calcule de suprafete si volume
TRANSCRIPT
1
Calcule de suprafeţe şi volume
2
Cuprins
Noţiuni generale de geometrie plană .................................... 4 Unghiuri .................................................... 4 Triunghiuri................................................... 4 Patrulatere ................................................... 7 Cercul ...................................................... 8 Segmente proporţionale; Asemănare .................................. 9
Noţiuni generale de geometrie în spaţiu.................................. 9 Drepte şi plane ................................................ 9 Locuri geometrice ............................................. 10 Figuri plane. Ariile şi centrele de greutate ale acestora ..................... 11 Corpuri geometrice. Volumele, ariile şi centrele de greutate ale acestora ......... 13
Funcţii trigonometrice ............................................ 18 Reprezentarea grafică şi semnele funcţiilor trigonometrice în cele patru cadrane ale cercului cu raza R=1 ........................................... 18 Proprietăţi fundamentale: ........................................ 18 Valori ale funcţiilor trigonometrice: ................................. 18 Relaţii între funcţiile trigonometrice ale diferitelor arce: .................... 19 Funcţiile trigonometrice ale sumelor sau diferenţelor de unghiuri:.............. 20 Calculul trigonometric al triunghiurilor ............................... 20
Bibliografie:................................................... 23
3
Activitatea designerului presupune multiple cunoştinţe din diferite domenii. În
calitate de proiectant, designerul se confruntă cu situaţia de a efectua calcule de suparfeţe şi volume pentru a stabili:
• necesarul de materiale, • capacitatea/volumul produsului proiectat, • habitaclu, • dimensiunile şi forma produsului. Forma şi dimensiunile produsului trebuie să asigure: compatibilitatea cu funcţiile
acestuia, spaţiu necesar componentelor şi elementelor constructive, echilibru. Orice formă creată, indiferent cât este de complicată se poate descompune în
suprafeţe şi volume “primare”, ale căror calcule se pot deduce cu ajutorul formulelor şi calculelor prezentate în capitolele ce urmează. Indiferent de domeniu în care se desfăşoară activitatea designerului: graphic design, design ambiental sau design industrial, se impune calculul de necesar de materiale, astfel încât potenţialul beneficiar să poată cunoaşte implicaţiile financiare ale respectivului produs.
4
Noţiuni generale de geometrie plană
Unghiuri Unghiurile egale sunt:
• Unghiurile opuse la vârf; • Unghiurile cu laturi paralele şi îndreptate în acelaşi sens; • Unghiurile corespondente, alterne interne şi alterne externe formate de două drepte
paralele tăiate de o secantă; • Unghiurile care au laturi perpendiculare şi sunt ambele ascuţite sau optuze. • Unghiurile complementare sunt cele a căror sumă este de 900. • Unghiurile suplementare (a căror sumă este de 1800) sunt: • Unghiurile adiacente, care au laturile necomune în prelungire; • Unghiurile cu laturi paralele dintre care unul este ascuţit iar celălalt aste obtuz; • Unghiurile interne sau externe situate de aceeaşi parte a secantei, când aceasta taie
două drepte paralele; • Unghiurile care au laturile perpendiculare, dintre care un unghi este ascuţit iar
celălalt este obtuz.
