istoria matematicii (rusa)

ont

С.Г.Гиндикин

РАССКАЗЫ О ФИЗИКАХИ МАТЕМАТИКАХ

Издание третье, расширенное

МЦНМО, НМУ2001

ББК 22.1Г49

Г49 С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. — 3-еизд., расширенное. М.: МЦНМО, 2001. — 448 с.ISBN 5-900916-83-9

В книге рассказано о жизни и творчестве двенадцати замечательныхматематиков и физиков (от XVI до XX века), работы которых в зна-чительной мере определили лицо современной математической науки.Увлекательно изложенные биографии великих ученых заинтересуют са-мые широкие круги читателей, от старшеклассников до взрослых; инте-ресующиеся математикой получат удовольствие и пользу от знакомствас научными достижениями героев книги.Настоящее издание книги С.Г.Гиндикина более чем вдвое расширено посравнению с предыдущим, вышедшим в серии «Библиотечка ”Квант“ »в 1985 году и успевшим стать библиографической редкостью.

ISBN 5-900916-83-9

c©С. Г. Гиндикин

c©МЦНМО, 2001Издательство Московского Центра

непрерывного математического образованияЛицензия ИД 01335 от 24.03.2000 г.Печать офсетная. Объем 28 печ. л.

Тираж 5000. Заказ

МЦНМО 121002, Москва, Большой Власьевский пер. 11. тел. 241-05-00МЦНМО выражает благодарность редакции журнала «Квант»

за помощь в подборе иллюстраций.В оформлении обложки использована гравюра Альбрехта Дюрера.

МЦНМО выражает благодарность компании «Демос» за предоставлениевысокоскоростного и качественного доступа в интернет.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4«Великое Искусство» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Два рассказа о Галилее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1. Открытие законов движения . . . . . . . . . . . . . . . 432. Медичейские звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

О Христиане Гюйгенсе и часах с маятником . . . . . . . . . 104Тайны циклоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1. Циклоида и изохронный маятник . . . . . . . . . . . . . 1192. Рулетты и касательные к ним . . . . . . . . . . . . . . . 1363. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды . . . . . 144

Блез Паскаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Высокой геометрии начала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Леонард Эйлер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Жозеф Луи Лагранж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Пьер-Симон Лаплас . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Король математиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

1. Дебют Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3082. Золотая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3283. Королевские будни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Феликс Клейн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Волшебный мир Анри Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . 376Загадка Рамануджана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды . . 401Комплексный мир Роджера Пенроуза . . . . . . . . . . . . . 424

3

4 Предисловие

Предисловие

Первое издание этой книги появилось в 1981 году в библиотечке«Квант». Она несколько раз допечатывалась огромными тиража-ми вплоть до 1985 года, разошлась в общей сложности в болеечем полумиллионе экземпляров, была переведена на английский,французский и японский языки. Основу книги составили статьи,которые прежде публиковались в журнале «Квант». В это изда-ние добавлены некоторые тексты, которые уже существовали в1981 году, но не были включены из-за очень жесткого ограниче-ния на объем. Некоторые дополнительные главы были написаныпозднее. Прошло более 20 лет с тех пор, как была написана зна-чительная часть этой книги, и сегодня я о многом написал быиначе, однако я предпочел ограничиться лишь исправлением за-меченных ошибок и неточностей.

Из добавленных сюжетов отметим историю циклоиды — кри-вой необычайной судьбы, казавшейся математикам ХVII века од-ной из величайших кривых и фигурировавшей в исследованияхкрупнейших математиков, но оказавшейся в конечном счете од-ним из историко-математических курьезов. Рассказ о ХVII веке—героическом веке математического анализа — дополнен главой оЛейбнице — одной из самых удивительных фигур в истории нау-ки.

Следующий XVIII век представлен тремя наиболее значитель-ными математиками столетия: Эйлером, Лагранжем и Лапласом(два последних работали и в XIX веке). По стандартной логике ис-тории науки это должен был бы быть относительно спокойный векупорядочения неотшлифованных фактов, накопленных в преды-дущий революционный век дифференциального и интегральногоисчислений. Однако великий гений Эйлера, которому было теснов естественных рамках, навязываемых современной ему матема-тикой, поломал все правила и пришел к удивительным открыти-ям, необычайно опередившим время. В конце века ученые оказа-лись объектом острого исторического эксперимента: французскаяреволюция соблазнила некоторых из них возможностью принятьнепосредственное участие в управлении государством, и этот со-блазн стоил многим из них жизни. Судьбы Лапласа и Лагранжа—два примера поведения ученых в этих условиях. XIX и XX ве-

Предисловие 5

ка представлены, помимо Гаусса, рассказами о Клейне, Пуанкареи Рамануджане. Конечно эта выборка достаточно случайна, ноих истории, на наш взгляд, поучительны. Наконец, мы вынес-ли в дополнение две статьи об истории проективной геометриии ее связях с одной из современных теорий математической фи-зики — теорией твисторов Пенроуза. Математическая часть этойдраматической истории предполагает более высокий уровень под-готовки, чем остальная часть книги.

Я хочу еще раз напомнить читателю, что перед ним не систе-матически написанная книга, а сборник статей, которые перво-начально преданазначались для школьников и студентов, инте-ресующихся математикой, а потому я всюду, где это возможно,старался включить детальные математические фрагменты в ис-торические рассказы. Со временем оказалось, что круг читателейкниги значительно шире. Я не без удивления обнаружил, что вней нашли что-то для себя и некоторые профессиональные мате-матики и физики, а с другой стороны, были читатели, которыеопускали при чтении всю математику и все же обнаруживалинечто поучительное в остатке. Хотелось бы также предостеречьот восприятия этой книги как серьезной книги по истории мате-матики: я не работал с первоисточниками, не проверял тщательнодетали, не снабдил текст, включая цитаты, ссылками. Я лишь хо-тел поделиться с читателем, который, как и я, любит математикуи физику, картиной, которая сложилась у меня после знакомствасо значительным историко-научным материалом в ассоциации смоими профессиональными математическами знаниями. Идеаломдля меня было изложение истории не в серьезных историческихкнигах (которые, несомненно, важны), а, скорее, в романах Дюма.

Хотя эта книга не дает систематической картины развитияматематики, она содержит значительный материал для размыш-ления об удивительных путях ее развития. Я уже отмечал в пер-вом предисловии некоторые повторяющиеся сюжеты. Добавлен-ные главы доставляют несколько новых важных примеров (упо-мянем, скажем, апокалиптические мысли о скором конце мате-матики у Лейбница и Лагранжа). Непознанные законы управля-ют математической модой! Как понять, почему Ферма, достаточ-но уважаемый его современниками, не смог никого из серьезныхматематиков XVII века заинтересовать своими арифметически-


ми работами? Лишь в результате удачного совпадения его дея-тельность была продолжена в следующем веке Эйлером, которыйпередал эстафету Лагранжу и Гауссу, обеспечив непрерывностьразвития теории чисел. Напротив, проективную геометрию — од-но из величайших достижений человеческой мысли, — открытуюв том же ХVII веке Дезаргом и Паскалем, немедленно забыли ипереоткрыли лишь в XIX веке.

Я не пытаюсь объяснять в этой книге законы развития матема-тики: я не знаю их. Я лишь с интересом наблюдаю этот процесс,пытаясь вовлечь читателя в поиски скрывающейся в нем логи-ки. Сушествует ли естественная эпоха для создания математиче-ской теории? Можно привести много аргументов в пользу этогопредположения. Построение дифференциального и интегральногоисчисления было начато сразу несколькими математиками XVIIстолетия и в конечном счете завершено независимо Ньютономи Лейбницем; аналитическую геометрию независимо построилиДекарт и Ферма. Некоторые проблемы, которые по много летоставлись нерешенными, были решены на коротком промежуткевремени сразу несколькими математиками (по странному совпа-дению, часто тремя): неевклидову геометрию независимо открылиГаусс, Лобачевский, Бойяи; теорию эллиптических функций неза-висимо построили Гаусс, Абель, Якоби. С другой стороны, быливеликие ученые, которые сильно опередили свое время и сделалиоткрытия, не следовавшие естественной логике развития науки.Иногда такие открытия в конечном счете воспринимались совре-менниками (в случае Архимеда или Эйлера), а иногда забывались(как в случае Николая Орезмского, который в XIV веке пользо-вался координатами и рассматривал за 250 лет до Галилея рав-ноускоренное движение; см. также выше примеры с арифметикойи проективной геометрией). Богатейшую информацию о законахматематического творчества мы получаем из истории удивитель-ной жизни Рамануджана.

Какую роль играют личности в истории математики? Напри-мер, насколько решающей в судьбе математики была неприми-римая позиция Платона по вопросу о предмете математики приего неограниченном влиянии на современную ему науку? Былоли предрешено развитие геометрии как аксиоматической науки,или она могла развиваться при других обстоятельствах как наука


скорее экспериментальная? Пользу или вред принесло почти экс-тремистское требование Платона использовать в геометрическихпостроениях только циркуль и линейку? Как были бы открыты впротивном случае неразрешимые геометрические задачи, алгебра-ические уравнения, неразрешимые в радикалах, трансцендентныечисла?

Я принадлежу к поколению математиков, которых иног-да посещает двусмысленная ностальгия по времени расцветаматематики на фоне всех ужасов советской действительности(слово «несмотря» было бы неуместным в этом контексте). Ма-тематика была престижной профессией, которая привлекаламногих талантливых молодых людей, стремившихся к интел-лектуальной деятельности, относительно свободной от влияниягосподствующей марксистской идеологии. Этот феномен многообсуждался последние 10 лет, и мы не будем здесь пытатьсяпродолжить эту важную дискуссию. Сегодня положение мате-матики значительно изменилось. Я имею возможность наблю-дать значительное снижение приоритета математики и наукивообще в жизни США. Я не вижу трагедии в том, что боль-шинство талантливых молодых людей предпочитают профес-сии ученого другие профессии, часто открывающие несравненнолучшие перспективы на финансовый успех, но меня пугает из-лишне утилитарный взгляд на роль математики в образовании,решительное непонимание ее уникальной роли для общего ин-теллектуального развития личности. Можно вспомнить, чтов Академии Платона изучали геометрию не будущие ученые,но, в первую очередь, будущие цари (впрочем, в Спарте неразделяли этот пиетет перед математикой, да и римляне невключили ее в число ценностей, унаследованных у греческойцивилизации). Выпускники математических школ в бывшемСоветском Союзе были успешны далеко за пределами матема-тики. Сегодня многие молодые профессиональные математикирешают оставить математику ради карьеры в бизнесе. Частоони успешны, и не благодаря каким-то конкретным матема-тическим знаниям, но благодаря интеллектульному тренингу,который они получили при подготовке к математической профес-сии.

В современной России условия жизни изменились, и матема-


тика переживает трудные времена. Математики сталкиваются спрозаическими проблемами, неведомыми их западным коллегам.Просматривая некоторые российские газеты, я подумал однажды,что, может быть, напрасно в XVIII веке математики с радостьюисключили составление гороскопов из своих профессиональныхобязанностей: сегодня это могло бы оказаться удачным дополне-нием к нашей профессии.

Скоро 50 лет как я занимаюсь математикой, и я не перестаювосхищаться этой удивительной наукой. Мне приятно ощущать,что все еще много людей, включая молодых, разделяют эту моюлюбовь. Им в первую очередь и адресована эта книга.

Я сердечно благодарен редактору книги С. М. Львовскому занеоценимую помощь при подготовке этого издания.

11 февраля 2001 года, Принстон, США.

Предисловие к первому изданию

Эта книга написана на основе статей, публиковавшихся в жур-нале «Квант» в течение ряда лет. Этим объясняется некоторыйэлемент случайности в выборе людей и событий, которым посвя-щены рассказы, собранные в книге. Однако нам кажется, что вкниге идет речь о принципиальных явлениях в истории науки,достойных внимания любителей математики и физики.

Мы захватываем промежуток в четыре века и начинаем вочень важный для европейской математики XVI век, когда ейсобственно предстояло заново родиться, через тысячу лет послезаката античной математики. Наш рассказ начинается в тот мо-мент, когда европейские математики после трех веков ученичествасмогли получить результаты, которых не знали ни математикиДревней Греции, ни математики Востока: была найдена формуладля решения уравнений третьей степени. События следующейсерии рассказов начинаются на рубеже XVI и XVII веков, ко-гда Галилей, исследуя свободное падение, заложил фундаменти для развития новой механики, и для развития анализа беско-нечно малых. Параллельное формирование этих двух теорий —одно из самых знаменательных научных явлений XVII века (от


Галилея до Ньютона и Лейбница). Мы рассказываем также о за-мечательных астрономических открытиях Галилея, прервавшихего занятия механикой, о его драматической борьбе за утвер-ждение учения Коперника. Наш следующий герой — Гюйгенс —непосредственный продолжатель Галилея в науке. Избранныйнами сюжет — это продолжавшаяся сорок лет работа Гюйгенсанад созданием и совершенствованием маятниковых часов. Зна-чительная часть достижений Гюйгенса и в области физики, и вобласти математики непосредственно стимулировалась этой дея-тельностью. XVII век представлен у нас также Паскалем—однимиз самых удивительных людей в истории человечества. Паскальначинал как геометр, и его юношеская работа знаменовала, чтоевропейская математика уже способна состязаться с великимигреческими математиками на их собственной территории — в гео-метрии. Со времени первых успехов европейской математики валгебре прошло сто лет.

К концу XVIII века математика неожиданно оказалась безопорных задач, вокруг которых концентрировались бы усилияведущих ученых. Математический анализ в некотором приближе-нии был построен; ни алгебра, ни геометрия не выдвинули к томувремени подходящих проблем. Положение «спасла» небесная ме-ханика. Построение теории движения небесных тел на основе за-кона всемирного тяготения потребовало величайших усилий круп-нейших математиков, начиная с Ньютона. Долгое время почтивсе крупные математики считали делом чести продемонстриро-вать свои возможности на какой-нибудь задаче небесной механи-ки. Не был исключением и Гаусс, которому посвящена последняячасть книги. Но к этим задачам Гаусс пришел уже будучи зрелымученым, а дебютировал он беспрецедентным образом. Он решилзадачу, стоявшую 2000 лет: доказал возможность построения цир-кулем и линейкой правильного 17-угольника (древние умели стро-ить правильные n-угольники при n = 2k, 3 ·2k, 5 ·2k, 15 ·2k и многосил потратили на безуспешные попытки придумать построениедля других n). Технически это открытие Гаусса основывалось наарифметических рассмотрениях. Работы Гаусса подводили итогполуторавековой деятельности по превращению арифметики изнабора удивительных фактов о конкретных числах, накапливав-шихся с глубокой древности, в науку. Этот процесс начался с ра-


бот Ферма и был продолжен Эйлером, Лагранжем, Лежандром.Поразительно, что Гаусс в юности, не имея доступа к матема-тической литературе, самостоятельно воспроизвел большинстворезультатов своих великих предшественников.

Наблюдение над историей науки из сравнительно случайно вы-бранных точек оказывается во многом поучительным: например,бросаются в глаза многочисленные связи, выявляющие единствонауки в пространстве и времени. Связи разного характера ил-люстрируются рассматриваемым в книге материалом: непосред-ственная преемственность у Галилея и Гюйгенса; идеи Тартальио траектории брошенного тела, доведенные Галилеем до точногорезультата; сослужившее пользу тому же Галилею предложениеКардано пользоваться пульсом для измерения времени; задачиПаскаля о циклоиде, оказавшиеся кстати Гюйгенсу, работавшемунад изохронным маятником; теория движения спутников Юпите-ра, открытых Галилеем, в которую ученые нескольких поколенийстарались внести хоть небольшой вклад, и т. д.

Можно подметить много ситуаций в истории науки, которыечасто повторяются с небольшими вариациями (по словам фран-цузского историка Токвиля, «история — это картинная галерея, вкоторой мало оригиналов и много копий»). Обратим внимание,например, как трансформируется оценка ученого с течением ве-ков. Кардано не сомневался, что его главные заслуги относятсяк медицине, а не к математике; похоже, что Кеплер считал сво-им главным достижением «открытие» мифической связи междуорбитами планет и правильными многогранниками; ни одно своеоткрытие Галилей не ценил так, как ошибочное утверждение, чтоприливы и отливы доказывают истинное движение Земли (в зна-чительной степени ради его публикации он пожертвовал своимблагополучием); Гюйгенс считал своим важнейшим результатомприменение циклоидального маятника в часах, который оказал-ся полностью бесполезен на практике, да и вообще Гюйгенс могсчитать себя неудачником, так как не смог решить главной своейзадачи — создать морской хронометр (очень многое из того, чтосегодня рассматривается как его основные заслуги, было лишьсредством для построения морских часов). Самые великие людине защищены от ошибок в прогнозах. А ведь иногда ученому при-ходится принимать критическое решение — прервать одни иссле-


дования в пользу других. Так, Галилей отказывается от доведениядо публикации результатов своих двадцатилетних исследованийпо механике, вначале отвлекшись на год для астрономическихнаблюдений, а затем он на двадцать лет вообще, по существу, пре-кратил научные исследования в собственном смысле слова радипопуляризации гелиоцентрической системы. Через полтора векаопять-таки ради астрономии оставляет неопубликованными своиисследования по эллиптическим функциям Гаусс. Вероятно, обаони не предвидели, сколь долгим будет перерыв, и оба не виде-ли кругом никого, кто мог бы угрожать их приоритету. Галилейвсе же успел (через 30 лет!) опубликовать свои работы по механи-ке, когда приговор инквизиции закрыл для него возможности длядругих занятий (и лишь сообщение Кавальери о параболичноститраектории брошенного тела, хотя и не посягавшее на приоритетГалилея, заставило его немного поволноваться). Гаусс опять-та-ки 30 лет не находил времени завершить свои результаты, и онибыли переоткрыты Абелем и Якоби.

Отбор материала и характер изложения диктовался тем, чтокнига и предшествующие ей статьи адресованы любителям ма-тематики и физики, в первую очередь, школьникам. Мы всегдаотдавали приоритет точному изложению конкретных достиженийученых (работы Галилея по механике, математические и механи-ческие исследования Гюйгенса в связи с маятниковыми часами,две первые математические работы Гаусса). К сожалению, это невсегда возможно, даже если речь идет о давних работах. Нет боль-шего удовольствия, чем следить за полетом мысли гения, как быдавно он ни жил. Дело не только в том, что любителю физикиили математики это недоступно в отношении современных работ.Уметь почувствовать революционный характер старого достиже-ния — важный элемент культуры. Высокомерие по отношению кдавно жившим людям—опасная черта. Рассказывая детям о вели-ких открытиях, мы часто не учим их этим открытиям удивляться.

Мы хотим подчеркнуть, что собранные в книге рассказы не но-сят характер историко-научных текстов. Это проявляется в силь-ной адаптации исторических реалий. Мы свободно модернизируемрассуждения ученых: пользуемся алгебраической символикой вдоказательствах Кардано, вводим ускорение свободного паденияв выкладки Галилея и Гюйгенса (чтобы не мучить читателя беско-


нечными пропорциями), работаем с натуральными логарифмамивместо неперовых при рассказе об открытии Непера, пользуемсяпоздними высказываниями Галилея, чтобы реконструировать ло-гику его ранних исследований по механике. Всюду мы сознательнопренебрегали деталями, уместными в работе по истории науки, стем чтобы выпукло изложить небольшое число основных идей.

«ВЕЛИКОЕ ИСКУССТВО»

В 1545 г. вышла книга Джероламо Кардано, название которойначиналось этими словами (по латыни «Ars magna»). В основ-ном она была посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней,однако ее значение для истории математики выходило далеко запределы этой конкретной задачи. Уже в XX веке Феликс Клейн,оценивая книгу, писал: «Это в высшей степени ценное произведе-ние содержит зародыш современной алгебры, выходящей за пре-делы античной математики».

XVI век был веком возрождения европейской математики по-сле средневековой спячки. На тысячу лет были забыты, а частич-но безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров.Из арабских текстов европейцы узнавали не только о математикеВостока, но и об античной математике. Характерно, что в распро-странении математики в Европе большую роль сыграли купцы,для которых поездки были средством и получения информации,и ее распространения. Особенно выделяется фигура Леонардо изПизы (1180 – 1240), более известного как Фибоначчи (сын Бона-ччи). Его имя увековечено в названии замечательной числовойпоследовательности (числа Фибоначчи). Наука может утратитьвысочайший уровень очень быстро. Для его восстановления мо-гут потребоваться века. Три века европейские математики оста-вались учениками, хотя у того же Фибоначчи были, безусловно,интересные наблюдения. Лишь в XVI веке в Европе появилисьматематические результаты принципиального значения, которыхне знали ни античные, ни восточные математики. Речь идет о ре-шении уравнений 3-й и 4-й степеней.

Характерно, что достижения новой европейской математикиотносятся к алгебре, новой области математики, пришедшей с Во-стока и, по существу, делавшей только первые шаги. По крайней

13

14 Джероламо Кардано (1501 – 1576)

мере еще сто лет математикам Европы будет не по силам не толь-ко сделать в геометрии что-нибудь сопоставимое с достижениямиЕвклида, Архимеда, Аполлония, но даже усвоить до конца ре-зультаты великих геометров.

Легенда приписывает Пифагору фразу: «Все есть число.» Нопосле Пифагора в греческой математике постепенно все подчи-нила геометрия. В геометрической форме имелись у Евклида иэлементы алгебры. Например, квадрат разрезался прямыми, па-раллельными сторонам, на два меньших квадрата и два равныхпрямоугольника. Из сопоставления площадей получалась форму-ла (a + b)2 = 2 + b2 + 2ab. Но, разумеется, символики не было, иформулировка с площадями оставалась окончательной. Форму-лировки получались очень громоздкими. Задачи на построениециркулем и линейкой по существу приводили к решению квадрат-ных уравнений и рассмотрению выражений, содержащих квад-ратные корни (квадратичных иррациональностей). Например, уЕвклида (на другом языке) подробно исследуются выражениявида

√a+

√b. В определенной степени греческие геометры по-

нимали связь классических неразрешимых задач на построение(удвоение куба и трисекция угла) с кубическими уравнениями.

У арабских математиков алгебра постепенно отрывается отгеометрии. Впрочем, как мы увидим ниже, решение кубическо-го уравнения было получено геометрическим путем (алгебраиче-ский вывод формул для решения даже квадратного уравненияпоявился лишь в 1572 г. у Бомбелли). Алгебраические утвержде-ния появляются у арабских математиков как рецепты для реше-ния однотипных арифметических задач, обычно с «житейским»содержанием (например, задачи на раздел наследства). Правилаформулируются на конкретных примерах, но с таким расчетом,чтобы можно было решить похожую задачу. До последнего вре-мени так иногда формулировались правила решения арифмети-ческих задач («тройное правило» и т. д.). Формулировка правил вобщем виде почти неминуемо требует развитой символики, до ко-торой было еще далеко. Арабские математики не пошли дальшерешения квадратных уравнений и некоторых специально подо-бранных кубических.

Проблема решения кубических уравнений волновала как араб-

Джероламо Кардано (1501 – 1576) 15

ских математиков, так и их европейских учеников. Удивительныйрезультат в этом направлении принадлежит Леонардо Пизанско-му. Он показал, что корни уравнения 3 + 22 + 10 = 20 не мо-гут быть выражены через евклидовские иррациональности вида√a+

√b. Поразительная для начала XIII века постановка задачи,

предвещавшая проблему разрешимости в радикалах, осмыслен-ную значительно позже. Путей же к решению общего кубическогоуравнения математики не видели.

Состояние математики на рубеже XV – XVI веков было поды-тожено в книге Луки Пачоли (1445 – 1514) «Сумма арифметики»(1494 г.), одной из первых печатных книг по математике, напи-санной к тому же не на латыни, а на итальянском языке. В концекниги говорится, что для решения кубических уравнений «искус-ством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратурыкруга». Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли былнастолько велик, что большинство математиков (как мы увидим,среди них в начале были и наши герои) считало, что кубическиеуравнения в общей ситуации решить вообще нельзя.

Сципион Дель Ферро. Нашелся человек, которого мнение Пачолине остановило. Это был профессор математики в Болонье Сципи-он дель Ферро (1465 – 1526); он нашел способ решать уравнения

x3 + ax = b. (1)

Отрицательными числами тогда еще не пользовались и, напри-мер, уравнение

x3 = ax+ b (2)

воспринималось как совсем другое! Об этом решении известнылишь косвенные сведения. Дель Ферро сообщил его своему зятюи преемнику по кафедре Аннибалу делла Наве и ученику Анто-нио Марио Фиоре. Последний решил после смерти учителя вос-пользоваться доверенной ему тайной, чтобы стать непобедимым впоединках по решению задач, которые были тогда очень распро-странены. 12 февраля 1535 г. его жертвой едва не стал НикколоТарталья — один из главных героев нашего рассказа.

Никколо Тарталья. Тарталья родился около 1500 г. в Брешии всемье бедного конного почтальона Фонтане. В детстве, когда его


Никколо Тарталья (единственный известный портрет).

родной город был захвачен французами, он был ранен в гортаньи с тех пор говорил с трудом. Отсюда и его прозвище «Тарта-лья» («заика»). Он рано остался на попечении матери, котораяпопыталась учить его в школе. Но деньги кончились, когда вклассе письма дошли до буквы «к». Тарталья покинул школу,не научившись писать свою фамилию. Он продолжает занимать-ся самостоятельно и становится «магистром абака» (что-то вродеучителя арифметики в частном коммерческом училище). Он мно-го ездит по Италии, пока в 1534 г. не попадает в Венецию. Здесьего научные занятия стимулировались общением с инженерами иартиллеристами из знаменитого венецианского арсенала. Тарта-лью спрашивают, например, как надо наклонить орудие, чтобыоно стреляло дальше всего. Он дает ответ, который показалсяспрашивавшим удивительным,—под углом 45. Ему не верят, чтонадо поднять ствол так высоко, но «несколько частных опытов»доказали его правоту. Хотя Тарталья говорит, что у него были«математические доводы» для этого утверждения, скорее это бы-ло эмпирическое наблюдение (а доказательство дал лишь Гали-лей).


Тарталья публикует две книги, служащие продолжением однадругой: «Новая наука» (1537 г.) и «Проблемы и различные изобре-тения» (1546 г.), где читателю обещаются «. . . новые изобретения,не краденные ни у Платона, ни у Плотина, ни у какого иного грекаи латинянина, а полученные лишь искусством, измерением и ра-зумом». Книги написаны на итальянском языке, в форме диалога,которую позднее перенял Галилей. В ряде вопросов Тарталья былпредшественником Галилея. Хотя в первой из указанных книг онповторял вслед за Аристотелем, что брошенное под углом теловначале летит по наклонной прямой, затем по дуге окружностии, наконец, по вертикали падает вниз, во второй книге он пишет,что траектория «не имеет ни одной части, которая была бы со-вершенно прямой». Тарталья интересовался равновесием тел нанаклонной плоскости, свободным падением тел (его ученик Бене-детти убедительно показал, что характер падения тела не должензависеть от веса). Важную роль сыграли выполненные Тартальейпереводы Архимеда и Евклида на итальянский язык (Тартальяназывает его «народным» в отличие от латыни), его подробныекомментарии. По своим человеческим качествам Тарталья былдалеко не безупречен, очень труден во взаимоотношениях. Бом-белли (правда, человек не беспристрастный; о нем ниже) писал,что «этот человек по натуре своей был так склонен говорить толь-ко дурное, что даже хуля кого-либо считал, что дает ему лестныйотзыв». По другим свидетельствам (Нуньес) «он временами бывалтак возбужден, что казался умалишенным».

Вернемся к предстоящему поединку. Тарталья был опытнымбойцом и надеялся одержать над Фиоре легкую победу. Он неиспугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре со-держат уравнения (1) при разных a и b. Тарталья думал, чтоФиоре не умеет сам решать предложенные задачи, и надеялсяразоблачить его: «Я думал, что ни одна из них не может бытьрешена, потому что брат Лука (Пачоли — С. Г.) уверяет в сво-ем труде, что такого рода уравнения невозможно решить общейформулой». Когда уже почти истекли 50 дней, после которыхнадлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слу-хи, что Фиоре обладает таинственным способом решения урав-нения (1). Перспектива угощать парадным обедом друзей Фиоре


Джероламо Кардано.

в количестве, равном числу за-дач, решенных победителем (тако-вы были правила!), не привлекалаТарталью. Он прилагает титани-ческие усилия, и счастье улыбает-ся ему за восемь дней до назначен-ного срока (срок истекал 12 фев-раля 1535 г.): желанный способнайден! За два часа Тарталья ре-шил все задачи. Противник его нерешил ни одной. Странным обра-зом он не справился с одной зада-чей, которую можно было решитьпо формуле дель Ферро (Тарта-лья дал задачу, имея в виду ис-кусственный прием). Впрочем мыувидим, что формулой воспользо-ваться нелегко. Через день Тарта-

лья нашел способ решать уравнения (2).О поединке Тарталья – Фиоре знали многие. В этой ситуа-

ции секретное оружие могло не помочь, а помешать Тарталье вдальнейших поединках. Кто согласится состязаться с ним, еслиисход предрешен? Все же Тарталья отвергает несколько просьбраскрыть его способ решать кубические уравнения. Но нашелсяпроситель, который добился своего. Это был Джероламо Карда-но, второй герой нашего рассказа.

Джероламо Кардано. Он родился 24 сентября 1501 г. в Павии. Егоотец — Фацио Кардано, образованный юрист с широкими интере-сами, упоминается у Леонардо да Винчи. Он был первым учи-телем сына. Окончив университет в Падуе, Джероламо решаетпосвятить себя медицине. Он был незаконнорожденным ребенком,и это закрыло ему доступ в коллегию врачей Милана. Карданодолго практиковал в провинции, пока в августе 1539 г. его все жене приняли в коллегию, специально изменив для этого правила.Кардано был одним из самых знаменитых врачей своего времени,вероятно, вторым после Андрея Везалия, его друга. На склонелет Кардано написал автобиографию («О моей жизни»). В ней


считанные упоминания о занятиях математикой, зато подробноописываются исследования по медицине. Он утверждал, что опи-сал приемы излечения до пяти тысяч трудноизлечимых болезней,что число разрешенных им проблем и вопросов доходит до соро-ка тысяч, а более мелких указаний — до двухсот тысяч. Конечно,к этим цифрам следует относиться с должной долей скептициз-ма. Все же слава Кардано-врача была несомненной. Он описываетслучаи из своей медицинской практики, делая нажим на лечениезнатных особ (шотландского архиепископа Гамильтона, кардина-ла Марона и т. д.), утверждая, что его постигли лишь три неуда-чи. По-видимому, если прибегнуть к современной терминологии,он был выдающимся диагностом, но не обращал большого вни-мания на анатомические сведения, как это делали Леонардо даВинчи и Везалий. В автобиографии Кардано сопоставляет себя сГиппократом, Галеном, Авиценной (мысли последнего были емуособенно близки).

Однако занятия медициной не поглощали Кардано полностью.В свободное время он занимался всем на свете. Например, состав-лял гороскопы живых и мертвых (Христа, английского короляЭдуарда VI, Петрарки, Дюрера, Везалия, Лютера). Эти занятиясильно повредили Кардано в глазах потомков (по одной недобройлегенде он покончил жизнь самоубийством, чтобы подтвердитьсобственный гороскоп). Но следует помнить, что в те временазанятия астрологией считались вполне респектабельными (астро-номия воспринималась как часть астрологии — натуральная аст-рология в отличие от юдициарной). Услугами Кардано-астрологапользовался папа.

В своей научной деятельности Кардано был энциклопедистом,однако энциклопедистом-одиночкой, что характерно для эпохиВозрождения. Лишь через полтора века появились первые акаде-мии, в которых ученые специализировались в более или менее уз-ких областях. Только в таких коллективах можно было создаватьподлинные энциклопедии. Энциклопедист-одиночка не в состоя-нии в достаточной степени проконтролировать все сообщаемыеим сведения. В случае Кардано большую роль играли особенно-сти его личности, его психического склада. Он верил в чудеса,предчувствия, демонов, в свои собственные сверхъестественныевозможности. Он подробно описывает события, убедившие его в


этом (при любых столкновениях в его присутствии не проливаласькровь ни у людей, ни у животных, даже на охоте; о всех событиях,кончившихся гибелью его сына, он узнавал заранее по приметами т. д.). Кардано считал, что он обладал даром озарения (гарпо-кратическим чувством, как он его называл), который позволялему угадывать пораженный орган у больного, кости, которые вы-падут в игре, видеть печать смерти на лице у собеседника. Боль-шую роль в жизни Кардано играли сновидения, которые он за-поминал с мельчайшими деталями и подробно описывал. По этимописаниям современные психиатры пытались определить болезньКардано. Кардано пишет, что постоянно повторяющиеся сновиде-ния вместе с желанием увековечить свое имя служили основнымиповодами для написания книг. В энциклопедиях Кардано «О тон-ких материях», «О разнообразии вещей» описанию снов автора иего отца уделено много места.

Но в этих книгах содержится и много собственных наблю-дений и тщательно продуманных сообщений других. Готовностьобсуждать фантастические теории, своеобразная доверчивостьиграют не только отрицательную роль; благодаря им он обсуж-дает вещи, о которых его более осторожные коллеги решилисьговорить на много лет позже (см. ниже о комплексных числах).Не всегда удается проследить авторство. Неясно (это относит-ся и к другим итальянским авторам XVI века), в какой мереКардано был знаком с трудами Леонардо да Винчи (широкойпублике они стали известны лишь в самом конце XVIII ве-ка). Книга «О тонких материях», переведенная во Франции,служила популярным учебником по статике и гидростатике в те-чение всего XVII века. Галилей пользовался указанием Карданооб использовании собственного пульса для измерения времени(в частности, при наблюдении над качанием люстры в собо-ре). Кардано утверждал, что невозможен вечный двигатель,некоторые его замечания можно интерпретировать как прин-цип возможных перемещений (так считает известный историкфизики Дюэм), он рассматривал расширение водяного пара.Кардано разделял созданную еще в III веке до н. э. теорию,объяснявшую приливы и отливы действием Луны и Солнца. Онвпервые четко провел различие между притяжениями магнит-ным и электрическим (разумеется, имеются в виду явления типа


наблюдавшегося еще Фалесом притяжения соломинок натертымянтарем).

Кардано был не чужд и экспериментальным исследованиями конструированию практических механизмов. На склоне лет онпри помощи опыта установил, что отношение плотности воздухак плотности воды равно 1/50. Когда в 1541 г. испанский корольКарл V триумфально вошел в завоеванный Милан, ректор колле-гии врачей Кардано шел рядом с балдахином. В ответ на оказан-ную честь он предложил снабдить королевский экипаж подвескойиз двух валов, качение которых не выведет карету из горизон-тального положения (в империи Карла V дороги были дальниеи плохие). Ныне такая система подвески называется карданом(карданный подвес, карданный вал, карданное сочленение) и при-меняется в автомобилях. Справедливость требует отметить, чтоидея такой системы восходит к античности и что, по крайней мере,в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи имеется рисуноксудового компаса с карданным подвесом. Такие компасы получи-ли распространение в первой половине XVI века, по-видимому,без влияния Кардано.

Кардано писал огромное число книг, часть из которых быланапечатана, часть осталась в рукописи, а часть была уничтоже-на им в Риме в ожидании ареста. Только описание книг составилообъемистую книгу «О собственных сочинениях». Многие годы бы-ли популярны книги Кардано по философии и этике. Книга «Обутешении» была переведена на английский язык и оказала вли-яние на Шекспира. Некоторые шекспироведы утверждают даже,что Гамлет произносит монолог «Быть или не быть», держа этукнигу в руках.

Можно много говорить о личности Кардано. Он был страстен,вспыльчив, много играл в азартные игры. Сорок лет играл Кар-дано в шахматы («я никогда не мог выразить в кратких словах,сколько ущерба, без всякого за него возмещения, причинили онимоим домашним делам»), двадцать пять лет играл он в кости(«но еще более шахмат повредили мне кости»). Ради игры онвременами бросал все занятия, попадал в неприятные ситуации.Побочным продуктом этой страсти Кардано была «Книга об игрев кости», написанная в 1526 г., но напечатанная лишь в 1663 г.Эта книга содержит начала теории вероятностей, включая пред-


варительную формулировку закона больших чисел, некоторыевопросы комбинаторики, наблюдения над психологией игроков.

Несколько слов о характере Кардано. Он сам пишет: «. . . сре-ди моих пороков исключительным и крупным является тот, кото-рый заставляет меня не говорить ни о чем с таким удовольствием,как о том, что, как я знаю, окажется неприятным моим слушате-лям. И я сознательно и упорно коснею в этом. . . Я допустил многоошибок, на которые подбивала меня моя наклонность всюду кста-ти и некстати сообщать обо всем мне известном. . . К этому меняпобуждало не только опрометчивое легкомыслие и незнакомствос делами, но и пренебрежительное отношение к тем приличиям,которые в большинстве случаев соблюдаются между людьми бла-говоспитанными и которые я усвоил только впоследствии». Длядрузей и учеников он умел быть и другим. Бомбелли писал, чтоКардано имел «скорее божественный, чем человеческий облик».

Кардано и Тарталья. К 1539 г. Кардано заканчивает свою первуюматематическую книгу «Практика общей арифметики»; она былапризвана заменить книгу Пачоли. Услышав о секрете Тартальи,он загорелся желанием украсить им свою книгу. По его просьбекниготорговец Жуано Антонио встретился с Тартальей в Венеции2 января 1539 г. Он просит от имени «честного человека, врачагорода Милана, по имени Джероламо Кардано» передать прави-ло решения уравнения (1) или для опубликования в книге, илипод обещание держать сообщенное в секрете. Ответ был отрица-тельным: «Передайте его светлости, чтобы он простил меня, ноесли я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это в мо-ем собственном труде, а не в книге другого». Тарталья отказалсяпередать также решения 30 задач Фиоре, передав лишь условия(впрочем, их можно было получить у нотариуса), а также решить7 задач, посланных Кардано. Тарталья подозревает, что Карда-но — подставное лицо, за которым скрывается математик Жуанеда Кои, пытающийся узнать секрет. 12 февраля Кардано посылаетТарталье критические замечания по поводу книги «Новая наука»и повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим, соглашаясь ре-шить лишь две задачи Кардано. 13 марта Кардано приглашаетТарталью к себе, выражает заинтересованность в его артилле-рийских приборах, обещает представить его маркизу дель Васто,


испанскому губернатору Ломбардии. Повидимому, эта перспекти-ва прельстила Тарталью, он принял приглашение, и решительноеобъяснение состоялось 25 марта в доме Кардано.

Вот отрывок из записи этой беседы (следует иметь в виду, чтозапись сделана Тартальей; ученик Кардано Феррари утверждает,что она не вполне соответствует действительности):Н и к к о л о. Я говорю Вам: я отказал Вам не из-за одной толь-ко этой главы и сделанного в ней открытия, но из-за тех вещей,которые можно открыть, зная его, так как это ключ, отмыка-ющий путь для исследования бесчисленного количества другихразделов. Я бы уже давно нашел общее правило для многих дру-гих проблем, если бы не был в настоящее время занят переводомЕвклида на народный язык (в настоящее время я довел переводдо конца 13-й книги). Но когда эта работа, которую я уже на-чал, будет закончена, я собираюсь издать труд для практическогоприменения вместе с новой алгеброй. . . Если я выдам ее какому-нибудь теоретику (каким является Ваша светлость), то он легкоможет с помощью этого объяснения найти другие главы (ибо этообъяснение легко приложить к другим вопросам) и опубликоватьплоды моего открытия под собственным именем. Этим будут раз-биты все мои планы.М е с с е р Д ж е р о л а м о. Я клянусь Вам Святым ЕвангелиемГоспода Бога и не только даю Вам слово честного человека ни-когда не опубликовать этого Вашего открытия, если Вы мне егодоверите, но обещаю, и да будет моя совесть истинного христиа-нина Вам порукой, зашифровать его так, что после моей смертиникто не сможет прочитать написанное. Если я, по Вашему мне-нию, заслуживаю доверия, то сделайте это, если нет, то оставимэтот разговор.Никколо. Если бы я не поверил этой Вашей клятве, то, конечно,заслужил бы того, чтобы меня самого сочли неверующим.

Итак, Тарталья дал уговорить себя. Он сообщил свое решениев форме латинского стихотворения. Не правда ли, трудно понятьпо приведенной записи, что заставило Тарталью изменить реше-ние. Неужели его так потрясли клятвы Кардано? Происходящеедальше малопонятно. Сообщив тайну, взволнованный Тартальянемедленно уезжает, отказавшись от свидания с маркизом, радикоторого он предпринимал путешествие. Уж не загипнотизиро-


вал ли его Кардано? Очень правдоподобно, что запись Тартальине точна.

Тарталья несколько успокоился, когда получил 12 мая свеже-напечатанную «Практику общей арифметики» без своего рецепта.В сопроводительном письме Кардано пишет: «Я проверил форму-лу и считаю, что она имеет общее значение».

Кардано получил от Тартальи готовый способ решения урав-нения (1) без всяких намеков на доказательство. Он затратил мно-го сил на тщательную проверку и обоснование правила. С нашейколокольни нелегко понять, в чем проблема: подставь в уравне-ние и проверь! Однако отсутствие развитой алгебраической сим-волики делало то, что сегодня автоматически выполняет любойшкольник, доступным лишь избранным. Не познакомившись сподлинными текстами того времени, нельзя оценить, насколькоалгебраический аппарат «экономит» мышление. Читатель дол-жен все время иметь это в виду, чтобы не заблуждаться относи-тельно «тривиальности» проблем, вокруг которых кипели страстив XVI веке.

Кардано затрачивает годы напряженной работы, пытаясь пол-ностью разобраться с решением кубических уравнений. Он полу-чил рецепты (ведь формул писать не умели!) для решения урав-нений (1), (2), а также

x3 + b = ax (3)

и уравнений, содержащих x2. Он наверняка сильно опередил Тар-талью. Все это происходило на фоне упрочения положения Карда-но; в 1543 г. он становится профессором в Павии. «Мои познанияв астрологии, — писал Кардано, — приводили меня к заключению,что я не проживу более сорока лет и уж, во всяком случае, не до-стигну сорокапятилетнего возраста. . . Наступил тот год, которыйдолжен был стать последним в моей жизни и который, напротив,оказался ее началом, — а именно сорок четвертый год».

Луиджи Феррари. В математических занятиях Кардано с неко-торых пор ему помогал Луиджи Феррари (1522 – 1565) . В со-ставленном Кардано списке его 14 учеников Феррари фигурируеткак второй в хронологическом порядке и один из трех наиболеевыдающихся. Кардано, веривший приметам, пишет, что 14 ноября1536 г., когда 14-летний Луиджи с братом прибыли в Болонью, «во


дворе так долго вопреки обычаю стрекотала сорока, что мы всеждали чьего-нибудь приезда». Феррари был человеком феноме-нальных способностей. Он обладал таким бурным темпераментом,что даже Кардано боялся временами с ним говорить. Известно,что в семнадцать лет Феррари вернулся после одной прогулкибез единого пальца на правой руке. Он был безоговорочно преданучителю, долгое время был его секретарем и поверенным. ВкладФеррари в математические работы Кардано очень велик.

В 1543 г. Кардано вместе с Феррари предпринял поездку вБолонью, где делла Наве позволил им познакомиться с бумагамипокойного дель Ферро. Они убедились, что последнему уже былоизвестно правило Тартальи. Интересно, что о формуле дель Фер-ро, по-видимому, почти не знали. Вряд ли Кардано так энергичноатаковал бы Тарталью, знай он, что ту же информацию можнополучить у делла Наве (до 1543 г. он к нему не обращался). Сей-час почти все соглашаются, что у дель Ферро была формула, чтоФиоре знал ее, а Тарталья переоткрыл ее, зная, что у Фиоре онаесть. Однако ни один из шагов в этой цепочке строго не доказан!Кардано говорил об этом, но Тарталья писал в конце своей жиз-ни: «. . . я могу заверить, что эта описанная теорема не была ещедоказана ни Евклидом, ни кем-либо другим, а одним лишь Дже-роламо Кардано, которому мы ее показали. . . В 1534 г. (в другомместе написано, что 4 февраля 1535 г. — С. Г.) я нашел в Венецииобщую формулу уравнения. . . ». Трудно свести концы с концамив этой запутанной истории.

«Великое Искусство». Знакомство ли с бумагами дель Ферро,сильное ли давление со стороны Феррари или, скорее всего,нежелание похоронить результаты многолетней работы приве-ли к тому, что Кардано включил все известное ему о кубическихуравнениях в вышедшую в 1545 г. книгу «Великое искусствоили о правилах алгебры». Ее стали называть коротко «Великоеискусство».

В предисловии Кардано излагает историю вопроса: «. . . в на-ше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которойкуб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была оченькрасивая и замечательная работа. Так как это искусство превос-ходит всю человеческую ловкость и всю ясность ума смертного, то


его нужно рассматривать как подарок небесного происхождения,а также как способность силы ума, и это настолько славное от-крытие, что от того, кто мог его достигнуть, можно ждать, что ондостигнет всего. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии,наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро поимени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежден-ным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал еемне. Я был введен в заблуждение словами Луки Пачоли, кото-рый говорит, что нет общего решения такого рода уравнений, и,хотя я обладал уже многими мною самим сделанными открыти-ями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать.Однако когда я получил эту главу и добрался до ее решения, тоя увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже сповышенной уверенностью в своих делах я, при исследовании, от-крыл дальнейшее, частью сам, частью с Луиджи Феррари, моимбывшим учеником».

В модернизированном виде способ, которым Кардано находитрешение уравнения (1), можно изложить следующим образом. Бу-дем искать решение уравнения (1) в виде x = β−α. Тогда x+α = βи

x3 + 3x2α+ 3xα2 + α3 = β3. (4)

Поскольку 3x2α+ 3xα2 = 3xα( +α) = 3xαβ, равенство (4) можнопереписать в виде

x3 + 3αβ = β3 − α3. (5)

Попытаемся по паре (a, b) так подобрать пару (α, β), чтобы (5)совпало с (1). Для этого необходимо, чтобы пара (α, β) была ре-шением системы

3αβ = a, β3 − α3 = b,

или равносильной ей системы

β3 · (−α3) = −a3

27, β3 + (−α3) = b.

По теореме Виета1 β3 и −α3 будут корнями вспомогательного1Сам Виет (1540 – 1603) жил позже Кардано, но тот частный случай его

теоремы, который в школе называют теоремой Виета, был, по существу, из-вестен Кардано.


квадратного уравнения

y2 − by − a3

27= 0.

Поскольку мы ищем положительные корни уравнения (1), β > α.Значит,

β3 =b

2+

√b2

4+a3

27, −α3 =

b

2−√b2

4+a3

27.

Следовательно,

x =3

√b

2+

√b2

4+a3

27−

3

√b

2−√b2

4+a3

27.

При положительных a и b корень также положителен.Приведенная выкладка лишь в идейном отношении следует хо-

ду рассуждений Кардано. Сам он рассуждает на геометрическомязыке: если куб со стороной β = α+x разрезать плоскостями, па-раллельными граням, на куб со стороной α и куб со стороной x,получатся, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипе-да со сторонами α, α, x и три—со сторонами α, x, x; соотношениемежду объемами дает (4); для перехода к (5) параллелепипедыразных типов попарно объединяются. «Так как я сознавал, чтотот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им припомощи геометрического доказательства, то я думал, что это иесть царский путь, ведущий ко всем другим отделам». Возможно,Кардано было известно аналогичное рассуждение для квадратно-го уравнения, принадлежащее Ал-Хорезми.

Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки x =β + α, но здесь уже может возникнуть случай, когда исходноеуравнение имеет три действительных корня, а вспомогательноеквадратное уравнение не имеет действительных корней. Это такназываемый неприводимый случай. Он доставил много хлопотКардано (и, вероятно, Тарталье).

Кардано решил уравнение (3), проведя смелое по тем време-нам рассуждение, обыгрывающее отрицательность корня. Никто


до него не пользовался так решительно отрицательными числа-ми, хотя и Кардано еще далек от свободного обращения с ними:уравнения (1) и (2) он рассматривает отдельно!

Кардано полностью разобрался и с общим кубическим уравне-нием x3 +ax2 + bx+ c = 0, заметив, говоря на современном языке,что подстановка x = y − a/3 уничтожает член с 2.

Кардано решается рассматривать не только отрицательныечисла (он называет их «чисто ложными»), но и комплексные (ихон называет «поистине софистическими»). Он замечает, что ес-ли с ними оперировать по некоторым естественным правилам, токвадратному уравнению, не имеющему действительных корней,можно приписать комплексные корни. Возможно, к комплекснымчислам Кардано пришел в связи с неприводимым случаем. (Этопредполагает, например, Н. Бурбаки.) Если в этом случае «не пу-гаясь» выполнить все действия над возникающими в процессевычислений комплексными числами, то в результате получатсяправильные значения вещественных корней. Но нет никаких ука-заний на то, что Кардано вышел в своих рассмотрениях за пре-делы квадратных уравнений. Однако приведенное рассуждение окубическом уравнении вскоре появилось — у Рафаэля Бомбелли(1526 – 1573), последователя Кардано — инженера-гидравлика изБолоньи и автора знаменитой «Алгебры» (1572 г.).

Кардано понимал, что кубическое уравнение x3+ax2+bx+c == 0 может иметь три вещественных корня, и что тогда их суммаравна −a. В такого рода общих утверждениях у Кардано не бы-ло предшественников. В алгебре в отличие от геометрии почтине приводили доказательств (в школьной математике следы это-го сохранились по сей день!). Вот еще одно наблюдение Карда-но: если в уравнении (с положительными коэффициентами) всечлены в левой части имеют большую степень, чем все члены вправой, то имеется единственный положительный корень. От «Ве-ликого искусства» идет целый ряд важных для алгебры понятий,например, кратность корня. Вообще, значение Кардано в исто-рии математики определяется в первую очередь не конкретнымидостижениями (которых у него не очень много), а тем, что в «Ве-ликом искусстве» он увидел путь, по которому будет развиватьсяалгебра.


Замечание о формуле Кардано. Проанализируем формулу для ре-шения уравнения x3 + px+ q = 0 в вещественной области. В отли-чие от Кардано мы можем себе позволить не следить за знакамиp и q. Итак,

x =3

√−q

2+

√q2

4+p3

27+

3

√−q

2−√q2

4+p3

27.

При вычислении x нам приходится извлекать вначале квадратныйкорень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный ко-рень, оставаясь в вещественной области, если ∆ = 27q2 + 43 > 0.Два значения квадратного корня, отличающиеся знаком, фигу-рируют в разных слагаемых для x. Значение кубического корняв вещественной области единственно и получается единственныйвещественный корень x при ∆ > 0.

Исследуя график кубического трехчлена x3 +px+ q, нетрудноубедиться, что он в самом деле имеет единственный веществен-ный корень при ∆ > 0. При ∆ < 0 имеются три вещественныхкорня. При ∆ = 0 имеется двукратный вещественный корень иоднократный, а при p = q = 0 — трехкратный корень x = 0.

Продолжим исследование формулы при ∆ > 0 (случай одноговещественного корня). Оказывается, что если при этом уравне-ние с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, привычислении его по формуле могут возникнуть промежуточныеиррациональности. Например, уравнение x3 + 3x − 4 = 0 имеетединственный вещественный корень x = 1. Формула Кардано да-ет для этого единственного вещественного корня выражение

x =3

√2 +

√5 +

3

√2−

√5.

Значит,3

√2 +

√5 +

3

√2−

√5 = 1,

но попробуйте это доказать непосредственно! Возможно, вы най-дете искусственный путь, но при прямых преобразованиях будутвозникать неистребимые кубические радикалы.

Быть может, это обстоятельство объясняет, почему Фиоре несмог решить предложенное Тарталья кубическое уравнение. Ве-роятно, его можно было решить, угадав ответ (что имел в виду


Тарталья), а рецепт дель Ферро приводил к промежуточным ир-рациональностям.

Еще запутаннее ситуация в случае трех вещественных корней.Этот случай называется неприводимым. Здесь ∆ = 27q2+43 < 0, ипод знаками кубических корней получаются комплексные числа.Если извлечь кубические корни в комплексной области, то послесложения мнимые части уничтожаются и получатся веществен-ные числа. Но как свести все к операциям над вещественнымичислами? Например, извлечение квадратного корня

√a+ ib мож-

но свести к чисто вещественным операциям над a и b. Если бы такобстояло дело с вычислением 3

√a+ ib = u + iv, то все было бы в

порядке. Но при выражении u, v через a, b возникают снова куби-ческие уравнения, причем в неприводимой ситуации. Получаетсязаколдованный круг! В результате в неприводимом случае нельзянайти выражение для корней через коэффициенты, не выводя-щие за пределы вещественной области. В этом смысле кубическоеуравнение с тремя вещественными корнями неразрешимо в ради-калах в вещественной области (в отличие от квадратного). На этообстоятельство часто не обращают должного внимания.

Уравнение 4-й степени. В «Великом искусстве»был отражен иличный вклад Феррари — решение уравнения 4-й степени.

На современном языке метод Феррари решения уравнения

x4 + ax2 + bx+ c = 0 (6)

(полное уравнение четвертой степени легко сводится к уравне-нию (6)) состоит в следующем.

Введя вспомогательный параметр t, перепишем уравнение (6)в равносильной форме:(

x2 +a

2+ t)2

= 2tx2 − bx+(t2 + at− c+

a2

4

). (7)

Подберем теперь значение параметра t так, чтобы квадратный(относительно x) трехчлен, стоящий в правой части уравнения (7),имел два совпадающих корня. Для этого нужно, чтобы дискри-минант этого трехчлена равнялся нулю:

b2 − 4 · 2t(t2 + at− c+

a2

4

)= 0.


Мы получили вспомогательное кубическое уравнение для t. Най-дем по формуле Кардано какой-нибудь его корень t0. Уравне-ние (7) можно теперь переписать так:(

x2 +a

2+ t0

)2= 2t0

(x− b

4t0

)2(8)

Уравнение (8) распадается на пару квадратных уравнений, даю-щих четыре искомых корня.

Таким образом, согласно методу Феррари, решение уравнениячетвертой степени сводится к решению вспомогательного кубиче-ского уравнения и двух квадратных уравнений.

Феррари и Тарталья. После встречи в 1539 г. Кардано и Тарта-лья переписывались мало. Однажды ученик сообщил Тарталье,что, по слухам, Кардано пишет новую книгу. Тарталья сразу пи-шет Кардано предостерегающее письмо, но получает успокаива-ющий ответ. В другой раз Кардано захотел получить разъясне-ния, натолкнувшись на неприводимый случай, но ничего содер-жательного в ответ не получил. Нетрудно себе представить, какоевпечатление произвел на Тарталью выход в свет «Великого ис-кусства» (1545 г.). В последней части своей книги «Проблемы иразличные изобретения» (1546 г.) Тарталья публикует перепис-ку и записи бесед, относящихся к взаимоотношениям с Карда-но, и обрушивается на него с бранью и упреками. Кардано нереагирует на выпад, но 10 февраля 1547 г. Тарталье отвечаетФеррари. Он возражает против упреков Тартальи, указывает нанедочеты в его книге, в одном случае упрекает его в присвоениичужого результата, в другом находит повторения, свидетельству-ющие о плохой памяти (похоже, что по тем временам это тяжелоеобвинение). В заключение Тарталья вызывается на публичныйдиспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дис-циплинам таким, как Астрология, Музыка, Космография, Пер-спектива, Архитектура и др.». Он готов дискутировать не толь-ко о том, что написано в этих областях греческими, латинскимиили итальянскими авторами, но и о работах самого Тартальи, ес-ли тот, в свою очередь, согласится обсуждать работы Феррари.

По традиции в ответ на «картель» (вызов) посылались «во-просы». Они и появились 19 февраля. Тарталья хочет втянуть


в перепалку самого Кардано: «Я писал Вам в таком горячем иоскорбительном тоне для того, чтобы заставить его светлость (ане Вас) собственноручно написать кое-что, ибо у меня с ним ста-рые счеты». Обсуждение условий поединка затягивается. Тарта-лья начинает понимать, что Кардано останется в стороне. Тогдаон начинает подчеркивать несамостоятельность Феррари, именуяего «созданием (креатурой) Кардано», как тот сам назвал себяв первом картеле. Все вопросы адресованы им обоим: «Вы, мес-сер Джероламо, и Вы, мессер Луиджи». В переписке содержитсямного интересного. Например, во втором картеле воспроизводит-ся якобы услышанный Феррари разговор Кардано и Тартальи:«. . . так что Вам нужно еще? — Я не хочу, чтобы мое открытиебыло распространено.—А почему?—Для того чтобы никто не могим воспользоваться. — В самом деле почему, если мы рождены нетолько для нас самих, но и для нашей родины и всего человече-ства, почему ты не хочешь, если уж тебе удалось сделать нечтоценное, чтобы этим могли воспользоваться и другие?».

Полтора года продолжалась переписка, и вдруг Тарталья ре-шительно согласился на поединок в Милане. В чем дело? Темвременем он получил лестное приглашение в родную Брешию(март 1548 г.), где он должен был читать публичные лекции (чегораньше ему не доводилось) и вести частные занятия, «в кото-рых будут принимать участие лишь некоторые доктора и людис определенным весом». Дела шли не слишком успешно, и естьмнение, что Тарталью заставили принять вызов его покровителив надежде, что победа упрочит его положение. Диспут состоялся10 августа 1548 г. в Милане в присутствии многих знатных особ, втом числе губернатора Милана, но в отсутствие Кардано. О дис-путе сохранились лишь короткие записи Тартальи, по которымпочти невозможно восстановить истинную картину. Похоже, чтоТарталья потерпел сокрушительное поражение. Но не следует за-блуждаться — диспут не имел никакого отношения к проблеме,из-за которой возник спор, да и вообще диспуты имели столь жемалое отношение к выяснению истины, как дуэли. Трудно былокосноязычному Тарталье противостоять перед публикой блестя-щему молодому Феррари.


Дальнейшая судьба героев. Тарталья не удержался в Брешии; че-рез полтора года он вернулся в Венецию, не получив даже гонора-ра за лекции. Поражение в диспуте очень повредило ему. В концежизни (он умер в 1557 г.) начал выходить «Общий трактат о числеи мере», издание которого закончилось уже после смерти Тарта-льи. В трактате очень мало говорится о кубических уравнениях,а никаких следов большого трактата по новой алгебре, о которомТарталья говорил всю жизнь, не было обнаружено в его тщатель-но сохраненном наследстве.

Напротив, Феррари получил после поединка большую извест-ность. Он читает публичные лекции в Риме, руководит налоговымуправлением в Милане, получает приглашение на службу к карди-налу Мантуи, участвует в воспитании сына короля. А вот следов внауке он больше не оставил! Умер Феррари в 43 года (1565 г.); полегенде его отравила сестра. Говоря о его смерти, Кардано вспо-минает стихи римского поэта Марциала:

Необычайным дан век короткий и изредка старость.То, что ты любишь, желай, чтобы не нравилось так1.

Дольше их обоих прожил Кардано. Но конец его жизни был нелег-ким. Один его сын (врач Джамбаттиста, на которого Кардано воз-лагал большие надежды) отравил из ревности жену и был казненв 1560 г. От этого удара Кардано долго не мог оправиться. Дру-гой его сын—Альдо—стал бродягой и ограбил собственного отца.В 1570 г. сам Кардано был посажен в тюрьму, а его имуществобыло конфисковано. Причина его ареста неизвестна — возможно,инициатива принадлежала инквизиции. В ожидании ареста Кар-дано уничтожил 120 своих книг. Кончил свои дни Кардано в Риме,на положении «частного человека» (его выражение), получающе-го скромную пенсию от папы. Последний год своей жизни Кар-дано посвятил составлению автобиографической книги «О моейжизни». Последний упоминаемый в ней факт датируется 28 апре-ля 1576 г., а 21 сентября Кардано умер.

В автобиографии Кардано четыре раза вспоминает Тарталью.В одном месте он одобрительно приводит его мысль, что «ни-кто не знает всего, а тем более не знает ничего тот, кто сам не

1Перевод А. А. Фета.


подозревает, что многого не знает». В другом месте говорится,что Тарталья предпочел иметь в нем «соперника и победителя, ане друга и человека, обязанного благодеяниями». Еще Тартальяоказывается в списке критиков Кардано, которые «не вышли запределы грамматики». И, наконец, на самых последних страницахмы читаем: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но в самом деленичтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». Похоже,что неспокойно было у Кардано на душе!

Эпилог. О проблеме «Кардано – Тарталья» надолго забыли. Фор-мулу для решения кубического уравнения связывали с «Великимискусством» и постепенно стали называть формулой Кардано, хо-тя какое-то время фигурировало имя дель Ферро, авторство ко-торого подчеркивал сам Кардано. Такого рода несправедливостьв присвоении имени — вещь нередкая (можно вспомнить, напри-мер, аксиому Архимеда, на открытие которой он не претендо-вал).

К проблеме авторства формулы для кубического уравнениявернулись в начале XIX века. Обнаружилось существование оби-женного Тартальи, который к тому времени был практическизабыт. Почти забытая история получила огласку, и за честь Тарта-льи были готовы сражаться не только профессионалы, но и люби-тели. Уж очень привлекательным был детективный компонент ис-тории. Сколько лет должно было действовать обещание Кардано?Является ли шесть лет достаточным сроком давности? ПочемуТарталья десять лет не публиковал своей формулы? Впрочем, примногократных передачах и проникновении в популярную литера-туру история сильно упростилась, и Кардано порой превращалсяв авантюриста и злодея, укравшего у Тартальи его открытие идавшего этому открытию свое имя. Как мы видели, дело обсто-яло сложнее и такая интерпретация по меньшей мере огрубляеткартину.

Дело было не только в желании восстановить истинную кар-тину событий в ситуации, когда их участники несомненно не го-ворили всей правды. Для многих было важно установить степеньвины Кардано. Этот вопрос наталкивается на вечно злободневныйвопрос о праве собственности на научное открытие. Что касает-ся сегодняшней практики, то бросается в глаза разница между


правами ученого и изобретателя. Ученый не может контролиро-вать дальнейшее использование опубликованных результатов, онможет претендовать лишь на упоминание его имени. Это одна изпричин засекречивания открытий. На рубеже Средних веков иВозрождения поводом к засекречиванию математических резуль-татов было их использование в поединках.

К концу XIX века часть дискуссии стала носить характер се-рьезных историко-математических исследований. Некоторые ори-гинальные материалы были впервые опубликованы («Картели» и«Вопросы»). Математики поняли, какую большую роль в наукеXVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще рань-ше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всехего недостатках; без них он был бы совершенством».

Крупнейший историк математики Мориц Кантор (1829 – 1920;не путать с создателем теории множеств Георгом Кантором),автор многотомной истории математики, очень высоко ценилКардано, не без сожаления констатируя, что его человеческиекачества оставляли желать лучшего («гений, но не характер»).Кантор высказал предположение, имевшееся уже у Феррари, чтоТарталья не переоткрыл правило дель Ферро, а узнал его в го-товом виде из вторых рук. Он отмечал, что у Тартальи не былосколько-нибудь значительных математических работ, а по поводукубических уравнений в публикациях и оставшихся рукописях,кроме самого правила и фактов, которые могли быть заимство-ваны из ранее вышедшего «Великого искусства», имеются лишьэлементарные замечания. Разумеется, это не доказательство, ктому же у Тартальи были безусловные заслуги за пределамиматематики. Кантору казалось также подозрительным, что ре-шения Тартальи и дель Ферро похожи друг на друга, как двекапли воды. Кантору возражал Энестрем, который даже про-вел что-то вроде следственного эксперимента, показывавшего,что такое совпадение возможно. Многое сделал для выясне-ния неясных мест Бортолетти: он привел рассуждения, которыемогли бы подкрепить ряд высказываний Тартальи, казавшихсябезответственными.

Полтора века то утихают, то вновь разгораются страсти. Неугасает желание получить однозначный ответ на вопрос, у ко-торого такого ответа, может быть, просто не существует. А за


формулой для решения кубического уравнения прочно укорени-лось название «формула Кардано».

Добавление. По страницам книги Джероламо Кардано«О моей жизни»

За четыре месяца до смерти Кардано закончил автобиографию,которую он напряженно писал весь последний год и котораядолжна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовалприближение смерти. По некоторым сведениям его собственныйгороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21 сен-тября 1576 г. за два дня до годовщины. Имеется версия, чтоон покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или дажечтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано-астро-лог относился к гороскопу серьезно. В своей книге он описы-вает ожидание смерти в 44 года, как предвещал предыдущийгороскоп.

Кардано волнует, удалась ли его жизнь. С одной стороны, онживет на скромную папскую пенсию в Риме, в вынужденном уда-лении от городов, где прошла лучшая часть его жизни, недавнопобывал в тюрьме, несчастлив в детях. С другой стороны, Кар-дано уверен в своей значительности. Он критически оцениваетмногое из своего прошлого, хотя нетрудно обнаружить места, гдеему удается убедить себя в своей правоте. Ведущая идея Карда-но — предопределенность его жизни. Отсюда подробный анализвлияния звезд, взаимоотношений с «гением-хранителем», скрупу-лезный учет примет и предзнаменований, мелких событий, позво-ляющих построить логически стройную картину жизни. В неко-тором смысле цель Кардано — пользуясь искусством ученого иастролога, подробно проанализировать самого себя как объектвоздействия высших сил. В науке устанавливался новый стиль,когда выводы делались исходя из предъявляемых фактов. Поэто-му Кардано снабжает читателя подробными сведениями о сво-их физических особенностях, режиме питания, привычках и т. д.,чтобы автор и читатель имели равные возможности для выводов.Книга Кардано—замечательный литературный памятник XVI ве-ка, она позволяет узнать очень много о том, как воспринималжизнь один из умнейших людей своего времени.


Книга Кардано была переведена на русский язык в 1938 г. ииздана в Гослитиздате.

Посмотрим, что рассказывает Кардано о себе. Кое-что ужеприводилось в основном тексте. «Имея в виду, что из всего того,что может быть достигнуто человеческим умом, нет ничего от-раднее и достойнее познания истины, и что ни одно из созданийсмертных людей не может быть завершено, не подвергнувшисьхотя бы в малой степени клевете, — мы, по примеру мудрейшегои, без сомнения, совершеннейшего мужа Антонина Философа ре-шили написать книгу о собственной жизни. Мы заверяем, что ни-чего не внесли в нее ради хвастовства или из желания что-нибудьприукрасить. . . » — так начинается эта книга. Кардано подробноговорит о своей родине (Милане), своих предках. Сообщает о сво-ем рождении: «. . . я родился 24 сентября 1500 г. (по-видимому,здесь описка: Кардано родился в 1501 г. — С. Г.) на исходе перво-го часа ночи, когда прошло уже более его половины, но шла ещепоследняя его треть 〈. . .〉, я родился с курчавыми волосами и безпризнаков жизни; меня привели в чувства лишь ванной из теплоговина, что для другого могло оказаться гибельным. . . ». Подробноописывается положение Марса, Меркурия и Луны, которое пред-вещало, что он «непременно должен был родиться уродом 〈. . .〉,чего едва не произошло». Положение «зловещих планет» — Вене-ры и Меркурия—предвещало, что ему «будут присущи некотораяхитрость и отсутствие свободы духа, а вместе с тем склонность копрометчивым и необдуманным решениям».

В отдельной главе описываются родители: «Мой отец, вопре-ки обычаям нашего города, одевался в красную суконную одежду,хотя сохранил черный цвет для своего исподнего платья. Он былкосноязычен; лицо у него было румяное, а глаза белесоватые. . . ; спятидесятилетнего возраста лишился всех своих зубов1. Особен-ное предпочтение отдавал он сочинениям Евклида; ходил, согнувспину». Удивительные подробности! «Мать моя была вспыльчива,обладала очень хорошей памятью и даровитостью, была невысо-кого роста, скорее тучная, и отличалась благочестием».

Далее дается краткое описание жизни Кардано, после чегонаступает черед его наружности. Вот несколько деталей: «Я сред-

1В другом месте сказано, что после попытки отравления.


него роста, с короткими и широкими у основания ступнями ноги с настолько высоким подъемом, что я никогда не мог найтидля себя обуви. . . Грудь у меня несколько впалая, руки довольнотонкие, правая рука потолще. . . Шея довольно длинная и худая;подбородок раздвоен, нижняя губа толстая и отвислая. Глаза моиочень невелики и как бы прищурены, исключая те случаи, ко-гда я что-нибудь пристально рассматриваю. . . Волосы на головеи бороде были прежде белокурые. . . Старость изменила бороду,а волосы на голове — мало» и т. д. Кардано описывает болезни,которыми он страдал, и сообщает: «Теперь у меня осталось здо-ровых четырнадцать зубов и один больной, но я думаю, что и ондолго еще сохранится благодаря лечению». Всего у него десятьнедугов, десятый — бессонница, от которой он лечится воздержа-нием от пищи.

Кардано сообщает, что он от природы труслив, но приобрелмужество благодаря телесным упражнениям, что он остается вкровати десять часов, а спит — восемь, что он предпочитает рыбумясу, перечисляет 21 сорт рыбы, которые он употребляет в пищу,причем у крупной рыбы он ест «голову и брюхо, а у мелкой —спину и хвост».

«Желание увековечить свое имя возникло во мне столь жерано, сколь поздно я оказался в состоянии выполнить свое на-мерение 〈. . .〉 ожидая чего-то от будущего, мы презираем насто-ящее. . . », — читаем мы. Случайности, козни противников да соб-ственные астрологические изыскания, утверждавшие, что он недоживет до 45 лет, мешали стремлению Кардано увековечить своеимя. Все изменилось, когда оказалось, что предсказания не сбыва-ются. Кардано решительно меняет образ жизни. Он читает лек-ции рано утром. «После того я шел гулять в тени за городскойстеной, обедал и затем занимался музыкой; после этого я шелудить рыбу 〈. . .〉; потом я занимался научной работой и писал,проводя свои вечера дома». Кардано объясняет, почему он предпо-чел медицину профессии юриста, как того хотел отец: «медицинаодинакова и пригодна для всего земного шара и для всех веков;она опирается на доказательства более ясные и менее зависящиеот мнения отдельных людей. . . ». Он рассказывает об успехах впреподавании и диспутах: «. . . в Болонье я освоился с импрови-зационной речью, так как почти всегда читал лекции без подго-


товки. . . И хотя это порождало очень высокое мнение обо мне,однако в моей речи отсутствовало изящество и не было истинногокрасноречия в изложении мыслей.»

Своеобразен перечень добродетелей: «Как бы меня иной разни соблазняла благосклонность судьбы и многочисленные моиуспехи, я тем не менее никогда не изменял своего поведения. . .Точно так же я не изменял своего платья на более богатое. . .Более чем в чем-нибудь ином я был постоянен в занятиях, в осо-бенности в писании книг. . . Я никогда не порывал уз дружбы,и если их приходилось порывать, то никогда не выдавал тайнсвоих бывших друзей». Подробно описываются друзья и покро-вители, но демонстративно не перечисляются враги и соперники.Впрочем, они неоднократно появляются на страницах книги, втом числе уже в следующей главе «Клеветы, сплетни и козни».

Кардано начинает с козней и испытывает некоторые затруд-нения при выборе примеров: он хотел бы говорить о больших искрытых кознях, но козни, которые уже обнаружились, нельзясчитать скрытыми, а большие козни трудно скрыть. Пофилософ-ствовав, он выбирает случай при получении профессорского местав Болонье, когда распустили слухи, что он «читает перед пустымискамьями, что он человек дурных нравов и для всех неприятен;отличается тупоумием и весьма развратен; также мало сведущ вискусстве врачевания и не имеет никакой практики». Всему быповерили, если бы папский легат в Болонье не вспомнил, чтоКардано вылечил его мать. Это подорвало доверие к остальнойинформации. Впрочем козни продолжались и в Болонье, и Карда-но в конечном счете от должности отказался, хотя и успокаивалсебя: «. . . все это закончилось в угоду тем, кто этого так доби-вался, но совсем не в их пользу». Что касается «клевет и лжи-вых поношений», то Кардано не останавливается на конкретныхслучаях, считая, что «они больше мучили совесть их распростра-нителей», а ему доставили больший досуг для написания книг,«способствовали приобретению многих тайных знаний», и он непитает «ненависти к своим обвинителям».

Коротко перечисляются увлечения: перочинные ножи (на нихистрачено больше двадцати золотых дукатов), различного родаперья (более двухсот дукатов), драгоценные камни, посуда, ша-рики из расписного стекла, редкие книги, плавание, рыбная лов-


ля, философия Аристотеля и Плотина, мистика, стихи Петраркии т. д.. Одиночество он предпочитал компании, не только из-запреданности науке, а из нежелания терять время. О пристрастиик игре в шахматы и кости уже говорилось.

Отдельная глава посвящена одежде. Кардано находит у Гора-ция описание, очень его напоминающее. Достаточно длинные рас-суждения со ссылками кончаются констатацией, что надо иметь«по четыре пары платья: пару теплого, пару самого теплого, парулегкого и пару самого легкого. Таким образом, получится четыр-надцать различных сочетаний. . . » Описывается походка, указы-вается, что причиной ее неровности являются постоянные раз-мышления. Обсуждаются взаимоотношения с религией и фило-софией, подчеркивается влияние Платона, Аристотеля, Плотинаи особенно Авиценны. Перечисляются «особые правила», усвоен-ные в течение жизни: благодарить Бога и просить его о помощи,не ограничиваться возмещением потерь и убытков, беречь время,почтительно относиться к старикам, «по возможности предпочи-тать верное неверному», «не упорствовать в проведении того, чтоидет дурно» и т. д. Кардано перечисляет дома, в которых он жил,красочно описывает свою бедность и потерю отцовского наслед-ства.

Кардано подробно пишет о жене и детях. Он пишет, что ви-дел будущую жену во сне до того, как с нею познакомился, и сонпредвещал несчастный брак. Уже говорилось о судьбе его детей.Описываются путешествия, в основном в связи с врачебной дея-тельностью, объясняется польза путешествий.

Самая большая глава посвящена опасностям и случайностям.Кардано подробно описывает их, видимо, внушая читателю, чтоза этим могут стоять более глубинные явления. («Эти события недолжны были бы возбуждать удивления, если бы у нас не былоналицо частых примеров».) Почти в одном и том же месте он чу-дом трижды избежал опасности: от упавшего со стены камня, отогромного куска штукатурки и от перевернувшейся повозки, два-жды он чуть не утонул при очень романтических обстоятельствах.Кардано подвергался нападению бешеных собак, проваливался вяму, падал с повозки на полном ходу, подвергался опасности зара-жения чумой. Эти истории читаются как детективные рассказы.После этого доходит очередь до страшных козней, которые при-


думывали конкуренты-врачи в Павии: тут и клевета, в которуювовлекли мужа дочери, и бревно, которое могло упасть при входев Академию, и попытка отравить, предварительно удалив мальчи-ков, которые пробовали пищу. Однако все неожиданно кончалосьболезнью или даже смертью врагов. В Риме Кардано преследуютопасности из-за незнания улиц и «варварских обычаев римскихжителей». Но, наконец, он решает, что его охраняет провидениеи перестает бояться опасностей. И вот итог: «. . . кто не увидит вэтом предвестия или некоторого рода обеспечения моей будущейславы?».

Кардано включает в книгу этюд о счастье с примерами из жиз-ни. Он перечисляет оказанные ему почести, в основном лестныеприглашения. С другой стороны, перечисляются неприятные эпи-зоды в его врачебной практике, обсуждается их связь со снами.Неожиданно речь заходит о родовом гербе Кардано, в которыйон в день ареста решил добавить ласточку: «. . . ибо считал еево многих отношениях олицетворяющей мой собственный нрав ипривычки». Спорное сравнение! Кардано перечисляет своих учи-телей и учеников.

И опять Кардано повествует об удивительных своих свойствахи происшествиях: в детстве его посещали видения из воздушныхколечек; у него не могли согреться ноги ниже колен; в его присут-ствии не проливалась кровь (он стал даже нарочно вмешиватьсяв драки и ни разу не был ранен); события, предвещавшие гибельстаршего сына; и, наконец, многочисленные сновидения, которыепредшествовали истинным событиям. Очень красочны описанияснов, содержащие многочисленные подробности.

Далее перечисляются десять наук, которые постиг Кардано, иописываются сорок избранных случаев из его медицинской прак-тики. А затем идет глава: «Явления, по-видимому, естественные,но поразительные». И вот первое из этих явлений: «. . . я родилсяв век, когда был открыт весь земной шар, тогда как в древностибыло известно лишь немного более одной трети». Кроме того, об-рушился его дом, но уцелела спальня, дважды загоралась его по-стель и т. д. Подробно анализируется дар предсказания, постояннопроявлявшийся в его жизни, от медицины до карточной игры.

В заключительной части книги опять идет речь о сверхъесте-ственных случаях, обсуждаются научные достижения, перечис-


ляются его книги. Кардано вновь говорит о себе самом, о своемдухе-хранителе, перечисляет отзывы о себе, рассуждает «о делахмира сего», несколько страниц занимают изречения, которымиследует руководствоваться. Вот примеры: «Друзья в несчастииподают помощь, льстецы — совет», «Знаменитому человеку сле-дует жить там, где имеет пребывание его государь», «Когда тыхочешь мыться, сначала приготовь полотенце, чтобы вытереться»,«Зло должно лечить добром, а не злом». За изречениями следует«Плач об умершем сыне». В конце речь снова идет о недостаткахавтора, о переменах, связанных с возрастом, и об «особенностяхобхождения».

ДВА РАССКАЗА О ГАЛИЛЕЕ

1. Открытие законов движения

Первые основы динамики были заложены Галилеем. Действиесил до него рассматривали исключительно в случае их равно-весия; и хотя ускоренное движение свободно падающих тел икриволинейное движение брошенных тел также приписывалипостоянно действующей силе тяжести, но никому не удалосьустановить законов указанного обыденного явления, завися-щего от столь простой причины. Галилей первый сделал этотшаг и открыл новую и безграничную область для развитиямеханики. Это открытие 〈. . .〉 составляет теперь наиболее зна-чительную и непререкаемую часть заслуг этого великого чело-века. В самом деле, чтобы открыть спутники Юпитера, фазыВенеры, солнечные пятна и т. д., требуется не только теле-скоп и наблюдательность, но нужен исключительный гений,чтобы установить законы природы на явлениях, которые все-гда были у всех перед глазами и тем не менее ускользали отвнимания философов. Лагранж

Пролог. Винченцо Галилей, известный во Флоренции музыкант,долго размышлял над тем, какое поприще выбрать для своегостаршего сына Галилео. Сын, безусловно, был способен к музыке,но отец предпочитал что-нибудь более надежное. В 1581 г., когдаГалилео исполнилось семнадцать лет, чаша весов склонилась всторону медицины. Винченцо понимал, что расходы по обучениюбудут велики, зато будущее сына будет обеспечено. Местом обуче-ния был выбран Пизанский университет, быть может, несколькопровинциальный, но хорошо знакомый Винченцо. Он долго жилв Пизе, там же родился Галилео.

Путь к профессии врача был нелегок. Перед тем как при-ступить к изучению медицины, надо было выучить, а точнее —

43

44 Галилео Галилей (1564 – 1642)

Галилео Галилей

вызубрить философию Аристо-теля. В его учении говоритсябуквально обо всем. По мнениюГалилея, «нет, кажется, ни од-ного достойного внимания явле-ния, мимо которого он (Аристо-тель) прошел бы, не коснувшисьего». Философия Аристотеля вто время преподавалась в чудо-вищной форме: в виде наборавысказываний, считавшихся ис-тинами в последней инстанции,лишенных мотивировок и дока-зательств. О несогласии с Ари-стотелем не могло быть и речи.

Более всего интересует Гали-лея то, что пишет Аристотель офизике окружающего мира, но

он не хочет слепо верить каждому слову великого философа; онусвоил это, изучая его логику: «Сам Аристотель научил меняудовлетворять свой разум только тем, в чем убеждают меня рас-суждения, а не только авторитет учителя». Он читает и другихавторов, среди которых наибольшее впечатление на него произво-дят Архимед и Евклид.

Тайны движения. Из всего, что происходит в окружающем ми-ре, наибольший интерес Галилея вызывали разнообразные дви-жения. Он по крупицам собирает все, что написано о движенииу древних, но с сожалением констатирует: «В природе нет ничегодревнее движения, но именно относительно него написано весьмамало значительного». А вопросы возникают у пытливого юношина каждом шагу. . .

«В 1583 г., имея около двадцати лет от роду, Галилей находил-ся в Пизе, где, следуя совету отца, изучал философию и медицину.Однажды, находясь в соборе этого города, он, со свойственной емулюбознательностью и смекалкой, решил наблюдать за движениемлюстры, подвешенной к самому верху, — не окажется ли продол-жительность ее размахов, как вдоль больших дуг, так и вдоль

Открытие законов движения 45

средних и малых, одинаковой; ибо ему казалось, что продолжи-тельность прохождения большой дуги может сократиться за счетбольшей скорости, с которой, как он видел, движется люстра наболее высоких и наклонных участках. И пока люстра размереннодвигалась, он сделал грубую прикидку — его обычное выраже-ние — того, как происходит движение взад и вперед, с помощьюбиения собственного пульса, а также темпа музыки, в которойон тогда уже был искушен с немалою от того для себя поль-зой. И ему на основании таких подсчетов показалось, что он незаблуждается, подсчитав, что времена одинаковы, но не удовле-творенный этим, вернувшись домой, он, чтобы надежнее в этомудостовериться, решил сделать следующее. Он привязал два свин-цовых шара на нитях совершенно одинаковой длины так, чтобыони могли свободно раскачиваться. . . и, отклоняя их от вертика-ли на разное число градусов, например один шар на 30, другойна 10, он отпускал их в одно и то же мгновение. С помощью това-рища он наблюдал, что, пока один маятник делал такое-то числоколебаний по большим дугам, другой делал в точности столькоже по малым.

Сверх того он сделал два сходных маятника, только достаточ-но разной длины. Он наблюдал, что, пока малый маятник делалкакое-то число колебаний, например 300, по большим дугам, боль-шой за то же время делал всегда одно и то же число колебаний,скажем 40, как по своим большим дугам, так и по совсем малень-ким, и повторив это несколько раз 〈. . .〉, он заключил отсюда, чтовполне одинакова продолжительность размахов одного и того жемаятника, будут ли они весьма велики или весьма малы, и чтопочти нет при этом заметных различий, каковые надо приписатьпомехе со стороны воздуха, который больше противится быстреедвижущемуся тяжелому телу, чем медленнее движущемуся.

Он видел также, что ни различие в абсолютном весе, ни раз-ный удельный вес шаров не вызывали заметного изменения —все шары, лишь бы они были на нитях равной длины от их цен-тров до точек подвеса, сохраняли достаточно постоянно равенство(времени) прохождения по всяким дугам; лишь бы не был взятлегчайший материал, движению которого в воздухе легче пре-пятствовать, так что оно быстрее сводится к покою».

Приведенный рассказ принадлежит ученику Галилея Винчен-


цо Вивиани (1622 – 1703), который в 1639 г. в семнадцатилетнемвозрасте прибыл на виллу Арчетри близ Флоренции, где находил-ся Галилей после приговора инквизиции. Через два года там по-явился Эванджелиста Торричелли (1608–1647). Оба они помогалиослепшему ученому завершать его замыслы; ряд результатов ониполучили под влиянием Галилея (знаменитые барометрическиеопыты, исследование циклоиды). По-видимому, Вивиани был осо-бенно близок Галилею, который охотно беседовал с ним на разныетемы, часто вспоминая о далеком прошлом. Потом Вивиани поразным поводам пересказывал услышанное им в те дни. Эти рас-сказы не считаются достаточно достоверными, причем не всегдаясно, кто явился источником неточностей: рассказчик или слуша-тель. Увековечение памяти учителя было главной целью жизниВивиани.

Вернемся к рассказу Вивиани. В нем речь идет об откры-тии изохронного свойства маятника: при фиксированной длинепериод колебаний маятника не зависит от их амплитуды. Поучи-тельно, как Галилей следил за временем: при помощи музыки ипульса (кажется, на этот способ первым указал Кардано). Нам,людям XX века, привыкшим к ручным часам, не следует забыватьоб этих трудностях. Достаточно точные часы были сконструиро-ваны как раз на основе открытого Галилеем свойства маятника(мы еще будем иметь возможность говорить о маятниковых ча-сах). Кстати, в своих лабораторных экспериментах, о которыхпойдет речь ниже, Галилей пользовался для измерения време-ни медленно вытекающей струей воды (вариантом водяных ча-сов).

Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и часто-той его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся каких длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат,«руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении»,но никто не знает, каким мог быть такой теоретический вывод,Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспери-ментально. Галилей, по-видимому, не знал, что колебания маят-ника изохронны лишь для малых углов отклонения. При большихуглах период начинает зависеть от угла отклонения, и для 60, на-пример, период заметно отличается от периода для малых углов.Галилей мог бы заметить это в серии опытов, описанных Вивиани.


Неточность утверждения Галилея об изохронности математиче-ского маятника обнаружил Гюйгенс.

Занятия медициной шли не очень успешно, хотя Галилео стре-мился оправдать надежды и затраты отца. Все же в 1585 г. онвозвращается во Флоренцию, не получив диплома доктора. ВоФлоренции Галилей продолжает заниматься математикой и фи-зикой, вначале втайне от отца, а потом при его согласии. У Га-лилео появляются контакты с учеными, в том числе с маркизомГвидо Убальдо дель Монте. Благодаря поддержке последнего тос-канский герцог Фердинандо Медичи в 1589 г. назначил Галилеяпрофессором математики Пизанского университета. В Пизе Гали-лей находился до переезда в 1592 г. в Падую. Восемнадцать лет,прожитых в Падуе, Галилей считал самым счастливым периодомв своей жизни. С 1610 г. и до конца жизни он — «философ и пер-вый математик светлейшего великого герцога тосканского». И вПизе, и в Падуе изучение движений — главное дело Галилея.

Свободное падение. Галилея интересует прежде всего свободноепадение — одно из самых распространенных естественных движе-ний. Как и полагалось в то время, начать нужно с того, что поэтому поводу говорил Аристотель. «Тела, имеющие большую силутяжести или легкости, если в остальном они имеют одинаковуюфигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорцио-нальном отношении, в каком указанные величины относятся другк другу». Значит, по Аристотелю скорости падающих тел пропор-циональны их весу. Второе утверждение состоит в том, что скоро-сти обратно пропорциональны «густоте среды». С этим утвержде-нием возникли сложности, поскольку в пустоте, «густота» кото-рой равна нулю, скорость должна была бы быть бесконечной. Наэто Аристотель заявил, что в природе пустоты не бывает («при-рода боится пустоты»).

Первое утверждение Аристотеля оспаривалось иногда уже вСредние века. Но особенно убедительной была критика Бенедет-ти, ученика Тартальи и современника Галилея, с трактатом кото-рого Галилей познакомился в 1585 г. Вот как выглядит основноеопровержение. Пусть имеются два тела—тяжелое и легкое: первоедолжно падать быстрее. Теперь соединим их. Естественно предпо-ложить, что легкое тело притормозит тяжелое и скорость падения


должна стать промежуточной между скоростями падения состав-ляющих тел. Но по Аристотелю скорость должна стать больше,чем скорость каждого тела! Бенедетти решает, что скорость па-дения зависит от удельного веса и даже прикидывает, что длясвинца она в 11 раз больше, чем для дерева. В существованиезависимости скорости от удельного веса долго верил и Галилей.

Он приступил к изучению свободного падения еще в Пизе.Вот что пишет Вивиани: «. . . Галилей целиком отдался размыш-лениям, и к великому смущению всех философов им была пока-зана, посредством опытов, солидных доказательств и рассужде-ний, ложность множества заключений Аристотеля, касающихсядвижения, считавшихся до этого совершенно очевидными и несо-мненными. Сюда относится положение, что движущиеся тела, со-стоящие из одного и того же вещества, но имеющие разный вес,находясь в одной и той же среде, не обладают скоростями, пропор-циональными их весу, как полагал Аристотель, но все движутсяс одинаковой скоростью. Это он доказывал неоднократными экс-периментами, производившимися с высоты Пизанской башни, вприсутствии других лекторов и философов и всей ученой братии».Галилея до сих пор часто рисуют кидающим шары с Пизанскойбашни. Эта легенда обросла многими пикантными подробностя-ми (например, о кабатчике, распускавшем слухи, что профессорГалилей будет прыгать с башни). Заметьте, что пока речь идеттолько о телах из одного и того же вещества.

Галилея занимает наблюдение Бенедетти, что скорость свобод-ного падения увеличивается по мере движения тела. И Галилейрешает найти математически точное описание этого измененияскорости. Здесь следует сказать, что первоначально Галилей ви-дел свою задачу в том, чтобы математизировать физику Аристо-теля: «Философия написана в величайшей книге, которая посто-янно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя еепонять, не научившись сперва понимать язык и различать знаки,которыми она написана. Написана же она языком математиче-ским, и знаки ее суть треугольники, круги и другие математи-ческие фигуры». Однако скоро стало ясно, что математизациятребует систематического пересмотра всех фактов.

Как же найти закон изменения скорости свободного падения?Эксперимент только начинал входить в практику научного иссле-


дования. Для Аристотеля и его последователей он считался лиш-ним и недостойным занятием как при установлении истины, так ипри ее проверке. Галилей мог бы попытаться проделать серию экс-периментов со свободно падающими телами, провести тщатель-ные измерения и искать закономерность, которая их объясняет.Так современник Галилея Кеплер, обрабатывая многочисленныенаблюдения Тихо Браге, обнаружил, что планеты движутся поэллипсам. Но Галилей выбирает другой путь. Он решает вначалеугадать закон из общих соображений, а уже затем проверить егоэкспериментально. Раньше никто так не поступал, но постепеннотакой план исследований станет одним из ведущих при установ-лении научных истин.

Теперь о том, как Галилей попытался угадать закон. Он реша-ет, что природа «стремится применять во всех своих приспособ-лениях самые простые и легкие средства», а значит, и закон на-растания скорости должен происходить «в самой простой и яснойдля всякого форме». Но раз скорость растет с ростом пройден-ного пути, то что может быть проще предположения о том, чтоскорость пропорциональна пути: v = cs, c — постоянное число.Это предположение испугало его поначалу: ведь получается, чтопадение начинается с нулевой скоростью, а кажется, что скоростьс самого начала велика. Но вот какое рассуждение убедило его,что противоречия нет: «Если груз, падающий на сваю с высотычетырех локтей, вгоняет последнюю в землю приблизительно начетыре дюйма, — при падении с высоты двух локтей он вгоняетее в землю меньше и, конечно, еще меньше при падении с высо-ты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает свысоты не более толщины пальца, то производит ли он на сваюбольше действия, чем если бы он был положен без всякого удара?Еще меньшим и совершенно незаметным будет действие груза,поднятого на толщину листа. Так как действие удара находитсяв зависимости от скорости ударяющего тела, то кто может со-мневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скоростьминимальна, если действие удара совершенно незаметно?»

Галилей долго исследовал различные следствия из сделанногопредположения и неожиданно обнаружил, что. . . по такому за-кону движение вообще происходить не может! Давайте и мыпопытаемся понять, в чем дело. Коэффициент пропорциональ-


ности зависит от выбора единицы времени. Будем считать дляпростоты, что c = 1, путь измеряется в метрах, а время в секун-дах. Тогда во все моменты времени v = s.

Рассмотрим точку A, находящуюся на расстоянии 1 от на-чала O. Прикинем, через какое время от начала движения телоокажется в этой точке. В точке A скорость равна 1 /. Возьмемточку 1, лежащую посередине между началом и . На отрезке 1

мгновенная скорость будет меньше 1 /, и на отрезок длиной 1/2потребуется больше 1/2 . Возьмем теперь точку A2 — посерединемежду O и A1. На отрезке A2A1 мгновенная скорость будет мень-ше 1/2 / (все точки находятся от O на расстоянии, меньшем 1/2 ),и на отрезок A2A1 длиной 1/4 уйдет опять более 1/2 . Вы уже, ко-нечно, догадались, как мы будем рассуждать дальше: точка A3 —середина отрезка OA2, на отрезок A3A2 длиной 1/8 при скоро-сти, меньшей 1/4 /, опять-таки уйдет более 1/2 и т. д. Процессделения можно продолжать неограниченно, и мы можем набратьлюбое число отрезков, на прохождение которых уходит больше1/2 , так и не добравшись до O. Значит, тело из O попасть в Aвообще не может!

Мы предположили, что A находится на расстоянии 1 от O. Ноаналогично показывается, что вообще ни в какую точку тело изO попасть не может. Вот с какого замечательного рассужденияначалась классическая механика!

Впрочем сам Галилей публикует по этому поводу неубедитель-ное рассуждение. Он пытается прийти к противоречию, считая,что раз скорость пропорциональна пути, то любые отрезки от на-чала должны проходиться за одно и то же время, что неверно. Толи Галилей еще не привык работать с мгновенной скоростью, то липервоначально у него было другое рассуждение, которое он уже несмог восстановить, когда после долгого перерыва записывал этирезультаты в преклонном возрасте (мы увидим, почему это полу-чилось). От него осталось немало утверждений, либо лишенныхмотивировок, либо снабженных сомнительными рассуждениями.

Ну что же, у Галилея были все основания обидеться на ковар-ство природы, которая не выбрала самого простого пути. Однаковера в разумность природы у Галилея не угасла. Он рассматрива-ет не менее простое предположение, что нарастание скорости про-исходит пропорционально времени: v = at. Такое движение он на-


звал естественно ускоренным, но прижился термин «равномерноускоренное движение». Галилей рассматривает график скоростина отрезке времени от 0 до t и замечает, что если взять моментывремени t1, t2 равноотстоящие от t/2, то насколько в t1 скоростьменьше at/2, настолько в t2 она больше. Отсюда он делает вы-вод, что в среднем скорость равна at/2, а пройденный путь равенat/2 · t = at2/2 (не слишком строгое рассуждение!). Значит, еслирассмотреть равноотстоящие отрезки времени t = 1, 2, 3, 4, . . . ,то отрезки пути, пройденные от начала, будут относиться какквадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16 . . . , а отрезки, пройденныемежду соседними моментами отсчета, — как нечетные числа1, 3, 5, 7, . . .

Еще раз проследим за логикой Галилея. Прежде всего он раз-деляет вопросы «как» и «почему». Для последователей Аристоте-ля ответ на первый вопрос должен быть непосредственным след-ствием ответа на второй. Галилей же, трезво оценив свои воз-можности, не разбирается в природе возникновения ускоренногодвижения при свободном падении, а пытается лишь описать за-кон, по которому оно происходит. Принципиальное значение имеетпоиск простого общего принципа, из которого этот закон можновывести. Он ищет «принцип, совершенно несомненный, которыйможно принять за аксиому». Высказывания Галилея из письмаПаоло Сарпи (осень 1604 г.) можно интерпретировать так, чтоон уже знал закон изменения пути при свободном падении, ноне был удовлетворен тем, что не может вывести его из казавше-гося несомненным принципа: «Тело, испытывающее естественноедвижение, увеличивает свою скорость в той же пропорции, что ирасстояние до исходного пункта».

Здесь важно было выбрать основную независимую перемен-ную, относительно изменений которой рассматриваются измене-ния всех величин, характеризующих движение. Очень естествен-но, что первоначально в качестве такой переменной выбираетсяпройденный путь: ведь наблюдатель видит, как нарастает ско-рость по мере увеличения пройденного расстояния. Сказывалось,что измерение времени еще не играло значительной роли в жизнилюдей, не было точных, доступных часов. Мы не всегда отдаемсебе отчет, насколько постепенно ощущение постоянно текущеговремени внедрялось в человеческую психологию. Галилей проявил


большую гибкость, сравнительно быстро переориентировавшисьс пути на время. В 1609 – 1610 гг. он открыл верный принциправноускоренности свободного падения (относительно времени!).

Не следует переоценивать окончательный характер понятийскорости и ускорения у Галилея. Понятие мгновенной непрерывноменяющейся скорости нелегко ощутить, и оно медленно завоевы-вало права гражданства. Трудно было удостовериться, что отказот скачкообразного изменения скорости не приводит к противо-речиям, которыми были переполнены рассуждения о непрерыв-ных процедурах. Нам сегодня трудно оценить смелость Галилея,так решительно оперирующего с переменной скоростью. Ему неповерили такие мастера аналитических рассуждений, как Кава-льери, Мерсенн, Декарт. Последний категорически не принималдвижения с нулевой начальной скоростью, при котором тело «про-ходит через все стадии медленности». Еще более сложен процессвычисления пути при переменной скорости, который требует ин-тегрирования. Галилей владел им лишь в варианте, близком ктехнике Архимеда или к «неделимым» Кавальери. В рассмат-риваемом случае он применяет искусственный прием, делая невполне обоснованный переход к средней скорости, а затем поль-зуется привычной формулой для равномерного движения. От от-крытия закона свободного падения отсчитывает свою историюне только новая механика, но и новый математический анализ.Что касается ускорения, то, поскольку Галилей ограничился толь-ко равноускоренным случаем, он не нуждался в общем понятии.Ускорение свободного падения как универсальная константа у Га-лилея еще не появляется.

Что касается роли силы в возникновении неравномерного дви-жения, то здесь высказывания Галилея лишены полной ясности.Он отвергает принцип Аристотеля, что скорость пропорциональ-на действующей силе, утверждая, что при отсутствии сил со-храняется равномерное прямолинейное движение. Закон инерции(первый закон Ньютона) носит имя Галилея. Галилей постояннообращается к примеру со снарядом, который летел бы по прямой,если бы не испытывал земного притяжения. Он пишет, что «сте-пень скорости, обнаруживаемая телом, нерушимо лежит в самойего природе, в то время как причины ускорения или замедленияявляются внешними», «. . . движение по горизонтали является веч-


ным, ибо если оно является равномерным, то оно ничем не осла-бевается, не замедляется и не уничтожается». Галилей в «Посла-нии к Инголи» поэтически описывает разнообразные явления наборту равномерно прямолинейно движущегося корабля, которыене позволяют обнаружить это движение: капли воды попадаютточно в горлышко подставленного сосуда, камень с мачты пада-ет вертикально вниз, вверх поднимается дым, бабочки летают содинаковой скоростью во всех направлениях и т.д. Создается ощу-щение, что Галилей уверенно придерживался принципа инерциив «земной» механике, но не был столь последователен в небесной(об этом речь впереди).

Ньютон приписывал Галилею не только первый закон механи-ки, но и второй, хотя это и было преувеличением: четкой связимежду силой и ускорением (когда они отличны от нуля) у Галилеяне было. В том, что касается свободного падения, Галилей дал ис-черпывающий ответ на вопрос «как», но не дал ответа на вопрос«почему».

Движение по наклонной плоскости. Своим основным выводом Га-лилей считал утверждение, что падающее тело проходит в по-следовательные равные промежутки времени отрезки, пропорци-ональные последовательным нечетным числам. Он хочет прове-рить это. Но как это сделать? Нельзя же продолжать кидатьшары с Пизанской башни, да он и жил уже в Падуе. В лабора-тории же падение происходит очень быстро. Но Галилей находитостроумный выход: он заменяет свободное падение более медлен-ным движением тел по наклонной плоскости. Он заметил, чтоиз предположения о равноускоренности свободного падения сле-дует равноускоренность движения тяжелой точки по наклоннойплоскости. По существу, это привычное сегодня рассуждение сразложением сил, показывающее, что тяжелая точка скатыва-ется по наклонной плоскости с постоянным ускорением g sinα,где α — угол наклона к горизонтали (g — ускорение свободногопадения). Рассуждения Галилея более громоздки: он не вводитускорение свободного падения, а манипулирует, как это было при-нято тогда, с большим числом пропорций. Он выводит целый ряд


Рис. 1.

следствий из равноускоренно-сти движения точки по наклон-ной плоскости, которые ужеудобны для лабораторной про-верки (если угол наклона мал,то время скатывания велико).Центральное место занимаетутверждение, что если наклон-ные плоскости имеют одинако-вую высоту, то времена скаты-вания относятся как пройден-ные пути (почему?). Движениепо наклонной плоскости пред-ставляет для Галилея самостоя-тельный интерес. Он делает це-

лый ряд наблюдений. Например, если точки двигаются по хор-дам окружности AEi, BFj , AB — вертикальный диаметр, то всевремена скатывания равны времени свободного падения по AB(докажите!). Довольно сложное рассуждение приводит Галилей вдоказательство того, что если A, B, C — последовательные точкина окружности, то точка по ломаной ABC скатывается быст-рее, чем по хорде AC. С этим связана известная ошибка Гали-лея: он считал, что быстрее всего точка скатывается по четвертиокружности, в то время как этим свойством обладает дуга цик-лоиды.

Движение брошенных тел. Такое движение Галилей называл при-нужденным (в отличие от свободного падения). Аристотель счи-тал, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется внача-ле по наклонной прямой, затем по дуге окружности и, наконец,по вертикальной прямой. Возможно, Тарталья был первым, ктоутверждал, что траектория брошенного тела «не имеет ни однойчасти, которая была бы совершенно прямой».

Теорию «принужденного» движения Галилей построил сразуже за теорией свободного падения. Путь, по которому он дви-гался, был прежним: теория (модель явления) предшествовалаэкспериментам. Догадка Галилея была гениально простой: дви-жение тела, брошенного под углом к горизонту, складывается из


равномерного прямолинейного движения, которое имело бы ме-сто, не будь силы тяжести, и свободного падения. В результатетело движется по параболе. Отметим, что в этом рассуждениисущественно используется закон инерции — закон Галилея.

В рассмотрении сложного движения у Галилея был гениаль-ный предшественник, служивший для него образцом: «. . . я хочутрактовать и рассматривать это явление в подражание Архимедув его ”Спиральных линиях“ , где, заявив, что под движением поспирали он понимает движение, слагающееся из двух равномер-ных, одного — прямолинейного, а другого — кругового, он непо-средственно переходит к демонстрации выводов». Речь идет о такназываемой спирали Архимеда, которую описывает точка, дви-жущаяся по радиусу вращающегося круга (муха к центру грам-мофонной пластинки).

Пользуясь свойствами параболы, Галилей составил «таблицудля стрельбы, имеющую важное практическое значение». Неда-ром Падуя принадлежала Венецианской республике, и Галилейподдерживал постоянные контакты с венецианским арсеналом.Ряд утверждений Галилея, полученных теоретическим путем, до-пускает экспериментальную проверку. Он доказал утверждениеТартальи о том, что угол в 45 отвечает наибольшей дальностиполета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90, дальностиполета одинаковы (при фиксированной величине скорости).

Галилей и Кеплер. Открытия Галилея должны были поразить егосовременников. Конические сечения (эллипсы, параболы, гипер-болы)—вершина греческой геометрии—казались плодом матема-тической фантазии, не имеющим отношения к действительности.И вот Галилей доказал, что параболы неминуемо возникают в со-вершенно «земной» ситуации. (Еще в XIX веке Лаплас приводилприменение конических сечений как самое неожиданное примене-ние чистой математики.) Замечательно, что буквально в те жесамые годы конические сечения возникли совсем в другой за-даче и не менее удивительным образом. В 1604–1605 гг. ИоганнКеплер (1571–1630) обнаружил, что Марс движется по эллипсу,у которого в фокусе находится Солнце (через десять лет Кеплерраспространил это утверждение на все планеты). Это совпаде-ние знаменательно, и для нас эти два открытия стоят рядом,


но до Ньютона, вероятно, никто серьезно не сопоставлял эти ре-зультаты. Более того, Галилей не признавал закона Кеплера, ао своем открытии Кеплеру не сообщал, несмотря на регулярнуюпереписку (оно было опубликовано уже после смерти Кеплера).

Галилей и Кеплер долгие годы переписывались. Кеплер былдля Галилея одним из самых близких по духу ученых. Преждевсего было существенно, что Кеплер безоговорочно принимал си-стему Коперника. Еще в 1597 г. Галилей (в связи с получениемкниги «Тайна мироздания») делится с Кеплером сокровеннымжеланием опубликовать свои аргументы в пользу системы Ко-перника. Он пишет: «. . . я до сих пор не решился опубликовать ихиз боязни столкнуться с той же судьбой, которая постигла нашегоКоперника, хотя и заслужившего бессмертную славу среди немно-гих, но представлявшегося большинству заслуживающим осви-стания и осмеяния, до того велико количество глупцов. Я бы всеже решился выступить с моими размышлениями, если бы былобольше таких людей, как Вы, поскольку же это не так, я избегаюкасаться указанной темы». Кеплер посылает в ответ страстныйпризыв: «Оставь колебания, Галилей, и выступай вперед!» Онпредлагает объединиться: «Если я не ошибаюсь, среди видныхматематиков Европы немного таких, кто захочет отделиться отнас». А книгу не обязательно печатать в Италии, можно и в Гер-мании. В далекой Праге проблема виделась не так, как в Италии,где шестой год ждал в тюрьме своей участи Джордано Бруно.

Очень поучителен путь, которым шел Кеплер к своему откры-тию. У Кеплера как ученого было два лица. С одной стороны, этобыл великий фантазер, пытавшийся постичь величайшие тайнымироздания. Он был уверен, что самая великая тайна, открывша-яся ему, состояла в следующем. Существует шесть планет, потомучто существует пять правильных многогранников! «Мне никогдане удастся найти слов, чтобы выразить свое восхищение этим от-крытием». Кеплер располагает шесть сфер, перемежая их различ-ными правильными многогранниками так, что в каждую сферуодин многогранник вписан, а другой — описан. Сферам он ставитв соответствие последовательные планеты. В порядке многогран-ников особый таинственный смысл (куб отвечает Сатурну, тетра-эдр — Юпитеру — и т. д.). Отношения радиусов сфер Кеплер срав-нивает с известными относительными размерами орбит и стран-


ным образом получает не очень большое расхождение (кроме какдля Меркурия). Эти рассуждения, опубликованные в книге «Тай-на мироздания», были многими благожелательно встречены, невызвали возражений у Галилея, а «король астрономов» Тихо Бра-ге пригласил Кеплера сотрудничать с ним.

С этим приглашением связана другая сторона научной жиз-ни Кеплера, так не похожая на первую. Он скрупулезно обраба-тывает многочисленные наблюдения Тихо Браге, которые обла-дали невиданной точностью для наблюдений, не использующихтелескопов (их точность оценивают в ±25′′). Он должен пере-смотреть орбиты планет, пользуясь наблюдениями Тихо Браге.По-видимому, Тихо Браге (Кеплер называл его «Фениксом аст-рономии») рассчитывал получить подтверждение своей компро-миссной теории, по которой Солнце движется вокруг Земли, аостальные планеты—вокруг Солнца. Но Кеплер проводил вычис-ления в рамках системы Коперника.

Поскольку Коперник, подобно Птолемею, собирал орбитыпланет из кругов, в его системе сохранились эпициклы. Кеплерхочет упростить систему (его итоговый труд, вышедший в 1618–1621 гг., назывался «Сокращение коперниковой астрономии»).Удивительным образом орбита Земли почти не отличается отокружности, однако Солнце несколько смещено относительноцентра. Все это знал Коперник, но Кеплер уточнил величинусмещения. Он внимательно изучил неравномерный характер дви-жения Земли по орбите и долго искал закономерность в этомдвижении. Он пробовал обратно пропорциональную зависимостьот расстояния до Солнца, ряд других возможностей, пока необнаружил закон площадей (2-й закон Кеплера). Затем Кеплервычисляет орбиту Марса и сравнивает ее с разными кривыми.Он проявляет поразительную трезвость и доверие к результатамнаблюдений. Один раз он отверг гипотезу, обнаружив расхо-ждение в 8′ с данными Тихо Браге (такое расхождение почтинезаметно для невооруженного глаза). «Он ясно сознавал, чтотеоретические, логико-математические построения, безразлич-но насколько прозрачные, не могут сами по себе гарантироватьистину, что самые логические теории не имеют ни малейшего зна-чения в естественных науках без сравнения с точнейшим опытом»(Эйнштейн). Кеплер перебрал разнообразные овалы и, наконец,


обнаружил, что годится эллипс с Солнцем в фокусе. «Не пе-реставая ощупывать все места окружающего мрака, я вышел,наконец, на яркий свет истины». Не правда ли, путь Кеплерамало напоминал путь Галилея. Галилей в большей степени шелот общих принципов и качественных результатов. На склоне летГалилей вспоминал: «Я всегда ценил Кеплера за свободный (по-жалуй, даже слишком) и острый ум, но мой метод мышлениярешительно отличен от его, и это имеет место в наших работахоб общих предметах. Только в отношении движений небесныхтел мы иногда сближались в некоторых схожих, хотя и немно-гих концепциях, отличающихся общностью оценки отдельныхявлений, но это нельзя обнаружить и в одном проценте моихмыслей».

