curent alternativ - probleme rezolvate
TRANSCRIPT
1. Relaţia între yef şi ymax a unei mărimi sinusoidale tsinyy max
yef = √
∫
√
∫
√
∫
(30) Dar, din trigonometrie se
ştie că: sin2 +cos2 = 1 si cos cos2 - sin2 (31) incat sin2 = (1-
cos /2 si deci ∫
= ∫
= ∫
∫
=
t
-
*
+
(32) deoarece sin0 = 0 si sin sin(2*(2π/T)*T) = sin4π = 0
Deci ∫
si devine yef = √
= √
√ = √ /2 = 0,707A (33)
Formula (33) furnizează relaţia dintre valoarea efectivă a unei mărimi sinusoidale şi
valoarea sa maximă (amplitudinea A). Deci Uef = 0,707 Umax; Ief = 0,707 Imax.
2. Stabiliţi reprezentarea în complex asociată mărimii instantanee exprimată prin funcţia sinusoidală: tsinIi max
I = Ief(cosϕ+jsinϕ) iar Ief = Im / √ = (Im√ /2; Ex: i1= 40√ sin ; Mărimea sinusoidală
asociată mărimii complexe este I = 0 – 40j cu modulul |I| = 40 si argumentul ϕ = -π/2
este i = 40√ sin( π/2 ) = - 40√ cos
3. În figura de mai jos este prezentată schema unui circuit RLC paralel, alimentat
sub o diferenţă de potenţial sinusoidală de valoare efectivă U=180V şi pulsaţie
= 400 rad/s. Să se calculeze: a) valoarea efectivă a curentului; b) puterea
absorbită de către circuit; c) puterea reactivă; d) puterea aparentă. Se cunosc R
= 30 Ω, L= 0,1 H, C=125 μF.
a) valoarea efectivă a curentului se calculează din expresia legii lui Ohm I = U/Z unde
Z =
√
1/ = 1/(0,1 * 400) = 1/40 = 0,025 Ω-1 = 25 * 10-3 Ω-1; C = 125 * 10-6 * 400 Ω-1 =
0,05 Ω-1 = 50 * 1 0-3 Ω-1
1/R2 = 1/900 = 0,001111(Ω-1)2 = 1,111 * 10-3(Ω-1)2; (1/ = (25 * 10-3 –
50 * 10-3) Ω-1 = -25 * 10-3 Ω-1 √
= 0,041665; I = 180 * 0,041665 =
7,5A;
b) Puterea absorbită în rezistorul R: P = U2/R; P = (180)2/30 = 1080W; c) Puterea
reactivă: Q = U2
; Q = -810VAR;
d) Puterea aparentă: S = UI; S = 180 × 7,5 VA = 1350 VA
4. În figura de mai jos, sunt prezentate schemele a două circuite pentru care se
cere să se calculeze impedanţele echivalente atunci când la bornele MN ale
fiecăruia se aplică o tensiune sinusoidală cu pulsaţia de 250 rad/s. Se cunosc: R
= 30Ω; L =0,16 H; C= 100 μF, elementele respective de circuit fiind considerate
ideale.
Expresia generală a impedanţei unui circuit R L C paralel: Z =
√
se
particularizează pentru cele două circuite astfel:
a) C = 0; Za =
√
=
√
=
√ ; Za =
√ = 24Ω
b) 1/ ; Zb =
√
=
√ ; Zb =
√ = 30/1,25 = 24Ω
5. Pentru circuitul RLC din figură, alimentat sub o diferenţă de potenţial sinusoidală
de valoare efectivă U= 100V şi pulsaţie = 500 rad/s, să se calculeze: a)
valoarea efectivă a curentului; b) valorile efective ale tensiunilor la bornele
elementelor componente; c) valorile factorilor (coeficienţilor) de
supratensiune la bornele bobinei şi respectiv, condensatorului. Se cunosc: R= 30
Ω; L= 0,32 H; C = 10 μF.
a) Impedanţa echivalentă circuitului este: Z = √
; Z =
√ = √ = 50Ω; I = U/Z; I = (100/50)A = 2A; b)
UR = RI; UR = 30 * 2V = 60V; UL = L ; UL = 160 * 2V = 320V; UC = I/ ; UC =
2 * 200V = 400V
b) Din definiţia factorului (coeficientului) de supratensiune, rezultă: SL = UL/U =
320/100 = 3,2; SC = UC/U = 400/100 = 4,0
6. În condiţiile problemei anterioare se poate realiza condiţia de rezonanţă?