Triunghiuri • Într-un triunghi, suma celor trei unghiuri este de 1800; • În orice triunghi, o latură este mai mică decât suma celorlalte două şi mai mare decât
diferenţa lor; • Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ au AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’ şi  ≡ Â’ atunci
∆ABC ≡ ∆A’B’C’ (L.U.L.) – deci două triunghiuri sunt egale când au câte un unghi egal cuprins între două laturi respectiv egale;
• Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ au AB ≡ A’B’ , Â ≡ Â’ şi B ≡ B’ atunci ∆ABC ≡ ∆A’B’C’ (U.L.U.) – deci două triunghiuri sunt egale când au câte o latură respectiv egală iar unghiurile alăturate acesteia sunt egale;
• Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ au AB ≡ A’B’ , AC ≡ A’C’ şi BC ≡B’C’ atunci ∆ABC ≡ ∆A’B’C’ (L.L.L.) – deci două triunghiuri sunt egale când au laturile respectiv egale;
• Dacă într-un triunghi ABC, AB ≡ AC , atunci B ≡ C şi reciproc (teorema triunghiului isoscel);
• Într-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi reciproc; • Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale; • Într-un triunghi isoscel, medianele, înălţimile şi bisectoarele duse din vârfurile
acestor unghiuri sunt egale; • Într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului de la vârf este mediană şi înălţime; • Dacă într-un triunghi unul din unghiuri este de 900 (unghi drept), triunghiul se
numeşte dreptunghic; • Latura opusă unghiului de 900, dintr-un triunghi dreptunghic, se numeşte ipotenuză,
iar celelalte două, catete; • Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor catetelor:
5
a2 = c2 + b2 iar pătratul unei catete este egal cu diferenţa dintre pătratul ipotenuzei şi pătratul
celeilalte catete: c2 = a2 - b2 sau b2 = a2 - c2 Numerele pitagorice sunt numere
întregi, respectiv a, b, c, care respectă teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2
b c a b c a 4 3 5 16 12 20 6 8 10 20 21 29 8 15 17 24 7 25 10 24 26 30 16 34 12 5 13 40 9 51
Notăm: A = 900; AD ⊥ BC; AB = c; AC = b; BC = a. Avem următoarele relaţii: AD2 = BD ⋅ DC; AB2 = BC ⋅ BD; AC2 = BC ⋅ DC; AB2 +
AC2 = BC2
BCACABAD ⋅
= ; 2aR = ;
2acbr −+
= ; 2
acbra++
=
Triunghiurile dreptunghice care au ca laturi numere întregi, se obţin din formulele: a = m2 + n2; b = m2 – n2; c = 2 ⋅ m ⋅ n; unde m şi n pot lua orice valori care fac ca b > 0. • Două triunghiuri dreptunghice sunt egale, când au ipotenuzele şi câte o catetă
respectiv egale; • Două triunghiuri dreptunghice sunt egale, când au ipotenuzele şi câte un unghi
ascuţit respectiv egale; • Într-un triunghi dreapta care uneşte mijloacele a două laturi, este paralelă cu o a treia
şi egală cu jumătatea ei; • Mediatoarele într-un triunghi sunt concurente în centrul cercului circumscris
triunghiului; • Înălţimile unui triunghi sunt concurente într-un punct numit ortocentru; • Linia mijlocie a unui triunghi, determinată de mijloacele a două laturi, este paralelă
cu cea de-a treia latură şi are ca lungime ½ din lungimea celei de-a treia latură; • Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente în centrul cercului înscris; • Două bisectoare exterioare şi cea de a treia interioară sunt concurente în centrul
cercului înscris; • Bisectoarea interioară şi exterioară a unui unghi dintr-un triunghi, împart latura
opusă într-un raport egal cu raportul laturilor ce formează unghiul (teorema bisectoarei);
