curs8

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 10 INTEGRALA LEBESGUE

Cursul 8

Propozitia 10.9 Fie f : X → [0,∞] o functie A-masurabila si fie A ∈ A. Daca µ(A) = 0, atunci

∫A

fdµ = 0.

Demonstratie. Fie o functie s ∈ E(X,A) astfel ıncat 0 ≤ s ≤ f . Deoarece µ(A) = 0, din Teorema 10.3(2)

rezulta

∫A

sdµ = 0. Atunci, din Propozitia 10.8 obtinem∫A

fdµ = sup

{∫A

sdµ| s ∈ E(X,A), 0 ≤ s ≤ f}

= 0.

Corolar 10.10 Daca functia f : X → [0,∞] este A-masurabila, atunci

∫∅fdµ = 0.

Propozitia 10.11 Fie f, g : X → [0,∞] doua functii A-masurabile. Au loc urmatoarele:

1. Daca f ≤ g, atunci∫X

fdµ ≤∫X

gdµ.

2. Daca A,B ∈ A cu A ⊆ B, atunci

∫A

fdµ ≤∫B

fdµ.

Demonstratie. 1. Daca f ≤ g, atunci, pentru orice functie s ∈ E(X,A) cu 0 ≤ s ≤ f , avem 0 ≤ s ≤ g si deci∫X

sdµ ≤∫X

gdµ. Atunci

∫X

fdµ = sup

{∫X

sdµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s ≤ f}≤∫X

gdµ.

2. Deoarece A ⊆ B, rezulta χA ≤ χB si deci fχA ≤ fχB. Atunci, din (1) obtinem

∫X

fχAdµ ≤∫X

fχBdµ, adica∫A

fdµ ≤∫B

fdµ.

Propozitia 10.12 Fie f : X → [0,∞] o functie A-masurabila. Atunci

∫X

fdµ = 0 daca si numai daca f = 0

µ-a.p.t.

Demonstratie.”⇒”:

Presupunem ca

∫X

fdµ = 0 si fie multimile A = {x ∈ X| f(x) = 0} si An = {x ∈ X| f(x) ≥ 1

n}, ∀n ∈ N∗. Cum

f ∈M(X,A), rezulta A,An ∈ A, ∀n ∈ N∗. De asemenea, A = {x ∈ X| f(x) > 0} =∪

n∈N∗

An.

Pentru fiecare n ∈ N∗, avem1

nχAn ≤ fχAn ≤ f si atunci, tinand seama de Propozitia 10.11, obtinem

0 ≤ 1

nµ(An) =

∫X

1

nχAndµ ≤

∫X

fdµ = 0,

de unde rezulta µ(An) = 0. Atunci µ(A) = 0 si deci f = 0 µ-a.p.t.

”⇐”:Presupunem ca f = 0 µ-a.p.t.. Daca s ∈ E(X,A) cu 0 ≤ s ≤ f , atunci s = 0 µ-a.p.t., iar din Teorema 10.3(1)

obtinem

∫X

sdµ = 0. Atunci∫X

fdµ = sup

{∫X

sdµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s ≤ f}

= 0.

Propozitia 10.13 Fie f : X → [0,∞] o functie A-masurabila. Pentru orice c ∈ [0,∞] avem

∫X

(cf)dµ =

c

∫X

fdµ.

66


Demonstratie. Daca c = 0, atunci cf = 0 si deci∫X

(cf)dµ =

∫X

0dµ = 0 · µ(X) = 0 = c

∫X

fdµ.

Daca c ∈ (0,∞), tinand seama de Teorema 10.3(4), obtinem∫X

(cf)dµ = sup

{∫X

sdµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s ≤ cf}

= sup

{∫X

(c · sc

)dµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s

c≤ f

}=

sup

{c

∫X

s

cdµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s

c≤ f

}= c · sup

{∫X

tdµ| t ∈ E(X,A) si 0 ≤ t ≤ f}

= c

∫X

fdµ.

Presupunem acum ca c =∞. Daca f = 0 µ-a.p.t., atunci cf = 0 µ-a.p.t., iar din Propozitia 10.12 obtinem∫X

(cf)dµ = 0 =∞ · 0 = c

∫X

fdµ.

Fie A = {x ∈ X| f(x) = 0}. Daca f nu este nula µ-a.p.t., atunci µ(A) > 0 si deci cf = cfχA + cfχcA =

∞χA + 0χcA =∞χA ∈ E(X,A). Prin urmare,

∫X

(cf)dµ =∞µ(A) =∞.

