Din istoria matematiciiCteva curioziti din istoria numerelor i nu numaiDumnezeu a creat numerele naturale. Restul este opera omului. Leopold Kronecker Matematician german (1823 1891)

tiai c n anul 2700 . Hr. egiptenii introduc calendarul bazat pe 365 de zile. n anul 2400 . Hr. n Mesopotamia se dezvolt sistemul de numeraie poziional n baza 60. Numrul 60 este ales, probabil, ca o consecin a listei mari de divizori ai acestui numr (adic 12 divizori). Sumerienii utilizeaz un calendar solar de 360 de zile mprit n 12 luni. n anul 1800 . Hr. mesopotamienii alctuiesc primele tabele de nmulire. n anul 585 . Hr. utiliznd proprietile de divizibilitate a numerelor, Thales din Milet (636 546 . Hr.) prezice o eclips de Soare. n anul 500 . Hr. pitagorienii, lucrnd cu numere reprezentate prin figuri, atribuie cte un sex fiecrui numr, cele impare sunt de sex masculin, cele pare, de sex feminin. Tot ei introduc noiunile de numr prim, numr compus, numere relative prime, numere prime perfecte, numere prietene (amiabile). Un numr este PERFECT dac suma S a divizorilor si (exceptnd numrul nsui) este egal cu numrul dat N. Dac S > N, atunci numrul este SUPRAPERFECT, iar dac S < N, numrul este IMPERFECT. Exemple de numere perfecte:

6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14; 496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248.

Exemple de numere supraperfecte:

12 < 1+2+3+4+6; 18 < 1+2+3+6+9; 20 < 1+2+4 +5+10.1

Exemple de numere imperfecte:

14 >1+2+7; 16 > 1+2+4+8; 22 > 1+2+11.

Numerele PRIETENE (AMIABILE) sunt numerele care au proprietatea c fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt. Lui Pitagora ((570 500 . Hr.) sau (580 496 . Hr.)) i se atribuie gsirea primei perechi de numere prietene: 220 i 284.

220 = 1+2+4+71+ 142; 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. n anul 440 . Hr. Meton din Atena dezvolta conceptul de ciclu metonic, o perioad de aproximativ 19 ani, n care micarea Soarelui i a Lunii observate de pe Pmnt par a se suprapune. Acest ciclu st la baza calendarelor grecesc i evreiesc. n anul 300 . Hr. Euclid (330 - 275 . Hr.) prezint o formul a numerelor perfecte i anume: 2 p 1 (2 p 1 ), unde p si 2 p 1 sunt numere prime. n anul 230 . Hr. Eratostene din Cyrene (275 - 195 . Hr.) dezvolt o metod de determinare a tuturor numerelor prime mai mici dect un numr dat: Ciurul lui Eratostene. n anul 180 . Hr. ntr-o lucrare de astronomie Hypsicles introduce uzana mpririi cerului n 360 de grade n matematica greac. n anul 46 . Hr. Iulius Cezar introduce, la sfatul astronomului Sosinge, calendarul compus din trei ani de 365 de zile i un an de 366 de zile

n anul 100 d. Hr. Nichomachus din Gerasa (secolul 1 2) strnge laolalt toate cunostintele vremii n domeniul teoriei numerelor. Sunt prezentate cele patru numere perfecte cunoscute: 6, 28, 416 i 8128. n anul 250 d. Hr. ntr-un tratat de matematic a chinezului Sun Tzi (secolul 3) apare problema: S se gseasc un numr care mprit prin 3, 5, 7 s dea resturile 2, 3, respectiv 4, problem provenit din necesitatea ntocmirii calendarului. n algebra modern, o astfel de problem poart numele de lema chinez a restului. n anul 620 d. Hr. Indianul Brahmagupta din Ujain (598 660) a scris o lucrare care conine remarcabile cercetri asupra ecuaiilor diofantice. Indienii folosesc regula lui 9 (dac numerele naturale se adun, se scad, se nmulesc sau se mpart fr rest, rezultatul este congruent modulo 9 cu2

