgegangene Vieraktormechanik aus Abbildung 4-2 b) konnte das Verkippen des Bildsensors nicht nur kompensieren, sie war darüber hinaus auch in der Lage eine Verdrehung gezielt zu erzeugen. Zur Verdrehung wurden die Aktoren wie in Abbildung 4-1 b) und c) schon gezeigt gegeneinander angesteuert. Aus dieser Erfahrung heraus wird für den Entwurf des Mechanismus eine symmetrische Anordnung der Aktoren gewählt, was auf einen Vieraktorbetrieb (Abbildung 4-1 e)) führt. 4.2 Führungsprinzipien Da die Aktoren, in unserem Fall Piezowandler, nur translatorishe Verschiebungen erzeugen, muss die Translation zum einen auf das gewünschte Objekt übertragen, zum anderen in die gewünschte Bahn gelenkt werden. Diese Aufgabe übernehmen die Führungsgelenke. Schon bei der Wahl des Führungsprinzips sollte neben den klassischen (starren) kinematischen Ketten auch elastische in Betracht genommen werden. Eine gute Hilfe sind hierfür Lösungskataloge [Bre 4][VDI 37], wo schon bewährte Konstruktionselemente aus der Feinwerktechnik entnommen werden können. In Abbildung 4-3 werden einige technologisch realisierbare Federführungen für die benötigte Translation dargestellt, wobei die gewünschte Translation um ∆y durch eine Kraft F erzeugt wird. Bei der Federabstützung handelt es sich um eine Versteifung der Feder in einem vorgegebenen Bereich. Hierdurch können der Feder diskrete Drehpunkte bzw. Drehpole zugewiesen werden.

a) Biegefeder b) Parallelführung c) Membranfürung (Vierblattführung)

z

y

x

d) Parallelführung mit Federabstützung

e) Parallel Geschaltete Parallelführung mit Federabstützung (Vierblattführung mit Federabstützung)

zϕ

zϕ

zϕ

yFy ∆;

yFy ∆;

yFy ∆;

yFy ∆;

yFy ∆;

x∆x∆

x∆

Abbildung 4-3 Federführungsprinzipien

Die Güte des Verlaufs ist daran zu messen, ob neben der Versetzung um ∆y auch eine unerwünschte Versetzung um ∆x bzw. eine Rotation (Verkippen) um ϕz vorhanden ist. Bei der Wahl des geeignetsten Führungsprinzips ist neben der Verlaufgüte auch die dynamische Güte zu berücksichtigen. So haben sowohl die Parallelführung aus Abbildung 4-3 b) als auch

Federabstützung

Getriebetopologie

56

die Parallelführung mit Federabstützung aus Abbildung 4-3 d) eine hohe Verlaufsgüte bezüglich der Gradenführung, jedoch einen schlechte dynamische Güte. Die zur Abbildung 4-3 dazugehörigen Beziehungen bezüglich der Güte der Bewegungstreue finden sich in Tabelle 4-1. Hier wird die Bahnkurve als die Funktion der Form f(x)-> y angegeben. Die Güte der Führung wird als Abweichung von der Geraden angegeben. Die zur Auslenkung benötigte Kraft wird als Funktion der Federgeometrie angegeben. Die Quer- und Scherkräfte werden als resultierende der Kraft angegeben. Tabelle 4-1 Zeigt die Güte der in Abbildung 4-3 dargestellten Führungen [Bre 4]26

Da die zu entwickelnde Mechanik nicht nur eine Bahnkontur durchläuft, ist eine Getriebestruktur alleine nicht ausreichend. Die Erweiterung auf beliebige ebene Bahnkonturen wird durch Überlagerung von zwei translatorischen Bewegungen erreicht. Mit Hilfe eines Positionsmesssystems wird die momentane Lage des Sensors erfasst und mit einer geregelten Steuerungssoftware die gewünschte Bahnkontur durchlaufen.

26 Achtung Koordinatensystem nicht konform mit dem in dieser Arbeit angewandten System (x, y- Richtung vertauscht).

Getriebetopologie

57

4.3 Übertragungsprinzipien Wie schon in Abschnitt 3.4 erläutert, reicht der vom Wandler erzeugte Hub nicht aus, um die benötigte Sensorversetzung zu gewährleisten. Somit ist eine Verstärkung des Hubes um mindestens Faktor 3 notwendig. Bei der Wahl der Stellwegvergrößerung stehen mehrere Konstruktionsprinzipien zur Auswahl, in Tabelle 4-2 wird eine kleine Übersicht über mögliche Prinzipien geben. Tabelle 4-2 Übertragungsprinzipien in der Feinwerktechnik

Übertragungsprinzipien Beschreibung Beispiele Mechanische Siehe Beispiele • Gelenkgetriebe (Hebelarm)

• Zahnrad • Schraubgetriebe • Kurvengetriebe

Adaptive Aktor als Teil der Führung Bimorphe Aktormechanismen

Wegen der niedrigen Ansprechzeit und des geringen konstruktiven Aufwands, beschränkt sich die Betrachtung auf mechanische Stellwegvergrößerungen [Jen 15]. Untersucht werden die in Abbildung 4-4 dargestellte Varianten.

a

b

aL

eL eL

aL

ehah

aheh

eh

ah

Abbildung 4-4 Mechanische Verstärkungsvarianten: a) der einseitige Hebel b) der beidseitige Hebel c) das Parallelogramm

Die in Abbildung 4-4 a) und b) gezeigten Varianten basieren auf dem Prinzip des Hebelarmes, wobei a) einen einfachen und b) einen beidseitigen Hebelarm darstellen. Die Übertragungsfunktion ergibt sich für kleine Stellwege aus:

az

e

LL

γ = . [4.1]

Für die Kräfteübertragung ergibt sich:

1eF z

a

LL

γ γ −= = . [4.2]

a) b) c)

Getriebetopologie

58

γF weist ein entgegengesetztes Verhalten zu γz auf, was auch die Grenze des Möglichen vor Augen hält. Dabei nimmt die zur Auslenkung der Gelenke benötigte Kraft mit größer werdender Stellwegübersetzung umgekehrt proportional ab. Gerade bei Federgelenken, wo zur Auslenkung Kraft benötigt wird, macht sich dieser Effekt nachteilig bemerkbar. Die in Abbildung 4-4 c) dargestellte Dreiecksanordnung von Aktor und Viergelenkskette erzeugt ihre Stellwegvergrößerung über die Verlängerung der Hypotenuse (Aktor) im Dreieck und ist umso höher, je flacher die Hypotenuse gegenüber der Gegen- und Ankatete liegt. Für die Übertragungsfunktion gilt:

2

21ze

bL

γ = − , [4.3]

wobei 2 2 2eL a b= + ist.

4.4 Topologiesynthese Wie kann man nun ein Getriebe synthetisieren? Bei der Synthese von Getriebestrukturen unterscheidet man zwischen drei Arten von Getriebegenerierung:

• der Bewegungsgenerierung • der Funktionsgenerierung • der Bahn bzw. Pfadgenerierung

Für welches der Prinzipe man sich entscheidet hängt von der Problemstellung ab. Bei der Bewegungsgenerierung sind die absoluten und relativen Lagen der Ebenen gegeben. Bei der Funktionsgenerierung ist ein gewünschter Zusammenhang zwischen Eingangsgröße und Ausgangsgröße gegeben. Bei der Pfadgenerierung ist eine bestimmte Koppelkurve zu durchlaufen. In unserer Problemstellung werden alle drei Arten der Generierung gefordert. Wobei die Pfadgenerierung nur zum Teil angewandt wird, da wie in Abschnitt 4.2 schon beschrieben, die eigentliche Bahngenerierung durch Überlagerung zweier geraden Führungsbahnen von der Steuerung übernommen wird. Die Synthese der Getriebetopologie geschieht im Wesentlichen durch Superposition mehrerer Einzelprinzipien. Wie in Abbildung 4-5 dargestellt, werden die in den vorhergehenden Kapitel ausgewählten Konstruktionsprinzipien miteinander zu einer geschlossenen kinematischen Kette kombiniert.

+ =+

Abbildung 4-5 Superposition konstruktiver Elemente

Getriebetopologie

59

Bei Betrachtung des Laufgrades F des Mechanismus ergibt sich nach Grübler[Wal 38]:

1

( 1 )g

ii

F b n g f=

= − − + ∑ [4.4]

mit b = 3(für ebene Mechanismen b=3, für räumliche Mechanismen b=6)

n = 10 (Anzahl der Glieder) g = 14 (Anzahl der Gelenke)

1

14g

ii

f=

=∑ (Summe der Freiheitsgrade der einzelnen Gelenke)

ein Laufgrad von F = -1 für den in Abbildung 4.6 a) dargestellten Mechanismus. Aus Symmetriegründen wurde nur der Teil des in Abbildung 4-5 generierten Mechanismus, untersucht, der die Translation in X- Richtung verursacht. Wie sich hier zeigt, ist der Mechanismus einfach überbestimmt und lässt sich folglich nicht mit den Mitteln der starren Kinetik analysieren. Der Grund für die Überbestimmung des Mechanismus liegt in der elastisch gelagerten Vierblattfederführung. Bei Einführung zweier zusätzlicher Freiheitsgrade als Folge der elastischen Nachgiebigkeit an den Führungsgelenken, wie in Abbildung 4-6 b) angedeutet folgt, ein Laufgrad von F = 1. Für die folgende kinematische Analyse wird aus Symmetriegründen nur der in Abbildung 4-6 c) dargestellte Teil der Mechanik betrachtet.

Bildsensor

Abbildung 4-6 Auflösung der Mechanik in ihren Grundtopologien: a) kinematische Kette für die Versetzung in X-Richtung b) Kette aus (a) mit zusätzlichen Freiheitsgraden aus der elastischen Nachgiebigkeit der Führungsgelenke c) Grundtopologie der Getriebestruktur

a) b) c)

KK

Getriebetopologie

60

4.5 Analyse der Kinematik Bei der kinematischen Analyse werden die Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Glieder einer kinematischen Kette berechnet. Hierbei beschränken wir uns auf die Betrachtung von ebenen Koppelgetrieben mit einwertigen Drehgelenken mit nur einem Freiheitsgrad. Die Kinematik eines geschlossenen Getriebes ist bekannt, wenn alle Lagewinkel der Glieder und deren Ableitungen bekannt sind. Zur Berechnung dieser Größen werden folgende Methoden angeboten:

• die analytisch iterative Methode • die Modulmethode nach VDI 2729 • die Lösung über Matrizengleichungen • die grafisch konstruktive Methode

Die grafische Methode eignet sich nur für einfache Mechanismen, sie wird aber bei komplexeren Systemen schnell unübersichtlich. Die Lösung über Matrizengleichungen ist aufgrund des hohen Abstraktionsgrades unanschaulich und lässt sich kaum per Hand bewältigen. Eine Alternative sind MKS-Programme, die im Hintergrund mit Matrizengleichungen arbeiten, bieten aber auf der Oberfläche eine graphische Umgebung an. Die Modulmethode nach VDI 2729 bietet kochbuchartige Lösungswege für eine Reihe gängiger Grundmechanismen an. Bei der analytischen Iterationsmethode [Pit 29] wird die kinematische Kette durch eine Vektorkette ersetzt. Ausgehend von der Schließbedingung für geschlossene Gliederketten [Wal 38], ergibt sich eine Reihe von nichtlinearen Gleichungen mit den Lagewinkeln als Unbekannte. Die unbekannten Winkel werden nacheinander iterativ bestimmt. Der Vorteil dieser Methode ist zum einen die Anschaulichkeit, die ein tieferes Verständnis für den Mechanismus zulässt, zum anderen die universelle Anwendbarkeit auf alle Getriebe. Wegen des besseren Verständnisses wird auf die Darstellung mit Vektoren zurückgegriffen. Diese Darstellung erlaubt darüber hinaus auch die Implementierung des Piezoaktors in Form einer Vektorfunktion. Ein zusätzliches mechanisches Ersatzmodell für den Piezoaktor wie z.B. durch einen Zweischlag ist somit nicht mehr nötig. Für den Piezoaktor wird folgender Zusammenhang als Vektorfunktion ( )

0A Ar h∆ definiert (siehe Abbildung 4-7 und 4-8):

( )

0

0

,

,

( )

cossin

A A p

II IA A p

II I

r l h U

r l hϕϕ

= + ∆

= + ∆ ⋅

[4.5]

Hierbei ist die Länge des Vektors

0A Ar abhängig von der Länge lp des Piezoaktor (siehe Anhang 2) im elektrisch ungeladenen Zustand und vom Hub des Aktors ∆h im geladenen Zustand unter einer Spannung U. Zur Minimierung des Schreibaufwandes wird die Vektorkette in der Gauss`schen Zahlenebene als komplexer Term dargestellt. Hierzu werden die folgenden aus der komplexen Vektoralgebra bekannten Umrechnungen angewandt:

2 2

cos(cos sin )

sini

x y

r l l i l e

l r r r

ϕϕϕ ϕ

ϕ

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

= = +

[4.6]

Getriebetopologie

61

Hierbei sind die kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten zu transformieren. Bei dem im Abschnitt 4.4 eingeführten Mechanismus handelt es sich um eine starre ebene Struktur mit drei Systemfreiheitsgraden F = 3. Auf Grund der im Prinzip gleichen Topologie der X- und Y- bewegungserzeugenden Modalitäten ist eine Analyse der Kinematik für nur eine Modalität ausreichend. Des Weiteren lässt sich die kinematische Analyse aufgrund der symmetrischen Anordnung der Aktoren weiter vereinfachen und die Überbestimmtheit der Führung (vgl. Abschnitt 4.4) umgehen. Als unabhängige Koordinate soll der vom Piezoaktor erzeugte Hub ∆h angenommen werden, woraus sich die Abhängigkeit f(∆h) für die restlichen Koordinaten ergibt. Ausgehend von ∆h soll die Position sämtlicher Getriebeglieder bestimmt werden. Bei dem in Abbildung 4-7 dargestellten Mechanismus handelt es sich um eine geschlossene kinematische Kette, bestehend aus sieben Gliedern. Der Mechanismus lässt sich grob in zwei Subsysteme unterteilen, bestehend aus einem Hebermechanismus als Stellsystem und einem Viergelenkgetriebe als Führungssystem (vgl. Abschnitt 4.2 u. 4.3).

0BA

B

0A

C

E

D

0D

0C

K

+ ∆pl h

EEp

Cp

0BA

B

0A

C

E

D0D

0C

,II Iϕ

,VII Iϕ

,V VIϕ,IV Vϕ

,V Iϕ

,III IVϕ,III Iϕ

,II IIIϕ

,VI VIIϕ

h∆

K

VII

III

III

IV

V

VI

III

III

IV VVI

I

I

VIII

0Br

0cr0Dr

Abbildung 4-7 Die mit einem Aktor II angetriebene Antriebseinheit mit einem Freiheitsgrad:

a) Positioniermechanismus b) Zugehörige kinematische Kette

Ausgehend von den drei Schließbedingungen für geschlossene kinematische Ketten an den Punkten B0, C0 und D0 folgt:

0 0 0

x x xB C D

y y y

r r rr 0 r 0 r 0

r r r

= = = = = =

.

Durch die drei Schließbedingungen bleibt nur noch eine unabhängige Koordinate zu besetzen (1 FHG). Mit dem Piezohub ∆h als unabhängige Koordinate lassen sich die Winkelstellungen sämtlicher Glieder explizit aus der Schließbedingung ableiten. Hierzu werden die Koordinaten der Auflager A0, B0, C0, und D0 als Bestandteile des Gestells I (siehe Abbildung 4-7 b) als gegeben angenommen. Zur Berechnung der Vektorketten

00,B Cr r und

a) b)

Getriebetopologie

62

0Dr aus der Schließbedingungen werden die Ortsvektoren für A, B, C, D, E und des Koppelpunktes K bestimmt. Des Weiteren werden die zu den Gliedern i II bis VII zugehörigen Lagewinkel φi,I relativ zum Gestell I bestimmt. Die Winkel der Gelenksverdrehung werden mit τj bezeichnet, wobei der Index j das Gelenk angibt (z.B. τA für die Verdrehung des Gelenkes A). Diese Konvention dient der übersichtlicheren Zuordnung der Gelenke. Die Gelenksverdrehungen τj ergeben sich aus den Lagewinkeln φ der Glieder zueinander; sie sind für Berechnungen in anschließenden Kapiteln (siehe Abschnitt 5) von Bedeutung und werden daher auch ermittelt. Die Berechnung des Koppelpunktes K bezieht sich auf die Mitte des Sensors und gibt Auskunft über den Bahnverlauf des Sensors. Betrachtung der ersten Übersetzungsstufe (aus der ersten Schließbedingung ):

z

y

x

0A Ar

0Br

0Ar

Ar00 BAr

0ABrA

0A

,II Iϕ

,III Iϕ

,III Iϕ

0 0 0 0A B A Br l=

0 1ABr l=

0( )A A pr l h= + ∆

,III IIϕ

0BΨ

0AΨ

A

0A

0B

A′

a) b)

0B

II

IIIII

III

Abbildung 4-8 Kinematische Kette des Stellglieds a) Vektorkette b) Hilfsfigur 0 0A B A

Für den Punkt A gilt der in Abbildung 4-8 a) dargestellte vektoriele Zusammenhang mit 0A Ar

als Vektor des Pizoaktors: ( ) ,

0

II IiA A pr l h e ϕ= + ∆ .

Für den Vektor

Ar bezüglich des Intetialsystems folgen: ( ) ,

0 0 0

II IiA A A A A pr r r r l h e ϕ= + = + + ∆

,

0 0 0 1III Ii

A B B A Br r r r l e ϕ= + = + Hierbei ist l1, wie aus Abbildung 4-8 b) hervorgeht, die Länge des ersten Hebels am Glied III. Die unbekannten Winke ,II Iϕ und

,III Iϕ werden über die Hilfsfigur0 0A B A nach Abbildung 4-8

b) ermittelt. Unter Anwendung des Kosinussatzes folgt:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 22,

2 21 1 ,

2 cos

( ) 2 ( ) cosA B A B B A A A AB A A AB III II

p p III II

l r r r r r r r

l h l l h l

ϕ

ϕ

= = − = + −

= + ∆ + − + ∆

Getriebetopologie

63

Nach ,II IIIϕ aufgelöst folgt:

( ) 0 0

2 2 21

,1

arccos2 ( )

p A BIII II

p

l h l ll h l

ϕ + ∆ + − = + ∆

. [4.7]

Für den Winkel

0AΨ lässt sich mit dem Sinussatz die folgende Beziehung aufstellen.

0

0 0 0

, sinsin AIII II

A B B Al rϕ Ψ

= .

Nach

0AΨ aufgelöst und mit l1 =0 0B Ar (siehe Abbildung 4-8 b)) eingesetzt folgt:

0

0 0

1 ,sinarcsin III II

AA B

ll

ϕ Ψ =

. [4.8]

Für den Winkel

0BΨ folgt aus Abbildung 4-8 b):

0 0,180B III II AϕΨ = − − Ψ . [4.9]

Aus den Winkeln

0AΨ und der Hilfsfigur 0 0A B A nach Abbildung 4-8 b) folgen nun die

Lagewinkel:

0,

1

180 arctan pIII I B

ll

ϕ

= ° − Ψ −

[4.10]

0,

1

arctan pII I A

ll

ϕ = Ψ + . [4.11]

Betrachtung der zweiten Übersetzungsstufe (aus der zweiten Schließbedingung ):

z

y

x

0C Cr

0CrBCr

C0C,V Iϕ

,III IϕB

0B Br

Cr

0Br

Br

C′

B′

,IV Iϕ0B

B

C

0C0 4C Cr l=

3BCr l=

0 1 1 2B Br l lγ= ⋅ =

0 0C Br

0C Br = ∆

a) b)

,V IVϕ

BΨ0B

,V Iϕ

,Iϕ∆

V

IV

III

V

IV

III

Abbildung 4-9 Kinematische Kette der Koppelung zwischen Stellglied und Führung

a) Vektorkette b) Hilfsfigur 0 0B BC C

Getriebetopologie

64

Für die Vektoren Br und Cr aus Abbildung 4-9 a) bezüglich des Intertiallsystems gilt:

,

0 0 0 1 1III Ii

B B B B Br r r r l e ϕγ= + = − [4.12] , ,

0 0 0

,

0 0 0

1 1 3

4

III I IV I

V I

i iC B B B BC B

iC C C C C

r r r r r l e l e

r r r r l e

ϕ ϕ

ϕ

γ= + + = + +

= + = +

Wobei 1γ der Faktor für die Übersetzung des Hebelarms der ersten Übersetzungsstufe am Glied III und l4 die Länge der ersten Hebelstrecke der zweiten Übersetzungsstufe am Glied V ist (siehe Abbildung 4-9 b)). Die unbekannten Winkel

,IV Iϕ und ,V Iϕ werden mit der Hilfsfigur

0 0B BC C aus Abbildung 4-9 b) ermittelt, unter Anwendung des Kosinussatzes folgt:

0 0C B C Br r r= − [4.13]

0 0 0

2 2 22,

2 24 3 4 3 ,

2 cos

2 cos .

C B C C CB C C CB IV V

IV V

r r r r r

l l l l

ϕ

ϕ

∆ = = + −

= + −

Nach

,IV Vϕ aufgelöst folgt:

0

22 22 2 24 34 3

,4 3 4 3

arccos arccos2 2

C BIV V

l l r rl ll l l l

ϕ + − − + − ∆ = =

. [4.14]

Bei Anwendung des Sinussatzes auf die Hilfsfigur

0BC C lässt sich folgende Beziehung aufstellen:

0

,sin sinIV V B

C Crϕ Ψ

=∆

.

