curs_005_et_legi_de_repar_2.doc
TRANSCRIPT
Ethan Frome
36fiabilitate37fiabilitate
CURS 5
LEGI DE REPARTIIE (2)
REPARTIII DISCRETE
5.1. Repartiia Poisson
Dac evenimentele independente A1, A2, A3... An au probabilitile P(A1) =p1, P(A2) =p2... P(An) =pn cunoscute, atunci probabilitatea ca din cele n evenimente s se realizeze k (i s nu se realizeze n-k) este coeficientul lui xk din polinomul:
EMBED Equation.3 (5.1)
unde .
Demonstraie
Se va considera, pentru nceput un caz particular: n=4, k=2. Evenimentul a crui realizare nseamn realizarea a dou evenimente i nerealizarea celorlalte dou se scrie astfel:
EMBED Equation.3 (5.2)
Acest eveniment este reuniunea a ase evenimente incompatibile, fiecare dintre acestea fiind intersecia a patru evenimente independente.
Probabilitatea acestui eveniment este:
EMBED Equation.3 (5.3)
Este evident c, pentru coeficientul lui x2 din polinomul Q(x) se obine expresia dat de relaia (5.3).
n cazul general, evenimentul a crui realizare nseamn realizarea de k evenimente din cele n este reuniunea a evenimente, fiecare dintre acestea fiind intersecia a n evenimente independente.
EMBED Equation.3 (5.4)
Probabilitatea acestui eveniment este:
EMBED Equation.3 (5.5
care reprezint coeficientul lui xk din polinomul Q(x) din relaia (5.1).
5.2. Repartiia binomial
Repartiia binomial se obine cnd experimentrile au urmtorul model probabilistic:
a) fiecare ncercare are numai dou rezultate posibile, care s formeze un sistem complet de evenimente incompatibile ();
b) fiecare probabilitatea de obinere a unui eveniment (de exemplu A) este constant la fiecare ncercare i egal cu p. n cazul repetrii experimentului de n ori numrul de apariii a evenimentului A este o variabil aleatoare discret avnd valorile 0,1,2....n.
Se consider un lot de piese avnd un procent p de defectare. Efectund extrageri repetate, iar piesele extrase fiind introduse din nou n lot, se obine o repartiie a numrului de piese defecte.
Presupunem c s-au realizat dou extrageri i se noteaz cu:
- evenimentul ca piesa s fie bun;
- evenimentul ca piesa s fie defect.
a) probabilitatea apariiei evenimentului A o dat:
EMBED Equation.3 .(5.6)
b) probabilitatea apariiei evenimentului A de dou ori:
EMBED Equation.3 (5.7)
c) probabilitatea neapariiei evenimentului A n cele dou extracii:
EMBED Equation.3 (5.8)
Probabilitatea ca din dou extrageri s se obin:
a) zero piese bune:
EMBED Equation.3 (5.9)
b) o pies bun:
EMBED Equation.3 (5.10)
c) dou piese bune:
EMBED Equation.3 (5.11)
Dup n ncercri s-a produs de k ori evenimentul i de n-k ori . Probabilitatea de a se produce de k ori evenimentul i apoi evenimentul de n-k ori este:
EMBED Equation.3 (5.12)
n relaia de mai sus indicii 1,2...semnific numrul de ordine al evenimentelor respectiv .
n cele n experiene nu intereseaz ordinea de apariie a evenimentului A, deci trebuie considerate toate situaiile posibile (). Rezult:
EMBED Equation.3 (5.13)
Expresia are aceeai form ca i termenul k al binomului lui Newton. Pentru valori mari ale lui n se poate utiliza formula lui Stirling:
EMBED Equation.3 (5.14)
5.2.2. Funcia de probabilitate a repartiiei binomiale
Conform relaiei:
EMBED Equation.3 (5.15)
{probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valoarea xi este p), funcia de probabilitate a repartiiei binomiale este:
EMBED Equation.3 (5.16)
Repartiia variabilei aleatoare X este:
EMBED Equation.3 (5.17)
Valoarea medie este a variabilei aleatoare cu repartiie binomial este iar dispersia:
5.3. Repartiia hipergeometric.
Modelul probabilistic al repartiiei hipergeometrice este similar cu cel binomial cu diferena c elementul extras s nu mai revin i astfel se modific compoziia. Extragerea se numete fr ntoarcere.
