astronomie geodezica matei florica

8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica

1/104


2/104

Cuprins

1 Introducere 5

1.1 Ramurile astronomiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Descrierea sumara a part ii accesibile a Universului . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Astronomia geodezica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Elemente de trigonometrie sferica 11

2.1 Triunghiul polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Formulele lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Determinarea unghiurilor n funct ie de laturi ntr-un triunghi sferic 192.2.2 Determinarea laturilor n funct ie de unghiuri ntr-un triunghi sferic 21

3 Astronomie sferic a 23

3.1 Sfera cereasca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Sisteme generale de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Coordonate geograce ( , L ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Sistemul de coordonate orizontale - ( A, z ), sau (A, h) . . . . . . . . 303.2.3 Sistemul de coordonate orare (, H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4 Sistemul de coordonate ecuatoriale ( , ) . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Relatiile dintre coordonatele ceresti si coordonate geograce . . . . . . . . 34

3.4 Miscarea anual a aparenta a Soarelui si consecintele ei . . . . . . . . . . . . 35

3.4.1 Coordonate ecliptice ( , ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.2 Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Transform ari de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1


3/104

3.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale n coordonate orare . . . . 40

3.5.2 Transformarea coordonatelor orare n coordonate ecuatoriale. . . . 41

3.5.3 Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate ecliptice . . 42

3.6 Rasaritul si apusul astrilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7 Culminatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Trecerea astrilor la primul vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9 Elongatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Timpul 53

4.1 Timpul sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Timpul solar adevarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Timpul solar mediu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Timpul universal. Timpul legal. Conventia fuselor orare . . . . . . . . . . 57

4.5 Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Fenomene care modica pozit iile astrilor pe bolta cereasca 655.1 Refractia astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Aberatia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Paralaxe si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Paralaxa diurna si determinarea distant elor n sistemul solar . . . . 71

5.3.2 Paralaxa anuala si determinarea distant elor stelare . . . . . . . . . 73

5.4 Precesia si nutat ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Aplicat ii 79

6.1 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.1 Metoda masur arii unei distante zenitale . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.2 Metoda n altimilor egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.3 Metoda n alt imilor egale a doua stele . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.4 Metoda trecerii stelei la meridian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Determinarea azimutului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2


4/104

6.2.1 Metoda masurarii distant ei zenitale a unui astru . . . . . . . . . . . 85

6.3 Determinarea latitudinii si longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.1 Determinarea latitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.2 Determinarea longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7 Elemente de mecanica cereasca 93

7.1 Problema celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Index 100

Bibliograe 103

3


5/104

4


6/104

Capitolul 1

Introducere

Astronomia este stiint a care se ocupa cu studiul misc arii, structurii, originii si evolutiei

corpurilor ceresti, a sistemelor de corpuri ceresti precum si interactiunii acestora cu di-

versele campuri n care ele se g asesc. Cuvantul astronomie provine din cuvintele grecesti

astron -astru si nomos -lege. Totalitatea corpurilor ceresti, a materiei dintre corpuri si a

campurilor zice care interactioneaza formeaza Universul . Materia poate privita ca

ind alcatuita din:

- substant a reprezint a acea forma a existent ei cosmice care se compune din particule

cu masa de repaus (protoni si neutroni);

- camp celelate forme in care particulele nu au masa de repaus (fotonii)

sau din alt punct de vedere materia este:

- materia organizata - reprezint a acea parte a existentei cosmice care se manifesta

sub forma unor corpuri cu o structura bine determinata si de mare stabilitate

(i) stele O stea este n general un corp ceresc, masiv si stralucitor, de forma

aproximativ sferic a, alcatuit din plasma n oarecare echilibru hidrostatic, si

care a produs n trecut sau nc a mai produce si azi energie pe baza react iilor

de fuziune nuclear a din interiorul s au.

(ii) planetele O planet a este un corp ceresc de masa considerabil a care orbiteaza

n jurul unei stele si care nu produce energie prin fuziune nuclear a. Din aceasta

5


7/104

cauza, planetele sunt mult mai reci decat stelele, si nu au si nu emit lumina

proprie, ci doar pot reecta lumina stelelor.

(iii) quasari Quasi-stellar Radio Source Acestea emit enorme cantitat i de energie.

- materia neorganizata - reprezint a acea parte a existentei cosmice care nu are

structura bine determinata si nici stabilitate (materia interstelara, praful si gazul

interplanetar, materia meteoritic a, materia intergalactic a)

Metodele de studiu ale astronomiei sunt:

1. Observat ia Reprezinta metoda fundamental a a astronomiei care furnizez a fapte

si date ce permit explicarea fenomenelor astronomice n urma prelucr arii si inter-

pret arii unui num ar mare de m asur atori de mare precizie, pe baza unor calcule

laborioase;

2. Metoda modelelor teoretice Se realizeaza modele ale fenomenele astronomice.

Modelele se confrunta cu fenomenele real-observate. Metoda modelelor a dat rezul-

tate bune n numeroase domenii ale astronomiei;

3. Metoda experimentala In ultima perioada a dobandit o pondere din ce n ce mai

mare n cercetarea corpurilor ceresti astfel s-au produs comete articiale, seisme pe

luna, etc. Observat iile de la sol au nceput s a e completate cu observat ii obtinute

din spat iu (din sateliti articiali sau nave cosmice), de o mai mare precizie si n

domenii spectrale inaccesibile de la sol.

1.1 Ramurile astronomiei

Astronomia contemporana se mparte n mai multe ramuri str ans legate ntre ele si anume:

1. Astronomia clasic a

(a) Astrometria sau astronomia fundamental a studiaz a pozitia corpurilor ceresti,

distant a dintre corpurile ceresti precum si determinarea timpului;

6


8/104

(b) Astronomia sferic a elaboreaz a metode matematice de determinare a pozit iilor

aparente si a miscarilor aparente ale corpurilor ceresti, fat a de diferite sisteme

de referint a;

(c) Astronomia practica studiaz a tehnicile si tehnologiile de observat ie astromet-

rica, precum si erorile corespunz atoare.

2. Mecanica cereasc a se ocupa cu miscarea corpurilor ceresti sub act iunea diferitelor

forte si a atractiei universale Astronomia moderna:

3. Astrozica - studiaz a structura, materia zic a si compozit ia chimic a a corpurilor

ceresti

4. Astronomia stelara - se ocupa cu legile generale n distributia si miscarea stelelor

a sistemelor stelare (roiuri stelare si galaxii) si a materiei interstelare (inclusiv neb-

uloasele).

5. Cosmogonia cerceteaza problemele originii si evolutiei corpurilor ceresti, inclusiv

a P amantului.

6. Cosmologia - studiaza originea si evolutia universului la scara larg a. ntre aceste

ramuri ale astronomiei nu exista o delimitare riguroas a, astfel mai multe probleme

sunt cercetate simultan de mai multe ramuri.

1.2 Descrierea sumara a part ii accesibile a Universu-

lui

Metagalaxia reprezint a partea Universului accesibila observat iei astronomice. Meta-

galaxia este alcatuit din circa 200 de miliarde de galaxii. Galaxia este un sistem cu

masa, unit de fort e de atractie, alcatuit dintr-o aglomerat ie de stele, praf si gaz inter-

stelar. Galaxiile tipice contin ntre 10 milioane si un 10 12 , sau chiar mai multe stele,

toate orbitand n jurul unui centru de gravitat ie comun. Galaxiile cont in un num ar mare

de sisteme stelare, de clustere stelare si de tipuri variate de nebuloase (Daca densitatea

7


9/104

90000 al

15000alSoare

Figura 1.1: Sectiunea meridiana a Caii Lactee

prafului si a gazului interstelar este mare se formeaza o nebuloas a (nor)). Majoritatea

galaxiilor au un diametru cuprins ntre c ateva zeci si cateva sute de mii de ani lumina

si sunt de obicei separate una de alta prin distant e de ordinul catorva milioane de ani

lumin a. Unele galaxii mari cuprind n structura lor complex a si un num ar de galaxii mai

mici, numite galaxii satelit.

Calea Lactee , este galaxia gazd a a sistemului nostru solar si a altor aproximativ

100-400 miliarde de stele cu planetele lor, precum si a peste 1.000 nebuloase. Galaxia are

o forma circular a cu un bulb central numit nucleul galxiei. In sectiune meridiana (Fig

1) Soarele apart ine aproximativ planului ecuatorial la o distant a de 30000 a.l de centrul

galaxiei.

Sistemul Solar apartine galaxiei Calea Lactee prinicipalele elemente sunt:

1. Soarele constituie principala sursa de energie

2. Planetele sitemului solar sunt Mercur , Venus , Pamant , Marte , Jupiter , Sat-

urn , Uranus , Neptun . La a XXVI- ant alnire generala a Uniunii Astronomice

Internat ionale din august 2006 s-a decis ca Pluto s a nu mai e considerat a planet a.

P amantul are diametrul mediu de 6371km si graviteaz an jurul Soarelui la o distanta

medie de 149 597 870.691km

3. Satelitii Satelit ii naturali reprezint a corpuri ceresti care se misca pe o orbit a n

jurul unei planete sau corp ceresc mai mic care se numeste corp primar.

8


10/104

Tabelul 1.1: Satelit ii planetelor Sistemului Solar ( www.nasa.gov)

Planeta Numar de satelt i

Jupiter 63

Saturn 60

Uranus 27

Neptun 13

Marte 2

Pamant 1

Venus 0Mercur 0

4. Asteroizii reprezint a planete mici-bucati de roca care pot varia n diametru de

la cat iva metri la c ateva sute de kilometri (cel mai mare asteroid Ceres, 950 km).

Asteroizii se ntalnesc n special ntre orbitele lui Marte si Jupiter (br aul asteroizilor).

Cei mai mici se numesc meteorit i .

5. Cometele sunt bile de piatr a si gheat a, carora li se formeaza cozi cand se apropie

Soarele pe orbitele lor foarte eliptice. Comete se nc alzeasc, gazele si praful sunt

expulzate, Soarele lumineaz a acest traseu, determin and o str alucire. Trasee stralu-

citoare sunt vizibile pe cerul nopt ii.

6. Materia meteoritica reprezint a fragmente de asteroizi.

7. Materia interplanetar a este reprezentata de praf si gaz.

1.3 Astronomia geodezica

Astronomia geodezic a este disciplina care se aa la intersect ia a dou a stiinte fundamentale:

Astronomia si Geodezia reprezentand tehnica determinarii pozitiei locului de observat ie

n raport cu diferiti astrii de pe bolta cereasca [3].