b
a
c A B
C D
6
• Dacă o dreaptă d ce nu trece prin nici unul din vârfurile unui triunghi ABC taie laturile acestuia BC, CA, AB respectiv în M, N, P, atunci
1=⋅⋅PBPA
NANC
MCMB
(teorema lui Menelaos. Această teoremă dă posibilitatea de a
imagina o metodă prin care să se demonstreze că trei puncte sunt coliniare); • Dacă D este un punct ce nu aparţine dreptelor AB, BC, CA, care definesc triunghiul
ABC, iar M, N, P sunt punctele de intersecţie ale lui AD cu BC, lui BD cu CA şi respectiv CD cu AB, atunci
1−=⋅⋅PBPA
NANC
MCMB
(teorema lui Ceva. Această teoremă dă posibilitatea de a
imagina o metodă prin care să se demonstreze că trei drepte sunt concurente); • Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al
triunghiului (baricentru) şi care este situat pe fiecare mediană la 2/3 de vârf. • Într-un triunghi oarecare: A, B, C unghiurile; a, b, c laturile; R raza cercului
circumscris; r, ra, rb, rc, razele cercului înscris şi exînscris; ha, hb, hc, înălţimile; ma, mb, mc , medianele; βa, βb, βc, bisectoarele interioare; S aria triunghiului; p semiperimetru, există următoarele relaţii:
• A + B + C =1800 • b – c < a < b + c • a2 = b2 + c2 – 2bx (x este proiecţia lui c pe latura b) dacă A < 900 • a2 = b2 + c2 + 2bx (x este proiecţia lui c pe latura b) dacă A > 900 • Relaţia lui Stewart: AD2⋅ BC = AB2⋅ DC + AC2⋅ BD – BD ⋅ DC ⋅ BC • Aria unui triunghi oarecare este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cbaa rcprbpraprpcpbpapp
haS ⋅−=⋅−=⋅−=⋅=−⋅−⋅−⋅=
⋅=
2;
RcbarrrrS cba ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅=4
; ma2=
42
222 acb−
+; ( )appcb
cba −⋅⋅⋅⋅+
=2β ;
( ) ( ) ( )cpbpappa
ha −⋅−⋅−⋅⋅=2
; pSr = ;
apSra −
= ; S
cbaR⋅⋅⋅
=4
A
B Ca
bc
x
D
ha
hb hc
7
Patrulatere • Într-un paralelogram unghiurile opuse la vârf sunt egale, cele alăturate sunt
suplementare, diagonalele se taie în părţi egale, punctul de intersecţie al diagonalelor este centrul de simetrie al paralelogramului, iar laturile opuse sunt paralele şi egale două câte două;
• Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale două câte două, sau două laturi opuse sunt egale şi paralele, sau diagonalele patrulaterului se taie (intersectează) în părţi egale, atunci patrulaterul este un paralelogram;
• Relaţii într-un patrulater inscriptibil: 1. A + C = 1800 2. AC ⋅ BD = AB ⋅ DC + AD ⋅ BC (teorema
lui Ptolomeu)
dcbacbda
BDAC
⋅+⋅⋅+⋅
=
3. Dacă a + b + c + d = 2 ⋅ p )()()()( dpcpbpapS −⋅−⋅−⋅−= iar diagonala
dusă prin intersecţia laturilor (a, b): cbda
dbcadcbaD⋅+⋅
⋅+⋅⋅⋅+⋅=
)()(
• Într-un dreptunghi diagonalele sunt egale; • Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare; • Într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare şi egale; • Într-un trapez isoscel (laturile neparalele sunt egale şi formează cu cele paralele
perechi de unghiuri egale) diagonalele sunt egale şi egal înclinate pe baze; • Linia mijlocie a unui trapez, este paralelă cu bazele trapezului şi are lungimea egală
cu semisuma celor două baze; • Porţiunea din linia mijlocie a trapezului cuprinsă între cele două diagonale ale
trapezului, este egală cu semidiferenţa lungimilor celor două baze; • Poligoane cu: n numărul laturilor; R raza cercului circumscris poligoanelor regulate;
Ln latura poligonului regulat de n laturi, înscris în cerc; An apotema aceluiaşi poligon; Sn aria.
