curs 6 - aplicatii liniare pe rn

CURS 6

Aplicatii liniare pe Rn

A. Arusoaie

e-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

1 Noiembrie, 2021

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Structura cursului

1 Functii reale. Generalitati

2 Aplicatii liniare pe spatii vectorialeNucleul si imaginea unui operator liniarTeorema dimensiuniiReprezentarea matriceala a aplicatiilor liniareVectori si valori proprii

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 47

Structura cursului




Functii reale. Generalitati

Amintim urmatoarele definitii predate ın Cursul 1:

Definitie

Fie X si Y doua multimi nevide. Spunem ca f ⊆ X × Y se numeste functie dacasatisface urmatoarele conditii:

1) Dom(f) = X;

2) (x, y) ∈ f si (x, z) ∈ f ⇒ y = z, ∀x ∈ X, ∀y, z ∈ Y .

Vom nota f : X → Y .

Imaginea lui X prin f(multimea valorilor) este

f(X) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : y = f(x)};

Daca A ⊆ X, multimea

f(A) = {f(x) ∈ Y | x ∈ A}

se numeste imaginea lui A prin f : X → Y ;



Daca B ⊆ Y , atuncif−1(B) = {x ∈ X|f(x) ∈ B}

se numeste contraimaginea multimii B prin f .

Graficul functiei f : X → Y este dat de multimea

Gf = {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y.

Daca A ⊆ X, atunci functia definita prin

f|A := f ∩ (A× Y )(f|A(x) = f(x), ∀x ∈ A)

se numeste restrictia functiei f la multimea A.



Spunem ca f : X → Y este o functie injectiva daca

∀x1, x2 ∈ X, cu x1 6= x2, avem f(x1) 6= f(x2),

sau, echivalent,∀x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2.

O functie f : X → Y este surjectiva daca f(X) = Y , sau, echivalent

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, astfel ıncat f(x) = y.

Vom spune ca functia f : X → Y este bijectiva daca f este injectiva si surjectiva.


Functii reale de mai multe variabile

Fie X = Rn si Y = Rm, n,m ∈ N∗. Asadar, vom considera cazul functiilor de tipul

f : D(f) ⊆ Rn → Rm.

1. Daca n = m = 1: functii reale;

2. Daca n = 1 si m ∈ N∗ \ {1}: functii de o variabila reala si cu valori reale, vectoriale;

3. Daca n ∈ N∗ \ {1} si m = 1: functii reale de n variabile (reale);

4. Daca n,m ∈ N∗ \ {1}: functii vectoriale de n variabile reale.


Functii reale de mai multe variabile

Fie functiaf : D(f) ⊆ Rn → Rm,

unde m,n ∈ N∗.

Daca m > 1, atunci, daca x ∈ D(f), x = (x1, . . . , xn), atunci f(x) = f(x1, . . . , xn), arem componente, pe care le vom nota

f1(x) = f1(x1, . . . , xn), f2(x) = f2(x1, . . . , xn), . . . , fm(x) = fm(x1, . . . , xn).

Asadar, vom avea m functii de n variabile fk : D(f)→ R, 1 ≤ k ≤ m, astfel ıncat

f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)),

pentru orice (x1, . . . , xn) ∈ D(f).

Reciproc, daca fi : D(fi)→ R, 1 ≤ i ≤ m sunt m functii reale de n variabile, putemconstrui o functie de n variabile cu valori ın Rm ca mai sus, unde

D(f) = D(f1) ∩ . . . ∩D(fm).


Exemple de functii reale

1. Functii elementare de baza:I functia constanta: f : R→ R, cu f(x) = c, ∀x ∈ R, unde c ∈ R;

I functia identitate: 1R : R→ R, 1R(x) = x, ∀x ∈ R ;

I functia exponentiala de baza a, a > 0 : functia f : R→ R, f(x) = ax,∀x ∈ R;I functia logaritm de baza a > 0, a 6= 1: f : (0,∞)→ R, f(x) = loga x;

I functia putere de exponent a ∈ R: f : D(f) ⊆ R→ R, f(x) = xa, ∀x ∈ R;I functii trigonometrice (directe): sin, cos, tg, ctg;

I functii trigonometrice inverse: arcsin, arccos, arctg, arcctg.