Se presupune c avem o populaie cu n piese, din care a piese bune i b = n-a piese defecte. Probabilitatea ca efectund m extrageri succesive fr ntoarcere s se scoat x piese bune i m-x piese defecte este:
EMBED Equation.3 (5.18)
Dac n este foarte mare repartiia hipergeometric se apropie de repartiia binomial cu parametri:
EMBED Equation.3 (5.19)
Funcia de repartiie :
EMBED Equation.3 (5.20)
5.4. Repartiia binomial cu exponent negativ
Variabila aleatoare are distribuie binomial cu exponent negativ cu parametri p i q dac poate lua valorile i:
EMBED Equation.3 (5.21)
O experien se efectueaz pn la cea de-a n-a realizare a unui eveniment A. Dac probabilitatea acestui eveniment, cnd se efectueaz o singur dat experimentul este p, atunci numrul X de efecturi a experimentului este o variabil aleatoare cu exponentul negativ.
Evenimentul {X=n} se scrie ca intersecia a dou evenimente:
- n primele n-1 efecturi ale experienei evenimentul A se produce de m-1 ori;
- n a n-a efectuare a experienei evenimentul A se produce.
Probabilitatea primului eveniment:
EMBED Equation.3 (5.22)
(schema lui Bernoulli).
Probabilitatea celui de al doilea eveniment:
EMBED Equation.3 (5.23)
Evenimentele fiind independente se poate scrie:
EMBED Equation.3 (5.24)
Se demonstreaz c pentru o variabila aleatoare X care are distribuie binomial cu exponent negativ cu parametri p i q valoarea medie i dispersia sunt date de relaiile:
EMBED Equation.3 (5.25)
5.5. Repartiia evenimentelor rare
Variabila aleatoare X are distribuia evenimentelor rare cu parametrul (>0) dac poate lua orice valoare ntreag i :
EMBED Equation.3 (5.26)
Aceast distribuie se numete i distribuia evenimentelor rare, fiind corespondentul n domeniul discret al repartiiei (distribuiei) exponeniale. Se au n vedere urmtoarele:
- probabilitatea de apariie a evenimentelor care se examineaz este mic;
- este un caz particular al repartiiei binomiale, n cazul n care n , meninndu-se ca o distribuie de tip discret.
Densitatea distribuiei Bernoulli:
EMBED Equation.3 (5.27)
Se noteaz: . ntruct n este foarte mare (n ) relaia (5.27) devine:
EMBED Equation.3 (5.28)
innd seama de faptul c:
EMBED Equation.3 (5.29)
relaia (5.28) devine:
EMBED Equation.3 (5.30)
Funcia de repartiie este:
EMBED Equation.3 (5.31)
Se demonstreaz c pentru o variabila aleatoare X care are distribuie Poisson valoarea medie i dispersia sunt date de relaiile:
EMBED Equation.3 (5.32)
Cnd parametrul a crete (a>30), distribuia Poisson tinde s se suprapun cu cea
a lui Bernoulli.
_1166192473.unknown
_1166197671.unknown
_1166198665.unknown
_1168533512.unknown
_1199871188.unknown
_1199891762.unknown
_1256657945.unknown
_1256659244.unknown
_1256659880.unknown
_1395151063.unknown
_1256659879.unknown
_1256658282.unknown
_1199892002.unknown
_1199892535.unknown
_1199891781.unknown
_1199872449.unknown
_1199891668.unknown
_1199891690.unknown
_1199872043.unknown
_1168533588.unknown
_1168533569.unknown
_1166201442.unknown
_1168533081.unknown
_1168533445.unknown
_1166199649.unknown
_1166198380.unknown
_1166198454.unknown
_1166198248.unknown
_1166198346.unknown
_1166198372.unknown
_1166197723.unknown
_1166194117.unknown
_1166195388.unknown
_1166196112.unknown
_1166197556.unknown
_1166195695.unknown
_1166194801.unknown
_1166195079.unknown
_1166194308.unknown
_1166193556.unknown
_1166193799.unknown
_1166193838.unknown
_1166193682.unknown
_1166192991.unknown
_1166193256.unknown
_1166192979.unknown
_1160496799.unknown