Nach BΨ aufgelöst und l4 =

0C Cr (siehe Abbildung 4-9b)) eingesetzt folgt:

4 ,sinarcsin IV V

B

l ϕ Ψ = ∆

. [4.15]

Aus den Winkeln BΨ und

,IV Vϕ der Hilfsfigur nach Abbildung 4-9 b) folgen die Lagewinkel:

( ) 0

0

0

, arccos , arccos C BI C B x

C B

rr e

rϕ∆

= =

[4.16]

, ,180IV I B Iϕ ϕ∆= − Ψ − [4.17]

, , ,360V I IV V B Iϕ ϕ ϕ∆= − − Ψ − . [4.18]

Getriebetopologie

65

Betrachtung des Führungssystems (aus der dritten Schließbedingung ):

z

y

x

0C Er

0Cr

Dr

K ′

0C

,V Iϕ

,VI Iϕ

0D Dr

Er

0Dr

Kr

,VII Iϕ

0C

E

K

D

a

0 6 5D Dr l l= =

0 2 4 5C Er l lγ= ⋅ =

EKr

a) b)

EΨ

0D D

E

EKr

EDrDKr b

0D

K

V

VI

VIIVII

V

VI

Abbildung 4-10 Kinematische Kette der Führung a) Vektorkette b) Hilfsfigur0 0C EKD D

Für die Vektoren Er , Dr und Kr aus Abbildung 4-10 a) bezüglich des Intertillsystems gilt: ,

0 0 0 2 4V Ii

E C C E Cr r r r l e ϕγ= + = + [4.19]

,

0 0 0

,

0 0 0

2 4

5

2

.2

V I E

VII I E

i iK C C E EK C

i iK D D D DK D

ar r r r r l e e

ar r r r r l e e

ϕ

ϕ

γ Ψ

Ψ

= + + = + +

= + + = + + [4.20]

Wobei 2γ der Faktor für die Übersetzung des Hebelarms der zweiten Übersetzungsstufe an Glied V und l5 die Länge der zweiten Hebelstrecke in der zweiten Übersetzungsstufe am Glied V ist (siehe Abbildung 4-10 b)). Die unbekannten Winkel

,VI Iϕ und,VII Iϕ werden mit der

Hilfsfigur 0 0C EKD D aus Abbildung 4-10 b) wie folgt ermittelt:

, . 270VI I constϕ = = ° [4.21]

, ,VII I V Iϕ ϕ= [4.22]

arctanEba

Ψ =

. [4.23]

Für die Analysen in dem nachfolgenden Kapitell werden die Winkelverdrehungen τj(∆h) der einzelnen Gelenke in Abhängigkeit vom Piezohub benötigt. Diese ergeben sich aus folgenden Beziehungen:

0 , , ,( ) (0) ( ) 90 ( )A II I II I II Ih h hτ ϕ ϕ ϕ∆ = − ∆ = ° − ∆ [4.24]

, , ,( ) (0) ( ) 90 ( )A III II III II III IIh h hτ ϕ ϕ ϕ∆ = − ∆ = ° − ∆ [4.25]

0 , , ,( ) (0) ( ) 180 ( )B III I III I III Ih h hτ ϕ ϕ ϕ∆ = − ∆ = ° − ∆ [4.26]

, , , , ,( ) 270 ( ) ( ) ( )B III IV III I IV I B I III Ih h h hτ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∆∆ = = − = ° − Ψ ∆ − ∆ − ∆ [4.27]

, , ,( ) (0) ( ) 90 ( )C IV V IV V IV Vh h hτ ϕ ϕ ϕ∆ = − ∆ = ° − ∆ [4.28]

0 0 , , ,( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) 180 ( )C D D E V I V I V Ih h h h h hτ τ τ τ ϕ ϕ ϕ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = − ∆ = ° − ∆ [4.29]

Getriebetopologie

66

Unter Anwendung der in Tabelle 4-3 tabellierten Abmessungen für die einzelnen Glieder folgt der in Abbildung 4-11 dargestellte Vektorplot.

Tabelle 4-3 Geometrieparameter der Glieder für den ersten Rechendurchgang

γ1 2 γ2 3/2 a 30 mm b 35 mm lp 20 mm l1 10 mm l2 32 mm

Abbildung 4-11 Vektorplot der Getriebetopologie bei 1 mm Hub am Aktorangriffspunkt

Die Graphen in Abbildung 4-12 zeigen die Winkelauslenkung τj der Federgelenke an den Gelenkenpunkten in Abhängigkeit von Piezoaktorhub. Hierbei sind, die in Abbildung 4-12 b) dargestellten Graphen, die Gelenkauslenkungen im Arbeitsbereich zwischen 0 und 15 µm Aktorauslenkung.

Abbildung 4-12 Graphen der Winkelauslenkung τj

0Bτ

0CτBτ

Cτ

0Aτ0Aτ

0, ,B B Aτ τ τ

0,C Cτ τ

Vektor des Piezoaktor

Glied III

Glied V

Glied VI

Glied VII

Glied IV

Koppelpunkt K

Aτ

a) b)

Getriebetopologie

67

Wie aus Abbildung 4-12 zu ersehen ist die Winkelauslenkung für die Gelenke im Arbeitsbereich27 linear. Beim Gelenk A0 ist die Auslenkung vernachlässigbar, somit könnte konstruktiv auf das Gelenk A0 verzichtet werden. Der in Abbildung 4-13 dargestellte Graph zeigt den Verlauf der durchlaufenen Bahn vom Koppelpunkt K bzw. der Sensormitte. Hierbei ergibt sich die Versetzung von Punkt K = Kr∆ wie folgt: (0) ( )K K Kr r r h∆ = − ∆ [4-30] Aus dem Graphen lässt sich entnehmen, dass die Versetzung in y-Richtung um drei zehner Potenzen größer ist als die in x- Richtung. Für unseren Arbeitsbereich ist die Abweichung von der Gerade folglich im 0/00 Bereich.

Abbildung 4-13 Bahnverlauf von Punkt K für einen Aktorhub zwischen 0 und 20 10-3 [m]

In Abbildung 4-14 wird der in Abbildung 4-13 dargestellte Bahnverlauf in seine x- und y- Komponenten über den Hub aufgezeichnet. Der Vergleich zwischen der roten Gerade für den Ky-Verlauf und der blauen Gerade für den Kx-Verlauf zeigt, wie sehr die Größenordnungen sich unterscheiden.

Abbildung 4-14 Bahnverlauf des Punktes K in x-Richtung (blau) und in y-Richtung (rot) 27 Sensorversetzung im Punkt K (Sensormitte) zwischen 0 und 27 µm (siehe Abschnitt 3.1.1)

Kxr∆

Kyr∆

Getriebetopologie

68

Der in Abbildung 4-14 dargestellte Bahnverlauf in x-Richtung gibt die Abweichung des berechneten Getriebes von der Geradenführung in y-Richtung an. Wie man aus Abbildung 4-15 a) sehen kann, beträgt die Abweichung bei einem Hub von 10 µm gerade 0,037 µm (37 nm). Bei dem in Abbildung 4-14 dargestellten Bahnverlauf in y-Richtung handelt es sich um die Übertragungsfunktion des Getriebes, hier interessiert der Linearitätsbereich der Funktion. Wie man aus Abbildung 4-15 b) erkennen kann fängt die Funktion bei einem theoretischen Aktorhub von 1 mm an von der Gerade merklich abzuweichen. Für den von der Mechanik genutzten Arbeitsbereich mit einem Aktorhub zwischen 0 und 15µm kann die Übertragung als linear angesehen werden.

Abbildung 4-15 Kinetische Übertragungsfunktionen der Mechaniktopologie: a) Abweichung (x-Richtung) des Punktes K von der Geradenführung (y-Richtung) in Abhängigkeit vom Aktorhub b) Abweichung der Übertragungskennlinie von linearem Bereich in Abhängigkeit vom Aktorhub

Für den Übertragungswert 0. Ordnung28, aus dem Graphen in Abbildung 4-15 b), folgt:

3= =∆

yKr

hγ .

Die Übertragungsfunktion 1. Ordnung29 läst sich aus dem Vektor Kr wie folgt berechnen:

( ) ( ) ( )∂ ∆ ∂ ∆∂ ∆∆ = = ∆ = ∆ ∆

∂ ∆ ∂ ∂ ∆ y

K KK Aktor v Aktor

r h r hhv v h vh t h

γ . [4-31]

In Abbildung 4-16 sind die jeweiligen x- und y-Komponenten der Geschwindigkeit aufgetragen. Gerade die Geschwindigkeit in y-Richtung ist für die Übertragungsfunktion der Kraft von Bedeutung. Aus der Leistungsbilanz 0Aktor versetzung Aktor Aktor out KP P F v F v+ = + = [4-32]

28 Wegübersetzung 29 Geschwindigkeitsübersetzung

a) b)

Getriebetopologie

69

folgt für die Kraftübersetzung

1 y

y

KAktorF

v out Aktor

vFF v

γγ

= = − = . [4-33]

Abbildung 4-16 Geschwindigkeit des Punktes K in x- und y-Richtung, abhängig von der

Aktorgeschwindigkeit

Aus den Graphen für die Geschwindigkeit in y-Richtung (Abbildung 4-16) folgt eine kinematische Kraftübersetzung von:

13Fγ =

für kleine ∆h (bzw. für kleine ( )∆hϕ ).

Kxv

Kyv

Getriebetopologie

70

Pseudo-Rigid-Body-Mechanisms

71

5. Pseudo-Rigid-Body-Mechanisms In diesem Abschnitt wird im Wesentlichen die im Abschnitt 4 entwickelte kinematische Kette um die elastischen Gelenke erweitert. Hierzu werden an den Drehgelenken Drehfedern modelliert; die Steifigkeit der Drehfedern entspricht den der Federgelenke. Im ersten Teil dieses Abschnittes wird näher auf die elastischen Gelenke eingegangen, wobei Arten und Eigenschaften solcher Gelenke vorgestellt werden. Im zweiten Teil wird die kinematische Kette auf die Anteile der PRB30 erweitert und kinetostatisch analysiert. 5.1 Elastische Gelenke Was ist eigentlich ein elastisch nachgebendes Gelenk? Im folgenden Abschnitt werden die vier am geläufigsten Biegegelenke betrachtet. Das aus der Biegefeder hervorgegangene einfache Biegegelenk ist das älteste angewandte Gelenk des Typus „stoffschlüssig“. Wurde es anfangs nur als Aufhängung für Messgeräte angewandt, so findet es heute immer mehr Anwendung in der Mikromechanik. Gerade in der Mikromechanik ist das Kerbgelenk, in seiner einfachen oder in seiner symmetrischen Ausführung, ein sehr verbreitetes stoffschlüssige Gelenk. Der Begriff des stoffschlüssigen Gelenkes [Pit 29] ist eine Erweiterung der in der Getriebetechnik schon bekannten kraft- und formschlüssigen Gelenkverbindungen. Da es in der Literatur noch keine einheitliche Nomenklatur für Gelenke nachgiebiger Natur gibt, wird im Folgenden von Federgelenken die Rede sein. Des Weiteren finden sich im deutschsprachigen Gebrauch Bezeichnungen wie:

• Federgelenke [Ban] • Elastische Gelenke [Bau] • Nachgiebige Gelenke

Im angelsächsischen Sprachgebiet findet man Bezeichnungen wie

• flexible beam [How] • flexible hinges [Pen] • flexible joint [Che] • elastic hinge[Keo]

Diese Aufzählung soll einen Überblick über die verwirrende Nomenklatursituation geben. Bei den in Abbildung 5-1 dargestellten Gelenken handelt es sich bei a) um ein rechtwinkliges Biegegelenk, bei b) um ein elliptisches Gelenk, bei c) um ein symmetrisches Kerbgelenk und bei d) um ein einseitiges Kerbgelenk. Das Prinzip der Federgelenke basiert darauf, dass in einer definierten Richtung durch Verjüngung des Querschnittes ein niedrigerer Steifigkeitsgradient herrscht, als in den anderen Richtungen. Wird nun die Steifigkeit in dieser Richtung klein genug, kommt es zu einen Nachgeben des Gelenkes um einen definierten Drehpunkt.

30 PRB: Pseudo- Rigid- Body (im folgenden wird diese Abkürzung angewandt)


72

Abbildung 5-1 Elastische Gelenke mit einem FHG:

a) Biegegelenk b) elliptisches Gelenk c) symmetrisches Kerbgelenk d) einseitiges Kerbgelenk

In Tabelle 5-1 werden Vor- und Nachteile von elastischen Gelenken gegenübergestellt [Bau 1]. Tabelle 5-1 Vor- und Nachteile von elastischen Gelenken (+ : Vorteil; - : Nachteil) [Bau 1]

Eigenschaft Bemerkung Bewertung Spielfreiheit Elastische Gelenke garantieren bei minimaler

Reibung absolute Spielfreiheit ++

Reibung Die Reibung reduziert sich auf die innere Werkstoffreibung

+

Wenige Teile Es ist ein monolithischer Aufbau von Mechanismen möglich

++

Miniaturisierbarkeit Eine Anwendung der Gelenke in der Mikro- und Nanotechnik ist möglich

-

Kleine Belastung Aufgrund der relativ kleinen Gelenksteifigkeit vertragen die Gelenke keine großen Lasten

-

Kleiner Arbeitsraum Der Arbeitsraum ist abhängig von der Geometrie und von der Steifigkeit

-

Grosse Stellkräfte Je nach Mechanismussteifigkeit müssen beim Verstellen relativ große Kräfte einwirken

- - -

Bei der Geometrie der elastischen Gelenke sollte man sich auf einfache geometrische Strukturen wie Radien und Geraden beschränken, da diese in der Fertigung leichter handhabbar sind und zudem bessere Oberflächentoleranzen ermöglichen. Eine wichtige Kennzahl ist wie bei allen Federn die Federkonstante k, sie gibt Auskunft über die Steifigkeit der Feder. So kann die gesamte Steifigkeit des Mechanismus als System von Einzelfedern aufgefasst werden. Die Federkonstante bildet somit das Bindeglied zwischen Starrkörperkinematik und elastischer Kinematik, die als Pseudo-Rigid-Body-Mechanism bezeichnet wird.

c)

b)

d)

a)


73

Für die Steifigkeit eines Federgelenkes kann allgemein der folgende Zusammenhang angenommen werden:

( , ) ( , )yy yyE I E I Nmk t l t rl radr

θ θ⋅ ⋅ = =

[5-1]

Somit ist die Steifigkeit von Federgelenken im Wesentlichen abhängig vom Elastizitätsmodul E des Werkstoffes, der Länge l bzw. dem Radius r und vom Flächenträgheitsmoment Iyy. Die für die Geometrie abhängigen Parameter sind hier im Vorfaktor ( , )t lθ zusammengefasst, wobei θ die Funktion der beiden maßgeblichsten Größen aus Abbildung 5-1 der Stegdicke t und der Steglänge l bzw. des Radius r ist. Für die Steifigkeit der elastischen Gelenke können die folgenden Näherungsformeln [Gao 8] für Kerbgelenke angenommen werden. Für die einseitigen Kerbgelenke, wie in Abbildung 5-1 d) dargestellt, ergibt sich eine Steifigkeit von:

52

12

2

9 2j

E b tkrπ

= . [5-2]

Für die beidseitig symmetrischen Kerbgelenke, wie in Abbildung 5-1 c) dargestellt, ergibt sich eine Steifigkeit von:

52

12

2

9j

E b tkrπ

= . [5-3]

Für die Biegegelenke, wie in Abbildung 5-1 a) dargestellt, ergibt sich eine Steifigkeit von:

( )3 21

12 1j

E b tk

lυ−

= [5-4]

hierbei sind

E der Elastizitätsmodul des Gelenkwerkstoffes b, l1, r, t die Geometrieparameter aus Abbildung 5-1 υ die Poisson`sche Zahl c ein Korrekturfaktor.

Für die Rückstellmomente an den einzelnen Gelenken ergibt sich aus den Gleichungen 5-2 bis 5-4 und den Gelenkauslenkungen τj in [rad] der Gleichungen 4-26 bis 4-31 die folgende Beziehung: j j jM k τ= . [5-5]


74

5.2 Kinetostatische Analyse Im Unterschied zur Starrkörpermechanismen sind bei der kinetostatischen Analyse von elastischen Mechanismen die von den Federgelenken erzeugten Rückstellkräfte zu berücksichtigen. Dies wird, wie in Abbildung 5-2 dargestellt, durch Anbringen von Torsionsfedern an den Gelenken realisiert. Die Torsionsfedern erzeugen ihrerseits durch die Auslenkung τ des jeweiligen Gelenkes ein nach Gleichung 5-5 der Auslenkungsrichtung entgegengesetztes Moment M.

0BkAk

Bk

0Ak

CkEk

Dk0Dk

0Ck

inF

K

outFI

aII

bII

III

V

VI

VIII

IIV

vk

Abbildung 5-2 Erweiterte kinematische Kette mit angebrachten Schraubenfedern an den

Gelenken und einen vereinfachten Piezoaktor.

Die Berechnung der Kräfte kann nach den folgenden Verfahrensprinzipien erfolgen [Luc 22]:

• nach dem Prinzip der virtuellen Leistung, • nach dem Schnittprinzip (synthetische Methode), • mit dem Polkraftverfahren nach Hain, • graphisch, durch Zerlegung in Gliedergruppen.

Beim Prinzip der virtuellen Leistung wird ausgehend von den Geschwindigkeiten

iv und der Winkel φj der einzelnen Glieder und unter Berücksichtigung der äußeren Kräfte die Leistungssumme gleich null gesetzt. 0i i j j

i j

P v F Mϕ= ⋅ + ⋅ =∑ ∑ ∑ [5-6]


75

Bei diesem Verfahren werden die inneren Kräfte nicht berücksichtigt. Vorteil dieser Methode ist der geringe zeichnerische Aufwand und das gezielte Berechnen der gewünschten unbekannten Kräfte ohne Kenntnis der anderen Unbekannten. Beim Polkraftverfahren werden von den Momentanpolen des Mechanismus ausgehend die resultierenden äußeren Kräfte ermittelt. Durch Eintragen der Wirkungslinien der An- und Abtriebskräfte lassen sich in einem Kräfteplan in Zuhilfenahme der Culmann- Kraft (Culmann- Gerade) die Resultierenden ermitteln und daraus die Gleichgewichtsbedingung an jedem Glied ermitteln. Bei der graphischen Zerlegung in Gliedergruppen werden Koppelgetriebe in sogenannte Assur’sche Klassen (I bis IV) zerlegt. Die Kräfte werden an den einzelnen Gliedern (Klassen) betrachtet. Anschließend werden die einzelnen Kräftepolygone in einem gemeinsamen Kräfteplan zusammengefügt, über die Gleichgewichtsbedingungen an den Schnittpunkten wird auf die gesuchten Größen geschlossen. Das Schnittprinzip zerlegt den Mechanismus in seine Einzelglieder, wobei die Gelenkkräfte und Momente an den Schnittufern angebracht werden. Aus der Gleichgewichtsbedingung der Kräfte und Momente lassen sich lineare Gleichungssysteme bestimmen, aus denen wiederum die unbekannten Größen errechnet werden können. Neben der Übertragung von Kräften werden bei elastischen Mechanismen auch die Drehmomente aus der in den Ersatzfedern erzeugten Rückstellkraft übertragen.

inF

outF0BMAM

BM

0AM

CM

EM

DM

0CM

K

0A XF0A YF

AXF

AYFAM

AXF

AYF

0B XF0B YF

BYF

BXF

BXF

BYFBM

CYF

CXF

0C YF0C XF CM

CXFCYF

EXF

EYF

EXF

EYF

EM

DMDXF

DYF

DYFDXF0DM

0D XF

0D YF

gMgF

gMgF

vF

IV

aII

bII

III

V

VI

VII

z

y

xϕ

Abbildung 5-3 Freigeschnittener Mechanismus mit allen Gliedern


76

Für die Maßsynthese des Mechanismus ist das Schnittprinzip dahingehend geeignet, da es von vornherein alle Gelenkkräfte liefert. Wie aus Abbildung 5.2 hervorgeht, wurde die kinematische Kette um Torsionsfedern an den Gelenken ergänzt. Des Weiteren wurde der Piezoaktor als Kurvenschleife modelliert, an deren Schleifglied die Kraft Fin angreift. Hierdurch wurden die FHG auf einen reduziert, wodurch ein Zwangslauf hervorgeht. Durch Freischneiden31 der kinematischen Kette in Abbildung 5-3 ergeben sich ausgehend von den Gleichgewichtsbedingungen

( )

0

0

0

=

=

=

∑∑∑ P

X

y

z

F

F

M

[5-7]

die folgenden Gleichungssysteme für die jeweiligen Glieder32: Glied IIa:

0

0

( ) 00

,

,

0 sin

0 cos

02

= = − +

= = − −

= = − −

∑∑

∑ A

X XA g II I

y YA g II I

pz A g g

F F F

F F F

lM M M F

ϕ

ϕ [5-8]

Glied IIb:

( )

, ;

, ,

, ,

0 sin cos

0 cos sin

0 sin cos2 2

= = − +

= = + +

= = + − +

∑∑

∑ g

X XA g II I in II I

y YA g II I in II I

p pz A g XA II I YA II I

F F F F

F F F F

l lM M M F F

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

[5-9]

Glied III:

( )( ) ( )( ) ( )

0

0

( ) 0 0

0

1 ,

1 , 1 ,

1 1 , 1 1 ,

0

0

0 sin 180

cos 180 cos 180

sin 180 cos 180

= = − + +

= = − + + +

= = − + + + ° − +

+ ° − + ° − +

+ ° − + ° −

∑∑∑ A

X XA XB XB

y YA YB YB F

z A B B XB III I

YB III I v v III I

XB III I YB III I

F F F F

F F F F F

M M M M l F

l F l F

l F l F

ϕ

ϕ γ ϕ

γ ϕ γ ϕ

[5-10]

Glied IV:

( ) 3 , 3 ,

0

0

0 sin cos

= = − +

= = − +

= = − + − +

∑∑∑ B

X XB XC

y YB YC

z B C XC IV I YC IV I

F F F

F F F

M M M l F l Fϕ ϕ

[5-11]

31 Das göttliche Prinzip der technischen Mechanik ☺ 32 Die Zuordnung der Gliederlängen l1, l2, l3 und l4 gehen aus den Abbildungen 4-8, 4-9 und 4-10 hervor.


77

Glied V:

0

0

( ) 00 4 ,

4 , 4 2 ,

4 2 ,

0

0

0 sin(180 )

cos(180 ) sin(180 )cos(180 )

= = − + −

= = − + −

= = − + + − ° − −

− ° − − ° − −

− ° −

∑∑∑ C

X XC XC XE

y YC YC YE

z C C E XC V I

YC V I XE V I

YE V I

F F F F

F F F F

M M M M l F

l F l Fl F

ϕ

ϕ γ ϕ

γ ϕ

[5-12]

Glied VI:

( )

2 2

0

0

0 2 cos

= = −

= = − −

= = − − − + + Ψ

∑∑∑ E

X XE XD

y YE YD out

z E D XD out E

F F F

F F F F

M M M a F a b F

[5-13]

Glied VII:

0

0

( ) 0 0

0

4 2 ,

4 2 ,

0

0

0 sin(180 )

cos(180 )

= = −

= = −

= = + + ° − +

+ ° −

∑∑∑ D

X XD XD

y YD YD

z D D XD VII I

YD VII I

F F F

F F F

M M M l F

l F

γ ϕ

γ ϕ

[5-14]

Aus den linearen Gleichungen gehen

0 0 0 0, , , , , , , , , , , ,out XD XD YD YD XE YE XC XC YC YC XBF F F F F F F F F F F F

0 0 0 0, , , , , , , ,YB XA XB YA YB g g XA YAF F F F F F M F F als Unbekannten hervor. Die 21 Unbekannten

erfordern 21 lineare Gleichungen, um gelöst zu werden, die 7 Glieder liefern jeweils 3 Gleichgewichtsbedingungen in Form von linearen Gleichungen, woraus folglich 21 Unbekannten hergeleitet werden können. Da das Gleichungssystem mit 21 Unbekannten ziemlich umfangreich ist, empfiehlt sich hier die Anwendung des Gauss-Algorithmus oder der Matrixschreibweise zur Lösung dieses Gleichungssystems. Bei Anwendung von Computer-Algebra-Systemen empfiehlt sich das Lösen von Matrixgleichungen. In unserem Fall wird die Matrixgleichung G s - b = 0 nach s aufgelöst wobei G die Geometriematrix ist, s der Spaltenvektor mit den Unbekannten und b die Spaltenmatrix mit den Bekannten ist. Daraus folgt für die Unbekannten: 1s G b−= [5-15] Zur Vereinfachung von Gleichung 5-15 werden folgende funktionale Beziehungen eingeführt:

0 ,

0 ,

,

,

sincos

sin(180 )cos(180 )

x II I

Y II I

x III I

Y III I

AAAA

ϕϕ

ϕϕ

=

=

= ° −

= ° −

,

,

0 ,

0 ,

sincossin(180 )cos(180 )

X IV I

Y IV I

X V I

Y V I

BBCC

ϕϕ

ϕϕ

=

=

= ° −

= ° −

0 ,

0 ,

sin(180 )cos(180 )

X VII I

Y VII I

DD

ϕ

ϕ

= ° −

= ° −

Daraus folgt:

Pseudo-Rigid-Body-Mechanisms 78

0

0

0

0

0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 / 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 - 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

X

Y

p

X

Y

p pX Y

AA

lAA

l lA A

−

1 1 1 1 1 1

3 3

4 0 4 0 4 2 0 4 2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 0 0 - 0 0 0 0 00 0 0

X Y X Y

X Y

X Y X Y

l A l A l A l A

l B l B

l C l C l C l C

γ γ

γ γ−

2 2

4 2 0 4 2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 cos0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

X Y E

X Y

a E a E a b

l D l Dγ γ

− ⋅ ⋅ − + Ψ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

XA

YA

Ag

Y ing

X inXA

AYA

XB

fYB

AXB

YB

XC

YC

XC

YC

XE

YE

XD

YD

XD

YD

out

FF

MFA FMA FF

MFF

FFM MF

FFFFFFFFFFFF

− − − − − ⋅ =

0

0

0

1 1

00

00

00

00

B B f Y

B C

C C E

E D

D D

M F l A

M M

M M M

M M

M M

γ

− − −

− − + − −

Das Berechnen der Inversen G-1 und das Auflösen nach s wird mit einem Maple V33 bewerkstelligt. Die vollständige Berechnungsprozedur befindet sich im Anhang D.

