constructii geometrice

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Ediia a IV-a 2012-2013


Probleme de constructii geometrice

Abstract. Prin materialul de fata venim n ntampinarea elevilor cu

prezentarea unei metode/strategii de rezolvare a unor probleme de constructii

geometrice, pornind de la identicarea si utilizarea unei guri geometrice

simple, precum si aplicarea unei teoreme bine cunoscute.

Materialul se adreseaza elevilor de clasa a IX-a

Autor: Nita Cristi, Liceul Tehnologic , ,Constantin Brancusi, Bu-

curesti

Fie urmatoarea situatie geometrica (vezi gura de mai jos). In triun-

ghiul ABC, o paralela la baza BC taie laturile AB si AC n punctele

B si C . Notam cu D intersectia dintre BC si BC. Prin D trasam

ceviana AA a triunghiului ABC, {A} [BC].

Aplicand teorema lui Ceva pentru cevienele AA, BB, CC , care se inter-

secteaza n D, obtinem

ACAB

BB

BA C

AC C

= 1. ()

1



Aplicand teorema lui Thales pentru BC BC, obtinem

BABB

=C AC C

BB

BA C

AC B

= 1. ()

Inlocuind () n () obtinem AC

AB= 1, adica AA este mediana n triun-

ghiul ABC.

Tinand cont de informatiile obtinute n conguratia de mai sus, se pot

desprinde multe concluzii utile, precum:

1) , ,Picioarele a doua ceviene concurente ntr-un punct situat pe mediana

unui triunghi, se aa pe o dreapta paralela cu latura ce contine piciorul

medianei.

2) , ,Segmentul paralel cu bazele unui trapez, care trece prin punctul de

intersectie al diagonalelor, ale carui capete se aa pe laturile neparalele ale

acelui trapez, este njumatatit de punctul de intersectie al diagonalelor.

3) , ,Dreapta ce trece prin punctul de intersectie al laturilor neparalele

ale unui trapez si punctul de intersectie al diagonalelor, njumatateste bazele

trapezului.

Lasam elevilor placerea de a si folosi imaginatia si de a descoperi alte

proprietati/relatii interesante din punct de vedere geometric.

Urmeaza acum prezentarea a trei probleme de geometrie, n a caror re-

zolvare s-a apelat cu succes la gura mai sus analizata.

Problema 6182 (G.M. 4/1945). Sa se demonstreze ca folosind

numai rigla, se pot construi oricate tangente la un cerc dat, atunci

cand cercul are doua tangente construite.

Gheorghe Buicliu

2



Figura 1

Fie C(O) si tangentele AB si AC la cercul C(O) n punctele A si B.Fie D (D IntABC), punctul n care vrem sa construim tangenta la

cerc. Fie B intersectia dintre BO si C(O). Fie D intersectia dintre DO siC(O).

Atunci va rezulta BDBD (perechile de puncte (D,D) si (B,B) inddiametral opuse).

Fie E intersectia dintre AD si DB. Fie E intersectia dintre AB si BD.

Cum BDBD BDEE BDEE este trapez.FieM intersectia dintre BE si DE . Fie N intersectia dintre AM si EE .

Aplicand teorema lui Ceva n AEE , pentru cevienele AN,BE,DE , cu

AN BE DE =M , obtinem NENE

BE

BA DADE

= 1.

Dar BDBD ABBE

=AD

ED E

B ADAB ED = 1. Aceasta implica

(tinand cont de relatia precedenta)EN

E N= 1 N este mijlocul laturii EE .

3



De aici rezulta ca AN va mediana si n ABC.

Fie P intersectia dintre AN si BD. Atunci BP = PD. Trasam dreapta

OP care taie pe AB n T . Avem de aici POBD si OT este mediatoareasegmentului BD (vezi proprietatea razei care trece prin mijlocul unei coarde).

Prin constructie, BOD si BTD sunt isoscele (TO ind mediatoare),

iar TBOL.L.L. TDO (TO = TO (l.c.), TB = TD, BO = DO) TBO =

TDO = 90 TD este tangenta la C(O) n D.

Figura 2

Fie D ExtABC, D C(O). Trasam DC. Trasam CO si notam cu Eintersectia dintre CO si C(O). Trasam DO si notam cu E intersectia dintreDO si C(O).