Vom calcula reactanţele asociate bobinei şi condensatorului în condiţiile date în enunţul
problemei: XL = L ; XL = 0,32*500Ω = 160Ω
XC = 1/ ; XC = 1/(10*10-6*500)Ω = 200Ω; XL≠ XC, sistemul nu este la rezonanţă.
Pentru a se îndeplini condiţia de rezonanţă, ar trebui să existe posibilitatea de variere
(modificare a unora dintre parametrii L, C, ). Să presupunem că generatorul care
alimentează circuitul poate furniza frecvenţă variabilă; în acest caz, s-ar putea îndeplini
condiţia de rezonanţă pentru o frecvenţă
νrez=ν0 respectiv pentru o pulsaţie rez = 0, valorile pentru L şi C rămânând
nemodificate.
L 0 = 1/C 0; LC ;
= 1/LC; (2πv0)2 = 1/LC; = 1/4π2LC; v0 =
π√
Numeric: 0 =
√ ; 0 =
√ = 555,5 rad/s; v0 =
π√ ; v0 ≈ 89 Hz; T0
= 1/v0 = π√ ; T0 ≈ 0,01 sec
7. Vom calcula intensităţile curenţilor din laturile reţelei prezentate în figură, folosind
metoda transfigurării. Reţeaua este alimentată cu tensiune variabilă sinusoidală
în timp (U, ).
U=100V; v = 50HZ
R1=6Ω; R2=2Ω; R3=2Ω; L1 = (0,1/ π H; L2 = (0,02/π H; C1 =
(25/ π *10-4 F; C3 = (50/ π *10-4 F;
Calculăm valorile impedanţelor complexe Z1, Z2 şi Z3: Z1 = R1 + j(XL1-XC1); Z2 =
R2 + jXL2; Z3 = R3 - jXC3
Numeric: Z1 = R1+j(L1 - 1/C1 ); = 2πv; Z1 = 6+j(
π π
π π
= 6+j(0,1*100-
6+j(10-4) = 6+6j(Ω) = 6(1+j)(Ω)
Z2 = R2+jL2 ; Z2 = 2+j*(0,02/π) * 2πv = 2+j*0,02*100 = 2+2j = 2(1+j)(Ω); Z3 = R3-
j/(C3 ) = -j/C32π ;
Z3 = 2 -
π π
2-2j(Ω) = 2(1-j)(Ω). Reţeaua dată se înlocuieşte cu reţeaua
echivalentă următoare,(prima fig.) în care impedanţele Z2 complexe şi Z3sunt conectate
în paralel şi pot fi înlocuite prin impedanţa complexă echivalentă Z23 (a doua fig.).
Circuit RLC echivalent, în care elementele au fost înlocuite prin
impedanţel asoc. Circuit RLC cu impedanţe echiv.
Z23 = Z2Z3/Z2+Z3; Z23 = 2(Ω). Între bornele A şi B impedanţa totală complexă este: ZAB
= Z1+Z23; ZAB= 6+6j+2 = 8+6j = 2(4+3j) (Ω)
Curentul I1 care trece prin această impedanţă e: I1 = U/ZAB; I1 =
=
=
= 2(4-3j)(A)
Tensiunea U1 corespunzând porţiunii de circuit cuprinsă între punctele A şi M este:
U1 = I1Z1; U1 = 2(4-3j)6(1+j) = 12(7+j)(V)
Tensiunea U2 corespunzând porţiunii de circuit cuprinsă între punctele M şi B e: U2 =
U-U1; U2 = 100-12(7+j) = 16-12j = 4(4-3j)(V)
Curenţii I2 şi I3 prin impedanţele Z2 şi Z3 conectate în paralel la aceeaşi tensiune U2 vor
fi: I2 = U2/Z2; I2 =
=
=
(A) = 1-7j(A); I3 = U2/Z3; I3 =
=
=
(A) = 7+j(A)
Verificarea se face scriind prima teoremă Kirchhoff în nodul M: I1 = I2+ I3; 2(4 -
3j) = 1 - 7j + 7 + j; 8 - 6j = 8 - 6j
8. Să se calculeze intensităţile curenţilor prin laturile reţelei prezentate în figura prin
aplicarea teoremelor Kirchhoff şi prin metoda curenţilor ciclici. Se cunosc: E1 =
48+32j (V); E2= 48+64j (V); Z1= Z2= 2 (Ω); Z3= 3+4j (Ω)
a) Prin aplicarea teoremelor Kirchhoff: În nodul A: I1 + I2 = I3; În ochiul (1): I1 Z1
+ I3 Z3 = E1; În ochiul (2): I2 Z2 + I3 Z3 = E2
Înlocuind valorile numerice date, sistemul devine: I1 + I2 - I3 = 0; 2 I1+(3+4j) I3
= 48+32j; 2 I2 +(3+4j) I3 = 48+64j
Δ =
=
– 2*
= -2(3+4j)-2(3+4j+2) = -16(1+j);
Δ1 =
= -
-
; Δ1 = -224 + 32j = -
32(7 – j)
Δ2 =
=
-
= 32 – 224j = 32(1 – 7j)
I1 = Δ1/ Δ =
=
= 6-8j(A); I2 = Δ2/ Δ =
=
= 6+8j(A);
I3 = I1 + I2; I3 = 6-6j+6+8j = 12A
b) Prin metoda curenţilor ciclici: Desenez din nou reţeaua dată indicând curenţii
ciclici j1 şi j2 ai celor două ochiuri (1) şi (2) delimitate în mod natural, prin însăşi structura
geometrică a reţelei. Nu trebuie confundată unitatea imaginară j (j2 = -1) cu curenţii
ciclici j1 sau j2 din laturile reţelei.