numrul obinut prin adunarea, scderea, nmulirea sau mprirea resturilor mpririi la 9 a numerelor date ) pentru verificarea corectitudinii operaiilor aritmetice. n anul 1100 d. Hr. Jia Xien stabilete o metoda de construcie a triunghiului de numere numit mai trziu triunghiul lui Pascal. n anul 1150 d. Hr. Aciarya Bhaskara (1114 1185) n lucrarea Giuvaerul unui sistem astronomic rezuma cunostintele indiene ale vremii din domeniul algebrei i aritmeticii, concentrndu-se asupra ecuaiilor diofantice. n anul 1200 d. Hr. Leonardo Pisano cunoscut sub numele de Fibonacci scrie lucrarea Liber abaci, considerata timp de dou secole cea mai competent surs de cunotine n teoria numerelor. Sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9. n anul 1491 d. Hr. n lucrrile de aritmetic ale lui Filippo Calandri se introduce algoritmul de mprire cu un mpritor mai mare dect 12. Leonardo da Vinci (15.04.1452 2.05.1519) anticipeaz construirea ceasului cu pendul, al crui mecanism utilizeaz principii de divizibilitate. n anul 1536 d. Hr. ntr-o lucrare de aritmetic a matematicianului Regius apare al cincilea numr perfect cunoscut: 33 350 336. n anul 1575 d. Hr. ntr-o lucrare de aritmetic este inclus primul rezultat cunoscut obinut prin inducie matematica: suma primelor n numere impare este egala cu n 2. n anul 1603 d. Hr. sunt gsite al aselea i al aptelea numr perfect. Acestea sunt numerele miliardelor i, respectiv, a sutelor de miliarde. n anul 1621 d. Hr. apariia n ediie bilingv greac latin a Aritmeticii lui Difante, renvie studiul teoriei numerelor. n anul 1623 d. Hr. Wilhelm Schickardt construiete prima main de calculat capabil s fac adunri i scderi, iar ajutat de operator nmuliri i mpriri. Visul matematicienilor de a putea utiliza o main pentru efectuarea calculelor se apropie de realitate. n anul 1635 d. Hr. Ren Descartes (31.05.1596 11.02.1650)descoper teorema, numit de urmai a lui Euler, conform creia ntre numrul vrfurilor, muchiilor i fetelor unui poliedru convex trebuie s existe relaia:

V M + F = 2,unde V = numrul vrfurilor M = numrul muchiilor F = numrul fetelor Aceast relaie leag proprietatile unui corp de o relaie numeric. n anul 1636 d. Hr. Pierre Fermat (17.01.1601 12.01.1665) descoper o a doua pereche de numere prietene dup cele cunoscute de lumea antic ( 220 i 284). Perechea descoperit este (17296 i 18416).3

n anul 1640 d. Hr. Fermat formuleaz mica teorem a numerelor: Dac p este un numr prim, atunci orice numr ntreg a numrul a p a se divide cu p. n anul 1642 d. Hr. pe o manet a unei lucrri de Diofante (325 - 409), Fermat afirma c: Pentru toi ntregii n mai mari dect 2, nu putem gsi trei ntregi x, y, z astfel nct xn + yn = zn. Continua Fermat: Am descoperit o demonstraie remarcabil a acestei propoziii, dar nu-mi ajunge o singur pagin. Astfel s-a nscut cojectur care avea s frmnte cele mai strlucite minii ale matematicii, timp de mai multe secole. n anul 1656 d. Hr. studiile lui Hugens asupra cicloidei duc la crearea unui ceas precis i a unui cronometru. n anul 1665 d. Hr. Apare lucrarea lui Blaise Pascal (19.06.1623 19.08.1662) Tratat despre triunghiul aritmetic urmare a creia triunghiul cu proprietile cunoscute de muli naintai va purta numele lui Pascal. Isaac Newton (25.12.1643 31.11.1727) descoper teorema general a dezvoltrii binomului. n anul 1671 d. Hr. Wilhelm Gottfried Leibnitz (1.071696 14.11.1716) concepe o maina de calcul care poate efectua operaii de nmulire i mprire. n anul 1676 d. Hr. este dat o soluie la marea teorema al lui Fermat, pentru n=4. n anul 1760 d. Hr. Leonhard Euler (15.04.1707 18.09.1783) utilizeaz funcia , introdus de el pentru a demonstra c dac dou numere sunt prime unul fa de celalalt, atunci unul dintre ele, oricare ar fi acesta, divide diferena obinut prin scderea unui din celalalt ridicat la funcia a primului. Recent, aceast teorem a devenit fundamental pentru codurile moderne open key. n anul 1766 d. Hr. prin legea lui Johann Bode, distanele la care se afla planetele fa de Soare sunt proporionale cu termenii irului 3, 6, 12, 24, 48, 96, se ncearc legarea astronomiei de teoria numerelor. Descoperirea, n anul 1836, a planetei Neptun va dovedi c legea e greit. n anul 1770 d. Hr. Euler demonstreaz c teorema lui Fermat este adevrat pentru n = 3. n anul 1772 d. Hr. Christian Goldbach (8.03.1690 20.11.1764) emite ipoteza c orice numr par mai mare dect 2 este suma a doua numere prime. Ipoteza nu a fost nici confirmat, nici infirmat pn n prezent. Adrien Marie Legendre (18.09.1752 10.01.1833) afirma c nu exist expresii raionale care s furnizeze numai numere prime.4