Cum f nu este nula µ-a.p.t., din Propozitia 10.12 obtinem

∫X

fdµ > 0 si atunci c

∫X

fdµ =∞.

In concluzie, si ın acest caz avem

∫X

(cf)dµ = c

∫X

fdµ.

Teorema 10.14 (Teorema convergentei monotone sau Teorema lui Lebesgue-Beppo-Levi) Daca (fn) ⊆M(X,A) este un sir de functii nenegative asa ıncat fn ≤ fn+1,∀n ∈ N si fn

p−→X

f , atunci

∃ limn→∞

∫X

fndµ =

∫X

fdµ.

Demonstratie. Deoarece (fn) ⊆M(X,A) si fnp−→X

f , din Teorema 8.6 obtinem ca f ∈M(X,A). Cum functiile

fn sunt nenegative si fnp−→X

f , functia f este nenegativa. Prin urmare exista

∫X

fdµ.

Cum fn ≤ fn+1, ∀n ∈ N, din Propozitia 10.11(1) obtinem

∫X

fndµ ≤∫X

fn+1dµ,∀n ∈ N. Rezulta ca

∃ limn→∞

∫X

fndµ ∈ [0,∞].

Deoarece fn ≤ fn+1, ∀n ∈ N si fnp−→X

f , avem fn ≤ f, ∀n ∈ N si deci

∫X

fndµ ≤∫X

fdµ,∀n ∈ N. De aici rezulta

limn→∞

∫X

fndµ ≤∫X

fdµ. (99)

Fie acum o functie s ∈ E(X,A) astfel ıncat 0 ≤ s ≤ f si fie ε ∈ (0, 1). Pentru orice n ∈ N consideram multimea

An = {x ∈ X| fn(x) ≥ εs(x)} .

Cum (fn) ⊆M(X,A) si s ∈M(X,A), avem An ∈ A, ∀n ∈ N. Vom arata ın continuare ca∪n∈N

An = X.

Fie x ∈ X. Daca s(x) = 0, atunci fn(x) ≥ 0 = εs(x), ∀n ∈ N. Prin urmare x ∈ An, ∀n ∈ N.Daca s(x) > 0, atunci

εs(x) < s(x) ≤ f(x)fn(x)↗ f(x)

}⇒ ∃n0 ∈ N astfel ıncat εs(x) < fn0(x) < f(x) si deci x ∈ An0 .

Prin urmare x ∈∪n∈N

An si atunci X ⊆∪n∈N

An ⊆ X. Deci∪n∈N

An = X.

Pe de alta parte, daca x ∈ An, atunci fn(x) ≥ εs(x) si cum fn+1(x) ≥ fn(x), obtinem fn+1(x) ≥ εs(x), adicax ∈ An+1. Deci An ⊆ An+1, ∀n ∈ N si atunci

limAn =∪n∈N

An = X.

67


Fie functia de multime ν : A → [0,∞] definita prin ν (A) =

∫A

sdµ,∀A ∈ A.Din Observatia 10.4, functia ν este o masura si atunci

∃ limn→∞

ν(An) = ν(limAn) = ν(X).

Tinand seama ca An ⊆ X si fn ≥ εs pe An, din Propozitia 10.11 obtinem∫X

fndµ ≥∫An

fndµ ≥∫An

εsdµ = ε

∫An

sdµ = εν (An) .

Deci

∫X

fndµ ≥ εν (An) , ∀n ∈ N si atunci

limn→∞

∫X

fndµ ≥ ε limn→∞

ν (An) = εν(X) = ε

∫X

sdµ.

Cum ε a fost luat arbitrar, rezulta:

limn→∞

∫X

fndµ ≥∫X

sdµ.

Cum s a fost luata arbitrar, rezulta:

limn→∞

∫X

fndµ ≥ sup

{∫X

sdµ| s ∈ E(X,A) si 0 ≤ s ≤ f}

=

∫X

fdµ. (100)

Din relatiile (99) si (100) obtinem egalitatea:

limn→∞

∫X

fndµ =

∫X

fdµ.

Corolar 10.15 Fie f, g : X → [0,∞] doua functii A-masurabile. Atunci avem∫X

(f + g) dµ =

∫X

fdµ+

∫X

gdµ.

