Cuprins1 Aplicatii n economie 61.1 Aplicatii ale derivatei n economie . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Functii de productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Functii cerere - venit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Functii cerere - pret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Alte functii din domeniul economic . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Functii reale de mai multe variabile reale 172.1 Spatiul 1a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Siruri de puncte din1a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Limite si continuitate pentru functii reale de mai multe variabile 282.4 Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential pentru functi-ile reale de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Derivate partiale de ordin superior.Diferentiale de ordin su-perior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.1 Derivate partiale de ordin superior . . . . . . . . . . . 442.5.2 Diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6.1 Elemente de topologie n Ra. . . . . . . . . . . . . . . 522.6.2 Limite si continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Derivate partiale, diferentiale . . . . . . . . . . . . . . 672.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.7.1 Elemente de topologie n Ra. . . . . . . . . . . . . . 792.7.2 Limite, continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.7.3 Derivate partiale, diferentiale . . . . . . . . . . . . . . 833 Formula lui Taylor 973.1 Formula lui Taylor pentru o functie de o variabil a . . . . . . . 973.2 Formula lui Mac - Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3 Formula lui Taylor si Mac-Laurin pentru cteva functii ele-mentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Alte aplicatii ale formulei lui Taylor si Mac-Laurin . . . . . . 1053.5 Formula lui Taylor pentru functii de dou si mai multe variabile.1093.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814 Extremele functiilor de mai multe variabile 1194.1 Extremele functiilor de dou variabile . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Extremele functiilor de : variabile (: _ 2) . . . . . . . . . . . 1244.3 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4 Modele deterministe de gestiune a stocurilor . . . . . . . . . . 1464.4.1 Modelul cu perioad a x a, cerere constant a, f ar a ruptur a1484.4.2 Modelul cu perioad a x a, cerere constant a, cu ruptur a 1514.5 Ajustarea si interpolarea datelor experimentale . . . . . . . . 1544.5.1 Ajustarea datelor experimentale. Metoda celor maimici p atrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.5.2 Interpolarea datelor experimentale. Polinomul de in-terpolare a lui Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725 Integrale Euleriene 1765.1 Integrale generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.1.1 Integrale pe interval nemrginit . . . . . . . . . . . . . 1765.1.2 Integrale din functii nem arginite . . . . . . . . . . . . 1805.2 Integrale euleriene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.2.1 Integrala lui Euler de speta nti. Functia beta . . . . 1855.2.2 Integrala lui Euler de speta a doua. Functia gama . . 1915.2.3 Integrala Euler-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.3 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996 Cmp de evenimente, cmp de probabilitate 2006.1 Corp ( o-corp) de p arti ale unei multimi . . . . . . . . . . . . 2006.2 Cmp (o-cmp) de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.3 Cmp (o-cmp) de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4 Probabilitti conditionate. Independenta evenimentelor. . . . 2136.5 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.6 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257 Scheme clasice de probabilitate 2277.1 Schema urnei cu bila nerevenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.2 Generalizare. Schema urnei cu bila nerevenit a cu mai multest ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3 Schema urnei cu bila revenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.4 Generalizare. Schema urnei cu bila revenit a cu mai multe st ari 23227.5 Schema urnelor lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408 Variabile aleatoare 2428.1 Denitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.2 Operatii cu variabile aleatoare de tip discret . . . . . . . . . 2448.3 Functia de repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.4 Variabile de tip continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.5 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare . . . . . . . 2498.5.1 Caracteristici de grupare . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.5.2 Caracteristici de mpr astiere (sau de dep artare) . . . . 2528.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619 Repartitii clasice 2639.1 Repartitii clasice de tip discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.1.1 Repartitia hipergeometric a . . . . . . . . . . . . . . . 2639.1.2 Repartitia binomial a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669.1.3 Repartitia Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.1.4 Repartitia geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709.2 Repartitii clasice de tip continuu . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.2.1 Repartitia uniform a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.2.2 Repartitia exponential a negativ a. . . . . . . . . . . . 2759.2.3 Repartitia Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.2.4 Repartitia normal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.2.5 Repartitia gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.2.6 Repartitia beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.2.7 Repartitia 2(Hi-p atrat) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.2.8 Repartitia t (Student) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.2.9 Repartitia 1 (Fischer-Sndcor) . . . . . . . . . . . . 2919.3 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710 Programare liniar a 29810.1 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.1.1Regula dreptunghiului pentru efectuarea unor trans-form ari elementare pe linii ntr-o matrice . . . . . . . 29810.1.2Metoda elimin arii complete pentru rezolvarea sistemelorde ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300310.1.3Solutii admisibile de baz a . . . . . . . . . . . . . . 30410.2 Programare liniar a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.2.1Formulareasi rezolvarea problemei standard . . . . . 30610.3 Problema de repartitie (de transport) . . . . . . . . . . . . . 30910.3.1Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30910.3.2Rezolvarea problemei de transport . . . . . . . . . . . 31110.4 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3374Prefat aLuarea unor decizii potrivite cu situatiile din ce n ce mai complexe n carese a a economiile perioadei actuale este substantial facilitat a de utilizareaunor logici adecvate, corecte.Rationamentul si calculele matematice pot constitui un suport hot artorpentru baza unei asemenea logici. Matematica aplicat a ofer a o larg a palet a demodele si tehnici care folosite cum trebuie conduc la rezultate semnicative.Acest volum este structurat pe programa analitic a a cursului de Matem-atici aplicate in economie predat de c atre autori studentilor de la Facultateade Stiinte Economice si Gestiunea Afacerilor a Universit atii Babes-Bolyaidin Cluj-Napoca. Se adreseaz a att studentilor economisti, pentru a le usuraselectarea materialului necesar din diversele ramuri ale matematicii, ct sicelor care au tangent a cu domeniul economic.Cresterea continu a a aplicabilit atii matematicii moderne necesit a attnotiuni teoretice fundamentale ct si aplicatii imediate ale acestora pentru anlesni drumul studentilor spre conturarea unei gndiri economice riguroase.Teoria economic a s-a bazat ntotdeauna pe cunostinte matematice necesaremodel arii informatiilor si a previziunilor asupra fenomenelor economice.Materialul acestui volum cuprinde 5 capitole de analiz a matematic a, 4capitole de teoria probabilit atilor si un capitol de algebr a liniar a, ind prezen-tat ntr-o structur a modern a si accesibil a. Fiecare capitol este ncheiat cudou a paragrafe care contin probleme concrete, probleme rezolvate, respectivprobleme propuse. Cu prezentul volum sper am s a contribuim la asimilarea nconditii mai bune a cunostintelor de matematic a ce fac parte din preg atireade baz a a viitorului economist.Cluj-Napoca, septembrie 2007 Autorii51 Aplicatii n economien acest prim capitol prezent am cteva aplicatii ale matematicii n domeniuleconomic. Mai nti ne referim la utilizarea derivatei functiilor de o singur avariabil a pentru a deni diverse m arimi utile n analizele economice.Apoi prezent am diversele functii de productie mai importante si care seutilizeaz a des n literatura economic a.1.1 Aplicatii ale derivatei n economieDup a cum este cunoscut, o functie este un triplet (, 1, )), n care estedomeniul de denitie, 1 este codomeniul, iar ) este legea prin care ec aruielement din domeniu i se asociaz a un element din codomeniu.Peste tot nacest capitol domeniul va un interval sau o submultime din spatiul cu maimulte dimensiuni, codomeniul va multimea numerelor reale, iar functia vaavea o semnicatie economic a. Pentru nceput e) : 1 R, 1 R - interval,r j = ) (r) () functia cu semnicatie economic).Cele mai des utilizate m arimi (notiuni) sunt prezentate n continuare.1) Valoarea medie local n r (n intervalul [x,x + ^r[ ) (= raportuldintre cresterea functiei si cresterea variabilei)^) (r)^r= ) (r ^r) ) (r)^r2) Valoarea marginal n r (viteza de variatie) (= limita valorii mediilocale n x, cnd ^r 0)) t (r) = d) (r)dr= lim.a0^) (r)^r3) Valoarea medie n intervalul [0, r[) (r) )(0)r64) Variatia relativ a functiei ) n r (= rata de variatie) (= raportuldintre cresterea functiei si valoarea functiei)^) (r)) (r)= ) (r ^r) ) (r)) (r)5) Ritmul mediu de variatie n r (= raportul dintre variatia relativ a afunctiei (rata de variatie) si cresterea variabilei)1n =.)(a))(a)^r= ^) (r)^r1) (r)6) Ritmul local de variatie n r (viteza relativ de variatie)1),a = lim.a01n = ) t (r)) (r)= (ln ) (r))t7) Elasticitatea medie n r (= raportul ratelor de variatie = raportulvariatiilor relative ale celor dou variabile)1n =.)(a))(a).aa=r) (r) ^) (r)^r=.)(a).a)(a)a8) Elasticitatea local a lui j n raport cu r1aj = lim.a01n =r) (r)) t (r) = (ln ) (r))t(lnr)tObservatia 1.1.1 Elasticitatea locala a lui x n raport cu y1ja = ) (r)r1) t (r) =(lnr)t(ln) (r))t = (1aj)1Elasticitatea este independent de unittile de msur pentru cele douvariabile. Cu ea se evidentiaz variatia unui parametru care are o crestererelativ mult maisemnicativ dect variatia absolut.71.2 Functii de productie) : 1 R, 1 Rar = (r1, r2, ..., ra) j = ) (r1, r2, ..., ra)1) Functia Cobb - Douglasj = rc1 ro2, j = )(r1, r2), 1 = R2, c, , - constante, - factor rezidual (progresul tehnic, stocul de cercetare, nvtmnt,etc)r1 - capitalulr2 - forta de muncj - productia (venitul national, produsul national brut)c, , - msoar elasticittile lui j fat de r1, r2Observatia 1.2.1 a) Folosind diferen tiala de ordinul nti se ob tine rela tia:djj= cdr1r1,dr2r2b) Suma c, - msoar randamentul zic, care poate constant, cresc-tor sau descresctor.2) Costul productiei 1 = R2C (j) = C (r1, r2) = C1r1 C2r23) Incasrile din vnzare 1 = R21(j) = rj = r rc1 ro24) Beneciul (protul) 1 = R21(j) = 1(j) C (j)8Enunt am doar aici niste rezultate referitoare la unele dintre m arimile sifunctiile considerate. Astfel avem:Teorema 1.2.1 Costul minim (Cnin), cnd produc tia este j0 se ob tine pen-trur10 =_cC2, C1_co+c _j0_ 1o+c, r20 = .... siCnin = (c ,)_j0_ 1o+c_C1c_oo+c _C2,_co+cTeorema 1.2.2 Beneciul maxim (1nnx), cnd produc tia este j0, se ob tinepentru r10 = ..., r20 = ... si1nnx = rj0 C1r10 C2r20Teorema 1.2.3 Produc tia maxim (jnnx) cnd costul de produc tie este C0 seob tine pentrur10 =cC1 (c ,)C0, r20 =,C2 (c ,)C0,jnnx = _ cC1_c_ ,C2_o_C0c ,_co5) Generalizare 1 = RSj = ) (r1, r2, rS) = rc1 ro2 rSunde rS este factorul progres tehnic.6) Functia Solow - Minhas - Arrow - Cherney (CESConstant Elas-ticity of Substitution) 1 = R+2j = ) (r1, r2) = _crj1, rj2_1j97) Functia Rowe - Sato 1 = R+2j = ) (r1, r2) =r21r22a rS1 / rS28) Functia Borts - Mishan 1 = R+2j = ) (r1, r2) = r21r2 rS18r229) Functia Allen1 = R+2(r1, r2)[(r1, r2) R+2, 2/r1r2 ar21 /r22 < 0j = ) (r1, r2) =_2/r1r2 ar21 /r2210) Functia Visner 1 = R+1j = ) (r1, r2, rS, r1) = rc1ro2rSrc1rS - cheltuieli pentru nvtmnt si ridicarea calicriir1 - cheltuieli pentru cercetare stiintic si experimentare11) Functia Bradford de Long - Summers 1 = R+2j = ) (r1, r2, rS) = (r1 r2)cr1cS1.3 Functii cerere - venitFunctia cerere Functia de elasticitateCrestereaabsolut a functiei1 Q = a /\ 1\Q =b\ob\,(\ ) = /2 Q = a /\ c\21\Q =b\ 2c\ 2ob\ c\ 2,(\ ) = / 2c\3 Q = a\b1\Q = / ,(\ ) = a/\b14 Q = ac\1\Q = \ ,(\ ) = ac\5 Q = a ln\ 1\Q =1ln \,(\ ) =o\6 Q =o\b\1\o=bb\,(\ ) =ob(b\ )27 Q = ac\b\1\Q =bcbc\ lc1=(bc)\(b\ )(c\ ),(\ ) =oboc(b\ )28 Q = a\ c\b\1\Q =\ 22b\ bc(b\ )(c\ ),(\ ) = o\ 22ob\ obc(b\ )29 Q =11bcc11\Q =c\1lcc1 1,(\ ) =1cbcc1(1bcc1 )2101) Functie liniar2) Functie polinomial a (de gradul 2, parabol a)3) Functie putere4) Functie exponential a5) Functie logaritmic a6) Functie Trnquist (produse de prim necesitate)7) Functie Trnquist (produse de necesitate medie)8) Functia Trnquist (produse de lux )9) Functie logistic a1.4 Functii cerere - pretQ = a /j == cjQ = dQdj jQ = /ja /jVarianta Cournot(Q = ) (j)) Varianta Marshall (j = ) (Q) )1 Q = ojbj = a /Q2 Q =ojc / j =oQb c3 Q = oj2bj = _a /Q4 Q = o_jbj = (a /Q)25 Q =_ojbj = a /Q26 Q = /joc j =_bQc_1o7 Q = acbjj = 1b ln oQ8 Q = a ln bjj = / ca1) Functia liniar a2) Functia rational a3) Functia polinomial a (de gradul 2, parabol a)4) Functia rational a simpl a115) Functia irational a compus a6) Functia putere7) Functia exponential a8) Functia logaritmic a1.5 Alte functii din domeniul economic1) Functia costului1 = 1(r) = 1(r) 1),1: costuri totale (n unitti monetare) pentru productia iesirilor, 1 :costuri variabile, 1): costuri xe, r: iesirea (productia n unittimonetare)2) Functia de consumC = C(1 )C: cheltuielieconomice totale pentru bunuride consum (unittimon-etare/unitate de timp) 1 :venitul national, respectiv produsul social(n unitti monetare/unitate de timp)3) Functia economisiriio(1 ) := 1 C(1 )o: economiile totale (n unitti monetare/unitate de timp).4) Functia de utilitatel = l(r1, . . . , ra)l: Utilitatea unui subiect economic (de ex. gospodria), ri: bunul deconsum i (i = 1, . . . , :) (in unitti de mas). De ex. l(r1, r2) = r1r2.5) Functia de investitii1 = 1(i)1: Investitiile economice totale (in unitti monetare/unitate de timp), i:dobnda pietei.126) Functia cererii de bani (Keyness)1 = 1(1, i)1: cererea total de bani (n unitti monetare/unitti de timp). 1 = 1t 1 1c unde 1t = 1t(1 ) : cas de tranzactie, 1 = 1(1, i) : cas desigurant, 1c = 1c(i): cas de speculatie1.6 Probleme rezolvateProblema 1.6.1 S se determine cre sterea absolut si elasticitate urm-toarelor func tii de cerere:a) Q = 2 \ 8\2b) Q =8\2 \c) Q = 8c\unde variabila V reprezint venitul. S se calculeze valoarea acestorapentru un venit \ = .Rezolvare:a) Pentru o functie ) (r) = j, se denesc:i) cresterea absolut,(r) = ) t (r)ii) elasticitatea:1aj =r) (r)) t (r) =r) (r),(r)n cazul functiilor cerere (Q) - venit (\ ) , formulele de mai sus devin:,(\ ) = Q(\ )1\Q = \Q,(\ )Asadar cresterea absolut a functiei de cerere va :,(\ ) = Qt (\ ) = 1 6\,13iar elasticitatea:1\Q =\2 \ 8\2(1 6\ ) =\ 6\22 \ 8\2Atunci pentru \ = , vom avea:,() = 81 si 1\Q = 182= 1, 88.b),(\ ) = 8 (2 \ ) 8\(2 \ )2=6(2 \ )21\Q = \Q ,(\ ) =\S\2\6(2 \ )2 =22 \Rezult c pentru \ = vom avea:,() =6401\Q = 27c),(\ ) = 8c\1\Q =\8c\ 8c\= \Pentru \ = vom avea:,() = 8c1\Q = Problema 1.6.2 Urmtoarele func tii sunt date n varianta Cournot, adiccererea (Q) n func tie de pre t (j) . S se scrie aceste func tii n variantaMarshall, adic pre tul n func tie de cerere:a) Q = 110 j28;b) Q = 48j10 70.Rezolvare:14a) Varianta Cournot esteQ = 110 j28Din aceast expresie vom exprima variabila j n functie de Q.si anume28Q = 110 j == 28Qj = 110 == j = 110 28Qb) Putem scrie:Q70 = 48j10== Q7048= j10== Q7048=1j10==j10=48Q70==j =10_48Q70.1.7 Probleme propuseProblema 1.7.1 S se determine cre sterea absolut si elasticitatea pentrufunc tiile economice urmtoare. S se calculeze valorile acestora pentruvenitul indicat:a) Q = 8\, pt. \ = 20b) Q = 6 8\ 8\2, pt. \ = 10c) Q = 2\, pt. \ = 2d) Q = 1c\, pt. \ = 7e) Q =8\2 \ , pt. \ = 2f ) Q = 8 2 \8 \ , pt. \ = 8g) Q = \ 1 \2 \ , pt. \ = 1h) Q =81 2c\ , pt. \ = 6.Rspunsuri:15a) ,(20) = 8, 120Q = 121S;b) ,(10) = 68, 110Q = S1019S;c) ,(2) = 160, 12Q = ;d) ,(7) = 1c7, 17Q = 7;e) ,(2) = 1, 12Q = 2S;f ) ,(8) =112, 1SQ = 17;g) ,(1) = 79, 11Q = 76;h) ,(6) =6c6(12c6)2, 16Q =12c62Problema 1.7.2 Urmtoarele func tii sunt date n variante Cournot. S sescrie n form Marshall.a) Q = 87 j140; b) Q =210j 78 6; c) Q = 8 j27;d) Q = 40 _j10; e) Q =_82 j17; f ) Q = 8j12 18;g) Q = c2j.Rspunsuri:a) j = 87 40Q; b) j =210Q6 78; c) j = _8 7Q;d) Q = (40 10Q)2; e) j = 82 17Q2; f ) j =_SQ1S_112;g) j = 12 ln Q.162 Functii reale de mai multe variabile reale2.1 Spatiul Ran studiul fenomenelor zice, economice (si n alte situatii) apare de mai multeori necesitatea studiului multimilor nite cu num ar x de numere reale. Deexemplu, spatiul n care tr aim este modelat ca o multime de puncte deter-minate de trei coordonate. Fie : un num ar natural xat nenul. Multimeasistemelor de forma:r = (r1, r2, ..., ra) ,unde r1, r2, ..., ra sunt numere reale, se numeste spatiul Ra. Elementeleacestei multimi se numesc puncte, iar numerele r1, r2, ..., ra care determin apunctul r se numesc coordonatele sau componentele acestui punct.Pe spatiul Rase pot considera diverse structuri care s a extind a structuraaxei reale.Pentru orice pereche de elemente r si j din Ra, exist a n Rasuma lorr j dat a de:r j = (r1 j1, r2 j2, ..., ra ja) . (2.1.1)De asemenea, pentru ecare c R si r Raexist a n Racr = (cr1, cr2, ..., cra) . (2.1.2)Operatiile denite mai sus au n mod evident urm atoarele propriet ati:1) r j = j r, \r, j Ra;2) r (j .) = (r j) ., \r, j, . Ra;3) 0 = (0, 0, ..., 0) Raastfel nct 0 r = r, \r Ra;4) \r Ra, r = (r1, r2, ..., ra) Raastfel nct r (r) = 0;5) c(r j) = cr cj, \c R si \r, j Ra;6) (c ,) r = cr ,r, \c, , R si \r Ra;7) ( c,) r = c(, r) , \c, , R si \r Ra;8) 1 r = r, \r Ra.17O multime nevid a \ pe care sunt denite o operatie de adunare (operatieintern a ) (r, j) rj si operatia de nmultire cu numere reale, astfel ncts a aib a loc (1)-(8), se numeste spa tiu vectorial real.Propozitia 2.1.1 Spa tiul Ranzestrat cu opera tiile de adunare si de n-mul tire cu scalari denite prin (2.1.1) si (2.1.2) este spa tiu vectorial real.In orice spatiu vectorial se poate deni adunarea unui num ar nit deelemente.Dac a c1, c2, ..., cn R si 1, 2, ..., n \ atunci elementul c11 ... cnn se numeste o combinatie liniar a a elementelor 1, 2, ..., n.Elementele 1, 2, ..., n \ se numesc liniar independente dac a din re-latia c11 ... cnn = 0 rezult a c a c1 = c2... = cn = 0.Sistemul c1, c2, ..., cn se numeste baz a a spatiului vectorial \ dac a ele-mentele lui sunt liniar independente si orice element din \ este o combinatieliniar a a elementelor c1, c2, ..., cn.Dac a n spatiul vectorial \ exist a o baz a format a din : elemente atuncispunem c a \ are dimensiunea :.Propozitia 2.1.2 n spa tiul Raexista o baza 1 = c1, c2, ..., ca , unde:c1 = (1, 0, ..., 0) ; c2 = (0, 1, ..., 0) ; ...ca = (0, 0, ..., 1) si n consecin ta are dimensiunea :.Demonstratie.Ar at am mai nti c a elementele c1, c2, ..., ca sunt liniar independente.Intr-adev ar, dac a c1c1 c2c2 ... caca = 0, unde c1, ..., ca R, atuncirezult a imediat c a (c1, c2, ..., ca) = 0 deci c1 = ... = ca = 0.Ar at am n continuare c a orice r Raeste o combinatie liniar a a ele-mentelor din baz a. Intr-adev ar dac a r Raatunci r = (r1, r2, ..., ra), under1, r2, ..., ra R.Avem c a r = (r1, r2, ..., ra) = (r1, 0..., 0)(0, r2, ..., 0)...(0, 0, ..., ra) =r1c1r2c2...raca, deci r e o combinatie liniar a a elementelor c1, c2, ..., cacu coecientii r1, r2, ..., ra RNotiunile de limit a si continuitate se pot introduce pentru aplicatii de-nite pe Racu valori n R la fel ca n cazul functiilor reale de o variabil a real a,denind mai nti peRao functie care s a generalizeze functia modul din R18Denitia 2.1.1 Fie \un spa tiu vectorial real. Se nume ste norma pe \orice aplica tie:|| : \ 1, r |r| ,astfel nct:N1) |r| _ 0, \r \ si |r| = 0 == r = 0N2) |cr| = [c[ |r| , \r \ si \c 1 (pozitiv omogenitate)N3) |r j| _ |r| |j| , \r, j \ (subaditivitate)Se nume ste spa tiu vectorial normat (real) cuplul (\, ||) unde \ este unspa tiu vectorial real.In cele ce urmeaz a vom da cteva exemple de norme pe Ra.Mai nti vomprezenta norma euclidian a pe Racare este cea mai uzual a norm a pe Ra.Consider am mai nti expresia:r, j =a