Rolul astronomiei geodezice este de a determina latitudinea si longitudinea punctelor

geodezice, precum si azimutele direct iilor terestre. De asemenea, astronomia geodezica

9


11/104

modern a constituie suportul tehnologiilor geodezice satelitare si contribuie la crearea si

dezvoltarea sistemelor de referinta precum si a form arii si ntretinerii sc arilor de timp.

Printre aplcatiile astronomiei n geodezie se amintesc:

- introducerea unui elipsoid de referint a, nat ional, specic ecarei t ari;

- introducerea unui elipsoid local;

- elemente de constr angere sau compensare a ret elelor geodezice (n special azimutele

astronomice);

- studiul deviat iei verticale cu utiliz ari directe n: orientarea astronomo-geodezic a aunui elipsoid local, conversia ntre azimutele astronomice si azimutele geodezice,

reducerea direct iilor si unghiurilor orizontale la elipsoid, reducerea direct iilor zeni-

tale la elipsoid, transformarea coordonatelor astronomice n coordonate geodezice si

viceversa, determinarea diferentelor de nalt ime din m asur atori de unghiuri zenitale

si distant e nclinate.

10


12/104

Capitolul 2

Elemente de trigonometrie sferica

Pentru studiul astrilor pe bolta cereasc a trigonometria folosita pana acum nu mai poate

folosita, de aceea trebuie introduse notiuni specice trigonometriei sferice. Dintre acestea

se amintesc urm atoarele not iuni ilustrate in gura 2.1

Cerc mare pe sfera este intersect ia sferei cu un plan care trece prin centrul sferei. Doua

puncte de pe sfera care sunt extremittile aceluiasi diametru determina n mod unic un

cerc mare.

Distant a sferic a dintre doua puncte pe sfera este lungimea celui mai mic arc de cerc

mare care trece prin cele dou a puncte. Se numeste pol sau centru sferic al unui cerc

mare punctul de intersectie cu sfera a diametrului perpendicular pe planul cercului mare

n centrul sferei. Un semicerc mare care contine polii se numeste meridian . Se numeste

ecuator al unui punct de pe sfera, cercul mare care se aa la distant a de 2

fata de punct.

Se numeste unghi sau fus sferic una din cele doua part i n care o sfer a este impart it a de

doua semicercuri mari avand diametrul comun. Pe sfera orice fus sferic are doua elemente,unghiurile si laturile (semidiscurile). Laturile fusului sferic sunt identice pentru aceeasi

sfera, rezult a ca fusul sferic este determinat doar de unghiul sau.

Observat ia 2.0.1 Aria fusului sferic de unghi A este

S A = 2R2 A. (2.1)

Intuitiv srmatia de mai sus poate vericat a folosind regula de trei simpla. Daca unghiul

2 -intreaga sfera are aria 4 R 2 atunci fusul sferic determinat de un unghi A are aria S

11


13/104

A

R

Figura 2.1: Fusul sferic

de unde S A = 2R 2 A.

Se consirera trei puncte pe o sfer a de raza arbitrara si trei arce de cercuri mari necon-

curente. Acestea se intersecteaza dupa trei puncte A, B, C . Se numeste triunghi sferic

gura format a de arcele care unesc cele trei puncte. Elementele triunghiului sferic sunt

ilustrate n gura 2.2. Unghiurile A, B , C si laturile sale a, b, c. Corpul OABC se numeste

triedrul asociat triunghiului sferic indextriedrul asociat triunghiului sferic.

O

A

B Ca

bc

Figura 2.2: Triunghiul sferic ABC

1. Daca unghiul unui triunghi sferic este 2

atunci triunghiul se numeste dreptunghic .

2. Triedul asociat triunghiului sferic este corpul OABC .

12


14/104

3. Daca o latur a are masura 2

atunci triunghiul se numeste rectilater .

Triunghiurile sferice dreptunghice pot avea unul, dou a sau trei unghiuri drepte, iar tri-unghiurile sferice oarecare pot avea unul doua sau trei unghiuri obtuze. Daca intr-un

triunghi sferic, cel put in o latur a este egala cu un sfert din cerc, atunci triunghiul se

numeste cuadrantic. Dac a din varfurile triunghiului sferic ABC ducem raze la centru si le

prelungim p ana la intersect ia cu suprafat a sferei atunci, unind doua cate dou a punctele

obtinute prin arce de cerc mare, obtinem un triunghi sferic opus celui dintai, care se

numeste triunghi simetric triunghiului dat .

2.1 Triunghiul polar

Denitia 2.1.1 Triunghiul A B C se numeste triunghi polar al unui triunghi sferic

dat ABC un triunghi pentru care ecare latur a are ca pol unul din v arfurile triunghiului

ABC.

Lagaturile ntre elementele triungiului sferic si triunghiul init ial sunt date n propozit ia

de mai jos.

Propozit ia 2.1.1 Fie triunghiul sferic ABC si triunghiul s au polar A B C , atunci au

loc relat iile:

a = A, b = B, c = C

respectiv

a = A , b = B , c = C

Demostrat ie: Latura a se va scrie n funct ie de elementele triunghiului ABC . Deoarece

triunghiul A B C este triunghi polar pentru ABC rezult a din gura 2.3 MC = 2

si

B N = 2

deci

a = B C = B M + MC = B N MN + MC =

a =

2 MN + 2 = MN = A. (2.2)

13


15/104

A

B

C

A

B C

MN

Figura 2.3: Triunghiul polar

La fel se obtin relat iile:

b = B, c = C (2.3)

precum si

a = A , b = B , c = C (2.4)

Propozit ia 2.1.2 Intr-un triunghi sferic ABC au loc urm atoarele relat ii:

0 < a + b + c < 2, < A + B + C < 3 (2.5)

unde a, b, c sunt laturile triunghiului sferic si A, B, C sunt unghiurile triunghiului sferic.

Demonstrat ie: Folosind propriet at ile triunghiului sferic rezulta ca

a < b + c, (2.6)

Din (2.6) scrisa pentru triunghiul polar, (2.2) si (2.3) rezulta

B + C < A + (2.7)

Din 0 < a + b + c < 2 si (2.7) rezult a

< A + B + C < 3

Fie triunghiul sferic ABC si trunghiul polar asociat A B C atunci triunghiul polar asociat

triunghiului sferic A B C este triunghiul sferic ABC .

14


16/104

Denitia 2.1.2 Se numeste exces sferic diferent a

= A + B + C (2.8)

Deci suma unghiurilor unui triunghi sferic este mai mare de 180 .

Aplicat ie Sa se determine aria triunghiului sferic ABC situat pe sfera de centru O si

raza R.

Rezolvare: Se considera fusele sferice determinate de dou a cate dou a cercuri mari ale

laturilor triunghiului sferic ABC precum si varfurile triunghiului polar A B C din gura

2.4. Se observa ca fusele sferice cu diametrele AA , BB si CC si unghiurile a, B, C

acopera o jumatate de sfer a de raza R si de doua ori aria triunghiului ABC . Deci din

(2.1) rezult a

A

B

C

C

B

A

Figura 2.4: Arie triunghi sferic

2R 2 + 2 S ABC = 2R2 A + 2 R 2 B + 2R 2 C

S ABC = R2 (A + B + C ). Din (2.8)

S ABC = R2

sau S ABC = R 2

180

15


17/104

2.2 Formulele lui Gauss

In aceast a sectiune se vor determina formulele fundamentale pentru un triunghi sferic

analoage celor din trigonometria clasica. Pentru aceasta se considra o sfera de raza r si

doua sisteme de coordonate carteziene Oxyz respectiv Oxy z cu centrul n centrul sferei.

Deci sistemul Oxy z se obtine prin rotirea n jurul axei Ox a sistemului init ial cu unghiul

, deci axa Oz trece prin v arful B al triunghiului ABC din gura 2.5

A

B

C

x

O y

z

C

f

t

b

a

cz

y

Figura 2.5: Transformari de coordonate

Daca se proiecteaza punctul C n planul xOy rezult a

z = r cos

y = r sin cos

x = r sin sin

(2.9)

Daca se proiecteaza punctul C n planul xOy rezult a

z = r cos

y = r sin cos

x = r sin sin (2.10)

Proiect and triunghiul ABC pe planul ecuatorial fat a de A si tin and cont de = b rezult a

= A 2 . Din aceleasi considerente proiectand triunghiul ABC pe planul ecuatorial

16


18/104

fat a de Bx = r sin bsin A

y = r sin bcos Az = r cos b

,

x = r sin a sin B

y

= r sin a cos Bz = r cos a

(2.11)

Folosind [1] si tin and cont c a cele doua sisteme de coordonate sunt rotite cu unghiul c

rezult a

xyz

=

1 0 0

0 cosc sin c

0 sin c cosc

x

y

z (2.12)

De asemenea (2.13) se poate scrie si

x

y

z =

1 0 0

0 cosc sin c

0 sinc cosc

x

y

z

(2.13)

Inlocuind (2.11) n (2.13) se vor obt ine relat iile de mai jos cunoscute sub numele de

formulele lui Gauss :

sin a sin B = sin bsin Acos a = cos bcos c + sin bsin c cos A

sin a cos B = cos bsin c sin bcos c cos A

(2.14)

Fiecare relat ie din formulele lui Gauss se poate scrie si pentru celelalte elemente ale

triunghiului sferic iar n literatura de specialitate acestea se grupeaz a astfel:

Teorema 2.2.1 Teorema sinusurilor Fie ABC un triunghi sferic atunci:

sin asin A =

sin bsin B =

sin csin C (2.15)

Teorema 2.2.2 Teorema cosinusurilor Fie ABC un triunghi sferic atunci:

cos a = cos bcos c + sin bsin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin bcos C

(2.16)

In trigonometria sferic a din combinarea relat iilor (2.16) se obtin relat iile color cinci ele-

mente:

17


19/104

Observat ia 2.2.1 Formula celor cinci elemenete Fie ABC un triunghi sferic atunci:

sin a cos B = cos bsin c sin bcos c cos A

sin a cos C = cos c sin b sin c cos bcos A

sin bcos C = cos c sin a sin c cos a cos B

sin bcos A = cos a sin c sin a cos c cos B

sin c cos A = cos a sin b sin a cos bcos C

sin c cos B = cos bsin a sin bcos a cos C

(2.17)

