GRAFICGRAFICA ASISTATĂ DE A ASISTATĂ DE CALCULATORCALCULATOR

CURS NR CURS NR 88

TITULAR DE CURS asist.univ.dr.ing. DANIEL MIHAI DĂNILA

SUMARSUMAR Transformări 3D

Translaţia Rotaţia Factori de scară Simetria Repere de coordonate carteziene

ataşate observatorului

1. TRANSFORMĂRI 3D - TRANSLAŢIATRANSLAŢIA

Manipularea şi modificarea obiectelor 3D se pot reduce, în limitele unor erori prestabilite, la transformarea coordonatelor unui sistem de puncte geometrice.

Pentru modificarea locală a formei unui obiect se recurge la schimbarea coordonatelor unei anumite mulţimi de puncte din sistem, aceasta făcându-se de obicei prin înlocuirea directă pe baza datelor introduse (de exemplu de la tastatură).

Pentru a putea vizualiza un obiect în diverse poziţii, la diferite distanţe faţă de observator, se folosesc transformări globale 3D relativ la un sistem de coordonate (fig. 2.3.), cum ar fi: translaţia, rotaţia, mărirea sau micşorarea la scară, simetria etc. În continuare, se prezintă relaţiile prin intermediul cărora se pot obţine coordonatele punctelor transformate pornind de la coordonatele iniţiale, pentru cele mai uzuale transformări 3D.

În general, se folosesc trei metode pentru a preciza translaţiatranslaţia unui sistem de puncte:

- specificarea deplasărilor pe direcţia fiecărei axe de coordonate; - specificarea direcţiei de deplasare şi a valorii deplasării; - specificarea punctului din spaţiu în care este transpus un anumit punct din sistem, prin translaţia dată.

Translaţia unui punct din sistem este ilustrată în figura următoare :

Prima metodă este şi cea mai des utilizată. Dacă se doreşte deplasarea unui sisteme de puncte prin translaţie, se precizează trei valori: dx (deplasarea pe axa Ox), dy (după Oy) şi dz (după Oz). Valorile deplasărilor pot fi pozitive sau negative.Distanţa pe care s-a făcut deplasarea este:

222 dzdydxD

Coordonatele punctelor din sistem în reperul xOyz după translaţie se calculează cu relaţiile:

dzzz

nidyyy

dxxx

ii

ii

ii

.,1,

2. TRANSFORMĂRI 3D - ROTAŢIAROTAŢIA Rotaţia oarecare a unui sistem de puncte se poate descompune în trei rotaţii, câte una după fiecare axă a unui reper triortogonal. Situaţia este prezentată în figura. Evident, considerând coordonatele punctelor relative la un sistem dat, o rotaţie a sistemului de puncte este echivalentă cu o rotaţie în sens contrar a sistemului de axe de coordonate. Fie un punct M (x, y, z) situat în planul xOy. Se urmăreşte rotaţia punctul M cu unghiul c1 în sens trigonometric în jurul originii, în planul xOy (axa de rotaţie Oz), ca în figura. La orice rotaţie, OM rămâne constant (este raza de rotaţie). Se notează: OM = OM = r.

În poziţia iniţială, M face cu axa Ox unghiul . Aşadar, se poate scrie:

x = r cos, y = r sin .

După rotaţia cu unghiul orientat , coordonatele punctului M se scriu sub forma: x = r cos( + c1),

y = r sin( + c1),

4. TRANSFORMĂRI 3D – FACTORI DE FACTORI DE SCARĂSCARĂ

Translaţia şi rotaţia modifică coordonatele unui sistem de puncte, fără să afecteze distanţele şi poziţiile relative dintre acestea. Modificarea coordonatelor prin înmulţire cu factori de scară afectează distanţele dintre puncte.

Cea mai simplă transformare de acest gen este asemănarea. În acest caz se foloseşte un factor de scară global (fsg), cu care se înmulţesc coordonatele corpului.