i=1riji, \r, j Ra(2.1.8)pe care o numim produsul scalar euclidian al elementelor r, j.Aceast a expresie are urm atoarele propriet ati evidente:PS1) r, r _ 0, \r Rasi r, r = 0 == r = 0PS2) r, j = j, r , \r, j RaPS3) cr ,j, . = cr, . , j, . , \r, j, . Ra, \c, , RPropozitia 2.1.3 Aplica tia || : Ra R,data de r |r| oc)= _ r, reste o norma pe Ra(norma indusa de produsul euclidian) numita normaeuclidiana pe Ra.Demonstratie.N1) \r Raavem |r| = _ r, r =_ a

i=1[ri[2_ 0 si |r| = 0 ==_r, r = 0 == r, r = 01S1== r = 019N2) \r Rasi \c 1 avem:|cr| =_cr, cr 1SS= _cr, cr 1S2= _ccr, r =_c2r, r == [c[_r, r = [c[|r|N3) Demonstr am mai nti urm atoarea inegalitate (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz):[r, j[ _ |r| |j| , r, j Ra(2.1.4)Pentru aceasta consider am relatiile:0 _ |r j|2= r j, r j = |r|2|j|2 2 r, j0 _ |r j|2= r j, r j = |r|2|j|22 r, jdin care rezult a imediat c a:2 [r, j[ _ |r|2|j|2.Dac a n egalitatea precedent a n loc de r si j consider am elementelea|a| sij|j| (pentru r ,= 0 si j ,= 0) obtinem2_r|r|,j|j|______r|r|____2____j|j|____2= 2de unde rezult a c a:1|r| |j| r, j _ 1 deci (2.1.4) are loc pentru orice r ,= 0si j ,= 0. Dar relatia (2.1.4) este adev arat a dac a r = 0 sau j = 0 siastfel ea are loc pentru orice r, j Ra.Revenim la demonstratia axiomei N3).\r, j Raavem:|r j|2= r j, r j = r, r j, r r, j j, j == |r|2 2 r, j |j|2_ |r|2 2 [r, j[ |j|2 (2.1.1)__ |r|2 2 |r| |j| |j|2= (|r| |j|)2adic a |r j|2_ (|r| |j|)2de unde |r j| _ |r| |j| si propoz-itia este demonstrat a.20Alte exemple de norme n RaExemplul 2.1.1 Aplica tia||1 : RaR data de |r|1 =a

i=1[ri[este o norma pe Ranumita norma Minkovski.Justicam doar N3), restul axiomelor normei ind evidente.Intr-adevar,\r, j R avem|r j|1=a

i=1[ri ji[ _a

i=1([ri[ [ji[) ==a

i=1[ri[ a

i=1[ji[ = |r|1 |j|1.Exemplul 2.1.2 Aplica tia||o : RaR data de |r|o =max1i a[ri[este o norma pe Ranumita norma Ceb sev.\r, j R, avem ca|r j|o= max1i a[ri ji[ _max1i a([ri[ [ji[) __ max1i a[ri[ max1i a[ji[ = |r|o |j|odeci N3) are loc (restul axiomelor normei sunt evidente).Observatia 2.1.1 Pentru : = 1 si r R avem |r|1 = |r| = |r|o = [r[adica cele trei norme clasice pe Rase confunda n cazul : = 1 cu func tiamodul.Propozitia 2.1.4 Pentru orice r Ra, r = (r1, r2, ..., ra) are loc[ri[ _ |r| _ _:|r|o, \i 1, ...: (2.1.)21Demonstratie. Pentru orice i 1, ...: avem0 _ r2i _ r21 r22 ... r2a _ ::ar1) ar2)..Din inegalit atile de mai sus avem c a[ri[ __r21 r22 ... r2a _ _: :ar1) ar), \i 1, ..., :ceea ce arat a c a (2.1.) are loc.Denitia 2.1.2 Se nume ste metrica sau distan ta pe mul timea nevida Aorice aplica tied : A A R (r, j) d (r, j)astfel nct:D1) d (r, j) _ 0, \r, j A si d (r, j) = 0 == r = jD2) d (r, j) = d (j, r) , \r, j AD3) d (r, j) _ d (r, .) d (., j) , \r, j, . A (inegalitatea triunghiului)Cuplul (A, d) unde A este o mul time nevida iar d este o metrica (dis-tan ta) pe A se nume ste spa tiu metric.Propozitia 2.1.5 Aplica tia d : RaRaR data ded (r, j) = |r j| =_a

i=1(ri ji)2este o metrica pe Ra(metrica indusa de norma euclidiana), numita met-rica euclidiana pe Ra.Demonstratie.D1) \r, j Raavemd (r, j) = |r j| _ 0si d (r, j) = 0 == |r j| = 0. 1== r j = 0 == r = j22D2) \r, j Raavemd (r, j) = |r j| = |(1) (j r)| . 2== [1[|j r| = |j r| = d (j, r)D3) \r, j, . Raavemd (r, j) = |r j| = |(r .) (. j)| . S__ |r .| |. j| = d (r, .) d (., j)Deci d este o metric a (distant a) pe Ra.Observatia 2.1.2 1) Orice norma pe Rainduce o metrica pe Ra(justi-carea este similara cu cea din demonstra tia anterioara unde s-au folositdoar axiomele normei), deci cele doua norme introduse n exemplele2.1.1 si 2.1.2 induc pe Radistan tele:d1 : RaRaRd1 (r, j) = |r j|1 =a

