Transcript
  • 1.1 Introducere n anul nti, la cursul de Master Controlul zgomotelor i Vibraiilor s-a predat cursul de

    Vibraiile sistemelor. La aceast disciplin s-au studiat n special vibraiile liniare ale sistemelor cu un grad de libertate, cu un numr finit de grade de libertate i respectiv pentru sisteme continue.

    n general un sistem fizic, n spe un sistem mecanic, pentru care se constat c apar micri oscilatorii (vibraii), presupune ca primul studiu s se fac pentru sistemul liniar, prin eliminarea termenilor neliniari, dac apar astfel de termeni.

    n multe cazuri nu este suficient numai studiul sistemului liniar. Studiul sistemului neliniar este necesar nu numai pentru a nbunti precizia mrimilor caracteristice vibraiilor, spre exemplu

    perioada T a vibraiilor (respectiv pulsaia T

    2= ), ct mai ales pentru c apar i fenomene noi,

    care nu sunt observate n cazul vibraiilor liniare (spre exemplu dependena lui T de condiiile iniiale; saltul amplitudinilor; antrenarea pulsaiilor; apariia vibraiilor subarmonice sau supraarmonice etc. Toate aceste aspecte vor fi evidenioate n cazul studiului nostru).

    1.2 Scurt istoric Studiul vibraiilor a nceput cu mult timp n urm. Istoricii tiinei consider ca o prim

    perioad sec. VII nainte de Christos pn n secolul XVI dup Christos. n aceast perioad cunotinele n domeniu sunt legate de instrumentele muzicale cu coarde ( poducerea sunetelor) i respectiv de transmiterea sunetului (acustic).

    n aceast perioada se stabilesc noiuni ca : - frecvene naturale (proprii); - izolarea vibraiilor; - msurarea vibraiilor; - rezonan; - vibraii simpatice (armonioase).

    Chiar termenul vibraie a fost utilizat n timpul lui Eschyle (sec. VI-V) nainte de Christos. n anul 1584 Galileo Galilei (1564-1612) observ oscilaiile pendulului simplu i stabilete

    izocronismul lor (pentru mici oscilaii). Nu insistm asupra evoluiei studiului vibraiilor, ns menionm c a urmat perioada

    modern (1600-1850), caracterizat de revoluia industrial cu o dezvoltare rapid a teoriei vibraiilor, perioada 1850-1920, cu progrese rapide n construcia de maini i n final, perioada dup 1920, n care au avut loc dezvoltri rapide ale teoriei vibraiilor cu aplicaii n Dinamica rotorilor, Analiza vibraiilor, Msurarea vibraiilor, Izolarea vibraiilor etc.

    Dac revenim la studiul vibraiilor neliniare trebuie s menionm c acestea s-au dezvoltat n cadrul Dinamicii neliniare. Fondatorul denamicii geometrice este considerat Henri Poincar (1854-1912) care a utilizat primul studiul structurii topologice n spaiul fazelor a traiectoriilor dinamice. Studiile au fost continuate de matematicianul american George David Birkhoff (1884-1944). Cei doi au aplicat rezultatele cercetrilor la probleme de mecanic cereasc. Liapunov Aleksandr Mihailovici (1857-1918) a utilizat metodele geometrice la studiul Analizei stabilitii.

    Din ce n ce mai multe observaii experimentale au condus la necesitatea studiului sistemelor neliniare. Apar studii ample privind diferite tipuri de ecuaii difereniale neliniare: Duffing (1918), Rayleigh- Van der Pol, Cartwright, Littlewood (1945), Levinson (1949), Smale (1963), Lorenz (1963), Hayashi (1964; 1975), Ueda (1980) etc.

    S ncepem studiul vibraiilor neliniare cu un exemplu ilustartiv: oscilaiile (liniare i neliniare) ale pendulului simplu).