n anul 1790 d. Hr. ecuaiile de gradul al doilea cu coeficieni numere ntregi i cu soluii n mulimea numerelor ntregi de forma x2 dy2 = 1 ( ecuaii Pell (John Pell (1.03.1610 12.12.1685))) capt o importan deosebit n teoria numerelor. n anul 1796 d. Hr. dup ce studiaz numerele prime, Karl Gauss (30.04.1777 23.02.1855) enun legea reciprocitii resturilor ptratice. Tot Gauss construiete cu rigla i compasul un poligon regulat cu 17 laturi. n anul 1800 d. Hr. Gauss rezolva problema gsirii poligoanelor regulate construibile cu rigla i compasul, demonstrnd c aceste poligoane trebuie s aib 2 laturi sau 2 + 1, cnd 2 + 1 este un numr prim. n anul 1801 d. Hr. marele Gauss demonstreaz c fiecare numr natural este egal cu suma a cel mult trei numere triunghiulare. Tot Gauss introduce noiunea de congruen modulo p. n anul 1830 d. Hr. ntr-un tratat de algebra, George Peacock (9.04.1791 8.11.1858) face una dintre primele ncercri cunoscute de formulare a legii fundamentale a aritmeticii. n anul 1839 d. Hr. Gabriel Lam (22.07.1795 1.05.1870) dovedete valabilitatea teoremei lui Fermat pentru n = 7. n anul 1847 d. Hr. Ernest Kummel (29.01.1810 14.05.1893) introduce n teoria numerelor noiunea de ideal o generalizare a numerelor prime care face posibil ca teorema fundamental a aritmeticii s fie aplicat i numerelor complexe. n anul 1850 d. Hr. matematicianul rus Pafnutie Lvovivici Cebev (26.05.1821 12.08.1894) demonstreaz afirmaia lui Bertrand: Pentru orice n numr natural, n > 2, avem cel puin un numr prim cuprins ntre n i 2n n. n anul 1860 d. Hr. Nicollo Paganini, elev de 16 ani, uluiete lumea matematic, descoperind perechea (1184; 1210) de numere prietene. n ultimele secole se descoper multe perechi de numere prietene, toate foarte mari. Sunt folosite cutia de viteza i capul divizor al strungului, invenii bazate pe rezultate al divizibilitii numerelor naturale. n anul 1896 d. Hr. J. Hadamard ( 8.12.1865 17.10.1963) demonstreaz c dac a este un numr foarte mare numrul numerelor prime mai mici dect a estep

2

p

2

p

n anul 1909 d. Hr. S-au editat tabele cu numere prime mai mici dect 10 000 000 i cu cei mai mici divizori ai numerelor compuse mai mici dect 1000 000. ncepe utilizarea n coduri numerice a proprietilor numerelor prime.5

a log ( a)

n anul 1946 d. Hr. se nate calculatorul electronic. nc de la nceput, puterea sa de calcul va fi utilizat n cutarea numerelor prime. n anul 1959 d. Hr. W. Sierpinski (1882 - 1970) demonstreaz c pentru n > 5, ntre numerele naturale n i 2n avem cel puin dou numere prime. n anul 1980 d. Hr. L. Adleman i R. Rumelig dezvolt o metod nou i mbuntit de testare a numerelor n vederea descoperii numerelor prime. n anul 1985 Hugh C. Wiliams i Harvey Dumbar ajung la concluzia c numrul format din 1031 de cifre de 1 este prim. n anul 1996 d. Hr. cea mai celebr cojectur a istoriei este demonstrat! Andrew Wiles de la Institutul Isaac Newton din Cambridge d demonstraia complet a marii teoreme a lui Fermat. n anul 2000 d. Hr. Matematicianul american Nayan Hayratwala a lucrat simultan cu mai mult de 20 de mii de calculatoare de pe ntreg globul i a obinut numrul prim 2 6 972 593 1 fiind cel mai mare numr prim cunoscut. Pentru scrierea acestui numr sunt necesare dou milioane de cifre.

Regina tiinelor este matematica, iar aritmetica este regina matematicii Karl GAUSSBibliografie 1. Ioan Dncil, Divizibilitatea numerelor. Clasele V XII. Editura Sigma, 2001 2. Ioan Dncil, Matematica gimnaziului, ntre profesor i elev, Editura Aramis, Bucureti, 2001. 3. Ion Purcaru, Octavian Bsc, Oameni, idei i fapte din istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri i pna la sfritul secolului al XIX lea. Editura Economica, 1996 4. Mihu Cerchez, Pitagora, Editura Academiei Republicii Socialiste Romnia, Bucureti, 1986

6