Cursul 4

CALCUL ELEMENTELOR TRIUNGHIULUI

SFERIC DE POZIŢIE

Structura cursului:

1.FORMULE TRIGONOMETRICE DE BAZĂ UTILIZATE ÎN NAVIGAŢIA ASTRONOMICĂ

1.CALCUL ELEMENTELOR TRIUNGHIULUI SFERIC DE POZIŢIE

a. calculul înălţimii astruluib. calculul declinaţiei astruluic. calculul azimutului astruluid. calculul unghiului la pol al astrului

1. FORMULE TRIGONOMETRICE DE BAZĂ

UTILIZATE ÎN NAVIGAŢIA ASTRONOMICĂ

A

B

C

a

b

c

Triunghiul sferic laturile sale sunt arce de cerc mare laturile şi unghiurile sale se măsoară în grade

Formule trigonometrice utilizate

formula cosinusului unei laturi formula sinusurilor laturilor şi unghiurilor opuse lor formula celor patru elemente consecutive (formula

cotangentelor) formula cosinusului unui unghi

Triunghiul sferic de poziţie

A

P

ZZ

P

90l

90z h

90p

colatitudinea

distanţa zenitală

distanţa polarăunghi paralactic

unghi la zenit

unghi la pol

Reguli de bază în triunghiul sferic

orice unghi sau latură nu poate fi mai mare de 180(toate funcţiile trigonometrice au valori numai în cadranele I şi II trigonometrice)

funcţiile trigonometrice ale elementelor triunghiului sferic de poziţie pot fi pozitive sau negative - necesar de stabilit semnele lor

latitudinea observatorului () este întotdeauna pozitivă şi mai mică de 90 (<90) indiferent de emisfera în care se află observatorul

înălţimea astrului (h) este întotdeauna mai mică de 90 (h<90). Pentru nevoile navigaţiei înălţimea este întotdeauna pozitivă (astrul este deasupra orizontului) şi ca urmare toate funcţiile ei trigonometrice vor fi pozitive

declinaţia astrului () este întotdeauna mai mică de 90 (<90) şi poate fi : de acelaşi nume cu latitudinea - toate funcţiile ei trigonometrice sunt pozitive de semn contrar cu latitudinea - toate funcţiile ei trigonometrice sunt negative cu excepţia cosinusului şi secantei care vor fi pozitive dacă declinaţia astrului () rezultă din calcul cu semnul plus înseamnă că ea este de acelaşi semn cu latitudinea

unghiul la zenit ( Z ) poate avea valori cuprinse între 0 şi 180 dacă Z<90° - toate funcţiile sale trigonometrice sunt pozitive dacă Z>90° - toate funcţiile sale trigonometrice vor fi negative cu excepţia sinusului şi a cosecantei care vor fi pozitive

dacă unghiul la zenit (Z ) rezultă din calcul : cu semnul plus înseamnă că Zc<90° (Zc = unghiul la zenit calculat) cu semnul minus înseamnă că Zc>90° iar valoarea finală se va obţine scăzând valoarea calculată din 180 adică Z=180°-Zc

unghiul la pol (P ) poate avea valori cuprinse între 0 şi 180 dacă P<90° - toate toate funcţiile sale trigonometrice sunt pozitive dacă P>90° - toate funcţiile sale trigonometrice vor fi negative cu excepţia sinusului şi a cosecantei care vor fi pozitive

dacă unghiul la pol (P )rezultă din calcul: cu semnul plus înseamnă că Pc<90° (Pc = unghiul la pol calculat) cu semnul minus înseamnă că Pc>90° iar valoarea finală se va obţine scăzând valoarea calculată din 180 adică P =180°-Pc

2. CALCULUL ELEMENTELOR TRIUNGHIULUI SFERIC DE

POZIŢIE

2.1. Calculul înălţimii estimate (he)

Modalităţi de calcul: cu ajutorul formulei sin h

cu ajutorul formulei

cu ajutorul formulei haversinului

2

2

zsin

Elemente cunoscute:

latitudinea observatorului - φ declinaţia astrului - unghiul la pol al astrului - P

A

P

ZZ

P

90l

90z h

90p

Formula cosinusului unei laturi: Într-un triunghi sferic, cosinusul unei laturi este egal cu produsul cosinusurilor celorlalte două laturi plus produsul sinusurilor acestor laturi prin cosinusul unghiul dintre ele.

