23

1.6. METODA ALGEBRICĂ (opŃional)

Pentru rezolvarea unei probleme prin metoda algebrică se parcurg următoa-rele etape:

a) stabilirea necunoscutei (notarea ei cu o literă: a, x, t, …) sau a necunoscu-telor;

b) punerea problemei în „ecuaŃie” sau în „sistem de ecuaŃii”; c) rezolvarea ecuaŃiei sau a sistemului de ecuaŃii; d) interpretarea rezultatului obŃinut.

Probleme rezolvate

1. Două persoane au împreună 540 lei. Să se afle ce sumă are fiecare persoană, dacă prima persoana are mai mult

decât a doua persoană cu 120 lei. SoluŃia I: Notăm cu x suma primei persoane. A doua persoană are suma

x + 120. EcuaŃia este x + x + 120 = 540. SoluŃia ecuaŃiei este x = 210. Prima persoană are 210 lei, iar a doua are 210 + 120 = 330 lei.

SoluŃia II: Notăm cu x şi y sumele avute de prima persoană, respectiv a doua persoană. ObŃinem sistemul x + y = 540, y = x + 120. Înlocuind a doua relaŃie în prima rezultă x + x + 120 = 540, de unde obŃinem x = 210 şi apoi y = 330.

2. Trei grădini au împreună o suprafaŃa de 3320 m. A treia grădină este cu 220 m2 mai mare decât a doua, iar prima grădină este cu 180 m2 mai mare de-cât a treia.

Să se afle suprafaŃa fiecărei grădini. SoluŃie: Notăm cu x suprafaŃa celei de-a doua grădini. SuprafeŃele celei de-a

treia grădini, respectiv primei grădini sunt x + 220, respectiv x + 220 + 180 = = x + 400. EcuaŃia este x + x + 220 + x + 400 = 3320. ObŃinem x = 900. Grădi-nile au suprafeŃele de 1300, 900, 1120 (m2).

3. Suma a două numere este 224, iar unul din numere este de trei ori mai

mare decât celălalt număr. Să se determine cele două numere. SoluŃie: Notăm numerele cu n şi 3n. Avem n + 3n = 224, de unde n = 56.

Numerele sunt 56 şi 168. 4. Un muncitor a săpat trei sferturi din cât a săpat alt muncitor. Împreună au

săpat 2135 m2. Cât a săpat fiecare muncitor?

24

SoluŃie: Notăm suprafeŃele săpate cu 3x, respectiv 4x. Avem ecuaŃia 3x + 4x = = 2135, de unde x = 305. SuprafeŃele sunt de 3 × 305 = 915 m2 şi 4 × 305 = = 1220 m2.

5. Un obiect a este de 4 ori mai scump decât un obiect b. Obiectul a costă cu

369 lei mai mult decât obiectul b. Să se determine cât costă fiecare obiect. SoluŃie: Notăm cu x preŃul obiectului b. PreŃul obiectului a este 4x sau

x + 369. ObŃinem ecuaŃia 4x = x + 369, de unde x = 123. Obiectele costă 123 lei, respectiv 492 lei.

6. În urma cu 2 ani, vârsta mamei era de 7 ori vârsta fiicei. Peste 6 ani, vâr-

sta mamei va fi de trei ori vârsta fiicei. Să se determine ce vârsta are fiecare. SoluŃie: Notăm cu x vârsta fiicei cu doi ani în urmă. Vârsta mamei cu doi ani

în urmă este 7x. ObŃinem ecuaŃia 7x + 2 + 6 = 3 × (x + 2 + 6), de unde x = 4. Vârstele fiicei şi mamei sunt de 4 + 2 = 6 ani şi respectiv 7 × 4 + 2 = 30 ani.

7. Într-o fermă sunt crescute găini şi oi. Numărul picioarelor este 450, iar

numărul capetelor este 175. Câte găini şi cate oi sunt în fermă? SoluŃia I: Notăm cu x numărul găinilor şi cu 175 – x numărul oilor. Avem

ecuaŃia 2x + 4 × (175 – x) = 450 ⇔ 2x + 700 – 4x = 450 ⇔ 700 – 450 = 4x – – 2x ⇔ x = 125. În ferma sunt 125 găini şi 50 de oi.

SoluŃia II: Dacă notăm cu x numărul găinilor şi cu y numărul oilor avem sis-temul x + y = 175; 2x + 4y = 450. Înlocuind y = 175 – x în a doua ecuaŃie obŃi-nem 2x + 4 × (175 – x) = 450, de unde x = 125 şi apoi y = 50.

8. Dacă se aşază câte doi elevi într-o bancă, rămân 4 elevi. Dacă se aşază câ-

te 3 elevi în bancă rămân 3 bănci libere. CâŃi elevi şi câte bănci sunt? SoluŃie: Notăm cu n numărul băncilor. Numărul elevilor este 2n + 4 sau

3(n – 3). Avem ecuaŃia 3n – 9 = 2n + 4. ObŃinem n = 13. Numărul băncilor este 13, iar al elevilor este 13 × 2 + 4 = 30 (sau (13 – 3) × 3 = 30).

9. Doi elevi au împreună suma de 120 lei. Să se determine ce sumă are fiecare elev, dacă două treimi din suma unuia

reprezintă două şeptimi din suma celuilalt. SoluŃie: Pentru a nu efectua calcule cu fracŃie vom efectua o notare a unei

necunoscute x sub forma na, unde n este un număr nenul care se împarte exact

25

la 3 şi la 7. De obicei numărul n se ia cel mai mic. Luăm n = 21. Dacă două treimi din primul număr reprezintă două şeptimi din celalalt număr, rezultă că o treime din primul număr este o şeptime din celălalt număr. Notăm numerele (sumele) cu (21 : 3) × x = 7x, respectiv (21 : 3) × x = 3x. Avem ecuaŃia 7x + 3x = = 120. Din 10x = 120 rezultă x = 12. Sumele sunt de 7 × 12 = 84 lei, respec-tiv 3 × 12 = 36 lei.

10. Un caiet, un pix şi un stilou costă împreună 16 lei. Un caiet, trei pixuri şi un

stilou costă împreună 24 lei. Un caiet, un pix şi 4 stilouri costă împreună 46 lei. Să se afle cât costă un caiet, cât costă un pix şi cât costă un stilou. SoluŃie: Notăm preŃurile unui caiet, unui pix, unui stilou cu c, p, respectiv s.