Va rezulta (ca si n cazul gurii 1) CDEE .

4



Notam cu F intersectia dintre EE si AC. In trapezul EFC (EF (=

EE )CD) notam cu M intersectia diagonalelor FD si EC. Notam cu Nintersectia dintre ED si FC. Cum am vazut n rezolvarea de la gura 1,

NM va mediana n NEF si NDC, de unde rezulta CP = PD (unde

P = NM CD).Dreapta OP , care trece prin mijlocul P al segmentului CD, va media-

toare.

Notam cu T intersectia dintre OP si CN . Punctul T aandu-se pe medi-

atoare vom avea CT = TD. Astfel se obtine CTOL.L.L. DTO (TO = TO

(l.c.), CO = DO(= raza cercului), CT = TD) OCT = ODT = 90 TD este tangenta n D la C(O).

Problema 6483 (G.M. 10/1947). Varful B al triunghiului ABC,

dreptunghic n B, se proiecteaza n D pe mediana CC . Fie P

intersectia naltimei BB cu perpendiculara n C pe BC. Sa se

arate ca dreapta PD trece printr-un punct fix cand C variaza pe

BC.

Gheorghe Buicliu

5



Fie gura de mai sus.

In BDC, CD si BB sunt naltimi. Notam cu H intersectia celor doua

naltimi. Atunci, daca DH taie latura BC n O, rezulta ca DOBC.Cum ABBC DOAB. (1)Cum CC este mediana n ABC si CBA COD (din (1)), rezulta

CC este mediana si n COD CH este mediana n COD OH =HD. (2)

In trapezul PCBC (PCBC si C BBC CPC B), se observa cadiagonalele se intersecteaza n H .

In acest moment construim punctul R = C P BC, cu RH BC = S.Aplicand teorema lui Ceva n RBC , pentru cevienele RS,BP,C C care

sunt concurente n H , avem relatiaSC

SB CBCR

PRPC

= 1. Cum CPC B PR

PC =CR

CB, nlocuind n relatia lui Ceva vom obtine

SC

SB= 1.

Astfel, rezulta ca RH njumatateste segmentele paralele CP si BC . (3)

Tinand cont de (1) si (2), va rezulta ca D este coliniar cu punctele C si

P , adica D [PC ].Luam PBC . Acesta , ,contine trapezul BC DH (BC DODH).

Deoarece D este intersectia diagonalelor BD si C H ale trapezului BC DH ,

rezulta ca PD trece prin mijlocul bazelor BC si HD (vezi consecinta (3)).

Deci, PD BC = S, mijlocul bazei BC , deja determinat. Cum latura ABeste data, rezulta BC =

AB

2este dat S este un punct x prin care trece

dreapta PD, oricare ar pozitia lui C pe BC.

Problema 6532 (G.M. 2/1948). Se da trapezul ABCD ale carui

diagonale AC si BD se ntalnesc n I. Fie E simetricul lui D fata

de I si F intersectia lui AC cu paralela din B la CE. Sa se arate ca

6



FE este paralela cu AD.

Gheorghe Buicliu

Fie gura de mai sus. Unim E cu C, iar n trapezul BFCE (BFCEip.), notam cu M intersectia diagonalelor BC si EF .

In ICE, construim punctul N = IM EC. Aplicand teorema luiCeva pentru cevienele IN,EF, CB, cu IN EF CB = M , avem relatiaBI

BE NENC

FCFI

= 1.

Cum, din BFEC rezulta BIBE

=FI

FC, nlocuind n relatia lui Ceva,

obtinemNE

NC= 1. Deci, IN este mediana n IEC si implicit mediana n

IBF . (1)

In ECD avem CN = NE si DI = IE. Rezulta ca IN este linie mijlocie

n ECD, ceea ce implica INCD.Fie P = IN BF . Conform (1), BP = FB. Cum INCDAB rezulta

IPAB. In AFB, BP = PF si IPAB, rezulta ca IP este linie mijlocien AFB AI = IF .

Din relatiile DI = IE si AI = IF rezulta ca ADFE este paralelogram

ADFE.

7

constructii geometrice

Documents