33 Computer-Algebra-Systemen

G s b


79

5.3 Folgen für das Mechanikdesign Wie wir in Abschnitt 3.3.1.1 schon gesehen haben, ist der Hub des Aktors stark abhängig von der Federsteifigkeit der gegen den Piezoaktor arbeitenden Feder. Bei der in Abbildung 5-2 dargestellten Version setzt sich die Mechanik aus den Drehfedern an den Gelenken und der Rückstellfeder zusammen. Somit setzt sich die Gesamtsteifigkeit der auf an Piezoaktor wirkenden Federn wie folgt zusammen (Parallelschaltung siehe Gleichung 1-23): .sys r mechk k k= + [5-16] Dabei ist kr die resultierende Steifigkeit der Vorspannfeder und kmech. die Steifigkeit der Mechanikgelenke. Resultierende Federsteifigkeit der Ruckstellfeder Die resultierende Steifigkeit kr ergibt sich aus den Anforderungen an die Vorspannung (siehe Abschnitt 3.3.1). Bei einer Hubübersetzung von γv = 2 und eine Federkraft Fv von 20 N folgt eine Piezovorspannung von 40 N (siehe Abbildung 5-4).

EEp kpiezovk

2vγ =

1 : 2vFvh′

vh

h∆

Abbildung 5-4 In Reihe geschaltete Feder kv mit Übersetzung γv

Die Federkraft soll durch Anziehen einer Schraube um hv = 0,2 mm generiert werden. Die benötigte Federsteifigkeit kv wird durch Auflösen der Gleichung 1-1 nach k berechnet.

20[ ] [ ]1000, 2[ ] [ ]

vv

v

h N kNkF mm m

= = = [5-17]

Die Vorspannung hat auf den Hub keinen Einfluss, da sie statischer Natur ist (siehe Abschnitt 3.3.1.1) und nur eine Nullpunktsverschiebung zur Folge hat. Die Nullpunktsverschiebung wird wie in Abbildung 5-5 dargestellt durch Kalibrierung des Verschiebeweges, nach dem Vorspannen der Feder, eliminiert.

[ ]h µm[ ]h µm

[ ]U V[ ]U V

Hysterese

Kalibrirung

Piezo unter konstanter Last

Piezo unbelastet

Nulpunkt VerschiebungPiezo unter konstanter Last

Abbildung 5-5 Schematische Darstellung der Kalibrierung zur Kompensation der

Nullpunktverschiebung, verursacht durch das Vorspannen der Feder


80

Der dynamische Anteil der Vorspannfeder hat hingegen einen bleibenden Einfluss auf die Hubhöhe ∆h des Aktors. Dieser Anteil ist, wie in Abbildung 5-6 zu sehen, vom Piezohub abhängig.

[ ]h µm

[ ]U V

Piezo unter wegabhängiger Last

vk

Piezo unbelastet

verlusth

( )vF kh∆0Fh =∆ ( )v vF h

wegabhängige Last (zb. Federmit einstelbarer Federkraft)

Abbildung 5-6 Schematische Darstellung der Piezohubreduzierung um ∆hverlust infolge einer

wegabhängigen Last wie z.B. einer Vorspanfeder

Durch die Übersetzung γv zwischen Feder und Aktor ist die am Aktor resultierende Federsteifigkeit kr größer, als die ursprüngliche Federsteifigkeit kv. Aus den Gleichungen 4.1 und 4.2 lassen sich für den in Abbildung 5-4 dargestellten Aufbau folgende Zusammenhänge herleiten: v vh h γ′ = ∆ [5-18] 1

v vF Fγ −= . [5-19] Durch Einsetzen von Gleichung 5-18 und 5-19 in Gleichung 1-1 folgt

1

2v vv v

v v

F F Fkh h h

γ γγ

−−= = =

′ ∆ ∆. [5-20]

Da kv aus Gleichung 5-17 bekannt ist, lässt sich die resultierende Federsteifigkeit aus Gleichung 5-20 für wie folgt ermitteln:

2 [ ] [ ]200 4 400[ ] [ ]r v vkN kNk km m

γ= = = [5-21]

Steifigkeit der Mechanik Die Steifigkeit der Mechanik ermittelt sich aus der Steigung der Eingangskennlinie in Abbildung 5-7. Zur Ermittlung der Eingangskennlinie wurde die aus Gleichung 5-15 ermittelte Matrixgleichung so umgestellt, dass Fin als Unbekannte in s übergeführt wurde, dabei wird Fout als Bekannte gleich 0 gesetzt und in b übergeführt. Darüber hinaus wurde die Federkraft Fv = 0 gesetzt. Die verwendete Matrixgleichung ist im Anhang B dargestellt. Der erste Rechendurchgang wurde mit den in Tabelle 5-2 dokumentierten Abmessungen für die Glieder begonnen.


γ1 2 γ2 3/2 γv 2 a 35 mm b 30 mm lp 20 mm l1 2 mm L4 8 mm


81

Als Gelenke wurden die in Abbildung 5-1 c) dargestellten symmetrischen Kerbgelenke verwendet und nach Gleichung 5-3 berechnet. Die benutzten Maße sind Tabelle 5-3 zu entnehmen.

Tabelle 5-3 Geometrieparameter der Kerbgelenke für den ersten Rechendurchgang

t 0,15 mm r 0,5 mm b 5,5 mm

In Abbildung 5-7 sind die Eingangskennlinien der Mechanik mit Rückstellfeder (ksys) und ohne Rückstellfeder (kmech) dargestellt. Zum Vergleich wurde das PRB- Modell einmal analytisch aus Gleichung 5-15 berechnet und einmal mit einem MKS-Programm34 berechnet. Die MKS Modellierung befindet sich in Anhang B. Aus Abbildung 5-7 erkennt man, dass die benötigte Kraft Fin, zur Erzeugung des Hubes hin am Eingang der Mechanik mit zunehmenden Hub steigt.

Abbildung 5-7 Eingangskennlinie der Mechanik bestehend aus Kerbgelenken

Die Abweichung zwischen MKS und analytischer Rechnung ist auf das Weglassen der Gelenke A0 und A bei der MKS-Modellierung zurückzuführen, wodurch das MKS-Modell weicher ist. Aus der Steigung der analytisch gerechneten Geraden ohne Rückstellfeder ergibt sich die folgende Mechanik-steifigkeit:

[ ][ ].

6,36[ ] 317,920[ ]mech

kNNkµm m

= =

Daraus folgt für das gesamte System eine Steifigkeit von

[ ] [ ] [ ]400 317,9 717,9[ ] [ ] [ ]syskN kN kNkm m m

= + = .

34 MKS: Mehrkörpersystem (verwendete Software WorkingModell)

MKS mit Rückstellfeder

Mechanik mit Rückstellfeder

(analytisch)

Mechanik ohneRückstellfeder

(analytisch)


82

Diese entspricht der Steigung der Geraden für die Mechanik mit Rückstellfeder aus Abbildung 5-7.

Steifigkeit des Piezoaktors Die Steifigkeit des Aktors wird mit dem aus Tabelle 3-3 entnommenen E-Modul wie folgt berechnet:

aktorAk El

= .

Mit einer Stirnfläche von A= 6 mm² und einer Aktorlänge von l= 20mm folgt für die Steifigkeit der Piezokeramik kaktor= 13200 [kN/mm]. Resultierender Aktorhub Für den resultierenden Piezohub ergibt sich nach Gleichung 1-25:

[ ]13200[ ]11,6[ ] 11,0[ ][ ] [ ]13200 717,9 )

[ ] [ ]

kNmh µm µmkN kN

m m

∆ = =+

.

Hierbei wurde für kfeder die Systemsteifigkeit ksys eingesetzt. Dies entspricht einer Hubreduzierung von ca. ~6%, die durch Erhöhung der kinematischen Übersetzung auszugleichen ist. Betrachtung der Führung Wie aus Abschnitt 4.2 hervorgeht, handelt es sich bei der Mechanik nicht um eine Parallelführung (mit Federabstützung), wie in Abbildung 5-2 dargestellt, sondern um zwei symmetrisch angeordnete Parallelführungen (mit Federabstützung) die miteinander verbunden sind, wie in Abbildung 5-8 dargestellt. Dies hat zur Folge, dass die Kraftkomponente Fout einen von der Führung bestimmten Wert hat.

K

0NCk0NCk′

NEk NEk ′

e∆

NF

outF

,V Iϕ 0Cτ

K

0NDk0NDk ′

NDkNDk′

e∆

Abbildung 5-8 Symmetrisch angeordnete Parallelführungen (mit Federabstützung)


83

Bei einer Versetzung des Punktes K in y Richtung um ∆Ky (vgl. Abschnitt 4.5), führt dies an den Gelenken C0, E, D0 und D zu einer Elongation von ∆e. 2 2

2( 2 ) 2 0,24 [ ]Ke l K l µmγ∆ = + ∆ − = [5-22] Aus Gleichung 1-1 folgt für die Kraft entlang der Glieder V und VII:

N NF e k= ∆ .

Die Steifigkeit kN setzt sich zusammen aus der Längsdehnung zweier in Reihe geschalteter Federn. Unter Anwendung der Gleichung 1-44 und der Annahme, dass KNC0 = KNE = KND0 = KND folgt:

0 0

1 1 1 12N NC NE NCk k k k

= + = .

Bei der Betrachtung der Gelenksteifigkeit in Längsrichtung, beschränken wir uns auf die in der Abbildung 5-9 dargestellten Gelenke.

NF NF

Abbildung 5-9 Kraftrichtung bei Längsdehnung bei a) Biegegelenk

b) Symmetrischem Kerbgelenk

Für die Steifigkeit der elastischen Gelenke können die folgenden Näherungsformeln [Gao 8] angenommen werden. Für das symmetrische Kerbgelenk wie in Abbildung 5-9 b) dargestellt ergibt sich eine Steifigkeit von:

2,57

N j

rtkE b

π −= . [5-23]

(Beim rechnen mit SI-Einheiten müssen E mit 10-9 und der Korrekturfaktor 2,57 mit 103 multipliziert werden). Für das Biegegelenk wie in Abbildung 5-9 a) dargestellt ergibt sich aus Gleichung 1-1 und 1-2 eine Steifigkeit von:

N jE b tk

l= [5-24]

Unter Anwendung von Kerbgelenke und den in Tabelle 5-3 tabellierten Geometrieparameter folgt für kn:

0

32,571 1 100,310

2 2N NC

rNtk k

E b m

π − = = =

.

a) b)


84

Für eine Verlängerung der in Reihe geschalteten Gelenke an einem Führungsglied mit den in Tabelle 5-2 tabellierten Geometrieparameter bedarf es somit einer Längskraft FN von:

3 6 2100,310 0,2410 [ ] 2, 4110 [ ]NNF m Nm

− − = = .

Die in Punkt K benötigte Kraft Fout berechnet sich wie folgt:

0

44 sin 2,8910 [ ]out N CF F Nτ −= = [5-25]

Im Vergleich zu den anderen Kräften ist Fout somit zu vernachlässigen (Fout ≈ 0). Anpassung der Gelenke Unter Einbeziehung der Gleichung 1-22 aus Abschnitt 1.5.4 werden nun die Biegespannungen an den Gelenken ermittelt. In Abbildung 5-10 werden die auftretenden Spannungen an den einzelnen Gelenken in Abhängigkeit vom Aktorhub dargestellt. Die maximal zulässige Spannung ist mit einer roten Linie gekennzeichnet. Bei den Gelenken handelt es sich um Kerbgelenke wie in Abbildung 5-1 c dargestellt. Die gewählten Parameter sind in Tabelle 5-2 dokumentiert.

Tabelle 5-4 Geometrieparameter der Kerbgelenke

r 0,5 mmb 5,5 mmt 0,15 mm

Abbildung 5-10 Die Biegespannung an den einzelnen Gelenken

Wie man erkennen kann, überschreiten die Gelenke A, B0 und B die maximal zulässige Spannung. Die Gelenke C, C0, E, D0 und D sind sehr knapp unter dem Grenzwert. Wenn

Gelenke C, C0, E, D0, D

Gelenke A, B0, B

Gelenk A0

Maximal zulässigeSpannung bei 250 [Mpa]


85

man die in Längsrichtung wirkende Kraft hinzuzieht, die wie oben gezeigt aus der Dehnung der Führungsgelenke in Längsrichtung her wirkt, sind die Führungsgelenke C0, E, D0 und D ebenfalls zu modifizieren. Aufgrund der einfacheren Fertigung werden die Kerbgelenke durch Biegegelenke ersetzt. Diese bieten zusätzlich die Möglichkeit bei den Führungsgelenken die Längsspannungen durch verlängern der Steglänge zu verringern. In Abbildung 5-8 wird die Mechanik mit Biegegelenken, wie in Abbildung 5-1 a) dargestellt, berechnet, wobei die Steglängen den Umständen entsprechend variiert werden. Die verwendeten Steglängen sind aus Tabelle 5-3 zu entnähmen.

Tabelle 5-5 Geometrieparameter der Biegegelenke

Gelenk Bezeichnung Parameter Größe A0, A l 0,5 mmC0, D0, D, E, B, C l 2 mmB0 l 1 mmalle t 0,15 mmAlle B 5,5 mm

Abbildung 5-11 Die Biegespannung an den einzelnen angepassten Gelenken

Wie man erkennen kann, liegen alle Gelenke deutlich unter der maximal zulässigen Spannung. Hierdurch ist die in Abschnitt 1.5.4 Abbildung 1-10 geforderte Festigkeitsbedingung erfühlt. Somit können diese Gelenkgeometrien für die konstruktive Umsetzung der Mechanik übernommen werden.

Gelenk B

Gelenk A0

Gelenke C, C0, E, D0, D

Gelenke A, B0


86

Vergrößerung der Übersetzung Hier wird die Auswirkung einer größeren Übersetzung untersucht. Hierzu werden die in Tabelle 5-6 tabellierte Geometrieparameter für die Gliederabmessung verwendet. Als Gelenke wurden die Biegegelenke angewandt, mit den in Tabelle 5-5 tabellierten Abessungen.


γ1 3 γ2 4/3 γv 2 a 35 mm b 30 mm lp 20 mm l1 2,5 mm L4 10 mm

Der sich daraus ergebende Vektorplot der Getriebetopologie bei 1 mm Hub am Aktorangriffspunkt ist in Abbildung 5-12 a) dargestellt. Der Bahnverlauf und die Linearitäts-abweichung sind in Abbildung 5-12 b) und c) dargestellt. Die Geschwindigkeit des Punktes k ist in Abbildung 5-12 d) dargestellt.

Abbildung 5-12 Kinematische Eigenschaften der modifizierten Mechanik: a) Vektorplot der Getriebetopologie b) Bahnverlauf von Punkt K c) Versetzung in y-Richtung des Punktes k d) Geschwindigkeit des Punktes K

a) b)

d) c)


87

Die Spannung an den Gelenken wird in Abbildung 5-12 dargestellt.

Abbildung 5-13 Die Biegespannung an den einzelnen angepassten Gelenken mit vergrößerter

Übersetzung.

Abbildung 5-14 Eingangskennlinie der Mechanik bestehend aus Biegelenken.

Aus der Steigung der Geraden ohne Rückstellfeder ergibt sich die folgende Mechanik-steifigkeit:

[ ][ ].

3,07[ ] 153,2920[ ]mech

kNNkµm m

= =

Daraus folgt für das gesamte System eine Steifigkeit von

[ ] [ ] [ ]400 153, 29 553,29[ ] [ ] [ ]syskN kN kNkm m m

= + = .

Für das weitere Vorgehen in den kommenden Abschnitten wird mit der hier ermittelten Topologie gearbeitet. Der Grund für diese Untersuchung und warum eine kinematische

MKS mit Rückstellfeder

Mechanik mitRückstellfeder

Mechanik ohneRückstellfeder


88

Gesamtübersetzung von γ =4 bei der PRB-Modellierung gewählt wurde, wird in Abschnitt 8.3 näher erläutert.

Fertigung

89

6. Fertigung Die Fertigung hochgenauer Mechaniken erfordert spezielle Fertigungsverfahren, die den Ansprüchen an Genauigkeit und Reproduzierbarkeit entsprechen. Darüber hinaus ist eine wirtschaftliche Fertigung im Endeffekt das entscheidende Kriterium für den Erfolg des Produktes. Dem Konstrukteur obliegt daher eine besondere Verantwortung dahin, das zu entwickelnde Objekt nicht unnötig zu verteuern. Im Rahmen dieser Arbeit wird deswegen etwas näher auf das Drahterodieren (Funkenerosion) eingegangen. 6.1 Funkenerosionsverfahren EDM35 Das aus dem Werkzeugbau stammende Verfahren findet heute immer mehr Einzug in der Feinwerktechnik. Dies ist weitgehend auf die nichtmechanische und folglich kräftefreie Bearbeitung der Werkstücke zurückzuführen. Es ermöglich eine sehr hohe Bearbeitungsgenauigkeit auch in härtesten Materialien. Dabei sind typischerweise folgende Werkstückqualitäten erreichbar:

• Schnittbreiten von bis zu 0,04 mm • Konturtoleranzen von ± 1,5 µm • Rauheiten bis zu Ra 0,1 µm.

Man unterscheidet bei den Funkenerosionsverfahren zwei Arten:

• das funkenerosive Senken • das funkenerosive Schneiden, auch Drahterodieren genannt (siehe Abbildung 6-1).

Für die Erstellung monolithischer Mechaniken wird dabei fast ausschließlich das funkenerosive Schneiden angewandt.

Abbildung 6-1 Schematische Darstellung des funkenerosiven Schneidens

35 EMD : Electro Discharge Machining (B.I, N.R. Lazarenko 1943)

(Quelle: BTG Gelsenkirchen )

Fertigung

90

Abtragungsprinzip Der Materialabtrag beruht auf der Erodierwirkung elektrischer Gasentladungen zwischen zwei Elektroden. Dies ist vergleichbar mit der Entladung eines Blitzes, der die Umgebung um den Entladungskanal schlagartig erwärmt und anschließend in sich zusammen fällt. Somit ist das EMD ein elektrothermisches Abtragungsverfahren. Abbildung 6-2 a) zeigt das Prinzip des funkenerosiven Abtragens. Wie man in Abbildung 6-2 b) sehen kann, vollzieht sich die Funkenentladung in drei Phasen:

1. Die Aufbauphase In der Aufbauphase wird an den zwei Elektroden (Anode und Kathode) eine Spannung angelegt. Um nun einen Funken zu zünden, muss die angelegte Spannung größer, als die Durchbruchspannung des Spaltes sein. Durch die Spannung bildet sich ein Stromfluss durch das Dielektrikum.

2. Die Entladungsphase Die durch die Spannung erzeugte Entladung führt dazu, dass sich zwischen den Elektroden ein Plasmakanal bildet. Der Plasmakanal erhitzt (8000-12000°C) seinerseits das Dielektrikum, wodurch es peripher zur Bildung einer Gasblase kommt.

3. Die Abbauphase In der Abbauphase wird nun die Spannung abgeschaltet, was zur Unterbrechung des Stromflusses und somit des Plasmakanals führt. Der somit erzeugte Unterdruck in Plasmakanal führt dazu, dass die periphere Gasblase implodiert. Die bei der Implosion freiwerdende Energie (Druck) führt schließlich zum Abtrag von Material.

Abbildung 6-2 Funktionsweise des EMD: a) schematische Prinzipdarstellung des EMD-Verfahrens b) schematische Darstellung der Vorgänge während einer Funkenentladung

Erodieranlagen Eine Erodieranlage besteht, wie in Abbildung 6-3 dargestellt, im Wesentlichen aus vier Bestandteilen:

• Gestell mit Antrieb • CNC- Steuerung • Generator zur Erzeugung der Entladungsspannung • Filteranlage für das Dielektrikum.

a) b) (Quelle: [Fuc 7])

Fertigung

91

Abbildung 6-3 Schematische Darstellung einer Drahterodieranlage

6.2 Auswirkung des Erodieren auf die mechanischen

Eigenschaften Wie in Abschnitt 3.2.2 schon angesprochen, spielt die Oberflächenrauheit bei dynamisch belasteten Bauteilen eine entscheidende Rolle. Die Oberflächenbeschaffenheit eines erodierten Werkstückes hängt im Wesentlichen von zwei Faktoren ab:

• den vorschubsbedingten Einflüssen, • den verfahrensbedingten Einflüssen.

Bei der vorschubsbedingten Oberflächenbeeinflussung werden, wie in Abbildung 6-4 dargestellt, bedingt durch den Vorschub und den Drahtelektrodendurchmesser wellige Verläufe erzeugt.

7,6

40

60

tR ND

e

Abbildung 6-4 Schematische Darstellung des Zusammenhangs zwischen Vorschub e und der resultierenden Rautiefe Rt bei einem Elektrodendrahtdurchmesser Dn.

Die sich daraus ergebende Rautiefe Rt errechnet sich nach folgender Gleichung:

2

21 12

Nt

N

D eRD

= − −

. [6-1]

(Quelle: [Fuc 7])

Fertigung

92

DN ist der Durchmesser des Elektrodendrahtes plus zweimal die materialabhängige Entladungsspaltdicke. Der Parameter e gibt die Vorschubsgeschwindigkeit wieder. An den Spitzen der in Abbildung dargestellten Kontur können wie in Abschnitt 3.3.2.1 angesprochen Spannungsspitzen entstehen, die zu einem Werkstoffversagen führen können. Die verfahrensbedingte Oberflächenbeeinflussung ist eine Folge des Entladungsprozesses an sich. Wie man in der REM36- Aufnahmen in Abbildung 6-5 zu erkennen ist, erzeugt das Abtragen über Funkenentladung eine kraterähnliche Struktur auf der Oberfläche des bearbeiteten Werkstückes.