Teorema cosinusului si formulele celor cinci elemente se scriu si pentru unghiurile unui

triunghi sferic. Pentru aceasta (2.16) si (2.17) se vor scrie pentru elementele triungiului

sferic polar si se va tine cont de (2.3) si (2.4) de unde rezulta:

cos A = cos B cos C + sin B sin C cosa

cos B = cos A cos C + sin A sin C cosb

cos C = cos A cos B + sin A sin B cos c

(2.18)

precum si

sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cosa

sin A cos c = cos C sin B + sin C cosB cos a

sin B cos c = cos C sin A + sin C cosA cos b

sin B cos a = cos A sin C + sin A cos C cosb

sin C cosa = cos A sin B + sin A cos B cos c

sin C cosb = cos B sin A + sin B cos A cos c

(2.19)

Consecint a 2.2.1 Dac a triunghiul sferic ABC are unghiul A = 2

, atunci

cos a = cos bcos c = ctg B ctg C

sin b = sin a sin B = tg c ctg C

sin c = sin a sin C = tg b ctg B

cos B = cos bsin C = tg c ctg a

cos C = cos c sin B = tg b ctg a

(2.20)

18


20/104

Consecint a 2.2.2 Daca triunghiul sferic ABC este rectilater cu latura a = 2

, atunci

cos A = cos B cos C = ctg b ctg csin B = sin A sin b = tg C ctg c

sin C = sin A sin c = tg B ctg b

cos b = cos B sin c = tg C ctg A

cos c = cos C sin b = tg B ctg A

(2.21)

2.2.1 Determinarea unghiurilor n funct ie de laturi ntr-un tri-

unghi sferic

Aplicand Teorema 2.2.2 rezulta

cos A = cosa cos bcos c

sin bsin c . (2.22)

Deci

1 cos A = sin bsin c cos a + cos bcos c

sin bsin c =

2sin2 A2

= 2sin

a + b c2

sin b c a

2sin bsin c

,

daca p = a + b+ c

2 rezult a

sin A2

= sin( p b)sin( p c)sin bsin c (2.23)Analog rezult a

cos A2

= sin psin( p a)sin bsin c (2.24)Din (2.23) si (2.24) rezult a

tg A2

= sin( p b)sin( p c)sin psin( p a) (2.25)Proced and ca mai sus pentru celelalte unghiuri din triunghiul sferic rezult a:

19


21/104

sin B2 = sin( p a) sin( p c)sin a sin c sin C 2 = sin( p a)sin( p b)sin a sin bcos

B2

= sin psin( p b)sin a sin c cos C 2 = sin psin( p c)sin a sin btg

B2

= sin( p a)sin( p c)sin psin( p b) tg C 2 = sin( p a) sin( p b)sin psin( p c)

(2.26)

Formulele (2.23), (2.24), (2.25) si (2.32) se mai reg asescn literatura de specialitate sub nu-

mele de formulele lui Delambre . De asemenea sunt folosite n practica si urm atoarele

formule care completeaz a formulele lui Delambre [9].

cos A B

2sin

C 2

=sin

a + b

2sin

c2

,

cos A + B

2

sin C 2

=cos

a + b2

cos c2

,

cos A B

2cos

C 2

=sin

a b

2sin

c2

,

cos A + B

2

sin C 2

=sin

a b2

sin c2

.

(2.27)

Folosind formulele lui Delambre se obtin formulele lui Neper sau Napier [9]

20


22/104

tg A B

2

ctg C 2

=sin

a b2

sin a + b2

,

tg A + B

2

ctg C 2

=cos

a b2

cos a + b

2

,

tg a b

2

tg c2

=sin

A B2

sin A + B2

,

tg a + b

2tg

c2

=cos

A B2

cos A + B

2

.

(2.28)

2.2.2 Determinarea laturilor n funct ie de unghiuri ntr-un tri-

unghi sferic

Pentru exprimarea laturilor triunghiului sferic n funct ie de unghiuri se va aplica (2.23)

n triunghiul polar si se va tine cont de (2.3) si (2.4). De asemenea dac a

= A + B + C = 2E (2.29)

va rezulta

sin a

2 = sin(B E )sin(C E )sin B sin C , adica

cos a2

= sin(B E )sin(C E )sin B sin C (2.30)si de asemenea

sin a2

= sin E sin(A E )sin B sin C tg a2 = sin E sin(A E )sin(B E )sin(C E ) (2.31)Proced and ca mai sus pentru celelalte unghiuri din triunghiul sferic polar rezult a:

21


23/104

cos b

2 =

sin(A E )sin(C E )

sin A sin C cos

c

2 =

sin(A E ) sin(B E )

sin A sin B

sin b2

= sin E sin(B E )sin A sin C sin c2 = sin E sin(C E )sin A sin Btg

b2

= sin E sin(B E )sin(A E ) sin(C E ) tg c2 = sin E sin(C E )sin(A E )sin(B E )

(2.32)

Excesul sferic se exprima n funct ie de laturile triunghiului sferic, iar relat ia dintre acestea

este cunoscut a ca formula lui LHuiller [9].

tg 2 2

= tg p2

tg p a

2 tg

p b2

tg p c

2 (2.33)

22


24/104

Capitolul 3

Astronomie sferica

3.1 Sfera cereasca

Daca se observa cerul nstelat din orice punct al P amantului ntotdeauna se pare ca

tot i astrii se a a la aceeasi distanta fat a de observator, pe suprafata interioara a unei

sfere numite bolta cereasca . Ziua cerul senin are culoarea albastr a datorita difuziei

luminii Soarelui. Uneori n timpul zilei se observa si Luna iar seara si dimineat a planetelemai str alucitoare mai ales Venus (Luceafarul). Noaptea pe bolta cereasca se observa

stelele, planetele, Luna, cometele si alti astrii. Dintr-un punct oarecare de pe Pam ant

cu ochiul liber se pot observa aproximativ ntre 3000 si 6000 de astrii. Pozit iile relative

ale stelelor pe bolta cereasc a nu se schimba sensibil (pentru ochiul liber) n sute sau

chiar mii de ani datorita acestui fapt se folosesc stelelor pentru orientare. Constelat iile

reprezint a grupuri de stele vizibile pe cerul nocturn. Sunt identicate 88 constelat ii.

Numele constelat iei se refera at at la grupul de stele, c at si la ntreaga regiune de pecer pe care o ocupa aceste stele. Constelat iile au nume de animale (Ursa Mare, Taurul,

Leul,...) de eroi mitologici (Andromeda, Hercule, Perseu,...), de guri geometrice ( Seat a,

Triunghi, Balanta, ...). Stelele individuale din constelatii s-au identicat folosind litere

grecesti si numele constelatiei, astfel steaua Vega din coonstelat ia Lyra se mai numeste

si Lyra. Constelat iile sunt guri aparente si n general ntre stelele unei constelat ii nu

exist a legaturi zice.

Calea Lactee e situata n zona centrala a boltii ceresti si apare ca un brau des cu stele.

23


25/104

Bolta stelar a difera dup a anotimp, cu except ia unor stele numite stele xe , care servesc

n geodezie sau la orientare n navigat ia maritima. Constelat iile din emisfera nordic a

cunoscute azi au fost nregistrate de catre J. Helvelius n 1687. Distanta de la P amant lacea mai apropiat a stea este de aproximativ 10 9 raza medie terestra, deci raza Pamantului

poate neglijat a n comparatie cu aceasta. Cea mai apropiata stea este Centauri la

aproximativ 4 a.l. de P amant Urm atoarea stea este la 30 a.l de Pamant si se aa n

constelat ia Vega. Din aceste consideratii n astronomia sferica Pamantul va constitui

centrul sferei ceresti a c arei raza este arbitrar a; astfel determinarea pozitiei aparente a

astrilor pe sfera cereasc a va presupune determinarea direct iilor fat a de un anumit punct.

N S

Z

Z

Q

Q

P

P

V

E

Ci

Cs

A

R

M

Figura 3.1: Elementele sferei cereasti percepute de un observator la o latitudine medie

din emisfera nordic a

Daca s-ar observa cerul nstelat pentru c ateva ore s-as avea impresia ca sfera ceresc a

se roteste de la r asarit la apus cu o perioad a de 24 de ore. Acest fenomen se numeste

24


26/104

miscarea de rotat ie diurn a aparenta a sferei ceresti . Miscarea real a a P amantului

ind de la Apus la Rasarit. Fenomenul se poate observa cu o camera foto ndreptat a spre

Steaua polar a; ecare stea va descrie in cateva ore un arc de cerc, toate arcele au centrulntr-un punct numit polul nord ceresc notat cu P . Toate elementele ce sunt descrise

mai jos sunt reprezentate n Figura 3.1. Punctul de pe sfera cereasc a diametral opus este

Polul sud ceresc notat cu P . Diametrul care uneste cei doi poli se numeste axa lumii .

Daca se observa miscarea diurn a a stelelor, n emisfera nordica, se constat a ca rotat ia

diurn a aparenta se efectueaza n sens retrograd (invers trigonometric) de la R asarit la

Apus.

Prin prelungirea planului ecuatorial terestru pe bolta cereasc a se obtine planul ecuatorial

ceresc iar curba imaginar a dintre acest plan si bolta cereasca reprezint a ecuatorul ceresc

notat cu Q si Q .

Direct ia gravitatiei ntr-un punct oarecare pe P amant determina verticala locului .

Punctul n care verticala locului nt eap a bolta ceresc a se numeste Zenit , notat cu Z .

Punctul diametral opus pe bolta cereasca fat a de zenit se numeste Nadir , si se notaeza

cu Z

. Planul perpendicular pe verticala locului de pe suprafat a globului Pam antesc senumeste orizontul punctului de observat ie . Planul perpendicular pe verticala locu-

lui care intersecteaz a sfera cereasca se numeste planul orizontului astronomic si se

noteaz a cu N, S . Acest plan este diferit de planul orizontului aparent, adic a frontiera

aparenta dintre cer si P amant.

