curs 7 predictoare ar doc

7/24/2019 Curs 7 Predictoare AR Doc

1/13

Curs 7SEMNALE ALEATOARE

1 Noiunea de semnal aleator

Un semnal (proces) aleator este un semnal a crei evoluie n timp este supus hazardului.

Pentru a caracteriza proprietile statistice ale semnalelor aleatoare trebuie s introducemnoiunile defuncie de repartiiei densitate de probabilitate.FieN realizri ale unui semnal aleator (fig. ). Presupunem c! printre acestea! sunt un

numr de nrealizri care au la momentul tvalori inferioare sau egale cux. Funcia repartiiede ordinul nt"i se definete ca#

() ( ) ( ){ } ! prob limN

nF x t x t x

N= =

Fig. $ealizarea unui semnal aleator

%u a&utorul acestei funcii se definete densitatea de probabilitatede ordinul nt"i#

(') ( ) ( )

!!

F x tx t

x

=

Funcia de repartiie de ordinul doi! considerat la momentele ti t'! este#

() ( ) ( ) ( ){ }' ' ' ' '! ! prob F x t x t x t x x t x=

*ensitatea de probabilitate de ordinul doi este#

(+) ( ) ( )' ' ' '

' ' ' '

! !! !

F x t x t x t x t

x x

=

,n acelai mod se definesc funcia repartiie de ordinul ni funcia densitate de probabilitatede ordinul n#

(-) ( ) ( ) ( ){ } ! ... ! prob ...n n n n nF x t x t x t x x t x=

() ( ) ( )

! ... !! ... !

...

nn n n

n n n

n

F x t x tx t x t

x x

=

2 Clasificarea semnalelor aleatoare

/

t

t

t

'

t 't


2/13

Putem clasifica semnalele aleatoare consider"nd trei criterii! enumerate n continuare.

1. Ordinul densitii de probabilitate! care descrie semnalul.

A.Semnal aleator pur! caracterizat de relaia#

(0) ( ) ( ) ' ' ! ! ... ! !

n n n n n n nx t x t x t x t x t

=

! unde# ' nt t t<


3/13

(+) ( ) ( ) !x t x =

iar densitatea de probabilitate de ordinul doi nu depinde dec"t de diferena ( ' t t )#

(-) ( ) ( )' ' ' ' '! ! ! !x t x t x x = ! ' t t=

,n acest caz! relaiile (7)...() devin#

() ( ) dx x x x

= %

(0) ' ' 'x x x = %

(1) ( ) ( ) ' ' ' '! ! d dxxR x x x x x x

=

(2) ( ) ( )' ! ! d dxyR xy x y x y

=

Observaie #

3emnalele ale cror proprieti sunt complet descrise de momentele de ordinul unu i doi senumesc 8staionare n sens larg! sau 8staionare pn la ordinul doi. $elaiile (+) i (-)definesc procesele aleatoare 8staionare n sens strit. Procesele staionare n sens strict sunt istaionare n sens larg.

. Modalitatea de calcul a valorii medii*up acest criteriu de clasificare putem considera#

A. Procese aleatoare !enerale!pentru care valorile medii sunt determinatepe "ntre!ul setde date! utiliz"nd relaiile date mai sus.

B. Procese er!odice! atunci c"nd valorile medii statistice sunt egale cu valorile mediitemporale.

,n cazul proceselor ergodice sunt valabile relaiile#

('7) ( ) ( )

d lim d'

!

! !

x x x x x x t t!

= = =

%

(') '' ' ' '

x x x x x = = %

Fig. 2%lasificarea proceselor aleatoare

('') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim d'

!

xxt !

R x t x t x t x t x t x t t!

= + = + = +

(') ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

lim d'!

xy !tR x t y t x t y t x t y t t!

= + = + = +

%lasificarea proceselor aleatoare este reprezentat n fig. '.

ergodie

staionare n

sens stritstaonare n

sens larg

sto"astie


4/13

Caracterizarea statistic a semnalelor

%onsiderm n continuare cazul semnalelor ergodice. #aracteristicile statistice pot fidescrise fie "n domeniul timp$ fie "n domeniul frecven.

A. #aracteristica temporal a unui semnal aleator este funcia de autocorelaie (numit

mai simplu funcia de corelaie)#

('+) ( ) ( ) ( )

lim d'

!

xx! !

R x t x t t!

= +

Proprietile acestei funcii (fig. ) sunt urmtoarele#

) Funcia de autocorelaie este par# ( ) ( )xx xxR R = ') 9ste valabil relaia#

('-) ( )lim 7xxR

=

) Funcia de corelaie are un ma:im n origine! unde#

(') ( ) ' ' '7xx xR x x= = +

Fig. 3Funcia de corelaie

Observa ie #

*ac 7x= ! atunciRxx(#) este numit$unie de autoovarian! sau$unie de ovarian.