2. Functii elementare: adica o functie obtinuta prin aplicarea uneia sau a mai multoroperatii de baza cu functiile elementare de baza: adunarea, scaderea, ınmultirea siımpartirea.


Exemple de functii reale

3. Functii speciale:

I functia parte ıntreaga: f : R→ R, f(x) = [x]def= sup {n ∈ Z | n ≤ x};

I functia parte fractionara: f : R→ R definita de f(x) = {x} = x− [x];

I functia semn: f : R→ R definita de f(x) = sgn(x) =

−1, x < 00, x = 01, x > 0

;

I functia valoare absoluta: f : R→ R, definita de f(x) = |x| ={−x, x < 0x, x ≥ 0

;

I functia parte pozitiva: f : R→ R, definita de f(x) = x+ =

{x, x ≥ 00, x < 0

;

I functia parte negativa: f : R→ R, definita de f(x) = x− =

{0, x ≥ 0−x, x < 0

;

I functia lui Dirichlet: f : R→ R, definita de f(x) =

{1, x ∈ Q0, x ∈ R \ Q ;

I functia lui Heaviside: f : R→ R, definita de f(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0

;

I functia lui Riemann, f : [0, 1]→ R, f(x) =

0, daca x = 0 sau x ∈ (0, 1] \ Q1

q, x =

p

q∈ (0, 1] ∩ Q, (p, q) = 1

.


Exemple de functii reale de mai multe variabile

1) Gasiti multimea A pentru functia f : A ⊆ R2 → R, definita prin

f(x1, x2) = −√

sin (x21 + x22), (x1, x2) ∈ A,

2) Gasiti multimea A pentru functia f : A ⊆ R3 → R, definita prin

f(x1, x2, x3) = ln (1− x1 − x2 − x3)− (x1 + x3)x2 , (x1, x2, x3) ∈ A.


Exemple de functii reale de mai multe variabile - Functia polinomiala

3) Functia polinomiala P : Rn → R, definita prin

P (x1, x2, . . . , xn) =

k1,k2,...,kn∑i1,i2,...,in=0

ai1,i2,...,inxi11 x

i22 . . . xinn , (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

I ai1,i2,...,in ∈ R se numesc coeficientii polinomului P .

I Fiecare termen ai1,i2,...,inxi11 xi22 . . . xinn , cu ai1,...,in 6= 0 se numeste monom al lui P .

I i1 + i2 + . . .+ in ∈ N este gradul monomului.

I Numim gradul polinomului P cel mai mare grad printre toate monoamele sale.

I Spunem ca polinomul P este omogen daca toate monoamele sale au acelasi grad.Un exemplu de polinom omogen este urmatorul polinom de grad 1:

P (x1, . . . xn) = a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn, (x1, . . . , xn) ∈ Rn.


Exemple de functii reale de mai multe variabile

Un polinom P se numeste simetric daca, pentru orice permutare

σ =

(1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

)cu σ(i) ∈ {1, 2, . . . , n}, ∀ i = 1, n si σ(i) 6= σ(j), ∀ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, avem

k1,k2,...,kn∑i1,i2,...,in=0

ai1,i2,...,inxi11 x

i22 . . . xinn =

k1,k2,...,kn∑i1,i2,...,in=0

ai1,i2,...,inxi1σ(1)x

i2σ(2) . . . x

inσ(n).

Spre exemplu, functia

P (x1, x2) = ax12 + bx1x2 + cx22, (x1, x2) ∈ R2

este un polinom simetric daca si numai daca a = c.


Structura cursului




Aplicatii liniare pe spatii vectoriale

Definitie

Fie (V,+, ·) si (W,+, ·) spatii liniare reale. Spunem ca o aplicatie T : V →W senumeste liniara daca

(i) T (u+ v) = T (u) + T (v), ∀u,v ∈ V (aditivitate),

(ii) T (α · u) = αT (u), ∀u ∈ V , α ∈ R (omogenitate).

Vom utiliza de asemenea denumirile de operator liniar sau transformare liniara pentru oaplicatie liniara.

L(V,W ) - multimea aplicatiilor liniare definite pe V cu valori ın W.



Propozitie

Fie (V,+, ·) si (W,+, ·) doua spatii liniare reale.

Aplicatia T : V →W este liniara daca si numai daca

T (αu+ βv) = αT (u) + βT (v), ∀u,v ∈ V, ∀α, β ∈ R.