Avem următorul sistem: c + p + s = 16; c + 3p + s = 24; c + p + 4s = 46. Scă-zând prima ecuaŃie din a doua ecuaŃie, respectiv a treia ecuaŃie avem 2p = 8, 3s = 30, de unde p = 4, s = 10. Înlocuind în prima ecuaŃie rezultă c = 2.

11. Un caiet, 2 pixuri şi 3 stilouri costă împreună 40 lei. Trei caiete, un pix

şi 2 stilouri costă împreună 30 lei. Două caiete, 3 pixuri şi un stilou costă îm-preună 26 lei.

Să se afle cât costă un caiet, cât costă un pix şi cât costă un stilou. SoluŃie: Notăm cu a, b, c preŃurile unui caiet, unui pix, respectiv unui stilou.

ObŃinem sistemul de ecuaŃii: a + 2b + 3c = 40; 3a + b + 2c = 30; 2a + 3b + c = = 26. Adunând ecuaŃiile rezultă 6 × (a + b + c) = 96, de unde a + b + c = 16. Din ecuaŃiile 2a + 3b + c = 26 şi a + b + c = 16, prin scădere rezultă a + 2b = 10. Din ecuaŃiile a + 2b + 3c = 40 şi a + 2b = 24 prin scădere rezultă 3c = 30, de unde c = 10. Înlocuind în ecuaŃia a + b + c = 16 pe c cu 10, rezultă a + b = 6. Scăzând această ecuaŃie din ecuaŃia a + 2b = 10, rezultă că b = 4 şi apoi a = 2.

12. 7 m de pânză şi 12 m de stofă costă împreună 261 lei. 5 m de pânză şi

8 m de stofă costă împreună 175 lei. Cât costă un metru de pânză şi cât costă un metru de stofa? SoluŃie: Notând cu x preŃul unui metru de pânză şi cu y preŃul unui metru de

stofa, obŃinem succesiv: 7x 12y 261 | 5

5x 8y 175 | 7

+ = ⋅⇔

+ = ⋅

35x 60y 1305

35x 56y 1225

+ =

+ =

/ 4y = 80 ObŃinem y = 20. Înlocuind în ecuaŃia 5x + 8y = 175, rezultă 5x + 160 = 175,

de unde x = 3.

26

13. Doi saci cu mere, 3 saci cu cartofi şi 4 saci cu zahăr cântăresc 370 kg. Trei saci cu mere, 4 saci cu cartofi şi 5 saci cu zahăr cântăresc 485 kg. Patru saci cu mere, 6 saci cu cartofi şi 7 saci cu zahăr cântăresc 690 kg.

Să se afle cât cântăreşte un sac cu mere, un sac cu cartofi, respectiv un sac cu zahăr.

SoluŃie: Notăm cu a, b, c numărul sacilor de mere, numărul sacilor de car-tofi, respectiv al sacilor de zahăr.

Avem: 2a 3b 4c 370 | 3

3a 4b 5c 485 | 2

+ + = ⋅

+ + = ⋅ ⇔

6a 9b 12c 1110

6a 8b 10c 970

+ + =

+ + =

/ b + 2c = 140

Avem: 3a 4b 5c 485 | 4

4a 6b 7c 690 | 3

+ + = ⋅

+ + = ⋅ ⇔

12a 16b 20c 1940

12a 18b 21c 2070

+ + =

+ + =

/ 2b + c = 130

Avem: b 2c 140 | 2

2b c 130

+ = ⋅

+ = ⇔

2b 4c 280

2b c 130

+ =

+ =. Prin scădere rezultă 3c = 150,

de unde c = 50 şi atunci din b + 2 × 50 = 140, rezultă b = 40. Din 2a + 3 × 40 + + 4 × 50 = 370, rezultă că a = 25.

14. Pentru 6 caiete şi 11 cărŃi s-au plătit 144 lei. O carte costă mai mult cu

10 lei decât un caiet. Să se afle cât costă o carte şi cât costă un caiet. SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui caiet. PreŃul unei cărŃi este x + 10. Avem

ecuaŃia 6x + 11 × (x + 10) = 144, care are soluŃia x = 2. Un caiet costă 2 lei, iar o carte costă 12 lei.

15. Trei obiecte de tip A, 5 obiecte de tip B şi 7 obiecte de tip C costă îm-

preună 105 lei. Un obiect de tip B costă cu 2 lei mai mult decât un obiect de tip A, iar un obiect de tip B costa cu 3 lei mai puŃin decât un obiect de tip C.

Cât costă un obiect din fiecare tip? SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui obiect de tip A. Un obiect de tip B costă x + 2,

iar un caiet de tip C costă x + 2 + 3 = x + 5. Avem ecuaŃia 3x + 5 × (x + 2) + + 7 × (x + 5) = 105, de unde x = 4. Câte un obiect de tip A, B, C costă 4 lei, 6 lei, respectiv 9 lei.

16. Două cravate, 5 cămăşi şi 7 costume costă împreună 1560 lei. O cămaşă

costă cu 25 lei mai mult decât o cravată, iar un costum costă de 4 ori mai mult decât o cămaşă.

Să se afle cât costă o cravată, cât costă o cămaşă şi cât costă un costum.

27

SoluŃie: Notăm cu x preŃul unei cravate. PreŃul unei cămăşi este x + 25, iar preŃul unui costum este 4 × (x + 25) = 4x + 100. Avem ecuaŃia 2x + 5 × (x + 25) + + 7 × (4x + 100) = 1560, care are soluŃia x = 21. O cravată costă 21 lei. O cămaşă costă 21 + 25 = 46 lei, iar un costum costă 4 × 21 + 100 = 184 lei.

17. Două obiecte de tip A, 5 obiecte de tip B şi 6 obiecte de tip C costă îm-

preună 250 lei. Un obiect de tip B costa cu 2 lei mai mult decât două obiecte de tip A, iar un obiect de tip C costă cât 3 obiecte de tip A şi două obiecte de tip B.

