1.1 Introducere n anul nti, la cursul de Master Controlul zgomotelor i Vibraiilor s-a predat cursul de

Vibraiile sistemelor. La aceast disciplin s-au studiat n special vibraiile liniare ale sistemelor cu un grad de libertate, cu un numr finit de grade de libertate i respectiv pentru sisteme continue.

n general un sistem fizic, n spe un sistem mecanic, pentru care se constat c apar micri oscilatorii (vibraii), presupune ca primul studiu s se fac pentru sistemul liniar, prin eliminarea termenilor neliniari, dac apar astfel de termeni.

n multe cazuri nu este suficient numai studiul sistemului liniar. Studiul sistemului neliniar este necesar nu numai pentru a nbunti precizia mrimilor caracteristice vibraiilor, spre exemplu

perioada T a vibraiilor (respectiv pulsaia T

2= ), ct mai ales pentru c apar i fenomene noi,

care nu sunt observate n cazul vibraiilor liniare (spre exemplu dependena lui T de condiiile iniiale; saltul amplitudinilor; antrenarea pulsaiilor; apariia vibraiilor subarmonice sau supraarmonice etc. Toate aceste aspecte vor fi evidenioate n cazul studiului nostru).

1.2 Scurt istoric Studiul vibraiilor a nceput cu mult timp n urm. Istoricii tiinei consider ca o prim

perioad sec. VII nainte de Christos pn n secolul XVI dup Christos. n aceast perioad cunotinele n domeniu sunt legate de instrumentele muzicale cu coarde ( poducerea sunetelor) i respectiv de transmiterea sunetului (acustic).

n aceast perioada se stabilesc noiuni ca : - frecvene naturale (proprii); - izolarea vibraiilor; - msurarea vibraiilor; - rezonan; - vibraii simpatice (armonioase).

Chiar termenul vibraie a fost utilizat n timpul lui Eschyle (sec. VI-V) nainte de Christos. n anul 1584 Galileo Galilei (1564-1612) observ oscilaiile pendulului simplu i stabilete

izocronismul lor (pentru mici oscilaii). Nu insistm asupra evoluiei studiului vibraiilor, ns menionm c a urmat perioada

modern (1600-1850), caracterizat de revoluia industrial cu o dezvoltare rapid a teoriei vibraiilor, perioada 1850-1920, cu progrese rapide n construcia de maini i n final, perioada dup 1920, n care au avut loc dezvoltri rapide ale teoriei vibraiilor cu aplicaii n Dinamica rotorilor, Analiza vibraiilor, Msurarea vibraiilor, Izolarea vibraiilor etc.

Dac revenim la studiul vibraiilor neliniare trebuie s menionm c acestea s-au dezvoltat n cadrul Dinamicii neliniare. Fondatorul denamicii geometrice este considerat Henri Poincar (1854-1912) care a utilizat primul studiul structurii topologice n spaiul fazelor a traiectoriilor dinamice. Studiile au fost continuate de matematicianul american George David Birkhoff (1884-1944). Cei doi au aplicat rezultatele cercetrilor la probleme de mecanic cereasc. Liapunov Aleksandr Mihailovici (1857-1918) a utilizat metodele geometrice la studiul Analizei stabilitii.

Din ce n ce mai multe observaii experimentale au condus la necesitatea studiului sistemelor neliniare. Apar studii ample privind diferite tipuri de ecuaii difereniale neliniare: Duffing (1918), Rayleigh- Van der Pol, Cartwright, Littlewood (1945), Levinson (1949), Smale (1963), Lorenz (1963), Hayashi (1964; 1975), Ueda (1980) etc.

S ncepem studiul vibraiilor neliniare cu un exemplu ilustartiv: oscilaiile (liniare i neliniare) ale pendulului simplu).

1.3 Oscilaiile libere ale pendulului simplu

Considerm un pendul simplu format dintr-o bil de mas m situat la captul unei bare OA de luingime l , avnd masa neglijabil (n raport cu masa m a bilei) i articulat n captul O (fig.1.1). n momentul iniial pendulul se afl n poziia de echilibru static 0OA , 0=

i are viteza 0v .

Ecuaia diferenial a micrii sed poate scrie itiliznd una dintre metodele din Mecanic, spre exemplu ecuaia lui Lagrange. Alegem ca parametru unghiul . Rezult:

Q

EE

dt

d=

&

. (1.1)

Avnd n vedere c: 2222

1

2

1&mlmvE A == i c

=U

Q , unde CmglU += cos , rezult:

,0sin2 =+ mglml && (1.2) sau

.0sin =+ l

g&& (1.3)

Dup cum se constat, ecuaia diferenial (1.3) este neliniar din cauza termenului n sin .

a. Cazul micilor oscilaii

Dac se consider c unghiul nu este prea mare, se poate dezvolta sin n serie de puteri:

..........!7!5!3

sin753

++=

(1.4)

i ecuaia diferenial (1.3) devine:

0..........!7!5!3

753

=

+++

l

g&& , (1.5)

valabil pentru orice unghi . Dac din relaia (1.4) se reine numai primul termen, adic sin , atunci ecuaiile (1.3)

respectiv (1.5) au forma unei ecuaii difereniale liniare:

0=+ l

g&& , (1.6)

a crei soluie este: ( ) = ta cos , (1.7) unde:

g

lT

l

g

22

; === , (1.8)

iar a i rezult din condiiile iniiale. Se poate observa c, perioada micrii T ( respectiv pulsaia i frecvena

l

g

Tf

211

== ) nu depinde de condiiile iniiale ( la 00 ;:0 === &t ) ci numai de

A

0v

O

mg

m

0A

l

Fig.1.1

caracteristicile sistemului, in cazul considerat numai de lungimea l a pendulului simplu. Se spune c micile oscilaii ale pendulului simplu sunt izocrone. O oscilaie complet se face n acelai timp, independent de 0 i 0 i implicit independent i de amplitudinea vibraiilor. Aceast proprietate a fost stabilit de Galileo Galilei.

Dac din dezvoltarea n serie (1.4) se consider doi termeni, ecuaia diferenial (1.5) devine neliniar i anume:

06

3 =+ l

g

l

g&& . (1.5a)

Ecuaia (1.6) i soluia acesteia (1.7) sunt valabile pentru 00 43 , n timp ce ecuaia (1.5a) i soluia ei vor fi valabile pentru valori ceva mai mari ale unghiului .

Dac din dezvoltarea n serie (1.4) se consider trei termeni, ecuaia diferenial (1.5) devine:

01206

53 =++ l

g

l

g

l

g&& , (1.5b)

valabil pentru unghiuri mai mari.

b. Studiul analitic al marilor oscilaii ale pendulului (studiul calitativ al micrii)

Henri Poincar afirma c: Teoria oricrei funcii ncepe n mod natural cu aspectul su

calitativ i astfel problema care se impune de la nceput este urmtoarea: construii curbele definite

de ecuaiile difereniale. Acest studiu calitativ odat definitivat, va fi d cea mai mare utilitate pentru

calculul numeric al funciei. Mai mult, acest studiu calitativ va fi el nsui de mare interes. Multe

ntrebri importante din Analiza matematic i din Mecanic se reduc de fapt la aceasta. Pornind de la aceast observaie se urmrete in continuare studiul calitativ al micrii

pendulului simplu i determinarea perioadei in cazul micrii acestuia. Dac se aplic teorema conservrii energiei mecanice a sistemului (sistemul este conservativ

deoarece singura for dat este greutatea mg ), se scrie:

00 VEVE +=+ , (1.9)

n care: E - energia cinetic, 0E - energia cinetic la momentul 0=t , UV = - energia potnial,

0V - energia potenial la momentul 0=t . Considernd condiiile iniiale:

=

==

0

00

&

t , (1.10)

rezult:

===

==+=+===

CmglVmlmvE

CmglUVCmglCmgyUmlmvE A

0020

2200

222

cos;2

1

2

1

;cos;cos;2

1

2

1

&

, (1.11)

ceea ce permite scrierea relaiei (1.9) sub forma:

Cmglml

Cmglml

= 020

22

2

cos2

cos2

& , (1.12)

sau:

( )0202 coscos2

+=l

g& . (1.13)

Prin utilizarea formulelor trigonometrice

2

sin21cos;2

sin21cos 0202

== (1.14)

i nlocuirea acestora n relaia (1.13), se obine:

+=

2sin

2sin

44 202

202 g

l

l

g& , (1.15)

sau

=2

sin4 222

Al

g& , (1.16)

n care

2

sin4

02202 +=g

lA (1.17)

este o constant pozitiv care depinde de condiiile iniiale 0 i 0 . Tipul micrii depinde de valoarea constantei A . Se disting urmtoarele cazuri:

i. cazul 12 A

Relaia (1.16) devine:

02

sin4 222 >

=

Al

g& , (1.16b)

din care rezult c crete continu (monoton cresctor), ceea ce semnific c punctul material efectueaz o micare rotatorie.

iii. cazul 12 =A Relaia (1.16) devine:

,2

cos42

sin14 222

l

g

l

g=

=& (1.16c)

de unde rezult:

2

cos2

l

g=& . (1.17)

Dac, de exemplu, mobilul este lansat din poziia 00 = cu 0 care corespunde lui 12 =A ,

adic:

104

202 =+=g

lA

, (1.18)

atunci aceast pulsaie iniial este

l

g20 = . (1.19)

Pentru 00 > , n relaia (1.17) se consider semnul plus i se poate scrie:

2

cos2

l

g

dt

d= , (1.20)

sau:

2cos2

l

g

ddt = . (1.21)

Mobilul se oprete n punctele n care

02

cos =

, (1.22)

adic pentru: ......3,2,1, == nn (1.23) Dac mobilul pleac din punctul ( )01 =A , timpul n care ajunge n punctul ( ) =1B , rezult din (1.21):

=

=

=

00

2cos2

11

l

g

ddt

BAt

, (1.24)

respectiv:

=

0

11

2cos2

1 d

g

lt BA . (1.25)

Se constat c timpul n care mobilul ajunge din punctul 1A n poziia de echilibru

nestabil ( ) =1B este infinit. Micarea are caracter asimptotic. Reprezentarea n planul fazelor ( ) ,& sau ( )xy, este prezentat n figura 1.2, n care se pot

observa urmtoarele puncte critice:

.