5. TRANSFORMĂRI 3D – SIMETRIASIMETRIA ((OGLINDIREAOGLINDIREA))

SimetriaSimetria este operaţia prin care anumite coordonate ale unui punct sau ale unui sistem de puncte capătă sens contrar celui indicat.

Cel mai des utilizate sunt simetriile faţă de planele sistemului de referinţă, faţă de axe şi faţă de origine, pentru care relaţiile de transformare sunt:

zyx

zyx

100010001

zyx

zyx

100010001

simetrie faţă de xOy: simetrie faţă de xOz:

simetrie faţă de yOz simetrie faţă de Ox: :

zyx

zyx

100010001

zyx

zyx

100010001

simetrie faţă de Oy: simetrie faţă de Oz:

zyx

zyx

100010001

zyx

zyx

100010001

simetrie faţă de O (origine):

zyx

zyx

100010001

.

În mod uzual, sunt suficiente cele şapte simetrii prezentate. Simetria faţă de un plan oarecare se poate rezolva aplicând sistemului de referinţă translaţia şi rotaţia (astfel încât un plan de coordonate să se suprapună peste planul dat) şi apoi simetria faţă de acel plan de coordonate. După aceasta se face rototranslaţia inversă. Analog se procedează în cazul unei drepte oarecare.

În cazul unui punct, este suficientă o translaţie aplicată sistemului de coordonate, astfel încât originea să ajungă în punctul dat, apoi se aplică relaţiile de simetrie faţă de origine. După calculul coordonatelor punctului simetric, se aplică translaţia inversă.

Aceste şapte simetrii se pot reduce şi ele la cele trei simetrii faţă de planele de coordonate. Simetria faţă de o axă se obţine prin compunerea simetriilor faţă de cele două plane a căror intersecţie este axa, iar simetria faţă de origine rezultă prin aplicarea succesivă a celor 3 simetrii faţă de planele de coordonate.

La rândul lor, aceste trei simetrii se pot obţine folosind simetria faţă de un singur plan de coordonate, împreună cu rotaţiile care suprapun planele de coordonate.

6. REPERE DE COORDONATE CARTEZIENE

ATASATE OBSERVATORULUI Fiind dat un ecran virtual E, paralel sau confundat cu ecranul fizic al display-ului, se asociază acestuia un sistem de coordonate cartezian xOy, cu originea în centrul ecranului. Observatorul este plasat astfel pe axa Oz iar sensul în care acesta priveşte poate fi contrar sau identic axei Oz. Alegerea acestui sens depinde în marea majoritate a situaţiilor de poziţia originii în mod grafic (O1) la display-ul cu care se lucrează.

În figura sunt prezentate repere de coordonate carteziene ataşate observatorului :

a-display cu originea în colţul din stânga –jos al ecranului (O1), coordonatele pe ecran fiind q şi w, căruia i se asociază un triedru drept cu originea în centrul ecranului (O);

b-display cu originea în colţul din stânga – sus al ecranului, căruia i se asociază un triedru drept; c şi d – situaţii similare a şi b, triederele asociate fiind acum stângi

Variantele de alegere a reperului cartezian de observare (ataşat observatorului) sunt prezentate în figura a., b., c., d.

Originea O se poate alege şi în alt punct, diferit de centrul ecranului, iar precizează sensul de observare. Este indicat ca reperele de coordonate în care se modelează obiectele ce urmează a fi observate, să fie de acelaşi tip cu reperele de observare (ataşate observatorului). Triedrele stângi sunt folosite datorită corespondentei naturale intre acestea şi sistemul format de axele ecranului şi direcţia de observare. Trecerea intre un triedru drept şi unul stâng, precum şi trecerea inversa se poate face simplu prin schimbarea semnului cotelor z ale punctelor implicate (simetrie fata de xOy).

DIN CURSUL URMATOR...........

Proiecţia ortogonală Proiectia izometrică Proiecţia oblică Proiectia perspectiva