Exemplu: Toate polinoamele omogene de grad 1 (definite pe Rn), de tipul

P (x1, x2, . . . , xn) := a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn, (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,

sunt aplicatii liniare ıntre Rn si R.


Exemplu - Aplicatii liniare pe spatii vectoriale

Fie aplicatia T : R2 → R2, T (x, y) = (−x− y, x+ 3y).

Figure: https://mathinsight.org/image/linear_transformation_2d_m1_m1_1_3


https://mathinsight.org/image/linear_transformation_2d_m1_m1_1_3


Observatii:

1. Daca (V,+, ·), (W,+, ·) sunt doua spatii liniare, iar T : V →W este o aplicatieliniara bijectiva, atunci T se numeste izomorfism ıntre spatiile liniare V si W .

2. Daca V =W , aplicatia liniara T : V → V se numeste endomorfism liniar pe V .Functia identitate 1V este un endomorfism liniar pe V .

3. Daca endomorfismul liniar T : V → V este si bijectiv, atunci el se numesteautomorfism liniar pe V .

4. Daca T : V →W este o aplicatie liniara, iar α1, . . . , αn ∈ R, u1, . . . ,un ∈ V, atunciavem

T (α1u1 + . . .+ αnun) =n∑i=1

αiT (ui) = α1T (u1) + . . .+ αnT (un),∀n ∈ N∗.



Observatii:

5. Daca T : V →W este o aplicatie liniara, atunci

T (0V ) = 0W ,

unde 0V si 0W sunt vectorul nul din V si din W . Daca T (0V ) 6= 0W , atunciT : V →W nu este liniara.

6. Se poate arata ca multimea (L(V,W ),+, ·), a tuturor aplicatiilor liniare de la spatiulliniar V la spatiul liniar W , formeaza un spatiu liniar ın raport cu operatia deadunare a aplicatiilor si cu operatia de ınmultire a unei aplicatii cu un scalar din R.Daca V =W , vom nota mai simplu L(V ), ın loc de L(V,W ).

7. Fie U, V si W spatii liniare reale.

Daca T1 : U → V si T2 : V →W sunt aplicatii liniare, atunci T2 ◦ T1 : U →W estetot o aplicatie liniara.


Nucleul si imaginea unui operator liniar

Definitie

Fie (V,+, ·) si (W,+, ·) doua spatii liniare si fie T : V →W o aplicatie liniara.

a) Multimea

Ker(T )not= T−1(0W ) = {v ∈ V | T (v) = 0W }

se numeste nucleul aplicatiei liniare T .

b) Multimea

Im(T )not= T (V ) = {w ∈W | ∃v ∈ V : T (v) = w}

se numeste imaginea aplicatiei liniare T .

Figure: Nucleul si imaginea operatorului L(Wiki)


Nucleul si imaginea unui operator liniar

Propozitie

Fie (V,+, ·) si (W,+, ·) doua spatii liniare si fie T : V →W o aplicatie liniara. Atunci

Ker(T ) este un subspatiu liniar al lui V ,

Im(T ) un subspatiu liniar al lui W ;

T este injectiva daca si numai daca Ker(T ) = {0V }.

Figure: Nucleul si imaginea operatorului L(Wiki)


Teorema dimensiunii

Teorema

Fie V un spatiu liniar finit dimensional, W un spatiu liniar, si fie T : V →W o aplicatieliniara. Atunci Im(T ) este finit dimensional al lui W si are loc formula dimensiunii:

dim(V ) = dim (Ker(T )) + dim (Im(T )) .

Rezultatul de mai sus este unul fundamental ın algebra, si se gaseste ın literaturasub numele de teorema dimensiunii.

Fie V,W doua spatii vectoriale, si fie T : V →W o aplicatie liniara. Atunci,

daca Ker(T ) este finit dimensional, numarul dim (Ker(T )) se numeste defectul luiT si se noteaza def(T );

daca Im(T ) este finit dimensional, numarul dim (Im(T )) se numeste rangul lui T sise noteaza rang(T ).

Asadar, formula dimensiunilor poate fi redata atunci sub forma:

dim(V ) = rang(T ) + def(T ).



Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit dimensional, (W,+, ·) un spatiu liniar, si T : V →W oaplicatie liniara. Atunci, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) T este injectiva;

b) def(T ) = 0;

c) rang(T ) = dim(V );

d) Daca {v1, . . . ,vn} este un sistem liniar independent ın V , atunci multimea{T (v1), . . . , T (vn)} este sistem liniar independent ın W .



Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit dimensional, (W,+, ·) un spatiu liniar, si T : V →W oaplicatie liniara. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) T este surjectiva;

ii) rang(T ) = dim(W );

iii) Im(T ) =W ;

iv) Daca {v1, . . . ,vn} este un sistem de generatori pentru V , atunci multimea{T (v1), . . . , T (vn)} este un sistem de generatori pentru W .



Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit dimensional, (W,+, ·) un spatiu liniar, si T : V →W oaplicatie liniara. Atunci, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

j) T este bijectiva;

jj) dim(V ) = dim(W ) = rang(T );

jjj) Pentru orice baza B = {b1, . . . ,bn} a lui V , multimea

T (B) = {T (b1), . . . , T (bn)}

este o baza a lui W .


Reprezentarea matriceala a aplicatiilor liniare



Fie V si W doua spatii liniare, finit-dimensionale, cu dim(V ) = n, dim(W ) = m,

B = {b1, . . . ,bn} o baza a lui V , B′ = {b′1, . . . ,b′m} o baza a lui W si T : V →W oaplicatie liniara.

Atunci, pentru orice k ∈ {1, . . . , n} putem scrie

T (b1) = a11b′1 + . . . am1b

′m,

T (b2) = a12b′1 + . . . am2b

′m,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T (bk) = a1kb

′1 + . . . amkb

′m,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T (bn) = a1nb

′1 + . . . amnb

′m,

(1)

unde a1k, . . . , amk ∈ R sunt coordonatele lui T (bk) ın raport cu baza B′.



Matricea

AB,B′ :=

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

∈Mm,n(R)

se numeste matricea asociata aplicatiei T ın raport cu bazele B, respectiv B′.

Daca v ∈ V , iar α1, . . . , αn ∈ R sunt coordonatele vectorului v ın raport cu baza B,atunci

T (v) = T (α1b1 + . . .+ αnbn) = β1b′1 + . . .+ βmb′m

unde β1, . . . , βm ∈ R, βk = α1ak1 + . . .+ αnakn, sunt coordonatele lui T (v) ın raportcu baza B′.



I Daca v ∈ V are coordonatele α1, . . . , αn ∈ R ın baza B, iar T (v) ∈W arecoordonatele β1, . . . , βm ∈ R ın baza B′, atunci putem scrie relatia

XB′ = AB,B′ ·XB ,

unde

XB =

α1

...αn

∈Mn,1(R), XB′ =

β1...βm

∈Mm,1(R)

I Daca r ∈ {1, . . . ,min(m,n)} este rangul matricei AB,B′ , se poate arata ca

rang(AB,B′) = rang(T ).


Schimbari de baze

Fie B = {b1, . . . , bn} o alta baza a lui V si B′ = {b′1, . . . , b′m} o baza a lui W .

SB,B = (sij)1≤i,j≤n ∈Mn(R) matricea de trecere de la baza B la baza B;

S′B′,B′ = (s′ij)1≤i,j≤m ∈Mn(R) matricea de trecere de la B′ la B′;

AB,B′ := (aij) ∈Mm,n(R), unde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, matricea asociata

operatorului T ın raport cu bazele B, B′.

Atunci, are locS′B′,B′ ·AB,B′ = AB,B′ · SB,B ,

sau, echivalentAB,B′ = (S′

B′,B′)−1 ·AB,B′ · SB,B .



Matricea asociata compunerii a doua aplicatii:

Presupunem ca W ′ este un alt spatiu finit dimensional, dim(W ′) = m′, si fieT ′ :W →W ′ un alt operator liniar.

I Daca B′ = {b′1, . . . , b′m} este o baza a lui W ′;

I AB′,B′ ∈Mm,m′(R) este matricea asociata operatorului T ′ ın raport cu B′ si B′,

se poate arata ca operatorul T ′ ◦ T : V →W ′ are pe AB′,B′ ·AB,B′ ca matrice asociata

ın raport cu bazele B si B′.

Consecinta: Operatorul liniar T este bijectiv daca si numai daca matricea sa asociata (ınraport cu orice baza a lui V ) este inversabila. In acest caz, matricea asociata lui T−1

este inversa matricei asociate lui T.