Scriind teorema a doua Kirchhoff pentru fiecare ochi (1) şi
(2) se obţine:
ochiul (1): j1 ( Z1 + Z3 )- j2 Z3 = E1; ochiul (2): j2 ( Z2 + Z3 )- j1 Z3 = - E2
Ordonând termenii şi făcând înlocuiri numerice se obţine sist. de ec.: (5+4j) j1 -(3+4j) j2
= 48+32j; -(3+4j) j1+(5+4j) j2=-(48+64j) =>
Δ=
= (5+4j)2 – (3+4j)2= 16(1+j); Δ1=
=
224-32j= 32(7-j); Δ2=
= 32(1-7j)
j1 = Δ1/ Δ =
=
= 6-8j; I1 = j1 = 6 - 8j (A); I2 = - j2 = 6 8j (A); I3 =
j1 - j2; I3 = 6 - 8j + 6 + 8j =12A
9. Un sistem electric conţine, conectat în serie, diverse aparate, de rezistenţe,
inductanţe şi capacităţi echivalente cunoscute. Astfel: R = 30Ω rezistenţa
echivalentă; L = 0,32H inductanţa echivalentă; C = 10μF capacitatea echivalentă.
Ansamblul este alimentat la o diferenţă de potenţial sinusoidală de valoare
efectivă U = 100V şi de pulsaţie = 500rad/s. Calculaţi: a) valoarea efectivă a
curentului; b) valoarea tangentei unghiului de defazaj dintre curent şi tensiune;
c) diversele puteri dezvoltate înacest ansamblu.
a) Împedanţa complexă asociată sistemului: Z = R+jX; Expresia în complex, a
curentului: I = U/Z = U/(R+jX)
Modulul curentului: |I| = I =
√ =
√
; = 0,32*500 = 160Ω;
=
= 200Ω;
X = XL - XC = - (1/ = (160 - 200) = -40Ω; |Z| = √
=
√ = 50Ω; |I| = I = 100/50 = 2A
b) tgϕ =
=
; tgϕ = 40/30 = 4/3, ϕ = arctg{4/3}; c) Expresia complex
conjugată a curentului este: I* =
Puterea aparentă: S = U I* se explicitează S =
=
= j
=
+ j*
;
S=
+j*
=120-160j(VA)
Put. activă este partea reală, P, a puterii aparente: P = 120W iar put.reactivă este
partea imag., Q, a puterii aparente: Q = -160VAR
Modulul puterii aparente: |S| = √ ; |S| = √ = 200VA
10. Calculaţi impedanţele echivalente circuitelor următoare, în care se cunosc
valorile R,L,C şi .
a) Ze = ZLZR/ZL+ZR =
=
=
; Ze =
+j*
; Ze =
+j*
b) Ze = ZCZR/ZC+ZR =
= (
)
=
=
=
-
j*
;
Ze =
– j*
11. Pentru circuitul din figură, calculaţi: a) intensitatea curentului; b) defazajul între
curent şi tensiunea u aplicată la bornele A şi B ale acestuia, unde u are expresia
u = 2√ cos( t − 45°)V. Se cunosc: Z1 = 1 + j (Ω); Z2 = 2 (Ω); Z3 = -2j (Ω)
a) I = U/Z; Z = Z1+ Z2Z3/Z2+Z3; Z = 1 + j+
= 1 + j+
= 1+ j
-
; Z = 1+ j – j+ 1 = 2(Ω)
Impedanţa echivalentă acestui circuit se comportă ca o rezistenţă ohmică, reactanţa
asociată părţii imaginare fiind nulă.
b) tgϕ = X/R = 0; ϕ = arctg0 = 0, curentul şi tensiunea sunt în fază.
Ief = Uef/Z = 2/2 = 1A