Să se afle cât costă câte un obiect din fiecare tip. SoluŃie: Notăm cu x preŃul unui obiect de tip A, cu 2x + 2 preŃul unui obiect

de tip B şi cu 3x + 2 × (2x + 2) = 7x + 4 preŃul unui obiect de tip C. ObŃinem ecuaŃia 2x + 5 × (2x + 2) + 6 × (7x + 4) = 250, care are soluŃia x = 4. Câte un obiect de tip A, B, C costă 4 lei, 10 lei, respectiv 32 lei.

18. Într-un bloc sunt 20 apartamente care au două sau patru camere. Să se afle câte apartamente au câte două camere şi câte apartamente au patru

camere, dacă în total sunt 50 camere. SoluŃie: Notăm cu x numărul apartamentelor de 4 camere şi cu 20 – x numă-

rul apartamentelor de 2 camere. Avem ecuaŃia: 2 × (20 – x) + 4x = 50. EcuaŃia are soluŃia x = 5. În bloc sunt 5 apartamente cu 4 camere şi 15 apartamente cu 2 camere.

19. La un concurs s-au dat 10 probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată

corect se acordă 8 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată sau rezolvată greşit se scad 3 puncte. Elevii clasaŃi pe locurile 1, 2, 3 au primit 69 puncte, 58 puncte, respectiv 36 puncte.

Câte probleme a rezolvat corect fiecare dintre cei trei elevi? SoluŃie: Notăm cu x numărul problemelor rezolvate corect şi cu 10 – x nu-

mărul problemelor nerezolvate sau rezolvate greşit. Avem următoarele ecuaŃii cu soluŃiile lor:

I) 8x – 3 × (10 – x) = 69 ⇒ x = 9 II) 8x – 3 × (10 – x) = 58 ⇒ x = 8 III) 8x – 3 × (10 – x) = 36 ⇒ x = 6 20. Într-o curte sunt găini, raŃe şi oi. În total sunt 66 capete şi 144 picioare.

Numărul raŃelor este de 4 ori mai mic decât numărul găinilor. Să se afle câte găini, câte raŃe şi câte oi sunt în curte. SoluŃie: Notăm numărul raŃelor cu x, numărul găinilor cu 4x, iar numărul oi-

lor este 66 – 5x. Avem ecuaŃia 2 × x + 2 × 4x + 4 × (66 – 5x) = 144, care are soluŃia x = 12. Numărul raŃelor este 12, numărul găinilor este 48, iar numărul oilor este 6.

28

21. Se alege un număr care se înmulŃeşte cu 4 şi se adaugă 12. Noul rezultat se împarte la 2 se scade 26 şi se obŃine 32.

Să se determine numărul ales. SoluŃie: Notând cu x numărul iniŃial, obŃinem ecuaŃia: (4x + 12) : 2 – 26 =

= 32, care are soluŃia x = 26. 22. Un călător parcurge un drum astfel: în prima zi parcurge jumătate din

drum, a doua zi o treime din rest, iar a treia zi un sfert din noul rest. Dacă i-au rămas de parcurs 150 km, să se afle lungimea drumului. SoluŃie: Notăm cu 24x distanŃa. În prima zi, călătorul parcurge 12x şi rămâ-

ne 12x. În a doua zi parcurge 12x : 3 = 4x şi rămâne 12x – 4x = 8x. În a treia zi parcurge 8x : 4 = 2x şi rămâne 6x. Din 6x = 150, rezultă x = 25. Drumul are lungimea 24 – 25 = 600 km.

23. Două mobile parcurg distanŃa de la A la B cu vitezele de 40 km/h, res-

pectiv 60 km/h. Al doilea ajunge înaintea primului cu 2 ore. Să se determine distanŃa de la A la B. SoluŃie: Notăm cu t timpul celui de-al doilea mobil. Timpul primului mobil

este t + 2. Avem ecuaŃia 60t = 40(t + 2), care are soluŃia t = 4. DistanŃa AB este de 60 × 4 = 240 km.

24. Din oraşul A pleacă la ora 9 un biciclist care merge cu viteza de

20 km/h. După 2 ore pleacă din oraşul B spre oraşul A un alt biciclist care merge cu viteza de 15 km/h.

La ce oră şi la ce distanŃă faŃă de A se vor întâlni cei doi bicicliști, dacă dis-tanta dintre cele două oraşe este de 250 km?

SoluŃie: Notăm cu t timpul celui de-al doilea biciclist. Avem ecuaŃia 20(t + 2) + 15t = 250, care are soluŃia t = 6. DistanŃa parcursă de primul bici-clist este de 20 × (6 + 2) = 160 km.

29

Capitolul 2

TESTE GRILĂ

TESTUL NR. 1

1. Numărul numerelor naturale pare de două cifre este: a) 89; b) 90; c) 48; d) 44; e) 45.

2. O fântână are 10 metri. Un melc urcă ziua 3 m şi coboară noaptea 2 m. După câte zile melcul ajunge sus?

a) 10; b) 9; c) 7; d) 8; e) 11.

3. Numărul cifrelor numărului A = 123…891011…2223 este: a) 23; b) 35; c) 37; d) 38; e) 36.

4. Numărul de apariŃii a cifrei 2 în scrierea numărului: B = 123…891011…3233 este:

a) 13; b) 14; c) 12; d) 2; e) 15.

5. DiferenŃa dintre sumele vecinilor numerelor 22 şi 23 este: a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6.

6. Din numărul 48238719 se taie 4 cifre. Cel mai mic număr ce se poate ob-Ńine este:

a) 4231; b) 2719; c) 2381; d) 2319; e) 2387.

7. Dacă avem pătratul magic alăturat, atunci x + y este: a) 11; b) 10; c) 12; d) 13; e) 9 8. În două coşuri sunt câte 15 pere. Tania a luat din primul coş câteva pere,

iar Darius a luat din al doilea coş atâtea pere câte au rămas în primul coş. Nu-mărul de pere rămase în cele două coşuri este:

a) 12; b) 14; c) 15; d) 16; e) 18.

11 x 9

y 8 a

b c 5

30

9. Dacă a + b – c = 20; b – c = 8; a + b = 28, atunci a + c este: a) 20; b) 22; c) 19; d) 18; e) 10.

10. Fie numărul 13254. Fără a le schimba ordinea, adunând cifrele una câte una sau pe grupe de două cifre, diferenŃa dintre suma cea mai mare şi cea mai mică este:

a) 72; b) 78; c) 82; d) 45; e) 0.

