CURS 5 Gavril MUSC 1 5. MODELAREA GEOMETRIC Reprezentarea obiectelor reale din punct de vedere al proprietilor geometrice poart numele de modelare geometric. Modelarea geometric reprezint un punct de plecare att pentru modelarea cu elemente finite ct i pentru proiectarea planurilor de operaii sau pentru obinerea benzii perforate pentru comanda numeric. Sistemele PAC-PACT trebuie s asigure prin modelarea geometric, crearea unor reprezentri pentru solide, n aa fel nct s fac posibil realizarea desenelor i prelucrarea lor. Dac n mod tradiional reprezentarea unui obiect era sub form de plane, proiectarea asistat introduce conceptul de model informatic. Un astfel de model este i modelul 3D care permite tratarea corpului ca i cum ar exista n spaiul real, caracterizat prin precizie i interactivitate [4], [7], [12], [31], [32], [33], [58], [69], [78], [81], [90]. Cele mai frecvente metode PAC de prezentare a modelelor geometrice 3D sunt:

a) modelarea prin muchii (wireframe); b) modelarea prin suprafee (surface); c) modelarea solid (solide).

Modelarea prin muchii const n reprezentarea obiectului 3D printr-un schelet de linii, puncte i curbe. Acest tip de modelare contribuie la mbuntirea vizualizrii, la realizarea comod a vederilor de perspectiv i uurarea calculelor de determinare a distanelor minime ntre muchii etc. Modelarea prin suprafee este mai complex ntruct suprafeele sunt modele 3D ce conin informaii despre muchiile obiectului i spaiile adiacente acestora. Cele mai ntlnite aplicaii ce caracterizeaz acest tip de modelare sunt cele pentru obinerea vederilor cu linii ascunse, a modelelor folosite pentru generarea codurilor CN, a gsirii interseciei ntre suprafee etc. Modelarea prin solide este cea mai complet din punct de vedere informatic. Aceast reprezentare suport o mare varietate de informaii conexe. Modelarea solid este foarte mult folosit n industria automobilului i cea aeronauticii dar ctig teren i n alte industrii. Sistemele de modelare a solidelor folosesc dou tipuri de date:

date geometrice spaiale; date topologice.

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 2 Modelul solid, care se reduce n ultim instan la reprezentarea frontierelor, conine dou categorii de specificatori, i anume:

primitive de form; operatori pentru obinerea formei.

Reprezentarea modelelor solide cunoate dou variante: a) Reprezentarea frontierelor B-Rep (Boundary Representation,)

prezint solidul ca reuniunea feelor, capetelor i muchiilor, deci prin reprezentarea limitelor sale spaiale.

b) Reprezentarea CSG (Constructive Solid Geometry) asigur descrierea solidelor ca simple primitive geometrice care sunt combinate prin operaii booleene pentru formare obiectelor complexe. Solidele astfel obinute au o geometrie constructiv sintetizat sub forma unui arbore pentru a putea menine primitivele componente i operaiile booleene folosite la obinerea obiectului.

Generalizarea reprezentrii prin solide (reprezentare volumic) a permis o mai bun viziune i nelegere a obiectelor concepute, dar utilizarea n fabricaie a posibilitilor suplimentare oferite de aceast nou modalitate de reprezentare rmne, n mare parte, s fie realizat n viitor.

5.1. Calcule geometrice specifice proiectrii asistate Unul dintre aspectele importante ale concepiei asistate (PAC/ CAD/CAO) este cel al tehnicilor grafice interactive. Orice sistem de concepie asistat face apel la un sistem grafic. Acesta trebuie s permit introducerea-afiarea de informaii dar i s efectueze diverse calcule, cum ar fi: distane, arii perimetre, transformri geometrice i schimbarea spaiului de reprezentare. Pentru a nelege mai uor elementele amintite mai sus, sunt necesare cteva elemente de matematic, aa cum sunt: operaiile grafice de baz, norme, schimbarea spaiului de reprezentare; calcule n 2D (transformri, distane, perimetre, caracteristici ineriale); calcule n 3D (intersecii, transformri geometrice, perspective). Calculele geometrice 2D sau 3D se realizeaz mai comod n coordonate omogene. Un obiect n spaiul n dimensional poate fi reprezentat n spaiul n+1 dimensional prin adugarea unei coordonate de suplimentare (factor de scar). Reprezentarea unui vector (x, y) corespunztor unui punct din plan va fi (sx,sy,s) unde s este un scalar diferit de zero. De asemenea, se poate vorbi de o transformare invers (o proiecie) a unui vector n coordonate omogene n dou sau trei dimensiuni (sx/s, sy/s). Utilizarea coordonatelor omogene n informatic are anumite consecine funcie de

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 3 modul n care se alege scalarul s. Aceast modalitate de reprezentare permite exprimarea numerelor fracionare prin componente omogene ntregi dar i eliminarea problemelor de depire binar. n continuare se va face o scurt trecere n revist a elementelor amintite, aceste elemente fiind necesare descrierii geometrice a pieselor, n special pentru realizarea tehnologiei pentru maini-unelte cu comand numeric.