.

( )0,0O - centru (simplu stabil); se poate extinde obsevaia i pentru ;....2;...;4;2 n= ( )0,1 B - a (nestabil): se poate extinde observaia i pentru ( ) ;...12;...;5;3; += k

n funcie de condiiile iniiale, respectiv de parametrul 2A , se disting urmtoarele cazuri: - 12 A - micri rotatorii (neperiodice; curbe deschise); - 12 =A - curb separatoare (separatrice) ntre cele dou domenii; se observ ca aceast curb nu este continu; relaia (1.25) arat c timpul micrii din 1A n 1B este 11BAt .

O reprezentare interesant a micrilor posibile se poate obine dac se introduce spaiul cilindric al fazelor. Aceste se poate realiza dac din reprezentarea din figura 1.2 se taie fii de

1A

1B 2

&

O

3

Fig. 1.2

lime 2 ( de exemplu [ ] 2,0 ) i dac se unesc cele dou limi paralele cu & , obinndu-se astfel un cilindru (fig. 1.3).

Pentru cazul micrilor periodice ( 12

( )

=2

022 sin1

k

dkK , (1.34)

unde s-a notat 2

sin 0

=k . Funcia ( )kK dat de relaia (1.34) se numete integral eliptic de spea

I, complet. Ea este calculat i prezentat tabelar n literatura de specialitate (de exmplu, Manualul inginerului, vol.I). Relaia (1.33) devine:

( )kKg

lT 4= . (1.35)

Se constat c perioada T depinde de condiiile iniiale, n acest caz de 0 , cci s-a considerat 00 = . n cazul micilor oscilaii, cnd se presupune c sin , perioada micrii este:

g

lT 20 = . (1.36)

Comparnd relaia (1.36) cu cea corespunztoare unui unghi 0 oarecare, rezult:

( )kKT

T

2

0

= . (1.37)

n tabelul 1 sunt prezentate valorile funciei ( )kK i ale raportului 0T

T pentru diferite valori

ale lui 0 . Tabelul 1

0 00 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

( )kK

2sin 0

=k

2

1.583 1.620 1.686 1.787 1.936 2.157 2.505 3.153

0T

T

1.000 1.008 1.031 1.073 1.137 1.232 1.373 1.594 2.007

Reprezentarea relaiei (1.37) este realizat cu ajutorul programului de calcul Matlab (fig. 1.4). a. fr calculul valorilor x=0:20:16:0; y=[1.000,1.008,1.031,1.073,1.137,1.232,1.373,1.594,2.007]; plot(x,y) b. cu calculul valorilor >> x=0:20:160 y=[1.000,1.008,1.031,1.073,1.137,1.232,1.373,1.594,2.007] plot(x,y) x = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 y = 1.0000 1.0080 1.0310 1.0730 1.1370 1.2320 1.3730 1.5940 2.0070

0 20 40 60 80 100 120 140 1601

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

teta 0 [grade]

T/T0

Fig.1.4-Variatia perioadei oscilatiilor pendulului in functie de amplitudinea oscilatiei teta 0

0 20 40 60 80 100 120 140 1601

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

teta 0 [grade]

T/T0

Fig.1.4-Variatia perioadei oscilatiilor pendulului in functie de amplitudinea oscilatiei teta 0

1.008 1.0311.073

1.137

1.232

1.373

1.594

2.007

1.4 Punctul material acionat de o for neliniar ( )xF Ecuaia diferenial a micrii este: ( )xFxm =&& sau ( ) 0=+ xFxm && . (1.38)

nmulind ecuaia diferenial a micrii cu x& i integrnd, rezult:

( ) ==+ .21

02 constEdxxFxm& , (1.39)

unde cu 0E s-a notat constanta de integrare.

Dac se noteaz:

( ) ( )= dxxFxV , (1.40)

care reprezint energia potenial deoarece ( )xFdx

dV+= , atunci din relaia (1.39) rezult:

( )[ ]xVEm

x = 02

& , (1.41)

ceea ce face posibil calculul timpului t :

( )[ ]

+=x

x VEm

dtt

00

02

, (1.42)

dac integrala se poate calcula analitic. n figura (1.5 a,b,c) sunt reprezentate funciile ( )xF , ( )xV i curbele soluie din planul

fazelor.

0E

( )xF

O

x O

( )xV

0E

0E

x

O

Separatrice

x

x&

a.

b.

c.

Fig. 1.5