1

Plasma ca mediu continuu. Modelul magnetohidrodinamic (MHD)

• plasmele sunt in general caracterizate prin interactiuni colective, putem considerastarea de plasma ca starea unui fluid continuu• tratam plasma ca un fluid (compresibil sau incompresibil) electroconductor• teoria fluidelor obisnuite adopta modelul structurii discrete (mecanica statistica) iarin modelul continuu hidrodinamica, in care se face abstractie destructura discontinuaa lichidului sau gazului respectiv

• cazul unui corp de masa m asupra caruia actioneaza forta F

Fdt

dum =

V

F

dt

dum =ρ

unde u este viteza masei m

• considerand masa uniform distribuita intr-un volum V, introducem notiunea de densitate masica ρm (masa unitatii de volum)

2

fdt

dum =ρ

pdSdF −='

Σ

−= pdSF '

dVdivpF −= )('

( )dVpdFV ∇−=

• fie f forta ce actioneaza asupra unitatii de volum (masurata in N/m3)

legea de miscare a elementului de masa sub actiunea unei forte de densitate volumica

V

p

Σds• fie un volum V in miscare, si luam in considerare fortele pe carele exercita straturile vecine asupra lui

forta totala

• folosind teorema Gauss-Ostrogradski

• forta exercitata asupra unui element de volum

divpf −='• forta unitatii de volum va fi data de relatia'/' dVdFf =

3

pfdt

dum ∇−=ρ

dx

duAF η=''

gradpf −='pnp =⋅

• ecuatia va deveni

pz

ky

jx

idivp

����

�

����

�

∂∂+

∂∂+

∂∂=

( ) npz

ky

jx

indivp ⋅���

���

∂∂+

∂∂+

∂∂=

pnp =⋅

�� ( ) gradpnpdiv =⋅��

• daca intre straturi exista frecare (fluide reale) atunci pe langa fortele de tip f‘ normale aparsi forte tangentiale la suprafata de contact intre straturi, forte date de relatia lui Newton

A este aria suprafetei de contact, dx este distanta dintre straturile adiacente iar u este viteza relativa a unui strat fata de celalalt sau fata de pereteη este coeficientul de vascozitate dinamica a fluidului

mρην = vascozitate cinematica

• in dinamica fluidelor se demonstreaza ca forta ce actioneaza asupra unitatii de volum este

x

uAF

∆∆=η''

xAV ∆= x

u

xA

A

xAx

uAf

x

uA

V

F

∆∆

∆=

∆⋅

∆∆=�

∆∆= ηηη 1

''''

( )2''x

uf

∆∆=η

2

2

''dx

udf η= uf 2'' ∇= ηsau tridimensional

4

upfdt

dum

2∇+∇−= ηρ• ecuatia completata cu forta de vascozitate devine

ecuatia Navier-Stokes

• plasma fiind un mediu ionizat va simti actiunea oricaror forte electrice sau magnetice ce se exercita asupra ei• plasma poate fi studiata cu ajutorul relatiilor din dinamica mediului continuu completate curelatii specifice interactiunii cu campuri electromagnetice• fie o plasma total ionizata – in cadrul modelului MHD – ca alcatuita din doua din doua fluidecontinue: fluidul electronic de densitate ρe si viteza ue si fluidul ionic de densitate ρi si viteza ui

Buf eee ×−= ρ Buf iii ×= ρBjf ee ×−= Bjf ii ×=

Bjfm ×=

fupBjdt

dum +∇+∇−×= 2ηρ

ei jjj −=

• ecuatia Navier-Stokes ramane perfect valabila si poate fi completata cu un nou termen de forta fm

5

Ecuatiile de baza MHD. Reprezentarea Lagrange, reprezentarea Euler.

• legea circutului magnetic (Ampere) si relatia fundamentala a electrostaticii

)( DjB +=×∇ µelD ρ=∇

t

BE

∂∂−=×∇

0=∇B

)( BuEj ×+= σ

0=D

�

densitatea sarcinii electrice purtata de particulele fluidului conductor a carui densitate este ρmiar in cazul plasmelor in regim cvasistationar cand lipsesc oscilatiile de inalta frecventa, curentiide deplasare pot fi neglijati

• legea inductiei electromagnetice si legea fluxului magnetic

• legea lui Ohm, scrisa in forma locala

unde σ este conductivitatea plasmei, care este un scalar in cazul plasmei omogene si izotrope

6

fgupBjdt

dumm ++∇+∇−×= ρηρ 2

( )sursa

mm

m

tu

t=∇+

∂∂

δδρρρ

( )sursa

elel

el

tu

t=∇+

∂∂

δδρρρ

• ecuatia de continuitatea a fluidului

• ecuatia de continuitate a sarcinii electrice in miscare

• ecuatia de miscare a elementului de masa (a masei din unitatea de volum)

unde ρmg este forta de greutate proprie a masei unitatii de volum iar f inglobeaza forte exterioare ce actioneaza asupra plasmei