1. Suma unghiurilor unui poligon (convex) cu n laturi este de (2⋅ n – 4) ⋅900; 2. L2n = )(2 naRR −⋅⋅ ;
3. A2n = )(221
naRR +⋅⋅⋅ ;
4. S2n = 2
nLRn ⋅⋅;
A B
C
D
a
b
c
d
8
5. Triunghiul echilateral: arcul laturii este de 1200; L3 = 3⋅R ; 23Ra = ;
43
433 22
3⋅
=⋅⋅
=LRS ;
6. Pătrat: arcul laturii este de 900; 24 ⋅= RL ; 22
24
LRa =⋅
= ;
224 2 LRS =⋅= ;
7. Pentagon convex: arcul laturii este 720; 521025 ⋅−⋅=RL ;
)15(45 +⋅=Ra ;
8. Pentagon stelat: arcul laturii este 1440; 52104
'5 ⋅+⋅=
RL ;
)15(4
'5 −⋅=
Ra ;
9. Decagon convex: arcul laturii este 360; L10= ( )152
−⋅R
;
5210410 ⋅+⋅=Ra ;
10. Decagon stelat: arcul laturii este 1080; L10’ = ( )152
+⋅R
;
52104
'10 ⋅−⋅=
Ra ;
11. Cercul: raza R; lungimea L; aria S; L = 2⋅π⋅R; S = π⋅R2; l = 180
0nR ⋅⋅π;
aria sectorului de n0 = 0
02
360nR ⋅⋅π
Cercul
• Orice diametru împarte cercul în două părţi egale; • La arce egale care fac parte din acelaşi cerc sau cercuri egale, corespund coarde
egale şi unghiuri la centru egale şi reciproc; • Coarda mai lungă dintr-un cerc este mai aproape de centru decât cea mai scurtă; • Arcele cuprinse între coarde paralele sunt egale; • O tangentă la cerc este perpendiculară pe rază la punctul de contact; • Unghiul la centru are aceeaşi măsură ca şi arcul cuprins între laturi; • Unghiul cu vârful pe cerc are ca măsură jumătatea arcului cuprins între laturi;
9
• Unghiul cu vârful în afara cercului are ca măsură semidiferenţa arcelor cuprinse între laturi;
• Unghiul cu vârful în interiorul cercului are ca măsură semisuma arcelor cuprinse între laturi;
• Unghiul format de o tangentă şi o coardă are ca măsură jumătatea arcului cuprins între ele, dacă coarda trece prin punctul de contact;
• Patrulaterul inscriptibil (are toate vârfurile pe acelaşi cerc) are unghiurile opuse suplementare, iar unghiurile formate de diagonale, cu două laturi opuse, egale;
• Două cercuri de rază r şi r′ (r > r′) cu distanţa d între centrele lor pot fi: 1. Exterioare când d > r + r′; 2. Tangente exterioare când d = r + r′; 3. Secante când r - r′ < d < r + r′ 4. Tangente interioare când d = r - r′; 5. Concentrice când d = 0.
Segmente proporţionale; Asemănare
• Mai multe drepte paralele care determină pe o secantă segmente egale, vor determina pe oricare altă secantă tot segmente egale;
• O paralelă la latura unui triunghi determină pe celelalte două, patru segmente proporţionale;
• Bisectoarea unui triunghi împarte latura pe care cade, în două segmente proporţionale cu laturi adiacente;
• Două triunghiuri sunt asemenea când au câte două unghiuri egale; • Două triunghiuri sunt asemenea când au câte un unghi egal cuprins între două laturi
respectiv proporţionale; • Două triunghiuri sunt asemenea când toate laturile unuia sunt proporţionale cu ale
celuilalt; • Raportul perimetrelor a două poligoane asemenea este egal cu raportul a două laturi
omoloage; • Raportul ariilor a două poligoane asemenea este egal cu raportul pătratelor a două
laturi omoloage; • Oricărui poligon regulat i se poate circumscrie şi înscrie un cerc.
Noţiuni generale de geometrie în spaţiu
Drepte şi plane • Un plan poate fi determinat de:
1. două drepte concurente; 2. două drepte paralele; 3. trei puncte necoliniare (nesituate pe aceeaşi dreaptă); 4. o dreaptă şi un punct exterior acesteia.