i=1[ri ji[ ,respectivdo : RaRaR do (r, j) = |r j|o =max1i a[ri ji[ ,numite distan ta Minkowski a spa tiului Ra, respectiv distan ta Ceb sev a luiRa.2) Daca : = 1 atuncid1 (r, j) = d (r, j) = do (r, j) = [r j[ , r, j R.In cazul normei euclidiene pentru : = 2 si : = 8 regasim formula distan teidintre doua puncte din plan si din spa tiu. Intr-adevar daca : = 2atuncid (r, j) =_(r1 j1)2 (r2 j2)2iar daca : = 8 atuncid (r, j) =_(r1 j1)2 (r2 j2)2 (rS jS)223Notiunile de limit a si continuitate se pot introduce n orice spatiu normat,respectiv metric.In cele ce urmeaz a vom considera spatiul Ranzestrat cunorma euclidian a respectiv metrica euclidian a.Denitia 2.1.3 Fie a = (a1, a2, ..., aa) Ra si r0.Se nume ste bila deschisa cu centrul n a si raza r mul timea 1(a, r) =r Ra, d (r, a) < rPentru : = 1 respectiv : = 2 adic a n R, respectiv n R2bilele deschisesunt intervale deschise centrate n a1 de forma (a1 r, a1 r) , respectivdiscuri deschise cu centrul n a = (a1, a2) .Denitia 2.1.4 1) Spunem ca mul timea \ _ Raeste o vecinatate a punc-tului a Radaca exista o bila deschisa cu centrul n a inclusa nmul timea \ , adica 1(a, r) \. Notam cu 1 (a) = \ Ra[\ vecinatate a lui amul timea vecinata tilor punctului a.Din deni tie rezulta ca orice bila de-schisa cu centrul n a Raeste o vecinatate a lui a.2) Spunem ca a Raeste punct interior mul timii _ Radaca \ 1 (a) astfel ca \ . i:t = a [a punct interior lui - reprezintmul timea punctelor interioare mul timii .3) Spunem ca a Raeste punct exterior mul timii _ Radaca esteinterior complementarei lui adica exista o vecinatate \ a lui a, astfelca \ CRn.crt = a [a punct exterior lui - reprezint mul timea punctelor exte-rioare mul timii .4) O mul time _ Racare con tine numai puncte interioare se nume stemultime deschisa.5) O mul time _ Rase nume ste multime nchisa daca complementarasa CRn este deschisa.6) a Raeste punct aderent mul timii _ Radaca orice vecinatate \ alui a con tine cel pu tin un punct din ,adica, \\ 1 (a) , \ ,= O : = a Ra[a punct aderent a lui - reprezint mul timea punctelor ader-ente mul timii .247) a Raeste punct de acumulare al mul timii _ Radaca orice vecina-tate \a lui a con tine cel pu tin un punct din mul timea ,diferit de a,adica \\ 1 (a) , (\ a) ,= Ot = a Ra[a punct de acumulare pentru a - reprezint mul timea punctelordeacumulare a mul timii .Din deni tie rezulta ca punctul a poate sau nu sa apar tina mul timii .8) a este punct izolat al mul timii _ Radaca exista o vecinatate \a lui a astfel nct \ = a9) a este punct frontiera al mul timii _ Radaca orice vecinatatea sa con tine si puncte din si din CRn (e aderent si lui si luiCRn ).Mul timea punctelor frontiera a mul timii se nume ste frontieramul timii si se noteaza )r .10) _ Rase nume ste multime marginita daca exista ' 0 astfelnct 1(0, ') sau echivalent daca \r are loc |r| < '.Vom prezenta n continuare un exemplu n R2care ilustreaz a notiunileintroduse anterior.Exemplul 2.1.3 Fie _ R2, =_(r, j) R2r2j2_ 0, r0, j0_'(8, 8)(8, 8) este punct izolat al mul timii 1(1, 1) este punct interior lui si este punct de acumulare pentru ,care apar tine lui C (0, 1) este punct frontiera pentru si este punct de acumulare pentru care nu apar tine lui 1(1, 4) este punct exterior lui i:t =_(r, j) R2r2j2< 0, r0, j0_ =_(r, j) R2r2j2_ 0, r _ 0, j _ 0_' (8, 8)t =_(r, j) R2r2j2_ 0, r _ 0, j _ 0_)r =_(r, j) R2r2j2= 0, r _ 0, j _ 0_''(r, 0) ; 0 _ r _ 8 ' (0, j) ; 0 _ j _ 8252.2 Siruri de puncte dinRaIn continuare vom considera spatiul Radotat cu norma euclidian a, respectivmetrica euclidian a.Denitia 2.2.1 Se nume ste sir de elemente din Raorice aplica tie, : N+ Ra, / ,(/) RaSe nume ste sub sir al sirului , orice sir de forma ,w, unde w : N+ N+este o aplica tie strict crescatoare.Notnd ,(/) = rI si w(:) = /n (:, / N+) sirul , se noteaza _rI_I1iar sub sirurile sale se noteaza _rIr_n1.Denitia 2.2.2 Un sir_rI_I1 _ Ra, rI=_rI1, rI2, ..., rIa_, / _ 1,are limitaa = (a1, a2, ..., aa) RadacalimIo___rIa___ = 0.Se scrielimIorI= a sau rIIo aSe spune ca sirul este convergent daca el are limita n Ra si ca estedivergent n caz contrar.Folosind denitia cu - a convergentei unui sir de numere reale obtinemc a:limIorI= a ==limIo___rIa___ = 0 ====\-0, /. N astfel nct \/ _/. avem c a |raa| < -.Propozitia 2.2.1 Fie _rI_I1 _ Ra, rI= _rI1, rI2, ..., rIa_, / _ 1, si a =(a1, a2, ..., aa) Ra. Atunci:limIorI= a ==limIorIi = aipentru orice i 1, ..., : .26Demonstratie. Din relatia (2.1.) rezult a imediat c a:rIi ai_ ___rIa___ _ _:___rIa___o == _: :ar1) arI) a) , 1 _ i _ :.` == " Din inegalit atile 0 _ rIi ai _ __rIa__, 1 _i _: si dinipoteza limIo__rIa__ = 0 rezult a imediat (folosind criteriul clesteluipentru siruri de numere reale) c a pentru orice 1 _i _: avem c alimIorIi ai= 0.` == " Se aplic a un rationament analog celui precedent, folosindu-se parteaa doua a inegalit atilor din (2.1.5).Observatia 2.2.1 Potrivit propozi tiei anterioare,convergen ta n Raesteechivalenta cu convergen ta celor : siruri de numere reale, componente ale sirului _rI_I1 Ra.In continuare vom mentiona cteva propriet ati analoage sirurilor conver-gente de puncte din R si care se demonstreaz a analog.Propozitia 2.2.2 (Criteriul majorarii) Fie_rI_I1 _ Ra, a Ra si (cI)I1 (0, ) astfel nct limIocI = 0.Daca exista /0 _ 1 astfel nct__rIa___ cI, \/ _ /0 atunci limIorI=a.Indicatie. Se foloseste criteriul clestelui pentru siruri de numere reale.Propozitia 2.2.3 Limita unui sir de puncte din Raeste unica.Demonstratie. Fie _rI_I1 _ Rasi a, / Raastfel nct limIorI= asi limIorI= /.Ar at am c aa = /.Cum|a /| =___a rI__rI/___. S_ __a rI____rI/__. 2= __rIa____rI/__ Io 0,rezult a c a |a /| = 0 si deci a = /.27Propozitia 2.2.4 Fie _rI_I1, _jI_I1 doua siruri din Ra si (cI)I1 _R.DacalimIorI= a Ra, limIojI= / Ra si limIocI = c RatuncilimIo_rIjI_= a / si limIocIrI= ca.Demonstratie.____rIjI_(a /)___ = ____rIa__jI/____ __ ___rIa___ ___jI/___ Io 0si___cIrIca___ = ___cIrIcIa cIa ca___ __ ___cI_rIa____ |(cI c) a| == [cI[___rIa___ [cI c[ |a| Io 0adic a ceea ce trebuia demonstrat.2.3 Limite si continuitate pentru functii reale de mai multevariabileDenitia 2.3.1 Fie Ra. Aplica tia) : R, astfel ca r = (r1, ..., ra) ) (r) = ) (r1, r2, ..., ra) Rse nume ste func tie reala de : variabile reale.Exemplul 2.3.1 Norma euclidiana pe Ra, adica) : RaR, ) (r) = ) (r1, r2, ..., ra) =__r21 r22 ... r2a_= |r|este o func tie reala de : variabile reale.28Exemplul 2.3.2 Daca \este venitul unei societa ti comerciale, r numarulde ore de munca productiva prestata, j fondurile xe angajate n produc tieatunci\ (r, j) = /rcjo, /, c, , constante pozitive(func tie de produc tie de tip Cobb-Douglas) este o func tie reala de 2 vari-abile reale.Exemplul 2.3.3 Daca = [0, ) [0, ) [0, ) _ RSatunci func tia) : R, ) (r) = ) (r1, r2, rS) = r1r2 rS(func tie reala de trei variabile reale) reprezinta produc tia unei intreprinderidaca r1este productivitatea muncii, r2 numarul de muncitori, rS timpul demunca.Denitia 2.3.2 Fie Ra(: _ 1) o mul time nevida, a un punct de acu-mulare al mul timii , a t si ) : RSpunem ca ) are limita | 1 cnd r tinde catre a si scriem | =limao) (r) (sau ) (r) ao |) daca \-0, c.0 astfel nct pentru oricer a cu proprietatea |r a| < c. sa avem [) (r) |[ < -.Observatia 2.3.1 1) Norma utilizata n deni tia precedenta poate oricaredin cele trei norme clasice pe Ra(nu doar cea euclidiana). Daca : = 1atunci cele trei norme clasice pe Radevin func tia modul si se ob tinedeni tia limitei func tiilor de o variabila reala (studiata n liceu).2) Limita | = limao) (r) se nume ste limita globala a func tiei ) cnd rtinde catre a, se noteaza prin| = lima1o1a2o2..........anon) (r1, r2, ..., ra) si se cite ste limita func tiei ) cnd r1 a1, r2 a2, ..., ra aa simultan si independent.293) Deni tia 2.3.2 a limitei poate exprimata si n limbajul convergen tei sirurilor. Astfel spunem ca | este limita func tiei ) n punctul a dacaoricare ar sirul _rI_I1 _ convergent la a t sirul _)_rI__I1este convergent la |, adica pentru orice sir _rI_I1 _ , rIIo a avem)_rI_ Io |.4) Din observa tia precedenta rezulta ca daca _rI_I1 _ convergent laa astfel nct sirul imagine _)_rI__I1 este divergent atunci func tia )nu are limita n punctul a. Daca _rI_I1 _ , _jI_I1 _ siruriconvergente la a t astfel nct limao)_rI_ ,= limao)_jI_ atuncifunc tia ) nu are limita n punctul a.In cele ce urmeaz a, mention am cteva propriet ati ale limitelor de functiide la Rala R,propriet ati analoage celor ale functiilor reale de o variabil areal a.Fie : _ 2, _ Ra, o multime nevid a, a t, |1, |2 R si ), q : R.Propozitia 2.3.1 Daca )are limita atunci cnd r tinde catre a, atuncilimita este unica.Propozitia 2.3.2 Dac limao) (r) = |1 aunci exist \ 1 (a) astfel nct) este mrginit pe \ .Propozitia 2.3.3 Daca limao) (r) = |1 si limaoq (r) = |2 atuncilimao() (r) q (r)) = |1 |2, limao() q) (r) = |1|2iar daca |2 ,= 0 si ) (r)q (r) are sens pe o vecinatate a lui a atunci avem silimao) (r)q (r) = |1|2.30Propozitia 2.3.4 (criteriul majorarii) Fie , : R.Daca exista \ 1 (a) astfel ncta) ,(r) _ 0, \r \ b) [) (r) |1[ _ ,(r) , \r \ c) limao,(r) = 0atunci exista limita func tiei ) cnd r tinde la a si limao) (r) = |1.In cele ce urmeaz a vom ncerca s a analiz am ce se ntmpl a n cazul ncare conditia din Denitia 2.3.2 ca r1 a1, r2 a2, ..., ra aa simultansi independent nu este ndeplinit a.Denitia 2.3.3 Fie _ Rao mul time nevida, a t, / Ra 0 si) : R. Spunem ca ) are limita n punctul a dupa direc tia / dacaexista limt0) (a t/)Notam aceasta limita cu |I = limt0) (a t/) .Observatia 2.3.2 1) Daca/ Ra 0 atunci / dene ste o direc tie nRa(n R2 si RSreprezentarea intuitiva e evidenta). Din punct de vederegeometric, daca a Ra si / Ra 0 atunci mul timear Ra[r = a t/, t R reprezinta n Ra"dreapta" care trece prin punc-tul a si are direc tia /.2) In cazul limitei dupa direc tie variabilele r1, ..., ra cu (r1, ..., ra) Raau proprietatea c r1 a1, r2 a2, ..., ra aa simultan, dar nuindependent ci cu condi tia ca r = (r1, ..., ra) sa se ae pe "dreapta" cetrece prin a si are direc tia /.3) Din caracterizarea limitei cu ajutorul sirurilor (Observa tia 2.3.1) rezultaimediat ca daca ) are limita (globala) | cnd r tinde la a atunci pentruorice / Ra 0 exista limita dupa direc tia / si |I = |.Daca /t, /' Ra 0 astfel nct |Ir ,= |I" atunci ) nu are limitaglobala cnd r a.31Exemplul 2.3.4 Fie func tia ) : R20 R, ) (r, j) = r2j2r2 j2, a = 0.Fie / = (/1, /2) R2 0 .Atunci |I = limt0) (0 t/) = limt0) (t/1, t/2) = limt0t2/21 t2/22t2/21 t2/22 = /21 /22/21 /22deci |I = /21 /22/21 /22ceea ce arata ca ) are limita dupa orice direc tie na = 0.Cum aceste limite nu sunt egale (depind de /) rezulta ca ) nu are limitan a = 0.Pentru a analiza ce se ntmpl a atunci cnd variabilele r1, ..., ra nu tindsimultan la a1, ..., aa ne vom restrnge la cazul functiilor reale de dou a vari-abile reale.Denitia 2.3.4 Fie _ R2o mul time nevida, ) : R si a = (a1, a2) t.Daca:a) exista l 1 (a1) astfel nct lima2o2) (r1, r2) = 1 (r1) pentru orice r1 l, (r1, a2) si existalima1o11 (r1) =lima1o1_ lima2o2) (r1, r2)_= |12b) exista \ 1 (a2) astfel nct lima1o1) (r1, r2) = G(r2) pentru orice r2 \, (a1, r2) si existalima2o2G(r2) =lima2o2_ lima1o1) (r1, r2)_= |21atunci |12 si |21 se numesc limite iterate ale lui ) n punctul (a1, a2) .Observatia 2.3.3 1) In cazul limitelor iterate avem r1 a1 si r2 a2dar nu simultan ci succesiv.2) Daca consideram cazulgeneralalfunc tiilor de : variabile reale o saob tinem :! limite iterate deoarece exista :! succesiuni ale variabilelor.323) Studiul limitelor iterate nu ne ajuta foarte mult n studiul existen tei lim-itei globale a unei func tii de doua variabile reale (cu att mai pu tin ncazul a : variabile reale) deoarece putem ntlni urmatoarele situa tii:a) chiar daca limitele iterate exista si sunt egale este posibil ca ) sanu aiba limita (globala) n acel punct.b) chiar daca limita globala a func tiei ) exista este posibil ca limiteleiterate sa nu existe n acel punct.c) daca ) are limita globala ntr-un punct si exista o limita iterata alui ) n acel punct atunci cele doua limite sunt egale.d) daca ) are doua limite iterate diferite, atunci ) nu are limita (glob-ala) n acel punct.In cele ce urmeaz a vom ilustra cele armate mai sus prin cteva exemple.Vom studia existenta limitei si a limitelor iterate pentru aceste functii.Exemplul 2.3.5 1) ) : R20 R,) (r, j) =r2jr2 j2 ., a = 0 = (0, 0) .Avem[) (r, j)[ =r2r2 j2 [j[ _ [j[ a0j00deci conform criteriului majorarii| = lima0j0) (r, j) = 0|12 = lima0_limj0r2jr2 j2_= lima0_ 0j2_= 0|21 = limj0_lima0r2jr2 j2_= limj0_ 0r2_= 0In concluzie | = |12 = |21 = 0.2) ) : R2 0 R, ) (r, j) = r2j2r2 j2 , a = 0 = (0, 0)|12 = lima0_limj0r2j2r2 j2_= lima0r2r2 = 1|21 = limj0_lima0r2j2r2 j2_= limj0j2j2= 133) are limite iterate diferite (|12 = 1 ,= |21 = 1) si prin urmare ) nu arelimita globala n a = 0.3) ) : R2 0 R, ) (r, j) =rjr2 j2, a = 0|n =lima0j=na) (r, j) = lima0:r2r2 (1 :2) =:1 :2Cum |n depinde de : adica limite dupa direc tii diferite (limitele dupadirec tiile dreptelor de pante :1 = 1 respectiv :2 = 1, de exemplu, sunt|n1 = 12 respectiv |n2 = 12), ) nu are limita globala n 0 = (0, 0) .|12 = lima0_limj0rjr2 j2_= limj00 = 0|21 = limj0_lima0rjr2 j2_= limj00 = 0In concluzie avem ca |12 = |21 = 0 si totu si nu exista limita globala afunc tiei ) n 0.4) ) : R, = (R 0)(R 0) ) (r, j) = (r j) sin 1r sin 1j. Avem[) (r, j)[ = [r j[sin 1rsin 1j_ [r j[ , \ (r, j) deci conform criteriului majorarii| = lima0j0) (r, j) = 0.|12= lima0_limj0(r j) sin 1r sin 1j_== lima0_limj0rsin 1r sin 1j j sin 1r sin 1j_== lima0_limj0rsin 1r sin 1j_Deoarece limj0sin 1j nu exista nseamna ca limj0rsin 1r sin 1j si prin urmare|12 nu exista.In mod analog se arata ca |21 nu exista.Pe de alta parte nu exista limitele iterate ale lui ) n origine.34In continuare vom studia cteva propriet ati relative la continuitatea functi-ilor denite pe Racu valori n R.Denitia 2.3.5 Fie _ Rao mul time nevida a si ): R.Func tia ) se nume ste continua (sau global continua) n a daca pentruorice -0 exista c0 astfel nct pentru orice r cu |r a| < c. avemca [) (r) ) (a)[ < -.Func tia ) este continua (sau global continua) pemul timea nevida 1 daca ) este continua n orice punct a 1.Observatia 2.3.4 Daca a este un punct izolat al mul timii atunci )este continua n a.Daca a t atunci ) este continua n a daca si numaidaca limao) (r) = ) (a) .Denitia 2.3.6a) Fie _ Rao mul time nevida, ) : R si a . Se numesc aplica tiipar tiale asociate lui ) n a aplica tiile:,i : i R, 1 _ i _ :,i (ri) = ) (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa)unde i = ri R[(a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) .b) Spunem ca ) este continua partial n raport cu variabila ri _i = 1, :_n punctul a daca ,i este continua n punctul ai _i = 1, :_.Observatia 2.3.5 Daca a este punct izolat al mul timii atunci ) econtinua par tial n raport cu ri _i = 1, :_. Daca a t, atunci ) e continuapar tial n raport cu ri _i = 1, :_ n a == existalima.o.,i (ri) = ,i (ai) = ) (a) , i = 1, :.35Propozitia 2.3.5 Fie Rao mul time nevida, a si ) : R.Daca ) este continua n punctul a atunci ) este continua par tial n a nraport cu ecare variabila ri _i = 1, :_.Demonstratie.Fie i 1, ..., : .Cum ) e global continu a n a atuncipentru -0, c.0 astfel nct\r cu |r a| < c. avem c a [) (r) ) (a)[ < -.Dac a ri i cu [ri ai[ < c. atunci|(a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) (a1, a2, ..., aa)| = [ri ai[ < c.si obtinem c a[) (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) ) (a1, a2, ..., aa)[ < -sau [,i (ri) ,i (a)[ < -adic a ) este continu a partial n raport cu ri n a. Cum i 1, ..., : a fostoarecare teorema este demonstrat a.Reciproca armatiei precedente nu este adev arat a dup a cum va rezultadin urm atorul exemplu.Exemplul 2.3.6 Fie ) : R2R, ) (r, j) =_aja2j2(r, j) R2 00 (r, j) = (0, 0)Func tia ) este continua par tial n raport cu ambele variabile n 0, dar nueste global continua n 0.Intr-adevar, conform Exemplului 2.3.5 (punctul 3)) nu are limita n 0 care este punct de acumulare a domeniului de deni tiea func tiei ), deci nu este global continua n 0 (conform Observa tiei 2.3.4).A ramas de justicat continuitatea par tiala n 0.Func tiile par tiale n 0 sunt, : R R ,(r) = ) (r, 0) = 0, \r Rc : R Rc (j) = ) (0, j) = 0, \j R si ele sunt evident continue n r = 0 (chiar pe R) respectiv n j = 0(chiar pe R).36Denitia 2.3.7 Fie _ Ra, ,= O, / Ra 0 , ) : R si a . Spunem ca ) este continua dupa direc tia / n punctul a daca restric tialui ) la mul timeaI = r [ r = a t/, t Reste continua n a (restric tia func tiei ) la I este func tia ) [I: I R ) [I (r) = ) (r)).Observatia 2.3.6 1) Daca a t atunci ) este continua dupa direc tia/ n a == limt0) (a t/) = ) (a)2) Daca ) este global continua n a atunci este continua n acest punct dupaorice direc tie.Reciproca armatiei precedente nu este adev arat a dup a cum se va vedeadin exemplul urm ator.Exemplul 2.3.7 Func tia ) : R2R, ) (r, j) =_a2j , (r, j) R2, j ,= 00, (r, j) R2, j = 0Func tia ) este continua dupa orice direc tie / R2 0 n a = 0 dar )nu este global continua n a = 0.Fie / R2 0 , / = (/1, /2) .Daca /2 ,= 0, atuncilimt0) (0 t/) = limt0) (t/1, t/2) = limt0t2/21t/2= /21/20 = 0Daca /2 = 0, atuncilimt0) (0 t/) = limt0) (t/1, 0) = limt00 = 0adica ) este continua n 0 dupa direc tia /.Cum / R2 0 , a fost oarecare rezulta ca ) este continua n 0 dupaorice direc tie.Pe de alta parte,lima0j=na) (r, j) = lima0r2:r2 = 1:depinde de : deci ) nu are limita n 0, si nu este continua n 0.372.4 Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential pentrufunctiile reale de mai multe variabileDenitia 2.4.1 Spunem ca mul timea 1 Raeste un domeniu daca estedeschisa si conexa (formata dintr-o singura bucata adica nu se poate scrieca reuniune disjuncta de doua mul timi deschise si nevide).Mention am c a dac a 1 Raeste un domeniu, atunci 1 nu are puncteizolate si prin urmare orice punct a 1 este punct de acumulare pentrumultimea 1 (a 1t) .Denitia 2.4.2 Fie 1 Ra(: _ 2) un domeniu, a = (a1, ..., aa) 1 si) : 1 R. Fie i = 1, ..., :Spunem ca ) este derivabila partial n raport cu variabila ri npunctul a dacalima.o.)(o1,o2,...,o.1,a.,o.+1,...,on))(o1,o2,...,on)a.o., exista si este nita.Notam aceasta limita (daca exista) cu0)0a. (a) sau ) ta. (a) .Spunem ca ) este derivabila partial n raport cu ri pe 1 daca estederivabila par tial n raport cu ri n orice punct a 1. Daca ) este derivabilapar tial n raport cu ri pe 1 atunci se poate vorbi de func tia par tiala a lui )n raport cu variabila ri notata0)0a. si anume0)0a. : 1 R, r 0)0a. (r)In cazul : = 2 se noteaz a cu (r, j), n loc de (r1, r2) punctul curent dinR2,iar n RSse noteaz a cu (r, j, .) n loc de (r1, r2, rS) . Asadar, o functiede dou a variabile ) : 1 R, 1 domeniu, 1 R2este derivabil a partial nraport cu r, respectiv cu j n punctul a = (a1, a2) 1, dac a exist a si estenit a urmtoare limit0)0a (a) = limao1)(a,o2))(o1,o2)ao1, respectiv0)0j (a) = limjo2)(o1,j))(o1,o2)jo2.Pentru functii elementare (polinoame, functiile rationale, trigonometrice,exponential a, logaritmic a si compuneri ale acestora, etc.)0)0a = ) ta se cal-culeaz a derivnd ) uzual n raport cu r, considernd j ca parametru, iar0)0j = ) tjse calculeaz a derivnd ) n raport cu j si considernd r ca para-metru.Exemplul 2.4.11) Fie ) (r, j) = r2rj si a = (, 8) , 1 = R2. In acest caz0)0a (a) = lima)(a,S))(,S)a= limaa2Sa10a= lima(a) (a2)a= 7380)0j (a) =limjS)(,j))(,S)jS=limjSj1jS= .In punctul curent avem 0)0a (r, j) = 2rj si 0)0j (r, j) = r si dac nlocuimr = , j = 8 regasim valorile anterioare.2) Daca ) (r, j, .) = r2 sinj., 1 = RS, atunci avem0)0a : RSR,0)0a (r, j, .) = 2r,0)0j : RSR, 0)0j (r, j, .) = . cos j.,0)0: :RSR, (r, j, .) = j cos j..3) ) : 1 R 1 = r Ra[ r10, r20, ..., ra0) (r1, ..., ra) = r21 r22 ... r2a1 ana1. In acest caz derivnd n raportcu cte o variabila si considernd celelalte : 1 ca parametrii, ob tinem0)0a1 (r) = 2r1 ana21,0)0a2 (r) = 2r2, ...,0)0an1 (r) = 2ra1,0)0an (r) =1a1.Functia ) se numeste de clas a C1pe 1 si se noteaz a ) C1(1) dac a )este derivabil a partial pe 1 n raport cu toate variabilele si plus, functiile0)0a1, ...,0)0an sunt continue pe 1.Observatia 2.4.11) Daca ) este derivabila par tial n raport cu variabila ri _i = 1, :_ n punc-tul a atunci:0)0a. (a) =lima.o.)(o1,o2,...,o.1,a.,o.+1,...,on))(o1,o2,...,on)a.o.=lima.o.,.(a.),.(o.)a.o.,(,i, i = 1, :, sunt aplica tiile par tiale asociate func tiei ) n a), deci )este derivabila par tial n raport cu ri _i = 1, :_ n punctul a daca si numaidaca func tia par tiala ,i este derivabila (ca func tie de o variabila reala) n ai.In plus avem0)0a. (a) = ,ti (ai) _i = 1, :_.2) Fie i 1, ..., : . Daca ) este derivabila par tial n raport cu variabila rin punctul a atunci ) este continua par tial n raport cu variabila ri npunctul a _i = 1, :_.Intr-adevar daca ) este derivabila par tial n raport cu ri atunci ,i estederivabila n ai si n consecin ta ,i este continua n ai.Reciproca armatiei de mai sus nu este adev arat a dup a cum se va vedeadin exemplul urm ator.39Exemplul 2.4.2 Fie ) : R2R, ) (r, j) =_aja2j2, (r, j) R2 (0, 0)0, (r, j) = (0, 0).Atunci ) nu este continua n (0, 0) (s-a vazut n Exemplul 2.3.6) dar )admite derivate par tiale n punctul (0, 0) .Intr-adevar:0)0a (0, 0) = lima0)(a,0))(0,0)a= 00)0j (0, 0) = limj0)(0,j))(0,0)j= 0.Denitia 2.4.3 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R. Spunemca ) este diferentiabila n punctul a daca exista c1, c2, ..., ca R si ofunc tie . : 1 R cu limao. (r) = . (a) = 0 (deci . continua si nula n a)astfel nct sa avem) (r) ) (a) =a