Abbildung 6-5 REM- Aufnahmen einer erodierten Oberfläche: a) Krater einer Einzelentladung b) Struktur über eine größere Ausdehnung von mehrerer Entladungen c) schematische Darstellung der erodierten Oberfläche

In Abbildung 6-5 a) wird die Struktur eines solchen Kraters näher dargestellt. Diese entstehen aufgrund der hohen Temperatur im Plasmakanal, bei der die Oberfläche des Werkstückes aufgeschmolzen wird und anschließend durch die Implosion wegsprengen wird. Der in Abbildung 6-5 c) Schnitt senkrecht zur Oberfläche zeigt, wie sich an der Oberfläche Poren und Mikrorisse bilden. Diese Mikrorisse können die Lebensdauer des Bauteils stark einschränken. Darüber hinaus können je nach verwendetem Material nahe an der Oberfläche Phasenumwandlungen im Metallgitter stattfinden, die ihrerseits das Materialversagen beschleunigen können. Was kann man nun dagegen tun? Um die Oberflächengüte zu verbessern, bieten sich beim Erodieren folgende Möglichkeiten an:

36 REM : Raster Elektronen Mikroskopie

a) b)

c)

(Quelle: [Fuc 7])

Fertigung

93

• Ein mechanisches Entfernen der obersten Schichten bis zur Eigenspannungszone (siehe Abbildung 6-5 c)). Dies ist aber bei den kritischen Konturen unserer Mechanik nicht möglich. Da sie an Gelenkkonturen, wie z.B. in Abbildung 6-6 dargestellt, der Abstand der Konturen zueinander in der Größenordnung von wenige Zehntel mm ist.

• Das Kugelstrahlen der Oberfläche, was einer Kaltumformung nahe kommen würde. Ist aber aus denselben Gründen wie das mechanische Abtragen nicht anwendbar.

• Das metallurgische Umwandeln der Randzonen. Dieses Verfahren kann bei unserer Mechanik nur im Ansatz angewandt werden. So wird das Bauteil nicht nach dem Erodieren behandelt, sondern davor. Hierbei wird das Metall gehärtet, was zur Folge hat, dass die Krater an der Oberfläche moderater ausfallen.

• Das schichtweise Erodieren. Hierbei wird an kritischen Stellen der Abtrag schichtweise vorgenommen. Dabei fährt die Drahtelektrode mehrmals über die zu erodierende Stelle.

Neben den hier genanten Vorgehensweisen wird eine Verbesserung der Oberfläche durch elektrolytisches Ätzen untersucht. Wobei die Kratererhebungen durch Billdung von Potentialspitzen (elektrisch) stärker abgetragen werden, als flache bzw. glatte Flächen. 6.3 Konstruktive Maßnahmen Was ist nun für das Design der Stellmechanik zu berücksichtigen? Wie oben schon erwähnt, sind die wirtschaftlichen Aspekte einer Konstruktion wesentlich vom fertigungstechnischen Verfahren und seiner Beherrschbarkeit abhängig. Da das Erodieren mehr für Kleinserien oder Einzelanfertigung gedacht ist, versteht es sich von selbst, dass es im Verhältnis zu anderen Verfahren wie das Fräsen oder das Drehen ein relativ teures Verfahren ist. Daher ist das Bestreben, die Durchlaufzeiten eines Werkstückes so gering wie möglich zu halten. Schon bei der Konstruktion sollten demnach wirtschaftliche Aspekte berücksichtigt werden. Im Fall der Stellmechanik wurden in enger Zusammenarbeit mit der Fertigung zwei Optimierungsansätze erarbeitet, die in die Konstruktion mit eingeflossen sind. Beim Mechanikdesign werden die von Draht durchlaufenen Konturen geometrisch so einfach wie möglich gehalten. Dabei wird versucht, die Konturen so zu legen, dass jeweils lange gerade Verfahrenswege entstehen. Soweit die mechanische Festigkeit es zulässt, wird auf Radien verzichtet. Die Radien an den Innenkanten entsprechen somit den des Elektrodendrahtes37. Die durch diese Maßnahmen gewonnene Durchlaufersparnis beträgt ca. ~10% gegenüber den in Abschnitt 2-3 in Abbildung 2-11 erwähnten voruntersuchten Mechaniken. Der zweite Ansatz zielt auf die Automatisierbarkeit der Konstruktion ab. Dabei wird das Ziel verfolgt, das Werkstück im Nachtbetrieb ohne den Operator fertigen zu können. Um dieses Ziel zu realisieren, muss die Konstruktion auf die Bedürfnisse der EMD- Anlage angepasst werden. So werden Startbohrungen strategisch so angelegt, dass ein automatisches Einfädeln des Elektrodendrahtes ermöglicht wird. Eine weitere Optimierung der Automatisierbarkeit besteht im Eliminieren von Fallteilen. Fallteile entstehen immer dann, wenn Flächenkonturen herausgeschnitten werden. Ein Problem bilden hier kleine Fallteile, die sich zwischen Elektrodendraht und Werkstück verkeilen. Dieses Verkeilen führt zu einem Stoppen des Bearbeitungsvorgangs und kann nur 37 Entspricht dem Radius des Drahtes plus den von der Entladung erzeugtem Spalt. Wobei die Spaltbreite vom Werkstückmaterial abhängt.

Fertigung

94

manuell vom Operator behoben werden. Konstruktiv werden an solchen kritischen Stellen, wie in Abbildung 6-8 b) dargestellt, die Fallteile an der Mechanik stehen gelassen. Wenn dies aus mechanischen Gründen nicht möglich ist, müssen diese vollständig abgetragen werden. Diese Maßnahmen führen zu einer Durchlaufersparnis von ca. ~ 30 % bezüglich den in Abbildung 2-11 vorgestellten Mechaniken.

Abbildung 6-6 Konstruktive Maßnahmen zur Automatisierung und Durchlaufersparnis a) Darstellung des Fallteilproblems b) Lösungsansätze

Insgesamt wird durch die erwähnten Maßnahmen die Standzeit des Werkstückes auf fast die Hälfte reduziert. Zusätzlich wurde die Auslastung der Anlage durch den autarken Nachtbetrieb erhöht, was indirekt zu einer zusätzlichen Kostenreduzierung des Bauteiles mit beiträgt.

(a) (b)

Konstruktive Umsetzung

95

7. Konstruktive Umsetzung Nachdem die Topologie der kinematischen Kette in Abschnitt 5.3 (8.3) korrigiert wurde, wird nun die Getriebetopologie in ein konkretes Bauteil transformiert. Hierbei müssen die verschiedenen Aspekte implementiert werden, die in den vorangegangenen Abschnitten besprochen worden sind. Die wichtigsten Betrachtungen bei der Konstruktion der Mechanik sind:

• die fertigungstechnische Aspekte • die Umsetzung der Getriebetopologie • die Handhabung bezüglich der Montage der mechanischen und elektronischen

Komponenten. In Abbildung 7-1 wird die Baugruppe der Positioniereinheit dargestellt. Sie setzt sich zusammen aus einer Stellmechanik, vier Vorspannungsvorrichtungen und vier Piezoaktoren.

Abbildung 7-1 Die Positioniereinheit mit ihren Bestandteilen

Im Anhang F finden sich Explosionszeichnungen und die Montageanleitung, aus denen der Aufbau der einzelnen Baugruppen hervorgeht. So ist die Positioniereinheit ein Bestandteil der übergeordneten Baugruppe „Sensoreinheit“ (siehe auch Abbildung 1-5 b)), die ihrerseits ein Bestandteil der Baugruppe „Kameraeinheit“ ist. Die Umsetzung der Getriebetopologie in eine monolithische Biegegelenkskonstruktion wird in Abbildung 7-2 a) verdeutlicht. Hierzu wurde die kinematische Kette über die konstruierte Mechanik gelegt; zu erkennen sind die zugehörigen Glieder und Gelenke. In Abbildung 7-2 b) werden zur Veranschaulichung die einzelnen Glieder und die zugehörigen Hebelarmlängen aus Tabelle 7-1, nochmals zugeordnet.

Tabelle 7-1 Hebelarmzuordnung zur Abbildung 6-2 b

Glied Nr.: Hebelarm: Länge in [mm] III l1 2,5 l2 7,5 lv 5

V l4 10


96

EEp Cp

h∆

K

9

Abbildung 7-2 Topologiezuordnung a) Zuordnung der kinematischen Kette b) Zuordnung der

Gliedern mit den entsprechenden Hebelarmlängen

7.1 Auswahl und Zuweisung der Gelenke Bei der Zuweisung der Gelenke wurden fast ausschließlich Biegegelenke eingesetzt, wie in Abschnitt 5.1 beschrieben, und in Abbildung 5-1 a) dargestellt. Einzige Ausnahme macht hier das Passivgelenk an der Rückstellfeder. Dieses wird separat in Abschnitt 7-2 behandelt. In Abbildung 7-3 wird die Umsetzung der Gelenke aus der kinematischen Kette in Federgelenken dargestellt. Wie man erkennen kann, variieren die Gelenke in ihrer Steglänge L1 und im Radius des Auslaufes. Die Stegdicke t beträgt bei allen 0,15 mm, dieses Maß wurde aus fertigungstechnischen Erwägungen heraus gewählt (siehe Tabelle 5-5). Die Gelenkssteglänge l1 wurde so gewählt, dass die maximal auftretenden Spannungen im Gelenk nicht die maximal zulässigen übersteigen (siehe Abschnitt 1.5.2). Wie wir aus Abschnitt 1.5.3 wissen, nimmt die Spannung im gebogenen Balken bei gleicher Belastung mit zunehmender Länge ab. Bei den Gelenken C0, E, D0 und D kommt hierzu noch die Betrachtung aus Abschnitt 4.2 für Parallelführungen mit Federabstützung, woraus ein relativ langer Steg entstand. Am Gelenk B0 greift ebenfalls ein relativ großer Verdrehwinkel an, diesem kann aber aus mechanischen Gründen (wie der Gefahr zu verknicken) nicht eine beliebige Länge L1 zugewiesen werden. Er wird daher so gewählt, dass die maximal zulässige Spannung σzul gerade einmal erreicht wird. In Abschnitt 5.3 kann man erkennen, wie dieses Gelenk letztendlich auch das ist das der höchste Spannung unterworfen ist. Die Größe der Auslaufradien R orientiert sich da an der Steglänge L1. In der Tabelle 5-2 werden die Längen der Gelenkstege und die zugehörigen Auslaufradien tabelliert (vgl. Tabelle 5-5).

Tabelle 7-2 Steglängen- und Radienzuweisung der Gelenke

Gelenk L1 in [mm] R in [mm] C0, E, D0, D 2 0,6

A0, A 0,5 0,5 B0 1 0,25

a) b)

A0

A

C0 C

D

D0

E

B B0


97

Abbildung 7-3 Angewandte Varianten des Biegegelenks: a) Für das Gelenk B0

b) Für die Gelenke C0, E, D0 und D c) Für die Gelenke A0 und A

Die Gelenke B und C (Abbildung 5-2 Glied IV) wurden aufgrund ihrer unmittelbaren Nähe aufgelöst und durch eine flexible Membran, bestehend aus einem einzigen Steg, ersetzt. 7.2 Die Rückstellfeder Beim Betrachten der Rückstellfeder in Abbildung 5-2 stellt sich die Frage, warum eine so komplizierte Federkonstruktion, wie in Abbildung 7-4, nötig ist? Um diese Frage zu beantworten, muss erst die Aufgabe der Feder verstanden werden. Sie besteht primär darin, den Piezoaktor unter Druckspannung zu halten, sekundär dient sie der schnellen Rückführung der ausgelenkten Mechanik in die Ausgangslage (unausgelenkt). Das Vorspannen des Aktors geschieht, wie in Abbildung 7-4 dargestellt, über eine Madenschraube, mit der die Feder gestaucht wird. Die gestauchte Feder erzeugt eine Kraft von 20 N, die über eine Übersetzung γv = 2 auf den Piezoaktor übertragen wird (siehe Abbildung 5-4). So wird der Piezoaktor bei einer Stauchung der Feder um 0,2mm mit einer Kraft von 40 N auf Druck belastet (vergleiche Abschnitt 5.3). Die Feder wurde so konzipiert, dass sie bei Inbetriebnahme des Aktors nicht einknickt. Das Verknicken der Feder würde nämlich einen nichtlinearen Verlauf aufweisen, der nur schwer zu regeln wäre. Der relativ große Verdrehwinkel beim Anziehen der Madenschraube am Spannhebel hat zur Folge, dass an dieser Stelle auf Federgelenke verzichtet wurde. Für dieses Gelenk wurde ein Passivgelenk verwendet. Beim Anziehen der Madenschraube entsteht hier kein Verbiegen, sondern ein Wälzen. Die spitze Form am Berührpunkt des Passivgelenkes soll die Berührfläche klein halten, um reibungsbedingte Störungen zu unterdrücken. Die Vorspannungsvorrichtung wurde aus fertigungstechnischen Gründen als separates Bauteil realisiert. Grund hierfür war, dass ein Anbringen von Bohrungen, die für die Spannschraube nötig sind, anders nicht möglich ist. Die Vorspannungsvorrichtung wird daher an Schwalbenschwanzführungen fixiert und an ihnen mit der Stellmechanik verklebt.

a) b) c)

L1

a)


98

Abbildung 7-4 Rückstellfeder mit Federspanner

7.3 Die Fertigungsunterlagen Die Fertigungszeichnungen für die Stellmechanik wurden aufgrund der zwei verschiedenen Fertigungsverfahren in zwei Teilzeichnungen unterteilt, wobei die eine zur Erzeugung eines Halbzeugs verwendet wird und die zweite zur Erzeugung der Erodierkonturen dient. Dieses Halbzeugteil wird ausschließlich spanabhebend bearbeitet. Anschließend wird das Halbzeugteil zur Härten weitergeleitet. Als Algemeintoleranz wird die DIN7168-f-r38 angewandt. Die Erodierkonturen werden als DXF-File39 der Fertigung übergeben. Die Zeichnungen dienen daher nur der Kontrolle. Als Algemeintoleranz wird für alle Maß-, Winkel-, Form- und Lagetoleranzen ein Wert von ± 0,05 mm angegeben. Diese Toleranz ist angesichts der in Abschnitt 6-1 erwähnten Werkstückqualitäten angebracht. Zusätzlich werden noch Zeichnungen der restlichen Bestandteile der Baugruppe „Kamera“ sowie Stückliste und Montageanleitung beigefügt. Diese Dokumente sind im Anhang F zu finden.

38 Wurde von der ISO2768 abgelöst. Wird aber firmenintern (ARRI) noch angewandt. 39 Zweidimensionales CAD-Format

Einstellschraube (Madenschraube)

Passivgelenk

Schwalbenschwanzführungen

FEM-Analyse

8. FEM-Analyse Die Finite-Elemente-Methode, auch FEM genannt, ist eine mathematisch numerische Methode zur Berechnung von Kontinuumproblemen wie Feld-, Fluid- oder Festkörperberechnungen. Aus mathematischer Sicht werden bei der FEM partielle Differentialgleichungen gelöst. Solche Differentialgleichungen können beispielsweise Navier-Stokes-Gleichungen für Fluidströmungen, Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Felder oder die in Abschnitt 1.6 besprochenen Gleichungen der Elastizitätstheorie sein. Mathematisch lassen sich diese Gleichungen für einfache Systeme lösen; bei komplexeren Systemen ist dies aber nur schwer oder überhaupt nicht möglich. Hier setzen numerische Approximationsverfahren wie die FEM an. Somit liegen die Wurzeln der FEM in der angewandten Mathematik. Der Begriff „finite Elemente“ wurde 1960 von Clough40 und Argyris eingeführt. Waren FEM-Berechnungen in den 70er Jahren aufgrund ihrer großen Datenmengen noch eine Domäne spezialisierter Rechenzentren, können im Zuge der steigenden Rechnerleistung heute auch kommerzielle PC´s aufwendige FEM- Berechnungen durchführen. Dies ist ein Grund für die rasante Ausbreitung dieses mächtigen Werkzeugs in den Ingenieurswissenschaften. Die FEM geht vom römischen Prinzip des „ Teilen und Herrschen“ aus. Hierbei wird ein komplexes System, durch Aufteilung in endliche „finite“ Elemente einfacher Natur, idealisiert. Diese Teilsysteme lassen sich dann meist mit linearen Zusammenhängen beschreiben. Die Vorgehensweise der FEM lässt sich somit in drei Punkten zusammenfassen:

• die Zerlegung des Systems in endliche Elemente (Preprozess41) • das Aufstellen und lösen eines idealisierten Gleichungssystems (Solve1) • und die Ergebnisdarstellung (Postprozess1).

Die oben genannten Kontinuumprobleme werden so in diskrete Probleme überführt und näherungsweise gelöst. Die Abweichung zwischen numerischer und analytischer Lösung wird mit zunehmender Elementezahl immer kleiner. Die FEM unterscheidet zwei Arten von Problemstellungen: der geometrischen und materiellen Linearität des Systems und der zeitlichen Abhängigkeit des Systemgleichgewichtes. In dieser Arbeit werden die Verformung, die Spannung und die Eigenmoden der Stellmechanik aus linearen, zeitinvarianten Gleichungen untersucht.

40 Tätig bei Boeing in Seattle, wo die FEM (im Rahmen der Ingenieurswissenschaften) 1956 erstmals für die Berechnung gepfeilter Flugzeugtragflügel zum Einsatz kam. 41 Bezeichnung der Schritte im FEM Programmsystem ANYS V.7.0

FEM-Analyse

100

8.1 Verformungs- und Spannungsanalyse Zur Simulation der Verformung wurde das Programmsystem ANSYS V.7.0 verwendet. Zur Vereinfachung des Modells wurde das Volumenmodell in ein Flächenmodell umgewandelt. Die Modellparameter wurden als Flächeninformationen im CAD- Format IGS von der CAD- Anwendung SolidWorks auf die ANSYS-Plattform transferiert. Als Schalenelement wurde das Shell 63 Element gewählt (siehe Abbildung 8-1). Das Shell 63 Element besteht aus 4 Knoten und wird im dreidimensionalen Raum mit sechs Freiheitsgraden definiert. Dem Flächenmodell wird daher über eine Realkonstante eine Dicke zugewiesen.

Abbildung 8-1 Spezifikation des Shell 63 Elementes

Spannungsanalyse Die Struktur wurde, wie in Abbildung 8-2 a) dargestellt, an den Piezo-Angriffsstellen um 20 µm in x-Richtung versetzt. Beim benutzten Modell wurde die Vorspannfeder abgestürzt um deren Einfluss mitzuberücksichtigen (siehe Abschnitt 5.4).

Abbildung 8-2 Ergebnisse der Spannungsanalyse: a, b) Verschiebung in X- Richtung

c, d) Van Mieses Spannung in verschiedenen Ansichten

Versetzungspfeil mit je 20 µm in X-Richtung

a) b)

d) c)

FEM-Analyse

101

In Abbildung 8-2 a) ist zu erkennen, dass der Rahmen im Zentralbereich42 eine Versetzung in die entgegengesetzte Richtung vollzieht. Aus Abbildung 8-2 b) ist der Zahlenwert der vollzogenen Translation zu entnehmen. Somit erzeugt eine Versetzung von 20 µm an den Piezoangriffspunkten eine Versetzung von ca. ~30 µm (rot eingekreist) am Sensor, was einer Übersetzung von Ü = 3 entspricht. Die hierdurch erzeugten Spannungen werden als van-Mieses-Vergleichspannungen in Abbildung 8-2 c) und d) dargestellt. In Abbildung 8-3 c) ist zu erkennen, dass die Spannungsspitzen hauptsächlich im Bereich der Biegegelenke zu finden sind. In Abbildung 8-3 d) erkennt man deutlich das Gelenk mit der höchsten Belastung. Nach der in Abschnitt 4.5 angewandten Nomenklatur handelt es sich hierbei um das Gelenk B0. Die maximal auftretende Spannung ist in Abbildung 8-2 rot eingekreist, sie beträgt hier 93,075 Mpa. Somit liegen die Spannungen am Gelenk B0 mit 93 Mpa unterhalb der in Abschnitt 3.3 geforderten Grenzspannung von 243 Mpa.

42 Aus Abschnitt 4 und 5 bekannt als Punkt K, entspricht dem Ort, an dem sich der Sensor befindet.

FEM-Analyse

102

8.2 Strukturdynamische Analyse Da die Struktur unter statischer Belastung keine Spannungen aufweist, die über der in Abschnitt 3.3.21 geforderten liegen, wird nun das dynamische Verhalten der Struktur untersucht. Zu diesem Zweck wird die Struktur einer Modalanalyse unterzogen, bei der die Eigenmoden43 mit dem dazugehörenden Eigenformen ermittelt werden. Das Ziel der Modalanalyse ist, die Struktur so abzustimmen, dass die Eigenfrequenzen der Struktur nicht mit den Lastfrequenzen (Dynamikbereich aus Abschnitt 3.2) zusammenfallen. Somit kann der dynamische Einfluss reduziert und teilweise sogar eliminiert werden. Der Ausgangspunkt der Betrachtung ist folgende DGL für mechanische Systeme: ( )M w Dw K w F t+ + = [8-1] Wobei M die Maßenmatrix, D Dämpfungsmatrix, K Steifigkeitsmatrix ist. Bei w handelt es sich um den Vektor der Knotenverschiebung und bei F(t) um den Vektor der Gesamtlast in Abhängigkeit von der Zeit. Mit Gleichung 8-1 lässt sich nun das Verhalten einer Struktur auf äußere Beanspruchungen berechnen. Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenformen wird eine Modalanalyse durchgeführt. Bei der Modalanalyse wird der folgende Ansatz verwendet: 0M w K w+ = [8-2] Diese Gleichung beschreibt das Verhalten einer freien ungedämpften Struktur. Mit dem harmonischen Ansatz sin( )iw w tω θ= + in Gleichung 8-2 folgt: 2( ) 0iK M wω− = [8-3] Wenn nun die Determinante 2det( ) 0iK Mω− = ist, existieren für die Gleichung 8-4 nicht-triviale Lösungen. Diese nach ωi aufgelöst, ergeben nun die n Eigenfrequenzen44 der betrachteten Struktur, wobei n die Anzahl der Freiheitsgrade der Struktur ist. Setzt man nun ωi in die Gleichung 8-4 ein, kann man die dazugehörigen Eigenformen w i ermitteln. Um das Verhalten einer schwingenden Mechanik zu verstehen, betrachten wir einen eindimensionalen ungedämpften Masseschwinger, wie in Abbildung 8-2 dargestellt.

m

k

x

Abbildung 8-3 Eindimensionaler ungedämpfter Masseschwinger

43 Werden im Folgenden als Eigenfrequenzen bezeichnet. 44 Feigenfrequenz fi=ωi/2π [Hz].

FEM-Analyse

103

Für dieses System berechnet sich die Eigenfrequenz wie folgt:

01

2kfmπ

= [8-4]

Somit kann man sagen, dass die Eigenschwingung eine Mechanik mit zunehmender Steifigkeit k ansteigt. Anders beim Gewicht, nimmt nun die schwingende Maße m zu, so erniedrigen sich die Eigenfrequenzen. In der hier betrachteten Mechanik ist man daher bestrebt, die ersten Eigenfrequenzen so hoch wie möglich zu halten. Dazu werden über die Modalanalyse die Eigenformen bestimmt. Diese geben ihrerseits darüber Auskunft, welche Teile der Strukturen verstärkt bzw. versteift werden müssen, und welche Strukturkomponenten die schwingenden Maße ausmachen und somit leichter gemacht werden können. Da die hier berechnete Mechanik aus mehreren Massen gekoppelt mit Federn besteht, besitzt sie auch mehrere Resonanzfrequenzen, die als Moden bezeichnet werden. Zur Berechnung der Eigenfrequenzen wurden ebenfalls das Schell 63 Elemente angewandt. Diese Elemente bieten 6 Freiheitsgrade, zwei Translatorische und drei Rotatorische. Bei der Vernetzung des Modells wurden 57000 Knoten generiert. Hierdurch wird ein 342000 dimensionales Modell generiert, das es zu lösen gilt. Auswertung Bei der Auswertung der Schwingungsmoden wurden die ersten 6 berechneten Schwingungsmoden weggelassen, da sie keine physikalische Bedeutung haben (z.B. bei 0 Hz). Diese Moden ergeben sich aus dem Lösungsalgorithmus und folgen den Freiheitsgraden des Modellelements. Die für unsere Betrachtung relevanten Moden reduzieren sich somit auf drei. In Abbildung 8-5 sind die errechneten Eigenmoden zu sehen und in Tabelle 8-1 die zugehörigen Frequenzen tabelliert.