Галилей считал, что в мире царит равномерное круговое дви-жение и не поверил ни в эллиптические орбиты, ни в неравномер-ное движение планет по орбитам, не приняв к сведению данныхнаблюдательной и вычислительной астрономии.

Кеплер был первым, кто рассматривал взаимное притяже-ние тел, связывал его с движением: он даже высказал гипотезуо характере убывания взаимодействия с расстоянием (как 1/r,что неверно). Он принимал объяснение приливов лунным при-тяжением. Все это было совершенно неприемлемо для Галилея,отрицавшего дальнодействующие силы, в частности, попыткиобъяснять земные явления влиянием небесных тел. Особенноэто относилось к приливам, которые Галилей ошибочно считалважнейшим доказательством движения Земли. Объяснения ука-занного типа Галилей отождествлял с астрологией, в которойсобытия в человеческой жизни объясняются влиянием планет.«Среди великих людей, рассуждавших об этом поразительномявлении природы, более других удивляет меня Кеплер, который,обладая умом свободным и острым и будучи хорошо знаком сдвижениями, приписываемыми Земле, допускал особую властьЛуны над водой, сокровенные свойства и тому подобные ребяче-ства». Кеплер оказался прав, но реальные аргументы появилисьпозднее.

Следует иметь в виду, что рассуждения Кеплера о взаимномпритяжении содержат много путаницы. В одном отношении онсерьезно отставал от Галилея: он считал, следуя Аристотелю, что


скорость пропорциональна силе.

Механика земная и механика небесная. К 1610 г. Галилей полу-чил в механике результаты, к которым шел 20 лет. Он начинаетработать над всеобъемлющим трактатом, но неожиданные собы-тия отвлекают его от этих занятий более чем на 20 лет! Галилейпостроил телескоп и в начале 1610 г. открыл спутники Юпите-ра. Весь этот год астрономические открытия следовали одно задругим. Галилей полагает, что у него появились решающие до-казательства в пользу системы Коперника. Следующие 23 годажизни он целиком посвятил утверждению этой системы, пока в1633 г. приговор инквизиции не прервал эту деятельность. Всеэти годы Галилей вспоминает о механике постольку, посколькуэтого требует разработка «Системы мира». Временами его но-вая философия даже входит в противоречие с результатами о«земных» движениях. Так, он не находит во Вселенной, «где всечасти находятся в отличнейшем порядке», места для прямоли-нейного движения, которое в этих условиях представляется ему«излишним и неестественным». Причина в том, что движениепо прямой не может быть периодическим, и состояние Вселен-ной должно все время меняться. Он оставляет место прямоли-нейному движению лишь в неустойчивых ситуациях, а в природедолжно царить круговое движение. Открытый им закон инерциидля «местных движений» Галилей считает справедливым лишьвблизи Земли.

Так же приближенным считает Галилей закон движения бро-шенных тел по параболе. Он считает, что на самом деле траек-тория должна быть такова, чтобы заканчиваться в центре Зем-ли. Из-за этого уже после открытия параболичности траекториион делал странные заявления о том, что движение брошенноготела должно происходить по дуге окружности или винтовой ли-нии. Это вызвало возражение Ферма, переданное через Каркави(1637 г.). В ответ Галилей объявляет свое высказывание «поэти-ческой фикцией», обещает опубликовать утверждение о парабо-личности траектории, но в заключение пишет: «Никакого отступ-ления от параболического движения не произойдет, пока мы про-изводим опыты на Земле, на высотах и расстояниях, нам доступ-ных; но эти отступления будут заметны, велики и огромны при


подходе и значительном приближении к центру». Приближенныйхарактер параболической траектории был прояснен Ньютоном, ноожидания Галилея не оправдались1.

Главный вопрос о движении, который интересовал Галилеявсе эти годы, был связан со стандартным возражением противни-ков движения Земли: почему предметы не улетают с движущейсяЗемли? У Галилея нет сомнений, что за это ответственна силатяжести, но как дать мотивированное объяснение? Пусть телодвижется по сфере радиуса R со скоростью v. Так начинает Га-лилей свои рассуждения. Зафиксируем начало отсчета. Если быне сила тяжести, тело продолжало бы прямолинейное движениепо касательной со скоростью v. Чтобы обеспечить движение посфере (удержать тело), надо добавить к этому движению дви-жение по направлению к центру. Привычное для Галилея рас-смотрение со сложением движений! Что оставалось сделать? За-метить, что (по теореме Пифагора) для второго движения путьs(t) =

√R2 + v2t2 − R, а если время t мало, то это почти то же

самое, что s(t) = v2t2

2R

(s− s

t2→ 0 при t → 0

). Теперь уже нельзя

не узнать формулы Галилея для пути при равномерно ускорен-ном движении с ускорением a = v2/2R. Ясно, что если g > , тотело будет удерживаться на поверхности сферы. Однако второйполовины рассуждения Галилей не провел, перейдя вместо этого кочень путаным мотивировкам. А формулу для центростремитель-ного ускорения на пути, намеченном Галилеем, получил Гюйгенсв 1659 г.

«Беседы». В 1633 г. находясь в ссылке в Сиене, уже черезнесколько недель после приговора инквизиции и отречения, Га-лилей вспомнил о своих давних результатах по механике и решилнемедленно записать их. Он продолжает работу в Арчетри и Фло-ренции, несмотря на вынужденное одиночество, ухудшающееся

1Поскольку Галилей надолго задержал публикацию, первое упоминание опараболической траектории появилось в 1632 г. в «Зажигательном зеркале»Кавальери, который очень ясно усвоил от Галилея идею сложения прямоли-нейных движений, принцип инерции. Галилея обидело отсутствие необходи-мых ссылок, он говорит об открытии параболичности траектории как главнойцели сорокалетних трудов. Извинения Кавальери быстро удовлетворили Га-лилея.


здоровье, прогрессирующую слепоту. «Я хотя и молчу, но прово-жу жизнь не совсем праздно» — писал Галилей. Книга «Беседы иматематические доказательства, касающиеся двух новых отрас-лей науки, относящихся к механике и местному движению» былазакончена в 1636 г., с большими предосторожностями переправле-на за границу (не ясно было, как отнесется к книге инквизиция)и вышла в Голландии в июле 1638 г. Как и предыдущая книга,явившаяся причиной преследования, «Беседы» написаны в фор-ме диалогов, которые в течение шести дней ведут те же самыегерои: Сальвиати (проводящий точку зрения автора), Сагредои Симпличио (сторонник Аристотеля; его имя переводится как«простак») . В третий и четвертый дни они читают трактат ака-демика (Галилея) «О местном движении» и подробно обсуждаютего. Кстати, в названии книги «механика» и «движение» разде-лены, поскольку в те годы к механике было принято относитьлишь статику и сопротивление материалов. Выбранная авторомформа дискуссий позволяет многое узнать о том, как Галилейшел к своим открытиям.

Престарелый Галилей стремился реализовать свои давнооставленные замыслы. Но многое уже было ему не по силам,он нуждался в помощниках. Он поручает сыну Винченцо постро-ить часы на основе открытого в юности свойства маятника, ноему не удалось увидеть свою идею осуществленной. Инквизицияограничивает контакты Галилея с внешним миром. Уже послеокончания «Бесед» на вилле Арчетри, которую Галилей называлсвоей тюрьмой, стали появляться желанные гости. Это старыйдруг и верный ученик Бенедетто Кастелли, Кавальери; а Виви-ани и Торричелли с некоторых пор не покидают учителя. Онипомогали в завершении его дел, продолжали его исследования.

Так, Торричелли вычислил вектор скорости брошенного подуглом тела при помощи правила сложения скоростей, а посколькускорость направлена по касательной, он получил изящный способпроводить касательную к параболе. Наступала эра дифферен-циального и интегрального исчисления и задачи о проведениикасательных к кривым выходили в математике на переднийплан. Разрабатывались различные способы их проведения. Од-ним из них стал кинематический способ, при котором криваяпредставлялась как траектория сложного движения, а каса-


тельная находилась при помощи сложения скоростей, как этовпервые сделал Торричелли для параболы. Французский мате-матик Жиль Пирсон, более известный под именем Роберваль(1602 – 1675), творил при помощи этого приема чудеса. «Ме-ханические» кривые, полученные как траектории различныхдвижений, прочно вошли в обиход математического анализа.Стоит вспомнить, что сам Галилей сознательно ограничивалсебя рассмотрением движений, реально в природе встречаю-щихся: «Хотя, конечно, совершенно допустимо представлятьсебе любой вид движения и изучать связанные с ним явления(так, например, можно определить основные свойства винто-вых линий или конхоид, представив их себе возникающими врезультате некоторых движений, которые в действительностив природе не встречаются, но могут соответствовать предпо-ложенным условиям), мы тем не менее решили рассматриватьтолько те явления, которые действительно имеют место в приро-де. . . ». Пользу общего взгляда на движение продемонстрировалНьютон.

«Беседы» надолго определили развитие механики. Они былинастольной книгой для Гюйгенса и Ньютона, великих наследни-ков Галилея. Трудно себе представить, насколько бы задержалосьразвитие механики, если бы не произошли печальные события иГалилей так и не записал бы своих великих открытий.

Математическое добавление. У истории открытия закона свобод-ного падения есть еще одна сторона: это — история не только осовершившемся открытии, но и об открытии. . . упущенном. По-сле того как Галилей понял, что по закону v(t) = cs(t) движениепроисходить не может, он потерял интерес к этому закону. Егоинтересуют только естественные движения! Вскоре шотландскийлорд Непер заинтересовался движением, происходящим по анало-гичному закону.

Непер рассмотрел прямолинейное движение, происходящее позакону v(t) = l(t), где v(t) — мгновенная скорость в момент вре-мени t, а l(t) — это уже не пройденный путь, а расстояние движу-щейся точки в момент t от фиксированной точки O на прямой.Случай, рассмотренный Галилеем, отвечает ситуации, когда дви-жущаяся точка находится в начальный момент t = 0 в точке O,


т. е. l(0) = 0, l(t) = s(t). У Непера l(0) > 0, l(t) = l(0) + s(t).Оказывается, что при l(0) > 0 движение с такими свойствами

в принципе происходить может и обладает замечательными мате-матическими свойствами (хотя «в природе и не происходит»!). Ис-следуем его. Прежде всего, если начальное расстояние l(0) умно-жить на c, то на умножается расстояние l(t) и скорости v(t) во всемоменты времени. Строго говоря, это нуждается в обосновании!Но ясно, что при умножении l и v на константу закон v(t) = l(t)сохранится. Далее, ограничимся случаем l(0) = 1. Тогда

l(t1 + t2) = l(t1)l(t2).

Наметим доказательство этого соотношения. Удобно объявить мо-мент t1 новым началом отсчета времени. Тогда в силу сказанноговыше в новый момент t2 (старый t1 + t2) расстояние до O должнобыть в l(t1) раз больше, чем в старый момент t2. Это и означает,что l(t1 + t2) = l(t1)l(t2). Так впервые появилась в науке показа-тельная функция!

Имеем: l(t) = et, где e = l(1), т. е. это расстояние от O в моментt = 1. Пользуясь тем, что e— расстояние от O в момент времениt = 1, и тем, что v = l, нетрудно показать, что e > 2 (докажите!).На самом деле e = 2,71828 . . . ; e стали называть числом Непера.Рассматривая движения, происходящие по закону v(t) = kl(t),можно получить показательные функции с другими основаниями.

Для всякого положительного a время t, для которого l(t) = a,назовем логарифмом (натуральным) a (обозначается ln a)1. В си-лу сказанного выше ln ab = ln a + ln b. Двадцать лет составлялНепер таблицы логарифмов, и в 1614 г. вышло «Описание уди-вительной таблицы логарифмов», предуведомление к которой со-держало извинения за неминуемые ошибки и кончалось словами:«Ничто сначала не бывает совершенным».

Открытие Непера замечательно не только тем, что он создалтаблицы логарифмов, но и тем, что он показал, что новые функ-ции могут появляться при изучении движений. Начиная с этихработ Галилея и Непера, механика стала для математики посто-янным источником новых функций и кривых.

1Рассмотрения Непера были не совсем такими и неперовы логарифмы от-личаются от натуральных.


2. Медичейские звезды

В ноябре 1979 г. Ватикан решил реабилитировать Галилео Гали-лея, осужденного судом инквизиции в 1633 г. Тогда Галилей былпризнан «сильно заподозренным в ереси», за то, что «держалсяи защищал в качестве правдоподобного мнение. . . , будто Солнцеесть центр мира и не движется, а Земля не есть центр мира и дви-жется». На проходившем в ноябре 1979 г. заседании ВатиканскойАкадемии наук, посвященной столетию Эйнштейна, папа ИоаннПавел II отметил, что Галилей «много страдал — мы не можемтеперь скрывать этого — от притеснений со стороны церкви», но,квалифицировав покаяние Галилея «как божественное озарение вуме ученого», он утверждал, что трагедия Галилея подтверждает«гармонию веры и знания, религии и науки». В октябре 1980 г.появились сообщения, что папа распорядился провести дополни-тельное расследование обстоятельств процесса над Галилеем. Раз-говоры об оправдании Галилея шли еще на II Ватиканском соборе(1962 — 1965). Оправдание хотели приурочить к 400-летию учено-го в 1964 г., но, видимо, не успели, поскольку вопрос оказалсянебесспорным. При этом труды Галилея (наряду с трудами Ко-перника и Кеплера) были удалены из «Индекса запретов» уже в1835 г. Суд над Галилеем, его отречение не переставали волноватьлюдей, часто далеких от науки, три с половиной века. Характерновнимание, которое уделила этой проблеме художественная лите-ратура (достаточно вспомнить пьесу Бертольда Брехта «ЖизньГалилея»). Проблема Галилея жива и сегодня, несмотря на недав-нюю «реабилитацию» ученого.

На рубеже XVI и XVII веков с вопросом о системе мира де-ло обстояло не просто. В IV веке до н. э. Аристотель утверждал,что семь видимых светил равномерно вращаются вокруг Земли,причем вращаются на самом деле хрустальные сферы, к кото-рым они прикреплены, восьмую сферу занимают неподвижныезвезды. Астрологи классифицировали планеты так: два свети-ла — Луна и Солнце, две вредоносные планеты — Марс и Сатурн,две благоприятные — Юпитер и Венера и одна нейтральная —Меркурий.

Не в правилах Аристотеля, а особенно его последователей, бы-ло объяснять отклонения от его схемы — скажем, удивительное

Медичейские звезды 65

«попятное» движение планет, когда в какой-то момент направле-ние видимого движения планеты изменяется на противоположное.Постепенно накапливались противоречия с точно зафиксирован-ными данными наблюдений. Во II веке н. э. Птолемей построил си-стему, максимально учитывающую данные наблюдений. При этомон считал, что планеты движутся по вспомогательным окружно-стям (эпициклам), центры которых (деференты), в свою очередь,вращаются вокруг Земли. Желание учесть новые данные приво-дило ко все большему усложнению системы. Нужно отдать долж-ное упорству и остроумию ученых, которым удавалось системуспасать.

Совершенно неожиданный путь предложил Николай Копер-ник (1473–1543). Его тщательно разработанная, согласованная снаблюдениями схема содержит все основные моменты сегодняш-него взгляда на Солнечную систему: вокруг Солнца вращаютсяпланеты, включая Землю; Земля, кроме того, совершает суточноедвижение; Луна вращается вокруг Земли. При таком подходе всеневероятно упростилось, хотя остались невыясненные моментыпри согласовании с данными наблюдений. По мнению Коперника,движения планет близки к равномерным движениям по окруж-ности (как у Аристотеля), а несомненно имевшиеся отклонения,по-видимому, опять требовали эпициклов, хотя их роль уже былане столь существенна, как у Птолемея. Эпициклы исчезли лишь уКеплера, открывшего эллиптичность орбит. Система Коперникане была чисто описательной теорией, основанной на качественныхявлениях. Она содержала многочисленные вычисления: расстоя-ния до Солнца, периоды обращений и т. д. Только такая теориямогла конкурировать с теорией Птолемея, полно учитывавшейданные наблюдений.

На возможность движения Земли указывали еще пифагорей-цы. Поэтому церковь называла учение о движении Земли пифаго-рейским. Имя Коперника в этом плане предпочитали не употреб-лять по следующей причине. Книге Коперника «Об обращениинебесных сфер» (вышедшей в год его смерти) было предпосланопредисловие (возможно, написанное не самим Коперником), в ко-тором его система объявлялась удобной математической схемойдля астрономических вычислений и не больше. Рассматриваемыев ней движения объявлялись воображаемыми. А значит, об «ис-


тинных» движениях речь в книге не идет. Это не функции ма-тематиков! Этот вопрос должны решать философы и богословыв соответствии со священным писанием. Книга была посвященапапе Павлу III. Такой компромисс устраивал церковь, и книгане была объявлена еретической. Математикам можно было поз-волить пользоваться в их вычислениях воображаемыми схемами.Исключением не были и астрономы-иезуиты, которые пользова-лись таблицами Коперника, в частности, в расчетах, нужных дляреформы календаря.

Незыблемым должно было оставаться утверждение, что Земляпокоится, а Солнце движется. Даже в том, что касается остальныхпланет, церковь не была столь бескомпромиссной (о них не сказа-но в писании). Была проявлена терпимость к системе Тихо Браге,у которого Солнце движется вокруг Земли, а остальные плане-ты вокруг Солнца. Тот же Тихо Браге по существу расстался схрустальными сферами, утверждая, что кометы не принадлежат«подлунному миру», а прилетают извне (Галилей, кстати, придер-живался иной точки зрения).

Итак, система Коперника — удобная математическая фикция,а учение пифагорейцев — ересь. Так проходила граница. На этоткомпромисс и не готов был согласиться Галилей: «Коперника, намой взгляд, нельзя смягчить, ибо движение Земли и недвижи-мость Солнца — существеннейший пункт и общий фундамент егоучения. Поэтому его надо либо целиком осудить, либо оставитьтаким, как он есть!» Галилей настаивал, что движение Земли невоображаемое, а истинное. К решительной борьбе за гелиоцен-трическую систему мира Галилей шел непростой дорогой. Раноповерив в систему Коперника, он долго не решался опублико-вать свои аргументы в ее пользу (об этом свидетельствует письмоКеплеру 1597 г.). XVII век начался сожжением Джордано Бруно,поэта и философа, грезившего об иных мирах, подобных Солнеч-ной системе. К 1610 г. Галилей подошел к пику своей научнойдеятельности: блестяще завершились его двадцатилетние иссле-дования естественных движений (свободного падения и движенияброшенного тела). Он начинает труд о своих великих открыти-ях и неожиданно оставляет его на неопределенный срок. Что жеслучилось? В научной жизни Галилея произошли события, ко-торые заставили вполне практичного Галилея отодвинуть на вто-


рой план публикацию открытий, которым была отдана молодость.Галилей решает, что у него появились решающие аргументы впользу системы Коперника, и отныне вся его жизнь нацелена напропаганду этих идей. Вспомним об этих важных аргументах.

«Новые очки». Рассказывая о жизни великих ученых, нередкоприходится обращать внимание на дела житейские. Более высо-кое жалование было одной из причин переезда Галилея из Пизы вПадую. Здесь его материальное положение стало более прочным.Первоначальное жалование в 180 флоринов, хотя и медленно, уве-личивалось; дополнительный доход давали молодые аристократы,с которыми Галилей занимался отдельно и которые часто жи-ли в его доме. Однако тяжелым грузом легла на плечи Галилеявыплата приданого сестрам, да и его собственная семья рослаи требовала все больше средств. В 1609 г. Галилей был озабо-чен очередными переговорами об увеличении жалования. Скупуюи практичную синьорию Венецианской республики могло раско-шелить какое-нибудь изобретение, имеющее несомненное практи-ческое применение. Галилей был не чужд техническим задачам.В его доме была прекрасная мастерская, а недавно он сконстру-ировал удобный пропорциональный циркуль («геометрический ивоенный»), сам следил за его изготовлением и распространением.Можно было бы подумать о таблицах для стрельбы, основанныхна параболичности траектории полета снаряда. Но неожиданновозникла совсем другая идея.

В 1608 г. в Голландии появились зрительные трубы, позволя-ющие разглядывать отдаленные предметы; их называли иногда«новыми очками». Еще Леонардо да Винчи говорил об очках,позволяющих видеть Луну большой, а Роджер Бэкон об очках, де-лающих человека размером с гору. Честь изобретения оспаривалимастера-оптики Липперсгей и Андриансен. К началу 1609 г. та-кую трубу можно было купить в Голландии за несколько сольдо.К середине года трубы появились в Париже. Генрих IV проявилпессимизм к новинке, объяснив, что в данный момент ему большенужны очки, увеличивающие близкие предметы, а не далекие. То-гда же какой-то чужестранец пытался продать зрительную трубуВенецианской республике, не вдаваясь в подробности по поводуее происхождения. Паоло Сарпи, друг Галилея, дал отрицатель-


ный отзыв о возможностях использования зрительной трубы «навойне, на суше и на море». Первые трубы были еще очень несовер-шенны. Галилей услышал о трубах, когда находился в Венеции.

«. . . Узнав об этом, я вернулся в Падую, где тогда проживал,и начал размышлять над задачей В первую же ночь после моеговозвращения я ее решил, а на следующий день изготовил инстру-мент, о котором и сообщил в Венецию тем же самым друзьям, скоторыми предшествующий день я рассуждал об этом предмете.Тотчас же я принялся за изготовление другого, более совершен-ного инструмента, который шесть дней спустя привез в Венецию».В другом месте ситуация описывалась еще более торжественнымобразом: «. . . не жалея ни труда и ни средств, я достиг того, чтоизготовил инструмент, настолько совершенный, что при взглядечерез него предметы казались почти в тысячу раз крупнее и болеечем в тридцать раз ближе, чем видимые естественным образом.Совсем излишне было бы перечисление того, насколько удобнытакие инструменты как на суше, таки на море».

На самом деле характеристики труб были более скромными.Первая труба Галилея давала трехкратное увеличение, а труба,привезенная в Венецию,—восьмикратное. Галилей решил при по-мощи своей совершенной трубы расположить к своей просьбе чле-нов синьории (быть может, это была идея Сарпи). 21 августа са-мые уважаемые люди Венеции рассматривали с колокольни собо-ра Св. Марка отдаленные кварталы города, а 24 августа Галилейторжественно передал свою трубу дожу Венеции Леонардо Дона-то. Галилей не скупился на рекламу своего подарка. Он говорит,что извлек его идею «из наиболее сокровенных соображений оперспективе».

Потом много говорили, что Галилей переоценил свой вкладили даже присвоил себе чужое изобретение (об этом идет речьв пьесе Брехта). По крайней мере в публикациях Галилей всегдапризнавал, что построил свою трубу, услышав об изобретении гол-ландцев (но не имея подробной информации и не видя «фламанд-ской перспективы»). Позднее он подчеркивал оригинальность сво-его пути: «Теперь мы достоверно знаем, что голландец — изобре-татель телескопа — был простым мастером, изготовлявшим обык-новенные очки. Случайно перебирая стекла разных сортов, онвзглянул сразу через два стекла, одно выпуклое, другое вогнутое,


находившиеся на разных расстояниях от глаза, и при этом увидели наблюдал возникший эффект и таким образом открыл инстру-мент. Я же, движимый вышеупомянутым известием, нашел ин-струмент путем рассуждения». Название «телескоп» предложилЧези (см. ниже) в 1611 г. во время демонстрации трубы Галилеяв Риме; раньше Галилей пользовался термином «перспектива».Можно считать, что Галилей продемонстрировал превосходствотеории над практикой: многие годы никто не мог создать трубы,сравнимые по возможностям с трубами Галилея (из-за этого, вчастности, не получали подтверждения астрономические наблю-дения Галилея).

Труба Галилея выполнила свое назначение: ему было назначе-но пожизненно годовое жалование в тысячу флоринов, невидан-ное для математика. Галилей должен был изготовить 12 труб длясиньории, а никому больше труб не предоставлять.

«Звездный вестник». Вскоре Галилей имел трубу с 20-кратнымувеличением, а потом он, «оставив дела земные 〈. . .〉, обратилсяк небесным». В конце 1609 г. Галилей рассматривает через тру-бу Луну и обнаруживает, «что поверхность Луны не гладкая ине ровная и не в совершенстве сферическая, как полагал в отно-шении ее целый легион философов, а, напротив того, неровная,шероховатая, испещренная углублениями и возвышенностями, на-подобие поверхности Земли». Кроме того, Галилей обращает вни-мание на пепельный свет на части Луны, не освещенной Солнцем.Он считает этот свет «отблеском Земли». Позднее оказалось, чтов то же время начали наблюдения небесных тел при помощи теле-скопа англичанин Харриот и его ученик Лоуэр (их наблюдения небыли известны современникам). Лоуэр писал в письме учителю,что Луна напомнила ему пирог с вареньем, испеченный его ку-харкой на прошлой неделе. О пепельном свете на Луне говорилиуже Леонардо да Винчи и Местлин, учитель Кеплера.

Затем перед глазами Галилея Млечный Путь распался на от-дельные звезды: «. . . все споры, в течение веков мучившие филосо-фов, умолкли сами собой благодаря наглядности и очевидности. . .Млечный Путь представляет собой ничто иное, как скопление бес-численного множества звезд, как бы расположенных в кучах. . . »

Наконец, 7 января 1610 г. Галилей направил телескоп в сторо-


ну Юпитера. Вблизи Юпитера он обнаружил три звезды. Он несомневался, что видит обычные «неподвижные» звезды, но что-топривлекло его пристальное внимание. На следующую ночь Гали-лей, «водимый неизвестно какой судьбой», вновь рассматриваетЮпитер. Он имел все основания не сожалеть! Он вновь увиделзнакомые звезды, но. . . их положение относительно Юпитера из-менилось: вчера они располагались по разные стороны Юпитера,а сегодня — все были по одну сторону. Пока еще можно продол-жать считать звезды неподвижными, а изменение взаимного по-ложения объяснить движением Юпитера. 9 января «небо со всехсторон было обложено тучами». 10 и 11 января Галилей нашелтолько две из трех звезд, а 13 января, напротив, появилась чет-вертая.

Зреет новое решение: виденные им звезды перемещаются отно-сительно Юпитера, это его спутники — луны, — и их исчезновениеобъясняется их затмением. К концу месяца Галилей уверен в этом,«переходя от ощущения загадки к чувству восхищения». Он пи-шет флорентийскому министру Винте: «Но наибольшим из всехчудес представляется то, что я открыл четыре новые планеты инаблюдал свойственные им их собственные движения и различияв их движениях относительно друг друга и относительно движе-ний других звезд. Эти новые планеты движутся вокруг другойбольшой звезды таким же образом, как Венера и Меркурий и, воз-можно, другие известные планеты движутся вокруг Солнца». Нетсомнений, в каком контексте Галилей рассматривал свое откры-тие, но какую осторожную формулировку употребляет он пока вотношении «других известных планет».

До 2 марта Галилей наблюдает за спутниками Юпитера, поль-зуясь каждой безоблачной ночью, а уже 12 марта выходит его зна-менитый «Звездный вестник, возвещающий великие и очень уди-вительные зрелища и предлагающий на рассмотрение каждому,в особенности же философам и астрономам, Галилео Галилеем,Флорентийским патрицием, Государственным математиком Па-дуанской гимназии, наблюденные через подзорную трубу, недавноим изобретенную, на поверхности Луны, бесчисленных неподвиж-ных звездах, Млечном Пути, туманных звездах и, прежде всего,на четырех планетах, вращающихся вокруг звезды Юпитера нанеодинаковых расстояниях с неравными периодами и с удивитель-


ной быстротой. . . »Далее на все сказанное выше наложились дела житейские.

Оказалось, что жалование прибавят только через год, а крометого, Галилея стали очень тяготить преподавательские обязанно-сти. Он начинает думать о переезде во Флоренцию. Только чтоумер герцог Фердинандо Медичи и на престол вступил Козимо II,бывший учеником Галилея. Покровительство герцога может бытьнезаменимым при решении многих проблем, особенно в трудномделе защиты системы Коперника. Уже нет сомнений, что это бу-дет главным делом Галилея. Он пишет в письме Винте в связи свозможным переездом: «Труды, которые мне предстоит довестидо конца, суть прежде всего два тома «Система мира», огромныйзамысел, исполненный философии, астрономии и геометрии».

А пока Галилей предлагает через Винту назвать спутникиЮпитера в честь Козимо Медичи Космейскими или Медичейски-ми звездами. Был выбран второй вариант. Количество спутниковудачно совпадало с тем, что у Козимо было три брата. «Звездныйвестник» посвящается Козимо Медичи: «Называя новые звезды,открытые мной, величавым именем рода Медичи, я сознаю, чтоесли прежде возвышение в звездный мир служило для прославле-ния богов и властелинов, то в данном случае, наоборот, величавоеимя Медичи обеспечит бессмертное воспоминание об этих звез-дах». Потом все четыре спутника получили собственные имена(Ио, Европа, Ганимед, Каллисто), а чтобы отличить от открытыхпозднее спутников Юпитера, их будут называть галилеевыми.

На пасхальные каникулы Галилей отправился во Флоренцию.Он везет с собой трубу, чтобы герцог мог сам увидеть «свои» звез-ды. Галилей окружен почетом, в его честь должна быть выбитамедаль с изображением Медичейских звезд, вчерне договарива-ются об условиях переезда, лишь уточняется название должностиГалилея. Государю приятно увековечить свое имя на небе, никтоиз царственных особ не может похвастаться этим. 14 мая Галилейполучает из Франции письмо от 20 апреля, в котором его просят«открыть возможно скорей какое-либо небесное тело, которомумогло бы быть дано имя его величества». Речь идет о Генрихе IV.Уточняется, что звезду следует назвать «именем Генриха без до-бавления Бурбон».

Оказалось, что автор письма не зря торопил Галилея: пока


шло письмо, «сопутствуемый счастьем государь» был убит. Позд-нее Галилей писал во Флоренцию, что дом Медичи оказался висключительном положении: ни у Марса, ни у Сатурна спутниковне оказалось (через 50 лет Гюйгенс и Кассини открыли спутникиСатурна, потом обнаружились спутники и у Марса).

Сомнения не покидали герцога. Упорно распространялись слу-хи, что подаренные ему звезды — плод фантазии Галилея или по-рождение его трубы. Об этом говорил даже Христофор Клавий,первый математик Римской коллегии. Положение осложнялосьтем, что никто из астрономов, кроме самого Галилея, Медичей-ских звезд не видел. Галилей расплачивался за то, что ни у когоне было столь совершенных труб, как у него. Столь важное от-крытие должны подтвердить три самых знаменитых астронома:Кеплер, Маджини, Клавий. А пока вопрос о переезде во Флорен-цию откладывался.

Кеплер, Маджини, Клавий. Казалось, что проще всего обстоит де-ло с Маджини. Галилей по дороге из Флоренции в Падую оста-новится в Болонье и покажет ему открытые звезды. Маджини,славившийся в равной мере своими вычислительными способно-стями и хитростью, подчеркнуто предупредителен, но он делаетвид, что не может ничего увидеть около Юпитера. Он не спорит,готов объяснить все своим ослабевшим зрением, но это не можетутешить Галилея.

Кеплер сразу откликнулся на сообщение об открытии Гали-лея. Уже 19 апреля он пишет Галилею восторженное письмо.Оказывается, что известие о новых планетах пришло в Гер-манию еще в середине марта. Кеплер в мягкой форме журитГалилея за отсутствие ответа на его «Новую астрономию», со-держащую два первых его закона и недавно посланную Галилею:«. . . ты, мой Галилей, вместо чтения чужой книги занялся соб-ственной невероятнейшего содержания о четырех до сих порнеизвестных планетах 〈. . .〉, найденных при помощи двойной зри-тельной трубы».

Первоначальная информация была расплывчата, Кеплер ис-пугался, что Галилей открыл новые (сверх шести) планеты в Сол-нечной системе, а он твердо держался мнения, что планет ровношесть, причем число шесть не случайно, а связано с тем, что име-


ется пять правильных многогранников. Фантазия Кеплера рож-дает еще одну возможность: все планеты подобно Земле имеютпо одной Луне, их и должен был открыть Галилей: «. . . если Зем-ля, по Копернику, одна из планет, имеет свою движущуюся во-круг нее Луну и выходящую из общего счета, то, конечно, моглослучиться, что Галилей действительно мог увидеть еще четырелуны, вращающиеся в очень тесных пределах вокруг малых телСатурна, Юпитера, Марса и Венеры; Меркурий же — самый по-следний из окружения Солнца, настолько погружен в его лучи,что в нем Галилей до сих пор не мог заметить чего-нибудь по-добного». Кеплер повсюду ищет числовые закономерности! Затемон думает о том, что речь может идти о планетах, вращающихсяоколо «неподвижных звезд», а не Солнца, вспоминает бесчислен-ные миры Джордано Бруно и уже думает «о возможности послеэтого начала сделать открытия там еще бесчисленного множествановых планет».

Тем временем император Рудольф II (Кеплер был император-ским астрономом) получает «Звездный вестник». Кеплер безого-ворочно доверяет сообщению Галилея: «Может быть, я покажусьслишком смелым, если так легко поверю твоим утверждениям, неподкрепившись никаким собственным опытом. Но почему же мнене верить ученейшему математику, о правоте которого свидетель-ствует самый стиль его суждений, который далек от суетности идля стяжания общего признания не будет говорить, что видел то,чего на самом деле не видел, не колеблясь из любви к истинепротиворечить распространеннейшим мнениям».

А самого Кеплера, разумеется, волнуют закономерности в рас-пределении числа спутников у планет: «Лучше я пожелаю, чтобыу меня была готова зрительная труба, с которой я обогнал бы тебяв открытии двух (так мне кажется, требует пропорция) спутниковМарса и шести или восьми Сатурновых, к которым, может быть,прибавится один-другой вокруг Венеры и Меркурия». Кеплер незнал, остановиться ему на арифметической или геометрическойпрогрессии!

Кеплер указывает Галилею на ряд предшественников (Мест-лин говорил о пепельном свете Луны, Порто предсказывал воз-можность создания зрительной трубы). Кеплер надеется, чтоСолнце ярче неподвижных звезд, и ему хочется верить в исклю-


чительность нашего мира: «наш мир не принадлежит к простомустаду других бесконечных». Нет предела фантазиям Кеплера:«не будет непохожим на истину предположение, что не только наЛуне, но и на Юпитере имеются жители. . . Дай корабли или при-способь паруса к небесному воздуху, и найдутся люди, которыене побоятся и такой обширности. . . ».

Маджини пытается привлечь Кеплера на свою сторону. Кеплернеумолим: «Мы оба коперникианцы — свой своему радуется».Критические замечания из «Разговора Иоганна Кеплера со звезд-ным вестником» (ответа Галилею) обнадежили Маджини: «Те-перь остается только этих четырех новых прислужников Юпитераизгнать и уничтожить». Серию памфлетов против Галилея от-крыл в мае 1610 г. Мартин Горкий, астроном из окруженияМаджини. В его «Кратчайшем странствии против ”Звездноговестника“ » спутники Юпитера объявлялись оптическим обма-ном. Кеплер не постоянен в своем отношении к Горкому. В письмек Галилею это сочинение называется наглым, он «удивляетсядерзости этого юнца». Самому Горкому, выражая удивление егопродолжающимся сомнениям в «звездах Галилея», Кеплер пишет:«. . . не удивляюсь и не обвиняю тебя; мнения философствующихдолжны быть свободными».

Кеплера начало волновать отсутствие подтверждений. Он самвсе еще не имел подходящей трубы. Из Болоньи пришло заключе-ние университета, что в собственную трубу Галилея звезды не вид-ны (инсценировка Маджини). В августе обеспокоенный Кеплерпишет Галилею: «Я не могу скрыть от тебя, что в Прагу прихо-дят письма многих итальянцев, что при помощи твоей зрительнойтрубы нельзя видеть эти планеты. . . Поэтому я прошу тебя, Гали-лей, чтобы ты возможно скорее привел некоторых свидетелей. . .На тебе одном лежит все доказательство истинности наблюде-ния». К счастью, император Рудольф II, известный не толькосвоими причудами, но и любовью к наукам, воспылал страстьюк зрительным трубам. Наконец в Праге появилась достаточно со-вершенная труба, и в сентябре Кеплер наблюдал спутники Юпи-тера. Участники наблюдения независимо зарисовали положениязвезд и рисунки совпали. «Ты победил, Галилеанин!» — восклик-нул Кеплер.

В сентябре спутники Юпитера видел Сантини в Венеции, а


в декабре пришло особенно радостное известие: спутники наблю-дал Клавий. Правда, он еще не был «уверен, планеты это илинет». В сентябре Галилей переехал во Флоренцию. Он вступает впереписку с Клавием (находясь в Венецианской республике, пе-реписываться с иезуитами было нельзя). «Воистину Вы, Вашамилость, заслуживаете великой похвалы, поскольку Вы первый,кто это наблюдал»—пишет Галилею Клавий. Нашел Галилей путьи к сердцу Маджини. Он рекомендовал его работы по зажигатель-ным стеклам герцогу, способствовал получению освободившейсякафедры в Падуе (Маджини претендовал на это место, еще когдаГалилей переезжал в Падую из Пизы). Осторожный Маджиниположительно отзывается о свидетельстве Сантини. На большеерассчитывать не приходилось!

Год великих открытий. 1610 год, начавшийся открытием спутни-ков Юпитера, был необычайно счастливым для Галилея-астроно-ма: почти все свои замечательные астрономические наблюденияон сделал именно в этом году. 25 июля Галилей снова наблюдал«Юпитера утром на Востоке вместе с его свитой». После этогоон обнаружил «еще другое необычайнейшее чудо». Он сообщаето своем открытии во Флоренцию, прося держать его в тайне допубликации: «Звезда Сатурна не является одной только, но состо-ит из трех, которые как бы касаются друг друга, но между собойне движутся и не меняются 〈. . .〉, причем средняя из них примернов три раза больше, чем две боковые». Кеплеру Галилей посылаетзашифрованную в виде анаграммы фразу: «Высочайшую плане-ту тройною наблюдал». Позднее Галилей писал: «Я нашел целыйдвор у Юпитера и двух прислужников у старика (Сатурна), ониего поддерживают и никогда не отскакивают от его боков».

Пять месяцев не раскрывал Галилей своей тайны. Кеплеру иРудольфу II не терпелось узнать разгадку, строились самые неве-роятные предположения: «Удовлетвори как можно быстрее нашестрастное желание узнать, в чем состоит твое новое открытие. Несуществует человека, которого ты мог бы опасаться как соперни-ка». Галилей раскрыл тайну, добавив, что в более слабую трубуСатурн напоминает маслину. Так получилось, что открытие Га-лилея (с необходимыми ссылками) впервые упоминается в печатив предисловии к «Диоптрике» Кеплера. Через два года Сатурн


неожиданно перестал быть трояким. Галилей связал это с движе-нием Сатурна вокруг Солнца и предсказал, что скоро его сноваможно будет наблюдать в виде трех звезд. Предсказание сбы-лось, но тайны Сатурна Галилей не разгадал. Тайна раскрылась,когда в 1655 г. Гюйгенс, рассматривая Сатурн в телескоп с 92-кратным увеличением, обнаружил, что Сатурн окружен кольцом,которое при меньшем увеличении казалось боковыми звездами.Кольцо становится незаметным, когда наблюдатель оказываетсяв его плоскости. Это редкое явление и посчастливилось наблю-дать Галилею. Такова была эволюция зрительных впечатленийот Сатурна по мере усиления телескопов: от маслины до шара,окруженного кольцом.

Гюйгенс открыл также самый большой спутник Сатурна —Титан. Вскоре после того, как было послано письмо Кеплеру сразгадкой анаграммы, появились новости и о других планетах.Галилей давно пристально наблюдал за Венерой и когда она былаутренней звездой, и когда стала вечерней. С Венерой и Меркуриембыло много хлопот и у сторонников Птолемея, и у сторонниковКоперника. Первые не могли договориться, где помещаются их«сферы»—внутри «сферы» Солнца или вне. Для сторонников Ко-перника было ясно, что если эти планеты являются темными те-лами, то поскольку они располагаются между Солнцем и Землей,временами должны наблюдаться неполные диски планет (долж-ны наблюдаться явления, подобные фазам Луны). Этой проблемыне возникает, если предполагать, что планеты светят собственнымсветом (по-видимому, так думал Кеплер) или что они прозрачны(эта возможность серьезно обсуждалась). Быть может, телескоппоможет увидеть то, что не удавалось увидеть простым глазом?

Об этой проблеме напоминает Кастелли в письме Галилею от5 декабря 1610 г.: «Поскольку (как я верю) правильно положе-ние Коперника, что Венера вращается вокруг Солнца, то яснанеобходимость того, чтобы она наблюдалась нами иногда рога-той, иногда же нет 〈. . .〉, если, однако, небольшая величина ро-гов и испускание лучей не мешает нам постоянно наблюдать этиразличия». Но вряд ли Галилей нуждался в этом напоминании.Уже 10 декабря он отправляет в Прагу Кеплеру через тоскан-ского посла Джулиано Медичи шифрованное сообщение об от-крытии фаз Венеры с сопроводительным письмом: «Я посылаю


Вам шифрованное сообщение о еще одном моем необычном на-блюдении, которое приводит к разрешению важнейших споров вастрономии и которое содержит важнейший аргумент в пользупифагорейской и коперниканской системы». Кеплеру, как всегда,не терпится узнать разгадку: «Ты же видишь, что имеешь дело снемцем из немцев!»

Но первым, кому Галилей раскрыл свою тайну, был Клавий.Галилей только что получил от Клавия известие, что астрономыРимской коллегии наблюдали и спутники Юпитера, и удлинен-ную форму Сатурна. Поддержка Римской коллегии играла осо-бую роль в планах Галилея, и он спешит удивить Клавия своимновым открытием. Галилей описывает свои наблюдения над Ве-нерой после «ее вечернего появления», рассказывает о том, какнеожиданно ее круглая форма стала искажаться со стороны, об-ращенной к Солнцу, пока Венера не стала напоминать полукруг;потом она «стала заметно рогатой». Предсказывается, какую фор-му будет принимать Венера, когда она будет наблюдаться в видеутренней звезды, и вот вывод: «Так вот, синьор мой, выясняется,как Венера (и несомненно, что то же самое сделает и Меркурий)движется вокруг Солнца, являющегося, вне всякого сомнения,центром наибольших обращений всех планет. Кроме того, мы уве-рены, что эти планеты сами по себе являются темными и блестяттолько освещенные Солнцем, чего, как я думаю, не происходитс неподвижными звездами по некоторым моим наблюдениям. . . ».У Клавия не должно было остаться сомнений в том, куда клонитГалилей! Так закончился для Галилея год его великих астрономи-ческих открытий.

Галилей не прекратил в дальнейшем астрономических наблю-дений, но в основном это было продолжение того, что было на-блюдено в 1610 г. Он продолжал наблюдения над солнечнымипятнами, начатые летом 1610 г., и к 1613 г. обнаружил осевоевращение Солнца; мы уже говорили о наблюдении исчезновения«придатков» Сатурна. В конце жизни, перед тем как окончатель-но ослепнуть, Галилею посчастливилось открыть явление либра-ции Луны (в результате которого наблюдению доступно более по-ловины поверхности Луны). Но Галилей уже никогда не будетуделять столько времени совершенствованию телескопа и астро-номическим наблюдениям. И никогда великие тайны мироздания


не будут открываться ему так, как в этот великий год! Достиже-ния Галилея были столь велики, что пройдет не менее полувека,прежде чем в наблюдательной астрономии появятся открытия,сравнимые с открытиями Галилея (Гюйгенс, Кассини). А пока Га-лилея начинают волновать другие проблемы, и для решения этихпроблем ему важно было поехать в Рим.

Покорение Рима. Галилей прибыл в Рим 29 марта 1611 г.; он при-был как лицо, пользующееся особым вниманием тосканского гер-цога (в герцогских носилках, остановился в римском дворце Ме-дичи). Любезно приняли Галилея четыре астронома Римской кол-легии: Клавий, Гринберг, Малькотий, Лембол. Галилей обнару-живает, что отцы-иезуиты систематически наблюдают в трубыМедичейские звезды, пытаются определить их периоды. 21 апре-ля один из руководителей Священной службы кардинал РобертоБеллармино посылает им официальный запрос «о новых небесныхнаблюдениях одного выдающегося математика» (имя не указано)относительно Млечного Пути, Сатурна, Луны, спутников Юпи-тера. 24 апреля был получен ответ, в основном подтверждающийнаблюдения. Указывались небольшие расхождения в наблюдени-ях (звезды, образующие Сатурн, не показались им разделенными)и существенные — в интерпретации виденного на Луне (не горы,а неравномерная плотность «лунного тела»).

14 апреля Галилей (пятым по счету) стал членом АкадемииЛинчеев (рысьеглазых), основанной восемь лет назад ФедерикоЧези, маркизом Монтичелли. Эта Академия ставила своей цельюсвободное, не связанное никакими рамками изучение природы.Позднее Чези писал Галилею: «Те же, кого мы примем, не будутрабами ни Аристотеля, ни какого-либо другого философа, а людь-ми благородного и свободного образа мыслей в исследовании при-роды». Дружба с Чези играла важную роль в дальнейшей жизниГалилея; теперь он ставил на своих работах имя «Галилео Лин-чео». На вершине Яникульского холма состоялась демонстрацияудивительной трубы Галилея (тогда и предложил Чези называтьее телескопом).

Галилея чествует и Римская коллегия. Доклад, получив-ший название «Звездный вестник Римской коллегии», читаетОдо Малькотий. Он называет Галилея «самым знаменитым и


счастливейшим из живущих ныне астрономов», восхищается егооткрытиями, но в мягкой форме сообщает, что предлагаемые Га-лилеем объяснения открытых явлений не являются единственновозможными. Галилею дают понять, в каких рамках он должендержаться. Очень точно это пожелание выражено в словах Гваль-до: «. . . вы должны довольствоваться славой, которую приобрелиблагодаря наблюдениям Луны, четырех планет и подобных вещей,и не браться защищать мысль, столь противную человеческомуразумению. . . ». Следующая мысль Гвальдо предвещала путь,который позднее выберет Галилей: «Существует много вещей,которые можно сказать в виде диспута, но которые не было быхорошо утверждать как истинные, в особенности, если имеешьпротив них всеобщее мнение, впитанное, если можно так ска-зать, с сотворения мира». По-видимому, пределы дозволенногоуказал Галилею и кардинал Беллармино во время аудиенции.Еще более определенное предупреждение сделал Белларминотосканскому послу Никколини: «Галилей должен держаться вуказанных рамках, иначе его работы будут переданы для рас-смотрения богословам-квалификаторам» (а посол должен былпонимать, что ничем хорошим это не кончится).

В остальном поездка Галилея была успешной. Кардинал дельМанто писал герцогу: «Галилей в дни, когда был в Риме, доставилмного удовлетворения и, думаю, получил его сам, ибо имел воз-можность столь хорошо демонстрировать свои открытия, что вседостойные и сведущие люди этого города признали их не толькодостовернейшими и действительнейшими, но и поразительнейши-ми. Если бы мы жили теперь в республике Древнего Рима, то яубежден, что ему бы воздвигли статую на Капитолии, дабы по-чтить его исключительную доблесть».«Философ и первый математик великого герцога». Итак, не про-шло и года как удивительные астрономические открытия Галилеяполучили признание. Не следует думать, что заключение Римскойколлегии прекратило обвинения против Галилея. Люди, отрицав-шие существование новых планет, по-прежнему находились. По-дозрения к зрительным трубам сохранялись. Аргументация бы-вала самой нелепой (быть может, с сегодняшней точки зрения).Вот цепь рассуждений некоего Сицци. Зрительная труба подоб-на очкам, очки не могут в равной мере годиться для молодых и


стариков, а раз и те, и другие видят в трубе Галилея планеты, тоэто обман зрения. А например, Либри из Пизы просто отказывал-ся смотреть в зрительную трубу. «Я надеюсь, что, отправляясьна небо, он, наконец, заметит моих спутников, которых не желалвидеть с Земли»,—говорил Галилей после его смерти. Многие про-тивники Галилея понимали, что особенно эффективны доносы винквизицию с утверждениями о том, что высказывания Галилеяпротиворечат священному писанию.

Но если так обстоит дело с явлениями, доступными непосред-ственному наблюдению, то какие опасности угрожали Галилеюза его высказывания в пользу системы Коперника! В «Звездномвестнике» Галилей обещал написать «Систему мира», в которойон «шестьюстами доказательствами и натурфилософскими рас-суждениями» подтвердит, что «Земля движется и своим светомпревосходит Луну». Разведка в Риме ясно показала, что в настоя-щий момент эти рассуждения не встретят поддержки у «началь-ственных лиц». Галилей не отказывается от своих намерений, ноначинает длительную осаду. Он хорошо понимал, что признаниеКоперника не было внутринаучным вопросом, что ему предстоитв первую очередь убедить сильных мира сего, что это потребу-ет всех его сил, отвлечет от непосредственных научных занятий.Оправданность принятого Галилеем решения ставилась под со-мнение многими учеными. Известно мнение Эйнштейна по это-му поводу: «Что касается Галилея, я представлял себе его иным.Нельзя сомневаться в том, что он страстно добивался истины —больше чем кто-либо иной. Но трудно поверить, что зрелый че-ловек видит смысл в воссоединении найденной истины с мысля-ми поверхностной толпы, запутавшейся в мелочных интересах.Неужели такая задача была для него важной настолько, чтобыотдать ей последние годы жизни. . . Он без особой нужды отправ-ляется в Рим, чтобы драться там с духовенством и политиканами.Такая картина не отвечает моему представлению о внутреннейнезависимости старого Галилея. Не могу себе представить, чтобыя, например, предпринял бы нечто подобное, чтобы отстаиватьтеорию относительности. Я бы подумал: истина куда сильнее ме-ня, и мне показалось бы смешным донкихотством защищать еемечом, оседлав Росинанта. . . » Галилей придерживался иного мне-ния, но он мало напоминает дон Кихота от науки. Он не столько


дрался с «духовенством и политиканами», сколько с величайшимискусством привлекал их на свою сторону.

Приведенное высказывание Эйнштейна интересно сопоставитьс мнением пифагорейцев, впервые допустивших движение Землии неподвижность Солнца: «Постараемся лишь знать что-то длясамих себя, находя единственно в этом удовлетворение, и оста-вим желание и надежду возвыситься в глазах толпы или добитьсяодобрения философов-книжников».

Прежде всего традиция была такова, что математику не пола-галось обсуждать вопрос о строении мира. Наблюдать светила, со-ставлять таблицы, пользоваться таблицами для гороскопов — воткруг обязанностей математика. У Галилея не было вкуса к состав-лению гороскопов (как, например, у Кеплера), но все же иногдаприходилось этим заниматься. Так, в ожидании переезда во Фло-ренцию он по настоянию герцогини составил гороскоп болевшегогерцога Фердинанда (отца нынешнего герцога) . Гороскоп обещалблагоприятное развитие событий, герцог обрадовался, зять Гали-лея получил желанную должность, а через несколько дней герцогумер. . . Для того, чтобы рассуждать о строении мира, надо бытьпо крайней мере философом (ведь и жалование у них заметно вы-ше, чем у математиков), а если окажется замешанным священноеписание, надо быть непременно богословом. Последнее Галилеюнедоступно, а вот философом он может попытаться стать.

При переезде во Флоренцию Галилей долго ведет переговорыо названии его будущей должности; он хочет, чтобы в ее назва-нии фигурировало слово «философ», ибо «философию он изучалбольше лет, чем месяцев чистую математику». В конечном счетедоговорились о названии «философ и первый математик светлей-шего великого герцога тосканского» (первый математик, но непервый философ!).

Свою жизнь во Флоренции он начинает с дискуссий с консер-вативными философами Пизанского университета, последовате-лями Аристотеля, которые считали, что истину, «говоря их соб-ственными словами, надо искать не в мире и не в природе, ав сопоставлении текстов». Галилей доволен первыми успехами:«Как бы ты, любезнейший Кеплер, принялся хохотать, если быты услышал, как в Пизе в присутствии великого герцога первыйфилософ тамошнего университета выступал против меня, силясь


аргументами логики, словно колдовскими заклинаниями, сорватьс неба и уничтожить новые планеты!» Его дискуссии касаютсяне только астрономии. В 1612 г. выходят «Рассуждения о те-лах, пребывающих в воде», посвященные гидростатике и весьманеприятные для сторонников Аристотеля. Еще через год выходят«Письма о солнечных пятнах», острие которых направлено в туже сторону: «Эта новость, боюсь, станет похоронным звоном или,скорее, смертным приговором для псевдофилософии 〈. . .〉, наде-юсь, что гористость Луны станет для перипатетиков шуточнымщекотанием по сравнению с муками в виде облаков, паров и оби-лия дыма, которые постоянно возникают, движутся и исчезаютна самом лике Солнца» (из письма к Чези). Перипатетиками на-зывают сторонников учения Аристотеля. Быть может, Галилейпреждевременно праздновал победу. . .

Все больше втягивается Галилей в дискуссии с людьми, дале-кими от настоящей науки. Иногда его мучают сомнения: «С неска-занным отвращением добрался я до сих пор и, словно раскаяв-шись за содеянное, понял, как бесплодно растратил силы и вре-мя». Борьба обострялась. Против Галилея были направлены про-поведи доминиканца Каччини, предлагавшего радикальные меры:«Математики должны быть изгнаны из всех католических госу-дарств!». Галилей в то же время решается обсуждать богословскиепроблемы. В 1614 г. распространяется в списках письмо к Ка-стелли, в котором можно найти такие слова: «Поскольку речьидет о явлениях природы, которые непосредственно воспринима-ются нашими чувствами или о которых мы умозаключаем припомощи неопровержимых доказательств, нас нисколько не долж-ны повергать в сомнение тексты писания, слова которых имеютвидимость иного смысла, ибо ни одно изречение писания не имееттакой принудительной силы, какую имеет любое явление приро-ды». Вероятно, именно это письмо послужило поводом для доносапатера Лорини в инквизицию. Оказалось, что Галилей был до-статочно аккуратен. Въедливые квалификаторы смогли найти вписьме лишь «три дурно звучащих места», причем двух из нихв подлиннике не было (инквизиция не смогла получить оригиналпослания).

В феврале 1615 г. в Неаполе выходит книга члена ордена кар-мелитов Фоскарини, в которой в форме письма генералу ордена


излагается система Коперника. Беллармино воспользовался этимповодом для изложения в письме к Фоскарини своего отношенияк проблеме: «. . . Ваше священство и господин Галилео мудро по-ступают, довольствуясь тем, что говорят предположительно, а неабсолютно, я всегда полагал, что так говорил и Коперник. По-тому что, если сказать, что предположение о движении Земли инеподвижности Солнца позволяют нам представить явления луч-ше, чем принятие эксцентров и эпициклов, то это будет сказанопрекрасно и не влечет за собой никакой опасности. Для матема-тика это вполне достаточно. Но желать утверждать, что Солнцеи действительно является центром мира и вращается только во-круг себя 〈. . .〉— утверждать это очень опасно не только потому,что значит возбудить всех философов и теологов-схоластов, этозначило бы нанести вред святой вере, представляя положениясвятого писания ложными». Надо отдать должное главе инкви-зиции — он выразил свое мнение предельно ясно.

В декабре 1615 г. Галилей опять в Риме. Вероятно, он хотелповлиять на ход идущего по его поводу следствия, да и не поте-рял он еще надежды изменить мнение церкви по поводу системыКоперника.

«Спасительный декрет». Галилей весь во власти дипломатии. Онпосещает Беллармино, пытается привлечь на свою сторону карди-нала Орсини. В послании к нему излагается самый сокровенныйаргумент в пользу движения Земли — приливы и отливы. Он объ-ясняет их взаимодействием суточного и орбитального движенийЗемли и не видит конкурирующего объяснения. Это объяснениеГалилей придумал в Венеции, наблюдая, как движется вода в лод-ке при ее ускорении и замедлении. «Это явление установлено бес-спорно, легко понятно и может быть проверено на опыте в любоевремя». Все прочие объяснения делают систему Коперника оченьправдоподобной, но окончательное доказательство движения Зем-ли можно обнаружить лишь на самой Земле! Будущее показало,что главный козырь Галилея был ошибочным, но выяснилось этомного позднее. Галилей в самом центре римских интриг: «Нахо-жусь я в Риме, где как погода постоянно меняется, так и в делахвсегда царит неустойчивость».

Кончилось все тем, что 24 февраля комиссия из 11 богосло-


вов признала утверждение о движении Земли «по меньшей мерезаблуждением в вере». Галилею это решение было сообщено гене-ральным комиссарием инквизиции в присутствии кардинала Бел-лармино. 5 марта конгрегация индекса «задержала» (но не запре-тила) книгу Коперника. Этот акт был почти символическим. Изкниги собирались изъять несколько фраз о том, что излагаемаядоктрина не противоречит писанию, да исправить те места, гдеКоперник называет Землю светилом (светила — это Солнце и Лу-на!). Тосканский посол в письме на родину жалуется на настойчи-вость Галилея, но выражает надежду, что Галилей не пострадает.Распространились слухи, что от Галилея потребовали клятвенно-го отречения, и Галилей получил от Беллармино удостоверение,опровергавшее эти слухи: «Ему лишь было объявлено решение,вынесенное нашим владыкой и обнародованное святой конгрега-цией индекса, в котором говорится, что доктрина, приписываемаяКопернику, что Земля движется вокруг Солнца и что Солнце на-ходится в центре мира, не двигаясь с востока на запад, противнасвященному писанию, и поэтому ее нельзя ни защищать, ни дер-жаться». Это было в мае перед отъездом из Рима, а еще ранееГалилей был принят папой Павлом V. То, что произошло, еще небыло осуждением, но было грозным предупреждением. Наруше-ние ясно выраженного запрета — несомненное преступление.

В ожидании перемен. Галилей покидает Рим, он подчиняется«спасительному декрету». Но не слишком ли демонстративнойвыглядит его покорность? Вот, например, что он пишет, посылаясвою работу «Приливы и отливы» эрцгерцогу Австрии Леопольду,брату тосканской герцогини: «Ныне, зная, что следует слушатьсяи верить постановлениям начальственных лиц как проистекаю-щим от более возвышенных знаний, до коих мой низкий ум сампо себе не поднимается, я рассматриваю это посылаемое Вам со-чинение, имеющее в основе мысль о движении Земли, т. е. одиниз физических аргументов, которые я приводил в доказательствоэтого движения. Я рассматриваю это, повторяю, как поэтическийвымысел или сновидение. . . » Трудно поверить, что этот человекникогда не будет говорить о движении Земли. Но для возвраще-ния к этой теме Галилею нужны не новые аргументы, а изменениежитейской ситуации. И он дождался изменений. Умер папа Па-


вел V, влиятельным секретарем нового папы Григория XV сталЧамполи, благоволивший к Галилею, в 1621 г. не стало страшногокардинала Беллармино, а в 1623 г. папой под именем Урбана VIIIстал кардинал Маттео Барберини, образованный человек, покро-витель наук, не скрывавший своего восхищения Галилеем.

В это время Галилей заметно активизируется. В 1623 г. вы-ходит его книга «Пробирные весы» — ответ астроному Римскойколлегии Грасси, посвященный кометам. Здесь еще не идет пря-мо речь о движении Земли. Но следующая книга «Послание кИнголи», написанная в 1624 г., имеет к этому вопросу прямоеотношение. Книга была ответом на направленное против систе-мы Коперника сочинение Франческо Инголи, высокообразован-ного клирика, вышедшее в 1616 г. Знаменательно, что Галилейждал с ответом 8 лет. В небольшом по объему «Послании» многоярких и смелых страниц. Здесь и поэтическое описание обста-новки на корабле, не позволяющей обнаружить его движение, —замечательное пояснение закона инерции; здесь и рассуждения онеподвижных звездах, которые сравниваются с Солнцем; здесь исвободное обсуждение проблемы размеров Вселенной.

Что касается последнего, то здесь нет и намека на мир,ограниченный «восьмым небом» неподвижных звезд. Галилейчетко объясняет, что не видит аргументов, позволяющих вы-брать между гипотезами о конечной или бесконечной Вселенной,но вполне допускает, что человеку доступна лишь небольшаяее часть: «. . . мне вовсе не претит мысль о том, что мир, гра-ницы которому положены нашими внешними чувствами, можетоказаться столь же малым по отношению к Вселенной, как мирчервей по отношению к нашему миру». Очень смело допуска-ет Галилей предположение о бесконечности Вселенной! Можновспомнить, как неуютно почувствовал себя великий фантазерКеплер, предположив, что существует бесконечное число миров,подобных солнечной системе (в «Разговоре со звездным вестни-ком»): «. . . мне пришлось бы обречь себя на оковы, на темницу вбесчисленных мирах Бруно и даже, более того, на изгнание в этубесконечность».

«Послание к Инголи» было написано осенью 1624 г., а весной1625 г. Галилей вновь посетил Рим. Разумеется, его целью былоустановить контакты с новым папой, оценить насколько благо-


приятной стала обстановка. Галилей шесть раз беседовал с папой,был обласкан всей многочисленной семьей Барберини, установилблагоприятные контакты с рядом кардиналов, включая влиятель-ного немецкого кардинала Цоллерна. Отношение лично к Галилеюне могло быть лучшим, но главная надежда не оправдалась: Ур-бан VIII твердо поддержал утверждение «спасительного декрета»о движении Солнца и неподвижности Земли. Галилей обнаружил,что в обсуждении этого вопроса они с папой разговаривают наразных языках. Галилей утверждает, что невозможно объяснитьприливы и отливы иначе, как предположив движение Земли, нополучает разъяснение, что то, что неизвестно людям, может бытьизвестно богу. С такими аргументами спорить трудно! Галилейвозвращается, а вслед ему тосканскому герцогу Фердинандо (Ко-зимо недавно умер) отправляется послание папы с выражениемудовлетворения визитом флорентийского ученого, самыми хва-лебными отзывами о нем.

«Система мира». Вернувшись из Рима, Галилей решает, наконец,написать книгу с изложением всех аргументов в пользу системыКоперника. Об этой книге он мечтал в 1597 г., когда писал Кепле-ру, ее он обещал в «Звездном вестнике», создание такой книги онсчитал главным делом при переезде во Флоренцию. Галилею ис-полнилось 60 лет, здоровье оставляло желать лучшего. Поездкав Рим не была полным успехом, но ожидать лучшего момента неприходилось. Разумеется, после «спасительного декрета», кото-рого, как выяснилось, твердо придерживаются «начальственныелица» в Риме по сей день, нельзя было думать об открытой под-держке гелиоцентрической системы, но Галилею не привыкатьхитрить.

Даже на богословских диспутах позволяли одному из участ-ников «условно» защищать еретическую точку зрения с тем, что-бы более выпукло ее разоблачить. Система Коперника не былаобъявлена ересью, и даже Беллармино позволял говорить о ней«предположительно» как о математическом построении. Галилейпридумывает художественный прием. Трое собеседников Сальви-ати, Сагредо и Симпличио соберутся во дворце Сагредо и будутв течение шести дней «беспристрастно» обсуждать каждую издвух систем мира. Первые два героя носят имена умерших дру-


зей Галилея, третье имя — сторонника Аристотеля и Птолемея —вымышленно.

Более пяти лет напряженно работает Галилей над книгой;он, безусловно, воспринимает ее как главный труд своей жизни.К 1630 г. закончены четыре дня из шести: в первый день обсужда-ется принципиальная возможность движения Земли, во второй —ее суточное движение, в третий — годовое движение и, наконец,в четвертый — приливы и отливы — самая любимая находка Га-лилея. Он решает ограничиться четырьмя днями, назвать книгу«Диалогом о приливах и отливах». Весной 1630 г. Галилей везетрукопись в Рим.

Надо сказать, что созданная Галилеем книга, пользуясь со-временной терминологией, должна быть отнесена к разряду на-учно-популярных. Галилей сознательно адресует ее широкой пуб-лике, а не только ученым; он хочет всех убедить в существованиинеопровержимых аргументов в пользу Коперника. Отчасти в свя-зи с этим, отчасти из-за своих научных вкусов Галилей почтиисключительно оперирует с качественными явлениями, не увя-зывая системы с численными данными астрономических наблю-дений. Планеты у него движутся равномерно по окружностям сцентром в Солнце, что не было никакой возможности согласоватьс данными наблюдений. В этом отношении Галилей значительноуступает Кеплеру и уходит от обсуждения проблем, которые вол-новали Коперника. По-видимому, вычислительная астрономия небыла сильной стороной Галилея.

Галилей получает аудиенцию у папы, встречается с влиятель-ными кардиналами. Урбан VIII не против книги, в которой будутсодержаться условные аргументы в пользу осужденной системы,но не должно создаваться ощущения, что читателю предоставля-ется выбор между двумя системами. Книга должна содержатьнедвусмысленные указания на окончательность утверждения одвижении Солнца и неподвижности Земли, освященного церко-вью. Кроме того, папа бракует название «Диалог о приливах и от-ливах». Галилей обещает выполнить пожелания в еще ненаписан-ных введении и заключении. Рукопись была передана МагиструСвятого дворца (главному цензору) Никколо Риккарди (извест-ному под именем отец Мостро) для вынесения суждения. ОтецМостро выбирает выжидательную тактику, он в отличие от Гали-


лея не торопится.Дальнейшее напоминает детективную историю, в которой Га-

лилей и его благожелатели проявили чудеса изобретательностис тем, чтобы книга увидела свет. Уже для получения предвари-тельного согласия, по-видимому, Чамполи, бывший секретаремпапы, пошел на обман, рискуя карьерой. Книгу полагалось пе-чатать в Риме. С огромными хитростями, со ссылками на здоро-вье Галилея, чуму в Италии и т. д. ее напечатали во Флоренции.

22 февраля 1632 г. герцог Фердинандо получил в подарок пер-вый экземпляр посвященной ему книги «Диалог Галилео ГалилеяАкадемии Линчеи, Экстраординарного Математика ПизанскогоУниверситета и Главного Философа и Математика СветлейшегоВеликого Герцога Тосканского, где в четырех дневных беседах ве-дется обсуждение двух Основных Систем Мира, Птолемеевскойи Коперниковой, и предлагаются неокончательные философскиеи физические аргументы как с одной, так и с другой стороны».В предисловии, адресованном «благоразумному читателю», объ-ясняются мотивы, по которым автор приводит аргументы в поль-зу системы Коперника. Он вспоминает «спасительный эдикт, ко-торый для прекращения опасных споров нашего времени своевре-менно наложил запрет на пифагорейское мнение о подвижностиЗемли».

Галилея «волнуют» распространяющиеся слухи, «что этот де-крет был издан не на основании надлежащего рассмотрения во-проса, а под влиянием страстей и людьми мало осведомленны-ми». Эти-то слухи и должна опровергнуть предлагаемая книга.Он хочет показать «чужеземным народам, что в Италии вообщеи в Риме в особенности знают по этому предмету не менее того,что могут знать исследователи за границей 〈. . .〉 и собрав воединовсе собственные наблюдения, относящиеся к системе Коперника,заявить, что знакомство с ними предшествовало постановлениюримской цензуры, и что от последней исходят не только догмыдля спасения души, но также и остроумные открытия, удовлетво-ряющие разум». Наконец, «если мы принимаем неподвижностьЗемли и признаем противоположное мнение математическим па-радоксом, то основой нашего убеждения является не неведениетого, что думают другие, а иные соображения и мотивы — благо-честие, религия, сознание всемогущества божия и признание несо-


вершенства человеческого разума». Ну что же, цели должны былипоказаться в Риме достойными: пресечь разговоры о необдуман-ности эдикта, поставить на место «чужеземные народы». Впро-чем некоторые формулировки сегодня кажутся двусмысленными.Возможно, они показались таковыми и кому-то из «начальствен-ных лиц». По крайней мере, вскоре после того, как экземпляры«Диалога» оказались в Риме, разразился гром.

Процесс и отречение. По-видимому, инициатива в преследованииГалилея принадлежала самому Урбану VIII. Что так рассер-дило папу и сделало его непримиримым? Быть может, он счелнеискренними похвалы «своевременности спасительного эдик-та?» Несомненно, что «Диалог» появился в очень тяжелое дляУрбана время. Сильная испанская оппозиция в Риме добиваласьсмещения папы, и он мог вполне опасаться быть обвиненнымв поддержке учения, «заподозренного в ереси». Поговаривали,что папа узнал себя в простаке Симпличио, защищавшем непо-движность Земли. Галилей пишет во введении, что этот герой,в отличие от двух других, не назван его собственным именем.О чем должен был подумать Урбан, если действительно обнару-жил в разглагольствованиях Симпличио соображения, когда-товысказанные Галилею?

В августе 1632 г. папская курия запрещает распространение«Диалога». В сентябре дело передается в инквизицию. Начина-ется длительная игра. Благожелатели Галилея, включая тоскан-ского герцога, вначале пытаются избежать рассмотрения дела винквизиции, затем перенести рассмотрение во Флоренцию и, на-конец, по возможности оттянуть разбирательство, ссылаясь наболезнь Галилея. Все эти попытки окончились безрезультатно —Урбан VIII был неумолим. Угроза быть доставленным в оковахзаставила Галилея в январе 1633 г. отправиться в Рим. 13 февраляон в Риме, а 12 апреля предстает перед генеральным комиссари-ем инквизиции Макулано. Начинается мучительное разбиратель-ство, на Галилея оказывается давление, по-видимому, ему предъ-являли орудия пытки. Шла изматывающая борьба в поисках ком-промисса. Три квалификатора Святой службы дали заключения,что книга, по крайней мере, нарушает запрет держаться осужден-ной доктрины и распространять ее. Галилей признает, что против


своего желания усилил аргументы в пользу системы Коперника.22 июня в церкви святой Марии-над-Минервой коленопреклонен-ный Галилей, которому через полгода должно было исполниться70 лет, выслушивает приговор. За то, что он «считал, будто можнодержаться и защищать в качестве правдоподобного мнение послетого, как оно было объявлено и определено как противное свя-щенному писанию», Галилей объявлялся «сильно заподозреннымв ереси», книга «Диалог» запрещалась, Галилей приговаривал-ся к заключению в Святой службе (заподозренного в ереси несжигали как еретика!) и он должен «три года единожды в неде-лю читать семь покаянных псалмов». Затем Галилей зачитываеттекст отречения: «. . . после того как мне было объявлено, что на-званная доктрина противоречит священному писанию, я написали напечатал книгу, в которой трактую об этой самой доктрине,осужденной в прошлом, и с большой убедительностью привожуаргументы в ее пользу, не давая никакого решения. . . » Он кля-нется «исполнить и блюсти все эпитимьи», на него наложенные.

Может быть, в этот момент Галилей пожалел, что покинулВенецианскую республику, где он был недосягаем для инквизи-ции, переоценив возможности тосканского герцога. Но в Венецииу него, по-видимому, не было шансов издать свой главный труд,что, несмотря на страшные последствия, ему удалось во Флорен-ции. Заключение в тюрьме инквизиции было заменено ссылкой,вначале в римский дворец Медичи; через две недели его отпра-вили в Сиену к архиепископу Пикколамини. Еще через полгодаему разрешили перебраться в его виллу Арчетри, невдалеке отмонастыря, где находились его дочери. Там и прожил Галилей во-семь оставшихся ему лет, лишь ненадолго выехав во Флоренцию.Повсюду Галилей находился под неусыпным оком инквизиции,которая тщательно контролировала его связи с внешним миром.Урбан VIII не проявил милосердия к опальному ученому дажев день его кончины. Его родственник кардинал Барберини пере-дает во Флоренцию: «. . . нехорошо строить мавзолей для трупатого, кто был наказан трибуналом святой инквизиции и умер, от-бывая это наказание». Герцогу пришлось отказаться от желанияпохоронить Галилея рядом с Микеланджело (это желание былоисполнено через много лет).

Отречение Галилея не перестает волновать людей и сегодня.


Имел ли право ученый отречься от теории, которую считал несо-мненной истиной и утверждению которой отдал значительнуючасть своей жизни? Предлагались разные объяснения принято-го Галилеем решения: страх 70-летнего больного ученого передпыткой и сожжением, ощущение, что он выполнил свою миссиюи ничто уже не может помешать распространению книги, воз-можность сохранить оставшиеся годы (их оказалось восемь) длязанятий наукой (он вернулся к занятиям, которые прервал начетверть века, ради разработки идей, от которых теперь долженбыл отречься). В книге К. Рид «Гильберт» рассказывается, чтовеликий математик с присущей ему непосредственностью гово-рил о Галилее: «Но он же не был идиотом. Только идиот можетсчитать, что научная истина требует мученичества. Быть может,так обстоит дело в религии, но научные результаты доказыва-ют себя с течением времени». Следует иметь в виду, что Галилейи раньше шел на компромиссы и уже после 1616 г. формальнопризнавал неподвижность Земли (в том числе и в «Диалоге»).

Легендарной фразы «А все-таки она вертится!» Галилей, по-видимому, не говорил, но несмотря на его несомненную религи-озность, его отречение не могло быть искренним. Его не моглоне радовать, что «Диалог» не удалось изъять полностью, и что в1635 г. в Европе появился перевод на латинский язык. Его венеци-анский знакомый Миканцио пишет ему: «Примечательная вещь—после выхода в свет вашего ”Диалога“ люди, знающие математи-ку, тут же перешли на сторону Коперниковой системы. Вот к чемупривели запреты!» Галилей отвечает: «То, что Вы писали мне от-носительно ”Диалога“ , в высшей степени для меня неприятно, по-скольку это может причинить великое волнение начальственнымлицам. Ведь выдача разрешения читать ”Диалог“ столь ограни-чена, что их святейшество сохраняет его лишь единственно длясебя самого, дабы в конце концов, что вполне может случиться,об этой книге совершенно забыли».

Очень тяжел был для Галилея позор, связанный с процессоми приговором, но тяжел был и запрет продолжать работу надпроблемами мироздания. У него не было сомнений, что от этих за-нятий он должен отказаться. Что же оставалось Галилею? У негоесть все основания жаловаться на эпоху: «Несчастная наша эпоха,ныне царит твердая решимость искоренять всякую новую мысль,


особенно в науках, как будто бы уже познано все, что можнопознать!» Можно утешаться предсказаниями его старого едино-мышленника Кампанеллы (еще в 1616 г. в неаполитанской тюрьменаписавшего «Апологию Галилея»): «Грядущий век рассудит нас,ибо современность всегда распинает своих благодетелей, но онипотом воскресают на третий день или на третье столетие». Черезнесколько недель после приговора Галилей вспоминает о прерван-ном на полуслове трактате по механике, и на ближайшие годынаписание этой книги становится главным делом Галилея, цельюего жизни. Он вспоминает об открытом им в юности изохронномсвойстве маятника и поручает сыну Винченцо сконструироватьмаятниковые часы. Галилей неумолимо слеп. К окончанию рабо-ты над книгой он уже потерял зрение на один глаз, и все же онвременами наблюдал небо в телескоп, описал либрацию Луны, по-ка в конце 1637 г. не ослеп окончательно: «. . . то небо, тот мир ита Вселенная, которую я своими поразительными наблюдениямии ясными доказательствами расширил в сотни и тысячи раз посравнению с тем, как обычно видели ее мудрецы всех прошлыхвеков, ныне для меня так уменьшилась и сузилась, что стала небольше того пространства, которое занимает моя персона. Из-занедавности случившегося я еще не могу относиться к несчастью стерпением и покорностью, однако течение времени должно будетменя к этому приучить». И все-таки в последний дарованный емугод он опять наблюдал Медичейские звезды, а его старые друзьянавели его на мысль, которая завладела им в его последние дни.Опять медичейские звезды. Возможно, эта идея появилась у Гали-лея еще раньше, в конце 1635 г., когда он давал для Французскойкомиссии, созданной кардиналом Ришелье, отзыв на метод Море-на определения долготы местности по наблюдениям над движени-ем Луны. Метод оказался несостоятельным, но следует обратитьвнимание, сколь высокопоставленная особа была в нем заинтере-сована. А дело в том, что задача определения долготы на бортукорабля в XVII веке — веке мореплавания — была одной из самыхактуальных. Сегодня трудно поверить, что в то время морякисовершали дальние плавания, не имея сколь-нибудь надежногоспособа измерять координаты корабля в открытом море. Это, ко-нечно, не касалось широты: ее умели надежно измерять, по край-ней мере, в XVI веке (например, по высоте Солнца в полдень).


А что касается долготы, то ученые ничего реального предложитьне могли. Проблема эта все больше волновала морские державыпо соображениям сугубо экономическим. Автор метода измерениядолготы с приемлемой точностью (скажем, до 1/2 градуса) мог вразное время получить 100000 экю от Филиппа II Испанского, или100 000 ливров от Людовика XIV, или 20000 фунтов от англий-ского парламента, или 100 000 флоринов от Генеральных ШтатовГолландии. Меньшая точность пропорционально уменьшала пре-мию. Эти цифры достаточно выразительно свидетельствуют обинтересе к проблеме.

Идея измерения долготы восходит еще к Гиппарху (II век дон. э.): надо воспользоваться тем, что разность долгот в двух пунк-тах земного шара пропорциональна разности местных времен вэтих пунктах. Так, в пунктах, у которых долготы отличаются ска-жем на 15, разница в местном времени равна 1 часу (360/24 =15). Поэтому задачу можно свести к измерению местного време-ни на корабле и соответствующего времени в какой-нибудь фик-сированной точке, например, в порту отплытия. Местное времяв пункте нахождения корабля измерить реально, но как помнитьвремя в порту отплытия? Долго никто и не помышлял о его «со-хранении». Прекрасный пример — история о сутках, «потерян-ных» во время кругосветного плавания Магеллана! Да и не былочасов, которые могли бы это время помнить, особенно в условияхморской качки.

Другая возможность — воспользоваться какими-нибудь астро-номическими явлениями, которые можно наблюдать на борту ко-рабля и точное время наступления которых в порту отплытияизвестны. Но как мало подходящих явлений! Что можно предло-жить сверх солнечных и лунных затмений, которые происходятслишком редко? Таблицы для движения Луны были столь несо-вершенны, что не позволяли определять долготу за счет повсе-дневных наблюдений за Луной (примером такой попытки и былметод Морена). Галилей описывает ситуацию с присущей ему тор-жественностью: «По прежним временам небо было на этот счетщедро, но по нынешним нуждам оно изрядно скупо, помогая намтолько лунными затмениями: и не потому, что то же самое небоне изобилуют явлениями частыми, заметными и куда более под-ходящими для наших нужд, чем лунные и солнечные затмения,


но правителю мира угодно было скрывать их вплоть до нашихдней. . . » Оптимизм, который чувствуется в последних словах Га-лилея, связан с надеждами, которые он возлагал на открытые имМедичейские звезды — спутники Юпитера. Дело в том, что однаиз их особенностей, открытых еще во время первых наблюдений1610 г., — частые затмения. Если бы не наклон лунной орбиты кземной, Луна попадала бы в конус тени, отбрасываемой Землей,каждое полнолуние. Спутники Юпитера попадают в мощный ко-нус его тени при каждом обороте, а вращаются они довольно быст-ро (Ио совершает полный оборот примерно за 42,5 земных часа).На наблюдении затмений спутников Юпитера и решает Галилейпостроить свой способ измерения долготы на борту корабля.

Он начинает переговоры, не дожидаясь окончательной разра-ботки метода. Первоначально Галилей думал об Испании (веро-ятно, было важно, что это традиционная католическая страна),о встрече с вице-королем в Неаполе, но постепенно переориенти-ровался на Голландию, где его идея вызвала больший интерес.В 1636 г. секретные переговоры с Генеральными Штатами в са-мом разгаре, в августе принимается решение запросить у Галилеянеобходимые материалы для рассмотрения. Галилей пишет тор-жественное обращение к Генеральным Штатам Голландии как к«покорителям и властителям океана». Приведенная выше цита-та была взята из этого обращения. Галилей считает символич-ным, что телескоп, который играет первостепенную роль в егометоде, был изобретен в Голландии. Он не скупится на описа-ние преимуществ, которые получит Голландия, воспользовавшисьего методом: «Я мог бы назвать множество искусств, но доста-точно ограничиться кораблевождением, доведенным вашими жеголландцами до столь поразительного совершенства, и если един-ственное оставшееся дело—определение долготы, которое, видим,пока им не дается, — благодаря их последнему и величайшемуизобретению присоединится к списку остальных остроумных опе-раций, то слава их достигает такого предела, превзойти которыйникакая другая нация не сможет и мечтать».

Была образована авторитетная комиссия, в которую вошли ад-мирал Лауренс Реаль, астроном и математик Гортензий, а позднееи член Государственного Совета Константин Гюйгенс (отец вели-кого ученого). Практичным голландцам нелегко было поверить


в реалистичность предлагаемого метода. «Представляете ли Высебе, скольким людям высокого положения и власть имущим мыбыли вынуждены проповедовать неведомую дотоле истину, при-нятую вначале за безумие»,—сетовал К.Гюйгенс. Впрочем и самиблагожелательные члены комиссии не были уверены в возмож-ности практически реализовать проект. Адмирал Реаль в письмеГалилею опасается, что его метод может оказаться слишком тонок«для такого грубого народа как голландские моряки». Сомненияможно почувствовать и в словах К. Гюйгенса: «Наши народы струдом сочтут себя обязанными за широкий дар, более прекрас-ный, чем выгодный». Даже Гортензию с трудом удается наладитьнаблюдения над спутниками Юпитера. Не хватает хороших теле-скопов. Галилей посылает в конце 1637 г. свой телескоп, которыйуже не может ему понадобиться из-за слепоты. Для наблюденияспутников необходимы таблицы, которые составить непросто (да-же определение периодов обращения спутников долго не удава-лось).

Вычислительная астрономия никогда не была сильной сторо-ной Галилея, а теперь слепота к тому же лишила его возможностипроводить наблюдения. Галилей просит монаха-оливетанца Вин-ченцо Реньери, опытного астронома-вычислителя, найти эфеме-риды спутников Юпитера, по возможности на год вперед. Вычис-ления затягивались, и Реньери так и не удалось составить необ-ходимые таблицы.

Генеральные Штаты поручают Гортензию встретиться с Га-лилеем, чтобы уточнить необходимые детали и вручить золотуюцепь — подарок Генеральных Штатов. Тем временем в перегово-ры вмешалась инквизиция. Началась сложная игра, в результатекоторой Галилей то ли сам счел за благо отказаться от встречис Гортензием и от голландского подарка, то ли получил прямойзапрет инквизиции. Начались разговоры о сохранении приорите-та за Италией. Кастелли, которому давно отказывали в свиданиис учителем, даже получил разрешение встретиться с Галилеем ивыяснить подробности метода. Неожиданно умерли Гортензий иРеаль. Силы покидали Галилея. Флорентийский инквизитор до-носил в Рим, что ученый, «совершенно ослепший, скорее уже ле-жит в гробу, чем занимается математическими построениями».Надежды не покидали Галилея, но становилось ясно, что ему не


доведется увидеть осуществление своего замысла. Вероятно, и всамом деле практическая реализация проекта была невозможна.Прошло еще много времени, прежде чем проблема измерения дол-готы в море была, наконец, решена, но на совсем другом пути —при помощи точных морских часов.

Одно из последних высказываний Галилея показывает, что егоникогда не оставляли мысли о главной проблеме его жизни, свиде-тельствует о его «неисправимости»: «И так же, как я считаю недо-статочными наблюдения и предположения Коперника, я полагаю,что еще более ложны и ошибочны наблюдения и предположенияПтолемея, Аристотеля и их последователей, поскольку несостоя-тельность последних можно достаточно ясно выявить, пользуясьобычной речью». Ему не позволено спорить с тем, что могут су-ществовать аргументы, недоступные человеку и опровергающиеКоперника, но для опровержения Птолемея хватает аргументов,человеку доступных.

Эпилог. По прошествии трех с половиной веков многое видитсяне так, как это представлялось Галилею. Это относится и к раз-личию между системами Птолемея и Коперника, и к вопросу об«истинном» движении Земли.

Трудно строить последовательную систему мира, реально неопираясь на небесную механику. Парадокс заключался в том, чтонебесная механика Галилея в отличие от его «земной» механикибыла еще достаточно наивной и близкой к взглядам Аристоте-ля. Во-первых, он считал, что небесные тела движутся по инер-ции, не испытывая постоянно действующих сил. Для него не бы-ло приемлемым предположение о дальнодействии, и, например,предположение о солнечном или лунном притяжении для зем-ных объектов воспринималось как астрологический анахронизм.Во-вторых, по Галилею, небесные тела, двигаясь по инерции, со-вершают равномерные вращательные движения. Противоречие с«земным» принципом инерции налицо!

Главным вопросом для Галилея был вопрос об истинном (аб-солютном) движении Земли, об его экспериментальном доказа-тельстве. Поскольку доказательством должны служить земныеявления, столкновение земного и небесного принципов инерциинеминуемо. С величайшей проницательностью опровергает Гали-


лей утверждение Тихо Браге, повторенное Инголи, что на движу-щемся корабле ряд явлений должен обнаружить это движение.Скорее всего, это опровержение Галилея, которое по существу иявилось первой формулировкой закона инерции («земной»), осно-вывалось на эксперименте. Одновременно Галилей утверждает,что существуют явления, обнаруживающие движение Земли (при-ливы и отливы). При этом не выявляется, чем гипотетическоедвижение Земли отличается от движения корабля, которое нельзяобнаружить внутренним образом.

Подчеркнем, что эти явления должны были быть следстви-ем собственного движения Земли, происходящего по инерции безучастия дальнодействующих сил. Галилей не видит здесь про-тиворечия. Как уже отмечалось, «решающий» аргумент Галилеяоказался совершенно ошибочным.

Взгляд Галилея на истинное (абсолютное) движение не былкорректным. Творец закона инерции был еще далек от понима-ния относительного характера движения, о роли системы отсчетапри рассмотрении движения. Многое для выяснения относитель-ного характера движения сделал Гюйгенс. Ньютон (в отличие отГюйгенса) считал вращение абсолютным. В системах Птолемея иКоперника фигурируют разные системы отсчета: в одной поко-ится Земля, в другой — Солнце. Развитие механики показало, чтоудачно выбранная система необходима для выявления закономер-ностей движения. Главное достоинство системы Коперника — ввозможности выявить законы Кеплера (которые, кстати, Галилейне принял). Дело в том, что в системе Коперника неподвижноеначало помещается в самое массивное тело и при рассмотренииотдельной планеты в первом приближении можно ограничитьсявзаимодействием этой планеты с Солнцем (пренебрегая взаимо-действием с другими планетами). Возникает задача двух тел, изаконы Кеплера, как показал Ньютон, непосредственно следуютиз его закона всемирного тяготения. В системе отсчета, в которойнеподвижна Земля, описание движения усложняется, и, в частно-сти, законы Кеплера для нее не имеют места.

Что касается астрономических наблюдений Галилея, то они от-крыли новую эру в астрономии. Особую роль сыграли при этомспутники Юпитера. Более полувека ушло на вычисление их пе-риодов, которое пытался провести и сам Галилей, и опытные в


вычислениях астрономы Римской коллегии. Еще более труднымбыло вычисление их расстояний до Юпитера из-за недостаточноразвитой микрометрической техники. Но когда в 1685 г. Ньютонсоздавал свою книгу «О системе мира», вошедшую в «Матема-тические начала натуральной философии», он уже имел возмож-ность констатировать, что для спутников Юпитера имеет местотретий закон Кеплера T 2 ∼ R3 (T — периоды обращения, R —расстояния до Юпитера), хотя данные измерений требовали неко-торых уточнений. Этим фактом открывался раздел «Явления»,где перечислялись экспериментальные факты, на которые опира-ется ньютоновская «система мира».

Построение теории движения спутников Юпитера на осно-ве закона всемирного тяготения долго испытывало честолюбиеклассиков небесной механики. Дело в том, что достаточно точ-ная теория должна учитывать не только притяжение Юпитера,но и Солнца и взаимное притяжение спутников. В 1774 г. этазадача фигурирует в качестве темы на премию французскойАкадемии наук.

Весьма точная теория была построена Лапласом в 1789 г. Ме-дичейские звезды долго оставались объектом, мимо изучения ко-торого не мог пройти ни один великий астроном. А они дари-ли ученых все новыми удивительными фактами. Так, например,Лаплас установил, что время обращения первого спутника плюсудвоенное время обращения третьего равно утроенному времениобращения второго. Но несомненно самая замечательная страни-ца в изучении спутников Юпитера — открытие Олафа Рёмера, окотором мы расскажем более подробно.

Добавление. Догадка Олафа Рёмера

Наблюдения Кассини. Постепенно телескоп становится признан-ным инструментом астронома. Растут размеры телескопов: теле-скоп Гюйгенса давал 92-кратное увеличение, а в 1670 г. в Парижепоявился телескоп, дававший увеличение в 150 раз. Характер-но, что этот телескоп уже не был в распоряжении одного уче-ного: он был установлен в научном учреждении нового типа —обсерватории. Парижской Обсерваторией, находившейся под по-кровительством Людовика XIV, руководил Жан Доминик Касси-

Галилео Галилей (1564 – 1642) 99

ни (1625–1712) — астроном, приехавший из Италии. Астрономияочень многим обязана Кассини. Он обнаружил, что у Сатурна,кроме одного спутника (Титана), открытого Гюйгенсом, имеетсяеще четыре, а открытое тем же Гюйгенсом кольцо Сатурна оказа-лось при более тщательных наблюдениях Кассини состоящим издвух колец, разделенных щелью, которую стали называть щельюКассини. Кассини доказал осевое вращение Юпитера и Сатурна.Велики заслуги Кассини и в астрономических вычислениях: он сневиданной до тех пор точностью измерил астрономическую еди-ницу — расстояние от Земли до Солнца. Интересно сопоставитьполученное Кассини значение 146 . с истинным значением 149,6 .и величиной 8 . , которая принималась прежде.

Как уже отмечалось, одной из центральных задач астро-номии второй половины XVII века стало вычисление периодовобращения спутников Юпитера. Эти величины можно получитьпутем нехитрых вычислений, если точно известны последова-тельные моменты их затмений. Зная же периоды обращенияспутников, можно, напротив, предсказывать моменты их затме-ний. В 1672 г. Кассини очень тщательно фиксирует моментызатмения Ио (спутника Юпитера). Он с удивлением обнару-жил, что получаемые им значения для периода обращения Ионесколько различаются от случая к случаю, как если бы иногдазатмение несколько запаздывало, а иногда наступало несколькораньше. Наибольшая разница между полученными значениями,составлявшая 22 минуты (при времени обращения 42,5 часа),не могла быть объяснена точностью измерений. По-видимому,Кассини уже имел возможность пользоваться маятниковымичасами Гюйгенса, которые начинали использоваться для аст-рономических наблюдений. Наблюденный эффект не находилразумного объяснения.

В 1672 г. — в год, когда Кассини систематически наблюдалза спутниками Юпитера, — в Парижской обсерватории появил-ся молодой датский ученый Олаф Рёмер (1644–1710). Его заин-триговало поразительное совпадение (возможно, на него обра-тил внимание Кассини). Наибольшее запаздывание затмений Иоприходилось на те моменты времени, когда Юпитер находилсядальше всего от Земли. Обратить внимание на такое совпаде-ние можно было благодаря случаю, но какая нужна была про-


зорливость, чтобы не объявить его с порога случайностью! Хо-тя во времена Людовика XIV в астрономических атласах Зем-ля все еще изображалась в центре мироздания, ученые уже небыли готовы объяснять изменение обращения спутника Юпите-ра влиянием Земли! Впрочем, конкурирующее объяснение это-го эффекта, предложенное Рёмером, должно было казаться неменее фантастическим. Рёмер предположил, что мы наблюдаемзатмение Ио с некоторым запаздыванием из-за того, что светуприходится пройти большее расстояние, когда расстояние междуЗемлей и Юпитером увеличилось. Чтобы оценить эту гипотезуРёмера, нам надо вспомнить, что думали о скорости света егосовременники.

Отступление о скорости света. Ученые древности считали, чтосвет распространяется мгновенно (возможно, единственным ис-ключением был Эмпедокл). Это мнение на много веков былозакреплено авторитетом Аристотеля. На Востоке Авиценна иАльхазем допускали, что скорость света конечна, но очень ве-лика. Среди европейских ученых нового времени Галилей былодним из первых, готовых допустить конечность скорости све-та. В его «Беседах» трое собеседников Сагредо, Симпличио иСальвиати обсуждают проблему скорости света. Сагредо под-нимает этот вопрос, Симпличио считает, что она бесконечна,поскольку мы видим пламя выстрела «без потери времени», то-гда как звук доходит через заметное время, что для Сагредоозначает лишь, что звук распространяется значительно медлен-нее, чем свет. В ответ на это Сальвиати, представляющий в этомтриумвирате интересы Галилея, предлагает опыт с двумя наблю-дателями, снабженными фонарями, причем каждый открываетсвой фонарь, увидев свет другого. Однако этот опыт, которыйв самом деле пытались провести ученые Флорентийской ака-демии, не дает реальной возможности убедиться в конечностискорости света. (У Эйнштейна и Инфельда отмечается, что дляэтого надо было бы уметь фиксировать промежутки временипорядка 1/100 000 .) Кеплер считал, что свет распространяет-ся мгновенно; Роберт Гук думал, что скорость света конечна,но столь велика, что ее измерение невозможно. Декарт и Фермасчитали скорость света бесконечной, что сильно осложнило их ис-


следования по геометрической оптике. Декарт, с одной стороны,считал, что свет распространяется мгновенно, с другой стороны,разлагал его «скорость» на составляющие. Ферма, формулируясвой знаменитый принцип, который сегодня называется принци-пом наименьшего времени, чтобы не говорить о скорости света,прибегал к всевозможным уловкам, говоря об «антипатии светак веществу», вводя формальный коэффициент, фактически рав-ный отношению скоростей света. Таким образом, большинствосовременников Рёмера не готово было признать конечность ско-рости света, не говоря уже о том, чтобы сделать ее ответственнойза вполне ощутимые, хотя и проявляющиеся в астрономическихмасштабах, явления. Для сравнения заметим, что лишь недавнобыла измерена скорость звука.

Вычисления Рёмера. Они предельно просты. Итак, он исходит изтого, что 22 минуты — максимальное запаздывание начала затме-ния — как раз тот срок, который необходим свету, чтобы прой-ти расстояние, равное разности между наибольшим и наимень-шим расстоянием между Землей и Юпитером. Эта разность равнаудвоенному расстоянию между Землей и Солнцем. По сравнениюс ним расстоянием от спутника до Юпитера можно пренебречь.

Мы видим, что у Рёмера был еще один повод быть благодар-ным Кассини, от которого он знал достаточно точное значениерасстояния от Земли до Солнца (146 . ). Итак, по Рёмеру, све-ту на преодоление 292 млн. км требуется 1320 (22 ). Откудадля скорости света получается значение 221 200 /. Ошибка уРёмера получилась из-за неточностей в значении астрономи-ческой единицы (правильно 149,6 .), но, главное, из-за оченьбольшой ошибки в определении максимального времени запаз-дывания (правильно — 16 36 ). Для правильных значений по-лучилось бы для скорости света значение 300 400 /, что оченьблизко к истинному значению. Все же поразительно, что Рёмеруудалось дать правильное по порядку значение скорости света.

Эти вычисления были проведены Рёмером в сентябре 1676 г.Чтобы убедить ученых в своей правоте, он придумывает трюк,достойный египетских жрецов. Он проводит вычисления и пред-сказывает, что в ноябре затмение Ио произойдет примерно с 10-минутным запозданием. Наблюдения, в которых участвовал Кас-


сини, доказали, что Рёмер правильно предсказал время с точно-стью до секунды. Однако это совпадение не произвело слишкомсильного впечатления на окружающих. По крайней мере, он неубедил ученых из Парижской академии, среди которых преобла-дали картезианцы (сторонники Декарта). Ведь их учитель писалпро астрономов, что «хотя их предположения всегда ошибочны инедостоверны, они делают весьма правильные заключения, опи-рающиеся на различные выполненные ими наблюдения». Рёмераотказался поддержать даже Кассини! С такого рода явленияминередко приходится встречаться в истории науки. Нашлись и сто-ронники Рёмера, среди которых выделялся английский астрономЭдмонд Галлей (1656–1742). Окончательное признание теории Рё-мера пришло, когда в 1728 г. Джеймс Брэдли (1693–1762) изучилвидимое годичное движение звезд — аберрацию. Она нашла есте-ственное объяснение как результат сложения скорости света, иду-щего от звезд, и скорости движения Земли по орбите. При этомполучилось, что скорость света в 10 000 раз больше скорости дви-жения Земли, что давало хорошее согласие с величиной, найден-ной Рёмером. То, что два существенно различных пути приводилик одному ответу, убедило многих. Первое же измерение скоростисвета в результате «земного» эксперимента было сделано Арма-ном Физо в 1849 г.

Рассказывая сегодня об открытии Галилея, нельзя не вспом-нить о том, что при помощи космических аппаратов «Вояджер-1»и «Вояджер-2» удалось узнать, как устроена поверхность галилее-вых спутников Юпитера. Вот что пишет Дж.Эберхарт об увиден-ном учеными на переданных снимках: «Оказалось, что ”галилеевылуны“ —вовсе не ”коллекция скалистых шаров“ . Пожалуй, толькоиспещренная кратерами поверхность Каллисто, самого дальнегоиз четырех спутников, подтвердила предположения ученых. НаГанимеде взорам исследователей открылась целая гамма текто-нических разломов, искривлений и отрогов. Но совершенно оше-ломили их два других спутника, более близких к планете, — Ио иЕвропа.

Ученые не могли поверить своим глазам — на снимках Ио ониувидели разукрашенный в красное и золотое, серебряное и черноебурлящий мир, царство активных вулканов! А когда объективы

”Вояджеров“ были направлены на Европу, взорам наблюдателей


предстала ледяная планета, светлая поверхность которой быласловно исхлестана гигантской плетью. . . ».

О ХРИСТИАНЕ ГЮЙГЕНСЕ И ЧАСАХС МАЯТНИКОМ

Циклоидальный маятник был изобретен Христи-аном Гюйгенсом, крупным ученым XVII столе-тия и гениальнейшим часовым мастером всех вре-мен. Зоммерфельд, «Механика»

Мы рассказывали о том, как почти одновременно с началомXVII века Галилей заложил основы классической механики. Хри-стиан Гюйгенс (1629 – 1695) был непосредственным преемникомГалилея в науке. По словам Лагранжа, Гюйгенсу «было сужде-но усовершенствовать и развить важнейшие открытия Галилея».Существует рассказ о том, как в первый раз Гюйгенс соприкос-нулся с идеями Галилея: 17-летний Гюйгенс собирался доказать,что брошенные горизонтально тела движутся по параболам, нообнаружил доказательство в книге Галилея и не захотел «пи-сать ”Илиаду“ после Гомера». Поражает, насколько близок былГюйгенсу научный дух Галилея, его научные интересы. Иногда ка-жется, что это помолодевший Галилей вновь совершенствует своизрительные трубы и продолжает свои астрономические наблюде-ния, прерванные сорок лет назад. Он пытается при помощи болеесильного телескопа разгадать тайну Сатурна, казавшегося тре-мя соединенными звездами, и, наконец, наблюдая в 92-кратныйтелескоп (у Галилея был 20-кратный), обнаруживает, что за боко-вые звезды принималось кольцо Сатурна. Он вновь возвращаетсяк проблеме, остро стоявшей в 1610 г.: существуют ли спутни-ки у планет, отличных от Земли и Юпитера. Тогда Галилейписал Медичи, что у других планет спутников не обнаружи-лось, и ни один царственный дом, кроме дома Медичи (в честькоторого были названы спутники Юпитера), не может рассчиты-вать на «собственные» звезды. Гюйгенс открыл в 1655 г. Титан,спутник Сатурна. Вероятно, времена изменились, и Гюйгенс не

104

Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) 105

Христиан Гюйгенс

предлагал открытый им спут-ник кому-либо в подарок. А по-том Гюйгенс обратился к ме-ханике. И здесь его волнуютте же проблемы, что и Гали-лея. Он развивает его принципинерции, утверждая, что нетолько иногда нельзя обнару-жить движение внутреннимисредствами, но и само утвер-ждение о том, что тело дви-жется, не имеет абсолютногозначения. Гюйгенс восприни-мал всякое движение как отно-сительное, в чем серьезно рас-ходился с Ньютоном. Когда-то Галилей, обдумывая, поче-му при вращении Земли телаудерживаются на ее поверхно-сти, почти получил формулу

для центростремительного ускорения, буквально не сделав по-следнего шага (см. с. 60). Гюйгенс дополнил рассуждения Галилеяи получил одну из самых замечательных формул в механике.

Гюйгенс обращается к исследованию изохронного характеракачаний математического маятника. Вероятно, это было первоеоткрытие Галилея в механике. И здесь Гюйгенсу представиласьвозможность дополнить Галилея: изохронность математическогомаятника (независимость периода колебаний маятника фиксиро-ванной длины от амплитуды размаха) оказалась справедливойлишь приближенно для малых углов размаха. Затем Гюйгенс ре-ализует идею, которая занимала Галилея в его последние годы:он конструирует маятниковые часы.

Задачей о создании и совершенствовании часов, прежде все-го маятниковых, Христиан Гюйгенс занимался почти сорок лет:с 1656 по 1693 г. Один из основных мемуаров Гюйгенса, со-держащих его результаты по математике и механике, вышел в1673 г. под названием «Маятниковые часы, или геометрическиедоказательства, относящиеся к движению маятников, приспособ-

106 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)

ленных к часам». Многое придумал Гюйгенс, пытаясь решитьодну из основных задач своей жизни — создать часы, которыеможно было бы использовать в качестве морского хронометра;многое он продумал с точки зрения возможностей примене-ния к этой задаче (циклоидальный маятник, теория разверткикривых, центробежные силы и т. д.). Мы расскажем здесь озанятиях Гюйгенса хронометрией, но прежде всего поясним,почему задача о создании часов привлекала великого ученого.

Часы относятся к очень древним изобретениям человека. Вна-чале это были солнечные, водяные, песочные часы; в Средние векапоявились механические часы. В разные эпохи измерение вре-мени играло разную роль в жизни человека. Немецкий историкО. Шпенглер, отмечая, что механические часы были изобретеныв эпоху начала романского стиля и движения, приведшего к кре-стовым походам, пишет: «. . . днем и ночью с бесчисленных башенЗападной Европы звучащий бой, этот жуткий символ уходящеговремени, есть, пожалуй, самое мощное выражение того, на чтовообще способно историческое мироощущение. Ничего подобногомы не найдем в равнодушных ко времени античных странах и го-родах. Водяные и солнечные часы были изобретены в Вавилоне иЕгипте, и только Платон, опять в конце Эллады, впервые ввел вАфинах клепсидру (разновидность водяных часов. — С. Г.), и ещепозднее были заимствованы солнечные часы как несущественнаяпринадлежность повседневного обихода, причем все это не оказа-ло никакого влияния на античное мироощущение».

Характерно, что при первых шагах новой механики и матема-тического анализа время не сразу заняло место основной перемен-ной величины при описании движения (Галилей в поисках законасвободного падения начал с гипотезы о пропорциональности ско-рости пути, а не времени).

Долгое время механические часы были громоздки и несо-вершенны. Было изобретено несколько способов преобразоватьускоренное падение груза в равномерное движение стрелок, и всеже даже известные своей точностью астрономические часы ТихоБраге приходилось каждый день «подгонять» при помощи молот-ка. Не было известно ни одного механического явления, котороебы периодически повторялось через одно и то же сравнительнонебольшое время.


Маятниковые часы. Такое явление было обнаружено на заре со-здания новой механики Галилеем. Именно, Галилей обнаружил,что колебания маятника изохронны, т. е. их период, в частности,не меняется при затухании колебаний. Мы приводили выше рас-сказ Вивиани об этом открытии Галилея.

Галилей предполагал воспользоваться маятником для созда-ния часов. В письме от 5 июня 1636 г. голландскому адмиралуЛ. Реалю он писал о соединении маятника со счетчиком колеба-ний. Однако к созданию часов Галилей приступил в 1641 г., за годдо смерти. Работа не была закончена. Ее должен был продолжитьсын Галилея Винченцо, который долго медлил с возобновлени-ем работ и приступил к ним лишь в 1649 г., также незадолгодо смерти, так и не создав часов. Некоторые ученые уже поль-зовались изохронностью маятника в лабораторных эксперимен-тах, но отсюда до создания маятниковых часов — нелегкий путь.

Его преодолел в 1657 г. 27-летний Христиан Гюйгенс, к то-му времени уже известный ученый, открывший кольцо Сатурна.12 января 1657 г. он писал: «На этих днях я нашел новую кон-струкцию часов, при помощи которой время измеряется так точ-но, что появляется немалая надежда на возможность измеренияпри ее помощи долготы, даже если придется везти их по морю».Первый экземпляр маятниковых часов изготовил гаагский часов-щик Соломон Костер, а 16 июня Генеральные Штаты Голландиивыдали патент, закреплявший авторство Гюйгенса. В 1658 г. вы-шла брошюра «Horologium» с описанием изобретения.

Узнав о часах Гюйгенса, ученики Галилея предприняли энер-гичную попытку восстановить приоритет учителя. Для того что-бы правильно оценить ситуацию, важно понимать, что в XVIIвеке проблема создания точных часов воспринималась в первуюочередь в связи с возможностью их использования для измерениядолготы на борту корабля. Эту возможность понимал Галилей, ееже с самого начала выдвигал на первый план Гюйгенс (ср. при-веденное выше высказывание).

Мы уже говорили выше о проблеме измерения долготы. Уче-ники Галилея знали, что в конце жизни он вел секретные перего-воры с Генеральными Штатами, предлагая свой способ измерениядолготы. Содержание переговоров, прерванных после вмешатель-ства флорентийского инквизитора, не было достоверно известно.


Можно было предположить, что речь в них шла и об исполь-зовании маятниковых часов. Напомним, что идея этого методасостоит в том, что часы «запоминают» время в порту отплытия,а разность этого времени с местным временем на корабле пере-считывается в разность долгот. Важно было, чтобы часы долгосохраняли правильный ход в условиях морской качки. Изохрон-ность колебаний маятника должна была быть существенна какпри затухании колебаний, так и при раскачке во время морскоговолнения.

Галилей предлагал Голландии другой способ измерения дол-готы, основанный на наблюдении затмений спутников Юпитера.Хотя упоминания о маятниковых часах могли фигурировать в пе-реговорах (ср. упомянутое письмо Реалю), несомненно, конструк-ция часов или сколько-нибудь подробные сведения о них в Голлан-дию не передавались. К тому времени, когда Галилей приступилк созданию часов (1641 г.), переговоры с Генеральными ШтатамиГолландии практически прервались.

Гюйгенса не обвиняли в плагиате, хотя, быть может, и насто-раживало, что маятниковые часы созданы в Голландии сыномвлиятельного члена Государственного Совета, имевшего отноше-ние к переговорам с Галилеем. Леопольд Медичи написал письмофранцузскому астроному И.Буйо, покровительствовавшему Гюй-генсу, и поручил изготовить ходовой механизм по модели Галилея.К письму для передачи Гюйгенсу прилагался рассказ Вивиани,упоминавшийся выше, и чертеж часов Галилея. Гюйгенс, озна-комившись с чертежами, констатировал, что в них присутству-ет основная идея, но нет ее технической реализации. В 1673 г.Гюйгенс напишет: «Некоторые утверждают, что Галилей пытал-ся сделать это изобретение, но не довел дело до конца; эти лица,скорее, уменьшают славу Галилея, чем мою, так как выходит, чтоя с большим успехом, чем он, выполнил ту же задачу». При этомне лишне помнить, что Галилей занимался часами слепым и былна 50 лет старше Гюйгенса, когда последний занимался той жезадачей.