Caz particular:

Fie V = Rn, W = Rm, iar Bc = {e1, . . . , en} si B′c = {e′1, . . . , e′m} sunt bazelecanonice ın Rn, respectiv Rm, atunci avem

T (v) = AB,B′ · v, ∀v ∈ Rn,

unde vectorii din Rn sunt considerati ca matrici coloana Mn,1(R).

Un operator liniar ıntre Rn si Rm se poate identifica cu o matrice A ∈Mm,n(R) prinformula

T (v) = A · v, ∀v ∈ Rn.


Vectori si valori proprii



Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar si fie T ∈ L(V ).

a) Un vector v ∈ V \ {0V }, se numeste vector propriu al lui T daca

∃λ ∈ R : T (v) = λ · v.

Scalarul λ ∈ R se numeste valoare proprie a lui T , corespunzatoare vectoruluipropriu v.

b) Daca λ ∈ R este o valoare proprie a lui T , atunci subspatiul liniar

Ker (T − λ · 1V ) = {u ∈ V | T (u) = λ · u}

se numeste subspatiu propriu (subspatiul caracteristic) asociat lui λ.



Figure: Observam ca sageata rosie ısi schimba directia, ınsa cea albastra nu. Sageata albastraeste un vector propriu, iar valoarea sa proprie este 1, deoarece lungimea imaginii ramaneneschimbata. (Wikipedia)


https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors


Figure: Matricea A asociata unui operator, mareste / ıntinde vectorul x, ınsa nu ıi schimbadirectia, deci x este un vector propriu al lui A. (Wikipedia)


https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors


“Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) care dupa ce este ınmultit cumatricea nu ısi schimba directia!”

Pe langa importanta matematica, vectorii si valorile proprii ale unor matrici au aplicatii siın domenii ca:

mecanica cuantica;

procesare de imagini;

cautarile Google−→ algoritmul PageRank.

ınvatare automata: face recognition

inginerie: determinarea frecventelor vibratiilor unor cladiri sau poduri (valorileproprii), determinarea formelor acestor vibratii (vectorii proprii).



Observatii:

1. Un vector v ∈ V \ {0V } este vector propriu pentru T , corespunzator valorii propriiλ ∈ R, daca si numai daca v ∈ Ker (T − λ1V ) \ {0V }.

2. Exista mai mult de un vector propriu ce corespunde unei valori proprii, dar numai ovaloare proprie ce corespunde unui vector propriu.

3. Spatiul caracteristic Vλ = Ker (T − λ1V ), asociat unei valori proprii λ ∈ R, este

invariant ın raport cu T , adica T (Vλ) ⊆ Vλ.

I Daca v ∈ Vλ, atunci T (T (v)) = T (λ · v) = λ · T (v), deci T (v) ∈ Vλ.

4. Daca λ1, λ2 ∈ R sunt doua valori proprii distincte, atunci Vλ1 ∩ Vλ2 = {0}.

5. Daca λ1, . . . , λn ∈ R sunt valori proprii distincte ale lui T , iar v1, . . . ,vn ∈ V suntvectorii proprii corespunzatori, atunci v1, . . . ,vn sunt liniar independenti.



Presupunem ca (V,+, ·) este finit dimensional si ca T ∈ L(V ).

Fie B = {b1, . . . ,bn} o baza a lui V , iar A ∈Mn(R) matricea asociata aplicatiei T ınraport cu baza B.

Atunci, λ ∈ R este valoare proprie daca si numai daca satisface ecuatia

det(A− λIn) = 0,

Functia polinomiala λ→ PA(λ) := det(A− λIn) se numeste polinomul caracteristical lui A.

Polinomul caracteristic al lui A este invariant la schimbari de baza, asa ca ıl vomnumi polinomul caracteristic al lui T .



Valorile proprii ale lui T sunt radacini reale ale polinomului caracteristic al lui T .

Daca λ ∈ R este o valoare proprie a lui T , atunci numarul

def(T − λ · 1V ) = dim(Ker(T − λ · 1V ))

se numeste multiplicitatea geometrica a lui λ.

Daca λ ∈ R este o radacina a polinomului PA ∈ R[X], vom numi multiplicitateaalgebrica a lui λ, cel mai mare numar m ∈ N∗ astfel ıncat (X − λ)m este un divizoral lui PA(X).