Tabelle 8-1 Frequenzen der ersten drei Moden

Mode Eigenfrequenz Bemerkung 1 f01 215 [Hz] Translatorisches Schwingen entlang der y- Achse2 f02 323 [Hz] Translatorisches Schwingen entlang der x- Achse3 f03 961 [Hz] Rotatorisches Schwingen um die z- Achse

Wie zu sehen ist, befindet sich schon die erste Schwingungsmode weit außerhalb des von der Mechanik genutzten Frequenzbereiches45. Somit ist eine Störung der Bewegungsmechanik durch Eigenfrequenzen ausgeschlossen.

45 Siehe hierzu Abschnitt 3.2

FEM-Analyse

104

Abbildung 8-4 Ergebnisse der Modalanalyse der Mechanik ohne Vorspannung: a) vernetzte Struktur b) erste Schwingmode bei 215 Hz c) zweite Schwingmode bei 323Hz d) dritte Schwingmode bei 961 Hz.

Um zu untersuchen, wie sich das Anspannen der Rückstellfeder auf das Schwingverhalten der Mechanik auswirkt, wurde analog zur oben durchgeführten Analyse eine mit eingespannter Feder durchgeführt. Die sich hieraus ergebenden Moden sind in Tabelle 8-2 tabelliert und die dazugehörigen Eigenfiguren in Abbildung 8-6 dargestellt.

Tabelle 8-2 Frequenzen der ersten drei Moden bei eingespannter Rückstellfeder

Mode Eigenfrequenz Bemerkung 1 f01 268 [Hz] Translatorisches Schwingen entlang der y- Achse 2 f02 389 [Hz] Translatorisches Schwingen entlang der x- Achse 3 f03 953 [Hz] Rotatorisches Schwingen um die z- Achse

Die Mechanik wird steifer und somit erhöht sich auch die Resonanzfrequenz.

a) b)

d) c)

FEM-Analyse

105

Abbildung 8-5 Ergebnisse der Modalanalyse der Mechanik mit Vorspannung: a) erste Schwingmode bei 268 Hz b) zweite Schwingmode bei 389Hz d) dritte Schwingmode bei 953 Hz

Eine Analyse mit eingespanntem Piezoaktor wird nicht durchgeführt. Zwar erhöht der Piezoaktor die bewegte Masse der Mechanik einerseits, andrerseits fällt die Versteifung der Mechanik stärker ins Gewicht. Somit währe auch hier eine weitere Erhöhung der Resonanzfrequenzen zu erwarten.

b) a)

d)

FEM-Analyse

106

8.3 Ermittlung der Mechanikkennlinie Bei dieser Betrachtung wurde das Modell mit abgestützter Feder angewandt wie in Abbildung 8-2 und 8-6 dargestellt. Als Vernetzungselement wurde das Schalenelement Schell 63 mit einer Realkonstante46 von 5,5 mm verwendet. Zur Ermittlung der Mechanikkennlinie wurde das FEM-Modell mit einer schrittweise abnehmenden Kraft an den Piezoangriffsstellen belastet. Die berechneten Werte sind in Tabelle 6-1 tabelliert und in Abbildung 8-7 dargestellt. Hierbei wurde die Auslenkung am Piezoangriffspunkt für die Eingangskennlinie hergenommen und die Auslenkung am Rahmen im Zentralbereich (siehe Abschnitt 8.1) für die Ausgangskennlinie verwendet. Tabelle 8-3 Berechnete Werte für verschiedene Lastschritte

Eingangskraft in [N]

Last Schritt Nr.

Auslenkung Sensor in y-Richtung in [m]

Auslenkung Eingang in y-Richtung in [m]

180 1 0,000330687 0,001035011 160 2 0,000293831 0,000925246 140 3 0,000257201 0,000809859 120 4 0,000220487 0,000681907 100 5 0,000183715 0,000578483 80 6 0,000146891 0,000462544 60 7 0,000110148 0,000346839 40 8 0,000073472 0,000231347 20 9 0,000036726 0,000115632 0 10 0 0

Mechanikkennlinie

y = 1,837E-06xR2 = 1,000E+00

y = 5,761E-06xR2 = 9,999E-01

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Eingangskraft Fin [N]

Sens

orve

rset

zung

[m]

Piez

oang

riffs

fläch

nver

setz

ung

[m]

Eingangskennlinie:

Ausgangskennlinie:

Ausgangskennlinie

Eingangskennlinie

Abbildung 8-6 Mechanikkennlinie

Die zwei Kennlinien geben einerseits Auskunft über die Übersetzung und andererseits über die Mechaniksteifigkeit.

46 entspricht der Dicke des Bauteils

FEM-Analyse

107

Die Steifigkeit der Mechanik entspricht der Steigung der Eingangskennlinie. Der aus der Eingangskennlinie in Abbildung 8-1 ermittelte Wert für die Steifigkeit der Mechanik Km beträgt:

1 61,83710mmKN

− − = [8.5]

544365mNKm

=

Die Übersetzung ermittelt sich wie folgt:

3,14Steigung AKSteigung EK

γ = = [8-6]

Die ermittelte Übersetzung γ ist mit 3,14 geringer, als die in Abschnitt 5.3 kinematisch errechnete. Dieser Unterschied lässt sich dadurch erklären, dass die modifizierten Gelenke (siehe Abschnitt 5.3) sich bezüglich ihres Drehpunktes nicht mehr eindeutig diskretisieren lassen. Dies ist besonders bei den Gelenken C0, E, D0, D und den verschmolzenen Gelenken B und C (siehe Abschnitt 7.1) zu beobachten. Bei der konstruktiven Umsetzung wurde angenommen, dass der Drehpunkt der Gelenke sich in der Mitte des Steges befindet. Diese Annahme hat sich als falsch herausgestellt. Dies ist auch der Grund, warum im PRB-Modell die Übersetzung γ nach dem Anpassen der Gelenke auf 4 vergrößert wurde, obwohl nur eine Übersetzung γ von 3 gefordert ist. Abbildung 8-7 zeigt die Auswirkung, die ein längeres Gelenk auf die Gelenkverdrehung τ hat. Diese Diskrepanz wirkt sich schließlich auch auf die Lagewinkel der betroffenen Glieder aus, was zu einer Verfälschung der Kinematik im PRB-Modell führt.

1τ 2τz

1 2τ τ≥

Abbildung 8-7 Auswirkung größer werdender Gelenkstege auf die Kinematik: a) Auslenkung um z mit kurzem Gelenksteg b) Auslenkung um z mit langem Gelenksteg

b) a)

FEM-Analyse

108

Messung der Eigenmoden

109

9. Messung der Eigenmoden In Abschnitt 7.1 haben wir den Begriff der Eigenmode schon kennengelernt. Hier sollen nun die Moden gemessen werden. Warum wollen wir eigentlich die Moden messen?

• Zur Verifizierung der berechneten FEM-Ergebnisse und ggf. Modifizierung des FEM-Modells durch geeignete finite Elemente.

Die Elementbibliothek in einem hochwertigen FEM-Programm kann sehr umfangreich sein. Bei der Entscheidung, welches Element zur Vernetzung eines Modells ausgewählt werden soll, bedarf es einer großen Erfahrung. Ob nun ein Flächenelement, ein Schalenelement oder gar ein Solid-Element gewählt wird, hängt maßgeblich von der Problemstellung ab und von der gewünschten Genauigkeit. Eine Hilfe kann da die Untersuchung schon vorhandener Bauteile sein. In unserem Fall wird das die in Abbildung 9-1 a) dargestellte Mechanik sein. Beim Vergleich der gemessenen Größen mit den errechneten kann geschlussfolgert werden, ob das Element für die Berechnung solcher Problemstellungen geeignet ist. Das Element mit der größten Übereinstimmung wird schließlich zur Berechnung der Mechanik herangenommen. Die Kontrolle hingegen wird an der in Abbildung 9-1 b) dargestellter Mechanik durchgeführt. Hierbei handelt es sich um die erste aus der Fertigung kommende Mechanik. Ziel dieser Messung ist es, letzte Zweifel hinsichtlich der geforderten Spezifikationen auszuräumen.

Abbildung 9-1 Untersuchte Mechaniken : a) Version BME02e

b) Version BME02b

9.1 Die Laservibrometrie Zur Messung der Moden wurde die Laservibrometrie angewandt, dabei wurden mit einem Gerät der Firma Polytec gearbeitet. Mit einem Laservibrometer lässt sich ein Oberflächenbereich der Mechanik auswählen und punktweise mit einem Laserstrahl abtasten. Aus diesen Messdaten kann man nun die Eigenmoden der Mechanik errechnen. Das Messen geschieht hier berührungslos.

b) a)


110

Das Messprinzip Der Laservibrometer arbeitet nach dem Prinzip der Dopplerfrequenzverschiebung47 . Wie der Name schon sagt, wird zur Messung ein Laserstrahl verwendet. Dabei wird die Information über das zu messende Objekt aus dem an der Objektoberfläche gestreuten Licht entnommen. Abbildung 9-2 zeigt schematisch den prinzipiellen Strahlengang im Laservibrometer. Das Licht des Lasers wird an Strahlteiler BS1 in einen Messstrahl und einen Referenzstrahl geteilt. Dabei durchläuft der Messstrahl den Strahlenteiler BS2 und wird anschließend an der Linse L auf das Objekt fokussiert. Das an der Objektoberfläche rückgestreute Licht gelangt über die Linse L an den Strahlteiler BS2, wo es auf den Strahlteiler BS3 abgelenkt wird. Hier werden nun die Strahlen vom Mess- und Referenzstrahl überlagert, wodurch eine Intensitätsmodulation entsteht, die auf den Detektoren D1 und D2 erfasst wird. Die Frequenz dieser Modulation ist ihrerseits proportional zur Schwinggeschwindigkeit des Messobjektes. Die Braggzelle im Strahlengang des Referenzstahls dient zur Bestimmung der Schwingrichtung des Objektes. Dabei wird die Frequenz optoakustisch um 40 Mhz verschoben. Je nachdem, ob größere oder kleinere Frequenzen als 40 MHz detektiert werden, bewegt sich das Objekt auf den Laser zu oder weg.

Abbildung 9-2 Strahlengang eines Laservibrometers (Bild: Fa. Polytec)

Der Messaufbau Der Messaufbau besteht aus zwei Laser und einer computergestützten Verarbeitungseinheit. Der Aufbau wird in Abbildung 9-3 dargestellt. Der Laser 1 dient der Referenzmessung eines Punktes bezüglich dessen die Schwingung gemessen wird. Im unseren Fall wurde die Außenkontur der Mechanik gewählt. Der Laser 2 misst die schwingende Struktur der Mechanik. Hierzu wurde er auf die Mechanikstruktur gerichtet, auf der sich der Bildsensor befinden wird. Um ein besseres Messsignal zu gewinnen, wurde an den Stellen an die der

47 Vergleichbar mit der Frequenzverschiebung des vom Martinshorn angesandten Schalls beim Vorbeifahren einer Ambulanz


111

Laser auf die Mechanik auftrifft diffus reflektierende Marker aufgeklebt. Nach dem Einspannen der Mechanik in einem Schraubstock und der Einjustierung der Laser wurde die Mechanik mit einem kurzen breitbandigen Impuls in Schwingung versetzt. Der Impuls wurde wie in Abbildung 9-3 dargestellt auf die zu messende Mechanikstruktur gegeben.

Abbildung 9-3 Messaufbau zur Messung der Eigenmoden an der Mechanik

Unterstützt wurde die Messung von einem von Prof. Dr. N. Stokhausen in LabVIEW geschriebenen Programm, das in Hintergrund die Aufbereitung der Messwerte sowie ihre graphische Darstellung übernimmt. Die einzustellenden Parameter reduzieren sich somit auf die Eingabe der Abtastrate, mit der das analoge Messsignal digitalisiert wird und die Eingabe der Anzahl der Punkte die zur FFT48 übernommen werden. Bei dieser Messung wird die Geschwindigkeit der Schwingung gemessen. Das Geschwindigkeitssignal wird durch das Programm in Betrag genommen, dieses anschließend durch eine Fourie-Transformation in den Frequenzbereich überführt. Die Frequenzdarstellung der Impulsantwort erlaubt nun das Erkennen von Eigenmoden. 9.2 Messung zur Anpassung der FEM-Modelle Mit der in Abbildung 9-1 a) dargestellten Mechanik (BME02c), werden nun durch Anpassung der FEM-Modelle (Randbedingungen, Kraftangriffspunk und Elementtyp) die Voraussetzungen für die in Abschnitt 8 durchgeführten Berechnungen gesetzt. Die Signale wurden mit 5000 Hz abgetastet. Das Geschwindigkeitssignal wird in Betrag genommen und anschließend an 2049 Stellen einer FFT unterzogen. Aus dem hieraus ermittelten Spektrum lassen sich nun die einzelnen Moden herauslesen. Bei der Ermittlung der Impulsantwort der Mechanik wurde mit einem Impulshammer ein schmaler Impuls mit breitem Spektrum auf die Mechanik übertragen. Das ermittelte Impulsantwortspektrum ist in Abbildung 9-3 a) dargestellt. Da die Breite des vom Impulshammer erzeugen Spektrums die hochfrequenten Anteile des Spektrums nicht befriedigend erreicht hat, wurde zusätzlich mit einer steifen Schlagfeder ein sehr kurzer Puls erzeugt, der auch die höheren Frequenzen anspricht (siehe Abbildung 9-3b)). 48 Fast-Fourie-Transformation


112

Abbildung 9-4 Impulsantwort der Mechanik BME02b mit einer Mode bei ca. ~350 [Hz]:

a) Mehrfachmessung mit einen breitbandigen Impuls mit mittleren Frequenzanteilen b) Messung mit einen breitbandigen Impuls mit hohen Frequenzanteilen c) der zu (a) gehörende Realanteil des Spektrums

Zusätzlich zur Impulsantwort wurde noch ein Vergleich mit der Sprungantwort der Mechanik durchgeführt. Diese ist in Abbildung 9-4 sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich dargestellt.

Abbildung 9-5 Die Sprungantwort der Mechanik BME02b: a) im Zeitbereich

b) im Frequenzbereich

b)

b)

c)

a)

a)

f [Hz]

f [Hz]

f [Hz]

t [s]

f [Hz]


113

Wie Abbildung 9-4 und 9-5 zu erkennen ist, besitzt die Analysierte Mechanik eine eindeutige Schwingungsmode bei 350 Hz. Wie aus der Sprungantwort aus Abbildung 9-5 zu erkennen ist, handelt es sich hier um ein gedämpft schwingendes System 2 Ordnung (PT2). Somit kann es mit den Gleichungen 8-1 und 8-2 aus Abschnitt 7 beschrieben werden. In Abbildung 9-6 ist die mit FEM berechnete erste Eigenmode dargestellt. Abbildung 9-6 a) zeigt ein mit Solid 4549- Elementen gerechnetes Modell, Abbildung 9-6 b) - eins mit Shell 63 gerechnetes. Beide kommen an die gemessenen Eigenfrequenzen im Rahmen der Messgenauigkeit und der Modelltreue gut heran.

Abbildung 9-6 Vergleich zwischen: a) Solid 45 - Volumenelement

b) Shell 63 - Schalenelement

Aufgrund der erheblich kürzeren Rechenzeit wurden die in Abschnitt 8 mit Shell 63 - Elementen gerechnet.

49 Hierbei handelt es sich um dreidimensionale Volumenelemente

a) b)


114

9.3 Die Kontrollmessung Analog zur oben durchgeführten Messung verlief auch die Messung an der Mechanik aus Abbildung 9-1 b). Hierbei wurde auch der Einfluss der Vorspannung untersucht. Die Mechanik wurde wie in Abbildung 9-3 im vormontierten Zustand untersucht. Hierbei waren sowohl die Piezoaktoren als auch der hintere Wärmeleiter und das Peltierelement aufmontiert. Dies für dazu das die Schwingende Masse erhöht wird und somit die Resonanzfrequenz erniedrigt wird (vgl. Abschnitt 7). Bei den in Abbildung 9-7 dargestellten Ergebnissen wurde die Mechanik (BME02e) mit vorgespannter Rückstellfeder gemessen, wobei die Rückstellfeder um 0,2 mm gestaucht wurde.

Abbildung 9-7 Impulsantwort der Mechanik BME02e: a) Messung mit einen breitbandigen Impuls mit hohen Frequenzanteilen b) der dazugehörige Realanteil.

Wie man aus der Abbildung 9-7 a) entnähmen kann hat die Mechanik eine Eigenmode bei 100 Hz. Diese Annahme wird durch Betrachtung des Realanteils aus dem Spektrum der Impulsantwort in Abbildung 9-7 b) nochmals bestätigt. Abbildung 9-8 zeigt die Ergebnissen bei Änderung der Stauchung der Rückstellfeder. An der Mechanik (BME02e) wurde eine Messung mit loser Vorspannung (Federstauchung = 0 mm) und eine mit erweiterter Vorspannung (Federstauchung = 0,4 mm) durchgeführt.

b)

a) f [Hz]

f [Hz]


115

Abbildung 9-8 Impulsantwort der Mechanik BME02e:

a) Messung mit einen breitbandigen Impuls mit hohen Frequenzanteilen und loser Feder b) Messung mit einen breitbandigen Impuls mit hohen Frequenzanteilen und steif Feder (schraube um 0,4 mm angezogen)

Wie man aus Abbildung 9-8 entnehmen kann hat die Vorspannung Einfluss auf die Steifigkeit der Mechanik. Bei Erhöhung der Federstauchung (Abbildung 9-8 b)) bzw. Erniedrigung (Abbildung 9-8 a)) um 0,2 mm bezüglich der in Abbildung 9-7 gemessenen Einstellung ist eine Frequenzverschiebung der ersten Mode um ca. ~20 Hz zu beobachten. Somit ist erwiesen dass eine Einflussnahme des Schwingverhaltens der Mechanik über die Madenschrauben an der Vorspannvorrichtung möglich ist.

b)

a)f [Hz]

f [Hz]


116

Zusammenfassung, Diskussion und Ausblicke

117

10. Zusammenfassung, Diskussion und Ausblicke 10.1 Zusammenfassung Aus der Betrachtung des Pseudo-Rigid-Body-Modells und der FEM-Analyse, sowie aus Messungen an den vorangegangenen Mechaniken kann man sagen, dass eine reine kinematische Betrachtung elastischer (Compliant) Mechanismen nicht ausreichend ist, um deren Koppelkurve zu ermitteln. Folglich ist die Synthese eines solchen Mechanismus nur auf Basis kinematischer Betrachtungen nicht möglich. Der Grund hierfür sind die konservativen Kräfte, die von den Federgelenken ausgehen. Sie nehmen einen Teil der vom Aktor verrichteten Arbeit auf, um sich zu verformen. Hier setzt nun die Pseudo-Rigid-Body-Methode an, sie schließt nämlich diese Rückstellkräfte in ihre Betrachtung mit ein. Dies geschieht dadurch, dass an den Gelenken der kinematischen Kette zusätzliche Torsionsfedern angebracht werden. Diese Torsionsfedern erzeugen ihrerseits ein der Versetzung entgegengesetztes Moment. Nach der kinetostatischen Analyse des Pseudo-Rigid-Body-Modells zeigt sich, dass die benötigte Kraftübersetzung unter Verwendung des gleichen Aktors größer ist, als bei der reinen kinematischen Betrachtung (die Trägheit wird wegen den geringen bewegten Massen vernachlässigt). Bei der Abschätzung der Zuverlässigkeit ist aber auch beim Pseudo-Rigid-Body-Modell die Grenze erreicht. Hier kommen nun numerisch lösbare Kontinuumsmodelle wie die der FEM zum Einsatz. Diese sind gerade dann zwingend, wenn der zu untersuchende Mechanismus sehr komplex oder hohen Belastungen unterworfen ist, sei es statischer oder dynamischer Natur. In unserer Aufgabenstellung ist die hohe Lebenserwartung und die damit verbundene hohe Lastwechselzahl der Grund für den Einsatz der FEM. Unter Einbeziehung der Werkstoffcharakteristika wird zusammen mit fertigungstechnischen Betrachtungen ein Sicherheitsfaktor ermittelt, der seinerseits auf die Dauerbiege-wechselfestigkeit aufgeschlagen wird. Der hieraus entstandene Wert entspricht der maximalen zulässigen Spannung im ausgelenkten Mechanismus. Um ein optimales FEM-Modell zu generieren, wurden die schon vorhandenen Mechaniken mit einem Laser-vibrometer untersucht. Die FEM-Modelle dieser Mechaniken wurden anschließend auf die Ergebnisse der Messung hin angepasst. Die somit gewonnenen Randbedingungen werden anschließend auf das Modell der zu entwickelnden Mechanik übertragen. Ausgehend von dieser Analyse wurden die Federgelenke so ausgelegt, dass die von Mises-Vergleichspannung die maximal zulässige Spannung nicht übersteigt. Darüber hinaus wurde auch das Frequenzverhalten der Mechanik untersucht, um eventuelle Eigenmoden im Arbeitsbereich der Mechanik vorzubeugen.