Elemente de calcul n 2D Aceste calcule sunt destul de simple i fac apel la noiuni de geometrie plan i de geometrie analitic. Se vor prezenta cteva calcule specifice. Transformarea coordonatelor utilizator n coordonate ecran. Una dintre facilitile graficii asistate este aceea c permite utilizatorului s lucreze n spaiul propriu fr s se preocupe de ecranul utilizat. n general se definete un spaiu utilizator (xu,yu), caracterizat prin uniti de msur, origine i limite de utilizare i un spaiu ecran (xe,ye) caracterizat de posibilitile echipamentului disponibil. Se pot deduce relaiile (5.1), (5.2) de trecere ntre cele dou sisteme:

BxAxx

xxxxxxxxxx u

uu

ueueu

uu

eee +=

+

=minmax

minmaxmaxmin

minmax

minmax (5.1)

DyCyy

yyyyyyyyyy u

uu

ueueu

uu

eee +=

+

=minmax

minmaxmaxmin

minmax

minmax (5.2)

Calcule de intersecie Reprezentarea grafic n plan a elementelor geometrice ca i determinarea traiectoriei sculelor n cazul mainilor-unelte cu comand numeric necesit calcule ce utilizeaz elemente de geometrie analitic plan. Astfel de calcule sunt prezentate n cele ce urmeaz.

Intersecia a dou drepte: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0

Determinarea punctului de intersecie P(xi,yi) este posibil prin rezolvarea sistemului scris anterior (5.3):

;;2121

1221

2121

2112

ABBAACACy

ABBABCBCx ii

=

= (5.3)

Din punct de vedere al calculului, pot aprea probleme cnd dreptele sunt paralele, caz n care numitorul coordonatelor xi, yi ia valori foarte apropiate de zero. Utilizarea coordonatelor omogene poate evita dezavantajul dreptelor paralele. n aceast situaie, sistemul dreptelor are forma:

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 4

00

222

111

=++

=++

wCyBxAwCyBxA

(5.4)

iar punctul de intersecie P, este reprezentat de vectorul: P( (C2B1-C1B2); (C1A2-C2A1); (A1B2-A2B1) )

Dac dreptele sunt paralele, atunci cea de-a treia coordonat a vectorului precedent este nul.

Intersecia unui cerc cu o dreapt: (x-xc)2+(y-yc)2=R2

Ax+By+C=0 Pentru ca acest sistem s aib soluie, este necesar ca distana de la centrul cercului la dreapt s fie inferioar razei (5.5):

RBA

CyBxA cc +

++22

(5.5)

Relaia precedent se poate scrie (5.6): R2(A2+B2) - (Axc+Byc+C)0 0 (5.6)

Dac soluia exist, utiliznd notaiile: T1=Bxc-Ayc+; T2=Bxc-Ayc-;

se obin punctele de intersecie (5.7): x1=(B.T1-A.C)/(A2+B2); y1=-(A.T1+B.C)/(A2+B2) (5.7)

x2=(B.T2-A.C)/(A2+B2); y2=-(A.T2+B.C)/(A2+B2) Intersecia dintre dou cercuri:

(x-x1)2+(y-y1)2=R12 (x-x2)2+(y-y2)2=R22

Se verific dac cercurile nu sunt concentrice, respectiv dac distana centrelor nu depete suma razelor (5.8):

( ) ( ) 212212210 RRyyxx ++

CURS 5 Gavril MUSC 5

( ) nnn

iiiii yxyxyxyxA +=

=++ 11

1

1112

1 (5.10)

Dac se realizeaz calculul figurilor complexe, compuse din arce i segmente de dreapt, formulele anterioare pot fi folosite dup poligonalizarea conturului. Calculul, n acest caz va fi aproximativ i va depinde de precizia poligonalizrii. Transformri geometrice n 2D. Transformrile geometrice permit deplasarea, modificarea sau copierea unui obiect existent. Transformrile vor fi prezentate sub form matriceal. O transformare aplicat unui obiect sau unei mulimi de obiecte poate fi constituit dintr-o reuniune de mai multe transformri sau dintr-o unic transformare. Din punct de vedere matematic acest fapt corespunde unui produs de matrice, matricea rezultat reprezentnd concatenarea transformrilor. n continuare se vor prezenta transformrile de baz: Translaia: punctul P(x,y) devine P'(x',y') prin translaie cu vectorul T(tx, ty), dup relaiile (5.11):

P'=P+T;

+=+=

y

x

tyytxx

''

(5.11)

n scriere matriceal, pentru P(x, y, 1) obinem P'(x',y',1):

P'=P.M(T); unde

=

1010001

)(yx tt

TM (5.12)

Rotaia n jurul originii cu un unghi Coordonatele punctului P' sunt:

+==

cossin'sincos'

yxyyxx

n scriere matriceal avem:

P'=P.M(R); unde

=

1000cossin0sincos

)(

RM (5.13)

Transformarea de scar de vector E(e1,e2) poate fi scris:

=

=yeyxex

2

1

''

; sau matriceal, P'=P M(E) unde

=

1000000

)( 21

ee

EM

Concatenarea transformrilor Presupune multiplicarea matricelor de baz pentru a putea obine matricea de transformare general. Spre

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 6 exemplu, dac se dorete realizarea unei translaii T urmat de o rotaie n jurul originii de unghi , se realizeaz transformrile:

==

))(('")('RMPP

TMPP P"=P M(T) M(R()) P"=P G (5.14)

Produsul matriceal fiind asociativ, se poate determina matricea general a acestei transformri are forma:

+=

=

=

1cossinsincos0cossin0sincos

1000cossin0sincos

1010001

yxyx tttt

tytxG

Un alt exemplu const n determinarea matricei corespondente unei rotaii de unghi n jurul unui punct C(xc,yc). Pentru a obine acest lucru trebuie parcurse trei etape: se realizeaz o translaie -C pentru a aduce centrul de rotaie n origine,

ntruct se cunoate matricea de rotaie n jurul originii; se efectueaz rotaia n jurul originii; de efectueaz translaia C pentru a aduce centrul de rotaie n poziia

iniial. Se obine (5.15):

P'=P.T(-C).M(R).T(C) (5.15)

+++=

1cossinsincos0cossin0sincos

'yyxxyx CCCCCC

PP

(5.16)

Transformri geometrice n 3D. Se vor defini transformrile de baz i apoi se vor determina matricele transformrilor complexe. Transformrile de baz sunt translaiile, rotaiile n jurul axelor de coordonate i transformarea de scar. Pentru fiecare transformare de baz se va prezenta matricea corespunztoare:

Translaia caracterizat de vectorul T(tx,ty,tz):

=

1010000100001

)(

zyx ttt

TM

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 7 Rotaia cu unghiul n jurul axei X:

=

10000cossin00sincos00001

)),(( XRM

Rotaia cu unghiul n jurul axei Y:

=

10000cos0sin00100sin0cos

)),((

YRM

Rotaia cu unghiul n jurul axei Z:

=

1000010000cossin00sincos

)),((

ZRM

Transformarea de scar de vector E(ex,ey,ez):

=

1000000000000

)(z

y

x

ee

e

EM

Matricea transformrii generale dedus din matricele transformrilor de baz se obine prin calcule mai dificile dect n cazul 2D. Proiecii paralele i perspective n desenul industrial proieciile paralele sunt frecvent utilizate; vederile perspective sunt frecvent utilizate de arhiteci sau pictori. Mijloacele PAC/CAD/CAO permit, n general, reprezentarea proiectiv a elementelor geometrice. O perspectiv este o transformare a unui spaiu 3D spre alt spaiu 3D. n general, aceast transformare este urmat de o proiecie spre un spaiu 2D (ecran) pentru a obine vederea afiabil a obiectului. Fig. 5.1 prezint diferite tipuri de proiecii plane ntlnite n CAD/CAO. n cazul proieciei perspective, proiecia se obine prin calculul interseciei cu un plan al dreptelor ce pleac dintr-un centru de proiecie i trece prin toate punctele obiectului. n cazul unei proiecii paralele, centrul de proiecie se afl la infinit, toate dreptele fiind paralele. ntr-o astfel de situaie, dac toate dreptele sunt

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 8

perpendiculare pe planul de vedere, este vorba despre o proiecie axonometric; dac dreptele nu sunt perpendiculare pe planul de proiecie spunem c avem o proiecie oblic. Exist trei tipuri de proiecii axonometrice: proiecii izometrice, cnd unghiurile planului de vedere cu fiecare dintre axe sunt egale, proieciile dimetrice cnd dou unghiuri ale planului de vedere cu axele sunt egale i proiecii trimetrice cnd unghiurile planului de vedere cu axele sunt diferite. n cazul proieciilor oblice, dreptele de proiecie fac un unghi diferit de 90o cu planul de proiecie. Se poate vorbi de dou tipuri de proiecii oblice: proiecia cavalier cnd unghiul dreptelor de proiecie cu planul de vedere este 45o i proiecie cabinet care este un caz particular al precedentei, cnd a treia ax este diminuat cu un factor de 1/2. Proieciile perspective se disting prin tipul perspectivei utilizate. O proiecie perspectiv reprezint concatenarea unei transformri perspective i a unei proiecii. Proieciile perspective sunt alese n funcie de tipul viziunii obiectului, cutndu-se a se obine viziuni realiste ct mai apropiate de vederea uman. Pentru a descrie proieciile se vor utiliza matrice i vectori ca i n cazul transformrilor geometrice. n continuare se vor prezenta diferite tipuri de proiecii i posibilitile de obinere a reprezentrilor lor matriceale.

;

1000000000100001

))0(

;

1000010000000001

))0(;

1000010000100000

))0(

==

==

==

ZM

YMXM

Fig. 5.1. Proiecii paralele i perspective utilizate la modelarea geometric

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 9 Axonometriile sunt proiecii paralele. Considerm n primul rnd proieciile ortografice pe planele X=0, Y=0, Z=0. Matricele de proiecie se deduc uor. O proiecie ortografic pe un plan X=p, Y=p sau Z=p se obine printr-o translaie:

=

==

100010000100000

100010000100001

1000010000100000

)(

pp

pXM

Izometriile, dimetriile i trimetriile sunt obinute prin combinaii de rotaii urmate de o proiecie la infinit. Dac se consider c proiecia se face pe un plan Z=0, se poate defini o rotaie de unghi n jurul axei Y, urmat de o rotaie de unghi n jurul axei X. Matricea corespunztoare acestor dou rotaii este urmtoarea:

=

=

=

10000coscossincossin0sincos00cossinsinsincos

10000cossin00sincos00001

10000cos0sin00100sin0cos

M

Realizndu-se proiecia pe planul Z=0, se obine matricea:

=

=

100000cossinsin00cos000sinsincos

1000000000100001

'

MM

Dac se consider versorii unitari ai axelor X, Y, transformrile lor sunt:

u'x=[ 1 0 0 1 ] . M' = [ cos sin.sin 0 0 ] u'y=[ 0 1 0 1 ] . M' = [ 0 cos 0 0 ]

O dimetrie este obinut aplicnd acelai factor de reducere componentelor versorilor ux i uy pentru a obine u'x=u'y. Aceast condiie se va reduce la:

22

2

sin1sinsin

= (5.17)

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 10 O izometrie se obine aplicnd acelai factor de reducere pentru ux,uy i uz pentru obinerea valorilor u'x, u'y, u'z. Cunoscnd c u'x=u'y=u'z se obin valorile 2/1sin;3/1sin == . Proiecii oblice ntr-o proiecie oblic, dreptele de proiecie fac un unghi diferit de 90o cu planul de proiecie. Dac se consider o proiecie pe planul XOY, px i py fiind componentele versorului axei Z, vectorul [0 0 1 1] se transform n [px py 0 1]. Matricea utilizat n acest caz are forma (5.18):

=

10000000100001

yx ppM (5.18)

n cazul unei proiecii oblice de tip cavalier, px=cos 45o i py=sin45o. n cazul unei proiecii oblice de tip cabinet, px=1/2cos45o i py=1/2sin45o. Proiecia perspectiv O proiecie perspectiv reprezint concatenarea unei transformri perspective i a unei proiecii pe planul de vedere. Dac se consider c proiecia se realizeaz totdeauna pe planul Z=0, proiecia perspectiv se va obine calculnd interseciile P'(x',y',z') a razelor ce pleac din punctul V(0,0,v) spre toate punctele obiectului P(x,y,z), cu planul Z=0. Se obine (5.19):

;1/

1';1/

1' yvz

yvz

vyxvz

xvz

vxzz

z

zz

z +

=

=+

=

= (5.19)

Matricea proieciei perspective are forma:

=

1000/110000100001

zPERS vM

n mod asemntor, o transformare perspectiv din dou sau din trei puncte de vedere prezint matricele M2, M3:

;

1000/1100/1010/1001

;

10000100/1010/1001

32

=

=z

y

x

y

x

vvv

Mvv

M

Modele matematice nu sunt utilizate n cazul modelrii geometrice dect pentru caracterizarea curbelor i suprafeelor complexe. ntruct piesele ntlnite n industrie au forme complexe, reprezentarea informatic a acestor piese trebuie s permit calcule pentru prelucrarea i gestionarea

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 11 facil a informaiei. Numeroase tipuri de curbe i suprafee pot fi reprezentate prin ecuaii algebrice. Dar, suficient de multe curbe i suprafee, foarte utile pentru concepia curbelor i suprafeelor n domeniile aeronauticii, construciei de autoturisme, prelucrarea materialelor plastice etc., nu pot fi caracterizate de o astfel de ecuaie. De aceea, realizatorii sistemelor de proiectare asistat au cutat reprezentri economice i performante pentru elementele geometrice complexe. Aceste reprezentri trebuie s prezinte cteva elemente fundamentale, care s permit: Controlul local i global al formei. Modificrile formei sunt realizate

plecnd de la punctele de control (puncte ce definesc poligonul de control care are influen asupra ntregii curbe sau suprafee).

Calitatea racordrii diferitelor zone ale suprafeei sau curbei. Una dintre calitile eseniale ale modelrii este de a obine o curb sau o suprafa care s nu oscileze n jurul punctelor de control.

Continuitatea. n situaia cnd forma este descris de mai multe curbe sau suprafee, proiectantul poate dori ca n punctele de contact, acestea s fie tangente (continuitate de primul ordin) sau chiar s aib aceeai curbur n aceste puncte (continuitate de ordinul doi).

Forma parametric este cea mai utilizat pentru modelarea curbelor sau suprafeelor. Aceast form permite reprezentarea unei curbe cu ajutorul unui parametru i a unei suprafee prin doi parametri. Un punct curent, reprezentat printr-un vector poate fi de forma P(u)= [x(u), y(u), z(u)] pentru o curb i de forma P(u,v)= [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] pentru o suprafa.

5.2. Curbe i suprafee utilizate n proiectarea asistat Din analiza desenelor pieselor mecanice se poate aprecia c acestea nu ofer o descriere complet a elementelor de reprezentat. Astfel, la reprezentarea suprafeelor cu precizie ridicat, exist dificulti apreciabile ntruct geometria lor este fondat pe elemente de tip dreapt i cerc; definirea racordrilor suprafeelor este realizat de o manier adesea imprecis, vag, iar realizarea practic a acestor suprafee este lsat n seama operatorilor cu nalt calificare, ca modelori i ajustori de matrie. Reprezentarea suprafeelor complexe este de cele mai multe ori fcut prin reprezentri desenate ale diferitelor seciuni. Traseele reprezentate sunt de tip ablon, realizarea modelelor concrete prin copiere se face cu o precizie redus a interpolrii, care este lsat de cele mai multe ori n grija operatorilor experimentai. n scopul utilizrii mainilor-unelte cu comand numeric la realizarea suprafeelor complexe, a devenit de mare actualitate