Un plan care contine verticala locului se numeste plan vertical . Daca M reprezint a

pozitia unui astru la un moment dat, semicercul mare ZMZ se numeste semicerc vertical

sau vertical al astrului. Planul determinat de axa lumii si vericala locului se numesteplanul meridianului ceresc al locului . Curba dup a care acest plan meridian al locu-

lui intersecteaz a sfera cereasca se numeste meridianul ceresc al locului sau meridianul

locului . Acest meridian se proiecteaz a pe suprafata Pamantului dupa meridianul terestru

corespunzator locului de observatie. Intersect ia dintre planul meridianului si planul ori-

zontului este dreapta N S numita meridiana locului care deneste Nordul ( N ) si Sudul

(S ) n punctul considerat. Dintre cele dou a puncte, punctul cel mai apropiat de Polul

Nord ceresc este N iar celalat punct este S . Planul ecuatorului ceresc intersecteaz a planul

25


27/104

orizontului ceresc dup a o dreapt a perpendicular a pe meridiana locului care intersecteaza

sfera cereasca n punctele cardinale Est si Vest si reprezint a intersect iile ecuatorului cu

orizontul. Verticalul care trece prin punctul cardinal E se numeste primul vertical iarcel ce trece prin punctul cardinal Vest se numeste al treilea sau ultimul vertical .

In miscarea diurn a aparenta a sferei ceresti ecare astru descrie un cerc paralel cu ecu-

atorul ceresc numit paralelul ceresc sau paralelul diurn al astrului . Exista doua

tipuri de astrii:

- astrii al c aror paralel intersecteaza orizontul n doua puncte punctul de rasarit ( R)

si punctul de apus ( A) numit i astrii cu rasarit si apus ;

- astrii al c aror paralel cersc nu intersecteaza orizontul numit i si astrii circumpolari .

Aplicat ii directe n geodezie are c Steua Polara sau -Carul mic.

Paralelul diurn al unui astru intersecteaz a meridianul locului n dou a puncte: C s

culminat ia superioara arcul RCsA din Figura 3.1 se numeste arcul diurn al as-

trului iar C i reprezint a culminat ia inferioar a, arcul RCiA din Figura 3.1 se numeste

arcul nocturn al astrului .Ecuatorul ceresc interseceaza meridianul ceresc al loculuin doua puncte: punctul superior

al ecuatorului Q cel mai apropiat de Zenit, arcul PZQMP din gura 3.1 se numeste

meridian superior , respectiv punctul inferior al ecuatorului Q , arcul P NQ P din gura

3.1 se numeste meridian inferior .

Modul de aparitie al misc arii diurne a unui astru depinde de emisfera din care se fac

observat iile. Figura 3.2 arata miscarea astrului pentru un observator de la Polul Nord.

Pentru un observator de la Polul Sud se modica sensul miscarii astrului.Modul n care este perceput un astru cu r asarit si apus respectiv circumpolar depinde de

locul n care se face observatia de pe suprfat a terestra. Asa cum rezulta din gura 3.2

daca observatorul este situat la poli atunci tot i astri sunt circumpolari.

Cazul misc arii astrului pentru observatorul situat la ecuator este redat n gura 3.3.

Rezult a ca daca observatorul este situat la ecuator tot i astrii sunt cu rasarit si apus.

Pentru astrii paralele diurne precum si punctele de ras arit si apus nu se schimb a de la

o zi la alta; acestea se modica foarte put in n perioade foarte lungi de timp iar pentru

26


28/104

P, Z

P, Z

N, QS,Q

M2

M1

Figura 3.2: Miscarea diurna a unui astru pentru un observator situat la Polul Nord

M1

M2

N, P S, P

Z, Q

Z, Q

Figura 3.3: Miscarea diurn a a unui astru pentru un observator aat la ecuator

27


29/104

a se evidentia aceste modicari trebuie realizate m asur atori de mare precizie. Soarele si

Luna prezint a variat ii vizibile ale misc arii diurne, punctele lor de r asarit si apus precum

si paralele diurne variaza continuu, astfel Soarele se deplaseaz a printre stele cu aprox. 1

pe zi, iar Luna se deplaseaza printre stele cu aproximativ 13 pe zi, datorit a miscii pe

care o efectueaza P amantul.

3.2 Sisteme generale de coordonate

Una din problemele de baz a ale geodeziei o constituie determinarea pozit iei unui punct

pe suprafat a terestr a . Se vor introduce n continuare sistemul de coordonate geograce si

sitemele de coordonate ceresti precum si trecerea dintr-un sistem de coordonate n altul.

Acest lucru este util din considerente practice n funct ie de ce se poate masura si ce se

poate determina din acele masur atori asa cum sunt prezentate n Capitolul 6.

3.2.1 Coordonate geograce ( , L )

In continuare se presupune c a P amantul are form a sferica cu raza de 6371km Pamantulexecut a o miscare complet a de rotat ie cu o perioada de 24 ore - rotatie n jurul axei

sale care intersecteaz a suprafat a terestra n dou a puncte: polul nord geograc p si polul

sud geograc p . Polul nord geograc este cel din care se observa rotat ia Pamantului

efectuandu-se in sens trigonometric direct. Planul perpendicular pe axa de rotat ie este

planul ecuatorului iar cercul dupa care se intersecteaz a acest plan cu suprafata terestra

este ecuatorul terestru. q, q . Cercurile mici de pe suprafat a terestra paralele cu ecuatorul

terestru se numesc paralele geograce. Se noteaz a cu O locul de observatie de pe suprafat aterstra arcul pOOe p se numeste meridianul geograc al punctului O. Meridianul pGGe p

al observatorului astronomic Greenwich se numeste meridian zero sau meridian origine.

Prin antimeridian se intelege meridianul din acelasi plan cu meridianul Greenwich dar din

partea opus a a Pamantului. Meridianul zero si antimeridianul s au impart Pamantul n

doua emisfere estica si vestic a.

Pentru a determina n mod unic un punct pe o sfer a avem nevoie de ungiurile la cen-

tru,astfel pe suprafata terestra un punct este determinat n mod unic prin:

28


30/104

p

p

q qT

LGe Oe

Z

O

phi

Figura 3.4: Coordonate geograce

(i) latitudine geograca din Figura 3.4 ce reprezint a unghiul format de verticala

locului cu planul ecuatorului terestru. Pentru P amant considerat sferic verticala

locului OZ trece prin centrul Pamantului T . Sensul pozitiv este de la ecuator c atre

Polul Nord si negativ de la ecuator la Polul Sud geograc.

Deci

= OeT O [ 900 , 900 ].

(ii) longitudinea geograc a L din Figura 3.4 reprezint a unghiul diedru format de

planul meridianului geograc al locului de observat ie cu planul meridianului Green-

wich. Sensul este cel al rotat iei P amantului-de la meridianul origine spre Est.

Deci

L = GeT Oe [00

, 3600

]Coordonate ceresti

Pozitia unui punct n spat iu se determin a folosind coordonate carteziene ( x,y,z ) sau co-

ordonate sferice ( r,, ). Semnicatia unghiurilor coordonatelor sferice este exemplicata

n Figura 2.5 iar trecerea de la un sistem la altul este dat a de(2.9).

Deoarece raza sferei ceresti este arbitr a (o determiare exacta se va face atunci cand se vor

studia fenomenele care modica pozitia astrilor pe sfera cereasca Capitolul ca:fen-mod)

pozitia astrului va dereminat a de cele doua unghiuri la centru. In astronomie exit a

29


31/104

mai multe tipuri de coordonate sferice, acestea diferent iindu-se prin alegerea planului

fundamental xOy, a axei fundamentale Oz si a sensului pozitiv n care se face masurarea.

3.2.2 Sistemul de coordonate orizontale - (A, z ), sau (A, h)

Pentru a deni aceste coordonate se considera

planul fundamental planul orizontului matematic SN cercul mare corespunzator

va orizontul matematic;

axa fundamentala verticala locului ZZ

;

sensul pozitiv se deneste pentru ecare unghi n parte.

Planul meridianului locului coincide cu planul Figurii 3.5. Intersect ia dintre planul merid-

ian si planul orizontului este meridiana locului, deci pentru cazul considerat meridiana

locului este dreapta SN. Fie un astru M al carui verical ZMZ intersecteaza orizontul

matematic n M o. Se presupune astrul punctiform ce emite radiatii in spectrul vizibil

si raza de lumin a se considera raza vectoare deci raza vectoare reprezint a raza vizuala.Direct iile care determina coordonatele orizontale sunt:

(i) nalt imea astrului notat a cu h = M oOM reprezint a unghiul dintre raza vectoare

a astrului si planul orizontului matematic, h [ 900 , 900 ] unde h > 0 reprezint a

n altimea deasupra orizontului si h < 0 reprezint a depresiunea sub orizont. Practic

este greu de masurat naltimea si se consider a complementara acesteia z numit a

distant a zenitala folosita ndeosebi pentru masur atori terestre z [00

, 1800

].

z + h = 900

(ii) azimutul reprezint a unghiul diedru format de planul meridianului locului cu planul

vertical al astrului se noteaza cu A = SOM o [00 , 3600 ].

Cercul paralel cu orizontul matematic care trece prin astru se numeste si cerc de n altime

al astrului sau almucantarat. In astronomie azimutul se masoar a de la S catre N (adica

30


32/104

c

Z

Z

N S

Mo

O

A

h

z

P

P

M

Me

Q

Q

H

V

d

Ci

Cs

Figura 3.5: Coordonate orizontale

retrograd-invers trigonometric) iar n geodezie se m asoar a de la N si este numit azimutul

geodezic . .

Coordonatele orizontale sunt usor de determinat folosind teodolitul si depind de locul de

observat ie de aceea se mai numesc si coordonate locale . Aceste coordonate mai depind

si de timp deci nu sunt coordonate caracteristice pentru un astru dat.

3.2.3 Sistemul de coordonate orare (, H )

Pentru a deni aceste coordonate se considera

planul fundamental planul ecuatorului ceresc;

axa fundamentala axa lumii

P P . Orice plan care contine axa lumii se numeste

plan orar. Cercul mare determinat de P, P si astrul M se numeste cercul orar al

astrului sau cerc de declinat ie ;


Direct iile care determina coordonatele orare sunt:

(i) Declinatia din Figura 3.6 reprezint a unghiul format de raza vectoare cu planul

ecuatorului, se m asoar a pe cercul orar de la ecuator spre poli.