TESTUL NR. 2

1. Numărul numerelor pare cuprinse între 5 şi 38 inclusiv este: a) 15; b) 18; c) 16; d) 17; e) 19.

2. În pătratele din calculul 7 � 2 � 3 � 8 se poate aşeza + sau – şi se obŃi-ne un număr natural de o cifră. Numărul variantelor posibile este:

a) 3; b) 2; c) 4; d) 1; e) 6.

3. Fiecare din fraŃii dintr-o familie are câte o soră şi doi fraŃi. Numărul copii-lor din familie este:

a) 4; b) 3; c) 5; d) 6; e) 2.

4. Numărul numerelor de două cifre având suma cifrelor 8 este: a) 16; b) 7; c) 6; d) 9; e) 8.

5. Numărul valorilor naturale ale diferenŃei ab ba− este: a) 8; b) 9; c) 10; d) 18; e) 19.

6. Numărul valorilor distincte ale sumei ab + b este: a) 100; b) 50; c) 49; d) 92; e) 99.

7. Pe o tablă sunt desenate dreptunghiuri şi triunghiuri care nu se ating. Da-că sunt 14 vârfuri, atunci numărul figurilor este:

a) 4; b) 3; c) 5; d) 6; e) alt număr.

8. În fiecare din cele trei cutii aşezate în linie se află câte o bilă. Aşezăm în cutii câte o bilă în ordinea stânga, centru, dreapta, centru, stânga, centru etc. Dacă în cutia din stânga sunt 9 bile, în cutia din centru sunt:

a) 12 bile; b) 10 bile; c) 13 bile; d) 9 bile; e) 12 sau 13 bile.

31

9. Numărul valorilor sumei ab ba+ este: a) 19; b) 18; c) 17; d) 20; e) 16.

10. Pe tablă sunt desenate un dreptunghi şi 8 triunghiuri. Numărul minim al tuturor vârfurilor este:

a) 16; b) 11; c) 7; d) 5; e) 4.

TESTUL NR. 3

1. Lungimea unui segment este mai mare cu 8cm decât jumătatea lui. Lun-gimea segmentului este de:

a) 12 cm; b) 24 cm; c) 20 cm; d) 18 cm; e) 16 cm.

2. Din 8 pahare, 3 sunt pline, iar restul umplute pe jumătate. Turnând dintr-un pahar în altul, până la umplere, numărul minim de pahare ce nu vor fi pline este:

a) 3; b) 2; c) 1; d) 4; e) 5.

3. Numărul de drumuri prin care sunt legate între ele oricare 5 oraşe este: a) 25; b) 20; c) 10; d) 15; e) 12.

4. Un elev are 20 lei, iar altul are 28 lei. Pentru a avea sume egale, unul îi dă altuia:

a) 5 lei; b) 4 lei; c) 3 lei; d) 6 lei; e) 2 lei.

5. Pe un taler al unei balanŃe sunt 20 mere (identice), iar pe alt taler sunt 3 pepeni (identici). Pe talerul cu mere se pune un pepene (identic cu ceilalŃi) şi balanŃa se echilibrează. Atunci un pepene cântăreşte:

a) 6 kg; b) 4 kg; c) cât 20 de mere; d) cât 10 mere; e) alt răspuns.

6. Un mobil se deplasează din punctul A pe liniile unui careu, fără a trece de două ori pe aceeaşi linie sau prin acelaşi punct, cu excepŃia punctului A, până ajunge tot în A. DistanŃa maximă parcursă este:

a) 18; b) 24; c) 16; d) 30; e) 32.

7. Dacă a, b, c, d sunt cifre diferite, cea mai mică sumă ab cd+ este: a) 31; b) 30; c) 34; d) 33; e) 35.

32

8. Între 9 numere egale toate cu 3 se pune semnul + sau –. Cel mai mic re-zultat obŃinut este:

a) 6; b) 0; c) 3; d) 9; e) 12.

9. DiferenŃa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de două cifre impare diferite este:

a) 84; b) 66; c) 74; d) 78; e) 82.

10. Dacă a, b, c sunt cifre pare distincte, valoarea maximă a sumei ab + c este:

a) 86; b) 88; c) 94; d) 92; e) 90.

TESTUL NR. 4

1. Numărul numerelor naturale impare de două cifre este: a) 45; b) 44; c) 46; d) 50; e) 51.

2. Numărul numerelor impare cuprinse între 3 şi 43 inclusiv este: a) 20; b) 21; c) 19; d) 18; e) 22.

3. Un număr este cu 12 mai mare decât alt număr, care este însă jumătate din celălalt număr. Suma numerelor este:

a) 18; b) 30; c) 48; d) 24; e) 36.

4. Dacă a, b, c, d, x, y sunt cifre distincte, valoarea maximă a numărului

ab cd xy− − este: a) 61; b) 56; c) 65; d) 74; e) 73.

5. Între 7 numere, toate egale cu 2, se aşază semnul + sau semnul –. Suma dintre cel mai mare rezultat obŃinut şi cel mai mic număr obŃinut este:

a) 12; b) 18; c) 14; d) 16; e) 20.

6. În urna A se afla bile numerotate cu 1, 3, 9. În urna B se află bile numero-tate cu 2, 4, 8. În urna C se află bile numerotate cu 1, 2, 3. Se utilizează pentru fiecare urnă semnele + şi – pentru operaŃii între două numere de pe bile diferi-te. De cele mai multe ori se obŃine cifra:

a) 2 sau 6; b) 4 sau 6; c) 2 sau 6; d) 2 sau 4; e) 2 sau 4 sau 6.

81

TESTUL NR. 47

1. Un număr de forma aa5 se împarte la un număr de o cifră şi se obŃine re-stul 8.

Să se determine suma dintre deîmpărŃit, cât şi împărŃitor.

2. Suma a 6 numere este 96. Primele două numere sunt numere impare con-secutive. Următoarele două numere au suma 40 şi câtul 4. Ultimele două nume-re au câtul 3 şi diferenŃa 16.

Să se determine numerele.