Первые часы Гюйгенса в максимальной степени использова-ли конструкцию часов, распространенную в то время (он имелв виду возможность быстро переделывать уже имевшиеся часыв маятниковые). С этого момента совершенствование часов ста-


новится одной из главных задач Гюйгенса. Последняя работа очасах была опубликована в 1693 г. за два года до его смерти.Если в первой работе Гюйгенс проявил себя прежде всего как ин-женер, сумевший реализовать в часовом механизме уже известноесвойство изохронности маятника, то постепенно на первый планвыходит Гюйгенс — физик и математик.

Впрочем, в числе его инженерных достижений были выдаю-щиеся. Макс Лауэ выдвигал на первый план в часах Гюйгенсаидею обратной связи: впервые энергия сообщалась маятнику безнарушения периода колебаний, «причем сам источник колебанийопределяет моменты времени, когда требуется доставка энергии».У Гюйгенса эту роль выполняло простое и остроумное устройствов виде якоря с косо срезанными зубцами, ритмически подталки-вающего маятник.

Еще в начале своей работы Гюйгенс обнаружил неточностьутверждения Галилея об изохронности колебаний маятника. Этимсвойством маятник обладает лишь при малых углах отклоненияот вертикали, но, скажем, для угла в 60 колебания заметно неизо-хронны (на это мог бы обратить внимание Галилей в опытах,описанных Вивиани). В 1673 г. Гюйгенс отмечал, что период для90 относится к периоду для малых дуг, как 34 к 29. Для тогочтобы скомпенсировать отклонения от изохронности, Гюйгенс ре-шил уменьшать длину маятника при увеличении угла отклонения.В первых часах Гюйгенса с этой целью использовались ограни-чители в форме щек, на которые частично наматывалась нитьподвеса. Эмпирический способ подбора формы щек не устраивалГюйгенса. В 1658 г. он вообще удалил их из конструкции, вводяограничители амплитуды. Но это не означало отказа от поисковизохронного маятника. В часах 1659 г. корректирующие пластин-ки появились вновь, но на сей раз Гюйгенс уже умел определятьформу щек теоретически: оказалось, что они должны иметь фор-му циклоиды — кривой, сыгравшей большую роль в развитии ма-тематики в XVII веке.

Этой кривой целиком посвящена следующая глава нашей кни-ги; из нее читатель сможет узнать, как именно Гюйгенс пришелк своему открытию.

Изобретению циклоидального маятника Гюйгенс придавалнаибольшее значение: «Для проведения этих доказательств по-


требовалось укрепить и, где нужно, дополнить учение великогоГалилея о падении тел. Наиболее желательным плодом, как бывеличайшей вершиной этого учения, и является открытое мноюсвойство циклоиды».

Центробежные часы и часы с коническим маятником. Циклоидаль-ный маятник — не единственное изобретение, сделанное Гюйген-сом в процессе совершенствования часов. Другое направление вего исследованиях по хронометрии связано с теорией центробеж-ных сил. Эта теория была создана Гюйгенсом, и показательно, чтовпервые она была опубликована в «Маятниковых часах». В пятойчасти этой книги без доказательства приводятся теоремы о цен-тробежной силе и описывается конструкция часов с коническиммаятником (известно, что Гюйгенс изобрел их 5 октября 1659 г.).Доказательства теорем содержатся в работе «О центробежной си-ле», написанной в 1659 г., но вышедшей в свет лишь через восемьлет после смерти Гюйгенса. О центробежной силе знал еще Ари-стотель, а Птолемей считал, что если бы Земля вращалась вокругсвоей оси, то из-за центробежной силы предметы не могли быудерживаться на ее поверхности. Кеплер и Галилей опроверга-ли эту точку зрения, объясняя, что в этом случае вес уравно-вешивает центробежную силу, фактически предполагая, что приудалении от центра вращения центробежная сила уменьшается.Однако лишь Гюйгенс получил знаменитую формулу для центро-бежной силы Fц.б. = mv2/R, к которой был очень близок Галилей.В дополнении приводится подлинный текст Гюйгенса и читательсможет увидеть, в каком (быть может, не самом экономном с сего-дняшней точки зрения) виде были впервые сообщены результаты,полученные Гюйгенсом.

Какой бы задачей Гюйгенс ни занимался, он всегда думал овозможных приложениях полученных результатов к часам. И вэтом случае он хотел воспользоваться коническим маятником.Так называется нить с грузом, вращающаяся вокруг оси, про-ходящей через точку подвеса. Пусть l — длина нити, α — уголнити с вертикалью, R— расстояние от груза до оси. Если маят-ник движется по окружности и угол α остается постоянным, тоmv2/R = mg tgα. Отсюда v =

√gr tgα. Для периода — времени


одного оборота — получаем (поскольку T = 2πR/v)

T = 2π

√R

gctgα = 2π

√l cosαg

= 2π√u

g.

Здесь u = l cosα—длина проекции нити на ось маятника. В текстеГюйгенса проводятся многочисленные обсуждения формулы дляпериода конического маятника. Движение конического маятникасравнивается с двумя движениями, которые к тому времени бы-ли основательно изучены: со свободным падением и колебаниямипростого (или математического) маятника (Гюйгенс называет егоколебания боковыми в отличие от круговых колебаний коническо-го маятника).

Итак, период определяется проекцией нити на ось. Трудностьв построении изохронного конического маятника заключается втом, что постепенно угол с осью уменьшается и период увеличи-вается. Гюйгенс рассчитал, что для того чтобы период оставалсянеизменным, надо с уменьшением угла так уменьшать длину ни-ти, чтобы ее конец постоянно находился на параболоиде враще-ния.

В самом деле, пусть имеется некоторая поверхность враще-ния (у Гюйгенса параболоид — поверхность вращения параболыpy = x2 вокруг оси y). Тяжелая материальная точка устойчивовращается по горизонтальному сечению (кругу), если равнодей-ствующая веса и центробежной силы направлена по нормали кповерхности (перпендикуляру к касательной плоскости), а пото-му здесь применима формула для конического маятника. В этомслучае α— угол нормали с осью, l— длина отрезка нормали меж-ду осью и поверхностью, u—проекция этого отрезка на ось. Здесьпереход от конического маятника к вращению тяжелой точки вкакой-то мере аналогичен переходу Галилея от математическогомаятника к движению тяжелой точки по круговому желобу. ДалееГюйгенс замечает, что у параболы py = x2 величина u (проекцияотрезка нормали на ось) не зависит от положения точки и равнаp/2. Отсюда он делает вывод, что период вращения тяжелой точ-ки по любым горизонтальным сечениям параболоида один и тотже:

T = 2π√p/2g.


Это дает новый способ полу-чения изохронных колебаний,что, по мнению Гюйгенса, бы-ло важно при построении ча-сов. Если подвесить кониче-ский маятник так, чтобы неза-висимо от угла α наклона нитик оси его конец двигался по по-верхности параболоида, полу-ченного от вращения параболыpy = x2, то период вращенияне будет зависеть от α. Други-ми словами, надо сделать так,чтобы при изменении α дли-на l изменялась, обеспечиваяпостоянство проекции и на ось.Гюйгенс придумал чрезвычай-но остроумный способ подвес-ки. Он предложил изготовить

пластинку по форме полукубической параболы y2 = ax3+b, закре-пить в некоторой ее точке конец нити и тогда, оказывается, можнотак подобрать a, b и длину нити, что как бы мы ни натянули нить,намотав часть ее на пластинку, другой ее конец будет находитьсяна параболе. Секрет этого остроумного способа подвески опирает-ся на те же математические соображения, что и способ подвескициклоидального маятника.

Заметим, что эти же вычисления помогли Гюйгенсу в 1687 г.быстро решить задачу Лейбница о кривой, по которой тяжелаяточка движется так, что пути, пройденные ею в равные проме-жутки времени, имеют равные проекции на вертикаль. Этим свой-ством обладает полукубическая парабола.Физический маятник. Одно из главных достижений Гюйгенсаотносится к теории физического маятника, т. е. речь идет ужене о колебании точечного груза, а о колебании конфигурациигрузов или тяжелой пластины. Эта задача возникла в связи сидеей иметь, кроме основного груза на конце маятника, подвиж-ный груз, позволяющий регулировать период качаний маятника.Гюйгенс почерпнул эту идею у гаагского мастера Доу, который


в 1658 г. взял патент на свой вариант маятниковых часов, малоотличающийся от часов Гюйгенса. Задачи о колебаниях физи-ческого маятника возникали и раньше. Для механики переходот движения материальной точки к движению протяженныхконфигураций был принципиальным. Первая серия таких задачотносилась к центру тяжести, и здесь важные результаты бы-ли известны. В задачах же о колебаниях физического маятникадолго не удавалось сделать ничего существенного1.

О задачах про физический маятник Гюйгенс узнал от Мер-сенна: «Когда я был еще почти мальчиком (ему не было 17 лет —С. Г.), ученейший муж Мерсенн задал мне и многим другим за-дачу — определить центр качания. Из писем, которые писал мнеМерсенн, а также из недавно опубликованных мемуаров Декар-та, заключающих ответ на письма Мерсенна по этому поводу, язаключаю, что эта задача пользовалась в это время известнойславой среди математиков. . . Мерсенн назначил большую, вы-зывающую зависть премию на тот случай, если я решу задачу.Однако он тогда ни от кого не получил того, что требовал 〈. . .〉, яв то время не нашел, что позволило бы мне приступить к расче-там и как бы повернул назад у самого порога, и воздержался отвсякого исследования. Но и те, кто надеялись, что решили зада-чу, знаменитые люди, как Декарт, Оноре Фабри и другие, вовсене достигли цели или достигли ее только в немногих, особеннопростых случаях.

Повод к новой постановке опытов дали регулируемые маятни-ки наших часов, снабженные, кроме нижнего постоянного груза,еще вторым подвижным грузиком, как сказано при описании ча-сов. Исходя из этого, я начал исследования с начала, на этот разс лучшими видами на успех и, наконец, преодолел все трудностии решил не только все задачи Мерсенна, но нашел еще и новыезадачи, более трудные, и, наконец, нашел общий метод для вычис-ления центров качания линий, площадей и тел. От этого я имелне только удовольствие, что я нашел нечто, что напрасно иска-

1Напомним, что приведенной длиной физического маятника называетсядлина математического маятника, имеющего тот же период колебаний, ацентр качания — это точка, лежащая на прямой, соединяющей точку подве-са с центром тяжести, на расстоянии от точки подвеса, равном приведеннойдлине.


ли столь многие, и понял законы природы, относящиеся к этомуслучаю, но, получил и определенную пользу, которая вообще за-ставила меня заняться этим вопросом, а именно я нашел легкийи удобный способ регулировки часов. К этому, однако, присоеди-нилось то, что я считаю еще более ценным, а именно: благодарясвоему открытию я смог дать абсолютно устойчивое определениедля постоянной, верной для всех времен меры длины».

Последняя идея, о которой пишет Гюйгенс, состояла в том, чтоподобно тому, как для измерения времени имеется естественнаяединица измерения — сутки, для измерения длины такой едини-цей предлагалось считать 1/3 длины маятника, период колебанийкоторого равен одной секунде.

Задачи о центре качания не были доступны с позиций раз-работанных к тому времени методов математического анализа.Гюйгенс заметил, что целый ряд трудностей можно преодолеть,исходя из энергетических соображений: центр тяжести при дви-жении не может подняться выше, чем он был в начале движения(иначе существовал бы вечный двигатель). Этот способ доказа-тельства вызывал возражения у ряда крупных ученых, и былозатрачено много сил, прежде чем Я. Бернулли удалось получитьаналогичные утверждения на другом пути.

Морские часы. 1673 год был вершиной деятельности Гюйгенса помаятниковым часам. В этом году вышла его книга «Маятниковыечасы», а парижский часовщик Исаак Тюре изготовил экземплярчасов с учетом всех усовершенствований. Маятниковые часыпрочно вошли в обиход, но надежды на морские маятниковыечасы не оправдались. Первые экземпляры таких часов были из-готовлены в 1661 г., а с 1663 г. начались их испытания. Вначалеграф Брюс взял с собой часы при плавании из Голландии в Лон-дон, но часы остановились; более успешными были испытаниякапитана Холмса при плавании из Лондона в Лиссабон. О дра-матических событиях, связанных с испытанием часов во времяплавания английской эскадры в Гвинее, рассказывает Гюйгенс в«Маятниковых часах». Испытания проходили с переменным успе-хом до 1687 г., хотя становилось ясно, что надежного средства дляизмерения долготы маятниковые часы не дают. Постепенно спросна морские часы упал, и в 1679 г. сам Гюйгенс склонился к тому,


что морской хронометр должен представлять собой пружинныечасы с балансиром. Такой хронометр удалось создать в 1735 г.Дж. Харрисону, который и получил премию в 20 тыс. фунтов отанглийского правительства.

Прошло 300 лет. Маятниковые часы сослужили добрую служ-бу людям, которые нечасто знают имя их создателя. Драматиче-ская история работы Гюйгенса над маятниковыми часами оченьпоучительна. В некотором смысле его главные надежды не осу-ществились: ему не удалось создать морской хронометр, а в су-хопутных часах циклоидальный маятник, который Гюйгенс счи-тал своим главным изобретением, не прижился (вполне хваталоограничителей амплитуды). Та же участь постигла коническиймаятник. Но те математические и физические результаты, по-лучение которых стимулировалось задачей о совершенствованиичасов, навсегда остались в анализе бесконечно малых, дифферен-циальной геометрии, механике, и их значение трудно переоценить.

ПриложениеПятая часть «Маятниковых часов», содержащая другую кон-струкцию часов с использование кругового движения маятни-ков и теоремы о центробежной силе. . . У меня было намерение издать описание этих часов вместе стеоремами, относящимися к круговому движению и к центробеж-ной силе, как я хочу ее назвать. Но относительно этого предмета уменя больше материала, чем времени для его изложения в насто-ящий момент. Но для того чтобы лица, интересующиеся этим во-просом, быстрее познакомились с новым, отнюдь не бесполезнымоткрытием, чтобы какая-либо случайность не помешала опубли-кованию, я, противно моему первоначальному предположению,присоединил еще и эту часть к предыдущим. В ней кратко опи-сывается конструкция новых часов и далее следуют теоремы оцентробежной силе, их доказательство откладывается на болеепозднее время.

Конструкция вторых часовЯ не счел нужным изложить здесь распределение колес внутричасового механизма; это устройство легко могут осуществитьчасовщики в различных вариантах. Будет достаточным опи-


сать ту часть часов, которая регулирует их ход определеннымобразом.

Следующий рисунок изображает эту часть часов. Ось BH сле-дует представлять себе вертикальной, способной вращаться в двухподшипниках. В A к оси приделана пластинка, имеющая опре-деленную ширину и искривленная по кривой AB, которая естьполукубическая парабола, при сматывании нити с которой и при-бавлении некоторой длины описывается парабола EF , как до-казано в теореме VIII третьей части. AE — длина, на которуюнадо удлинить нить; путем сматывания всей линии BAE и обра-зуется парабола EF . BCF — нить, закрепленная на кривой AB,конец которой описывает параболу. К нити прикреплен груз F .Если ось DH вращается, тогда нить BCF , вытянутая в прямую,повлечет за собой груз F , который будет описывать горизонталь-ные круги. Эти круги будут больше или меньше в зависимостиот большей или меньшей силы, с которой действуют на ось коле-са, вращающие барабан K. Но все эти круги будут лежать напараболическом коноиде, и именно потому продолжительностьодного оборота будет всегда одна и та же, как вытекает из то-го, что я объясню об этом движении впоследствии. Если оборотдолжен совершаться в полсекунды, то параметр параболы EF


должен составлять 412

дюйма моего часового фута, т. е. он долженбыть равен половине длины маятника, у которого каждое коле-бание длится 1/2 секунды. Из параметра параболы определяетсяпараметр полукубической параболы; он равен 27/16 первого пара-метра; определяется также отрезок AE, который равен половинедлины параметра параболы EF . Если же оборот должен совер-шаться в секунду, то надо все длины брать в четыре раза больше,как параметры, так и длину AE.

Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением1

I

Если два одинаковых тела в одинаковое время описывают неоди-наковые окружности, то их центробежные силы относятся, какдлины окружностей или как диаметры.

II

Если два одинаковых тела движутся с одинаковой скоростью поокружности разных кругов, то их центробежные силы обратнопропорциональны диаметрам.

III

Если два одинаковых тела движутся по одинаковым кругам сразной скоростью, но оба равномерно, как мы это здесь всегдаподразумеваем, то их центробежные силы относятся, как квадра-ты скоростей.

IV

Если два одинаковых тела движутся по разным окружностям иобнаруживают одинаковую центробежную силу, то их времена об-ращения относятся, как корни квадратные из диаметров.

1Примечания к тексту даны в квадратных скобках. В примечаниях исполь-зуются обозначения: m — масса тела, F — центробежная сила, T — период, R —расстояние до центра, v — скорость.


V

Если тело движется по окружности круга с той скоростью, ко-торую бы оно приобрело, свободно падая с высоты 1/4 диаметракруга, то испытываемая им центробежная сила равна весу, т. е.оно тянет за нить, при помощи которой оно прикреплено к цен-тру, с той же силой, как если бы было подвешено к нити.

[Если высота H = R/2, то для конечной скорости при свобод-ном падении имеем v =

√2gH =

√Rg, а для указанной центро-

бежной силы имеем F = mv2/R = mRg/R = mg.]

VI

Если тело пробегает различные горизонтальные окружности, ко-торые все лежат на кривой поверхности параболического конои-да (параболоида) с вертикальной осью, то время оборотов всегдаодно и то же, будут ли круги больше или меньше, и это время об-ращения вдвое больше продолжительности колебания маятника,длина которого равна половине параметра образующей параболы.

ТАЙНЫ ЦИКЛОИДЫ

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой иокружности нет более часто встречающейся линии; она такчасто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удив-ляться тому, как не рассмотрели ее древние 〈. . .〉, ибо это нечто иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, ко-гда оно катится своим движением с того момента, как гвоздьначал подниматься от земли, до того, когда непрерывное ка-чение колеса не приводит его опять к земле после окончанияцелого оборота. Паскаль

1. Циклоида и изохронный маятник

Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого»,первыми заметили Галилей в Италии и Мерсенн (1588 – 1648) воФранции. В Италии ее назвали циклоидой (это название, означа-ющее «происходящая от круга», принадлежит Галилею), во Фран-ции — рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперьназывают кривые более широкого класса, речь о которых пой-дет позднее. Математики XVII века, создававшие общие методыисследования кривых, были очень заинтересованы в новых «под-опытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особоеместо. Она оказалась одной из первых трансцендентных кри-вых (кривых не алгебраического происхождения), для которыхудалось найти красивый явный ответ в задачах о построении каса-тельных и вычислении площади. Но больше всего поражало, чтоциклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разныхзадач, в первоначальной постановке которых она не участвовала.Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века:крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиани(1622 – 1703), Ферма (1601 – 1665), Декарт (1596 – 1650), Робер-

119

120 Тайны циклоиды

Рис. 2.

валь (1602 – 1675) ) решали разнообразные задачи о циклоиде, ав 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследованаточнее и основательнее всех других кривых».

От кинематического определения к аналитическому. Кинематиче-ское определение циклоиды содержится в эпиграфе к этой главе.Попробуем его расшифровать.

Выберем на плоскости систему координат так, чтобы пря-мая, по которой катится круг (направляющая прямая), совпалас осью Ox, и пусть круг (его называют производящим кругом)катится в положительном направлении оси Ox. Предположим,что в начальный момент времени наблюдаемая точка границыкруга занимает положение A0 = (0, 0) (рис. 2).

Если r— радиус производящего круга, то центр его будет дви-гаться по прямой y = r. Чтобы полностью охарактеризовать ка-чение круга, достаточно описать движение его центра, если толь-ко добавить, что круг катится без скольжения!1 Нам удобно,зафиксировав единицу времени, предположить, что центр кругадвижется равномерно со скоростью r. В момент времени t центркруга окажется в точке Ct = (tr, r), и производящий круг будеткасаться направляющей прямой в точке Bt = (tr, 0). Найдем те-перь положение At наблюдаемой точки в момент времени t (всилу определения At будет точкой циклоиды). Чтобы это сде-лать, нужно четко сформулировать условие, что качение кругапроисходит без скольжения: оно состоит в том, что длина отрез-ка между точками касания производящего круга с направляющейпрямой в моменты времени 0 и t (отрезка OBt, см. рис. 2) равнадлине дуги BtAt, «прокатившейся» по этому отрезку (при этом

1Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо«катится своим движением».

Циклоида и изохронный маятник 121

дуга может превышать полную окружность). Поэтому в моментвремени t угол BtCtAt равен t (в радианной мере), так как дли-на дуги tt равна tr. Обозначив через Dt проекцию точки At напрямую, проходящую через центр круга Ct параллельно оси Ox,а через Et — проекцию точки At на прямую, проходящую черезцентр Ct параллельно оси Oy (рис. 3), получим (с учетом направ-лений координатных осей)

CtDt = −r sin t, CtEt = −r cos t

(посмотрите, что будет в случаях t > π/2, t > π). Следовательно,координаты точки t циклоиды равны соответственно

x = rt− r sin t, y = r − r cos t.

Заметим, что при t = 2π длина отрезка OB оказывается равнойдлине окружности, наблюдаемая точка вновь попадает на ось Ox,и картина начнет повторяться. Таким образом, период циклоидыравен 2πr.

Итак, циклоиду можно определить как множество точек с ко-ординатами (rt − r sin t, r − r cos t), и при желании про исходноекинематическое определение забыть. Мы получили так называ-емое параметрическое задание циклоиды: обе координаты x и yточки At циклоиды являются функциями от некоторой вспомога-тельной переменной t.

Назовем точки циклоиды, лежащие на оси Ox, остриями цик-лоиды, точки, лежащие на прямой y = 2r, — вершинами, а дугимежду соседними остриями—арками циклоиды. В выбранной си-стеме координат циклоида характеризуется одним параметром r

Рис. 3.

(радиусом производящего кру-га). Все циклоиды, у которыхточка (0, 0) — острие, получают-ся друг из друга гомотетией. Покаждой точке (x, y), x 6= 0, мож-но единственным образом вы-брать r так, что эта точка будетлежать на первой арке, выходя-щей из точки (0, 0) соответству-ющей циклоиды (докажите).


Касательные к циклоиде. Мы построим касательную к циклоиде спомощью приема, разработанного Торричелли и Робервалем; этотприем основывается на сложении скоростей. Первым касатель-ную к циклоиде, вероятно, построил Вивиани. Однако, посколькуциклоида определялась кинематически, естественно было найтитакой способ построения касательной к ней, который исходил быиз кинематических соображений. Это и сделали Роберваль и Тор-ричелли.

Рассмотрим движение материальной точки. Если в моментвремени t0 прекратить действие сил, то точка остановится илиначнет равномерно двигаться по касательной к траектории (ско-рость возникающего равномерного движения называется мгно-венной векторной скоростью исходного движения при t = t0). Этоутверждение вытекает из законов Ньютона. Но можно, как эточасто делали математики в XVII веке, принять его за кинематиче-ское определение касательной, убедившись, что оно согласуется снаблюдениями над простейшими движениями (прежде всего вра-щательным). Встав на такую точку зрения, мы сможем строитькасательные ко многим интересным кривым, используя при этомлишь простые факты о скоростях.

Будем рассматривать только плоское движение. Зафиксируемна плоскости точку O—начало отсчета. Если движущаяся точка вмомент времени t занимает положение At, то через r(t) обозначимвектор OAt. Задание векторов r(t) для всех значений t полностьюопределяет движение. Мгновенную векторную скорость в моментвремени t обозначим через r(t); напомним, что вектор r(t) на-правлен по касательной к траектории движения. Его длина |r(t)|называется величиной скорости. Если движение происходит пофиксированной прямой, на которой введены координаты, то век-торы r(t) и r(t) направлены по этой прямой, и их можно характе-ризовать координатами s(t) и s(t).Пример 1. Галилей показал, что для прямолинейного движения s(t) == gt2/2 скорость будет равна s(t) = gt.Пример 2. Пусть точка, находящаяся на расстоянии R от точки O,равномерно вращается вокруг O. Тогда вектор r(t) направлен по ка-сательной к окружности, по которой движется точка, и |r(t)| = 2πR/T ,где T — период вращения (время полного оборота). В частности, приT = 2π имеем |r(t)| = |r(t)| = R.


Закон сложения скоростей. Пусть имеется два движения r1(t)и r2(t). Назовем их суммой движение, для которого r(t) = r1(t) ++r2(t), где справа стоит векторная сумма. Закон сложения скоро-стей утверждает, что скорость движения r(t) равна r1(t) + r2(t),то есть сумме (векторной) скоростей составляющих движений.Закон сложения скоростей легко установить для суммы движе-ний с постоянными скоростями; общий же случай получается изэтого частного случая предельным переходом.

Всякое движение r(t) может быть представлено в виде суммы двухпрямолинейных движений. Для этого достаточно ввести любую декар-тову систему координат так, чтобы O = (0, 0), и рассмотреть измене-ние со временем координат x(t), y(t) вектора r(t). Очевидно, что исход-ное движение r(t) и будет суммой движений x(t) и y(t) по координат-ным осям. Скорости этих движений x(t) и y(t) являются компонентамивектора r(t) (в силу закона сложения скоростей). Если в примере 2R = 1, T = 2π, и вектор r(0) направлен по положительному направле-нию оси Ox, то r(t) = (sin t, cos t), r(t) = (cos t,− sin t), и мы получаем,что s(t) = − sin t если s(t) = cos t, и s(t) = cos t если s(t) = sin t. Чи-татель, знакомый с дифференцированием, заметит, что выявился оченьпростой кинематический смысл формул для производных от sin t и cos t.

Кинематическое определение касательной к параболе. Еще Галилей(1564—1642) обнаружил, что если тело бросить под углом к гори-зонту, то оно летит по параболе. При доказательстве этого фактаГалилей исходил из предположения, что такое движение являет-ся суммой равномерного движения по инерции и свободного па-дения. Однако Галилей не воспользовался своими вычислениямидля построения касательной к параболе. Сделал это Торричелли.В приводимых ниже задачах 1, 2 сформулирован его результат.Задача 1. Докажите, что касательная, проведенная в точке At траек-тории горизонтально брошенного тела: At = (x(t), (t)) = (vt, gt2/2),соединяет эту точку с точкой (0,−y(t)) = (0, gt2/2).

Все вычисления легко обобщаются на случай тела, брошен-ного под углом к горизонту со скоростью (u, v). В этом случаедвижение разбивается на движение x1(t) = ut, x2(t) = vt с по-стоянной скоростью (u, v) и свободное падение x2(t) = 0, y2(t) == −gt2/2. Поэтому результирующее движение записывается так:x(t) = ut, y(t) = vt − gt2/2 (при сложении векторов с началомв O координаты их концов складываются).Задача 2. Докажите, что касательная к параболе, по которой летит тело,


брошенное со скоростью (u, v), соединяет точку касания (x(t), y(t)) сточкой (0,−y2(t)) = (0, gt2/2).

Заметим, что указанный Торричелли способ построения каса-тельных к параболе был известен и раньше, однако его кинема-тическая интерпретация, безусловно, поучительна.

Рис. 4.

Вернемся к циклоидам. Дви-жение точки, описывающей цик-лоиду, можно рассматривать каксумму вращательного r1(t) —вокруг O — и поступательно-го r2(t)—вдоль прямой l, причемдвижения эти происходят такимобразом, что в каждый моментвремени пройденные пути оказы-ваются одинаковыми (s(t)). За-кон изменения пути s(t) можнозадавать по-разному; от этого бу-

дет зависеть характер движения, но траектория (циклоида), авместе с ней и интересующие нас касательные, меняться не бу-дут. Выберем самый простой закон изменения: s(t) = ct. Тогдаоба движения, и поступательное и вращательное, будут равно-мерными с одинаковой величиной скорости r1(t) = r2(t) = c (см.пример 2)1.

Найдем скорость результирующего движения. Пусть в моментвремени t точка занимает положение At (рис. 4). Вектор r1(t)направлен по касательной к границе производящего круга, век-тор r2(t) — горизонтально; длины их одинаковы. По правилу па-раллелограмма (в данном случае это ромб) находим искомую ско-рость r(t), а значит, и касательную к циклоиде.Задача 3. Докажите, что касательная к циклоиде в точке At соединяетэту точку с верхней точкой Ft производящего круга при его соответ-ствующем положении.

(Для решения задачи нужно доказать лишь простой геометриче-ский факт: вектор r(t) направлен по прямой AtFt.)

Заметим, что величина скорости |r(t)| не постоянна: она мак-симальная, когда точка занимает наивысшее положение (при этом

1Имеем c = 2πR/T , где R — радиус производящего круга, T — время егополного оборота. В частности, если T = 2π, то c = R.


Рис. 5.векторы r1(t) и r2(t) лежат на одной прямой и совпадают по на-правлению), и равна нулю, когда точка попадает на прямую l (вэтом случае векторы r1(t) и r2(t) противоположны — рис. 5).

Рис. 6.

Можно показать, что равен-ство нулю скорости в точках со-прикосновения круга и прямойво все моменты времени эквива-лентно принятому ранее опреде-лению качения без скольжения.

Итак, получаем, что там, гдециклоида имеет заострения, ско-рость наблюдаемой точки обра-щается в нуль. Оказывается, чтовообще, какова бы ни была тра-ектория, в точках ее заострения скорость всегда равна нулю. Ино-гда говорят, что траектория не может «сломаться» на ненулевойскорости. Принято считать, что в точках заострения у кривых неткасательных. Все сказанное здесь нуждается в серьезных уточне-ниях, которые мы делать не будем.Нормаль к циклоиде. Итак, касательная к циклоиде в точке At

(рис. 6) проходит через верхнюю точку производящего круга —точку F на рис. 6. Пусть Bt — нижняя точка круга, α — уголмежду касательной и вертикалью FBt. Тогда AtBt — нормальк циклоиде (перпендикуляр к касательной; мы воспользова-лись тем, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, —прямой), и для ординаты y точки At имеем y = EtBt = 2r sin2 α.Отсюда получаем следующее соотношение:

sinα =√

y

2r. (9)


В дальнейшем это соотношение будет играть важную роль. Мож-но показать, что циклоида с параметром r является единственнойкривой, проходящей через точку (0, 0) и удовлетворяющей соот-ношению (9).

О площадях криволинейных фигур. Площади некоторых криволи-нейных фигур умели вычислять еще в Древней Греции. Вначалеинтересовались лишь квадратурой фигур, т. е. построением дляданной фигуры циркулем и линейкой отрезка, длина которогоравна ее площади. Как выяснилось позднее, это можно сделатьдля тех фигур, площадь которых вычисляется при помощи ариф-метических операций и операции извлечения квадратного корня.Постепенно стали интересоваться фигурами, площади которыхвычисляются с помощью произвольных алгебраических операций(алгебраическая квадратура), а затем даже и такими фигура-ми, в выражениях для площадей которых фигурировало число π.Основной метод вычисления площадей состоял в приближенииданной фигуры многоугольниками и переходе к пределу; но долж-но было очень повезти, чтобы эти вычисления удалось довести доявного ответа.

Иногда вычисление площади фигуры можно упростить, вос-пользовавшись какими-нибудь общими свойствами площадей. Вотнесколько таких свойств.

1. При гомотетии фигуры с коэффициентом k площадь ееумножается на k2, а при растяжении фигуры относительнонекоторой оси с коэффициентом k площадь ее умножаетсяна k.

2. Равносоставленные фигуры (т. е. фигуры, которые можноразрезать на попарно равные части) равновелики (имеютравные площади).

3. Две фигуры, при пересечении которых любой прямой, па-раллельной некоторой фиксированной прямой, получаютсяравные отрезки, равновелики (этот принцип сформулировалв 1635 году Кавальери (1598 – 1647) ).

Представим себе, что контур фигуры — гибкая лента, а самафигура составлена из очень тонких жестких слоев, параллельныхпрямой l («неделимых», по терминологии Кавальери). Рассмот-


а) б)

Рис. 7.

рим преобразования, сохраняющие эти слои, но сдвигающие ихдруг относительно друга. Все получающиеся при таких преобра-зованиях фигуры в силу принципа Кавальери будут равновелики.

Перечисленные свойства площадей нуждаются в доказатель-ствах (основная трудность этих доказательств состоит в том, что-бы дать строгое определение площади), но в них легко поверить.Сейчас мы расскажем о том, как изящно применяются эти свой-ства при вычислении площади фигуры, лежащей под аркой цик-лоиды.

Спутница циклоиды, лепестки Роберваля и площадь под циклоидой.Поскольку все циклоиды подобны, мы ограничимся случаем r == 1. Вслед за Робервалем свяжем с каждой точкой циклоиды At

(см. рис. 6 на с. 125) ее проекцию Et на вертикальный диаметрпроизводящего круга. Точка Et имеет координаты

x = t, y = 1− cos t = 1 + sin(t+

π

2

).

Кривую, составленную из точек Et при всевозможных t, Робер-валь назвал «спутницей циклоиды». Легко понять, что «спутницациклоиды» — это сдвинутая синусоида (на 1 вверх и на π/2 впра-во).

С этим обстоятельством связан исторический курьез. Математикис незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями,но синусоида впервые появилась лишь в XVII веке, причем не как гра-фик синуса, а как . . . «спутница циклоиды» (отчасти это можно объ-яснить тем, что долго не рассматривали функций неалгебраическогопроисхождения).

«Спутница циклоиды» разбивает ее на три части (рис. 7а на


с. 127): фигуру под синусоидой и две симметричные фигуры, на-званные «лепестками Роберваля». В силу свойства 2 площадьфигуры под синусоидой равна 2π: эта фигура равносоставленас прямоугольником такой площади (рис. 7б). Рассмотрим один«лепесток». Горизонталь на высоте y = 1 − cos t пересекает егопо отрезку AtEt длины | sin t| (см. рис. 3). Переместив эти го-ризонтальные отрезки (при всевозможных t) вдоль своих гори-зонталей так, чтобы их левые концы попали на одну вертикаль,мы получим полукруг единичного круга (рис. 8). В силу прин-ципа Кавальери площадь «лепестка» равна площади этого по-лукруга, т. е. π/2. Значит, площадь фигуры под аркой цикло-иды с r = 1 равна 2π + 2(π/2) = 3π (и следовательно, 3πr2

при r 6= 1).

Рис. 8.

Вопрос о вычислении площа-дей сегментов циклоиды являет-ся менее элементарным. Гюйгенсне без гордости писал: «Я первыйпромерил площадь той части цик-лоиды, которая получится, еслиотсчитать от вершины 1/4 частьоси и провести параллель основа-нию. Эта часть составляет поло-вину площади правильного шестиугольника, вписанного в обра-зующий круг».

Таутохрона. Галилей утверждал, что период колебаний математи-ческого маятника определяется только его длиной l и не зависитот угла ϕ его максимального размаха. Гюйгенс, выяснив, что этоутверждение справедливо лишь для малых углов ϕ, решил по-строить маятник, период колебаний которого и в самом деле независел бы от ϕ (такой маятник называется таутохронным илиизохронным).

Построение изохронного маятника Гюйгенс разделил на дваэтапа:

1) нахождение кривой, по которой должен двигаться конец ма-ятника (таутохроны);

2) нахождение подвески маятника, обеспечивающей движениеего конца по таутохроне.


Рис. 9.

Мы начнем с поисков таутохроны (существование которой за-ранее не очевидно).

Конец математического маятника движется по дуге окружно-сти точно так же, как тяжелая материальная точка — по жело-бу, контур которого совпадает с этой окружностью. Если прене-бречь силами трения и сопротивления воздуха, то тяжелая точка,пущенная по круговому желобу без начальной скорости с высо-ты H, пройдя нижнее положение, снова поднимется на высоту Hи далее будет совершать периодические колебания, поднимаясьто в одну, то в другую сторону на высоту H. Неверное утвер-ждение Галилея состояло в том, что при этом период колеба-ний T (H) не зависит от H. Наша задача — определить, какойформы должен быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей,было верным.

Благодаря счастливой случайности (они в истории науки иг-рают не последнюю роль), Гюйгенс изучал циклоиду (в связис конкурсом Паскаля, 1658 год) в то самое время, когда искализохронный маятник. Именно циклоида и оказалась таутохроной!Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можно по-нимать его слова: «я обнаружил пригодность ее (циклоиды) дляизмерения времени, исследуя ее по строгим правилам науки и неподозревая ее применимости»).

Рассмотрим на желобе, сделанном по форме перевернутойциклоиды (рис. 9; r — радиус производящего круга) тяжелуюматериальную точку; пусть в начальный момент времени онанаходится на высоте H (в точке C0 на рисунке). Попытаемсянайти время τ , через которое она окажется в нижней точке B(вершине циклоиды). Тогда через 2τ она будет в точке C2τ цик-лоиды, симметричной относительно вертикальной оси точке C0,через время T = 4τ (полный период) вернется в точку C0. Насинтересует зависимость τ от H.


Пусть в момент времени t тяжелая точка занимает положе-ние Ct на высоте h = h(t). Вектор скорости r(t) в момент времени tнаправлен по касательной к циклоиде в точке Ct; его длина |r(t)|(величина скорости) определяется из закона сохранения энергии:

m|r(t)|2

2= mg(H − h(t)),

т. е.|r(t)| =

√2g(H − h(t)).

Посмотрим, как движется проекция нашей точки на верти-каль C0B

′. В момент времени t эта проекция занимает положе-ние C ′t, а в момент времени τ она окажется в точке B′ (см. рис. 9),пройдя отрезок C0B

′ длины H. Скорость w(t) в момент време-ни t этого прямолинейного движения (в точке C ′t на рис. 9) — этопроекция вектора скорости r(t) на вертикаль: w(t) = |r(t)| cosα,где α— угол между кусательной к циклоиде и вертикалью. По-скольку (см. (9)) cosα =

√(2r − y)/2r и y = 2r − h(t), имеем

cosα =√h(t)/2r, а значит

w(t) =√g

r·√h(t)(H − h(t)).

Итак, закон изменения скорости у нашего прямолинейногодвижения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решаю-щая догадка!), что при равномерном вращательном движениипо окружности диаметра H вертикальная компонента скоростиимеет тот же вид, что и w(t). Действительно, построим на отрез-ке C0B

′ как на диаметре полуокружность, и пусть C ′′t —точка этойполуокружности, лежащая на высоте h(t). Длина отрезка C ′tC

′′t

равна√h(t)(H − h(t)).

Из подобия прямоугольных треугольников, заштрихованныхна рис. 9 (их стороны взаимно перпендикулярны: OC ′′t — ра-диус, в точке C ′′t проведены касательная к полуокружности ивертикаль), следует, что вектор длины (H/2)

√g/r, касательный

к окружности в точке C ′′t , имеет вертикальную проекцию дли-ны w(t). Значит, когда наша точка C движется по циклоиде,соответствующая ей точка C ′′ равномерно вращается с угловой


скоростью√g/r радиан в секунду (не зависящей от H!). За вре-

мя τ = π√r/g точка C ′′ пройдет полуокружность C0B

′, за тоже время точка C ′ пройдет отрезок C0B

′, а сама точка C — ду-гу циклоиды C0B. Итак, мы не только доказали таутохронностьциклоиды (т. е. что τ не зависит от H), но и нашли полный периодколебаний:

T = 4τ = 4π√r

g. (10)

Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точкипо циклоидальному желобу можно представить в виде суммы равно-мерного вращательного движения с угловой скоростью, не зависящейот того, с какой высоты H пущена точка, и некоторого (вообще говорянеравномерного) поступательного движения. При H = 2r это легко вы-вести из кинематического определения циклоиды и соотношения (9) нас. 125.

Формула (10) настолько напоминает гипотетическую форму-лу Галилея для периода математического маятника (T = 2π

√l/g,

где l—длина), что было естественно попытаться использовать (10)для обоснования последней. И в самом деле, с помощью (10) Гюй-генс получил первое строгое доказательство формулы для перио-да колебаний математического маятника при малых углах разма-ха ϕ. Он заметил, что при малых углах круговой желоб почти неотличатеся от циклоидального, и оставалось только понять, прикаком соотношении между длиной l математического маятника ипараметром l циклоиды это отличие наименьшее. Оказалось, чтопри l = 4r (это не очевидный факт; мы еще к нему вернемся).Подставляя в (10) r = l/4, получаем знаменитую формулу дляпериода математического маятника: T = 2π

√l/g (при малых ϕ).

Циклоидальный маятник. Создавая первую модель часов, Гюй-генс надеялся скомпенсировать отклонение простого (математи-ческого) маятника от изохронности, уменьшая в процессе откло-нения его длину. Длину маятника можно регулировать, устано-вив «щеки» (рис. 10а), на которые в процессе отклонения будетнаматываться нить подвески. Попытки экспериментально подо-брать нужную зависимость длины маятника от угла отклоненияне дали успеха, и Гюйгенс в следующих своих конструкциях ча-сов устанавливает вместо щек ограничители размаха. Когда же


а) б)

Рис. 10.

выяснилось, что циклоида — таутохрона, стало понятно, что фор-ма щек должна быть такой, чтобы конец маятника двигался поциклоиде.

Гюйгенс искал форму щек, рассуждая (в несколько вольномпересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограничен-ное кривой L, в некоторой точке O которого закреплена нерастя-жимая нить длины l (рис. 10б). Натянутую нить мы наматываемна препятствие, наблюдая за кривой M , которую описывает неза-крепленный конец нити. Гюйгенс называл кривую M «разверт-кой» кривой L; теперь M называют эвольвентой кривой L, а L—зволютой кривой M (с одной эволютой связывается много эволь-вент, отвечающих разным длинам l). Нам нужно найти эволютуциклоиды.

Кривая M состоит из таких точек B, что сумма длин от-резка касательной BA к кривой L в точке A и дуги AO кри-вой L равна l (см. рис. 10б — это в точности означает натяну-тость частично намотанной на L нити). Первая догадка Гюйгенса

Рис. 11.

заключалась в том, что касательная к кри-вой M в точке B перпендикулярна к AB,т. е. что AB — касательная к кривой L вточке A — является одновременно и норма-лью к кривой M в точке B. Проще все-го пояснить этот факт, исходя из кинема-тического определения кривой M . Вспом-ним, что вектор скорости направлен по ка-сательной к траектории движения и что при

изменении действия сил вектор скорости не может изменить-ся мгновенно (подробнее об этом см. ниже). «Обрубим» в точ-


Рис. 12.

ке A препятствие, но будем продолжать движение натянутойнити (рис. 11); тогда конец нити начнет двигаться по окруж-ности с центром в точке A; векторная же скорость его в точ-ке B не изменится; поэтому в точке B у кривой и окружностис центром A будет общая касательная, перпендикулярная к ра-диусу BA.

Когда вы прочтете в этой главе раздел, посвященный рулет-там, вы заметите, что если рассматривать нити разной длины,то описанное движение конца нити продолжается до такого дви-жения всей плоскости как твердой пластины, при котором точкикривой L являются мгновенными центрами вращения, а различ-ные эвольвенты — траекториями точек плоскости. Из этого заме-чания сразу следует перпендикулярность отрезка AB к касатель-ной к кривой M в точке B.

Следующая догадка Гюйгенса состояла в том, что в «хоро-шей» ситуации зволюта кривой восстанавливается однозначно(помните, у одной кривой много эвольвент)! Дело в том, чтонормали к кривой M в разных точках — это касательные к ееэволюте L. «Хорошую» же кривую по касательным можно восста-новить: взяв много касательных, построить описанную ломануюи, «учащая» затем касательные, все лучше приближать кривую(говорят, что кривая огибает множество своих касательных).

Нам нужно найти кривую, касательные к которой будут нор-малями к заданной циклоиде. Гюйгенс догадался, что этой кривойбудет такая же циклоида, только поднятая на 2r и сдвинутая наполпериода (так, что ее вершины совпадают с остриями исходнойциклоиды; см. рис. 12 на следующей странице).


В самом деле, пусть r = 1, и пусть l и l′ — направляющиепрямые соответственно нижней и верхней циклоид, O и O′ — ихначальные точки (l′ на две единицы выше l; O′ на π единиц пра-вее O). Возьмем на прямой l точку C и рассмотрим положенияпроизводящих кругов (обеих циклоид), когда они касаются l вэтой точке C. Пусть C ′ и C ′′ — диаметрально противоположныеей точки соответственно верхнего и нижнего кругов, A и A′ —соответствующие точки циклоид. Дуга CC ′′A равна по длине от-резку OC; поэтому она на π больше дуги C ′A′, равной по длинеотрезку O′C ′. Отсюда ∠C ′CA′ = ∠C ′′CA, и точки A′, C,A лежатна одной прямой. Остается заметить, что CA′ — касательная кверхней циклоиде, а CA— нормаль к нижней (AC ′′— касательнаяк ней).

Теперь мы знаем, что щеки таутохронного маятника должныбыть циклоидальными, и что длина нити l должна равняться 4r(именно при таком значении l мы в качестве эвольвенты получимнужную циклоиду). При малых же углах размаха ϕ регулирую-щие щеки почти не влияют на длину маятника, и циклоида близкак дуге окружности радиуса 4r (см. конец предыдущего пункта).

Теорема Кристофера Рена. Эволюты и вычисление длин кривых.Решив задачу о циклоидальном маятнике, Гюйгенс не остано-вился, понимая, что им создана замечательная математическаятеория. Он пишет: «Для применения моего изобретения к маят-никам мне необходимо было установить новую теорию, а именно,теорию образования новых линий при посредстве развертываниякривых линий. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых ипрямых линий. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужнобыло для моей цели, так как теория показалась мне изящной иновой».

Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить маятника це-ликом наматывается на щеку, то конец его оказывается в вершинециклоиды; значит, длина нити маятника (4r) совпадает с длинойполовины арки циклоиды, и, значит, длина арки циклоиды рав-на 8r. Эту теорему в 1658 году сформулировал и доказал Кристо-фер Рен; Гюйгенс же, как мы видим, получил очень естественноедоказательство этой теоремы.

Теорема Кристофера Рена произвела на современников очень


сильное впечатление, и вот почему. Вычислением длин кривыхматематики интересовались не меньше, чем вычислением площа-дей. Вначале, по аналогии с квадратурой (см. с. 126), они инте-ресовались «ректификацией» — построением циркулем и линей-кой отрезка соответствующей длины; позже стали интересовать-ся и алгебраической ректификацией—выражением длины кривойпри помощи любых алгебраических операций. Мы уже говорили,что квадратуры некоторых фигур были найдены еще античны-ми математиками; кривую же, для которой была бы возможнахотя бы алгебраическая ректификация, математики безуспешноискали вплоть до второй полонины XVII века. Начали думать,что такой кривой вообще нет (так можно толковать слова Де-карта «мы, люди, не можем найти соотношения между прямы-ми и кривыми»). Ректификация циклоиды, полученная Реном,опровергла эту точку зрения. Затем Ферма получил ректифика-ции нескольких других кривых; однако во всех этих примерахфигурировали неалгебраические кривые, и скептики «уточнили»гипотезу, предположив, что невозможна алгебраическая ректифи-кация алгебраических кривых (они справедливо объясняли, что,конечно, искусственно построить кривую, допускающую ректи-фикацию, можно). Однако и в таком виде гипотеза оказаласьневерной (первый опровергающий эту гипотезу пример был по-строен еще в 1657 году, но оставался неизвестным): Нейль, Хейрати Ферма независимо предъявили в качестве алгебраической кри-вой, допускающей алгебраическую ректификацию, одну и ту жеполукубическую параболу ay2 = x3. Совпадение это казалось ми-стическим до тех пор, пока Гюйгенс не вскрыл, в чем причинаисключительности этой малозаметной кривой: она является эво-лютой параболы. Точнее, эволютой параболы y = x2 являетсякривая

y =12

+ 3(x

4

)2/3.

Теория Гюйгенса вообще максимально прояснила вопрос оректификации. Результаты о циклоидальном маятнике и связан-ные с ними вопросы составили содержание большей части книгиГюйгенса «Маятниковые часы», вышедшей в 1673 году.

В заключение мы предлагаем читателям несколько задач свесьма почтенной репутацией.


Две задачи Галилея

1. Докажите, что под действием силы тяжести материальная точка про-ходит все хорды окружности, оканчивающиеся в нижней точке окруж-ности, за одно и то же время (аналогично — для хорд, начинающихся вверхней точке окружности).2. Пусть есть кривая L (достаточно «хорошая») и точка A, не лежащаяна L. Найдите на L такую точку B, чтобы отрезок AB проходился ма-териальной точкой под действием силы тяжести за минимальное время.

Задачи Ньютона

Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны рассто-янию r до центра: F (r) = kr, k > 0.

Ньютон заметил, что в таком поле гипоциклоиды (см. о них нижев этой главе) играют ту же роль, что циклоиды — в поле сил тяжести:гипоциклоиды являются (в этом поле) таутохронами (Ньютон называлих изохронами), а эволютами гипоциклоид являются подобные же ги-поциклоиды (это — чисто геометрический факт, не относящийся к меха-нике, но он позволяет устроить гипоциклоидальный маятник, а заоднои вычислить длину гипоциклоиды).

Попробуйте доказать эти утверждения.

2. Рулетты и касательные к ним

Некоторые вопросы выяснились для меня первоначально припомощи механического метода, после чего их надо было до-казать геометрически, ибо исследование упомянутым мето-дом не может дать подлинного доказательства. Однако, ра-зумеется, легче найти доказательство, если сперва с помо-щью этого метода получено известное представление о во-просе, чем искать доказательство, не зная заранее, в чемсуть дела. Архимед

Укороченные циклоиды. Пока мы следили только за одной (фик-сированной) граничной точкой производящего круга; ясно, что идругие граничные точки будут двигаться по таким же циклоидам,только сдвинутым вдоль прямой. Проследим теперь за траекто-риями внутренних точек круга. Возникающие кривые называютсяукороченными циклоидами (рис. 13); они характеризуются отно-шением k = ρ/r, где R— радиус производящего круга, ρ— рассто-яние от центра круга до наблюдаемой точки. При k = 0 получаем

Рулетты и касательные к ним 137

прямую, по которой движется центр круга, а при k = 1 — цикло-иду.

Рис. 13.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклоиде прохо-дит через нижнюю точку производящего круга.

Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклоиде,нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость на-правлена горизонтально и ее величина равна R− ρ. Это означает,что к качению окружности радиуса ρ добавляется скольжение соскоростью R− ρ (поступательное движение).

Удлиненные циклоиды. Вовлечем в качение круга его внешниеточки (можно представить себе, что на колесо, движущееся порельсу, надет обод). Эти точки движутся по кривым, которые на-зываются удлиненными циклоидами (рис. 14). Все рассуждения,которые ранее были приведены для укороченных циклоид, до-словно переносятся на удлиненные. Здесь только k = ρ/r > 1.Заметим лишь, что в нижней точке удлиненной циклоиды ско-рость направлена в сторону, противоположную движению круга(|r1| = ρ, r2 = r, ρ > R).

Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки ободаколеса вагона движутся назад?

Мгновенный центр вращения. Итак, мы вовлекли в качение кругапо прямой все точки плоскости. Каждая точка движется по своейтраектории, но все эти траектории согласованы, так как движу-

Рис. 14.


щиеся точки составляют твердое тело. Характеристическим свой-ством твердого тела с точки зрения кинематики является то, чтопри движении расстояния между всеми его точками остаютсянеизменными. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь та-ких движений твердых пластин, которые можно производить, невыводя пластины из плоскости (запрещается, например, их пере-ворачивать). Нас будет интересовать, какие ограничения накла-дывает на скорости точек пластины условие твердости (заметим,что вопрос о движении трехмерных твердых тел намного сложнеерассматриваемой нами плоской задачи).

Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.

Принцип вовлечения. Движение твердой пластины однозначноопределяется движениями любых двух ее точек. Движение двухразличных точек, при котором сохраняется расстояние междуними, можно, и притом единственным образом, продолжить додвижения всей плоскости как твердой пластины.

Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мыне будем приводить его доказательства, ограничившись нагляд-ными пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стерж-ня полностью характеризуется движением двух его точек, а во-вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, то дви-жение одного из них однозначно приводит в движение весь тре-угольник. В результате в движение двух точек A,B можно во-влечь прямую AB, а затем всякую точку C вне AB.

Принцип инерции. Если на твердую пластину не действуют ни-какие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающиетвердость), то она совершает равномерное прямолинейное илиравномерное вращательное движение.

При рассмотрении произвольных движений пластин нам по-требуется еще один фундаментальный принцип механики: ско-рость не может измениться мгновенно (для изменения ско-рости требуется ненулевое время). В частности, если в моментвремени t0 изменить силы, действовавшие на движущуюся точ-ку, то скорость r(t0) не изменится, а значит, если r(t0) 6= 0, неизменится и касательная к траектории в момент t0 (хотя саматраектория начиная с этого момента может стать иной).

Пусть в момент времени t0 на движущуюся твердую пласти-


ну перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной стороны,скорости точек в момент времени t0 останутся прежними, а с дру-гой стороны, движение должно подчиняться сформулированномупринципу инерции. Поэтому при движении твердой пластины вкаждый момент времени t может иметь место лишь одна из двухвозможностей;

а) скорости всех точек равны (как векторы);б) существует единственная точка Ot, в которой скорость рав-

на нулю; в произвольной же точке A пластины скорость направле-на перпендикулярно к вектору OtA, а ее величина пропорциональ-на расстоянию от A до Ot. (Коэффициент пропорциональностизависит только от момента времени t.)

Из того, что скорость не может измениться мгновенно, нетруд-но вывести, что переход от ситуации а) к б) и наоборот возможенлишь в те моменты, когда пластина останавливается (скоростивсех точек равны нулю). Поэтому в промежутках между останов-ками либо всюду имеет место ситуация а), либо всюду б). Можнопоказать, что в случае а) траектория любой точки A получает-ся из траектории некоторой точки B параллельным переносом навектор BA. Мы будем рассматривать случай б) (то есть считать,что в каждый момент времени имеется единственная точка Ot

с нулевой скоростью). Будем называть Ot мгновенным центромвращения в момент t. (В примере с качением круга по прямоймгновенным центром вращения является точка соприкосновениякруга с направляющей прямой.)

Если известен мгновенный центр вращения Ot, то нормалик траекториям в момент времени t (прямые OtAt), а следова-тельно, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если вмомент t известны скорости двух точек пластины, то взяв точкупересечения нормалей к этим скоростям, мы получим мгновенныйцентр вращения Ot.

Пусть теперь твердая пластина движется по неподвижнойплоскости. Рассмотрим на этой плоскости кривую L, составлен-ную из мгновенных центров вращения во все моменты времени;кривую L называют неподвижным центроидом; мы будем назы-вать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на пластинекривую C, составленную из всех таких точек, которые оказы-ваются мгновенными центрами вращения в какие-то моменты


Рис. 15.

времени; C называют подвижным центроидом; мы будем назы-вать C «колесом». Введенные «несерьезные» термины, вероятно,подсказали вам, что исходное движение можно получить, еслирассмотреть качение без скольжения нашего кривого «колеса»по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки(рис. 15). Отсюда можно вывести равенство длин дуги «колеса» исоответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой этадуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы прикачении «колесо» пересекало «рельс».

Часто под рулеттами понимают траектории, которые описы-вают точки плоскости при ее движении как твердой пластины сусловием (б) во все моменты времени, т. е. при некотором качении.Ко всем рулеттам мы научились проводить нормали и касатель-ные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь проводитькасательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необходимо, еслипользоваться сложением скоростей). В наших механических рас-смотрениях мы вышли за пределы XVII века; замечательно, од-нако, что способ проведения нормалей к общим рулеттам открылДекарт, определявший их с помощью качения (не зная, сколь об-щий характер носят движения, порожденные качениями).

Эпициклоиды. Рассмотрим теперь рулетты, получающиеся прикачении круга по кругу. Пусть круг радиуса r катится по внеш-


ней стороне окружности радиуса R. Траектории граничных точеккатящегося круга («колеса») называются эпициклоидами. Их видзависит от k = R/r (рис. 16 на с. 142). Если k — целое, то по-движный круг, прокатившись один раз по границе неподвижного,сделает k оборотов и эпициклоида будет иметь k заострений иk арок. Эпициклоиду при k = 1 называют кардиоидой (она на-поминает стилизованное изображение сердца). Если k = p/q —несократимая дробь, то подвижный круг, сделав q оборотов, p разпрокатится по неподвижному. Если же k будет иррациональнымчислом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемая точканикогда не вернется в исходное положение. (Можно доказать, чтополучающаяся в этом случае бесконечная траектория заполняеткольцо R 6 OA 6 R+2r, подходя сколь угодно близко к любойего точке, но не в каждую попадая.)

Касательные к эпициклоидам легко строятся с помощьюмгновенного центра вращения — точки соприкосновения кругов.Докажите, что касательная к эпициклоиде (в некоторой точ-ке) проходит через точку соответствующего подвижного круга,диаметрально противоположную точке соприкосновения с непо-движным.

Замечание. При построении эпициклоид и решении задач нужнопомнить следующее. Если A — начальное положение наблюдае-мой точки (рис. 18 на с. 143), а в некоторый момент времениподвижный круг касается неподвижного в точке B, то эпицикло-иде принадлежит такая точка его границы C, что дуга BA равнапо длине дуге BC; учитывая разницу радиусов, получаем

∪BC∪BA

=R

r= k.

Траектории движения внутренних (соответственно внешних) то-чек подвижного круга при рассматриваемом качении называют-ся укороченными (соответственно удлиненными) эпициклоидами(рис. 17 на с. 143; мы ограничиваемся целыми k).

Задача 5. Пусть точка A равномерно вращается вокруг точки O1,которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки O;OO1 = r2, O1A = r1. Пусть оба вращения происходят по часовойстрелке; v1 и v2 — величины линейных скоростей. Покажите, что


а) k = 3 б) k = 6

в) k =12

г) k =52

д) k =23

Рис. 16.


Рис. 17. Укроченные и удлиненные эпициклоиды

движение точки A будет происходить по какой-то эпициклоиде(быть может, укороченной или удлиненной). Какими соотноше-ниями определяется характер кривой?

Гипоциклоиды. Рулетты, получающиеся при качении круга ради-уса r по внутренней стороне окружности радиуса R > r, называ-ются гипоциклоидами (соответственно, удлиненными или укоро-ченными).

Рис. 18.

Можно также в качестве аналога такогодвижения рассмотреть качение обруча ради-уса R, внутренней стороной касающегося гра-ницы неподвижного круга радиуса r < R.Соответствующие рулетты называются пери-циклоидами. Но оказывается, что они сов-падают с эпициклоидами (см. приложение вконце главы).

Задача 6. Пусть вращения, описанные взадаче 5, происходят в двух противопо-ложных направлениях (одно—по, другое—против часовой стрел-ки). По каким траекториям будет при этом двигаться точка A?

Мы не ставили перед собой цели строго доказать все ре-зультаты, полученные нами из кинематических соображений. Внекоторых случаях это сделать просто: механические рассуж-дения заменяются математическими почти автоматически (дляэтого оказывается достаточно скорости заменить производными).В других случаях такие «заменители» найти сложнее (напри-


мер, там, где рассматривается движение пластин или изменяютсясилы). Однако чисто математические рассмотрения не могутполностью заменить механическую интерпретацию, во многихслучаях дающую возможность увидеть простой и красивый ответ.

3. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды

Ошибка Галилея. В самом начале XVII века юный Галилей пы-тался экспериментально проверить свою догадку о том, что сво-бодное падение — равноускоренное движение. Когда он перенеснаблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало оченьмешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замед-лить это движение, Галилей решил заменить свободное падениетел их движением по наклонной плоскости, предположив, что ионо будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обра-тил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела,скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклонаплоскости, а определяется только высотой H и совпадает с ко-нечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (каквы хорошо знаете, в обоих случаях |v|2 = 2gh. Изучив движе-ния по наклонным плоскостям, Галилей перешел к рассмотрениюдвижения материальной точки под действием силы тяжести поломаным линиям. Сравнивая времена движения по различнымломаным, соединяющим фиксированную пару точек A и B, Гали-лей заметил, что если через эти две точки A, B провести четвертьокружности (это всегда можно сделать; подумайте, как?) и впи-сать в нее две ломаные M и L, такие, что ломаная L «вписана»в ломаную M (см. рис. 19), то материальная точка из A в Bбыстрее попадает по ломаной M , чем по ломаной L (попытай-тесь доказать это). Увеличивая у ломаной число звеньев и пере-ходя к пределу, Галилей получил, что по четверти окружности,соединяющей две заданные точки, материальная точка спустит-ся быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружностиломаной. Из этого Галилей сделал ничем не аргументированныйвывод, что четверть окружности, соединяющая пару заданныхточек A, B (не лежащих на одной вертикали), и будет для матери-альной точки, движущейся под действием силы тяжести, линией

Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 145

наискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска ста-ли называть брахистохроной). Впоследствии выяснилось, что этоутверждение Галилея было не только необоснованным, но и оши-бочным.

Рис. 19.

Швейцария. Конец XVII века. «Про-гуливаясь по улицам Базеля и об-суждая всевозможные математиче-ские вопросы, Иоганн и Якоб Бер-нулли наткнулись на следующий во-прос: какую форму могла бы принятьсвободно висящая цепь, укрепленнаяв двух своих концах? Они скоро илегко сошлись на том взгляде, чтоцепь примет ту форму равновесия,при которой ее центр тяжести будетлежать возможно ниже. . . Физическая часть задачи этим исчер-пана. Определение кривой с наиболее низким центром тяжестипри данной длине между двумя точками A и B есть уже задачатолько математическая.» (Мах).

Исследовав цепную линию (так называется линия, форму ко-торой принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешен-ная в двух точках), братья Бернулли заинтересовались другимизадачами, в которых разыскиваются кривые, отвечающие наи-меньшему значению той или иной величины. В 1696 году ИоганнБернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению ко-торой приглашаются математики». Впрочем, эта «новая» задачауже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождении брахи-стохроны — линии, соединяющей фиксированную пару точек, покоторой материальная точка спустится под действием силы тяже-сти быстрее всего. Задача о брахистохроне, недоступная в началевека даже великому Галилею, оказалась очень своевременной вконце века. Она была очень быстро решена и самим ИоганномБернулли, и его братом Якобом, и их учителем Лейбницем, а так-же Ньютоном и Лопиталем. Мы расскажем о решении ИоганнаБернулли: оно совершенно неожиданным образом использует со-ображения из геометрической оптики!

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометриче-


Рис. 20.

ской фантазии Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачуумело, пользуясь при этом тем, что случайно уже известно, —картина поистине замечательная и удивительно красивая. Мыдолжны признать в Иоганне Бернулли истинно художественнуюнатуру, действующую в области естествознания. Брат его, ЯкобБернулли, был научным характером совсем другого рода. Емубыло уделено больше критики, но гораздо меньше творческойфантазии. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжело-весным образом. Зато он не упустил случая развить с большейосновательностью общий метод для решения задач этого рода. Та-ким образом, мы находим в обоих братьях разделенными те двестороны научного таланта, которые в величайших исследовате-лях природы, каким был, например, Ньютон, бывают соединеныс необычайной силой.» (Мах).

Принцип Ферма. Еще в 140 году до н. э. Клавдий Птолемей соста-вил подробную таблицу зависимости угла преломления световоголуча при переходе из воздуха в воду от угла падения, но лишь в1621 году Снеллиус угадал аналитическую закономерность, свя-зывающую эти углы:

sinαпадения

sinαпреломления= k,

где k— коэффициент преломления, константа для фиксированнойпары сред.

В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этогозакона. Он отправлялся от известного еще Герону Александрий-скому факта, что равенство углов падения и отражения можно


Рис. 21.

вывести из предположения, что при отражении свет выбирает на-икратчайший путь (рис. 20).

Ферма предположил, что путь распространения света меж-ду двумя точками есть такой путь, для прохождения которогосвету требуется наименьшее время по сравнению с любым дру-гим путем между этими точками, — теперь это утверждениеносит название «приниипа Ферма». Из принципа Ферма, в част-ности, следует, что поскольку в однородной среде скорость светапостоянна, то наименьшее время приходится на путь наименьшейдлины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, неимеющей препятствий, прямолинеен, а также закон отражения.Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света вразличных ее участках различна, то путь распространения света,на прохождение которого уходит наименьшее время, уже не дол-жен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в случаепреломления. (Все наши дальнейшие рассмотрения относятся кплоскому случаю).

Пусть прямая l разделяет две среды (на плоскости), в первойиз которых скорость света равна c1, а во второй c2; A1 и A2 —точки, лежащие по разные стороны от l. Найдем на l такую точ-ку B, что sinα1/ sinα2 = c1/c2, где α1 — угол падения, α2 — уголпреломления (см. рис. 21). Существование и единственность такойточки B легко доказывается. Пусть C — любая другая точка пря-мой l. Опустим из нее перпендикуляры CE и CF на A1B и A2Bсоответственно.

Тогда ∠ECB = α1, ∠FCB = α2, и прохождение отрезка BEсо скоростью c1 займет столько времени, сколько прохождениеотрезка BF со скоростью c2. Значит, свету на прохождение пу-ти A1BA2 нужно столько же времени, сколько на прохождение


Рис. 22.

двух отрезков: A1E со скоростью c1 и FA2 со скоростью c2.Так как длины отрезков A1C и A2C больше длин отрезков A1Eи FA2 соответственно, то свету на прохождение пути A1CA2 нуж-но больше времени, чем на прохождение пути A1BA2 и, значит,точка C не годится.

Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломле-ния Снеллиуса, причем коэффициент преломления светового лучаиз одной среды в другую оказывается равным отношению скоро-стей света в этой паре сред1.

Из принципа Ферма также следует, что в сложной слоистойоптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в каж-дой из которых скорость света постоянна: c1, c2, . . . (рис. 22), светбудет распространяться по плоской ломаной с вершинами на раз-деляющих эти полосы прямых, причем если αi — угол, которыйзвено ломаной, лежащее в области со скоростью света ci, образуетс вертикалью, то sinαj/cj = const для всей ломаной. Действитель-но, если sinαj/cj 6= sinαj+1/cj+1 для некоторого j, то по принципуФерма по такой ломаной свет распространяться не может: верши-ну ломаной на границе соответствующих сред можно передвинутьтак (не меняя остальных вершин), что общее время, затраченноесветом, уменьшится.

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скоростьсвета меняется непрерывно, но так, что в точках горизонталей(т. е. в точках с одинаковыми ординатами) она одна и та же: c(y)

1Принцип Ферма получил обоснование в волновой теории света, построен-ной Гюйгенсом в 1672 – 1673 годах.


(значение y = 0 соответствует начальному положению точки, изкоторой выходит луч), то предельным переходом получаем, чтов этой среде путь распространения света между двумя точкамиесть такая кривая L, что

sinα(y)y

= const, (11)

через α(y) обозначен угол, который касательная, проведенная ккривой L в точке с ординатой y, образует с вертикалью.

Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, заметим, что соот-ношение (11) мы получили из принципа Ферма, пользуясь лишьтем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды ве-личина скорости света фиксирована и не зависит от направленияраспространения света (в наших примерах она была постояннана горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, дви-жущегося только под действием силы тяжести, |v(y)| =

√2gy,

где y— пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты, — и мыполучаем, что и в этой задаче величина скорости в каждой фик-сированной точке плоскости фиксирована и не зависит от того,по какому пути происходит движение. Поэтому все выводы изпринципа Ферма могут быть перенесены и сюда. Следовательно,чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минимальновозможное время, материальная точка должна двигаться по та-кому пути L, соединяющему эти две точки (мы предполагаем, чтоточки не лежат на одной вертикали), для которого

sinα(y)√y

= const, (12)

где α(y) — угол между вертикалью и касательной к кривой L,проведенными в точке с ординатой y.

Рис. 23.

Нам остается лишь отыскать кривую,удовлетворяющую условию (12).

Опять циклоида! Математики XVII векапривыкли к тому, что циклоида — это «па-лочка-выручалочка» во многих вопросах.И вот ей снова было суждено подтвердитьсвою «репутацию» — брахистохрона такжеоказалась циклоидой!


В самом деле, если через α(y) обозначить угол, который каса-тельная, проведенная к циклоиде с параметром r (получающейсяпри качении без скольжения по прямой y = 0 круга радиуса r) вточке с ординатой y составляет с вертикалью, то sinα(y) =

√y/2r

(см. формулу (9) на с. 125). Более того, как мы уже отмечали,циклоида является единственной кривой, удовлетворяющей это-му соотношению. Таким образом, брахистохроной, соединяющейдве данные точки A и B (не лежащие на одной вертикали), слу-жит часть арки (или арка) перевернутой циклоиды (см. рис. 23),причем в «верхней» точке A находится острие этой циклоиды. По-скольку мы рассматриваем только одну (первую) арку циклоиды,то ее параметр r по точке B определяется однозначно.

Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может бытьбольше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка,двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, снача-ла спустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды),а затем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее такоедвижение оказывается более экономным по времени, чем если быматериальная точка отправилась из A в B по прямой!

Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоида яв-ляется и таутохроной, и брахистохроной, в первом случае нужнобрать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором—с началомв острие.

Несколько задач. Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что еслив плоской неоднородной среде величина скорости света меняетсяпо закону c(x, y) = k

√H − y (т. е. аналогично изменению вели-

чины скорости материальной точки, движущейся под действиемсилы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будетраспространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями напрямой y = H.

Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание в оп-тически неоднородной среде пути распространения света междудвумя точками, если в этой среде задан закон изменения величи-ны скорости света.

3адача 7. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = k(y −−a). Докажите, что свет между двумя точками будет распространятьсяпо дугам полуокружностей с диаметрами на прямой y = a (причем


«начальная» точка находится на этой прямой).3адача 8. Величина скорости света меняется по закону

(x, y) =k√a− y

.

Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распро-страняться по дугам парабол.

Пока во всех задачах величина скорости света зависела толь-ко от y. Если же оптическая среда такова, что эта зависимостьболее сложная, например, величина скорости света постоянна нена горизонталях, а на каких-то кривых — линиях постоянстваскорости света, — то свет между двумя точками будет распро-страняться по такой кривой L, для которой

sinα(c(x0, y0))c(x0, y0)

= const,

где α(c(x0, y0))—угол между касательной к кривой L и нормальюк линии постоянства скорости света c(x, y) = c(x0, y0).3адача 9. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) == k

√1− r2, где r =

√x2 + y2 — расстояние от начала координат.

Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распро-страняться по дугам окружностей, перпендикулярных к окружностирадиуса 1 с центром в начале координат.3адача 10. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = kr.Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет рас-пространяться по дугам гипоциклоид (см. «упражнения Ньютона»со с. 136).

Если в задачах 7 – 10 c(x, y) интерпретировать как величину скоро-сти некоторого механического движения, то полученные при решенииэтих задач траектории распространения света будут брахистохронамидля соответствующих механических систем.

Основная задача механики заключается в том, чтобыопределить положение движущегося тела в любой мо-мент времени. Из школьного учебника по физике

Аналогия между механикой и оптикой. Итак, в механике обычноищется траектория материальной точки, если известны действу-ющие на точку силы и заданы начальные положение и вектор


скорости (начальные условия). Однако можно интересоваться неиндивидуальными траекториями, а описанием всей совокупноститраекторий при заданном законе изменения действующих сил(дополнительное задание начальных условий будет тогда выде-лять из этой совокупности траекторий конкретную траекторию).Так, классический результат Галилея о движении брошенноготела (горизонтально или под углом к горизонту) заключается втом, что в случае силы тяжести множество траекторий состоитиз дуг парабол.

Использование оптики в чисто механических задачах навелона мысль попытаться выделить возможное множество траекторийдля конкретной механической системы каким-нибудь условиемминимальности, аналогичным принципу Ферма. Об этом думалЛейбниц, но первая формулировка принадлежит Мопертюи. Од-нако его построения касались всего мироздания в целом и несодержали точных утверждений. Первая точная формулиров-ка принадлежит Эйлеру (учившемуся математике у ИоганнаБернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.

Пусть материальная точка движется по плоскости под дей-ствием такой силы, что потенциальная энергия зависит только отположения точки: U = U(x, y). В силу закона сохранения энергиивеличина скорости точки |v| тогда также зависит только от (x, y):

|v(x, y)| =√

2m

(E − U(x, y)).

Рассмотрим плоскую неоднородную оптическую среду, в которой

величина скорости света меняется по закону c(x, y) =k

v(x, y).

Принцип Эйлера состоит в том, что траектории света, распро-страняющегося в такой среде, будут совпадать с возможнымитраекториями исходной механической системы (материальнойточки массы m с потенциальной энергией U(x, y)). Разумеется,принцип Эйлера можно сформулировать так, что в нем не будетидти речь о распространении света.

В частности, из задачи 8 и принципа Эйлера следует приве-денное выше утверждение Галилея о траектории материальнойточки, движущейся под действием силы тяжести.


Поясним тепреь принцип Эйлера. Для простоты ограничимсяслучаем, когда U(x, y), а значит и |v|, зависит только от y. По-скольку на горизонталях потенциальная энергия постоянна, силабудет направлена вертикально, горизонтальная компонента век-тора ускорения равна нулю, а горизонтальная компонента вектораскорости постоянна, то есть

|v(y)| sinα(y) = const, (13)

где α(y) — угол между вектором скорости и вертикалью в точкетраектории с ординатой y. Соотношение (13) вместе с (11) и да-ет принцип Эйлера для данного частного случая. (В общем жеслучае следует учесть, что силы действуют перпендикулярно клиниям постоянства потенциальной энергии и что, следователь-но, компоненты вектора скорости, касательные к этим линиямпостоянства, не меняются.)

В современной механике принципы, обобщающие принцип Эй-лера (такие, как, например, принцип Гамильтона), играют исклю-чительно важную роль.

Эпилог

Героическая история циклоиды завершилась с концом XVII ве-ка. Она так таинственно возникала при решении самых разныхзадач, что никто не сомневался, что она играет совершенно ис-ключительную роль. Пиетет перед циклоидой держался долго,но прошло время, и стало ясно, что она не связана с фундамен-тальными законами природы, как, скажем, конические сечения.Задачи, приводившие к циклоиде, сыграли огромную роль в ста-новлении механики и математического анализа, но когда величе-ственные здания этих наук были построены, оказалось, что этизадачи являются частными, далеко не самыми важными. Про-изошла поучительная историческая иллюзия. Однако, знакомясьс поучительной историей циклоиды, можно увидеть много прин-ципиальных фактов из истории науки.


Рис. 24.

Приложение

В этом приложении мы, как и обещали, объясним, почему пери-циклоиды (с. 143) совпадают с эпициклоидами. Напомним, чтоименно надо доказать.

Утверждение. Пусть обруч радиуса R, висевший на неподвиж-ном круге радиуса r < R, начинают катить без скольжения поэтому кругу. Тогда точка обруча описывает ту же траекторию,которую описывала бы точка колеса радиуса R − r, катящегосяснаружи по тому же кругу радиуса r (рис. 24).

Рис. 25.

Обозначим радиус колеса R − r через ρ.Напомним, что кривые, описываемые приуказанном качении точками границы колеса,называются эпициклоидами, а кривые, опи-сываемые точками обруча, — перициклоидам.Докажем, что при указанном в условии соот-ношении между радиусами (R = r + ρ) пери-циклоиды совпадают с эпициклоидами.

Зафиксируем по одной точке на колесе ина обруче. Пусть в начальный момент точки,наблюдаемые на колесе и обруче, совпадают содной и той же точкой A границы неподвиж-ного круга (рис. 25). Пусть для определенно-сти и колесо, и обруч катятся по кругу против

Тайны циклоиды 155

а) б)

Рис. 26.

часовой стрелки. Если в некоторый момент колесо касается непо-движного круга в точке B, то точка, наблюдаемая на его границе(точка эпициклоиды), занимает такое положение C, что длиныдуг AB и BC равны (дуга BC выбирается с учетом направлениякачения) — рис. 26а.

Аналогично, положение точки C ′, наблюдаемой на обруче(точки перициклоиды), в тот момент, когда он касается непо-движного круга в точке B′, находится из условия равенства длиндуг AB′ и B′C ′, с учетом направления качения (см. рис. 26б).

Докажем, что для любой точки B на границе неподвижногокруга можно так подобрать точку B′ (тоже на границе неподвиж-ного круга), что соответствующие точки C (эпициклоиды) и C ′

(перициклоиды) совпадут (рис. 27а). (Из нашего доказательствабудет ясно также, как по B выбирать B′.)

Возьмем точку B′ так, чтобы отношение длин дуг AB и BB′

было равно ρ/r: тогда радианная мера дуги BC равна радианной

а) б)

Рис. 27.


мере дуги BB′ — обозначим ее через ϕ. Имеем

дл.AB = дл.BC = ρϕ, дл.BB′ = rϕ.

Поэтому дл.B′C ′ = дл.AB′ = rϕ+ρϕ, и радианная мера дугиB′C ′также равна ϕ. Пусть O— центр неподвижного круга, O1 — поло-жение центра колеса в момент, когда оно касается неподвижногокруга в точке B, O2 — положение центра обруча в момент каса-ния обруча с неподвижным кругом в точке B′; точки O,B,O1и O2, O,B

′ лежат на одной прямой.Пусть 0 < ϕ < π. Имеем (рис. 27б) OB = OB′ = r, O2B

′ =R, OO2 = R − r = ρ, OB = O1C = ρ, O1O = r + ρ = R,∠BOB′ = ∠OO1C = ϕ, Значит, четырехугольник OO1CO2 — па-раллелограмм, откуда O2C = R, ∠CO2B

′ = ϕ. Таким образом,точка C лежит на окружности радиуса R с центром в O2, причемрадианная мера дуги B′C равна ϕ. Это и означает, что C совпа-дает с C ′. Итак, мы доказали, что если по неподвижному кругупрокатились дуги колеса и обруча одной и той же радианной ме-ры ϕ < π, то получившиеся точки эпициклоиды и перициклоидысовпадут.

Остается убедиться в справедливости этого утверждения ипри ϕ > π. Посмотрите сами, во что превращается рисунок 27апри ϕ = π, а также при π < ϕ < 2π. Отметим, что поскольку раз-ность между длинами обруча и колеса равна 2πr—длине границынеподвижного круга, то в тот момент, когда и колесо, и обручсделают полные обороты, наблюдаемые точки, вновь попав награницу неподвижного круга, займут одно и то же положение A1.Случай 2π < ϕ < 4π сводится к случаю ϕ < 2π, если считатьточку A1, начальной точкой вместо A. Если же считать A1, на-чальной точкой и одновременно изменить направление качения,то случай π 6 ϕ 6 2π сведется к случаю ϕ 6 π.

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ

Паскаль носил в душе водоворот без дна.Ш. Бодлер, «Пропасть»1

Блезу Паскалю была присуща удивительная разносторонность,которая была характерна для эпохи Возрождения, но уже почтиизжила себя в XVII веке. Еще не наступило время полного раз-межевания естественных наук (скажем, физики и математики),но занятия гуманитарные и естественнонаучные уже обычно несовмещались.

В историю естествознания Паскаль вошел как великий физики математик, один из создателей математического анализа, про-ективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной тех-ники, гидростатики. Франция чтит в Паскале одного из самыхзамечательных писателей: «Тонкие умы удивляются Паскалю какписателю самому совершенному в величайший век французскогоязыка. . . Каждая строка, вышедшая из-под его пера, почитаетсякак драгоценный камень» (Жозеф Бертран). Далеко не все согла-шались с мыслями Паскаля о человеке, его месте во Вселенной,смысле жизни, но никто не оставался равнодушным к строкам,за которые их автор заплатил жизнью и которые удивительнымобразом не старились. В 1805 г. Стендаль писал: «Когда я читаюПаскаля, мне кажется, что я читаю себя». А через сто лет в 1910 г.Л. Н. Толстой читал «чудного Паскаля», «человека великого умаи великого сердца» и «не мог не умилиться до слез, читая его исознавая свое полное единение с этим умершим сотни лет томуназад человеком». Поучительно сопоставить, как старятся идеиестественнонаучные и гуманитарные.

1Перевод К. Бальмонта.

157

158 Блез Паскаль (1623 – 1662)

Паскаль в юности

Упомянем еще об однойграни наследия Паскаля —его практических достижени-ях. Некоторые из них удосто-ились высшего отличия — се-годня мало кто знает имя ихавтора. Для И. С. Тургеневамерилами удобства и просто-ты были «яйцо Колумба» и«Паскалева тачка». Узнав, чтовеликий ученый изобрел са-мую обыкновенную тачку, онписал Н. А. Некрасову: «Кста-ти я в одном месте говорю оПаскалевой тачке—ты знаешь,что Паскаль изобрел эту, по-видимому, столь простую ма-шину». А еще Паскалю при-

надлежит идея омнибусов — общедоступных карет («за 5 су») сфиксированными маршрутами—первого вида регулярного город-ского транспорта.

Паскаль — один из самых знаменитых людей в истории чело-вечества. Ему посвящена необъятная литература. Каких толькосторон жизни и наследия Паскаля не касалось «паскалеведение»!Особенно популярен Паскаль во Франции. Имеется своеобразноесвидетельство этого: портрет Паскаля был воспроизведен на ас-сигнациях (в числе других французских писателей, удостоивших-ся в разное время такой чести, — Корнель, Расин, Мольер, Мон-тескье, Вольтер, Гюго, Сент-Экзюпери).

Палочки и монетки. Когда мы учимся рисовать графики, то в ка-лейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые, име-ющие какое-то название или носящие чье-то имя: спираль Ар-химеда, трезубец Ньютона, конхоида Никомеда, лист Декарта,локон Марии Аньези, улитка Паскаля. . . Редко кто усомнитсяв том, что это тот же Паскаль, которому принадлежит «законПаскаля». Однако в названии замечательной кривой 4-го поряд-ка увековечено имя Этьена Паскаля (1588 – 1651) — отца Блеза

Блез Паскаль (1623 – 1662) 159

Паскаля. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскалей, слу-жил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещениеюридической деятельности с занятиями науками, далекими отюриспруденции, было делом нередким. Примерно в это же вре-мя посвящал математике свой досуг советник тулузского парла-мента Пьер Ферма (1601 – 1665). Хотя собственные достиженияЭ. Паскаля были скромными, его основательные познания поз-воляли ему поддерживать профессиональные контакты с боль-шинством французских математиков. С великим Ферма он об-менивался трудными задачами на построение треугольников; вспоре Ферма с Рене Декартом (1596 – 1650) о задачах на мак-симум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б. Пас-каль унаследовал добрые отношения отца со многими математи-ками, но вместе с тем к нему перешли и напряженные отношенияс Декартом.

Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным образомвоспитанию своих детей (кроме сына, у него было две дочери —Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень рано обна-руживается поразительное дарование, но, как это часто бывает, всочетании с плохим здоровьем. (Всю жизнь с Б. Паскалем случа-лись странные происшествия; в раннем детстве он едва не погибот непонятной болезни, сопровождавшейся припадками, которуюсемейная легенда связывает с колдуньей, сглазившей мальчика.)

Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитаниядетей. На первых порах он решительно исключает математику изчисла предметов, которым обучает Блеза: отец боялся, что ранняяувлеченность математикой помешает гармоничному развитию, анеизбежные напряженные размышления повредят слабому здо-ровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существованиитаинственной геометрии, которой занимался отец, уговорил егорассказать о запретной науке. Полученных сведений оказалосьдостаточно для того, чтобы начать увлекательную «игру в геомет-рию», доказывать теорему за теоремой. В этой игре участвовали«монетки» — круги, «треуголки» — треугольники, «столы» — пря-моугольники, «палочки» — отрезки. Мальчик был застигнут от-цом в тот момент, когда он обнаружил, что углы треуголки состав-ляют столько же, сколько два угла стола. Э. Паскаль без трудаузнал знаменитое 32-е предложение первой книги Евклида — тео-

160 Блез Паскаль (1623 – 1662)

рему о сумме углов треугольника. Результатом были слезы на гла-зах отца и доступ к шкафам с математическими книгами. Историяо том, как Паскаль сам построил евклидову геометрию, известнапо восторженному рассказу его сестры Жильберты. Этот рассказпородил очень распространенное заблуждение, заключающееся втом, что раз Паскаль открыл 32-е предложение «Начал» Евклида,то он открыл перед этим все предыдущие теоремы и все аксиомы.Нередко это воспринималось как аргумент в пользу того, что ак-сиоматика Евклида — единственно возможная. На самом же деле,вероятно, геометрия у Паскаля находилась на «доевклидовском»уровне, когда интуитивно неочевидные утверждения доказывают-ся путем сведения к очевидным, причем набор последних никакне фиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, су-щественно более высоком уровне делается великое открытие, чтоможно ограничиться конечным, сравнительно небольшим набо-ром очевидных утверждений — аксиом, предположив истинностькоторых, можно остальные геометрические утверждения дока-зать. При этом, наряду с неочевидными утверждениями (такими,как, например, теоремы о замечательных точках треугольника),приходится доказывать «очевидные» теоремы, в справедливостькоторых легко поверить (например, простейшие признаки равен-ства треугольников).

Собственно, 32-е предложение — первое неочевидное в этомсмысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Пас-каля не было ни времени для огромной работы по отбору аксиом,ни, скорее всего, потребности в ней.

Это интересно сопоставить со свидетельством А. Эйнштейна,который в те же 12 лет в значительной степени самостоятельнопостигал геометрию (в частности, нашел доказательство теоремыПифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне было доста-точно, если я мог в своих доказательствах опираться на такиеположения, справедливость которых представлялась мне бесспор-ной».

Примерно в 10 лет Б. Паскаль сделал первую физическую ра-боту: заинтересовавшись причиной звучания фаянсовой тарелкии проведя поразительно хорошо организованную серию экспери-ментов при помощи подручных средств, он объяснил заинтересо-вавшее его явление колебанием частичек воздуха.

Блез Паскаль (1623 – 1662) 161

«Мистический шестивершинник», или «великая паскалева теоре-ма». В 13 лет Б. Паскаль уже имеет доступ в математическийкружок Мерсенна, в который входило большинство парижскихматематиков, в том числе Э. Паскаль (Паскали жили в Париже с1631 г.).

Францисканский монах Марен Мерсенн (1588 – 1648) сыг-рал в истории науки большую и своеобразную роль ученого-организатора1. Его основная заслуга состояла в том, что он велобширную переписку с большинством крупных ученых мира(у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умелоконцентрировал информацию и сообщал ее заинтересованнымученым. Эта деятельность требовала своеобразного дарования:умения быстро понимать новое, хорошо ставить задачи. Обладав-ший высокими нравственными качествами Мерсенн пользовалсядоверием корреспондентов. Иногда письма Мерсенна адресова-лись совсем молодым ученым. Так, в 1648 г. он начал перепи-сываться с 17-летним Гюйгенсом, помогая в его первых шагах внауке и предвещая, что тот станет «Аполлонием и Архимедом. . .грядущего века».

Наряду с заочным коллективом корреспондентов существовали очный кружок — «четверги Мерсенна», в который и попал БлезПаскаль. Здесь он нашел себе достойного учителя. Им был Же-рар Дезарг (1593 – 1662), инженер и архитектор, создатель ориги-нальной теории перспективы. Его главное сочетание «Черновойнабросок вторжения в область того, что происходит при встречеконуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь нескольких читате-лей, и среди них особое место занимает Б. Паскаль, сумевшийсущественно продвинуться вперед.

Хотя в то время Декарт прокладывал в геометрии совер-шенно новые пути, создавая аналитическую геометрию, в основ-ном геометрия едва достигла уровня, на котором она находи-лась в Древней Греции. Многое из наследия греческих гео-метров оставалось неясным. Это прежде всего относилось ктеории конических сечений. Самое выдающееся сочинение наэту тему — 8 книг Аполлония — было известно лишь частично.

1При оценке деятельности Мерсенна надо иметь в виду, что первый науч-ный журнал — «Журнал ученых» — был основан в 1665 г.

162 Блез Паскаль (1623 – 1662)

Рис. 28.

«Konika» Предпринималисьпопытки дать модернизиро-ванные изложения теории,среди которых наиболее из-вестное принадлежит Кло-ду Мидоржу (1585 – 1647),члену кружка Мерсенна, ноего сочинение фактически несодержало новых идей. Де-зарг заметил, что система-тическое применение методаперспективы позволяет по-строить теорию коническихсечений с совершенно новыхпозиций.

Рассмотрим центральнуюпроекцию (из некоторой точки O) картинок на плоскости α наплоскость β. Применять такое преобразование в теории кони-ческих сечений очень естественно, поскольку само их опреде-ление — как сечений прямого кругового конуса — можно пере-фразировать так: все они получаются при центральном проек-тировании из вершины конуса на различные плоскости одногоиз них (например, окружности). Далее, заметив, что при цен-тральном проектировании пересекающиеся прямые могут перей-ти или в пересекающиеся или в параллельные, объединим двапоследних свойства в одно, считая, что все параллельные другдругу прямые пересекаются в одной «бесконечно удаленной точ-ке»; разные пучки параллельных прямых дают разные бесконеч-но удаленные точки; все бесконечно удаленные точки плоско-сти заполняют «бесконечно удаленную прямую». Если принятьэти соглашения, то две любые различные прямые (уже не ис-ключая параллельных) будут пересекаться в единственной точ-ке. Утверждение, что через точку A вне прямой m можно про-вести единственную прямую, параллельную m, можно перефор-мулировать так: через обычную точку A и бесконечно удален-ную точку (отвечающую семейству прямых, параллельных m)проходит единственная прямая — в результате в новых услови-ях без всяких ограничений справедливо утверждение, что через

Блез Паскаль (1623 – 1662) 163

Рис. 29.

две различные точки проходит един-ственная прямая (бесконечно уда-ленная, если обе точки бесконечноудалены). Мы видим, что получает-ся очень изящная теория, но для насважно то, что при центральном про-ектировании точка пересечения пря-мых (в обобщенном смысле) перехо-дит в точку пересечения.

Важно продумать, какую рольв этом утверждении играет введе-ние бесконечно удаленных элемен-тов (при каких условиях точка пере-сечения переходит в бесконечно уда-ленную точку, когда прямая пере-ходит в бесконечно удаленную пря-мую). Не останавливаясь на исполь-зовании этого простого соображенияДезаргом, мы расскажем о том, какзамечательно применил его Паскаль.

В 1640 г. Б. Паскаль напечатал свой «Опыт о конических се-чениях». Небезынтересны сведения об этом издании: тираж — 50экземпляров, 53 строки текста напечатаны на афише, предна-значенной для расклейки на углах домов (про афишу Паскалядостоверно не известно, но Дезарг заведомо рекламировал такимспособом свои результаты). В афише, подписанной инициаламиавтора, без доказательства сообщается следующая теорема, ко-торую ныне называют теоремой Паскаля. Пусть на коническомсечении L (на рисунке 29 L— парабола) произвольно выбраны изанумерованы 6 точек. Обозначим через P , Q, R точки пересе-чения трех пар прямых (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1).(При простейшей нумерации — «по порядку» — это точки пере-сечения противоположных сторон шестиугольника.) Тогда точкиP , Q, R лежат на одной прямой1.

1Сформулируйте самостоятельно следствия, получающиеся из этой теоре-мы, когда некоторые из рассмотренных точек являются бесконечно удален-ными.

164 Блез Паскаль (1623 – 1662)

Рис. 30.

Паскаль вначале формулирует теорему для окружности иограничивается простейшей нумерацией точек. В этом случае этоэлементарная, хотя и не слишком простая задача. А вот переход отокружности к любому коническому сечению очень прост. Нужнопреобразовать при помощи центральной проекции такое сечениев окружность и воспользоваться тем, что при центральном про-ектировании прямые переходят в прямые, а точки пересечения (вобобщенном смысле) — в точки пересечения. Тогда, как уже до-казано, образы точек P , Q, R при проектировании будут лежатьна одной прямой, а отсюда следует, что и сами точки P , Q, Rобладают этим свойством.

Теорема, которую Паскаль назвал теоремой о «мистическомшестивершиннике», не была самоцелью; он рассматривал ее какключ для построения общей теории конических сечений, покрыва-ющей теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобщенияважных теорем Аполлония, которые не удавалось получить Дез-аргу. Дезарг высоко оценил теорему Паскаля, назвав ее «великойпаскалевой»; он утверждал, что в ней содержатся первые четырекниги Аполлония.

Паскаль начинает работу над «Полным трудом о коническихсечениях», который в 1654 г. упоминается как оконченный в по-слании «знаменитейшей Парижской математической академии».От Мерсенна известно, что Паскаль получил около 400 следствийиз своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) былпоследним, кто видел трактат Паскаля уже после его смерти, в1675 – 1676 гг. Несмотря на совет Лейбница, родные не опублико-вали рукопись, а со временем она была утеряна.

В качестве примера приведем одно из самых простых, но и

Блез Паскаль (1623 – 1662) 165

самых важных следствий из теоремы Паскаля: коническое сече-ние однозначно определяется любыми своими пятью точками.Действительно, пусть 1, 2, 3, 4, 5— точки конического сечения иm— произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m су-ществует единственная точка (6) конического сечения, отличнаяот (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка P является точкойпересечения (1, 2) и (4, 5), Q— точка пересечения (2, 3) и m, R—точка пересечения (3, 4) и PQ, а тогда (6) определится как точкапересечения (1, R) и m.

«Паскалево колесо». 2 января 1640 г. семья Паскалей переезжаетв Руан, где Этьен Паскаль получает место интенданта провинции,фактически ведающего всеми делами при губернаторе. Этому на-значению предшествовали любопытные события. Э. Паскаль при-нял активное участие в выступлениях парижских рантьеров, зачто ему грозило заточение в Бастилию. Он был вынужден скры-ваться, но в это время заболела оспой Жаклина, и отец, несмотряна страшную угрозу, навещал ее. Жаклина выздоровела и да-же участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардиналРишелье. По просьбе юной актрисы кардинал простил ее отца,но одновременно назначил его на должность. Бывший смутьяндолжен был проводить в жизнь политику кардинала (читателей«Трех мушкетеров» это коварство, наверное, не удивит).

Теперь у Этьена Паскаля было очень много счетной работы, вкоторой ему постоянно помогает сын. В конце 1640 г. Блезу Пас-калю приходит мысль построить машину, чтобы освободить умот расчетов «с помощью пера и жетонов». Основной замысел воз-ник быстро и оставался неизменным на протяжении всей работы:«. . . каждое колесо или стержень некоторого разряда, совершаядвижение на десять арифметических цифр, заставляет двигатьсяследующее только на одну цифру». Однако блестящая идея — этотолько первый шаг. Несравненно больших сил потребовала ее ре-ализация. Позднее в «Предуведомлении» тому, кто «будет иметьлюбознательность видеть арифметическую машину и пользовать-ся ею», Блез Паскаль скромно пишет: «Я не экономил ни время,ни труд, ни средства, чтобы довести ее до состояния быть тебеполезной». За этими словами стояло пять лет напряженной ра-боты, которая привела к созданию машины («паскалева колеса»,

166 Блез Паскаль (1623 – 1662)

как говорили современники), надежно, хотя и довольно медлен-но, производившей четыре действия над пятизначными числами.Паскаль изготовил около пятидесяти экземпляров машины; воттолько перечень материалов, которые он перепробовал: дерево,слоновая кость, эбеновое дерево, латунь, медь. Он потратил мно-го сил на поиски лучших ремесленников, владеющих «токарнымстанком, напильником и молотком», и ему много раз казалось,что они не в состоянии достичь необходимой точности. Тщательнопродумывается система испытаний, в их число включается пере-возка на 250 лье. Паскаль не забывает и о рекламе: он заручаетсяподдержкой канцлера Сегье, добивается «королевских привиле-гий» (нечто вроде патента), много раз демонстрирует машину всалонах и даже посылает экземпляр шведской королеве Христине.Наконец, налаживается производство; точное число произведен-ных машин неизвестно, но до настоящего времени сохранилосьвосемь экземпляров.

Поражает, как блестяще умел делать Паскаль самые разныевещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 г. Шик-кард, друг Кеплера, построил арифметическую машину, однакомашина Паскаля была гораздо совершенней.

«Боязнь пустоты» и «великий эксперимент равновесия жидкостей».В конце 1646 г. до Руана докатилась молва об удивительных «ита-льянских опытах с пустотой». Вопрос о существовании пустоты вприроде волновал еще древних греков; в их взглядах на этот во-прос проявилось присущее древнегреческой философии разнооб-разие точек зрения: Эпикур считал, что пустота может существо-вать и действительно существует; Герон—что она может быть по-лучена искусственно, Эмпедокл — что ее нет и ей неоткуда взять-ся, и, наконец Аристотель утверждал, что «природа боится пу-стоты». В средние века ситуация упростилась, поскольку истин-ность учения Аристотеля была установлена практически в за-конодательном порядке (еще в XVII веке за выступление про-тив Аристотеля во Франции можно было попасть на каторгу).

Воспоминания о «боязни пустоты» еще долго сохранялись, очем свидетельствует следующий пассаж из неоконченного про-изведения Ф. М. Достоевского «Крокодил»: «Как же достигнутьустройством крокодила, чтоб он глотал людей? Ответ еще яснее:

Блез Паскаль (1623 – 1662) 167

устроив его пустым. Давно уже решено физикой, что природа нетерпит пустоты. Подобно тому и внутренность крокодила долж-на именно быть пустою, чтобы не терпеть пустоты, а следственнобеспрерывно глотать и наполняться всем, что только есть под ру-кою».

Классический пример «боязни пустоты» демонстрирует вода,поднимающаяся вслед за поршнем, не давая образоваться пусто-му пространству. И вдруг с этим примером произошел казус. Присооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что вода «нежелает» подниматься выше 34 футов (10,3 метра). Недоумева-ющие строители обратились за помощью к престарелому Гали-лею, который сострил, что, вероятно, природа перестает боять-ся пустоты на высоте, превышающей 34 фута, но все же пред-ложил разобраться в странном явлении своим ученикам Торри-челли и Вивиани. Вероятно, Торричелли (а, возможно, и само-му Галилею) принадлежит мысль, что высота, на которую мо-жет подняться жидкость в насосе, обратно пропорциональна ееудельному весу. В частности, ртуть должна подняться на высо-ту в 13,3 раза меньшую, чем вода, т. е. на 76 . Опыт приобрелмасштабы, более благоприятные для лабораторных условий, ибыл проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Этот опытхорошо известен, но все же напомним, что запаянная с одногоконца метровая стеклянная трубка заполняется ртутью, откры-тый конец зажимается пальцем, после чего трубка переворачи-вается и опускается в чашку с ртутью. Если отнять палец, тоуровень ртути в трубке упадет до 76 . Торричелли делает дваутверждения: во-первых, пространство над ртутью в трубке пу-сто (потом его назовут «торричеллиевой пустотой»), а во-вторых,ртуть из трубки не выливается полностью, поскольку этому пре-пятствует столб воздуха, давящий на поверхность ртути в чаш-ке. Приняв эти гипотезы, можно все объяснить, но можно по-лучить объяснение и введя специальные, довольно сложно дей-ствующие силы, препятствующие образованию вакуума. Принятьгипотезы Торричелли было непросто. Лишь немногие из его со-временников смирились с тем, что воздух имеет вес; некоторые,исходя из этого, поверили в возможность получения вакуума, ноповерить, что легчайший воздух удерживает в трубке тяжелуюртуть, было почти невозможно. Упомянем, что Галилей пытал-

168 Блез Паскаль (1623 – 1662)

ся объяснить этот эффект свойствами самой жидкости, а Декартутверждал, что кажущийся вакуум всегда заполнен «тончайшейматерией».

Паскаль с увлечением повторяет итальянские опыты, приду-мав много остроумных усовершенствований. Восемь таких опытовописаны в трактате, опубликованном в 1647 г. Он не ограничи-вается опытами с ртутью, а экспериментирует с водой, маслом,красным вином, для чего ему потребовались бочки вместо чашеки трубки длиной около 15 . Эффектные опыты выносятся на ули-цы Руана, радуя его жителей. (До сих пор гравюры с виннымбарометром любят воспроизводить в учебниках физики.)

На первых порах Паскаля более всего интересует вопрос одоказательстве того, что пространство над ртутью пусто. Былараспространена точка зрения, что кажущийся вакуум заполняетматерия, «не имеющая свойств» (вспоминается подпоручик Кижеиз повести Ю. Н. Тынянова, «не имеющий фигуры»). Доказатьотсутствие такой материи просто невозможно. Четкие высказы-вания Паскаля очень важны в плане постановки более широкойпроблемы о характере доказательств в физике. Он пишет: «По-сле того как я доказал, что ни одна из материй, которые доступнынашим чувствам и которые нам известны, не заполняет это про-странство, кажущееся пустым, мое мнение, пока мне не докажутсуществование какой-то материи, заполняющей его,—что это про-странство в самом деле пусто и лишено всякой материи». Менееакадемические высказывания содержатся в письме ученому-иезу-иту Ноэлю: «Но у нас больше оснований отрицать ее (тончайшейматерии — С. Г.) существование, потому что нельзя его доказать,чем верить в нее по той единственной причине, что нельзя до-казать, что ее нет». Итак, необходимо доказывать существованиеобъекта и нельзя требовать доказательства его отсутствия (этоассоциируется с юридическим принципом, состоящим в том, чтосуд должен доказать виновность и не вправе требовать от обви-няемого доказательств невиновности).

На родине Паскаля в Клермоне жила в это время старшаясестра Б. Паскаля Жильберта; ее муж Флорен Перье, служа всуде, свободное время посвящал наукам. 15 ноября 1647 г. Пас-каль отправляет Перье письмо, в котором просит сравнить уровниртути в трубке Торричелли у подножия и на вершине горы Пюи-

Блез Паскаль (1623 – 1662) 169

де-Дом: «Вы понимаете, если бы высота ртути на вершине горыоказалась меньшей, чем у подошвы (я так думаю по многим осно-ваниям, хотя все, писавшие об этом предмете, придерживаютсядругого мнения), то из этого можно было бы заключить, что един-ственная причина явления — тяжесть воздуха, а не пресловутыйhorror vacui (боязнь пустоты—С.Г.). Ясно, в самом деле, что вни-зу горы воздух должен быть сгущеннее, чем наверху, между темкак нелепо предполагать в нем больший страх пустоты у под-ножия, нежели на вершине». Эксперимент по разным причинамоткладывался и состоялся лишь 19 сентября 1648 г. в присутствиипяти «уважаемых жителей Клермона». В конце года вышла бро-шюра, в которую были включены письмо Паскаля и ответ Перьес очень скрупулезным описанием опыта. При высоте горы около1,5 разница уровней ртути составила 82,5 ; это «повергло участ-ников эксперимента в восхищение и удивление» и, вероятно, былонеожиданным для Паскаля. Предположить существование пред-варительных оценок невозможно, а иллюзия легкости воздуха бы-ла очень велика. Результат был столь ощутим, что уже одномуиз участников эксперимента аббату де ла Мару приходит в голо-ву мысль, что результаты может дать эксперимент в куда болеескромных масштабах. И, действительно, разница уровней ртути уоснования и наверху собора Нотр-Дам-де-Клермон, имеющего вы-соту 39 , составила 4,5 . Если бы Паскаль допускал такую возмож-ность, он не стал бы ожидать десять месяцев. Получив известиеот Перье, он повторяет эксперименты на самых высоких зданияхПарижа, получая те же результаты. Паскаль назвал этот экс-перимент «великим экспериментом равновесия жидкостей» (этоназвание может вызвать удивление, поскольку речь идет о равно-весии воздуха и ртути и тем самым воздух назван жидкостью).В этой истории есть одно запутанное место. Декарт утверждал,что именно он подсказал идею эксперимента. Вероятно, здесь про-изошло какое-то недоразумение, так как трудно предположить,что Паскаль сознательно не ссылался на Декарта.

Паскаль продолжает экспериментировать, используя наряду сбарометрическими трубками большие сифоны (подбирая корот-кую трубку так, чтобы сифон не работал); он описывает разницув результатах экспериментов для различных местностей Фран-ции (Париж, Овернь, Дьепп): Паскаль знает, что барометр можно

170 Блез Паскаль (1623 – 1662)

использовать как высотомер (альтиметр), но вместе с тем пони-мает, что зависимость между уровнем ртути и высотой местностине проста, и обнаружить ее пока не удается. Он замечает, чтопоказания барометра в одной и той же местности зависят от по-годы; сегодня предсказание погоды — основная функция баромет-ра (прибор для измерения «изменений воздуха» хотел построитьТорричелли). А однажды Паскаль решил вычислить общий весатмосферного воздуха («мне хотелось доставить себе это удоволь-ствие, и я провел расчет»). Получилось 8,5 триллиона француз-ских фунтов.

Мы не имеем возможности останавливаться на других опы-тах Паскаля о равновесии жидкостей и газов, поставивших егонаряду с Галилеем и Симоном Стевином (1548 – 1620) в число со-здателей классической гидростатики. Здесь и знаменитый законПаскаля, и идея гидравлического пресса, и существенное развитиепринципа возможных перемещений. Одновременно он придумы-вает, например, зрелищно эффектные опыты, иллюстрирующиеоткрытый Стевином парадоксальный факт, что давление жидко-сти на дно сосуда зависит не от формы сосуда, а лишь от уровняжидкости: в одном из опытом наглядно видно, что требуется грузв 100 фунтов, чтобы уравновесить давление на дно сосуда воды ве-сом в одну унцию; в процессе опыта вода замораживается, и тогдахватает груза в одну унцию. Паскаль демонстрирует своеобраз-ный педагогический талант. Было бы хорошо, если бы и сегодняшкольника удивляли те факты, которые поражали Паскаля и егосовременников.

Физические исследования Паскаля были прерваны в 1653 г. врезультате трагических происшествий, о которых мы расскажемниже.

«Математика случая». В январе 1646 г. Этьен Паскаль во вре-мя гололеда вывихнул бедро, и это едва не стоило ему жизни.Реальность потери отца произвела ужасное впечатление на сы-на, и это прежде всего сказалось на его здоровье: головные болистали невыносимыми, он мог передвигаться лишь на костылях ибыл в состоянии проглотить только несколько капель теплой жид-кости. От врачей-костоправов, лечивших отца, Б. Паскаль узналоб учении Корнелия Янсения (1585 — 1638), которое в то время

Блез Паскаль (1623 – 1662) 171

распространялось во Франции, противостоя иезуитизму (послед-ний существовал к тому времени примерно сто лет). На Паскаляпроизвел наибольшее впечатление побочный элемент в учении Ян-сения: допустимо ли бесконтрольное занятие наукой, стремлениевсе познать, все разгадать, связанное прежде всего с неограни-ченной пытливостью человеческого ума или, как писал Янсений,с «похотью ума». Паскаль воспринимает свою научную деятель-ность как греховную, а выпавшие на его долю беды — как кару заэтот грех. Это событие сам Паскаль назвал «первым обращени-ем». Он решает отказаться от дел «греховных и противных Богу».Однако это ему не удается: мы уже забежали вперед и знаем, чтовскоре он каждую минуту, которую ему оставляет болезнь, посвя-тит физике.

Здоровье несколько улучшается, и с Паскалем происходят ве-щи, мало понятные для его близких. Он мужественно переноситв 1651 г. смерть отца, и его рационалистические, внешне холод-ные рассуждения о роли отца в его жизни резко контрастируют среакцией пятилетней давности (он пишет, что теперь присутствиеотца не является «абсолютно необходимым», что он нуждался быв нем еще десять лет, хотя присутствие отца было бы полезно всюжизнь).

А потом у Паскаля появились знакомые, мало подходящие дляянсениста. Он путешествует в свите герцога де Роанне и знако-мится там с кавалером де Мере, человеком высокообразованным иумным, но несколько самоуверенным и поверхностным. С де Мереохотно общались великие современники, и только поэтому его имясохранилось в истории. При этом он умудрился писать Паскалюписьма с поучениями по разным вопросам, не исключая и матема-тики. Сейчас все это выглядит наивным и, по словам Сент-Бёва,«такого письма вполне достаточно, чтобы погубить человека, егописавшего, во мнении потомства». Тем не менее довольно дли-тельное время Паскаль охотно общался с де Мере, он оказалсяспособным учеником кавалера по части светской жизни.