31


33/104

c

Z

Z

N S

Mo

O

A

h

z

P

P

M

Me

Q

Q

H

V

d

Ci

Cs

Figura 3.6: Coordonate orare

= M OM e [ 900 , 900 ]

(ii) Unghiul orar H din Figura 3.6 reprezint a unghiul format de planul orar al astrului

cu planul meridianului locului si se m asoar a pe ecuator de la meridian spre punctul

cardinal vest in sens retrograd. H [00

, 3600

] sau H [0h

, 24h

]

Deoarece n miscarea diurna aparent a astrul descrie un cerc paralel cu ecuatorul declinat ia

este constanta, unghiul orar variind cu timpul depinzand de locul de observatie prin pozit ia

meridianului, deci aceste coordonate sunt coordonate semilocale . Unghiul orar variaz a

proport ional cu timpul reectand uniformitatea rotat iei terestre. Exista cazuri n care n

loc de declinatie se foloseste distant a polar a p unghiul dintre raza vectoare a astrului si

axa lumii, deci p + = 900 , 00 p 1800

3.2.4 Sistemul de coordonate ecuatoriale (, )

Aceste coordonate au fost introduse din nevoia de a ramane xe unghiurile (direct iile)

introduse n raport cu timpul si cu locul efectu arii masuratorii. Astfel se va introduce un

punct x pe ecuator n raport cu care s a se poat a efectua masuratoarea. Acest punct x se

va numi punct vernal care particip a la miscarea diurna mpreuna cu astrul. Punctul

vernal este punctul n care traiectoria aparenta a Soarelui intersecteaz a ecuatorul ceresc,

32


34/104

cand trece din emisfera sudic a (australa) n cea nordic a (boreal a); reprezent and punctul

echinoctiului de primavar a.

planul fundamental reprezint a planul ecuatorului ceresc cu QQ - cerc fundamental;

axa fundamentala reprezint a axa lumii P P ;


Diferenta ntre coordonatele orare si ecuatoriale const a n faptul c a pentru unghiul

masurat n planul ecuatorului se alege o alt a origine si se schimba sensul de masurare.

Astfel coordonatele ecuatoriale sunt:(i) Declinat ia a fost denita pentru sistemul de coordonate orare;

(ii) Ascensia dreapta notat a cu reprezint a unghiul format de planul orar al astrului

cu planul orar al punctului vernal. Se masoar a pe ecuator, de la punctul vernal

n sens direct sau sensul invers miscarii diurne aparente adica sensul trigonometric

Figura 3.7.

= OM e , 00 3600

Deoarece punctul vernal participa si el la miscarea diurna aparent a odat a cu astrul,

nseamna ca ascensia dreapta este constanta, ind o coordonat a caracteristica a astrului,

ca si declinat ia .

Timpul sideral notat cu reprezint a unghiul orar al punctului vernal , deci

= + H. (3.1)

Daca astrul trece pe la meridian unghiul orar este H = 0 si deci timpul sideral coincide

cu ascensia dreapt a = .

Relatia (3.1) este utila cand se cere determinarea timpului sideral pentru un astru care

trece pe la meridian cunosc andu-se ascensia dreapta. Sau se pot determina ascensiile

drepte c and se cunoaste timpul sideral.

Sistemul ( , ) constituie un sistem absolut de coordonate folosit pentru intocmirea

cataloagelor si h art ilor ceresti.

33


35/104

Ve

V

N

Q

Q

S

Z

ZP

P

alpha M

Me

Mo

delta

AH

Ci

Cs

Figura 3.7: Coordonate ecuatoriale

3.3 Relat iile dintre coordonatele ceresti si coordo-

nate geograce

Intre coordonatele ceresti si cele geograce exista relat ii utile care permit trecerea de la un

tip la altul. Astfel se pot determina pozit ii terestre pornind de la obsrvatii asupra astrilor,

e reciproc n cazul n care observatiile se fac din puncte terestre cu coordonate cunos-cute. Pentru a reliefa relatiile ntre coordonarte trebuie avut n vedere faptul c a centrul

sferei ceresti poate ales ntr-un punct arbitrar. In functie de problema studiata acest

centru se poate alege tocmai n punctul de observat ie si atunci sfera cereasca este sfera

cereasca topocentric a , sau n centrul Pamantului si atunci sfera cereasc a va sfera

cereasca geocentrica sau n centrul Soarelui rezult and sfera cereasca heliocentrica .

Transformarile se fac tinand cont de teoremele de mai jos.

Teorema 3.3.1 Latitudinea geograc a a locului de observat ie este egal a cu nalt imea

polului ceresc P deasupra orizontului h(P ). De asemenea declinat ia zenitului locului de

observat ie (Z ) este egal a cu latitudinea geograc a a locului de observat ie. Adic a

= h(P ) = (P ) (3.2)

Demonstrarea teoremei se g aseste n [12].

Daca se noteaza cu z m distant a zenital a meridian a a unui astru de declinat ie observat

la culminat ie ntr-un loc de latitudine geograc a , atunci are loc urm atoarea teorema.

34


36/104

Teorema 3.3.2 Pentru un astru aat la culminat ia superioar a are loc relat ia

= z m (3.3)

Se consider a + pentru culminat ia la sud de Zenit si pentru culminat ia la nord de Zenit.

Pentru un astru aat la culminat ia inferioar a are loc relatia

= 1800 ( + z m ) (3.4)


Teorema 3.3.3 Diferent a unghiurilor orare ale unui astru M oarecare, pentru unul si acelasi moment, fat a de doua puncte diferite de pe suprafat a P am antului este egal a cu

diferent a longitudinilor geograce ale celor dou a puncte. Dac a A si B sunt cele dou a

puncte din care se observ a astrul n acelasi moment de timp atunci:

H A H B = LA LB (3.5)


3.4 Miscarea anuala aparenta a Soarelui si

consecint ele ei

Fenomenele care atesta existenta misc arii anuale a Soarelui sunt:

Daca se urmarete pozit ia aparenta a Soarelui timp de un an de zile si se masoar a

n alt imea sa deasupra orizontului se constat a ca aceasta se modic a semnicativ n

acest interval de timp;

Modicarea zilnica a punctelor de r asarit si apus ale Soarelui;

Schimbarea continu a a aspectului cerului nocturn.

Pentru a stabili existenta misc arii anulale aparente a Soarelui se va realiza masurarea

zilnica a coordonatelor ecuatoriale a Soarelui la trecerea lui la meridian. Astfel, dac a se

35


37/104

masoar a distant a zenital a meridiana z m a Soarelui se obtine declinat ia S = z m si se

constat a ca aceasta variaza ntr-un an de zile ntre 230 27 si +23 0 27

Ecliptica reprezint a locul geometric al pozitiilor aparente ale Soarelui timp de un ande zile pe sfera cereasca. Acest loc geometric constituie un cerc mare al sferei ceresti

( ), al carui plan formeaza cu ecuatorul ( EE ) un unghi = 230 27 . Soarele descrie

ecliptica misc andu-se n sens direct. Planul eclipticii este inclinat fat a de ecuatorul ceresc

cu = 230 27 asa cum se vede din Figura 3.8

O

P

P

Pi

Pi

QQ

Epsilon 22VI

Epslon 22XII Vernal 21 III

Autumnal 23 IX

lambda

Mbeta

Mepsilon

Figura 3.8: Coordonatele ecliptice

Diametrul sferei ceresti este perpendicular pe planul ecliptcii si se noteaz a cu si se

numeste axa polilor ecliptici . Punctele principale de pe ecliptica sunt:

(i) planul eclipticii intersecteaza planul ecuatorului ceresc dupa o dreapta numita linia

nodurilor notata . Punctele si reprezint a punctele echinoct iale si anume:

punctul vernal n care Soarele se aa la 21 martie, trec and din emisfera sudic a

(australa) n cea nordica (boreal a), si respectiv punctul autumnal , n care Soarele

se aa la 23 septembrie, cand trece din emisfera nordic a n cea sudic a. Denumirea

36


38/104

de echinoctiu (echinox) provine din faptul ca, atunci cand Soarele se aa n unul din

aceste puncte sau , o jumatate a drumului sau diurn este deasupra orizontului,

iar cealalt a jumatate sub orizont si deci ziua este egala cu noaptea. Axa se mainumeste si linia echinoctiilor.

(ii) Punctele n care ecliptica intersecteaza meridianul locului, sau declinat ia Soarelui

S are valoare maxim a, reprezint a solstit iul de var a s = +23 0 27 punctul din

Figura 3.7 si respectiv punctul n care declinat ia Soarelui este minim a s = 230 27

reprezint a solstit iul de iarn a adica punctul din Figura 3.7

Denumirea de solstit iu provine de la faptul c a, n apropierea solstit iilor, Soarele misc andu-

se pe ecliptica aproape paralel cu ecuatorul ceresc, pare ca st a pe loc cateva zile, av and

la meridian aceesi naltime. Aceste patru puncte principale mpart ecliptica n patru arce

aproximativ egale, timpul necesar Soarelui pentru a parcurge ecare arc reprezent and un

anotimp; astfel primavara are 93 de zile, vara 93 zile, toamna 90 de zile si iarna 89 de zile.

Fenomenele misc arii aparente a Soarelui se explic a n ntregime prin cele doua misc ari

reale ale P amantului. Intervalul de timp mecesar trecerii Soarelui de dou a ori consecutiv

pe la punctul vernal se numeste an tropic si st a la baza calendarului.

Zona de pe sfera cereasca, cu o lat ime de 180 din jurul eclipticii se numeste zodiac .

In aceasta zona se gasesc 12 constelatii zodiacale pe care Soarele le parcurge n miscarea

sa anul a aparenta. In medie o constelatie este parcurs a ntr-o luna. Ordinea lor este data

dup a cum Soarele trece prin ele, astfel:

Primavara : Pesti, Berbec, Taur;

Vara: Gemeni, Rac, Leu;

Toamna: Fecioara, Balant a, Scorpion;

Iarna: Saget ator, Capricorn si Varsatorul.

Daca revenim la aparent a misc arii, se spune ca n realitate planul eclipticii este de fapt

planul orbitei Pamantului n miscarea sa n jurul Soarelui. Axa de rotat ie a P amantului

este nclinata fat a de planul orbitei cu un unghi de 6633 . Deci, asa cum ecuatorul ceresc

37


39/104

zona

calda

zona temperata de nord

zona temperata de sud

Figura 3.9: Zonele climatice

este de fapt intersect ia planului ecuatorului terestru cu sfera cereasc a, asa si ecliptica este

intersect ia orbitei Pamantului cu sfera cereasc a, deci unghiul de = 230 27 este nclinarea

orbitei P amantului fat a de ecuatorul ceresc.