3. Numărul total de mere aflate în 3 coşuri este un număr de două cifre. Numărul de mere aflate în cos este un număr de două cifre. Dacă din primul coş se iau 21 şi pun în al doilea coş, atunci în fiecare coş se află acelaşi număr de mere.

Câte mere se află în fiecare coş?

4. Se consideră trei numere naturale nenule distincte astfel încât suma pro-duselor lor luate două câte două este mai mică decât 26.

Să se determine numerele.

5. A 10-a parte dintr-un număr natural n este un număr de două cifre. A 15-a parte din numărul n este un număr de o cifră.

Să se determine numerele n şi suma lor.

6. Să se determine perechile de numere naturale (a, b) dacă a ≤ 7 – b şi 3a – b < 0.

TESTUL NR. 48

1. Suma a trei numere naturale nenule este cel mult egală cu 29. Fiecare număr reprezintă o doime din numărul precedent.

Să se determine: a) numărul de soluŃii ale problemei; b) suma sumelor celor trei numere.

2. Câtul a două numere naturale este 5. Dacă micşorăm un număr cu 10 şi mărim pe celălalt număr cu 2, câtul devine 3.

Să se determine cele două numere.

82

3. Să se determine numerele abc cu proprietăŃile: a) a > b > c > 0;

b) abc bca cab ddd0+ + = , d cifră impară.

4. Să se completeze cu încă 2 linii tabelul de mai jos:

1 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 * * * * * *

5. Să se determine suma tuturor numerelor de două cifre ştiind că diferenŃa celor două cifre este 6.

6. Suma a 2m + 1 numere naturale pare consecutive (unde m ≥ 1) este cel mult egală cu 99.

a) Să se determine valorile lui m. b) Să se determine numerele dacă suma este 70. c) Să se determine numerele dacă suma este 90.

TESTUL NR. 49

1. a) Să se determine cea mai mică valoare pară a sumei a 5 numere natura-le nenule distincte.

b) Să se determine cea mare valoare pară de două cifre a sumei a 6 nume-re naturale nenule distincte.

2. Trei elevi au împreună un număr de 45 timbre. Dacă primul elev ar primi de la ceilalŃi doi câte două timbre, atunci numărul de timbre pe care le au elevii sunt numere naturale consecutive.

Câte timbre are fiecare elev?

3. Să se determine suma tuturor numerelor de două cifre care împărŃite la 2, 3, 4 dau acelaşi rest.

4. Să se determine numărul de două cifre care împărŃit Ia răsturnatul său dă câtul 1 şi restul 36.

83

5. Să se determine trei numere naturale care au suma egală cu 151. Se ştie că împărŃind primul număr la al doilea, al doilea la al treilea se obŃine de fiecare dată câtul 2 şi restul 1.

6. Suma a trei numere naturale este 96. Micşorând doimea fiecărui număr cu 5, 10, 15 se obŃin numere egale.

Să se determine cele trei numere.

TESTUL NR. 50

1. Se consideră numerele naturale nenule a şi b, cu proprietatea ca suma din-tre b şi doimea lui a este egală cu suma dintre a şi treimea lui b.

a) Să se determine 12b : a. b) Să se calculeze suma tuturor numerelor b de două cifre cu proprietatea

dată c) Să se calculeze suma tuturor numerelor a de două cifre cu proprietatea dată.

2. DistanŃa dintre localităŃile A şi B este parcursă la dus cu viteza medie de 30 km/h, iar la întors cu viteza medie de 20 km/h.

Care este viteza medie pentru a parcurge distanŃa dus-întors în acelaşi timp?

3. Să se elimine din numărul A = 123…9101112…2930 un număr de 45 ci-fre astfel încât numărul obŃinut să fie:

a) cât mai mare posibil; b) cât mai mic posibil.

4. Fie numerele naturale a, b, c astfel încât 2a + b = 1 7, 3b + 2c = 27. Să se determine numerele 6a + 9b + 4c şi 3a – c.

5. Dacă un mobil se deplasează cu viteza constantă, atunci parcurge o dis-tanŃă în timpul t. Dacă viteza se triplează, atunci timpul se micşorează cu 2 ore.

Să se afle timpul t.

6. Suma a 5 numere naturale nenule distincte este 18. Să se determine numărul minim de numere pare.

84

Capitolul 4

TESTE PENTRU ADMITERE ÎN CLASA A V-A

TESTUL NR. 1

1. Să se afle diferenŃa dintre numărul mu,erelor de forma abcc şi numărul

numerelor de forma aabc .

2. Să se determine suma tuturor numerelor ab pentru care: (a + 2) ⋅ (b – 2) = ab.

3. Suma a patru numere este 52. Al doilea număr este de trei ori mai mare decât primul număr, al treilea număr este cu 10 mai mic decât suma primelor două numere, iar al patrulea număr este cu 12 mai mare decât suma dintre al doilea şi al treilea număr.

Să se determine cele patru numere.

4. Tatăl are cu 25 ani mai mult decât fiul. Vârsta tatălui este de 6 ori mai mare decât vârsta fiului.

Peste câŃi ani vârsta tatălui este de 4 ori mai mare decât vârsta fiului?

TESTUL NR. 2

1. Într-o urnă sunt bile albe, negre, roşii şi verzi. Ştiind că doar 18 bile nu sunt roşii sau verzi, că 26 de bile nu sunt albe sau

negre, că doar 30 nu sunt verzi, iar bilele albe sunt cu două mai puŃine decât cele negre, să se determine câte bile de fiecare culoare sunt în urnă.

2. La împărŃirea a două numere naturale câtul este o treime din împărŃitor, iar restul este un sfert din cât. Se ştie că deîmpărŃitul este număr natural de trei cifre.

a) Câte soluŃii are problema? b) Să se determine suma tuturor numerelor care reprezintă deîmpărŃitul.

85

3. Se consideră mulŃimile de numere naturale A = {a, a + 1, a + 2, a + 3}, B = {b, b + 1, b + 2}, unde a > b ≥ 1.

Să se determine mulŃimile A şi B dacă suma elementelor din A şi B, luate o singură dată, este cel mult egală cu 28.