Мы переходим к истории о том, как «задача, поставленнаяперед суровым янсенистом светским человеком, стала источни-ком теории вероятностей» (Пуассон). Собственно, задач было две,и, как выяснили историки математики, обе они были известнызадолго до де Мере. Первый вопрос состоит в том, сколько раз

172 Блез Паскаль (1623 – 1662)

нужно кинуть две игральные кости, чтобы вероятность того, чтохотя бы один раз выпадут две шестерки, превысит вероятностьтого, что две шестерки не выпадут ни разу. Де Мере и сам ре-шил эту задачу, но, к сожалению,. . . двумя способами, давшимиразные ответы: 24 и 25 бросков. Будучи уверенным в одинаковойдостоверности обоих способов, де Мере обрушивается на «непо-стоянство» математики. Паскаль, убедившись в том, что правиль-ный ответ — 25, даже не приводит решения. Основные его усилиябыли направлены на решение второй задачи — задачи «о справед-ливом разделе ставок». Происходит игра, все участники (их числоможет быть больше двух) вначале делают ставки в «банк»; играразбивается на несколько партий, и для выигрыша банка надо вы-играть некоторое фиксированное число партий. Вопрос состоит втом, как следует справедливо разделить банк между игроками взависимости от числа выигранных ими партий, если игра не до-ведена до конца (никто не выиграл числа партий, достаточногодля получения банка). По словам Паскаля, «де Мере. . . даже несмог подступиться к этому вопросу. . . ».

Никто из окружения Паскаля не сумел понять предложенноеим решение, но все же достойный собеседник нашелся. Между29 июля и 27 октября 1654 г. Паскаль обменивается письмами сФерма (при посредничестве Пьера Каркави, продолжавшего дея-тельность Мерсенна). Часто считают, что в этой переписке роди-лась теория вероятностей. Ферма решает задачу о ставках иначе,чем Паскаль, и первоначально возникают некоторые разногласия.Но в последнем письме Паскаль констатирует: «Наше взаимопо-нимание полностью восстановлено», и далее: «Как я вижу, истинаодна и в Тулузе, и в Париже». Он счастлив тем, что нашел велико-го единомышленника: «Я и впредь хотел бы по мере возможностейделиться с Вами своими мыслями».

В том же 1654 г. Паскаль опубликовал одну из самых попу-лярных своих работ «Трактат об арифметическом треугольнике».Теперь его называют треугольником Паскаля, хотя оказалось, чтоон был известен еще в Древней Индии, а в XVI веке был переот-крыт Штифелем. В основе лежит простой способ вычислять числосочетаний Ck

n индукцией по n (по формуле Ckn = Ck

n−1 + Ck−1n−1).

В этом трактате впервые принцип математической индукции, ко-торый фактически применялся и раньше, формулируется в при-

Блез Паскаль (1623 – 1662) 173

вычной для нас форме.В 1654 г. Паскаль в послании «Знаменитейшей Парижской ма-

тематической академии» перечисляет работы, которые готовятсяим к публикации, и в их числе трактат, который «может по правупретендовать на ошеломляющее название ”Математика случая“ ».

Луи де Монтальт. Вскоре после смерти отца Жаклина Паскальуходит в монастырь, и Блез Паскаль лишается присутствия оченьблизкого человека. Какое-то время его привлекает возможностьжить, как живет большинство людей: он подумывает о том, чтобыкупить должность в суде и жениться. Но этим планам не сужденобыло сбыться. В середине ноября 1654 г., когда Паскаль переезжалмост, передняя пара лошадей сорвалась, а коляска чудом задер-жалась у края пропасти. С тех пор, по словам Ламетри, «в обще-стве или за столом Паскалю всегда была необходима загородка изстульев или сосед слева, чтобы не видеть страшной пропасти, вкоторую он боялся упасть, хотя знал цену подобным иллюзиям».23 ноября происходит необычайный нервный припадок. Находясьв состоянии экстаза, Паскаль записывает на клочке бумаги мысли,которые проносятся в его голове: «Бог Авраама, Бог Исаака, БогИакова, но не Бог философов и ученых. . . ». Позднее он перенесэту запись на пергамент; после его смерти обе бумаги обнару-жили зашитыми в его камзоле. Это событие называют «вторымобращением» Паскаля. С этого дня, по свидетельству Жаклины,Паскаль чувствует «огромное презрение к свету и почти непре-одолимое отвращение ко всем принадлежащим ему вещам». Онпрерывает занятия и с начала 1655 г. поселяется в монастыреПор-Рояль (оплоте янсенистов), добровольно ведя монашескийобраз жизни. В это время Паскаль пишет «Письма к провинциа-лу» — одно из величайших произведений французской литерату-ры. «Письма» содержали критику иезуитов. Они издавались от-дельными выпусками—«письмами»,—начиная с 23 января 1656 г.до 23 марта 1657 г. (всего 18 писем). Автора — «друга провинциа-ла»—звали Луи де Монтальтом. Слово «гора» в этом псевдониме(la montagne) уверенно связывают с воспоминаниями об опытахна Пюи-де-Дом. Письма читали по всей Франции, иезуиты были вбешенстве, но не могли достойно ответить (королевский духовникотец Анна предлагал 15 раз—по числу написанных к тому време-

174 Блез Паскаль (1623 – 1662)

ни писем — сказать, что Монтальт — еретик). За автором, оказав-шимся смелым и талантливым конспиратором, охотился судебныйследователь, которого контролировал сам канцлер Сегье, когда-то покровительствовавший создателю арифметической машины(по свидетельству современника, уже после двух писем канцлеру«семь раз отворяли кровь»), и, наконец, в 1660 г. государствен-ный совет постановил сжечь книгу «мнимого Монтальта». Но этобыло по существу символическим мероприятием. Тактика Пас-каля дала поразительные результаты. «Делались попытки самы-ми различными способами показать иезуитов отвратительными;Паскаль сделал больше: он показал их смешными», — так оцени-вает «Письма» Вольтер. «Шедевром шутливой логики» назвал ихБальзак, «кладом для комедиографа» — Расин. Образы Паскаляпредвещали появление мольеровского Тартюфа.

Работая над «Письмами», Паскаль ясно понимал, что пра-вильное владение логикой важно не только математикам. В Пор-Рояле много думали о системе образования, и существовали дажеспециальные янсенистские «маленькие школы». Паскаль актив-но включился в эти размышления, сделав, например, интересныезамечания о первоначальном обучении грамоте (он считал, чтонельзя начинать с изучения алфавита). В 1667 г. посмертно вы-шли два фрагмента работы Паскаля «Разум геометра и искусствоубеждения». Это сочинение не является научной работой; его на-значение более скромно — быть введением к учебнику геометриидля янсенистских школ. Многие высказывания Паскаля произво-дят очень сильное впечатление, и не верится, что такая четкостьформулировок была достижима в середине XVII века. Вот одноиз них: «Все должно быть доказано, и при доказательстве нельзяиспользовать ничего кроме аксиом и ранее доказанных теорем.Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что разныевещи нередко обозначаются одним и тем же словом, поэтому опре-деляемое слово должно быть мысленно заменено определением».В другом месте Паскаль замечает, что обязательно существуютнеопределяемые понятия. Исходя из этих высказываний, ЖакАдамар (1865 – 1963) считал, что Паскалю оставался маленькийшаг, чтобы произвести «глубокую революцию во всей логике —революцию, которую Паскаль мог бы осуществить тремя века-ми раньше, чем это действительно случилось». Вероятно, здесь

Блез Паскаль (1623 – 1662) 175

имеется в виду тот взгляд на аксиоматические теории, которыйсложился после открытия неевклидовой геометрии.

Удивительные события не переставали происходить в жизниПаскаля. В страшный для него 1654 год у его любимой племян-ницы Маргариты появилась опухоль в уголке глаза. Врачи былибессильны помочь девочке, состояние которой непрерывно ухуд-шалось. В марте 1657 г. к глазу приложили хранившийся в Пор-Рояле «святой терний» (колючка, по преданию, снятая с терно-вого венца Христа), и. . . опухоль пошла на убыль. «Чудо святоготерния», по словам Жильберты Перье (матери Маргариты), «бы-ло засвидетельствовано знаменитыми врачами и искуснейшимихирургами и легализовано торжественным постановлением церк-ви». Слухи о случившемся произвели настолько сильное впечат-ление на церковь, что янсенистский монастырь в очередной разизбежал закрытия. Что касается Паскаля, то «радость его быластоль огромна, что ум его отдался этому чувству всецело, и у негоявилось много удивительных мыслей о чудесах» (Жильберта Пе-рье). Великий ученый поверил в чудо! Он писал: «Невозможноразумно рассуждать против чудес». Позднее он даже попыталсядать определение чуда: «Чудо — это действие, которое превыша-ет естественную силу способов, при нем употребляющихся. . . ».Потом были предприняты многочисленные попытки рациональ-но объяснить случившееся (одно из объяснений: причиной опу-холи была металлическая соринка, а терний обладал магнитнымсвойством). С тех пор на печати Паскаля был изображен глаз,окруженный терновым венцом.

Амос Деттновиль. «Я провел много времени в изучении отвле-ченных наук; недостаток сообщаемых ими сведений отбил у меняохоту к ним. Когда я начал изучение человека, я увидел, что этиотвлечения ему несвойственны и что я еще больше запутался,углубляясь в них, чем другие, не зная их». Эти слова Паскаляхарактеризуют его настроение в последние годы жизни. И все жеполтора года из них он занимался математикой. . .

Началось это весной 1658 г. как-то ночью, когда во времястрашного приступа зубной боли Паскаль вспомнил одну нере-шенную задачу Мерсенна про циклоиду. Он замечает, что напря-женные размышления отвлекают от боли. К утру он уже доказал

176 Блез Паскаль (1623 – 1662)

целый ряд результатов о циклоиде и. . . исцелился от зубной бо-ли. Поначалу Паскаль считает случившееся грехом и не собира-ется записывать полученные результаты. Позднее, под влияниемгерцога де Роанне, он изменяет свое решение, в течение восьмидней, по свидетельству Жильберты Перье, «он только и делал,что писал, пока рука могла писать». А затем в июне 1658 г. Пас-каль, как это часто делалось тогда, организовал конкурс, предло-жив крупнейшим математикам решить шесть задач про циклоиду.Наибольших успехов добились Христиан Гюйгенс (1629 – 1695),решивший четыре задачи, и Джон Валлис (1616 – 1703), у кото-рого с некоторыми пробелами были решены все задачи. Но наи-лучшей была признана работа неизвестного Амоса Деттонвиля.Гюйгенс признавал позднее, что «эта работа выполнена стольтонко, что к ней нельзя ничего добавить». Заметим, что «AmosDettonville» состоит из тех же букв, что «Louis de Montalte» (есливы будете проверять это, имейте в виду, что в XVII веке буквы uи v не различались). Так придуман новый псевдоним Паскаля1.На премиальные 60 пистолей труды Деттонвилля были изданы.

Теперь несколько слов о работе. Мы уже говорили о цикло-иде. Эту кривую описывает точка круга, катящегося по прямойбез скольжения. Первоначальный интерес к циклоиде стимули-ровался тем, что ряд интересных задач для нее удалось решитьэлементарно. Например, по теореме Торричелли, чтобы провестикасательную к циклоиде в точке A, нужно взять соответствующееэтой точке положение производящего (катящегося) круга и соеди-нить его верхнюю точку B с A. Вот еще одна теорема, которуюТорричелли и Вивиани приписывают Галилею: площадь криволи-нейной фигуры, ограниченной аркой циклоиды, равна утроеннойплощади производящего круга.

Задачи, рассмотренные Паскалем, уже не допускают элемен-тарных решений (площадь и центр тяжести произвольного сег-мента циклоиды, объемы соответствующих тел вращения и т. д.).

1Еще одна анаграмма этого имени «Соломон де Тульти»(Salomon de Tulti») появилась в последнем произведении Пас-каля «Мысли» среди авторов, которым он следует (наряду сЭпиктетом и Монтенем). Паскалеведы немало потрудились впоисках загадочного философа, пока догадались, в чем дело.

Блез Паскаль (1623 – 1662) 177

На этих задачах Паскаль разработал по существу все, что необхо-димо для построения дифференциального и интегрального исчис-ления в общем виде. Лейбниц, который делит с Ньютоном славусоздателя этой теории, пишет, что когда по совету Гюйгенса онознакомился с работами Паскаля, его «озарило новым светом»,он удивился, насколько был близок Паскаль к построению общейтеории и неожиданно остановился, будто «на его глазах была пе-лена».

Для работ, предвосхищавших появление дифференциальногои интегрального исчисления, было характерно то, что интуицияих авторов сильно опережала возможности провести строгие до-казательства; математический язык был недостаточно развит,чтобы перенести на бумагу ход мыслей. Выход был найден позд-нее путем введения новых понятий и специальной символики.Паскаль не прибегал ни к какой символике, но он так виртуозновладел языком, что временами кажется, что у него в этом простоне было потребности. Приведем высказывание Н. Бурбаки: «Вал-лис в 1655 г. и Паскаль в 1658 г. составили каждый для своегоупотребления языки алгебраического характера, в которых, незаписывая ни единой формулы, они дают формулировки, кото-рые можно немедленно, как только будет понят их механизм,записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаляособенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он от-казался от применения алгебраических обозначений не толькоДекарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастер-ством, которое могло проявиться лишь на основе совершенноговладения языком». Хочется сказать, что здесь Паскаль-писательпомог Паскалю-математику.

«Мысли». После середины 1659 г. Паскаль уже не возвращалсяни к физике, ни к математике. В конце мая 1660 г. он в последнийраз приезжает в родной Клермон; Ферма приглашает его заехатьв Тулузу. Горько читать ответное письмо Паскаля от 10 августа.Вот несколько выдержек из него: «. . . в настоящее время я зани-маюсь вещами, столь далекими от геометрии, что с трудом вспо-минаю о геометрии. . . хотя Вы тот человек, кого во всей Европея считаю самым крупным математиком, не это качество привле-кает меня; но я нахожу столько ума и прямоты в Вашей беседе

178 Блез Паскаль (1623 – 1662)

и поэтому ищу общения с Вами. . . я нахожу математику наибо-лее возвышенным занятием для ума, но в то же время я знаю,что она столь бесполезна, что я делаю малое различие междучеловеком, который только геометр, и искусным ремесленником.Поэтому я называю ее самым красивым ремеслом на свете, но,в конце концов, это лишь ремесло. И я часто говорил, что онахороша, чтобы испытать свою силу, но не для приложения этойсилы. . . ». И, наконец, строчки, говорящие о физическом состоя-нии Паскаля: «Я так слаб, что не могу ни ходить без палки, ниездить верхом. Я не могу даже ехать в экипаже более двух илитрех лье. . . ». В декабре 1660 г. Гюйгенс дважды посетил Паскаляи нашел его глубоким стариком (Паскалю было 37 лет), которыйне в состоянии вести беседу.

Паскаль решает разобраться в самых сокровенных тайнах че-ловеческого существования, в смысле жизни. Он растерян: «Я незнаю, кто меня послал в мир, я не знаю, что такое мир, что та-кое я. Я в ужасном и полнейшем неведении. . . Как я не знаю,откуда я пришел, так же точно не знаю, куда уйду. . . Вот мое по-ложение: оно полно ничтожности, слабости, мрака». Его занятияестественными науками не могут помочь ответить на возникшиевопросы: «Знание физики не утешает меня в незнании начал нрав-ственности в момент страданий». Когда-то Паскаль писал: «Нетнигде настоящих доказательств, кроме как в геометрии и там, гдеей подражают». Но на сей раз геометрия не может быть образ-цом (хотя немало людей пыталось строить математическую тео-рию нравственности!). А. С. Пушкин писал не без иронии: « ”Все,что превышает геометрию, превышает нас“ , — сказал Паскаль.И вследствие того написал свои философские мысли!». Но Пас-каль не видит здесь противоречия. Он искал истину на другомпути: «Я одобряю только тех, которые ищут с болью в серд-це». Паскаль пишет: «Все наше достоинство заключено в мысли.Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить,возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учить-ся хорошо мыслить: вот основной принцип морали». Он неодно-кратно возвращается к этому вопросу: «Человек, по-видимому,создан, чтобы мыслить; в этом все его достоинство, вся его заслу-га; вся его обязанность в том, чтобы мыслить как должно. . . А о

Блез Паскаль (1623 – 1662) 179

чем думают люди?. . . о том,как бы потанцевать, поигратьна лютне, попеть, написатьстихи, покататься на карусе-ли и т. д., как бы постро-иться, сделаться королем. . .Все достоинство человека вего мысли. Но что такое этамысль? Как она глупа!» Нохорошо мыслить — небезопас-но: «Крайнюю степень ума об-виняют в безумии точно также, как полное отсутствие ума.Хороша только посредствен-ность». Паскаль много думаето роли религии в жизни чело-века. Почти нет вопроса, ми-мо которого он проходит. Онпродумывает человеческую ис-торию, подчеркивает роль слу-чая в ней («Если бы нос Клео-патры был бы короче, вся по-верхность земли приняла бы другой вид»), повествует о страшныхсторонах человеческой жизни («Может ли быть что-нибудь неле-пее факта, что такой-то человек имеет право убить меня, потомучто он живет по ту сторону реки или моря и потому что его пра-вительство в ссоре с моим, хотя я никакой не имею с ним ссоры»).Высказывания Паскаля по самым разным вопросам необычайнопроницательны. Его мысли о государстве ценил Наполеон, ко-торый, находясь в изгнании на острове св. Елены, говорил, что«сделал бы Паскаля сенатором».

Паскаль не окончил главную книгу жизни. Оставшиеся мате-риалы были изданы посмертно в разных вариантах, под разныминазваниями. Чаще всего книгу называют «Мысли».

Популярность этой книги была необычайной. Мы ограничим-ся тем, что подчеркнем ее влияние на деятелей русской культуры.Не все принимали ее. И. С. Тургенев называл «Мысли» «самойужасной, самой несносной книгой из всех когда-либо напечатан-

180 Блез Паскаль (1623 – 1662)

ных», но писал, что «. . . никогда еще никто не подчеркивал то-го, что подчеркивает Паскаль: его тоска, его проклятия ужас-ны. В сравнении с ним Байрон — розовая водица. Но какая глу-бина, какая ясность — какое величие!. . . Какой свободный силь-ный, дерзкий и могучий язык!. . . ». Н. Г. Чернышевский писал оПаскале: «. . . погибать от избытка умственных сил — какая слав-ная погибель. . . ». Полемика с Паскалем прошла через всю жизньФ. М. Достоевского. Для Л. Н. Толстого Паскаль был одним изсамых почитаемых мыслителей. Имя Паскаля постоянно встреча-ется в составленном им «Круге чтения» (около 200 раз). Паскальдля Л. Н. Толстого писатель, «пишущий кровью сердца».

Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 г. 21 августа в церквиСент-Этьен-дю-Мон был составлен «Похоронный акт»: «В поне-дельник 21 августа 1662 г. был похоронен в церкви покойный БлезПаскаль, при жизни стремянный, сын покойного Этьена Паска-ля, государственного советника и президента палаты сборов вКлермон-Ферране. 50 священников, получено 20 франков».

ВЫСОКОЙ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛА

Но это лишь начала некоей много более высокой Геометрии,которая распространяется на труднейшие и прекраснейшиезадачи прикладной Математики, и едва ли кому-нибудь удаст-ся заняться с той же легкостью такими вещами, не пользуясьнашим дифференциальным исчислением или ему подобны-ми. Лейбниц

В 1684 г. в журнале «Acta Eruditorum», выходившем с 1682 г. вЛейпциге («Труды ученых», или, как говорят сейчас, «Ученые за-писки»), появилась семистраничная статья Готфрида ВильгельмаЛейбница (1646 – 1716) «Новый метод максимумов и минимумов,а также касательных, для которого не служат препятствием нидробные, ни иррациональные величины, и особый для этого родисчисления». Это была первая публикация по дифференциаль-ному исчислению, хотя возникло оно лет на двадцать раньше, апервые шаги старше еще на пятьдесят лет и относятся к самомуначалу XVII века.

Золотой век анализа. Анализ бесконечно малых. . . Как видятсясегодня вехи героического века его создания? В самом нача-ле XVII века Галилей (1564 – 1642) изучает равноускоренноедвижение в связи со свободным падением. Как исследоватьнеравномерное движение, если вся наша интуиция относитсяк равномерному движению? Можно считать, что на малых участ-ках времени движение мало отличается от равномерного. Ноудобнее считать, что на «бесконечно малых» интервалах онопросто является равномерным. Появляется очень расплывчатыйобраз неравномерного движения, рассыпающегося на бесконечноемножество бесконечно малых интервалов (нулевых?) с равно-мерным движением. Лишь через двести лет этот образ удалосьпревратить в математически корректное понятие, но все это время

181

182 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)

Готфрид Вильгельм Лейбниц

математики решительно иуспешно работали с ним. А по-том от прямолинейного дви-жения перешли к криволиней-ному: движение тела, брошен-ного под углом к горизонту.Появляется идея рассматри-вать кривые как траекториидвижений. Так Галилей иссле-дует параболу.

Впрочем, у Галилея был ве-ликий предшественник в этихрассмотрениях: Архимед опре-делил свою спираль кинема-тически. Вообще, век анализадолго продолжался с оглядкойна Архимеда. Уже в XVI ве-ке ученые настойчиво изучалиего труды по вычислению пло-щадей и объемов криволиней-ных фигур и тел. В ДревнейГреции был развит логически

безупречный метод доказательства формул для криволинейныхквадратур и кубатур—метод исчерпания. Формула доказываласьот противного при помощи приближения кривого тела с двух сто-рон ступенчатыми телами с любой точностью. Этим методом бле-стяще владел Архимед, а до него Евдокс доказал таким образомформулы для объема пирамиды и конуса. Теперь мы знаем (вXVII веке это не было известно), что когда Архимед искал фор-мулы (а не доказывал их), он разрезал тело на бесконечно малыеслои (неделимые), а потом пользовался механическими сообра-жениями. Из переписки Галилея мы знаем, что он много думал ометоде «неделимых», но не написал задуманной книги.

Вскоре после того, как математики XVII века занялись про-блемой измерения криволинейных площадей и объемов, им сталотесно в рамках метода исчерпания. Первым, кто предпочитаетдвигаться по скользкой дороге бесконечно малых, был Кеплер(1571 – 1630). В 1616 г. выходит его «Новое измерение винных бо-

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 183

чек», где он исследует практическое правило измерения объемабочки при помощи одного замера линейкой, просунутой в налив-ное отверстие. Он не приводит доказательства по Архимеду, смелоработает с бесконечно малыми, но выражает уверенность в воз-можности провести строгое доказательство. Кеплер пишет, что онизлагает принципы Архимеда «лишь настолько, насколько это-го достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, аполные во всех частях строгие доказательства следует искать всамих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути ихчтения». Эта позиция (строгие доказательства провести можно,но мы этого делать не будем) надолго становится удобной за-щитой от необходимости проводить строгие доказательства. Вотнесколько примеров. Ферма: «Было бы легко дать доказатель-ство в духе Архимеда 〈. . .〉 достаточно предупредить об этом рази навсегда, чтобы избежать постоянных повторений». Паскаль:«Один из методов отличается от другого только способом выра-жения». Барроу: «Это доказательство можно было бы удлинитьапагогическим (от противного — С. Г.) рассуждением, но для че-го?». Но находились критики, которые пытались остановить лю-бителей вольно обращаться с бесконечно малыми, заклиная ихименем Архимеда. Против Кеплера было направлено сочинениеАндерсона, ученика Виета, «Иск Архимеда» (1616 г.). Еще черезсто лет Ролль констатировал, что «характер точности не господ-ствует больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали новуюсистему бесконечно малых».

Кеплер еще при формулировке своего второго закона рассмат-ривал площадь, заметаемую отрезком, соединяющим Солнце спланетой, как «сумму» этих отрезков. Каждый следующий мате-матик пытался разработать более безопасные процедуры работы сбесконечно малыми. Кавальери (ок. 1598 – 1647) был близок к Га-лилею и удостоился от Галилея высшей похвалы—был назван «со-перником Архимеда». Кавальери посвятил методу неделимых двекниги (1635, 1647). Он исходит из того, что площадь определяетсядлинами отрезков, по которым фигура пересекается семействомпараллельных прямых (аналогично для объема). Кавальери уве-рен, что его процедуры имеют преимущества по сравнению с прие-мами Кеплера: «Всякий, кто видел трактат упомянутого Кеплерао движении Марса, может легко убедиться на основании наших


исследований, как легко ему было впасть в ошибку 〈. . .〉 исходя изпредположения, что площадь эллипса равновелика совокупностивсех расстояний планеты, вращающейся на эллиптической линии,от Солнца». Кавальери считал, что надо осторожно работать снепараллельными отрезками, но Кеплер не ошибался! Только ин-туиция могла защитить математиков от заблуждений при работес бесконечно малыми.

Кавальери применяет свои методы к вычислению площадикриволинейной трапеции под параболами y = xn(в современныхобозначениях

∫ ba x

n dx). С огромным трудом он постепенно увели-чивает n, дойдя между 1635 г. и 1647 г. до n = 9. Но к этомувремени Ферма (1601 – 1655) уже умел вычислять площади длявсех рациональных n 6= −1 (в 1644 г. он сообщил об этом Кавалье-ри, но первые результаты относятся еще к 1629 г.). Математикиначинают ощущать свое превосходство над древними. В 1644 г.Торричелли писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери естьудивительное по своей экономии средство для нахождения тео-рем. . . Это — истинно царская дорога среди зарослей математи-ческого терновника. . . Жаль мне древней геометрии, что она ли-бо на знала, либо не хотела признавать учения о неделимых».

Как же обстоит дело в случае n = −1, выпавшем из рассмот-рений Ферма? И здесь выяснилось поразительное обстоятельство:при квадратуре гиперболы появляются логарифмы (

∫ x1 dy/y =

lnx). Этот замечательный факт постепенно выкристаллизовывал-ся, начиная с работы Сент-Винцента (около 1647 г.). Логариф-мы появились у Непера (1550 – 1617) в самом конце XVI векапри помощи кинематических рассмотрений, очень напоминавшихпервые механические построения Галилея. Однако долго они вос-принимались как чисто вычислительное средство (таблицы!) ине пересекались с теоретическими исследованиями. Как писалТорричелли, Непер «следовал только арифметической практике»(грубо говоря, еще не было логарифмической или показательнойфункций), и лишь с середины века эти функции начинают по-являться (в значительной степени в связи с квадратурами). Этобыло принципиально, что при квадратуре алгебраической функ-ции простого вида появляется трансцендентная. Был подробноисследован вопрос о квадратуре круга и его частей, и здесь выяс-


нилось, что квадратура алгебраической функции (√

1− x2) ведетк тригонометрическим (круговым) функциям. Кстати, и синусо-ида появилась тогда же как промежуточный объект при вычис-лении площади под циклоидой («спутница циклоиды»).

Постепенно в круг интересов математиков все более начинаютвходить задачи на проведение касательных к кривым. Древниеумели проводить касательные лишь к коническим сечениям, даеще Архимед умел строить касательную к своей спирали. Так чтов этой задаче с самого начала математики XVII века были ли-шены поддержки древних. Начиная с 1629 г. Декарт (1596 – 1650)и Ферма, соревнуясь друг с другом, разрабатывают общие прин-ципы построения касательных, причем последний связывает ихс задачами на максимум и минимум. Параллельно Торричеллии Роберваль (1602 – 1675) предлагают искусственные приемы по-строения касательных, интерпретируя их как направления ско-рости при движении по кривой и искусно представляя движениепо кривой как сложное движение, составленное из более простых.В 50 – 60-е годы, отправляясь от результатов Декарта – Ферма,Слюз, Гудде, Гюйгенс находят совершенно автоматические пра-вила построения касательных к широким классам алгебраическихкривых. Характерно, что никто из авторов не спешил обнародо-вать свое правило. В 1659 г. Гудде пишет Схоутену: «Я прошу вассохранить в тайне все, что я вам пишу, и не говорить кому бы тони было, что найдено нечто подобное. Необходимо, чтобы мои луч-шие открытия либо были известны только самым интимным моимдрузьям, либо чтобы они стали известны всем». Характерная ил-люстрация эпохи! Информация распространяется в основном припомощи писем, редко выходят книги, а первый журнал («Журналученых» в Париже) стал выходить в 1665 г. Быстрая публика-ция еще не воспринималась как естественное средство сохранитьприоритет. Считалось вполне допустимым «придержать» метод,чтобы самому извлечь максимальные следствия.

В 1668 г. Николай Кауфман (1620 – 1689), более известный подименем Меркатор, опубликовал в книге «Логарифмотехника» за-мечательный способ вычислять логарифмы:∫ x

0

dx

1 + x= ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . . ,


где можно обеспечить любую точность, взяв достаточное числочленов (ряд для ln 2 был ранее получен Броункером). Позже вы-яснилось, что этот ряд знали уже Гудде (1656 г.) и Ньютон (1665),но они не торопились с публикацией. Постепенно рады становят-ся важнейшим средством как для вычислений, так и для тео-ретических рассмотрений. Например, Грегори (1638 – 1675) имелочень интересный план применить ряды к доказательству транс-цендентности π и к доказательству, что некоторые задачи (вычис-ление дуги эллипса или гиперболы) не сводятся к элементарнымфункциям.

Мы очень бегло описали ситуацию в первой половине века бес-конечно малых, причем мы не только опустили многие славныестраницы истории (результаты Паскаля, Ферма), не упомянулимногие достойные имена (Валлис, Фабри), но и сильно огрубиликартину, не обсуждая многочисленные переходящие друг в другаэтапы становления результатов, авторство которых очень условнои часто несправедливо закреплено за теми или иными математи-ками: «. . . открытие произошло в результате почти неуловимыхпереходов, и спор по этому поводу о приоритете был бы равно-силен спору месяцу скрипкой и тромбоном относительно точногомомента появления определенной мелодии в симфонии» (Бурба-ки).

К началу 60-х годов математики накопили немало фактов. На-чал очерчиваться круг задач, решаемых при помощи бесконечномалых. Выкристаллизовались два основных направления: вычис-ление квадратур и построение касательных. Ситуация с этимизадачами была существенно различной. В то время как в зада-че о касательных, более молодой, появились достаточно общиеметоды, в задаче о квадратурах все оставалось на уровне от-дельных задач и искусственных приемов. Например, Декарт былуверен, что общие приемы в этих задачах не существуют. Все бо-лее осознавалась замечательная связь, которая имелась междуэтими задачами. Они оказались взаимно обратными, что наибо-лее естественно было усмотреть при помощи кинематических рас-смотрений: нахождение скорости (мгновенной) по пути сводитсяк построению касательной, а путь находится по скорости при по-мощи квадратур. Эта связь, которая наметилась уже у Галилея, ввесьма полном виде появляется у Барроу (1630–1677) в его лекци-


ях, изданных в 1669 – 1670 г., хотя эксплуатируется она еще явнонедостаточно.

Активность в области теории бесконечно малых к концу 60-хгодов заметно падает. Ферма и Декарта уже нет в живых, Гюй-генс уже сделал свои главные работы. Остававшиеся задачи струдом поддавались искусственным приемам, да и не было наматематическом небосклоне такого созвездия математиков пер-вой величины, как двадцать лет назад. Необходим был перелом,для которого требовался очень талантливый человек, которыйбы отважился на некоторое время отказаться от движения впе-ред и переосмыслил все с самого начала, разгрузил теорию отискусственных приемов, и только упростив и систематизировавспособы решения известных задач, двинулся вперед. Необходимобыло превратить теорию бесконечно малых в исчисление — набордостаточно простых формальных, но широко действующих ре-цептов. Нужно было превратить теорию из искусства в ремесло.В таком виде ее не только можно будет вывести из узкого кругапосвященных, но и крупным математикам это позволило бы беззатраты усилий пройти часть пути и сконцентрировать усилияна более глубоких вопросах. Характерно, что еще работающиегиганты, прежде всего Гюйгенс, не чувствовали в этом потреб-ности: их устраивала работа по-старому. Этот труд должен былвзять на себя математик следующего поколения.

«Бог сказал: да будет Ньютон! — и наступил свет» — сказа-но в популярном четверостишии А. Попа. Ньютон (1642 – 1727) исоздал исчисление во время своих двухлетних чумных каникул(1665 – 67 гг.) в Вулсторпе, когда после окончания Кембриджско-го университета он оказался на своей ферме отрезанным из-зачумы от внешнего мира. В эти два года он получил свои самыезамечательные результаты по механике и математике. Перед этимон слушал лекции Барроу и возможно от него усвоил идею си-стематически рассматривать кривые как функции от времени:«вероятно, что лекции д-ра Барроу могли навести меня на рас-смотрение образования фигур с помощью движения, хотя я теперьи не помню этого». Очень поучительное высказывание! Ньютонстроит исчисление флюксий. У него независимое переменное —это всегда время, и флюксии — это скорости, производные по вре-мени. Подробно разрабатываются правила вычисления флюксий


(наши правила дифференцирования). Дальше исследуется обрат-ная задача — нахождение флюент. Это операция интегрирования,и Ньютон систематически выясняет, какие правила для нее можнополучить, эксплуатируя то, что она обратна дифференцированию(нахождению флюксий по Ньютону).

Это дает немало удобных приемов, поскольку с флюксиями(производными) все выглядит просто. По такой схеме — диффе-ренцирование предшествует интегрированию — обычно строитсяанализ и сегодня. Но главный конек Ньютона — это ряды. Оночень ценит свою формулу для бинома (1 + x)k при любых (необязательно натуральных) k. Он воспринимает ряды как универ-сальный метод решения аналитических задач и не видит для негоограничений.

В октябре 1666 г. Ньютон составляет черновой набросок тео-рии, а в 1669 г. летом он передает конспект своих результатовБарроу, а через него Коллинзу в Лондон. В 1670 – 71 гг. Ньютонготовит подробное сочинение по методу флюксий, но не находитиздателя, и сочинения Ньютона по анализу начали появляться впечати лишь после 1704 г. Кое-какая информация о его работахраспространялась среди математиков, кое-кто имел возможностьпознакомиться с рукописью, хранившейся у Коллинза. Ньютон неторопился с публикацией, спокойно наблюдая как некоторые егорезультаты переоткрывались и публиковались другими (напри-мер, результаты о рядах — Меркатором). Вряд ли кто-нибудь изокружающих мог оценить важность исчисления, более обращаливнимание на конкретные результаты. Да и сам Ньютон большеценил их и выдвигал на первый план метод рядов, а не исчисле-ние. Итак, к 70-м годам «активными остаются только Ньютон вКембридже и Дж.Грегори, уединившийся в Абердине, к которымв скором времени со всем пылом неофита (вновь посвященного —С. Г.) присоединяется Лейбниц» (Бурбаки).Лейбниц и его путь в математику. Всю свою жизнь Лейбниц былнацелен на глобальные проблемы, на всеобъемлющие теории. Егопуть в математику был нестандартен, и в этом отчасти причи-на того, что он отдавал предпочтение методу в век, когда болееценили конкретные результаты. В жизни Лейбница было мно-го планов. Некоторые поражают своей грандиозностью. Новыезамыслы вытесняли старые, нередко увлекавшемуся автору не


хватало реализма. Почти ни одной из задуманных книг он не до-писал до конца, а большинство оставил в самом начале (лишьнесколько книг по философии постигла лучшая участь). Но кактрудно сохранить реализм, когда замыслы далеко обгоняют век!

Уже с 13 – 14 лет Лейбниц мечтает о перестройке логики, о со-здании алфавита человеческих мыслей, в котором можно было бызаписывать все мыслительные процессы. Постепенно зреет глав-ная идея его жизни: создание «универсальной характеристики»,«универсального языка». «Универсальная математика является,так сказать, логикой воображения»; она должна заняться всем,«что в области воображения поддается точным определениям».Язык должен быть защищен от записи неправильных мыслей:«химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогутбыть записаны его знаками». Он грезит о машине, которая будетдоказывать теоремы, хочет превратить мышление в исчисление,арифметизировать его так, чтобы можно было заменять рассуж-дения вычислениями и решать споры при помощи математиче-ских выкладок. Трижды приступал Лейбниц к реализации своегограндиозного, сильно опередившего время замысла, но всякий разостанавливался, пройдя лишь первые шаги. Только в XX веке,когда многое из задуманного Лейбницем оказалось явью в рам-ках математической логики, стало ясно, что его замыслы были нестоль утопичны, сколь прозорливы.

Лейбница интересуют разнообразные применения математи-ки, и он верит в безграничные ее возможности. Он готовится статьюристом и в 18 лет пытается строить юриспруденцию как мате-матическую теорию с аксиомами и теоремами, думает о приме-нении вероятностных соображений в судопроизводстве. В 20 летон оказывается от кафедры в Нюрнбергском университете: его непривлекает спокойная академическая карьера. Планы Лейбницаболее честолюбивы: «я давно в душе лелеял другое» и «я считалнедостойным молодого человека сидеть, точно пришпиленный кместу; дух мой горел желанием стяжать большую научную славуи посмотреть свет». Он принимает приглашение герцога ИоганнаФилиппа и переезжает в Майнц. Лейбниц хочет воспользовать-ся ситуацией и, пусть в рамках довольно скромного государства,создать совершенный свод законов. Постепенно его планы ста-новятся все более широкими и одновременно менее реалистиче-


скими. Он задумывает перестройку всей юридической науки, на-чинает три грандиозные монографии. Вероятно, когда в 1717 г.непременный секретарь Французской академии наук Фонтенельв «Похвальном слове Лейбницу» назвал его великим юристом, унего были основания.

У Лейбница немало интересных идей, но скоро приходит оче-редь совершенно другого замысла. Живший в Майнце известныйдипломат Бойнебург увлекает Лейбница грандиозными планамиизменить европейскую политику. Их замыслам тесно в провинци-альном Майнце. Они берутся за предложение курфюрста Бран-денбургского найти мотивировку для избрания на польский пре-стол немецкого князя. Лейбниц сочинил блестящий меморандум,который, впрочем, не помешал проиграть дело: правильная прак-тическая дипломатия оказалась эффективнее политического пам-флета. Следующий прожект касался организации союза немецкихгосударств против Франции. Он содержал немало остроумных хо-дов, но реализовать его не удалось. Наконец, третий грандиозныйпроект: вовлечь Францию в войну с Турцией с тем, чтобы осла-бить ее влияние в Европе. Для реализации проекта Лейбниц едетв Париж. Единственным результатом было то, что Лейбниц посуществу лишился поддержки курфюрста, который не очень былзаинтересован в советнике, пытавшемся через его голову пере-страивать европейскую политику.

Возможно, то обстоятельство, что Лейбниц остался не у дел,переключило эту кипучую натуру на математику. Первоначальнов планах Лейбница математике предназначалась вспомогательнаяроль. В 1666 г. он издает в Лейпциге «Диссертацию о комбина-торном искусстве», в которой он сообщает, что его не интересуетоткрытие новых арифметических истин: математика должна по-мочь ему разработать «логику открытия». И в Майнце он находитвремя для «математических досугов». В 1676 г. он работает надконструкцией арифметической машины, интересуется машинойПаскаля. Лейбниц привез в Париж некоторые математическиерезультаты. Осенью 1672 г. они были темой обсуждения с Гюй-генсом, который в те годы работал в Париже. Речь шла о сумми-ровании числового ряда a1+a2+ . . .+an+ . . . при помощи подборатакой последовательности b1, b2, b3, . . . , что an = bn − bn+1. Тогдаa1 + . . . + an = b1 − bn+1. Лейбниц рассматривает ряд примеров,


когда работает его правило, и удачно, что под правило подошелпример, предложенный Гюйгенсом:

11 · 2

+1

2 · 3+ . . .+

1n(n+ 1)

+ . . .

(здесь bn = 1/n). Они оба не знали, что этот прием не был нов,да и речь шла об очень частном вопросе. Лейбниц тем не менеебыл высокого мнения о своих достижениях. Позднее он трезвооценивал ситуацию: «Когда я приехал в 1672 г. в Париж, я былматематиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хвата-ло терпения пройти долг цепь доказательств. . . Я хотел плаватьсамостоятельно без учителя. . . В этом высокомерном математи-ческом невежестве я уделял внимание только истории и праву,видел в их изучении свою цель. Однако математика была для ме-ня более приятным развлечением».

В 1673 г. Лейбниц посетил Лондон в составе майнцской ди-пломатической миссии. Контакты с английскими математикамиподействовали на него отрезвляюще. Он узнал что его основныерезультаты не новы, а современная математика далеко впереди.У Лейбница оставался единственный путь войти в современнуюматематику — начать все с начала. 27 лет — не самый подходя-щий возраст для старта в науку молодых, но Лейбница это несмущает, он имел все основания позднее назвать себя «самым уча-щимся из смертных» (письмо Я.Бернулли, 1703 г.). С осени 1673 г.начинаются годы математического ученичества Лейбница, уме-ло направляемого Гюйгенсом. Гюйгенс угадал в самоуверенном«переростке» подлинный дар. «. . . Гюйгенс, который, как я пред-полагаю, считал меня более способным, чем я был на самом деле,дал мне экземпляр только что изданного ”Маятника“ . Для меняэто было началом или поводом для более глубоких математиче-ских занятий.» Итак, все началось с великой книги «Маятниковыечасы». Затем последовали Сент-Винцент, Декарт, Слюз, Валлис, ипрежде всего Паскаль. Лейбниц увидел, что Паскаль по существуприменяет очень общий метод к частной задаче и, пораженный,что «глаза Паскаля были закрыты», пытается вычленить этотметод и применить его к другим задачам. Так появляется так на-зываемый метод «характеристического треугольника», в которомбесконечно малый треугольник заменяется конечным, что было


существенным прогрессом по сравнению с методом неделимых.Лейбницу было бы неплохо почитать и более классические тексты,но он торопится; он в самом деле смог пробраться «к геометриивоистину с черного хода». Появляются результаты, удивившиеГюйгенса, например, ряд

π

4= 1− 1

3+

15− 1

7+ . . . .

Потом оказалось, что его знал Грегори. Гюйгенс рассчитывал, чтопри помощи ряда можно получить квадратуру круга (а Грегори,напротив, рассчитывал таким способом доказать трансцендент-ность π). Лейбниц занимается не только анализом. Он пытаетсянайти формулу для решения общего алгебраического уравнения(именно общего, частные проблемы его мало интересуют), анали-зирует формулу Кардано в комплексной области (удивляет Гюй-генса соотношением

√1 +

√−3 +

√1−

√−3 =

√6), работает над

циркулем, который позволяет находить корни любого уравнения(подобно тому как обычный циркуль позволяет находить корниквадратного).

Все же главные результаты связаны с бесконечно малыми.Лейбниц писал, что уже в 1673 г. он «заполнил несколько сотстраниц», но еще «не считал этот труд достойным быть издан-ным. Ибо мне наскучило заниматься мелочами, когда передо мнойоткрылся Океан».

Много теорем было получено в первый год «ученичества», нобольшинство из них можно было найти у Грегори или Барроу.Однако общие приемы позволяли получать все проще и единооб-разнее. Путь Лейбница был выбран: он строит исчисление беско-нечно малых.

Характер его таланта, его предыдущий научный опыт какнельзя лучше отвечали этой цели. Он четко продумывает вопросо классе функций, которые должно рассматривать в анализе (са-мо слово «функция» впервые появляется у Лейбница в 1673 г.).Он решительно отвергает идею ограничиться алгебраическимифункциями (геометрическими кривыми по Декарту) и считает,что необходимо рассматривать и трансцендентные функции (тер-мин Лейбница; Декарт в этих случаях говорил о механическихкривых). С первых шагов он сопровождает построение исчисле-


ния разработкой символики, которая в конечном счете приняла унего вид, дошедший до наших дней.

Лейбниц, как никто до него, понимал важность удачной сим-волики, причем не только в математике. Исчисление бесконечномалых дало ему прекрасный повод для реализации этой идеи.Хорошая символика не только упрощает пользование исчисле-нием, но и по существу необходима для овладения им. В 1678 г.Лейбниц писал Чирнгаузу: «Следует заботиться о том, чтобызнаки были удобны для открытий. Это достигается в наибольшеймере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отобра-жают глубочайшую природу вещи, и при этом удивительнымобразом сокращается работа мышления». Лейбниц всюду искалвозможность ввести удобную символику. Стоит упомянуть, чток нему восходит метод решения систем линейных уравненийпри помощи определителей, в связи с чем он писал Лопиталю(1693 г.): «Часть секрета анализа состоит в искусстве хорошоупотреблять применяемые знаки, и по этому малому образцу Вывидите, сударь, что Виет и Декарт еще не познали все его тай-ны». Следует подчеркнуть, что в исчислении Ньютона не былоразвитой символики. Он сам писал, что «не дал своего методав форме символов и не придерживался какого-либо определен-ного вида символов для флюент и флюксий». Показательно, чтоГюйгенс не оценил пользы аналитической символики. При егодаровании он был в состоянии без нее обходиться. Лейбниц пы-тался объяснить преимущества: «Я вполне себе представляю,что вы располагаете методом, эквивалентным моему исчислениюразностей. Ибо то, что я называю dx или dy, вы можете обо-значить другой буквой. Однако это примерно то же самое, какесли бы вместо корней или степеней всегда хотели подставлятьбуквы. . . Посудите сами, насколько это было бы затруднитель-но. . . » То, без чего мог обойтись Гюйгенс, было совершеннонеобходимо для превращения анализа в повседневное практи-ческое средство. Вероятно, символика явилась решающей при-чиной, по которой мы пользуемся сегодня анализом в вариантеЛейбница.

Уже в 1674 г. Лейбниц уверен, что «все учение о суммах иквадратурах может быть сведено к анализу — вещь, на которуюникто до сих пор не надеялся». К концу 1675 г. в первом при-


ближении исчисление построено, и Лейбниц имел повод убедить-ся в его эффективности. Важным моментом было решение за-дачи Дебона, которой занимался Декарт, но не смог довести ре-шение до конца: «Еще в прошлом году я поставил перед собойвопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геомет-рии, поскольку распространенные до сих пор методы здесь по-чти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведуего анализ» (11 ноября 1675 г.). Речь идет о нахождении кри-вой с постоянной подкасательной (отрезок между проекцией точ-ки A на ось OX и точкой пересечения касательной в точке A сосью OX). Трудность заключается в том, что решение связанос логарифмической функцией. К середине 1676 г. дифференци-альное и интегральное исчисление сложилось окончательно. Онпоражается, что «благодаря этому исчислению все предстает пе-ред очами и в уме с восхитительной краткостью и ясностью».

Лейбниц, как и Ньютон, стремился создать мощный метод, незаботясь на этой стадии о достаточно строгом обосновании исчис-ления. «Ньютон и Лейбниц, повернувшись спиной к прошлому,решили временно искать оправдание новым методам не в строгихдоказательствах, а в обилии результатов и их взаимной согласо-ванности» (Н. Бурбаки). Еще на стадии ученичества Лейбницуказалось, что Грегори слишком увлекается «доказательствами наантичный лад». Для Лейбница конкретные результаты, в первуюочередь, рассматривались как возможная иллюстрация его мето-да. Возможно, здесь сказалось, что он никогда не умел легко де-лать выкладки и всегда завидовал вычислителям «из железа илимеди». Позднее (1696 г., письмо Лопиталю) он связывал это с тем,что одновременно занимался многими разными вещами: «Моемууму, занятому другими предметами, не удается сосредоточиться внеобходимой мере, из-за этого я ежеминутно спотыкаюсь, а когдая напрягаю внимание, у меня появляется неприятное ощущениекакого-то жара». В 1699 г.: «вычисления становятся приятнее, ко-гда их делишь с кем-нибудь, а я не в состоянии долго заниматьсявычислениями, если мне не помогают».

В 1675 г. в Париже у Лейбница был достойный напарник, егосоотечественник Чирнгауз (1651 – 1708). Их способности были вомногом дополнительны, и это делало их сотрудничество особен-но плодотворным. Чирнгауз занимался больше всего алгебраиче-


скими уравнениями, но интересовался также и квадратурами.Лейбницу было больно, что его товарищ не смог оценить пользуисчисления: «. . . некоторые квадратуры, которые получены тобоюпространно, но изящно, и сами по себе красивы, я считаю толькоследствиями общего исчисления. А пишу я это, мой друг, так какс сожалением вижу, что ты часто теряешь много времени и толь-ко потому, что не пожелал с достаточным вниманием отнестись кнекоторым моим замечаниям» (1678 г.).

Лейбниц, разумеется, слышал, что Ньютон владеет какими-томощными методами, и решает обсудить с ним свой новый метод.Через посредничество Ольденбурга (секретаря Королевского об-щества) в 1676 г. происходит обмен письмами. Лейбниц сообщаето задачах, которые он умеет решать, просит сообщить о методахНьютона, обещает рассказать о своем методе. Еще ранее Лейбницписал Ольденбургу, что создание метода — единственная вещь,которой он придает значение, Результаты Лейбница не удивилиНьютона. Он сразу заметил, что задача Дебона сводится к квад-ратуре гиперболы (логарифмам), а по поводу ряда для π заме-тил, что потребовалось бы 1000 лет, чтобы сосчитать 20 десятич-ных знаков. Очень скупо говорит Ньютон о методе. Ясно лишь,что центр тяжести в его рассмотрениях — на степенных рядах.Ньютон утверждает, что он в состоянии решить при их помощилюбое дифференциальное уравнение. Основная часть информа-ции закодирована в двух анаграммах, в которых высказываниязашифрованы первыми буквами содержащихся в них слов (5ac-cdae10effh. . . ). Ньютон расшифровал их много позднее. Это былстаринный способ сохранить приоритет. Быть может, концентра-ция внимания на степенных рядах помешала Лейбницу осознать,что у Ньютона имеется исчисление.

Лейбниц не согласен, что ряды решают все проблемы. «Мыпока, насколько мне известно, не располагаем общим обратнымметодом касательных». Ему видится иная картина. Надо пы-таться сводить решение дифференциальных уравнений к извест-ным квадратурам. Важно разобраться, хватает ли элементарныхфункций и квадратур гиперболы и круга (логарифмической итригонометрических функций). Грегори приводил веские аргу-менты в пользу того, что для вычисления длин дуг эллипса илигиперболы (будущие эллиптические интегралы) этих квадратур


мало. Тогда надо «установить какие-то другие высшие основныефигуры» (в другом месте «высшие трансцендентности в гео-метрии»), которых достаточно для решения дифференциальныхуравнений. Ньютона и эта постановка не застает врасплох: онсообщает, при каких α и β интеграл

∫xα(1 + x)β dx сводится к

известным квадратурам. Переписка прервалась по инициативеНьютона, кроме того в 1677 г. умер Ольденбург, через которогоона велась.

Математика и «завоевание умов» государей. Да и жизнь Лейбни-ца решительно поменялась. От его парижского периода осталисьлишь черновики и наброски статей. У него зреет план подготовкивсеобъемлющего труда «Математика бесконечного», но жизнен-ные перемены отвлекли его от математики.

Нам не дано знать, опять ли взыграло у Лейбница политиче-ское честолюбие, или он не нашел возможности обеспечить себежизнь занятиями наукой (возможно, протестантство помешалоему получить место в Парижской академии наук). Так или ина-че, с конца 1676 г. он на службе у герцога Иоганна Фридриха вГанновере. Он едет в Ганновер кружным путем, посещает Лон-дон, где видится со многими математиками, но не встречается сНьютоном, встречается со Спинозой в Голландии.

Итак, Лейбниц смог получить место лишь у второсортного го-сударя, да и то поначалу он лишь герцогский библиотекарь. Несамое завидное место для 30-летнего ученого политика, еще неотказавшегося от честолюбивых замыслов. Но Лейбниц полон эн-тузиазма и мечтает о лучшей библиотеке в мире, пока размерреально отпускаемых средств не охладил его. Его допускают кюридической деятельности, но предпочитают загружать повсе-дневными делами, к которым он не имел вкуса, в отличие отглобальных юридических проблем. Очень ограниченно допускаютЛейбница к дипломатической деятельности. Так, ему поручаетсяподготовить текст, мотивирующий право герцога участвовать вофранко-германских мирных переговорах. Иоганн Фридрих былкатолическим монархом в протестантском государстве, и Лейб-ниц хотел воспользоваться этим обстоятельством для реализациисвоей заветной идеи: объединить католическую и протестантскуюрелигии.


В 1678 г. на престоле новый герцог Эрнст Август, при кото-ром дела стали идти хуже. Но Лейбниц полон проектов, спектркоторых необычайно велик: усовершенствование кладки печей,производства гвоздей, молотков, усовершенствование колес эки-пажей, удочек, рулей кораблей, литейного производства, пожар-ного дела, реорганизация архивов, составление «Свода законовЭрнсто-Августов» и т. д. Почти ни один проект не нашел под-держки. Дальше всего зашло дело с планом усовершенствова-ния водяных двигателей на рудниках в Гарце. В 1685 г. реализа-ция была прервана, поскольку была признана бесперспективной.В каждом проекте Лейбница была остроумная находка, но ему ча-сто не хватало реализма. Успех наступал тогда, когда за доводкуидеи брался талантливый практик. Так было с паровой маши-ной: «. . . Лейбниц, рассыпая вокруг себя, как всегда, гениальныеидеи без заботы о том, припишут ли заслугу открытия этих идейему или другим, — Лейбниц, как мы знаем теперь из перепискиПапена (изданной Герландом), подсказал ему при этом основнуюидею: применение цилиндра и поршня» (Ф. Энгельс). В качествекурьеза упомянем, что Лейбниц предлагал патеру Гримальди, на-правлявшемуся в Китай, ознакомить просвещенного императорас двоичной системой счисления и при ее помощи обратить в хри-стианство (доказав единственность божества).

Постоянная борьба за влияние при дворе надолго отвлеклаЛейбница от математики. Новое обращение Лейбница к матема-тике стимулировалось двумя обстоятельствами. С 1682 г. при под-держке Лейбница стали выходить «Ученые записки» в Лейпци-ге, и Лейбниц предполагает публиковать там свои результаты.В 1683–84 гг. в журнале публикуются статьи Чирнгауза о квад-ратурах, в которых Лейбниц обнаруживает следы своих недав-них бесед с автором без необходимых ссылок. Когда-то Лейбницбезуспешно пытался убедить Чирнгауза в эффективности исчис-ления, теперь он напечатал сам некоторые результаты в этомнаправлении. Очень вероятно, что Чирнгауз не помнил, что перво-источником его утверждений были высказывания Лейбница. Такбывает, что непонятые мысли прячутся глубоко, а через некотороевремя возникают как свои собственные.

В мае 1684 г. Лейбниц напечатал статью с осторожной кри-тикой Чирнгауза (без приоритетных претензий и без указания


полной фамилии), а в октябре выходит его знаменитая статья, окоторой мы говорили в начале. На семи страницах формулируют-ся основные правила дифференциального исчисления, обсуждает-ся связь с задачами на максимум и минимум и о точках перегиба,рассматривается несколько примеров (вывод закона преломления,задача Дебона). Очень оптимистична оценка: «То, что человек,сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трех стро-ках, другие ученейшие мужи принуждены были искать, следуясложными обходными путями». По существу в это время Лейб-ниц не занимается анализом. Он лишь печатает немногое из своихматематических «кладовых». Он печатает еще несколько статей.Среди них в 1686 г. вышла статья «о глубоко скрытой геометрии ианализе неделимых, а также бесконечных». В ней впервые появля-ется в печати интеграл (он еще называется суммой, но обознача-ется через

∫; термин «интеграл» ввел И. Бернулли). Здесь четко

формулируется взаимная обратность операций дифференцирова-ния и интегрирования, подчеркивается необходимость рассмотре-ния трансцендентных функций в анализе. В статье приводятсякраткие исторические замечания. Ньютон называется «глубочай-шего дарования геометром». Отмечается, что публикация его ме-тодов способствовала «немаловажному приращению науки». Наэтом фактически закончился второй период математической жиз-ни Лейбница.

Дела при дворе складывались все хуже. К 1685 г. оконча-тельно провалился гарцский проект. Герцог нацелился стать девя-тым курфюрстом (князья, участвующие в выборах императора).В этой игре Лейбницу отводится немаловажная, но четко огра-ниченная роль. Он должен провести изыскания по истории домаВельфов, к которому относился герцог. Они были необходимы дляподкрепления претензий. Любознательного Лейбница скромнаядеятельность историографа вполне привлекала. Она, в частности,давала ему возможность вырваться из Ганновера. В 1687 г. он от-правляется в трехлетнюю поездку для работы в архивах Германиии Италии. За десять лет безвыездной ганноверской жизни его кон-такты с учеными были крайне ограничены. Он пытается заменитьих активной перепиской: еще в Майнце число его корреспонден-тов приближалось к 50, в Ганновере их число возросло до 70, ак началу нового века и до 200. Все же письма не могут заменить


личных контактов. Подводя итоги путешествия, Лейбниц напи-шет: «Путешествие отчасти послужило тому, чтобы освободитьменя от обычных обязанностей и дать моему духу исцеление, и яполучил удовлетворение от бесед, которые имел обыкновение ве-сти со многими искусными в науках и эрудированными людьми».Кроме того, Лейбницу тесно на службе у ганноверского герцога.Для его планов важно «завоевать ум большого государя». Он по-лучает аудиенцию у императора Леопольда в Вене («Я прожилдень, которого желал уже двадцать лет»). В числе благосклонновстреченных предложений — проект организации Академии наукв Вене. Но скоро императору, занятому войной с Францией, сталоне до Академии.

С 1690 г. Лейбниц снова в Ганновере. Он рассчитывает за два-три года закончить «Историю Вельфов». Но оценка оказалась,как всегда, слишком оптимистической. Слишком фундаменталь-ны были его замыслы, а они еще расширялись по мере работы.Ограничивать задачу Лейбниц не умел, и книга тяжелым грузомвисела на нем до конца его дней.

В Ганновере Лейбница ждало отправленное еще в 1687 г.письмо Якоба Бернулли (1654 – 1705). Я. Бернулли прочел статьиЛейбница и проникся духом нового исчисления. Пока он ожидалответа Лейбница, он начал активно работать в анализе, вовлекаяв занятия своего младшего брата Иоганна (1667 – 1748). Лейбницнашел понимание, которого ждал много лет. О лучших ученикахне приходилось и мечтать. Лейбниц получил свою научную школу(то, чего был лишен Ньютон). В контактах с братьями БернуллиЛейбниц начал систематически развивать анализ. Они печаталистатьи в «Acta eruditorum», обменивались письмами, обсуждализадачи. Позднее к триумвирату присоединился маркиз Лопиталь(1661 – 1704), ученик И.Бернулли. В 1692 г. И.Бернулли изготовиллекции по дифференциальному исчислению, но не опубликовалих, а в 1696 г. вышел первый курс по дифференциальному ис-числению—«Анализ бесконечно малых для исследования линий»Лопиталя. Мы не будем останавливаться на результатах, полу-ченных в эти годы Лейбницем и его сотрудниками, но обсудим,как в результате этих исследований менялся взгляд его на анализ.

Еще в конце века Лейбницу кажется, что в математике всесделано: «Я рассматриваю отныне чистую математику только как


упражнение, служащее для развития искусства мыслить. Ибо дляпрактических целей в ней почти все открыто с помощью новыхметодов». В сентябре 1692 г. он сообщает о своих планах Гюй-генсу: «Я хочу, чтобы мы могли еще в этом веке довести до за-вершения анализ чисел и линий, по крайней мере, в главном,дабы избавить от этой заботы человеческий род, чтобы отныневся проницательность человеческого разума обратилась к физи-ке». Но, как свидетельствует письмо к Лопиталю от 1708 г., онуже не так оптимистичен: «Не следует удивляться, что анализбесконечно малых делает только первые шаги и что мы не хозяе-ва положения и в квадратурах, и в обратной задаче касательныхи, в еще меньшей мере, при решении дифференциальных урав-нений. . . » Он ясно видел, что естественные задачи не сводятся кизвестным квадратурам и не видел способна систематизировать«высшие трансцендентности». Это уже была задача для двух сле-дующих столетий.

Научный авторитет Лейбница рос. Одним из свидетельств это-го было избрание его во французскую Академию наук в 1699 г.(как только разрешили выбирать некатоликов). Но ему все труд-нее было совмещать службу с наукой. Он рвался за пределы Ган-новера. С 90-х годов он на службе еще у двух немецких госуда-рей. В 1700 – 1711 гг. к этому присоединяется служба у бранден-бургского курфюрста Фридриха III, ставшего прусским королем.Здесь по проекту Лейбница организуется научное общество, ноинтриги заставили Лейбница покинуть Берлин перед самым егооткрытием. Возобновляется идея организовать имперскую акаде-мию в Вене, в 1713 г. это твердо обещают, но потом Карл VI реша-ет отказаться от слишком дорогой игрушки. География интересовЛейбница расширяется: «Я не принадлежу к числу тех, которыепитают страсть к своему отечеству или какой-нибудь другой на-ции, мои помыслы направлены на благо всего человеческого рода;ибо я считаю отечеством небо и согражданами всех благомысля-щих людей.» Так писал Лейбниц Петру I в январе 1712 г. Онипознакомились в 1711 г. на свадьбе царевича Алексея и несколькораз встречались.

Петр принял Лейбница на русскую службу тайным советникомюстиции для помощи в упорядочении российского законодатель-ства. Обсуждается вопрос об организации академии в Петербурге.


Круг вопросов, обсуждаемых с царем, необъятен: отыскание путииз полярных морей в Тихий океан, христианские миссии в Ки-тай, объединение православия с католицизмом и протестантизмом(созыв вселенского собора), создание широкой антифранцузскойкоалиции. Похоже, что они нашли общий язык. Эта активностьЛейбница не доставляла радости ганноверскому герцогу. Хотя егои сделали тайным советником, желание Лейбница «дослужиться»до вице-канцлера не осуществилось. Новый герцог (с 1698 г.) ГеоргЛюдвиг настойчиво выражает желание наконец увидеть «книгу-невидимку» — давно ожидаемую «Историю Вельфов». Лейбницапо существу отстраняют от всех дел и стараются ограничить еговнешние контакты. За ним прочно укрепляется репутация охотни-ка за государями, о чем свидетельствует недоброе высказываниеего помощника по историческим занятиям Эккарда (оно относит-ся ко времени предсмертной болезни): «если царь или дюжинавельмож пообещают ему жалование, то он сможет подняться».А тяжело больной ученый из последних сил пытается завершитьнескончаемую «Историю».

О систематических занятиях наукой не могло быть и речи.В 1695 г. он пишет: «Нет слов, чтобы описать, насколько я несосредоточен. Ищу в архивах разные вещи и собираю ненапеча-танные рукописи, с помощью которых надеюсь пролить свет наисторию Брауншвейгского дома. Я получаю и отправляю немалоечисло писем. У меня столько нового в математике, столько мыслейв философии, столько других литературных заметок, которымя не могу дать погибнуть, что я часто не знаю, за что рань-ше приняться, и я чувствую, как прав был Овидий, восклицая:изобилие делает меня нищим. . . Уже свыше двадцати лет назадфранцузы и англичане видели мою счетную машину. . . Теперьже с помощью собранных мною рабочих готова машина, позво-ляющая перемножать до двенадцати разрядов. . . А прежде всегоя хотел бы закончить свою ”Динамику“ , в которой, я полагаю,наконец нашел истинные законы материальной природы. . . Моидрузья, которые знают о построенной мною высшей геометрии,настаивают на издании моей ”Науки о бесконечном“ , содержа-щей основы моего нового анализа. К этому надо добавить новою

”Характеристику положения“ , над которой я работаю, и еще зна-чительно более общие вещи относительно искусства открытия.


Но все эти работы, за вычетом исторических, идут украдкой. Выведь знаете, что при дворе ищут и ожидают совсем иного! По-этому время от времени мне приходится заниматься вопросамимеждународного права и прав имперских князей, особенно мое-го господина. . . Тем временем мне часто приходится обсуждатьрелигиозные разногласия. . . И я все же стараюсь привести в по-рядок мои юридические размышления. » В 1697 г.: «Если вы всеэто взвесите, 〈. . .〉 то пожелаете мне иметь помощников, молодыхлюдей или друзей, ученых проницательных и прилежных, кото-рые хотели бы меня поддержать. Ибо я многое могу дать, но невсе из того, что я вижу, я могу завершить, и я охотно передал быэто другим, если бы это дало им самим прославиться, лишь бы этопослужило общему делу, благу человеческого рода и тем самымславе Божьей». В письме И. Бернулли от 1697 г.: «. . . ежедневныеразмышления на темы не только математики но и физики, исамой глубокой философии, истории и права, размышления, ко-торые я записываю самым кратким образом, чтобы не дать импропасть 〈. . .〉 Добавьте к этому мои идеи о построении естествен-ного права 〈. . .〉; но прежде всего я занят новым анализом длярассуждений всякого рода. . . Предоставляю вам самому решать,много ли у меня времени для основательных занятий геометрией».О математике он часто думал в экипаже (из письма И.Бернуллимы узнаем, что так он придумал правило дифференцированияинтеграла по параметру в 1697 г.). Идеи переполняют ученого; онувлечен замыслом создания «геометрии положения». «Я не реша-юсь еще опубликовать мои проекты характеристики положения,ибо если я не придам ей убедительность, приведя сколько-нибудьсущественные примеры, то ее примут за фантазию. Тем не менеея предвижу, что дело не может не удаться» (письмо Лопиталю,1694 г.). Разумеется, ничего не было опубликовано, а великийзамысел пытался разгадать Эйлер. Когда в XIX веке создаваласьдифференциальная геометрия, а затем топология, каждый раздумали, что это и есть осуществление проекта Лейбница.

Последние годы жизни Лейбница были омрачены полемикойс Ньютоном о приоритете. Постепенно спор перерос в обвинениеЛейбница в плагиате. Намекали на то, что он, возможно, познако-мился с рукописями Ньютона в Лондоне. Сегодня независимостьоткрытия Лейбница представляется доказанной. В Лондоне небыло достаточно подробного текста, в первый приезд Лейбниц не


был готов воспринять теорию Ньютона, не было никого, кто пони-мал исчисление настолько, чтобы передать его Лейбницу; ко вто-рому визиту в Лондон Лейбниц уже владел своим исчислением.Вначале полемика проходила без участия Ньютона и Лейбница.Удивительно, что Ньютон, который всегда уходил от приоритет-ных споров, да и мало заботился о сохранении приоритета, на этотраз энергично включился в полемику. Вероятно, Лейбниц оченьзадел его, ни разу не признав в нем творца нового исчисления(теперь уже появились публикации). В Англии организовали под-линную травлю Лейбница. Была создана специальная комиссия,был подготовлен сборник материалов. В 1714 г. Лейбниц пытаетсянаписать свою «Историю и происхождение дифференциальногоисчисления», но он не смог противостоять английскому давлению.

Все осложнилось еще из-за того, что в 1714 г. герцог становит-ся королем Англии Георгом I. Лейбниц рассчитывает переехать вЛондон, стать королевским историографом, но ему в оскорбитель-ной форме отказывают даже в поездке на коронацию (заставляязавершать «Историю»). Сыграло свою роль и то, что король нехотел иметь в своей свите поверженного противника Ньютона,ставшего всеанглийской знаменитостью. Умер Лейбниц в 1716 г.Его скромно похоронили под плитой с краткой надписью «ПрахЛейбница».

Когда-то Лейбниц писал Петру I: «Хотя мне часто приходи-лось действовать на политическом и юридическом поприщах, изнатные князья иногда в этих вопросах пользуются моими со-ветами, я все-таки предпочитал науки и искусства, так как онипостоянно содействуют славе Господней и благосостоянию всегорода человеческого 〈. . .〉 науки и ремесла составляют настоящеесокровище человеческого рода, ибо посредством их искусство пре-возмогает природу и цивилизованные народы отличаются от вар-варских. Поэтому я с малолетства любил науки, занимался ими иимел счастье 〈. . .〉 сделать разные и очень важные открытия, вос-хваленные в печати беспристрастными и знаменитыми людьми.Я не находил только могущественного государя, который доста-точно интересовался бы этим».

По-видимому, с годами приоритеты Лейбница сместились: ондолго отдавал предпочтение политике перед наукой, но жизньжестоко научила его, как неблагодарно положение ученого водворцах.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

Итак, Эйлер перестал вычислять и жить.Кондорсе

В начале 1783 г. директором Петербургской Академии наукбыла назначена княгиня Екатерина Романовна Дашкова, котораяза 20 лет до того была ближайшей сподвижницей Екатерины II вдни ее воцарения на российском троне. Известная своей изобре-тательностью княгиня придумывает безошибочный ход, которыйдолжен убедить академиков в ее приверженности науке. Она уго-варивает сопровождать ее при первом посещении Академии пре-старелого Эйлера, который давно был не в ладах с академическимначальством и не посещал академических конференций. СлепойЭйлер появляется в сопровождении сына и внука. Дашкова вспо-минала впоследствии: «Я сказала им, что просила Эйлера ввестименя в заседание, так как, несмотря на собственное невежество,считаю, что подобным поступком самым торжественным образомсвидетельствую о своем уважении к науке и просвещению».

А всего через несколько месяцев в протоколах Академии былозаписано: «В заседании конференции 11 сентября 1783 г. акаде-мик Н. И. Фусс взял на себя обязанности секретаря1, отсутству-ющего из-за кончины его знаменитого отца, г. Леонарда Эйле-ра, который умер от апоплексического удара 7 сентября в 11 ча-сов вечера, в возрасте 76 лет, 5 месяцев и 3 дней, совершившегосвой долгий и блестящий путь и сделавшего свое бессмертное имяизвестным всей Европе». Предвестник несчастья в виде легкогоголовокружения появился в начале сентября, когда Эйлер вы-числял скорость поднятия аэростата. В день смерти он обсуж-

1Им был Иоганн-Альбрехт, старший сын Л. Эйлера.

204

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 205

Леонард Эйлер

дал с астрономом А. И. Лек-селем результаты вычисленийорбиты Урана, недавно откры-того Гершелем.

Исключительность лично-сти Эйлера, его беспрецедент-ная роль в истории Акаде-мии заставили искать нестан-дартные способы почтить егопамять. 23 октября академикН. И. Фусс, ученик Эйлера имуж его внучки, произнес «По-хвальное слово». Академикирешили на свои средства изго-товить бюст «бессмертного Эй-лера, равно достойного восхи-щения своим гением и свои-ми достоинствами», а их «про-славленный начальник» (Даш-кова) «прибавила к этому ве-ликолепную колонну, которая служит основанием этому бю-сту»; вначале бюст установили в библиотеке, а затем — на-против кресла президента в зале заседаний (а в библиотекеосталась картина «Силуэты группы академиков Математиче-ского класса, занятых установкой бюста покойного Л. Эйле-ра»). В больших подробностях (включая качество бумаги) об-суждались вопросы, связанные с изданием трудов покойного.

Слухи о почестях ученому распространились далеко за преде-лы России. Непременный секретарь Французской Академии наукмаркиз Кондорсе (менее чем через 10 лет он примет участие вреволюции и его имя вычеркнут из списков Петербургской Ака-демии за «достойное порицания поведение 〈. . .〉 против суверена»)сказал в своем «Похвальном слове»: «Итак, народ, который мыв начале этого века принимали за варваров, в настоящем случаеподает пример цивилизованной Европе — как чествовать великихлюдей при жизни и уважать их память по смерти: и другим на-циям приходится в данном случае краснеть, что они не тольков этом отношении не могли предупредить Россию, но даже не в

206 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

силах ей подражать». Хотя из далекого Парижа обстановка в Пе-тербурге казалась более благополучной, чем была на самом деле,отношение к науке за 60 лет существования Петербургской Ака-демии стало неузнаваемым.

Первые годы Академии. Петр I думал об организации Академии вРоссии еще в последние годы XVII века. Начиная с 1711 г. он три-жды обсуждал свои планы с Лейбницем и даже зачислил послед-него на русскую службу. Лейбниц, великий фантазер, мечтавшийо распространении академий по миру, впервые встретил государя,с таким энтузиазмом откликнувшегося на его идею. Лейбниц несчитал отсутствие наук в России препятствием к созданию Ака-демии и даже находил в этом некоторые преимущества. Однакомало кто в России разделял этот оптимизм. Один из самых об-разованных сподвижников Петра В. Н. Татищев говорил ему, что«. . . учить некого, ибо без нижних школ академия оная с вели-ким расходом будет бесполезна». Петр отвечал: «Я имею жатьскирды великие, а мельницы нет», а потому он решил вначалепостроить «водяную мельницу», хотя «воды довольно в близо-сти нет, а есть воды довольно в отдалении», не надеясь успеть«делать канал», но в надежде, что мельница «наследников моихлучше понудит воду привести». Трудности на пути проекта бы-ли многочисленны, но в 1724 г. Сенат принял решение о созданииАкадемии наук. В это время даже слово «наука» еще не существо-вало в русском языке и Академию назвали «де сиянс Академия».

В 1725 г. Петр умер, так и не дождавшись открытия Ака-демии. Наступает черед наследников «принять участие в стро-ительстве мельницы». Екатерина I не без колебаний осуществилазамысел мужа, хотя и не разделяла его интереса к науке (какпишет современник, «похвальные речи ученых были непонятныЕе Величеству»). Судьба Академии все время висела на волоске.Она воспринималась как явление исключительно немецкое, и рус-ская партия, в частности Меншиков, была настроена против нее.Публика плохо понимала функции Академии, и академики по ме-ре сил демонстрировали свои достоинства. Дневник Петербурга,публиковавшийся в «Санкт-Петербургских ведомостях», сохра-нил запись о публичном чтении, устроенном академией по случаюкоронации Петра II (1727 г.), когда академики Делиль и Бернулли

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 207

дискутировали о вращении Земли вокруг Солнца, академик Бай-ер произнес «похвальную оду латинскими стихами», а «в то жевремя для народа, гулявшего всю ночь на Царицыном лугу, былипущены фонтаны белого и красного вина». Академики пыталисьналадить контакты с русской публикой, два раза в неделю двериАкадемии открывались для посетителей. Иногда там можно былоувидеть нечто удивительное. 24 февраля 1729 г. «профессор Лейт-ман умудрился изменить изображение государственного герба (спомощью призм) в портрет царствующего императора». Академи-ки несколько утвердили себя успехами в организации «потешныхогней» и иллюминаций, в сочинении торжественных од, в состав-лении гороскопов. Высокие материи не были в чести, разве чтопри составлении «ландкарт» да некоторых рекомендаций море-плавателям. В уставе 1747 г. будет записано: «Государству не мо-жет быть инако яко к пользе и славе, ежели будут такие в немлюди, которые знают течение тел небесных и времени, мореплава-ние, географию всего света и своего государства». А пока умираетв 1730 г. Петр II; Анна Иоанновна лишь однажды посещает Ака-демию, а затем упоминания об Академии надолго исчезают издневника Петербурга.

Академиков стали собирать в «социетет наук» еще при Пет-ре I. Постепенно становилось ясно, что первоклассный состав на-брать не удается: именитые ученые считали поездку в Россиюмероприятием сомнительным и даже рискованным. Лейбница то-гда уже не было в живых, а его ближайший последователь Хри-стиан Вольф отказался принять пост президента. Первым прези-дентом стал лейб-медик Блюментрост. Попробовали вместо име-нитых ученых приглашать их детей (в надежде, что способно-сти к науке передаются по наследству, да и славное имя украситакадемические списки). Так, приглашение знаменитому ИоганнуБернулли (1667 – 1748) было переадресовано его сыну. В много-ступенчатой переписке долго было неясно, относится ли пригла-шение к старшему сыну Николаю (1695 – 1726) или среднему —Даниилу (1700 – 1782). В конечном счете поехали оба: Николай,прежде бывший профессором римского права, стал профессоромматематики (с окладом 1000 руб. в год), а Даниил — профессо-ром физиологии (с окладом 800 руб.). Отец напутствовал сыно-вей словами: «. . . лучше несколько потерпеть от сурового климата

208 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голо-да в стране с умеренным климатом, в которой муз презирают иобижают». Мог ли он думать тогда, что не пройдет и года, какего старшего сына не станет!

Эйлер в Петербурге. С завистью провожал братьев Бернулли в1726 г. ученик их отца Леонард Эйлер: «У меня явилось неопи-суемое желание отправиться вместе с ними. . . Дело, однако, немогло так скоро осуществиться, а между тем названные молодыеБернулли крепко пообещали мне по прибытии своем в Петербургпохлопотать о пристойном для меня месте».

Леонард Эйлер родился 4 (15) апреля 1707 г. в Базеле, в Швей-царии. Его отец, Пауль Эйлер, был сельским пастором. В молодо-сти он успешно занимался математикой под руководством ЯкобаБернулли (1654 – 1705), старшего брата Иоганна. Первые урокиЛеонард получил от отца, последние классы гимназии он про-ходил в Базеле и одновременно посещал лекции по математикев университете, где преподавал И. Бернулли. Вскоре Эйлер са-мостоятельно изучает первоисточники, а по субботам И. Бернул-ли беседует с талантливым студентом, обсуждает неясные места.Леонард дружит с его сыновьями, особенно с Даниилом.

В 1723 г. Леонард получил степень магистра искусств; на ис-пытании он произнес на латыни речь о сравнении философииДекарта и Ньютона. Пауль Эйлер считал, что сын должен повто-рить его карьеру, и Леонард покорно изучал богословие. И отец, исын отчетливо понимали, что научная карьера бесперспективна.Хотя она и не была особенно престижной (в те годы в Швейцариилюбили говорить: пусть учатся немцы, а у швейцарцев есть делаповажнее), число претендентов на профессорские места сильнопревышало количество вакансий.

В 1727 г. Эйлер предпринял попытку занять кафедру физики вБазеле, заранее обреченную на неудачу. Тем временем он успешноучаствует в конкурсе Французской Академии наук на наилучшийспособ расположения мачт на корабле. Примечательно, что «в го-ристой Швейцарии, из которой до того времени Эйлер никуда невыезжал, он, конечно, имел случай видеть корабль не иначе, какна картинках. . . » (А. Н. Крылов). Это был первый, но не послед-ний контакт Эйлера с морской наукой.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 209

Даниил Бернулли выполнил обещание, данное при отъезде вПетербург: еще до попытки Эйлера устроиться в Базеле он узнало возможности получить место адъюнкта по физиологии с окла-дом 200 рублей. Бернулли торопит, рекомендует ехать «еще этоюзимою». Эйлера не смутило, что ему предстоит заниматься меди-циной. В те годы медицина не воспринималась как наука, далекаяот математики. За примерами идти недалеко: его учитель И. Бер-нулли чередовал занятия математикой с медицинской практикой(как, впрочем, и с преподаванием греческого языка). Эйлер при-ступает к изучению анатомии и физиологии; позднее он удивлялокружающих медицинскими познаниями. Отъезд не удался стольбыстро, как хотелось Д. Бернулли, но весной 1727 г. Эйлер по-лучил «на проезд денег сто тридцать рублей векселем» и уехалв Россию. В Петербург он прибыл в день смерти Екатерины I.

Как и Д. Бернулли, Эйлер предпочитает в рамках занятийфизиологией изучать гидродинамические проблемы кровообра-щения. Надо сказать, что эти проблемы в значительной мере сти-мулировали создание гидродинамики. В свои первые петербург-ские годы Эйлер вряд ли думал, что его жизнь так прочно будетсвязана с Академией. Само дальнейшее существование Академииказалось тогда крайне проблематичным. Потом Н. И. Фусс напи-шет: «Эйлер был украшением и славой нашей Академии в продол-жение пятидесяти лет. На его глазах она начинала свое существо-вание, несколько раз погибала и воскресала». Очень неуютно чув-ствовал себя Эйлер, когда гибель Академии представлялась емуреальностью. В один из самых тяжелых моментов, когда послекончины Петра II в 1730 г. началось массовое бегство академиковиз России, отчаявшийся Эйлер ведет переговоры о поступлениина морскую службу. Но это не потребовалось. Напротив, освобо-дившаяся вакансия позволила Эйлеру занять место профессора(академика) по кафедре физики (правда, с сравнительно невысо-ким окладом в 400 рублей). А через два года Д. Бернулли покинулРоссию и Эйлер занял его кафедру математики (хотя его оклад—600 руб.—лишь половина оклада, который получал на этом местеБернулли).

За эти годы Эйлер стал в Академии заметной фигурой. Боль-шинство академиков не слишком ревностно относились к своимобязанностям, которые к тому же еще и не были четко опреде-

210 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

лены. Эйлер не пренебрегал никакими поручениями: он посто-янно делает доклады на академических конференциях, иногдазанимая два, а то и три заседания подряд, читает публичныелекции, пишет учебник по арифметике для академической гим-назии и научно-популярные статьи для «Примечаний» к «Санкт-Петербургским ведомостям», он в комиссиях по исследованию по-жарного насоса, весов, «пильной машины» и магнитов, принимаетразнообразные экзамены. Эйлер подробно вникает в многочислен-ные технические проекты. Забегая вперед, можно вспомнить ис-следования Эйлера по гидравлическим турбинам и заключения попроектам мостов через Неву, в том числе об одноарочном деревян-ном мосте И. П. Кулибина, работавшего в Академии механиком.Эйлер постоянно проявлял заботу об изобретателе. В их взаимо-отношениях остался неясный момент. И. П. Кулибин 40 лет зани-мался созданием вечного двигателя («самодвижущихся машин»),и он утверждал, что Эйлер не отвергал возможности создания та-кой машины («. . . может де быть в свое время какому щастливомусделать такую машину и откроется»). С другой стороны, имеютсяи противоположные свидетельства. Надо сказать, что рассмот-рение проектов вечных двигателей было постоянным занятиемпетербургских академиков. Напомним, что в 1775 г. Парижскаяакадемия отказалась рассматривать проекты вечных двигателей.

Начиная с 1733 г. Эйлер участвует в «экзамене» карт, и посте-пенно участие в картографической деятельности выходит средиего академических обязанностей на первый план. Встает вопрос осоставлении генеральной карты России на основе уже составлен-ных губернских карт, и Эйлер предлагает свой проект, сопрово-ждая его словами: «Я уверен, что география российская через моии г-на профессора Гензиуса труды приведена гораздо в исправ-нейшее состояние, нежели география немецкой земли». Острыеразногласия с академиком Делилем привели Эйлера в 1740 г. крешению прекратить занятия картографией. Вероятно, состояниездоровья ученого тоже сыграло свою роль в принятии этого реше-ния. 21 августа он писал академику Гольдбаху: «География мнегибельна. Вы знаете, что я за нее поплатился глазом, а теперьопять нахожусь в подобной опасности; когда мне сегодня утромпослали часть карт на просмотр, то я тотчас же почувствовал но-вый припадок, потому что эта работа, требуя всегда рассмотрения

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 211

одновременно большого пространства, сильнее утомляет зрение,чем простое чтение или одно писание». Эйлер потерял правыйглаз в 1735 г., когда выполнил в три дня правительственное за-дание, на которое академики требовали несколько месяцев. Нетполной ясности, относилось ли это задание к картографии (такможно понять Эйлера) или к астрономическим вычислениям (такпишет Кондорсе).

На 1740 г. приходится еще один случай, когда Эйлер укло-нился от данного ему поручения (других примеров не известно):он переадресовал придворному астроному составление гороскопа«Ивану-царевичу», будущему недолговечному императору Иоан-ну Антоновичу; впрочем, А. С. Пушкин сообщает иную версиюэтой истории: «Когда родился Иоанн Антонович, то императрицаАнна Иоанновна послала к Эйлеру приказание составить гороскопноворожденному. Эйлер сначала отказывался, но принужден былповиноваться. Он занялся гороскопом вместе с другим академи-ком. Они составили его по всем правилам астрологии, как добро-совестные немцы, хотя и не верили ей. Заключение, выведенноеими, испугало обоих математиков — и они послали императрицедругой гороскоп, в котором предсказывали новорожденному вся-кие благополучия. Эйлер сохранил однако ж первый и показывалего графу К. Г. Разумовскому, когда судьба несчастного ИоаннаАнтоновича совершилась».

Не перестаешь удивляться, что все эти многочисленные обя-занности оставляли Эйлеру время для его главного дела — длязанятий математикой. Именно в эти годы он сложился как вели-кий ученый. Критически переосмыслив труды Лейбница и Нью-тона по математическому анализу и механике и работы Ферма потеории чисел, он нашел свой собственный путь в науке. Почти всеего книги и статьи были опубликованы позднее, но главное в науч-ной судьбе Эйлера решилось в его первое петербургское десятиле-тие. Только фантастическая работоспособность и поразительнаяцелеустремленность позволили Эйлеру совместить малозаметныемиру занятия математикой с повседневными академическими за-ботами. Позднее он писал, что для молодого ученого необходимо,чтобы его специальность «была у него главным предметом, и онне 〈. . .〉 отрывался от нее никакими другими занятиями». По мне-нию Эйлера, он имел такую возможность в Петербурге: «Такому

212 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

вожделенному случаю не только доктор Гмелин обязан всем, чтосделало известным его имя, но и я, и все прочие, имевшие счастьесостоять некоторое время при Русской Императорской Академии.Должен сознаться, сколько мы обязаны благоприятным обстоя-тельствам, в которых только что находились. Что собственно доменя касается, то, в случае неимения такого превосходного слу-чая, я бы вынужден был главнейше прилежать к другим наукам,от которых, по всем признакам, я бы отупел только. Его коро-левское величество (Фридрих II — С. Г.) недавно меня спрашивал,где я изучил то, что знаю. Я согласно истине ответил, что всемобязан моему пребыванию в Петербургской академии Наук».

В 1733 г. Эйлер женился на Екатерине Гзель, дочери академи-ческого живописца родом из Швейцарии, вывезенного Петром Iиз Голландии. Из тринадцати их детей выжили три сына и дведочери. Для благочестивого сына сельского пастора семья былакрепостью, в которой он мог уберечься от вольных нравов север-ной столицы. Размеренная семейная жизнь, маленькие радостибыли необходимы Эйлеру для спокойной работы. Никакие науч-ные занятия не могли быть для него поводом пренебречь семейны-ми обязанностями. Например, он никогда не был безразличным кфинансовым проблемам (ему приписываются слова «Где большедадут, туда и служить пойду»).

1740 год был, возможно, самым тяжелым годом в жизни Эй-лера. С одной стороны, все признаки благополучия: его акаде-мический оклад достиг максимума — 1200 руб. (столько получалД. Бернулли); он успел многое понять в жизни русского обще-ства и, в частности, в тонкостях академических взаимоотношений.Ему оказывал «честь своим особливым расположением» фельд-маршал Миних; Эйлер ладил даже со всемогущим управителемакадемии Шумахером, что удавалось немногим академикам. (Воз-можность спокойно заниматься наукой была для Эйлера важ-нейшим делом, да и вообще он всю жизнь избегал конфликтов.Можно вспомнить многолетние добрые отношения с И. Бернул-ли, который постоянно ссорился не только с учениками, но и сбратом Якобом и сыном Даниилом.) С другой стороны, великийученый, только приближавшийся к тридцатитрехлетнему рубе-жу, успел из-за постоянных перегрузок основательно подорватьсвое здоровье. В 1740 г. он оказался в тяжелой депрессии, что

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 213

было связано не только со здоровьем, но и с постоянным на-пряжением из-за неустойчивости политической жизни в России.У Эйлера хватило выдержки пережить десятилетие бироновщи-ны, но предстоявшее после смерти Анны Иоанновны новое ре-гентство испугало его. Он вспоминал, что «предвиделось нечтоопасно», и «после кончины достославной императрицы Анны —при последовавшем тогда регентстве — дела стали идти плохо».К тому времени появляется возможность переехать в Берлин кФридриху II, и Эйлер подает прошение об отставке: «. . . того ра-ди нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и другихобстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его ко-ролевского величества прусского учиненное мне призывание. Тогоради прошу императорскую академию наук всеподданейше ме-ня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моихпроезду потребным пашпортом. . . ». Он обещает сохранить кон-такты с Академией, «а пришедши в лутчее здоровье, из немец-кой земли опять в Россию возвратиться». Впрочем, в ПруссиюЭйлер писал, что «твердо решился жить под славным правле-нием» Фридриха. 29 мая 1741 г. Эйлер увольняется со службы,а позднее удовлетворяется его просьба «почетным членом Акаде-мии наук учинить, с определением пенсии по двести рублев в год».Такая практика перевода уезжающих членов Академии в почет-ные с обязательством оказывать помощь Академии была обычной.С Эйлера берется обещание «через всегдашнюю корреспонден-цию и другими математическими пиесами более того служить,нежели как он в действительной академической службе был».

На службе у «коронованного философа». Итак, Эйлер в Берлине.Фридриха II нет в городе. От покровительства наукам его посто-янно отвлекает война: по его собственным словам, ему постоянноприходилось воевать с «тремя блудницами» (Марией-Терезией,Елизаветой, маркизой Помпадур). С года на год откладывает-ся открытие Берлинской Академии наук (ее откроют в 1744 г.).А пока король присылает своему новому геометру ласковое пись-мо из лагеря Рейхенбаха. Эйлеру оказывают знаки внимания, егоприглашают на придворный бал. Королеву-мать удивляют одно-сложные ответы ученого на ее вопросы: «Однако отчего это Высовсем не желаете со мной говорить?» Последовал ответ: «Госу-

214 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

дарыня, простите, я отвык: я приехал из страны, где кто разго-варивает, того вешают» (рассказ Кондорсе). Постепенно Эйлервтягивается в берлинскую жизнь. Поручений здесь не меньше,чем в Петербурге: он рекомендует королю книги по баллистике исам печатает три тома работ на эту тему, обследует нивелировкуканала между Гавелем и Одером и состояние дел в солеварняху Шенебека, участвует в организации государственных лотерей иреформе вдовьих касс, дает отзывы на множество проектов. Всебыстро поняли, что он может хорошо делать разнообразные де-ла и ни от чего не отказывается. После организации БерлинскойАкадемии наук (1744 г.) Эйлер — директор ее математическогодепартамента.

Однако отношения с королем сложились не самым лучшимобразом. Показательно, что оклад Эйлера составлял половинуоклада президента Академии Мопертюи. Эйлер редко удостаи-вался монаршей похвалы. Вот один из немногих случаев. Эйлермного занимался конкретными задачами оптики и в 1759 г. скон-струировал для Фридриха очки, пришедшиеся ему впору; вот каксформулирована похвала: «. . . я не могу не похвалить Вашего ста-рания извлечь пользу для людей из тех научных занятий, которыенаполняют Ваше время. Мои дела не позволяют в настоящее вре-мя уделить должное внимание Вашим трудам, но я сделаю этопри первой возможности». Эйлер пытается заинтересовать коро-ля дифференциальным исчислением, но безуспешно. А еще Эйлерв 1747 г. «несвоевременно» опубликовал трактат против свободо-мыслия, что было при прусском дворе немодно. В этот моментученый почувствовал себя неуютно: «Я замечаю, что наклонностьк изящной литературе начинает здесь брать верх над математи-кою, так что у меня является опасение, чтобы моя личность скороне сделалась здесь лишнею». Эйлер думает о переезде в Лондон.

В Берлине считали, что в обязанности ученых входит служитьукрашением гостиных, радовать приятной беседой. Французскиеученые Мопертюи и Даржан блестяще владели этим искусством, аЭйлер — нет. Даржан пишет Фридриху об одном из своих коллег:«Между его стилем беседы и манерой Эйлера такая же разни-ца, как между сочинениями Горация и трудами ученейшего и пе-дантичнейшего Вольфа». В 1746 г. с Эйлером познакомился братФридриха Август-Вильгельм, он делится с королем своими впе-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 215

чатлениями: «. . . г-н Мопертюи познакомил меня с математикомЭйлером. Я нашел, что в нем подтверждается та истина, что всевещи несовершенны. Благодаря прилежанию он развил в себе ло-гическое мышление и приобрел тем самым имя, но его внешностьи неловкая манера выражаться затемняют все его прекрасные ка-чества и мешают получить от них удовольствие». Фридрих отве-чает: «Милейший брат! Я уже думал, что беседа с г-ном Эйлеромне доставит тебе особого удовольствия. Его эпиграммы состоят ввычислении новых кривых, каких-либо конических сечений илиастрономических измерений. Среди ученых бывают такие силь-ные вычислители, комментаторы, переводчики и компиляторы,которые полезны в республике наук, но в остальном отнюдь неблещут. Их употребляют подобно дорическим колоннам в архи-тектуре. Они принадлежат нижнему этажу как опоры всего зда-ния и коринфских колонн, являющихся его украшением». Красно-речивое свидетельство взглядов просвещенного монарха на наукуи ученых!

Эйлер делил свое время между наукой и домом, но он не при-надлежал к категории ученых, не интересовавшихся внешними со-бытиями и избегавших общения с людьми. Его научные познаниябыли энциклопедичны, он много знал по ботанике, химии, анато-мии, медицине, хорошо знал языки древние и восточные, владелрусским языком. После его смерти вспоминали, что он хорошознал «лучших писателей древнего мира», «древнюю литературупо математике», «историю всех времен и народов». Н. И. Фусс пи-сал в своих воспоминаниях, что Эйлер знал наизусть «Энеиду»,причем помнил, каким стихом начинается и каким кончается каж-дая страница его экземпляра. Возможно, это было не то, что цени-лось при прусском дворе, да и посмертные оценки всегда добры.

С некоторых пор Эйлер становится героем анекдотов, сочи-няемых королем: «Некий геометр, потерявший при вычисленияхглаз, вздумал сочинить менуэт с помощью a плюс b. Если бы егоисполнили перед Аполлоном, то геометр рисковал бы тем, что снего, подобно Марсию, содрали бы кожу». Возможно, здесь со-держится намек на трактат Эйлера по математической теориимузыки. Королю стало известно, что Эйлер в театре не прекра-щает своих вычислений,—и ученый становится героем новой эпи-граммы. Кстати, Эйлер не ценил театра, он лишь с огромным

216 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

удовольствием посещал театр марионеток.Эйлер, прочно завоевавший репутацию одного из крупнейших,

а может быть, крупнейшего математика Европы, в окруженииФридриха был обречен оставаться человеком второго сорта. Эй-лер одно время выполнял функции президента Академии, и по-сле уходя Мопертюи он рассчитывал занять этот пост. Но корольпрочил в президенты Даламбера, замечательного математика, ко-торый был десятью годами моложе Эйлера. Отказ Даламбера нерешил вопрос в пользу Эйлера. «Французская опасность» былаодной из причин, заставлявших Эйлера думать об отъезде из Бер-лина.

Тем временем в России с воцарением Елизаветы отношениек Академии изменилось к лучшему. После долгого перерыва вдневнике Петербурга за 1742 г. появляется запись: «Затишьев столице разнообразилось немногими зрелищами да учены-ми собраниями в Академии наук. В библиотечном зале ее с17 февраля начались для публики, по два раза в неделю с 10до 12 часов, физические лекции Крафта, и число посетите-лей этих бесед, вошедших в моду, оказывалось значительным.Там же открыты рисовальные классы с натуры». Президентомакадемии назначается 18-летний Кирилл Разумовский, брат фаво-рита императрицы. Перед этим будущий президент для порядкадва года провел в разнообразных университетских городах иобзавелся дипломами. Контакты Эйлера с Академией не пре-рывались. Никто из почетных академиков так добросовестно неотносился к своим обязанностям. За 25 лет пребывания в Бер-лине Эйлер опубликовал в изданиях Петербургской Академии109 статей (за то же время в Берлине опубликовано 127). Он ока-зывает Российской Академии разнообразные услуги: заботится опополнении библиотеки, подбирает темы для конкурсов на акаде-мические премии, ищет кандидатов на вакантные академическиедолжности, занимается приобретением «волшебных» фонарей ифейерверков для придворных празднеств (эта обязанность всееще лежала на академии как одна из важнейших). Поражаетинтенсивность переписки Эйлера с русскими академиками, нопрежде всего с правителем академии Шумахером.

В начале 50-х годов Эйлер устраивает в своем доме пансиондля своих учеников. Он совмещает занятия с ними с обучением

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 217

старшего сына Иоганна-Альбрехта, а кроме того, доходы от это-го немаловажны для напряженного семейного бюджета. Однимииз первых приезжают воспитанники академического университе-та С.К.Котельников и С.Я.Румовский, будущие академики (тре-тий ученик Сафронов был через год отослан на родину, поскольку«так предан пьянству, что едва может быть от этого удержан»).Эйлер постоянно озабочен финансовыми проблемами. Он стара-ется, чтобы его семья ни в чем не нуждалась. В 1753 г. Эйлерприобретает имение в Шарлоттенбурге с красивым домом, садом,большим количеством пахотной земли, 6 лошадьми и 10 коро-вами. В Швейцарии умер его отец, мать переехала к сыну. Эй-лер выехал ей навстречу во Франкфурт-на-Майне. Биографов неперестает волновать вопрос, почему он не воспользовался есте-ственным поводом посетить родной Базель: были на это причинысентиментальные или финансовые?

Семилетняя война увеличила житейские трудности. Валютаобесценилась почти вдвое, а жалование не увеличилось. Наступав-шие русские войска разрушили имение в Шарлоттенбурге. Одна-ко фельдмаршал Салтыков, узнав имя владельца имения, велитнемедленно возместить ущерб; позднее Елизавета добавляет отсебя огромную сумму в 4000 рублей. Эти детали свидетельствуютоб особом характере взаимоотношений Эйлера с Россией. Он ста-рается не прерывать контактов с Россией даже в военные годы.Это не только научные контакты. Скажем, в 1762 году он проситчерез Штеттин прислать 3 центнера «русского масла», центнер«хорошего белого меда», «несколько пудов вологодских свечей»и т. д.

После окончания войны (1763 г.) Эйлер все решительнее ду-мает о возвращении в Россию. В 1746 и 1750 гг. он уже полу-чал приглашения через Разумовского, но тогда вежливо отложилпринятие решения на неопределенный срок. Эйлер едва не уехалв 1763 г., но неожиданно функции посредника в переговорах скоролем взял на себя Даламбер. По-видимому, ему удалось убе-дить обе стороны, потому что в августе он констатирует в письмек Эйлеру: «Я, наконец, считаю себя счастливым, что сохранилкоролю и Академии такого человека, как Вы». В другом пись-ме через неделю: «Я совершенно убедил его величество, что вВас Академия понесет невознаградимую потерю, которая нане-

218 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

сет удар славе короля. Я полагаю еще до моего отъезда пору-чить его вниманию Ваши интересы». Эйлер отказался от переезда,но через два года разразился скандал: Эйлер вызвал гнев коро-ля, заступившись во время ревизии за академического казначея.

Переговоры о переезде возобновились с новой силой, а воца-рившейся на русском троне Екатерине II очень хотелось полу-чить Эйлера в Петербурге. Эйлер сообщает свои условия: оклад в3000 руб. (такой оклад получал президент, оклад академика обыч-но не превышал 1200 руб.), место академика по физике для сы-на Иоганна-Альбрехта, подходящие места для других сыновей —артиллериста и врача, — квартира, свободная от солдатского по-стоя, и, наконец, учреждение для него поста вице-президента ссоответствующим чином. Эйлер не смог стать президентом Бер-линской Академии и он хотел хотя бы отчасти реализовать своичестолюбивые планы в Петербурге (на место президента он непретендовал, считая, что в России его должен занимать вель-можа). Приятель Эйлера академик Гольдбах (см. о нем ниже)служил в министерстве иностранных дел с высоким чином тай-ного советника. Видно, и Эйлеру захотелось оказаться на склонелет генералом. 6 января 1766 г. Екатерина пишет канцлеру графуВоронцову: «Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удо-вольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова всту-пить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойнымжелаемого звания вице-президента Академии наук, но для этогоследует принять некоторые меры, прежде чем я установлю этозвание — говорю установлю, так как доныне его не существова-ло. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эй-лер, я добавлю к академическому жалованию из государственныхдоходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей. У него будетказенная квартира и ни малейшей тени солдат. Хотя в Академиинет свободной кафедры физики с жалованием 1000 рублей дляего старшего сына, однако я ему их назначаю, так же как доз-воляю свободную практику второму (медику) и дам место, еслион пожелает вступить на службу. Третий сын (артиллерист) будетпомещен без всякого затруднения. . . Я уверена, что моя Академиявозродится из пепла от такого важного приобретения, и заранеепоздравляю себя с тем, что возвратила России великого челове-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 219

ка». Узнав о желании Эйлера принять участие в перестройке Ака-демии, императрица обещает «не предпринимать до его приезданикаких перемен в Академии, на тот конец, чтобы лучше уго-вориться с ним об улучшениях. . . ». С великим дипломатическиммастерством Эйлеру отказывают в чине: Эйлер может получитьлишь чин коллежского советника (гражданский эквивалент пол-ковника), что недостойно великого ученого: «Я дала бы, когдаон хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет егос множеством людей, которые не стоят г. Эйлера. Поистине егоизвестность лучше чина для оказания ему должного уважения».Эйлер, вероятно, быстро понял, что щедрая императрица умеетчетко объяснить границы дозволенного, согласился со всеми усло-виями и решил «кончить дни свои на службе этой несравненнойгосударыни».

Оказалось, что Фридрих не склонен легко расстаться со своимгеометром. В частности, он воспользовался возможностью удер-жать в армии сына ученого. Все же разрешение на отъезд былополучено. Вдогонку король в последний раз использует Эйлеракак мишень для острот: «г. Эйлер, до безумия любящий Большуюи Малую Медведицу, приблизился к северу для большего удоб-ства к наблюдению их. Корабль, нагруженный его XX, его KK,потерпел крушение — все пропало, а это жалко, потому что тамбыло чем наполнить шесть фолиантов статей, испещренных отначала до конца цифрами. По всей вероятности, Европа лишит-ся приятной забавы, которая была бы ей доставлена чтением их»(из письма Даламберу). Вскоре Фридрих утешился, заполучив наместо Эйлера молодого Лагранжа, поучительно мотивируя целе-сообразность его переезда в Берлин: «Необходимо, чтобы величай-ший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей».

Снова в России. Эйлер прибыл в Петербург 17 июля 1766 года. Онотсутствовал ровно 25 лет и приближался к своему шестидесяти-летию. Поначалу Эйлер всерьез принял предложение Екатериныпринять участие в реорганизации Академии. Он привез с собой по-дробный проект, причем он не стремился к автономии Академии,а напротив, ориентировался на тесное переплетение деятельностиАкадемии и правительственных учреждений. Однако постепенновыяснилось, что императрица не склонна передоверять Эйлеру

220 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

руководство Академией. Эйлер получил еще один урок того, чтопросвещенные монархи любят, чтобы их ученые знали свое ме-сто. Как старейшина академиков — декан — он имел немалое вли-яние на академические дела, но про пост вице-президента никтоне вспоминал. А во главе Академии Екатерина поставила (про-должая традиции Елизаветы) младшего брата своего фаворита —графа В. Г. Орлова. Впрочем, возникла небольшая неувязка: постпрезидента все еще занимал Разумовский, который, будучи ко-мандиром Измайловского полка, оказал Екатерине поддержку вовремя переворота. Его не стали обижать, а для Орлова учреди-ли пост директора академии. Новый директор по-своему неплохоотносится к Эйлеру: заботится о здоровье, достает лекарства, номожет и подшутить над стариком, выдав себя, «для проверки зре-ния» ученого, за бедного просителя из Швейцарии. Незадолгодо ухода Орлова в 1774 г. произошел конфликт, после которо-го Эйлер перестал посещать конференции в академии. Однако онпродолжал интересоваться ее делами, и академики нередко соби-рались на заседания в квартире Эйлера.

Эйлер привез с собой в Петербург кипу рукописей, которые неудалось опубликовать в Берлине из-за почти прекратившейся вовремя войны издательской деятельности. Но еще больше привезон в своей голове почти созревших, но не реализованных замыс-лов. А жизнь подсказывала ученому, что он должен торопиться.Вскоре после приезда он лишается зрения во втором глазу, но непрекращает работать, диктуя свои сочинения мальчику, не имев-шему ни малейшего представления о математике. Приглашенныйимператрицей окулист барон Вентцель удалил катаракту на од-ном глазу, но предупредил, что перегрузка неминуемо приведет квозвращению слепоты. Так и случилось вскоре, ибо Эйлер предпо-чел потерю зрения пассивности. Он пробует привлечь к занятиямдругих ученых: своего сына, академиков Крафта, Фусса и Лек-селя, но больше всего диктует то, что он знал и хотел поведатьлюдям. За полтора десятка лет он продиктовал более 400 ста-тей и 10 больших книг. К слепоте стала присоединяться глухота.В 1766 г. умирает жена, и Эйлер женится на ее сестре (так прощевсего было сохранить порядок, принятый в доме). Сгорел доми большая часть имущества. Ничто не может заставить Эйлерапрервать работу. Летом 1777 г. Эйлера посетил Иоганн (III) Бер-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 221

нулли (1747 — 1807), племянник Даниила. Вот его впечатления:«Здоровье его довольно хорошо, и этим он обязан умеренному иправильному образу жизни. Зрением, по большей части утрачен-ным, а одно время вовсе потерянным, он, однако, теперь лучшепользуется, чем многие воображают! Хотя он не может узнать ни-кого в лицо, читать черного на белом и писать пером на бумаге,однако пишет на черном столе свои математические вычислениямелом очень ясно и порядочно в обыкновенную величину. По-том они вписываются в большую книгу одним или другим из егоадъюнктов, Фуссом или Головиным (чаще первым из них). И изэтих-то материалов составляются под его руководством статьи.Таким образом в протяжение пяти лет, которые прожил г. Фуссв доме Эйлера, приведено к окончанию 120 или 130 статей.».

Эйлер сохранил работоспособность до последних дней. Второйпетербургский период продолжался 17 лет. В 1783 г. окончил своидни сын сельского пастора, ставший величайшим математикомЕвропы. Похоронили Эйлера на Смоленском кладбище. Надписьна памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные останки мудро-го, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера». Через 50 летобнаружилось, что могила утеряна, и лишь случайно (во времяпохорон невестки ученого) обнаружили «камень, погрузившийсямало-помалу от собственной тяжести в землю и поросший дер-ном». В Академии почувствовали себя неловко и решили устано-вить новый памятник, «достойный знаменитого геометра». Позд-нее останки Эйлера были перенесены в некрополь Александро-Невской Лавры, где и сегодня можно увидеть его могилу.

Великое наследие. Научное наследие Эйлера поражает совершен-но беспрецедентными размерами. При жизни увидели свет его530 книг и статей. Последние годы жизни академические изданияне справлялись с потоком научной продукции слепого ученого,и он шутливо обещал графу В. Г. Орлову, что его работы будутзаполнять «Комментарии» Академии в течение 20 лет после егосмерти. Эта оценка оказалась «оптимистической»: Академия за-нималась изданием трудов Эйлера 47 лет. Число работ дошло до771, но составленная в 1910 г. Энестремом библиография содержа-ла 886 названий, разбитых по рубрикам: философия, математика,механика, астрономия, физика, география, сельское хозяйство.

222 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

С 1910 г. Швейцарское общество естествоиспытателей издает со-брание сочинений Эйлера, распространяемое по международнойподписке: по предварительной оценке оно составит 75 томов боль-шого объема. К началу 80-х годов вышло 72 тома. Восемь допол-нительных томов должна составить научная переписка Эйлера.

Такой объем отражает не только поразительную скорость, скоторой работал Эйлер, но и привычку систематически печататьнаучные тексты, в том числе и сравнительно спешно подготов-ленные. Большой разброс тематики отражает не только широтуинтересов и умение быстро войти в далекие области науки, нои многочисленные академические обязанности как в Петербурге,так и в Берлине. Некоторые публикации носят характер короткихреплик. Эйлер легко входил в научные контакты, давал разнооб-разные консультации, охотно думал над случайными, изолирован-ными задачами, сообщаемыми его корреспондентами. Может по-казаться, что ученый разбрасывался, проявлял всеядность, но этотолько на первый взгляд. Случайные вопросы и задачи служилипитательной почвой для хорошо спланированных размышлений.Эйлер умел своевременно останавливаться в своих раздумьях, ес-ли не видел реалистической возможности двигаться вперед. Онумел организовать свою жизнь так, чтобы многочисленные те-кущие дела не сильно отражались на основном направлении егоработы.

Как это ни парадоксально, без большого преувеличения можносказать, что всю свою жизнь Эйлер занимался почти исклю-чительно математикой. В других областях науки (например,механике или астрономии) успех его был прежде всего свя-зан с применением математических методов. Его философскаяустановка на протяжении всей его жизни состояла в том, чтоестественно-научные открытия должны получаться путем тео-ретической (в значительной степени математической) обработкинебольшого числа общих, несомненных принципов. В своей швей-царской диссертации девятнадцатилетний Эйлер писал: «Я несчитал необходимым подтвердить эту новую теорию опытом,потому что она полностью выведена из самых надежных и неопро-вержимых принципов механики и, таким образом, сомнение втом, верна ли она и имеет ли место в практике, просто не мо-жет возникнуть». Даже законы Ньютона Эйлер пытался вывести

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 223

из более общих принципов, а в небесной механике он стремилсяне получать эмпирические формулы из обработки результатовнаблюдений, а делать выводы непосредственно из закона все-мирного тяготения. Он всюду стремился двигаться от теории кпрактике. Хотя Эйлер и был всю жизнь связан с экспериментом,это не было его сильной стороной. С. И. Вавилов писал: «. . . генийЭйлера был, по существу, математический 〈. . .〉 он плохо чувство-вал эксперимент (хотя сам и экспериментировал). . . »; в другомместе: «Математическому гению Эйлера не хватало физическойинтуиции Ньютона и Гюйгенса, позволявшей угадывать решениепри отсутствии точной математической формулировки задачиили методов ее решения».