Demonstratie. Deoarece f ∈ M(X,A) si f(X) ⊂ [0,∞], din Teorema 9.1 (teorema de aproximare a functiilormasurabile cu functii etajate), exista un sir (fn) ⊆ E(X,A) astfel ıncat fn(X) ⊆ [0,∞] si fn ≤ fn+1, ∀n ∈ N, iarfn

p−→X

f .

De asemenea, deoarece g ∈ M(X,A) si g(X) ⊂ [0,∞], exista un sir (gn) ⊆ E(X,A) astfel ıncat gn(X) ⊆ [0,∞]

si gn ≤ gn+1, ∀n ∈ N, iar gnp−→X

g.

Pentru orice n ∈ N, consideram functia hn : X → [0,∞], hn = fn + gn. Din proprietatile sirurilor (fn) si (gn)

obtinem ca (hn) ⊆ E(X,A), hn ≤ hn+1,∀n ∈ N si hnp−→X

f + g.

Din Teorema Lebesgue-Beppo-Levi,

∃ limn→∞

∫X

fndµ =

∫X

fdµ,

∃ limn→∞

∫X

gndµ =

∫X

gdµ,

∃ limn→∞

∫X

hndµ =

∫X

(f + g)dµ.

Dar din Teorema 10.3(3),

∫X

(fn + gn)dµ =

∫X

fndµ+

∫X

gndµ, ∀n ∈ N, si atunci obtinem

∫X

(f + g)dµ = limn→∞

∫X

(fn + gn)dµ = limn→∞

(

∫X

fndµ+

∫X

gndµ) = limn→∞

∫X

fndµ+ limn→∞

∫X

gndµ =∫X

fdµ+

∫X

gdµ.

68


Corolar 10.16 Daca (fn) ⊆M(X,A) este un sir de functii nenegative asa ıncat∞∑

n=0

fnp=Xf , atunci

∞∑n=0

∫X

fndµ =

∫X

fdµ.

Demonstratie. Consideram sirul sumelor partiale Sn =n∑

k=0

fk, ∀n ∈ N. Deoarece (fn) ⊆ M(X,A), atunci

(Sn) ⊆M(X,A) si cum functiile fn sunt nenegative, rezulta 0 ≤ Sn ≤ Sn+1,∀n ∈ N. Intrucat∞∑

n=0

fnp=Xf , avem

Snp−→X

f si atunci, din Teorema Lebesgue-Beppo-Levi rezulta

∃ limn→∞

∫X

Sndµ =

∫X

fdµ.

Din Corolarul 10.15,

∫X

Sndµ =n∑

k=0

∫X

fkdµ, ∀n ∈ N, si atunci

∞∑n=0

∫X

fndµ = limn→∞

n∑k=0

∫X

fkdµ = limn→∞

∫X

Sndµ =

∫X

fdµ.

Corolar 10.17 (Lema lui Fatou) Fie (fn) ⊆M(X,A) un sir de functii nenegative. Atunci∫X

lim infn→∞

fndµ ≤ lim infn→∞

∫X

fndµ.

Demonstratie. Pentru orice n ∈ N, definim functia gn : X → [0,∞], gn = infk≥n

fk si fie functia f : X → [0,∞],

definita prin f = supn∈N

gn = lim infn→∞

fn.

Cum (fn) ⊆M(X,A), din Teorema 7.13 rezulta ca f si gn sunt A-masurabile, ∀n ∈ N. In plus gn ≤ gn+1, ∀n ∈ Nsi lim

n→∞gn = sup

n∈Ngn = f .

Atunci, din Teorema Lebesgue-Beppo-Levi obtinem∫X

fdµ = limn→∞

∫X

gndµ. (101)

Deoarece gn ≤ fn, din Propozitia 10.11 rezulta

∫X

gndµ ≤∫X

fndµ si atunci

lim infn→∞

∫X

gndµ ≤ lim infn→∞

∫X

fndµ. (102)

Cum limn→∞

∫X

gndµ = lim infn→∞

∫X

gndµ, din (101) si (102) obtinem∫X

fdµ = lim infn→∞

∫X

gndµ ≤ lim infn→∞

∫X

fndµ.

Exercitiul 10.18 Fie X = (0, 1] ınzestrat cu masura Lebesgue µ. Pentru orice n ∈ N∗ consideram functia

fn = n · χ(0, 1n ]. Sa se arate ca

∫X

lim infn→∞

fndµ � lim infn→∞

∫X

fndµ. (Deci, ın general, ın inegalitatea stabilita prin

Lema lui Fatou nu are loc egalitate.)