i=1ci (ri ai) . (r) |r a| , \r 1. (2.4.1)Spunem ca ) este diferentiabila pe 1 daca este diferen tiabila norice punct din .Propozitia 2.4.1 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R. Daca) este diferen tiabila n a atunci ) este continua n a.Demonstratie.Cum ) este diferentiabil a n a rezult a c a exist a c1, c2, ..., ca R si ofunctie . : 1 R, limao. (r) = . (a) = 0 astfel nct are loc ) (r)) (a) =a

i=1ci (ri ai) . (r) |r a| , \r 1.Trecnd la limit a cu r la a n egalitatea de mai sus obtinemlimao( ) (r) ) (a)) = limao_ a

i=1ci (ri ai) . (r) |r a|_= 0, adic alimao) (r) = ) (a) si deci ) este continu a n a.In continuare vom studia leg atura ntre diferentiabilitatea unei functiintr-un punct si existenta derivatelor partiale n acel punct.Propozitia 2.4.2 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R. Daca )este diferen tiabila n a atunci ) admite derivate par tiale n a si0)0a. (a) = cipentru orice i = 1, :.40Demonstratie. Fie i = 1, :.Dac a ) e diferentiabil a n a atunci exist c1, ..., ca R si . : 1 R,limao. (r) = . (a) = 0 astfel nct) (r) ) (a) == c1 (r1 a1)...ca (ra aa). (r)_(r1 a1)2... (ra aa)2, \r 1.Dac a ri R are proprietatea c a (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) 1,atunci) (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) ) (a1, a2, ..., aa) == ci (ri ai) . (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) [ri ai[de unde)(o1,o2,...,o.1,a.,o.+1,...,on))(o1,o2,...,on)a.o.== ci . (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) [a.o.[a.o. .Facem ri ai n egalitatea de mai sus si obtinem:lima.o.)(o1,o2,...,o.1,a.,o.+1,...,on))(o1,o2,...,on)a.o.== ci lima.o.. (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) [a.o.[a.o.= cideoarece avem . (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa) [a.o.[a.o. == [. (a1, a2, ..., ai1, ri, ai1, ..., aa)[ a.o. 0datorit a continuit atii globale (deci si partiale) a functiei . n a.Cum i = 1, : a fost oarecare propozitia este demonstrat a.Observatia 2.4.21) Rezultatul precedent implica faptul ca rela tia de deni tie (2.4.1) a difer-en tiabilita tii devine:) (r) ) (a) =a

i=10)0ri (a) (ri ai) . (r) |r a| , \r 1. (2.4.2)2) Reciproca propozi tiei precedente este falsa, adica exista func tii care admitderivate par tiale ntr-un punct si totu si nu este diferen tiabila n acelpunct.Func tia ) : R2R, ) (r, j) =_aja2j2, (r, j) ,= (0, 0)0, (r, j) = (0, 0)studiata n exemplul 2.4.1 admite derivate par tiale n 0 = (0, 0), dar nueste global continua n 0, deci conform propozi tiei 2.4.1 nu este diferen tiabilan acel punct.41Concret, cnd e nevoie s a studiem diferentiabilitatea unei functii ntr-unpunct este necesar s a avem cunoscute conditii suciente de diferentiabilitate.Urm atorul rezultat rezolv a aceast a problem a.Propozitia 2.4.3 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R. Dacaexista \ vecinatate a punctului a astfel nct ) are derivate par tiale pe \ 1 si daca acestea sunt continue n a atunci ) este diferen tiabila n a.Demonstratie. Fie r \ 1. Avem:) (r) ) (a) = [) ( r1, r2, ..., ra) ) (a1, r2, ..., ra)[ [) (a1, r2, ..., ra) )(a1, a2, rS, ..., ra)[ ...[) (a1, a2, ..., aa1, ra) ) (a1, a2, ..., aa)[ .Aplicnd teorema cresterilor nite ec arei paranteze (teorema Lagrange),obtinem c a exist a i ntre ai si ri, pentru ecare i = 1, : astfel nct) (r) ) (a) =0)0r1(1, r2, rS, ..., ra) (r1 a1) 0)0r2 (a1, 2, rS, ..., ra) (r2 a2) ...0)0ra (a1, a2, ..., aa1, a) (ra aa) ,sau echivalent) (r) ) (a) =a