• legea de stare a gazului perfect =i

iM NkTpV

7

• reprezentarea Lagrange– se examineaza ce se petrece cu particulele separate ale fluidului indecursul timpului, ce traiectorii descriu ele, cum variaza vitezele sau acceleratiile lor de-alungul traiectoriilor (comportarea particulelor individuale in decursul timpului)

• reprezentarea Euler – variatia cu timpul a diverselor marimi intr-un punct dat din spatiu ocupatde plasma in miscare, fara sa ne interesam de soarta fiecarei particule ce a trecut prin punctul respectiv (ce se petrece in anumite puncte din spatiu in decursul timpului)

dt

dz

z

u

dt

dy

t

u

dt

dx

x

u

t

u

dt

du

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

uz

uy

ux

ut

u

dt

duzyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂=

• trecerea de la reprezentarea Lagrange la reprezentarea Euler

( )uut

u

dt

du ∇⋅+∂∂=

derivata totala (Lagrange) a vitezei este alcatuita din doi termeni: primul corespunde variatiei cu timpul a vitezei intr-un punct fix, derivata Euler si un termen de convectie care corespunde variatiei spatiale a vitezei

8

Pentru un fluid ideal putem scrie

• in hidrodinamica

pdt

dum −∇=ρ

( ) puut

um −∇=∇⋅+

∂∂ρ

Lagrange

Euler

• in magnetohidrodinamica

pBjdt

dum ∇−×=ρ

( ) pBjuut

um ∇−×=∇⋅+

∂∂ρ

Lagrange

Euler

9

Ecuatiile macroscopice ale plasmei

• folosim ecuatia de continuitate si vom determina ecuatiile hidrodinamice ale gazelor ionizate• consideram un gaz complet ionizat, in care concentratia electronilor ne si concentratia ionilor ni sunt egale

0

0

=⋅∇+∂∂

=⋅∇+∂

∂

)(

)(

iii

eee

unt

n

unt

n

iieem mnmn +=ρ

iiees qnqn +=ρ

• introducand densitatea de masa a plasmei

• densitatea de sarcina electrica

• vectorul viteza de transport a masei

iiee

iiieee

mnmn

umnumnu

++=

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

10

• densitatea curentului electric

iiieee uqnuqnj +=

0

0

=⋅∇+∂

∂

=⋅∇+∂

∂

jt

ut

s

mm

�

�

ρ

ρρ

(6)

ecuatiile de continuitate (1) si (2) devin

• folosind ecuatiile de transport ale impulsului pentru cele douacomponente ale plasmei

(7)

(8)

{

eieeeeeeeeee PPmnBuEqnuut

mn +∇−∇−×+=∇⋅+∂∂ ϕ)(

ieiiiiiiiiii PPmnBuEqnuut

mn +∇−∇−×+=∇⋅+∂∂ ϕ)(

(9)

(10)

fortele gravifice, in special in plasmele din astrofizica

11

• adunand cele doua ecuatii se obtine

ieeiieiieeiiieee

iiiieeeei

iie

ee

PPPPmnmnBuEqnBuEqn

uumnuumnt

umn

t

umn

�������

����

��

++∇−∇−∇−∇−×++×+=

=∇+∇+∂∂+

∂∂

ϕϕ)()(

)()(

• derivand in raport cu timpul relatia (5) obtinem (11)

t

umn

t

umn

t

u iii

eeem ∂

∂+∂

∂=∂∂ρ (13)

∂∂+

∂∂

+=

∂∂

t

umn

t

umn

mnmnt

u iii

eee

iiee

1

tu

t

uu

tm

mm ∂∂+

∂∂=

∂∂ ρρρ )(

(12)

(14)

12

• din ecuatia (11)

BjEBuqnEqnBuqnEqn siiiiieeeee ×+=×++×+ ρ

PBjEuumnuumnt

ut

umsiiiieeee

mm ∇−∇−×+=∇+∇+

∂∂+

∂∂ ϕρρρρ )()(

• introducand ultimele doua relatii in ecuatia (11) se obtine

(15)

PBjumumt

n iiee ∇−×=+∂∂

)(nnn ie =≅• daca

ie qq −=

ie ppp +=}

ie

iiee

iiee

iiieee

mm

umum

mnmn

umnumnu

++=

++=

13

ϕρ ∇−∇−×=+ mie PBjdt

udmmn )(

)( iem mmn +=ρ

PBjdt

udm ∇−×=ρ ecuatia fluidului ionic-electronic

• este una din ecuatiile de baza ale hidrodinamicii• este o ecuatie de miscare a masei unitatii de volum in modelul fluidului continuu• in acest paragraf gazul este considerat ionizat este suficient de rarefiat ca particulele sa nu sesimta reciproc• interactiile sunt ciocniri binare electron-ion, efectuate pe regiuni de ordinul sferei Debye