4. Să se determine numerele a, b, c, d dacă S = a + b + c + d, 17 < S < 43 şi a : 2 = b ⋅ 3 = c – 4 = d + 5.

TESTUL NR. 3

1. Suma unor numere naturale nenule consecutive este egală cu 100. Să se afle numerele.

2. La împărŃirea a două numere naturale, câtul este o treime din împărŃitor, iar restul este jumătate din cât. Se ştie că deîmpărŃitul este număr de trei cifre.

a) Câte soluŃii are problema? b) Să se afle suma tuturor câturilor posibile.

3. Suma vitezelor a două mobile este de 30 km/h. Ştiind că o treime din vi-teza primului mobil micşorată cu 3 km/h reprezintă cu 2 km/h mai puŃin decât un sfert din viteza celui de-al doilea mobil, să se determine:

a) vitezele celor două mobile; b) distanŃa parcursă împreună de cele două mobile dacă primul merge 20 de

minute, iar al doilea merge 15 minute. 4. Se consideră 4 numere. Dacă din primul număr se scade 3, la al doilea

număr se adaugă 3, al treilea număr se împarte la 3, iar ultimul număr se înmul-Ńeşte cu 3, atunci numerele devin egale.

Să se determine cele 4 numere dacă un sfert din suma lor este egală cu 20.

TESTUL NR. 4

1. Suma a 10 numere naturale nenule distincte este 58. a) Câte soluŃii are problema? b) Care este cel mai mare dintre cele 10 numere?

2. Trei elevi aveau împreună 116 lei. Primul a cheltuit jumătate din suma sa, al doilea a cheltuit o treime din suma sa, iar al treilea a cheltuit 8 lei, rămânând cu sume egale.

Ce sumă a avut fiecare?

119

TESTUL NR. 2

1. 1 porumbel…….6 boabe………………2 minute 1 porumbel……6 : 2 = 3 boabe……….1 minut 1 porumbel……3 ⋅ 10 = 30 boabe……10 minute 2 porumbei……30 boabe……………. 10 : 2 = 5 minute

2. a) Avem 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7; 7 + 6 = 13; 13 + 8 = 21; 21 + 10 = 31; 31 + + 12 = 43; 43 + 14 = 57. b) Termenii de pe locurile 9, 10, 11 sunt 57 + 16 = 73; 73 + 18 = 91; 91 + 20 = 111. Suma este 73 + 91 + 111 = 275. 3. a) Deoarece 1 < a < b rezultă că avem b > 2. Avem atunci:

aa2b aab2 a2bb abb9 ab9b< < < < . b) Suma este 171 + 1z81 + 191 + 281 + 291 + 391 = 1506.

4. Notăm cu n numărul de ani solicitat (în ambele cazuri). a) Avem ecuaŃia 2 + 4 + 6 + 3 ⋅ n = 30 + n cu soluŃia n = 9. b) Avem ecuaŃia 2 ⋅ (2 + 4 + 6 + 3n) = 3(30 + n) cu soluŃia n = 22.

5. a) La primul şir sunt scrise numerele impare de la 1 la 49 inclusiv de două ori, iar numerele pare de la 2 la 50 inclusiv câte odată. Deoarece avem câte 25 de numere impare şi câte 25 de numere pare, numărul termenilor este 25 ⋅ 2 + + 25 = 75. Al doilea şir are tot 75 de termeni.

b) Vom folosi formula 1 + 2 + … + n = n(n + 1) : 2. Notăm cele două sume cu S1 şi S2. Avem S1 = 2 ⋅ (1 + 3 + 5 + … + 49) + (2 + 4 + 6 + … + 50) = = 2 – (1 + 2 + 3 + 4 + … + 50) – (2 + 4 + 6 + … + 50) = 2 – (1 + 2 + 3 + … + + 50) – 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + 1 + … + 25) = 2550 + 650 = 1900; S2 = (1 + 3 + 5 + … + 49) + 2 ⋅ (2 + 4 + 6 + … + 50) = (1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50) + (2 + 4 + 6 + + … + 50) = 1275 + 650 = 1925.

c) I) S2 – S1 = 1925 – 1900 = 25. II) Avem (1 + 2 + 2) – (1 + 1 + 2) = 1; (3 + 4 + 4) – (3 + 3 + 4) = 1; …; (49 + 50 + 50) – (49 + 49 + 50) = 1. Cum apar 25 de diferenŃe de grupe de câte 3 numere, diferenŃa este 1 – 25 = 25. 6. a)(5 + 5) : 5 – 5 : 5 = 1; b) (5 + 5 + 5) : 5 + 5 = 8; c) (5 + 5) : 5 ⋅ (5 – 5) = 0. TESTUL NR. 3 1. Trebuie găsit cel mai mic număr natural care se împarte exact la 6 şi la 9. Deoarece 6 = 2 ⋅ 3; 9 = 3 ⋅ 3, numărul căutat este 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3. Fiecare măr trebuie împărŃit în câte 18 : 6 = 3 părŃi egale. 2. a) 5 (figura 1); b) 9 (figura 2); c) 12 (figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3

120

3. Avem 3 ⋅ 1 – 2 = 1; 3 ⋅ 2 – 2 = 4; 3 ⋅ 3 – 2 = 7; 3 ⋅ 4 – 2 = 10; 3 ⋅ 5 – 2 = 13. Atunci 3 ⋅ 8 – 2 = 22 şi deci a = 22; 3 ⋅ b – 2 = 28 ⇒ b = 10. Avem 1 ⋅ 1 + 1 = = 2; 2 ⋅ 2 + 1 = 5; 3 ⋅ 3 + 1 = 10; 4 ⋅ 4 + 1 = 17; 5 ⋅ 5 + 1 = 26; 6 ⋅ 6 + 1 = 37 ⇒ ⇒ c = 37; d ⋅ d + 1 = 82 ⇒ d = 9. 4. Avem 45 – 32 = 13; 32 – 28 = 4; 28 – 26 = 2; 26 – 25 = 1; 13 – 4 = 9; 4 – 2 = 2; a = 2 – 1 = 1; b = 9 – 2 = 7; c = 2 – a = 1; d = b – c = 6. 5. După fiecare număr par numărul nucilor din primul coş scade cu 5 – 2 = 3, iar numărul nucilor din al doilea coş creşte cu 3. Notând cu n numărul paşilor avem 89 – 3n = 47 + 3n, de unde 6n = 42 şi deci n = 7. TESTUL NR. 4 1. Avem următoarea schemă:

12 clătite 15 minute 4 gospodine 120 clătite 15 minute 4 ⋅ 10 = 40 gospodine 120 clătite 30 minute 40 : 2 = 20 gospodine

2. Notăm cu a, b, c, d vârstele copiilor astfel încât a ≤ b ≤ c ≤ d. Avem: a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 şi cazurile:

a b c d a + b + c + d 1 1 1 24 27 1 1 2 12 16 1 1 3 8 13 1 1 4 6 12 1 2 2 6 11 1 2 3 4 10

Maximul sumei este 27, iar minimul sumei este 10. 3. Numărul cerut este 14 + 19 – 30 + 7 = 10. 3. 10 elevi.