i=10)0ri (a) (ri ai) _ 0)0r1(1, r2, rS, ..., ra) 0)0r1 (a1, ..., aa)_(r1 a1) ..._ 0)0ra(a1, a2, ..., aa1, a) 0)0ra (a1, ..., aa)_(ra aa) .Considernd functia. (r) =___1|ao|_) (r) ) (a) a

i=10)0a. (a)_, r 1a0, r = aeste sucient s a ar at am c a . este continu a n punctul a.42Pentru r \ 1a avem[. (r)[ =_0)0ri (a1, a2, ..., ai1, i, ri1, ..., ra) 0)0ri (a)_(ri ai)1|r a| __a

i=10)0ri (a1, a2, ..., ai1, i, ri1, ..., ra) 0)0ri (a) [ri ai[|r a| __a

i=10)0ri (a1, a2, ..., ai1, i, ri1, ..., ra) 0)0ri (a) 0atunci cnd r a.Conform criteriului major arii rezult a c a . este continu a n a, . (a) = 0si deci ) este diferentiabil a n a.Observatia 2.4.31) Daca ) admite derivate par tiale continue pe 1 atunci ) este diferen tiabilape 1.2) Propozi tia precedenta prezinta condi tii suciente de diferen tiabilitate nu si necesare.Denitia 2.4.4 Fie 1 Ra, un domeniua 1 si ) : 1 R o func tiediferen tiabila n a. Se nume ste diferentiala a functiei ) n punctul a no-tata d)(o), aplica tiad)(o) : RaR d)(o) (/) =a

i=10)0ri (a) /i. (2.4.8)Observatia 2.4.41) Fie 1 Ra,un domeniua 1 si ) : 1 R o func tie diferen tiabilan a. Atunci exista . : 1 R, . continua si nula n a astfel nct\r 1 avem) (r) ) (a) =a

i=10)0a. (a) (ri ai) . (r) |r a| .riai se nume ste cre sterea celui de-al i-lea argument a lui ) _i = 1, :_r a = (r1 a1, r2 a2, ..., ra aa) se nume ste sistem de cre steri aleargumentelor lui ).) (r) ) (a) se nume ste cre sterea func tiei corespunzatoare sistemului decre steri r a ale argumentelor.43Pentru r sucient de apropiat de a (adica pentru |r a| sucient demica astfel nct cantitatea . (r) |r a| poate neglijata) avem evident) (r)) (a) - d)(o) (r a) adica d)(o) aproximeaza cre sterea (sau descre sterea)func tiei ) n a corespunzatoare unui sistem ra de cre steri ale argumentelor(deci cnd se trece de la punctul r la punctul a).2) Consideram func tiile ,i : RaR, ,i (r1, r2, ..., ra) = ri, 1 _ i _ :.Avem:0,.0a (r) = _ 1, , = i, _i, , = 1, :_0, , ,= i,pentru orice r Ra, decifunc tiile ,i admit derivate par tiale continue pe Ra si prin urmare sunt difer-en tiabile n orice punct a Ra si d ,.(a) (r a) =a

)=10,.(o)0a(r) a)) =ri ai , i = 1, :.Pentru simplicarea nota tiilor vom nota d ,.(a) = dri,Cu aceasta rela tia (2.4.3) se scrie d)(o) (r a) =a

)=10)0a. (a) dri.Adesea dr1, dr2, ..., dra se identica cu cre sterile argumentelor si deciavemd)(o) (dr1, dr2, ..., dra) =a

i=10)0a. (a) dri.3) Interpretnd produsul simbolic00a.) (a) ca ind derivata par tiala a lui )n raport cu ri n punctul a _i = 1, :_ se ob tined)(o) =_00r1dr1 00r2dr2 ... 00radra_) (a) , a 1. (2.4.4)Putem considera astfel operatorul de diferen tiered =00r1dr1 00r2dr2 ... 00radra. (2.4.)2.5 Derivate partiale de ordin superior. Diferentiale de ordinsuperior2.5.1 Derivate partiale de ordin superiorDenitia 2.5.1 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R o func tiece admite derivate par tiale pe 1 .44Daca derivata0)0a. : 1 R i = 1, :, este derivabila n raport cu variabilar), , = 1, : n punctul a 1, numim derivata par tiala de ordinul al doilean punctul a a func tiei ) n raport cu variabilele ri, r) (n aceasta ordine)numarul02)0ri0r) (a) =00r)_0)0ri_(a) , (2..1)Daca i ,= ,, i, , 1, ..., : atunci derivata02)0a.0a (a)act=) tta.a (a) senume ste derivata mixta n raport cu variabilele ri si r).Daca i = , 1, ..., : atunci vom folosi una dintre nota tiile02)0a2. (a) =) tta2. (a) .In general o functie de : variabile reale ) are : derivate partiale de ordinnti si :2derivate partiale de ordinul doi.Exemplul 2.5.1 Sa calculam derivatele par tiale de ordinul nti si doi pen-tru func tia ) : R2R ) (r, j) = ln _r2j2 1_0)0a (r, j) = ) ta (r, j) =2aa2j21,0)0 j (r, j) = ) tj(r, j) =2ja2j21.02)0a2 (r, j) =_2aa2j21_ta = 2(a2j21)2a2a(a2j21)2= 2(a2j21)(a2j21)2 .02)0a0j (r, j) =_2aa2j21_tj = 2r_2j(a2j21)2_= 1aj(a2j21)2.02)0j2 (r, j) =_2ja2j21_tj = 2(a2j21)(a2j21)2 .Se observa ca ) ttaj (r, j) = ) ttja (r, j).In general, aceste derivate par tialede ordinul al doilea nu sunt egale. Urmatorul criteriu stabile ste condi tii su-ciente pentru ca derivatele par tiale mixte sa e egale.Teorema 2.5.1 (Schwarz). Daca func tia ) : 1 R , 1 domeniu, 1 Ra, are derivate par tiale de ordinul doi mixte02)0a.0a si02)0a0a., i, , 1, ..., : , i ,= ,, ntr-o vecinatate \ a punctului a 1 si daca acestefunc tii derivate par tiale de ordinul doi mixte02)0a.0a si02)0a0a. sunt continuen a atunci are loc egalitatea:02)0a.0a (a) =02)0a0a. (a) .Demonstratie. Pentru simplicarea notatiilor vom face demonstratiadoar n cazul : = 2. Fie (a, /) 1 R2.Alegem un punct (r, j) \ 1 (a, /) astfel nct dreptunghiul cuvrfurile opuse (r, j) si (a, /) s a e continut n \ 1.45Consider am functia 1 : \ 1 R, 1 ( r, j) = )(a,j))(a,b))(o,j))(o,b)(ao) (jb).Fie q (t) =)(t,j))(t,b)jbunde t [a, r[ sau t [r, a[ dup a cum a < r sauar.Deoarece q (r) = )(a,j))(a,b)jb, q (a) = )(o,j))(o,b)jbrezult a c a1(r, j) =j(a)j(o)ao.Aplicnd teorema lui Lagrange functiei q rezult a c a exist a ntre a si rastfel nct 1(r, j) = j(a)j(o)ao= qt () .Pe de alt a parte observ am c a ipotezele din enunt asigur a faptul c a functiaq este derivabil a pe (a, r) (respectiv (r, a)) si astfel egalitatea precedent adevine:1(r, j) = j(a)j(o)ao= qt () =1jb_0)0a (, j) 0)0a (, /)_.Aplicnd din nou teorema lui Lagrange n raport cu variabila j, obtinemc a exist a j ntre / si j astfel nct:1(r, j) =1jb_0)0a (, j) 0)0a (, /)_=02)0a0j (, j) .In mod analog, considernd functia /(:) =)(a,c))(o,c)ao, unde : [/, j[sau : [j, /[ dup a cum / < j sau /j, deducem c a exist a j1 ntre / si j si1 ntre a si r astfel nct 1(r, j) =02)0j 0a (1, j1) .In concluzie02)0a0j (, j) =02)0a0j (1, j1) unde , 1 se g asesc ntre a si riar j, j1 se g asesc ntre / si j.Folosind continuitatea functiilor derivate partiale de ordinul doi mixte npunctul (a, /), obtinem prin trecere la limit a cu r a si j / (ceea ceimplic a faptul c a , 1 a si j, j1 /) egalitatea02)0a0j (a, /) =02)0j 0a (a, /) ,deci teorema este demonstrat a.Propozitia 2.5.1 Daca func tia ) : 1 R, 1 _ Raare derivate par tialede ordinul doi mixte02)0a.0a si02)0a0a., i, , 1, ..., : , i ,= ,, pe 1 si suntfunc tii continue pe 1 atunci ele sunt egale pe 1 adica02)0ri0r) (r) =02)0r)0ri (r) , r 1.Observatia 2.5.1 Condi tia de continuitate a derivatelor mixte e esen tiala.De exemplu, e) : R2R,) (r, j) =_ rja2j2a2j2, dac a (r, j) ,= (0, 0)0, dac a (r, j) = (0, 0)46.Functia ) este derivabil a n raport cu r si j pe R2si anume0)0r (r, j) =_8r2j jS_ _r2j2_2r2j_r2j2_(r2 j2)2= j_r1j1_ 4r2jS(r2 j2)2pentru(r, j) ,= (0, 0) ,0)0j (r, j) =_rS8rj2_ _r2j2_2rj2_r2j2_(r2 j2)2= r_r1j1_4rSj2(r2 j2)2pentru(r, j) ,= (0, 0) ,iar0)0r (0, 0) = lima0) (r, 0) ) (0, 0)r= 00)0j (0, 0) = limj0) (0, j) ) (0, 0)j= 0.De asemenea exist a, peste tot, derivatele de ordinul al doilea, ns a02)0r0j (0, 0) = limj00)0a (0, j) 0)0a (0, 0)j= limj0j5j4j= 102)0j 0r (0, 0) = lima00)0j (r, 0) 0)0j (0, 0)r= limj0a5a4r= 1deci02)0r0j (0, 0) ,=02)0j 0r (0, 0) .Aceasta se ntmpl din cauz a c a derivatele mixte nu sunt functii continue.Fie 1 domeniu, 1 Ra, si ) : 1 R o functie ce admite derivatepartiale de ordinul doi pe 1 . Atunci putem studia existenta derivatelorpartiale de ordinul 3.Dac a derivata02)0a.0a:1 R( i, , 1, ..., :) este derivabil a nraport cu rI (/ 1, ..., :) n punctul a 1, numim derivat a partial a deordinul al treilea n punctul a a functiei ) n raport cu variabilele ri, r), rI(n aceast a ordine) num arul0S)0ri0r)0rI (a) act= ) ttta.aaI (a) =00rI_02)0ri0r)_(a) .Dac a cel putin doi indici dintre i, ,, / sunt diferiti derivata se va numi mixt a.In caz contrar, adic a i = , = /, se obtine derivata de ordinul 3 n raport cuaceiasi variabil a ri _i = 1, :_,03)0a3. (a) = ) ttta3. (a)47In mod analog se pot deni derivate partiale de ordin mai mare ca trei.Concluzia Teoremei 2.5.1 (Teorema Schwarz) r amne adev arat a si pentruderivatele partiale mixte de ordin mai mare ca doi. De fapt, n ipotezacontinuit atii acelor functii derivate mixte de ordin superior, important a estenu ordinea n care se face derivarea ci variabilele n raport cu care se facederivarea si de cte ori se deriveaz a n raport cu o variabil a. De exempluavem c a03)0a20j =03)0a0j0a =03)0j0a2.Exemplul 2.5.2 Fie func tia ) : R(0, ) R data de ) (r, j) = rlnjDerivatele par tiale distincte de ordinul doi, trei se calculeaza astfel:Calculam mai nti derivatele par tiale de ordinul nti0)(a,j)0a= (rlnj)ta = lnj,0)0j (r, j) = (rlnj)tj = ajCalculam derivatele par tiale de ordinul doi distincte02)(a,j)0a2=00a_0)0a (r, j)_=00a (lnj) = 002)(a,j)0a0j=00j_0)0a (r, j)_=00j (lnj) = 1j = 02)(a,j)0j 0a02)(a,j)0j2=00j_0)0j (r, j)_=00j_aj_= aj2.Calculam derivatele par tiale de ordinul trei distincte03)0a3 (r, j) =00a_02)0a2 (r, j)_=00a (0) = 003)0a2 0j (r, j) =03)0a0j0a (r, j) =03)0j0a2 (r, j) =00j_02)0a2 (r, j)_=00j (0) = 003)0a0j2 (r, j) =03)0j0a0j (r, j) =03)0j20a (r, j) =00a_02)0j2 (r, j)_=00a_ aj2_= 1j203)0j3 (r, j) =00j_02)0j2 (r, j)_=00j_ aj2_= 2aj3.2.5.2 Diferentiale de ordin superiorIn paragraful 2.4 a fost introdus a notiunea de diferential a a unei functii npunctul a, notat ad)(o).Aceasta este dat a de d)(o) : RaR, d)(o) (/) =a

i=10)0a. (a) /isau dac a not am cu dr = (dr1, dr2, ..., drn) cresterile argumentelor atuncid)(o) (dr) =a

i=10)0ri (a) dri.48De asemenea, am introdus operatorul de diferentiered =00r1dr1 00r2dr2 ... 00radracu ajutorul c aruia se poate scried)(o) =_00r1dr1 00r2dr2 ... 00radra_) (a) .Denitia 2.5.2 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R1) Spunem ca ) este de doua ori diferentiabila n punctul a sau caare diferen tiabila de ordinul doi n a daca ) admite derivate par tiale nraport cu toate variabilele pe o vecinatate \ a lui a si func tiile derivatepar tiale0)0a., i 1, ..., :, (considerate pe \ 1) sunt diferen tiabile na.In general2) Spunem ca func tia ) este diferentiabila de / ori n punctul a, sauca are diferen tiala de ordinul / n a daca toate derivatele par tiale deordinul / 1 ale lui ) exista ntr-o vecinatate \a lui a si sunt difer-en tiabile n a.3) Spunem ca func tia ) este diferen tiabila de / ori pe domeniul 1 daca estediferen tiabila de / ori n ecare punct din 1.Prezent am n continuare (f ar a demonstratie) un rezultat care ne d a conditiisuciente pentru ca o functie s a e de / ori diferentiabil a ntr-un punct.Teorema 2.5.2 Fie 1 domeniu, 1 Ra, a 1 si ) : 1 R.Daca ) are ntr-o vecinatate \ a lui a toate derivatele par tiale de ordinul/ si daca aceste func tii derivate par tiale sunt continue n a, atunci ) estediferen tiabila de / ori n a.Diferentiala de ordinul / n punctul a se deneste prin egalitateadI)(o) (dr) =_00r1dr1 00r2dr2 ... 00radra_(I)) (a) , (2..2)49unde dr = (dr1, dr2, ..., drn) iar (/) reprezint a puterea simbolic a-formal a,dup a care se dezvolt a suma din parantez a si apoi se nmulteste formal cu) (a) .Utiliznd ridicarea la puterea simbolic a se obtine expresia:dI)(o) (dr) =