Observatie: Se poate arata ca multiplicitatea geometrica a unei valori proprii λ este maimica decat multiplicitatea algebrica a lui λ ın raport cu polinomul caracteristic al lui T .


Diagonalizarea aplicatiilor liniare



Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit-dimensional, cu dim(V ) = n, si fie T ∈ L(V ).

Spunem ca endomorfismul T este diagonalizabil daca exista B o baza a lui V ın raport cucare matricea asociata lui T , este o matrice diagonala, adica exista λ1, . . . , λn ∈ R astfelıncat

AB,B = diag(λ1, . . . , λn) =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

......

0 0 . . . λn

.



Teorema

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit dimensional si T ∈ L(V ). Atunci T este diagonalizabildaca si numai daca multimea tuturor vectorilor proprii genereaza pe V .

Observatii:

Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil pe spatiul liniar finit dimensional Vdaca si numai daca ecuatia caracteristica are toate radacinile din R, iar subspatiileproprii ın cauza au dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitate ale valorilorproprii corespunzatoare.


Etapele pentru diagonalizarea unui endomorfism:

In cazul V = Rn, exista o metoda practica pentru a vedea daca endomorfismulT ∈ L(Rn) este diagonalizabil :

1) Se considera baza canonica {e1, . . . , en} a lui Rn. In raport cu aceasta baza segaseste matricea A asociata operatorului T , precum si polinomul caracteristic:

PA(λ) := det(A− λIn), λ ∈ R.

2) Se determina valorile proprii ale endomorfismului respectiv, prin rezolvarea ecuatieialgebrice caracteristice PA(λ) = 0.

Daca toate cele n radacini ale lui PA sunt reale, putem continua. Daca nu, spunemca T nu este diagonalizabil si ne putem opri aici.

3) Pentru fiecare λ, calculam mλ - multiplicitatea algebrica a lui λ ın PA.

I daca mλ = 1, atunci mλ = n− rλ, unde rλ = rang(A− λIn).I daca mλ > 1, atunci calculam multiplicitatea geometrica a lui λ, adica n− rλ .

Daca mλ = n− rλ pentru orice valoare proprie λ, atunci T este diagonalizabil.

In caz contrar, concluzionam ca endomorfismul nu este diagonalizabil.


Etapele pentru diagonalizarea unui endomorfism:

4) Pentru fiecare valoare proprie λ, rezolvam ecuatia

Av = λv,

si determinam vectorii proprii v ∈ Rn.

Cum rang(A− λIn) = rλ, putem gasi vectorii liniari independenti v1, . . . ,vrλ cerezolva ecuatia.

Mai mult, conform procedurii de ortonormalizare Gram-Schmidt, putem alege cav1, . . . ,vrλ sa fie ortonormali.

5) Baza B a lui V pentru care matricea lui T este diagonala este atunci multimeav1, . . . ,vrλ , pentru toate valorile proprii λ. Matricea de trecere S de la {e1, . . . , en}la B este atunci matricea ce diagonalizeaza pe A, adica

diag(λ1, . . . , λn) = S−1 ·A · S.


Exercitiu: Fie endomorfismele

T1(x1, x2) = (x1 + x2,−2x1 − 2x2) , ∀(x1, x2) ∈ R2

si

T2(x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + 2x3, 5x1 − 3x2 + 3x3,−x1 − 2x3) , ∀ (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Sa se afle valorile proprii si vectorii proprii corespunzatori;

b) Sa se afle subspatiile proprii si dimensiunile lor;

c) Sa se analizeze posibilitatea diagonalizarii lui T1 si T2. In caz afirmativ, sa se aflebaza ın care se manifesta forma diagonala, matricea schimbarii de baza, precum siforma diagonala corespunzatoare.


Bibliografie recomandata

1. Ion D. Ion, R. Nicolae - Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.2. D. Draghici - Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1972.3. Irinel Radomir - Elemente de algebra vectoriala, geometrie si calcul diferential,

Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2000.4. E. Cioara, M. Postolache - Capitole de analiza matematica, Ed. ”Fair Partners”,

Buc., 2010.5. Kenneth Kuttler - Linear Algebra, Theory And Applications, The Saylor Foundation,

2013.6. Sheldon Axler - Linear Algebra Done Right, Springer International Publishing AG,

2015.


curs 6 - aplicatii liniare pe rn

Documents