B. #aracteristica "n domeniul frecven a unui semnal aleator este funcia de densitatesectral! a uterii! %xx(&)! definit prin relaia#

('0) ( ) ( )'

lim'xx !!

% '!

=

!

unde '!(&) este transformata Fourier a semnalului x!(t). 6cesta este o 8parte; din procesulaleator! vzut prin fereastra de timp (fig. +).

Fig. "*efiniia semnalului ( )!x t

Funcia %xx(&) este o funcie real! par i! n plus#

('1) ( )lim 7xx%

= !

9a desemneaz densitatea de putere a semnalului pe a:a frecvenelor! (&).

7

t

!

$ereastr de ti)p

( )tx!

!

( )tx

( )#Rxx


5/13

Observaie #

Pentru dou procese aleatoare! x(t) i y(t)! se poate defini densitatea spetral )utual(densitatea interspetral)! prin relaia#

('2) ( ) ( ) ( )

lim'xy ! !!

% ' *!

=

!

unde '!(&) i *!(&) sunt transformatele Fourier ale semnalelor x!(t) i y!(t). *ensitateainterspectral este o funcie comple:.

Teorema Wiener Hincin

6ceast teorem stabilete legtura ntre caracteristica temporal! Rxx(#)! i caracteristicafrecvenial! %xx(&)! a unui semnal aleator#

(7) ( ) ( ){ }xx xx% R =F

() ( ) ( ){ }xx xxR % =F

?in"nd cont c funciileRxx(#) i %xx(&) sunt funcii pare! rezult#

(') ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7

e cos sin d ' cos d+ t

xx xx xx xx% R R + R

= = =

() ( ) ( ) ( )7

e d cos d

'+

xx xx xxR % %

= =

Fig. #%aracteristicile unui zgomot alb

Fiex(t) un semnal aleator pur. Funcia de corelaie are forma unui impuls delta (fig. -! a)) idensitatea spectral de putere este constant! deci ea conine componente pentru toate frecvenele(fig. -! b)). 6cest semnal! care nu este nt"lnit n natur (este de putere infit)! se numete8,go)ot alb.

3emnalele reale se numesc 8olorate; i au forme diferite pentru funciile de corelaie i ceade densitate spectral de putere (fig. i 0). %"t timp un semnal are o funcie de corelaie

ngust! banda de densitate spectral a puterii este larg (fig. ) i n acest caz semnalul este maiapropiat de zgomotul alb. *ac funcia de corelaie este larg! banda spectral a semnalului estengust (fig. 0) i semnalul este mai apropiat de un semnal periodic (determinist).

Fig. $%aracteristicile unui zgomot de band larg

( )xx

R

( )xx%

F

a) b)

F

( )xx

R

( )xx

%


6/13

Fig. 7%aracteristicile unui zgomot de band ngust

Relaii funda%entale &n dina%ica statistic! a siste%elor

Fie un sistem cu funcia de transfer-(s)! la intrarea cruia se aplic un semnal aleator av"ndfuncia densitii spectrale de putere %uu(@). Aa ieirea sistemului se obine un semnal aleator cufuncia densitii spectrale de putere %yy(@). $elaia intrare=ieire a sistemului este

(+)'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yy uu uu% - + - + % - + % = =

%plicaii ale relaiei (+)

. *ac la intrarea unui sistem se aplic un zgomot alb av"nd %uu(@)B%7i se determindensitatea spectral %yy(@) la ieire! atunci putem determina caracteristica de frecven asistemului

(-)7

( )( ) yy

%A

%

=

*ac sistemul este de faz minim! atunci 6(@) descrie complet dinamica sistemului iprocedura prezentat este o metod de identificare a sistemului.

'. *ac dorim s generm un proces aleator cu o caracteristic spectral dat! fie aceasta%yy(@)! atunci se aplic un zgomot alb av"nd %,,(@)B%7la intrarea unui sistem av"ndcaracteristica de frecven (-). Aa ieirea sistemului se obine procesul aleator cucaracteristica spectral impus. 3istemul se numetefiltru de formare.

F

( )xx

R

( )xx

%


7/13

'RE()C*)A SER))LOR (E T)M' +T)L),-N( F)LTRAREA A(A'T)/

0. For%ularea ro1le%ei

'redicia e un as# s se determinex() pe baza datelorx(/N# =) C v. fig. .

'redicia e M ai# s se determinex(01=) pe baza datelorx(/N# =) C v. fig. '.a6lt formulare # s se determinex() be baza datelorx(/N= # /1) C v. fig. 'b.

Fig.