• Două plane se intersectează după o dreaptă; • Un plan dus printr-o dreaptă paralelă cu alt plan, determină pe cel de-al doilea, o
dreaptă paralelă cu prima; • Două drepte paralele cu un plan, determină un plan paralel cu primul;
10
• Două plane paralele intersectate de un al treilea, determină pe cel din urmă drepte paralele;
• Unghiurile cu laturi paralele nesituate în acelaşi plan sunt egale dacă laturile sunt îndreptate în acelaşi sens şi suplementare dacă unul este ascuţit iar celălalt este obtuz;
• O dreaptă perpendiculară pe două drepte dintr-un plan, este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan;
• Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan şi dacă din piciorul ei se duce o perpendiculară pe o dreaptă din plan, orice dreaptă care uneşte un punct de pe prima perpendiculară cu piciorul celei de a doua, este perpendiculară pe dreapta din plan;
• Două drepte perpendiculare pe acelaşi plan, sunt paralele între ele.
Locuri geometrice Se numeşte loc geometric o figură plană sau un spaţiu ale cărei puncte se bucură toate
de aceeaşi proprietate. • Cercul este locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct din interior,
numit centru; • Mediatoarea unui segment (perpendiculara dusă pe segment în mijlocul său) este
locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului; • Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile
unghiului; • Locul geometric al punctelor de unde un segment dat se vede sub un unghi dat este
arcul de cerc capabil de unghiul dat, care trece prin capetele segmentului; • Locul punctelor pentru care raportul distanţelor la două puncte fixe este constant,
este un cerc care are centrul pe dreapta care uneşte punctele fixe; • Locul punctelor pentru care suma pătratelor distanţelor la două puncte fixe este
constantă, este un cerc care are centrul în mijlocul segmentului; • Locul punctelor pentru care diferenţa pătratelor distanţelor la două puncte fixe este
constantă, este o perpendiculară pe dreapta care uneşte punctele fixe; • Locul punctelor egal depărtate de un plan este format de două plane paralele cu
planul dat; • Locul punctelor din spaţiu egal depărtate de capetele unui segment, este un plan
perpendicular pe segment, dus prin mijlocul segmentului; • Locul punctelor egal depărtate de două plane care se intersectează, este planul
bisector al diedrului format de cele două plane; • Locul punctelor egal depărtate de un punct dat, este o sferă cu centrul în punctul dat; • Locul punctelor egal depărtate de o dreaptă dată, este un cilindru de rotaţie având
dreapta dată ca axă de rotaţie a cilindrului.
11
Figuri plane. Ariile şi centrele de greutate ale acestora Nr. crt.
Denumire Forma geometrică Formule
1
Triu
nghi
A = 2
ha ⋅
GO = AO31
(CO = OB)
2
Pătra
t
A = a⋅a = a2 G este la intersecţia diagonalelor
3
Dre
ptun
ghi
A = a⋅b G este la intersecţia diagonalelor
4
Para
lelo
gram
A = a⋅b G este la intersecţia diagonalelor
G
a
a
B
aO
Gh
A
C
a
b
G
G
a
b
12
5
Rom
b
A = a⋅b G este la intersecţia diagonalelor
6
Trap
ez
A = hba⋅
+2
GO =babah
++2
31
7
Cer
c
A = πr2 = (π/4)D2 G este în centrul cercului L = lungimea cercului = 2πr = πD
8
Sem
icer
c
A = (πr2 )/2 = =(π/8)D2
GO = π3
4r= 0,43 r
G
a
b
a
b
O
Gh
a
b
Dr
G
G
O
r
13
9
Inel
con
cent
ric
A = π (R2- r2) = 4π
(D2 – d2)
G este în centrul cercurilor
10 Se
ctor
circ
ular
A= 03602α
=⋅ ra
⋅⋅π⋅r2
GO = a
cr⋅⋅⋅
32
11
Segm
ent c
ircul
ar
A = ( )
2fccar ⋅+−
GO = A
c⋅12
3
12
Elip
să
A = π⋅a⋅b G este la intersecţia axelor
Corpuri geometrice. Volumele, ariile şi centrele de greutate ale acestora
Nr. crt.