4. a) Notăm numerele cu abc , unde c este cifră pară. Deoarece b = c + 2, re-zultă că c ∈ {0, 2, 4, 6}. Avem a + b + c = a + 2c + 2 şi deci a este cifră impa-

ră. Numerele au formele: a20, a42, a64, a86 , unde a ∈ {1, 3, 5, 7, 9}. Avem în

total 4 ⋅ 5 = 20 de numere. b) Suma este 100 ⋅ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ⋅ 4 + (20 + 42 + 64 + 86) ⋅ 5 = 11060.

5. Avem 4 + 5 = 9; 5 + 7 = 12; 7 + 8 = 15; 8 + 10 = 18; a = 9 + 12 = 21; 12 + 15 = 27; 15 + 18 = 33; b = a + 27 = 48; c = 27 + 33 = 60; d = b + c = 108. 6. Cantitatea este dată în cl de: [(24 – 2) ⋅ 50 + (24 – 4) ⋅ 35 + (24 – 8) ⋅ 25] ⋅ 3 : 100 = 66.

121

TESTUL NR. 5 1. Nu are importanŃă dacă ziua din săptămână este luată luni, marŃi, …, dumi-nică. Pentru ca să se obŃină numărul maxim trebuie ca ziua respectiva să aibă cel mai mic număr par (cazul a), respectiv impar (cazul b). Numărul maxim se obŃine pentru lunile de 31 zile. Avem deci cazurile 2, 16, 30, respectiv 1, 15, 29. În ambele cazuri (a şi b) numărul maxim este 3. Pentru a obŃine numărul minim luăm luna de 28 zile şi numerele de început cât mai mari. Avem deci 6, 20, respectiv 5, 19. Numărul minim este 2. 2. În 5 – 2 = 3 ore biciclistul parcurge 72 – 36 = 36 km. Viteza biciclistului este de 36 : 3 = 12 km/h. DistanŃa dintre localităŃi este de 12 ⋅ 2 + 72 = 96 km (sau 12 ⋅ 5 + 36 = 96). 3. a) Numărul nucilor din al doilea vas reprezintă 3 – 1 = 2 sferturi (adică ju-mătate) din numărul nucilor din primul vas. Numărul nucilor din al treilea vas este un sfert din numărul nucilor din primul vas. Numerele ce reprezintă nucile din cele trei vase sunt 4n, 2n, n, iar suma lor este 7n. Numărul cerut este 7.

b) Din 7n = 98 rezultă n = 14. Numerele sunt 56, 28, 14

4. a) Numărul numerelor de forma 1bc, 2bc, 3bc, 4bc este dat în total de 7 + 5 + 3 + 1 = 16.

b) Suma este mai mică decât 7 ⋅ 189 + 5 ⋅ 279 + 3 ⋅ 369 + 1 ⋅ 459 = 4284. 5. Avem 20 = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5. Avem 17 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 5 = 26. Sunt 17 numere egale cu 1, două numere egale cu 2 şi unul cu 5. TESTUL NR. 6 1. Avem a < b + 50 ≤ 40 + 50 şi deci max a = 89. Avem a > b + 20 > 30 şi deci min a = 32. Suma este 89 + 32 = 121. 2. a) Suma minimă este 135 + 246 = 381. Aceasta sumă mai este dată de 145 + 236 sau 136 + 245 sau 146 + 235. Suma maximă este 753 + 642 = 1395.

b) Sunt 4 perechi în fiecare caz. 3. a) 12 + 16 + 3 = 31; b) 10 + 12 + 3 = 25; c) 2 + 2 + 2 + 1 = 7. 4. Avem 7 + 8 + 1 + 1 = 17 pătrate. 5. Notând numărul lădiŃelor de 2 kg, 4 kg, 8 kg, cu a, b, c avem 2a + 4b + 8c = = 48, de unde a + 2b + 4c = 24. Rezultă că a este număr par şi cum 2b + 4c ≥ 6, rezultă că a ≤ 18. Avem cazurile:

a 2b + 4c b + 2c SoluŃiile (a, b, c) a + b + c 18 6 3 (18, 1, 1) 20 16 8 4 (16, 2, 1) 19 14 10 5 (14, 1, 2), (14, 3, 1) 17, 18 12 12 6 (12, 2, 2), (12, 4, 1) 16, 17 10 14 7 (10, 1, 3), (10, 3, 2) 14, 15

122

8 16 8 (8, 2, 3), (8, 4, 2) 13, 14 6 18 9 (6, 1, 4), (6, 3, 3), (6, 5, 2), (3, 7, 1) 11, 10, 13, 14 4 20 10 (4, 2, 4), (4, 4, 3), (4, 6, 2), (4, 8, 1) 10, 11, 12, 13

2 12 11 (2, 1, 5), (2, 3, 4), (2, 5, 3), (2, 7, 2),

(2, 9, 1) 8, 9, 10, 11, 12

6. Avem abc cba− = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99(a – c) = 594 ⇒

⇒ a – c = 6. Numerele sunt de forma 7b1, 8b2, 9b3 , unde b este orice cifră.