Corolar 10.19 Fie f : X → [0,∞] o functie A-masurabila si fie functia de multime

ν : A → [0,∞], ν(A) =

∫A

fdµ, ∀A ∈ A.

Functia ν este o masura pe A.

69


Demonstratie. Fie un sir de multimi (An) ⊆ A astfel ıncat Am ∩ An = ∅, pentru m = n, si fie multimea

A =∪n∈N

An. Atunci avem χA =∞∑

n=0

χAn , de unde rezulta f · χA =∞∑

n=0

f · χAn . Cum f este A-masurabila si

(An) ⊆ A, obtinem ca functiile f · χA si f · χAn sunt A-masurabile, ∀n ∈ N. Deoarece sunt si nenegative, dinCorolarul 10.16 rezulta ca ∫

X

f · χAdµ =

∞∑n=0

∫X

f · χAndµ.

Prin urmare avem

ν

(∪n∈N

An

)=

∫∪nAn

fdµ =∞∑

n=0

∫An

fdµ =∞∑

n=0

ν (An) .

Deci ν este numarabil aditiva. Deoarece ν (∅) =

∫∅fdµ = 0 <∞, functia ν este o masura.

Propozitia 10.20 Fie f, g : X → [0,∞] doua functii A-masurabile. Au loc urmatoarele:

1. Daca f = g µ-a.p.t., atunci

∫X

fdµ =

∫X

gdµ.

2. Daca f ≤ g µ-a.p.t., atunci∫X

fdµ ≤∫X

gdµ.

Demonstratie. 1. Fie multimea A = {x ∈ X| f(x) = g(x)}. Cum f si g sunt A-masurabile, avem A ∈ A si

cum f = g µ-a.p.t., rezulta µ(A) = 0. Atunci, din Teorema 10.9 obtinem

∫A

fdµ =

∫A

gdµ = 0. Prin urmare∫X

fdµ =

∫A

fdµ+

∫cA

fdµ =

∫cA

fdµ =

∫cA

gdµ =

∫A

gdµ+

∫cA

gdµ =

∫X

gdµ.

2. Fie multimea B = {x ∈ X| f > g}. Atunci B ∈ A si cum f ≤ g µ-a.p.t., rezulta µ(B) = 0. In consecinta∫B

fdµ =

∫B

gdµ = 0 si deci∫X

fdµ =

∫B

fdµ+

∫cB

fdµ =

∫cB

fdµProp. 10.11

≤∫cB

gdµ =

∫B

gdµ+

∫cB

gdµ =

∫X

gdµ.

Integrala Lebesgue a functiilor masurabile cu valori reale

In continuare (X,A, µ) este un spatiu cu masura completa.Fie o functie A-masurabila f : X → R si fie f+, f− : X → [0,∞] partea pozitiva, respectiv partea negativa afunctiei f . Din Teorema 7.15 rezulta ca f+ si f− sunt A-masurabile.

Definitia 10.21 1. Spunem ca functia f are integrala pe X daca macar una din integralele

∫X

f+dµ sau∫X

f−dµ este finita.

2. Spunem ca functia f are integrala pe multimea Y ∈ A daca functia f · χY are integrala pe X.

Observatia 10.22 Tinand seama de Propozitia 10.11, daca functia f are integrala pe X atunci aceasta areintegrala pe orice multime Y ∈ A.

Definitia 10.23 Fie f : X → [0,∞] o functie A-masurabila care are integrala pe X.1. Se numeste integrala Lebesgue a functiei f pe X numarul∫

X

f+dµ−∫X

f−dµ,

pe care ıl notam cu ∫X

fdµ sau

∫X

f(x)dµ(x).

70


2. Spunem ca functia f este integrabila Lebesgue pe X daca∫X

fdµ este finita (echivalent cu

∫X

f+dµ si

∫X

f−dµ sunt finite).

3. Fie Y ∈ A. Se numeste integrala Lebesgue pe Y numarul∫X

f · χY dµ,

pe care ıl notam cu ∫Y

fdµ sau

∫Y

f(x)dµ(x).

4. Spunem ca functia f este integrabila Lebesgue pe Y daca functia f · χY este integrabila Lebesgue pe X.

Multimea functiilor integrabile Lebesgue pe X o vom nota prin L(X,A, µ), iar cand nu exista pericol de confuzieo vom nota prin L(X). Deci

L (X,A, µ) = {f ∈M(X,A)|∫X

fdµ este finita}.