  • 1.3 Oscilaiile libere ale pendulului simplu

    Considerm un pendul simplu format dintr-o bil de mas m situat la captul unei bare OA de luingime l , avnd masa neglijabil (n raport cu masa m a bilei) i articulat n captul O (fig.1.1). n momentul iniial pendulul se afl n poziia de echilibru static 0OA , 0=

    i are viteza 0v .

    Ecuaia diferenial a micrii sed poate scrie itiliznd una dintre metodele din Mecanic, spre exemplu ecuaia lui Lagrange. Alegem ca parametru unghiul . Rezult:

    Q

    EE

    dt

    d=

    &

    . (1.1)

    Avnd n vedere c: 2222

    1

    2

    1&mlmvE A == i c

    =U

    Q , unde CmglU += cos , rezult:

    ,0sin2 =+ mglml && (1.2) sau

    .0sin =+ l

    g&& (1.3)

    Dup cum se constat, ecuaia diferenial (1.3) este neliniar din cauza termenului n sin .

    a. Cazul micilor oscilaii

    Dac se consider c unghiul nu este prea mare, se poate dezvolta sin n serie de puteri:

    ..........!7!5!3

    sin753

    ++=

    (1.4)

    i ecuaia diferenial (1.3) devine:

    0..........!7!5!3

    753

    =

    +++

    l

    g&& , (1.5)

    valabil pentru orice unghi . Dac din relaia (1.4) se reine numai primul termen, adic sin , atunci ecuaiile (1.3)

    respectiv (1.5) au forma unei ecuaii difereniale liniare:

    0=+ l

    g&& , (1.6)

    a crei soluie este: ( ) = ta cos , (1.7) unde:

    g

    lT

    l

    g

    22

    ; === , (1.8)

    iar a i rezult din condiiile iniiale. Se poate observa c, perioada micrii T ( respectiv pulsaia i frecvena

    l

    g

    Tf

    211

    == ) nu depinde de condiiile iniiale ( la 00 ;:0 === &t ) ci numai de

    A

    0v

    O

    mg

    m

    0A

    l

    Fig.1.1

  • caracteristicile sistemului, in cazul considerat numai de lungimea l a pendulului simplu. Se spune c micile oscilaii ale pendulului simplu sunt izocrone. O oscilaie complet se face n acelai timp, independent de 0 i 0 i implicit independent i de amplitudinea vibraiilor. Aceast proprietate a fost stabilit de Galileo Galilei.

    Dac din dezvoltarea n serie (1.4) se consider doi termeni, ecuaia diferenial (1.5) devine neliniar i anume:

    06

    3 =+ l

    g

    l

    g&& . (1.5a)

    Ecuaia (1.6) i soluia acesteia (1.7) sunt valabile pentru 00 43 , n timp ce ecuaia (1.5a) i soluia ei vor fi valabile pentru valori ceva mai mari ale unghiului .

    Dac din dezvoltarea n serie (1.4) se consider trei termeni, ecuaia diferenial (1.5) devine:

    01206

    53 =++ l

    g

    l

    g

    l

    g&& , (1.5b)

    valabil pentru unghiuri mai mari.

    b. Studiul analitic al marilor oscilaii ale pendulului (studiul calitativ al micrii)

    Henri Poincar afirma c: Teoria oricrei funcii ncepe n mod natural cu aspectul su

    calitativ i astfel problema care se impune de la nceput este urmtoarea: construii curbele definite

    de ecuaiile difereniale. Acest studiu calitativ odat definitivat, va fi d cea mai mare utilitate pentru

    calculul numeric al funciei. Mai mult, acest studiu calitativ va fi el nsui de mare interes. Multe

    ntrebri importante din Analiza matematic i din Mecanic se reduc de fapt la aceasta. Pornind de la aceast observaie se urmrete in continuare studiul calitativ al micrii

    pendulului simplu i determinarea perioadei in cazul micrii acestuia. Dac se aplic teorema conservrii energiei mecanice a sistemului (sistemul este conservativ

    deoarece singura for dat este greutatea mg ), se scrie:

    00 VEVE +=+ , (1.9)

    n care: E - energia cinetic, 0E - energia cinetic la momentul 0=t , UV = - energia potnial,

    0V - energia potenial la momentul 0=t . Considernd condiiile iniiale:

    =

    ==

    0

    00

    &

    t , (1.10)

    rezult:

    ===

    ==+=+===

    CmglVmlmvE

    CmglUVCmglCmgyUmlmvE A

    0020

    2200

    222

    cos;2

    1

    2

    1

    ;cos;cos;2

    1

    2

    1

    &

    , (1.11)

    ceea ce permite scrierea relaiei (1.9) sub forma:

    Cmglml

    Cmglml

    = 020

    22

    2

    cos2

    cos2

    & , (1.12)

    sau:

    ( )0202 coscos2

    +=l

    g& . (1.13)

    Prin utilizarea formulelor trigonometrice

    2

    sin21cos;2

    sin21cos 0202

    == (1.14)

  • i nlocuirea acestora n relaia (1.13), se obine:

    +=

    2sin

    2sin

    44 202

    202 g

    l

    l

    g& , (1.15)

    sau

    =2

    sin4 222

    Al

    g& , (1.16)

    n care

    2

    sin4

    02202 +=g

    lA (1.17)

    este o constant pozitiv care depinde de condiiile iniiale 0 i 0 . Tipul micrii depinde de valoarea constantei A . Se disting urmtoarele cazuri:

    i. cazul 12 A

    Relaia (1.16) devine:

    02

    sin4 222 >

    =

    Al

    g& , (1.16b)

    din care rezult c crete continu (monoton cresctor), ceea ce semnific c punctul material efectueaz o micare rotatorie.

    iii. cazul 12 =A Relaia (1.16) devine:

    ,2

    cos42

    sin14 222

    l

    g

    l

    g=

    =& (1.16c)

    de unde rezult:

    2

    cos2

    l

    g=& . (1.17)

    Dac, de exemplu, mobilul este lansat din poziia 00 = cu 0 care corespunde lui 12 =A ,

    adic:

    104

    202 =+=g

    lA

    , (1.18)

    atunci aceast pulsaie iniial este

    l

    g20 = . (1.19)

    Pentru 00 > , n relaia (1.17) se consider semnul plus i se poate scrie:

    2

    cos2

    l

    g

    dt

    d= , (1.20)

    sau:

  • 2cos2

    l

    g

    ddt = . (1.21)

    Mobilul se oprete n punctele n care

    02

    cos =

    , (1.22)

    adic pentru: ......3,2,1, == nn (1.23) Dac mobilul pleac din punctul ( )01 =A , timpul n care ajunge n punctul ( ) =1B , rezult din (1.21):

    =

    =

    =

    00

    2cos2

    11

    l

    g

    ddt

    BAt

    , (1.24)

    respectiv:

    =

    0

    11

    2cos2

    1 d

    g

    lt BA . (1.25)

    Se constat c timpul n care mobilul ajunge din punctul 1A n poziia de echilibru

    nestabil ( ) =1B este infinit. Micarea are caracter asimptotic. Reprezentarea n planul fazelor ( ) ,& sau ( )xy, este prezentat n figura 1.2, n care se pot

    observa urmtoarele puncte critice:

    .

    .

    ( )0,0O - centru (simplu stabil); se poate extinde obsevaia i pentru ;....2;...;4;2 n= ( )0,1 B - a (nestabil): se poate extinde observaia i pentru ( ) ;...12;...;5;3; += k

    n funcie de condiiile iniiale, respectiv de parametrul 2A , se disting urmtoarele cazuri: - 12 A - micri rotatorii (neperiodice; curbe deschise); - 12 =A - curb separatoare (separatrice) ntre cele dou domenii; se observ ca aceast curb nu este continu; relaia (1.25) arat c timpul micrii din 1A n 1B este 11BAt .