I1I2...In=I/!/1!, /2!, ..., /a!0I) (a)0rI11 ...0rIna drI11 drI22 ...drIna .Relatia (2.5.2) pune n evident a operatorul de diferentiere de ordinul /.dI=_00r1dr1 00r2dr2 ... 00radra_(I)care este (formal) puterea de ordinul / a operatorului de diferentiere deordinul nti.Pentru o mai bun a ntelegere a puterii simbolice vom prezenta n contin-uare expresia detaliat a a diferentialelor de ordinul doi si trei pentru o functiede dou a variabile realeDac a ) : 1 R, 1 _ R2, a = (a1, a2) si dac a ) este o functie de treiori diferentiabil a n a atuncid2)(o1,o2) (dr, dj) = 02)0r2 (a) dr2 2 02)0r0j (a) drdj 02)0j2 (a) drdj,respectivdS)(o1,o2) (dr, dj) =0S)0rS (a) drS 802)0r20j (a) dr2dj 802)0r0j2 (a) drdj2 0S)0jS (a) djS.Exemplul 2.5.3 Scriem diferen tialele de ordinulunu,doi si trei pentrufunc tia:) : R (0, ) R prezentata n exemplul 2.5.2.Diferen tiala de ordinul unu ested)(o1,o2) (dr, dj) =0)0r (a1, a2) dr 0)0j (a1, a2) dj == lna2dr a1a2dj.50Diferen tiala de ordinul doi ested2)(o1,o2) (dr, dj) =02)0r2 (a1, a2) dr2 2 02)0r0j (a1, a2) drdj 02)0j2 (a1, a2) dj2==2a2drdj a1a22dj2.Diferen tiala de ordinul trei va d2)(o1,o2) (dr, dj) = 8a22drdj2 2a1aS2 djS.512.6 Probleme rezolvate2.6.1 Elemente de topologie n RaProblema 2.6.1 Se dau vectorii: 1 = (1, 2, 4) , 2 = (2, 0, 2) , S =(1, 2, 2) , n = (1, 0, 4, 8) .S se calculeze:a) 1 2; b) (8) S; c) 21 82; d) 1 2 S; e) 2 n.Rezolvare:a) Pentru a aduna doi vectori, se adun prima component a primuluivector cu prima a celui de-al doilea si rezultatul va prima component avectorului rezultat si asa mai departe. Remarcati c rezultatul adunrii adoi vectori este tot un vector, de aceeasi dimensiune.1 2 = (1, 2, 4) (2, 0, 2) = (1 2, 2 0, 4 2) = (1, 2, 2) ;b) Pentru a nmulti un vector cu un scalar, se nmulteste ecare com-ponent a vectorului cu scalarul, rezultatul ind un vector cu acelasi numrde componente.(8) S = ((8) (1) , (8) (2) , (8) (2)) = (8, 6, 6) ;c)21 82= 2 (1, 2, 4) 8 (2, 0, 2) = (2, 4, 8) (6, 0, 6) == (2 6, 4 0, 8 6) = (4, 4, 2) ;d)1 2 S= (1, 2, 4) (2, 0, 2) (1, 2, 2) == (1 2 1, 2 0 2, 4 2 2) = (0, 0, 0) = 0,adic vectorul nul din spatiul RS;e) Se observ c n are patru componente, ind din R1. Dar operatia deadunare a vectorilor este denit pentru vectori din acelasi spatiu vectorial,adic vectori cu acelasi numr de componente.n cazul nostru 2 RSsi n R1, prin urmare 2 n nu are sens.Problema 2.6.2 S se calculeze produsul scalar al urmtorilor vectori:52a) r = (1, 2) , j = (8, 10) ; b) r = (1, 0, 8) , j = (0, 7, 0) .Rezolvare:a) Folosind denitia produsului scalar, avem c:r, j = r1j1 r2j2, de under, j = (1)8 210 = 8 20 = 17;b) Analog punctului a),r, j = (1)0 07 80 = 0.Se observ c n timp ce la adunarea vectorilor si la nmultirea cu scalarrezultatul este un vector, la produsul scalar rezultatul este un scalar (unnumr real).Problema 2.6.3 Arta ti c norma Minkowski,||1 : RaR, |r|1 =a

i=1[ri[ , \r = (r1, r2, ..., ra) Ra,veric axiomele normei.Rezolvare:Vom verica cele trei axiome din denitia normei.N1) Aici avem de artat dou lucruri.n primul rnd, c \r Ra,|r|1 _ 0.Fie r Ra, r = (r1, r2, ..., ra) . Atunci:|r|1 =a

i=1[ri[ = [r1[ [r2[ ... [ra[ .Dar [r1[ _ 0, ..., [ra[ _ 0, prin urmare suma lor este de asemenea _ 0.Deci |r|1 _ 0.n al doilea rnd, vericm c |r|1 = 0 dac si numai dac r = 0,vectorul nul.Dac |r|1 = 0, atunci [r1[[r2[...[ra[ = 0. Cum[r1[ _ 0, ..., [ra[ _ 0,aceast egalitate poate avea loc numai cnd[r1[ = [r2[ = ... = [ra[ = 0, adic r1 = r2 = ... = ra = 0, si decir = (0, 0, ..., 0) = 0.Invers, dac r = 0 = (0, 0, ..., 0) , e evident c |r|1 = 0 0 ... 0 = 0.53N2) Artm c \c R, \r Ra, are loc |cr|1 = [c[|r|1.Fie c R si r Ra, r = (r1, r2, ..., ra) .Atunci:cr = c(r1, r2, ..., ra) = (cr1, cr2, ..., cra) ,prin urmare|cr|1= [cr1[ [cr2[ ... [cra[ == [c[[r1[ [c[[r2[ ... [c[[ra[ == [c[([r1[ [r2[ ... [ra[) = [c[|r|1,adic ceea ce trebuia artat.NS) Artm c \r, j Ra, are loc |r j|1 _ |r|1 |j|1.Fie r, j Ra, r = (r1, r2, ..., ra) , j = (j1, j2, ..., ja) .Atunci:r j = (r1, r2, ..., ra) (j1, j2, ..., ja) == (r1 j1, r2 j2, ..., ra ja) ,prin urmare:|r j|1 = [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ .Dar[a /[ _ [a[ [/[ , \a, / R, deci [ri ji[ _ [ri[ [ji[ , i = 1, :.Folosind aceste inegalitti avem c:|r j|1= ([r1 j1[) ([r2 j2[) ... ([ra ja[) == ([r1[ [r2[ ... [ra[) ([j1[ [j2[ ... [ja[)= |r|1 |j|1,deci |r j|1 _ |r|1 |j|1, adic ceea ce trebuia artat.Prin urmare norma Minkowski veric toate cele trei axiome din denitianormei.Problema 2.6.4 Calcula ti norma euclidian, norma Minkowski si normaCeb sev pentru urmtorii vectori:54a) r=(2, ) ; b) r= 4; c) r=(1, 0, 8, ) ; d) r=(1, 2, ..., 20) ; e) r = 2n unde n = (1, 8) , = (2, 1) .Rezolvare:Folosim denitiile celor trei norme, si anume:|r| =_r21 r22 ... r2a,|r|1 = [r1[ [r2[ ... [ra[ ,respectiv|r|o = max ([r1[ , [r2[ , ..., [ra[) .a)|r| =_r21 r22 == |r| =_22 ()2= _4 2 = _20;|r|1 = [r1[[r2[ == |r|1 = [2[ [[ = 2 = 7;|r|o = max ([r1[ , [r2[) == |r|o = max ([2[ , [[) = max (2, ) = .b)|r| = _r2 = [r[ == |r| = [4[ = 4;|r|1 = [r[ == |r|1 = [4[ = 4;|r|o = max ([r[) = [r[ == |r|o = [4[ = 4.Observatie:Faptul c toate cele trei norme coincid pentru r = 4 nu este o ntm-plare. Acest lucru este valabil pentru orice alt numr real (considerat cavector de dimensiune 1).Retineti c pe R cele trei norme coincid cu functia modul:|r| = |r|1 = |r|o = [r[ , \ r R.55c)|r| = _r21 r22 r2S r21 == |r| =_(1)2 02 82 2 == _1 0 2 = _8;|r|1 = [r1[ [r2[ [rS[ [r1[ == |r|1 = [1[ [0[ [8[ [[ = 18 = 0;|r|o = max ([r1[ , [r2[ , [rS[ , [r1[) == |r|o = max ([2[ , [[) = max (2, ) = .d)|r| =_r21 r22 ... r220 == |r| =_12 22 ... 202Folosim formula12 22... :2= :(: 1) (2: 1)6si avem c12 22... :2= 20 (20 1) (220 1)6= 2021416= 2870== |r| = _2870.|r|1 = [r1[[r2[ ... [r20[ == |r|1 = 1 2 ... 20Folosim formula1 2 ... : = :(: 1)2si avem c1 2 ... 20 = 20212= 210.== |r|1 = 21056|r|o = max([r1[ , [r2[ , ..., [r20[) == |r|o = max (1, 2, ..., 20) = 20.e) Determinm mai nti componentele lui r :r = 2n == r = 2 (1, 8) (2, 1) = (2, 6) (2, 1) == r = (0, ) .Atunci:|r| =_02 2 = ,|r|1 = [0[ [[ = ,|r|o = max ([0[ , [[) = .Problema 2.6.5 Arta ti c distan ta (metrica) Minkowski,d1 : RaRaR, d1 (r, j) = |r j|1 =a