Multimea functiilor integrabile Lebesgue pe Y ∈ A o vom nota prin L(Y,AY , µ), unde AY = {A ∩ Y | A ∈ A} siµ = µ|AY

. Cand nu exista pericol de confuzie, o vom nota prin L(Y ).

Teorema 10.24 Fie f, g : X → R doua functii A-masurabile. Avem urmatoarele:

1. Daca f are integrala pe X, atunci

∣∣∣∣∫X

fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f | dµ.

2. f ∈ L(X)⇔ |f | ∈ L(X).3. Daca f ∈ L(X), atunci f este finita µ-a.p.t..4. Daca |f | ≤ |g| µ-a.p.t. si g ∈ L(X), atunci f ∈ L(X).

Demonstratie. 1. Deoarece f are integrala pe X, ∃∫X

fdµ =

∫X

f+dµ −∫X

f−dµ. Tinand seama ca |f | =

f+ + f−, din Corolarul 10.15 obtinem∫X

|f | dµ =

∫X

(f+ + f−

)dµ =

∫X

f+dµ+

∫X

f−dµ.

Atunci au loc inegalitatile∫X

fdµ =

∫X

f+dµ−∫X

f−dµ ≤∫X

f+dµ+

∫X

f−dµ =

∫X

|f | dµ,

−∫X

fdµ = −∫X

f+dµ+

∫X

f−dµ ≤∫X

f+dµ+

∫X

f−dµ =

∫X

|f | dµ,

de unde obtinem ∣∣∣∣∫X

fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f | dµ.

2.”⇒”:

Daca f ∈ L(X), atunci

∫X

f+dµ <∞ si

∫X

f−dµ <∞ si deci∫X

|f | dµ =

∫X

(f+ + f−

)dµ =

∫X

f+dµ+

∫X

f−dµ <∞.

Prin urmare |f | ∈ L(X).

”⇐”:

Presupunem ca |f | ∈ L(X). Atunci

∫X

|f | dµ <∞ si cum f+, f− ≤ |f |, din Propozitia 10.11 obtinem∫X

f+dµ ≤∫X

|f | dµ <∞ si

∫X

f−dµ ≤∫X

|f | dµ <∞.

Deci f ∈ L(X).

71


3. Consideram multimea A = {x ∈ X| |f(x)| =∞}. Deoarece f este A-masurabila, A ∈ A.

Cum f ∈ L(X), din (2) obtinem |f | ∈ L(X) si deci

∫X

|f | dµ <∞.

Din Propozitia 10.11(2) rezulta

∞ >

∫X

|f | dµ ≥∫A

|f | dµ =

∫A

∞dµ =∞µ(A).

Daca µ(A) > 0, atunci ∞ >∞µ (A) =∞; contradictie! Deci µ(A) = 0 si deci f este finita µ-a.p.t..

4. Cum functiile f, g sunt A-masurabile, rezulta ca functiile |f | , |g| sunt A-masurabile.

Deoarece g ∈ L(X), din (2) avem ca |g| ∈ L(X) si deci

∫X

|g| dµ <∞.

Cum |f | ≤ |g| µ-a.p.t., din Propozitia 10.20(2) obtinem

∫X

|f | dµ ≤∫X

|g| dµ < ∞. Prin urmare |f | ∈ L(X) si

atunci, din (2) rezulta f ∈ L(X).

Exemplul 10.25 Consideram spatiul cu masura (N,P(N), µ), unde µ : P(N)→ [0,∞] este definita prin

µ(A) =

{n, pentru card(A) = n∞, pentru card(A) ≥ ℵ0

, ∀A ∈ P(N).

µ este o masura σ-finita si completa. De asemenea, M(N,P(N)) = {f | f : N→ R}.Fie f ∈ L(N,P(N), µ) si notam f(n) = an, ∀n ∈ N. Avem urmatoarele:∫

N|f |dµ =

∫∪n{n}|f |dµ =

∞∑n=0

∫{n}|f(n)|dµ =

∞∑n=0

|an|∫{n}

dµ =

∞∑n=0

|an|µ ({n}) =∞∑

n=0

|an|.

Deci suma seriei cu termenul general |an| este o integrala Lebesgue pe spatiul cu masura considerat. Cumf ∈ L(N,P(N), µ), din Teorema 10.24(3) obtinem ca f este finita µ-a.p.t. si atunci µ({n ∈ N| |f(n)| =∞}) = 0.Deci {n ∈ N| |f(n)| =∞} = ∅, adica sirul (an) este finit. Prin urmare, f ∈ L(N,P(N), µ) daca si numai daca

seria∞∑

n=0

an este absolut convergenta si deci avem

L(N,P(N), µ) = {(an) ⊆ R|∞∑

n=0

|an| <∞}.