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 12 problema definirii complete i precise a tuturor suprafeelor de executat prin achiere. Problema fiind destul de dificil, se apreciaz volumul mare de abordri i bogia referinelor bibliografice n domeniu; acest lucru este cu att mai interesant cu ct exist multe contingene cu problemele reprezentrii n grafica asistat. Aplicaiile industriale direct interesate de problema amintit sunt diverse i deosebit de spectaculoase. Modele i metodele de reprezentare matematic sunt utile descrierii obiectelor cu form complicat aa cum sunt aeronavele, corpurile vapoarelor, elicele de turbin, caroseriile autoturismelor etc. n aceast ordine de idei, trebuie remarcate preocuprile lui Paul de Casteljau, matematician la Citren, care a realizat lucrri remarcabile n domeniu, ncepnd cu 1958 dar publicarea acestora a fost posibil n 1985. n 1964, James Ferguson, de la Boeing a publicat studii complete asupra suprafeelor definite parametric, n care fiecare curb este definit parametric printr-o expresie de gradul trei i din condiiile de limit impuse acesteia. O variant de abordare a lucrrilor de la firma Citroen a fost semnalat la Renault. ntre primele lucrri abordate n Frana se pot cita preocuprile cercettorilor de la facultatea din Orsay, J.M. Brun i M. Theron (1945). Preocuprile n domeniu au plecat de la cerine practice. Formularea unei astfel de cerine1 i-a permis lui Steven A. Coons, cadru didactic la MIT n 1960, s aduc importante contribuii n acest domeniu. n maniera tradiional, desenele pieselor mecanice nu dau o descriere complet a obiectelor pe care le reprezint. Suprafeele care cereau o precizie ridicat erau definite prin dimensiuni nsoite de tolerane; geometria lor era fondat pe folosirea dreptei i cercului iar degajrile i racordrile erau determinate de o manier mai mult sau mai puin precis, i cteodat implicit. Execuia acestor suprafee era lsat la iniiativa profesionitilor nalt calificai: modelori, turntori sau ajustori de matrie. Cnd se punea problema prelucrrii altor forme complicate, acestea erau reprezentate prin trasarea diferitelor seciuni, i reproduse prin copierea modelelor derivate din trasare printr-o interpolare lsat n grija operatorilor foarte experimentai. n astfel de situaii sunt frecvente conflictele de producie cauzate n special de dificultile de control. Astfel de situaii, creeaz probleme frecvente proiectanilor caroseriilor de autoturisme,

1 Pe macheta unei caroserii de autoturism se traseaz linii, drepte sau curbe, formnd un caroiaj. Dac cele patru laturi ale unui petic astfel definit sunt exprimate prin curbe parametrice definite, s se determine punctele interne ale peticului, asigurndu-se racordarea tangenial cu zonele vecine.

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 13 ntruct coincidena modelului realizat, cu cel desenat, nu pot s coincid, dintr-un numr foarte mare de cauze. Informatica i comanda numeric au nregistrat succese notabile n rezolvarea acestor probleme prin transmisia modelului numeric al suprafeei, direct din atelierul de proiectare spre compartimentul de desen, de fabricaie i spre cel de control [14], [15], [16], [21], [51]. naintea utilizrii comenzii numerice pentru conducerea alezoarelor, strungurilor, mainilor de frezat, de rectificat, a mainilor de electro-eroziune sau de sudur, devenise indispensabil dispunerea unei definiii complete i precise a tuturor suprafeelor de realizat. Aceast chestiune a presupus un volum foarte mare de lucru. Problemele puse de introducerea concepiei i fabricaiei asistate PAC sunt de mai multe tipuri, i prin urmare exist o mare diversitate a soluiilor oferite. ntr-o manier schematic, se pot distinge trei categorii principale de probleme n definirea suprafeelor:

combinaii booleene; recopierea unei machete; aproximarea punctelor msurate prin curbe sau suprafee.

O form constituit prin combinarea boolean a solidelor clasice precum paralelipipedele rectangulare, cilindri, conuri de revoluie, sfere i suprafee toroidale, aproximeaz ntregul solid. ntre programele de calcul ce pot realiza modelarea solidului se pot meniona, ACAD-Release12, programul APT sau versiunea primitiv a programului EUCLID produs de Datavision. Aspectul tehnologic ce rezult din acest tip de modelare se refer la stabilirea zonelor de prelucrat, definite pe feele solidelor ce compun piesa i limitate de interseciile solidelor acestora. Dac se dorete definirea unui obiect materializat printr-o machet tridimensional, dar care nu este cunoscut, i nc cu o aproximare impus, trebuie definit o reea de curbe, sau de seciuni plane sau linii principale. Problema este aceea a defini punctele din interiorul machetei i de a realiza apoi interpolarea punctelor intermediare pentru definirea geometric complet a obiectului n relief, printr-o expresie matematic, necesar prelucrrii sau desenrii. Aceast metod este convenabil pentru obiectele care joac un rol tehnologic i ale cror machete trebuie s fie reproduse cu o precizie impus. Pentru obiectele care au o funcie estetic, nu este necesar o asemenea exigen. Dac pe o machet, se msoar coordonatele tridimensionale ale punctelor, cu o spaiere aleas n funcie de gradul mai mic sau mai mare de regularitate al suprafeei, definirea unei suprafee sau familii de suprafee coninnd aceste puncte sau trecnd ct mai apropiat de acestea, necesit