i=1[ri ji[ ,\r = (r1, r2, ..., ra) , j = (j1, j2, ..., ja) Ra,veric axiomele distantei.Rezolvare:Vom verica cele trei axiome din denitia distantei.D1) Avem de artat dou lucruri.n primul rnd, c\r, j Ra, d (r, j) _ 0.Fie r, j Ra, r = (r1, r2, ..., ra) , j = (j1, j2, ..., ja) .Atunci:d1 (r, j) = [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ .Dar [r1 j1[ _ 0, ..., [ra ja[ _ 0, prin urmare suma lor estede asemenea _ 0.Deci d1 (r, j) _ 0.n al doilea rnd, vericm cd (r, j) = 0 dac si numai dac r = j.Dac d1 (r, j) = 0, atunci [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ =0.Cum [r1 j1[ _ 0, ..., [ra ja[ _ 0, aceast egalitate poateavea loc numai cnd[r1 j1[ = [r2 j2[ = ... = [ra ja[ = 0,57adicr1 = j1,r2 = j2, ...ra = ja,si deci r = j.Invers, dac r = j, e evident c d1 (r, j) = [0[ ... [0[ = 0.D2) Artm c \r, j Ra, are loc d1 (r, j) = d1 (j, r) .Fie r, j Ra, r = (r1, r2, ..., ra) , j = (j1, j2, ..., ja) .Atuncid1 (r, j) = [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ == [j1 r1[ [j2 r2[ ... [ja ra[ ,adic ceea ce trebuia artat.DS) Artm c \r, j, . Ra, are loc d (r, j) _ d (r, .) d (., j) .Fie r, j, . Ra, r = (r1, r2, ..., ra) , j = (j1, j2, ..., ja) , . =(.1, .2, ..., .a) .Atuncid1 (r, j) = [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ == [r1 .1 .1 j1[ [r2 .2 .2 j2[ ... [ra .a .a ja[ __ ([r1 .1[ [.1 j1[)([r2 .2[ [.2 j2[)...([ra .a[ [.a ja[) == ([r1 .1[ [r2 .2[ ... [ra .a[)([.1 j1[ [.2 j2[ ... [.a ja[) == d1 (r, .) d1 (., j) ,adic ceea ce trebuia artat.58Prin urmare distanta Minkowski veric toate cele trei axiome din denitiadistantei.Observatie:Demonstratia se poate face mai scurt folosind faptul cd1 (r, j) = |r j|1si axiomele din denitia normei, pe care norma Minkowski le veric.Problema 2.6.6 Calcula ti distan ta euclidian, distan ta Minkowski si dis-tan ta Ceb sev ntre vectorii:r = (1, 2, 7) si j = (8, 2, 4) .Rezolvare:Folosim denitiile celor trei distante, si anume:d (r, j) =_(r1 j1)2 (r2 j2)2... (ra ja)2,d1 (r, j) = [r1 j1[ [r2 j2[ ... [ra ja[ ,respectivdo (r, j) = max ([r1 j1[ , [r2 j2[ , ..., [ra ja[) .Atunci:d (r, j) = _(r1 j1)2 (r2 j2)2 (rS jS)2==d (r, j) =_(1 8)2 (2 2)2 (7 4)2== _42 02 82 = _2 = ;d1 (r, j) = [r1 j1[ [r2 j2[ [rS jS[ ====d1 (r, j) = [1 8[ [2 2[ [7 4[ == [4[ [0[ [8[ = 4 8 = 7;do (r, j) = max ([r1 j1[ , [r2 j2[ , [rS jS[) ====do (r, j) = max ([1 8[ , [2 2[ , [7 4[) = max (4, 0, 8) = 4.592.6.2 Limite si continuitateProblema 2.6.7 Stiind c func tiile indicate mai jos prin rela tiile de deni tieau limit global n punctele specicate, s se determine aceast limit:a) ) (r, j) = r2j22r j , a = (1, 0) ;b) ) (r, j) =_2 r j2, a = (0, 1) ;c) ) (r, j, .) = 2r 8j2.rj., a = (1, 1, 1) ;d) ) (r, j) =rj_rj 1 1, a = (0, 0) ;e) ) (r, j) = r2j2[r[ [j[, a = (0, 0) ;f) ) (r, j) =r2jr2 j2, a = (0, 0) ;Rezolvare:a) La acest gen de limite, calculul se face nlocuind n expresia functieicu valorile ctre care tind componentele.lim(a,j)(1,0)) (r, j) = lim(a,j)(1,0)r2j22r j= 12 0221 0 = 12;b)lim(a,j)(0,1)) (r, j) = lim(a,j)(0,1)_2 r j2 =_2 0 (1)2= _8;c)lim(a,j,:)(1,1,1)) (r, j, .) = lim(a,j,:)(1,1,1)2r 8j2.rj.= 21 8121111= 4;d)lim(a,j)(0,0)) (r, j) = lim(a,j)(0,0)rj_rj 1 1.Dac am proceda ca mai sus, am ajunge la nedeterminarea00.La acest gen de limite se face mai nti rationalizarea numitorului, prin60amplicarea functiei cu conjugatul acestuia:lim(a,j)(0,0)) (r, j) = lim(a,j)(0,0)rj__rj 1 1___rj 1 1_ __rj 1 1_ == lim(a,j)(0,0)rj__rj 1 1__rj 1212= lim(a,j)(0,0)rj__rj 1 1_rj== lim(a,j)(0,0)__rj 1 1_= _0 1 1 = 2.e) De aceast dat nici una din metodele de mai sus nu este util.Vom folosi criteriul majorrii, si pentru aceasta vom ncerca s gsim ofunctie , care ndeplineste conditiile din criteriu.Avem c:[) (r, j) 0[ = [) (r, j)[ =r2j2[r[ [j[= r2j2[r[ [j[ = [r[2[j[2[r[ [j[ __ [r[2 2 [r[ [j[ [j[2[r[ [j[= ([r[ [j[)2[r[ [j[= [r[ [j[ .Lund acum | = 0 si ,(r, j) = [r[ [j[ si avnd n vedere clim(a,j)(0,0),(r, j) = 0,rezult pe baza criteriului majorrii clim(a,j)(0,0)r2j2[r[ [j[ = 0.f) Ca si la subpunctul precedent, scriem:[) (r, j) 0[ = [) (r, j)[ =r2jr2 j2= [r[ [r[[j[[r[2[j[2 _ [r[ [r[2[j[22_[r[2[j[2_ = [r[2 .Lund acum | = 0 si ,(r, j) = [a[2si avnd n vedere c:lim(a,j)(0,0),(r, j) = 0,rezult pe baza criteriului majorrii clim(a,j)(0,0)r2jr2 j2 = 0.61Problema 2.6.8 S se calculeze limitele iterate ale func tiilor date prin re-la tiile urmtoare, n punctele specicate:a) ) (r, j) = r2 2jr j, a = (1, 1) ; b) ) (r, j) = rS2jSrS jS , a =(0, 0) .Rezolvare:a)|12= lima1_ limj1) (r, j)_= lima1_ limj1r2 2jr j_= lima1_r2 2(1)r (1)_== lima1r22r 1= 1221 1= 12;|21= limj1_lima1) (r, j)_=limj1_lima1r2 2jr j_=limj1_12 2j1 j_== limj11 2j1 j= 1 2 (1)1 (1)= 12.b)|12= lima0_limj0) (r, j)_= lima0_limj0rS2jSrS jS_= lima0_limj0rS20SrS 0S_== lima0rSrS = lima01 = 1;|21= limj0_lima0) (r, j)_= limj0_lima0rS2jSrS jS_= limj0_0S2jS0S jS_== limj02jSjS= limj0(2) = 2.Se observ c n acest caz limitele iterate sunt diferite. De aici putemtrage concluzia c ) nu are limit global n (0, 0) (a se vedea si exempluldin curs).Problema 2.6.9 S se determine limita dup direc tia / = (/1, /2) R2 (0, 0)a func tiilor date prin rela tiile de mai jos, n punctele specicate (dac aceastlimit exist):62a) ) (r1, r2) = r1 r22r21 r12, a = (0, 0) ;b) ) (r1, r2) =r21 r22r1 r22, a = (1, 0) .Rezolvare:a) Limita dup directia / se calculeaz dup formula de denitie:|I = limt0) (a t/) .Calculm mai nti a t/ :a t/ = (0, 0) t (/1, /2) = (t/1, t/2) .Deci:|I= limt0 ) (t/1, t/2) = limt0t/1 (t/2)2(t/1)2 (t/2)1 = limt0t/1 t2/22t2/21 t1/12 == limt0t_/1 t/22_t2_/21 t2/12_ = limt0/1 t/22t_/21 t2/12_.Dup cum se vede, aceast limit nu exist (t 0 si deci1t ), prinurmare ) nu are limit dup directia / n punctul a.b) Urmnd aceiasi pasi ca la a) avem:a t/ = (1, 0) t (/1, /2) = (1 t/1, t/2) .Rezult c:|I= limt0 ) (1 t/1, t/2) = limt0(1 t/1)2t/22 (1 t/1) (t/2)2 == limt01 2t/1 t2/21 t/22 2t/1 t2/22= 1 20/1 0/21 0/22 20/1 0/22= 12.Problema 2.6.10 S se determine limita dup direc tia dat de dreapta j =:r a func tiilor date prin rela tiile urmtoare, n punctele specicate:a) ) (r, j) = r2j2r2 j2, a = (0, 0) ;b) ) (r, j) = r2j22r j , a = (0, 0) .Rezolvare:63a)|n =lima0j=na) (r, j) =lima0j=nar2j2r2 j2 = lima0r2:2r2r2 :2r2 =lima01 :21 :2 =1 :21 :2Aceast limit depinde de :, adic pentru valori diferite ale lui : (carenseamn directii diferite), avem valori diferite ale lui |n. Dup cum vomvedea n exercitiul urmtor, aceasta nseamn c nu exist limit global n(0, 0) (a se vedea si exemplul din curs).b)|n= lima0j=na) (r, j) =lima0j=nar2j22r j= lima0r2:2r22r :r== lima0r :r2 := 0 0:2 := 0.Problema 2.6.11 S se studieze existen ta limitei globale n punctele indi-cate pentru func tiile date prin rela tiile urmtoare:a) ) (r, j) = 2r2j2r2 2j2, a = (0, 0) ; b) ) (r, j) = r28j22r2 j2, a = (0, 0) ;c) ) (r, j) =2rjr2 2j2, a = (1, 1) .Rezolvare:a) Putem proceda n mai multe moduri (a se vedea exemplele din curs).De exemplu, calculm limitele iterate:|12 = lima0_limj02r2j2r2 2j2_= lima02r2r2= lima02 = 2;|21 = limj0_lima02r2j2r2 2j2_= limj0j22j2 = limj0_12_= 12.Prin urmare |12 ,= |21, de unde rezult c ) nu are limit global n (0, 0) .b) O alt metod este s calculm limita dup o directie / = (/1, /2) :|I = limt0 ) (a t/) = limt0 ) (t/1, t/2) = limt0t2/21 8t2/222t2/21 t2/22 = /21 8/222/21 /22.Aceast limit depinde de /, adic pentru directii / diferite vom aveavalori ale lui |I diferite.Prin urmare ) nu are limit global n (0, 0) .64c) n acest caz se observ c:lim(a,j)(1,1)) (r, j) = lim(a,j)(1,1)2rjr2 2j2 =21112 212 = 28,care este limita global a lui ) n (1, 1) .Problema 2.6.12 S se studieze continuitatea urmtoarelor func tii:a) ) (r, j) =_aj_aj11, dac (r, j) ,= (0, 0)2, dac (r, j) = (0, 0);b) ) (r, j) =_aja2j2, dac (r, j) ,= (0, 0)0, dac (r, j) = (0, 0);c) ) (r, j) =_1cos(a3j3)a2j2, dac (r, j) ,= (0, 0)0, dac (r, j) = (0, 0).Rezolvare:b) Functia ) este continu pe R2(0, 0) , ca si compunere de functiielementare, continue pe acest domeniu de denitie. Ne rmne de studiatcontinuitatea n (0, 0) .Pentru aceasta ne vom folosi de un rezultat din curs, care spune c dac ofunctie este global continu n punctul a, atunci si aplicatiile partiale asociatefunctiei ) n a sunt continue.Prin urmare, dac aceste aplicatii nu sunt continue, e evident c nici )nu va continu n acest punct.Aplicatiile partiale asociate functiei ) date n punctul (0, 0) sunt,(r) = ) (r, 0) = 1rsi c (j) = ) (0, j) = 1j.Dar lima0,(r) = si limj0c (j) = , prin urmare , si c nu sunt continuen 0.Rezult c ) nu este continu n (0, 0) .b) Functia ) este continu pe R2(0, 0) , ca si compunere de functiielementare, continue pe acest domeniu de denitie. Ne rmne de studiatcontinuitatea n (0, 0) .Pentru ca ) s e continu n (0, 0) , trebuie ca:lim(a,j)(0,0)) (r, j) = ) (0, 0) .65Dup cum am artat la problema 1.d), de la limitelim(a,j)(0,0)) (r, j) = 2.Cum ) (0, 0) = 2, rezult c lim(a,j)(0,0)) (r, j) = ) (0, 0) si deci ) estecontinu si n (0, 0).Am artat astfel c ) este continu pe tot domeniul de denitie, R2.c) Functia )este continu pe R2(0, 0). Ne rmne de studiatcontinuitatea n (0, 0) .Folosind formula 1 cos 2. = 2 sin2 .2 si faptul c lim:0sin..= 1, avem clim(a,j)(0,0)) (r, j) = lim(a,j)(0,0)1 cos_rSjS_r2 j2= lim(a,j)(0,0)2 sin2_a3j32_r2 j2== 2 lim(a,j)(0,0)sin2_a3j32__a3j32_2