In consecinta, teoria seriilor absolut convergente poate fi interpretata ca parte a teoriei integralei Lebesgue.

Teorema 10.26 Fie f : X → R o functie A-masurabila si c ∈ R. Daca f are integrala pe X, atunci c · f areintegrala pe X si ∫

X

(c · f)dµ = c ·∫X

fdµ.

In plus, daca f ∈ L(X) atunci c · f ∈ L(X).

Demonstratie. Daca c = 0, atunci c · f = 0 si deci are loc concluzia.Daca c > 0, atunci (c · f)+ = c · f+ si (c · f)− = c · f−, iar din Propozitia 10.13 obtinem∫

X

(c · f)+ dµ = c

∫X

f+dµ,∫X

(c · f)− dµ = c

∫X

f−dµ.

Deoarece f are integrala pe X, rezulta atunci ca c · f are integrala pe X si∫X

(c · f)dµ =

∫X

(c · f)+ dµ−∫X

(c · f)− dµ = c ·∫X

f+dµ− c ·∫X

f−dµ = c ·∫X

fdµ.

Daca c < 0, atunci −c > 0 si avem

(c · f)+ = ((−c) · (−f))+ = −c · (−f)+ = −c · f−(c · f)− = ((−c) · (−f))− = −c · (−f)− = −c · f+

}⇒

∫X

(c · f)+ dµ = −c∫X

f−dµ∫X

(c · f)− dµ = −c∫X

f+dµ.

72


Cum f are integrala pe X, rezulta ca c · f are integrala pe X si∫X

(c · f)dµ =

∫X

(c · f)+dµ−∫X

(c · f)−dµ = (−c) ·∫X

f−dµ− (−c) ·∫X

f+dµ = c ·∫X

fdµ.

Daca f ∈ L(X), atunci

∫X

fdµ este finita, iar din egalitatea

∫X

(c · f)dµ = c ·∫X

fdµ rezulta ca

∫X

(c · f)dµ este

finita. Deci c · f ∈ L(X).

Teorema 10.27 Fie f : X → R o functie A-masurabila. Daca f are integrala pe X, atunci functia de multime

ν : A →R, ν(A) =∫A

fdµ, ∀A ∈ A,

este bine definita si este numarabil aditiva. In plus, daca f ∈ L(X), ν este finita.

Demonstratie. Din faptul ca functia f are integrala pe X, rezulta ca ∀A ∈ A, ∃∫A

fdµ ∈ R, adica ν este bine

definita. Fie functiile ν+, ν− : A → [0,∞] definite prin

ν+ (A) =

∫A

f+dµ,

ν− (A) =

∫A

f−dµ.

Din Corolarul 10.19 obtinem ca ν+ si ν− sunt numarabil aditive. Cum ν = ν+ − ν−, rezulta ν este numarabiladitiva.

Daca f ∈ L(X), atunci |f | ∈ L(X) si deci, ∀A ∈ A, |ν(A)| ≤∫A

|f |dµ ≤∫X

|f |dµ <∞.

Teorema 10.28 Fie f, g : X → R, doua functii A-masurabile care au integrala pe X. Daca f + g este bine

definita si suma

∫X

fdµ+

∫X

gdµ este bine definita, atunci f + g are integrala pe X si∫X

(f + g)dµ =

∫X

fdµ+

∫X

gdµ.

Daca ın plus f, g ∈ L(X), atunci f + g ∈ L(X).

Demonstratie. Fie o multime A ∈ A si fie functia h = f + g. Vom analiza urmatoarele situatii:Cazul I: Presupunem f(x) ≥ 0 si g(x) ≥ 0, ∀x ∈ A. Atunci, din Corolarul 10.15 obtinem:∫

A

hdµ =

∫A

fdµ+

∫A

gdµ.

Cazul II: Presupunem f(x) < 0 si g(x) < 0, ∀x ∈ A. Atunci, aplicand cazul I functiilor nenegative −f si −g,obtinem ∫

A

(−h)dµ =

∫A

(−f)dµ+

∫A

(−g)dµ,

iar din Teorema 10.26 obtinem

−∫A

hdµ = −(∫

A

fdµ+

∫X

gdµ

), adica

∫A

hdµ =

∫A

fdµ+

∫X

gdµ.