Арифметика. Обращаясь к математическому наследию Эйлера,естественно начать с его арифметических работ. Первые публи-кации Эйлера относятся к 1732 году — пятому году пребыванияв Петербурге. У Эйлера было два великих предшественника варифметике: Диофант и Ферма. Если отвлечься от предысто-рии, связанной с именем Диофанта (III век), то Пьер Ферма(1601 – 1665) был первым, кто обнаружил, что в арифметике име-ются не только удивительные факты про конкретные числа, нои общие утверждения — теоремы. Формулировки значительно-го числа таких теорем Ферма оставил на полях «Арифметики»Диофанта (как нельзя кстати изданной в 1621 г.), в письмах изаметках. Ферма был одним из крупнейших математиков своеговремени, он был в самом центре героической эпопеи созданияанализа и аналитической геометрии, поддерживал переписку сведущими математиками. Знаменательно, что он не смог заинте-ресовать всерьез арифметическими задачами никого из наиболеесерьезных своих корреспондентов. Он нашел заинтересованныхсобеседников лишь среди математиков калибром ниже, такихкак Френикль де Бесси (1605 – 1675). По трудно разгадывае-мым причинам одни научные теории увлекают всех (например,анализ в XVII веке), другие разрабатываются отдельными уче-ными, тщетно пытающимися привлечь внимание коллег. Можновспомнить про проективную геометрию, созданную Ж. Дезаргом(1591 – 1661) и Б. Паскалем (1623 – 1662) — далеко не безвестнымиучеными, — забытую на полтора века и переоткрытую Г. Монжем

224 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

(1746 – 1818) и его учениками. В 70-е годы XVII века заметкиФерма были частично собраны и опубликованы, но трудно себепредставить судьбу арифметики Ферма, если бы не Эйлер.

П.Л. Чебышев (1821 – 1879) писал в 1849 году: «Эйлером былоположено начало всех изысканий, составляющих общую теориючисел. В этих изысканиях Эйлеру предшествовал Ферма 〈. . .〉 Ноизыскания этого геометра не имели непосредственного влиянияна развитие науки: его предложения остались без доказательстви без приложений. В этом состоянии открытия Ферма служи-ли только вызовом геометрам на изыскания в теории чисел. Но,несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера никто на нихне вызывался. И это понятно: эти изыскания требовали не новыхприложений приемов, уже известных, или новых развитий прие-мов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали созданияновых приемов, открытия новых начал, одним словом, основанияновой науки. Это сделано было Эйлером.».

По-видимому, Эйлер узнал о работах Ферма вскоре после сво-его приезда в Петербург в 1727 г. от Хр. Гольдбаха (1690 – 1764)и сохранил интерес к теории чисел на всю жизнь. Выдающиесяколлеги Эйлера отнеслись к его увлечению по меньшей мере безпонимания. Д. Бернулли (1700 – 1782), который сам был не прочьнемного позаниматься арифметическими задачами, в 1778 г. пи-сал Н. И. Фуссу (1755 – 1826), ученику Эйлера, по поводу ариф-метических работ его учителя: «. . . не находите ли Вы, что про-стым числам оказывают, пожалуй, слишком большую честь, рас-точая на них столько сил, и не отражает ли это рафинированныйвкус нашего века?». Арифметические проблемы Эйлер обсуждаетпрежде всего с Гольдбахом, математиком очень оригинальным,но все же не относившимся к крупнейшим современникам Эй-лера, таким, как Ж. Р. Даламбер (1717 – 1783) или А.К. Клеро(1713 – 1765).

Положение стало иным лишь к концу жизни Эйлера, когдаблагодаря его работам отношение к теории чисел стало менятьсяи он имел возможность обсуждать эти проблемы с Лагранжем вписьмах 1772 – 73 гг.

Уже в 1729 г. Эйлер узнал от Гольдбаха об утверждении Фер-ма, что числа Fn = 22n

+ 1 являются простыми при всех n.В 1732 году он обнаружил, что это утверждение неверно, а имен-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 225

но F5 делится на 641. Наблюдение Эйлера не было результатомперебора: непосредственно искать делители у F5 было нереали-стично даже для такого виртуозного вычислителя, каким былЭйлер. Он вначале обнаруживает, что делители Fn имеют оченьспециальный вид (если они существуют): k ·2n+2+1, а после этогообнаружить 641 = 5 ·27 +1 было нетрудно. Удивительно, что пер-вый заход Эйлера на доказательство утверждений Ферма вывелего на единственное ошибочное утверждение. К счастью, это непоколебало доверия и интереса к арифметике Ферма.

Другой класс простых чисел в поле зрения Эйлера — это про-стые числа Мерсенна Mp = 2p − 1 (p — простое). Делители Mp

должны одновременно иметь вид 2pk−1 и 8l±1. Пользуясь этим,Эйлер доказал простоту числаM31 = 2147483647. С тех пор новыхпростых чисел Ферма обнаружено не было, а рекорды в мире про-стых чисел Мерсенна постоянно увеличиваются (рекорд 1983 г.:p = 86243; сегодня компьютеры поставляют простые числа Мер-сенна с невероятным числом знаков).

В отношении чисел Мерсенна Эйлер заполнил также пробел,остававшийся от Евклида. Евклид знал, что если Mp — простоечисло, тоMp(Mp+1)/2—совершенное число (то есть число, равноесумме своих собственных делителей). Эйлер доказал, что каждоечетное совершенное число представимо в таком виде (неизвестнодо сих пор, существуют ли нечетные совершенные числа). Эйле-ра интересует, существуют ли многочлены P (n), которые при всехнатуральных n принимают простые значения. Он получает отри-цательный ответ, но замечает, что значения многочлена 41−n+n2

просты при всех n 6 40.Эйлер снабжает доказательством «малую теорему Ферма»,

утверждающую, что число ap−1 − 1, где a— целое, не делящеесяна p, а p— простое, делится на p; но, не ограничившись этим, оннаходит и доказывает ее обобщение на непростой делитель: если aи m взаимно просты, то aϕ(m)−1 делится на m (здесь ϕ(m)—чис-ло натуральных чисел, взаимно простых с m и меньших m; припростом p имеем ϕ(p) = p − 1). Обнаружив, что функция нату-рального аргумента ϕ(m) (ее назовут функцией Эйлера) обладаетзамечательными свойствами, он тем самым открывает важнуюглаву теории чисел — теорию арифметических функций. Эйлердвижется очень логично. Он подмечает, что для некоторых a

226 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

число ak − 1 делится на p при k < p − 1, а для некоторых — нет.В последней ситуации a называют первообразным корнем по мо-дулю p. Эксперимент убеждает Эйлера, что первообразные корнисуществуют для всех простых p, но доказать этого он не смог(доказательство нашли позднее Лежандр и Гаусс). Эйлер умелдоказывать трудные теоремы, но он умел и трезво оценивать своивозможности. Он никогда не концентрировал размышления надодной трудной задачей на годы, а наступал на математическиетайны широким фронтом.

Еще одно утверждение, сформулированное Ферма без дока-зательства, привлекло внимание Эйлера. Речь идет о представи-мости квадратов n2 в виде kp − 1, где p — простое число. Приp = 3 таких квадратов не бывает (почему?), а при p = 5 име-ем 22 = 5 − 1. Ферма утверждал, что для всякого простого pвида 4l + 1 существует квадрат вида kp − 1, а для p = 4l − 1таких квадратов не существует. В 1747 г. Эйлер после несколь-ких безуспешных попыток доказывает это утверждение Ферма ипродолжает движение в естественном направлении: для каких pчисло kp + 2 может быть квадратом и, шире, для каких p прификсированном a число kp+a может быть квадратом? При a = 2гипотеза состоит в том, что квадраты такого вида существуютпри p = 8l ± 1 и не существуют в остальных случаях. Общаягипотеза: квадраты вида kp + a (p — простое) существуют (какговорят, a является квадратичным вычетом по модулю p) или несуществуют (a— квадратичный невычет) одновременно для всехпростых p из арифметической прогрессии b+4ak (k = 1, 2, 3, . . . ).Это утверждение позднее получило название «квадратичного за-коном взаимности». Эйлер смог доказать его, кроме a = −1, лишьдля a = 3. Далее Лагранж и Лежандр рассматривали случаи раз-личных a, пока 19-летний Гаусс не нашел полное доказательствогипотезы Эйлера (в нашей книге оно изложено в главе о Гауссе).

Следующий круг вопросов, унаследованный у Ферма, — эторешение уравнений в целых числах. Наиболее знаменитое утвер-ждение Ферма — его «Великая теорема»: уравнение xn + yn = zn

при натуральном n > 2 не имеет решений в целых положительныхчислах (при n = 2 такие решения существуют и называются пифа-горовыми тройками). В 1738 году Эйлер находит доказательство«Великой теоремы Ферма» для n = 3, 4, но он отказался от попы-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 227

ток доказать теорему для больших n, несмотря на немотивиро-ванное утверждение Ферма о существовании доказательства дляпроизвольного n. Великая теорема Ферма была доказана Э.Уайл-сом в 1995 году.

Однажды Ферма предложил Френиклю и Сен-Мартену по-строить прямоугольный треугольник с целочисленными сторона-ми, у которого сумма катетов и гипотенуза—квадраты, то есть ре-шить в целых числах систему уравнений x+y = u2, x2+y2 = v4.Ферма заподозрили в том, что он дал «невозможную» задачу.Эйлер исследовал эту систему, замечательную тем, что ее наи-меньшее решение дается 13-значными числами: 1 061 652 293 520,4 565 486 027 761.

Эйлер рассматривает уравнение x2 − Dy2 = 1, D 6= a2, кото-рое он называет уравнением Пелля. Он обнаруживает связь егонаименьшего решения с разложением

√D в бесконечную цепную

дробь. Многочисленные примеры убеждают Эйлера, что получа-ется периодическая цепная дробь, но доказательство этого факталишь позднее нашел Лагранж.

Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k+1 можетбыть представлено в виде суммы двух квадратов, причем един-ственным образом (простые числа вида 4k+3, как легко показать,не представляются в виде суммы квадратов). Эйлер устанавли-вает, что верно и обратное: если представление N в виде сум-мы квадратов существует и единственно, то N — простое число.Он показывает, что этим свойством иногда можно пользоватьсядля доказательства простоты N . Например, число 1 000 009 со-ставное, поскольку наряду с представлением 10002 + 32 имеетсяпредставление 2352 + 9722. Далее, Эйлер показывает, что анало-гичным свойством обладают формы x2 + 2y2, x2 + 3y2. В видеx2 +2y2 представляются, причем единственным образом, простыечисла вида 8m+ 1, 8m+ 3, а числа, допускающие неединственноепредставление, являются составными. Аналогично единственноепредставление в виде x2 + 3y2 допускают только простые числа(они имеют вид 6m + 1). После этого Эйлер переходит к общейзадаче: верно ли, что число N допускает единственно представ-ление в виде x2 + Dy2 (D фиксировано) тогда и только тогда,когда N —простое число. Это утверждение оказалось верным привсех D 6 10, но при D = 11 удалось предъявить составное число,

228 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

допускающее единственное представление. Ситуация заинтриго-вала. Эйлера. Он назвал число D удобным, если в виде x2 +Dy2

единственным образом представляются лишь простые числа. Эй-лер получает критерий, позволяющий проверять удобство чисел,и с любопытством выписывает удобные числа одно за другим; по-сле 10 идут 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24. . . Постепенно удобныечисла встречаются все реже. В первой тысяче их набралось 62,но Эйлер упорно продолжает вычисления, вероятно надеясь под-метить закономерность. Он обнаружил еще только три удобныхчисла: 1320, 1365, 1848, хотя, не теряя терпения, он перебрал всечисла до 10000 и несколько дальше. Эйлер имел все основаниявысказать гипотезу, что совокупность удобных чисел ограничи-вается найденными им 65 числами. Гаусс сделал рассмотренияЭйлера более корректными, но новых удобных чисел не нашел.Сейчас доказана конечность множества удобных чисел, но неиз-вестно, существуют ли удобные числа, большие 1848. Эта работаочень характерна для творческого метода Эйлера, проделывавше-го огромную экспериментальную вычислительную работу как дляпроверки гипотез, так и с целью увидеть новые закономерности.Из великих математиков этим индуктивным методом в совершен-стве владел, пожалуй, только Гаусс.

На этом мы кончим обзор той стороны арифметической де-ятельности Эйлера, в которой он был последователем Ферма.Он включил утверждения Ферма в далеко продуманную карти-ну мультипликативной (связанной с делимостью) теории чисел,безошибочно увидев практически все ее основные теоремы ипроблемы. Доказательство некоторых ключевых утвержденийосталось на долю последователей Эйлера. Уже по некоторымпримерам можно увидеть особенности научного стиля Эйлера.Перед ним было несколько прекрасных задач, на которых можнобыло сосредоточиться на годы, если не на всю жизнь, но ника-кая конкретная проблема не имела для Эйлера приоритета передвоссозданием целостной картины, перед неудержимым желаниемдвигаться вперед. Он постоянно возвращался к неполучившимсязадачам, умело дозируя время, уделяемое той или иной проблеме.Трудность возникавших проблем, сознание, что он вынужден от-казаться от получения строгого доказательства, привели Эйлерак формированию способов установления математической истины,

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 229

отличных от доказательства. Эксперимент выходит на первыйплан не только при обдумывании задачи или гипотезы: тщатель-но проведенный числовой эксперимент на большом материале вовнутренней системе ценностей Эйлера иногда равнозначен уста-новлению истины. Он говорит о «познанных, но не доказанныхистинах» и стремится к тому, чтобы такого рода аргумента-ция получила гражданство в математике. Получение строгогодоказательства для Эйлера остается важнейшей целью, но нанекоторой стадии он сознательно отказывается от дальнейшегопоиска, тщательно прорабатывая эвристические соображения.

Аналитическая теория чисел. Теория чисел обязана Эйлеру идеей,которая вскоре совершенно изменила ее лицо. Речь идет о при-менении в арифметике математического анализа. Трудно былопредставить такую возможность. Поначалу она удивила самогоЭйлера: «И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, ккоторой Исчисление Бесконечно Малых кажется неприложимым,тем не менее я пришел к своему заключению с помощью диффе-ренцирований и других уловок».

Эйлер для разных s рассматривает сумму бесконечного ряда

ζ(s) = 1 +12s

+13s

+ . . .+1ns

+ . . . (14)

(позднее ее назовут дзета-функцией Римана, и она сыграет варифметике исключительную роль). Путем нестрогого рассуж-дения Эйлер доказывает, что эта бесконечная сумма совпадает сбесконечным произведением по простым числам

ζ(s) =(1− 1

2s

)−1(1− 1

3s

)−1(1− 1

5s

)−1. . .(1− 1

ps

)−1. . . . (15)

Это рассуждение состоит в следующем: при s > 0 множитель (1−− p−s)−1 можно рассматривать как сумму бесконечной геометри-ческой прогрессии 1 + p−s + p−2s + p−3s + . . .. Перемножая этибесконечные суммы по всем простым p и ограничиваясь произве-дениями слагаемых, в которых при всех p, кроме конечного числа,берется 1, мы приходим к бесконечной сумме (14). Тут надо ещемногое добавить, чтобы это рассуждение стало строгим, начинаяс придания смысла сумме бесконечного числа слагаемых и про-изведению бесконечного числа множителей. У Эйлера этого нет.

230 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Он чувствует, что эти рассмотрения ведут к исключительно се-рьезным арифметическим результатам, но сам может предъявитьлишь новое доказательство восходящей еще к Евклиду теоремыо бесконечности множества простых чисел. Дело в том, что ещеЯ. Бернулли знал, что суммы n слагаемых 1 + 1

2+ 1

3+ . . . + 1

nпри n → ∞ стремятся к бесконечности, т. е. ζ(s) стремится кбесконечности при s→ 1, чего не может произойти с произведени-ем (15), если число различных p конечно. Может показаться, чтогора родила мышь, но чутье не обмануло Эйлера. Это стало яс-но, когда Дирихле доказал бесконечность числа простых чисел варифметической прогрессии с взаимно простыми первым членоми разностью (обобщение теоермы Евклида), отправляясь именноот намеченного доказательства Эйлера (доказательство Евклидане переносится на случай арифметических прогрессий, отличныхот натурального ряда).

Эйлер приоткрывает еще одну тайну в мире простых чи-сел. Его аналитическое чутье, сильно опережавшее техническиевозможности, подсказывает, что

∑p<x

1p

при больших x близка

к ln∑

n<x1n, а это — первый шаг в получении закона распре-

деления простых чисел в натуральном ряду. Эйлер чувствует,что функцию ζ(s) можно продолжить даже на те значения s,для которых ее нельзя определить как сумму ряда. Более того,он замечает связь между значениями ζ в точках s и 1 − s (то,что позднее будет сформулировано Риманом в виде знаменитогофункционального уравнения). Эйлер исследует значения ζ(s) вцелых точках. Мы расскажем ниже, как он разобрался со случаемчетных аргументов, а симметрию между s и 1− s он рассчитывалприменить к исследованию ζ в нечетных точках. Но он потерпелнеудачу, поняв, что в отрицательных четных точках продолжен-ная ζ равна нулю. Отметим, что об арифметической природезначений дзета-функции в нечетных точках стало кое-что извест-но лишь в самые последние годы: в 1979 году было доказано, чточисло ζ(3) иррационально, а летом 2000 года был анонсированрезультат, согласно которому среди чисел, являющихся значени-ями дзета-функции в нечетных точках, содержится бесконечномного различных иррациональных чисел.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 231

Ряды и бесконечные произведения. Бесконечные суммы и беско-нечные произведения были любимым объектом Эйлера в анализе.Бесконечными суммами (рядами), в частности, степенными ряда-ми a0+a1x+. . .+anx

n+. . ., много пользовался Ньютон (например,при исследовании бинома (1 + x)α для нецелых α). Ньютон, неочень акцентируя на этом внимание, имел в виду ряды, у которыхсходятся суммы последовательных n слагаемых (как у убываю-щей геометрической прогрессии). Хотя Эйлер прекрасно понима-ет, что ряд может не суммироваться, он смело работает с рядами,не заботясь о сходимости: формально перемножает, делит ряды,почленно дифференцирует и т. д. Это предвестие современной ра-боты с формальными рядами в алгебре. Не ограничиваясь фор-мальными действиями, Эйлер хотел приписывать числовые значе-ния расходящимся рядам. Потомки неоднократно осуждали его зав самом деле сомнительные утверждения типа 1−3+5−7+. . . = 0,. . .+ 1

n3 + 1n2 + 1

n+1+n+n2+n3+ . . . = 0. А с другой стороны, Эй-

лер брал частичные суммы гармонического ряда 1+ 12+ 1

3+ . . .+ 1

nи замечал, что если вычесть lnn, то разность будет стремиться кконечной константе 0,577216 . . ., ныне носящей имя Эйлера. Это—важный пример выявления природы расходимости. Не имея необ-ходимого аппарата, Эйлер почувствовал, что расходящиеся рядынеобходимы в математике, а поразительная интуиция страховалаего при нестрогих рассуждениях от ошибочных выводов. В то жевремя его эпигоны, не имевшие столь мощной защиты, допустилинемало ошибок и нелепостей.

Эйлер смотрит на бесконечные ряды как на многочлены бес-конечной степени и по аналогии формулирует для них прави-ло разложения в бесконечное произведение линейных множите-лей. Если сумма ряда 1 + a1x + a2x

2 + . . . равна нулю в точ-ках α1, α2, . . . , αn, . . . , то она совпадает с бесконечным произведе-нием

(1− x

α1

). . .(1− x

αn

). . .. Эйлер не дает этому утверждению

ни обоснования, ни строгой формулировки, а прямо переходит кпримерам. Он исходит из бесконечного ряда

sinx = 1− x2

3!+x4

5!− x6

7!+ . . . ;

232 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

его сумма имеет нули при α±k = ±πk, откуда делается вывод:

1− x2

3!+x4

5!− . . . =

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

). . . .

Формально выполняя умножения скобок, собирая коэффициентпри x2 и сравнивая с коэффициентом в ряду слева, получаем

1 +14

+19

+ . . .+1n2

+ . . . =π2

6.

Это—значение дзета-функции в точке s = 2. Полученный ряд ис-следовал еще Я. Бернулли, но не смог найти его сумму. Эйлер кэтому ряду присматривался давно. Он вначале знал его сумму ссемью знаками: 1,6449340, а потом вычислил еще восемь знаков.Понимая, что проведенные им выкладки строго не оправданы,Эйлер прежде всего нашел π2/6 с семью знаками и сравнил сизвестным ему ответом. Получилось совпадение! Это происходи-ло в 1735 г. Сравнивая коэффициенты при дальнейших степеняхв ряду и произведении, Эйлер без труда находит ζ(4) = π4/90,ζ(6) = π6/42 · 6!. Он понимает, что ζ(2n) = cnπ

2n и интересуетсяприродой коэффициентов c2n. Для них он получает рекуррентныеформулы, достаточные для вычислений, но это не удовлетворяетЭйлера.

Почти в то же время Эйлера волновала другая числовая по-следовательность, возникшая из совершенно другой задачи. Онхотел применить интегралы к оценке сумм большого числа слага-емых S(n) = f(1)+f(2)+ . . .+f(n). Получилась формула (теперьее называют формулой Эйлера – Маклорена):

S(n) =∫ n

0f(x) dx+

f(n)2

+f ′(n)12

− f ′′(n)720

+f ′′′(n)30240

,

и далее при следующих производных — загадочные коэффи-циенты, которые Эйлер умел вычислять, но не знал простойзакономерности для них. Каково же было удивление Эйлера,когда обнаружилось, что коэффициенты в его формуле рав-ны (−1)n−1cn/22n−1. Только величайшим математикам приро-да дарит такие удивительные совпадения! Ведь прямой связи

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 233

между задачами нет. А потом Эйлер вспомнил о замечатель-ной числовой последовательности Bn, возникшей у Я. Бернуллипри вычислении суммы k-х степеней первых n натуральных чи-сел (Bn сейчас называют числами Бернулли), и оказалось, что

B2n =(−1)n−1(2n!)cn

22n−1 . Кроме того, при разложении z/(ez − 1) постепеням z коэффициент при zn равен Bn/n!. Числа Бернуллибыли известны до Эйлера, но Эйлер был первым, кто понял, чтоони таинственным образом возникают в самых разных задачах.

Эйлера постоянно волновало, что его вычисления ζ(2n) необ-основаны. Он придумывает еще один аргумент, усиливающий вы-воды из его числовых экспериментов. Среди рассмотренных импримеров был пример, основанный на разложении 1− sinx в ряди бесконечное произведение. Он приводил к соотношению π

4=

1− 13

+ 15− 1

7+ . . ., которое уже было строго выведено Лейбницем

непосредственно из геометрического определения π. Эйлер оце-нивает это совпадение как очень сильное: «Для нашего метода,который может некоторым показаться недостаточно надежным,здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вооб-ще не должны сомневаться в других результатах, выведенных темже методом». Эйлер настаивает на серьезном отношении к недока-занным утверждениям, прошедшим экспериментальную проверкуи получившим косвенные подтверждения. Он понимает, что в со-временной ему ситуации математика потеряет многое, если жест-ко придерживаться евклидовских правил установления истины.Впрочем, он не отказывается от поисков строгого обоснования ичерез десять лет находит существенно более простое обоснованиеразложения sinx (кстати, основанное на связи тригонометриче-ской и показательной функций в комплексной области).

Эйлер продолжает манипуляции с бесконечными произведе-ниями. Он вычисляет ряд, отвечающий бесконечному произведе-нию s(x) = (1−x)(1−x2)(1−x3) . . ., и замечает, что в нем многиестепени отсутствуют:

s(x) = 1− x− x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + x22 + x26 − x35 − x46 + . . . ;

у ненулевых членов знаки меняются через два. Для Эйлера несоставило труда разгадать закономерность последовательности

234 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

показателей ненулевых слагаемых. Он рассматривает последова-тельные разности: 1, 3, 2, 5, 3, , 7, 4, . . ., разбивает получившуюсяпоследовательность на две: натуральный ряд и последователь-ность нечетных чисел, и в результате для исходной последова-тельности показателей получает представление: члены k-й пары—это m = 1

2(3k2 ± k), причем знак при xm совпадает с (−1)k. Од-

нако Эйлеру не удается даже на формальном уровне доказатьсовпадение бесконечного произведения и ряда: «Я долго тщетноразыскивал строгое доказательство равенства между этим рядоми бесконечным произведением (1−x)(1−x2)(1−x3) . . ., и я предло-жил этот вопрос некоторым из моих друзей, способности которыхв этом отношении мне известны, но все согласились со мной, чтоэто преобразование произведения в ряд верно, хотя никто несумел раскопать какой-либо ключ для доказательства. Такимобразом, это познанная, но не доказанная истина. . . ». Кстати,числа вида (3k2 − k)/2 были известны еще греческим математи-кам (по крайней мере, Никомаху в I веке); это так называемыепятиугольные числа.

К обсуждаемой задаче Эйлер пришел, отправляясь от дру-гой задачи. Пусть am (bm) — число представлений натуральногочисла m в виде суммы четного (нечетного) числа различных сла-гаемых. Проанализировав, какими способами возникает член xm

при перемножении (1 − x), (1 − x2),. . . , нетрудно убедиться, чтокоэффициент при xm в точности равен am−bm. Это означает, чтоутверждение, к доказательству которого стремился Эйлер, равно-сильно тому, что am = bm для всех m, отличных от (3k2 ± k)/2, адля этих чисел |am − bm| = 1 (знак можно уточнить). Именно этоутверждение интересовало Эйлера, а рассмотрение бесконечныхпроизведений и рядов — это лишь способ доказать его.

Эйлер связывает с рассмотренным рядом s(x) еще одно заме-чательное арифметическое утверждение для σ(n) — суммы дели-телей числа n. Манипулируя с s′(x)/x, Эйлер получает

σ(n) = σ(n− 1) + σ(n− 2)− σ(n− 5)− σ(n− 7) + . . . .

Полученное соотношение Эйлер называет «наиболее необычай-ным законом чисел, относящимся к сумме их делителей». Не видяникакого пути к его прямому доказательству, он проверяет закон

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 235

при n 6 20, а затем при n = 101 (простое число) и 301 и пишет:«Примеры, которые я только что разобрал, безусловно рассеютлюбые сомнения, которые мы могли бы иметь в отношении спра-ведливости этой формулы. Это прекрасное свойство чисел темболее удивительно, что мы не чувствуем никакой разумной связимежду структурой моей формулы и природой делителей, с сум-мой которых мы здесь имеем дело».

Аддитивная теория чисел. Задачи о числе представлений нату-ральных чисел в виде сумм слагаемых некоторой природы (какговорил Эйлер, задачи о «разбиении чисел») долго были в центреего внимания. Возможно, первоначальный толчок дали задачи,содержавшиеся в письме Ф. Ноде (1740 г.), фамилия которого ни-чего не говорит нашему современнику1. К этим задачам Эйлерприменил аппарат бесконечных произведений. Вот несколько при-меров. Эйлер утверждает, что

(1 + x)(1 + x2)(1 + x3) . . . =1

(1− x)(1− x3)(1− x5) . . ..

Рассуждение состоит в том, что если умножать левую часть по-следовательно на (1 − x), (1 − x3), (1 − x5),. . . , то постепеннобудут исчезать все ненулевые степени, а это и означает тожде-ство (это рассуждение можно сделать строгим при помощи теориипределов). После раскрытия скобок в левой части получается ряд1 + a1x+ a2x

2 + . . ., где ak — число представлений k в виде суммыразличных натуральных слагаемых. Правая часть при помощисуммы бесконечной геометрической прогрессии записывается ввиде

(1 + x+ x2 + x3 + . . .)(1 + x3 + x6 + x9 + . . .)(1 + x5 + x10 + . . .) . . . ,

и она равна 1 + b1x + b2x2 + . . ., где bk — число представлений k

в виде суммы нечетных слагаемых, среди которых могут бытьодинаковые (почему?). Эйлер делает вывод о совпадении числапредставлений ak = bk. Попробуйте доказать это совпадение непо-средственно, и вы убедитесь, что не видно, как подойти к этойзадаче.

1Знаменательно, что Эйлер стартовал не только от великих источников,как это было в случае Ферма, но иногда с совершенно случайных задач.

236 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Следующее рассуждение исходит из тождества

(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8) . . . = 1 + x+ x2 + x3 + . . . ;

чтобы убедиться в его правдоподобности, можно умножить обечасти на (1−x) и проследить, как последовательно исчезают нену-левые степени x в обеих частях. Из него сразу следует, что каждоечисло одним и только одним способом представляется в виде сум-мы различных степеней двойки (числа таких представлений —коэффициенты в степенном ряду, полученном после преобразо-вания левого произведения).

Метод Эйлера позднее получил название метода производя-щих функций. Функции натурального аргумента a(n) (например,число каких-то разбиений n) ставится в соответствие функция,являющаяся суммой бесконечного ряда A(x) = a(0) + a(1)x ++ a(2)x2 + . . .. Идея Эйлера, подтвержденная на многочисленныхпримерах, состояла в том, что в свойствах функции A(x) свое-образно проявляются арифметические свойства последовательно-сти a(n). Характерно, что чисто арифметическое доказательстворезультатов Эйлера о разбиениях, доказанных Эйлером аналити-чески, было получено лишь во второй половине XIX века. Ме-тодом Эйлера был позднее доказан ряд замечательных результа-тов. Например, Якоби не только передоказал теорему Лагранжао представлении натурального числа в виде суммы четырех квад-ратов, но и нашел число таких представлений.

Задачи о разбиениях отходили от арифметики Диофанта иФерма не только по методам, но и по постановкам. Они начина-ли аддитивную теорию чисел (в отличие от мультипликативной).К аддитивной теории чисел относились и знаменитые проблемыГольдбаха, поставленные в письме к Эйлеру. Среди них широкоизвестна гипотеза, что каждое нечетное число представимо в ви-де суммы трех простых, а каждое четное — двух. Для достаточнобольших нечетных чисел это было доказано И. М. Виноградовым.Эйлер, верный своим правилам, тщательно продумал эти задачи.Гипотезу о том, что каждое нечетное число n есть сумма простогои удвоенного квадрата, он проверил при n < 2500 (это не доказанои по сей день). Он сформулировал несколько новых гипотез. На-пример, осталась недоказанной гипотеза Эйлера, что всякое про-стое вида 8k+3 есть сумма удвоенного простого числа вида 4l+1 и

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 237

нечетного квадрата. Упомянем еще одну арифметическую гипоте-зу Эйлера, происхождение которой трудно реконструировать: чис-ло 3

√2 является трансцендентным. Обобщение этого утверждения

составило одну из проблем Гильберта, решенную А. О. Гельфон-дом. Еще один пример удивительного предвидения!

Анализ. Мы уже говорили о работах Эйлера по анализу в связис рядами и бесконечными произведениями. Дифференциальноеи интегральное исчисление были созданы в течение XVII века,в окончательной форме — в трудах Ньютона и Лейбница. Эйлерприходился «научным внуком» Лейбницу (через И. Бернулли).Уже в конце XVII века встал вопрос о создании руководства поисчислению бесконечно малых; эту цель преследовал «Анализ бес-конечно малых» (1696 г.) маркиза Лопиталя, ученика И. Бернул-ли. Свое продумывание анализа Эйлер сопровождает созданиемсквозной монографии по анализу, чему была подчинена значи-тельная часть жизни Эйлера. В 1748 г. выходят два тома «Вве-дения в анализ бесконечно малых». Второй том — это аналити-ческая геометрия. Первый том — замечательный учебник, кото-рый с интересом могли бы читать студенты и сегодня, — содер-жит всё из «обыкновенного» анализа, что, по мнению Эйлера,должно предшествовать анализу бесконечно малых. Здесь многоэлементарного материала и задач. Вот одна из них: «После по-топа человеческий род размножился от шести человек; положим,что 200 лет спустя число людей возросло до 1 000 000 человек;требуется узнать, на какую свою часть число людей должно бы-ло бы увеличиваться ежегодно». Но при этом подробное изучениеэлементарных функций содержит и разложение в ряды, и выходв комплексную область. Здесь же — вычисления ζ(2n) и теорияразбиений натуральных чисел. В 1755 г. выходит «Дифференци-альное исчисление», в 1768 – 1770 г. — три тома «Интегральногоисчисления», а после смерти Эйлера — еще один том добавлений.

Мы имеем возможность лишь очень мало сказать об аналити-ческих результатах Эйлера. Прежде всего он внес принципиаль-ный вклад в эволюцию полнятия функции. К тому времени мате-матики ясно понимали, что функция является основным объектоманализа, знали большое число конкретных функций, но толькоподходили к пониманию общего понятия. С точки зрения мате-

238 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

матика, занимавшегося приложениями, функция всегда задаетсякакими-то аналитическими выражениями. С другой стороны, припостроении дифференциального и интегрального исчисления ра-бота с явными выражениями часто неудобна. Здесь более эффек-тивен геометрический взгляд на функцию. Эйлер, в поле зрениякоторого были и приложения, и общая теория, параллельно разви-вал обе точки зрения на функции. Он был первым, кто отважилсяотождествить общие функции с произвольными (непрерывными)кривыми, имеющими единственные точки пересечения с верти-калями. Как писал Риман, «Эйлер первым ввел эти (произволь-ные — С. Г.) функции в Анализ и, опираясь на геометрическуюнаглядность, приложил к ним исчисление бесконечно малых».

Но Эйлер не только развил для произвольных функций ана-лиз, он указал реальную ситуацию, когда произвольные функциивозникают в приложениях. В 1748 г., исследуя формулу для изме-нения со временем формы колеблющейся струны, Эйлер подчер-кивает, что в начальный момент времени форма струны можетбыть произвольной. В то же время Даламбер, который нашелэту формулу на год раньше, имел массу неприятностей из-за уве-ренности, что начальная форма должна задаваться аналитиче-ским выражением (в частности, он пришел к выводу, что нераз-решима задача о колебании струны, изогнутой по дуге параболы).В 1761 г. Лагранж подчеркнул заслугу Эйлера в использованииобщих функций: «. . . они необходимы для большого числа важныхвопросов динамики и гидродинамики 〈. . .〉 г-н Эйлер является, какя полагаю, первым, кто ввел в анализ этот новый род функцийв своем решении проблемы о колеблющихся струнах. . . ». Со вре-мени Эйлера существенно поменялась терминология: его общие(«разрывные», или «механические») функции являются непре-рывными с нашей точки зрения, а непрерывные в его смыслефункции после Лагранжа стали называть аналитическими. Эй-лер был уверен, что общие функции не допускают аналитическогопредставления. Он решительно возражал Д. Бернулли, считавше-му (в связи с задачей о струне), что общие функции являютсясуперпозициями гармоник. Через 70 лет правоту предположенияД. Бернулли подтвердил Фурье.

Как ни замечательны результаты Эйлера в области формиро-вания общего понятия функции, они не идут ни в какое сравне-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 239

ние с колоссальной работой по отбору и изучению специальныхклассов «хороших» функций, необходимых в приложениях. В изу-чении специальных функций он решительно выходит за пределыэлементарных функций. Мы уже говорили о дзета-функции, вве-денной еще в 1830 г. Продолжая исследования Валлиса, Эйлерищет функцию Γ(x), которая принимала бы в целых точках зна-чения n!, а затем и функцию B(x, y), которая в целых точках

совпадает с (n+m)!n!m!

(числом сочетаний). Так появились знамени-тые эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции).

Математики XVIII века знали, что элементарных функцийнедостаточно, и помнили о мечте Лейбница разобраться с выс-шими трансцендентными функциями, однако трезвая оценка по-казывает, что регулярных способов разобраться с этой пробле-мой тогда не было. Отдельные примеры функций появлялись уразных математиков, но мы теперь ясно видим, что это былазадача для XIX века, и одновременно, что Эйлер, руководству-ясь неведомыми чувствами, практически без пробелов угадал всеспециальные функции, которые составляют предмет высшего ана-лиза. Мы уже говорили об эйлеровских интегралах и ζ-функции.К этому можно прибавить бесселевы функции, некоторые видытэта-функций, гипергеометрическую функцию Гаусса (разумеет-ся, это более позднее название!), при различных значениях пара-метров в которй получается большинство специальных функций,появляющихся в математической физике. Наконец, Эйлер сделалважнейшие шаги в теории эллиптических интегралов, включаятеорему сложения. От этих результатов отправлялись Лежандри Гаусс, Абель и Якоби. Вошло в привычку, что если появляетсяновый естественный класс функций, то его надо поискать у Эй-лера. В последние годы в самых разных задачах теории чисел,алгебры, топологии, геометрии мистическим образом появляетсядилогарифм Li2(z) =

∑∞n=1 z

n/n2. Оказалось, что Эйлер знал озамечательных свойствах этой функции, в частности, о теоремахсложения.

Важнейший технический прием, которого не хватало Эйле-ру, — это продолжение специальных функций в комплексную об-ласть. Но Эйлер уже делал первые шаги в построении комплекс-ного анализа: он наряду с Даламбером (правда, в связи с за-

240 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

дачами гидромеханики) рассмотрел уравнения Коши – Римана,которые задают аналитические функции комплексного перемен-ного; пользовался комплексными подстановками для вычсислениявещественных интегралов, а в последние годы жизни вычислялвещественные интегралы через интегралы от комплексных функ-ций, очень близко подойдя к теории Коши контурного интегри-рования на комплексной плоскости. Эйлер понимал неизбежность«комплексного» мира.

Наиболее знаменитым результатом Эйлера в комплексноманализе является его открытие связи между показательной итригонометрической функциями в комплексной области, которуюневозможно увидеть, оставаясь в пределах вещественных чисел.Формулу Эйлера eix = cosx + i sinx Ж. Л. Лагранж (1736 – 1813)назвал «одним из наиболее прекрасных анлитических открытий,сделанных в настоящем веке». Формула производит сильное впе-чатление и сегодня. Ее можно очень естественно получить черезряды или функциональные уравнения, и редко вспоминают, какона появилась в математике XVIII века. Удивительно, что логи-ка ее открытия была достаточно прямолинейной. В начале векаИ. Бернулли (1667 – 1748), учитель Эйлера, занимаясь задачейоб интегрировании рациональных дробей, обратил внимание насоотношение 1

1 + x2 = 12i

( 1x− i

− 1x+ i

). Если его формально

проинтегрировать, то слева получается арктангенс, а справа —логарифм, правда, мнимого аргумента. После несложных преоб-разований получается формула

x =12i

ln1− i tg x1 + i tg x

, (16)

которая тривиально преобразуется в формулу Эйлера. ХотяИ. Бернулли и не выписал (16), он безуспешно пытался придатьсмысл встречавшимся здесь вычислениям с мнимыми величина-ми. На этой почве возникла известная дискуссия (1712 – 13 гг.)между Бернулли и его учителем Лейбницем о логарифмах от-рицательных чисел (чему равен ln(−1)?), а в 1714 г. «формулаЭйлера» промелькнула без необходимых обоснований у РождераКоутса (1682 – 1716), рано умершего сподвижника Ньютона. Эй-лер, будучи хорошо осведомленным в проблемах, волновавших

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 241

его учителя, в 1728 г., отправляясь от вычислений, выводит (16),а в 1739 г. он развил теорию логарифмов в комплексной обла-сти так, что все формулы стали корректными и противоречияисчезли (ln(−1) = (2k + 1)πi, где k— произвольное целое число).

Поиски специальных функций невозможно отделить от выде-ления важных классов дифференциальных уравнений. Уже никтоне сомневался, что явно проинтегрировать произвольные диффе-ренциальные уравнения нельзя. Эйлер активно участвует в вы-делении тех уравнений, которые возникают из физики. Он рас-сматривает ряд уравнений в связи с задачами гидромеханики,колебания струн и мембран, распространения звука: здесь и урав-нение Лапласа, и некоторые варианты волнового уравнения, и др.Для Эйлера был характерен аналитический взгляд на физику.Он стремился свести физические задачи к решению тех или иныхдифференциальных уравнений. В механике он первый перешел отгеометрического языка Ньютона к аналитическому.

Подводя итоги деятельности Эйлера в области анализа, под-черкнем, что Эйлер отдавал предпочтение аналитическим мето-дам при решении как общематематических, так и прикладныхзадач. Но никогда анализ не был для Эйлера самоцелью. Мож-но вспомнить, что он (в отличие от Даламбера) упорно искалчисто алгебраическое доказательство основной теоремы алгебры(существование комплексного корня у любого алгебраическогоуравнения). Алгебраического доказательства найти не удалось,и Г. Фробениус (1849 – 1917) с сожалением отмечал, что заме-чательным алгебраическим рассмотрениям Эйлера не отданодолжного, а многие из них несправедливо приписываются Гауссу.

Геометрия. Занятия Эйлера геометрией носили более отрывоч-ный характер. Второй том «Введения в анализ» является первымучебником аналитической геометрии. Очень многое в аналитиче-ской геометрии идет от Эйлера. Он первым рассмотрел аффинныепреобразования (и ввел этот термин), исследовал группу враще-ний, связав полученные при этом результаты с движением твер-дого тела. Эйлер продумывал возможности применения анализа кгеометрии, сделав первые шаги в дифференциальной геометрии.Одним из первых рассмотрел он и геометрические задачи, свя-занные с картографией, отправляясь от вопроса, в каком смысле

242 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

плоское изображение на карте подобно соответствующей картинена сфере (поверхности земного шара). Многим показалась неожи-данной обнаружившаяся при этом связь с комплексными числа-ми.

Даже в элементарной геометрии Эйлер обнаружил факты, ко-торые никто не заметил прежде, например, что в треугольникеортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежатна одной прямой — прямой Эйлера. Кажется, и теорему о пересе-чении трех высот треугольника в одной точке (ортоцентре), про-пущенную у Евклида, никто до Эйлера явно не сформулировал.

Вероятно, более других геометрических утверждений попу-лярна теорема Эйлера для многогранников: + = + 2, где —число вершин, — число граней, — число ребер. Интересно, чтоЭйлер увидел это соотношение на примерах, но не смог понача-лу доказать его в общем виде, проверив вместо этого теоремудля любых пирамид, призм, некоторых составных многоранни-ков, правильных многогранников. Эйлер и в геометрии боретсяза доверие к математическому эксперименту: «Итак, посколькуверность этого утверждения во всех этих случаях оправдыва-ется, нет никакого сомнения, что оно имеет место для любыхтел, так что это предложение представляется достаточно об-основанным». Лишь позднее он нашел общее доказательство.

Эйлер уже не вызывал своих коллег на состязание по реше-нию задач, как это делал еще Ферма, но он охотно обменивалсяс ними как решенными, так и нерешенными задачами. Отсюдаего результаты по традиционной тематике математических со-стязаний: магическим квадратам, дружественным числам и т. д.Популярные книги до сих пор сохранили несколько просто фор-мулируемых задач, либо придуманных Эйлером, либо им впервыерешенных. Можно вспомнить об обходе шахматной доски конемтак, чтобы ни одна клетка не проходилась дважды. Другая извест-ная задача—доказать невозможность обойти семь кенигсбергскихмостов так, чтобы ни один мост не проходился дважды. На при-мере этой задачи видно, что Эйлера интриговали нестандартнорешаемые задачи, поскольку эта нестандартность могла иметь да-леко идущие последствия. В марте 1736 г. Эйлер пишет «мужуславному и знатному Мариони»: «Некогда мне была предложеназадача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окру-

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 243

женном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашива-ется, может ли кто-нибудь обойти их, переходя только однаждычерез каждый мост. И тут же мне было сообщено, что что ни-кто до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал,что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показалсямне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недо-статочны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство.Поэтому мне пришла в голову мысль, не отностится ли она слу-чайно к геометрии положения, которую в свое время исследовалЛейбниц.» Лейбниц в самом деле оставил несколько загадочныхреплик о невиданной геометрии, «которая раскрывается переднами в положении, как алгебра в величинах» (письмо к Гюйген-су, 1679 г.). Эйлер безуспешно пытается выяснить подробностио «геометрии положения». Он разрабатывает метод, позволяю-щий решить эту задачу и по существу относящийся к началамтопологии. Он чувствует, что рассмотренная задача — лишь отго-лосок более глубоких проблем: «Если бы можно было привестиздесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы прине-сти еще большую пользу, и им не следовало бы пренебрегать».Через месяц в письме к Элеру в Данциг обсуждается обобщениезадачи о мостах и констатируется: «Ты можешь убедиться, слав-нейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому,имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почемуследует скорее от математика ожидать этого решения, нежели откакого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляет-ся одним только рассуждением, и нет необходимости привлекатьдля нахождения этого решения какие-либо законы, свойственныематематике. Итак, я не знаю, как так получается, что вопросы,имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разреша-ются математиками, чем другими. Между тем ты, славнейшиймуж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения,что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне неизвестно, ка-кого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницуи Вольфу.» Так Эйлер вслед за Лейбницем видел впереди новуюобласть геометрии — геометрии формы, без измерений, — чертыкоторой стали проясняться через полтора века.

244 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Механика. Механика была с самого начала в поле зрения Эйлера.Уже в 1736 г. выходит его «Механика, или наука о движении, из-ложенная аналитически». Это первая книга 29-летнего ученого.Эйлер тщательно изучил «Начала» Ньютона, в которых меха-ника изложена на геометрическом языке. Он обнаружил, что сточки зрения приложений к конкретным задачам более эффекти-вен переход на аналитический язык при помощи использованиякоординат. В конечном счете механическая задача преобразует-ся в чисто математическую задачу решения дифференциальныхуравнений. Это направление в механике продолжил Лагранж, ко-торый в предисловии к своей «Аналитической механике» кон-статировал: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней толькоалгебраические операции». Эйлер ясно отдавал себе отчет, чтосведение механической задачи к математической еще не означаетее решения: «. . . Хотя принципы механики, на которых основа-ны все законы движения, по-видимому, достаточно известны идостаточно применимы к общим явлениям для того, чтобы с ихпомощью подчинить изменения движения аналитическим форму-лам, однако очень часто анализ становится недостаточным длярешения уравнений. . . Разве мы не видим, что принципы механи-ки каждый день приводят нас к дифференциальным уравнениям,решение которых может быть найдено только при таком развитиианализа, от которого он еще очень далек.»

Механика Ньютона не выходила за пределы движения матери-альных точек, потом Декарт рассмотрел движение плоских пла-стин, но только Эйлер перешел к изучению специфики движениятвердого тела конечных размеров. Сделал он это в книге, вышед-шей в свет через 29 лет после выхода его «Механики».

Механика Ньютона начинается с аксиом — трех его законов.Эйлер считал, что они нуждаются в существенно большей мо-тивировке, и их следует вывести из каких-то более первичныхзаконов мироздания. Предпринятая в 1736 г. попытка в этом на-правлении была сомнительной. А. Н. Крылов пишет, что Эйлерполучил лишь «разжиженные» законы Ньютона, и находит кор-ни пожеланий Эйлера в его привычке к занятиям богословием.Когда Эйлер был в Берлине, перед ним неожиданно открылсяновый путь разработать для механики более естественные основа-ния. В 1744 г. Мопертюи предположил, что все законы движения

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 245

и равновесия в природе могут быть выведены из того, что всякоедвижение происходит так, чтобы минимальное значение приняланекоторая величина—действие. Мопертюи отправлялся от оптики(принцип Ферма), переходил к механике, но затем толковал свойзакон максимально широко и путано, давал своему закону наи-меньшего действия теологическое толкование, утверждая, что чтоминимальность действия является следствием «наиболее мудро-го употребления могущества Творца». Мопертюи не пошел даль-ше простых механических применений, он увлекся глобальнымипроблемами, которые вскоре вовлекли его в горячую дискуссию,дорого ему стоившую. Даламбер писал: «Этот спор о действии,если нам будет позволен сказать, несколько походит на некото-рые религиозные споры по ожесточению, с которым он велся, ипо количеству людей, принявших в нем участие, ничего в этом несмысля».

Эйлер с самого начала на стороне Мопертюи. Ему не чуждаи теологическая интерпретация: «Действительно, так как зданиевсего мира совершенно и возведено премудрым Творцом, то вмире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». Но прежде всего Эйлер ищетточную формулировку принципа, которая позволила бы ему изме-нить законы механики. Он находит такую формулировку в случаецентральных сил, хотя и не дает доказательства. Как писал самМопертюи по поводу Эйлера, «Этот великий геометр не толь-ко обосновал принцип более фундаментально, чем это сделал я,но его взор, более объемлющий и более проникновенный, чеммой, привел его к открытию следствий, которые я не извлек».

Утверждения Мопертюи были настолько общими, что в диску-сии (точнее сказать, скандале) приняли участие люди, далекие отфизики, и среди них Вольтер, имевший с Мопертюи давние счетыи разразившийся сатирическим памфлетом «Диатриба доктораАкакии уроженцу Сен-Мало». В конечном счете Мопертюи былморально раздавлен, но от Вольтера досталось и Эйлеру, яромузащитнику Мопертюи. Его можно безошибочно узнать в ученом,который пытается снискать себе славу среди европейских мате-матиков тем, что «производит на бумаге максимум вычислений».Речь идет об ученом, который считает не менее чем на 60 стра-ницах вместо того, чтобы подумать и потратить не более десяти

246 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

строк, который считает три дня и три ночи, не потратив четвертьчаса на обдумывание правильного пути. Вот как преломился уВольтера образ гениального вычислителя.

Эйлера нередко упрекали и упрекают, что он переоценил пу-таные высказывания Мопертюи, почти демонстративно подчер-кивая вторичность своих работ. Намекали даже, что практичныйЭйлер стремился угодить всесильному (перед дискуссией) прези-денту Берлинской Академии наук. Но думается, что такое отно-шение к работе Мопертюи было органично для Эйлера: он умелценить пионерские работы и понимал, сколь в несовершенном ви-де предстают в них идеи. Мопертюи высказал то, что естественнобыло сделать Эйлеру. Эйлер все время искал для механики болеенадежное основание, чем законы Ньютона, которые он не готовбыл принять за первичные. Ему не суждено было догадаться, чтонеобходимый принцип можно было почерпнуть из его любимоговариационного исчисления.

Астрономия. Занятия Эйлера астрономией—продолжение его за-нятий механикой. Его область интересов—небесная механика. Онсмог реализовать здесь свои поразительные вычислительные спо-собности (как писал французский астроном Араго, он «вычислялтак, как человек дышит»). Эйлеру одному из первых стали до-ступны вычисления, опережавшие результаты наблюдений. Ста-рая небесная механика только экстраполировала результаты на-блюдений, новая — исходила прежде всего из закона всемирноготяготения. Первые шаги в этом направлении сделаны самим Нью-тоном, давшим теоретическое определение ускорения движенияЛуны и объяснившего некоторые аномалии (как стали говорить,неравенства) в ее движении. Как всегда, Эйлер ясно осознает на-сущные задачи небесной механики. Пережде всего надо попытать-ся объяснить «неравенства» в движении больших планет Юпите-ра и Сатурна их взаимным притяжением, накладывающимся напритяжение Солнца. Эйлер далеко продвигается к вожделеннойцели—объяснить так называемые «большие неравенства», прояв-ляющиеся в систематическом ускорении Юпитера и замедленииСатурна. Однако Эйлеру не удалось довести вычисления до ре-зультата, хорошо согласующегося с наблюдением, хотя он и дви-гался по правильному пути (это удалось позднее Лапласу).

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 247

Теория движения Луны была в центре внимания Эйлера. Са-мой злободневной была задача объяснения периодического дви-жения перигея орбиты (с периодом 9 лет). Учет возмущения упор-но давал период 18 лет, пока в 1749 году Клеро не показал, чтоучет возмущающих членов следующего порядка дает правиль-ный период. Эйлер признавал, что Клеро, сконцентрировавшийусилия на решении этой задачи, опередил его: «. . . в этом вопро-се у г-на Клеро, пожалуй, нет более сильного противника, чемя 〈. . .〉, хотя я и был в этом вопросе предшественником г-на Кле-ро, у меня не хватило терпения пуститься в столь пространныевычисления». Хотя теория Эйлера и не дала столь выигрышногоитога, как результат Клеро, она имела последствие исключитель-ной важности. На ее основе в 1755 г. Майер (1723 – 1762) составилтаблицы движения Луны невиданной точности. Они дали спо-соб измерять долготу на борту корабля, конкурентоспособный соспособом, использующим хронометр (изобретенный Харрисономв 1735 г.). Признанием заслуг Майера в решении давно стоявшейпрактической задачи (см. главу о Гюйгенсе) стало присуждениеему в 1765 году (посмертно) премии английского парламента раз-мером в 3000 фунтов. Одновременно Эйлеру была присужденапремия в 300 фунтов «за теоремы, при помощи которых недавноумерший профессор Майер из Геттингена построил свои ЛунныеТаблицы, позволившие достичь большого прогресса в деле нахо-ждения долгот на море».

Много занимался Эйлер вычислением эллиптических (невоз-мущенных) орбит комет. В частности, это относится к знаменитойкомете Лекселя 1769 г., необычайно близко подошедшей к Земле(10 мая 1983 г. впервые за 200 лет комета подошла к Земле насравнимое расстояние).

Хотя Эйлеру не удалось построить теорию движения планет,исходящую лишь из законов Ньютона и полностью согласующу-юся с экспериментом, он верил в непоколебимость закона всемир-ного тяготения. Когда-то после неудач с объяснением неравенствв движении Луны Эйлер, как и другие его современники, поду-мывал об «уточнении» закона Ньютона. Однако дальнейшее раз-витие теории движения Луны, по словам Эйлера, показало, что«чем более строго она согласована с законом Ньютона, тем лучшеона представляет наблюдаемые явления». Эйлер не сомневался,

248 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

что то же справедливо и в отношении всей небесной механики.Поучительна позиция Эйлера в отношении подхода к решениюзадачи трех тел: «Я должен прежде всего заметить, что мы ни-чего не выиграли бы, употребив какой угодно труд на интегри-рование этих уравнений. С одной стороны, я сильно сомневаюсь,чтобы когда-либо был найден способ для этого; а с другой сторо-ны, если бы даже посчастливилось вывести их интегралы, то этиинтегралы были бы крайне сложны и не принесли бы почти ника-кой пользы для употребления в астрономии. Для этой цели их всеравно пришлось бы заменять подходящими приближениями. Ноесли речь идет о приближенных выражениях, то их столь же лег-ко получить непосредственно, из дифференциальных уравнений.»

«Письма к принцессе». Взаимоотношения ученых и монаршихособ — небезынтересный сюжет в истории науки. Мы уже имелишанс поговорить об этом. Дело не только в том, что контак-ты с сильными мира сего бывали необходимы для обеспечениясуществования ученых и их работы. Нередко они тешили се-бя надеждой, что их знания могут способствовать воспитаниюсовершенного монарха (можно вспомнить о Лейбнице и ганновер-ском курфюрсте — будущем короле Англии, Декарте и шведскойкоролеве Христине). Вряд ли Эйлер имел такие планы в отноше-нии принцессы Ангальт-Дессауской, старшей дочери маркграфаБранденбург-Шверинского, племянницы Фридриха II. Вероятно,Эйлеру было приятно заниматься с любознательной смышленойпринцессой, да и ее отношение к ученому отличалось от отноше-ния большинства родственников короля. Постепенно у принцессыстановится все меньше времени для занятий, и Эйлер решаетзаполнить пробелы в уроках письмами: «Мои намерения продол-жать с Вами занятия геометрией встречают новые препятствия,это составляет для меня истинное горе, но я хочу восполнитьпропуски своими письмами, насколько это возможно по сущностипредмета». Эйлера увлекает возможность систематически изло-жить свои глобальные взгляды на мироздание, жизнь, религию.Постепенно письма к принцессе ориентируются на дальнейшуюпубликацию. В 1768 – 1774 гг. выходят три тома «Писем о раз-ных физических и философских материях, писаных к некоторойнемецкой принцессе».

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 249

Письма энциклопедичны, создается впечатление, что Эйлерстремится рассказать все, что успел продумать. Некоторое пред-ставление о широте обсуждаемых вопросов дает перечень тем, скоторых начинается первый том: понятие притяжения, скоростьзвука и музыка, свет, зрение и строение глаза, закон всемирноготяготения, морские приливы и отливы, монадология Вольфа, «оботношении души к телу», «о явлениях естественных», «о лучшемиз миров и происхождении всех зол», «о состоянии души послесмерти», «об идеалистах, эгоистах и материалистах», «о совер-шенстве языка», «о силлогизме», «о нравственных и физическихстраданиях», «о назначении человека», «обращение грешников»,«о чудесах человеческого голоса» и т. д.

Большинство ученых не приняли философские тексты, хотямногие отмечали достоинство страниц, относящихся к популярно-му изложению научных знаний. Благожелательный Кондорсе пи-сал: «этот труд представляет нечто весьма ценное по той ясности,с которой в нем изложено все самое главное и важное из областиастрономии, оптики и теории звука. Что касается тех мыслей Эй-лера, которые относятся к философии, они скорее остроумны, чемглубоки.» Эйлер воспользовался страницами «Писем» для борьбыпротив свободомыслия в науке, против материализма. Он высме-ивает «односторонних химиков, анатомов, физиков, которые всеушли в свои опыты. Сколько бы им ни говорили о свойствах исуществе души, они соглашаются только с тем, что поражает ихвнешние чувства.» Все это, вместе с размышлениями Эйлера о ре-лигии, вызвало резкие отзывы Лагранжа и Даламбера. 2 декабря1768 г. Лагранж писал Даламберу: «. . . имеется одно сочинение,которого он не должен был бы публиковать ради своей чести: это

”Письма к немецкой принцессе“ ». А 15 июля 1769 года он пи-сал, что «Письма», возможно, позабавят Даламбера выходкамипротив вольнодумцев. В ответ Даламбер сравнивает «Письма» сньютоновскими комментариями к Апокалипсису и пишет: «Нашдруг—великий аналитик, но довольно плохой философ»; в письмеот 7 августа: «Вы имели полное основание говорить, что, дорожасвоей честью, он не должен был печатать это произведение. Этопросто невероятно, как такой великий гений, каким он являетсяв геометрии и анализе, может быть в метафизике ниже самогомаленького школяра, чтобы не сказать таким плоским и абсурд-

250 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

ным, и вот действительно подходящий случай воскликнуть: не всебогами даровано одному».

А публике «Письма» понравились! Об этом свидетельству-ет, что только в XVIII веке они выдержали четыре изданияна русском языке (первоначально они были напечатаны по-французски). Это контрастирует с тем, как туго расходилисьнаучные труды Эйлера (в письме к конференц-секретарю Мил-леру из Берлина Эйлер пишет, что из 500 экземпляров «Диф-ференциального исчисления» разошлось лишь 100; на «Теориюдвижения твердого тела» с трудом нашли 12 подписчиков). Ужев наши дни В. И. Вернадский писал, что перед «Письмами кпринцессе» «останавливаешься в восхищении перед широтой иобдуманностью в единое, которое бьет ключом из этого произ-ведения его досугов, не менее характерного для XVIII века, чемкакие-нибудь создания тогдашнего искусства или музыки».

Популяризаторское искусство, проявившееся на лучших стра-ницах «Писем к принцессе», было одним из проявлений выдающе-гося педагогического мастерства Эйлера. Другим его проявлени-ем является продуманность вводимых понятий и современностьобозначений (от Эйлера идут обозначения тригонометрическихфункций; он впервые рассматривал значения последних за преде-лами [0; 2π] и т. д.). Много сил ученый отдавал воспитанию своихучеников, которые постоянно жили в его доме. Тексты его сочине-ний были ориентированы не только на сообщение его результатов,но и на демонстрацию его искусства: «Он предпочитал обучениесвоих учеников тому небольшому удовольствию, которое он быполучил, изумляя их. Он думал, что недостаточно сделал бы длянауки, если бы не прибавил к открытиям, которыми он обогатилнауку, чистосердечного изложения идей, приведших его к этимоткрытиям» (Кондорсе). Отсюда и готовность публиковать недо-казанные результаты с мотивировкой их правдоподобия, и даженеточные, но поучительные вычисления. Вот как он ответил кри-тику, обнаружившему пробелы в его работе по диоптрике: «Вызаблуждаетесь, мой дорогой, если думаете, что эта работа потомубесполезна. Наоборот, она очень ценная, ибо содержит расчеты,которые независимо от объекта самого по себе, по своему ходуи приложению, могут служить образцом; короче говоря, это все-таки расчеты нового вида, а это весьма не бесполезно».

Леонард Эйлер (1707 – 1783) 251

Заключительные замечания. Мы не имели возможности коснутьсямногих сторон деятельности Эйлера: оптики, картографии, бал-листики, теории корабля и т. д. Мы хотим еще раз подчеркнуть,что в богатом наследии Эйлера математика занимает особое ме-сто, а в своих математических работах он был прежде всего анали-тиком. По работам Эйлера учились великие математики XIX века.«Читайте Эйлера — это наш общий учитель», — говорил Лаплас.По словам Гаусса, «изучение работ Эйлера остается наилучшейшколой в различных областях математики, и ничто другое неможет это заменить». Никто всерьез никогда не оспаривал репу-тацию Эйлера как великого математика. Однако в последующихоценках сказалось то, что Эйлер многие трудные проблемы недоводил до окончательного решения. Если не оценивать его дея-тельность в целом, а лишь по законченным большим результатам,то он уступает другим великим ученым. Скажем, сделав многоев небесной механике, он не оставил результатов, подобных объ-яснению быстрого движения перигелия лунной орбиты или вы-числению возмущенной орбиты кометы Галлея с предсказаниемее следующего возвращения, полученных Клеро. В арифметикеЛежандр и Гаусс нашли трудные доказательства существованияпервообразных корней и квадратичного закона взаимности, вы-сказанных Эйлером.

В 1842 г. Якоби в письмек П. И. Фуссу отмечает важноесвойство математического насле-дия Эйлера: «В последнее времяя вновь основательно изучал ин-тегральное исчисление Эйлера иопять удивлялся, какой свежей со-хранилась эта семидесятилетняякнига, в то время как современ-ную ей книгу Даламбера совер-шенно невозможно читать. При-чина, мне кажется, в его приме-рах. Потому что эти примеры име-ют не просто побочное значениеиллюстраций, они составляют всесодержание, которое имели в то

252 Леонард Эйлер (1707 – 1783)

время общие предложения.» Эйлера упорно сравнивали с Далам-бером при жизни; Якоби продолжает делать это после их смерти.В мае 1841 г. он пишет Фуссу: «Удивительно, что сейчас невоз-можно прочитать хоть строчку, оставленную Даламбером, в товремя как лучшие работы Эйлера еще читают с восхищением,а умерли они в один и тот же год. Кажется, что Даламбер ис-тощил все свое изящество в беллетристике.» Вкусы у Якоби иФридриха II не совпадали, но к Даламберу Якоби определеннонесправедлив.

Эйлера ценили прежде всего те, кто изучал его труды, а неоценивал наследие по вершинам, кто учился у него и пользовалсяего провидческими идеями.

В заключение приведем один курьез, который, впрочем, боль-ше характеризует особенности академической «демократии» вРоссии, чем заслуги Эйлера. В последний год XIX столетия петер-бургские ученые загодя думали о праздновании предстоящего в1907 году 200-летия великого ученого. 6 февраля 1899 г. на общемсобрании академии обсуждалось предложение отделения физико-математических наук о сооружении по международной подпискепамятника Эйлеру в Петеррбурге. Против этого предложениярешительно выступил академик (по математике) Н. Я. Сонин(1849 – 1915). Он говорил, что труды Эйлера устарели, что егозначительно превзошли Лагранж и Гаусс, что «следы деятельно-сти Эйлера практически заметены». В общем, памятники следуетставить великим ученым, а Эйлер является разве что выдающим-ся, а потому для него вполне достаточно бюста в конференц-зале,который и был уже установлен вскоре после смерти ученого. Бы-ло еще мнение, что непонятно, почему памятник надо непременноустанавливать в Петербурге, а не в Базеле, где Эйлер родился,или в Берлине, где он работал почти так же долго, как в Петер-бурге. Вопрос был поставлен на голосование. Голоса разделилисьпоровну, а это, согласно академическому уставу, означало, что впамятнике Эйлеру отказано. Демократия победила!

Сегодня в Петербурге имеется Математический институт име-ни Эйлера, но памятника пока нет.

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ

Я занимаюсь геометрией спокойно и в тишине. А так какменя никто и ничто не торопит, то я работаю больше длямоего удовольствия, нежели по должности; я похож на вель-мож-охотников строиться: я строю, ломаю, перестраиваю дотех пор, пока не выйдет что-нибудь такое, чем я останусь до-волен. Лагранж

Письмо из Турина. В августе 1755 г. великий Эйлер (1707 – 1783)получил из Турина письмо от 19-летнего Лагранжа, который ипрежде писал ему. У Эйлера, несомненно, уже успело сложить-ся мнение, что его корреспондент является талантливым зрелымматематиком, несмотря на его молодость. И все же содержаниепоследнего письма поразило ученого.

С конца XVII века внимание математиков все более привле-кали задачи, которые сейчас принято называть вариационными,а тогда обычно называли изопериметрическими. Все началось споставленной Иоганном Бернулли (1664 – 1748) задачи о брахи-стохроне—кривой наибыстрейшего спуска между двумя точками.Впрочем, задачи о кривых, обладающих теми или иными свой-ствами максимума-минимума, возникали и раньше: окружностьпри заданной длине ограничивает фигуру наибольшей площади(изопериметрическое свойство, отсюда и название класса задач),прямая — кратчайшее расстояние между точками и т. д. Числотаких задач росло, математики с удовольствием решали их, под-бирая свой «ключ с секретом» к каждой из них.

Однако стиль эпохи расцвета дифференциального и инте-грального исчисления требовал попытаться найти общий метод,развить исчисление для решения изопериметрических задач. За-мечательные математики, которые занимались этими задачами,интуитивно ощущали общие моменты в их решении. Многое сде-лал Якоб Бернулли (1654 – 1705). И все же картина оставалась

253

254 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Жозеф Луи Лагранж

достаточно пестрой и для созда-ния общего метода предстояломного поработать.

Эйлеру было в точности19 лет, когда его учитель И. Бер-нулли поставил ему задачу о бра-хистохроне в среде с сопротив-лением. Потом еще добавиласьзадача о кратчайших («геодези-ческих») линиях на поверхностях.Вариационные задачи постоян-но в поле зрения у Эйлера, ик 1732 г. у него выкристалли-зовался общий метод решениятаких задач. Еще 12 лет ушлона совершенствование метода,и в 1744 г. выходит итоговыймемуар о решении «изопери-

метрических задач в самом широком смысле». Метод иллю-стрируется на решении более 60 самых разнообразных задач.

Сегодня мы ясно понимаем, в чем была трудность в решениивариационных задач: в некотором смысле они были преждевре-менны в анализе XVIII века. В то время аналитики занимались восновном функциями от одного переменного, в меньшей степенифункциями от нескольких переменных. Однако кривые, фигури-рующие в вариационных задачах, не характеризуются конечнымнабором параметров. Фактически эти задачи имеют дело с функ-циями от бесконечного числа переменных, а это уже вотчина ана-лиза XX века (функционального анализа).

Основное наблюдение Эйлера состояло в том, что кривые, яв-ляющиеся решениями изопериметрических задач, отвечают реше-ниям некоторых дифференциальных уравнений. В выводе этихуравнений Эйлер и видит основную задачу. Он действует оченьосторожно, чтобы остаться в рамках привычного анализа: заме-няет кривые ломаными (ведь они зависят от конечного числапараметров, характеризующих вершины) и следит за изменени-ем фигурирующей в задаче величины при изменении только од-ной вершины. Искомое дифференциальное уравнение получает-

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 255

ся, но путь к нему достаточно тернист. Как напишет Деламбр(1749 – 1822; не путать с Даламбером!), верный друг и биографЛагранжа, этот метод «не обладал всей той простотой, котораяжелательна в вопросе чистого анализа».

Эти слова, вероятно, отражают мнение Лагранжа. С реши-тельностью, присущей молодости, он отваживается провести пол-ностью схему, разработанную для функций, когда рассматривает-ся главная линейная часть df приращения функции f(x), отвеча-ющая приращению dx аргумента x, и ищутся x, в которых df(x) =0. Он рассматривает функции от кривых — функционалы (разу-меется, специального вида) I(l), не пугаясь, что фактически этофункции от бесконечного числа переменных; для фиксирован-ной кривой l рассматривает произвольное малое «возмущение» δl,определяет главную часть соответствующего приращения функ-ционала — δI и для определения кривых, на которых δI = 0,получает дифференциальное уравнение, к которому Эйлер шелкружным путем, и которое ныне называется уравнением Эйлера–Лагранжа. Заметим, что Лагранж предусмотрительно вводит но-вое обозначение δ, которое похоже на обозначение дифференциа-ла d, но отличается от него. Удачно введенное обозначение оченьпомогало делу.

Короткой информации Эйлеру было достаточно, чтобы оце-нить все преимущества усовершенствований Лагранжа. Начина-ется оживленная переписка, высокая оценка великого ученогоокрылила начинающего математика. В письмах обсуждаютсявсе усложняющиеся постановки задач: ведь сила нового мето-да должна быть продемонстрирована на решении новых задач,недоступных старой технике. Письмо Лагранжа возродило и усамого Эйлера интерес к экстремальным задачам. Уже в 1756 г.он делает в Берлинской академии два сообщения, связанные сметодом Лагранжа. В том же году Лагранж по представлениюЭйлера был избран иностранным членом этой академии — редкаячесть для молодого ученого, который еще не успел опубликоватьсвоих трудов (впрочем, в то время такому избранию придавалименьше значения, чем в наши дни).

Эйлер не спешит публиковать свои новые результаты, предо-ставляя своему молодому коллеге не торопясь подготовить к пе-чати свою работу. Он разъясняет свою позицию в письме от 10 ок-


тября 1759 г.: «Твое аналитическое решение изопериметрическойпроблемы содержит, насколько я вижу, все, чего только можножелать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, ко-торой после первых моих попыток я занимался едва ли не один,доведена тобой до величайшего совершенства. Важность вопросапобудила меня к тому, что я с помощью твоего освещения самвывел аналитическое решение. Я, однако, решил скрывать это,пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим об-разом не хочу отнимать у тебя часть заслуженной тобой славы».Замечательный пример научной этики!

Письмо Эйлера добавило решимости Лагранжу опубликоватьсделанное, и во II томе «Туринских записок» за 1761 – 1762 гг. по-является его мемуар «Опыт нового метода для определения мак-симумов и минимумов неопределенных интегральных формул».В 1764 г. публикует свои результаты и Эйлер, предваряя публи-кацию словами: «После того как я долго и бесплодно трудился надрешением этого вопроса, я с удивлением увидал, что в ”Туринскихзаписках“ задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Этопрекрасное открытие вызвало у меня тем большее восхищение,что оно значительно отличается от данных мною методов и зна-чительно их превосходит по простоте». Несколько удивляет, чтоЭйлер не упоминает предшествовавшей переписки. Эйлер пред-лагает называть новый метод «вариационным исчислением» поаналогии с дифференциальным исчислением (δI называется ва-риацией).

Таким был научный дебют Лагранжа. В одном отношении онуникален. Известны и другие примеры, когда великие матема-тики получали первые крупные результаты в том же возрасте,что и Лагранж. Однако при этом речь шла обычно о решенииконкретных задач. Интерес же к совершенствованию метода кактакового приходит с годами. Мы же видим, что уже в первойработе Лагранжа проявилось то, что будет всегда отличать егов дальнейшем: полное прояснение ситуации, совершенствованиеметода, поиск первопричины ценится выше конкретных задач.

Джузеппе Луиджи. Мы рассказали о первой великой работе Ла-гранжа, но все же стоит сказать несколько слов о более раннихсобытиях его жизни. Жозеф Луи Лагранж родился 25 января


1736 г. в Турине, в Италии. Впрочем, на родине его называлиДжузеппе Луиджи. Его прадед приехал из Франции и поступил наслужбу к герцогу Савойскому, а дед и отец продолжали служитьв должности казначея фабрик и строений. К рождению будущегоматематика семья разорилась. «Если бы я был богат, я, вероятно,не достиг бы моего положения в математике; а в какой другой дея-тельности я добился бы тех же успехов?» — говорил впоследствииученый. Впрочем, поначалу семейные планы предназначали Жо-зефу Луи карьеру адвоката, и в 14 лет он определяется в Турин-ский университет. Однако вскоре он перешел в Артиллерийскуюшколу, что было связано с усилившимся интересом к математике.В 19 лет он — профессор математики в этой школе (по некоторымсведениям, еще раньше).

Первые попытки открыть новое в математике привели Ла-гранжа к открытию уже известного. Контакты с исключитель-но оригинальным итальянским математиком графом ди Фаньяно(1682 – 1766) помогли юноше понять, что серьезное изучение со-временной математики должно предшествовать самостоятельнойработе. И мы видели, что первые результаты Лагранжа — это несчастливая находка юного дилетанта, а результат напряженнойработы сложившегося профессионала. Умение всесторонне и кри-тически осмысливать и перерабатывать предшествующий опытотличало научную деятельность Лагранжа с первых его шагов.

Вокруг Лагранжа сложился кружок молодых математиков ифизиков, который позднее преобразовался в Туринскую акаде-мию наук. С 1759 г. начинают выходить «Философско-матема-тические сборники частного Туринского научного общества», ко-торые привыкли называть просто «Туринскими записками». Мыуже говорили, что во II томе записок появился мемуар Лагран-жа о вариационном исчислении, а I том содержал две его работы,в том числе статью «Исследование о природе распространениязвука». В математическом плане здесь очень поучительны ком-ментарии к задаче о колебании струны. В 1747 – 48 гг. эта задачабыла рассмотрена тремя крупнейшими математиками того вре-мени Даламбером (1707 – 1783), Эйлером и Даниилом Бернулли(1700 – 1782). Между их толкованиями были существенные рас-хождения. Даламбер, первым решивший уравнение струны, счи-тал, что начальное положение должно описываться функцией с


единым аналитическим выражением (еще не было ясно, что этозначит). Эйлер же настаивал, что эта функция может быть со-вершенно произвольной (как бы мы сказали, непрерывной), и этобыл первый случай, когда в анализе появились функции общеговида, задаваемые графиками, а не аналитическими выражения-ми. Наконец, Бернулли рассматривал гармонические колебания сразными частотами и утверждал, что что произвольное колебаниеразлагается в бесконечную суперпозицию гармонических колеба-ний, во что не верили ни Даламбер, ни Эйлер.

Лагранж придумывает остроумный прием, рассматривая струну по-стоянной плотности как предел невесомых струн с равномерно распре-деленными одинаковыми грузами в конечном числе. Вопрос о колеба-ниях такой струны с грузиками рассматривается элементарно. Делаяпредельный переход, Лагранж подтверждает мнение Эйлера. Позднее,повторяя это рассуждение в «Аналитической механике», он вспоминал:«Этим именно путем я в первом томе ”Туринских записок“ доказалправильность построения Эйлера, которое не было достаточно обосно-вано». Вскоре Лагранж имел еще одну возможность убедиться в том,насколько прав был Эйлер, настаивая на необходимости пользоваться ванализе общими (неаналитическими) функциями: при изучении движе-ния воздуха в трубах постоянного сечения возникали кривые, которыев некоторой точке превращаются в прямые («смешанные» функции, потерминологии Эйлера). Те же рассмотрения с предельным переходомубедили Лагранжа в правоте Бернулли; он был близок к доказатель-ству возможности разложить произвольную функцию по гармоникам (вряд Фурье), но точного доказательства пришлось ждать еще сорок лет.

Мы уже видели, какое одобрение у Эйлера получили первыеработы Лагранжа. Работа о струне заставила обратить на неговнимание другого из его великих современников — Даламбера:«До свидания, сударь, Вы достойны, если я не ошибаюсь, иг-рать великую роль в науках, и я аплодирую началу Вашего успе-ха». Как скажет Деламбр, «среди этих знаменитейших геометроввнезапно выступает двадцатитрехлетний молодой человек, притом не только как им равный, но как арбитр между ними, ко-торый, чтобы прекратить трудную борьбу, указывает каждомуиз них, в чем он прав и в чем он ошибается, исправляет этиошибки и дает истинное решение, которое хотя и было предугада-но, но не могло быть получено». Это наблюдение точно передаетстиль статьи Лагранжа, а письма к нему Эйлера и Даламбера


в самом деле отражают готовность воспринимать Лагранжа какарбитра.

Основания статики. Лагранж был душой Туринского кружка.Опубликованные в «Туринских записках» статьи его товарищейнесут отчетливый след сильного влияния Лагранжа. Особен-но это относится к статье Фонсене, который был, по-видимому,лишь соучастником предпринятого Лагранжем систематическо-го продумывания основ механики. Потом с сюжета этой статьиначнется его знаменитая «Аналитическая механика», и он оченьвыразительно демонстрирует, как основательно Лагранж взялсяза дело.

Речь идет о сопоставлении двух важнейших начал статики: прин-ципа рычага и принципа сложения сил, приложенных к одной точке.Архимед положил в основу этой теории рычага аксиому о равновесиирычага с равными плечами и грузами и о двойной нагрузке на точкуопоры в этой ситуации. Многие авторы пытались уточнить и дополнитьрассуждения Архимеда, но они, по словам Лагранжа, «нарушив просто-ту, 〈. . .〉 почти ничего не выиграли с точки зрения точности». Лагранжотмечает, что первую часть аксиомы естественно считать очевидной изсоображений симметрии: «нельзя усмотреть основания, в силу которогоодин груз перетянул бы другой». Он, однако, не видит никаких логиче-ских оснований к тому, что нагрузка на точку опоры при этом должнабыть равна обязательно сумме весов грузов: «по-видимому, все механи-ки рассматривали это допущение как результат повседневного наблю-дения, которое учит нас, что тяжесть тела зависит только от его массы,но ни в какой мере не зависит от его формы». Лагранж предлагаетвывод второй половины аксиомы Архимеда из первой. Он рассматри-вает однородную треугольную пластину ABC, где основание AB равно-бедренного треугольника горизонтально. Вершины A, B нагружаютсяравными грузами P , а вершина C — грузом 2P . Пластина опираетсяна среднюю линию MN , параллельную AB (рис. 31). Она будет нахо-диться в равновесии, что следует из рассмотрения пары рычагов AC,CB с точками опоры M , N в силу первой части аксиомы Архимеда. Нотогда в равновесии будет и рычаг CF , где F — середина AB, точка опо-ры E — середина CF (в ней пересекаются MN и CF ). Значит, нагрузкав точке F должна быть равна грузу 2P в точке C (строго говоря, здесьприменяется обращение первой части аксиомы Архимеда, которое лег-ко выводится), а это в точности нагрузка на точку опоры в рычаге AB.Лагранж аккуратно отмечает, что прием с рассмотрением равновесияплоской пластины относительно стержня он почерпнул у Гюйгенса.


Рис. 31.

Далее, Лагранж рассматривает принцип сло-жения сил, приложенных к одной точке, кото-рый легко обосновывается при помощи рассмот-рения сложения движений. Существенная разни-ца в принципах состоит в том, что в одном слу-чае силы прикладываются к разным точкам, ав другом — к одной. Тем не менее многие утвер-ждения статики можно выводить как из одногопринципа, так и из другого. Возникает желаниевообще отказаться от принятия принципа рычагаза аксиому, но Лагранжа настораживает, что всеизвестные выводы аксиомы Архимеда из зако-на сложения сил весьма искусственные: «. . . хотя,

строго говоря, оба принципа рычага и сложения движений всегда при-водят к одним и тем же результатам, интересно отметить, что наибо-лее простой случай для одного из этих принципов становится наиболеесложным для другого».

Интуиция позволила Лагранжу безошибочно обнаружить тонкоеместо, хотя он и не смог до конца объяснить его. Оно связано с взаи-моотношением механики и геометрии. Дело в том, что закон сложениясил, приложенных к одной точке, не зависит от аксиомы параллельных,в то время как в пространстве Лобачевского нагрузка на точку опорырычага всегда превышает сумму весов приложенных грузов. В выводевторой половины аксиомы Архимеда используется утверждение о том,что высота равнобедренного треугольника пересекается со средней ли-нией в ее середине, что опирается на аксиому параллельных и невернов геометрии Лобачевского. По-видимому, Лагранж еще не знал этого,хотя известно, что он размышлял над проблемой пятого постулата.

Принцип наименьшего действия. Во II томе «Туринских запи-сок» вслед за мемуаром о вариационном исчислении была по-мещена статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного впредыдущем мемуаре, для решения различных задач динамики».И здесь Лагранж следует по стопам Эйлера. В 1744 г. Мопертюи(1698 – 1759) сформулировал очень общий и туманный принцип,согласно которому все в природе, включая механическое дви-жение, происходит так, чтобы некоторая величина — действие —достигала своего минимального значения. Эйлер для случая дви-жения точки в центральном поле превратил это неопределенноеутверждение в совершенно точное, определив действие в этомслучае как интеграл скорости по пути

∫v ds. Лагранж обобщил


принцип Эйлера на случай произвольной системы точек, междукоторыми имеются связи, и которые взаимодействуют произ-вольным образом. Определив действие в этой общей ситуации,Лагранж, пользуясь разработанной им техникой вариационногоисчисления, решает разнообразные задачи динамики, включаягидродинамику. У него нет сомнений, что при помощи этогопринципа можно построить все здание механики. В «Аналити-ческой механике» он напишет: «Таков тот принцип, которому,хоть и не вполне точно, я даю название принцип наименьше-го действия и на который я смотрю не как на метафизическийпринцип, а как на простой и общий вывод законов механики. Вовтором томе ”Туринских записок“ можно увидеть применение,которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем ме-ханики. Это принцип, будучи соединен с принципом живых сили развит по правилам вариационного исчисления, даст тотчасже все уравнения, необходимые для решения каждой проблемы».

Как напишет Фурье (1768—1830), «Он сводит все законы рав-новесия и движения к одному принципу и, что не менее удивитель-но, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателемкоторого он сам является».

Первые астрономические работы. Мы видим, что деятельностьЛагранжа начала развиваться в рамках традиционных для ма-тематики XVIII века вопросов, проблематики, находившейся всфере интересов его старших современников Эйлера и Даламбера.Логика эпохи неминуемо должна была привести его к необходи-мости попробовать свои силы в небесной механике. Не было болееживотрепещущей проблемы, чем проблема согласования наблю-даемого движения небесных тел с законом всемирного тяготения.Было необходимо выяснить, с одной стороны, объяснимы ли врамках этого закона несомненные отклонения от законов Кепле-ра, как тогда говорили, «неравенства», с другой стороны — чемвызваны различные дополнительные закономерности в небесноймеханике. Например, почему мы наблюдаем только одну сторонуЛуны? Объяснение этого феномена Парижская Академия науквыбирает в качестве темы для своей премии за 1764 г.

Надо сказать, что темы для академических премий в Парижевыбирались с большим вкусом, а получение такой премии ма-


тематиком, особенно молодым, было очень престижным. РаботаЛагранжа удостаивается первой премии и восторженного отзываДаламбера: «Я прочел с большим удовольствием плоды Вашихпрекрасных работ о либрации, они достойны премии, которуюВам вручат».

Собственно законы движения Луны были очень точно выведены изнаблюдений Кассини (1626 – 1712): ось вращения Луны неподвижна от-носительно поверхности, период вращения и период обращения вокругЗемли совпадают, ось вращения имеет постоянный угол с плоскостьюэклиптики (земной орбиты) и, наконец, оси вращения Луны, эклипти-ки и лунной орбиты находятся в одной плоскости. Лагранж показыва-ет, что из-за того, что поверхность Луны отклоняется от сферической,притяжение Земли постепенно выравнивает периоды собственного вра-щения Луны и вращения вокруг Земли. Лагранж близко подходит кобъяснению последнего закона Кассини, что не удавалось прежде Да-ламберу, но ошибается в оценках. Лишь в 1780 г. ему окончательноудается обосновать теорию Кассини.

Объяснение неравенств в движении спутников Юпитера вы-бирается в качестве темы Парижской Академии наук за 1766 г.Решение аналогичных вопросов для Луны принесло в свое вре-мя славу Клеро (1713 – 1768) и Даламберу. В случае спутниковЮпитера возникают дополнительные сложности, в частности, из-за того, что спутников несколько, а также из-за близости Са-турна. Эйлер удивлялся, что Лагранж смог справиться с этойзадачей в работе, получившей премию: «Иррациональная фор-мула, выражающая расстояние от Юпитера до Сатурна, не мо-жет быть представлена достаточно сходящимся рядом, и в этомсостоит основное препятствие. Я сильно сомневаюсь, чтобы егоможно было преодолеть. . . Сейчас мне тем более интересно знать,каким образом г-н Лагранж преодолел те же трудности в сво-ей работе, получившей премию, и так как я не имею основанийсомневаться в успешности его решений, то можно льстить себянадеждой, что теоретическая астрономия в настоящее время до-ведена до наивысшей степени совершенства». Когда через 24 годаЛаплас (1749 – 1827) вернулся к проблеме спутников Юпитера,чтобы закончить начатое Лагранжем, он с восхищением говорило результатах своего предшественника, полученных при помощи«возвышенного (sublime) анализа».


Посещение Парижа. В 1766 г. Лагранжу исполнилось 30 лет. Этобыл важный рубеж в его жизни. Провинциальный Турин ста-новился тесен для научной деятельности Лагранжа. В личнойжизни он был непритязателен, отличался слабым здоровьем, егоскромность в общении с людьми нередко приобретала форму за-стенчивости и даже нелюдимости. Но общение с коллегами онумел ценить и использовать. Поначалу его удовлетворяли кон-такты с товарищами по туринскому кружку, в работу которыхон вкладывал много сил и души, но этих своих коллег он давноперерос. Не было у него систематических контактов с Фаньяно,который был стар, а в 1766 г. умер. Он вел обширную перепис-ку, но как много дает непосредственное общение с учеными, Ла-гранж имел возможность убедиться во время поездки в Париж в1755 г. Лагранж сопровождал своего друга Карачиоли, назначен-ного посланником в Лондон. Впрочем, до Лондона Лагранж недоехал. «Опасно заболев после обеда у аббата Нолле, на которомНолле угощал его кушаньями, приготовленными на итальянскийлад, Лагранж не мог поехать в Лондон, а остался для леченияв Париже и по выздоровлении поспешил вернуться в Турин», —вспоминал Деламбр.

Дело было в том, что в северной Италии для приготовленияпищи используют касторовое масло, предварительно сильно про-жаренное. На кухне у Нолле, где решили приготовить обед «наитальянский лад», воспользовались касторовым маслом без необ-ходимой подготовки, и оно в полной мере проявило свои известныелекарственные свойства. Однако в научном плане болезнь былаплодотворной. Лагранж много общается с крупнейшими француз-скими математиками Даламбером (1717 – 1783), Клеро, Кондорсе(1743 – 1794), но и среди менее знаменитых ученых были такие,которые остались его друзьями на всю жизнь. Лагранж неодно-кратно повторял, что эти полгода, проведенные в Париже, былисамым счастливым периодом в его жизни.

В 1766 г. Эйлер уезжает из Берлина в Петербург, освободив ме-сто директора физико-математического класса Берлинской ака-демии наук. Он предлагает Фридриху II в качестве своего пре-емника Лагранжа. Эта кандидатура была энергично поддержанаДаламбером, с мнением которого король считался в еще большейстепени. Лагранжу было послано приглашение с выразительной


мотивировкой: «необходимо, чтобы величайший геометр Европыпроживал вблизи величайшего из королей». Быть может, в отно-шении себя Фридрих был прав, но вряд ли при живых и рабо-тающих Эйлере и Даламбере Лагранж воспринимался как вели-чайший геометр Европы. Вероятно, король несколько успокаивалсвое уязвленное самолюбие, поскольку он не смог заполучить всвою академию Даламбера и должен был расстаться с Эйлером.

И все же несомненно, что к своему тридцатилетию Лагранжбыл допущен на математический Олимп. Он уже сложился какматематик; основы всего, что он будет делать, были заложены,стал ясен стиль его занятий, его сильные и слабые стороны. Ла-гранж начал свою математическую жизнь как ученик Эйлера иДаламбера в самом высоком смысле этого слова. Он продолжалразрабатывать начатые ими проблемы, находить в них новые ра-курсы, неведомые его учителям. Их восхищение было тому сви-детельством. Своеобразно преломилось у Лагранжа творчествоего учителей: он усваивает постановки задач, почти угаданныегениальной интуицией Эйлера, разрабатывает их до полной яс-ности, оттачивая необходимые понятия и технические средства,что было скорее характерно для Даламбера. И в дальнейшем си-ла Лагранжа будет прежде всего не в открытии новых путей, но впоразительной способности углубить, прояснить, дополнить един-ственно нужными штрихами картину, которую до него пыталисьнарисовать другие. И никакие трудности на этом пути Лагранжуне были страшны.

Лагранж в Берлине. Том «Туринских записок» за 1766 – 69 гг. ещесодержит работу Лагранжа, восхитившую Эйлера: он сделал со-вершенно ясной природу некогда угаданной Эйлером формулыдля сложения эллиптических интегралов. И, как было уже од-нажды, Эйлер с энтузиазмом возвращается к уже оставленномусюжету. А уже в ноябре 1766 г. Лагранж в Берлине, хотя корольСардинии неохотно расстался с ученым. Лагранж оказался в Ака-демии не в лучшие ее дни. Здесь не было ни Эйлера, ни Далам-бера, ни Мопертюи. Однако здесь работал очень оригинальныйматематик Ламберт (1728 – 1777), доказавший в частности, ирра-циональность числа π. У Лагранжа и Ламберта много точек со-прикосновения в математике, чем-то они напоминают друг друга


и по-человечески. Их дружба продолжалась десять лет до смертиЛамберта и была очень существенна для них обоих. Нелегко былозамкнутому Лагранжу приспособиться к жизни прусского двора.Но он, в отличие от Эйлера, смог это сделать и избежать конфлик-тов. Лагранж ведет размеренную жизнь: внешние обязанности,встречи, переписка занимают большую часть дня, но весь вечерпосле обязательной прогулки отдан занятиям наукой в тишине, зазакрытыми дверями. Лагранж женился и в связи с этим произо-шел обмен письмами с Даламбером. Даламбер: «Я узнал, что Высделали опасный скачок. Великий геометр должен прежде всеговычислить свое счастье. Я думаю, что результатом вычисленияне было бы супружество». Лагранж: «Я не знаю, хорошо ли, худоли я вычислил, или лучше — я совсем не вычислял, потому что япоступил бы как Лейбниц, который не мог решиться на женитьбу.Признаюсь, что я никогда не имел склонности к супружеству 〈. . .〉надо было сделать добро одной из моих родственниц; надо было,чтобы кто-нибудь имел попечение обо мне и моих делах». Но вы-шло так, что Лагранжу вскоре пришлось ухаживать за женой,умиравшей от туберкулеза, и он безупречно выполнял свой долг.

«Аналитическая механика». Лагранж провел в Берлине чутьбольше двадцати лет. Это была пора его зрелости, самый про-дуктивный период его жизни. Есть несколько великих ученых, внаследии которых есть одна главная книга («Начала» у Ньюто-на, «Маятниковые часы» у Гюйгенса). У Лагранжа такой книгойбыла «Аналитическая механика». Она вышла в 1788 году, когдаЛагранж был уже в Париже. Но она вобрала в себя то главное,что было сделано в Берлине, а задумано еще в Турине.

Замысел книги лучше всего усвоить из слов самого автора:«Имеется уже несколько руководств по механике, но план это-го сочинения совершенно новый. Я имел в виду привести всютеорию этой науки и искусство решения относящихся к ней за-дач к общим формулам, простое развитие которых давало бы всенеобходимые для решения всякой задачи уравнения. Я надеюсь,что тот способ, которым я старался этого достигнуть, не оставитжелать ничего большего». «Это сочинение, кроме того, будет по-лезно и в другом отношении: оно объединит и представит с общейточки зрения различные до сих пор уже найденные принципы,


служащие для решения вопросов механики, покажет их взаим-ную связь и зависимость и даст возможность иметь суждение обих верности и области их применимости.» Далее, об особенно-стях изложения: «В этом сочинении нет чертежей. Методы, в немизлагаемые, не требуют ни геометрических построений, ни меха-нических рассуждений, для них требуются лишь алгебраическиеоперации, подчиненные правильному и однообразному ходу. Лю-бители анализа с удовольствием увидят, что механика становитсяновою его отраслью, и будут мне признательны за такое расши-рение его области».

Итак, коротко говоря, Лагранж собирается показать, что чи-сто аналитических процедур достаточно для решения механиче-ских задач (чтобы подчеркнуть это, Лагранж демонстративно непользуется чертежами), что можно предложить «однообразные»(как мы бы сказали сегодня, алгоритмические) правила рассмот-рения таких задач и что имеются простые общие принципы, накоторых вся механика может быть построена. Насколько ориги-нальной была эта точка зрения? Можно вспомнить, что Эйлербыл первым, кто в своей «Механике» 1736 г. отказался от чистогеометрических рассмотрений Ньютона в пользу аналитическогометода, основанного на рассмотрении изменения координат и си-стем дифференциальных уравнений (Лагранж называет эту кни-гу «первой большой работой, в которой к учению о движении былприменен анализ»). С другой стороны, вышедшая в 1743 г. «Ди-намика» Даламбера предваряется словами: «В настоящем сочине-нии я поставил себе двойную цель: расширить рамки механики исделать подход к этой науке гладким и ровным. . . Одним словом,я стремился расширить область применения принципов, сокра-щая в то же время их число». И Лагранж очень высоко оценилтрактат Даламбера: «. . . в нем предложен прямой и общий метод,с помощью которого можно разрешить, или во всяком случае вы-разить в виде уравнений, все проблемы механики, какие толькоможно представить».

В чем же тогда новизна задуманного Лагранжем? В том, чтоон последовательно довел до конца намеченное его предшествен-никами, превратил их замечательные этюды в универсальныйрабочий аппарат. Он достаточно скромно оценивает свою про-грамму и ни в коей мере не сопоставляет себя с Ньютоном, «на


долю которого выпало счастье объяснить мировую систему».Лагранж тщательно изучает и излагает на страницах «Ана-литической механики» предшествующие работы. Историческиестраницы являются украшением книги. Впрочем, Лагранжуставили в упрек, что в этот обзор попали определения основ-ных механических понятий и они оказались недостаточно про-работаны.

Итак, начало своей механики Лагранж «собирает» из того, что ужесделали другие. Механика делится на статику и динамику. Мы ужеговорили о двух началах статики: принципах рычага и сложения дви-жений. К ним еще присоединяется принцип виртуальных (возможных)скоростей (его теперь чаще называют принципом виртуальных переме-щений или виртуальных работ), который восходит к Галилею и разраба-тывался Стевином, братьями Бернулли, Даламбером. Принцип состоитв том, что в условиях равновесия равна нулю работа всех сил на любыхбесконечно малых перемещениях, совместимых со связями, наложенны-ми на элементы механической системы. Лагранж «лишь» записываетэто условие в виде аналитического уравнения и стремится доказать нетолько работоспособность принципа, что уже было сделано другими,но прежде всего его универсальность, достаточность для обоснованиявсей статики. «Получив эту общую формулу, Лагранж с искусством,едва ли не ему одному присущим и, может быть, доселе непревзойден-ным, развивает из этой формулы общие свойства равновесия сил и даетрешение главнейших задач статики. . . » (А. Н. Крылов). Очень поучи-тельно также предложенное в книге обоснование принципа при помощирассмотрения системы блоков.

Переходя к динамике, Лагранж эксплуатирует идею Даламбера осведении динамики к статике. В несколько ином варианте ее на кон-кретных задачах разрабатывали Герман и Эйлер. Речь идет о том,что если отделить ту часть сил, которая не направлена на движение,а уравновешивается реакциями связей (Даламбер говорил о потерян-ных побуждениях к движению), то эти силы удовлетворяют условиюна силы, под действием которых тело находится в равновесии. Исходяиз этого Лагранж получает из основного уравнения для статики основ-ное уравнение для динамики. Это эмоциональная вершина книги. Цельдальнейшего—продемонстрировать, что из основного уравнения (однойформулы!) может быть выведена вся механика.

Реализация этой программы начинается с вывода из основного урав-нения всех «начал механики»: закона сохранения энергии, закона дви-жения центра тяжести, принципа площадей. Кульминация этой части—вывод принципа наименьшего действия из основного уравнения. Ла-гранж понимает, что, в свою очередь, его уравнение можно вывести из


принципа наименьшего действия, и, возможно, его более ранние планысостояли в построении аналитической механики на основе этого прин-ципа. Сегодня именно этот способ построения наиболее распространен,Лагранж же предпочел начинать с основного уравнения. Возможно,здесь сыграли роль тактические соображения: современники еще не бы-ли готовы к восприятию вариационного изложения механики.

Следующая задача Лагранжа — научить работать с основным урав-нением. Главное — учесть связи, наложенные на точки системы. По этойпричине удобно перейти от декартовых координат точек, на которые на-ложены соотношения, к каким-то обобщенным координатам, которыеуже могут меняться независимо. Это может быть угол отклонения ма-ятника или широта и долгота точки, двигающейся по сфере. Лагранжпоказывает, что для произвольных независимых координат уравнениедвижения записывается через кинетическую энергию T и потенциаль-ную энергию U системы, причем достаточно их разности L = T − U —функции Лагранжа. Эти уравнения называют теперь уравнениями Ла-гранжа второго рода.

Уравнения первого рода относятся к случаю, когда связи не уда-ется или нежелательно разрешать до конца, т. е. остается несколькоуравнений на координаты. Лагранж показывает, как написать уравне-ния движения через уравнения связей, причем в эти уравнения входятвеличины, которые можно интерпретировать как силы реакции отдель-ных связей. Так впервые появились множители Лагранжа, вероятно,самый популярный элемент его математического наследия (мы еще по-говорим о них ниже).

Основная часть книги посвящена реализации разработанной схемыдля ряда важных конкретных ситуаций: малые колебания, движениетел под действием взаимного притяжения (в основном, небесная меха-ника), несвободные движения (в частности, маятники), движение твер-дого тела.

Лагранж реалистически оценивает возможности разработан-ной им программы. У него нет иллюзии, что редукция механиче-ских задач к рассмотрению дифференциальных уравнений озна-чает решение этих задач, поскольку «они (уравнения—С.Г.) тре-буют еще интегрирований, которые зачастую превышают возмож-ности известного нам анализа». В связи с этим он разрабатываетприближенные методы и с большим вниманием относится к спе-циальным случаям, когда интегрирование может быть явно осу-ществлено (это очень созвучно точке зрения современной матема-тической физики). Под таким углом зрения он, вслед за Эйлером,рассматривает


задачу о вращении твердого тела — «волчка».Лагранж был целеустремлен в доказательстве возможности

превратить механику в главу анализа, вывести всю механику изпростого общего принципа. Идея дедуктивного построения меха-ники по образцу евклидовой геометрии не была новой. НедаромНьютон назвал свою книгу «Началами», а свои законы — аксио-мами. Но никто прежде не выполнял эту программу достаточнопоследовательно. Всякая последовательность сопряжена с само-ограничениями, которые кажутся курьезными по прошествии вре-мени, когда доказываемые предложения уже кажутся несомнен-ными. В самом деле, зачем было Лагранжу совсем отказыватьсяот чертежей или во всех рассмотрениях «вести родословную» отосновного уравнения? Но такова логика развития науки.

Лучше других могли оценить Лагранжа те, кто продолжалего дело. Две стороны современной механики связаны с именамиЛагранжа и Гамильтона (1805 – 1865). Вот что писал Гамильтон:«Лагранж, может быть, сделал больше, чем все другие аналитики,для того, чтобы придать широту и гармонию таким дедуктив-ным исследованиям, показав, что самые разнообразные следствияотносительно движения системы тел могут быть выведены из од-ной основной формулы; красота разработанного таким образомметода, высокое качество результатов делают из этого великогопроизведения род научной поэмы».

Замечательная особенность конструкций Лагранжа заключалась втом, что они нашли применения далеко за пределами механики. Лагран-жевы уравнения появились в теории электромагнетизма. Как напишетПуанкаре, «Чтобы доказать возможность механического объясненияэлектричества, нет надобности искать это самое объяснение, достаточносоставить лагранжевы функции T и U , представляющие обе состав-ные части энергии, по ним составить лагранжевы уравнения и сличитьзатем, согласны ли эти уравнения с законами, получаемыми экспери-ментально».

Труд Лагранжа был образцом для Максвелла (1831 – 1879) при со-здании аналитической теории электричества: «Лагранж поставил себецель свести динамику к чистому анализу. Он начинает с выраженияэлементарных динамических отношений между чисто алгебраическимивеличинами, и из полученных таким образом уравнений он выводитсвои окончательные уравнения путем чисто алгебраического процес-са. Некоторые величины (выражающие взаимодействия между частями


системы, поставленными в зависимость между собой физическими свя-зями) появляются в уравнениях движения составных частей систем, иисследование Лагранжа с математической точки зрения есть метод ис-ключения этих величин из конечных уравнений. Следя за постепеннымходом этих исключений, мы занимаемся вычислениями, оставляя в сто-роне динамические идеи».

Особенно эффективным средством экспансии идей Лагранжа запределы механики стал принцип наименьшего действия: «Все обрати-мые процессы, будь они по природе механического, электродинамиче-ского или термического характера, все они подчинены одному и томуже принципу, дающему однозначный ответ на все вопросы, касающи-еся хода процесса. Этот закон не есть принцип сохранения энергии,который хотя и приложим ко всем явлениям, но определяет их ходнеоднозначно; это принцип более общий — принцип наименьшего дей-ствия» (М. Планк).

Лагранж видел свое предназначение в создании универсальногоязыка механики. Ради этого он в максимальной степени абстрагиро-вался от специфики конкретных задач, столь привлекательных для еговеликих предшественников. Позднее Пуассон (1781 – 1840) писал: «Же-лательно, чтобы геометры пересмотрели основные вопросы механики сфизической точки зрения. Для того, чтобы раскрыть законы движенияи равновесия, их нужно было рассматривать с чисто отвлеченной точкизрения; и в направлении этих абстракций Лагранж пошел настолькодалеко, насколько это можно себе представить, когда он заменил фи-зические связи внутри тел уравнениями, связывающими координатыотдельных их точек; в этом и состоит сущность его аналитической ме-ханики. Но наряду с этой замечательной концепцией можно было бывоздвигнуть теперь физическую механику. . . ».

Насыщать свою схему конкретным физическим содержани-ем Лагранж предоставил последующим поколениям. Разработан-ный им метод оказался прямо приспособленным к решению за-дач техники, от которых он также полностью отвлекался при со-здании аналитической механики. А. Н. Крылов перечисляет непо-средственно последовавшие применения лагранжевой механики:теория механизмов Понселе, инженерный расчет сооружений, вчастности, больших железных мостов, потребовавшихся в свя-зи с развитием железных дорог, баллистические задачи, возни-кающие с переходом от гладкоствольных к нарезным орудиям(после Крымской войны), теория гироскопов. Он заканчивает:«В 1805 году под Трафальгаром корабли Нельсона громили с ди-станции пистолетного выстрела и сваливались на абордаж. Под


Цусимой стрельба велась на дистанцию около 7 000 , в Ютланд-ском бою—на дистанцию от 14 000 до 18 000 . С тех пор дальностьбоя орудий значительно увеличена, а при таких дальностях, что-бы достигнуть меткости, необходим целый ряд сложных гироско-пических приборов — все они рассчитываются по лагранжевымуравнениям.

Таких примеров из техники и физики можно привести неис-числимое множество, но и сказанного достаточно, чтобы видеть тозначение, которое имеет знаменитое сочинение Лагранжа в общемразвитии науки и техники во всех их областях, и то, насколько Ла-гранж был прав, что, не останавливаясь на частностях, придалсвоему изложению самую общую аналитическую форму; поэтомуего методы одинаково приложимы и к расчету движения небес-ных тел, и к качаниям корабля на волнении, и к расчету гребноговинта на корабле, и к расчету полета 16-дюймового снаряда, и красчету движения электронов в атоме. Отсюда можно судить онеобыкновенной гениальности создателя этих методов — ЖозефаЛуи Лагранжа». Эти строки были написаны в 1936 г.

Небесная механика. Среди нескольких типов механических за-дач, рассмотренных Лагранжем, несомненный приоритет имелизадачи небесной механики. Такова была система ценностей вматематике XVIII века, и ни один крупный математик не могпройти мимо задач, связанных с согласованием закона всемирно-го тяготения с результатами непосредственных астрономическихнаблюдений. Мы видели, что Лагранж начал заниматься этимизадачами еще в Турине и он энергично продолжил эти занятия вБерлине. В поле зрения Лагранжа все основные проблемы небес-ной механики. Он разрабатывает технику вычисления элементоворбит планет и комет по трем наблюдениям. И вновь характернаядеталь: разработка метода не сопровождается ни одним конкрет-ным вычислением орбиты. Лагранж видит свою роль лишь врешении математической задачи, после чего метод передается вруки вычислителей: «Я воздержусь от всяких подробностей, но яльщу себя надеждой, что не найдется ни одного сколько-нибудьпонятливого вычислителя, который не был бы в состоянии при-менить к комете теорию, изложенную в этом труде». Создаетсявпечатление, что у Лагранжа не было вкуса к конкретным зада-


чам. Метод, не опробованный на практике, разумеется, несмотряна всю его глубину, содержал слабые места. Существенная адап-тация метода к практике связана с именем Гаусса (1777 – 1855),который постоянно вычислял орбиты, причем ему приходилосьторопиться, чтобы наблюдатели успели найти потерянный асте-роид или чтобы его вычисления удалось использовать для непо-средственного наблюдения кометы. И соответствующий метод,в существенном созданный Лагранжем, связывается с именемГаусса.

Основная трудность заключалась в том, что, как выяснилось,достаточно точное описание движения небесных тел требует уче-та взаимодействия сразу нескольких тел: на движении Луны ре-ально сказывается взаимодействие не только с Землей, но и сСолнцем, в движении больших планет Сатурна и Юпитера долж-но проявляться их взаимное притяжение. Более того, сопостав-ляя данные наблюдения, начиная с древних времен, удалось вы-явить устойчивые отклонения от законов Кеплера — «неравен-ства». Необходимо было выяснить, в самом ли деле эти «неравен-ства» объясняются в рамках закона всемирного тяготения «вме-шательством» третьих тел. Пафос «Начал» Ньютона был не толь-ко в том, что он вывел законы Кеплера из закона всемирного тя-готения, но и в том, что ему удалось в рамках этого закона объяс-нить некоторые «неравенства» в движении Луны. Эстафету Нью-тона приняли Эйлер, Клеро, Даламбер. Объяснение неравенствоказалось делом трудным, и не раз отчаявшиеся ученые начина-ли сомневаться в универсальности закона всемирного тяготения.

Самое естественное было бы явно решить задачу трех тел:описать движение тройки тел, взаимодействующих согласно за-кону всемирного тяготения. Довольно скоро стало ясно, что, по-видимому, это сделать невозможно, но Лагранж в работе 1772 г.максимально проясняет ситуацию. С огромным искусством он по-казывает, что исходную систему дифференциальных уравнений18 порядка можно преобразовать к системе 6 порядка, но видэтой системы уже не оставлял никаких надежд на дальнейшийуспех. А затем он выделяет случаи, когда интегрирование можетбыть выполнено: в одном случае все три тела в начальный моментвремени находятся на прямой, в другом — в вершинах равносто-роннего треугольника при специальных соотношениях на осталь-


ные параметры. Лагранж рассматривает эти уравнения ради чи-стой любознательности, но про них вспомнили, когда выяснилось,что каждый из астероидов юпитеровой группы образует вместе сЮпитером и Солнцем треугольник, близкий к равностороннему.