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 14 soluii particulare. Pentru aceasta se utilizeaz procese de interpolare specifice, care vor fi prezentate n continuare. Definirea numeric a formei unui obiect nu este dect o etap a unui proces general supus multor restricii; spre exemplu, definirea suprafeelor trebuie s rspund unor exigene legate de aspectul estetic, de cerinele impuse de naintarea n medii fluide sau de mecanica mediilor continuii. Alegerea punctelor msurate trebuie realizat n aa fel nct s permit un ctig de timp dar i aplicarea unor procedee matematice cunoscute. Pentru c un sistem PAC-PACT este fcut pentru a fi pus la dispoziia operatorilor, fie ei proiectani sau operatori, care prin formarea lor i prin exerciiul profesiei i-au dezvoltat o bun cunoatere a geometriei spaiului, trebuie avut n vedere c acetia nu au totdeauna suficiente cunotine matematice. Este deci favorabil ca un sistem s fie fondat pe o teorie matematic uor de asimilat de utilizatori. Dup cteva tentative de reprezentare cu ajutorul seriilor Fourier sau cu ajutorul formelor carteziene (5.20):

y=f(x); f(x,y)=0; (5.20) reprezentarea universal folosit n momentul actual este cea a funciilor parametrice polinomiale raionale sau nonraionale, tratate de Isaac Schonberg dup 1940, dar asupra crora atenia industriei n-a fost prea mult atras, pentru c nu existau nc mijloace de calcul att de rapide pentru a justifica o aplicaie practic. Sub forma sa cea mai simpl, reprezentarea unui arc de curb definit n raport cu parametrul u[0,1], se exprim printr-o cubic (5.21). Mrimile si reprezint vectorii ce leag vrfurile Si ale unui poligon de o origine arbitrar O (fig. 5.2), Bi sunt funciile lui Bernstein de gradul trei.

ii

ii

ii

i

ii

iii

uuii

s

uuCsuBsuP

=

==

=

===

3

3

0

33

03

3

03,

)1()!3(!

!3

)1()()( (5.21)

Punctele Si sunt numite poli, definesc poligonul de control al curbei i sunt situate n spaiul cartezian cu dou sau trei dimensiuni. Linia frnt care le leag amintete forma curbei. Se observ, n particular, c arcul de curb este tangent n originea sa P(0) la prima latur a poligonului, i la ultimul, n

Fig. 5.2. Curb cubic

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 15 extremitatea sa P(1). Curbura n aceste puncte depinde de primele i ultimele dou vrfuri. n 1964, James Ferguson, de la Boeing, a publicat, n Journal of the Association for Computing Machinery (JACM), un studiu asupra suprafeelor parametrice n care un arc de curb parametric, limitat de valorile 0 i 1 ale parametrului, i de grad 3, este definit prin condiiile limit (5.22):

P(0); P(1); dP(0)/du; dP(1)/du (5.22) Arcul de curb este reprezentat prin:

=

=3

0)(

i

ii uauP (5.23)

unde coeficienii ai au forma (5.24).

[ ]

[ ] )1()0()1()0(2

)1()0(4)0()1(3

)0();0(

3

2

10

dudP

dudPPPa

dudP

dudPPPa

dudPaPa

++=

=

==

(5.24)

Problema cea mai important rezid din faptul c nu exist nici o lege pentru stabilirea numrului de puncte necesare definirii curbei; ntr-o astfel de situaie se poate urmri legea progresivitii valorilor de msurare. Operatorul are, n interiorul unor limite, deplina libertate s ia o decizie arbitrar. Soluia cea mai simpl este de a alege valorile care formeaz o progresie aritmetic. Aceast metod d satisfacie chiar n cazul n care curba variaz de o manier puin regulat. Dac aceast metod, i altele care relev acelai principiu, nu dau satisfacie, operatorul poate s aleag i alte valori, pentru punctele limit, dar i pentru punctele care joac un rol important asupra formei curbei. Cu ct numrul punctelor de trecere este mai mare, cu att timpul i preul de calcul crete mai repede. Metoda UNISURF (RENAULT) pentru definirea unei curbe, permite o reprezentare cu ajutorul funciilor Bernstein, dar utiliznd considerente geometrice. Astfel, se pleac de la considerentul c pentru a defini o curb, ale crei extremiti sunt definite de punctele PA(0,0,0) i PB(1,1,1). Utiliznd condiiile de continuitate i tangen n punctele extreme, un punct P al acestei curbe este definit prin trei funcii polinomiale care depind de acelai parametru u[0,1].

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 16

( )( )

( )

==+==+==

=3

3

232

231

3233

)(uufz

uuufyuuuufx

uP (5.25)

Printr-o transformare liniar, cubul unitate devine un paralelipiped oarecare, situat ntr-un referenial ortonormat OXYZ, i care constituie el nsui un referenial Oxyz, particular curbei, ai crui vectori unitari sunt respectiv a1, a2 i a3 i a crui origine O este legat de O printr-un vector a0, un punct P al curbei fiind definit prin (5.26):

P(u) = a0 + a1 f1(u) + a2 f2(u) + a3 f3(u) (5.26) Pentru reprezentarea paralelipipedului n care se nscrie curba, se pot utiliza vectorii a1, a2 i a3 avnd o origine comun. Poligonul constituit din vrfurile vectorilor amintii poart numele de poligon caracteristic. Pentru a crete varietatea curbelor, se utilizeaz vectorii i funciile suplimentare, impunnd acestora din urm condiii analoage celor precedente. Forma general a funciei de interpolare de rang i, care aparine unei familii de m+1 funcii de grad m, este dat de:

)!()!1()!1(

)!(!!)1()1()(

0

11

0, iji

jjmj

mCCufm

j

jiij

jm

m

j

jimi

==

=

+

=

+ (5.27)

n mod normal nu exist limite teoretice privind gradul acestor funcii dar, n aplicaiile tehnice, sunt rare situaiile n care gradul acestor funcii depete 8. Cteva proprieti interesante ale funciilor f sunt prezentate n continuare:

Curba este situat n interiorul poliedrului convex care conine vrfurile poligonului caracteristic. Dac aceast curb este plan, poliedrul se reduce la un poligon plan.

