Derivate parţiale

Cititi mai intai cursul si tabelul derivatelor!!

Putem deriva o functie in doua variabile, f(x,y), fie in raport cu x, fie in raport cu y. Aceste derivate

poarta numele de derivate partiale si se noteaza: (sau ), respectiv (sau

). Vom orefera notatia in loc de , deoarece o consideram mai usoară.

Observatia 1. Pentru simplitate, notam adesea derivatele partiale cu , respectiv (adica

subintelegem ca sunt functii care depind de de x si y, dar nu mai scriem )

Observatia 2. La nivel de liceu, putem nota derivata unei functii (adica derivata lui f in

raport cu x). In concluzie, la derivare folosim d pentru o variabila, iar pentru derivarea partiala, atunci cand avem mai multe variabile.

Observatia 3. Derivata de oridinul al doilea este (derivata derivatei). Pentru derivatele de

ordin superior folosim notatiile ( cifre romane!), dar incepand cu ordinul 4 se

prefera notatia pentru derivata de ordinul n.

Observatia 3. Pentru derivatele partiale notam (sau ) derivata de ordinul n a lui f, mai

intai de k ori in raport cu x, apoi de n-k ori in raport cu y. De exemplu (sau ) inseamna derivatata de ordinul 5 a lui f, mai intai de 4 ori in raport cu x, apoi o data in raport cu y.

Principiul fundamental de calcul este acela că pentru a calcula consideăam y=constant, iar pentru

a calcula considerăm x=constant.

Exemplu. (am scos constantele in fata)

Mai simplu, putem observa ca s-a derivat doar partea cu x a expresiei.

(in acest caz am derivat doar partea cu y)

Calculam acum derivatele partiale pana la ordinul al treilea ale functiei .

Derivarea se va face termen cu termen, in maniera descrisa anterior.

Observatia 4. Am derivat doar partea cu x din fiecare termen. Termenii care nu contin x, sunt constanti, deci se anuleaza.

Am derivat doar partea cu y din fiecare termen. Termenii care nu contin y, sunt constanti, deci se anuleaza.

Observatia 5. Am vazut ca notatia completa pentru este . Daca dorim sa calculam derivata intr-un anumit punct, inlocuim x si y cu coordonatele acelui punct:

(am inlouit x=-1 si y=2 in expresia lui )

Observatia 6. Constam ca , ceea ce se intampla, de fapt pentru orice functie elementara (criteriul lui Schwarz). Spunem ca derivatele partiale comută, adica nu conteaza ordinea in care derivam.

Observatia 7.Datorita comutativitatii derivatelor partiale, calculul anterior se putea face si sub forma

.

Observatia 8. Alte notatii:

Observatia 9. Functia este un polinom in doua variabile si, exact ca in cazul polinoamelor din liceu (in variabila x), atunci cand ordinul de derivare depaseste gradul ,

derivatatele sunt 0 (de exemplu, am vazut ca )

Regulile de derivare se sunt cele cunoscute, dar precizam in raport cu cine se face derivarea:

1) (respectiv

2) (respectiv

3) (respectiv ), unde c este o constantă

4) (respectiv in y)

5) (respectiv in y)

6) Derivarea functiilor compuse: (respectiv in y)

Exemplu: (derivarea facandu-se in raport cu ce variabilă dorim)

Exemplu. Sa derivam functia . Folosim regula .

Pentru calculul lui , observam ca functia f(x,y) este simetrica, adica are proprietatea ca

, deci derivata se poate obtine schimband x si y intre ele. Mai exact, in

egalitatea schimbam x cu y intre ele in ambii membri si obtinem:

(am derivat ca produs)

(am interschimbat x cu y)

(in raport cu y, x este constant, deci am scos constanta 2x in fata)

(acest fapt rezulta in doua moduri: atat din simetria functiei, cat si din criteriul lui Schwarz)

Ultimul exemplu:

(am derivat ca raport)Teme (facultative):

Calculati derivatele pana la ordinul al doilea ale functiilor f(x,y) in fiecare caz:

, , ,