118

10.2 Diskussion Die entwickelte Mechanik entspricht den in Abschnitt 3 definierten Spezifikationen. Dies wurde durch die Messungen in dieser Arbeit bezüglich der Dynamik (Abschnitt 9) und Messungen bei ARRI50 bezüglich der Sensorversetzung bestätigt. Zu den in dieser Arbeit angewandten Analysemethoden lässt sich folgendes sagen: FEM: Die FEM birgt hinter viel Farbe auch sehr viele Tücken. So wurden die importierten iges- Modelldaten der Mechanik nicht in mm sondern in m übernommen, was anfangs zu absurden Werten führte. Ein anderer Punkt ist die geschickte Anbringung der Kräfte und Randbedingungen, was dazuführt, dass man unterschiedliche Ergebnisse durch minimale Änderungen erhält. Als Fazit ist zu sagen, dass die FEM ein mächtiges Tool ist, dessen Ergebnisse man aber kritisch betrachten sollte. Der analytische Weg mit dem Pseudo-Rigid-Body-Modell: Der analytische Weg über ein Pseudo-Rigid-Body-Modell vereinfacht die Mathematik sehr drastisch. Hat aber den Nachteil, dass bei komplexeren Modellen, wie hier der Fall ist, die Berechnung sehr schnell unübersichtlich wird. Sie erfordert ein sehr diszipliniertes Vorgehen, da der kleinste Vorzeichnefehler sich gravierend auf das Endergebnis auswirken kann. Der MKS-Analyse des Pseudo-Rigid-Body-Modell: Die Betrachtung eines Pseudo-Rigid-Body-Modells mit einer MKS-Software hat sich als die schnellste und zuverlässigste Methode herausgestellt. Sie ermittelt alle gewünschten Daten, wie der Hubübersetzung, der Kraftübersetzung und der Mechaniksteifigkeit. Sie ist darüber hinaus wegen ihrer grafischen Oberfläche sehr anschaulich. PRB-Modelle: Die Modellierung eines elastischen Mechanismus als Pseudo-Starrkörper hat den Vorteil, dass man bei der Synthese eines Mechanismus wie beim Starköpermechanismen vorgehen kann. Sie bietet die Möglichkeit, schnell eine geeignete Getriebetopologie zu finden. Nachteil ist die Genauigkeit der ermittelten Werte, sie hängen stark von der Qualität der verwendeten empirisch ermittelten Formeln für die Gelenksteifigkeiten ab. Diese enthalten meist Korrekturfaktoren, deren Dimension in den meisten Publikationen nicht weiter erläutert wird. Ein weiterer Nachteil sind die uneinheitlichen Einheiten, mit denen diese empirischen Formeln arbeiten (z.B. E-Modul in [pa], [Mpa] oder [Gpa]). Bei größer werdenden Gelenken, wie in Abschnitt 5-3 bei den Gelenken C0, E, D0 und D der Fall war, ist eine Diskretisierung des Gelenkdrehpunktes am realen Bauteil sehr schwer, was zu Abweichungen in der Übersetzung führt, wie in Abschnitt 8.3 gezeigt. Erst durch den Einsatz der FEM konnte eine Anpassung des PRB- Modells, auch für längere Gelenkstege gewährleistet werden. Somit kann man sagen, dass das PRB-Modell für Mechanismen bestehend aus Kerbgelenken gut geeignet ist, bei Biegegelenken mit größer werdenden Steglänge L1 gelangt das Modell an seine Grenzen. In Abbildung 10-1 werden die Ergebnisse der verschiedenen Berechnungsmethoden gegenübergestellt. Wie zu erwarten war, sind Abweichungen zu erkennen. 50 Die Messung wurde durch Belichten eines Streifenmusters in zwei Sensorpositionen durchgeführt. Da diese Messung darüber hinaus Auskunft über die optischen und sensorischen Eigenschaften des Sensors gibt, können diese Messungen zu diesem Zeitpunkt nicht veröffentlicht werden.


119

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00045

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Eingangskraft Fin [N]

Vers

etzu

ng a

m P

iezo

- Ang

riffs

punk

t [m

] Ausgangskennlinie:

FEM schell 64

MKS mitKkerbgelenken

PRB-Analytisch

MKS mit AngepasstenGelenken und Übersetzung

Abbildung 10-1 Vergleich der Eingangskennlinien, berechnet mit FEM und PRB

In Tabelle 10-1 sind die Ergebnisse für die Mechaniksteifigkeit aus den verschiedenen Berechnungsmethoden noch einmal zusammengefasst. Tabelle 10-1 Ergebnisse zu den Berechnungen der Mechaniksteifigkeit

Mechanik Berechnungs- methode Bemerkung Steifigkeit

[N/m] Fehler [%] bez. FEM

MKS ohne Gelenk A und A0 528157 3

Analytisch - 553287 1,6 Mechanik mit Biegegelenken und vergrößerter Übersetzung FEM ohne Gelenk A0 544365 0

MKS ohne Gelenk A und A0 722577 -51 Mechanik mit Kerbgelenken und einer Übersetzung von γ = 3

Analytisch - 71788 -

Dynamik Die Ergebnisse aus der dynamischen Messung zeigen, dass die ermittelten Ergebnissee durch die FEM Modalanalyse sehr nahe der Realität sind. Ein direkter Vergleich der simulierten und der gemessenen Mechanik war aufgrund des schon montierten Zustandes der gemessenen Mechanik nicht möglich. Die Ergebnisse lassen jedoch den Schluss zu, dass die berechneten Moden korrekt waren. Die Mechanik kann somit der geforderten Dynamik gerecht werden und hat darüber hinaus sogar noch Spielraum. Dies ist besonders im Bezug auf die Steuerung und Regelung der Mechanik von Vorteil.

51 Für die Mechanik mit Kerbgelenken wurde keine FEM-Analyse durchgeführt da sie schon bei der analytischen Betrachtung zu steif war.

Mechanik wird Steifer


120

Fazit Die entwickelte Mechanik war ein voller Erfolg, sie konnte alle Erwatungen nicht nur erfüllen, sondern sogar übertreffen. Neben den technischen Anforderungen hat die Mechanik dazu beigetragen, die Auslastung der bei ARRI verwendeten Erodieranlage durch automatisierungsfreundliche Gestaltung zu erhöhen. Somit war die entwickelte Mechanik auch vom wirtschaftlichen Standpunkt ein Erfolg. Die gesamten Kosten für die Erstellung einer Mechanik liegen bei zirka 800 €, dem gegenüber stehen 5000 € die eine zugekaufte Lösung kostet. Die Mechanik war ursprünglich als Prototyp gedacht, wird aber in der Serienfertigung des ARRI-Scanns bereits eingesetzt.


121

10.3 Ausblicke Was könnte man noch tun, um auf ein besseres Ergebnis zu kommen, und wie sieht die Zukunft von elastischen Mechanismen aus? Die Anforderungen an die Genauigkeit von Positioniermechanismen werden angesichts der zunehmenden Miniaturisierung mechatronischer Bauteile in Zukunft zunehmen. Eine optimal an solche Aufgaben angepasste Mechanik zu entwickeln wird das Ziel sein. Bei der Synthese von mechanischen Bauelementen bieten Optimierungsverfahren ein großes Potenzial. Ein Beispiel hierfür sind die von C. Ertl in ihrer Diplomarbeit „ Entwicklung einer Optimierungsumgebung für mechanische Probleme“ (2003) vorgestellten Algorithmen wie SLSQP oder der Hooke Jeeves, die auf die Optimierung von kinematischen Ketten ausgerichtet wurden. Einen Schritt weiter gehen die Optimierungsansätze, die L. L. Howell in seinem Buch „Compliant Mechanisms“ und G. K Ananthasuresh in seinen zahlreichen Publikationen vorstellen. Bei diesen Verfahren geschieht die Synthese einer elastischen Mechanik über eine FEM-Optimierung der Getriebetopologie. Unter Angabe der Randbedingungen generiert dieser Algorithmus eine „optimale“ Topologie. Die Schwäche dieser Algorithmen ist, dass die erzeugten Topologien den wirtschaftlichen Fertigungsaspekten kaum gerecht werden. Diese wirtschaftlichen Aspekte in die Nebenbedingungen der Optimierungsalgorithmen zu implementieren wird über die Zukunft solcher Synthesewerkzeuge in der Industrie entscheiden.


122

Abbildungsverzeichnis

123

Abbildungsverzeichnis ABBILDUNG 1-1 INTERDISZIPLINARIETÄT VON MECHATRONISCHEN SYSTEMEN ................. 11 ABBILDUNG 1-2 DIGITALE PROZESSKETTE ......................................................................... 13 ABBILDUNG 1-3 DER ARRISCAN ..................................................................................... 14 ABBILDUNG 1-5 PHOTOEFFEKT IN EINER PHOTODIODE....................................................... 15 ABBILDUNG 1-6 PIXEL ALS INTEGRIERTES BAUTEIL ........................................................... 16 ABBILDUNG 1-7 BILDSENSORARCHITEKTUR....................................................................... 16 ABBILDUNG 1-8 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER PIXELVERVIELFÄLTIGUNG DURCH

ERZEUGUNG VIRTUELLER PIXEL.............................................................. 17 ABBILDUNG 1-9 VERGLEICH ZWISCHEN OPTISCHEM UND PIEZO- TIEFPASS........................ 18 ABBILDUNG 1-10 VORGEHENSSCHEMA BEI DER FESTIGKEITSUNTERSUCHUNG ................... 20 ABBILDUNG 1-11 SPANNUNGEN .......................................................................................... 21 ABBILDUNG 1-12 ABLEITUNG DER ELASTISCHEN LINIE AUS DEN ABLEITUNGEN DER

VERSETZUNG W(X) .................................................................................. 23 ABBILDUNG 1-13 DEFINITION DER BIEGUNG....................................................................... 24 ABBILDUNG 1-14 FEDERKENNLINIEN ................................................................................. 26 ABBILDUNG 1-15 SCHALTUNGSFORMEN VON FEDERN ................................................ 27 ABBILDUNG 1-16 DER AKTOR: AUFBAU UND SEINE BEDEUTUNG IM

STEUERUNGSTECHNISCHEN ZUSAMMENHANG ........................................ 28 ABBILDUNG 1-17 PARASITÄRE EIGENSCHAFTEN EINES PIEZOAKTORS .............................. 29 ABBILDUNG 1-18 PEROWSKIT- STRUKTUR EINES KRISTALLS............................................... 30 ABBILDUNG 1-19 DARSTELLUNG DER BRAVAIS-MILLER-INDIZIERUNG UND DEN

DAZUGEHÖRIGEN AUSLENKUNGSEFFEKTEN ............................................ 31 ABBILDUNG 1-20 STAPELAKTOREN UNTERSCHIEDLICHER ANBIETER UNTER KONSTANTER

LAST........................................................................................................ 32 ABBILDUNG 1-21 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN HUB UND BLOCKIERKRAFT........................ 33 ABBILDUNG 2-1 EINFLUSSFAKTOREN AUF DEN ENTWURF: UNTERTEILUNG IN PRIMÄRE UND

SEKUNDÄRE FAKTOREN........................................................................... 35 ABBILDUNG 2-2 VORGEHENSWEISE BEIM DESIGN EINES ELASTISCHEN MECHANISMUS NACH

SALAMON ................................................................................................ 37 ABBILDUNG 3-1 BAHN FÜR MICROSCANN MIT TIEFPASSFILTERUNG .................................. 40 ABBILDUNG 3-2 FILMREGISTRIERUNG UND –KALIBRIERUNG............................................. 41 ABBILDUNG 3-3 ERSATZMODELL FÜR DEN PIEZOAKTOR ................................................... 44 ABBILDUNG 3-4 VORSPANNUNGSPRINZIPIEN..................................................................... 45 ABBILDUNG 3-5 SCHERKRAFTKOMPENSATION ................................................................... 46 ABBILDUNG 3-6 SPANNUNGSSPITZEN AN SCHARFEN ÜBERGÄNGEN .................................. 49 ABBILDUNG 3-7 WÖHLER- KURVE EINES METALLS ........................................................... 50 ABBILDUNG 4-1 AKTORANORDNUNGEN ............................................................................. 54 ABBILDUNG 4-2 REFERENZMECHANIKEN) .......................................................................... 54 ABBILDUNG 4-3 FEDERFÜHRUNGSPRINZIPIEN .................................................................... 55 ABBILDUNG 4-4 MECHANISCHE VERSTÄRKUNGSVARIANTEN ............................................ 57


124

ABBILDUNG 4-5 SUPERPOSITION KONSTRUKTIVER ELEMENTE............................................ 58 ABBILDUNG 4-6 AUFLÖSUNG DER MECHANIK IN IHREN GRUNDTOPOLOGIEN ...... 59 ABBILDUNG 4-7 DIE MIT EINEM AKTOR II ANGETRIEBENE ANTRIEBSEINHEIT MIT EINEM

FREIHEITSGRAD ....................................................................................... 61 ABBILDUNG 4-8 KINEMATISCHE KETTE DES STELLGLIEDS ................................................. 62 ABBILDUNG 4-9 KINEMATISCHE KETTE DER KOPPELUNG ZWISCHEN STELLGLIED UND

FÜHRUNG................................................................................................. 63 ABBILDUNG 4-10 KINEMATISCHE KETTE DER FÜHRUNG .................................................... 65 ABBILDUNG 4-11 VEKTORPLOT DER GETRIEBETOPOLOGIE BEI 1 MM HUB AM

AKTORANGRIFFSPUNKT ........................................................................... 66 ABBILDUNG 4-12 GRAPHEN DER WINKELAUSLENKUNG ΤJ................................................... 66 ABBILDUNG 4-13 BAHNVERLAUF VON PUNKT K FÜR EINEN AKTORHUB ZWISCHEN 0 UND 20

10-3 [M] .................................................................................................... 67 ABBILDUNG 4-14 BAHNVERLAUF DES PUNKTES K IN X-RICHTUNG (BLAU) UND IN Y-

RICHTUNG (ROT) ...................................................................................... 67 ABBILDUNG 4-15 KINETISCHE ÜBERTRAGUNGSFUNKTIONEN DER MECHANIKTOPOLOGIE . 68 ABBILDUNG 4-16 GESCHWINDIGKEIT DES PUNKTES K IN X- UND Y-RICHTUNG, ABHÄNGIG

VON DER AKTORGESCHWINDIGKEIT......................................................... 69 ABBILDUNG 5-1 ELASTISCHE GELENKE MIT EINEM FHG.................................................... 72 ABBILDUNG 5-2 ERWEITERTE KINEMATISCHE KETTE MIT ANGEBRACHTEN

SCHRAUBENFEDERN AN DEN GELENKEN UND EINEN VEREINFACHTEN

PIEZOAKTOR. ........................................................................................... 74 ABBILDUNG 5-3 FREIGESCHNITTENER MECHANISMUS MIT ALLEN GLIEDERN ................... 75 ABBILDUNG 5-4 IN REIHE GESCHALTETE FEDER KV MIT ÜBERSETZUNG ΓV ........................ 79 ABBILDUNG 5-5 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER KALIBRIERUNG ZUR KOMPENSATION

DER NULLPUNKTVERSCHIEBUNG, VERURSACHT DURCH DAS VORSPANNEN

DER FEDER ............................................................................................... 79 ABBILDUNG 5-6 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER PIEZOHUBREDUZIERUNG UM

∆HVERLUST INFOLGE EINER WEGABHÄNGIGEN LAST WIE Z.B. EINER

VORSPANFEDER ....................................................................................... 80 ABBILDUNG 5-7 EINGANGSKENNLINIE DER MECHANIK BESTEHEND AUS KERBGELENKEN 81 ABBILDUNG 5-8 SYMMETRISCH ANGEORDNETE PARALLELFÜHRUNGEN ............................ 82 ABBILDUNG 5-9 KRAFTRICHTUNG BEI LÄNGSDEHNUNG BEI ......................................... 83 ABBILDUNG 5-10 DIE BIEGESPANNUNG AN DEN EINZELNEN GELENKEN.............................. 84 ABBILDUNG 5-11 DIE BIEGESPANNUNG AN DEN EINZELNEN ANGEPASSTEN GELENKEN ...... 85 ABBILDUNG 5-12 KINEMATISCHE EIGENSCHAFTEN DER MODIFIZIERTEN MECHANIK ....... 86 ABBILDUNG 5-13 DIE BIEGESPANNUNG AN DEN EINZELNEN ANGEPASSTEN GELENKEN MIT

VERGRÖßERTER ÜBERSETZUNG................................................................ 87 ABBILDUNG 5-14 EINGANGSKENNLINIE DER MECHANIK BESTEHEND AUS BIEGELENKEN. .. 87 ABBILDUNG 6-1 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DES FUNKENEROSIVEN SCHNEIDENS ...... 89 ABBILDUNG 6-2 FUNKTIONSWEISE DES EMD .................................................................... 90 ABBILDUNG 6-3 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG EINER DRAHTERODIERANLAGE .............. 91


125

ABBILDUNG 6-4 SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DES ZUSAMMENHANGS ZWISCHEN

VORSCHUB E UND DER RESULTIERENDEN RAUTIEFE RT BEI EINEM

ELEKTRODENDRAHTDURCHMESSER DN. .................................................. 91 ABBILDUNG 6-5 REM- AUFNAHMEN EINER ERODIERTEN OBERFLÄCHE ........................... 92 ABBILDUNG 6-6 MAßNAHMEN ZUR AUTOMATISIERUNG UND DURCHLAUFERSPARNIS ..... 94 ABBILDUNG 7-1 DIE POSITIONIEREINHEIT MIT IHREN BESTANDTEILEN............................. 95 ABBILDUNG 7-2 TOPOLOGIEZUORDNUNG.......................................................................... 96 ABBILDUNG 7-3 ANGEWANDTE VARIANTEN DES BIEGEGELENKS .................................... 97 ABBILDUNG 7-4 RÜCKSTELLFEDER MIT FEDERSPANNER ................................................... 98 ABBILDUNG 8-1 SPEZIFIKATION DES SHELL 63 ELEMENTES............................................ 100 ABBILDUNG 8-2 ERGEBNISSE DER SPANNUNGSANALYSE ................................................ 100 ABBILDUNG 8-3 EINDIMENSIONALER UNGEDÄMPFTER MASSESCHWINGER ..................... 102 ABBILDUNG 8-4 ERGEBNISSE DER MODALANALYSE DER MECHANIK OHNE VORSPANNUNG

.............................................................................................................. 104 ABBILDUNG 8-5 ERGEBNISSE DER MODALANALYSE DER MECHANIK MIT

VORSPANNUNG………………………………………………………...105 ABBILDUNG 8-6 MECHANIKKENNLINIE ........................................................................... 106 ABBILDUNG 8-7 AUSWIRKUNG GRÖßER WERDENDER GELENKSTEGE AUF DIE

KINEMATIK…………………………………………………………….107 ABBILDUNG 9-1 UNTERSUCHTE MECHANIKEN................................................................ 109 ABBILDUNG 9-2 STRAHLENGANG EINES LASERVIBROMETERS......................................... 110 ABBILDUNG 9-3 MESSAUFBAU ZUR MESSUNG DER EIGENMODEN AN DER MECHANIK.... 111 ABBILDUNG 9-4 IMPULSANTWORT DER MECHANIK BME02B ......................................... 112 ABBILDUNG 9-5 DIE SPRUNGANTWORT DER MECHANIK BME02B ................................ 112 ABBILDUNG 9-6 VERGLEICH ZWISCHEN .......................................................................... 113 ABBILDUNG 9-7 IMPULSANTWORT DER MECHANIK BME02E ....................................... 114 ABBILDUNG 9-8 IMPULSANTWORT DER MECHANIK BME02E ..................................... 115 ABBILDUNG 10-1 VERGLEICH DER EINGANGSKENNLINIEN, BERECHNET MIT FEM UND PRB

.............................................................................................................. 119 ABBILDUNG A-1 DARSTELLUNG VON LINIENPAAREN MIT ZUNEHMENDER

ORTSFREQUENZ UND MODULATION……………………........................131 Abbildung A-2 Abnahme der MTF durch ein optisches System oder einen Tiefpass… 131

Tabellenverzeichnis

126

Tabellenverzeichnis TABELLE 1-1 ERWEITERUNG KLASSISCHER MECHANISCHER MODELLE.............................. 20 TABELLE 1-2 WICHTIGSTE PIEZOELEKTRISCHE WERKSTOFFE ............................................ 31 TABELLE 3-1 BELICHTUNGSMODEN ................................................................................... 42 TABELLE 3-2 AUFNAHMEMODEN ....................................................................................... 42 TABELLE 3-3 MECHANISCHE DATEN DES PIEZOWANDLERS ............................................... 43 TABELLE 3-4 LEBENSDAUER DER PIEZOAKTOREN.............................................................. 47 TABELLE 3-5 KENNGRÖßEN VON METALLISCHEN WERKSTOFFEN ...................................... 48 TABELLE 3-6 ZUSAMMENFASSUNG DER WICHTIGSTEN ANFORDERUNGEN AN DEN

POSITIONIERMECHANISMUS .......................................................................... 52 TABELLE 4-1 ZEIGT DIE GÜTE DER IN ABBILDUNG 4-3 DARGESTELLTEN FÜHRUNGEN ...... 56 TABELLE 4-2 ÜBERTRAGUNGSPRINZIPIEN IN DER FEINWERKTECHNIK ............................... 57 TABELLE 4-3 GEOMETRIEPARAMETER DER GLIEDER FÜR DEN ERSTEN

RECHENDURCHGANG ................................................................................... 66 TABELLE 5-1 VOR- UND NACHTEILE VON ELASTISCHEN GELENKEN .................................. 72 TABELLE 5-2 GEOMETRIEPARAMETER DER GLIEDER FÜR DEN ERSTEN

RECHENDURCHGANG ................................................................................... 80 TABELLE 5-3 GEOMETRIEPARAMETER DER KERBGELENKE FÜR DEN ERSTEN

RECHENDURCHGANG .................................................................................... 81 TABELLE 5-4 GEOMETRIEPARAMETER DER KERBGELENKE ................................................ 84 TABELLE 5-5 GEOMETRIEPARAMETER DER BIEGEGELENKE ............................................... 85 TABELLE 5-6 GEOMETRIEPARAMETER DER GLIEDER FÜR DEN ERSTEN

RECHENDURCHGANG ................................................................................... 86 TABELLE 7-1 HEBELARMZUORDNUNG ZUR ABBILDUNG 6-2 B ........................................... 95 TABELLE 7-2 STEGLÄNGEN- UND RADIENZUWEISUNG DER GELENKE................................ 96 TABELLE 8-1 FREQUENZEN DER ERSTEN DREI MODEN ..................................................... 103 TABELLE 8-2 FREQUENZEN DER ERSTEN DREI MODEN BEI EINGESPANNTER

RÜCKSTELLFEDER....................................................................................... 104 TABELLE 8-3 BERECHNETE WERTE FÜR VERSCHIEDENE LASTSCHRITTE .......................... 106 TABELLE 10-1 ERGEBNISSE ZU DEN BERECHNUNGEN DER MECHANIKSTEIFIGKEIT............ 119

Literaturverzeichnis

127

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[Mül 26] Müller, G.; Groth, C.: FEM für Praktiker. Bd.

Band 1: Grundlagen. Aufl. 5 Renningen- Malsheim: Expert- Verlag 2000 [Mül 27] Müller, G.; Groth, C; Stelzmann.: FEM für Praktiker. Bd.

Band 2: Strukturdynamik. Aufl. 5 Renningen- Malsheim: Expert- Verlag 2000 [Nie 28] Niemann, G.; Winter, H.; Hohn B.-R.: Maschinenelemente. Bd. Band 1. Aufl. 3. Springer- Verlag, 2001 [Pit 29] Pitschellis, P.: Mechanische Miniaturgreifer mit Formgedächtnisantrieb. Fortschr.-Ber. VDI Reihe 8 Nr.714. Düsseldorf: VDI Verlag 1998 [Rom 30] Romberg, O.; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik. Aufl. 2 Braunschweig, Wiesbaden: Vierweg Verlag 2000 [Sal 31] Salomon, B.: Mechanical aspects in compliant mechanisms design. M.S Thesis, Purdue University, 1989 [Sas 32] Salas, S., L.; Hille, E.: Calculus / Einführung in die Differential und

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Pantograph Mechanism with Large- Deflective and Links. Proceeding of the 11th World Congress in Mechanism and Maschine Science

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130

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[Wal 38] Wallrapp, O.: Entwurf von Mechanismen. Manuskript zur Vorlesung Getriebetechnik.


Anhang A: Definitionen

131

Anhang A: Definitionen Ortsfrequenz Die Ortsfrequenz (räumliche Frequenz) ist die Anzahl der periodisch wiederkehrenden Linienpaare (hell- dunkel- Abschnitte), bezogen auf die Länge.

1 1fx mm

= ∆ [G-7]

Abbildung A-1 Darstellung von Linienpaaren mit zunehmender Ortsfrequenz und Modulation

Die Abbildung zeigt eine zunehmende Ortsfrequenz und Modulation.