Следующая возможность заключалась в том, что в тройке те-ла обычно неравноправны, и естественно рассматривать парноевзаимодействие, на которое накладывается возмущение, исходя-щее от третьего тела. И Лагранж начинает систематически раз-рабатывать математическую теорию возмущений, основы кото-рой уже были заложены его великими предшественниками. Привозмущении естественно считать, что орбита остается эллипти-ческой, но несколько варьируются ее параметры. Выделяют дватипа возмущений: периодические и вековые. Периодические воз-мущения существенно зависят от положения тела на орбите, иони со временем в среднем компенсируются. Вековые возмуще-ния определяются лишь взаимным положением орбит в целом,они могут накапливаться и приводить к неустойчивости Солнеч-ной системы. Именно последнее обстоятельство было причинойпристального интереса к вековым возмущениям. С другой сторо-ны, для изучения возмущений на сравнительно коротких отрезкахвремени (что необходимо в случае периодических возмущений)было еще недостаточно наблюдательного материала, в то времякак для изучения вековых возмущений реально воспользовать-ся неточными наблюдениями древних. Периоды возмущений мо-гут сильно превышать периоды обращения, и долгопериодическиевозмущения могут выглядеть как вековые. Важнейшая задача —научиться различать их.

Лагранж, занимаясь проблемой вековых возмущений, отсту-пил от своей привычки и постоянно ориентировался на явныечисловые примеры. Этими проблемами он занимался параллель-но с более молодым, но уже зарекомендовавшим себя Лапласом(1749 – 1827). Они чрезвычайно отличались по стилю занятий на-укой. Для Лапласа ориентирами были совершенно конкретныезадачи небесной механики, и метод для него был лишь средствомдостижения конкретных целей. Его никогда не привлекало вы-членение метода в чистом виде, его совершенствование вне по-требностей конкретных задач. При работе над близкими задача-ми выявлялись сильные и слабые стороны каждого из великих


ученых. Лаплас показывает, что в первом порядке отсутствуютвековые возмущения для больших полуосей орбит Юпитера и Са-турна (а кандидаты на эту роль оказались долгопериодическимис огромным периодом). Лаплас уверен в справедливости анало-гичного утверждения для всех планет, и, хотя это не означалобы доказательства устойчивости Солнечной системы (возмуще-ния рассматривались лишь в первом порядке), это несомненнобыл бы серьезный шаг в этом направлении. Лаплас безуспешнопытается найти общее доказательство, а Лагранж при помощисвоего общего метода получает доказательство, как выразилсяЯкоби, «росчерком пера».

А вот противоположный пример. Лагранж потратил многосил, пытаясь объяснить вековое ускорение среднего движения Лу-ны, обнаруженное в 1693 г. Галлеем (1656–1742), первооткрывате-лем значительного числа известных к тому времени «неравенств».Лагранж пробует использовать свой излюбленный трюк с непол-ной сферичностью Луны, затем аналогичным свойством Земли.Попробовав все казавшиеся ему мыслимыми возможности, Ла-гранж приходит к выводу, что либо наблюдения древних содержатпринципиальные огрехи, либо вообще этот эффект необъяснимв рамках закона всемирного тяготения. Одновременно он разра-ботал технику учета членов высшего порядка при рассмотрениивековых возмущений. Он обнаружил, что в случае Юпитера иСатурна эти члены несущественны, и экстраполировал это на-блюдение на все остальные случаи. Лаплас, имевший существеннобольший вычислительный опыт, понял, что ситуация со спутни-ками из-за их быстрого вращения может быть существенно иной.Он вначале обнаружил, что члены, открытые Лагранжем, даютсущественный вклад для спутников Юпитера, а затем, проделавте же вычисления для Луны, получил ускорение Галлея.

Плодотворное научное сотрудничество Лагранжа и Лапласане переросло в ссору лишь благодаря удивительной тактичности ивыдержке Лагранжа. Честолюбивый, увлекающийся Лаплас неод-нократно давал повод к обиде необоснованными претензиями идаже некорректными поступками. Характерный эпизод произо-шел в 1774 г., когда Лаплас, живший в Париже, ознакомился спосланной туда работой Лагранжа о вековых возмущениях до ееопубликования. Он быстро увидел дополнительные возможности


и опубликовал свою статью, опередившую статью Лагранжа. Ла-плас предваряет статью словами: «Я не взялся бы за это дело,если бы не прочитал превосходную работу г. Лагранжа, прислан-ную в Академию и имеющую появиться в следующих томах».Он добавляет различные аргументы в пользу своей торопливо-сти, говорит о желании поскорее познакомить публику со всемивозможностями метода Лагранжа, но его нетактичность сомненийне вызывает. А Лагранж. . . поблагодарил Лапласа за усовершен-ствование его метода, поскольку «от этого науки смогут лишьвыиграть». В 1779 году Лагранж писал Лапласу: «Я рассматри-ваю ссоры как совершенно бесполезные для преуспеяния наукии как ведущие только к потере времени и покоя. . . ». Всю своюжизнь он неукоснительно следовал этому правилу.

Арифметические работы. Хотя во весь берлинский период меха-ника была главным делом Лагранжа, в его поле зрения попадаюти другие математические вопросы, в том числе несколько ариф-метических задач. Он занимался ими под несомненным влияниемЭйлера. Арифметике посвящено всего 9 небольших работ. Ониносят характер самостоятельных этюдов, это маленькие шедев-ры, за которыми не просматривается намерения создать большоеполотно (что было характерно для его занятий механикой). Бытьможет, это были упражнения в часы отдыха от главного дела жиз-ни. Итак, Лагранж идет по следам Эйлера: он доказывает, чтов периодическую цепную дробь разлагаются квадратичные ир-рациональности и только они (утверждение Эйлера, оставленноебез доказательства), продолжает исследование уравнения Фер-ма-Пелля, занимается квадратичными вычетами, несколько про-двинувшись в доказательстве квадратичного закона взаимности,сформулированного Эйлером. Поучительно доказательство теоре-мы Вильсона ((p−1)!+1 делится на p для простого p), основанноена связи с малой теоремой Ферма и по существу использующеемногочлены над конечным полем. Популярна теорема Лагранжао приближении вещественных чисел рациональными. Наиболееизвестный арифметический результат Лагранжа утверждает воз-можность представить любое натуральное число можно в видесуммы не более четырех квадратов. Это утверждение восходит кФерма, и его, по-видимому, пытался доказать Эйлер.


Алгебраические размышления. Проблемы алгебраических уравне-ний и их систем занимали Лагранжа в разных аспектах. Некото-рые задачи были инспирированы его занятиями небесной механи-кой. Он интересовался и приближенным вычислением корней, иотделением корней, и исключением неизвестных из системы ал-гебраических уравнений. Но одна из работ Лагранжа, по словамКоши, знаменовала начало новой эры в алгебре.

В 1770–71 гг. вышел мемуар «Размышления об алгебраическомрешении уравнений», несомненно задуманный еще в Турине. Соб-ственно, это целая книга, занимающая более 200 страниц. Нарядус «Аналитической механикой», это вершина творчества Лагран-жа.

В XVI веке подряд были открыты формулы для решения урав-нений 3 и 4 степеней, а потом два века не удавалось найти форму-лу для уравнения 5 степени. Появлялось немало замечательныхзадач, которые отвлекали математиков от этой загадочной про-блемы и утешали. Однако немало достойных математиков, срединих — Лейбниц (1646 – 1716) и Эйлер, не теряли надежды. Всечувствовали, что хорошо бы вместо того, чтобы искусственно по-лучать формулу для каждой степени, как это было фактически,найти единый прием, который годится для всех степеней. Чирн-гауз (1651 – 1708) сообщает своему другу Лейбницу, что ему уда-лось придумать универсальную подстановку, которая преобразуетобщее уравнение n-й степени в двучленное yn +a = 0 (а ведь это инужно для решения в радикалах!). Эта подстановка дает извест-ную формулу для n = 3 и годится для n = 5. Лейбниц вынуж-ден огорчить друга: при n = 5 для нахождения коэффициентовподстановки придется решать уравнения более высокой степени,чем 5. Потом Эйлер обнаружил, что при n = 3 и n = 4 формулуудается получить, делая подстановки вида x = n

√A + . . . + n

√F ,

но продвинуться дальше и ему не удалось.Ситуация несомненно требовала более глубокого продумыва-

ния, и кому, как не Лагранжу, было взяться за это дело. Ведьон уже проявил себя непревзойденным мастером добираться доглубинного существа проблемы, выявлять общую структуру там,где другим видятся разрозненные ситуации. Он начинает с ис-следования формул при n 6 4, обращая особое внимание на вы-ражения, стоящие под знаками радикала n-й степени. Для квад-


ратного уравнения x2 + ax + b = 0 это ∆ = a2

4− b, для куби-

ческого x3 + ax + b = 0 это ∆± = − b

2±√(

b

2

)2

+(a

3

)3(причем

x = 3√

∆++ 3√

∆−). Величины ∆± являются корнями квадратногоуравнения, коэффициенты которого рационально (т. е. при помо-щи арифметических операций) выражаются через коэффициентыисходного уравнения. Лагранж ищет выражение ∆± через корниx1, x2, x3 и замечает, что ∆ = x1 + x2ε + x3ε

2, где ε— какой-токорень уравнения y3 = 1, отличный от 1.

Здесь следует остановиться и обсудить, какой же корень имеетв виду Лагранж. Сегодня ответить на это вопрос не представляет

труда, поскольку имеются два комплексных корня ε± = −12±i

√3

2,

но Лагранж не имел возможности работать с комплексными кор-нями (этому в нужном объеме научились позднее). И все же онрешительно оперирует с «воображаемыми» корнями в твердойуверенности, что у кубического уравнения всегда три корня (сучетом кратностей). Н. Бурбаки пишет: «. . . Лагранж, как Эйлери все их современники, без всяких сомнений формально оперируетс ”полем корней“ многочлена (или, говоря его языком, рассмат-ривает ”воображаемые корни“ этого многочлена), хотя матема-тика его времени не содержала ничего, что могло бы оправдатьтакой способ рассуждений. Поэтому Гаусс, который с самого на-чала был решительным противником безудержного формализмаXVIII века, со всей силой обрушивается в своей диссертации наэто злоупотребление».

Итак, два корня из 1 дают ∆±. На самом деле мы не имеемвозможности различить заранее корни x1, x2 x3, но, как бы мыих ни занумеровали, функция ∆(x1, x2, x3) = x1 + x2ε+ x3ε

2 прилюбых их перестановках (а их 3! = 6) будет принимать толькодва значения ∆±. Это — решающее наблюдение Лагранжа! Дляквадратного уравнения ∆ = (x1 − x2)2 и вообще не меняется приперестановке корней. В случае уравнения 4 степени под радика-лом 4 степени возникают выражения вида x1x2 + x3x4, где xj —корни, и они при 4! = 24 способах нумерации корней могут при-нимать только три различных значения.

При этом легко проверяется, что если имеется функция, ра-


ционально выражающаяся через корни уравнения n-й степени ипринимающая только q значений при всевозможных перестанов-ках корней, то эта функция является корнем уравнения степени q,коэффициенты которого рационально выражаются через ко-эффициенты исходного уравнения. Это наблюдение Лагранжназывает «истинным принципом и, так сказать, метафизикойуравнений 3 и 4 степени». Именно поэтому решение кубическо-го уравнения сводится к квадратному, а уравнения 4 степени —к кубическому.

Выходит, надо искать рациональные функции от корней, ко-торые принимают q < n значений при всевозможных перестанов-ках. Но этому очень мешает быстрый рост числа перестановок сростом n. Прежде всего можно заметить, что коэффициенты ис-ходного уравнения являются рациональными функциями корней,вообще не меняющимися при перестановках корней (q = 1), нонадо искать менее тривиальные возможности. Лагранж называ-ет резольвентами выражения x1 + x2ε + . . . xnε

n−1, где ε 6= 1 —корень из единицы, наподобие тех, что участвовали в формулахдля квадратного и кубического уравнения. Их отсутствие для бик-вадратного уравнения естественно связать с непростотой числа 4.Можно было ожидать, что что резольвенты должны были бы по-явиться и в формулах для уравнений более высокой степени, новот что показывают вычисления: функция ∆(x1, . . . , xn) прини-мает при перестановках (n− 1)! значений. Имеем (n− 1)! < n приn 6 3. Итак, ∆ — корень уравнения степени (n − 1)! с коэффици-ентами, рационально выражающимися через исходные.

Можно видоизменить это утверждение для простого n: ∆ яв-ляются корнями уравнения степени n − 1, коэффициенты кото-рого, в свою очередь, суть корни уравнения степени (n − 2)! скоэффициентами, рационально выражающимися через исходные.В случае n = 5 коэффициенты уравнения 4 степени являютсякорнями уравнения 6 степени. Становится понятно, откуда воз-никали уравнения больших степеней в построениях Чирнгауза иБезу! Вывод Лагранжа: «Отсюда следует, что весьма сомнитель-но, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полноерешение уравнения пятой степени».

Далее естественно не ограничиваться резольвентами и выяс-нить, нет ли других функций от корней, принимающих небольшое


число q значений. Ради этого Лагранж исследует группу переста-новок, по существу закладывая основы теории групп. Как толькопоявилась групповая терминология, ряд утверждений Лагран-жа автоматически превратился в теоремы теории групп. Пустьфункция δ(x1, . . . , xn) от корней принимает при перестановкахq значений; тогда имеется подмножество (подгруппа!) из n!/qперестановок, которые функцию δ не меняют. Отсюда следует,в частности, что q — делитель n!. Поэтому существенно изучитьподгруппы в группе перестановок. Если описать все «большие»подгруппы в этой группе, а именно подгруппы из 5!/q элемен-тов, где 1 < q < 5 то будут описаны все функции от корней,принимающие q < 5 значений. Здесь Лагранж остановился.

Он не сомневается, что это единственный способ полученияформул, но окончательных результатов не получает: «Вот, если яне ошибаюсь, истинные принципы решения уравнений и анализ,наиболее пригодный, чтобы привести к решению; как мы виде-ли, все сводится к некоторому исчислению комбинаций, с помо-щью которого получаются априори результаты, которые следуетожидать».

Группу перестановок подробно исследовал Коши. Руффини(1765 – 1822) доказал отсутствие нетривиальных функций от кор-ней уравнений 5 степени, принимающих меньше 5 значений, бу-дучи уверен, что он доказал неразрешимость уравнения 5 степенив радикалах. Однако оставалось доказать, что существование та-ких функций в самом деле необходимо для существования нуж-ной формулы. Полное доказательство неразрешимости дал Абель(1802 – 1829). А перед этим была работа Гаусса о построении пра-вильных многоугольников циркулем и линейкой или, что эквива-лентно, о выражении корней уравнения yn − 1 = 0 при помощиквадратных радикалов. В ней головоломные трюки с перестанов-ками корней позволили решить задачу двухтысячелетней давно-сти. Проблема разрешимости алгебраических уравнений нашлаокончательное решение в теории Галуа (1811 – 1832). Но первымбыл Лагранж. . . Впрочем, связь корней с перестановками при-мерно в то же время обнаружил Вандермонд (1735 – 1796). Хотяон и сделал меньше, он увидел главное, и несправедливо, что вистории математики тень Лагранжа заслонила заслуги этого уче-ного.


Кризис. Математика была единственной страстью Лагранжа, иее было достаточно, чтобы заполнить всю его жизнь, доставитьему немало счастливых минут. Все было подчинено занятиям на-укой. Деламбр передает отношение Лагранжа к музыке: «Я еелюблю, поскольку она меня изолирует; я слышу первые три такта,на четвертом такте не различаю ничего, я предаюсь своим раз-мышлениям, ничто меня не прерывает, и тогда я решаю наиболеетрудные из проблем». Для Лагранжа было характерно, что вели-кие цели познания истины, мировой гармонии не переплетались унего с личными амбициями, с желанием соревноваться, обгонятьсовременников. Если он узнавал, что кто-то успешно занимаетсяпроблемой, над которой он сам думал, он немедленно прекращалразмышления с искренним ощущением «освобождения от обязан-ности». Благодаря этому Лагранжу было присуще необычайноедушевное равновесие, дававшее силы стойко переносить тяготыжизни, не прекращать напряженных занятий.

Лишь одно могло поколебать Лагранжа — потеря ориентиров,неуверенность в выборе правильных целей. И это ощущение на-чинает появляться вскоре после переезда в Берлин. В 1772 г. онпишет Даламберу: «Не кажется ли Вам, что высшая геометрияблизится отчасти к упадку, ее поддерживаете только Вы и Эй-лер». Это пишет ученый, который находится в расцвете сил (ему36 лет), у которого начинает складываться его «Аналитическаямеханика», и который только что опубликовал алгебраический ме-муар, определивший развитие алгебры на 100 лет вперед!

Это высказывание заслуживает обдумывания. Разумеется, Ла-гранж видел, чем ему заниматься в ближайшие 10 – 15 лет, ноболее далекие перспективы представлялись ему сомнительными.А возможно, стали сказываться особенности стиля занятий Ла-гранжа. Он наметил основные направления в молодости, с из-вестной долей консерватизма следовал им, и не без основанийнадеялся на выполнение поставленных задач в обозримом буду-щем. Вероятно, ощущение конца математики не могло возникнутьу Эйлера, который всю свою долгую научную жизнь активно ис-кал новые задачи, переходил от одной задачи к другой, не боясьмногое оставить незавершенным. Стоит обратить внимание, чтоЛагранж не решается поставить себя в один ряд с Эйлером и Да-ламбером. Это не проявление формальной скромности. Характер-


но также, что он завидовал своим современникам, которые легкоумели находить новые задачи, например, Монжу (1746 – 1818):«Этот черт Монж всегда полон новых и смелых идей» или «Этотпострел со своей теорией образования поверхностей идет к бес-смертию».

Ощущение заката математики не покидает Лагранжа. 21 сен-тября 1781 г. он опять пишет Даламберу: «Я начинаю чувство-вать силу моей инерции, которая понемногу увеличивается, и яне могу сказать с уверенностью, что в течение будущего деся-тилетия я еще буду заниматься математикой. Я думаю также,что шахта становится слишком глубока, и что ее придется раноили поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносныежилы. Физика и химия представляют ныне сокровища гораздоболее блестящие и более легко эксплуатируемые; таким образом,по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и возможно,что места по геометрии в Академии Наук сделаются когда-нибудьтем, чем являются в настоящее время кафедры арабского языкав университетах».

Может возникнуть естественное недоумение. Что касаетсяаналитической механики, то намеченное близилось к концу, но валгебре пока лишь был разработан язык, получены прикидочныерезультаты, но программа еще была достаточно неопределенной,и нужно было разворачивать работу. Но таковы законы психо-логии научного творчества: один человек не может двигатьсяпо трудной дороге бесконечно далеко. Материал должен былотстояться, да и нужен был результат типа результата Гаусса,подтвердившего на примере высокую эффективность работы сперестановками корней. Для Абеля и Галуа принципиальна былаи работа Лагранжа, и работа Гаусса.

В Париже. Предчувствие не обмануло Лагранжа. В 1787 году,вскоре после смерти Фридриха II, он переехал в Париж и, посуществу, прекратил активные занятия математикой. Лагранжу51 год. В один 1783 год мир лишился и Эйлера, и Даламбера.Лагранжа восторженно встречают французские ученые, теперьон несомненно «первый геометр Европы», и лишь Лаплас можетвсерьез конкурировать с ним. К Лагранжу неравнодушны придворе. Он необычно легко отвлекается от геометрии в пользу за-


нятий философией, химией, историей, медициной. Может быть,Лагранж надеялся начать новую жизнь в науке? Обстановка вПариже располагала к разнообразной научной деятельности. Про-цветали научные кружки, были популярны контакты между уче-ными разных специальностей. Особенно активен в установлениитаких связей был химик Лавуазье (1743 – 1794). Ученые активноинтересовались общественными проблемами, ролью науки в жиз-ни государства.

Лагранж не оставил математику: еще будут появляться егоработы, он будет активно интересоваться работами других, мыбудем еще говорить о его педагогической деятельности, об ори-гинальных учебниках, но пик его научной деятельности ужепрошел. К тому же вскоре наступило время, когда большинствофранцузских ученых (за исключением, возможно, Лапласа) пре-рвали свои обычные занятия.

Впереди была революция, в которой ученые приняли самоеактивное участие. Никогда прежде не представлялась для нихвозможность непосредственно влиять на жизнь страны. Они вхо-дят в муниципалитет, Учредительное и Законодательное собра-ния; астроном Байи становится мэром Парижа, математик ЛазарКарно возглавляет оборону Франции (его называли «организа-тором побед»), а Монж становится морским министром. Резкоактивизировалась и деятельность ученых, направленная на ре-шение практических задач.

Лагранж держится в стороне от политики. Закон 1793 г. пред-писывает иностранцам покинуть Францию, но специальный де-крет Комитета общественного спасения делает для Лагранжа ис-ключение. В самые трудные дни он не покидает Франции, разде-ляя судьбу своих коллег. Участие в политической жизни стоиложизни Байи и Кондорсе. Лавуазье был казнен как откупщик. Ла-гранж пристально наблюдает за происходящим. Деламбр сохра-нил слова Лагранжа, сказанные после гильотинирования Лавуа-зье: «Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, и, может,будет недостаточно ста лет, чтобы появилась подобная».

Как ученый, Лагранж добросовестно выполняет все поруче-ния. Постепенно размножились многочисленные комиссии и бю-ро, в которые было принято включать ученых. Он занимаетсяпроблемами ремесленных промыслов, измерением долготы на мо-


ре, оценивает запасы хлеба и мяса в стране, чтобы оценить вероят-ность возникновения голода. Пишет работу с расчетом взрывнойсилы пороха в орудийном стволе (она не было опубликована прижизни автора, возможно, это была одна из первых засекреченныхнаучных работ).

Особенно энергично ученые были включены в работу Комис-сии мер и весов. Сегодня непросто уяснить, почему во время голо-да и разрухи, при постоянной военной опасности такое колоссаль-ное внимание уделялось реформе системы мер и весов. Разнобоемв системе мер объясняли многие беды, с большим эмоциональнымнакалом говорили о том, что несовершенство мер — средство экс-плуатации народа. Еще одна сторона дела заключалась в том, чтонеудобство системы мер — проблема интернациональная, и удач-но созданная система могла бы послужить укреплению престижареволюции на международной арене. С этой точки зрения важнобыло выбрать единицы, не связанные ни с какими национальны-ми традициями. Епископ города Отена Талейран, будущий на-полеоновский дипломат, предложил воспользоваться идеей, вос-ходящей к Гюйгенсу, и взять за основу длину секундного маят-ника, т. е. маятника с периодом колебаний, равным одной секун-де. Но восторжествовала идея принять за единицу длины долюмеридиана.

Работы были задуманы на высочайшем уровне. Лавуазье и Га-юи измерили вес воды; начались геодезические измерения, на ко-торые не было средств, им мешали взаимоотношения с Испанией,да и положение на местах в самой Франции. Но революционномуконвенту не терпелось ввести систему мер «на все времена, всемнародам» (девиз, позднее выгравированный на эталоне метра).Проблемы метрической системы обсуждаются в Конвенте в 1793 г.наряду с самыми острыми вопросами. Комиссия обвиняется в мед-лительности, и некоторые ее члены изгоняются «по недостаткуреспубликанской добродетели и ненависти к тиранам» — такогообвинения могло хватить для того, чтобы попасть на гильотину!

Обязанности Лагранжа в комиссии носили не столь острый,теоретический характер. Он занимался выбором базиса для новойсистемы и предлагал взять за основу простое число 11. Он считалважным, чтобы какие-то доли основной единицы не превратилисьсо временем в самостоятельные единицы. В конечном счете все


было построено на основе десятичной системы.Закрытая на время Академия возрождается в виде Институ-

та Франции, и Лагранж стоит во главе физико-математическогоразряда.

Педагогическая деятельность. Революционная Франция в бурные,богатые переменами 1793 – 95 годы много внимания уделяла ре-форме образования. «После хлеба просвещение есть важнейшаяпотребность народа»—провозгласил Дантон. О народном образо-вании думали не меньше, чем о снабжении народа хлебом. Ор-ганизуются Нормальная школа для подготовки учителей и По-литехническая школа (первоначально она называлась Централь-ная школа общественных работ) для подготовки военных инжене-ров. Никогда прежде не занимавшийся преподаванием Лагранжс увлечением читает лекции в обеих школах. При его интересек продумыванию основ, лекции — повод заново осмыслить совре-менную математику, ее фундаментальные понятия, связи меж-ду различными областями. Из лекций родились его книги: «Тео-рия аналитических функций» в 1797 г. и «Лекции по исчислениюфункций» в 1801 г.

Основной замысел Лагранжа красноречиво характеризуетполное название первой книги: «Теория аналитических функций,содержащая начала дифференциального исчисления, освобо-жденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезаю-щих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализуконечных величин». Дело в том, что почти два века математи-ки решительно пользовались бесконечно малыми, хотя понятиеэто оставалось расплывчатым и не существовало убедительныхобоснований правил работы с ними. Однако было несомненно,что разработанный формализм позволяет получать правильныерезультаты, которые на другом пути получать не удавалось, иотказаться от языка бесконечно малых (что предполагалось по-началу) было уже невозможно. Непозволительно долго ситуацияоставалась запутанной.

В 1784 г. Берлинская академия предлагает в качестве темы дляконкурса построить «ясную и точную теорию того, что в мате-матике называют бесконечным. Известно, что высшая геометрияпостоянно принимает бесконечно большие и бесконечно малые.


Однако древние геометры и даже аналисты тщательно избегаливсего, что касается бесконечного, и великие современные анали-сты признают, что выражение ”бесконечная величина“ противо-речиво. Академия поэтому желает получить объяснение того, какиз противоречивого допущения было выведено столько истинныхтеорем, и чтобы был указан верный, ясный, словом — подлинноматематический принцип, который мог бы заменить бесконечное,не делая слишком трудными или долгими производимые при по-мощи этого средства исследования». Инициатором конкурса, несо-мненно, был Лагранж.

Его точка зрения заключалась в том, что понятие бесконеч-но малой в самом деле является противоречивым, но исчислениепостроено так удачно, что возникающие ошибки взаимно компен-сируются и всегда получается правильный ответ. Еще во II томе«Туринских записок» за 1760 – 61 г. Лагранж писал, что исчис-ление «исправляет само собой принимаемые в нем ложные до-пущения». Как писал Клейн (1849 – 1925), он «отказывался отанализа как от общей дисциплины, понимая под ним просто со-брание формальных правил, относящихся к частным специаль-ным функциям», и «такое самоограничение устраняло для тоговремени целый ряд затруднений». Итак, точка зрения Лагранжасостояла в том, что сделать исчисление бесконечно малых содер-жательным принципиально нельзя, что нужно смотреть на негоформально, каким-то образом убедиться, что ошибки в самом де-ле компенсируются, и спокойно пользоваться исчислением.

Мы вновь сталкиваемся с готовностью математиков XVIII ве-ка иметь дело с чисто формальными процедурами (мы уже гово-рили о работе с «воображаемыми» корнями уравнений). В XX ве-ке аналогичная точка зрения возродилась в рамках программыГильберта обоснования математики, в которой бесконечности вос-принимаются как формальные объекты, и нужно лишь убедить-ся в непротиворечивости правил обращения с ними с тем, чтобыбыть уверенными в правильности полученных при их помощи вы-сказываний о конечных объектах.

Прогноз Лагранжа не оправдался. Содержательное обоснова-ние анализа на основе пределов было к тому времени уже дале-ко продвинуто Даламбером. Но Лагранж, как видно из названиякниги, отверг это обоснование вместе со всеми другими. Его за-


мысел очень интересен. Он замечает, что нет проблемы в построе-нии правил дифференцирования для многочленов, и на таком жеалгебраическом языке можно строить дифференциальное исчис-ление для функций, разложимых в бесконечные степенные ряды.Лагранж, как и его предшественники, уверен, что всякая функ-ция допускает такое разложение (лишь Коши опроверг это мне-ние). Лагранж опирается на свою интуицию аналитика-практика,которая подсказывала, что все функции, встречающиеся в при-ложениях, допускают разложение в ряд. Через сто лет на этомпути строил теорию аналитических функций комплексного пе-ременного Вейерштрасс, однако как способ обоснования анализавещественных функций эта программа оказалась несостоятель-ной. Н.Бурбаки пишет: «Монументальная работа Лагранжа пред-ставляет попытку основать анализ на одной из наиболее спорныхконцепций Ньютона, именно на той, в которой спутаны понятияпроизводной функции и функции, разложимой в степенной ряд,и извлечь из него (ряда — С. Г.), рассматривая коэффициент пер-вого порядка в ряде, понятие дифференцирования. Разумеется,такой математик, как Лагранж, не мог не получить при этомважных и полезных результатов, как, например (способом, не за-висящим от исходного предположения, о котором мы говорили),общее доказательство формулы Тейлора с остаточным членом ввиде интеграла и его оценкой посредством теоремы о среднем.Работа Лагранжа явилась к тому же исходным пунктом мето-да Вейерштрасса теории функций комплексного переменного, также как и современной теории формальных степенных рядов. Нос точки зрения его непосредственной цели она является скореешагом назад, чем продвижением вперед».

Показательно, что Лагранж никогда не путал проблемы об-основания анализа с построением собственно анализа, его при-менениями. В предисловии ко второму изданию «аналитическоймеханики» (1811 г.) Лагранж пишет: «Мы сохранили обычныеобозначения дифференциального исчисления, так как они соот-ветствуют системе бесконечно малых величин, принятой в насто-ящем трактате. Если дух этой системы хорошо усвоен, и если вточности его результатов убедились с помощью геометрическогометода первых и последних отношений или с помощью аналити-ческого метода производных функций, то бесконечно малые вели-


чины можно применять в качестве надежного и удобного средствадля сокращения доказательств».

На страницах «теории аналитических функций» впервые по-явился знаменитый метод Лагранжа нахождения условного экс-тремума. При нахождении наибольшего и наименьшего значенияфункции от нескольких переменных, скажем, f(x, y), неминуемовозникает задача о нахождении экстремума при каком-то условиина переменные, например, ϕ(x, y) = 0, причем не всегда удобно пе-реходить к меньшему числу параметров. Нахождение экстремумафункции одного переменного на отрезке сводится к сравнениюзначений функции во внутренних стационарных точках и на кон-цах. Для нахождения экстремума в областиD многих переменныхнужно сравнить значения f во внутренних стационарных точкахи значения на границе, но граница уже не состоит из двух точек,и возникает задача об условном экстремуме на границе. Одна-ко это только одна из многочисленных ситуаций, где возникаетусловный экстремум.

Лагранж замечает, что указанная выше задача сводится к нахожде-нию таких λ, что функция f+λϕ имеет стационарные точки при ϕ = 0.Возникает система уравнений для нахождения этих точек. Аналогич-но рассматривается случай любого числа переменных и условий. «Ме-тод неопределенных множителей Лагранжа» был навеян результатамиЛагранжа о механических системах со связями. В приложениях мно-жители Лагранжа часто допускают содержательную интерпретацию.Сегодня сфера применения идеи Лагранжа расширилась. В частности,ее развитием является линейное программирование, а применительно кэкономическим задачам множители Лагранжа часто удается интерпре-тировать на языке цен.

Последние годы. При директории и консулате положение Лагран-жа упрочилось. В годы империи он становится графом, сенато-ром, кавалером ордена Почетного Легиона. Наполеон не был рав-нодушен к математике и хорошо понимал истинную цену Лагран-жу. Будни императора оставляли ему мало времени для покрови-тельства наукам. Он ограничивался раздачей наград да коротки-ми характеристиками, непосредственно предназначавшимися дляистории. Лагранжа он назвал «Хеопсовой пирамидой науки».

10 апреля 1813 г. Лагранж умер. Деламбр вспоминает, с какимудивительным умиротворением встретил он свой последний час:


«Я почувствовал, что умираю; мое тело ослабело мало-помалу,мои духовные и физические способности незаметно угасают; я слюбопытством наблюдаю постепенный прогресс уменьшения сил,и я достигну конца без сожаления, без печали, ибо спуск оченьотлогий. . . Я завершил свой путь; я снискал некоторую извест-ность в математике. Я не питал к кому-либо злобы, я никому несделал плохого, и я хочу кончить свой путь. . . »

В свой бурный век Лагранж смог прожить размереннуюжизнь. Современники затруднялись припомнить детали, кото-рые могли бы оживить его биографию. Про него не рассказывалианекдоты, как про Лапласа. А.Н.Крылов замечает, что история собедом на итальянский лад в Париже (рассказанная выше), воз-можно, была единственным приключением в жизни Лагранжа.Вспоминали, что Лагранж помог улучшить положение Ламбертав Берлине, что он не побоялся в грозном 1793 году заступитьсяза Деламбра, которого хотели выгнать из комиссии мер, что онтрогательно заботился о Пуассоне, когда тот был его ученикомв Политехнической школе, что он умел удивительно слушатьсобеседника. А иногда возникает маленький, но выразитель-ный штрих: все существо Лагранжа «было проникнуто тихойиронией».

И неожиданно именно этот скромный человек стал воспри-ниматься как образец великого ученого и человека, причем нетолько математиками. Гёте писал: «Математик совершенен лишьпостольку, поскольку он является совершенным человеком, по-скольку он ощущает в себе прекрасное, присущее истине; толькотогда его творчество становится основательным, чистым, ясным,одухотворенным, действительно изящным. Все это требуется, что-бы уподобиться Лагранжу». И в другом месте: «Лагранж былбезупречным человеком и именно поэтому и великим. Если без-упречный человек наделен талантами, то он всегда становитсяблагом человечества, носителем счастья и благородства, будь тохудожник, исследователь природы, поэт или кто-либо другой».

Эйлер и Лагранж воспринимаются сегодня как величайшиематематики XVIII века, учитель и ученик, дарования которыхпоразительно дополняли друг друга. Эйлер, стремившийся загля-нуть как можно дальше вперед, говорить о вещах, для которыхеще нет подходящего языка, оставить потомкам задачи, которые


долго будут служить ориентирами, и Лагранж, во всем добирав-шийся до глубинных структур, стремившийся создать картину,лишенную белых пятен, передать последующим поколениям языки методы, которые долгое время будут достаточны для решенияновых задач.

ПЬЕР-СИМОН ЛАПЛАС

Канцлер императорского Сената, получавший более 100 тысячливров годовой ренты, с неменьшим усердием, чем простойакадемик, Лаплас стремился увязать все неправильности ивозмущения в движении светил с принципом всемирного тя-готения, распространить метод математического анализа наявления земной физики и подчинить своим формулам явле-ния общественной жизни, в которых обыватель видит тайнуили слепой случай. Араго

5 марта 1827 года в 9 часов утра умер маркиз Лаплас, пэрФранции, один из первых кавалеров ордена Почетного Легиона,удостоенный высшего отличия ордена — Большого Креста. «То,что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, чего мы незнаем» — были последние его слова. Лапласа называли «фран-цузским Ньютоном»; умер он ровно через сто лет после смертиНьютона, бывшего его кумиром.

Посмертные почести Лапласу отдавались с некоторой расте-рянностью. В речи Фурье говорилось: «Может быть, мне следо-вало бы упомянуть об успехах Лапласа на поприще политическойдеятельности, но все это несущественно: мы чествуем великого ма-тематика. Мы должны отделить бессмертного творца ”Небесноймеханики“ от министра и сенатора». Окружающих смущало, чтоЛаплас успел побыть республиканцем и монархистом, атеистоми католиком, получать почести при империи и после Реставра-ции. (Впрочем, бывший якобинец Фурье тоже впоследствии сталбароном.)

Бомон – Париж, 1749 – 1789. Будущий маркиз родился 23 марта1749 года в семье крестьянина в маленьком Бомоне (Нормандия).Позднее он неохотно говорил о своем детстве и после 21 годаникогда не виделся с родителями. Благодаря неизвестным по-

290

Пьер-Симон Лаплас (1749 – 1827) 291

Пьер-Симон Лаплас

кровителям Лаплас заканчивает кол-ледж Ордена бенедиктинцев. В 17 летон уже преподает математику в воен-ной школе.

Лаплас начинает интенсивно за-ниматься математикой и механикой;в 1770 году, запасшись рекоменда-тельным письмом к великому Да-ламберу, он отправляется в Париж.Ему долго не удается пустить вход рекомендации, пока не прихо-дит в голову счастливая идея — из-ложить свои соображения по механи-ке письменно. Оригинальность мыс-лей юноши произвела сильное впе-чатление на Даламбера: «Вы за-рекомендовали себя сами, и этого

мне совершенно достаточно. Моя помощь к Вашим услугам».При помощи Даламбера Лаплас устраивается преподавателем

военной школы, а потом занимает освободившееся после смертиБезу место экзаменатора в королевском корпусе артиллеристов.В 1784 году ему блестяще сдал экзамен молодой Бонапарт, о чемЛаплас имел возможность вспомнить в 1804 году: «Я хочу к при-ветствиям народа присоединить и свое приветствие императоруФранции, герою, которому двадцать лет тому назад я имел счаст-ливую привилегию открыть карьеру, осуществленную им с такойславой и с таким счастием для Франции».

В 1772 году Лаплас баллотируется в Академию наук1, на местоадъюнкта (младшая должность) по геометрии2, но его не выби-

1В то время во Франции существовало пять академий. Отметим среди нихФранцузскую академию, основанную в 1635 году кардиналом Ришелье длясовершенствования французского языка и составления словаря, и Академиюнаук, созданную в 1666 году. Французская академия состоит из 40 пожизнен-ных членов. Новых членов выбирают на место умерших. Членов Французскойакадемии часто называют «бессмертными». Академию наук (L’academie dessciences) точнее было бы называть по-русски Академией естественных наук.

2Геометрией в XVII веке называли всю математику. До сих пор воФранции математическое отделение Академии наук называют отделениемгеометрии.

292 Пьер-Симон Лаплас (1749 – 1827)

рают. По-видимому, одной из причин этого было не слишком бла-гоприятное мнение французских ученых о молодом коллеге. Ла-гранж занимает более снисходительную и оптимистическую по-зицию: «Меня несколько удивляет то, что Вы мне пишете о Ла-пласе: кичиться первыми успехами — недостаток, свойственный,главным образом, очень молодым людям. Однако при увеличениизнаний самонадеянность обычно уменьшается» (письмо непремен-ному секретарю Академии наук Кондорсе). Лаплас уже подумы-вает о переезде в Берлин, к Лагранжу, но в 1774 году он получаетместо адъюнкта по механике.

Почти вся научная деятельность Лапласа была посвященанебесной механике (см. ниже). Но его интересы значительно ши-ре.

Так, в 1779 – 1784 годах он сотрудничает с Лавуазье по самымразным вопросам (определение теплоемкости, проблема флоги-стона, атмосферное электричество): «Я, право, не знаю, какимобразом я дал себя вовлечь в работу по физике, и Вы найдете,быть может, что я лучше бы сделал, если бы воздержался от это-го; но я не мог устоять против настояний моего друга Лавуазье,который вкладывает в эту совместную работу столько приятно-сти и ума, сколько лишь я мог бы пожелать. Кроме того, таккак он очень богат, он не жалеет ничего, чтобы придать опытамточность, необходимую при таких тонких исследованиях». При-нимает Лаплас участие и в общественной жизни: он входит вкомиссию Академии наук, обследующую больницы для бедных,санитарное состояние городских боен. Авторитет Лапласа растет.В 1784 году он становится академиком (по механике).

Путь бомонского крестьянина не был уникален. К концуXVIII века во Франции почти половина членов Академии на-ук были простого происхождения. Например, Монж был сыномдеревенского точильщика, Фурье — сын портного, Пуассон —сын солдата. Участие высшего сословия в науке обычно огра-ничивалось меценатством и почетным членством в Академии;Даламбер жалуется: «Меценатов в наше время развелось так мно-го, что нет возможности всех их должным образом восхвалятьи благодарить».

В 1788 году Лаплас женился. Через год у него родился сын.Размеренная, благополучная жизнь была прервана событиями,


решительно изменившими жизнь страны.

Революция, империя, реставрация. Революционные события за-хватили значительную часть французских ученых. Друг Лапласаастроном Байи был первым мэром Парижа, Кондорсе — членоммуниципалитета, выдающийся математик Монж—морским мини-стром. В 1791 году ряд академиков выдвинули свои кандидатурыв Законодательное собрание (Кондорсе, Лавуазье). В связи сэтим со страстным памфлетом «Современные шарлатаны» вы-ступил Марат. Заодно досталось и Лапласу: «К числу лучшихматематиков-академиков относятся Лаплас, Монж и Кузень: родавтоматов, привыкших следовать известным формулам и при-лагать их вслепую, как мельничная лошадь, которая привыкладелать определенное число кругов, прежде чем остановиться».

Лапласа вместе с Лагранжем, Монжем, Лавуазье привлеклик работе в Метрической комиссии, целью которой было созданиеединой системы мер. В период якобинской диктатуры Лапласаотозвали из комиссии ввиду «недостаточности республиканскихдобродетелей и слишком слабой ненависти к тиранам». В 1799 го-ду он вернулся в комиссию, и под его наблюдением были изготов-лены эталоны метра и килограмма.

Летом 1793 года по призыву Комитета общественного спасениябольшая группа ученых занялась научными исследованиями дляорганизации обороны от ожидавшейся агрессии. Лапласа срединих не было. Он удалился в тихий Мелен, где приступил к работенад многотомной «Небесной механикой» — главным делом своейжизни.

В 1793 году Конвент упразднил существовавшие академии.В 1793 – 1794 годах некоторые бывшие академики кончили своидни на гильотине. Вместе с депутатами-жирондистами был при-говорен к смерти Кондорсе. По «Закону о подозрительных» былказнен как откупщик Лавуазье. На эшафоте погиб и Байи, кото-рого Лаплас пытался спрятать у себя в доме в Мелене.

Лаплас вернулся в Париж после термидорианского переворотаосенью 1794 года. Наряду с Лагранжем и другими крупнейшимиучеными он занял место профессора в Нормальной школе. Этоучебное заведение нового типа было задумано еще при Конвен-те; оно было призвано готовить преподавателей и ученых для


всей Франции. Привлечение крупных ученых в качестве препо-давателей было новинкой. Позднее для подготовки инженеров настоль же высоком уровне была создана Политехническая школа.Лаплас читал лекции и там. Он становится президентом Пала-ты мер и весов, активно сотрудничает в Бюро долгот, созданномдня упорядочения астрономо-геодезических измерений и службывремени.

В 1795 году Директория учредила Национальный институтнаук и искусств (во Франции его часто называют просто «Инсти-тут»). Институт делился на разряды. Первым был назван разрядфизических и математических наук.

Генерал Бонапарт всячески поддерживал контакты с Институ-том, принимал активное участие в работе отделения геометрии.Во время Египетского похода свои прокламации он подписывал:«Бонапарт, главнокомандующий, член Института».

В 1799 году вышли два первых тома «Небесной механики», иЛаплас — буквально за несколько дней до переворота 18 брюмера(12 ноября) — подарил первый том Наполеону. В ответе генераласказано: «С благодарностью принимаю, гражданин, присланныйВами экземпляр Вашего прекрасного труда. Первые же шесть ме-сяцев, которыми я буду иметь возможность располагать, пойдутна то, чтобы прочесть Ваше прекрасное произведение».

После установления консулата Наполеон решает предоставитьпост министра внутренних дел ученому. Выбор пал на Лапласа,вероятно, ввиду его большой известности и личного знакомствас Наполеоном. Однако деятельность Лапласа на посту министрабыла малоуспешной. В отличие от своих коллег по кабинету Та-лейрана и Фуше, Лаплас не сумел вовремя сориентироваться, ку-да направлены помыслы консула, покровительствовавшего нау-кам. Не без наивности преследует он роялизм и религию: «Неупускайте ни одного случая доказать вашим согражданам, чтосуеверие не больше роялизма выиграет от перемен, происшедших18 брюмера» (из циркуляра министра Лапласа). Прошло немно-гим более месяца, и Наполеон заменил Лапласа своим братомЛюсьеном. В воспоминаниях Наполеона, написанных на островесв. Елены, сказано: «Первоклассный геометр вскоре заявил се-бя администратором более чем посредственным; первые его шагина этом поприще убедили нас в том, что мы в нем обманулись.


Замечательно, что ни один из вопросов практической жизни непредставлялся Лапласу в его истинном свете. Он везде искал тон-кости, мелочи; идеи его отличались загадочностью; наконец, онвесь был проникнут духом ”бесконечно малых“ , который он вно-сил и в администрацию».

Тем не менее обмен любезностями между Бонапартом и Ла-пласом не прекратился. Став Первым консулом, Наполеон на-значает Лапласа пожизненным членом «Охранительного сената».(Впрочем, никакой роли в политической жизни этот сенат не иг-рал.) С 1803 года Лаплас — канцлер сената. В числе немногихактов сената была отмена—по докладу Лапласа—революционно-го календаря. Учреждается орден Почетного Легиона, и Лаплас—в числе первых его кавалеров. В 1808 году он — граф империи.

Тем временем Лаплас продолжает работать над «Небесной ме-ханикой». В 1802 году выходит третий том, посвященный На-полеону — «герою, умиротворителю Европы, которому Францияобязана своим процветанием, своим величием и самой блестящейэпохой своей славы». В ответе Наполеона говорится: «Истинносожалею, что сила обстоятельств удалила меня от ученого попри-ща». Несколько позже уже император Наполеон напишет: «Мнекажется, что ”Небесная механика“ возвышает блеск нашего ве-ка». 12 августа 1812 года, находясь под Смоленском, Наполеонполучает «Аналитическую теорию вероятностей» и вновь сожа-леет: «В иное время, располагая досугом, я с интересом прочиталбы Вашу ”Теорию вероятностей“ ». И далее: «Распространение,усовершенствование математических наук тесно соединены с бла-годенствием государства».

Наполеон активно вмешивается в деятельность Института.В 1801 году для членов Института ввели обязательную форму.Члены Института выстраивались после мессы в шеренгу в го-стиной Тюильри для представления императору. В это времяимператору можно было передать научные труды и получить его«отеческие» наставления. Покровительствуя точным наукам, онс недоверием относился к гуманитарным. В 1803 году Наполеонликвидировал в Институте разряд моральных и политическихнаук. Когда до него дошли слухи, что в разряде французскогоязыка и словесности ведутся разговоры о политике, он заявилСегюру: «Вы председательствуете во втором разряде Института.


Я приказываю Вам передать ему, что я не желаю, чтобы на засе-даниях говорили о политике. Если разряд не будет повиноваться,я сломаю его, как негодную тросточку».

В 1814 году перед падением Парижа сенат проявил неожидан-ную активность: по инициативе Талейрана он призвал Бурбонов.Лаплас подписался под этим решением одним из первых. Во вре-мя «Ста дней» он не покидал провинции.

При Реставрации разряды Института снова получили наиме-нование академий. Академия наук безропотно удалила из своихрядов неугодных монархии Монжа и Карно. На Лапласа же по-сыпались почести. В первый год правления Людовика XVIII онстановится маркизом и пэром Франции, получает Большой КрестПочетного Легиона. В 1816 году он — президент бюро долгот ипредседатель комиссии по реорганизации Политехнической шко-лы, его выбирают в «Академию бессмертных» — редкое отличиедля представителя точных наук. Выступления Лапласа в палатепэров были редкими, бесцветными и бескомпромиссно монархи-ческими. Когда часть Института протестовала против введенияКарлом X цензуры, Лаплас в печати открестился от этого проте-ста. Сен-Симон негодовал: «Господа, изучающие неорганизован-ную материю, бесконечно малые величины, алгебру и арифмети-ку! Кто дал вам право занимать теперь передовые позиции?. . . Вывынесли из науки только одно наблюдение, именно, что тот, ктольстит великим мира, пользуется их благосклонностью и щедро-тами».

Сохранилось много рассказов о поведении Лапласа в Акаде-мии наук. Вот два из них.

Араго и Пуассон претендовали на одно место в Академии. Ла-плас заявил, что надо отдать предпочтение более старшему Пуас-сону. Произошел резкий обмен мнениями.

Л а г р а н ж. Но Вы сами, господин де Лаплас, были избраныв члены Академии, когда не сделали еще ничего выдающегося,подавали только надежды, и все Ваши великие открытия былисделаны уже позднее.

Л а п л а с. А я все-таки считаю, что на звание академика нуж-но указывать молодым людям как на будущую награду, чтобыпоощрять их усилия.

Г а л л е. Вы похожи на кучера, который привязывает клок


сена к концу дышла своей повозки для приманки лошадей. Та-кая хитрость кончается тем, что лошади выбиваются из сил иоколевают.

Лапласу пришлось уступить.В другой раз, в 1822 году, Фурье и Био баллотировались на

должность непременного секретаря. Лаплас взял два бюллетенявместо одного. Его сосед увидел, что он на обоих написал имя Фу-рье. После этого Лаплас положил бюллетени в шляпу, попросилсоседа выбрать один из них, другой разорвал и громко заявил,что он не знает, кому из кандидатов отдал свой голос.

После смерти Лагранжа в 1813 году влияние Лапласа в Акаде-мии наук сделалось особенно сильным. В 1826 году, за год до смер-ти Лапласа, в Париже появился юный Абель. Он пишет: «Итак,

”Небесная механика“ закончена. Автор такого труда может с удо-влетворением оглянуться на путь, который он прошел в науке».В другом месте: «Очевидно, что любая теория Лапласа гораздовыше всего, что может создать какой-либо математик меньшегомасштаба. Мне кажется, что, если желаешь чего-нибудь достиг-нуть в математике, нужно изучать мастеров, а не подмастерьев».

Небесная механика. Начало научной деятельности Лапласа при-ходится на сложное время. Завершился большой этап в постро-ении анализа бесконечно малых. Задач, вокруг которых концен-трировались бы усилия крупнейших математиков, не было. Мно-гим казалось, что дни чистой математики сочтены. Даже разно-сторонний Лагранж, алгебраические работы которого опередилисвое время, в какой-то момент прекратил занятия математикой.«Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится отчасти купадку? Ее поддерживаете только Вы и Эйлер», — писал он Да-ламберу в 1772 году.

В этих условиях центр интересов переместился в сторону при-кладной математики, где бесспорное первенство было за пробле-мой построения теории движения небесных тел на основе законавсемирного тяготения.

Предыстория этой проблемы такова. В начале XVII векаКеплер, продумывая с точки зрения теории Коперника скру-пулезные наблюдения Тихо Браге, сформулировал три закона,которым подчиняется движение планет вокруг Солнца. Гени-


альная догадка Ньютона заключалась в том, что эти законыявляются следствием единого универсального закона всемирноготяготения, который управляет и взаимодействием небесных тел, иземным притяжением. Земная и небесная механика объединились.В рамках закона тяготения удалось объяснить движение Луны,приливы и отливы, предварение равноденствий и другие эффек-ты. Но теория Ньютона нелегко завоевывала признание. В неене верили Гюйгенс и Лейбниц. Иоганн Бернулли потратил многосил на объяснение эллиптичности орбит, не использующее законатяготения. Во Франции Ньютону противостояли последователиДекарта, имевшие противоположную точку зрения по большин-ству вопросов. Например, в рассмотрениях Ньютона было важно,что Земля сплющена, а измерения французских геодезистов (ока-завшиеся ошибочными) показывали, что она вытянута у полюсов.Вольтер шутил в 1727 году: «. . . в Париже Землю считают вытя-нутой у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква.».

В одном отношении позиция противников Ньютона была силь-ной. Тщательный анализ наблюдений показывал, что законыКеплера выполняются лишь приближенно, а небольшие откло-нения могут с течением времени накопиться и резко нарушитьустойчивость Солнечной системы. Ньютон не видит возможностиразобраться в этих «вековых» возмущениях: «. . . едва заметныенеравенства, могущие происходить от взаимодействия планети комет 〈. . .〉, вероятно, будут увеличиваться в течение весьмадолгого времени, до тех пор, пока, наконец, система не будетнуждаться в приведении ее в порядок руками Творца». В ответна это Лейбниц заметил: «Ньютон и его приверженцы имеютчрезвычайно забавное представление о божественном творении.С их точки зрения Бог должен время от времени заводить своимировые часы. . . Бог создал такую несовершенную машину, чтоон должен по временам очищать ее от грязи и даже чинить,как часовщик исправляет свою работу». Математические трудно-сти состояли в том, что при выводе законов Кеплера из законаНьютона имеют дело с задачей двух тел (Солнце и планета).Желание учесть влияние хотя бы еще одного объекта приводитк задаче трех тел, решить которую в общей ситуации не удаетсяпо сей день.

Деятельность Ньютона продолжили Эйлер, Клеро, Даламбер.


Эйлер занимался возмущениями в движении Юпитера и Сатурна.Все трое дали свой вариант теории движения Луны. Клеро вывелуравнения для задачи трех тел, но отступил со словами: «Пустьинтегрирует, кто сможет». Наиболее эффектным результатом бы-ло предсказание Клеро точного времени возвращения кометы Гал-лея. Ее ждали в 1758 году, но вычисления Клеро показывали, чтопод влиянием притяжения Юпитера она «задержится» более чемна год. Эйлер и Клеро построили теорию движения Земли с уче-том возмущающего действия других планет.

С 70-х годов XVIII века задачами об аномалиях в Солнечнойсистеме начинает интересоваться Лагранж. С них же начинаетмолодой Лаплас. Эйлер и Даламбер разобрались с рядом эффек-тов, связанных со взаимным притяжением Юпитера и Сатурна,но одно явление оставалось необъясненным. Это так называе-мые «большие неравенства», открытые в 1676 году Галлеем из со-поставления современных наблюдений с наблюдениями древних.Оказалось, что движение Юпитера медленно, но систематическиускоряется, а Сатурна — замедляется.

Лаплас, как до него Эйлер и Лагранж, ищет приближенноерешение задачи трех тел, рассматривая бесконечный ряд возму-щающих членов. Для получения приближенной формулы надорешить, сколько членов в этом ряду оставить и какова погреш-ность от отбрасывания остальных членов. Для простых рядовтакие упражнения проделывают студенты. К ряду для возмуще-ний непонятно было, как и подойти. Лаплас рассчитывает, чтоможно достигнуть успеха, подбирая нужное число членов и по-стоянно сопоставляя полученный результат с данными наблю-дений: «Чрезвычайная трудность задач, относящихся к системемира, принудила геометров прибегнуть к приближениям, при ко-торых всегда можно опасаться, как бы отбрасываемые величиныне оказали заметного влияния. Когда наблюдения указывали имна такое влияние, они снова обращались к их анализу; при про-верке они всегда находили причину замеченных отклонений; ониопределяли их закон, открывая неравенства, которые еще не былиуказаны наблюдениями. Таким образом, можно сказать, что самаприрода содействует аналитическому совершенствованию теорий,основанных на принципе всемирного тяготения». В случае Юпи-тера и Сатурна заметные аномалии возникают из-за того, что


через каждые 5 оборотов Юпитера и 3 оборота Сатурна планетызанимают почти то же самое положение и возмущения накаплива-ются. Все же, как показывают вычисления Лапласа, возмущенияне накапливаются неограниченно; они являются не «вековыми»,а периодическими с огромным периодом (913 лет). Итак, хотякомпенсация происходит крайне медленно, наступит время, когдадвижение Юпитера начнет замедляться, а Сатурна — ускоряться.

С загадкой Галлея о «больших неравенствах» удалось покон-чить к 1784 году. «Когда я выяснил эти неравенства и определилс большим вниманием, чем это делалось до сих пор, те, которыебыли уже вычислены, я убедился, что все наблюдения, древниеи современные, представлены моей теорией во всей их точности.Прежде они казались необъяснимыми при помощи закона всемир-ного тяготения; теперь же они служат одним из наиболее яркихего подтверждений. Такова судьба этого блестящего открытия:всякое затруднение, которое возникало тут, превращалось в еготоржество, и это является вернейшим признаком его соответствияистинной системе природы».

Много усилий потребовалось от Эйлера, Даламбера, Клеродля построения теории движения Луны, согласующейся с наблю-дениями. Главный эффект, который требовалось объяснить,— этобыстрое (на 41 в год) перемещение эллиптической орбиты. Вы-числения всех троих давали перемещение, не превышающее 20.Лишь в 1849 году Клеро удалось уточнить вычисления настоль-ко, что получилось нужное перемещение (а уже всерьез думалио поправочных членах в законе Ньютона!). Однако оставаласьеще одна «мелочь», замеченная все тем же Галлеем в 1693 го-ду. Анализируя «Альмагест» Птолемея и средневековые сведенияо затмениях, он достоверно показал, что движение Луны ускоря-ется.

Эту загадку Лаплас разрешил в 1787 году. В ускорении оказа-лось повинно ранее обнаруженное долгопериодическое колебаниеэксцентриситета земной орбиты: когда эксцентриситет уменьша-ется (орбита становится более похожей на окружность), средняяскорость движения Луны увеличивается. Еще одно возмущение,казавшееся «вековым», оказалось долгопериодическим!

Лаплас не пропускает ни одной загадки астрономии. Он имелправо сказать: «Потомство, вероятно, с благодарностью увидит,


что новейшие геометры не передали ему ни одного астрономиче-ского явления, не определив его законов и причины». Он пока-зывает, что кольца Сатурна не могут быть сплошными, а самапланета сильно сжата (Гершель подтверждает это наблюдениямиеще при жизни Лапласа). Лаплас существенно уточняет теориюприливов, показывает при помощи теории возмущений, как на-блюдения над Луной можно использовать для определения аст-рономической единицы (расстояния от Земли до Солнца), дляуточнения формы Земли.

Разумеется, Лаплас не прошел мимо задачи о спутниках Юпи-тера, которая была традиционной для всех великих астрономов стех пор, как эти спутники были открыты Галилеем. В 1774 годуэта задача была выбрана Академией наук в качестве темы дляпремии. В 1789 году Лаплас строит теорию движения спутниковЮпитера, учитывающую влияние Солнца и их взаимодействия.

Главной задачей, волновавшей Лагранжа и Лапласа в течение1773 – 1784 годов, была задача устойчивости Солнечной систе-мы в целом. Были систематически исследованы возмущения длявсех планет, и хотя строгого доказательства устойчивости не бы-ло получено, согласование всех кажущихся аномалий с теориейтяготения было бесспорным. Доверие к теории возмущений бы-ло таково, что, когда обнаружились необъяснимые отклонения вдвижении Урана, Леверрье решился объяснить их существовани-ем новой планеты.

«Пять геометров: Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лапласразделили между собой тот мир, существование которого открылНьютон. Они исследовали его во всех направлениях, прониклив области, которые считались недоступными, указали множествоявлений в этих областях, которые еще не были открыты наблю-дением, и, наконец, — в этом их вечная сила, — они охватили спомощью одного принципа, одного-единственного закона, самыетонкие и таинственные явления в движении небесных тел. Такимобразом, геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ходбудущих событий подтвердит во всех подробностях заключениянауки» (Араго).

Публикации Лапласа делятся на два этапа: непосредственныесообщения о полученных результатах в 70 – 80-е годы и их систе-матизация и дополнение в пятитомной «Небесной механике». Для


Лапласа характерно, что он с невероятной силой пробивался к ре-шению конкретной задачи, не отвлекаясь на формирование и си-стематизацию аппарата. Противоположностью ему был Лагранж,который тратил много сил на доведение метода до формализма,пригодного для решения широкого круга задач. Поэтому совре-менный учебник теоретической механики пестрит именем Лагран-жа, а имя Лапласа можно найти лишь в историческом очерке.

«Был ли то вопрос либрации Луны или проблема теории чи-сел, Лагранж, по большей части, видел лишь математическуюсторону дела; поэтому он придавал большое значение элегант-ности формул и обобщенности методов. Для Лапласа, наоборот,математический анализ был орудием, которое он приспособлял ксамым разнообразным задачам, всегда подчиняя данный специ-альный метод сущности вопроса. Быть может, потомство скажет,что один был великим геометром, а второй — великим филосо-фом, который стремился познать природу, заставляя служить ейсамую высокую геометрию» (Пуассон).

Отношения между Лапласом и Лагранжем были непростые.Честолюбивое желание Лапласа быть первым математиком Фран-ции постоянно наталкивалось на высочайший авторитет Лагран-жа, переехавшего в Париж в 1788 году. По многочисленным сви-детельствам современников, Лаплас болезненно воспринимал по-хвалы Лагранжу. Поведение Лагранжа в самых трудных ситуа-циях было безупречным, в то время как многие поступки Лапласавызывали нарекания. Сохранение корректных отношений междуЛапласом и Лагранжем — в большой степени плод терпимостиЛагранжа. Характерно, что в посмертной речи Фурье о Лапла-се ничего не говорится о моральных качествах Лапласа; в то жевремя в ней, как ни странно, много говорится о высочайших че-ловеческих качествах Лагранжа.

Торопливый, без попыток выделить внутренние пружиныстиль мог обмануть даже специалиста. В качестве курьеза мож-но привести мнение Пуансо, ученика Лапласа: «Лаплас никогдане видел истину, разве только случайно. Она прячется от этоготщеславного человека, который говорит о ней только в неясныхвыражениях. Однако он пытается превратить эту неясность вглубокомыслие, а своим затруднениям он придает благородныйвид вынужденной заботы, как человек, который боится сказать


слишком много и разгласить секрет, которого у него никогда небыло». Про то, как часто у Лапласа встречается «легко видеть»,ходили легенды. Био, читавший корректуры «Небесной механи-ки», и Боудич (переводчик на английский язык) рассказываюто часах и днях, требовавшихся для заполнения пробелов, Са-мому Лапласу это тоже не всегда удавалось без напряженныхразмышлений (свидетельство Био).

Система мира. В Мелене Лаплас написал популярную книгу «Из-ложение системы мира», вышедшую в 1796 году. В этой книгеизлагалась гипотеза Лапласа о происхождении Солнечной систе-мы. Лаплас, последователь Ньютона, «не измышлявшего гипо-тез», предлагает свои соображения «с осторожностью, подобаю-щей всему, что не представляет результата наблюдений или вы-числений». Лаплас описывает развитие Солнечной системы какзамкнутый процесс, не требующий вмешательства внешних сил.

Известна легенда о разговоре, состоявшемся между Наполео-ном и Лапласом, дарящим свою книгу:

Н а п о л е о н. Гражданин Лаплас, Ньютон в своей книге гово-рил о Боге. В вашей же книге, которую я уже посмотрел, я невстретил имени Бога ни разу.

Л а п л а с. Гражданин Первый консул, я не нуждался в этойгипотезе.

Слова Лапласа часто воспринимаются как демонстрация ате-изма, хотя, по-видимому, здесь речь идет и о том конкретномобстоятельстве, что построения Лапласа не нуждаются во внеш-них факторах ни в гипотезе о возникновении Солнечной системы,ни в вопросе об ее устойчивости.

По гипотезе Лапласа все начинается с газовой туманности,вращающейся вокруг оси; туманность, остывая, сначала сплю-щивается вдоль экваториальной плоскости, а затем рассыпаетсяна кольца на месте нынешних орбит планет (за счет уравнове-шивания центробежной силы и силы тяготения). Разнообразныенеустойчивости в движении частичек кольца, их взаимное притя-жение приводят к слипанию частиц в планеты. Аналогично про-исходит образование системы спутников планет, причем примерСатурна показывает, что иногда слипание частиц кольца моглоне произойти. Основные моменты модели Лапласа: все враще-


ния происходят в одну сторону (отвечающую направлению пер-воначального вращения туманности), траектории близки к круго-вым, а их плоскости близки к экваториальной плоскости туманно-сти, по мере удаления от центра период вращения увеличивается.

Первые удары по гипотезе Лапласа были нанесены Гершелемеще при жизни Лапласа: у Урана обнаружились спутники с «об-ратным» направлением вращения и с плоскостями орбит, почтиперпендикулярными плоскости орбиты планеты. Далее число про-тиворечий стало быстро расти. Гипотезу многократно пыталисьпоправить, включить в более сложные построения.

Гипотеза Лапласа сыграла огромную роль в истории космого-нии как первая гипотеза, опирающаяся на большой объем точныхфактов механики и астрономии (предшествовавшие ей гипотезыБюффона и Канта этим требованиям не удовлетворяли, хотя име-ется много точек соприкосновения между гипотезой Лапласа инеизвестной ему гипотезой Канта). Еще в начале XX века Пуан-каре писал о гипотезе Лапласа: «Для ее возраста на ней не такуж много морщин».

«Уточненный здравый смысл». Так образно назвал Лаплас тео-рию вероятностей. Это вторая научная любовь Лапласа, которойон оставался верен в течение всей своей научной деятельности,начиная с первых работ 1774 года.

Стиль занятий Лапласа в этой области отличен от того, кото-рый был характерен для автора «Небесной механики». Здесь нетни одной большой задачи и много времени уделяется осмыслива-нию того, что было сделано прежде, начиная с задачи о дележеставок, стоявшей у истоков теории вероятностей.

В центре внимания находится закон больших чисел Я.Бернул-ли, состоящий в том, что при большом числе испытаний частотасобытия в некотором смысле приближается к его вероятности. От-правляясь от результата Муавра, Лаплас получает оценку вероят-ности того, что это отклонение велико. Это одна из центральныхтеорем теории вероятностей — теорема Муавра – Лапласа. Ее до-казательство использует средства математического анализа, чтобыло новинкой для теории вероятностей.

Лаплас оценил и сделал достоянием науки результаты англий-ского священника Байеса об оценке вероятности конкурирующих


гипотез, если известны результаты их проверок.Результаты деятельности Лапласа были подытожены в его

«Аналитической теории вероятностей», вышедшей при его жизнитремя изданиями (первое — в 1812 году). Здесь уделяется многоместа созданию аппарата, прежде всего — методу производящихфункций, применяющемуся ныне далеко за пределами теориивероятностей. От Лапласа идет «классическое определение» ве-роятности, при котором события определяются как множестваравновероятных случаев: «Теория вероятностей состоит в све-дении всех событий одного и того же рода к некоторому числуравновероятных случаев, то есть случаев, относительно осуществ-ления которых мы в равной мере не осведомлены, и в определениичисла тех случаев, которые благоприятны для события, вероят-ность которого мы ищем».

Наряду с книгой для «знатоков» Лаплас пишет книгу для ши-рокой публики. Это его «Опыт философии теории вероятностей»,выросший из лекций, читанных в Нормальной школе в 1795 году,и помещенный во второе издание «Аналитической теории вероят-ностей» (1814 год).

Лаплас был одним из первых авторов, который в книге потеории вероятностей приводил примеры не только из азартныхигр, но и из реальной статистики. Так, он приводит цифры, пока-зывающие, что число писем во Франции, не доставленных из-заотсутствия на них адреса, практически не меняется год от года.

Точка зрения Лапласа состоит в том, что вероятностные рас-смотрения нужны только там, где часть информации неизвестна:«. . . мы должны рассматривать настоящее состояние Вселеннойкак следствие ее предыдущего состояния и как причину последу-ющего. Ум, которому были бы известны для какого-либо данногомомента все силы, одушевляющие природу, и относительное по-ложение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказалсядостаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, об-нял бы в одной формуле движения величайших тел Вселеннойнаравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ниче-го, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же каки прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческийв совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нампредставление о слабом наброске того разума». Гипотетическое


существо, о котором говорится в цитате, называют сейчас демо-ном Лапласа.

Размышления Лапласа по теории вероятностей в значительнойстепени стимулировались его занятиями астрономией и космого-нией. Но его волновала также роль случая в общественной жизни.Чаще всего его высказывания по этому поводу не содержат кон-кретных вычислений. Вот пример: «Не будем противополагатьбесполезного и часто опасного сопротивления неизбежным след-ствиям прогресса просвещения, но будем лишь крайне осторожноменять наши учреждения и обычаи, к которым мы давно уже при-менились. Мы хорошо знаем по опыту прошлого те неудобства,которые они представляют, но мы не знаем, как велико будет зло,которое может причинить их изменение. При такой неизвестноститеория вероятностей предписывает избегать всякого изменения;особенно следует избегать внезапных изменений, которые в нрав-ственном порядке, как и в физическом, никогда не происходят безбольшой потери живой силы».

Был один вопрос, на формализацию которого Лаплас рассчи-тывал, — применение теории вероятностей к судопроизводству.Отправной является точка зрения, что абсолютно достоверноерешение в суде невозможно, а нужно заботиться лишь о том,чтобы решение было правильным с наибольшей вероятностью.Она восходит к Кондорсе и тесно связана с практикой судопро-изводства при революции. Позиция Лапласа более осторожна,и все же он считает, что нужно вычислять вероятность «того,что решение суда, который может осудить только при данномбольшинстве, будет справедливо, то есть будет соответство-вать истинному решению поставленного вопроса», и поскольку«большая часть наших суждений основана на вероятности сви-детельских показаний, очень важным является подчинить ихисчислению». Предполагалось включить в оценки политическиесимпатии судей, степень запутанности дела, интеллектуальныехарактеристики судей и т. д. Жизнь показала ошибочность иобщественную опасность таких исчислений.

В 1899 г. во время пересмотра дела Дрейфуса в военном судебыли представлены «доказательства» его виновности, основанныена вероятностных вычислениях некоего Бертильона. Заключениеоб их достоверности дал Анри Пуанкаре: «. . . Даже если бы эти


расчеты оказались точными, в любом случае не было бы спра-ведливого заключения, потому что применение исчисления веро-ятностей к моральным наукам является скандалом для матема-тики, поскольку Лаплас и Кондорсе, которые умели хорошо счи-тать, дошли до результатов, лишенных всякого здравого смысла!».

В тридцатые годы в Советском Союзе прокуроры школы Вы-шинского тоже говорили о вероятности преступления, но до вы-числения вероятностей, кажется, дело не доходило.

Мы имели возможность остановиться лишь на важнейшихнаправлениях научной деятельности Лапласа. Многое осталосьза пределами нашего рассказа: работы по капиллярности, зву-ку и свету, математические результаты, следы которых сохра-нились в названиях «преобразование Лапласа» и «уравнениеЛапласа» и т. д.

Недавно ученые имели возможность еще раз оценить прозор-ливость Лапласа. В «Изложении системы мира» приводится до-казательство того, что «сила притяжения небесного тела моглабы быть столь велика, что от него не будет исходить свет». Этопроизойдет, если у тела будет та же плотность, что и у Зем-ли, а диаметр равен 250 диаметрам Солнца. Другими словами,первая космическая скорость в поле тяготения этого тела пре-вышает скорость света. Таким образом, Лаплас был первым, ктообратил внимание на возможность существования «черных дыр».

Жизнь Лапласа в значительной степени отражает сложностьэпохи, в которую он жил. Однако через всю своею жизнь он про-нес верность науке, ни при каких обстоятельствах не прерываязанятий. Роль Лапласа в истории науки трудно переоценить.

«. . . Лаплас был рожден для того, чтобы все углублять, ото-двигать все границы, чтобы решать то, что казалось неразреши-мым. Он кончил бы науку о небе, если бы эта наука могла бытьокончена». (Фурье)

КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ

Не считать ничего сделанным, если еще кое-что осталосьсделать. Гаусс

В 1854 г. здоровье тайного советника Гаусса, как его именова-ли коллеги по Геттингенскому университету, решительно ухудши-лось. Не могло быть и речи о продолжавшихся в течение двадцатилет ежедневных прогулках от Обсерватории до Литературногомузея. Профессора, приближавшегося к восьмидесятилетнему ру-бежу, удалось уговорить обратиться к врачу! Летом ему сталолучше и он даже присутствовал на открытии железной дорогиГанновер — Геттинген. В январе 1855 г. Гаусс соглашается пози-ровать художнику Геземану для медальона. По заказу Ганновер-ского двора уже после смерти ученого в феврале 1855 г. по этомумедальону была изготовлена медаль. На медали под барельефомГаусса было написано: Mathematicorum princeps (Король матема-тиков). История всякого настоящего короля должна начинатьсяс детства, овеянного легендами. Гаусс в этом смысле не был ис-ключением.

1. Дебют Гаусса

«Упорство, с которым Гаусс следовал по избранному им пути,бурный юношеский натиск, с которым он каждый раз, не взи-рая ни на что, преодолевал самые крутые подъемы, ведущие кцели, все эти трудные испытания закаляли его силы и делалиего способным, после победы над препятствиями, уже устранен-ными другими, неудержимо идти вперед, опережая их. К этойхвале творческой самодеятельности я должен присоединить дру-гое: похвалу юности. Я этим хочу сказать только то, что раз-витие математического гения подчиняется тем же законам, что

308

Дебют Гаусса 309

Молодой Гаусс (1803 г.)

и развитие всякой другой твор-ческой способности. Для гени-ально одаренной личности го-ды юности, период, когда толькочто завершается процесс физи-ческого роста, являются эпохойвеликих, в изобилии сменяющихдруг друга откровений; именнов эти годы гениально одаренныйдух создает те новые, ему одномупринадлежащие ценности, кото-рые им будут впоследствии пре-поднесены миру» (Ф. Клейн).

Брауншвейг, 1777 – 1795. Гауссне получил свой титул по наслед-ству, хотя его отец Гергард Ди-дерих не был вовсе чужд мате-матике. Мастер на все руки, пре-жде всего фонтанный мастер, нотакже и садовник, как его отец,

Гергард Дидерих был известен своими успехами в счетном ремес-ле. Его услугами пользовались купцы во время ярмарок в Браун-швейге и даже Лейпциге, а еще он имел постоянный заработок всамой большой похоронной кассе Брауншвейга (место, которое онпередал по наследству сыну от первого брака Георгу—отставномусолдату).

Карл Фридрих родился 30 апреля 1777 г. в доме 1550, чтостоял на канале Венденгребене в Брауншвейге. По мнению био-графов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а отродных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущемуученому дядя Фридерихс — искусный ткач, в котором, по словамплемянника, «погиб прирожденный гений». Гаусс говорил о себе,что он «умел считать раньше, чем говорить». Самая ранняя ма-тематическая легенда о нем утверждает, что в три года он следилза расчетами отца с каменщиками-поденщиками и неожиданнопоправил отца, причем оказался прав.

В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную

310 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, пер-вые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В тре-тий класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учи-лись там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходи-лось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разнойподготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинныезадания на вычисление, с тем чтобы иметь возможность беседо-вать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди ко-торых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральныечисла от 1 до 100. (Разные источники называют разные числа!)По мере выполнения задания ученики должны были класть настол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывалсяпри выставлении оценок. 10-летний Гаусс положил свою доску, ед-ва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению,лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: пока дик-товалось задание, Гаусс успел переоткрыть формулу для суммыарифметической прогрессии! Слава о чудо-ребенке распространи-лась по маленькому Брауншвейгу.

В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основнойобязанностью которого было чинить перья младшим ученикам,работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имев-ший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинаютзаниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконеч-ными рядами. . .

Как тесен мир! Через некоторое время Бартельс получит ка-федру чистой математики в Казанском университете и будетучить математике Лобачевского.

В 1788 г. Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учатматематике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удоволь-ствием занимается языками и делает такие успехи, что даже незнает, кем он хочет стать—математиком или филологом. О Гауссеузнают при дворе. В 1791 г. его представляют Карлу Вильгель-му Фердинанду — герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает водворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря по-кровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 г. поступить вГеттингенский университет. Первое время он слушает лекции пофилологии и почти не посещает лекций по математике. Но это неозначает, что он не занимается математикой. Приведем слова Фе-


ликса Клейна, замечательного математика, глубокого исследова-теля научного творчества Гаусса: «Естественный интерес, какое-то, я сказал бы, детское любопытство приводит впервые мальчиканезависимо от каких-либо внешних влияний к математическим во-просам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета.Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорствоми неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упраж-нениям в действиях над числами, например, над десятичнымидробями с невероятным числом знаков, он не только достигаетизумительной виртуозности в технике счета, которой он отличал-ся всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальнымчисловым материалом, он приобретает такой богатый опыт и та-кую широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладалкто-либо до или после него. Путем наблюдений над своими чис-лами, стало быть, индуктивным, «экспериментальным» путем онуже рано постигает общие соотношения и законы. Этот метод,стоящий в резком противоречии с современными навыками мате-матического исследования, был, однако, довольно распространенв XVIII столетии и встречается, например, также у Эйлера. . . Всеэти ранние, придуманные только для собственного удовольствиязабавы ума являются подходами к значительной, лишь позже осо-знанной цели. В том-то именно и заключается подсознательнаямудрость гения, что он уже при первых пробах сил, полуиграя,еще не сознавая всего значения своих действий, попадает, так ска-зать, своей киркой как раз в ту породу, которая в глубине своейтаит золотоносную жилу. Но вот наступает 1795 год, о котороммы имеем более точные показания. . . С еще большей силой, чемдо сих пор (все еще до геттингенского периода), его охватываетстрастный интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то нибыло литературой, он должен был все создавать себе сам. И здесьон вновь проявляет себя как незаурядный вычислитель, прола-гающий пути в неизвестное. Гаусс составляет большие таблицыпростых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражаетдроби 1/p от p = 1 до p = 1000 десятичными дробями, доводяэти вычисления до полного периода, что в иных случаях требова-ло несколько сотен десятичных знаков. При составлении послед-ней таблицы Гаусс задался целью изучить зависимость периодаот знаменателя p. Кто из современных исследователей пошел бы


этим странным путем, чтобы получить новую теорему! Гаусса жепривел к цели именно этот путь, по которому он шел с неимовер-ной энергией. (Он сам утверждал, что отличается от других людейтолько своим прилежанием.) Осенью 1795 г. Гаусс переезжает вГеттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в егоруки литературу: Эйлера и Лагранжа».Открытие, которого ждали две тысячи лет. 1 июня 1796 г. в газете«Jenenser Intelligenzblatt» появилась заметка следующего содер-жания:

«Всякому начинающему геометру известно, что можно геомет-рически (т. е. циркулем и линейкой) строить разные правильныемногоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятна-дцатиугольник и те, которые получаются из каждого из них путемпоследовательного удвоения числа его сторон. Это было известново времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распростра-нено убеждение, что дальше область элементарной геометрии нераспространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попыткираспространить ее в эту сторону.

Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие,что, кроме этих правильных многоугольников, может быть гео-метрически построено множество других, например семнадцати-угольник».

Под заметкой стоит подпись: К. Ф. Гаусс из Брауншвейга, сту-дент-математик в Геттингене.

Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде чем по-дробно рассказывать о нем, освежим в памяти то, что «известновсякому начинающему геометру».О построениях циркулем и линейкой. Предполагается заданнымотрезок единичной длины. Тогда при помощи циркуля и линей-ки можно строить новые отрезки, длины которых получаются издлин имеющихся отрезков при помощи операций: сложения, вы-читания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Последовательно проводя эти операции, при помощи циркуляи линейки можно построить любой отрезок, длина которого вы-ражается через единицу конечным числом операций сложения,вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного кор-ня. Такие числа называются квадратичными иррациональностя-ми. Можно доказать, что никакие другие отрезки построить


при помощи циркуля и линейки нельзя.Задача о построении правильного n-угольника, как легко по-

нять, эквивалентна задаче о делении окружности радиуса 1 наn равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность,являются сторонами правильного n-угольника, и длина каждойиз них равна 2 sin(π/n). Следовательно, при тех n, для которыхsin(π/n) является квадратичной иррациональностью, можно по-строить правильные и-угольники циркулем и линейкой. Этомуусловию удовлетворяют, например, значения n = 3, 4, 5, 6, 10.Для n = 3, 4, 6 это хорошо известно.

Покажем, что sin(π/10) — квадратичная иррациональность.Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, угол при вер-шине B которого равен π/5 = 36, длина AB равна 1; пусть AD—биссектриса угла A. Тогда x = AC = AD = BD = 2 sin(π/10).Имеем

BD

DC=AB

AC;

x

1− x=

1x, x =

√5− 12

.

Это число является квадратичной иррациональностью; тем са-мым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.

Далее, из возможности деления окружности на p1p2 равныхчастей следует, конечно, возможность ее деления на p1 рав-ных частей (в частности, можно построить правильный пяти-угольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Ука-жем два частных случая, когда оно все же справедливо.

1) Из возможности деления окружности на p равных частейследует возможность деления на 2kp равных частей для любого k.Это следует из возможности деления любого угла пополам припомощи циркуля и линейки.

2) Если мы умеем делить окружность на p1 равных частей и p2

равных частей, где p1 и p2 взаимно просты (например, p1, p2 —различные простые числа), то окружность можно разделить наp1p2 равных частей. Это следует из того, что наибольшая общаямера углов 2π/p1 и 2π/p2 равна 2π/p1p2, а наибольшую общуюмеру двух соизмеримых углов можно найти циркулем и линейкой.В частности, 2π/15 = 1

2(2π/3−2π/5), откуда следует возможность

построения правильного 15-угольника.


Несколько слов о комплексных чис-лах. Нам нужно знать про ком-плексные числа совсем немного: опе-рации над ними и геометрическуюинтерпретацию. Напомним, что ком-плексному числу z = a+ ib ставитсяв соответствие точка с координатами(a, b) и вектор с концом в этой точкеи с началом в (0, 0). Длина вектораz = a + ib называется модулем дан-ного числа z. Комплексное число zможно записать в тригонометриче-

ской форме: z = a + ib = r(cosϕ + i sinϕ); угол ϕ называетсяаргументом числа z.

Сложению комплексных чисел соответствует сложение векто-ров; при умножении модули перемножаются, а аргументы скла-дываются. Отсюда следует, что существует ровно n корней урав-нения zn = 1; обычно их обозначают через

εk = cos2πkn

+ i sin2πkn

; k = 0, 1, . . . , n− 1. (17)

Легко показать, что концы векторов εk являются вершинами пра-вильного n-угольника. Если мы докажем, что εk — квадратичныеиррациональности (т. е. что этим свойством обладают их веще-ственные и мнимые части), то тем самым мы покажем, что пра-вильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и ли-нейки.

Правильные n-угольники и корни из единицы. Преобразуем урав-нение zn = 1:

zn − 1 = (z − 1)(zn−1 + zn−2 + . . .+ z + 1) = 0.

Получим два уравнения: z = 1 и

zn−1 + zn−2 + . . .+ z + 1 = 0. (18)

Уравнение (18) имеет своими корнями εk при 1 6 k 6 n − 1.В дальнейшем мы будем иметь дело с уравнением (18).


При n = 3 получаем уравнение z2 + z + 1 = 0. Его корни:

ε1 = −12

+ i

√3

2, ε2 = −1

2+ i

√3

2. При n = 5 дело обстоит сложнее,

так как мы получаем уравнение четвертой степени

z4 + z3 + z2 + 1 = 0, (19)

имеющее четыре корня ε1, ε2, ε3, ε4. Хотя и существует формулаФеррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользовать-ся ею практически невозможно. В нашем случае помогает специ-альный вид уравнения (19). Чтобы решить его, разделим сначалауравнение (19) на z2. Получим

z2 +1z2

+ z +1z

+ 1 = 0

или (z +

1z

)2+(z +

1z

)− 1 = 0.

Сделаем подстановку w = z + 1z:

w2 + w − 1 = 0. (20)

Отсюда

w1,2 =1±

√5

2Далее можно найти и εk из уравнений

z +1z

= w1, z +1z

= w2, (21)

но нам это не нужно; для построения достаточно знать, что удво-енная вещественная часть ε1 равна

2 cos(2π/5) = ε1 + ε4 = ε1 +1ε1

= w1 =1 +

√5

2.

Из того, что w1 — квадратичная иррациональность, следует, чтоε1 и ε4 представляют собой квадратичные иррациональности. Дляε2 и ε3 рассуждаем в точности так же.


Итак, для n = 5 решение нашей задачи удалось свести к после-довательному решению двух квадратных уравнений: сначала ре-шается уравнение (20), корнями которого являются суммы ε1 +ε4и ε2 + ε3 симметричных корней уравнения (19), а затем из урав-нений (21) находятся и сами корни уравнения (19).

Именно таким путем Гауссу удалось осуществить построениеправильного 17-угольника: здесь тоже выделяются группы кор-ней, суммы которых находятся последовательно из квадратныхуравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находитудивительный путь ответить на этот вопрос. . .

Построение правильного 17-угольника. «30 марта 1796 года насту-пает для него (Гаусса) день творческого крещения. . . Гаусс ужезанимался с некоторого времени группировкой корней из единицына основании своей теории «первообразных» корней. И вот одна-жды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал,что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника. . .Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он при-нимает решение посвятить себя не филологии, а исключительноматематике» (Ф. Клейн).

Остановимся подробнее на пути, по которому двигался Гаусс.Одна из математических игр юного Гаусса состояла в следую-щем. Он делил 1 на различные простые числа p, выписывая по-следовательно десятичные знаки, с нетерпением ожидая, когдаони начнут повторяться. Иногда приходилось ждать долго. Дляp = 97 повторение начиналось с 97-го знака, при p = 337 периодравен 336. Но Гаусса не смущали длинные прямолинейные вычис-ления, он входил при их помощи в таинственный мир чисел. Гауссне поленился рассмотреть все p < 1000 (ср. приведенное выше вы-сказывание Клейна).

Известно, что Гаусс не сразу попытался доказать периодич-ность получающейся дроби в общем случае (p 6= 2, 5). Но, ве-роятно, доказательство не затруднило его. В самом деле, доста-точно лишь заметить, что следить надо не за знаками частного,а за остатками! Знаки начинают повторяться после того, как напредыдущем шагу остаток равнялся 1 (почему?). Значит, надонайти такое k, что 10k − 1 делится на p. Так как имеется лишьконечное число возможных остатков (они заключены между 1


и p − 1), для каких-то k1 > k2 числа 10k1 , 10k2 при делении на pдадут одинаковые остатки. Но тогда 10k1−k2 − 1 делится на p (по-чему?).

Несколько труднее показать, что в качестве k всегда можновзять p − 1, т. е. 10p−1 − 1 при p 6= 2, 5 всегда делится на p.Это частный случай теоремы, носящий название малой теоре-мы Ферма. Когда Ферма (1601 – 1655) открыл ее, он писал, чтоего «озарило ярким светом». Теперь ее переоткрыл юный Гаусс.Он всегда будет ценить это утверждение: «Эта теорема 〈. . .〉 за-служивает величайшего внимания как вследствие ее изящества,так и ввиду ее выдающейся пользы». Гаусса интересует наимень-шее k, для которого 10k− 1 делится на p. Такое k всегда являетсяделителем p − 1. Иногда оно совпадает с p − 1 (например, дляp = 7, 17, 19, 23, 29, 97, 337). До сих пор неизвестно, конечно илибесконечно число таких p. Гаусс заменяет 10 на любое число aи интересуется, когда ak−1 − 1 не делится на при k < p − 1(предполагается, что a не делится на p). Такие a принято на-зывать первообразными корнями для p. Условие того, что a —первообразный корень, равносильно тому, что среди остатков отделения 1, a, a2, . . . , p−2 на p встречаются все ненулевые остатки1, 2, . . . , p− 1 (почему?). Гаусс не знал тогда, что первообразнымикорнями интересовался уже Эйлер (1707 — 1783), который пред-полагал (но не смог доказать), что для каждого простого числасуществует хотя бы один первообразный корень. Первое дока-зательство гипотезы Эйлера дал Лежандр (1752 — 1833); оченьизящное доказательство дал Гаусс. Но это было позднее, а покаГаусс манипулировал с конкретными примерами. Он знал, напри-мер, что для p = 17 число 3 является первообразным корнем.В приводимой ниже таблице в первой строке стоят значения k, апод ними остатки от деления 3k на 17. Обратите внимание, чтовторой строке встречаются все остатки от 1 до 16, что и означаетпервообразность 3 для 17.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6

Эти вычисления и легли в основу группировки корней уравнения

z16 + z15 + z14 + . . .+ z + 1 (22)


Рис. 32.

(с тем, чтобы свести решение его к цепочке квадратных урав-нений). Идея Гаусса состоит в том, что надо перейти к другойнумерации корней. Присвоим корню εk новый номер l (обознача-ется ε[l]), если 3l при делении на 17 дает остаток k. При переходеот одной нумерации к другой можно пользоваться таблицей, на-ходя k во второй строке, а соответствующее l над ним в первойстроке, но удобнее пользоваться рисунком, где по внешней сторонеокружности написаны старые номера, а по внутренней — новые.Именно эта нумерация позволила Гауссу, разбивая корни (22) нагруппы, свести решение (22) к цепочке квадратных уравнений.

Именно, на первом шагу берутся σ2,0, σ2,1 — соответственносуммы корней ε[l] с четными и нечетными l (в каждой сумме по8 корней). Эти суммы оказываются корнями квадратного уравне-ния с целочисленными коэффициентами. Далее, берутся суммыσ4,0, σ4,1, σ4,2, σ4,3 четверок корней ε[l], у которых l при деле-нии на 4 дает фиксированный остаток. Показывается, что этивеличины являются корнями квадратных уравнений, у которыхкоэффициенты арифметически выражаются через σ2,0, σ2,1. На-конец, образуются суммы σ8,i пар корней ε[l], у которых l приделении на 8 дает остаток i. Для них выписываются квадратные


уравнения с коэффициентами, просто выражающимися через σ4,j .Имеем: σ8,0 = 2 cos(2π/17) и из квадратичной иррациональностиσ8,0 следует возможность построения правильного 17-угольникациркулем и линейкой. Поучительно записать разбиение корнейна группы в старой нумерации. Согласитесь, что в таком видеугадать разбиение невозможно! Теперь реализуем только что опи-санный путь.

Подробные вычисления. Мы докажем квадратичную иррацио-нальность корней 17-й степени из единицы. Отметим, что εkεl =εk+l (если k + l > 17, то k + l заменяется остатком от его деленияна 17), εk = (ε1)k. Прежде всего заметим, что

ε1 + ε2 + . . .+ ε16 = ε[0] + ε[1] + . . .+ ε[15] = −1.

(В этом можно убедиться, например, рассматривая это выраже-ние как сумму геометрической прогрессии.)

Обозначим через σm,r сумму ε[k] с теми k, которые дают оста-ток r при делении на m. Получаем

σ2,0 = ε[0] + ε[2] + ε[4] + . . .+ ε[14];

σ2,1 = ε[1] + ε[3] + ε[5] + . . .+ ε[15].

Ясно, что

σ2,0 + σ2,1 = ε[0] + ε[1] + . . .+ ε[15] = −1.

Можно показать, что

σ2,0 · σ2,1 = 4(ε[0] + ε[1] + . . .+ ε[15]).1

Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем составитьквадратное уравнение, корнями которого будут σ2,0 и σ2,1:

x2 + x− 4 = 0, x1,2 =−1±

√17

2.

1В этом можно убедиться, проводя непосредственные перемножения и учи-тывая, что εk · εl = εk+l, причем удобно пользоваться рисунком на с. 318.Однако ниже будет указан способ избежать этих утомительных выкладок.


Чтобы различить корни, опять воспользуемся рисунком на с. 318.В каждую из сумм корни входят вместе со своими сопряженными.Ясно, что σ2,0 > σ2,1 (в первом случае нужно сложить и удвоитьвещественные части корней ε1, ε2, ε4, ε8, во втором — ε3, ε5, ε6,ε7). Итак,

σ2,0 =√

17− 12

, σ2,1 =−√

17− 12

.

Рассмотрим суммы четверок корней:

σ4,0 = ε[0] + ε[4] + ε[8] + ε[12],

σ4,1 = ε[1] + ε[5] + ε[9] + ε[13],

σ4,2 = ε[2] + ε[6] + ε[10] + ε[14],

σ4,3 = ε[3] + ε[7] + ε[11] + ε[15].

Имеем: σ4,0 + σ4,2 = σ2,0; σ4,1 + σ4,3 = σ2,1. Можно показать да-лее, что σ4,0 · σ4,2 = σ2,0 + σ2,1 = −1, а значит, σ4,0, σ4,2 — корниуравнения x2 − σ2,0x − 1 = 0. Решая это уравнение и учитывая,что σ4,0 > σ4,2 (см. рис. на с. 318), получаем после несложныхпреобразований

σ4,0 =14

(√17− 1 +

√34− 2

√17),

σ4,2 =14

(√17− 1−

√34− 2

√17).

Аналогично показывается, что

σ4,1 =14

(−√

17− 1 +√

34 + 2√

17),

σ4,3 =14

(−√

17− 1−√

34 + 2√

17).

Переходим к заключительному этапу. Положим

σ8,0 = ε[0] + ε[8] = ε1 + ε16,

σ8,4 = ε[4] + ε[12] = ε4 + ε13.


Можно было бы рассмотреть еще шесть такого рода выражений,но нам они не потребуются, так как достаточно доказать квадра-тичную иррациональность σ8,0 = 2 cos(2π/17), что уже позволя-ет построить правильный 17-угольник. Имеем σ8,0 + σ8,4 = σ4,0,σ8,0 · σ8,4 = σ4,1; из рисунка видно, что σ8,0 > σ8,4, а потому σ8,0 —больший корень уравнения x2 − σ4,0 + σ4,1 = 0, т. е.

σ8,0 = 2 cos(2π/17) =12

(σ4,0 +

√σ2

4,0 − 4σ4,1

)=

=18

(√17− 1 +

√34− 2

√17)

+

+14

√17 + 3

√17−

√170 + 38

√17.

Мы несколько преобразовали непосредственно получаемое выра-жение для

√σ2

4,0 − 4σ4,1, однако не будем утомлять читателя вос-произведением этих простых выкладок.

Пользуясь полученной формулой для cos(2π/17), построе-ние правильного 17-угольника можно выполнить при помощиэлементарных правил построения выражений, являющихся квад-ратичными иррациональностями. Разумеется, получится весьмагромоздкая процедура. В настоящее время известны довольнокомпактные способы построения. Один из них будет приведен(без доказательства) в приложении. В одном отношении формуладля cos(2π/17) не оставляет сомнения. Прийти к ней в рамкахтрадиционных геометрических идей времени Евклида невозмож-но. Решение Гаусса принадлежало другой эпохе в математике.Отметим, что наиболее содержательное утверждение — принци-пиальная возможность построения правильного 17-угольника.Сама процедура построения не столь существенна. Для доказа-тельства возможности построения было достаточно убедиться,что на каждом шаге возникали квадратные уравнения с коэф-фициентами-квадратичными иррациональностями, не выписываяточных выражений (это становится особенно существенным припереходе к большим показателям).

В рассказанном решении уравнения (22) остался совершенноневыясненным вопрос о том, почему оказалось удачным разбиение


корней, использующее нумерацию ε[l], как можно было догадать-ся положить ее в основу решения? Сейчас мы, по существу, ещераз повторим решение, обнажив ключевую идею — исследованиесимметрий в множестве корней.

Симметрии в множестве корней уравнения (22). Прежде всего, за-дача о корнях из единицы тесно связана с арифметикой остатковот деления на n (по модулю n). Действительно, если εn = 1, то εk —также корень n-й степени из единицы, причем число εk зависиттолько от остатка от деления k на n. Положим ε = ε1 (см. форму-лу (17)); тогда εk есть просто ε в степени k, поэтому εk · εl = εk+l,где сумма берется по модулю n (остаток от деления на n); в част-ности, εk · εn−k = ε0 = 1.

3адача 1. Если p— простое число и δ — любой комплексный ко-рень p-й степени из единицы, то множество δk, k = 0, 1, . . . , p− 1,содержит все корни p-й степени из единицы.

Указание. Нужно доказать, что в этом случае для всякого 0 << m < p среди остатков от деления чисел km, k = 0, 1, . . . , p − 1на содержатся все числа 0, 1, . . . , p− 1.

Обозначим через Tk следующее преобразование (возведение встепень k): Tkεl = (εl)k = εlk.

Задача 2. Докажите, что если n = p— простое число, то каждоеиз преобразований k (k = 1, 2, . . . , p − 1) осуществляет взаимнооднозначное отображение множества корней на себя (т. е. множе-ство Tkε0, Tkε1, . . . , Tkεp−1 совпадает с множеством всех корнейε0, ε1, . . . , εp−1).

Задача 1 показывает, что для всякого 1 6 l 6 p − 1 множе-ство Tkε0, Tkε1, . . . , Tkεp−1 совпадает с множеством всех корней.Из задач 1 и 2 следует такой вывод: составим таблицу, в ко-торой на пересечении k-й строки и l-го столбца стоит Tkεl,1 6 k, l 6 p− 1; тогда в каждой строке и каждом столбце сто-ят все корни ε1, ε2, . . . , εp−1 в некотором порядке без повторений.Отметим, что Tp−1εl = ε−l = (εl)−1. Тем, кто знает определе-ние группы, советуем проверить, что преобразования Tk образуютгруппу относительно умножения Tk · Tl = Tkl.

Далее мы рассматриваем случай p = 17. Будем говорить,что множество корней M инвариантно относительно преобра-


зования Tk, если Tkεl ∈ M для всех εl ∈ M . Относительновсех преобразований Tk инвариантно лишь множество всех кор-ней ε1, ε2, . . . , ε16.

Кардинальная догадка заключается в том, что группа корнейтем «лучше», чем большее число преобразований оставляет этугруппу инвариантной.

Введем для Tk еще одну нумерацию T[l], как это было сделанодля εk: T[l] = Tk, k = 3l. В новых обозначениях T[k]ε[l] = ε[k+l],T[m](T[k]ε[l]) = T[m+k]ε[l] (сумму в квадратных скобках надо братьпо модулю 16).

Читатель, конечно, обнаружит аналогию с переходом к лога-рифмам, что не удивительно, так как ε[l] = ε3l .

Задача 3. Доказать, что если некоторое множество корней ин-вариантно относительно некоторого T[k], где k нечетно, то этомножество инвариантно относительно всех преобразований T[m],т. е. если оно не пусто, то совпадает с множеством всех корней.

Указание. Достаточно показать, что если k нечетно, то существу-ет такое m, что km дает при делении на 16 остаток 1.

С другой стороны, имеются две группы корней, инвариантныеотносительно всех T[k] с четными k: корни ε[l] с четными l и корнис нечетными l. Их суммы мы обозначили через σ2,0, σ2,1.

Ясно, что σ2,0 + σ2,1 = −1. Исследуем σ2,0 · σ2,1. Это произ-ведение является суммой попарных произведений ε[k]ε[l], где k—четное, l—нечетное, каждое из которых является некоторым кор-нем ε[m], а всего — 64 слагаемых. Мы покажем, что среди нихкаждый из корней ε[0], ε[1], . . . , ε[15] встречается одинаковое числораз (четыре раза), а в результате σ2,0 · σ2,1 = −4. Воспользуем-ся тем, что преобразования Tk сохраняют группы корней при kчетном и переводят их одна в другую при k нечетном. Каждоеслагаемое в σ2,0 · σ2,1 однозначно представимо в виде ε[m]ε[m+r],где 0 6 m 6 15, r = 1, 3, 5, 7 (докажите!). Сгруппируем слагаемые


с одинаковыми r. Полученные суммы будут иметь вид

ε[0]ε[r] + ε[1]ε[r+1] + ε[2]ε[r+2] + . . .+ ε[15]ε[r+15] =

= T[0](ε[0]ε[r]) + T[1](ε[0]ε[r]) + . . .+ T[15](ε[0]ε[r]) =

= T[0]ε[r] + T[1]ε[r] + . . .+ T[15]ε[r] =

= ε[0] + . . .+ ε[15] = −1.

Мы воспользовались тем, что

T[m]ε[k] · T[m]ε[l] = T[m](ε[k]ε[l])

и уже упоминавшимися свойствами T[m].Значения σ2,0, σ2,1 найдены выше.Переходим к следующему шагу. Мы хотим ввести в рассмотре-

ние новые, меньшие группы корней, инвариантные относительнокаких-нибудь T[k]. По аналогии с задачей 3 можно показать, чтопри этом k обязательно должно делиться на 4. Поэтому имеют-ся четыре группы корней, инвариантные относительно всех T[4l] именьшие, чем уже рассмотренные; запишем суммы корней в каж-дой группе: σ4,0, σ4,1, σ4,2, σ4,3. Мы уже отмечали, что σ4,0+σ4,2 =σ2,0; σ4,1 + σ4,3 = σ2,1.

Вычислим произведение σ4,0 · σ4,2; оно представляется в ви-де суммы 16 слагаемых вида ε[4k]ε[4l+2]. Каждое такое слагае-мое однозначно записывается в виде ε[2m]ε[2m+2r], r = 1, 3, m =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сгруппируем слагаемые с одним r и заметим, чтоε[0]ε[2] = ε1ε9 = ε10 = ε[3], ε[0]ε[6] = ε[1]ε[15] = ε[8]. При r = 1 полу-чаем сумму

T[0]ε[3] + T2ε[3] + . . .+ T[14]ε[3] = σ2,1;

при r = 3—сумму∑

k T[2k]ε[8] = σ2,0, т. е. σ[4,0] ·σ[4,2] = σ2,0 +σ2,1 == −1. Решая квадратные уравнения, мы нашли σ[4,0] · σ[4,2].

На последнем шаге мы рассмотрим группы корней, инвариант-ные относительно T[8]; их восемь. В частности, σ8,0 + σ8,4 = σ4,0.Вычислим σ8,0 · σ8,4. Учитывая, что ε[0] · ε[4] = ε1ε13 = ε[14] = ε9,получаем σ8,0 · σ8,4 = T[0]ε[9] + T[4]ε[9] + T[8]ε[9] + T[12]ε[9] = σ4,1.Это позволило найти σ8,0 = 2 cos(2π/17) и тем самым закончитьрешение.


Мы видели, что рассуждение Гаусса целиком построено наиспользовании преобразований, переставляющих корни. Первым,кто обратил внимание на роль таких преобразований в вопросахразрешимости уравнений, был Лагранж (1736 — 1813). Вероятно,Гаусс в этот период еще не был знаком с работами Лагранжа.Позднее Галуа (1811 — 1832) положил изучение этих преобразова-ний в основу замечательной теории, ныне носящей его имя. Посуществу для уравнения деления круга Гаусс построил теориюГалуа в полном объеме.

Возможные обобщения и простые числа Ферма. Если не стремить-ся получить явное выражение для корней, а доказывать лишь ихквадратичную иррациональность, то выкладки можно почти пол-ностью опустить, обыгрывая лишь соображения инвариантности.Именно, σ2,0 · σ2,1 — сумма каких-то корней ε[l], а поскольку этасумма переходит в себя под действием всех преобразований T[k],все корни входят в нее одинаковое число раз, а значит σ2,0 ·σ2,1 —целое число. Аналогично, σ4,0 ·σ4,2 не меняется при всех преобра-зованиях вида T[2k], а потому является комбинацией σ2,j ; σ8,0 ·σ8,4

сохраняется всеми T[4k], а значит, является комбинацией σ4,j .Это сокращенное рассуждение позволяет выявить, на какие

простые p обобщается доказательство Гаусса квадратичной ирра-циональности корней p-й степени из 1. Анализ показывает, что мыпользовались лишь тем, что p − 1 = 2k (на каждом шаге группыделились пополам), и нумерацией корней, опирающейся на перво-образность 3 для простого числа 17. Для нумерации можно былопользоваться любым первообразным корнем. Как мы уже отме-чали, для любого простого p хотя бы один первообразный кореньсуществует (кстати, можно показать (докажите!), что 3 являетсяпервообразным корнем для всех p вида 2k + 1). Заметим также,что если p = 2k + 1 — простое число, то k = 2r. Итак, доказа-на возможность построения циркулем и линейкой правильногоp-угольника для всех простых p вида 22r

+ 1.Простые числа вида 22r

+1 имеют свою историю. Эти простыечисла принято называть числами Ферма. Ферма предполагал, чтовсе числа такого рода являются простыми. Действительно, приr = 0 получаем 3, при r = 1 — 5, при r = 2 — 17. Далее при r = 3получается 257, при r = 4 — 65 537. Оба эти числа простые. При


r = 5 получается число 4294967297. Ферма и у него не обнаружилпростых делителей, но Эйлер выяснил, что Ферма «просмотрел»делитель 641. Сейчас известно, что числа Ферма являются состав-ными при r = 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 18, 23, 36, 38, 73 (например, приr = 73 имеется простой делитель 5 · 275 + 1). Имеется гипотеза,что существует лишь конечное число простых чисел Ферма.

Что касается правильных n-угольников для составного n, тов силу обстоятельств, отмеченных выше (с. 313), мы сразу по-лучаем возможность искомого построения для всех n > 2 вида2kp1p2 . . . pl, где p1, p2, . . . , pl — различные простые числа Ферма.Замечательно, что других n, для которых возможно построение,вообще не существует. Доказательство этого утверждения Гауссне опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не позволя-ют провести этого доказательства, мы думаем, что надо все жена это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать ещедругих случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией, на-пример, не надеялся бы свести на геометрические построения (т. е.на построения циркулем и линейкой — С. Г.) деление окружностина 7, 11, 13, 19, . . . частей и не тратил бы зря своего времени».Из результата Гаусса следует принципиальная возможность по-строения правильного p-угольника при p = 257 и 65537, однаковычисление корней, не говоря уже о явном описании построения,требует колоссальной, но совершенно автоматической работы. За-мечательно, что нашлись желающие ее провести не только приp = 257 (Ришело это сделал в сочинении из 80 страниц; есть сведе-ния, что это построение проделал и сам Гаусс), но и при p = 65537(решение, полученное Гермесом, содержится в чемодане солид-ных размеров в Геттингене). Вот какую шутку придумал по этомуповоду английский математик Дж. Литтлвуд: «Один навязчивыйаспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему:«Идите и разработайте построение правильного многоугольникас 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через20 лет с соответствующим построением».Заключительные замечания. Мы уже отмечали, что день 30 марта1796 г., когда было найдено построение правильного 17-угольника,определил судьбу Гаусса. Ф. Клейн пишет:

«С этой даты начинается дневник. . . Перед нашими глазамипроходит гордый ряд великих открытий в арифметике, алгебре и


анализе. . . И среди всех этих проявлений, мощных порывов гени-ального духа, можно сказать, трогательно находить до мелочейдобросовестно выполненные ученические работы, от которых неосвобождены и такие люди как Гаусс. Мы находим здесь запи-си добросовестных упражнений в дифференцировании, и непо-средственно перед делением лемнискаты здесь встречаются совер-шенно банальные подстановки в интегралах, в которых долженупражняться любой студент».

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом ма-тематического открытия. Один из создателей неевклидовой гео-метрии Янош Бойяи (1802—1860) называл его «самым блестящимоткрытием нашего времени или даже всех времен». Только труднобыло это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину ве-ликого норвежского математика Абеля (1802—1829), доказавшегонеразрешимость в радикалах уравнения 5-й степени, мы знаем отрудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 г.Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс—величайший гений,он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли. . . » Онрешает не встречаться с Гауссом, но позднее пишет из Франции:«Мне в конце концов удалось приподнять завесу таинственности,окружавшую до сих пор теорию деления круга, созданную Гаус-сом. Теперь ход его рассуждений ясен мне, как божий день». Ра-бота Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой«столько замечательных теорем, что просто не верится». Он соби-рается в Германию, чтобы «взять Гаусса штурмом». Несомненновлияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первомуоткрытию на всю жизнь:

«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей мо-гилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что оннашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара —3 : 2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в па-мятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Этопоказывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию.На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воз-двигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольномпостаменте, правда, едва заметном зрителю» (Г. Вебер).


Приложение. Приведем выдержку из книги Г. Кокстера «Введе-ние в геометрию» (М.: Наука, 1966, с. 49), содержащую рецептРичмонда для построения правильного 17-угольника: Соединимточку P0 с точкой J , лежащей на радиусе OB на расстоянии OB/4от центра. На диаметре, проходящем через точку P0, выберем точ-ки E и F так, чтобы ∠OJE был равен четверти угла OJP0, а∠FJE был равен 45. Пусть окружность, построенная на FP0

как на диаметре, пересекает OB в точке K и пусть окружность сцентром и радиусом EK пересекает OP0 в точках N3 (между Oи P0) и N5. Восставим перпендикуляры к OP0 в этих двух точкахдо пересечения с первоначальной окружностью в точках P3 и P5.Тогда дуга P3P5 (и равная ей дуга P1P3) равна 2

17окружности.

В доказательстве несколько раз используется тот факт, что корниуравнения x2 + 2x · ctg 2α− 1 = 0 равны tgα и − ctgα.

2. Золотая теоремаЯ случайно натолкнулся на одну изумительную арифметиче-скую истину, и, так как она не только показалась мне прекрас-ной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и сдругими выдающимися фактами, я со всей энергией взялсяза то, чтобы выяснить принципы, на которых она основыва-ется, и получить строгое ее доказательство. После того какэто желание, наконец, осуществилось, прелесть этих иссле-дований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оста-вить. Гаусс

30 марта 1796 г., в день когда был построен правильный 17-угольник, начинается дневник Гаусса — летопись его замечатель-ных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 ап-реля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы, которую он

Золотая теорема 329

назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказалиФерма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу,неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс на-шел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс ещене знал о работах своих великих предшественников. Весь нелег-кий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!