Observat ia 3.4.1 Consecint ele misc arii aparente a Soarelui sunt:

(i) Succesiunea anaotimpurilor;

(ii) Existent a zonelor climatice asa cum apare n Figura 3.9

(iii) Inegalitatea zilelor si a noptilor.

Existent a zonelor climatice Declinatia Soarelui variaz a ntre S . Paralelulterestru pentru care = se numeste tropicul Racului . Paralelul de latitudine =

se numeste tropicul Capricornului . Paralelul de latitudine = 900 se numeste

cercul polar de nord . Paralelul de latitudine = (900 ) se numeste cercul polar

de sud.

Inegalitatea zilelor si a nopt ilor Compunand miscarea anuala aparenta a Soarelui cu

miscarea diurna aparenta va rezulta o miscare aparent a pentru Soare pe sfera cereasca n

spiral a. In ecare zi Soarele va descrie o spira cuprins a ntre paralele limit a cu declinatii n

38


40/104

intervalul [ , ]. Proiectia unei spire pe planul meridianului va un segment aproximativ

paralel cu ecuatorul ceresc. Intersectia acestuia cu orizontul matematic NS arat a ca la o

latitudine oarecare ziua si noaptea vor avea durate diferite care variaz a at at cu S catsi cu . Variat ia n raport cu S dau ziua cea mai lunga respectiv ziua cea mai scurta la

solstit ii. Variat ia n raport cu dau ca si cazuri limita ziua egala cu noaptea la ecuator

si la poli o zi polara de 6 luni si o noapte polara de 6 luni, acestea altern and ntre ele.

Intre ecuator si poli sunt zile si nopti normale.

3.4.1 Coordonate ecliptice (, )

Pentru sistemul de coordonate ecliptice se considera

planul fundamental ca ind planul eclipticii n Figura 3.8;

axa fundamentala se considera dreapta perpendicular a pe acest plan care se mai

numeste axa polilor ecliptici;

sensul de masurare va dat pentru ecare unghi n parte.

Punctele si se numesc poli ecliptici. Meridianul astrului contine axa ca

diametru si se numeste meridian ecliptic .

(i) Latitudinea ecliptica sau cereasca , este unghiul format de raza corespunz atoare

astrului M cu planul eclipticii, adic a = M OM . Acesta se masoar a ntre 0 0 si 900

spre polul nord ecliptic si ntre 0 si 900 spre polul sud ecliptic ca n Figura

3.8.

(ii) Longitudinea ecliptica sau cereasca = OM reprezint a unghiul diedru dintre

planul meridianul ecliptic al punctului vernal si planul meridianul ecliptic al astrului

, se masoar a n sens direct untre 0 0 si 3600 .

Coordonatele ecliptice nu depind de rotatia sferei ceresti. Ele nu se m asoar a cu in-

strumente, ci se deduc folosind coordonatele ecuatoriale prin calcul. Utilitatea lor este

evidentiat a la studiul misc arii Lunii si a planetelor, care au planele lor orbitale n

vecinatatea eclipticii.

39


41/104

3.4.2 Coordonate galactice

Se utilizeaza n special n astronomia galactic a, dinamica stelara si alte sisteme de corpuri

ceresti si nu fac obiectul astronomiei geodezice. Pentru am anunte se poate consulta [7].

3.5 Transformari de coordonate

Exist a situat ii n care se cer coordonatele unui astru ntr-un anumit sistem de coordonate,

care nu se pot masura direct, dar n acelasi timp se cunosc coordonatele acelui astru ntr-

un alt sistem de coordonate. Pentru aceasta este nevoie de o trecere de la un sistem decoordonate la altul.

3.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale n coordonate

orare

Presupunem c a s-au masurat cu teodolitul coordonatele orizontale ( A, z ) ale unui astru M

ntr-un loc de latitudine geograc a la un moment sideral , atunci coordonatele orarepot determinate folosind triunghiul de pozit ie al astrului M numit si triunghi paralactic

gura3.10.

PZ

H180-A

z

M

90-phi

90-delta

Figura 3.10: Triunghiul de pozit ie pentru transformarea coordonatelor orizontalen coordonate

orare

Se considera pe sfera cereasca, un astru M . Coordonatele orizontale ale lui M sunt az-

imutul A si h sau z . Coordonatele orare ale lui M ,H si . Consideram separat triunghiul

P ZM care se numeste triunghi de pozitie al astrului si notam laturile n functie de coor-

donatele orizontale si orare: latura P Z = 90 , latura ZM = z , latura P M = 90 .

40


42/104

Aplicand formulele lui Gauss (2.14) n triunghiul P ZM se obtine

sin = cos z sin cos sin z cos A

cos cos H = cos z cos + sin sin z cos A

cos sin H = sin z sin A (3.6)

sau scrise matriceal

cos sin H

cos cos H

sin

=

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

sin z sin A

sin z cos A

cos z

(3.7)

Observat ia 3.5.1 Dac a se cunosc coordonatele orizontale ale unui astru, coordonatele

ecuatoriale sunt date de relatia 3.10

sin z sin A

sin z cos A

cos z

=

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

cos sin H

cos cos H

sin

(3.8)

3.5.2 Transformarea coordonatelor orare n coordonate ecua-toriale.

Deoarece declinat ia ramane constanta trebuie exprimata ascensia dreapt a n funct ie de

unghiul orar. Pentru acesta se t ine cont de relat ia

= + H (3.9)

Astfel din (3.7) si (3.9) coordonatele ecuatoriale se exprima cu ajutorul coordonatelor

orizontale folosind Observat ia 3.5.2.

Observat ia 3.5.2 Dac a se cunosc coordonatele orizontale ale unui astru, coordonatele

ecuatoriale sunt date de relatia 3.10

cos cos

cos sin

sin

=

sin cos sin cos cos

sin sin cos cos sin

cos 0 sin

sin z cos A

sin z sin A

cos z

(3.10)

RAMAS

41


43/104

3.5.3 Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate

ecliptice

La fel ca si n cazurile precedente se va considera triunghiul sferic P M avand ca vafuri

polul ecliptic , polul nord ceresc P si astrul considerat.

M

P

Pi

90-delta

epsilon

90-beta

90+aplha

90-lambda

Figura 3.11: Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate ecliptice

Laturile triunghiului sfreric sunt: P = , P M = 900 si M = 90 , unghiurile

aceluiasi triunghi sunt P M = 900 , P M = 900 + si atunci folosind formulele lui

Gauss si scriind n forma matricial a aceste relat ii are loc observat ia de mai jos.

Observat ia 3.5.3 Dac a se cunosc coordonatele ecuatoriale ale unui astru M coordo-natele ecliptice se obt in folosind relat ia de mai jos:

cos cos

cos sin

sin

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

cos cos

cos sin

sin

(3.11)

Pentru a obt ine coordonatele ecuatoriale atunci c and se cunosc coordonatele ecliptice se

va folosi observatia de mai jos.

Observat ia 3.5.4 Dac a se cunosc coordonatele ecliptice ale unui astru M coordonatele

ecuatoriale se obt in folosind relat ia de mai jos:

cos cos

cos sin

sin

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

cos cos

cos sin

sin

(3.12)

Trecerea de la relat iile (3.11) la relat iile (3.12) si invers se obtine prin determinarea ma-

tricei inverse pentru matricea 3 3.

42


44/104

3.6 Rasaritul si apusul astrilor

Abilitatea de a determina vizibilitatea pentru orice stea este fundamental a n astronomia

geodezica. Pentru a stabili un program de observat ii asupra unei stele trebuie stiut daca

aceasta este deasupra orizontului n intervalul orar ales [11].

Rasaritul si apusul astrilor sunt determinate de intersectarea paralelului de declinat ie al

astrului cu orizontul adevarat. Avem rasarit c and astrul trece din emisfera invizibila n

cea vizibila si apus la trecerea acestuia din emisfera vizibil a n cea invizibil a. Punctul de

rasarit si punctul de apus al unui astru sunt dou a puncte ale orizontului, simetrice fata

de punctul cardinal Sud. Astrii cu r asarit si apus se deplaseaza pe o portiune de arc deparalel de declinat ie n emisfera vizibila, numit arc diurn si pe o portiune de arc de paralel

de declinatie n emisfera invizibil a, numit arc nocturn.

Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonate

ecuatoriale ( , ). Paralelul diurn al unui astru M intresecteaz a orizontul n doua puncte:

de rasarit si apus. In continuare se vor determina timpul sideral si azimutul pentru

punctele unde r asare si apune steaua M de coordonate ecuatorilae ( , ) ntr-o localitate

de latitudine . Pentru a determina momentele de mai sus se va folosi Figura 3.12.Determinarea timpului sideral de apus si r as arit a astrului M

In triunghiul P ZA se aplica teorema cosinusului Teorema 2.2.1 si se obt ine:

cos z = sin sin + cos cos cos H, dar cos z = 0 = (3.13)

cos H = tg tg (3.14)

Pentru determinarea lui H trebuie rezolvat a ecuatia (3.14) n care se considera solutia cu

+ pentru apusul astrului si solut ia cu pentru r asaritul astrului. Deci timpul sideral alrasaritului unui astru este

r = H (3.15)

si timpul sideral al apusului unui astru este

a = + H (3.16)

Analizand ecuat ia se observa ca nu ntotdeauna aceasta are solut ie. Pentru ca

cos H = tg

tg(90 ) [ 1, 1]

43


45/104

O

A

R

P

Z

P

Z

Q

Q

Ci

Cs

N S

H

180-A

90-phi

90=z

9 0

- d

e l t

a

Figura 3.12: Determinarea rasaritului si apusului unui astru

trebuie ca

| | (900

| |) (3.17)

Deci astrii care ndeplinesc condit ia (3.17) au r asarit si apus restul ind circumpolari adic a

nu apun sau nu r asar niciodat a n locul considerat. In functie de latitudinea observatorului

si declinat ia astrului, astrii se mpart n:

astrii cu r asarit si apus , adica rasar si apun atunci cand trec prin orizontul

adevarat al observatorului si veric a | | (900 | |).

astrii circumpolari care nu taie orizontul adev arat, nu r asar si nu apun ci par a

se roti n jurul polului ceresc ce are acelasi nume cu declinatia astrului, atunci cand

| | > (900 | |) cu conditia ca si sa e de acelasi semn cu . Astrii circumpolari

se mpart n

- astrii circumpolari vizibili Acesti astrii au declinat ia mai mare dec at colat-

itudinea si cu acelasi nume cu latitudinea observatorului. Astrii circumpolari

vizibili au culminat ia superioar a si inferioar a cuprinse n emisfera vizibila.