Modulations- Transfer- (Übertragungs-) Funktion MTF Zur Qualitätsbestimmung eines aufgenommenen Bildes bedient man sich der MTF, die über die Ortsfrequenz die Übertragungsgüte angibt. Die Modulation (Kontrast) ist wie folgt definiert:

max min

max min

I IMI I

−=

+ [G-8]

wobei I die Intensität ist. Die MTF ist der Quotient aus Bildkontrast und Objektkontrast:

Abbildung A-2 Abnahme der MTF durch ein optisches System oder einen Tiefpass


132

HDTV HDTV steht für High Definition Television (hochauflösendes Fernsehen). Dabei handelt es sich um ein digitales Format. Die Auflosung ist höher, als beim Standartfernsehen (PAL), aber üblicherweise niedriger, als eine Filmauflösung (Telecine). Für die Digitale Filmproduktion gilt:

• Abtastung mit 2048 oder 4096 Samples/Zeile („2k“ und „4k“) z. B. „MPEG 4 Studio Profile“;

bis zu 4096 x 4096 Pixel auch 4:4:4 Sampling von RGB-Signalen Datenraten bis zu 2,4 Gbit/s

Telecine Unter Telecine versteht man das Überführen von Film auf Video. Filme werden normalerweise mit Bildraten von 24 fps aufgenommen. Fernsehsysteme wie NTSC gebrauchen Bildraten von 29.97fps. Filmbildraten müssen daher angepasst werden, um die Aufnahme auf dem Fernsehapparat glatt erscheinen zu lassen. Der Prozess, in dem im Studios zusätzliche Abbildungen hinzugefügt werden, um die Bildrate zu erhöhen, wird telecine genannt. Matrizen Unter Matrizen bezeichnet man ein System aus m mal n Elementen (Zahlen) der Form:

11 1

1

n

m mn

a aA

a a

=

… [G-9]

Ist n = m, so nennt man die Matrix „quadratische Matrix“. Eine quadratische Matrix der Form:

1 0 00 1 00 0 1

E =

[G-10]

bezeichnet man als Einheitsmatrix. Die Multiplikation und Addition einer Matrix mit einem Skalar ist kommutativ, assoziativ und distributiv. Die Multiplikation zweier Matrizen jedoch nicht. Die Matrix 1A− mit der Eigenschaft: 1 1AA A A E− −= = [G-11] bezeichnet man als inverse Matrix. Determinanten Determinanten sind reelle oder komplexe Zahlen, die eindeutig einer (n,n) Matrix (quadratisch) zugeordnet werden.


133

Der Wert einer Determinante lässt sich wie folgt berechnen:

11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= − [G-12]

Für Determinanten n-ter Ordnung wendet man die Determinantenentwicklung an:

11 12 13

22 23 21 23 21 2221 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 3231 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a= − + [G-13]

Tensoren (lat.: tendo, ich spanne) Wenn ein Ingenieur von Tensoren spricht, so meint er für gewöhnlich kartesische Tensoren. So kann die Tensoranalysis als Verallgemeinerung der Vektoranalysis verstanden werden. Je nach ihrer Stufe lassen sie sich wie folgt darstellen:

o Tensor nullter Stufe als Skalar, o Tensor erster Stufe als Vektor, o Tensor zweiter Stufe als Matrix (z.B. Spannungstensor).

134 Anhang B: Ergänzungen

Anhang B: Ergänzungen Ergänzung zu Abschnitt 5.3 Verwendete Matrixgleichung zur Ermittlung von Fin bei den Eingangskennlinien

0

0

0 0

0 0

0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 ( / 2) -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 - 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

X

Y

p

X Y

Y X

p pX Y

AA

lA AA A

l lA A

−−

1 1 1 1 1 1

3 3

4 0 4 0 4 2 0 4 2 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 0 0 -

X Y X Y

X Y

X Y X Y

l A l A l A l A

l B l B

l C l C l C l C

γ γ

γ γ−

4 2 0 4 2 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X Y

b

l D l Dγ γ

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

1 1

00

00

0

00

XA

YA

g A

g

in

XA A

YA

XB f

YB A B B f Y

XB

YB

XC B

YC

XC

YC

XE

YE

XD

YD

XD

YD

F

F

F MMFF MFF FF M M M F l A

FFF M MFF

F

FFFFF

F

γ

− − − − − ⋅ =

−

0

0

0

0

00

00

C

ut

C C E

E D

D D

FM M M

M M

M M

− − − + − −

G s b

Anhang B: Ergänzungen 135

„Working Model“-Modell des in Abschnitt 5.3 besprochenen Mechanismus mit einer Übersetzung γ =4

136 Anhang B: Ergänzungen

„Working Model“- Modell des in Abschnitt 5.3 besprochenen Mechanismus mit einer Übersetzung γ =3

Anhang C: Piezo Datenblatt 137

Anhang C: Piezo Datenblatt

138 Anhang C: Piezo Datenblatt

Anhang D: Datenblätter Maraging Stahl 145

Anhang D: Datenblätter Maraging Stahl

146 Anhang D: Datenblätter Maraging Stahl

Anhang E: Maple-Berechnungen

151

Anhang E: Maple-Berechnungen > restart; Wahl der benötigten Bibliotheken > with(linalg):with(plots):with(plottools):with(Units[Standard]): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined Warning, the name arrow has been redefined Warning, the assigned name polar now has a global binding Warning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, -, /, <, <=, <>, =, Im, Re, ^, abs, add, arccos, arccosh, arccot, arccoth, arccsc, arccsch, arcsec, arcsech, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh, argument, ceil, collect, combine, conjugate, convert, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, csgn, diff, eval, evalc, evalr, exp, expand, factor, floor, frac, int, ln, log, log10, max, min, mul, normal, root, round, sec, sech, seq, shake, signum, simplify, sin, sinh, sqrt, surd, tan, tanh, trunc, type, verify

Lagervektoren

Angaben in [m] (mm = 10^(-3); µm = 10^(-6) ) Eingabe der Übersetzungsverhältnisse [-] > gamma_2:= 4/3: gamma_1:=3: Eingabe der Länge des Piezoaktors lp[m], der Sensorhalterabmessungen a und b in [m], der Hebellängen l1und l4(ergibt sich aus L1+l1*gamma1+ Versatz) in [m], Abstand von Glied III und V l3 > lp:=20*10^(-3): b:=30*10^(-3): a:=35*10^(-3): l1:=2.5*10^(-3): l4:=10*10^(-3): l3:=5*10^(-3): Einheitsvektoren des Intertialsystems > ex:=<1, 0>: > ey:=<0, 1>: Festlegung des Lagers A0 als Ursprung des Intertialsystems > r_a0:=<0, 0>: Hier werden die Koordinaten der Festlager eingegeben in [m] > r_b0:=<l1, lp>;

:= r_b0

0.0025000000001

50

> r_c0:=<-0*10^(-3), lp+l3>;

:= r_c0

01

40

> r_d0:=<-0*10^(-3), -(b-(lp+l3))>;

:= r_d0

0-1

200

Berechnung von l3 aus r_c0 und r_b0 nach Abbildung 4-8: > l3:=dotprod(r_c0-r_b0, ey);

:= l3 0.005000000000

Berechnung von l2 aus r_b0b nach Abbildung 4-8: > l2:=l1*gamma_1;

:= l2 0.007500000000

Berechnung von l5 : > l5:=gamma_2*l4;

:= l51

75

Kontrollplot der Stützpunkte > with(plots): with(plottools): with(plots):


152

z1 := arrow(r_a0, shape=double_arrow,width = 0.2*10^(-3), head_length=0.4*10^(-3), color=red): z2 := arrow(r_b0, shape=double_arrow,width = 0.2*10^(-3), head_length=0.4*10^(-3), color=blue): z3 := arrow(r_c0, shape=double_arrow,width = 0.2*10^(-3), head_length=0.4*10^(-3)): z4 := arrow(r_d0, shape=double_arrow,width = 0.2*10^(-3), head_length=0.4*10^(-3)): c1 := circle([0,0], 0.5*10^(-3)): display( z1, z2, z3 ,z4, c1, scaling=CONSTRAINED, axes=FRAMED); Warning, the name arrow has been redefined Warning, the name arrow has been redefined Warning, the name arrow has been redefined

Gelenkkoordinatenbestimmung aus den Hilfsfiguren über die Winkel phi &Psi Aus den in Abschnitt 4.5 ermittelten Zusammenhängen werden hier die Lagewinkel der einzelnen Glieder berechnet. Dabei werden zwei Plausibilitätsberechnungen durchgeführt um eventuelle Tippfehler zu erkennen. dazu wird Lagewinkel bei der Auslenkung Delta_h =0 Berechnet und mit denen in den Abbildungen 4-7 bis 4-9 verglichen. Berechnung von Phi_III,II aus der Gleichung 4-7: > Phi_III_II:=arccos(((lp+Delta_h)^2+l1^2-(norm(r_b0-r_a0,2))^2)/(2*(lp+Delta_h)*l1)): > eval(Phi_III_II,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

90.00000000 degrees

> eval(Phi_III_II,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

67.01586738 degrees

Berechnung von PSI_a0 aus der Gleichung 4-8: > Psi_a0:=arcsin((l1*sin(Phi_III_II))/norm(r_b0-r_a0,2)): > eval(Psi_a0,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

7.125016351 degrees

> eval(Psi_a0,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

6.556791919 degrees

Berechnung von PSI_b0 aus der Gleichung 4-9: > Psi_b0:=Pi-Phi_III_II-Psi_a0: > eval(Psi_b0,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

82.87498363 degrees

> eval(Psi_b0,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

106.4273407 degrees

Berechnung Gelenkswinkel phi_III,I aus der Gleichung 4-10: > phi_III_I:=Pi-(Psi_b0-arctan(lp/l1)): > eval(phi_III_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

180.0000000 degrees

> eval(phi_III_I,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

156.4476429 degrees

Berechnung Gelenkswinkel phi_II,I aus der Gleichung 4-12:


153

> phi_II_I:=Psi_a0+(arctan(lp/l1)): > eval(phi_II_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

90.00000000 degrees

> eval(phi_II_I,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

89.43177551 degrees

Berechnung des Vektors r_b aus der Gleichung 4-13: > r_b:=r_b0-gamma_1*l1*<cos(phi_III_I),sin(phi_III_I)>: > eval(r_b,Delta_h=0): > evalf(%);

0.010000000000.02000000000

> eval(r_b,Delta_h=10^(-3)): > evalf(%);

0.0093752148500.01700309814

Berechnung des Hilfsvektors r_C0 B = Delta nach der Gleichung 4-14: > r_bc0:=r_c0-r_b: > eval(r_bc0,Delta_h=0): > evalf(%);

-0.010000000000.004999999997

> eval(r_bc0,Delta_h=10^(-3)): > evalf(%);

-0.0093752148500.007996901862

Berechnung von Phi_IV,V aus der Gleichung 4-15: > Phi_IV_V:=arccos( ( l3^2 +l4^2 -(norm(r_bc0, 2))^2 ) / (2*l4*l3) ): > eval(Phi_IV_V,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

90.00000000 degrees

> eval(Phi_IV_V,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

105.5721088 degrees

Berechnung von PSI_B aus der Gleichung 4-16: > Psi_b:=arcsin((l4*sin(Phi_IV_V))/(norm(r_bc0, 2))): > eval(Psi_b,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

63.43494877 degrees

> eval(Psi_b,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

51.41947934 degrees

Berechnung von phi_Delta,I aus der Gleichung 4-17: > phi_DELTA_I:=Pi-(angle(r_bc0,ex)): > eval(phi_DELTA_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

26.56505122 degrees

> eval(phi_DELTA_I,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

40.46362513 degrees

Berechnung von phi_IV_I aus der Gleichung 4-18: > phi_IV_I:=Pi-Psi_b-phi_DELTA_I: > eval(phi_IV_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

90.00000000 degrees


154

> eval(phi_IV_I,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

88.11689546 degrees

Berechnung von phi_V,I aus der Gleichung 4-19: > phi_V_I:=2*Pi-Phi_IV_V-Psi_b-phi_DELTA_I: > eval(phi_V_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

180.0000000 degrees

> eval(phi_V_I,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees));

162.5447866 degrees

Berechnung von phi_VI,I aus der Gleichung 4-23: > phi_VI_I:=(3/2)*Pi;

:= phi_VI_I3 π2

> eval(phi_VI_I,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

270. degrees

Berechnung von PSI_e aus der Gleichung 4-25: > Psi_e:=arctan(b/a): > eval(Psi_e,Delta_h=0): > evalf(convert(%,degrees));

40.60129464 degrees

Berechnung des Hilfsvektoe Vektors r_a0b0 : > > r_a0b0:=r_b0-r_a0;

:= r_a0b0

0.002500000000000000060.0200000000000000004

Berechnung des Vektors r_e aus der Gleichung 4-21: > r_e:=r_c0-gamma_2*l4*<cos(phi_V_I),sin(phi_V_I)>: > eval(r_e,Delta_h=0): > evalf(%);

0.013333333330.02500000001

> eval(r_e,Delta_h=10^(-3)): > evalf(%);

0.012719356180.02100053051

Berechnung des Vektors r_K aus der Gleichung 4-22: >

> r_k:=r_e+sqrt((b/2)^2+(a/2)^2)*<cos(2*Pi-Psi_e), sin(-Psi_e)>: > eval(r_k,Delta_h=0): > evalf(%);

0.030833333330.01000000001

> eval(r_k,Delta_h=10^(-3)): > evalf(%);

0.030219356180.006000530513

Vektorkettenplot Der Vektorkettenplot soll zeigen, ob die errechnete Vektorkette mit den in Abbildung 4-7.a) übereinstimmt Arrow > r_d:=r_d0-gamma_2*l4*<cos(phi_V_I),sin(phi_V_I)>: eval(r_d,Delta_h=0): > evalf(%);


155

0.01333333333-0.004999999995

> r_a:=(Delta_h+20*10^(-3))*<cos(phi_II_I),sin(phi_II_I)>: eval(r_d,Delta_h=0): > evalf(%);

0.01333333333-0.004999999995

> Delta_h:=1*10^(-3);

:= Delta_h1

1000

> with(plots): with(plottools): with(plots): a1 := arrow(r_a0, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=red): a2 := arrow(r_b0, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=blue): a3 := arrow(r_c0, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=green): a4 := arrow(r_d0, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a41 := arrow(r_a, shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=red): a5 := arrow(r_b, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=red): a6 :=arrow([r_a],(r_b0-r_a), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a7 :=arrow([r_b0],(r_b-r_b0), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a8 :=arrow(r_e, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3),color=yellow): a9 :=arrow([r_c0],(r_e-r_c0), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a10 :=arrow([r_c0],((r_e-r_c0)/gamma_2), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a11 :=arrow([r_b],((((r_e-r_c0)/gamma_2)+r_c0)-r_b), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a12 :=arrow(r_k, shape=double_arrow,width = 0.2*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3), color=orange): a13 :=arrow(r_d, shape=double_arrow,width = 0.1*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3),color=yellow): a14 :=arrow([r_d0],(r_d-r_d0), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a15 :=arrow([r_e],(r_d-r_e), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a16 :=arrow([r_e],((r_d-r_e)/2), shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): a17 :=arrow([r_k],(((r_d-r_e)/2)+r_e)-r_k, shape=double_arrow,width = 0.5*10^(-3), head_length=0.6*10^(-3)): display( a1, a2, a3, a4, a41, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, scaling=CONSTRAINED, axes=NORMAL); Warning, the name arrow has been redefined Warning, the name arrow has been redefined

> Delta_h:='Delta_h'; Delta_h;

:= Delta_h Delta_h

Delta_h


156

Plots der Kinetik des Punktes K

> evalf(r_k): > r_kx:=dotprod(r_k,ex): > r_ky:=dotprod(r_k,ey): > evalf(r_kx): > evalf(r_ky): > f_x:=unapply(r_kx,Delta_h): > f_y:=unapply(r_ky,Delta_h): > Abweichung von der Geradenführung bei 20µm > Abw_x:=f_x(0)-f_x(Delta_h): > eval(Abw_x,Delta_h=10*10^(-6)):evalf(%);

0.6000 10-7

> > p1:=plot((f_x(0)-f_x(Delta_h)), Delta_h=0..2*10^(-3), color=blue): > p2:=plot((f_y(0)-f_y(Delta_h)), Delta_h=0..2*10^(-3)): > display([p1, p2], title=`Bahnverlauf des Punktes K in x-Richtung und in y-Richtung `,labels=[Àktor Hub in [m]`, `Delta_r_kx (blau) und Delta_r_ky (rot) in [m]`], axes=FRAMED);

> display([p1], title=Àbweichung in x-Richtung `,labels=[Àktor Hub Delta_h in [m]`, `delta_r_kx in [m]`], axes=NORMAL);

> p2:=plot(f_y(0)-f_y(Delta_h), Delta_h=0..3*10^(-3)): p3:= line([1*10^(-3),0], [1*10^(-3),4*10^(-3)], color=green, linestyle=3): p4:= line([1*10^(-3),4*10^(-3)], [0,4*10^(-3)], color=green, linestyle=3): p5:= line([2*10^(-3),8*10^(-3)], [0,8*10^(-3)], color=green, linestyle=3): p6:= line([2*10^(-3),0], [2*10^(-3),8*10^(-3)], color=green, linestyle=3): p7:= line([0,0], [2*10^(-3),8*10^(-3)], color=green, linestyle=3): > display([ p2, p3, p4, p5, p6, p7], title=`Übertragungskenlinie für die Auslenkung des Punktes K in y Richtung`,labels=[Àktor Hub in [m]`, `r_ky (rot) in [m]`], axes=NORMAL);

> p5:=plot([f_x(Delta_h)-f_x(0), f_y(Delta_h)-f_y(0),Delta_h=0..20^(-3)], axes=NORMAL): > display([ p5], title=`Bahnverlauf des Punkt K `,labels=[`Delta_x in [m]`, `Delta_y in [m]`], axes=NORMAL);


157

Geschwindigkeiten

> Delta_h:='Delta_h'; := Delta_h Delta_h

> with(VectorCalculus): Warning, these names have been rebound: *, +, diff, int Warning, the assigned names <,>, <|> and Wronskian now have a global binding Warning, these protected names have been redefined and unprotected: ., Vector, limit, series > dr_k:=diff(r_k, Delta_h): > v_k:=dr_k*v_Delta_h: > Delta_h:=10^(-3);

:= Delta_h1

1000

> evalf(v_k): > v_kx:=dotprod(v_k,ex): > v_ky:=dotprod(v_k,ey): > evalf(v_kx): > evalf(v_ky): > v_x:=unapply(v_kx,v_Delta_h): > v_y:=unapply(v_ky,v_Delta_h): > P1:=plot((v_x(0)-v_x(v_Delta_h)), v_Delta_h=0..2, color=blue): > P2:=plot((v_y(0)-v_y(v_Delta_h)), v_Delta_h=0..2): P3:= line([1,4], [0,4], color=green, linestyle=3): P4:= line([1,0], [1,4], color=green, linestyle=3): > display([P1, P2, P3, P4], title=`Geschwindigkeit des Punktes K in x- und y-Richtung `,labels=[`Aktor Geschwindigkeit Delta_v in [m/s]`, `v_kx (blau) und v_ky (rot) in [m/s]`], axes=FRAMED);

> Delta_h:='Delta_h'; Delta_h;

:= Delta_h Delta_h

Delta_h

Gelenkverdrehwinkel tao Bei der Berechnung der Gelenkverdrehungen Tau werden einmal die Verdrehung bei Delta_h=0 und bei Delta_h=10µm Berechnet. Diese sind auf Plausibilität mit den Abbildungen 4-7..9 zu überprüfen. Darüber hinaus werden nur die Beträge der Winkel übernommen da die Richtung der Momente aus Abbildung 5_3 hervorgeht Berechnung von tao_a0 aus der Gleichung 4-26: > tao_a0:=abs((Pi/2)-phi_II_I): > eval(tao_a0,Delta_h=0): eval(tao_a0,Delta_h=10^(-3)):


158

> evalf(convert(%,degrees));evalf(convert(%%%,degrees)); 0.5682244761 degrees

0.

Berechnung von tao_a aus der Gleichung 4-27: > tao_a:=abs((Pi/2)-Phi_III_II): > eval(tao_a,Delta_h=0): eval(tao_a,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees)); evalf(convert(%%%,degrees));

22.98413263 degrees

0.

Berechnung von tao_b0 aus der Gleichung 4-28: > tao_b0:=abs(Pi-phi_III_I): eval(tao_b0,Delta_h=0): > eval(tao_b0,Delta_h=10^(-3)): evalf(convert(%,degrees)); > evalf(convert(%%%,degrees));

23.55235709 degrees

0.

Berechnung von tao_b aus der Gleichung 4-29: > tao_b:=abs(Pi*3/2-phi_DELTA_I-Psi_b-phi_III_I): eval(tao_b,Delta_h=0): > eval(tao_b,Delta_h=10^(-3)): evalf(convert(%,degrees)); evalf(convert(%%%,degrees));

21.66925259 degrees

0.

Berechnung von tao_c aus der Gleichung 4-30: > tao_c:=abs(Pi/2-Phi_IV_V): > eval(tao_c,Delta_h=0): eval(tao_c,Delta_h=10^(-3)): > evalf(convert(%,degrees)); evalf(convert(%%%,degrees));

15.57210885 degrees

0.

Berechnung von tao_c0 aus der Gleichung 4-31: > tao_c0:=abs(Pi-phi_V_I): eval(tao_c0,Delta_h=0): > eval(tao_c0,Delta_h=10^(-3)): evalf(convert(%,degrees)); > evalf(convert(%%%,degrees));

17.45521337 degrees

0.