Avem 30 de numere. Suma lor este: 10 ⋅ (701 + 802 + 903 ) + 3 ⋅ (1 + 2 + 3 + + … + 9) = 24195. TESTUL NR. 7 1. Luăm a ≤ b ≤ c. Evident b + c > a, c + a > b. Din a + b > c rezultă a + b + c > > 2c, adică 10 > 2c. Deci avem c < 4. Dacă c ≤ 3, atunci a ≤ 3, b ≤ 3 şi a + b + + c ≤ 9 (fals). Rămâne c = 4 şi deci b + a = 6. Tripletele sunt (2, 4, 4), (3, 3, 4). În total sunt 3 + 3 = 6 triplete. 2. a) a = 25, b = c = d = 26, x = 25 + 25 = 50, y = 25 + 26 = 51, z = 26 + 26 = 52.

b) Numerele impare de la 1 la 25 sunt scrise odată, iar cele pare de 3 ori. Avem S2 = (1 + 3 + 5 + … + 25) + 3 ⋅ (2 + 4 + 6 + … + 26) = (1 + 2 + 3 + … + + 26) + 2 ⋅ (2 + 4 + … + 26) = 26 ⋅ 27 : 2 + 4 ⋅ (1 + 2 + 3 + … + 13) = 351 + + 364 = 715. Formând grupe de câte 4 termeni, iar elementele din fiecare grupă din S2 este cu 2 mai mare decât suma elementelor din fiecare grupă din S1, avem deci S1 = S2 – 13 ⋅ 2 = 689, iar S3 = S1 + S2 = 1404. 3. a) Unul din numere poate fi 1005. Produsul este 0.

b) Notăm cifrele cu a, b, c, d. Luăm cazul a < b < c < d cu a ≥ 1. Avem ca-zurile (1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2). Produsul maxim este 4. 4. a) Numerele sunt de forma a = 6n + 2, a = 8m + 2. Din 6n + 2 = 8m + 2 re-zultă 6n = 8m, adică 3n = 4m = 12p, unde p aparŃine mulŃimii numerelor natu-rale. Avem a = 24p + 2. Al 20-lea termen al şirului este 24 ⋅ 19 + 2 = 458.

b) Din 24p + 2 < 999 rezultă p < 41. Suma este: 24 ⋅ (0 + 1 + 2 + 3 + … + + 41) + 42 ⋅ 2 = 20748. 5. a) Avem a = 6n + 3, a = 8m + 5. Atunci a + 3 = 6(n + 1) = 8(m + 1) = 24p, unde p aparŃine mulŃimii numerelor naturale fără 0. Al 20-lea termen al şirului este 24 ⋅ 20 – 3 = 477.

b) Din 24p – 3 ≤ 999 rezultă p ≤ 41. Suma este 24 ⋅ (1 + 2 + 3 + … + 41) – – 41 ⋅ 3 = 29541. TESTUL NR. 8 1. După o mutare numărul bilelor din prima cutie scade cu 4, iar numărul bile-lor din a doua cutie creşte cu 4. Notând cu n numărul de mutări avem ecuaŃia

123

151 – 4n = 47 + 4n, de unde n = 13. 2. a) Din 12 = na, 18 = nb rezultă că n ∈ {2, 3, 6}.

b) Din 12 = na, 18 = nb, 42 = nc rezultă că n ∈ {2, 3, 6}. 3. Numărul minim este trei, deoarece pot fi făcute următoarele grupări: 77 + 75 + 28 = 180; 73 + 72 + 35 = 180; 24 + 40 + 42 + 71 = 177. 4. a) Notăm numerele cu 2n – 4, 2n – 2, 2n, 2n + 2, 2n + 4, unde n aparŃine mulŃimii numerelor naturale, n ≥ 2. Suma numerelor este 10n. Din 10n < 162, rezultă că n < 16. Problema are 14 soluŃii.

b) Valoarea celui mai mare dintre numere este 2n + 4, unde 2 < n < 16, adi-că 8, 10, 12, 14, 16…, 32, 34, 36. 5. Dacă copilul este băiat, atunci trebuie să fie cel puŃin doi băieŃi şi cel puŃin o fată. Daca copilul este fată, atunci trebuie să fie cel puŃin un băiat şi cel puŃin două fete. Familia trebuie să aibă cel puŃin 4 copii (din care 2 băieŃi şi 2 fete). 6. a) Din cele trei numere naturale consecutive, cel puŃin unul este număr par şi unul se împarte exact la 3. Produsul se împarte exact la 2 ⋅ 3 = 6.

b) Deoarece numerele 58, 82, 122 nu se împart exact la 6, ele nu se pot scrie ca produs de 3 numere consecutive. Avem 504 = 7 ⋅ 8 ⋅ 9.

TESTUL NR. 9 1. Numărul de norme este 42. După 15 zile, rămân de executat 42 – 15 = 27 norme. Acestea se execută în 27 : 3 = 9 zile. Lucrarea este terminată în 15 + 9 = 24 zile. 2. Notăm cu 2 ⋅ n numărul fetelor şi cu 3 ⋅ n numărul băieŃilor. Din 82 < 2n + + 3n < 87 rezultă n = 17. Numărul băieŃilor este 3 ⋅ 17 = 51, iar numărul fetelor este 2 ⋅ 17 = 34. 3. În 5 minute se fierb 10 ouă de gâscă. În 5 minute se fierb simultan 2 ouă de gâscă, 4 ouă de raŃă şi 4 ouă de găină. În 3 minute se fierb restul de 9 ouă de găină. Timpul minim este 5 + 5 + 3 = 13 minute. 4. Avem 4 m = 400 cm. Pe „lungimea” camerei se pun 400 : 20 = 20 bucăŃi de gresie. Pe „lăŃimea” camerei se pun 320 : 20 = 16 bucăŃi de gresie. Numărul total de puncte este (20 – 1) ⋅ (16 – 1) = 285. 5. Deoarece 21 : 3 = 7, numărul de tăieturi este 7 – 1 = 6. Timpul necesar este 6 : 2 ⋅ 7 = 21 minute. 6. Drumul numai la dus este parcurs cu autobuz în 16 : 2 = 8 minute. Atunci drumul numai la dus este parcurs pe jos în 48 – 8 = 40 minute. Drumul dus-întors este parcurs pe jos în 40 ⋅ 2 = 80 minute. TESTUL NR. 10

1. Numărul de norme este 12 ⋅ 15 = 180. Au fost executate 12 ⋅ 6 = 72 norme şi au rămas 180 – 72 = 108 norme. Lucrarea poate fi terminată după încă 108 : (12 – 3) = 12 zile.

176