Denumire Figura geometrică Formule
D
d
G
α
r O
a C
C
f
a
G
O
r α
G
2b
2a
14
1
Cili
ndru
V = π⋅r2⋅h = 2
4d⋅π
⋅h
Al = 2⋅π⋅r⋅h = π⋅d⋅h At = π⋅d⋅h + π⋅d2/2 GO = h/2
2
Cili
ndru
gol
V = π⋅h (R2 – r2) Al = 2⋅π⋅⋅h (R +r) =π⋅h (D + d)
At = π⋅[h (D + d) + 21
(D2 – d2)]
GO = h/2
3
Para
lelip
iped
V = a ⋅ b ⋅ h Al = 2 ⋅ (a + b)⋅ h At = 2 ⋅ [h (a + b) + a⋅ b] G este la intersecţia diagonalelor
G
h
a
b
r
R
h
Dd
G
O
r
h
d
G
O
15
4
Pira
midă
V = 3h
⋅ B
Al = n ⋅ 2
Ia ⋅
(I = înălţimea triunghiului; n = nr. de laturi al poligonului ce reprezintă baza piramidei)
At = n ⋅ 2
Ia ⋅ + B
GO = 41
h
5
Trun
chi d
e pi
ram
idă
drea
ptă
V = 3h
⋅ (B + B1 + 1BB ⋅ )
Al = 2
In ⋅⋅ (a + b)
(I = înălţimea trapezului; n = nr. de laturi al poligonului ce reprezintă baza piramidei; B şi B1 reprezintă ariile celor două baze ale trunchiului de piramidă)
At = 2
In ⋅⋅ (a + b) + B + B1
GO = 41
h11
11 32BBBB
BBBB+⋅+
⋅+⋅⋅+⋅
6
Con
V = 3
h⋅π ⋅ r2
Al = π ⋅ r ⋅ g (h = înălţimea conului; g = generatoarea conului) At = π ⋅ r ⋅ (g + r)
GO = 41
h
G
O
h I
a
O
G
a
b
H
h I
O
G
h g
r
16
7
Trun
chi d
e co
n
V = 3
h⋅π ⋅ (R2 + r2 + R⋅r)
Al = π ⋅ g ⋅(R + r) (h = înălţimea trunchiului de con; g = generatoarea trunchiului de con) At = π ⋅ [g ⋅ (R + r) + R2 + r2]
GO = 41
h ⋅ RrrR
rrRR+++⋅+
22
22 32
8
Sferă
V = ⋅34
π⋅ r2 =6π⋅ d3
At = 4 ⋅ π ⋅ r2 G este în centrul sferei
9
Sect
or sf
eric
V = ⋅32
π⋅ r2⋅ h =6π⋅ d2⋅ h
At = 2
r⋅π(4 ⋅ h + C)
G = 43⋅ (r -
2h
)
10
Segm
ent s
feric
(cal
otă
sfer
ică)
V = π⋅ h2 ⋅ (r -3h
) = π ⋅ h
⋅( +8
2c6
2h)
Al = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 4π⋅ (C2 + 4 ⋅ h2)
At = 2π
(C2 + 2 ⋅ h2)
G = 43⋅ ( )
hrhr−⋅−⋅
32 2
G
O R
r
g
h
O G
r
d
O
G
Ch
r
O
G
C
h
r
17
11
Zonă
sfer
ică
V = ( )222 336
hbah+⋅+⋅⋅
⋅π
Al = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h At = π ⋅ (2 ⋅ r ⋅ h + a2 + b2)
12
Elip
soid
V = cba ⋅⋅⋅⋅3
4 π
A nu se poate calcula cu ajutorul unei formule simple
13
But
oi
V ≅ ( )22 75,0215
ddDDl⋅+⋅+⋅⋅
⋅π
A nu se poate calcula printr-o formulă simplă
14
Inel
circ
ular
(tor
)
V = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ r2 = 19,739⋅ R ⋅ r2 Al = 4 ⋅ π2⋅ R ⋅ r = π2⋅ D ⋅ d = = 9,8696 ⋅ D ⋅ d
Notaţii: V- volumul corpului; G- centrul de greutate; Al- suprafaţa laterală; At- suprafaţa totală; B-suprafaţa bazei mari; B1- suprafaţa bazei mici; h- înălţimea; n- numărul de laturi.