• neglijand fortele gravifice, se obtine

14

ϕ∇−+∇−×+=∂∂

nqPm

qP

m

qBuE

m

nq

t

unq ije)(

2

Legea lui Ohm generalizata

• aratam ca intr-o plasma densitatea totala de curent este determinata nu numai de campurileelectrice aplicate din exterior, ci si de alti factori specifici gazului ionizat• admitem ca viteza de antrenare u este mica astfel incat termenul de ordin superior se neglijeaza ( ) tuuu ∂∂<<∇⋅ /

���

ϕ∇−+∇−×+=∂∂

nmPPBuEnqt

umn ije)(

m

q×

• consideram o plasma ionizata si scriem pentru ioni si electroni ecuatiile

ϕ∇−+∇−×+=∂

∂eeeij

e

ee

e

ee

e

eeeee qnP

m

qP

m

qBuE

m

qn

t

uqn )(

���

� 2

ϕ∇−+∇−×+=∂∂

iiiiji

ii

i

ii

i

iiiii qnP

m

qP

m

qBuE

m

qn

t

uqn )(

2

(16)

(17)

15

ϕ∇+−−+∇−×+≅∂∂+

∂∂

)()( iieei

i

e

eije

e

ee

e

eeiii

eee qnqn

m

q

m

qPP

m

qBuE

m

qn

t

uqn

t

uqn

���

�� 2

• in conditiile me << mi si in plasma data au loc ciocniri binare ion-electron

• din ecuatia (6) avem, derivand in raport cu timpul

t

nuq

t

nuq

t

uqn

t

uqn

t

j iii

eee

iii

eee ∂

∂+∂

∂+∂∂+

∂∂=

∂∂

(18)

(19)

• din legea de continuitate scrisa pentru electroni si pentru ioni

• neglijand termenii de ordin superior

t

uqn

t

uqn

t

j iii

eee ∂

∂+∂

∂≅∂∂

(20)

)()( iiiieeeei

iie

ee unuqunuqt

uqn

t

uqn

t

j ����

���

∇⋅−∇⋅−∂∂+

∂∂=

∂∂ (21)

16

• inlocuind ecuatia (21) in ecuatia (18)

jP eie ν=∇ Pij = -nmuννννc, la fiecare ciocnire o particula pierde impulsul mu

( ) juqnuqnuqnuqnP eieeeiiieieeeiiicij

�����

ννν =+=+= )(

ϕρ ∇+−∇−×+≅∂∂

se

eije

e

ee

e

ee

m

qPP

m

qBuE

m

qn

t

j)(

2

(22)

jm

qP

m

qBuE

m

qn

t

jei

e

ee

e

ee

e

ee ν−∇−×+≅∂∂

)(2

(23)

• putem substitui viteza de antrenare a gazului electronic ue printr-o marime globala (viteza plasmei u si densitatea totala de curent j )

iei

e

i

iiee

ie

iiee uum

m

m

umum

mm

umumu +=+≅

++= (24)

17

• eliminam pe ui din expresia densitatii pentru cazul qi = -qe, si conditia me/mi <<1

eei

ee

m

qn

νσ

2

=

)( uuqnj eee −≅ (25)

jPm

qB

qn

ju

m

qnE

m

qn

t

jeie

e

e

eee

ee

e

ee

��

�

��

�

ν−∇−×++=∂∂ 22

(26)

jqn

mP

qnBj

qnBuE

t

j

qn

m

ee

eeie

eeeeee

e

������

�

ν−∇−×+×+=∂∂ 11

2

(27)

• in relatia (27) toti termenii trebuie sa aiba dimensiunile lui E, si j din ultimul termen vaavea semnificatia de rezistivitate adica inversul conductivitatii σσσσ

18

t

jPBjBuEj

eiee ∂

∂−∇−×+×+=ν

µσ 1)()(

0=∂∂ t/• pentru plasme stationare

)()( ee PBjBuEj ∇−×+×+= µσ

t

jP

qnBj

qnBuEj

eie

eeee ∂∂−∇−×+×+=

νσσσ 1

)(

eee qn

σµ = mobilitate [m2/Vs]

19

Difuzia. Parametr ii difuziei.