Dac se realizeaz o translaie i/sau o rotaie a poligonului caracteristic, forma acestuia i a curbei nu se schimb.

Primele derivate n punctele limit A i B sunt proporionale, respectiv egale cu m.a1 i m.am.

ntruct cea mai comod form de reprezentare a unei curbe este cea parametric, se utilizeaz n mod curent reprezentarea sub forma unor polinoame parametrice de ordinul 3. Formularea unei astfel de probleme poate fi ntlnit sub forma: dac se cunosc punctele PA(xA,yA,zA) i PB(xB,yB,zB) precum i tangentele n aceste puncte TA(lA,mA,nA) i respectiv TB(lB,mB,nB) s se determine coordonatele punctului curent de pe aceast

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 17 curb P(x,y,z) i tangenta T(l,m,n). Dac t[0,1] este un parametru real, ecuaiile parametrice ale punctului curent i tangentei n acest punct au forma (5.28):

zzz

yyy

xxx

zzzz

yyyy

xxxx

ctbtanctbtamctbta

dtctbtatzdtctbtatydtctbtatx

++=++=++=+++=+++=+++=

232323

)()()(

2

2

2

23

23

23

(5.28)

ntruct aceste ecuaii au form asemntoare, se poate utiliza forma general (5.29):

ctbtatKdtctbtatK

++=+++=

23)()(

2

23

(5.29)

n continuare se vor prezenta cele mai cunoscute forme de reprezentare a curbelor parametrice de ordin 3. Metoda Hermite asigur trecerea riguroas a curbei prin punctele impuse dar se constat c, la un numr mare de puncte, curba poate prezenta oscilaii nedorite. Acest inconvenient nu dispare dect nlocuind arcul de curbur unic prin arce de grad mai mic, puse cap la cap. Aceast reprezentare presupune cunoaterea punctelor prin care trece curba precum i a tangentelor n aceste puncte. Definirea condiiei iniiale pentru o curb are forma (5.30):

BA

BA

BA

BA

BA

BA

nznzmymy

xxzxzzyxyyxxxx

============

)1()0()1()0()1()0()1()0()1()0()1()0(

BzzzAz

ByyyAy

BxxxAx

BzzzzAz

ByyyyAy

BxxxxAx

ncbancmcbamc

cbaczdcbazdydcbaydxdcbaxd

=++==++==++==+++==+++==+++=

232323 (5.30)

sau, sub form general, relaiile de condiie pot fi (5.31):

B

A

B

A

TcbaTc

PdcbaPd

=++=

=+++=

23

(5.31)

Sub form matriceal, relaia precedent devine (5.32):

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 18

=

dcba

TTPP

B

A

B

A

0123010011111000

(5.32)

Prin rezolvarea acestei ecuaii matriceale se obine (5.33):

=

B

A

B

A

TTPP

dcba

000101001233

1122

[ ] [ ] [ ]hh GMC = (5.33)

Sub forma general, matricea K devine (5.34):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]hh GMTCTdcba

ttttK ==

= 1)( 23 (5.34)

Prin nlocuire, pentru fiecare dintre coordonate se obin relaiile (5.35):

[ ]

=

B

A

B

AXX

ttttx

000101001233

11221)( 23 (5.35)

Spre deosebire de forma Hermite, forma Bzier are n intervalul de control al parametrului t[0,1], un numr de 4 puncte de control. Primul i ultimul punct servesc pentru definirea capetelor intervalului, iar punctele suplimentare determin mpreun cu capetele direcia tangentelor, ca n fig. 5.3. Condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc curba se pot scrie:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) mzzdtdzzzz

myydtdyyyy

mxxdtdxxxx

mzzdtdzzzz

myydtdyyyy

mxxdtdxxxx

FBB

FBB

FBB

AEA

AEA

AEA

===

===

===

===

===

===

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

)0()0()0(

)0()0()0(

)0()0()0(

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 19 unde m reprezint un factor de form. Dac se consider m=3 (forma Bzier normal), se obine (5.36):

[ ] [ ] [ ]bhbhB

F

E

A

B

A

B

A

GMG

PPPP

TTPP

=

=

3300003310000001

(5.36)

n relaia precedent, [Mhb] este matricea de trecere de la forma Hermite la forma Bzier. Matricea folosit pentru calcul coordonatelor curbei Bzier se obine astfel:

K(t)=[T][C]=[T][Mh][Mhb][Gb] K(t)= [T][MB][Gb]

sau sub form extins (5.37):

[ ]

=

B

F

E

A

PPPP

ttttK

0001003303631331

1)( 23 (5.37)

Pentru ca mai multe poriuni de curb Bzier alturate s determine o curb continu, n punctele intermediare trebuie s existe continuitatea primei derivate, deci punctele ce determin direciile tangentelor n aceste puncte trebuie s fie coliniare. Curbele B-Spline folosesc o mulime de n puncte de control, dar curba nu trece, n general, prin acestea. Pentru calculul coordonatelor punctelor intermediare se utilizeaz o relaie asemntoare celei folosite pentru curbele Bzier (5.38):

Ki,i+1(t) = [T] [Ms] [Gs] i,i+1 (5.38)

Fig. 5.4. Suprafa bicubic Bezier

Fig. 5.3. Curb cubic Bzier

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 20 Indicii i, i+1 indic faptul c relaia este folosit pentru aproximare ntre punctele de control Pi, Pi+1 cu i[2,n-2], iar matricele Spline [Ms] i [Gs]i,i+1 au forma (5.39):