44


46/104

- astrii circumpolari invizibili sunt astrii care se mentin tot timpul n em-

isfera invizibila cu conditia ca si sa e de semn contrar cu . Adica astrii

circumpolari invizibili au declinatia mai mare dec at colatitudinea si de numecontrar cu latitudinea observatorului.

Determinarea azimutului pentru apusul si ras aritul astrului M

In triunghiul P ZA din Figura 3.12 se aplica teorema cosinusului Teorema 2.2.1 pentru

latura P A si se obtine n urma efectuarii calculelor:

cos A = sin cos

= sin

sin(900 ) (3.18)

Rezolvand ecuatia (3.18) se consider a cu azimutul punctului de ras arit a unui astru si

cu + azimutul punctului de apus a unui astru. Analiz and ecuat ia amintita din punctul

de vedere al existent ei cosinusului se vor determina aceleasi conditii din punct de vedere

a existentei rasaritului si apusului | | (900 | |), respectiv a astrilor circumpolari

| | > (900 | |).

Observat ia 3.6.1 Pentru determinarea momentelor de r as arit si apus formulele sunt

aproximative deoarece nu s-a t inut cont de refract ie la orizont. Astfel distant a zenital a

corespunz atoare apusului nu este 900 ci 900 + refract ia; refract ia este de aproximativ 35 .

Observat ia 3.6.2 Pentru astrii cu disc aparent (Soare, Lun a) se va considera inuent a

discului aparent si a paralaxei diurne orizontale. Acest lucru este foarte important pentru

Lun a.

Exemplul 3.6.1 Fie un observator situat n emisfera nordic a la latitudinea = 460 si

e astrii de declinat ii 1 = 350 si 2 = 500 . S a se determine dac a sunt astrii cu r as arit si

apus si n caz armativ s a se determine unghiul orar si azimutul.

Rezolvare Pentru observatiile realizate din emisfera nordica relatia (3.17) se mai scrie si

900 < < 90 (3.19)

Astfel pentru = 460 rezult a ca astrii cu r asarit si apus trebuie sa aiba declinatia

440 < < 440 .

45


47/104

Deci doar astrul cu declinat ia 1 = 350 poate folosit pentru observatii astronomice.

Astrul cu declinat ia 2 = 500 > 440 nu apune niciodata si este un astru circumpolar

vizibil n emisfera nordic a. Din (3.14) pentru primul astru rezult a

cos H = tg350 tg460 (3.20)

Rezolvand (3.20) se obtine

H apus = 1360 .4759 = 9h 05m 54s .22 (3.21)

H rasarit = 24h H apus = 14h 54m 05s .78 (3.22)

Pentru determinarea azimutului se va folosi (3.18) si se obt ine

cos A = sin 350

cos460 (3.23)

Din rezolvarea (3.23) se obtine

Aapus = 3250 39 32 .36 (3.24)

Arasarit = 340 20 27 .64 (3.25)

Observat ia 3.6.3 [8] Pentru astrii din emisfera nordic a > 00 limitele momentelor de

r as arit si apus sunt date n Tabelul 3.1

R as arit 12h < H < 18h 00 < A < 900

Apus 6h < H < 12h 2700 < A < 3600

Tabelul 3.1: R asaritul si apusul astrilor n emisfera nordic a

3.7 Culminat ia

Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonate

ecuatoriale ( , ). Atunci cand cercul orar al unui astru M coincide cu meridianul locului

de observat ie se spune ca astrul este la culminat ie . Culminat ia superioar a C s este

cea care se aa pe semicercul determinat de Zenit si axa lumii n Figura 3.13 , n timp ce

culminat ia inferioara C i este situat a n celalalt semicerc al meridianului locului.

46


48/104

O

Ci

CsZ

Z

P

P

zm

delta

Q

Q

SN

z pentru Ciphi

Figura 3.13: Culminat ia unui astru

Exact ca n cazul rasaritului si apusului astrilor trebuie determinat momentul sideral pen-

tru C s si C i pentru un astru caruia i cunoastem coordonatele ecuatoriale ( , ). Folosind

Teorema 3.3.2 si Figura 3.13 rezult a

= + z pentru C s (3.26)

= 1800 ( + z ) pentru C i (3.27)

Observat ia 3.7.1 In cazul culminat iei

Unghiul orar pentru culminat ia superioar a este H = 0 si H = 12h pentru culminat ia

inferioar a.

Azimutul pentru culminat ia superioar a A = 0 0 , iar la culminat ia inferioar a A =

1800

.

Daca se tine cont de Observat ia 3.7.1, atunci

C i = 12h + (3.28)

C s = (3.29)

Exemplul 3.7.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudinea = 460

s a se determine distant a zenital a pentru culminat iile inferioare si superioare a astrilor de

declinnat ii 1 = 350 si 2 = 500 .

47


49/104

Rezolvare Din (3.26) si (3.27) se obtin distantele zenitale pentru cei doi astrii:

(z 1 )C s = 110 (3.30)

(z 1 )C i = 990 (3.31)

(z 2 )C s = 40 (3.32)

(z 2 )C i = 840 (3.33)

3.8 Trecerea astrilor la primul vertical

Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonateecuatoriale ( , ). Primul vertical se deneste ca ind verticalul punctului cardinal

Est, verticalul punctului Vest ind numit al treilea vertical. In literatura de specialitate

anglo-saxona nu exist a notiunea de al treilea verical ci doar de prim vertical care trece

prin E sau prin V , [11].

Observat ia 3.8.1 (i) Pentru ca un astru s a trec a pe la primul certical trebuie ca

00

< < (3.34)

(ii) C and un astru trece pe la primul vertical n E azimutul este A = 900 , iar la trecerea

prin V azimutul este A = 2700 .

In continuare se vor determina distant ele zenitale ale unui astru care trece pe la primul

vertical n E si V , precum si unghiurile orare corespunzatoare. Figura 3.14 mpreun a cu

formulele lui Gauss (2.14) aplicate n triunghiul sferic MP Z sunt folosite pentru deducerea

formulelor distant ei zenitale si a unghiurilor orare.Din Teorema cosinusului aplicata laturii 90 0 din triunghiul sferic P ZM din Figura

3.14 se obtine

cos z = sin sin

(3.35)

Atat pentru E cat si pentru V se obtine aceeasi distanta zenital a. Pentru determinarea

unghiurilor orare din Teorema cosinusului aplicat a laturii z din triunghiul sferic P ZM

din Figura 3.14 se obtine

cos H = tg ctg (3.36)

48


50/104

O

Z

Z

P

P

M

Q

Q

N S

V

E

Me

PZ

M

z=?

90-phi

90-deltaH

180-A

Figura 3.14: Trecerea astrului pe la primul vertical

Observat ia 3.8.2 In cazul n care H (18h , 24h ) astrul trece pe la primul vertical n Est

si dac a H (0h , 6h ) astrul trece pe la primul vertical n Vest

Exemplul 3.8.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudiea = 460

s a se determine distant a zenital a si unghiurile orare pentru trecerea astrilor pe la primul

meridian atunci c and astrii au declinnat ii 1 = 350 si 2 = 500 .

Rezolvare: Se va folosi conditia (3.34) pentru a se verica daca astii trec sau nu pe la

primul meridian. Astrul cu declinat ia 2 = 500 > 460 = deci nu trece pe la primul

vertical. In continuare se vor determina unghiul orar si distant a zenitala pentru astrul de

declinat ie 1 = 350 . Acesta va avea azimutul de A = 900 la primul vertical n E , iar la

trecerea prin V azimutul este A = 2700 . Din (3.35) rezult a

cos z 1 = sin350

sin460 = 370

07

14

.8 (3.37)Pentru determinarea unghiului orar din (3.36) rezult a

cos H 1 = tg 35 0 ctg 460 =

H V 1 = 470 .45397

= 3 h 09m 48s .9 deci corespunde trecerii la prim vertical la Vest (3.38)

H E 1 = 24h 0m 0s 3h 09m 48s .9

= 20 h 50m 11s deci corespunde trecerii la prim vertical la Est (3.39)

49


51/104

3.9 Elongat ia

Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonateecuatoriale ( , ). Fenomenul de elongatia apare atunci c and unghiul paralactic P MZ

din Figura 3.15 este de 900 . Acest lucru nseamna ca planul verticalului astrului si planul

cercului orar al astrului sunt perpendiculare. Elongat ia poate apare n ambele p art i ale

meridianului locului dar doar pentru astrii ce nu intersecteaz a primul vertical deci condit ia

pentru elongat ie este:

> (3.40)

O

V

Z

Z

P

P

M

Q

N

S

Q

90

P

Zz

90-phi

90-deta

90A

24-H

M

Figura 3.15: Elongat ia astrilor

Pentru un astru aat la elongat ie se vor determina azimutul, distant a zenital a si unghiul

orar. Pentru aceasta se vor folosi formulele lui Gauss (2.14) aplicate n triunghiul P ZM

din Figura 3.15. Astfel din Teorema sinusurilor se obtine:

sin A = cos cos

. (3.41)

Pentru elongatie estic a 00 < A < 900 , iar pentru elongat ie vestic a 2700 < A < 3600 .

50


52/104

Pentru determinarea distant ei zenitale se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura

90 si se va obtine

cos z = sinsin . (3.42)

Pentru determinarea unghiului orar se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura z si

relat ia (3.42) de unde va rezulta

cos H = tg ctg . (3.43)

Pentru elongat ia vestic a H E = 24h H V .

Exemplul 3.9.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudiea = 460

s a se determine care din astrii M 1 de declinat ie 1 = 350 si M 2 de declinat ie 2 = 500

sunt la elongat ie si n caz armativ s a se determine azimutul, distant a zenital a si unghiul

orar corespunz ator.