Все началось с детских наблюдений. Иногда, глядя на оченьбольшое число, можно сразу сказать, что из него нельзя точноизвлечь квадратный корень. Например, можно воспользоватьсятем, что квадраты целых чисел не могут оканчиваться ни на 2,ни на 3, ни на 7, ни на 8. А иногда можно воспользоваться тем,что квадрат целого числа может либо делиться на 3, либо даватьостаток 1 (но никогда 2). Оба эти свойства имеют одну природу,поскольку последняя цифра—это остаток от деления на 10. Гауссаинтересует общая проблема: какими могут вообще быть остаткиот деления квадратов на различные простые числа. Исследуем имы этот вопрос.

Квадратичные вычеты. Всюду ниже мы будем предполагать, чтоp— простое число, причем p 6= 2. Делить целые числа можно «снедостатком» или «с избытком». Иными словами, остатки можносчитать положительными или отрицательными. Условимся выби-рать остаток наименьшим по абсолютной величине.

Нетрудно доказать, что если p нечетно, то всякое целое число aединственным образом представляется в виде

n = pq + r, |r| 6 p− 12

, (23)

где q и r— целые.Будем называть r остатком от деления n на p или вычетом

числа n по модулю p. Это обозначается так:

n ≡ r (mod p).

Выпишем в табл. 1 вычеты1 для нескольких первых простых чи-сел p > 2. Нас интересует, какие вычеты (остатки) могут иметь

1То, что мы называем вычетом (остатком), обычно называют абсолютнонаименьшим вычетом (остатком). Мы сократили название, так как другихвычетов нам не встретится. Обозначение n ≡ r (mod p) также используетсяобычно в более общей ситуации: оно означает, что n − r делится на .


p k =p− 1

2Вычеты (остатки) по модулю p

3 1 −1 0 15 2 −2 −1 0 1 27 3 −3 −2 −1 0 1 2 311 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 513 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 617 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Таблица 1.

p k =p− 1

2Квадратичные вычеты и невычеты по модулю p

3 1 −1 0 15 2 −2 −1 0 1 27 3 −3 −2 −1 0 1 2 311 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 513 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 617 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Таблица 2.

квадраты целых чисел. Эти остатки мы будем называть квадра-тичными вычетами, а остальные — квадратичными невычетами.

Числа n2 и r2, где r — остаток числа n по модулю p, имеютодин и тот же остаток при делении на p. Поэтому, если мы хотимнайти квадратичные вычеты, то достаточно возводить в квадратлишь вычеты, т. е. целые числа r, |r| 6 k = (p − 1)/2. При этом,разумеется, достаточно рассматривать r > 0.

Проведем вычисления для простых чисел из предыдущей таб-лицы. Составим новую таблицу, в которой «жирные» числа отве-чают квадратичным вычетам (табл. 2).

Попытаемся подметить некоторые закономерности и оценитьстепень их общности. Во-первых, в каждой строке есть в точ-ности k + 1 жирное число. Покажем, что так обстоит дело для


всех простых p > 2. Из сказанного выше следует, что для каждогонечетного p (даже не простого) квадратичных вычетов не боль-ше k + 1. Мы покажем, что их точно k + 1, если убедимся, чтовсе числа r2 (0 6 r 6 k) дают при делении на p различные остат-ки. Если r1 > r2 и при этом r21 и r22 дают одинаковые остатки,то r21 − r22 делится на p. Поскольку p— простое число, то r1 + r2или r1 − r2 должно делиться на p, чего не может быть, так как0 < r1 + r2 < 2k < p. Здесь мы впервые воспользовались про-стотой p (покажите, что для составных чисел наше утверждениеневерно).Теорема Ферма и критерий Эйлера. Далее, очевидно, что 0 и 1являются жирными во всех строчках. Что касается остальныхстолбцов, то сразу не видна закономерность, согласно которой вних появляются жирные числа. Начнем с a = −1. Оно являетсяжирным при p = 5, 13, 17, . . . и не является при p = 3, 7, 11 . . . .Вы, может быть, заметили, что простые числа первой группыпри делении на 4 дают остаток 1, а второй — остаток −1 (заметь-те, что простые числа p 6= 2 других остатков вообще давать немогут) . Итак, можно предположить, что −1 является квадратич-ным вычетом для простых чисел вида p = 4l+ 1 и квадратичнымневычетом для p = 4l − 1. Эту закономерность первым заме-тил Ферма, однако оставил ее без доказательства. Попытайтесьнайти доказательство самостоятельно! Вы убедитесь, что главнаятрудность в том, что не видно, как воспользоваться простотой p,а без этого предположения утверждение становится неверным.

Первое доказательство после нескольких неудачных попытокнашел в 1747 г. Эйлер. В 1755 г. Эйлер нашел другое, очень изящ-ное доказательство, использующее «малую теорему Ферма»: Еслиp— простое число, то для всякого целого a, 0 < |a| < p,

ap−1 ≡ 1 (mod p). (24)

Доказательство. При p = 2 утверждение очевидно, и можносчитать p нечетным. Рассмотрим p чисел 0,±a,±2a,±3, . . . ,±ka;k = (p−1)/2. Все эти числа при делении на p дают разные остатки,так как в противном случае r1a − r2a, r1 > r2, |r1| 6 k, |r1| 6 k,делится на p, но a не делится на p и r1 − r2 не делится на p,так как 0 < r1 − r2 < p. Перемножим те из рассматриваемых чи-сел, которые отличны от нуля; получим (−1)k(k!)2ap−1. Поскольку


среди остатков сомножителей содержатся все ненулевые вычетыи учитывая правило вычисления остатка произведения, получа-ем, что произведение имеет тот же вычет, что и (−1)k(k!)2, т. е.(k!)2(ap−1−1) делится на p. Так как k! не делится на (0 < k < p),то на p делится ap−1 − 1, и доказательство окончено.

Следствие (критерий Эйлера квадратичности вычета). Вычет b 6=6= 0 является квадратичным тогда и только тогда, когда

bk ≡ 1 (mod p), k =p− 1

2. (25)

Доказательство. Необходимость условия (25) устанавливаетсялегко. Если a2 ≡ b (mod p), 0 < a < p, то a2k = ap−1 и bk должныиметь одинаковые вычеты, равные, в силу (25), единице. Доста-точность показывается сложнее. Мы выведем ее из следующейлеммы.

Лемма 1. Если P (x) — многочлен степени l, p— простое число иимеется более l различных вычетов r по модулю p, для которых

P (r) ≡ 0 (mod p), (26)

то (26) имеет место для всех вычетов.Доказательство будем вести индукцией по l. При l = 0 утвер-

ждение очевидно. Пусть оно справедливо для многочленов степе-ни не выше l−1. Пусть далее r0, r1, . . . rl, 0 6 rj < p, удовлетворя-ют сравнению P (r) ≡ 0 (mod p). Представим P (x) в виде P (x) =(x − r0)Q(x) + P (r0), где Q() — многочлен степени l − 1, а P (r0)делится на p. Тогда, поскольку P (r0) делится на p, (rj − r0)Q(rj)делится на p при 1 6 j 6 l. Так как rj − r0 не может делитьсяна p, то Q(rj) делится на p, а тогда по предположению индукцииQ(r) будет делиться на p при всех r. Следовательно, P (r) делитсяна p при всех r.

Применим лемму к многочлену P (x) = xk−1. Тогда соотноше-нию (26) удовлетворяет k ненулевых квадратичных вычетов. Од-нако имеется вычет (r = 0), не удовлетворяющий (26); значит, полемме, все квадратичные невычеты должны не удовлетворять (26)и, следовательно, условие (25) достаточно.


Замечание. Для квадратичного невычета b имеем: b(p−1)/2 ≡ −1(mod p).Действительно, если b(p−1)/2 ≡ r (mod p), то r2 ≡ 1 (mod p), от-куда r = −1. (Сравнению r2 ≡ 1 (mod p) удовлетворяют толькодва вычета: r ≡ 1 (mod p), r ≡ −1 (mod p).)

Критерий Эйлера позволяет мгновенно решить вопрос о том,для каких p вычет −1 является квадратичным. Подставляя в (25)b = −1, получаем, что при p = 4l + 1 соотношение (25) выполня-ется (k— четно), а при p = 4l− 1 — не выполняется (k— нечетно).Сформулированная выше гипотеза стала теоремой.

3адача 1. Доказать, что если p 6= 2 есть простой делитель числаn2 + 1, то p = 4l + 1.

Итак, мы доказали, что −1 — квадратичный вычет для p == 4l + 1 и квадратичный невычет для p = 4l − 1.

Обсудим некоторые особенности приведенного доказатель-ства. Это утверждение состоит из двух частей: отрицательноеутверждение для p = 4l − 1 и положительное для p = 4l + 1.В первом случае естественно пытаться найти некоторое свой-ство, которому квадратичные вычеты удовлетворяют, а −1 неудовлетворяет, что и сделал Эйлер. Найденное свойство оказа-лось характеристическим, т. е. одновременно удалось доказать ивторую часть гипотезы. Если вы пробовали доказать эту частьутверждения самостоятельно, то вы, вероятно, пытались явнопостроить по p = 4l + 1 число n2, дающее при делении на pостаток −1. Доказательство Эйлера неэффективно в том смысле,что оно не дает явной конструкции для числа n по p, а лишьутверждает его существование. Иными словами, гарантируется,что если мы будем перебирать числа 1, 2, . . . , 2l, возводить ихв квадраты, брать остатки от деления квадратов на p, то раноили поздно мы получим −1. Остается открытым вопрос, нельзяли указать более явную конструкцию n и p, не использующуюпроцедуры перебора. Положительный ответ дал Лагранж (1736—1813) в 1773 г., используя следующую теорему.

Теорема Вильсона.1 Если p = 2k + 1 есть простое число, то

(−1)k(k!)2 ≡ −1 (mod p). (27)1Вильсон (1741 — 1793) — юрист, изучавший математику в Кембридже.


Для доказательства этой теоремы воспользуемся леммой 1.Положим P (x) = (x2 − 1)(x2 − 4) . . . (x2 − k2), Q(x) = x2k − 1.Тогда R(x) = P (x) − Q(x) — многочлен степени не выше 2k − 1,который при x = ±1,±2, . . . ,±k делится на p (этим свойствомобладают P и Q). По лемме R(x) ≡ 0 (mod p) для всех x. Соб-ственно, новым фактом является лишь то, что R(0) ≡ 0 (mod ).Поскольку R(0) = (−1)k(k!)2 + 1, получаем (27).

Следствие Лагранжа. При p = 4l+1 имеем: [(2l!)]2 ≡ −1 (mod p).

Задача 2. Доказать, что если (27) верно, то p— простое число.Эта задача дает повод отметить, что в конструкции Лагранжа

простота p существенна.Выяснив, когда a = −1 является квадратичным вычетом, Эй-

лер, используя огромный числовой материал, пытается найти ана-логичные условия для других a. Он подмечает, что при a = 2 всезависит от остатка при делении p на 8; 2 оказывается квадратич-ным вычетом для простых p = 8l ± 1 и невычетом при = 8l ± 3(простое число p > 2 при делении на 8 может давать остатки±1,±3). Далее, 3 является квадратичным вычетом при p = 12l±1и квадратичным невычетом при p = 12l ± 5. Эйлер высказываетгипотезу, что и в общем случае все определяется остатком от де-ления p на 4a.

Гипотеза Эйлера.1 Число a одновременно является или квадра-тичным вычетом или квадратичным невычетом для всех про-стых чисел, входящих в арифметическую прогрессию 4aq + r,q = 0, 1, 2, . . .; 0 < r < 4a.

Ясно, что если 4a и r имеют общий делитель s > 1, то варифметической прогрессии не будет ни одного простого числа.Если же первый член и разность прогрессии взаимно просты, то,как утверждает теорема Дирихле (1805—1859), в этой прогрессииимеется бесконечное число простых чисел (обобщение теоремы обесконечности числа простых чисел в натуральном ряду).

Возвратимся к гипотезе Эйлера. Оказалось, что критерий Эй-лера, который сослужил нам добрую службу при a = −1, отка-зывает уже при a = 2. Эйлеру не удалось разобраться в этомслучае. Ему удалось доказать свою гипотезу, не считая a = −1,

1Гаусс назвал ее «золотой теоремой».


лишь при a = 3. Затем Лагранж, которого мы уже упоминали,доказал гипотезу при a = 2, 5, 7; Лежандр в 1785 г. предложилдоказательство гипотезы для общего случая, которое, однако, со-держало существенные пробелы.

Доказательство Гаусса. Вначале Гаусс, как и его предшественни-ки, замечает утверждение для a = −1, затем, уже угадав ре-зультат для общего случая, последовательно разбирает случайза случаем, продвинувшись дальше других: им рассмотрены a =±2,±3,±5,±7. Общий случай (гипотеза Эйлера) не поддался пер-вой атаке: «Эта теорема мучила меня целый год и не поддаваласьнапряженнейшим усилиям». Заметим, что это было то место, гдеГаусс «догнал» современную математику: усилия крупнейших ма-тематиков, пытавшихся доказать гипотезу Эйлера, были безре-зультатными.

Наконец, 8 апреля 1796 г. он находит общее доказательство,которое Кронекер (1823 — 1891) очень метко назвал «пробой силгауссова гения». Доказательство проводится двойной индукциейпо a и p; Гауссу приходится придумывать существенно различныесоображения для рассмотрения восьми (!) различных случаев.Нужно было иметь не только поразительную изобретательность,но и удивительное мужество, чтобы не остановиться на этом пути.Позднее Гаусс нашел еще шесть доказательств «золотой» теоремы(ныне их известно около пятидесяти). Как это часто бывает, послетого как теорема доказана, удается найти доказательства многоболее простые, чем первоначальное. Мы приведем здесь доказа-тельство, мало отличающееся от третьего доказательства Гаусса.В его основе лежит ключевая лемма, доказанная Гауссом не ранее1808 г.

Лемма 2. Пусть p = 2k + 1 — простое число, a— целое число,0 < |a| 6 2k; r1, r2, . . . , rk — вычеты чисел a, 2a, . . . , ka; ν — числоотрицательных среди них. Тогда

ak ≡ (−1)ν (mod p). (28)

Применяя критерий Эйлера, получаем такое следствие:

Критерий Гаусса квадратичности вычета. Вычет является квадра-тичным тогда и только тогда, когда фигурирующее в лемме 2число ν четно.


а)

б)

Рис. 33. а) p = 11 (k = 5), a = 7, ν = 3; б) p = 7 (k = 3), a = −5,ν = 2.

Доказательство леммы 2. Заметим, что все вычеты r1, . . . , rk раз-личны по абсолютной величине. Это следует из того, что сум-ма и разность любых двух из них не делится на p: ri ± rj =(i ± j)a, i 6= j, |i ± j| < p, |a| < p. Таким образом, набор моду-лей |r1|, . . . , |rk|— это числа 1, 2, . . . , k в некотором порядке. В ре-зультате a ·2a · . . . ·ka = akk! при делении на p дает тот же остаток,что и r1 . . . rk = (−1)νk!. Учитывая, что k! не делится на простоечисло p, получаем (28).

Доказательство гипотезы Эйлера. Заметим, что в приводимомрассуждении уже не используется простота p— она в полной ме-ре использована в лемме Гаусса. Отметим на числовой оси точ-киmp/2, если a > 0, и −mp/2, если a < 0 (рис. 33а, б). Занумеруеминтервалы с концами в этих точках по номерам левых концов.Отметим теперь крестиками точки a, 2a, . . . , ka; так как a — це-лое, не делящееся на p, то крестики не могут совпасть с ранееотмеченными точками, причем все крестики попадут в какие-тоиз построенных интервалов (|a|p/2 > |a|k). Легко заметить, чтофигурирующее в лемме число ν—это число крестиков, попавшихв интервалы с нечетными номерами (докажите!).

Подвергнем теперь нашу картинку преобразованию подобия скоэффициентом 1/a (рис. 33 перейдет в рис. 34). При этом точ-ки mp/2 перейдут в точки, делящие отрезок [0, p/2] на |a| равныхчастей, а крестики — в целочисленные точки 1, 2, . . . , k.

Нумерация интервалов теперь будет зависеть от знака a: приa > 0 они нумеруются номерами левых концов, при a < 0 —номерами правых концов; ν — число целочисленных точек в ин-тервалах с нечетными номерами. Если мы увеличим p на 4al, тов каждый интервал добавится точно 2l целых точек. Это следуетиз того, что при сдвиге интервала на целое число количество це-


а)

б)

Рис. 34.

Рис. 35. r = 1, a = 2, ν = 0; r = 3, a = 3, ν = 1; r = 5, a = 2, ν = 1;r = 7, a = 2, ν = 2.

лых точек в нем не меняется, а на любом отрезке целочисленнойдлины n или интервале длины n с нецелочисленными концамиимеется ровно n целых точек (докажите!). Итак, при замене p наp+4al величина ν изменится на четное число, а (−1)ν не изменит-ся. Значит, для всех p в арифметической прогрессии p = 4aq + rзначение (−1)ν одно и то же, и гипотеза Эйлера доказана.

Одновременно указан некоторый способ выяснить, являетсяли a квадратичным вычетом для p. Нужно взять остаток r от де-ления p на 4a (для удобства положительный); разделить (0, r/2)на |a| частей, занумеровав их номерами левых (правых) концов,если a положительно (отрицательно); сосчитать число ν целыхточек, попавших в интервалы с нечетный номерами; a— квадра-тичный вычет в том и только в том случае, когда ν четно.

Проделаем эти вычисления для a = 2, чтобы подтвердить на-блюдения Эйлера, о которых говорилось на с. 334. Пусть a = 2;тогда достаточно рассмотреть r = 1, 3, 5, 7, поскольку в остальныхслучаях арифметическая прогрессия не будет содержать простыхчисел. Как видно из рис. 35, число 2 является квадратичным вы-четом для p = 8q + 1, p = 8q + 7, т. е. p = 8q ± 1.


Рис. 36. p = 11, q = 5, a = (p+ q)/4, ν(p) = 2, ν(q) = 2.

Упражнение. Покажите, что −2 есть квадратичный вычет дляp = 8q + 1, p = 8q + 3.

Аналогично рассматривается случай = ±3. Приведем итогивычислений (таблица для ν):

r = 1 r = 3 r = 5 r = 7a = 3 0 1 1 2a = −3 0 1 2 3

Таким образом, 3—квадратичный вычет при p = 12l±1 (невы-чет при p = 12l±5), а (−3)—квадратичный вычет для p = 12l+1,p = 12l + 5.

Для случая a = 2, 3 вы, конечно, заметили еще одну законо-мерность: простые числа, имеющие при делении на 4a остатки,равные по абсолютной величине, одновременно являются либоквадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами. Этообстоятельство, разумеется, не осталось незамеченным для Эйле-ра, и он сформулировал гипотезу в более сильной форме, чем мыее привели.

Сформулируем теперь

Дополнение к гипотезе Эйлера. Пусть p и q — простые числа иp + q = 4a. Тогда a или является квадратичным вычетом и помодулю p, и по модулю q, или квадратичным невычетом и помодулю p, и по модулю q.Доказательство. Выполним построения, указанные при доказа-тельстве гипотезы Эйлера, для интервалов (0, p/2), (0, q/2), a == (p+ q)/4. Для удобства расположим интервалы так, чтобы ониимели точку 0 общей, находясь по разные стороны от нее; приэтом интервал (0, q/2) мы перевернем (рис. 36). Пусть ν(p), ν(q)—число целых точек в интервалах с нечетными номерами для p и qсоответственно. Нам достаточно доказать, что ν() + ν(q) четно.Пусть νj(p), νj(q) — число целых точек в соответствующих интер-


валах с номерами j. Легко видеть, что νj(p)+ νj(q) = 2 при j > 0,откуда и будет следовать нужный результат.

Действительно, на интервале между j-ми левой и правой точ-ками (j > 0) лежит 2j целых точек, поскольку, как мы уже отме-чали, на интервале длины 2j с нецелочисленными концами лежит2j целых точек.

Квадратичный закон взаимности. В 1798 г. Лежандр указал оченьудобное утверждение, эквивалентное гипотезе, — квадратичныйзакон взаимности. Введем обозначение — так называемый символЛежандра:(

a

p

)=

+1, если a— квадратичный вычет по модулю p,−1, если a— квадратичный невычет.

В силу критерия Эйлера (и замечания к нему, с. 333)(a

p

)≡ a(p−1)/2 (mod p). (29)

Отсюда сразу следует мультипликативное свойство символа Ле-жандра: (

ab

p

)=(a

p

)(b

p

). (30)

Отметим также, что символ Лежандра можно доопределить длявсех a, не делящихся на p, с сохранением (29), (30), полагая(

a+ p

p

)=(a

p

). (31)

Теперь мы можем сформулировать квадратичный закон вза-имности:Если p, q— нечетные простые числа, то(

p

q

)(q

p

)= (−1)

p−12· q−1

2 . (32)

Другими словами,(p

q

)и(q

p

)имеют противоположные знаки,


если p = 4l + 3, q = 4m+ 3, и совпадают в остальных случаях.Название закона связано с тем, что в нем устанавливается

«взаимность» между вопросами о том, когда p— квадратичныйвычет по модулю q и когда q— квадратичный вычет по модулю p.Доказательство. Всегда или p− q = 4a, или p+ q = 4a.

Случай 1. Пусть p − q = 4a, т. е. p и q имеют одинаковые

остатки при делении на 4. Тогда(p

q

)=(q + 4aq

)=(

4aq

)=(a

q

)(мы воспользовались (31), (30) и тем, что

(4q

)= 1 при всех q).

Далее,(q

p

)=(p− 4ap

)=(−4ap

)=(−1p

)(a

p

). В силу уже

доказанной гипотезы Эйлера(a

p

)=(a

q

), т. е.

(p

q

)=(q

p

)при(

−1p

)= 1 и

(p

q

)= −

(q

p

)при

(−1p

)= −1. Остается вспомнить,

что(−1p

)= 1 при p = 4l + 1,

(−1p

)= −1 при p = 4l + 3.

Случай 2. Пусть p + q = 4a, т. е. p и q имеют разные остатки

при делении на 4. Имеем(p

q

)=(

4a− q

q

)=(a

q

). Аналогично,(

q

p

)=(a

p

). В силу дополнения к гипотезе Эйлера

(a

p

)=(a

q

),

т. е.(p

q

)=(q

p

). Доказательство окончено. Нетрудно заметить,

что проведенные рассуждения можно обратить и вывести из квад-ратичного закона взаимности гипотезу Эйлера и дополнение к ней(проделайте это!). Отметим еще, что формулы (30) – (32) дают

способ вычисления(p

q

)существенно более простой, чем описан-

ный выше комбинаторный способ. Проиллюстрируем это на при-мере: ( 59

269

)=(269

59

)=(59 · 4 + 33

59

)=( 3

59

)·(11

59

)= −1,

так как( 3

59

)= −

(593

)= −

(23

)= 1;

(1159

)= −

(5911

)= −

( 411

)=

Королевские будни 341

= −1. Легко показать, что вычисление символа Лежандра всегдаможно свести к случаю, когда p или q равно 2.

Упражнение. Сосчитайте( 37

557

),( 43

991

).

В заключение отметим, что задача о квадратичных вычетахпослужила отправной точкой большой и плодотворной математи-ческой деятельности. Многочисленные попытки Гаусса получитьновые доказательства квадратичного закона взаимности далеконе в первую очередь диктовались желанием упростить доказа-тельства. Гаусса не оставляла мысль, что им по-настоящему невскрыты глубокие закономерности, следствием которых являет-ся закон взаимности. В полной мере это удалось сделать лишьпозднее, в рамках теории алгебраических чисел. Гаусс потратилмного сил на обобщение квадратичного закона на кубический ибиквадратный случаи, получив замечательные результаты. Этиисследования были продолжены, и изучение различных законоввзаимности остается одним из центральных вопросов теории чи-сел по сей день.

3. Королевские будни

Мы подробно рассказали о двух первых великих открытиях Гаус-са, сделанных им в Геттингене, на протяжении 10 дней, за месяцдо того, как ему исполнилось 19 лет. Второе из этих открытийцеликом относилось к арифметике (теории чисел), а первое в су-щественном опиралось на арифметические рассмотрения. Теориячисел — первая любовь Гаусса.

Любимейшая наука величайших математиков. Это один из много-численных эпитетов, которыми Гаусс наделял арифметику (тео-рию чисел). К тому времени арифметика из набора изолирован-ных наблюдений и утверждений уже превратилась в науку.

Позднее Гаусс напишет: «Главным образом, более поздним ис-следователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непре-ходящую славу, — таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр,мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой бо-жественной науки и показали, какими богатствами она наполне-на».


Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» за-ключается в том, что он в своих первых работах практически неопирался на достижения предшественников, переоткрыв за ко-роткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора векатрудами крупнейших математиков.

Гаусс использует пребывание в Геттингене для изучения тру-дов классиков, он переосмысливает их достижения, сопоставляетс тем, что он открыл сам. По его замыслу результаты этой де-ятельности должны были быть подытожены во всеобъемлющемтруде. К написанию этой книги Гаусс приступает после возвраще-ния в Брауншвейг в 1798 г. после окончания университета. В кни-гу должны были войти собственные результаты, все еще оставав-шиеся неопубликованными, если не считать газетной заметки, вкоторой кстати обещалось: «Это открытие является собственнолишь следствием одной еще не совсем законченной большой тео-рии. Как только она получит эту законченность, она будет пред-ложена публике». На осуществление грандиозного замысла ушлочетыре года напряженной работы.

В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования»Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного форма-та) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный законвзаимности, задачу деления круга, вопрос о представимости це-лых чисел в виде am2 + bmn + cn2 (в частности, в виде суммыквадратов). Книга была издана на средства герцога и ему по-священа. В изданном виде книга состояла из семи частей. Навосьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна былаидти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, вчастности — о биквадратичном законе взаимности. Полное дока-зательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября1813 г., причем в дневниках он отметил, что это совпало с рожде-нием сына.

Клейн писал: «В своих ”Арифметических исследованиях“Гаусс в полном смысле этого слова создал современную теориючисел и предопределил все ее дальнейшее развитие до нынешнегодня. Восхищение этим трудом возрастает еще больше, когда на-блюдаешь, как Гаусс без всякого внешнего побуждения с самогоначала черпает этот мир из самого себя».

За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по су-


ществу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумы-вал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например, онпридумал еще шесть разных доказательств квадратичного законавзаимности. «Арифметические исследования» сильно опередилисвое время. В процессе их создания Гаусс не имел серьезных мате-матических контактов, а вышедшая книга долго не была доступнаникому из немецких математиков. Во Франции, где можно былорассчитывать на интерес Лагранжа, Лежандра и др., книге не по-везло: обанкротился книготорговец, который должен был распро-странять книгу, и большая часть тиража пропала. В результатеученикам Гаусса приходилось позднее переписывать отрывки изкниги от руки. Положение в Германии стало меняться лишь в 40-х годах, когда Дирихле основательно изучил «Исследования» ичитал по ним лекции. А в Казань—к Бартельсу и его ученикам—книга попала в 1807 г.

«Арифметические исследования» оказали огромное влияниена дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Отталкиваясь отработы Гаусса о делении круга, Галуа пришел к решению вопросао разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности досих пор занимают одно из центральных мест в алгебраическойтеории чисел.

Гельмштадтская диссертация. В Брауншвейге Гаусс не имел лите-ратуры, необходимой для работы над «Арифметическими иссле-дованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, гдебыла хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил дис-сертацию, посвященную доказательству «основной теоремы ал-гебры» — утверждения о том, что всякий многочлен с комплекс-ными (в частности, с действительными) коэффициентами имееткомплексный корень (если хотеть оставаться в области действи-тельных чисел, то основную теорему алгебры можно сформули-ровать так: всякий многочлен с действительными коэффициента-ми раскладывается в произведение многочленов первой и второйстепени). Гаусс критически разбирает все предшествующие по-пытки доказательства и с большой тщательностью проводит идеюДаламбера. Безупречного доказательства все же не получилось,так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшемГаусс придумал еще три доказательства основной теоремы (по-


следний раз — в 1848 г.).

Лемниската и арифметико-геометрическое среднее. Расскажемеще об одной линии в работах Гаусса, начавшейся в детстве.В 1791 г., когда Гауссу было 14 лет, его занимала следующаяигра. Он брал два числа a0, b0 и строил для них среднее ариф-метическое a1 = (a0 + b0)/2 и среднее геометрическое b1 =

√a0b0.

Затем он вычислял средние от a1, b1: a2 = (a1 +b1)/2 , b2 =√a1b1,

и т. д. Гаусс вычислял обе последовательности с большим чис-лом знаков. Очень скоро он уже не мог различить an и bn —все вычисленные знаки совпадали. Другими словами, обе по-следовательности быстро стремились к общему пределу M(a, b)(называемому арифметико-геометрическим средним).

В те же годы Гаусс много возился с кривой, называемой лем-нискатой (или лемнискатой Бернулли),—множеством точек, про-изведение расстояний каждой из которых до двух фиксирован-ных точек O1, O2 (фокусов) постоянно и равно (O1O2/2)2. К си-стематическому изучению лемнискаты Гаусс перешел в 1797 г.Он долго пытается найти длину лемнискаты, пока не догадыва-ется, что она равна 2π

M(√

2, 2)O1O2. Мы не знаем, как Гаусс со-

образил это, но знаем, что было это 30 мая 1799 г. и что, неимея вначале доказательства, он сосчитал обе величины с один-надцатью (!) десятичными знаками. Гаусс придумал для лемнис-каты функции, аналогичные тригонометрическим функциям дляокружности. Например, для лемнискаты, расстояние между фо-кусами которой равно

√2, лемнискатный синус sl t— это просто

длина хорды, соответствующей дуге длины t. Последние годы


XVIII столетия у Гаусса уходят на построение теории лемнискат-ных функций. Для них были получены теоремы сложения и при-ведения, аналогичные теоремам для тригонометрических функ-ций.

От лемнискатных функций Гаусс переходит к их обобщению—эллиптическим функциям. Он понимает, что речь идет «о совер-шенно новой области анализа». После 1800 г. Гаусс уже не смогуделять эллиптическим функциям столько времени, сколько бы-ло необходимо для доведения теории до состояния, удовлетво-ряющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала онотказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать всеразом, как это было с его арифметическими работами. Однакозаботы так никогда и не доставили ему необходимого времени.

В 1808 г. он пишет своему другу и ученику Шумахеру:«С круговыми и логарифмическими функциями мы умеем те-перь обходиться как единожды один, но великолепный золотойродник, хранящий сокровенное высших функций, остается покапочти terra incognita1. Я очень много работал над этим преждеи со временем дам собственный большой труд об этом, на что янамекал еще в моих ”Арифметических исследованиях“ . Прихо-дишь в изумление от чрезвычайного богатства новых и в высшейстепени интересных истин и соотношений, доставляемых этимифункциями».

Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своихрезультатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу двамолодых математика — Абель и Якоби — опубликовали многое изтого, что было им получено.

«Результаты Якоби представляют часть моей собственнойбольшой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать. Онабудет представлять исчерпывающий труд на эту тему, если толь-ко небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мнесилы и душевный покой» (письмо Шумахеру).

«Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и пример-но на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большойстрогостью и изяществом. Абель шел тем же путем, что и я в1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получи-

1Неизведанная область (лат.).


ли столь похожие результаты. К моему удивлению, это сходствораспространяется даже на форму, а местами и на обозначения,поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Ночтобы никто не понял меня неправильно, я должен добавить, чтоне помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследова-ниях с кем-нибудь из посторонних» (письмо Бесселю).

Наконец, в письме Креллю: «Поскольку Абель продемонстри-ровал такую проницательность и такое изящество в вопросах из-ложения, я чувствую, что могу совершенно отказаться от опубли-кования полученных мной результатов» (май 1828 г.).

Следует отметить, что замечание Гаусса в «Арифметическихисследованиях» о том, что теорию деления круга можно перене-сти на лемнискату, оказало большое влияние на Абеля.

С наступлением нового века научные интересы Гаусса реши-тельно сместились в сторону от чистой математики. Он многораз эпизодически будет обращаться к ней и каждый раз полу-чать результаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал ра-боту о гипергеометрической функции. (Эта функция зависит оттрех параметров. Придавая им конкретные значения, можно по-лучить большинство функций, встречающихся в математическойфизике.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической ин-терпретации комплексных чисел. О его геометрических работахмы расскажем ниже. Однако никогда математика уже не будетглавным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г.Гаусс прекращает регулярно вести дневник (хотя отдельные за-писи появляются до 1814 г.). Мы редко отдаем себе отчет, каккороток был «математический век» Гаусса — менее 10 лет. Приэтом большую часть времени заняли работы, оставшиеся неиз-вестными современникам (эллиптические функции).Малые планеты. Расскажем теперь о новом увлечении Гаусса.Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс началзаниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что,начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия быланаиболее ярким местом приложения математики. Эта традициябыла продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа,Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математи-ки чувствовали себя как бы допущенными к тайнам мироздания.Гаусс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, не


мог, конечно, не попробовать своих сил на этом традиционномпоприще.

Впрочем, были причины и прозаические. Гаусс занимал скром-ное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая 6 тале-ров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителя ненастолько улучшила его положение, чтобы он мог содержать се-мью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафед-ру по математике было непросто, да Гаусс и не очень стремил-ся к активной преподавательской деятельности. Расширяющаясясеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной.

Гаусс начал интересоваться астрономией еще в Геттиннгене.Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем частьгерцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Онищет достойную вычислительную задачу, решая пока мелкиезадачи. Так, он публикует простой способ вычисления временипасхи и других циклических праздников вместо чрезвычайнопутаных рецептов, которыми пользовались раньше. Мысль онастоящей задаче появилась в 1801 г. при следующих обстоятель-ствах.

1 января 1801 г. астроном Пиацци, составлявший звездныйкаталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й звездной величины.Пронаблюдав за ней 40 дней, Пиацци обратился к крупнейшимастрономам с просьбой продолжить наблюдения. По разным при-чинам его просьба не была выполнена. В июне эти сведениядошли до Цаха, издававшего единственный в то время астро-номический журнал. Цах высказал гипотезу, что речь идет «одавно подозреваемой между Марсом и Юпитером, а теперь, по-видимому, открытой, новой большой планете». Гипотеза Цахапоказалась правдоподобной, и надо было срочно искать «потерян-ную» планету. А для этого надо было вычислить ее траекторию.Определить эллиптическую траекторию по дуге в 9, которуюзнал Пиацци, было за пределами вычислительных возможно-стей астрономов. В сентябре 1801 г., оставив все свои дела,вычислением орбиты занялся Гаусс. В ноябре вычисления бы-ли закончены. В декабрьском номере журнала Цаха они былиопубликованы, а в ночь с 31 декабря на 1 января — ровно черезгод после наблюдений Пиацци — известный немецкий астрономОльберс, основываясь на траектории, вычисленной Гауссом, на-


шел планету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!25 марта 1802 г. Ольберс открывает еще одну планету — Пал-

ладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и она рас-полагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычис-лительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.

К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого былоизбрание его членом-корреспондентом Петербургской академиинаук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербург-ской обсерватории. Гаусс пишет, что ему лестно получить пригла-шение в город, где работал Эйлер, и серьезно думает о переезде.В письмах Гаусс пишет, что в Петербурге часто плохая погода, апотому он не будет слишком занят наблюдениями, и будет оста-ваться время для занятий. Он пишет, что 1000 рублей, которыебудет получать, больше 400 талеров, которые он имеет сейчас, ножизнь в Петербурге дороже.

В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохра-нить Гаусса для Германии. Еще в 1802 г. он предлагает кураторуГеттингенского университета пригласить Гаусса на пост директо-ра вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет при этом,что Гаусс «к кафедре математики имеет положительное отвра-щение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь в конце1807 г. За это время Гаусс женился («жизнь представляется мневесной со всегда новыми яркими цветами»). В 1806 г. умирает отран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искренне привя-зан. Теперь ничто не удерживает его в Брауншвейге.

Жизнь Гаусса в Геттингене складывалась несладко. В 1809 г.после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдо-бавок Наполеон обложил Геттинген тяжелой контрибуцией. СамГаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 фран-ков. За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Па-риже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашел-ся еще один благодетель, на этот раз — аноним, и деньги воз-вращать было некому (много позднее узнали, что это был кур-фюрст Майнцский, друг Гете). «Смерть мне милее такой жиз-ни», — пишет Гаусс между заметками по теории эллиптическихфункций. Окружающие не ценили его работ, считали его, по мень-шей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что неследует рассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и


им служить».В 1809 г. выходит законченная в 1807 г. знаменитая «Тео-

рия движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца поконическим сечениям». Задержка произошла отчасти из-за опа-сений издателя, что книга на немецком языке не найдет спроса, аГаусс из патриотических соображений отказался печатать книгупо-французски. Компромисс состоял в издании книги на латы-ни. Это единственная книга Гаусса по астрономии (сверх этого оннапечатал несколько статей). Гаусс излагает свои методы вычис-ления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повторяетвычисление орбиты кометы 1769 г., которую в свое время за тридня напряженного счета вычислил Эйлер (по некоторым сведени-ям, потерявший после этого зрение). Гауссу на это потребовалсячас. В книге был изложен метод наименьших квадратов, оста-ющийся по сей день одним из самых распространенных методовобработки результатов наблюдений. Гаусс указывает, что он знаетэтот метод с 1794 г., а с 1802 г. систематически им пользуется. (Задва года до выхода «Теории движения» Гаусса метод наименьшихквадратов был опубликован Лежандром.)

На 1810 г. пришлось большое число почестей: Гаусс получилпремию Парижской академии наук и Золотую медаль Лондонско-го королевского общества, был избран в несколько академий.

В 1804 г. Парижская академия выбрала в качестве темы длябольшой премии (золотая медаль весом 1 ) теорию возмущенийПаллады. Срок дважды переносился (до 1816 г.) в надежде, чтоГаусс представит работу. Гауссу помогал в вычислениях его уче-ник Николаи («юноша, неутомимый в вычислениях»), и все жевычисления не были доведены до конца. Гаусс прервал их, нахо-дясь в тяжелой депрессии.

Регулярные занятия астрономией продолжались почти до са-мой смерти. Знаменитую комету 1812 г. (которая «предвещала»пожар Москвы!) всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаус-са. 28 августа 1851 г. Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гауссабыло много учеников-астрономов (Шумахер, Герлинг, Николаи,Струве). Крупнейшие немецкие геометры Мёбиус и Штаудт учи-лись у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активнойпереписке со многими астрономами, регулярно читал статьи икниги по астрономии, печатал рецензии. Из писем астрономам мы


многое узнаем и о занятиях математикой. Как не похож обликГаусса-астронома на представление о недоступном отшельнике,существовавшее у математиков!

Геодезия. К 1820 г. центр практических интересов Гаусса переме-стился в геодезию. Еще в начале века он пытался воспользоватьсярезультатами измерений дуги меридиана, предпринятых фран-цузскими геодезистами для установления эталона длины (метра),чтобы найти истинное сжатие Земли. Но дуга оказалась слишкоммала. Гаусс мечтал провести измерение достаточно большой дугимеридиана. К этой работе он смог приступить только в 1820 г.Хотя измерения растянулись на два десятилетия, Гаусс не смогосуществить свой замысел в полном объеме. Большое значениеимели полученные в связи с геодезией исследования по обработ-ке результатов измерений (к этому времени относятся основныепубликации о методе наименьших квадратов) и различные гео-метрические результаты, связанные с необходимостью проводитьизмерения на поверхности эллипсоида.

В 20-е годы обсуждался вопрос о переезде Гаусса в Берлин,где он должен был стать во главе института. Сюда должны былибыть приглашены наиболее перспективные молодые математики,прежде всего Якоби и Абель. Переговоры затянулись на четырегода; разногласия были по поводу того, должен ли Гаусс читатьлекции, и сколько ему должны платить в год—1200 или 2000 тале-ров. Переговоры окончились безрезультатно, Впрочем, не совсем:в Геттингене Гауссу стали платить то жалование, на которое онпретендовал в Берлине.Внутренняя геометрия поверхностей. Геодезии мы обязаны тем,что на сравнительно короткое время математика вновь стала од-ним из главных дел Гаусса. В 1816 г. он думает об обобщенииосновной задачи картографии—задачи об отображении одной по-верхности на другую «так, чтобы отображение было подобно отоб-ражаемому в мельчайших деталях». Гаусс посоветовал Шумахерувыбрать этот вопрос при объявлении конкурса на премию Копен-гагенского научного общества. Конкурс был объявлен в 1822 г.В том же году Гаусс представил свой мемуар, в котором вводят-ся характеристики, позволяющие полностью решить проблему,частные случаи которой изучались Эйлером и Лагранжем (отоб-


ражение сферы или поверхности вращения на плоскость). Гауссподробно описывает выводы из его теории для многочисленныхконкретных случаев, часть из которых возникает из задач геоде-зии.

В 1828 г. вышел в свет основной геометрический мемуар Гаусса«Общие исследования о кривых поверхностях». Мемуар посвя-щен внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что связано соструктурой самой этой поверхности, а не с ее положением в про-странстве.

Образно говоря, внутренняя геометрия поверхности — это то,что можно узнать о геометрии поверхности, «не покидая ее». Наповерхности можно измерять длины, натягивая нить так, что-бы она целиком лежала на поверхности. Возникающая криваяназывается геодезической (аналог прямой на плоскости). Мож-но измерять углы между геодезическими, изучать геодезическиетреугольники и многоугольники. Если мы будем изгибать поверх-ность (считая ее нерастяжимой и неразрываемой пленкой), то рас-стояния между точками будут сохраняться, геодезические будутоставаться геодезическими и т. д.

Оказывается, «не покидая поверхности», можно узнать, кри-вая она или нет. «Настоящую» кривую поверхность ни при какомизгибании нельзя развернуть на плоскость; Гаусс предложил чис-ловую характеристику меры искривления поверхности.

Рассмотрим около точки A на поверхности окрестность пло-щади ε. В каждой точке этой окрестности проведем нормаль(перпендикуляр к поверхности) единичной длины. Для плоско-сти все нормали будут параллельны, а для кривой поверхностибудут расходиться. Перенесем нормали так, чтобы их начала ока-зались в одной точке. Тогда концы нормалей заполнят некоторуюфигуру на единичной сфере. Пусть ϕ(ε) — площадь этой фигу-

ры. Тогда k(A) = limε→0ϕ(ε)ε

дает меру кривизны поверхностив точке A.

Оказывается, ни при каком изгибании k(A) не меняется. Длятого, чтобы кусок поверхности можно было развернуть на плос-кость, необходимо, чтобы во всех точках A этого куска былоk(A) = 0. Мера кривизны связана с суммой углов геодезическоготреугольника.


Гаусс интересуется поверхностями постоянной кривизны. Сфе-ра является поверхностью постоянной положительной кривизны(во всех ее точках k(A) = 1/R, где R— радиус). В записях Гаус-са упоминается поверхность вращения постоянной отрицательнойкривизны. Потом ее назовут псевдосферой, и Бельтрами обнару-жит, что ее внутренняя геометрия есть геометрия Лобачевского.

Неевклидова геометрия. По некоторым сведениям, Гаусс интере-совался постулатом о параллельных еще в Брауншвейге в 1792 г.В Геттингене он много обсуждал проблему параллельных со сту-дентом из Венгрии Фаркашем Бойяи. Из письма 1799 г., адресо-ванного Ф. Бойяи, мы узнаем, насколько ясно понимал Гаусс, чтоимеются многочисленные утверждения, приняв которые, можнодоказать пятый постулат: «Я достиг многого, что для большин-ства могло бы сойти за доказательство». И вместе с тем: «Однакодорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, ак тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии». От-сюда до понимания возможности неевклидовой геометрии одиншаг, но он все-таки еще не был сделан, хотя эта фраза часто оши-бочно воспринимается как свидетельство того, что Гаусс пришелк неевклидовой геометрии уже в 1799 г.

Заслуживают внимания слова Гаусса, что он не имеет воз-можности уделить достаточно времени этим вопросам. Характер-но, что о проблеме параллельных нет ничего в дневнике. По-видимому, она никогда не находилась в центре внимания Гаусса.В 1804 г. Гаусс опровергает попытки Ф. Бойяи доказать постулато параллельных. Письмо заканчивается так: «Однако я еще на-деюсь на то, что некогда, и еще до моего конца, эти подводныекамни позволят перебраться через них». Похоже, что эти словаозначают надежду, что доказательство будет найдено.

Вот еще несколько свидетельств: «В теории параллельных мыдо сих пор не опередили Евклида. Это позорная часть математи-ки, которая, рано или поздно, должна принять совершенно другойвид» (1813 г.). «Мы не продвинулись дальше того места, где былЕвклид 2000 лет назад» (1816 г.). Однако в том же 1816 г. он гово-рит о «пробеле, который нельзя заполнить», а в 1817 г. в письмеОльберсу мы читаем: «Я все больше прихожу к убеждению, чтонеобходимость нашей геометрии не может быть доказана, по край-


ней мере, человеческим умом и для человеческого ума. Можетбыть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природупространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор гео-метрию следует ставить в ряд не с арифметикой, существующейчисто априори, а скорее с механикой».

Примерно в то же время к мысли о невозможности доказатьпятый постулат пришел юрист из Кенигсберга Швейкарт. Онпредположил, что наряду с евклидовой геометрией существу-ет «астральная геометрия», в которой постулат о параллельныхне имеет места. Работавший в Кенигсберге ученик Гаусса Гер-линг написал учителю о мыслях Швейкарта и приложил заметкупоследнего. В ответе Гаусс пишет: «Почти все списано с мо-ей души». Деятельность Швейкарта продолжил его племянникТауринус, с которым Гаусс обменялся несколькими письмами,начиная с 1824 г.

В письмах Гаусс подчеркивает, что его высказывания носятсугубо частный характер и их ни в коем случае не следует преда-вать гласности. Он не верит, что эти идеи могут быть восприняты,и боится заинтересованности толпы дилетантов. Гаусс пережилнемало тяжелых лет и очень дорожит возможностью спокойноработать. Он предупреждает Герлинга, который собирался лишьупомянуть, что постулат о параллельных может оказаться неве-рен: «Но осы, гнездо которых Вы разрушаете, поднимутся надВашей головой». Постепенно зреет решение записать результаты,но не публиковать их: «Вероятно, я еще не скоро смогу обрабо-тать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы ихможно было опубликовать. Возможно даже, я не решусь на этово всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев1, которыйподнимется, если я выскажу свои воззрения целиком» (письмоБесселю 1829 г.). В мае 1831 г. Гаусс начинает систематическиезаписи: «Вот уже несколько недель, как я начал излагать пись-менно некоторые результаты моих собственных размышлений обэтом предмете, частично имеющих уже 40-летнюю давность, ноникогда мною не записанных, вследствие чего я должен был 3или 4 раза возобновлять весь труд в моей голове. Мне не хотелось

1По преданию, жители Беотии славились в Древней Греции своей глу-постью.


бы, однако, чтобы это погибло вместе со мной» (письмо Шумахе-ру).

Однако в 1832 г. он получил от Фаркаша Бойяи небольшое со-чинение его сына Яноша «Аппендикс» (название связано с тем,что оно было издано в виде приложения к большой книге от-ца). «Мой сын ставит на твое суждение больше, чем на суждениевсей Европы». Содержание книги поразило Гаусса: в ней полнои систематически строилась неевклидова геометрия. Это были неотрывочные замечания и догадки Швейкарта-Тауринуса. Такоеизложение собирался получить сам Гаусс в ближайшее время. Онпишет Герлингу: «. . . я нашел все мои собственные идеи и резуль-таты, развитые с большим изяществом, хотя, вследствие сжатостиизложения, в форме, трудно доступной тому, кому чужда эта об-ласть 〈. . .〉; я считаю, что этот юный геометр Бойяи—гений первойвеличины». А вот что написано отцу: «. . . все содержание рабо-ты, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые онполучил, — почти сплошь совпадают с моими, которые я частич-но получил уже 30 – 35 лет тому назад. Я действительно этимкрайне поражен. Я имел намерение о своей собственной работе,кое-что из которой я теперь нанес на бумагу, при жизни ничегоне публиковать 〈. . .〉 я имел намерение 〈. . .〉, чтобы эти мысли, по,крайней мере, не погибли со мной. Я поэтому чрезвычайно пора-жен случившимся—оно освобождает меня от этой необходимости;и меня очень радует, что именно сын моего старого друга такимудивительным образом меня предвосхитил». Никакой публичнойоценки или поддержки Янош Бойяи от Гаусса не получил. По-видимому, одновременно Гаусс прервал систематические записипо неевклидовой геометрии, хотя сохранились эпизодические за-метки, относящиеся к 40-м годам.

В 1841 г. Гаусс познакомился с немецким изданием работы Ло-бачевского (первые публикации Лобачевского относятся к 1829 г.).Верный себе, Гаусс, интересуется другими публикациями авто-ра, ограничиваясь высказываниями о нем в переписке с близкимикорреспондентами. Впрочем, по предложению Гаусса, в 1842 г. Ло-бачевского «как одного из превосходнейших математиков русско-го государства» избрали членом-корреспондентом Геттингенскогоученого королевского общества. Гаусс лично известил Лобачевско-го об избрании. Однако ни в представлении Гаусса, ни в дипломе,


выданном Лобачевскому, неевклидова геометрия не упоминалась.О работах Гаусса по неевклидовой геометрии узнали лишь при

публикации посмертного архива. Так Гаусс обеспечил себе воз-можность спокойно работать отказом обнародовать свое великоеоткрытие, вызвав не смолкающие по сей день споры о допустимо-сти занятой им позиции,

Следует отметить, что Гаусса интересует не только чисто ло-гический вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Егоинтересует место геометрии в естественных науках, вопрос обистинной геометрии нашего физического мира (см. выше выска-зывание от 1817 г.). Он обсуждает возможность астрономическойпроверки, с интересом отзываясь о соображениях Лобачевскогопо этому поводу. При занятиях геодезией Гаусс не удержалсяот измерения суммы углов треугольника с вершинами ВысокийГаген, Брокен, Инсельберг. Отклонение от π не превысило 0,2.

Электродинамика и земной магнетизм. К концу 20-х годов Гаусс,перешедший 50-летний рубеж, начинает поиски новых для се-бя областей научной деятельности. Об этом свидетельствуют двепубликации 1829 и 1830 гг. Первая из них несет печать размыш-лений об общих принципах механики (здесь строится «принципнаименьшего принуждения» Гаусса); другая посвящена изучениюкапиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но егоузкие интересы еще не определились. В 1831 г. он пытается зани-маться кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаусса:умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бессон-ница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенный поинициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусс по-знакомился с ним в 1828 г. в доме Гумбольдта. О замкнутостиГаусса ходили легенды, и все же в Вебере он нашел сотоварищапо занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.

«Внутреннее различие этих людей достаточно выражалосьтакже и в их внешнем облике. Гаусс — приземистый, крепко-го телосложения, настоящий представитель Нижней Саксонии,малоразговорчивый и замкнутый в себе. Своеобразной проти-воположностью ему является небольшой, изящный, подвижныйВебер, чрезвычайная любезность и разговорчивость которого сра-зу же обнаруживали коренного саксонца; он был действительно


родом из Виттенберга, этой страны ”саксонцев в квадрате“ . Нагеттингенском памятнике Гауссу и Веберу эта противоположностьиз художественных соображений смягчена, и даже по возрастуони кажутся более близкими, чем это было в действительности»(Ф. Клейн).

Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамикии земного магнетизма. Их деятельность имела не только теорети-ческие, но и практические результаты. В 1833 г. они изобрета-ют электромагнитный телеграф (это событие запечатлено в ихобщем памятнике). Первый телеграф связывал обсерваторию и

Карл Фридрих Гаусс

физический институт. По финан-совым причинам внедрить теле-граф в жизнь его создателям неудалось.

В процессе занятий магнетиз-мом Гаусс пришел к выводу, чтосистемы физических единиц надостроить, вводя некоторое количе-ство независимых величин и вы-ражая остальные величины черезних. Изучение земного магнетиз-ма опиралось как на наблюдения вмагнитной обсерватории, создан-ной в Геттингене, так и на мате-риалы, которые собирались в раз-ных странах «Союзом для наблю-дения над земным магнетизмом»,

созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Амери-ки. В это же время Гаусс создает одну из важнейших глав ма-тематической физики — теорию потенциала. Совместные занятияГаусса и Вебера были прерваны в 1843 г., когда Вебера вместе сшестью другими профессорами изгнали из Геттингена за подписа-ние письма королю, в котором указывались нарушения последнимконституции (Гаусс не подписал письма). Возвратился в ГеттингенВебер лишь в 1849 г., когда Гауссу было уже 72 года. Мы за-кончим наш рассказ о Гауссе словами Клейна: «Гаусс напоминаетмне образ высочайшей вершины баварского горного хребта, какойона предстает перед глазами наблюдателя, глядящего с севера.

Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) 357

В этой горной цепи в направлении с востока на запад отдельныевершины подымаются все выше и выше, достигая предельной вы-соты в могучем, высящемся в центре великане; круто обрываясь,этот горный исполин сменяется низменностью новой формации,в которую на много десятков километров далеко проникают егоотроги, и стекающие с него потоки несут влагу и жизнь».

Добавление. Задачи на построение, приводящие к кубическимуравнениям

В «Арифметических исследованиях» Гаусс сообщает без доказа-тельства, что нельзя построить циркулем и линейкой правиль-ные n-угольники для простых n, не являющихся простыми чис-лами Ферма, в частности, правильный 7-угольник. Этот отрица-тельный результат должен был удивить современников не мень-ше, чем возможность построения правильного 17-угольника. Ведьn = 7 — первое значение n, для которого, несмотря на многочис-ленные попытки, построение правильного n-угольника не полу-чалось. Несомненно, что греческие геометры подозревали, что сэтой задачей дело обстоит неблагополучно, и неспроста, скажем,Архимед предложил способ построения правильного n-угольника,использующий конические сечения. Однако вопрос о доказатель-стве невозможности построения, по-видимому, даже не вставал.

Надо сказать, что доказательства отрицательных утвержде-ний всегда играли в истории математики принципиальную роль.Доказательство невозможности требует так или иначе обозретьвсе мыслимые способы решения, построения или доказательства,в то время как для положительного решения достаточно указатьодин конкретный способ.

Доказательства невозможности в математике имели знамена-тельное начало, когда пифагорейцы (VI век до н. э.), стремившие-ся всю математику свести к целым числам, собственными рукамипохоронили эту идею: оказалось, что не существует дроби, квад-рат которой равен 2. Другая формулировка: диагональ и сторонаквадрата несоизмеримы. Итак, целых чисел и их отношений недо-статочно для описания очень простой ситуации. Это открытиеудивило величайших мыслителей Древней Греции. Легенда утвер-ждает, что боги покарали пифагорейца, сообщившего этот факт


людям (он погиб при кораблекрушении). Платон (429–348 до н. э.)рассказывает о том, как поразило его существование иррацио-нальных величин. Однажды Платон столкнулся с «практической»задачей, заставившей его переосмыслить возможности геометрии.

«Эратосфен рассказывает в своем сочинении ”Платоник“ , чтокогда бог возвестил через оракула делийцам, что, дабы избавитьсяот чумы, они должны построить жертвенник вдвое больше ста-рого, строители стали в тупик перед задачей построить тело, вдва раза большее данного. Они обратились за советом к Плато-ну, и тот сказал им, что бог дал им это предсказание не потому,что ему нужен вдвое больший жертвенник, но что он возвестилэто в укор грекам, которые не думают о математике и не до-рожат геометрией» (Теон Смирнский). Платону не откажешь вумении использовать подходящий момент для пропаганды нау-ки! По свидетельству Евтония, аналогичная задача (об удвоениинадгробного камня Главку) фигурировала уже в одном вариантелегенды о Миносе.

Итак, речь идет о нахождении стороны куба с удвоенным объ-емом, т. е. о построении корня уравнения x3 = 2. Платон направилделийцев к Евдоксу и Геликону. Разные решения предложили Ме-нехм, Архит и Евдокс, но никто из них не нашел построения припомощи циркуля и линейки. Позднее Эратосфен, построившиймеханический прибор для решения задачи об удвоении куба, в сти-хотворении, высеченном на мраморной доске в храме Птолемея вАлександрии, квалифицирует решения своих предшественниковкак слишком сложные: «Нужды тебе уж не будет в премудромцилиндре Архита, в конусе не для тебя высек триаду Менехм, и сбогоравным Евдоксом изогнутых линий не надо. . . ». Менехм за-метил, что решаемая задача эквивалентна задаче о двух среднихпропорциональных (для заданных a, b): a :x = x : y = y : b. Его ре-шение использовало конические сечения. Об «изогнутых линиях»Евдокса мы ничего не знаем. Что касается механического реше-ния, то Эратосфен не был первым. По свидетельству Плутарха,«сам Платон порицал друзей Евдокса, Архита и Менехма, кото-рые хотели свести удвоение куба к механическим построениям;ибо они думали получить средние пропорциональные не из тео-ретических соображений, но ведь таким образом уничтожается игибнет благо геометрии, и этим путем геометрия возвращается об-


ратно к чувственному, вместо того чтобы подыматься выше этогои твердо держаться вечных, нематериальных образов, пребываю-щий в коих Бог есть вечный Бог». Впрочем, Евтоний приписываетсамому Платону (по-видимому, ошибочно) некое механическое ре-шение делийской задачи, использующее плотничьи угольники спазами и подвижными рейками. Платону с его отвращением к«материальным вещам, которые требуют длительной обработкинедостойным ремеслом» (Плутарх) нередко противопоставляютАрхимеда (287 – 212 до н. э.), прославившегося многочисленнымиизобретениями, в частности, машинами, примененными при обо-роне Сиракуз. Впрочем, тот же Плутарх утверждает, что Архимедлишь поддался уговорам царя Гиерона «отвлечь свое искусствоот абстракций 〈. . .〉, и осязательным образом заняться тем, чеготребует действительность», хотя и считал, что практика — «делонизкое и неблагородное; сам же он стремился лишь к тому, что покрасоте своей и совершенству находится далеко от царства необ-ходимости».

Наряду с делийской задачей греческая геометрия оставила ещенесколько задач, в которых построение не удавалось осуществитьциркулем и линейкой: трисекция угла (деление угла на три рав-ные части), квадратура круга и задача о построении правильно-го n-угольника, в частности, 7-угольника и 9-угольника. Связьнекоторых из этих задач с кубическими уравнениями сознавалигреческие и еще в большей степени арабские математики.

Задача о правильном 7-угольнике сводится к уравнению z6 +z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (см. с. 314) или(

z3 +1z3

)+(z2 +

1z2

)+(z +

1z

)+ 1 = 0.

Переходя к переменной x = z + 1z, получаем уравнение

x3 + x2 − 2x− 1 = 0.

Мы покажем, что корни уравнений удвоения куба и семиуголь-ника не могут быть квадратичными иррациональностями, откудаи будет следовать невозможность построения циркулем и линей-кой. Мы докажем результат, который обслуживает весьма общуюситуацию:


Теорема. Если кубическое уравнение a3x3 + a2x

2 + a1x + 0 = 0 сцелыми коэффициентами имеет корень, являющийся квадратич-ной иррациональностью, то оно имеет и рациональный корень.Доказательство. Пусть x1 — такой корень. Он получается из це-лых чисел при помощи арифметических операций и извлеченияквадратного корня. Проанализируем эту конструкцию. Вначалекорень извлекается из некоторого количества рациональных чи-сел:

√A1,

√A2,. . . ,

√Aa, затем из некоторых чисел, получающихся

при помощи арифметических операций из рациональных чисели√Ai (

√B1,

√B2,. . . ,

√Bb) и т. д.; на каждом шаге корень из-

влекается из каких-то чисел, арифметически выражающихся че-рез полученные на всех предыдущих шагах. Возникают «этажи»квадратичных иррациональностей. Пусть

√N —одно из чисел, по-

лученных на последнем шаге перед образованием x1. Сконцентри-руем внимание на том, как

√N входит в x1. Оказывается, можно

считать, что x1 = α + β√N , где

√N не входит в квадратичные

иррациональности α и β. Достаточно заметить, что арифмети-ческие операции над выражениями вида α + β

√N приводят к

таким же выражениям: для сложения и вычитания это очевидно,для умножения проверяется непосредственно, для деления надоисключить

√N из знаменателя:

α+ β√N

γ + δ√N

=(α+ β

√N)(γ − δ

√N)

γ2 − δ2N.

Если теперь подставить x1 = α + β√N в уравнение и выпол-

нить действия, то получится соотношение вида P + Q√N = 0,

где P , Q — многочлены от α, β, ai. Если Q 6= 0, то√N =

= −P/Q, и подставляя выражение для√N в x1, можно по-

лучить для x1 представление, уже не содержащее√N . Если

же Q = 0, то проверяется, что x2 = α − β√N — также ко-

рень, а учитывая, что −a2/a3 = x1 + x2 + x3 — сумма корней(теорема Виета), получаем: x3 = −a2/a3 − 2α, т. е. опять-такиимеется корень, являющийся квадратичной иррациональностью,выражающейся через

√Ai,

√Bi,. . . , как и x1, но без

√N . Про-

должая этот процесс дальше, мы избавимся в выражении длякорня уравнения ото всех радикалов поэтажно, начиная с по-следнего этажа. После этого получится рациональный корень,


и доказательство окончено.Теперь остается проверить, что у интересующих нас уравне-

ний нет рациональных корней. Предположим, что у уравнениястарший коэффициент a3 = 1. Тогда всякий рациональный ко-рень является целым. Достаточно подставить x = p/q (p и qвзаимно просты) в уравнение, умножить обе части на q3 и убе-диться, что p3, а значит и p, делится на q, т. е. q = 1. Далее,если α— корень, то x3 + a2x

2 + a1x + 0 = (x − α)(x2 + mx + n),где a2 = α + m, a1 = −αm + n, a0 = −αn, т. е. m = a2 + α,n = a1 + a2α + α2. Значит, если ai и α— целые, то m и n— це-лые, и α должен быть делителем a0. В результате для уравненийс a3 = 1 поиски рациональных корней сводятся к перебору ко-нечного числа возможностей — делителей свободного члена. Дляинтересующих нас уравнений легко проверяется отсутствие це-лочисленных корней, а значит, отсутствие корней, являющихсяквадратичными иррациональностями.

ФЕЛИКС КЛЕЙН

Славу великого математика Феликсу Клейну принесли работы,выполненные на протяжении одного десятилетия. Клейн прекра-тил активные занятия математикой в 33 года, но до конца днейоставался в центре научно-организационной жизни, полностьюпосвятив себя педагогической и литературной деятельности.

Рыцарские шпоры. Ф. Клейн родился в 1849 году в Дюссельдор-фе. Здесь он окончил гимназию; в 1865 году поступил в Боннскийуниверситет. Уже на следующий год профессор Юлиус Плюк-кер (1801 — 1868) привлек семнадцатилетнего студента в качествеассистента по физике. Плюккер начинал свою научную деятель-ность как геометр, но постепенно переключился на занятия экс-периментальной физикой. Однако в последние годы жизни, последвадцатилетнего перерыва, Плюккер возвратился к геометрии.«Этот поворот сыграл решающую роль в моем собственном раз-витии» — писал Клейн. Посмертное издание последнего мемуараПлюккера (1869 г.) было подготовлено Клейном. Возможно, этои послужило причиной тому, что его диссертация (1868 г.), кото-рой, по словам самого Клейна, он «заслужил рыцарские шпоры»,и его первая публикация (1869 г.) были геометрическими.

Лишившись учителя, Клейн становится «странствующим ры-царем». Он посещает основные математические центры Германии(Геттинген, Берлин), устанавливает личные контакты с Клеб-шем, Вебером, Вейерштрассом. На подающего надежды молодогоученого, который хочет и умеет учиться, сразу обращают вни-мание. Не менее важны контакты Клейна со сверстниками.Особенно счастливой была дружба Клейна с великим норвеж-цем Софусом Ли (1842 – 1899); они познакомились в 1870 годув Берлине. С. Ли был на семь лет старше Клейна, но в 1870 го-

362

Феликс Клейн (1849 – 1925) 363

Феликс Клейн

ду делал лишь первые шаги вгеометрии. Вскоре Клейн и Лиотправляются в Париж. Здесьони знакомятся с приемамифранцузских геометров, кото-рые умели с удивительной лег-костью, «по воздуху» (С. Ли),получать важные геометриче-ские результаты. Особое зна-чение для дальнейшей науч-ной судьбы Клейна и Ли име-ли встречи с Камиллом Жор-даном (1838 – 1922). Как разв 1870 году Жордан выпу-стил обширный труд по тео-рии конечных групп, привлек-ший широкое внимание к ра-ботам Галуа (1811 – 1832). Воз-можно, «пропуском» к Жор-дану послужила для друзейпервая работа Клейна, посвя-щенная геометрическому ис-

следованию так называемой поверхности Куммера, алгебраи-ческое исследование которой перед этим предпринял Жордан.

Покинуть Францию Клейна заставила франко-прусская вой-на. В самом начале войны Клейн заболел тифом; оправившись отболезни, он поселяется в Геттингене. Для Клейна наступает времявеликих свершений. Н. Бурбаки пишет, что Клейн завершил «зо-лотой век» геометрии. Но прежде чем рассказывать о блестящемзавершении этого века, вспомним о его начале.

«Золотой век» геометрии. Еще в XVII веке Дезаргу (1593–1662) иПаскалю (1623–1662) удалось при помощи центрального проекти-рования получить замечательные геометрические результаты. Обэтих результатах забыли почти на полтора века. На большие воз-можности метода проектирования вновь обратил внимание ГаспарМонж (1746 – 1818); он рассказывал об этом в курсе начерта-тельной геометрии, который читал в Политехнической школе. От

364 Феликс Клейн (1849 – 1925)

«Описательной геометрии» Монжа (1795) и отсчитывает Н. Бур-баки «золотой век» геометрии.

Среди слушателей Монжа был Виктор Понселе (1788 – 1867).«Черта, которая возвышает его над всеми предшественниками, —это новый вид геометрической интуиции, — ”проективное мышле-ние“ » (Клейн). Проективную геометрию Понселе создал в течениедвух лет, проведенных им в плену в Саратове после войны 1812 го-да. Свои результаты Понселе рассказывал товарищам по плену,также слушавшим Монжа в Политехнической школе. Опублико-ваны эти результаты были в 1822 году в «Трактате о проективныхсвойствах фигур».

Как и его предшественники, Понселе каждую прямую пополняетбесконечно удаленной точкой, считая, что все параллельные друг дру-гу прямые имеют общую бесконечно удаленную точку («пересекаются»в ней). Все бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удален-ную прямую. На пополненной плоскости параллельность становитсячастным случаем пересечения и не требует специального рассмотре-ния (например, утверждение, что через точку вне прямой проходитединственная прямая, ей параллельная, превращается в утверждение,что через две различные точки, одна из которых обычная, а другая —бесконечно удаленная, проходит единственная прямая). При централь-ном проектировании конечная точка может не иметь образа («уйти набесконечность»), но на пополненной бесконечно удаленными точкамиплоскости это отображение уже взаимно однозначно.

Центральное проектирование переводит одну плоскость в другую;выполнив же несколько проектирований подряд, мы можем вернутьсяна исходную плоскость, получив преобразование этой плоскости. К та-ким преобразованиям (их стали называть проективными) относятся пе-ремещения, гомотетии, растяжения. Проективные преобразования вза-имно однозначны (на пополненной плоскости) и переводят прямые впрямые (позднее выяснилось, что всякое преобразование с этими свой-ствами проективно). Проективные преобразования, переводящие в себябесконечно удаленную прямую, называются аффинными; аффинныепреобразования взаимно однозначны на обычной плоскости. Понселеисследовал геометрические объекты, сохраняющиеся при проективныхпреобразованиях. Оказывается, при проективных преобразованиях ко-ническое сечение также переходит в коническое сечение (но, например,гипербола может перейти в параболу, а всякое коническое сечение про-ективным преобразованием можно перевести в окружность). Чрезвы-чайно плодотворным оказалось следующее наблюдение. Пусть A, B, C,D— точки, лежащие на одной прямой, A,B,C,D = AC ·BD

AD ·BC — двой-

Феликс Клейн (1849 – 1925) 365

ное, или ангармоническое отношение четырех точек. Пусть при некото-ром проективном преобразовании точки A, B, C, D перешли в точкиA′, B′, C ′, D′ (они обязательно будут лежать на одной прямой). ТогдаA,B,C,D = A′, B′, C ′, D′, то есть при проективных преобразовани-ях двойное отношение четырех точек сохраняется. Если одна из точек,например, D — бесконечно удаленная точка, то A,B,C,D полагает-

ся равным ACBC

, и мы получаем, что при аффинных преобразованияхсохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (по-чему?).

Далее Понселе пытается устранить исключительные случаи взаим-ного расположения конических сечений. Почему, например, два эллипсамогут пересекаться в четырех точках, а пара окружностей — не болеечем в двух? На этот вопрос дается удивительный ответ. Кроме пары ве-щественных точек пересечения, у окружностей имеется универсальная(одна и та же для всех окружностей на плоскости!) пара общих точек,не замеченных из-за того, что они являются. . . мнимыми и бесконечноудаленными одновременно. Эти точки называются циклическими.

Теперь — несколько слов о четырех немецких математиках:Фердинанде Мёбиусе (1790 – 1868), Якобе Штейнере (1796 – 1863),Христиане фон Штаудте (1798 – 1867) и уже упоминавшемсяПлюккере. С их именами связана ожесточеннейшая борьба меж-ду аналитическим и синтетическим направлениями в геометрии.

Здесь слова «анализ» и «синтез» употребляются в нестандартномсмысле: аналитическая геометрия использует метод координат, в ре-зультате чего делается возможным применение алгебры и анализа вгеометрии; синтетическая геометрия оперирует с непосредственнымипространственными конструкциями.

Наиболее ожесточенным был поединок между аналитикомПлюккером и синтетиком Штейнером; Мёбиус (аналитик) и Шта-удт (синтетик) держались в стороне от борьбы. Клейну былоочень легко оказаться вовлеченным в борьбу на стороне аналити-ков, но он сумел остаться над схваткой, возможно, руководствуясьправилом его знакомого физиолога Людвига: «Нужно удалить-ся на 600 километров от места споров и оттуда пересмотретьотношения».

Деятельность аналитиков прежде всего требовала усовершен-ствовать метод координат. В плане синтетическом важно былодать бескоординатные определения объектов проективной геомет-рии, например, кривых второго порядка. Это сделал Штейнер —

366 Феликс Клейн (1849 – 1925)

очень колоритная фигура в истории математики. Швейцарскийкрестьянин, до 19 лет ходивший за плугом, он начал заниматьсяматематикой в зрелом возрасте. Штейнер был решительно на-строен против мнимых величин в геометрии, называя их «призра-ками» или «царством теней». Впрочем, фон Штаудт показал, чтос мнимыми объектами, возникающими в проективной геометрии,можно связать эквивалентные им чисто вещественные конструк-ции. Другое важное достижение Штаудта состояло в том, что онсумел определить двойное отношение четырех точек непосред-ственно, без использования расстояний (которые не сохраняютсяпри проективных преобразованиях).

И наконец, еще одно имя — английского математика АртураКэли (1821 – 1895), долгое время занимавшегося математикойбез отрыва от адвокатской практики. Мы остановимся на од-ном сочинении Кэли — знаменитом «Шестом мемуаре о формах»(1859 г.). Кэли заметил, что евклидовы перемещения выделя-ются из всех проективных преобразований тем, что сохраняютциклические точки. В результате, с использованием циклическихточек, все объекты евклидовой геометрии (расстояния, величи-ны углов и т. д.) можно определить через проективные понятия(сохраняющиеся при проективных преобразованиях). Кэли на-зывает проективную геометрию дескриптивной, а евклидову —метрической и пишет: «Метрическая геометрия есть, таким об-разом, часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия — всягеометрия». Следует иметь в виду, что раньше положение ка-залось прямо противоположным, а именно, что проективнаягеометрия — сравнительно бедная часть евклидовой. Далее Кэ-ли замечает, что исходя из проективной геометрии можно ввестирасстояния, отличные от евклидова (метрики или мероопределе-ния Кэли): каждое такое расстояние на плоскости связываетсяс некоторой кривой второго порядка (вещественной или мни-мой), так что это расстояние не меняется при всех проектив-ных преобразованиях, сохраняющих рассматриваемую кривую.

Модель Кэли–Клейна. В 1869 году Клейн познакомился с теориейКэли, а в конце того же года — довольно поверхностно — с гео-метрией Лобачевского. Тотчас же у него возникла мысль, чтоодна из метрик Кэли приводит к геометрии Лобачевского. Это

Феликс Клейн (1849 – 1925) 367

была догадка, почти лишенная аргументации. Теория Кэли и тео-рия Лобачевского радикально отличались внешне (вычисления сдвойным отношением у Кэли и аксиоматическое изложение у Ло-бачевского), а геометрии Кэли были еще недостаточно разрабо-таны для того, чтобы можно было проверять аксиомы геометрииЛобачевского. В феврале 1870 года Клейн, делая доклад по тео-рии Кэли на семинаре Вейерштрасса, решился обнародовать своюгипотезу. На этом семинаре было не принято обсуждать фантасти-ческие проекты: «зарвавшемуся» молодому человеку объяснили,что «это две далеко отстоящие друг от друга системы»; Клейнже был столь мало подготовлен к защите своей гипотезы, что«позволил переубедить себя». Позднее он жаловался на Вейер-штрасса, что у того «не было склонности распознавать с отдале-ния очертания еще не достигнутых высот». Но Клейн не пересталверить в свою гипотезу. Летом 1871 года он с помощью своегодруга Штольца уже основательно изучил неевклидову геометриюи убедился в справедливости своей догадки. Даже обладая дока-зательством, Клейну было нелегко убедить окружающих в своейправоте. Вероятно, наиболее досадно было Клейну то, что срединесогласных с его утверждением до конца своей жизни оставал-ся Кэли. «Состарившийся дух не в состоянии сделать выводы изсозданных им самим положений», — писал Клейн.

Несколько слов о самой модели Кэли–Клейна. «Точками» вэтой модели являются внутренние точки круга (круг можно заме-нить областью, ограниченной любой кривой второго порядка), а«прямыми» — хорды этого круга (без концов). Точки пересечения«прямых» определяются естественным образом; ясно, что через«точку» вне «прямой» проходит бесконечное число «прямых», непересекающих исходную, то есть налицо отрицание аксиомы па-раллельных из евклидовой геометрии. Надо еще убедиться в том,что все остальные евклидовы аксиомы для описанной модели вы-полняются: это и будет означать, что модель Клейна—это модельгеометрии Лобачевского. Сравнительно просто проверяются акси-омы, касающиеся взаимного положения точек и прямых. Но когдадело доходит до проверки аксиом равенства, то прежде всего надодоговориться, какие отрезки считать равными; унаследовать соот-ветствующие понятия евклидовой геометрии нельзя. Клейн, сле-дуя Кэли, полагает длину отрезка AB равной | lnA,B, α, β|, где

368 Феликс Клейн (1849 – 1925)

α и β—точки пересечения «прямой» AB с границей рассматрива-емого круга (эту окружность называют абсолютом). Проективныепреобразования, сохраняющие абсолют, сохраняют так определен-ное «расстояние», т. е. являются перемещениями в модели Кэли–Клейна геометрии Лобачевского.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835 – 1900) наме-тил другой путь к обоснованию геометрии Лобачевского еще в 1868 го-ду. Он обнаружил поверхность — псевдосферу, — кратчайшие линии накоторой (геодезические) ведут себя так, как прямые в геометрии Лоба-чевского. Затем Бельтрами отобразил некоторым образом псевдосферув круг и получил те же формулы, что позже и Клейн в своей теории.

Клейн исследовал другие неевклидовы геометрии, к которымприводят метрики Кэли, обнаружив, в частности, модель геомет-рии Римана (в геометрии Римана сумма углов треугольника боль-ше π, в геометрии Лобачевского она всегда меньше π).

Обсудим теперь, что же дает модель Кэли – Клейна для геометрииЛобачевского. Прежде всего — это отличный от аксиоматического спо-соб изложения, более наглядный. Клейн предваряет свою публикацию(1871 г.) словами, что его цель — «дать новое наглядное изложение ма-тематических результатов работ, относящихся к теории параллельных,и сделать их доступными ясному пониманию» (примерно так же фор-мулирует свою цель и Бельтрами). Однако построение модели решаетдалеко не только методическую проблему. Ныне модель Кэли – Клейнарассматривается прежде всего как средство доказательства непротиво-речивости геометрии Лобачевского. В модели Кэли – Клейна объектыгеометрии Лобачевского формируются на языке евклидовой геометрии,так что после перевода на этот язык теоремы геометрии Лобачевско-го превращаются в теоремы евклидовой геометрии, и, таким образом,геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива евкли-дова геометрия.

Клейн видел основное значение построенной им модели в другом.Он ставил во главу угла проективную геометрию, равноправными инезависимыми частями которой являются геометрии Евклида и Ло-бачевского. В этом плане подчеркивалась независимость построенноймодели геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии, для чего,в свою очередь, была важна возможность строить проективную гео-метрию, не пользуясь евклидовой (по Штаудту). Именно этот моментвызывал у Кэли подозрения в существовании порочного круга. Клейнписал: «Вместо того чтобы внутри нашей метрической геометрии стро-ить образы неевклидовой геометрии, мы обосновываем свободную отвсяких метрическими представлений проективную геометрию, которая

Феликс Клейн (1849 – 1925) 369

содержит в себе как частные случаи, поддающиеся отчетливой класси-фикации, все известные геометрические системы».

Эрлангенская программа. Веками слово «геометрия» употребля-лось только в единственном числе. Но вот появилась геометрияЛобачевского, затем геометрия Римана, и наконец, математикипоняли, что существует много различных геометрий. Возник есте-ственный вопрос: что же такое геометрия? В 1872 году Клейнвысказал свою точку зрения в лекции, прочитанной им в связи совступлением в профессорскую должность в Эрлангене. Так появи-лась «Эрлангенская программа», по-видимому, самое известноесочинение Клейна. По существу в нем нет новых результатов, всевнимание сконцентрировано на поисках принципа, позволяющегосистематизировать очень аморфное образование, в которое пре-вратилась к тому времени геометрия.

По Клейну, основным атрибутом всякой геометрии являетсянекоторый набор G взаимно однозначных преобразований неко-торого множества M . Преобразований должно быть достаточномного для того, чтобы каждую точку множества M можно бы-ло перевести в другую некоторым преобразованием из G (в этомслучае говорят, что G действует на M транзитивно). Такая точказрения была навеяна, конечно, проективной геометрией, в кото-рой с самого начала первичными были некоторые преобразования(центральные проектирования), в то время как в евклидовой гео-метрии (в традиционном изложении) первичны другие объекты:прямые, отрезки, равные фигуры и т. д.

Следующее положение состоит в том, что набор преобразова-ний G должен быть группой. Это означает, что любые два пре-образования из G, выполненные подряд, можно заменить однимпреобразованием, также из G; кроме того, вместе с каждым пре-образованием g ∈ G в G входит и обратное к нему: g−1 (еслиg переводит x в y, то g−1 переводит y в x). Например, движе-ния плоскости или ее проективные преобразования проективнойплоскости образуют группу.

Итак, с каждой группой преобразований G связывается неко-торая геометрия. Что же составляет содержание такой геометрии?Прежде всего—нахождение инвариантов группы G—свойств, ко-торые сохраняются при действии преобразований из G (точнее,

370 Феликс Клейн (1849 – 1925)

если какой-то объект нашей геометрии обладает инвариантнымсвойством, то каким бы преобразованием из G мы на него ни дей-ствовали, получится объект, также обладающий этим свойством).Для группы перемещений евклидовой геометрии инвариантамиявляются все известные геометрические свойства, так как мы неразличаем положения фигур на плоскости. Однако и в тради-ционном курсе геометрии имеются нетривиальные утвержденияоб инвариантах преобразований, не являющихся перемещениями.При гомотетиях сохраняются равенство углов, свойство кривойбыть окружностью, отношение длин отрезков, отношение площа-дей. Имея некоторый запас инвариантных свойств, можно кон-струировать новые. Относительно гомотетий инвариантными бу-дут свойство прямой быть биссектрисой угла, свойство кривойбыть полуокружностью. Относительно осевых растяжений свой-ство кривой быть окружностью уже не будет инвариантом, нобудет инвариантом свойство кривой быть эллипсом (а также ги-перболой или параболой); сохраняется отношение длин отрезков,лежащих на одной прямой (но не на разных), отношение площа-дей. Следствием является инвариантность свойства точки делитьотрезок в данном отношении, свойства прямой быть медианойтреугольника. Можно показать, что всякое аффинное преобразо-вание можно представить в виде композиции перемещений и осе-вых растяжений, а потому все указанные свойства инвариантныотносительно аффинных преобразований (пример проективногоинварианта — двойное отношение — приведен на с. 365).

Выделение инвариантов — только первый слой геометрии. Ееосновное содержание составляют теоремы о соотношениях меж-ду инвариантными свойствами (эти соотношения называют си-зигиями). Например, теорема о том, что медианы треугольникапересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 1 : 2,сконструирована из аффинных инвариантов: быть точкой пересе-чения прямых, делить отрезок в данном отношении, быть меди-аной треугольника. Именно поэтому, если она справедлива дляодного треугольника, она справедлива для его образа при аф-финном преобразовании, и ее достаточно проверить для одноготреугольника, например, равностороннего (аффинным преобра-зованием можно преобразовать любой треугольник в любой дру-гой). В теоремах о пересечении биссектрис и высот выводится

Феликс Клейн (1849 – 1925) 371

зависимость между инвариантами гомотетий.На возможность использования геометрических преобразований

для получения новых теорем обратил внимание в 1837 году Шаль:«Теперь каждый в состоянии взять какую-нибудь известную истинуи применить к ней различные общие принципы преобразований; такон получит другие истины. . . Гений больше не является необходимымдля того, чтобы вносить свою лепту в построение величественногохрама науки». Однако если понимать рецепт Шаля буквально: взятьлюбую теорему и применить к ней произвольное преобразование, — тополучится верное утверждение, но с такой корявой формулировкой,что у него будет мало шансов остаться в «храме науки». Подумайте,например, во что превратится теорема о пересечении биссектрис, еслисделать осевое растяжение. Как объяснить, в какую прямую перейдетбиссектриса? Клейн объясняет, что важно, напротив, понять, какие изпреобразований утверждения не меняют, подобрать преобразования,максимально упрощающие картину, и доказать утверждение в полу-ченной (более простой) форме. Вот традиционный пример. Аффиннымпреобразованием любой треугольник можно превратить в равносто-ронний, и поскольку в теореме о точке пересечения медиан речь идето соотношении между аффинными инвариантами, то эту теорему до-статочно проверить для равностороннего треугольника (что уже оченьпросто).

Эти соображения позволяют уточнить рецепт Шаля. Пусть подме-чено некоторое соотношение между аффинными инвариантами в рав-ностороннем треугольнике единичной площади: например, пусть λ —площадь шестиугольника, образованного «тридианами»—прямыми, со-единяющими вершины треугольника с точками, делящими противопо-ложную сторону на три равные части. Тогда в любом треугольнике от-ношение площади шестиугольника, образованного тридианами, к пло-щади всего треугольника равно λ. Теперь вы легко можете придуматьдругие теоремы такого рода.

Один из важнейших моментов в рассуждениях Клейна — этовыяснение взаимоотношения между геометриями, связанными сгруппами G1, и G2, если G1 ⊂ G2. (Говорят, что G1 — подгруппагруппы G2.) У большей группы G2 меньше инвариантов, чем у G1,и все теоремы, связанные с группой G2, верны и для геометрии,связанной с меньшей группой G1.

Поэтому в каждой конкретной геометрии важно найти такиеутверждения, которые останутся справедливыми и для геомет-рий с более широкими группами преобразований. Иногда возмож-ность «перенесения» утверждения в геометрию с более широкой

372 Феликс Клейн (1849 – 1925)

группой преобразований становится ясной лишь после переработ-ки формулировки утверждения.

Идеология Кэли на языке эрлангенской программы состоит в том,что можно двигаться обратным путем, рассматривая группу преобра-зований, сохраняющих некоторый фиксированный объект. При этомчасто инварианты для подгруппы можно конструировать при помощиинвариантов для группы (расстояния в евклидовой и неевклидовых гео-метриях — при помощи двойного отношения).

Инварианты для большей группы и соотношения между ними обыч-но описывать проще. В частности, для проективной группы задачу на-хождения инвариантов можно сделать полностью алгебраической и ре-шить.

«Эрлангенская программа» завершила «золотой век» класси-ческой геометрии. Число новых геометрий возрастает; постепенногеометрический язык пронизывает значительную часть матема-тики. «Классическая геометрия переросла себя и из живой са-мостоятельной науки превратилась в универсальный язык совре-менной математики, обладающий исключительной гибкостью иудобством» (Н. Бурбаки).

Экстерн в школе Римана. После «Эрлангенской программы»Клейн обращается к теории алгебраических функций — обла-сти, в которой работали Гаусс, Лежандр, Абель, Якоби, Вей-ерштрасс, Риман. Наиболее близкими Клейну оказались идеиРимана (1826 – 1866), с которым он не был лично знаком. По сло-вам Клейна, он был «экстерном в школе Римана, 〈. . .〉 а экстерны,как известно, если берутся за какое-нибудь дело, то работают сособенным рвением, ибо к работе их побуждает только глубокийинтерес». Позднее Клейн писал, что видел свою задачу в соче-тании Римана с Галуа, — то есть в проникновении теории группв геометрическую теорию функций комплексного переменного.По собственному мнению Клейна, это была главная область егонаучной деятельности.

К сожалению, об этой деятельности Клейна рассказать мы несумеем, поскольку здесь уже нужно требовать от читателя специ-альных знаний, далеко выходящих за рамки школьной програм-мы. Но все же об одном обстоятельстве мы упомянем.

Клейн занимался так называемой проблемой униформизации.Рассматривая важные частные случаи, он надеялся со временем

Феликс Клейн (1849 – 1925) 373

разобраться и с общей задачей. Но в 1881 году Клейн обнаружилсерию статей никому не известного французского математика Ан-ри Пуанкаре (1854 – 1912), который по существу проблему уни-формизации решил1. Это драматическое событие Клейн встретилдостойно. Он начал переписку с Пуанкаре; они обменялись 26письмами. Клейн, уже известный математик (хотя только на 5 летстарший Пуанкаре), выступает в роли очень тактичного учителя.Он знакомит Пуанкаре с теорией Римана, о которой тот не имелпредставления, но мгновенно усвоил. Клейн решается на соревно-вание с Пуанкаре: улучшает доказательство основного результатаи намечает его обобщение. Эта история окончилась для Клейнапечально: «Цена, которую мне пришлось заплатить за мои рабо-ты, была во всяком случае очень велика, так как мое здоровьеоказалось совершенно расшатанным. . . Только к осени 1884 годаположение несколько улучшилось, но прежней степени творче-ской активности я уже не достиг никогда. . . Моя собственнаятворческая деятельность в области теоретической математики за-кончилась в 1882 году».

Последние 40 лет. Начиная с 1886 года Клейн работает в Гет-тингене. Благодаря Клейну этот город превратился в подлиннуюстолицу математики. По его инициативе в Геттинген приглаша-ются талантливые молодые математики (среди них — Гильберт).Клейн никогда не переставал интересоваться новыми идеями. Еголекционные курсы, частично записанные и изданные, посвященысамым разным областям математики, механики, физики. Много-гранна организационная и общественная деятельность Клейна.50 лет руководил он изданием одного из основных математиче-ских журналов «Mathematische Annalen». Своеобразной лебеди-ной песней Клейна были его «Лекции о развитии математики вXIX столетии», читанные в 1914–1919 годах и изданные посмерт-но его учениками Курантом и Нейгебауэром. Приведем выдержкуиз их предисловия: «Эти лекции являются зрелым плодом бога-той жизни, проведенной в центре научных событий, выражениемпроникновенной мудрости и глубокого исторического понимания,

1Общая проблема униформизации еще фигурировала в числе проблемГильберта (1900 г.) и была полностью решена в 1907 году независимо Пу-анкаре и Кёбе.

374 Феликс Клейн (1849 – 1925)

высокой человеческой культуры и мастерского дара изложения».Значительную часть времени и сил тратил Клейн на разработ-

ку проблем школьного преподавания математики и подготовкуучителей, чем, вероятно, до него не занимался ни один матема-тик такого масштаба. «Вряд ли есть предмет, — писал Клейн, —в преподавании которого царила бы такая рутина, как в препо-давании математики. Курс элементарной математики вылился вопределенные рамки и точно замер раз навсегда в установивших-ся пределах. Время от времени по тому или иному поводу однизадачи заменяются другими, исключаются одни параграфы и вво-дятся другие; но по существу на всем материале школьной мате-матики это почти не отражается. Новые учебники алгебры носятотпечаток алгебры Эйлера, как новые учебники геометрии отпе-чаток геометрии Лежандра. Можно подумать, что математика —мертвая наука, что в ней ничто не меняется, что в этой областизнания нет новых идей, по крайней мере таких, которые могли бысделаться достоянием неспециалистов, предметом общего образо-вания».

Клейн стремится учесть в преподавании состояние современ-ной науки, связь математики и физики. Он рекомендует система-тически пользоваться преобразованиями в геометрии, отказатьсяот традиционного разбиения школьной математики на предме-ты. Школьный курс должен быть пронизан понятием функции;тщательно продумываются пути воспитания у учеников «функци-онального мышления». Изложение геометрии, по мнению Клейна,должно начинаться в неаксиоматическом варианте, а аксиома-тический метод должен появляться уже тогда, когда ученики всостоянии его осознать.

С большим тактом поддерживал Клейн контакты с людьми,занимающимися школьной математикой, четко ограничив кругсвоей компетенции, никогда не вмешиваясь в вопросы, требовав-шие опыта непосредственной работы в школе. Клейн читал лек-ции для учителей, которые частично изданы. Наиболее известнаего «Элементарная математика с точки зрения высшей». Это нелекции по методике математики и не расширенный курс школь-ной математики. «Я хочу, чтобы настоящая книга оказалась по-лезной тем, что побудит иного учителя нашей средней школы ксамостоятельному размышлению о новом, более целесообразном

Феликс Клейн (1849 – 1925) 375

изложении того учебного материала, который он преподает. Ис-ключительно с такой точки зрения надо смотреть на мою книгу,а не считать ее готовым учебным планом; разработку последнегоя всецело предоставляю тем, кто работает в школе. Если кто-нибудь предполагает, что я иначе понимал свою деятельность, тоэто недоразумение» (Клейн).

ВОЛШЕБНЫЙ МИР АНРИ ПУАНКАРЕ

Я описал воображаемый мир, обитатели которого неминуемодолжны были бы прийти к созданию геометрии Лобачевского.

А. Пуанкаре

Когда сегодня рассказывают историю геометрии Лобачев-ского, может сложиться впечатление, что докажи создателинеевклидовой геометрии ее непротиворечивость — и она была быблагосклонно принята. Однако прежде всего критиков смущалоне отсутствие этого доказательства. Люди привыкли, что гео-метрия имеет дело с нашим реальным пространством, и что этопространство описывается евклидовой геометрией. Характерно,что Гаусс выделял геометрию среди остальных разделов матема-тики, считая ее, подобно механике, экспериментальной наукой.Но при этом Гаусс, так же как Лобачевский и Бойяи, понимал,что, во-первых, возможны логически стройные геометрическиепостроения, за которыми не стоит физическая реальность, — «во-ображаемые» геометрии, и, во-вторых, не столь бесспорно, чтов астрономических масштабах в нашем мире царит геометрияЕвклида. Однако то, что понимали лишь немногие математи-ки, было абсолютно недоступно непрофессионалам. Утверждениягеометрии Лобачевского они мерили на евклидов аршин своейгеометрической интуиции — и получали неисчерпаемый источникдля остроумия. Н. Г. Чернышевский писал сыновьям из ссылки,что над Лобачевским смеялась вся Казань: «Что такое ”кривизналуча“ или ”кривое пространство“ ? Что такое геометрия без ак-сиомы параллельных линий?» Он сравнивает это с «возведениемсапог в квадраты» и «извлечением корней из голенищ», и гово-рит, что это столь же нелепо, как «писать по-русски без глаголов»(здесь достается Фету: «шепот, робкое дыханье, трели соловья»,над которым, оказывается, тоже «хохотали до боли в боках»).

376

Волшебный мир Анри Пуанкаре 377

Новый этап в развитии неевклидовой геометрии наступил, ко-гда появились первые ее модели. Сейчас мы воспринимаем этимодели как средство для доказательства непротиворечивости гео-метрии Лобачевского, но они были замечательны не только этим.Даже при благожелательном взгляде геометрия Лобачевского ка-залась чересчур изощренной, не связанной с остальной матема-тикой, а модель Кэли–Клейна показала, что она естественнымобразом возникает на столбовой дороге проективной геометрии,очень популярной в то время! С другой стороны, рассмотрениемодели, основные понятия которой конструируются из образовпривычной нам евклидовой геометрии, давало возможность заме-нить формальное аксиоматическое изложение неевклидовой гео-метрии более наглядным.

Еще одну модель придумал Анри Пуанкаре, занимаясь чи-сто аналитическими вопросами теории функций комплексногопеременного. Он неожиданно обнаружил, что появляющиеся унего преобразования можно интерпретировать как перемеще-ния в плоскости Лобачевского. Это открытие произвело на негонастолько сильное впечатление, что много лет спустя он вспо-минал, как оно пришло ему в голову: «без всяких, казалось бы,предшествовавших раздумий», когда он поднимался на подножкуомнибуса во время экскурсии в Кутанс. Через десять лет Пуан-каре сделал замечательное дополнение к своей модели — подвелпод нее «физическое» основание. Рассказу о модели Пуанкаре ипосвящена эта глава.

Экскурс в физику. Наши геометрические представления имеютфизические предпосылки. Например, как прямые мы восприни-маем световые лучи. Идущий к нам световой луч продолжаетказаться прямым, даже если он преломился по дороге (например,войдя из воздуха в воду). Чтобы рассеять эту иллюзию, нуж-но поставить эксперимент или посмотреть на происходящее состороны.

Пусть у нас есть оптически неоднородная среда на верхнейполуплоскости (y > 0), в которой величина скорости света меня-ется по закону c(x, y) = y (независимо от направления луча). Изпринципа Ферма следует, что путь распространения света междудвумя точками есть такой путь, для прохождения которого све-

378 Волшебный мир Анри Пуанкаре

ту требуется наименьшее возможное время. В нашей среде (гдеc(x, y) = y) свет между двумя точками будет распространятьсяпо таким кривым L (рис. 37), для которых

sinα(y)y

= k, (33)

где α(y) — угол, который касательная, проведенная к L в точке сординатой y, образует с вертикалью; k— фиксированное для всехточек кривой L число. Ясно, что условию (33) удовлетворяют все

Рис. 37.

окружности с центрами на оси Ox(то есть перпендикулярные этойоси); для каждой такой окруж-ности k = 1

r, где r — ее ради-

ус. При k = 0 мы получаем вер-тикальные прямые. Можно по-казать, что других кривых, удо-влетворяющих условию (33), нет;этому есть и физическое объяс-нение (например, такое: свет рас-

пространяется из заданной точки в заданном направлении поединственному пути).

Рис. 38.

Окружности, перпендикуляр-ные к оси Ox, и вертикальныепрямые (вернее, их части, распо-ложенные в верхней полуплоско-сти) и будут играть главную рольв нашем рассказе.

«Пуанкария» и ее геометрия.Мир Пуанкаре (назовем его вчесть создателя Пуанкарией)представляет собой верхнюю по-

луплоскость (x, y), y > 0 без границы y = 0 (это важно!)1.Существа, населяющие Пуанкарию (пуанкаряне), воспринимают

1Можно было бы рассмотреть и «трехмерный» мир, но на плоскостипроще рисовать картинки, и ради этого мы будем иметь дело с плоскимисуществами.


как «прямые» верхние полуокружности с центрами на оси Ox(без концов!) и вертикальные лучи (рис. 38). Будем называтьэти прямые P -прямыми (читается «пэ-прямые»). P -прямые ка-жутся пуанкарянам бесконечными (свет распространяется поним неограниченно долго), а концы P -прямых, — как и вся осьOx, — невидимыми. Итак, пуанкаряне считают, что их Пуанка-рия неограниченна во все стороны. Назовем невидимые точкиP -прямой ее бесконечно удаленными точками; для луча однойиз его бесконечно удаленных точек будем считать точку ∞ (бес-конечность). P -прямые однозначно определяются парой своихбесконечно удаленных точек (почему?); так мы их и будем разли-чать и обозначать через L(α, β), где α, β — вещественные числа(одно из них может быть ∞)—координаты бесконечно удаленныхточек на оси Ox.

Попробуем вместе с пуанкарянами построить геометрию ихпространства. Как и нам, — при жизни в евклидовом простран-стве, — некоторые утверждения кажутся пуанкарянам очевидны-ми, они принимают их без доказательства (аксиомы) и выводят изних более сложные утверждения (теоремы). Для нас, смотрящихна Пуанкарию со стороны, все эти утверждения будут выглядетьиначе, чем для пуанкарян (например, P -прямые для нас полу-окружности или лучи!), поэтому мы будем «переводить» фор-мулировки пуанкарян на свой «прозаический» евклидов язык идоказывать по-своему.

Например, пуанкаряне знают, что через две различные точ-ки проходит P -прямая и притом единственная. Для нас же этоозначает, что через две различные точки полуплоскости проходитединственная полуокружность, перпендикулярная к оси Ox, иливертикальный луч (докажите!); см. рисунок 38. Заметим, что фи-зическое объяснение этого утверждения, состоящее в том, что светмежду двумя точками распространяется по единственному пути—одно и то же и для пуанкарян, и для нас (впрочем, для геометрииэто объяснение доказательной силы не имеет). Нетрудно убедить-ся, что в Пуанкарии справедливы все аксиомы евклидовой гео-метрии, касающиеся взаимного расположения точек и прямых ипорядка точек на прямой. (Чтобы привыкнуть к Пуанкарии, раз-беритесь с P -отрезками, P -полуплоскостями, на которые P -пря-мая делит Пуанкарию так, что P -отрезки, соединяющие точки в


Рис. 39.

одной P -полуплоскости, не пересекают граничную P -прямую, аP -отрезки, соединяющие точки в разных P -полуплоскостях — еепересекают; нарисуйте P -треугольники, P -многоугольники; поду-майте о P -выпуклости, если вы знаете об «обычной» выпуклости.Вам поможет рис. 39.)

Рис. 40.

Отличие геометрии Пуанка-рии от евклидовой проявляетсяпри рассмотрении взаимного рас-положения пары P -прямых. Мыуже знаем, что две различныеP -прямые могут пересекаться неболее чем в одной точке. Если жеони не пересекаются, то они име-ют общую бесконечно удаленнуюточку (невидимую!) или не име-ют общих точек даже на неви-димой границе. В первом случае

мы будем называть такие P -прямые параллелями, а во вто-ром—сверхпараллелями. Если имеется P -прямая L(α, β), то черезточку вне ее проходят только две параллельные L(α, β) P -пря-мые (отвечающие бесконечно удаленным точкам α и β соот-ветственно; рис. 40) и бесчисленное множество сверхпараллель-ных, лежащих между параллелями. Таким образом, в Пуанка-рии несправедлива аксиома параллельных (нас, наблюдателей,впрочем, это не очень удивляет — ведь пуанкаряне не знают, чтоих «прямые» — «не настоящие»!); это позволяет нам надеятьсяна то, что геометрия Пуанкарии и окажется геометрией Лоба-чевского.


Главное, что теперь нам нужно сделать, — определить в Пуан-карии расстояния и перемещения.

Расстояния и перемещения. С точки зрения оптики естественнеевсего в качестве расстояния между двумя точками A и B взять вПуанкарии время, за которое свет доходит из точки A в точку B:тогда P -прямые будут кратчайшими линиями между лежащимина них точками. Из физических соображений следует, что опре-деленное таким образом расстояние ρ(A,B) обладает обычнымисвойствами евклидова расстояния:

1) ρ(A,B) = ρ(B,A);2) если A, B, C лежат на одной P -прямой и B ∈ [AC], то

ρ(A,B)+ρ(B,C) = ρ(A,C) (свет распространяется из A в Cпо P -прямой и пройдет через точку B);

3) для любых точек A, B, C: ρ(A,B) + ρ(B,C) > ρ(A,C) —неравенство треугольника, причем равенство имеет местолишь тогда, когда B ∈ [AC] (если бы это неравенство невыполнялось, то свету на путь по P -ломаной ABC понадо-билось бы меньше времени, чем на путь по P -прямой AC —наибыстрейшему пути, чего не может быть).

Для пуанкарян введенное расстояние ρ первично (заметим, чтоотносительно этого расстояния свет распространяется с единич-ной скоростью), и у них нет причин выражать ρ через что-то еще;нам же естественно выразить ρ через наше евклидово расстояние.Это не просто: приходится иметь дело с неравномерным движе-нием света, и для вычисления времени, затраченного им, нужносчитать интегралы. Поэтому приведем лишь окончательный от-вет:

ρ(A,B) = ln r′ + r

r′ − r, (34)

где r— евклидово расстояние между точками A и B, r′ — евкли-дово расстояние между точкой A и точкой B′, симметричной точ-ке B относительно оси Ox; логарифм берется по основанию e (придругом основании логарифма мы получим ρ с точностью до по-стоянного множителя). Евклидово расстояние замечательно тем,что имеется много преобразований плоскости, его сохраняющих;такие преобразования и называются перемещениями. Посмотрим,


как выглядят перемещения в Пуанкарии (P -перемещения) — пре-образования, сохраняющие ρ, а значит, переводящие P -прямые вP -прямые.

Начнем с преобразований, не оставляющих ни одной точки наместе. Это прежде всего—обычные параллельные переносы вдольоси Ox: Ta(x, y) = (x+a, y). Эти параллельные переносы сохраня-ют и евклидово расстояние, и скорость света c(x, y) = y, а потомуи время, которое требуется свету на путь между двумя точками Aи B, то есть P -расстояние ρ(A,B), и, конечно, P -прямые перево-дят в P -прямые. С другой стороны, гомотетия Fb(x, y) = (bx, by),b > 0, пропорционально изменяя и евклидово расстояние, и ве-личину скорости света c(x, y), также не меняет времени, затра-ченного светом, то есть P -расстояния ρ(A,B). Итак, то, что нампредставляется гомотетией (с центром на оси Ox), пуанкарянамкажется перемещением. С помощью указанных P -перемещенийможно любую точку перевести в любую. Например, точка (x0, y0)переходит в точку (0, 1) при P -перемещении

(x− x0

y0,y

y0

). Отно-

сительно введенных P -перемещений — назовем их P -сдвигами —P -прямые распадаются на два класса: отдельно можно перевестидруг в друга полуокружности, а отдельно — лучи (почему?).

Поясним сейчас, как, используя P -сдвиги и свойства введенногоP -расстояния ρ, можно просто получить формулу (34), выражающуюρ через евклидовы расстояния, в том частном случае, когда обе точ-ки A и B находятся на оси y-ов: A = (0, y1), B = (0, y2). Положимρ(A,B) = ϕ(y1, y2), и найдем вид функции ϕ. Поскольку ρ сохраняетсяпри евклидовых гомотетиях с центром в точке O, то

ϕ(by1, by2) = ϕ(y1, y2). (35)

Кроме того, если C = (0, y3) — третья точка на оси y-ов, то в силусказанного выше

ϕ(y1, y2) + ϕ(y2, y3) = ϕ(y1, y3) (36)

Положим ψ(z) = ϕ(z, 1). Согласно (35)

ϕ(y1, y2) = ψ(y1/y2) = ψ(z1),ϕ(y2, y3) = ψ(y2/y3) = ψ(z2),ϕ(y1, y3) = ψ(y1/y3) = ψ(z3).


Учитывая соотношение (36) и последние три равенства, получим

ψ(z1 · z2) = ψ(z1) + ψ(z2),

откуда, в предположении, что ψ — достаточно «хорошая» функция сположительными значениями, получаем, что ψ(z) = k · ln |z|, где k —постоянный множитель, который вычисляется непосредственно.

Найденных P -перемещений еще недостаточно: у нас нет пре-образований, с помощью которых мы могли бы P -прямые одно-го типа (полуокружности) перевести в P -прямые другого типа(лучи). Добавим для этого P -симметрии относительно P -пря-мых. Для лучей — это обычная осевая симметрия, а для полу-окружностей — инверсия. (Например, P -симметрия относитель-но P -прямой L(−1, 1) — это инверсия относительно окружностис центром O = (0, 0) радиуса 1; она переводит точку A, отлич-ную от центра O, в точку A′, лежащую на луче OA, такую, что|OA| · |OA′| = 1.) Мы знаем, что при инверсии окружности и пря-мые переходят в окружности или прямые, причем величины угловсохраняются. На языке Пуанкарии это значит, что, например, приP -симметрии относительно P -прямой L(−1, 1) P -прямая L(α, β)переходит в P -прямую L

( 1α,1β

). В частности, P -прямые L(α, 0),

являющиеся при α 6= ∞ полуокружностями, переходят в P -пря-мые L

( 1α,∞), являющиеся лучами. Итак, P -симметрии перево-

дят Пуанкарию в себя, причем P -прямые переходят в P -прямые.Отдельно проверяется (мы эту проверку опускаем), что P -сим-метрии не меняют P -расстояния ρ. (Впрочем, в Пуанкарии всякоепреобразование, переводящее P -прямые в P -прямые, сохраняет ρ(здесь нет гомотетий); в этом—важнейшее отличие геометрии Ло-бачевского от геометрии Евклида.)

P -перемещений, которые можно получить, комбинируя P -сим-метрии с P -сдвигами, уже хватает для того, чтобы любую P -пря-мую перевести в любую P -прямую; более того, при этом любуюзаданную точку первой P -прямой можно совместить с заданнойточкой второй, и любой P -луч с другим P -лучом (докажите!).Значит, этими P -перемещениями можно совместить любые P -от-резки равной P -длины, и мы получаем, что такие отрезки P -рав-ны. Можно показать, что все P -перемещения сводятся к описан-ным.


Рис. 41.

При P -перемещениях угол переходит в угол, равный ему вевклидовом смысле (поскольку это так для параллельных перено-сов, гомотетий, осевых симметрий и инверсий). Поэтому понятиеравенства углов в Пуанкарии не отличается от евклидова. С уче-том этого обстоятельства пуанкаряне, точно так же как и мы,докажут два признака равенства треугольников: по двум сторо-нам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к нейуглам. Сложнее обстоит дело с доказательством третьего при-знака равенства треугольников — по трем сторонам: ведь нашедоказательство этого признака использует тот факт, что окруж-ности пересекаются не более чем в двух точках. К счастью, ока-зывается, что P -окружности совпадают с евклидовыми (целикомлежащими в верхней полуплоскости), только P -центр у них не

Рис. 42.

совпадает с обычным (это —довольно непростой факт),а потому и с признаком ра-венства по трем сторонамв Пуанкарии все в порядке.Однако в Пуанкарии естьеще один признак равенстватреугольников: равны тре-угольники с попарно рав-ными углами! (Переведитеэто утверждение на языкевклидовой геометрии и по-пытайтесь доказать его; см.


Рис. 43.

Рис. 44.

рис. 41 и задачу 4.) Значит, площадь треугольника в Пуанка-рии (как и сам треугольник) определяется величинами его угловα, β и γ. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольникаменьше π. Величина π − (α + β + γ) называется дефектом тре-угольника. Можно заметить, что дефект треугольника ведет себятак же, как площадь; точнее: если данный треугольник разрезатьпрямой, проходящей через его вершину, то площадь его будетравна сумме площадей получившихся треугольников; то же будетсправедливо и для дефекта всякого треугольника: он равен сум-ме дефектов образовавшихся треугольничков (рис. 42). Отсюдаможно вывести, что величина площади треугольника в геометрииЛобачевского пропорциональна дефекту π − α− β − γ.Несколько задач. 1. а) Убедитесь, что все P -прямые, перпендикуляр-ные к фиксированной P -прямой, сверхпараллельны (рис. 43).