[ ] [ ]

=

=

+

+

+

2

1

1

1,;

0141030303631331

61

i

i

i

i

iiss

PPP

P

GM (5.39)

Plecnd de la constatarea c o curb spline nu poate reprezenta cu precizie satisfctoare o conic, s-au determinat forme raionale care s depeasc acest inconvenient. Coordonatele unui punct de pe o astfel de curb rezult din:

( )

=

=

= m

imii

m

imiii

tBw

tBwstP

0,

0,

)(

)(

n relaia precedent, si reprezint vrfurile poligonului caracteristic, wi ponderile acestor vrfuri iar Bi,m(t) polinoamele lui Bernstein. O astfel de curb este cunoscut sub acronimul NURBS2. De o mare importan practic sunt i modelele de definire a suprafeelor. Problemele legate de definirea, desenul prelucrarea i controlul suprafeelor complexe din industria caroseriilor pentru autoturisme, a aripilor pentru avioane, a elicelor pentru avioane, elicoptere, ventilatoare au impus cercetri, ale cror rezultate sunt prezentate n cele ce urmeaz. Folosind definiia a dou familii de curbe n spaiu, se poate obine definiia unei suprafee biparametrice. Forma general a expresiei unei coordonate n funcie de parametrii t[0,1] i s[0,1] este: K(s,t)=[S][C][T]T unde [T]T este transpusa matricei [T], iar [C] are forma (5.40):

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

C (5.40)

2NURBS = Non Uniform Rational Base Splines.

Fig. 5.5. Suprafaa B-Spline

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 21 Similar definirii curbelor 3D, se pot defini suprafee 3D, sub formele Hermite, Bzier i B-Spline. O suprafa bicubic de tip Hermite se definete pe baza a 4 puncte n spaiu, notate P00, P01, P10, P11, corespunztor valorilor extreme ale parametrilor s[0,1] i t[0,1], precum i prin cte 3 tangente la suprafa n fiecare dintre aceste puncte. Pentru calculul punctelor de pe suprafa, procedndu-se la fel ca n cazul curbelor 3D, se obine (5.41):

K(s,t)=[S][MH][T]T unde [MH]=[Mh][Qh][MH]T (5.41)

Pentru definirea suprafeelor Bezier se folosesc cele 4 puncte de control, corespunztoare valorilor extreme ale parametrilor s, t i n plus alte 12 puncte de control cu ajutorul crora se precizeaz tangentele la suprafa n primele 4 puncte. Geometria unei suprafee Bezier este caracterizat prin coordonatele a 16 puncte de control. Matricea de geometrie Bzier are forma (5.42):

[ ]

=

11110101

11110101

10100000

10100000

PPPPPPPPPPPPPPPP

Q

ss

tststt

tststt

ss

b (5.42)

punctele fiind definite ca n fig. 5.4. Relaia folosit pentru determinarea coordonatelor corespunztoare perechii de parametri (s, t) este (5.43):

K(s,t)=[S][Mb][Qb][Mb]T[T]T (5.43)

O suprafa bicubic sub forma B-Spline este definit prin 16 puncte de control, matricea de calcul general fiind de forma (5.44):

[ ] [ ] [ ]TTsjiji jijis TMQsMStsK = + +++ ,1;, 1,1;1,][][),( (5.44) Matricea de geometrie B-Spline are forma (5.45):

[ ]

=

++++++

++++++

++

++

++++

2,21,2,21,2

2,11,1,11,1

2,1,,1,

2,11,1,11,1

,1;,1,1;1,

jijijiji

jijijiji

jijijiji

jijijiji

jijijiji

PPPPPPPPPPPP

PPPP

Qs (5.45)

Aceast matrice este exprimat n raport cu punctele Pi,j, unde i, j[2, n-2], notarea fiind n conformitate cu fig. 5.5. Calcularea punctelor curente utilizeaz matricele prezentate anterior, plecnd de la mulimea punctelor cunoscute. O astfel de suprafa nu trece prin toate punctele de control cunoscute. Aceast modelare se utilizeaz frecvent pentru definirea grafic

Gavril MUSC CURS 5

CURS 5 Gavril MUSC 22 PAC-PACT. Pentru definirea suprafeelor, considerarea unui numr de patru puncte apropiate definete un "petic"-carou. n cazul reprezentrilor zonelor de col ale suprafeelor se utilizeaz carouri triunghiulare. Modelele matematice aplicate curbelor i suprafeelor constituie un element de baz a sistemelor de proiectare asistat specializat pentru aplicaii ce trateaz probleme de suprafee (caroserii). Coordonata curent a unui punct aparinnd unei suprafee definite prin petice cu patru vrfuri este:

( ) )()(, ,,0 0

tBsBstsP njmim

i

n

jij =

= = (5.46)

unde i parcurge mulimea vrfurilor caracteristice parametrului s, j mulimea vrfurilor parametrului t iar si,j reprezint un vector ce definete succesiv colurile peticului de aproximare. n acelai mod n care o curb este definit prin intermediul unui poligon caracteristic, o suprafa este definit printr-o reea caracteristic. Modelele prezentate se pot aplica numai pentru curbe i suprafee. Eforturile depuse pentru modelarea solidelor trebuie continuate pentru a realiza o modelare cu adevrat util proceselor de proiectare asistat i proceselor de fabricaie asistat.

Gavril MUSC CURS 5