• difuziaeste fenomenul prin care se realizeaza transport spatial de substantadatoritaunuigradient de concentratie• pornim de la ecuatia fluidului care include ciocnirile si care poate fi scrisapentru oricespecie

uEu)u(u νmnPent

mn −∇−±=∇⋅+∂∂

∇

n

n

m

kT

m

enkTen

mn

∇−±=∇−±=ννν

E)E(1

u

• coeficientii se numesc mobilitatesi coeficientul de difuzie (D se masoara in m2/s)

νµ

m

q≡ νm

kTD ≡

∂∂ ��/• consideram o stare stationara in care , daca u este suficient de mic (sau ν estesuficient de mare) si elementul de fluid nu se misca in regiuni cu E si diferite in timpul unei ciocniri • punand conditiaca membrul din stangasa fie zero avem

0/ =∂∂ tuP∇

(1)

(2)

(3) (4)

20

nkTP ∇=∇

kT

Dq=µ

nDnn jjjj ∇−±== Eu� µ

• coeficientii de transport µµµµ si D sunt legati de relatia Einstein

• cu ajutorul acestor ecuatii putem scrie fluxul unei specii de tip j sub forma

Legea lui Fick

0=E nD∇−=Γ

(5)

(6)

(7)

21

Difuzia ambipolara

• consideram o plasma care are dimensiuni mai mari decat lungimeaDebye, deci cvasineutra• electronii avand masa mica au in acelasi timp viteza termica mare astfel incat vor parasiprimi volumul plasmei• sarcina pozitiva (ionii) vor ramane in urma si astfel un camp electric se va instaura incat polaritatea sa va retarda electronii si va accelera ionii• ΓΓΓΓi � ΓΓΓΓe• campul electric E se va instaura atunci cand ΓΓΓΓi = ΓΓΓΓe = ΓΓΓΓ

0=Γ∇+∂∂

jt

n(8)

nDnEnDnE eeii ∇−−=∇−=Γ µµ (9)

n

nDDE

ei

ei ∇+−=

µµ(10)

• ionii si electronii care ajung prin difuzie la perete undese recombina• ecuatia de continuitate se scrie (cazul in care derivata temporalaa ecuatiei de miscareesteneglijabiladaca frecventade ciocnireν estemare)

22

nDD

nDDDD

nDnDD

ei

ieei

ei

ieiieiiii

ei

eii

∇++−=

=∇+

−−−=∇−∇+−=Γ

µµµµ

µµµµµµ

µµµ

nDt

na

2∇=∂∂

ei

ieeia

DDD

µµµµ

++≡• noul coeficient de difuzie ambipolara este

ie µµ >> ii

eie

e

iia D

T

TDDDD +=+≈

µµ

ie TT =ia DD 2≈

(11)

(12)

• ecuatia (8) devine(13)

(14)

23

Difuzia intr -un strat

)()(),( �� ���� �� StTtn =

SDTdt

dTS 2∇= S

S

D

dt

dT

T21 ∇=

τT

dt

dT −= τt

eTT−

= 0

SD

Sτ

12 −=∇ SDdx

Sd

τ1

2

2

−=

2121 // )(sin

)(cos

ττ D

xB

D

xAS +=

• ecuatia de difuzie (13) poate fi rezolvata prin metode separarii variabilelor

(15)

sau

• ecuatia (13) cu Da = D, devine

solutia

24

• la perete ne asteptam ca densitatea sa fie foarteaprope de zero• cea mai simpla solutie a acestei ecuatii este pentru un singur maxim• folosind conditiile de frontiera S = 0 la x = ± L , obtinem

221

πτ

=/)(DL

D

L 122

⋅=π

τ

L

xenn t

20

πτ cos/−=

• solutia aceasta se numeste cel mai de jos mod al difuziei• mai sunt si alte moduri inalte de difuzie, solutia ecuatiei continand mai mult de un maxim

• distributia densitatii descrete exponential cu timpul, insa isi pastreaza forma

++

=l m

ml L

xmb

L

xlann

ππ

sincos21

0

• alegem indicii astfel incat conditia de frontiera la x = ± L sa fie automat indeplinita

Densitatea plasmei timpi de difuzie diferiti

25

( ) ++= −−

l m

tem

tel L

xmb

L

xlann ml

ππ ττ sin/

cos // 210

( )2

211 +−=−

LlD

l

πτ

/Dl

Ll

1

21

2

+=

πτ

)/(

• introducand in ecuatia de difuzie (13), pentru fiecare termen cu cosinus si similar pentrutermenul cu sinus, avem

• structura fina a distributiei densitate corespunde la l mare, descreste rapid• structura fina dispare datorita difuziei si atinge in final modul cel mai de jos • densitatea descreste dar profilul densitatii are aceeasi forma

Descresterea rapida a densitati plasmei la timpi de difuzie diferiti; alte moduri ale difuziei