Cazul III: Presupunem f(x) ≥ 0, g(x) < 0, h(x) ≥ 0, ∀x ∈ A.Fie x ∈ A. Daca g(x) = −∞, deoarece functia h este bine definita, avem h(x) = −∞, ceea ce este ın contradictiecu h(x) ≥ 0. Rezulta g(x) ∈ (−∞, 0) si atunci putem scrie f(x) = h(x)− g(x).Deci, ∀x ∈ A, f(x) = h(x)+ (−g)(x), unde h(x) ≥ 0, (−g)(x) > 0 si aplicand cazul I functiilor h si −g, obtinem:∫

A

fdµ =

∫A

(h+ (−g))dµ =

∫A

hdµ+

∫A

(−g)dµ =

∫A

hdµ−∫A

gdµ (103)

Daca

∫A

gdµ = −∞, din (103) rezulta

∫A

fdµ =∞. Atunci, folosind Teorema 10.27 obtinem

∫X

fdµ =

∫A

fdµ+∫X\A

fdµ = ∞. De asemenea,

∫X

gdµ =

∫A

gdµ +

∫X\A

gdµ = −∞. Prin urmare,

∫X

fdµ +

∫X

gdµ = ∞−∞;

contradictie cu faptul ca aceasta suma este bine definita! Deci

∫A

gdµ este finita si atunci, din (103) rezulta

73


∫A

hdµ =

∫A

fdµ+

∫A

gdµ.

Cazul IV: Presupunem f(x) ≥ 0, g(x) < 0, h(x) < 0, ∀x ∈ A.Atunci (−g)(x) > 0, (−f)(x) ≤ 0 si (−h)(x) > 0, ∀x ∈ A. Printr-un rationament asemanator cu cel de la cazulIII, pentru functiile −g si −f , obtinem∫

A

(−h)dµ =

∫A

((−g) + (−f))dµ =

∫A

(−g)dµ+

∫A

(−f)dµ,

de unde rezulta ∫A

hdµ =

∫A

fdµ+

∫A

gdµ.

Cazul V: Presupunem f(x) < 0, g(x) ≥ 0, h(x) ≥ 0, ∀x ∈ A.Aplicam cazul III functiilor g si f si obtinem∫

A

hdµ =

∫A

(g + f)dµ =

∫A

gdµ+

∫A

fdµ.

Cazul VI: Presupunem f(x) < 0, g(x) ≥ 0, h(x) < 0, ∀x ∈ A.Aplicam cazul IV functiilor g si f si obtinem∫

A

hdµ =

∫A

(g + f)dµ =

∫A

gdµ+

∫A

fdµ.

In continuare, consideram multimile:

A1 = {x ∈ X| f(x) ≥ 0 si g(x) ≥ 0} ,A2 = {x ∈ X| f(x) < 0 si g(x) < 0} ,A3 = {x ∈ X| f(x) ≥ 0, g(x) < 0 si h(x) ≥ 0} ,A4 = {x ∈ X| f(x) ≥ 0, g(x) < 0 si h(x) < 0} ,A5 = {x ∈ X| f(x) < 0, g(x) ≥ 0 si h(x) ≥ 0} ,A6 = {x ∈ X| f(x) < 0, g(x) ≥ 0 si h(x) < 0} .

Deoarece functiile f si g sunt A-masurabile, Ai ∈ A, ∀i ∈ 1, 6. In plus, acestea formeaza o partitie a lui X, adica

Ai ∩Aj = ∅ pentru i = j si6∪

i=1

Ai = X.

Cum functiile f si g au integrala pe X, din Teorema 10.27 rezulta∫X

fdµ =

6∑i=1

∫Ai

fdµ si

∫X

gdµ =

6∑i=1

∫Ai

gdµ. (104)

Din ipoteza, suma

∫X

fdµ+

∫X

gdµ este bine definita si atunci∫X

fdµ+

∫X

gdµ =

6∑i=1

(∫Ai

fdµ+

∫Ai

gdµ

).

Din cazurile analizate anterior, pentru orice ∀i ∈ 1, 6, ∃∫Ai

hdµ =

∫Ai

fdµ+

∫Ai

gdµ. Atunci avem∫X

fdµ+

∫X

gdµ =

6∑i=1

∫Ai

hdµ. (105)

Aratam ın continuare ca h are integrala pe X.