    O reprezentare interesant a micrilor posibile se poate obine dac se introduce spaiul cilindric al fazelor. Aceste se poate realiza dac din reprezentarea din figura 1.2 se taie fii de

    1A

    1B 2

    &

    O

    3

    Fig. 1.2

  • lime 2 ( de exemplu [ ] 2,0 ) i dac se unesc cele dou limi paralele cu & , obinndu-se astfel un cilindru (fig. 1.3).

    Pentru cazul micrilor periodice ( 12

  • ( )

    =2

    022 sin1

    k

    dkK , (1.34)

    unde s-a notat 2

    sin 0

    =k . Funcia ( )kK dat de relaia (1.34) se numete integral eliptic de spea

    I, complet. Ea este calculat i prezentat tabelar n literatura de specialitate (de exmplu, Manualul inginerului, vol.I). Relaia (1.33) devine:

    ( )kKg

    lT 4= . (1.35)

    Se constat c perioada T depinde de condiiile iniiale, n acest caz de 0 , cci s-a considerat 00 = . n cazul micilor oscilaii, cnd se presupune c sin , perioada micrii este:

    g

    lT 20 = . (1.36)

    Comparnd relaia (1.36) cu cea corespunztoare unui unghi 0 oarecare, rezult:

    ( )kKT

    T

    2

    0

    = . (1.37)

    n tabelul 1 sunt prezentate valorile funciei ( )kK i ale raportului 0T

    T pentru diferite valori

    ale lui 0 . Tabelul 1

    0 00 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

    ( )kK

    2sin 0

    =k

    2

    1.583 1.620 1.686 1.787 1.936 2.157 2.505 3.153

    0T

    T

    1.000 1.008 1.031 1.073 1.137 1.232 1.373 1.594 2.007

    Reprezentarea relaiei (1.37) este realizat cu ajutorul programului de calcul Matlab (fig. 1.4). a. fr calculul valorilor x=0:20:16:0; y=[1.000,1.008,1.031,1.073,1.137,1.232,1.373,1.594,2.007]; plot(x,y) b. cu calculul valorilor >> x=0:20:160 y=[1.000,1.008,1.031,1.073,1.137,1.232,1.373,1.594,2.007] plot(x,y) x = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 y = 1.0000 1.0080 1.0310 1.0730 1.1370 1.2320 1.3730 1.5940 2.0070

  • 0 20 40 60 80 100 120 140 1601

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    2.2

    2.4

    teta 0 [grade]

    T/T0

    Fig.1.4-Variatia perioadei oscilatiilor pendulului in functie de amplitudinea oscilatiei teta 0

    0 20 40 60 80 100 120 140 1601

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    2.2

    2.4

    teta 0 [grade]

    T/T0

    Fig.1.4-Variatia perioadei oscilatiilor pendulului in functie de amplitudinea oscilatiei teta 0

    1.008 1.0311.073

    1.137

    1.232

    1.373

    1.594

    2.007

  • 1.4 Punctul material acionat de o for neliniar ( )xF Ecuaia diferenial a micrii este: ( )xFxm =&& sau ( ) 0=+ xFxm && . (1.38)

    nmulind ecuaia diferenial a micrii cu x& i integrnd, rezult:

    ( ) ==+ .21

    02 constEdxxFxm& , (1.39)

    unde cu 0E s-a notat constanta de integrare.

    Dac se noteaz:

    ( ) ( )= dxxFxV , (1.40)

    care reprezint energia potenial deoarece ( )xFdx

    dV+= , atunci din relaia (1.39) rezult:

    ( )[ ]xVEm

    x = 02

    & , (1.41)

    ceea ce face posibil calculul timpului t :

    ( )[ ]

    +=x

    x VEm

    dtt

    00

    02

    , (1.42)

    dac integrala se poate calcula analitic. n figura (1.5 a,b,c) sunt reprezentate funciile ( )xF , ( )xV i curbele soluie din planul

    fazelor.

    0E

    ( )xF

    O

    x O

    ( )xV

    0E

    0E

    x

    O

    Separatrice

    x

    x&

    a.

    b.

    c.

    Fig. 1.5


Top Related