O
h
r
b
a
a
b
c
D
d
l
d
DRr
18
Funcţii trigonometrice
Reprezentarea grafică şi semnele funcţiilor trigonometrice în cele patru cadrane ale cercului cu raza R=1
Tab.4.1 Semnele funcţiilor trigonometrice Cadranul sin
BC cos OC
tg AT
ctg DS
I + + + + II + - - - III - - + + IV - + - -
Proprietăţi fundamentale:
sin2 α + cos2 α = 1; tg α = sin α / cos α; sec α = 1 / cos α; ctg α = cos α / sin α; cosec = 1 / sin α
Valori ale funcţiilor trigonometrice:
Tab. 4.2 Valori extreme şi valori particulare ale funcţiilor trigonometrice Funcţia
trigonometrică 00 - 3600 900 1800 2700 300 450 600
sin 0 1 0 -1
21
221
321
cos 1 0 -1 0 3
21
221
21
tg 0 ∞ 0 ∞ 3
31
1 3
III
III
IV
Rαcos
O A
B
C
D S
T
sin
tg
ct
-x x
y
-y
fig. 4.1
19
ctg ∞ 0 ∞ 0 3 1 3
31
Tab. 4.3 Relaţii dintre funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi unghi Funcţia
trigonometrică sin α cos α tg α ctg α
sin α sin α α2cos1− α
α21 tg
tg+
α2cot1
1g+
cos α α2sin1− cos α
α211tg+
α
α2cot1
cotg
g+
tg α
αα
2sin1sin−
α
αcos
cos1 2− tg α αgcot
1
ctg α
αα
sinsin1 2−
α
α2cos1
cos− αtg
1
ctg α
Relaţii între funcţiile trigonometrice ale diferitelor arce:
a) Arce simple şi complemenatre:
sin α = cos (2π
- α); tg α = ctg (2π
- α); sec α = cosec (2π
- α);
cos α = sin (2π
- α); ctg α = tg (2π
- α); cosec α = sec (2π
- α);
b) Arce mărite sau micşorate de un număr par de semicircumferinţe:
sin ( )απ +± K2 = sin α; tg ( )απ +± K2 = tg α; sec ( )απ +± K2 = sec α;
cos ( )απ +± K2 = cos α; ctg ( )απ +± K2 = ctg α; cosec ( )απ +± K2 = cosec α
c) Arce suplementare:
sin ( )απ − = sin α; tg ( )απ − = - tg α; sec ( )απ − = - sec α;
cos ( )απ − = - cos α; ctg ( )απ − = - ctg α; cosec ( )απ − = cosec α
d) Arce mărite sau micşorate de un număr impar de semicircumferinţe:
sin ( )[ ]απ ++± 12K = - sin α; tg ( )[ ]απ ++± 12K = tg α; sec ( )[ ]απ ++± 12K = - sec
α; cos ( )[ ]απ ++± 12K = - cos α; ctg ( )[ ]απ ++± 12K = ctg α; cosec ( )[ ]απ ++± 12K =
- cosec α
e) Arce egale opuse şi de semne contrare:
20
sin ( )α− = - sin α; tg ( )α− = - tg α; sec ( )α− = sec α;
cos ( )α− = cos α; ctg ( )α− = - ctg α; cosec ( )α− = - cosec α
f) Arce mărite cu 2π
:
sin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= cos α; tg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= - ctg α; sec ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= - cosec α;
cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= - sin α; ctg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= - tg α; cosec ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +απ
2= - cosec α
Funcţiile trigonometrice ale sumelor sau diferenţelor de unghiuri:
sin ( )ba ± = sin a cos b ± cos a sin b; cos ( )ba ± = cos a cos b ± sin a sin b;
tg ( )ba ± =tgbtga
tgbtga⋅±
±1
; ctg ( )ba ± =ctgactgb
ctgbctga±
±⋅ 1
Calculul trigonometric al triunghiurilor
Triunghi dreptunghic
Elementele triunghiului Date cerute
Rezolvare (fig. 4.2)
a, b
α β c A (aria)
tg α = ba
; α = 90 0 - β
tg β = ab
; β = 900 - α
c = 22 ba + ; c =αα cossin
ba= ;
A=2ba ⋅
a, c
α
sin α =ca
; α = 900 - β
a
b
c
α
β
fig. 4.2
21
β b A
cos β =ca
; β = 900 - α
b = ( )( ) βα sincos22 ⋅=⋅=−+=− ccacacac
A = ( )( ) βsin21
2⋅⋅=−+ caacaca
a, α
b c A
b = a ⋅ ctg α;
c = αsin
a;
A = αctga2
2
b, α
a c A
a = b ⋅ tg α;
c =αcos
b;
A = αtgb2
2
c, α
a b A
a = c ⋅ sin α; b = c ⋅ cos α;
A = ααα 2sin4
cossin2
22 cc=⋅
Triunghi oarecare
Elementele triunghiului Date cerute
Rezolvare (fig. 4.3)
a, b, γ sau a, α, γ
α β c A (aria)
sin α = ;sinc
a γ⋅ tg α =
γγ
cossin⋅−
⋅ab
a;
sin β = ;sinc
b γ⋅ tg β =
γγ
cossin⋅−
⋅ba
b;
c = γcos222 ⋅⋅⋅−+ baba ;
A=2ba ⋅⋅ sin γ
a
b
c
α
β
γ fig. 4.3
22
a, β, γ sau a, α, β
b c A
α = 1800 – (β + γ); β = 1800 – (α + γ); γ = 1800 – (α + β)
b = ( ) ;sinsin
sinsin
γββ
αβ
+⋅
=⋅ aa
c = ( ) ;sinsin
sinsin
γβγ
αγ
+⋅
=⋅ aa
A = ;sin2
sinsin2sin 2
αγβγ
⋅⋅⋅
=⋅⋅ aba
a, b, α
β γ c A
sin β = ;sina
b α⋅
c = αγ
sinsin⋅a
= b αα 222 sincos ba −±⋅ ;
(semnul + pentru b > α, semnul - pentru b < α) A=
2sinγ⋅⋅ba
= ( )ααα 222 sincos2sin
⋅−±⋅⋅ babb
a, b, c
α β γ A
cos α =cb
acb⋅⋅−+
2
222
; cos ( )
cbapp
⋅−⋅
=2α
;
cos β =ca
bca⋅⋅−+
2
222
; cos ( )
cabpp
⋅−⋅
=2β
;
cos γ =ba
cba⋅⋅−+
2
222
; cos ( )
bacpp
⋅−⋅
=2γ
;
A = ( ) ( ) ( )cpbpapp −⋅−⋅−⋅
23
Bibliografie: 1. ***, - ,,Îndrumar matematic şi tehnic”, Ed. Tehnică Bucureşti 1964; 2. Buzdugan Gh., - ,,Rezistenţa materialelor”, Ed. Tehnică, Bucureşti,1970; 3. Duican L., - ,, Prin labirintul geometriei”, Ed. Albatros, Bucureşti 1990; 4. Enache. M. - ,,Matematici moderne”, Ed. Ştiinţifică şi pedagogică Bucureşti 1983; 5. Gheorghiu Th., - ,,Mic memorator matematic”, Editura Tehnică, Bucureşti 1972; 6. Tănăsescu Fl. T., - ,,Agenda Tehnică”, Editura Tehnică, Bucureşti 1990