ˆ(90 ) = (90 ) (90 ) + (90 ) (90 )cos h cos cos sin sin cos P

sin he sin sin +cos cos cos P a

sin he sin sin +cos cos cos P a b

sin he sin sin +cos cos cos P

Relaţia se rezolvă prin părţii

şi

90P 90P

Regula semnelor

a+ de acelaşi nume

- şi de nume contrare

b+-

I II III IVsin + + - -

cos + - - +tg + - + -

ctg + - + -

sec + - - +cosec + + - -

a b

sin he sin sin +cos cos cos P

Se folosescvalorile naturale ale funcţilor trigonometrice Tabla 67-a din „Table nautice DH-90” Tabla „Natural Functions of Angles” din publicaţia NORIE’S NAUTICAL TABLES calculate cu ajutorul unui calculator electronic ştiinţific de buzunar

Algoritm: se realizează tabelul cu datele de intrare

alăturat tabelului se realizează următorul tip de calcul în care vor fi introduse valorile funcţiilor

trigonometrice pe măsura extragerii lor din tablăATENŢIE la alinierea pe verticală!Liniile se trasează cu rigla sau echerul !

ˆ 06 39 '.4EP

37 28'.3N 19 35'.0S

sin cos

sin cos

cos P

a b

b

sin h

he

Pentru rapiditatea lucrului se extrag la aceeaşi deschidere a tablei atât valoarea sinusului cât şi a cosinusului pentru fiecare valoare unghiulară   se stabilesc semnele celor doi termeni a şi b şi se

înscriu în dreptul lor după semnul = se calculează valoarea lui a făcând produsul valorile de pe coloana de date de deasupra sa se calculează valoarea lui b făcând produsul valorile de pe coloana de deasupra sa şi se înscrie rezultatul în dreptul lui b şi sub valoarea lui a se efectuează suma algebrică a celor două elemente

rezultatul fiind valoarea sinusului înălţimii estimate se determină valoarea înălţimii estimate intrând în

Tabla 67-a cu valoarea obţinută pentru sinusul înălţimii valoarea unghiulară a înălţimii se extrage în grade,

minute şi zecimi de minut arc

2.2. Calculul declinaţiei astrului( )

ˆ

a b

sin = sin sin h+cos cos h cos Z

Elemente cunoscute: latitudinea observatorului - φ înălţimea - h unghiul la zenit al astrului - Z

Observaţie: unghiul la zenit se exprimă în valori semicirculare

I II III IVsin + + - -

cos + - - +tg + - + -

ctg + - + -

sec + - - +cosec + + - -

90Z 90Z

Regula semnelor

a întotdeauna pozitiv

b+-

ˆ

a b

sin = sin sin h+cos cos h cos Z

Modalităţile de calcul, regula semnelor şi tipurile de calcul sunt identice ca în cazul calculului

înălţimii estimate Valoarea declinaţiei rezultă cu semn ceea ce înseamnă că declinaţia este nordică (N) pentru valori pozitive şi sudică (S) pentru valori negative

Relaţia este utilizată la identificarea aştrilor prin calcul

2.3.1. Calculul azimutului astrului (Az ) folosind relaţia ctg Z

Elemente cunoscute: latitudinea observatorului - φ declinaţia astrului - unghiul la pol al astrului - P

