DETASĂRI DE SUPRAFEŢE Problema detaşării unei suprafeţe se referă la posibilitatea separării unor suprafeţe cunoscute din alte suprafeţe.

1. DETERMINAREA POZIŢIEI UNUI PUNCT PE UN SEGMENT DE DREAPTĂ

Pd10

0

P (x ,y )2 2 2

11P (x ,y )1

12d

Fig.1

Cunoscând segmentul de dreaptă prin punctele P1(x1y1), respectiv P2(x2y2) (Fig.1). Se pune problema determinării coordonatelor punctului P0(x0y0) aflat pe segment la distanţa d10 impusă. Se calculează din coordonate orientarea :

1212

12

1212

cc

xx

yytg (1)

Tot din coordonate se determină şi lungimea segmentului:

12

12

12

122

12

2

1212sincos

yyxxyyxxd

(2)

Relaţiile de calcul ale coordonatelor se scriu într-o formă iniţială astfel:

12101101010

12101101010

sinsin

coscos

dydyy

dxdxx

dar: 12

1212cos

d

xx şi

12

1212sin

d

yy

Înlocuite în relaţiile de mai sus permit obţinerea coordonatelor punctului P0 funcţie de coordonatele punctelor P1,P2 şi raportul distanţelor d10 respectiv d12.

12

12

10

10

12

12

10

10

xxd

dyy

xxd

dxx

(3)

Poziţia punctului P0 se determină deci din coordonatele (x1,y1), (x2,y2) şi distanţele măsurate d10 respectiv d12.

2. DETAŞAREA UNEI SUPRAFEŢE DINTR-UN TRIUNGHI

Considerăm un triunghi (fig. 2) a cărui suprafaţă poate fi calculată din coordonatele

punctelor: P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3).

P

P

S0 S

h

P'2d10 d13

P1 3

2

Fig.2

Suprafaţa triunghiului este:

1 1

2 2

3 3

11

12

1

X Y

S X Y

X Y

(4)

Se pune problema că din această suprafaţă S să se detaşeze o suprafaţă S0 dată, care să fie conturată de punctele P1 P2 P0. Va trebui deci determinată poziţia punctului P0 pe segmentul P1P3. Notăm: P1P3=d13

Coborâm perpendiculara P2P2’.

Se observă că: hdS 132 şi hdS 1002

Egalam cele doua relaţii: 13

0

10

10

0

132d

S

Sd

d

S

d

Sh

Poziţia punctului P0 este dată de relaţiile:

0 3 10 1 10 13 1 13

13

0 3 10 1 10 13 1 13

13

cos

sin

S X XX X d X d

S d

S Y YY Y d Y d

S d

(5)

Deci relaţiile finale devin:

13

0

10 XXS

SXX

13

0

10 YYS

SYY

EXEMPLU Să se detaşeze o suprafaţă de S0=1,750 ha din suprafaţa unui triunghi determinat de punctele 1,2,3 cu condiţia ca dreapta de detaşare să treacă prin punctul 2. Coordonatele punctelor 1,2,3 sunt următoarele:

Se calculează:

1. Suprafaţa triunghiului 123

1 1

2 2

3 3

11

12

1

X Y

S X Y

X Y

EXCEL: S=MDETERM(B11:D13)/2

2. Distanţa 13

2 2 2 2

13 3 1 3 1( ) ( )d x y x x y y

EXCEL:

=SQRT((B7-B5)^2+(C7-C5)^2)

3. Se determină coordonatele punctului P0

13

0

10 XXS

SXX 13

0

10 YYS

SYY

EXCEL: X0=B5+(G5/F5)*(B7-B5) Y0=C5+(G5/F5)*(C7-C5)