> tao_d:=tao_c0: > tao_e:=tao_d: > tao_d0:=tao_c0: >

Plot der Gelenkverdrehwinkel > t_a0:=unapply(tao_a0,Delta_h): > t_a:=unapply(tao_a,Delta_h): > t_b0:=unapply(tao_b0,Delta_h): > t_b:=unapply(tao_b,Delta_h): > t_c:=unapply(tao_c,Delta_h): > t_c0:=unapply(tao_c0,Delta_h): > t10:=plot(t_a0(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=blue): t20:=plot(t_a(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=green): t30:=plot(t_b0(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=black): t40:=plot(t_b(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=grey):


159

t50:=plot(t_c(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=orange): t60:=plot(t_c0(Delta_h), Delta_h=0..20*10^(-6), color=turquoise): display([t10, t20, t30 ,t40, t50, t60], title=`Winkelauslenkung an den Gelenken `,labels=[`Aktor Hub in [m]`, `|tao| in [rad]`], axes=FRAMED);

> t10:=plot(t_a0(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=blue): t20:=plot(t_a(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=green): t30:=plot(t_b0(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=black): t40:=plot(t_b(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=grey): t50:=plot(t_c(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=orange): t60:=plot(t_c0(Delta_h), Delta_h=0..2*10^(-3), color=turquoise): display([t10, t20, t30 ,t40, t50, t60], title=`Winkelauslenkung an den Gelenken `,labels=[`Aktor Hub in [m]`, `|tao| in [rad]`], axes=FRAMED);

Die Gelenksteifigkeit

Federsteifigkeit der Gelenke Berechnung von K_ aus der Gleichung 5-2 für beidseitiges symmetrisches Kerbgelenk: > K_kerb:=(2*E*b_1*t1^(5/2))/(9*Pi*r^(1/2));

:= K_kerb 2 E b_1 t1( )/5 2

9 π r

Berechnung von K_ aus der Gleichung 5-4 für Biegegelenke: > K_bieg:=E*b_1*(1-nu^2)*t1^3/(12*lg1);

:= K_bieg E b_1 ( )− + ν2 1 t13

12 lg1

Berechnung von K_ aus der Gleichung 5-4 b VDI für Biegegelenke: > K_vdi:=E*t1^3*b_1/(12*lg1);

:= K_vdi E t13 b_112 lg1

Eingabe der Materialkenngrößen: E = E- Modul [pa], nu= Querkontraktionszhal Eingabe der Geometriekenngrößen: Siehe hierzu Abbildung 5-1 Abweichungen: lg1=l1, > E:=193*10^(9): b_1:=5.5*10^(-3): t1:=0.15*10^(-3): r:=0.5*10^(-3): lg1:=1*10^(-3): nu:=0.29: > lg2:=2*10^(-3): lg3:=0.5*10^(-3): > evalf(K_kerb);

0.9253387656

> evalf(K_bieg); 0.2734390828


160

> evalf(K_vdi); 0.2985468750

> KFEM_1:=1/(arctan(2,959/1.25));

:= KFEM_11

( )arctan 2

> evalf(KFEM_1); 0.9032210251

Führungssteifigkeit

Steifigkeit der Führung > k_c0_X:=((Pi*(r/t1)^(1/2))-2,57*10^3)/(E*10^(-9)*b_1): > evalf(%);

200600.1141

> k_c0_Xb:=(E*(b_1*t1))/(lg1): evalf(%);

0.1592250000 109

Aus der FEM > KFEM:=50/(0.3088*10^(-3));

:= KFEM 161917.0984

Hub am Punkt k > Delta_K_Y:=(f_y(0)-f_y(Delta_h)): > eval(Delta_K_Y,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

0.00008000000452

Elongation Delta e am Führungsglied (V) > Delta_el:=(sqrt((l4*gamma_2)^2+(Delta_K_Y)^2))-(l4*gamma_2): > eval(Delta_el,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

0.24000 10-6

Längskraft F_N zwei in Reihe geschalteter Kerbgelenke > F_N:=Delta_el*KFEM*0.5: eval(F_N,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

0.019430

Benötigte Kraft am Punkt F_out > F_out:=4*F_N*sin(tao_c0): > eval(F_out,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

0.0004663200458

Zugspannungen an den Führungsgelenken > sigma_N:=F_N/(b_1*t1): > ps_N:=plot(sigma_N, Delta_h=0..20*10^(-6), color=blue): > display([ps_N], title=`Biegespannung am den Gelenken in Abhängigkeit vom Hub `,labels=[`Aktorhub in [m]`, `sigma in [pa]`], axes=FRAMED);

Kinetostatik

Rückstellmomente Angepasste Steifigkeiten > K_a0:=E*b_1*(1-nu^2)*t1^3/(12*lg3);

:= K_a0 0.5468781658

> K_b0:=E*b_1*(1-nu^2)*t1^3/(12*lg1); := K_b0 0.2734390828

> K_c0:=E*b_1*(1-nu^2)*t1^3/(12*lg2);


161

:= K_c0 0.1367195414

Berechnung der Rückstellmomente aus den oben ermittelten Tau` und der Steifigkeit K_a0 K`s können je nach gewünschtem Gelenktyp (Siehe Abbildung 5-1) variieren. > F_f:=0;

:= F_f 0

> gamma_f:=2; := gamma_f 2

> M_a0:=tao_a0*K_a0: eval(M_a0,Delta_h=10^(-6)): eval(M_a0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.55 10-8

0.

> M_a:=tao_a*K_a0: eval(M_a,Delta_h=10^(-6)): eval(M_a,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0002187458

0.

> M_b0:=tao_b0*K_b0: eval(M_b0,Delta_h=10^(-6)): eval(M_b0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0001093756

0.

> M_b:=tao_b*K_c0: eval(M_b,Delta_h=10^(-3)): eval(M_b,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0517073038

0.

> M_c:=tao_c*K_c0: eval(M_c,Delta_h=10^(-3)): eval(M_c,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0371582619

0.

> M_c0:=tao_c0*K_c0: > eval(M_c0,Delta_h=10^(-3)): eval(M_c0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0416517375

0.

> M_e:=tao_e*K_c0: > eval(M_e,Delta_h=10^(-3)): eval(M_e,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0416517375

0.

> M_d:=tao_d*K_c0:


162

> eval(M_d,Delta_h=10^(-3)): eval(M_d,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0416517375

0.

> M_d0:=tao_d0*K_c0: eval(M_d0,Delta_h=10^(-3)): eval(M_d0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.0416517375

0.

> pm1:=plot(M_a0, Delta_h=0..25*10^(-6), color=magenta): > pm2:=plot(M_a, Delta_h=0..25*10^(-6), color=black): > pm3:=plot(M_b0, Delta_h=0..25*10^(-6), color=green): > pm4:=plot(M_b, Delta_h=0..25*10^(-6), color=red): > pm5:=plot(M_c, Delta_h=0..25*10^(-6), color=yellow): > pm6:=plot(M_c0, Delta_h=0..25*10^(-6), color=maroon): > pm7:=plot(M_e, Delta_h=0..25*10^(-6), color=cyan): > pm8:=plot(M_d, Delta_h=0..25*10^(-6), color=coral): > pm9:=plot(M_d0, Delta_h=0..25*10^(-6), color=blue): > display([pm1,pm2,pm3,pm4,pm5,pm6,pm7,pm8,pm9], title=`Ablenkmoment in abh. vom Hub `,labels=[`Aktor Hub in [m]`, `M in [Nm]`], axes=FRAMED);

>

Spannungen an den Gelenken Zulässige Spannung an den Gelenken unter Einbeziehung der Gleichung 1-22 und nach Auflösung nach Sigma folgt > sigma:=(M*6)/(t1^2*b_1);

:= σ 0.4848484849 1011 M

> s_a0:=subs(M=M_a0,sigma): > eval(s_a0,Delta_h=10^(-3)): eval(s_a0,Delta_h=10^(-19)): evalf(%%); evalf(%%);

0.26296255 109

20.

> s_a:=subs(M=M_a,sigma): eval(s_a,Delta_h=10^(-3)): eval(s_a,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.1063658250 1011

20.

> s_b:=subs(M=M_b,sigma): eval(s_b,Delta_h=10^(-3)): eval(s_b,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);


163

0.2507020793 1010

0.

> s_c0:=subs(M=M_c0,sigma): eval(s_c0,Delta_h=10^(-3)): eval(s_c0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.201947818 1010

0.

> s_c:=subs(M=M_c,sigma): eval(s_c,Delta_h=10^(-3)): eval(s_c,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.1801612703 1010

0.

> s_e:=subs(M=M_e,sigma): eval(s_e,Delta_h=10^(-3)): eval(s_e,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.201947818 1010

0.

> s_d:=subs(M=M_d,sigma): eval(s_d,Delta_h=10^(-3)): eval(s_d,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.201947818 1010

0.

> s_d0:=subs(M=M_d0,sigma): eval(s_d0,Delta_h=10^(-3)): eval(s_d0,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.201947818 1010

0.

> ps1:=plot(s_a0, Delta_h=0..20*10^(-6), color=magenta): ps2:=plot(s_a, Delta_h=0..20*10^(-6), color=black): ps3:=plot(s_b0, Delta_h=0..20*10^(-6), color=green): ps4:=plot(s_b, Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): ps5:=plot(s_c, Delta_h=0..20*10^(-6), color=yellow): ps6:=plot(s_c0, Delta_h=0..20*10^(-6), color=maroon): ps7:=plot(s_e, Delta_h=0..20*10^(-6), color=cyan): ps8:=plot(s_d, Delta_h=0..20*10^(-6), color=coral): ps9:=plot(s_d0, Delta_h=0..20*10^(-6), color=blue): l := line([0,250*10^6], [20*10^(-6),250*10^6], color=red, linestyle=3): ps10:=plots[display](l): display([ps1,ps2,ps3,ps4,ps5,ps6,ps7,ps8,ps9,l], title=`zul. Spannung in abh. vom Hub `,labels=[`Aktor Hub in [m]`, `sigma in [pa]`], axes=FRAMED);


164

Parameter Vereinfachung und Belegung Hier werden einige Parameter vereinfacht, damit die Matrix nicht zu unübersichtlich wird > A0x := (sin(phi_II_I)): eval(A0x,Delta_h=10^(-3)): eval(A0x,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.9999508231

1.

> A0y := (cos(phi_II_I)): eval(A0y,Delta_h=10^(-3)): eval(A0y,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.009917225226

-0.2051033808 10-9

> Ax := (sin(Pi-phi_III_I)): eval(Ax,Delta_h=10^(-3)): eval(Ax,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.3995869149

-0.4102067615 10-9

> Ay := (cos(Pi-phi_III_I)): eval(Ay,Delta_h=10^(-3)): eval(Ay,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.9166953133

1.

> Bx := (sin(phi_IV_I)): eval(Bx,Delta_h=10^(-3)): eval(Bx,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.9994599494

1.

> By := (cos(phi_IV_I)): eval(By,Delta_h=10^(-3)): eval(By,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.03286045708

-0.2051033808 10-9

> C0x := (sin(Pi-phi_V_I)): eval(C0x,Delta_h=10^(-3)): eval(C0x,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);


165

0.2999602115

-0.4102067615 10-9

> C0y := (cos(Pi-phi_V_I)): eval(C0y,Delta_h=10^(-3)): eval(C0y,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.9539517134

1.

> phi_VII_I:=phi_V_I: > D0x := (sin(Pi-phi_VII_I)): eval(D0x,Delta_h=10^(-3)): eval(D0x,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.2999602115

-0.4102067615 10-9

> D0y := (cos(Pi-phi_VII_I)): eval(D0y ,Delta_h=10^(-3)): eval(D0y ,Delta_h=0): evalf(%%); evalf(%%);

0.9539517134

1.

Solve > Hier werden die Unbekannten über ein lineares Gleichungssystem, durch Lösen der folgenden Matrix gelöst > with(linalg): Warning, the previous binding of the name Wronskian has been removed and it now has an assigned value Eingabe der Unbekannten (gesuchte Größen): > alpha := vector([Fx_a0,Fy_a0,F_g,M_g,F_in,Fx_a,Fy_a,Fx_b0,Fy_b0,Fx_b,Fy_b,Fx_c,Fy_c,Fx_c0,Fy_c0,Fx_e,Fy_e,Fx_d,Fy_d,Fx_d0,Fy_d0]); α Fx_a0 Fy_a0 F_g M_g F_in Fx_a Fy_a Fx_b0 Fy_b0 Fx_b Fy_b Fx_c, , , , , , , , , , , ,[ :=

Fy_c Fx_c0 Fy_c0 Fx_e Fy_e Fx_d Fy_d Fx_d0 Fy_d0, , , , , , , , ]

Eingabe der Randbedingungen (gegebene Größen): > beta := vector([0,0,-M_a0,0,0,-M_a,0,-F_f,M_a-M_b0-M_b-F_f*l1*gamma_f*Ay,0,0,M_b-M_c,0,0,M_c-M_c0-M_e,0,-F_out,M_e+M_d-F_out*(a/2),0,0,-M_d-M_d0]): Eingabe der der geometrischen Parameter (topologische Größen): > G := evalf(matrix([[-1, 0, A0x, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, -1, -A0y, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0,-(lp/2), -1, 0, 0, 0, 0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0, 0,-A0x, 0, A0y, 1, 0, 0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0, 0, A0y, 0, A0x, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1,0,-(lp/2)*A0x,(lp/2)*A0y, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,l1*Ax,l1*Ay,l2*Ax,l2*Ay,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-l3*Bx, l3*By, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -l4*C0x,-l4*C0y, 0, 0,-l5*C0x,-l5*C0y,0,0,0 , 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-2*b,0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, l5*D0x,l5*D0y]])):


166

Überprüfung ob die Matrix lösbar ist über die Betrachtung der Determinante > det(G): Erzeugung der inversen > inverse(G): Lösen der Gleichungen > Gb:=evalf(multiply(inverse(G),beta)): Numerisches Ergebnis des Ausgangssignals in Form einer Kraft in [N]: > Kraft_in:=eval(Gb[5],Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

3.0657410101

Zurücksetzen der Eingangsgrößen: > Liste:=[Kraft_aus,Delta_h]: > p1:=plot(Gb[1], Delta_h=0..20*10^(-6), color=aquamarine): p2:=plot(Gb[2], Delta_h=0..20*10^(-6), color=black): p3:=plot(Gb[3], Delta_h=0..20*10^(-6), color=blue): p4:=plot(Gb[4], Delta_h=0..20*10^(-6), color=navy): p5:=plot(Gb[5], Delta_h=0..20*10^(-6), color=coral): p6:=plot(Gb[6], Delta_h=0..20*10^(-6), color=cyan): p7:=plot(Gb[7], Delta_h=0..20*10^(-6), color=brown): p8:=plot(Gb[8], Delta_h=0..20*10^(-6), color=gold): p9:=plot(Gb[9], Delta_h=0..20*10^(-6), color=magenta): p10:=plot(Gb[10], Delta_h=0..20*10^(-6), color=maroon): p11:=plot(Gb[11], Delta_h=0..20*10^(-6), color=orange): p12:=plot(Gb[12], Delta_h=0..20*10^(-6), color=green): p13:=plot(Gb[13], Delta_h=0..20*10^(-6), color=gray): p14:=plot(Gb[14], Delta_h=0..20*10^(-6), color=grey): p15:=plot(Gb[15], Delta_h=0..20*10^(-6), color=khaki): p16:=plot(Gb[16], Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): p17:=plot(Gb[17], Delta_h=0..20*10^(-6), color=plum): p18:=plot(Gb[18], Delta_h=0..20*10^(-6), color=pink): p19:=plot(Gb[19], Delta_h=0..20*10^(-6), color=violet): p20:=plot(Gb[20], Delta_h=0..20*10^(-6), color=yellow): p21:=plot(Gb[21], Delta_h=0..20*10^(-6), color=sienna): > display([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15,p16,p17,p18,p19,p20,p21], title=Àbtriebs kraft in abh. vom Hub `,labels=[Àktor Hub in [mm]`, `F in [N]`], axes=FRAMED);

Warning, the name arrow has been redefined > p40:=plot(P, Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): > > display([p5], title=Àbtriebs kraft in abh. vom Hub `,labels=[Àktor Hub in [m]`, `F_in [N]`], axes=FRAMED);

Berechnung der Steigung des Graphen aus Abbildung 5-7 zur Ermittlung der Mechaniksteifigkeit k_mech > Kraft_in:=Gb[5]: > k_mech:=abs(Kraft_in/(20*10^(-6))): > eval(k_mech,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

153287.05500


167

Steifigkeit der Rückstellfeder am Piezoangriffspunkt > k_v:=(20)/(0.2*10^(-3));

:= k_v 100000.0000

> k_r:=((20)/(0.2*10^(-3)))*gamma_f^2; := k_r 400000.0000

Systemsteifigkeit > k_sys:=k_r+k_mech: eval(k_sys,Delta_h=20*10^(-6)): evalf(%);

553287.0000

Piezoaktor Eingabe der Aktorparameter Eingabe Abmaße der Stirnfläche des Piezos a_p und b_p in [m] > a_p:=3*10^(-3): b_p:=2*10^(-3): Eingabe des Piezo E_Modul > E_aktor:=44*10^(9): Angesteuerter Piezohub ohne Last (empfohlen vom Hersteller) > Delta_h_a:=11.6*10^(-6): Steifigkeit der Aktorstapel; > k_aktor:=E_aktor*a_p*b_p/lp;

:= k_aktor 13200000

Ermöglichbarer Piezohub > Delta_h_real:=Delta_h*(k_aktor/(k_aktor+k_sys)): > eval(Delta_h_real,Delta_h=Delta_h_a): evalf(%);

0.00001113333852

> > > p42:=plot(Delta_h_real, Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): > p333:= line([11.6*10^(-6),0], [11.6*10^(-6),0.00001110819724], color=green, linestyle=3): p444:= line([0,0.00001110819724], [11.6*10^(-6),0.00001110819724], color=green, linestyle=3): > > display([p42, p333, p444], title=`Hubreduzierung ufgrund der Mechaniksteifigkeit `,labels=[`Piezoaktor_Hub ohne Last in [m]`, `Piezoaktor_Hub_real mit Last in [m]`], axes=FRAMED); >

Piezomodell aus Abschnitt 3.3.1 Piezokraft zu Piezohub unbelastet > P:=200-(1.1*10^7)*Delta_h: > p40:=plot(P, Delta_h=0..15*10^(-6), color=red): > > display([p40], title=`Abtriebs kraft in abh. vom Hub `,labels=[`Piezoaktor_Hub in [mm]`, `F_piezo [N]`], axes=FRAMED);


168

Piezokraft zu Piezohub belastet > P:=200-(1.1*10^7)*Delta_h_real: > p41:=plot(P, Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): > > display([p41], title=Àbtriebs kraft in abh. vom Hub `,labels=[`Piezoaktor_Hub in [mm]`, `F_piezo [N]`], axes=FRAMED);

> Vergleich zwischen PRB und FEM > f_PRB:=plot(abs(Gb[5]), Delta_h=0..20*10^(-6), color=coral): > f_FEM:=plot(((0.0009*10^(-3))^(-1))*Delta_h, Delta_h=0..20*10^(-6), color=red): F_sys:=plot(k_sys*Delta_h, Delta_h=0..20*10^(-6), color=blue): > F_MKS:=plot((5.2*10^(5))*Delta_h, Delta_h=0..20*10^(-6), color=green): > display([f_PRB, F_MKS, F_sys], title=Àbtriebs kraft in abh. vom Hub `,labels=[Àktor Hub in [m]`, `F_in [N]`], axes=FRAMED);

> >

>

Anhang F: Technische Zeichnungen & Montageanleitung 169

Anhang F: Technische Zeichnungen & Montageanleitung

170 Anhang F: Technische Zeichnungen & Montageanleitung

172 Anhang F: Technische Zeichnungen & Montageanleitung


174


175

Montageanleitung: Sensoreinheit

Dokument: BME Revision: A

Dokument:

Erstellt von Nicoletti Michele TÜRKENSTR. 89 . D-80799 MÜNCHEN . TEL. (089) 3809-0 Telex 524317 ARRI D . FAX (089) 39 97 46

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176

Titel: Montageanleitung 1145-71-05-00-00

Projekt: Arri-Scan

Autor: Nicoletti Michele

Revision History:

Revision Changes Editor Date A Erstausgabe Nicoletti, 23.03.2005

01:51:00 00 Erstfreigabe Nicoletti 23.03.2005

01:51:00



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Stückliste

Ident Nr. Zchg.-Nr. Anzahl Benennung wenn bekannt

1 Piezotisch vorm. D4.14429.0 1145-71-06-00-00 1 Sensorstellmechanik D5.13926.0 1145-71-06-00-01 2 ZYLINDERSTIFT 05.01390.0 DIN6325-1M6X10 4 Federspanner D5.13927.0 1145-71-06-00-02 4 Mutter DIN939-M2 4 GEWINDESTIFT 05.04378.0 DIN913-M2X4-A2-70 4 Piezoaktuator Glyn Jones AE0203D16 1 FLACHKOPFSCHRAUBE DIN920-M2X4-A2-70 3 FLACHKOPFSCHRAUBE 05.15042.0 DIN920-M2X6-A2-70 1 Piezotisch justiert D4.14432.0 1145-71-05-00-00 1 Sensorwanne D5.13996.0 1145-71-03-00-01 1 Wärmeverteiler unten D5.14104.0 1145-71-05-00-02 1 Piezotisch vorm. D4.14429.0 1145-71-06-00-00 4 Distanzhülse D5.14107.0 1145-71-05-00-03 4 ZYLINDERSCHRAUBE 05.04117.0 DIN912-M2X10-A4-70 1 PELTIERELEMENT --x--x3,6 05.20320.0 --------------- 1 Wärmeverteiler oben D5.14105.0 1145-71-05-00-04 1 Sensoreinheit gebondet D4.14428.0 1145-71-04-00-00 1 Sensorflex D4.14342.0 1145-71-92-00-00 1 Sensoreinheit kpl. D4.14300.0 1145-71-03-00-00 1 Sensoreinheit gebondet D4.14428.0 1145-71-04-00-00 1 Messplatine D4.14341.0 1145-71-91-00-00 8 Schraube DIN84-M2x10 2 O-Ring d2,5X29 2 Flexklemme klein D5.13997.0 1145-71-03-00-02 8 ZYLINDERSCHRAUBE 05.04602.0 DIN912-M2,5X5-A4-70 2 O-Ring d3X47.5 2 Flexklemme gros D5.13998.0 1145-71-03-00-03 8 ZYLINDERSCHRAUBE 05.04695.0 DIN912-M2,5X6-A4-70 1 O-Ring d2,5X155 4 Schraube DIN912-M6x18



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178

Montage Anweisung 1) Mutter (DIN939-M2) mit Federspanner

(D5.13927) verkleben siehe Abb.2.1. Es ist darauf zuachten, dass die Mutter konzentrisch zum Durchgangsloch des Federspanners liegt.

2) Nach der Aushärtung des Klebers wird die

Madenschraube (DIN913-M2X4-A2-70) in das Gewinde der Mutter eingeschraubt. Schraube nicht bis zum Anschlag schrauben (siehe Abb.2.2).

3) Federspanner und Sensorstellmechanik miteinander an

den Pilzführungen verkleben (siehe Abb.2.3). 3) Piezo-Aktoren in die Sensorstellmechanik einsetzen

und verkleben, dabei ist darauf zu achten, dass die Litzen der Piezo-Aktoren nicht über die Fläche der Vorderseite der Sensorstellmechanik ragen siehe Abb.2.4).

4) Madeschraube anziehen.

Die Madenschraube um 0.2 mm über den Anschlag anziehen (siehe Abstand in Abb.2.5), von 2,6 mm (entspannt) auf 2,8 mm (angezogen) bringen.

5) Die Litzen der Piezo-Aktoren mit der Klemmschraube

DIN920-M2X4-A2-70 und DIN920-M2X6-A2-70 fixieren (siehe Abb.2.6). Achtung !! Die Schrauben nur leicht anziehen, da sonst Litzen beschädigt werden (Kurzschlussgefahr).

6) Passstifte (DIN6325-1M6X10) anbringen und verkleben, darauf achten, dass sie bündig mit der Unterseite der Sensorstellmechanik sind (siehe Abb.2.7).

7) Alle Schrauben sind mit Lack oder Loktite zu sichern, auch die Madenschrauben.

Abb.2.1

Abb.2.2

Abb.2.3

Abb.2.4

Abb.2.5

Abb.2.7

Abb.2.6



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179

Material Bezeichnung Werkstoff-Nr.

X2NiCoMo18-9-5 (1.2709) 1.6358

E-Modul Spezifisches Gewicht. R0,2% Rm Wärmeausdehnung

[N/mm2] [g/cm3] [N/mm2] [N/mm2] [10-6K-1]

193x10³ 8.2

1815 1860-2260

10,2

1.6358 (1.2709 / X2NiCoMo18-9-5) Edelbaustahl legiert Bezugsquelle: STM Stahl Vertriebs GmbH

Bussardstr. 10 82166 Gräfelfing bei München Tel.: 089-898147-0 Fax.: 089-898147-31 http://www.stm-stahl.de/

Wärmebehandlung Wärmebehandlung Temperatur Abkühlung

Warmformgebung

Normalglühen

War

m-

vera

rbei

tung

Weichglühen

Härten

Anlassen

Wär

me-

be

hand

lung

Spannungsarmglühen

Erwünschte Härte : 55 HRC (1) Thermospalt Montage Anleitung

diplomarbeit nicoletti 2005

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