ˆ ˆ ˆctg Z tg cos cosec P - sin ctg P ˆ ˆ ˆ

a

ctg Z tg cos cosec P - sin ctg P ˆ ˆ ˆ

b

ctg Z tg cos cosec P - sin ctg P

Se obţine unghiul la zenit în sistem semicircular

I II III IVsin + + - -

cos + - - +tg + - + -

ctg + - + -

sec + - - +cosec + + - -

90P 90P

Regula semnelor

a

b +-

ˆ ˆ ˆ

a b

ctg Z tg cos cosec P - sin ctg P

+ ....N ....S -

valoarea obţinută cu ajutorul acestei relaţii este valoarea unghiului la zenit în sistem

semicircular valoarea unghiului la zenit semicircular poate fi:

pozitivă - caz în care este chiar valoarea unghiului la zenit semicircular negativă – situaţie în care valoarea absolută se scade din 180° pentru a afla valoarea unghiului la zenit

această valoare se transformă în sistem circular (de la 0 la 360) pentru a afla azimutul

este necesar să se determine modul de contare al unghiului la zenit semicircular: stabilirea unui punct de contare (de la NORD sau de la SUD) stabilirea unui sens de contare (spre EST sau spre WEST)

Notare: prima literă va fi litera latitudinii observatorului ultima literă va fi cea dată de unghiul la pol

2.3.2. Calculul azimutului astrului (Az ) folosind relaţia sin Z

Elemente cunoscute: înălţimea astrului - h declinaţia astrului - unghiul la pol al astrului - P

ˆsin Z sin P sec h cos Se obţine unghiul la zenit în sistem cuadrantal. Valorile obţinute sunt întotdeauna pozitive

Este necesar să se stabilească în ce cadran se află astrul

Semnullui

Mărimealui

Mărimealui he

Contare(prima literă)

Sens(a doua literă)

contrar cu φ - -contrar cu La fel ca

unghiul la pol (P)

de acelaşi semn cu φ

< φhe > hI

he < hI identic cu > φ -

La fel ca unghiul la pol

(P)

contrar cu φ

Notaţia hI reprezintă înălţimea astrului în primul vertical - Tabla 30 din DH-90

argument vertical latitudinea observatorului () argument orizontal declinaţia astrului ()Valoarea azimutului se obţine din valorile cuadrantale după regulile cunoscute

2.4.1. Calculul unghiului la pol al astrului (P) folosind relaţia ctg P

Elemente cunoscute: latitudinea observatorului -φ înălţimea astrului - h unghiul la zenit al astrului - Z

ˆ ˆ ˆctg P tg h cos cosec Z sin ctg Z

a b

I II III IVsin + + - -

cos + - - +tg + - + -

ctg + - + -

sec + - - +cosec + + - -

90Z 90Z

Regula semnelor

a

b +-

ˆ ˆ ˆ

a b

ctg P tg h cos cosec Z sin ctg Z

întotdeauna pozitiv

unghiul la pol rezultat din calcul are valori semicirculare

păstrează sensul spre EST sau spre WEST dat de unghiului la zenit

atunci când rezultă cu semnul minus valoarea obţinută se scade din 180

2.4.2. Calculul unghiului la pol al astrului (P) folosind relaţia cos P

Elemente cunoscute: latitudinea observatorului -φ înălţimea astrului - h declinaţia astrului -

ˆ .cos P sec sec sin h - tg tg

a b

I II III IVsin + + - -

cos + - - +tg + - + -

ctg + - + -

sec + - - +cosec + + - - Regula semnelor

a

b+-

întotdeauna pozitiv

ˆ .a b

cos P sec sec sin h -tg tg

φ şi de acelaşi nume φ şi de nume contrare

relaţia se utilizează la identificarea aştrilor prin calcul şi oferă valoarea unghiului la pol în

sistem semicircular. Pe timpul observaţiilor la astrul respectiv se măsoară şi relevmentul compas sau relevmentul giro la el care se transformă în relevment adevărat adică în azimut azimutul permite identificarea emisferei estice sau vestice în care se află astrul. în funcţie de această emisferă unghiul la pol va

fi considerat la EST (PE) sau la WEST (PW)