_a3j32_2r2 j2==12__lim(a,j)(0,0)sin_a3j32_a3j32__2 lim(a,j)(0,0)_rSjS_2r2 j2==12lim(a,j)(0,0)_rSjS_2r2 j2Folosim acum inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz,(a1/1 a2/2 ... aa/a)2__a21 a22 ... a2a_ _/21 /22 ... /2a_,si scriem:_rSjS_2=_rr2jj2___r2j2_ _r1j1_. Tinnd cont acum de inegalitatea urmtoare, valabil pentru a, /0 :a2/2_ a2 2a/ /2= (a /)2,avem c :r1j1__r2j2_2, si deci_rSjS_2__r2j2_S.66Revenind acum la calculul limitei, avem c:0 _ lim(a,j)(0,0)) (r, j) = 12lim(a,j)(0,0)_rSjS_2r2 j2_ 12lim(a,j)(0,0)_r2j2_Sr2 j2== 12lim(a,j)(0,0)_r2j2_2= 120 = 0Asadar0 _ lim(a,j)(0,0)) (r, j) _ 0,prin urmarelim(a,j)(0,0)) (r, j) = 0.Cum ) (0, 0) = 0, rezult c ) este continu si n (0, 0) , deci pe ntregdomeniul de denitie R2.2.6.3 Derivate partiale, diferentialeProblema 2.6.13 S se calculeze derivatele par tiale de ordinul 1 pentrufunc tiile date prin rela tiile urmtoare:a) ) (r, j) = 2rS 4j2; b) ) (r, j) = r1 2rSj 8rj2 2jS 4;c) ) (r, j) = 4r2jS; d) ) (r, j, .) = 2r28rj j22j. r.2.S;e) ) (r, j, .) = rjj:; f) ) (r, j) = rj jr; g) ) (r, j) = r2j2rj;h) ) (r, j) =_rjS 2r; i) ) (r, j) = r j8j 2r j2_r; j) ) (r, j) =ln_r _r2 j2_.Rezolvare:Cnd derivm o functie de mai multe variabile n raport cu una dintrevariabile, pe celelalte le consider am parametri sau constante (se comport aca si cum ar numere) si mai departe se folosesc regulile cunoscute de laderivarea functiilor de o variabil.a)) ta (r, j) = 2_rS_ta _4j2_ta = 28r2 0 = 6r2) tj (r, j) =_2rS_tj 4_j2_tj = 0 42j = 8j67b)) ta (r, j) = _r1_ta 2j_rS_ta 8j2(r)ta _2jS_ta 4ta == 4rS 2j8r28j2 1 0 0 = 4rS 6r2j 8j2) tj (r, j) = _r1_tj 2rS(j)tj 8r_j2_tj 2_jS_tj 4tj == 0 2rS 1 8r2j 28j2 0 = 2rS6rj 6j2c)) ta (r, j) = 4jS_r2_ta = 4jS 2r = 8rjS) tj (r, j) = 4r2_jS_tj = 4r2 8j2= 12r2j2d)) ta (r, j, .) = 2_r2_ta 8j (r)ta _j2_ta (2j.)ta .2(r)ta _.S_ta == 22r 8j1 0 0 .2 1 0 = 4r 8j .2) tj(r, j, .) = _2r2_tj 8r(j)tj _j2_tj 2. (j)tj _r.2_tj _.S_tj == 0 8r1 2j 2.1 0 0 = 8r 2j 2.) t: (r, j, .) = _2r2_t: (8rj)t: _j2_t: 2j (.)t: r_.2_t: _.S_t: == 0 0 0 2j1 r2. 8.2= 2j 2r. 8.2e)) ta (r, j, .) = (rj)ta (j:)ta = jrj1 0 = jrj1) tj (r, j, .) = (rj)tj (j:)tj = rjlnj .j:1) t: (r, j, .) = (rj)t: (j:)t: = 0 j:ln. = j:ln.f)) ta (r, j) = 1j (r)ta j_1r_ta = 1j 1 j_ 1r2_= 1j jr268) tj (r, j) = r_1j_tj 1r (j)tj = r_ 1j2_ 1r1 = rj2 1rSe foloseste formula de derivare pentru ctul a dou functii:_) (r)q (r)_t = ) t (r) q (r) ) (r) q t (r)q2 (r).g)) ta (r, j) = _r2j2rj_ta =_r2j2_tarj _r2j2_ (rj)ta(rj)2==2r rj _r2j2_ j(rj)2= 2r2j r2j jSr2j2= r2j jSr2j2= r2j2r2j) tj (r, j) = _r2j2rj_tj =_r2j2_tj rj _r2j2_ (rj)tj(rj)2==2jrj _r2j2_ rr2j2= 2rj2rSrj2r2j2= rj2rSr2j2= j2r2r2j2h)) ta (r, j) =_jS__r_ta 2_1r_ta =_jS_12_r_ 2_ 1r2_=_jS2_r 2r2;) tj(r, j) = _r__jS_tj _2r_tj = _r _j32_tj 0 = _r82 j12 = 82_rj;i) Scriem mai nti:) (r, j) =r8j j8j 2r_r j2_r =r8j 18 2_r j2_r.Vom avea:) tj (r, j) = r8 (j)tj_18_tj_2_r_tj 1_r_j2_tj = r800 1_r2j = r8 2j_r.69j)) ta (r, j) =_r _r2 j2_ta1r _r2 j2Calculm separat:__r2 j2_ta= __r2j2_12_ta = 12_r2j2_12 _r2j2_ta ==121_r2 j22r =r_r2 j2.Vom avea:) ta (r, j) =1 r_r2 j2r _r2 j2 =_r2 j2 r_r2 j2r _r2 j2 =1_r2 j2;) tj (r, j) =_r _r2 j2_tj1r _r2 j2.Ca mai sus,__r2 j2_tj =j_r2 j2.Prin urmare:) tj(r, j) =j_r2 j2 _r _r2 j2_.n multe probleme economice intervin functii de tip Cobb - Douglas (den-umite astfel dup economistii americani C.V. Cobb si P.H. Douglas, crora lise datoreaz cercetri si descoperiri n domeniu, n anii 1920). Aceste functiiau forma general:) : Ra R, ) (r1, r2, ..., ra) = Crc11 rc22 ...rcna ,unde C, c1, c2, ..., ca _ 0.Problema 2.6.14 S se determine derivatele par tiale de ordinul I ale ur-mtoarelor func tii de tip Cobb - Douglas:70a) ) (r, j) = 8r6j7; b) ) (r, j) = 18_rj; c) ) (r, j, .) = 8r6j2_.;d) ) (r1, r2, rS) =Crc11 rc22 rc3S .Rezolvare:a)) ta (r, j) = 8j7_r6_ta = 8j7 6r= 18rj7) tj(r, j) = 8r6_j7_tj = 8r6 7j6= 21r6j6b)) ta (r, j) = 18_j__r_ta = 18_jr) tj(r, j) = 18_r __j_tj = 18_r _j52_tj = 18_r2j32 = 6_rjSc)) ta (r, j, .) = 8j2_._r6_ta = 18rj2_.) tj(r, j, .) = 8r6_._j2_tj = 6r6j_.) t: (r, j, .) = 8r6j2__._t: = 82r6j2 1_.d)) ta1 (r1, r2, rS) = Crc22 rc3S(rc11 )ta1 = Crc22 rc3Sc1rc111= c1Crc111rc22 rc3S) ta2 (r1, r2, rS) = Crc11 rc3S(rc22 )ta2 = c2Crc11 rc212rc3S) ta3 (r1, r2, rS) = Crc11 rc22(rc3S )ta3 = cSCrc11 rc22 rc31.Problema 2.6.15 Pentru a recolta cp sunile de pe un teren cu suprafa tade r1 ha sunt necesare r2 ore de munc pe zi. Dup rS zile de munc s-aurecoltat j kg de cp suni. ntre aceste variabile exist rela tia:j =) (r1, r2, rS) = r21r2rSS.71S se determine productivitatea marginal raportat a la suprafata terenu-lui, la numrul de ore de munc pe zi si respectiv la numrul de zile demunc.Rezolvare:Productivit tile marginale (si n general costurile, beneciile, cstigurilemarginale) reprezint de fapt derivatele partiale de ordinul I ale functiei carene d productivitatea (respectiv costul, beneciul, cstigul etc.)n cazul problemei noastre vom avea:) ta1 (r1, r2, rS) = 10r1r2rSS, productivitatea marginal raportat lasuprafata de teren,) ta2 (r1, r2, rS) = r21rSS, productivitatea marginal raportat la numrulorelor de munc / zi,) ta3 (r1, r2, rS) = 1r21r2r2S, productivitatea marginal raportat lanumrul de zile de lucru.Problema 2.6.16 Se consider func tia de produc tie de tip Cobb-Douglas) (r1, r2) = r21rS2(r1, r2 _ 0) .S se determine ratele de schimbare partiale si elasticittile partiale alelui ).Rezolvare:Pentru o functie ) : RaRse denesc:j(aI))(r) = ) taI (r)) (r)- rata de schimbare par tial a lui ) n raport cu rI,respectiv-(aI))(r) = rI ) taI (r)) (r)- elasticitatea par tial a lui ) n raport cu rI.(Semnicatia economic a acestor mrimi va studiat la alte discipline.)n cazul nostru:j(a1))(r) = ) ta1 (r)) (r)=_r21rS2_ta1r21rS2= 10r1rS2r21rS2=2r1j(a2))(r) = ) ta2 (r)) (r)=_r21rS2_ta2r21rS2= 1r21r22r21rS2=8r2sunt ratele de schimbare partiale, iar-(a1))(r) = r1) ta1 (r)) (r)= r110r1rS2r21rS2= 272-(a2))(r) = r2) ta2 (r)) (r)= r21r21r22r21rS2= 8sunt elasticittile partiale ale lui ).Se observ c aceste elasticitti sunt egale cu exponentii variabilelor r1,respectiv r2 din expresia functiei ). Aceasta nu este o coincident, ci o pro-prietate a functiilor Cobb-Douglas. Astfel, pentru functia Cobb-Douglasj = ) (r1, r2) = Crc1ro2,semnicatiile sunt urmtoarele:r1 - capitalul (poate notat cu 1);r2 - forta de munc (poate notat a cu 1);j - productia; - factor rezidual ;c, , - elasticittile lui j relativ la r1, respectiv r2.a) S se scrie derivatele partiale de ordinul 1,2,3 (distincte) pentrufunctia urmtoare si s se calculeze valorile acestora n punctul indicat:) (r, j) = 2r1 8r2j 4jS, a = (1, 2) ;b) S se scrie derivatele partiale de ordinul 1,2 pentru functia urmtoaresi s se calculeze valorile acestora n punctul indicat:) (r, j, .) = caj., a = (1, 2, 8) .Rezolvare:Cnd lucrm si cu derivate de ordin superior, vom prefera notatia0 )0 rI nlocul celei folosite pn acum, si anume ) taI. n cazul derivatelor de ordinul2 se pot folosi si notatiile:) ttaa = 02)0 r2, ) ttaj =02)0 r0 j, ) ttja =02)0 j 0r, ) ttjj = 02)0 j2 .a) Derivatele partiale de ordinul 1:0 )0 r (r, j) = 2_r1_ta 8j_r2_ta _4jS_ta = 8rS 6rj==0 )0 r (1, 2) = 81S 612 = 20;730 )0 j (r, j) = 8r2 12j2==0 )0 j (1, 2) = 812 1222= 1.Derivatele partiale de ordinul 2:02)0 r0r (r, j) =00 r_0 )0 r (r, j)_=00 r_8rS 6rj_= 24r2 6j==02)0 r0r (1, 2) = 02)0 r2 (1, 2) = 2412 62 = 86;02)0 r0j (r, j) =00j_0 )0 r (r, j)_=00 j_8rS 6rj_= 6r==02)0 r0 j (1, 2) = 61 = 6;02)0 j 0r (r, j) =00 r_0 )0 j (r, j)_=00 r_8r2 12j2_= 6r==02)0 j 0 r (1, 2) = 61 = 6;02)0 j2 (r, j) =00 j_0 )0 j (r, j)_=00 j_8r2 12j2_= 24j==02)0 j2 (1, 2) = 242 = 48.Se observ c02)0 r0j (r, j) =02)0 j 0r (r, j), ceea ce nu este ntmpltor,ntruct ne am n conditiile teoremei lui Schwarz (vezi curs). De aceeaproblema ne cere doar derivatele partiale distincte.Derivatele partiale de ordinul 3:0S)0 rS=00 r_02)0 r2 (r, j)_=00 r_24r2 6j_= 48r==0S)0 rS (1, 2) = 481 = 48;740S)0 r20 j (r, j) =00 j_02)0 r2 (r, j)_=00 j_24r2 6j_= 6==0S)0 r20 j (1, 2) = 6;0S)0 r0 j2 (r, j) =00 j_ 02)0r0 j (r, j)_=00 j (6r) = 0==0S)0 r0 j2 (1, 2) = 0;0S)0 jS (r, j) =00 j_02)0 j2 (r, j)_=00 j (24j) = 24==0S)0 jS (1, 2) = 24.b) Derivatele partiale de ordinul 1:0 )0 r (r, j, .) = .jcaj== 0 )0 r (1, 2, 8) = 6c2;0 )0 j (r, j, .) = r.caj== 0 )0 j (1, 2, 8) = 8c2;0 )0 . (r, j, .) = caj== 0 )0 . (1, 2, 8) = c2.Derivatele partiale de ordinul 2:02)0 r2 (r, j, .) = .j2caj== 02)0 r2 (1, 2, 8) = 12c2;02)0 j2 (r, j, .) = r2.caj== 02)0 j2 (1, 2, 8) = 8c2;02)0 .2 (r, j, .) = 0 == 02)0 .2 (1, 2, 8) = 0;7502)0 r0 j (r, j, .) =00 j (.jcaj) = . (jcaj)tj = ._jtcajj (caj)tj_== . [cajrjcaj[ ==02)0 r0 j (1, 2, 8) = 8_c2 2c2_= 0c2;02)0 j0 . (r, j, .) =00 . (r.caj) = rcaj==02)0 j0 . (1, 2, 8) = c2;02)0 r0 . (r, j, .) =00 . (.jcaj) = jcaj==02)0 r0 . (1, 2, 8) = 2c2;==d)(a,j) (dr, dj) =_6r2 8j_dr _8r 12j2_dj.Problema 2.6.17 Fie ) : R2 R, ) (r, j) = 2rS 8rj 4jS. S sescrie:a) d)(a,j) (dr, dj) ;b) d)(1,1) (dr, dj) ; c) d)(a,j) (n, ) ;d) d)(1,1) (n, ) ; e)d)(1,1) (2, 8) .Rezolvare: Stim c (vezi curs) pentru) : R2R si a = (a1, a2) R2avem:d)(o) (/) = d)(o1,o2) (/1, /2) = ) ta (a1, a2)/1 ) tj(a1, a2)/2,diferen tiala func tiei ) n punctul a calculat pentru sistemul de cre steri/ 12.Vom folosi aceast formul n cele ce urmeaz.a)d)(a,j) (dr, dj) = ) ta (r, j) dr ) tj (r, j) dj) ta (r, j) = 6r2 8j, ) tj (r, j) = 8r 12j2= d)(a,j) (dr, dj) = (6r2 8j)dr (8r 12j2)dj;76b)d)(1,1) (dr, dj) = ) ta (1, 1) dr ) tj (1, 1) djFolosind rezultatele de la a), avem c:) ta (1, 1) = 612 8 (1) = 8) tj(1, 1) = 81 12 (1)2= 1.== d)(1,1) (dr, dj) = 8dr 1dj;c)d)(a,j) (n, ) = ) ta (r, j) n ) tj (r, j) =_6r2 8j_n _8r 12j2_;d)d)(1,1) (n, ) = ) ta (1, 1) n ) tj (1, 1) = 8n 1;e)d)(1,1) (2, 8) = ) ta (1, 1) 2 ) tj (1, 1) 8 = 82 18 = 1;Problema 2.6.18 S se scrie diferen tialele de ordinul 1,2,3 pentru func tiaurmtoare:) (r, j) = rS 2rj2 8j1si apoi s se determine aceste diferentiale n punctul a = (1, 1) .Rezolvare:Diferentiala de ordinul 1 este:d)(a,j) (dr, dj) = 0 )0 r (r, j) dr 0 )0 j (r, j) dj.Derivatele partiale de ordinul 1 sunt:0 )0 r (r, j) = 8r2 2j2;0 )0 j (r, j) = 4rj 12jS,si deci d)(a,j) (dr, dj) =_8r2 2j2_dr _4rj 12jS_dj .Diferentiala de ordinul 2 este:d2)(a,j) (dr, dj) = 02)0 r2 (r, j) dr2 202)0 r0 j (r, j) drdj 02)0 j2 (r, j) dj2.77Derivatele partiale de ordinul 2 sunt:02)0 r2 (r, j) = 6r;02)0 r0 j (r, j) = 4j;02)0 j2 (r, j) = 4r 86j2,si deci d2)(a,j) (dr, dj) = 6r dr2 8j drdj _4r 86j2_dj2.Diferentiala de ordinul 3 este:dS)(a,j) (dr, dj) =0S)0 rS (r, j) drS 80S)0 r20 j (r, j) dr2dj 80S)0 r0 j2 (r, j) drdj2 0S)0 jS (r, j) djS.Derivatele partiale de ordinul 3 sunt:0S)0 rS (r, j) = 6;0S)0 r20 j (r, j) = 0;0S)0 r0 j2 (r, j) = 4;0S)0 jS (r, j) = 72,si deci dS)(a,j) (dr, dj) = 6drS 12drdj2 72djS.Pentru punctul a = (1, 1) vom avea:d)(1,1) (dr, dj) = dr 8djd2)(1,1) (dr, dj) = 6dr28drdj 40dj2dS)(1,1) (dr, dj) = 6drS 12drdj2 72djS.Problema 2.6.19 S se scrie diferen tialele de ordinul 1 si 2 pentru func tiaurmtoare:) (r, j, .) = rj..Rezolvare:Diferentiala de ordinul 1 este:d)(a,j,:) (dr, dj, d.) = 0 )0 r (r, j, .) dr 0 )0 j (r, j, .) dj 0 )0 j (r, j, .) d..Derivatele partiale de ordinul 1 sunt:0 )0 r (r, j, .) = j.;0 )0 j (r, j, .) = r.;0 )0 . (r, j, .) = r.,78si deci d)(a,j,:) (dr, dj, d.) = j.dr r.dj rjd..Diferentiala de ordinul 2 este:d2)(a,j,:) (dr, dj, d.) = 02)0 r2 (r, j, .) dr202)0 j2 (r, j, .) dj202)0 .2 (r, j, .) d.2202)0 r0 j (r, j, .) drdj 202)0 j 0 . (r, j, .) dj d. 202)0 . 0 r (r, j, .) d. dr.Derivatele partiale de ordinul 2 sunt:02)0 r2 (r, j, .) = 0;02)0 j2 (r, j, .) = 0;02)0 .2 (r, j, .) = 0;02)0 r0 j (r, j, .) = .;02)0 j0 . (r, j, .) = r;02)0 . 0 r (r, j, .) = j,si deci d2)(a,j,:) (dr, dj, d.) = 2.drdj 2rdjd. 2jd.dr.2.7 Probleme propuse2.7.1 Elemente de topologie n RaProblema 2.7.1 Se dau vectorii: 1 = (8, 4) , 2 = (2, 1) , S = (1, 8) ,n = (8, 0, 2) .S se calculeze:a) 1 S; b) () S; c) 1 62; d) 1 2 S;e) 81 (0) S; f) (1) 1 82 (4) S; g) 82 7S 2n.Rspunsuri:a) (4, 7) ; b) (, 1) ; c) (0, 2) ; d) 0; e) (0, 1) ; f) (18, 10) ;g) nu are sens.Problema 2.7.2 Se dau vectorii: 1 = (1, 0, 8, ) , 2 = (, 8, 0, 1) ,S = (8, 0, , 1) .79S se calculeze:a) 1(1) 2; b) 12S; c) (1) 12S; d) 82S.Rspunsuri:a) (0, 8, 1, 24) ; b) (8, 8, 2, 7) ; c) (21, 1, 8, 1) ; d) (0, 0, 2, 8) .Problema 2.7.3 S se calculeze produsul scalar al vectorilor:a) r = (4, 0, 1) , j = (2, 8, 10) ; b) r = (1, 1, 1) , j = (2, , 10) ;c) r = (1, 2, 8, 4) , j = (1, 2, 8, 4) ; d) r = _1, 12, 1, 12_, j =(8, 6, 8, 6) ;e) r = (1, 2, 8, ..., 10) , j = (1, 2, 8, ..., 10) .Rspunsuri:a) 2; b) 17; c)80; d) 12; e) 88.Problema 2.7.4 Arta ti c norma Ceb sev,||o : RaR, |r|o = max ([r1[ , [r2[ , ..., [ra[) , \r = (r1, r2, ..., ra) Ra,veric axiomele normei.Problema 2.7.5 Calcula ti norma euclidian, norma Minkowski si normaCeb sev pentru urmtorii vectori:a) r = (1, 8) ; b) r = (, 2) ; c) r = (2, 1, 0, 4) ; d) r =(0, 7, 2, ) ;e) r = (1, 2, ..., 0) ; f) r = (1, 2, ..., 0) ; g) r = (0, 40, ..., 1) ;h) r = (2, 4, ..., 20) ; i) r = 8n 2, unde n = (1, 0, 8, 1) , =(2, 1, 0, 1) .Rspunsuri:a) _10; 4; 8; b) _20; 7; ; c) _21; 7; 4; d) _78; 14; 7;e) _1717; 127; 0; f) _1717; 127; 0; g) _1717; 127; 0;h) 2_88; 110; 20; i) _87; 18; 0.Problema 2.7.6 Arta ti c distan ta (metrica) Ceb sevdo : RaRaR, do (r, j) = |r j|o = max ([r1j1[ , [r2 j2[ , ..., [ra ja[)veric axiomele distantei.80Problema 2.7.7 Calcula ti distan ta euclidian, distan ta Minkowski, si dis-tan ta Ceb sev ntre vectorii:a)