Fig. '

O1seraie 4Predicia este realizat strict pe baz de date. Aa un predictor recursiv se face! la pasul 5=!

predicia pentru momentul D(1=) (v. Fig. 'a). 6poi! se ateapt p"n la momentul (D(1=))pentru a afla valoarea adevrat x(D(1=))! care determin corecia parametrilor predictorului.En consecin! nu este vorba de o succesiune de predicii pe un pas! care utilizeaz predicia

pasului anterior (predicie pe baza prediciilor).

0. Clasific!ri

a. Dup tipul de model parametric al seriei de timp(6$! 6$46! )

b. Dup metoda de sintebC 6naliticb'C Prin prelucrarea numeric a datelor.

c. Dup natura procesului de estimare a parametrilor predictorului(pentru b')

cC Esti%are recursi! 5cu filtru adati6c'C 9stimare prin prelucrarea pe mulime a datelor

2. Noiuni teoretice

Un proces aleator 6$46 este generat prin schema din fig. ! unde #

5=/ 5= 5

Predicie

5=/ 5= 5

Pr

5=/ 5= 5

Predicie

5D(4=).

5=/= 5=4 5

a)

b)

5=/ 5= 5 5D(4=).

5=/= 5=4

Predicie

5

a)

b)


8/13

( ) ( )( )

=

2A

2B2- ()

i e() este un zgomot alb de varian 'e . Polinoamele A(2=) iB(G=) sunt #

( ) '

' = L n

nA 2 a 2 a 2 a 2

(')( ) ' ' = L ))B 2 b 2 b 2 a 2 ()

H(G=)e(5) :(5)

H(G=)e(5) :(5)

Fig.

6cest sistem este numitfiltru de formare. 9cuaia n diferene intrare=ieire a acestuia este #

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' = + + + + + + L Ln )x a x a x a x n b e b e ) (+)

Pentru analiza n frecven a filtrului de formare! vom nlocui 2= prin,=! deci se utilizeazfuncia de transfer n ,#

( )( )( )

=

B ,- ,

A ,(-)

*acB(,=)B! atunci modelul este de tip autore!resiv(6$). *acA(,=)B! atunci modelul este de tip medie alunectoare(46)=(4oving 6verage).

En cazul general! modelul este autore!resiv 'i de medie alunectoare(6$46)

6a cum se va arta n continuare! modelul 6$ are o importan particular pentru problemaprediciei seriilor de timp. Pentru a arta esena operaiei de predicie! se admite o serie de timpx(t)! al crui model 6$ are forma cea mai simpl! dat n fig. +. Funcia de transfer a filtrului deformare este#

( )

=

- ,

a,()

i rspunsul la frecven#

( )

=

+

+

- e

ae

(0)

cu e3 ! i (7!)a .

D

z=

e(5)

a.:(5=)

a

:(5=):(5)Ba.:(5=)De(5)

D

z=

e(5)

a.:(5=)

a

:(5=):(5)Ba.:(5=)De(5)

Fig. +

*ensitatea spectral de putere a seriei de timpx(t) este #


9/13

( ) ( ) ( )'

' ee '

II

' cosJ

= =+

+ + +x% e - e - e

a a(1)

Ear funcia de autocorelaie este #

( ) ( ){ } ( )KL K @ L 7= =x!F % a ( )'e

'

IL 7

=

a(2)

En fig. -a i -b sunt date! calitativ! formele funciilor ( )L K et ( )Jx% .

*ac parametrul aeste foarte apropiat de (e:. a3a)! atunci ( ) este apropiat de ( )7 !

av"nd semnificaia c x() este foarte corelat cux(=). En acest caz! x() poate fi prezis cu

uurin. *in contr! dac aeste mic! (e:. aBa')! ( ) este mic! adicx(5) este slab corelat cu

x(=)! i deci este greu de prezis. *ac a7! atuncix() e() care este un zgomot alb Cacesta fiind prin definiie nepredictibil.

Fig. -

3. Metode analitice de sintea a redictoarelor

3e face ipoteza c modelul procesului aleator staionar care trebuie prezis este cunoscut sub

forma densitii spectrale de putere! ( )Jx% ! cu e3 ! .

En conformitate cu teorema factori&rii spectrale$ avem

( ) ( ) ( ) 'eJ I = + +x% - e - e (7)

sau( ) ( ) ( ) 'ezI = == + +x , e , e% - , - , ()

3e deduce funcia de transfer a filtrului de formare!-(,).

$ezultatul cel mai important privitor la predicia seriilor de timp este obinut trat"ndpredicia ca o problem de filtrare optimal (filtru Miener). Acest reultat const! &nur%!toarea funcie de transfer a unui filtru de redicie oti%al! 5entru redicia e unas64

( ) ( )

= p- , , - , (')

Nom analiza acest rezultat#

=

3()

D ' +=+ = =' =

()

5

( )' aa >

( )' aa

curs 7 predictoare ar doc

Documents