Rezolvare: Folosind conditia (3.40) rezult a ca doar pentru astrul M 2 poate avea loc

elongatia ( 1 < ). Pentru acest astru M 2 se obtin:

(i) azimutul:

sin A2 = cos500

cos460 =

AE 2 = 670 43

04 .7

AV 2 = 3600 AE 2 = 292

0 16

55 .3

(ii) distant a zenital a:

cos z 2

=

sin460

sin502 =z 2 = 200 06

37 .3

(iii) unghiul orar

cos H 2 = tg 46 0 ctg 500 =

hV 2 = 290 .66733 = 1h 58m 40s .2 =

hE 2 = 24h hV 2 = 22h 01m 19s .8

51


53/104

52


54/104

Capitolul 4

Timpul

Miscarile principale ale P amantului de rotatie si de revolut ie dau si unitat ile de masur a

pentru m asurarea timpului: ziua si anul. In vechime se presupunea uniformitatea misc arii

diurne aparente; n prezent se admite numai n prim a aproximat ie uniformitatea rotat iei

P amantului. Cauze geozice si deplas ari ale maselor de aer si ap a pe suprafat a P amantului

i modic a putin perioada de rotatie. Pe aceast a baza se va considera unghiul orar al unui

astru ca ind o m arime proport ionala cu timpul, deci poate utilizat pentru m asurarea

timpului. Exista diferite denumiri pentru timp, dup a astrul sau punctul de pe sfera

cereasca a carui miscare diurna o urmarim. Trebuie precizat ca timpul, ca m asur a a

duratei a fenomenelor materiale este unic deci difera numai unitatea sau originea de

masurare a timpului.

4.1 Timpul sideral

Timpul sideral reprezint a unghiul orar al punctului vernal . Unitatea de timp este

ziua sideral a si reprezinta timpul scurs ntre dou a culminat ii superioare consecutive ale

punctului vernal. Submultiplii zilei siderale sunt ora, minutul si secunda sideral a. Timpul

sideral se noteaz a cu si

= H (4.1)

Timpul sideral se poate determina cu ajutorul astrilor a c aror ascensie dreapta se cunoaste

atunci c and acestia trec pe la meridian. Pentru pastrarea timpului sideral se folosesc

53


55/104

orologii siderale. Datorit a fenomenului precesiei, ziua sideral a difera cu 0s .8 fata de pe-

rioada de rotat ie a P amantului. Punctul vernal este un punct ctiv de pe bolta cereasca

deci trecerile sale la meridianul superior al locului nu pot observate iar unghiul s au orarH este imposibil de masurat direct. De aceea, din locul considerat se urm areste trecerea

la meridianul superior al locului a unei stele cunoscute M si apoi, ntr-un moment diurn

oarecare, se determin a unghiul orar H al stelei, a carei ascensie dreapt a se cunoaste,

astfel nc at timpul sideral va dat de = M + H M . Masurarea timpului cu ajutorul

zilelor siderale si al fractiunilor de zile siderale este foarte simpl a si comoda n rezolvarea

problemelor de astronomie, dar este incomoda pentru viat a cotidian a a oamenilor, a caror

activitate este legat a de pozitiile aparente diurne si anuale ale Soarelui pe sfera cereasca.

Astfel daca la echinoctiul de prim avara ziua solara va ncepe odata cu culminat ia supe-

rioar a a Soarelui, peste sase luni ziua siderala va ncepe odata cu culminat ia inferioar a a

Soarelui.

4.2 Timpul solar adevarat

Un alt timp legat de viata practica este cel denit prin intermediul miscarii aparente a

Soarelui.

Timpul solar adev arat reprezint a unghiul orar al centrului Soarelui. Ca unitate de

masur a se utilizeaza ziua solar a adev arat a , adica timpul scurs ntre dou a culminat ii su-

perioare consecutive ale centrului Soarelui. Ziua solara adev arat a ncepe n momentul

culminat iei superioare a centrului Soarelui (la miezul zilei). Timpul solar adevarat se

noteaz a cu ta si are loc

ta = H (4.2)

Datorita misc arii sale anuale aparente, n miscarea pe paralelul s au diurn, Soarele r amane

n urma n ecare zi cu aproximativ un grad fata de stele, de unde rezult a o decalare

zilnica de 3m 56s (unit at i de timp sideral) a zilei siderale fat a de ziua solara mijlocie. Deci,

nceputul zilei siderale are loc n momente diferite ale zilei solare, fapt care face timpul

sideral necorespunz ator pentru viata practica. Dar si miscarea Soarelui are un neajuns

pentru determinarea timpului, ntruc at nu este uniform a, din urm atoarele motive:

54


56/104

O

Soare

Q

Q

SN

Z

Z

P

P

Vgamma

HSoare

H gamma

Figura 4.1: Timpul solar adevarat

Soarele adevarat, n miscarea sa anual a aparenta, descrie ecliptica n mod neuniform

datorita misc arii neuniforme a P amantului n jurul Soarelui;

Miscarea diurna a Soarelui n jurul axei lumii este neuniforma datorit a nclinatiei

eclipticii fata de ecuatorul ceresc.

Din aceste motive se consider a un Soare ctiv numit Soare mijlociu cu ajutorul c aruia

se va deni un timp care are unitat i egale ntre ele.

4.3 Timpul solar mediu

Se numeste Soare mijlociu sau Soare mediu ecuatoriual un punct ctiv care se

misc a uniform pe ecuatorul ceresc si trece prin punctul vernal odata cu Soarele adevarat.

Timpul mijlociu sau timpul solar mediu reprezint a timpul m asurat prin unghiul orar

al Soarelui mijlociu. Unitatea de timp mediu este ziua solara medie , care reprezinta

intervalul de timp scurs ntre dou a culminat ii inferioare consecutive ale Soarelui mijlociu

la meridianul locului. S-a ales culminat ia inferioar a pentru ca nceputul zilei sa aiba loc

n perioada de ntuneric. Timpul mijlociu se noteaza cu tm si are loc

tm = H m + 12h (4.3)

55


57/104

unde H m reprezinta unghiul orar al Soarelui mijlociu. Soarele mijlociu, ind o ctiune,

nu se poate observa, dar pozit ia lui se poate calcula. Unghiul orar al Soarelui mijlociu

difera de unghiul orar al Soarelui adevarat cu o anumit a cantitate numit a ecuatia timpului(ecuat ie se foloseste n sensul de corect ie) de unde rezulta ca

tm ta = H m H + 12h = E + 12h (4.4)

iar ecuat ia timpului E este o cantitate variabila, a carei valoare este data pentru ecare

zi de anuarele astronomice [2], valoarile lui E [ 17 , +17 ].

Ziua solara mijlocie, la fel ca cea siderala, se divide n 24 de ore, ora n 60 de minute si

minutul n 60 de secunde (de timp mijlociu). Ziua are 86400 secunde. Perioada de rotat ie

a Pamantului este mai mica decat o zi solara medie si are 86164 secunde. Cu ale cuvinte

este mai mica tocmai cu 3m 56s .

Anul tropic este intervalul dintre doua treceri consecutive ale Soarelui la punctul vernal

.

Anul tropic are 365, 2422... zile medii, adica 365z 5h 48m 46s .045. Intr-un an tropic punctul

vernal execut a 366.2422 rotatii n jurul axei lumii adica cu o rotatie n plus fata de numarulde rotat ii efectuate de Soarele mijlociu. Rezulta ca

1 an tropic = 366 .2422 zile siderale = 365, 2422 zile solare medii (4.5)

De aici rezult a ca ntre subunit atile de masura ale timpului solar mediu si subunit atile de

masur a ale timpului sideral, denind = 1

365.2422 = 0.00273791 au loc relatiile date n

Tabelul 4.1.

1z.m.= (1+ )z.s.=1z.s. +3 m 56s .555 u.s.

1h.m.= (1+ )h.s.=1h.s. +9 s .856 u.s.

1m.m.=(1+ )m.s.= 1m.s. +0 s .164 u.s.

1s.m.=(1+ )z.s.= 1s.s. +0 s .003 u.s.

Tabelul 4.1: Transformarea unit atilor siderale n unit at i medii

Denind = 1

366.2422 = 0.00273043, transformarile inverse sunt date n Tabelul 4.2.

56


58/104

1z.s.=(1- )z.m.= 1z.m. 3m 55s .909 u.m.

1h.s.= (1- )h.m.=1h.m. 9s .83 u.m.

1m.s.=(1- )m.m.= 1m.m. 0s .164 u.m.

1s.s.= (1- )s.m.=1s.m. 0s .003 u.m.

Tabelul 4.2: Transformarea unit atilor medii n unitati siderale

Relat ia dintre si este 1 + = 11

. Se considera ca un eveniment a avut loc la

un moment sideral pentru un punct dat de pe suprafat a terestra. Pentru determinarea

momentului de timp mediu tm pentru acelasi punct si acelasi se considera:

tm 0 corespunzator lui 0 .

Atunci intervalului tm tm 0 i corespunde 0

deoarece o unitate de timp sideral este echivalent a cu 1 unit at i de timp mediu rezulta

tm tm 0 = (1 )( 0 ) (4.6)

Originea timpului mediu se considera miezul noptii medii deci tm 0 = 0 si rezult a

tm = (1 )( 0 ) (4.7)

Anuarele astronomice dau valoarea 0 G pentru Greenwich si atunci pentru un punct ter-

estru de longitudine L se obtine

0 G 0 = 9s .856L (4.8)

Pentru transformarea timpului mediu n timp sideral se foloseste:

0 = (1 + )t 0 G (4.9)

4.4 Timpul universal. Timpul legal. Convent ia

fuselor orare

Timpurile denite anterior sunt timpuri locale deoarece au fost denite prin intermediul

unghiurilor orare. Pentru toate localit atile situate pe acelasi meridian geograc timpurile

57


59/104

locale de acelasi fel sunt egale, ns a pentru orice dou a localitati situate pe meridiane

diferite acestea difer a.

Se pune problema schimb arii timpurilor locale de acelasi fel odata cu schimbarea longi-tudinii geograce. Fie doua localitati Asi B de longitudini geograce LA si LB fata de

meridianul de la Greenwich. Unghiurile orare ale unui astru M observat din A si B se

noreaza cu H A si H B . Din Figura 4.2 rezulta:

H A H B = LA LB . (4.10)

O

A B

LA-LB

HA-HB

P

p

Figura 4.2: Legatura dintre timpul local si longitudine

Deoarece timpul sideral, timpul solar adevarat si timpul solar mediu sunt date de relat iile

(4.1), (4.2), respectiv (4.3) prin aplicarea relatiei (4.10) rezult a

A B = LA LB ,

tA tB = LA LB ,

tmA tmB = LA LB .

(4.11)

Din (4.11) rezult a ca toate timpurile de mai jos depind de longitudine. pentru eliminarea

acestor dicult ati se debnest timpul universal.

58


60/104

Se numeste timp universal notat T U sau GMT Greenwich Mean Time timpul solar

astronomie geodezica matei florica

Documents