б) Покажите, что для пары сверхпараллелей существует единствен-ный общий P -перпендикуляр (рисунки 44, а и б ).

2. Проверьте, что P -биссектрисы P -треугольника пересекаются водной точке — центре вписанной P -окружности. Подумайте, что можносказать об описанной P -окружности — всегда ли она существует (см.рисунок 45: на этом рисунке P -треугольники AiBCi — равнобедренные,с осью симметрии L(0,∞); i = 1, 2, 3; на рисунке отмечены перпенди-куляры к P -серединам сторон этих треугольников)?

3. Убедитесь, что у тупоугольного (но не остроугольного) P -тре-угольника высоты могут быть сверхпараллельны (на рис. 46). Что мож-но сказать о медианах?

4. Покажите, что у равнобедренного P -треугольника углы при осно-вании равны, а биссектриса угла при вершине является медианой ивысотой. Докажите для этого случая четвертый признак P -равенстватреугольников.

5. Пусть L(α, β), L(α, β1), L(α, β2) — три параллельные P -прямые


Рис. 45. Рис. 46.

Рис. 47.

Рис. 48.

(рис. 47). Докажите, что существует P -перемещение, переводящееL(α, β) в себя, а L(α, β1) — в L(α, β2).

Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нельзя определитьрасстояние между параллелями.

6. Если P -прямая L1, пересекает P -прямую L0 или сверхпараллель-на ей, то она проектируется на L0 в виде конечного P -интервала; еслиже L1, параллельна L0, то проекцией является P -луч.

7. Пусть P -прямая L0, перпендикулярна к L1, и пусть A— точка наL0, отстоящая от L1 на расстояние x (рис. 48). Проведем через точку AP -прямуюMx, параллельную L1, и обозначим через ϕ(x) величину угла,который P -прямая Mx образует с L0. Найдите ϕ(x) и покажите, чтоϕ(x) → π

2 при x→ 0 и ϕ(x) → 0 при x→∞.Функция ϕ(x) называется функцией Лобачевского; эта функция свя-

зывает величины углов и длины, и поскольку для углов существуетабсолютная единица измерения — полный угол, то в геометрии Лоба-чевского есть такая абсолютная единица измерения и для длин (онас помощью функции ϕ переносится с углов). В геометрии Евклидаϕ(x) ≡ π

2 , а потому аналогичной абсолютной единицы измерения длины


нет.

Твердые тела в Пуанкарии Пока во всех наших геометрическихрассмотрениях мы руководствовались только оптическими пред-посылками. Здесь нужно подчеркнуть, что геометрия Пуанкареполучилась неевклидовой не из-за того, что в Пуанкарии иныезаконы оптики, чем наши: мы строим (моделируем) Пуанкариюв нашем собственном мире и законов физики не меняем! Оптиче-ские же иллюзии пуанкарян объясняются оптической неоднород-ностью их мира.

Хотя, безусловно, самой яркой реализацией прямой линии яв-ляется световой луч, мы все же не измеряем длин при помощи вре-мени распространения света — для этих целей у нас есть линейка.Вероятно, стоит обзавестись линейкой и пуанкарянам. Конечноже, пуанкаряне изготовят линейку «P -прямой»; но если пуанка-рянин перенесет такую линейку из одного места в другое, то она«прямой» (P -прямой) ему уже не покажется. С точки зрения пу-анкарянина при движении твердого тела меняется его форма. Какже пуанкарянин должен реагировать на это? Ясно, что нужнокак-то увязать понятие твердого тела с геометрией Пуанкарии,иначе пуанкарянам придется поверить в существование сверхъ-естественных сил. Анри Пуанкаре придумал остроумный выходиз этого, казалось бы, безнадежного положения: он воспользовал-ся явлением теплового расширения тел. Пусть в Пуанкарии увсех тел одинаковый коэффициент теплового расширения и нуле-вая теплопроводность, а размеры тел пропорциональны абсолют-ной температуре T . (Заметим, что в этих условиях при помощиобычного термометра пуанкаряне не могут измерить температуру,поскольку такое измерение предполагает сравнение расширениятел с разными коэффициентами теплового расширения.) Твердоетело характеризуется тем, что при движении в среде с постоян-ной температурой расстояние r(A,B) (евклидово) между любымидвумя его точками A и B сохраняется. Но если тело переместит-ся из области с температурой T1 в область с температурой T2,то расстояние между его точками умножится на T2/T1 (другимисловами, останется прежним отношение r(A,B)/T ). А что будет,если тело сразу окажется в области с разными температурами?

Какая величина будет сохраняться в этих условиях? Пусть,


например, достаточно большое твердое тело перемещается в сре-де, где по одну сторону от некоторой прямой m температура T1,а по другую — T2, пусть A— точка тела, находящаяся в областис температурой T1, а B — точка тела, находящаяся в области стемпературой T2. Возьмем ломаную с концами в точках A и B ивершиной C на прямой m. Обозначим |AC| = r1, |CB| = r2 и рас-смотрим величину r1/T1 + r2/T2. Оказывается, что при движениив такой температурной среде сохраняется наименьшее значениевеличины r1/T1 + r2/T2, взятое по всем ломаным с вершинами напрямой m и с концами в двух данных точках A и B! Далее можнов точности повторить те же рассуждения, что и при применениипринципа Ферма, например, к выводу закона преломления Снел-лиуса, и мы получим, что искомое наименьшее значение будетотвечать ломаной, для которой sinα1

T1= sinα2

T2, где αi — угол соот-

ветствующего звена ломаной с нормалью к прямой m.Пусть теперь в Пуанкарии в точке x, y постоянно поддержива-

ется абсолютная температура T (x, y) = y. Тогда за счет выбран-ного температурного режима при движении твердых (в нашемсмысле!) тел будут сохраняться уже не евклидовы расстояния,а P -расстояния, и с точки зрения пуанкарян (ведь они не чув-ствуют разницы температур!) размер тела, движущегося в такойсреде, сохраняется, то есть оно—P -твердое. Осталось позаботить-ся лишь о том, чтобы все предметы имели малые теплоемкости иперемещались настолько медленно, чтобы находиться в тепловомравновесии, и чтобы изменение температуры было для пуанкаряннезаметно. В результате пуанкаряне не только не увидят границымира, но и не смогут никогда добраться до нее: при приближениик границе температура стремится к абсолютному нулю, а пото-му будут стремиться к нулю и размеры предметов, без измененияпропорций между предметами. Анри Пуанкаре старался исклю-чить для пуанкарян все возможности узнать, что их неевклидовмир всего лишь сконструирован в нашем евклидовом. Но все лион предусмотрел? Если вы обнаружите какие-либо неучтенныевозможности пуанкарян, напишите нам об этом.

ЗАГАДКА РАМАНУДЖАНА

Рамануджан любил говорить, что формулы емувнушает во сне богиня Намаккаль. Интересноотметить, что действительно он часто, вставаяпо утрам с кровати, тут же записывал готовыеформулы. Сешу Айар и Рамачандра Рао

Письмо в Кембридж. В самом начале 1913 года профессор Кем-бриджского университета Г. Г.Харди получил письмо из далекогоМадраса. В свои 36 лет Харди был уже одним из крупнейших спе-циалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великолепныхматематических работ. Отправитель же письма, Сриниваза Ра-мануджан, работал клерком в бухгалтерии почтового ведомстваМадраса с более чем скромным окладом в 20 фунтов в год. Онсообщал о себе, что не имеет университетского образования и по-сле окончания школы самостоятельно занимается математикой,не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». Матема-тическое содержание письма выглядит достаточно неуклюже —вполне можно принять автора за самоуверенного любителя.

Само по себе такое письмо не могло произвести на Хардисильного впечатления. Но к письму было приложено некотороеколичество формул, которые предлагалось опубликовать, еслиони интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бедно-сти. Просмотр формул насторожил Харди: он понял, что имеетдело с незаурядным явлением. Он заинтересованно отвечаетРамануджану, между ними завязывается интенсивная перепис-ка. Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразныхформул.

Формулы Рамануджана касались в основном соотношениймежду бесконечными радикалами (вставка 2), бесконечными ря-дами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4),

389

390 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)

Вставка 1. Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджа-ном.

1− 5(

12

)3

+ 9(

1 · 32 · 4

)3

− 13(

1 · 3 · 52 · 4 · 6

)3

+ . . . =2π

Эта удивительная формула — одна из приложенных Рамануджаном кпервому письму Харди. Каким образом сумма знакочередующегося ря-да a0 + a1 + a2 + . . . с общим членом

an = (−1)n(4n+ 1)(

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)2 · 4 · 6 · . . . · 2n

)3

может вдруг оказаться равной 2/π, Харди долго не мог понять. В спра-ведливости этой формулы как приближенного равенства читатель мо-жет убедиться с помощью калькулятора. Доказательство точного ра-венства неэлементарно.

тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что онидалеко выходят за пределы элементарной математики. Далеевозникает цепь вопросов: известны ли они; если да, то самостоя-тельно ли получены автором письма; если нет, то верны ли они?Вскоре Харди понимает, что ситуация парадоксальна: он, несо-мненно, выдающийся специалист по современному анализу, имеетдело с россыпью неизвестных ему формул!

Большое впечатление на Харди произвели формулы с беско-нечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходитк выводу: «. . . в распоряжении Рамануджана должны быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает».

Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цеп-ными дробями (одно из более поздних соотношений этого типапоказано на вставке 3): «. . . эти соотношения поставили меня пол-ностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточнобросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они моглибыть написаны только математиком самого высшего класса».

Чудо из Кумбаконама. Как же сложился математик, который такудивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 де-кабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основномпротекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадра-

Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 391

Вставка 2. Бесконечно повторяющиеся радикалы.√1 + 2

√1 + 3

√1 + 4

√1 + . . . = 3.

Эту красивую формулу Рамануджан получил еще в школьные годы сле-дующим образом: он написал последовательность очевидных равенств

n(n+ 2) = n√

1 + (n+ 1)(n+ 3) =

= n

√1 + (n+ 1)

√1 + (n+ 2)(n+ 4) = . . . ,

а затем подставил n = 1. Вопрос о законности перехода к пределу Рама-нуджана не интересовал. Действуя так же, читатель может попробоватьсамостоятельно получить похожую формулу√

6 + 2

√7 + 3

√8 + 4

√9 + . . . = 4.

са), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильнойлавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатствоуже давно не было уделом его родственников. Его родители, амать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получилвоспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе,где каждый камень связан с древней религией, в окружении лю-дей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей ка-сте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.

С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает на-чальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способно-сти, получает стипендию, обеспечивающую обучение в среднейшколе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса даетему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Ра-мануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможностьпользоваться его консультацией в решении задач. К этому пери-оду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что онсам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был оченьрасстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони.

«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в дру-


Вставка 3. Числовое тождество с бесконечной суммой и цепнойдробью.

1 +1

1 · 3+

11 · 3 · 5

+1

1 · 3 · 5 · 7+

11 · 3 · 5 · 7 · 9

+ . . .+

+1

1 +1

1 +2

1 +3

1 +4

1 + . . .

=√πe

2.

Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное про-изведение математического искусства. Она неожиданно связывает бес-конечный ряд и бесконечную цепную дробь. Удивительно, что ни ряд,ни цепная дробь не выражаются через известные постоянные π и e, аих сумма непостижимым образом оказывается равной

√πe/2 !

гих науках, следует искать присущую ей «высшую истину», рас-спрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссыл-ки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.

«Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной мате-матики». Это двухтомное руководство английского математикаКарра, написанное в 1880 – 1886 гг., попало к Рамануджану в1903 г.—ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную рольв формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 теорем иформул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями.В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии, анализу,аналитической геометрии.

Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельномувыводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана вэти годы. Постепенно меняется область его основных интересов:магические квадраты, потом квадратура круга (он находит π сточностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой,не превышающей 1 – 2 м, гласит легенда) и, наконец, наступаеточередь бесконечных рядов. Это уже начало подлинной матема-тической жизни!

Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобы


сформировать математический мир Рамануджана. Но ориента-ция на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку кни-га не содержала доказательств, а в лучшем случае — наводящиесоображения, у Рамануджана складывается своеобразный методустановления математической истины. К тому же он лишен в Ин-дии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгиедоказательства.

«Его понимание сущности математического доказательствабыло более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам,как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным,при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивныхсоображений и логических рассуждений. . . »

Математическая судьба Рамануджана фактически полностьюрешилась в эти годы — направление научных поисков, способ ду-мать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сожаление,что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормаль-ных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей про-фессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, чтоон был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть такмного, если бы с детства был обучен правилам поведения в мате-матике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгимидоказательствами, строил бы свой математический мир на базевсего достигнутого человечеством, а не на сравнительно неболь-шом числе фактов?

От чисел к формулам. В формировании математического мираРамануджана было важно, что начальный запас математическихфактов (в основном почерпнутый из книги Карра) объединился унего с огромным запасом наблюдений над конкретными числами.Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный то-варищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаковв разложениях e, π и других чисел в десятичные дроби. Он обла-дал поразительными способностями подмечать арифметическиезакономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой ма-териал — искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс,но которое было в значительной степени утрачено к XX веку.Многое в числовой кладовой открывалось при случайных обстоя-тельствах. Харди позднее вспоминал, как он навестил в больнице


Рамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным»номером 1729. Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди,ну как же, Харди, это число — наименьшее натуральное число,представимое в виде суммы кубов двумя различными способа-ми!» (1729 = 13 + 123 = 93 + 103). В книге Харди о творчествеРамануджана метко сказано, что «каждое натуральное число бы-ло личным другом Рамануджана».

Рамануджан стремительно пополняет запас фактов, почерп-нутый у Карра. Он при этом с удивительной скоростью переот-крывает результаты Эйлера, Гаусса, Якоби. Так некогда юныйГаусс в Брауншвейге, лишенный литературы, реконструировал вкороткий срок то, на что у его великих предшественников ушлидесятилетия. Можно только удивляться, что реконструкции ма-тематики с такими скоростями возможны.

Постепенно коллекция наблюдений над конкретными числамиуходит у Рамануджана на второй план перед миром формул. Фор-мулы для него — не вспомогательное средство для доказательствили вычислений, но представляют самостоятельную цель. Внут-ренняя красота формулы имеет для Рамануджана бесконечнуюценность. Его формулы можно рассматривать как прекрасныекартины.

Выбор профессии. В 1904 г. Рамануджан поступает в Мадрасскийуниверситет, делает первые успехи не только в математике, нои в английском языке. Однако математика начинает заниматьего целиком, и это не замедлило сказаться. Он не кончает дажепервого курса, странствует с другом, делает попытку вернутьсяв университет, а затем закончить его экстерном (1907 г.). Но всебезуспешно. В 1909 г. он женится; его жене девять лет, и онадоживет до наших дней, трогательно сохраняя память о великомсупруге. Рамануджан вынужден думать о средствах на жизнь, ноон не может найти подходящего занятия. В 1910 г. он показываетсвои математические результаты Рамасвари Айару, основате-лю Индийского математического общества, затем Сешу Айару,преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рамачандра Рао,крупному чиновнику, получившему математическое образование;позднее они стали биографами Рамануджана.

Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клерком


в почтовое управление. В 1911 г. появляется в печати сообщениеСешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и его собствен-ная статья. В судьбе Рамануджана начинают принимать участиевлиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 г. на два года онобеспечен специальной стипендией в 75 рупий (5 фунтов) в месяц.Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оставляет ка-рьеру клерка. Он становится «профессиональным математиком».

Итак, Рамануджан встретил среди окружающих определенноепризнание, но не понимание. Мы помним, что в начале 1913 г.он пишет Харди. Чего он ожидал от Харди? Найти, наконец, че-ловека, способного понять и оценить его результаты, помочь инаправить его дальнейшие исследования? Скорее повод был бо-лее прозаическим: от внешнего мира ему требовались не слава ипризнание, но обеспечение возможности существовать.

Надо сказать, что в научном плане адресат был выбран ис-ключительно удачно: трудно было бы найти другого математикав мире, который смог бы так быстро и эффективно сориентиро-ваться в результатах Рамануджана. Очень скоро Харди понимает,что от него требуется не оценка результатов безвестного любителяили младшего коллеги, но спасение огромного дарования. Одно-временно его не оставляет мысль, что Рамануджан сообщает лишьнемногое из того, что знает, что он обладает очень общими резуль-татами, приводя лишь частные иллюстрации. Но главное — он неможет реконструировать метод Рамануджана, и ему не терпитсяузнать, каким путем двигался его удивительный корреспондент.Неожиданно Рамануджан твердо отказывается описывать свойметод. В письме от 27 февраля 1913 г.: «. . . Вы просите менясообщить мои методы доказательств. . . Вот что я хочу Вам ска-зать: проверьте мои результаты, и если они совпадают с Вашими,то Вы должны, по крайней мере, согласиться с тем, что в моихосновных рассуждениях имеется какое-то зерно истины».

Харди подозревает, что Рамануджан боится, что его методамимогут воспользоваться, пытается рассеять опасения, но 17 апреляполучает ответ: «Ваше последнее письмо причинило мне боль. . .Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использо-ваны другими. Напротив, я работаю моими методами 8 лет и ненашел никого, кто бы понимал или оценил их. Как я уже писалв моем последнем письме, я нашел в Вас внимательного и пони-


Вставка 4. Тождество Роджерса — Рамануджана.Это тождество

1 +x

1− x+

x4

(1− x)(1− x2)+

x9

(1− x)(1− x2)(1− x3)+ . . . =

=1

(1− x)(1− x6)(1− x11) · . . . · (1− x4)(1− x9)(1− x14) . . .

Рамануджан нашел в 1911 году, но не сумел его доказать. Не сумел егодоказать и Харди. В 1917 году, просматривая журнальную литературу(что он делал довольно редко), Рамануджан наткнулся на оставшуюсянезамеченной статью английского математика Роджерса 1894 года, гдеэта формула была доказана. Оказалось, далее, что это тождество тесносвязано с числом p(n) разбиений на слагаемые (см. вставку 5). А совсемнедавно оно появилось в исследованиях. . . по статистической физике.

мающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение тенемногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу но-визны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мойпуть вывода тех формул, которые я сообщил Вам в моих преды-дущих письмах. . . ».

Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходи-мы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индииэто невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Ан-глию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однакопредстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджа-на, которого нынешнее положение вполне устраивало. К томуже против поездки категорически возражала мать, согласиекоторой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформи-ровать общественное мнение, активно действует кембриджскийматематик Невил, в начале 1914 г. посетивший Мадрас. Он об-ращается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно.

То, что было не под силу ученым, легко осилила. . . богиня На-маккаль (согласно легенде, из ее уст во сне Рамануджан узнавалновые формулы). Мать увидела во сне сына, сидящего в большомзале в окружении европейцев, и богиня повелела не противитьсяотъезду. 17 марта 1914 г. Рамануджан отбыл в Англию. Он будетдва года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов в год. Из


Вставка 5. Теорема Харди – Рамануджана.

Эта теорема дает оценку числа p(n) разбиений натурального числа nна натуральные слагаемые. (Например, p(5) = 7, так как 5 = 4 + 1 =3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.) Именно,

p(n) ∼ Ane

π

(√√√√23

(n−

124

)),

где An = 12π√

2

π√

6(n− 1

24) − 1

2(n− 1

24)3/2

—функция от n. Напри-

мер, при n = 200 «приближенная» формула Харди – Рамануджана даетp(200) = 3 972 999 029 388. Это — точный ответ! Наиболее загадочна вформуле для p(n) маленькая «поправочка» (−1/24), придуманная Ра-мануджаном. Никто — ни Харди, ни даже сам Рамануджан — не сумелобъяснить, откуда она взялась. Опять вмешательство богини Намак-каль? Так или иначе, именно эта таинственная поправка обеспечилаточность оценки. Однако Харди и Рамануджан не ограничились при-ближенной формулой: впоследствии они получили точное равенстводля вычисления p().

них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскоре стипендиябыла еще увеличена на 60 фунтов.

В Кембридже. Рамануджану 27 лет. Лучшие годы для становле-ния математика прожиты в Индии без контакта с серьезнымиучеными, без доступа к математической литературе. В разныхстранах, в разные времена человек ощущает себя сложившимся вразном возрасте. Для Индии начала века, с очень низкой продол-жительностью жизни, 27 лет — возраст зрелого человека. ВдоваРамануджана вспоминала, что он любил составлять гороскопы, иего собственный гороскоп предсказывал ему смерть до достиже-ния 35-летнего возраста.

Харди предстояло принять очень ответственное решение: надоли прервать занятия Рамануджана с тем, чтобы он смог осво-ить современную математику? Выбор Харди был, по-видимому,единственно возможным: не менять стиля и направлений иссле-дования Рамануджана, лишь по возможности корректируя их с


учетом современной математики и стараясь объяснять новые ве-щи, обращая внимание на подходящую литературу. Харди писал:

«Его ум уже сложился, и он так и не стал ”ортодоксальным“математиком. Однако он еще был способен учить новые вещи иделал это весьма хорошо. Было невозможно обучать его система-тически, но мало-помалу он воспринимал новые точки зрения.В частности, он усвоил, что такое доказательство, и его позд-ние статьи, при том, что в некоторых отношениях они оставалисьнеобычными и индивидуальными, воспринимались как работы хо-рошо информированного математика. Однако его методы остава-лись по существу прежними».

Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У негомного общих интересов с Харди. Фантастическая интуиция Ра-мануджана, объединившись с рафинированной техникой Харди,дает замечательные плоды. К Рамануджану приходит признание:в 1918 г. он становится профессором университета в Кембридже;его выбирают в Королевское общество (английскую академию на-ук). Никогда прежде индус не удостаивался таких почестей.

Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем ре-лигиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности,он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам. Он от-казывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 г.Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так счи-тал и сам Рамануджан, как вспоминала вдова). Оставшиеся двагода в Англии Рамануджан провел в больницах и санаториях, вы-нужденный ослабить интенсивность занятий математикой.

Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскуюжизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природнаявежливость, стремление не быть источником для дискомфор-та окружающим, так присущие индийской культуре, помогалиРамануджану по крайней мере внешне приспособиться к универ-ситетской жизни.

Харди очень много делал для Рамануджана: следил за его за-нятиями, стремился восполнить пробелы в его образовании, забо-тился о его положении в обществе и быте. Рамануджан до послед-ней минуты был полон трогательной признательности и любви кнему. . .


Возвращение и смерть. Заболев, Рамануджан начинает думать овозвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улуч-шилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю.Ему было готово место в Мадрасском университете — слава егодостигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственноеписьмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давалавозможности работать достаточно интенсивно. Но он так и не смогприступить к работе в университете. Жить на родине (и вообщежить) ему оставалось менее года. После трех месяцев в МадрасеРамануджан перебрался в Кумбаконам. В январе 1920 г. он посы-лает последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новымклассом тэта-функций. Ни врачи, ни родные не могут уговоритьсмертельно больного ученого прервать работу. 26 апреля 1920 г.Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.

Память. Весть о смерти Рамануджана потрясла его друзей и вИндии, и в Англии. Они чувствовали свой долг разобраться в томудивительном явлении, каким был Рамануджан. Харди пишет:«Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджануследовало бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшимсоздателем формул своего времени».

Друзья и коллеги старались оценить место Рамануджана в со-временной математике. Они не сомневались в его удивительныхспособностях, фантастической красоте формул, но все сходилисьна том, что сам выбор сюжетов, которых настойчиво держалсяРамануджан, не позволяет ему занять достойное место в историиматематики.

Прошло более полувека, и сегодня мы отчетливо видим то,что не могли предвидеть Харди и его современники. Гений Ра-мануджана оказался созвучен не только прошлому, но и будуще-му математики. Арифметические формулы Рамануджана нередкооказывались ключевыми на новых этапах алгебраической теориичисел, и можно было только удивляться, как он смог увидеть их,не зная того, без чего их увидеть нельзя. А потом пришло воз-рождение интереса к конкретным явным формулам как внутриматематики, так и в сфере ее приложений. Современная мате-матическая и теоретическая физика обращаются порой к весьмаабстрактным разделам математики, и при этом очень изысканные


явные формулы играют важную роль. Вот два недавних примера,связанные с Рамануджаном.

Р.Бакстер, прославившийся построением точно решаемых мо-делей статистической механики, при исследовании модели «жест-кого гексагона» неожиданно обнаружил, что постоянно имеет де-ло с тождествами Роджерса – Рамануджана (вставка 4 на с. 396)и Рамануджана.

Нобелевский лауреат С. Вайнберг недавно вспоминал, как, за-нимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теориейструн, он столкнулся с задачей об оценке функции разбиений p(n)для больших n. Выяснилось, что нужные формулы получили Хар-ди и Рамануджан в 1918 г. (вставка 5 на с. 397)

Красота формул Рамануджана даровала им способность воз-рождаться при самых необычных обстоятельствах.

О ПОЛЬЗЕ КООРДИНАТ И ИСКУССТВЕСЦЕПЛЯТЬ ГИПЕРБОЛОИДЫ

Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что остави-ли невыясненным древние относительно плоских и телесныхмест. П. ФермаЯ полагаю, что теперь ничего не пропустил из начал, необхо-димых для познания кривых линий. Р. Декарт

Пионерские идеи великих математиков претерпевают много-численные изменения, прежде чем попасть на страницы учебни-ков. В рафинированном виде их проще усваивать, яснее сфера ихприменимости, но что-то трудноуловимое при этом исчезает. Воз-можно, это логика открытия, ощущение материала , да и простоволнение перед открывающимися возможностями. Как разнятсяэнтузиазм создателей аналитической геометрии и ощущения сту-дента, изучающего ее сегодня! Мы вспомним здесь лишь несколь-ко эпизодов из истории создания аналитической геометрии, не пы-таясь сколько-нибудь полно воссоздать эту историю, а закончимрассказ небольшим эпизодом в стиле аналитической проективнойгеометрии прошлого века, но на сравнительно современном ма-териале. Очень соблазнительно попробовать рассуждать так, какэто умели делать сто лет назад! Именно, мы докажем теорему опяти гиперболоидах в пятимерном пространстве. Два однополост-ных двумерных гиперболоида называются сцепленными, если ониимеют общую образующую и не лежат в одной трехмерной плос-кости. Несколько гиперболоидов называются сцепленными, еслиони попарно сцеплены, причем образующие сцепления принад-лежат одному семейству образующих. Если прямые сцепленияразных пар гиперболоидов различны, то сцепление называетсяневырожденным.

Теорема. Если в пятимерном пространстве невырожденно сцеп-лены четыре однополостных двумерных гиперболоида, то всякий

401

402 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды

пятый гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеплен и счетвертым.

Важной компонентой профессионализма у математика являет-ся умение априори оценить трудность задачи. В некотором смыслематематики верят, что существует закон сохранения «нетривиаль-ности», а потому у них заранее имеется предубеждение противлегко решенной задачи, которую эксперты оценивали как труд-ную. Одно из проявлений этой традиции—уверенность, что люби-телю не по силам решить давнюю проблему. История математикипоказывает, что, хотя и можно привести противоречащие при-меры, в среднем эти правила хорошо выполняются, по крайнеймере на отрезках времени, сравнимых с жизнью человека. Те жеслучаи, когда происходит резкая переоценка трудности задач, от-вечают революционным изменениям в математике. Когда они со-зревают в течение заметного времени (как было с алгебраическойсимволикой или исчислением бесконечно малых), к ним успеваютпривыкнуть. Иная ситуация возникает, когда новая возможность,приводящая к решительной переоценке ценностей, открываетсянеожиданно. Нередко даже возникает желание объявить новыеприемы незаконными. Выразительной иллюстрацией является ре-акция Гордана на решение Гильбертом его проблемы конечностичисла инвариантов: «Это теология, а не математика». Дело в том,что Гильберт вместо привычного тогда непосредственного постро-ения инвариантов, что удавалось в отдельных случаях с большимтрудом, одним ударом доказал их существование в общем случае.

Однако, вероятно, ни одна революция в математике не про-исходила так остро, как проникновение аналитических методовв геометрию. Рушились представления о трудности геометриче-ских задач, девальвировалась роль геометрической интуиции —гордости математиков. То, что требовало изысканных рассужде-ний, получалось в результате прямолинейных выкладок. В связис этим возникло консервативное течение, борющееся за истин-ную геометрию, которую пытаются подменить скучной алгеброй.Для сравнения заметим, что куда более безболезненным былосоздание аналитической механики, когда Эйлер и Лагранж, от-казываясь от геометрических методов Ньютона, превращали припомощи метода координат механику в раздел математическогоанализа. Ситуация в геометрии несколько напоминает переход к

О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 403

машинному производству, когда искусство кустарей терялось воднообразном потоке автоматической деятельности. Сегодня мыясно видим, что аналитические методы не убили геометрическуюинтуицию, а напротив, позволяли «экономить» ее в сравнительнопростых ситуациях и создавать интуицию более высокого уровня.Однако нельзя отрицать, что многое из того, что делалось в син-тетической геометрии (так называют традиционную геометрию,не использующую координат), безвозвратно утрачено.

Итак, в 30-х годах XVII века два крупнейших математика то-го времени Ферма и Декарт открыли, что при помощи координатуравнению с двумя неизвестными можно поставить в соответствиекривую на плоскости. Это был неожиданный поворот воззрений, вчастности, потому, что считалось, что раз одно уравнение с двумянеизвестными имеет бесконечное число решений, его нет смысларассматривать (так и сейчас иногда говорят в школе). Благодаряже геометрическому подходу это бесконечное множество неожи-данно приобрело право гражданства. Не менее плодотворна и об-ратная возможность ставить в соответствие кривым задающие ихуравнения. С этого и начинается аналитическая геометрия.

Решающее открытие состояло в том, что уравнениям первойстепени в плоскости отвечают прямые, а уравнениям второй сте-пени—конические сечения. Тем самым два основных объекта гре-ческой геометрии оказались простейшими с аналитической точкизрения. Мечта геометров того времени состояла в том, чтобы усво-ить и превзойти теорию конических сечений Аполлония. Фермаи Декарт убеждаются, что большинство утверждений на анали-тическом языке получаются удивительно просто. Декарту удает-ся аналитически решить несколько недоступных грекам задач нагеометрические места точек. Как показывают высказывания, взя-тые в качестве эпиграфов, создатели аналитической геометриине видят пределов для ее возможностей (плоскими местами гре-ки называли прямую и окружность, а телесными — коническиесечения). Еще многое не прояснено (не рассматриваются отрица-тельные координаты, нет четкой теоремы о приведении уравнениявторого порядка к каноническому виду и т. д.), но все основаниядля оптимизма есть.

Прежде всего перед геометрией открываются новые горизон-ты, совершенно иной предстает ее структура. Не вызывает со-


мнений, что следующая еще не созданная глава геометрии — этотеория кривых третьего порядка. Некоторые кривые этого классарассмотрел Декарт, но естественно было попытаться построитьобщую теорию столь же подробно, как в случае кривых второ-го порядка. Прежде всего предстояло дать классификацию такихкривых. Задача эта оказалась оченьне простой, и ее решил Нью-тон в 60-е годы XVII века (рукопись была опубликована многопозже — в 1704 г.). О сложности задачи красноречиво говоритответ: имеется 72 различных вида кривых третьей степени. Впро-чем, ответ достаточно обозрим благодаря тому, что все виды кри-вых распределяются по четырем типам

2 + = (), = (), 2 = (), = (),

где — многочлен третьей степени от x.Здесь автоматически возникает вопрос о том, что означает

классификация. Для кривой, заданной уравнением в какой-то си-стеме координат, ищется система координат, в которой ее урав-нение выглядит особенно просто. Часто такую систему удаетсяфиксировать почти однозначно, и тогда соответствующее урав-нение естественно считать каноническим. Более общим образом,геометрию кривой составляют такие свойства ее уравнений, кото-рые не зависят от системы координат, — инварианты. Мы видим,что на аналитическом языке очень рано начинает вырисовыватьсяопределение предмета геометрии. На синтетическом языке, вме-сто того чтобы менять систему координат, преобразуются самифигуры и, как стало ясно лишь к концу XIX века (эрланген-ская программа Клейна), изучаются их свойства, не меняющиесяпри преобразованиях. Итак, в аналитической геометрии различ-ные разделы отвечают различным классам систем координат, а всинтетической — группам преобразований.

Ньютон, занимаясь кривыми третьей степени, выяснил многообщих вещей, необходимых для того, чтобы вычленять геомет-рическую компоненту из алгебраических фактов об уравнениях.

1. Прежде всего нужно было выявить геометрический смыслисходной аналитической характеристики кривой — порядка (сте-пени задающего ее уравнения). Ньютон замечает, что порядоксовпадает с наибольшим числом точек, по которым прямая может


пересечь кривую (в случае кривой порядка n для их определе-ния возникает уравнение n-й степени от одного переменного). Тутпоявляются трудности с мнимыми точками пересечения, для рас-смотрения которых еще нет средств.

2. Упомянем важнейшее обобщение этого утверждения: есликривые порядков k и l пересекаются более чем в kl точках, тоони имеют бесконечное число точек пересечения. Иначе говоря,в последнем случае они имеют общую компоненту (алгебраиче-ская кривая может распадаться на несколько компонент, напри-мер, кривая Q1Q2 = 0 распадается на Q1 = 0 и Q2 = 0). Еслиже в этом случае одна кривая в естественном смысле неприводи-ма (не распадается на компоненты), то она целиком содержитсяв другой. Эту теорему сформулировал Маклорен, младший со-временник Ньютона, а доказал почти через сто лет Безу, именемкоторого она и называется теперь. Более точная формулировкавключает комплексные точки пересечения и точки пересечения,лежащие на бесконечности.

3. Ньютон имел много возможностей убедиться в эффектив-ности метода координат. Он продемонстрировал это в процессепереноса на алгебраические кривые высокой степени различныхфактов о конических сечениях. Вот, например, как обстоит дело стеорией диаметров. Напомним, что если для конического сечения,скажем для эллипса, провести хорды, параллельные некоторомунаправлению, то их середины лежат на одной прямой, называемойдиаметром. Если для кривой порядка n провести пучок парал-лельных прямых и в пересечении каждой прямой получится n то-чек x1, . . . , xn, то рассмотрим их центры тяжести (x1 + . . .+ n)/n(заметим, что они не зависят от выбора координаты на прямой;как и Ньютон, мы не обсуждаем случай мнимых точек пересе-чения). Теорема Ньютона утверждает, что все центры тяжестилежат на одной прямой.

В самом деле, выберем систему координат так, что параллель-ные прямые задаются уравнениями y = const. Пусть F (, y) = 0 —уравнение кривой в этой системе,

F (, ) = axn + bxn−1y + cxn−1 + . . . .

Тогда точки пересечения x1, . . . , xn являются корнями уравне-ния F (, ) = 0 по при фиксированном y. По теореме Виета (x1 +


. . .+ n)/n = −(by+ )/an, т. е. все центры тяжести лежат на однойпрямой anx+ by + c = 0 — диаметре Ньютона.

4. Почти одновременно с созданием аналитической геометрииДезарг, а вслед за ним Паскаль заложили основы проективнойгеометрии. Исходное наблюдение состояло в том, что применениецентральной проекции позволяет упростить геометрические рас-смотрения (например, все конические сечения получаются одноиз другого проектированием). Возникает конкурирующий с ана-литической геометрией способ упростить и продвинуть теориюАполлония. Паскаль подготовил всеобъемлющий трактат, кото-рый был утерян, и о работах по проективной геометрии забылина сто лет. Вероятно, не знал о них и Ньютон. Однако от негоне ускользнуло, что использование проектирования (рассмотрение«тени от светящейся точки») очень упрощает теорию не толькоконических сечений, но и общих алгебраических кривых. Важней-шее наблюдение Ньютона состоит в том, что при проектированиисохраняется порядок кривой. Применительно к кривым третьегопорядка он устанавливает, что любая кривая может быть приве-дена проектированием к одной из кривых вида y2 = (), где P —кубический многочлен. Это доказал позднее Клеро.

5. Геометрия кривых третьего порядка существенно богачегеометрии кривых второго порядка. Прежде всего, могут по-явиться особые точки: двойные (точки самопересечения, как(0, 0) у кривой y2 = x2(x + 1)) и точки возврата (как (0, 0) укривой y2 = x3). Далее, касательная в точке касания в общемслучае имеет двукратную точку пересечения (соответствующиймногочлен от одного переменного имеет двойной корень), но мо-жет иметь и трехкратную точку пересечения (для уравненийбольшей степени она может иметь еще большую кратность). Та-кие точки называются точками перегиба ((0, 0) у кривой y = x3).У кривых третьей степени может быть до трех точек перегиба(точки (0, 0), (1, 0), (2, 0) у кривой y3 = x(x−1)(x−2)). Маклорензаметил, что в этом случае все эти точки обязательно лежат наодной прямой (в примере прямая y = 0). В XVIII веке алгеб-раические кривые, прежде всего третьей и четвертой степеней,были в центре внимания математиков. Эти вопросы излагалисьв первых учебниках аналитической геометрии. Однако многоеоставалось невыясненным. Становилось ясно, что для построе-


ния гармоничной теории необходимо добавить точки, лежащиена бесконечности, а также мнимые точки, поскольку все времяприходится решать алгебраические уравнения высоких степеней(уже в 1717 г. Стирлинг упоминает кривую с двойной мнимойточкой на бесконечности).

Учесть эти два обстоятельства можно в рамках комплекснойпроективной геометрии, начало которой положил Понселе. Егопервое удивительное наблюдение состояло в том, что все окружно-сти пересекаются в двух бесконечных удаленных мнимых точках.Эти точки, названные циклическими, управляют всей конформ-ной геометрией плоскости. Другое великое открытие Понселе (онделит его с Жергонном) — это принцип двойственности, в силукоторого каждое планиметрическое утверждение имеет двойник,где прямые заменяются на точки и обратно. В связи с этим есте-ственно связывать с кривой не только множество ее точек, но имножество ее касательных. Возникает инвариант, двойственныйпорядку, — класс p. Это наибольшее число касательных, проходя-щих через точку. Для неособой кривой третьей степени p = 6.Общая формула для неособой кривой имеет следующий вид:

p = n(n− 1). (37)

Удивительно, что замечательные открытия Понселе, знамено-вавшие создание нового типа геометрической интуиции, были сде-ланы на синтетическом языке, поскольку проективную геометриюеще не удалось объединить с аналитической. Еще не придума-ли координаты, которые обслуживали бы все точки проективнойплоскости, включая бесконечно удаленные.

Такие координаты появились в 1827 – 1828 гг. у Мёбиуса иПлюккера. Особенно простой и удобной является конструкцияоднородных координат Плюккера. Он ставит в соответствиеточке проективной плоскости тройку чисел = (x0, x1, x2) 6=(0, 0, 0) с точностью до постоянного множителя: (x0, x1, x2) =(λx0, λx1, λx2). Всякая прямая на проективной плоскости P2 за-дается уравнением (ξ, x) := ξ0x0 + ξ1x1 + ξ2x2 = 0, где ξ 6= (0, 0, 0);ξ и λξ соответствуют одной и той же прямой. Поэтому прямыена P2 естественно образуют другую проективную плоскость P2

ξ

с однородными координатами ξ. Прямым на P2ξ соответствуют


точки P2 = P2x. В результате совершенно нетривиальный на син-

тетическом языке принцип двойственности на аналитическомстановится почти очевидным.

Общее проективное преобразование координат имеет вид x ==∑ajixi, где det(aji) 6= 0. Они характеризуются тем, что взаимно

однозначны на P2 и переводят прямые в прямые.Чтобы фиксировать аффинную структуру на P2, нужно неко-

торую прямую, например 0 = 0 (но не обязательно ее), объявитьбесконечно удаленной. Вне 0 = 0 всегда можно выбирать коорди-наты вида (1, x1, x2). Тогда x1 = x1/x0, x2 = x2/x0 будут декар-товыми. При аналитическом подходе с самого начала бесконечноудаленная прямая ничем не выделена.

Отправляясь от предложенной Плюккером интерпретациипринципа двойственности, естественно наряду с кривой Γ = Γx

на P2x рассмотреть двойственную кривую Γξ на двойственной

плоскости P2ξ : точкам Γξ отвечают касательные к Γx. Класс Γx

совпадает с порядком Γξ. Плюккер разрешил загадку, которуюне смог разгадать Понселе (парадокс Понселе). Дело в том, что,как легко видеть, формула (37) не является двойственной самойсебе. Плюккер обнаружил, что эта формула справедлива лишьдля кривых без особенностей. Например, если Γ — неособая кри-вая третьей степени, то двойственная кривая обязательно имеетособенности. Плюккер нашел такую формулу для класса кривойс особенностями:

p = n(n− 1)− 2d− 3r, (38)

Здесь d— число двойных точек, а r— число точек возврата. Этаформула уже является самодвойственной. Заметим, что двойныеточки двойственной кривой Γξ (пусть δ — их число) соответству-ют двойным касательным к исходной кривой, то есть прямым,имеющим две точки касания с Γ. Точки возврата Γξ соответству-ют касательным в точках перегиба Γ (пусть ρ— их число). Тогдаn = p(p − 1) − 2δ − 3ρ. Одновременно получается формула длячисла точек перегиба

δ = 3n(n− 2)− 6d− 8r. (39)

В случае, когда особых точек нет, ее нетрудно получить непо-средственно, записывая условие того, что точка является точкой


перегиба в виде системы алгебраических уравнений, и применяятеорему Безу. В частности, если Γ—неособая кривая третьего по-рядка, то p = 6, у нее нет двойных касательных и имеется девятьточек перегиба, некоторые из которых могут оказаться комплекс-ными.

Строго говоря, формула (38) верна, если у кривой нет более слож-ных особенностей, чем простейшие точки самопересечения и возвра-та, а формула (39) — если все точки перегиба являются простейши-ми (кратность касания равна трем) и никакая прямая не может кос-нуться кривой более чем в двух точках; полные формулировки болеегромоздки.

Плюккер глубоко продумал вопрос о комплексных особых точ-ках вещественных кривых. Собственно, приведенные формулы яв-ляются точными для комплексных особых точек и точек перегиба.Вопрос же о том, какие из этих точек могут быть вещественны-ми, весьма нетривиален. Совсем не обязательно, чтобы все точ-ки перегиба, число которых задается формулой (39), были веще-ственны. Например, среди девяти точек перегиба кривой третьегопорядка без особенностей не более трех могут быть вещественны-ми. «Необходим новый взлет пространственной интуиции, чтобыохватить то, что во всех случаях мнимо и остается мнимым», —писал Плюккер.

С Плюккером связан один из самых замечательных периодовв истории аналитической геометрии. Его ученик Клейн писал:«Целью Плюккера в геометрии и его достижением является но-вое построение аналитической геометрии. Он придерживался приэтом метода, возникшего из традиций Монжа: полного сращенияпостроения и аналитической формулы. . . В геометрии Плюккерапростое комбинирование формул переводится на язык геометри-ческих соотношений, и наоборот, последними направляются ана-литические операции. Вычисления у Плюккера по возможностиопускаются, но зато развивается и широко применяется доходя-щая до виртуозности острота внутреннего восприятия, геометри-ческого истолкования имеющихся аналитических уравнений».

Плюккер оказался объектом нападок со стороны Штейнера,замечательного геометра, но агрессивного противника аналити-ческих методов в геометрии: использования уравнений, работыс мнимыми объектами. Атака Штейнера была столь энергична,


что Плюккер более чем на 20 лет прервал занятия геометрией ивернулся к ним лишь незадолго до смерти.

Приведем несколько примеров геометрических конструкцийПлюккера. Однако прежде вспомним, что в уравнение n-й сте-пени от двух переменных входит (n + 3)n/2 + 1 коэффициентов,которые определены с точностью до постоянного множителя (этонетрудно доказать по индукции). Поэтому кривая порядка n опре-деляется заданием (n+ 3)n/2 точек (для определения коэффици-ентов уравнения возникает нужное число линейных уравнений).В частности, для определения прямой нужно задать две точки,конического сечения — пять, кривой третьего порядка — девять.Однако эти точки должны быть общего положения, и с ростом nэто условие становится все более деликатным. Обратим внима-ние, что по теореме Безу две кривые порядка n обычно пересе-каются в n2 точках. Но n2 > n(n + 3)/2 при n > 3, а через этиn2 точек проходит две (на самом деле бесконечное число) кривыхпорядка n. Это обстоятельство, получившее название парадоксаКрамера, очень волновало геометров от Маклорена до Эйлера, и,вероятно, лишь Плюккер в нем окончательно разобрался.

Посмотрим, как доказал Плюккер теорему Паскаля. Напом-ним, что шесть точек A1, A2, . . . , A6 на коническом сечении Q == 0 последовательно соединяются в замкнутую ломаную—шести-угольник Паскаля (эта ломаная может иметь самопересечения).Пусть pi — это сторона AiAi+1, Li = 0 — уравнение прямой, про-ходящей через pi. Пусть B1, B2, B3 — точки пересечения противо-положных сторон : (p1, p4), (p2, p5), (p3, p6) соответственно. Утвер-ждается, что B1, B2, B3 лежат на одной прямой. Паскаль свелобщий случай к случаю окружности, но и для окружности до-казательство не слишком просто.

А вот как рассуждал Плюккер. Он провел через девять то-чек Ai, j кривые третьего порядка. В общем положении черездевять точек проходит единственная кривая, но Ai, j не являет-ся общим набором (см. выше о парадоксе Крамера). Через Ai, jбудут проходить все кривые из пучка кривых

L1L3L5 + µL2L4L6 = 0, (40)

зависящих от произвольного параметра µ. Заметим, что для каж-дой из точек Ai, j в каждом из двух слагаемых есть множитель,


аннулирующийся на ней. Пусть C—какая-либо точка кривой Q =0, отличная от Aj ; подберем µ так, чтобы координаты C удовле-творяли (40). Мы фиксировали кривую третьего порядка, но приее пересечении с кривой второго порядка Q = 0 или должно воз-никать не более 2 · 3 = 6 точек, или число точек пересечениябесконечно. Поскольку мы имеем, по крайней мере, семь точекпересечения 1, . . . , A6, C, то число точек пересечения бесконечнои ввиду неприводимости кривой Q = 0 она должна целиком содер-жаться в кривой (40), то есть левая часть (40) должна делитьсяна Q. После деления на Q возникает линейное выражение M , ина прямой M = 0 должны лежать точки 1, 2, B3, поскольку они немогут лежать на коническом сечении Q = 0 (иначе бы какая-тоиз прямых Lj = 0 пересекала Q = 0 в трех точках).

Прием, в котором используются пучки кривых и выбор под-ходящей кривой из пучка, которая в силу теоремы Безу должнараспадаться (в примере—на коническое сечение и прямую), оченьхарактерен для Плюккера. Неопределенный множитель µ посто-янно присутствует в его рассмотрениях (его часто так и называ-ли — «плюккерово µ»).

Плюккер по-новому ставит вопрос о приведении уравнениякривой к каноническому виду, стремясь к тому, чтобы уравне-ние выглядело попроще и его алгебраическая структура отра-жала непосредственно какие-то геометрические свойства кривойНапример, Плюккер показывает, что уравнение третьей степенивсегда может быть записано в виде

L1L2L3 −M3 = 0, (41)

где Li, — линейные формы от координат. Для доказательствавозможности представления подсчитывается число независимыхпараметров, которые входят в (41). В линейной форме три коэф-фициента, в четырех формах Li, их 12, но (41) сохраняется,если L1, L2, L3 умножить на α1, α2, α3, а M — на 3

√α1α2α3. Поэто-

му независимых параметров равно 12− 3 = 9, а поскольку общееуравнение третьей степени, как мы видели, содержит девять неза-висимых параметров (на один меньше, чем число коэффициен-тов), то Плюккер сделал вывод, что общее уравнение всегда мож-но преобразовать в равенство (41). К этим рассуждениям нужно


еще добавить некоторые моменты, чтобы они стали строгим дока-зательством. Вероятно, это был один из первых примеров, когдаподсчет числа параметров использовался как эвристический при-ем и как средство доказательства.

Какая же геометрия стоит за представлением (41)? Пусть Aj —точки пересечения прямых Lj = 0 и Mj = 0. Эти точки лежат накривой, причем Aj — трехкратная точка пересечения кривой (41)и прямой Lj = 0. Это означает, что A1, A2, A3 — точки переги-ба, a Lj = 0 — касательные в этих точках. Кроме того, M = 0 —прямая, на которой лежат три точки перегиба A1, A2, A3 Такиепрямые называют прямыми перегиба. Если перейти к рассмот-рению комплексных точек перегиба, то их, как отмечалось, длянеособой кривой девять. Оказывается, что прямая (комплексная),проходящая через любые две точки перегиба, обязательно содер-жит третью. Так что возникает двенадцать прямых перегиба. Этаконфигурация из девяти точек и двенадцати прямых перегибаочень интересна, и она специально изучалась в проективной гео-метрии

Специальную структуру предложил Плюккер и для уравнениячетвертой степени

L1L2L3L4 − Ω2 = 0, (42)

где Li—линейные формы, a Ω—квадратный многочлен. Вспом-ним, что в общее уравнение четвертой степени входит 14 незави-симых параметров. В квадратном многочлене шесть коэффици-ентов, так что в (42) участвует 3 · 4 + 6 = 18 коэффициентов. Приэтом можно умножить Li на числа αi и одновременно Ω — начисло 4

√α1α2α3α4. В результате число независимых параметров

равно 18− 4 = 14. Плюккер делает вывод, что представление (42)является общим.

Далее, точки пересечения каждой прямой Li = 0 с кониче-ским сечением Ω = 0 являются двукратными точками пересе-чения с кривой (42). Таким образом, каждая прямая Li = 0имеет две точки касания с кривой (вместо четырех точек пе-ресечения для общих прямых). Такие касательные называютдвойными. Итак, в уравнении (42) участвуют четыре двойныхкасательных, причем восемь их точек касания лежат на од-ном коническом сечении. С этим открытием Плюккера связан


следующий курьез. У кривой четвертого порядка имеется, какнетрудно подсчитать, 28 двойных касательных (считая комплекс-ные). Плюккер ошибочно предположил, что точки касания любойчетверки из них лежат на коническом сечении. На самом делекаждая пара двойных касательных входит лишь в пять четве-рок, обладающих этим свойством. Ошибку Плюккера обнаружилне кто иной, как Штейнер. Алгебраические кривые фактиче-ски возникали и в синтетической геометрии, а приведенныйпример показывает, что представителям этой школы пока хва-тало геометрической интуиции, чтобы на равных соревноваться саналитиками. Демонстративный отказ от использования аналити-ческих средств лишь постепенно выявил слабые стороны школыШтейнера.

Точки трехмерного проективного пространства P3, соглас-но Плюккеру, задаются четверками однородных координат == (x0, x1, x2, x3) 6= (0, 0, 0, 0), x ∼ λx, λ 6= 0. Плоскости в P3

составляют двойственное проективное пространство P3ξ , ξ ∈ P3

ξ

отвечает плоскость 〈ξ, x〉 = 0. В то же время многообразие пря-мых G является совершенно новым геометрическим объектом.Его изучение — одно из основных достижений Плюккера. Пря-мые в P3 задаются четырьмя параметрами, например, можнофиксировать две различные плоскости, и тогда почти все пря-мые задаются точками пересечения с этими плоскостями. Такимобразом, многообразие G четырехмерно. На G естественно вво-дятся координаты (Штифеля), которые можно восприниматькак обобщение однородных координат. Зададим прямую паройее различных точек x, y. Расположим x, y в матрицу =

(xy

)с

двумя строками и четырьмя столбцами. Прямая состоит из точеквида z = λ1x + λ2y, λ = (λ1, λ2) 6= (0, 0), то есть λ — однород-ные координаты на ней. Матрица X определяется по прямойс точностью до левых умножений на невырожденную матрицувторого порядка: X 7→ gX (соответствует переходу к другойпаре точек на прямой). Положим X = (X1, X2), где X1, X2 —квадратные матрицы второго порядка. Тогда если detX1 6= 0, токоординаты можно выбрать так, что X1 = E — единичная мат-рица (берутся точки x с x0 = 1, x1 = 0 и y с y0 = 0, y1 = 1).На G возникает аффинная координатная карта с координата-


ми X2 = (uij), ее замыкание совпадает с G. Плюккер пере-шел от матрицы X к ее минорам. Это знаменитые плюккеро-вы координаты, которые очень удобны при построении геомет-рии прямых. Рассмотрим две задачи, связанные с геометриейпрямых.

1. Представим пространство P3 в виде объединения попарнонепересекающихся прямых. Заметим, что если фиксировать аф-финную структуру в P3, то проективно пересекающиеся прямыепереходят либо в пересекающиеся, либо в параллельные (пере-секаются «на бесконечности»). В то же время непересекающим-ся прямым соответствуют скрещивающиеся прямые в аффинномпространстве. Поэтому на аффинном языке речь идет о представ-лении пространства в виде объединения попарно скрещивающих-ся прямых.

Мы явно укажем разбиение, а именно, рассмотрим прямые,соединяющие x с σ(x) = (−x1, x0,−x3, x2) то есть X =

(x

σ(x)

).

Надо лишь проверить, что σ(x) 6= λ, и что если y — точка та-кой прямой, то σ(y) также лежит на этой прямой. Это следуетиз непосредственно проверяемого соотношения σ(λ0x+λ1σ(x)) == −λ1x + λ0σ(x). Указанное свойство означает, что прямые илине пересекаются, или совпадают. В G возникает двумерное под-многообразие прямых.

2. Исследуем в пространстве P3 поверхности с двумя семей-ствами прямолинейных образующих. В аналитической геометрииучат, что среди поверхностей второго порядка в R3 имеется дватипа поверхностей, обладающих этим свойством: однополостныегиперболоиды (их уравнение приводится к виду x2 + y2 − z2 == 1) и гиперболические параболоиды (их канонические уравне-ния: z = x2 − y2). Покажем, что даже в классе всех поверхностей(а не только второго порядка) других поверхностей с этим свой-ством нет. Разумеется, есть большое число поверхностей с однойсистемой образующих (развертывающиеся поверхности), однакоусловие существования двух систем оказывается очень жесткими оставляет лишь однополостный гиперболоид и гиперболическийпараболоид. Заметим, что в проективном пространстве однопо-лостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды (проек-тивно) эквивалентны: в подходящих однородных координатах их


уравнение имеет вид x20 + x2

1 − x22 − x2

3 = 0. Таким образом, с про-ективной точки зрения можно говорить лишь об однополостныхгиперболоидах.

Уточним используемые термины. Будем говорить, что на по-верхности S имеются два семейства прямолинейных образующих,если через каждую ее точку проходят по крайней мере две раз-личные прямые, целиком лежащие на S. Такая поверхность Sназывается неприводимой, если не существует меньшей поверх-ности S0 ⊂ S, на которой также лежат два семейства прямоли-нейных образующих. Мы хотим избежать в дальнейшем обсужде-ния аналитических тонкостей, связанных с точным определениемпонятия поверхности, и поэтому будем апеллировать лишь к ин-туитивным представлениям о поверхностях. Эта часть наших рас-суждений не будет строгой, но те, кто владеют соответствующейтехникой, без труда обнаружат, как превратить эти рассужденияв строгие, скажем, для аналитических поверхностей.

Теорема. Всякая неплоская неприводимая (аналитическая) по-верхность в P3 с двумя семействами прямолинейных образую-щих является однополостным гиперболоидом.Доказательство. 1. Если указанная поверхность имеет плоскийкусок, то она совпадает с плоскостью. Грубо говоря, образующие,проходящие через точки плоского куска, порождают плоскость.

2. Фиксируем на поверхности образующую l. Тогда все обра-зующие, пересекающие l, порождают поверхность. Очевидно, чтоточки объединения зависят от двух параметров, а аналитическиеуточнения мы договорились опускать.

3. Если имеются две непересекающиеся образующие l1, l2, тообразующие, пересекающие обе образующие l1, l2, также порож-дают поверхность.

В самом деле, поскольку образующие, пересекающие l1, по-рождают поверхность, то через каждую точку l2 проходит обра-зующая, пересекающая l1. Объединение этих образующих такжедолжно совпадать с поверхностью.

4. Аналогично для любого числа попарно непересекающихсяобразующих объединение образующих, их все пересекающих, сов-падает с поверхностью.

5. Для пары пересекающихся образующих l1, l2 почти все обра-


зующие, пересекающие одну из них, не пересекают другую. Дей-ствительно, пустьm—отрезок на l2. Через каждую точкуm долж-на проходить образующая, отличная от l2. Если все они пересека-ют l1, то они порождают часть плоскости, проходящей через l1,l2.

Таким образом, на поверхности имеется бесконечное множе-ство попарно непересекающихся образующих. Нам достаточно,что есть три таких образующих.

6. Покажем, что поверхность, указанная в теореме, однозначноопределяется тройкой своих попарно непересекающихся образую-щих. Она совпадает с объединением всех прямых в P3, пересека-ющих все три фиксированные прямые.

В правдоподобности этого утверждения можем убедиться,пользуясь излюбленным приемом Плюккера с подсчетом числапараметров. Множество всех прямых зависит от четырех пара-метров. Пересечение с каждой прямой — это одно условие напараметры (иначе, через каждую точку пространства проходитдвухпараметрическое семейство, поэтому через точки прямойпроходит трехпараметрическое семейство прямых). Требуя пе-ресечения с тремя прямыми, мы накладываем три условия, такчто остается однопараметрическое семейство прямых, котороепорождает поверхность.

Для корректности нужно убедиться, что эти условия независи-мы. Поэтому осуществим отбор прямых более эффективно. Пустьl1, l2, l3 — попарно непересекающиеся прямые. Найдем прямые, ихвсе пересекающие. Пусть A ∈ l1, тогда A /∈ l2. Проведем плоскостьчерез A и l2. Эта плоскость пересечет l3 в некоторой точке B.Дело в том, что в проективном пространстве P3 прямая, не ле-жащая в плоскости, пересекает ее, а прямая l3 не может лежатьв плоскости, поскольку l2 и l3 не пересекаются. Прямая AB бу-дет единственной прямой, пересекающей все три прямые l1, l2, l3и проходящей через A. Итак, множество прямых, пересекающихтройку попарно непересекающихся прямых, можно параметризо-вать точками пересечения с одной из них.

7. Докажем, что объединение этих прямых является однопо-лостным гиперболоидом. Проведем доказательство аналитически.Одновременно докажем, что через три попарно непересекающи-еся прямые проходит в P3 однополостный гиперболоид, причем


единственный.Пусть l1, l2, l3 — три попарно непересекающиеся прямые в P3.

Будем задавать прямые как пересечения плоскостей, то есть си-стемами двух линейных уравнений 〈ξ, y〉 = 0 и 〈η, y〉 = 0. Вы-берем однородные координаты так, чтобы l1 задавалась систе-мой y0 = 0, y1 = 0, а l2 — системой y2 = 0, y3 = 0. Это можносделать, поскольку они не пересекаются (и левые части задаю-щих их уравнений можно принять за координаты). Пусть тогда l3задается системой

ξ0y0 + ξ1y1 + ξ2y2 + ξ3y3 = 0,η0y0 + η1y1 + η2y2 + η3y3 = 0

Векторы (ξ0, ξ1), (η0, η1) не могут оба быть нулевыми, посколь-ку тогда бы l2 и l3 совпадали. Более того, эти векторы не могутбыть пропорциональны и, в частности, ни один из них не можетбыть нулевым. Действительно, если (η0, η1) = (λξ0, λξ1), то точ-ка (−ξ1, ξ0, 0, 0) будет общей для l2 и l3. Аналогично показывается,что (ξ2, ξ3) и (η2, η3) не могут быть пропорциональными. Поэтомуможно сделать следующую замену координат:

x0 = ξ0y0 + ξ1y1, x1 = η0y0 + η1y1,

x2 = ξ2y2 + ξ3y3, x3 = η2y2 + η3y3.

В силу сказанного выше о пропорциональности векторов такаязамена допустима. В этих координатах l1 задается уравнения-ми x0 = x1 = 0, l2 — уравнениями x2 = x3 = 0, и l3 — уравне-ниями x0 + x2 = x1 + x3 = 0. Однако все эти прямые лежат наоднополостном гиперболоиде

x0x3 − x1x2 = 0. (43)

Рассматриваемые три прямые входят в однопараметричecкoeсемейство образующих

λ0x0 + λ1x1 = 0,λ0x2 + λ1x3 = 0, (λ0, λ1) 6= (0, 0).

(44)

Второе семейство образующих состоит из прямых

µ0x0 + µ1x2 = 0,µ0x1 + µ1x3 = 0, (µ0, µ1) 6= (0, 0).

(45)


Напомним, что образующие одного семейства попарно не пересе-каются, а любые образующие из разных семейств пересекаются,так что через каждую точку проходит по образующей каждогосемейства.

Прямые в каждом семействе параметризуются точками проек-тивной прямой P1

λ, P1µ (λ, µ—однородные координаты). С каждым

гиперболоидом связываются на многообразии прямых G две кри-вые. Кривые, которые допускают взаимно однозначное отображе-ние на проективную прямую, называются рациональными (допус-кают рациональную параметризацию). Рациональными кривымиявляются не только прямые в проективном пространстве, но икривые второго порядка. Таким образом, с каждым однополост-ным гиперболоидом в P3 связываются две замечательные рацио-нальные кривые на G. В духе геометрического подхода Плюккераодин и тот же геометрический объект проявляется либо в виде од-нополостных гиперболоидов в точечной геометрии P3, либо в видепростейших рациональных кривых на многообразии прямых G(класс этих кривых можно описать непосредственно).

При переходе на аффинный язык могут встретиться две воз-можности: либо никакая образующая не лежит в бесконечно уда-ленной плоскости, и тогда мы получаем однополостный гипербо-лоид в аффинном смысле, либо такая образующая есть, и тогдамы получаем гиперболический параболоид. В последнем случаев бесконечно удаленной плоскости лежит на самом деле пара пе-ресекающихся образующих (по одной из каждого семейства). Этосвязано с тем, что в любой плоскости, проходящей через образую-щую, лежит одна образующая, пересекающая первую. Сказанноеможно перефразировать следующим образом: если в трехмеромаффинном пространстве R3 имеется тройка попарно непересека-ющихся прямых, то на них можно натянуть однополостный гипер-болоид, если не существует плоскости, параллельной всем трем,или гиперболический параболоид, если такая плоскость существу-ет. Бесконечно удаленная прямая этой плоскости принадлежитвторому семейству образующих. Иначе, для каждого семействаобразующих гиперболического параболоида имеется плоскость,им всем параллельная.

Доказанное утверждение об однополостных гиперболоидахможно интерпретировать как утверждение о «жесткости» по-


верхностей, образованных двумя семействами прямолинейныхобразующих. Такую конструкцию нельзя «пошевелить», еслизафиксированы три прямые одного семейства. Это обстоятель-ство используется в реальных конструкциях из прямолинейныхстержней в виде гиперболоида, например, в знаменитой шухов-ской радиобашне в Москве.

Переходим к заключительной части, посвященной сцеплениюгиперболоидов. Центральный объект классической проективнойгеометрии—различного рода конфигурации точек, прямых, плос-костей. В ней коллекционируются случаи, когда одни геометриче-ские соотношения (например, тройка прямых проходит через однуточку, три точки лежат на одной прямой, шесть точек лежат наодном коническом сечении и т. д.) влекут другие: конфигурацииДезарга, Паскаля и т. п. Приведенный результат позволяет иссле-довать конфигурации в многомерном проективном пространстве,включающие двумерные однополостные гиперболоиды. Посколь-ку будут рассматриваться лишь двумерные гиперболоиды (то естьгиперболоиды в P3), то мы далее слово «двумерный» часто опус-каем.

Точки n-мерного проективного пространства Pn будем зада-вать однородными координатами (x0, x1, . . . , xn). Зафиксируемгеометрические соотношения для прямых в Pn. Через любые двенепересекающиеся прямые в Pn можно провести единственнуютрехмерную плоскость. Для тройки попарно непересекающихсяпрямых возникает геометрическое соотношение: «лежать в однойтрехмерной плоскости». Для четверки попарно непересекающихсяпрямых, лежащих в одной трехмерной плоскости, возникает соот-ношение: «принадлежать одному (двумерному) однополостномугиперболоиду». Напротив, три попарно непересекающиеся пря-мые, лежащие в одной трехмерной плоскости, всегда порождаютоднополостный гиперболоид.

Как уже говорилось в начале, два двумерных однополостныхгиперболоида в Pn называют сцепленными, если они имеют общуюобразующую и не лежат в одной трехмерной плоскости. Несколь-ко двумерных однополостных гиперболоидов в Pn называют сцеп-ленными, если они попарно сцеплены и прямые сцепления на каж-дом из них принадлежат одному семейству образующих, котороеназывают отмеченным. Сцепление называется невырожденным,


если каждая прямая сцепления принадлежит лишь двум гипер-болоидам.

Пусть в пятимерном проективном пространстве P5 имеетсячетверка невырожденно сцепленных двумерных однополостныхгиперболоидов. Задание такой четверки равносильно заданиючетверки трехмерных плоскостей в P5, находящихся в общем по-ложении. Расшифруем, что это означает. Напомним, что, какправило, k-мерная и l-мерная плоскости в Pn пересекаются по(k+ l−n)-мерной плоскости (а в вырожденной ситуации по плос-кости большей размерности). Тогда две трехмерные плоскостив P5 обычно пересекаются по прямой (3 + 3 − 5 = 1), а три —вообще не пересекаются (1 + 3 < 5). Итак, тройка трехмерныхплоскостей в P5 в общем положении не имеет общих точек. Следо-вательно, любые две из этих плоскостей пересекаются по прямой(если бы две из них пересекались по двумерной плоскости, то онав пересечении с третьей плоскостью дала бы точку: 2+3−5 = 0).

Соответственно, четверка плоскостей находится в общем по-ложении, если любые три из них не имеют общих точек, а следо-вательно, любые две пересекаются по прямым. В каждой такойтрехмерной плоскости возникает тогда тройка прямых, по кото-рым она пересекается с другими плоскостями. Эти прямые по-парно не пересекаются, и на них можно натянуть (двумерный)однополостный гиперболоид. Возникает четверка невырожденносцепленных гиперболоидов. С другой стороны, если имеется чет-верка невырожденно сцепленных гиперболоидов, то порождаемыеими трехмерные плоскости, очевидно, будут находиться в общемположении. Теперь можем сформулировать основное утвержде-ние, которое несколько сильнее, чем сформулированная в началестатьи теорема о пяти гиперболоидах.

Теорема. Пусть имеется четверка невырожденно сцепленныхдвумерных однополостных гиперболоидов в пятиимерном проек-тивном пространстве P5. Тогда всякая трехмерная плоскость,пересекающая два из них по образующим из отмеченных се-мейств, пересекает два остальных гиперболоида также пообразующим из отмеченных семейств. Четверка прямых пе-ресечения с гиперболоидами на секущей плоскости лежит наодном однополостном гиперболоиде.


Следствие (о пяти гиперболоидах). Если имеется четверка невы-рожденно сцепленных однополостных двумерных гиперболоидовв P5, то всякий гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеп-лен с четвертым.

Следствие имеет место в силу того, что плоскость пятогогиперболоида удовлетворяет условиям теоремы. Утверждениетеоремы является более сильным, чем следствие. Мы можем про-извольно выбрать по одной образующей из отмеченных семействна двух гиперболоидах Они не будут пересекаться, и через нихпроходит единственная трехмерная плоскость. Эта плоскость пе-ресечется с плоскостями двух других гиперболоидов по прямым.Утверждается, что эти прямые лежат на гиперболоидах. Этоочень сильное утверждение, поскольку на трехмерной плоскостиимеется четырехпараметрическое семейство прямых, а мы утвер-ждаем, что прямая пересечения попадает на однопараметрическоеподсемейство образующих гиперболоида. К этому добавляем, чточетыре прямых пересечения лежат па одном гиперболоиде.

Имеем двухпараметрическое семейство плоскостей, удовлетво-ряющих условию теоремы: их можно задавать, произвольно вы-бирая по одной образующей из отмеченных семейств на двух ги-перболоидах. На каждой плоскости возникает по гиперболоиду.Все эти гиперболоиды (двухпараметрическое семейство) попарносцеплены в силу теоремы.

Вернемся к доказательству теоремы. Мы проведем его анали-тически, аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Зададим трехмерные плоскости в P5 как пересечения гипер-плоскостей, то есть системой двух линейных уравнений 〈ξ, y〉 == 〈η, y〉 = 0 в однородных координатах. Пусть имеем четыретрехмерных плоскости l1, l2, l3, l4, из которых никакие три неимеют общих точек. Выберем однородные координаты так, чтобыl1 задавалась системой y0 = y1 = 0, l2 — системой y2 = y3 = 0, l3 —системой y4 = y5 = 0. Это можно сделать, поскольку l1, l2, l3 неимеют общих точек, а следовательно, левые части уравнений, за-дающих их, независимы (одновременно обращаются в нуль лишьна нулевом наборе). Пусть l4 задается в этой системе координат


уравнениями5∑

i=0

ξiyi = 0,5∑

i=0

ηiyi = 0.

Векторы (ξ0, ξ1), (η0, η1) не могут быть одновременно нулевыми,поскольку это означало бы, что плоскости l2, l3, l4 имеют общуюпрямую y2 = y3 = y4 = y5 = 0, по которой пересекаются l2и l3. Покажем, что они не могут быть также пропорциональны-ми, в частности, ни один из них не может быть нулевым. Пусть(η0, η1) = (cξ0, cξ1). Тогда точка (−ξ1, ξ0, 0, 0, 0, 0) будет принадле-жать трем плоскостям l2, l3, l4, а мы предположили, что они неимеют общих точек. Аналогично можно показать, что пары век-торов (ξ2, ξ3), (η2, η3) и (ξ4, ξ5), (η4, η5) непропорциональны. В ре-зультате сделаем замену координат

x0 = ξ0y0 + ξ1y1, x1 = η0y0 + η1y1, x2 = ξ2y2 + ξ3y3,

x3 = η2y2 + η3y3, x4 = ξ4y4 + ξ5y5, x5 = η4y4 + η5y5.

В этих координатах плоскости l1, l2, l3, l4 задаются соответственносистемами уравнений:

x0 = x1 = 0, x2 = x3 = 0, x4 = x5 = 0,x0 + x2 + x4 = x1 + x3 + x5 = 0.

Все эти четыре плоскости включаются в семейство трехмер-ных плоскостей

λ0x0 + λ1x2 + λ2x4 = 0, λ0x1 + λ1x3 + λ2x5 = 0. (46)

Обозначим плоскость, задаваемую (46), через Σλ. Параметрыестественно считать однородными координатами на двумернойпроективной плоскости P2: (λ0, λ1, λ2) 6= (0, 0, 0); λ и cλ зада-ют одну и ту же плоскость. Плоскости l1, l2, l3, l4 соответствуютпараметрам (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1).

Исследуем попарные пересечения Σλ∩Σµ, λ 6= cµ. Это прямаяв P5, точки которой удовлетворяют системе четырех уравнений,полученных объединением (46) для λ и µ. При этом очевидно, чтоΣλ∩Σµ зависит лишь от прямой λ, µ на параметрической плос-кости P2, соединяющей точки λ и µ. Поэтому если фиксировать λ,


то прямым Σλ∩Σµ на параметрической плоскости P2 соответству-ют прямые, которые проходят через λ. На множестве прямых напроективной плоскости P2, которые проходят через фиксирован-ную точку, естественно вводится структура проективной прямой.Исследуем прямые Σλ∩Σµ при фиксированном λ более конкретно.Пусть для определенности λ0 6= 0 (это фактически не ограничи-вает общности,так как λ0 можно заменить другим λj). В качествеоднородных координат на Σλ возьмем набор (2, x3, x4, x5). В этихкоординатах прямые Σλ ∩ Σµ задаются системой:

x0x2 + x1x4 = 0, x0x3 + x1x5 = 0,x0 = µ0λ1 − λ0µ1, x2 = µ0λ2 − λ0µ2.

(47)

Если λ, µ не пропорциональны, то x = (x0, x1) 6= (0, 0). Таким об-разом, Σλ ∩ Σµ зависит лишь от прямой λ, µ. Из системы (47)видно, что прямые Σλ∩Σµ при фиксированном λ являются семей-ством образующих некоторого однополостного гиперболоида Hλ

в трехмерной плоскости Σλ. Следовательно, мы получили семей-ство сцепленных гиперболоидов Hλ, зависящих от двух парамет-ров λ ∈ P2. Это сцепление является вырожденным, посколькучерез образующую Σλ ∩Σµ проходят все гиперболоиды Hν , где νпринадлежит прямой λ, µ.

Осталось доказать, что всякая трехмерная плоскость, пе-ресекающая два различных гиперболоида Hλ,Hµ по образую-щим из отмеченных семейств, является одной из плоскостейсемейства Σλ. Дело в том, что все плоскости семейства пере-секают все гиперболоиды Hλ по образующим из отмеченныхсемейств, в том числе и четверку исходных. Пусть теперь трех-мерная плоскость порождается различными прямыми Σλ ∩ Σλ′

и Σµ ∩ Σµ′ , и ν — точка на параметрической плоскости P2, яв-ляющаяся пересечением прямых λ, λ′ и µ, µ′ (они не могутсовпадать). Тогда Σν содержит Σλ ∩ Σλ′ , Σµ ∩ Σµ′ , а потомусовпадает с рассмотренной плоскостью. (Фактически мы до-казали разрешимость некоторой системы линейных уравненийна ν, которую можно было бы рассмотреть непосредственно.)Итак, доказательство теоремы о сцеплении гиперболоидов за-вершено.

КОМПЛЕКСНЫЙ МИР РОДЖЕРА ПЕНРОУЗА

Нельзя придумать ничего столь странного и невероятного,что не было бы уже высказано кем-либо из философов.

Р. Декарт

На математическом конгрессе, который проходил в Хельсинкилетом 1978 г., Роджер Пенроуз сделал пленарный доклад «Ком-плексная геометрия реального мира». Основная идея Пенроузазаключалась в том, что точки четырехмерного пространства-времени Минковского или Евклида (в евклидовой теории по-ля) естественно интерпретировать как комплексные прямые втрехмерном комплексном пространстве. Эта идея разрабатыва-лась Пенроузом в течение ряда лет в рамках его «твисторнойпрограммы» (твисторами он называет точки вспомогательноготрехмерного комплексного пространства). Незадолго перед кон-грессом появились первые результаты, которые уже нельзя былорассматривать как чисто интерпретационные (инстантонные ре-шения уравнения Янга–Миллса и комплексные автодуальныерешения уравнения Эйнштейна).

Что касается подхода Пенроуза, то он по существу не былновым: комплексная реализация пространства Минковского со-держалась в теории однородных многообразий, восходящей к ЭлиКартану (1869 – 1951). Однако существенно не само по себе гео-метрическое наблюдение, а идея сделать его систематическимисточником аналитических конструкций, а именно интеграль-ных представлений для решений некоторых важных линейных инелинейных уравнений математической физики. По счастливойслучайности именно в это время в математике (алгебраическойгеометрии и теории функций многих комплексных переменных)появился весьма неэлементарный аппарат, необходимый для ре-ализации этих планов (расслоения над проективным простран-

424

Комплексный мир Роджера Пенроуза 425

ством, когомологии Коши–Римана. . . ).Возвращаясь к геометрической идее Пенроуза, вероятно, нель-

зя не удивиться тому, что при изучении совершенно веществен-ного объекта — пространства-времени — появляются комплексныеобразования. Впрочем, геометрам второй половины XIX века та-кая возможность не показалась бы удивительной. КонструкцияПенроуза связана с математическими идеями, которым более сталет и которые в последние десятилетия незаслуженно (быть мо-жет, из-за большой конкретности) стали забывать. Речь идетоб идее Юлиуса Плюккера (1801 – 1868) рассматривать про-странство, элементами (точками!) которого являются прямыеиз обычного трехмерного пространства. Эта идея разрабаты-валась Плюккером на протяжении многих лет и в окончатель-ном виде содержалась в посмертно изданном в 1868 – 1869 гг.Ф. Клейном и Р. Клебшем мемуаре «Новая геометрия простран-ства, основанная на рассмотрении прямой линии в качествепространственного элемента». Размерность пространства пря-мых равна четырем, и это, вероятно, первое четырехмерноепространство, появившееся в науке. Кажется удивительным, чтов период появления четырехмерия в теории относительности ивсеобщего увлечения четырехмерными образованиями никто несопоставил четырехмерие Минковского с появившимся на 50 летраньше четырехмерием Плюккера. В некотором смысле это исделал Пенроуз (еще через 50 лет). Попытаемся и мы проследитьвозможный путь от Юлиуса Плюккера к Герману Минковско-му (1864 – 1909), но для этого припомним еще более ранниесобытия.

«Золотой век геометрии». Так Н. Бурбаки назвал XIX век — векразвития проективной геометрии с ее фантастическим полетомгеометрической интуиции и мощными аналитическими метода-ми. Ведущее место проективной геометрии в геометрии XIX векабыло бесспорным. Характерно, что признание неевклидовой гео-метрии многими математиками было связано с реализацией еекак части проективной геометрии (интерпретация Клейна). Нозародилась проективная геометрия (ее называли еще новой гео-метрией ) гораздо раньше. Лионский архитектор Жерар Дезарг(1593 – 1662) опубликовал в 1639 г. брошюру «Первоначальный

426 Комплексный мир Роджера Пенроуза

набросок попытки разобраться в том, что получается при встречеконуса с плоскостью». Дезарг строил теорию перспективы и изу-чал центральную проекцию одной плоскости на другую. Заметив,что при этом на первой плоскости есть точки, которые никуда непроектируются, а на второй—точки, в которые не проектируютсяникакие точки, он решил исправить это, введя идеальные беско-нечно удаленные точки на плоскости. В модернизированном видеего идея состоит в том, что все параллельные между собой пря-мые «пересекаются» в одной общей бесконечно удаленной точке,а все бесконечно удаленные точки на плоскости образуют однубесконечно удаленную прямую, которой следует дополнить плос-кость. На расширенной (проективной) плоскости все утвержде-ния о параллельности превращаются в частные случаи обычныхутверждений о пересечении прямых, которые к тому же не имеютограничений (любые две различные прямые пересекаются в един-ственной точке, быть может, бесконечно удаленной). Идеи про-ективной геометрии воспринимались с большим трудом, к томуже и Дезарг не смог придать им удобную для понимания фор-му. Среди участников кружка Марена Мерсенна (1588 – 1648) —предвестника Парижской Академии наук — он нашел лишь одно-го последователя. Это был 16-летний Блез Паскаль (1623 – 1662),доказавший знаменитую теорему о шестиугольнике, вписанном вконическое сечение. Техника проективной геометрии позволилаПаскалю свести общий случай к случаю окружности, так как поопределению любое коническое сечение получается из окружно-сти в результате центрального проектирования. Вообще, основныепланы Дезарга и Паскаля состояли в том, чтобы с помощью про-ективной геометрии пролить свет на теорию конических сеченийАполлония — вершину греческой геометрии. Уже давно новая ев-ропейская математика, имевшая огромные успехи в алгебре и ана-лизе, стремилась сразиться с великими греками на их собственнойтерритории — геометрии. Казалось, что Дезарг и Паскаль достиг-ли успеха, но сочинений Дезарга никто не мог понять, а Паскальтак и не закончил своего всеобъемлющего сочинения по проек-тивной геометрии, оставив потомкам лишь маленькую афишу сосвоей теоремой о шестиугольнике. Об их работах забыли на 200лет, а когда благодаря Мишелю Шалю (1793 – 1880) вспомнили,большинство результатов было открыто заново.


Новая жизнь проективной геометрии началась в работах Гас-пара Монжа (1746 – 1818) и его учеников, среди которых был Вик-тор Понселе (1788 – 1867). В работах Понселе, по словам Фелик-са Клейна (1849 – 1925), появляется новый вид геометрическогомышления — проективное мышление. Находясь в плену в Сара-тове после похода Наполеона 1812 г., Понселе предавался буйнойгеометрической фантазии, делясь своими открытиями с товари-щами по Политехнической школе, учениками Монжа. Свои ре-зультаты он собрал в «Трактат о проективных свойствах фигур»,вышедший лишь через десять лет. К систематическим занятиямгеометрией он уже больше не вернулся: отвлекали государствен-ные и военные дела, преподавание, занятия фортификацией, тео-рией машин («водяное колесо Понселе»). К концу жизни он сновазанялся геометрией, но в основном огорчался, что не смог регу-лярно уделять внимание математике, что другие разрабатываютпроективную геометрию не так, как по его мнению следовало бы,и что Шаль некстати вспомнил о Дезарге.

Понселе исходит из того, что так как на проективной плоско-сти не бывает исключений во взаимном положении прямых, то недолжно быть исключений и во взаимном положении кривых вто-рого порядка. Но почему же тогда эллипсы обычно пересекаютсяв четырех точках, а их частный случай — окружности — только вдвух? И Понселе находит ответ: все окружности проходят черездве фиксированные точки (их называют циклическими). Одна-ко мы не замечаем этих точек, поскольку они, с одной стороны,являются бесконечно удаленными, а с другой — мнимыми. Так ввещественной геометрии впервые появились комплексные числа(к которым и в алгебре только начинали привыкать!). Цикличе-ские точки стали одним из основных объектов геометрии: с ихпомощью можно объяснить все вещественные метрические соот-ношения на плоскости.

Другое поразительное открытие Понселе, честь которого онделит с Жозефом Жергонном (1771 – 1859), — это закон двой-ственности — новый способ получения геометрических утвержде-ний. Грубо говоря, он состоит в том, что в теореме о взаимном по-ложении точек и прямых на проективной плоскости можно всюдупоменять местами слова «прямая» и «точка» и несколько отредак-тировать текст (заменить «пересекается» на «проходит» и т. д.),


чтобы сделать его осмысленным, после чего получается новаятеорема. Например, утверждение «Две различные прямые име-ют общую точку» (пересекаются) переходит в новое утверждение«Через две различные точки проходит единственная прямая».

Отныне проективизм становится господствующим методом вгеометрии. Впрочем, долгое время проективные идеи воспринима-лись как некоторое устройство («черный ящик») для полученияевклидовых теорем. Бесконечно удаленные элементы воспринима-лись как идеальные чужеродные элементы, упрощающие рассмот-рения (так сначала воспринимались и комплексные числа). Од-нако последовательный проективизм требует рассматривать бес-конечно удаленные точки как неотличимые от конечных и приэтом не интересуется, например, поведением кривых на беско-нечности (асимптотами и т. д.). Дискуссии об идеях проективнойгеометрии надолго заняли умы геометров. Это становится осо-бенно заметным, если обратиться к немецкой геометрии серединыXIX века, когда творили такие замечательные геометры, как Фер-динанд Мёбиус (1790 – 1868), Юлиус Плюккер, Якоб Штейнер(1796 – 1863), Кристиан фон Штаудт (1798 – 1867). Их деятель-ность проходила в обстановке ожесточенной борьбы между «ана-литиками» и «синтетиками», разногласия между которыми могутпоказаться сегодня не более аргументированными, чем противо-речия между остроконечниками и тупоконечниками у Свифта.Аналитики пользовались преимущественно координатным пред-ставлением геометрических образов, открывавшим возможностьдля использования методов алгебры и анализа. Синтетики счи-тали, что эти методы лишают геометрию ее истинного духа, под-линной геометрической интуиции.

Среди синтетиков наиболее активен был Штейнер, крестьян-ский сын, который до 19 лет ходил за плугом, затем был учени-ком и сподвижником знаменитого педагога Иоганна Песталоцци(1746 – 1827), и лишь в зрелом возрасте обратился к математике.Штейнер обладал удивительной геометрической интуицией, полетего пространственного воображения нельзя было передать дажечертежами, и он отказывался от них на лекциях, которые чита-лись в затемненных аудиториях, чтобы помочь слушателям со-средоточиться. Решительный протест вызывали у Штейнера ком-плексные числа, эти «призраки», «царство теней в геометрии»,


которыми так много пользовались аналитики. По мнению Клей-на, возможно, нетерпимость Штейнера была причиной того, чтоПлюккер (типичный аналитик) прекратил надолго занятия гео-метрией и возобновил их лишь после смерти Штейнера.

Проективные координаты. Аналитики ставили перед собой задачутакого введения координат на проективной плоскости, при кото-ром можно было охватить не только конечные, но и бесконечноудаленные точки. Здесь решающая конструкция (однородные ко-ординаты) принадлежит Юлиусу Плюккеру. Он предложил ха-рактеризовать точки проективной плоскости не двумя, а тремячислами (x0, x1, x2) 6= (0, 0, 0), но считать, что отличающиеся об-щим множителем тройки (x0, x1, x2) и (λx0, λx1, λx2) соответству-ют одной и той же точке плоскости. Тогда можно считать, напри-мер, точки с x0 6= 0 «конечными» и для них всегда брать тройкис x0 = 1, т. е. (1, X1, X2), где X1 = x1/x0, X2 = x2/x0 — неод-нородные (декартовы) координаты. Точки с x0 = 0 составляютбесконечно удаленную прямую. Впрочем, эту прямую можно фик-сировать произвольно. Проективные преобразования плоскости,при которых прямые переходят в прямые, соответствуют линей-ным преобразованиям однородных координат. Прямые на проек-тивной плоскости задаются уравнениями ξ0x0+ξ1x1+ξ2x2 = 0, где(ξ0, ξ1, ξ2) 6= (0, 0, 0) определяется с точностью до скаляряого мно-жителя. Это навело Плюккера на мысль считать (ξ0, ξ1, ξ2) одно-родными координатами прямых, и тогда получается, что прямыеобразуют другой (двойственный) экземпляр проективной плоско-сти. Такая интерпретация делает предельно прозрачным принципдвойственности Понселе–Жергонна.

С помощью однородных координат легко понять и теоремуПонселе о пересечении окружностей, которая в синтетическомварианте требует высокой геометрической интуиции. В неодно-родных координатах уравнения окружностей имеют вид X2

1 ++ 2

2 + aX1 + bX2 + c = 0, или в однородных координатах

x21 + x2

2 + ax1x0 + bx2x0 + cx20 = 0.

Ясно, что на всех этих кривых лежит пара точек (0, 1, i), (0, 1,−i),т. е. это в самом деле мнимые бесконечно удаленные точки (x0 == 0— бесконечно удаленная прямая).


В трехмерном проективном пространстве точки характеричу-ются четырьмя числами (x0, x1, x2, x3) 6= (0, 0, 0, 0), заданными сточностью до пропорциональности. Можно считать, что x0 =0— бесконечно удаленная плоскость. Плоскости задаются урав-нениями x0ξ0 + . . .+ x3ξ3 = 0, т. е. имеется двойственность междупроективным пространством точек и проективным пространствомплоскостей.

Многообразие прямых (плюккеровы координаты). Следующийестественный вопрос, который заинтересовал Плюккера, — этоконструкция совокупности прямых в проективном простран-стве P3. Оказалось, что в отличие от ситуации с плоскостями (и спрямыми на плоскости) мы приходим здесь к совершенно новомугеометрическому образованию. Множество прямых в P3 зависитот четырех параметров. В декартовых координатах X1, X2, X3

почти все прямые можно записать в виде X1 = α1X3 + β1,X2 = α2X3 + β2. Этой параметризацией не охвачены прямые,параллельны плоскости X1OX2, а есть еще и бесконечно удален-ные прямые.

Плюккер предлагает ввести координаты на всей совокупно-сти прямых. Он рассуждает следующим образом. Прямая опре-деляется парой своих различных точек, т. е. x = (x0, x1, x2, x3),x = (x0, x1, x2, x3) (однородные координаты в P3), где x и x непропорциональны. Однако эти пары можно выбирать разнымиспособами. Чтобы избавиться от этой неопределенности, следуетрассмотреть выражения

pij = xixj − xj xi, (48)

уже не зависящие (с точностью до пропорциональности) от вы-бора точек. При этом pii = 0, pij = −pji. Назовем набор шестичисел p01, p02, p03, p12, p13, p23 плюккеровыми координатами пря-мой. Поскольку точки задавались однородными координатами,наборы pij и λpij соответствуют одной и той же прямой. Есливсе pij равны нулю, то x и x пропорциональны, что мы исклю-чили. В результате естественно рассматривать ненулевой набориз шести чиceл pij с точностью до пропорциональности в ка-честве однородных координат точки в пятимерном проективномпространстве P5.


Итак, множество прямых оказалось естественно вложеннымв P5. Поскольку оно зависит от четырех параметров, числа pij

должны удовлетворять еще одному соотношению. И действитель-но, можно проверить, что всегда выполнено тождество

p01p23 − p02p13 + p03p12 = 0. (49)

Нетрудно также убедиться, что других соотношений нет, а имен-но: по любому ненулевому набору чисел pij, удовлетворяющихсоотношению (49), можно найти x, x, удовлетворяющие усло-вию (48).

С геометрической точки зрения уравнение (49) задает в P5

поверхность второго порядка. Если перейти к координатам

p01 = u0 − u3, p23 = u0 + u3, p02 = u4 − u1,

p13 = u4 + u1, p03 = u2 − u5, p12 = u2 + u5,

то уравнение (49) запишется в виде

u20 + u2

1 + u22 − u2

3 − u24 − u2

5 = 0. (50)

Таким образом, множество прямых в трехмерном проективномпространстве P3 вкладывается как поверхность второго порядка(«квадрика») (50) (или (49)), в пятимерное проективное простран-ство P5. Это открытие Плюккера сыграло принципиальную рольв формировании современных математических идей; оно устанав-ливало изоморфизм двух совершенно различных геометрическихструктур: многообразия прямых в P3 и квадрики в P5. После это-го лучшие геометры Софус Ли (1842 – 1899), Феликс Клейн, ЭлиКартан с любовью коллекционировали подобные изоморфизмы.Но потом интересы сместились в сторону общего взгляда на мно-гообразия, когда работают лишь с координатами, не интересуясьгеометрической природой точек.

Последователей Плюккера интересовал в первую очередь сле-дующий вопрос: если рассматривать уравнение квадрики в P5 нес тремя плюсами и тремя минусами (сигнатура (3.3)), как в (50), ас сигнатурой (4.2) или (5.1), то будут ли допускать эти квадрикианалогичную геометрическую интерпретацию? Софус Ли обнару-жил, что во множестве сфер в трехмерном пространстве можно


таким естественным образом ввести однородные координаты, чтов P5 получится квадрика сигнатуры (4.2) (геометрия сфер Ли).Феликс Клейн ввел в четырехмерном пространстве некоторые до-вольно изысканные координаты, которые он нaзвaл «гексосфери-ческими», и эти координаты заполнили в P5 квадрику сигнату-ры (5.1).

Нас также будет интересовать эта задача, но мы рассмотримдругой путь ее решения. Дело в том, что при переходе к комплекс-ному пространству исчезает различие между квадриками с раз-личными сигнатурами, так как, умножая на i, всегда можно пе-рейти к координатам, в которых уравнение имеет вид z2

0+. . .+z25 =

0 (все вещественные квадрики являются вещественными формамиодной комплексной). Привычная логика проективной геометриизаключается в том что если мы хотим перейти от одной веще-ственной формы к другой, то нужно «окомплексить» задачу иосуществить переход в комплексном пространстве.

Комплексная картина. Пусть CP3 —комплексное проективное про-странство, z = (z0, z1, z2, z3)—комплексные однородные координа-ты; через точки z, z проходит комплексная прямая, состоящая източек вида λz + µz. В множестве комплексных прямых вводят-ся комплексные плюккеровы координаты pij , удовлетворяющиеуравнению (49), которое приводится к виду (50), где uj комплекс-ны.

На комплексной квадрике Q ⊂ CP5, задаваемой уравнени-ем (50), рассмотрим вещественные подповерхности. Если считатьвсе uj вещественными, то будем иметь случай, рассмотренный вы-ше. Однако u0, u1, u2, u5 можно считать вещественными, а u3 =iv3, u4 = iv4 — чисто мнимыми, или только u3 = iv3 чисто мни-мым, а остальные координаты вещественными. Тогда получимвещественные поверхности (u и v вещественны!):

u20 + u2

1 + u22 + v2

3 + v24 − u2

5 = 0, (S)

u20 + u2

1 + u22 + v2

3 − u24 − u2

5 = 0. (H)

Это соответственно сфера и однополостный гиперболоид (в одно-родных координатах). Поскольку эти вещественные поверхностилежат на комплексной квадрике Q, а точкам Q соответствуюткомплексные прямые, то естественно попытаться выяснить, ка-


кие комплексные прямые соответствуют точкам поверхностей (S)и (H).

Интерпретация вещественных квадрик на языке комплексных пря-мых (случай сферы). В случае (S) имеем:

p01 = u0 − iv3, p23 = u0 + iv3, p02 = iv4 − u1,

p13 = iv4 + u1, p03 = u2 − u5, p12 = u2 + u5.

Таким образом, точкам (S) соответствуют плюккеровы координа-ты, удовлетворяющие условиям:

p23 = p01, p13 = −p02, Im p03 = Im p12 = 0. (51)

Этими условиями точки (S) полностью характеризуются. То-гда, если прямая с такими плюккеровыми координатами проходитчерез z = (z0, z1, z2, z3), то можно считать, что второй точкой бу-дет z = (−z3, z2,−z1, z0). Итак, точкам вещественной квадрики (S)соответствуют комплексные прямые в CP3, проходящие через точ-ки (z0, z1, z2, z2) и (−z3, z2,−z1, z0).

Чем примечательны эти прямые? Через каждую точку z ∈∈ CP3 проходит прямая такого вида, причем единственная. В ре-зультате все пространство CP3 разбивается в объединение непере-секающихся прямых. Это разбиение (расслоение) играет важнуюроль в математике, и появилось оно не слишком давно, вне свя-зи с рассмотрениями Плюккера. Если пересечь полученное рас-слоение CP3 с вещественным проективным пространством P3, тополучится расслоение P3 на прямые, соединяющие (x0, x1, x2, x3)и (−x3, x2,−x1, x0). На простом языке мы получаем разбиениеобычного трехмерного пространства на попарно скрещивающие-ся прямые (в таком виде задача была предложена на Московскойматематической олимпиаде в 1979 г.). Реализация (S) в качестверасслоения CP3 — это первая из основных конструкций теориитвисторов.

Реализация гиперболоида как семейства прямых. В случае (H) име-ем:

p23 = p01, Im p13 = Im p02 = Im p03 = Im p12 = 0. (52)

Пусть сначала для простоты p03 6= 0. Ввиду однородности коорди-нат можно считать p03 = 1 и выбирать точки на соответствующей


прямой с координатами z0 = z3 = 1, z3 = z0 = 0. После этого онинаходятся однозначно. Из условия (52) следует, что z = (1, a, c, 0),z = (0, c, b, 1), где a и b вещественны. Чем же примечательныпрямые, проходящие через данные пары точек? Непосредственнопроверяется, что все точки, лежащие на этих прямых (т. е. точ-ки вида w = λz + µz, λ, µ комплексные), должны удовлетворятьусловию

Im(w1w0 + w2w3) = 0. (53)

Если снять ограничение p03 6= 0, то окажется, что других прямых,все точки которых удовлетворяют условию (53), нет. Следователь-но, условие (53) задает в CP5 поверхность N вещественной раз-мерности 5 так, что все комплексные прямые, лежащие наN ,—этопрямые, плюккеровы координаты которых удовлетворяют усло-вию (52), а, стало быть, это прямые, соответствующие точкамвещественной поверхности (H). Заметим, что поверхность N пол-ностью содержит вещественное проективное пространство P3, ичто, вообще говоря, семейство комплексных прямых, зависящееот четырех вещественных параметров, как следует из подсчетаразмерностей, заполняет область в CP3. Поэтому можно ожидать,что поверхность N обладает уникальными свойствами Действи-тельно, это единственная, с точностью до проективных преобразо-ваний, поверхность, на которой умещается четырехпараметриче-ское семейство комплексных прямых. Этот результат имеет веще-ственный аналог. Имеется много линейчатых поверхностей в трех-мерном пространстве, на которых лежит однопараметрическое се-мейство прямых, но лишь на однополостном гиперболоиде лежатдва различных семейства (этим свойством из неплоских поверх-ностей обладает еще гиперболический параболоид X3 = X2

1 −X22 ,

но с проективной точки зрения он эквивалентен однополостномугиперболоиду).

Подведем некоторые итоги. Мы начинали с квадрики веще-ственных прямых в P3, затем перешли к квадрике комплексныхпрямых в CP3. Среди вещественных поверхностей второго поряд-ка, лежащих на этой комплексной поверхности, имеются как по-верхность вещественных прямых, так и два других типа поверхно-стей: одни поверхности соответствуют расслоениям комплексногопроективного пространства CP3 на комплексные прямые, а—дру-


гие пятимерным вещественным поверхностям в CP3, на которыхимеется семейство комплексных прямых, зависящее от четырехвещественных параметров. На этом примере отчетливо виден фе-номен, который «выстрадали» геометры XIX века. Во-первых,вещественные объекты часто допускают интерпретацию на ком-плексном языке. Во-вторых, если мы делаем вещественную задачукомплексной, а затем, обратно, смотрим, какие вещетвенные за-дачи приводят к той же комплексной, то часто получаем новыесодержательные геометрические задачи.

Метрика в многообразии прямых. Плюккер и его последовате-ли занимались также изучением геометрии многообразия пря-мых Q ⊂ CP5. Они исследовали, как преломляются на языке Qразличные геометрические факты об исходном проективном про-странстве CP3. Точкам в CP3 соответствуют на Q двумерныеповерхности прямых, проходящих через эти точки, плоскостям —двумерные поверхности прямых, лежащих в этих плоскостях (двасемейства плоских образующих квадрики Q). Результативнымбыл и обратный путь, когда в CP3 рассматривались семействапрямых, плюккеровы координаты которых удовлетворяли одно-му соотношению (комплексы) или двум (конгруэнции). В качествепримера рассмотрим такой факт.

Прямые в трехмерном пространстве иногда пересекаются. Каквыражается это в плюккеровых координатах? Оказывается, чтоесли pij и p′ij— плюккеровы координаты двух прямых, то онипересекаются тогда и только тогда, когда

p01p′23 − p02p

′13 + p03p

′12 + p23p

′01 − p13p

′02 + p12p

′03 = 0. (54)

Мы выведем тождество (54) при упрощающем предположении(которое уже однажды делалось), что p03 6= 0, p′03 6= 0. Тогдаp03 = p′03 = 1, и прямые проходят соответственно через точ-ки (1, α1, α2, 0), (0, β1, β2, 1) и (1, α′1, α

′2, 0), (0, β′1, β

′2, 1) (по суще-

ству мы перешли от однородных координат к неоднородным).В этом случае точки прямой p задаются уравнениями

z1 = α1z0 + β1z3, z2 = α2z0 + β2z3,

и аналогично для p′

z1 = α′1z0 + β′1z3, z2 = α′2z0 + β′2z3.


Прямые пересекаются, если имеется общее решение (z0, z1, z2, z3)этой системы четырех уравнений или системы двух уравнений сдвумя неизвестными (z0, z3):

z0(α1 − α′1) + z3(α2 − α′2) = 0,z0(β1 − β′1) + z3(β2 − β′2) = 0.

(55)

Таким образом, прямые пересекаются тогда и только тогда, когдаравно нулю выражение

ρ(α, β, α′, β′) == (α1 − α′1)(β2 − β′2)− (α2 − α′2)(β1 − β′1). (56)

Современный математик назвал бы выражение (56) «расстояни-ем». Правда, это выражение может быть равно нулю при p 6= p′,и вообще комплексно. Но это не смущало даже геометров ХIX ве-ка. Клейн вспоминает, как любили они пользоваться прямыми,расстояние вдоль которых равно нулю (изотропные прямые). Линазывал эти прямые «сумасшедшими» и говорил, что француз-ские геометры умеют с их помощью получать доказательства «повоздуху». Назовем и мы величину ρ расстоянием между прямымиp = (α, β) и p′ = (α′, β′).

Итак, расстояние ρ равно нулю тогда и только тогда, когдапрямые пересекаются. Этим условием расстояние определяетсяпочти однозначно. Более строго расстояние определяется с точно-стью до конформной замены (гомотетии). Это означает, что одно-значно определяются углы и отношения расстояний в окрестностилюбой фиксированной точки с точностью до величин, малых от-носительно расстояний до этой точки.

Свяжем с каждой точкой p ∈ Q множество точек Vp ⊂ Q,находящихся от p на нулевом расстоянии (ρ(p, p′) = 0, прямые p, p′пересекаются). Множество Vp называется конусом изотропии; оносовпадает с пересечением квадрики Q и касательной плоскостик Q в точке p.

Расстояние на поверхностях (S), (H). Найдем след расстояния ρна поверхности (S). Мы опять ограничимся точками, у которыхp03 6= 1. Тогда из условия (51) следует, что β1 = α2, β2 = −α1, и вкачестве координат на (S) можно брать только пару комплексных


чисел (α1, α2). Следовательно,

ρ(S)(α;α′) = |α1 − α′1|2 + |α2 − α′2|2. (57)

Это расстояние уже лишено всех недостатков расстояния ρ в об-щем случае: оно неотрицательно и обращается в нуль только приα = α′. Полученный факт согласуется с тем, что прямые, которыесоответствуют точкам (S), не пересекаются. Мы получили обыч-ное евклидово расстояние на четырехмерной вещественной сферев пятимерном евклидовом пространстве.

Теперь ограничим ρ на гиперболоид (H) и вновь возьмем точ-ки p03 = 1. ПустьM ⊂ (H)—множество таких точек на (H). Тогда,в силу условий (52), α1, β2 вещественны, a β1 = α2. Сделаем заме-ну: α1 = t−x1, β2 = t+x1, β1 = x2+ix3, где все (t, x) вещественны.В результате выражение (56) примет вид

ρ(H)(t, x; t′, x′) =

= (t− t′)2 − (x1 − x′1)2 − (x2 − x′2)

2 − (x3 − x′3)2. (58)

Это в точности метрика Минковского (она вещественна, но неположительно определена). Если пересечь конус Vp при p ∈ Mс поверхностью M , то получится световой конус с вершиной p.Итак, естественно возникающее из геометрии прямых расстояниена квадрике Q индуцирует на сфере (S) евклидово расстояние, ана гиперболоиде (H) расстояние Минковского.

Точкам M ⊂ (H) соответствуют те прямые на поверхности N ,которые не пересекают прямой z0 = z3 = 0. Многообразие (H)играет важную роль в физических теориях—это конформное рас-ширение пространства Минковского M . Оно получается из при-клеиванием на «бесконечности» светового конуса (подобно тому,как у евклидова пространства имеется расширение с помощьюодной бесконечно удаленной точки, а не целой бесконечно уда-ленной плоскости, как в случае проективного расширения). Еслирассматривать проективные преобразования пространства CP3,сохраняющие поверхность N , то они будут переводить прямыена N в прямые на N , пересекающиеся прямые—в пересекающиесяпрямые. Тем самым на (H) будут индуцироваться преобразования,переводящие друг в друга световые конусы Vp. Таким образом


получаются все конформные преобразования пространства Мин-ковского (движения, гомотетии, инверсии), относительно которыхнередко инвариантны физические теории (безмассовые). Чтобыполучить группу собственно движений (группу Пуанкаре), на-до ограничиться преобразованиями, которые сохраняют также ипрямую z0 = z3 = 0. Итак, геометрия пространства Минковскогов полной мере возникает в рамках геометрии Плюккера простран-ства прямых.

Имеется ли естественный путь в обратном направлении? Как,исследуя пространство Минковского, обнаружить то вспомога-тельное трехмерное пространство (пространство твисторов поПенроузу), прямые в котором соответствуют точкам простран-ства Минковского? Это можно сделать с помощью световыхконусов Vp. Напомним, что точкам Vp соответствуют прямые,пересекающие прямую p. Все прямые, соответствующие точкам,лежащим на одной образующей Vp (световой прямой), пересекаютпрямую p в одной и той же точке. В результате возникает соот-ветствие между точками поверхности N и световыми прямыми;N можно рассматривать как множество световых прямых на (H).Если перейти к комплексной картине, то точки CP3 отождеств-ляются с комплексными «световыми» прямыми на Q (половинойдвумерных образующих конусов Vp).

Замечание об аналитических приложениях. Поучительность из-ложенной геометрической картины не вызывает сомнений. Но,как уже отмечалось, в рамках теории Пенроуза она лишь поводдля новых аналитических построений. К сожалению, мы име-ем возможность лишь очень поверхностно остановиться на них.Идея Пенроуза заключается в том что аналитическим объек-там на четырехмерном многообразии M (в евклидовой теориина (S)) должны соответствовать в некотором смысле эквивалент-ные объекты на N или CP3. Эти объекты должны быть проще,чем их двойники на и (S), и значительная часть уравнений ма-тематической физики на и (S) является просто следствием того,что объекты, первоначально заданные на трехмерном многообра-зии, каким-то путем переносятся на четырехмерное многообразие.Следует отметить, что многие дифференциальные уравнения воз-никают как соотношения при переходе (интегральном преобразо-


вании) на многообразия большего числа измерений. Это важныйи пока недостаточно изученный источник получения и решенияуравнений. В простейшем примере, который принадлежит ФрицуЙону, при интегрировании функции в трехмерном пространстве(вещественном) по прямым получаем на четырехмерном про-странстве прямых решения некоторого (ультрагиперболического)дифференциального уравнения второго порядка. Пенроуз и егопоследователи сталкиваются с аналогичными эффектами в болеесложной комплексной ситуации. Поэтому приходится иметь делоне с функциями, а со значительно более сложным объектом —когомологиями. Оказалось, что при переходе от и (S) к CP3 дей-ствительно получаются более простые и классические уравнения:какой-то вариант уравнений Коши–Римана из теории аналитиче-ских функций. При этом удалось рассмотреть не только линейныеуравнения математической физики (Дирака – Вейля, Максвелла,линеаризованное уравнение Эйнштейна), но и некоторые нели-нейные (Янга – Миллса).Автодуальные метрики. В заключение остановимся еще на одномнаправлении в исследованих Пенроуза. Пока мы имели дело сплоским пространством-временем Минковского. В общей теорииотносительности интересуются искривленными четырехмернымимногообразиями, которые должны удовлетворять сильным нели-нейным ограничениям (например, вакуумному уравнению Эйн-штейна). Построение решений уравнений Эйнштейна — труднаязадача. Пенроуз, исходя из реализации пространства Минковско-го как семейства прямых в CP3, ищет многообразия, которые удо-влетворяли бы уравнению Эйнштейна, как семейства кривых накаких-то трехмерных многообразиях. Метрика при этом долж-на получаться из условия пересечения кривых (пересекающиесякривые находятся на нулевом расстоянии). Он с самого началаограничивается комплексной ситуацией. Для этого в неплоскомслучае имеются дополнительные причины: на многообразии кри-вых не бывает неплоской метрики Эйнштейна сигнатуры (3.1),как у метрики Минковского, но бывает риманова сигнатуры (4.0).

Переход к комплексным рассмотрениям замечательным обра-зом упрощает ситуацию, делает ее более геометричной. Ряд инва-риантов кривизны многообразия, которые в вещественном случаевводятся аналитически, в комплексном случае приобретает яс-


ный геометрический смысл (тензоры Риччи и Вейля). Пенроузпоказывает, что некоторый класс комплексных решений уравне-ния Эйнштейна (автодуальных) получается, если определеннымобразом возмутить комплексную структуру в окрестности однойпрямой в CP3 и рассмотреть некоторое семейство кривых, «близ-ких» к прямым. К сожалению, этот путь содержит чрезвычайнонеэффективный момент при нахождении семейства кривых. Од-нако в некоторых случаях вычисления удалось довести до явноговыражения для метрики.

Позднее появились некоторые другие геометрические идеи,как строить явные решения нелинейных уравнений, включаяуравнение Эйнштейна, пользуясь языком твисторов. Одна из нихсостоит в том, что в восьмипараметрическом семействе кривыхвторого порядка в CP3 описываются такие четырехпараметри-ческие подсемейства, что условия пересечения индуцируют наних метрики Эйнштейна. Таким образом получаются некоторыеизвестные решения, а также много новых. Эта идея — вполне врусле идеологии Плюккера: условие пересечения прямых даетплоскую метрику, а пользуясь кониками, мы строим неплоскиеметрики.

Идеи твисторной программы за последние годы получили су-щественное развитие, хотя, быть может, первончальные надеждына роль твисторов в теоретической физике оказались слишком оп-тимистичными. Внутри математики твисторы нашли замечатель-ные применения в многомерном комплексном анализе, но преждевсего — в геометрии и топологии, где они привели к революции втеории четырехмерных многообразий.

istoria matematicii (rusa)

Documents