Daca presupunem ca h nu are integrala pe X, atunci

∫X

h+dµ =

∫X

h−dµ = ∞ si utilizand Corolarul 10.19

obtinem

∞ =

∫X

h+dµ =6∑

i=1

∫Ai

h+dµ.

74


De aici deducem ca exista i ∈ 1, 6 astfel ıncat

∫Ai

h+dµ = ∞. Cum ∃∫Ai

hdµ =

∫Ai

h+dµ −∫Ai

h−dµ, deducem

ca

∫Ai

hdµ =∞. Atunci, din relatia (105) rezulta

∫X

fdµ+

∫X

gdµ =∞.

Analog, deoarece ∞ =

∫X

h−dµ =6∑

j=1

∫Aj

h−dµ, exista j ∈ 1, 6 astfel ıncat

∫Aj

h−dµ = ∞. Cum ∃∫Aj

hdµ =∫Aj

h+dµ−∫Aj

h−dµ, deducem ca

∫Aj

hdµ = −∞. Din relatia (105) rezulta

∫X

fdµ+

∫X

gdµ = −∞.

Am obtinut o contradictie si deci h are integrala pe X. Tinand cont de Teorema 10.27, avem:∫X

hdµ =

6∑i=1

∫Ai

hdµ(105)=

∫X

fdµ+

∫X

gdµ.

Daca f, g ∈ L(X), atunci

∫X

fdµ si

∫X

gdµ sunt finite si din egalitatea

∫X

(f + g)dµ =

∫X

fdµ+

∫X

gdµ urmeaza

ca

∫X

(f + g)dµ este finita. Deci f + g ∈ L(X).

Teorema 10.29 Fie f, g : X → R, doua functii A-masurabile. Au loc urmatoarele:

1. Daca ∃∫X

fdµ si f = g µ-a.p.t., atunci ∃∫X

gdµ si

∫X

fdµ =

∫X

gdµ.

2. Daca f = 0 µ-a.p.t., atunci

∫X

fdµ = 0.

3. Daca f, g ∈ L(X) si f ≤ g µ-a.p.t., atunci∫X

fdµ ≤∫X

gdµ.

Demonstratie. 1. Deoarece f = g µ-a.p.t., rezulta f+ = g+ µ-a.p.t. si f− = g− µ-a.p.t. si atunci, din

Propozitia 10.20(1) obtinem

∫X

f+dµ =

∫X

g+dµ si

∫X

f−dµ =

∫X

g−dµ.

Cum f are integrala pe X, rezulta ca g are integrala pe X si∫X

fdµ =

∫X

f+dµ−∫X

f−dµ =

∫X

g+dµ−∫X

g−dµ =

∫X

gdµ.

2. Cum f = 0 µ-a.p.t., din (1) rezulta

∃∫X

fdµ =

∫X

0dµ = 0 · µ(X) = 0.

3. Deoarece f, g ∈ L(X), din Teoremele 10.26 si 10.28 rezulta g − f ∈ L(X). Din Teorema 10.24(3), f si g suntfinite µ-a.p.t. si atunci g = f + (g − f) µ-a.p.t.. Din (1) si Teorema 10.28 rezulta

∫X

gdµ =

∫X

(f + (g − f))dµ =

∫X

fdµ+

∫X

(g − f)dµ =

∫X

fdµ+

∫X

(g − f)+ dµ−∫X

(g − f)− dµ.

Cum f ≤ g µ-a.p.t., rezulta g − f ≥ 0 µ-a.p.t. si deci (g − f)− = 0 µ-a.p.t.. Din Propozitia 10.20 obtinem∫X

(g − f)−dµ = 0. Atunci avem ∫X

gdµ =

∫X

fdµ+

∫X

(g − f)+ dµ ≥∫X

fdµ.

Exercitiul 10.30 Fie (X,A, µ) un spatiu cu masura completa si finita si fie functia

d : F (X,A)× F (X,A)→ R+, d(f, g) =

∫X

|f − g||f − g|+ 1

dµ, ∀f, g ∈ F (X,A).

a) Sa se arate ca d este o pseudo-metrica pe F (X,A), adica1. d(f, f) = 0,∀f ∈ F (X,A),2. d(f, g) = d(g, f),∀f, g ∈ F (X,A),3. d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ F (X,A).

b) Fie un sir (fn) ⊆ F (X,A) si f ∈ F (X,A). Atunci fnµ−→ f ⇔ fn

d−→ f .c) (X, d) este un spatiu pseudo-metric complet.

75

curs8

Documents