constructii 2

Horia Garbea

Universitatea de Ştiinţe Agronomice şi Medicină VeterinarăA

Facultatea de îmbunătăţiri Funciare şi Ingineria Mediului

Horia Gârbea

CURS DE CONSTRUCŢII

ELEMENTE GENERALE

,________________________CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

7

Horia Garbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

1. Definiţie şi istoric

Construcţia este o lucrare inginerească aptă să preia şi să transmită eforturi.Dezvoltarea unei societăţi depinde între altele de nivelul tehnic şi estetic al

construcţiilor şi, reciproc, acest nivel reflectă treapta pe care se află o societate la un moment dat.

Istoria construcţiilor începe cu antichitatea. Construcţiile progresează semnificativ odată cu Renaşterea şi apoi, prin descoperiri tehnice şi dezvoltarea teoriei, ajung să fie tot mai sigure şi realizate mai economic.

Arhitectură romană Arhitectură greacă Stil gotic Stil baroc

La dezvoltarea construcţiilor şi-au adus contribuţia, matematicieni, fizicieni şi artişti precum Michelangelo, Leodardo Da Vinci, Galileo Galilei, Isaac Newton, Robert Hooke, Navier, Juravski, Euler, Bemoulli, Otto Mohr. Epoca modernă a construcţiilor coincide cu epoca industrială şi începe cu revoluţia tehnică reprezentată de inventarea betonului armat (Joseph Monier, 1867). Materialele compozite şi construcţiile uşoare jalonează intrarea construcţiilor în epoca post-modemă şi post-industrială.

în România constructori ca Anghel Saligny, Elie Radu, G. Constantinescu, A. Beleş au avut contribuţii teoretice importante şi realizări practice care imporesionează şi azi precum podul de la Cernavodă construit de Saligny în 1895. Arhitecţi de marcă au realizat în perioada interbelică unele construcţii remarcabile din punct de vedere ingineresc şi estetic.

Renaşterea Stil brîncovenesc Stil clasic românesc Art nouveau în România

Perioada dictaturii comuniste din România, 1945-1989, a supus constructorii unor comenzi cu caracter politic, străin spiritului tehnico-ştiinţific. Rezultatele au fost construcţii nefuncţionale şi inestetice care rămîn însă viitorului ca o mărturie şi ca un avertisment.

în timp, din cauza modificării performanţelor materialelor şi metodelor de calcul, standardele şi uzanţele privind construcţiile din România s-au modificat. Prezenţa cutremurelor şi, mai recent, schimbările climatice, impun revizuirea acestor standarde şi perfecţionarea metodelor de construcţie.

Horia Gfirbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

Casa Scînteii din Bucureşti are ca model Universitatea Lomonosov, construită în stil stalinist, iar Casa Poporului e inspirată de megalomania totalitară a aşa-numitei “revoluţii culturale ” chineze.

2. Clasificarea construcţiilor

Cea mai largă clasificare împarte construcţiile în două categorii:Clădiri - Construcţii a căror folosire dominantă este aceea ca adăpost (locuinţe,

fabrici, şcoli, adăposturi pentru animale, săli de sport, sere, etc.). Acestea au în general au o structură în elevaţie, adică majoritatea părţilor componente sînt deasupra solului.

Construcţii speciale - Construcţii ce nu au în general calitatea de adăpost, ci de alte utilităţi, de exemplu : drumuri, poduri, căi ferate, canale, subtraversări, diguri, baraje, masive de ancoraj etc. Acestea sînt alcătuite în general din propria lor structură. Practic, structura canalului este chiar canalul însuşi, în timp ce clădirea are şi părţi nestructurale care servesc la închiderea şi delimitarea spaţiilor.

Construcţiile sînt prevăzute cu instalaţii de apă, de gaze, de electricitate, de ventilaţie, etc. iar în proiectarea structurii se ţine cont şi de aceste instalaţii.

Există şi posibilitatea ca elementele structurale însele să conţină şi instalaţii. Aşa de exemplu există planşee cu instalaţia de încălzire conţinută în interiorul lor.

Structura unei construcţii este compusă din totalitatea elementelor care preiau efectiv efortul şi care eventual susţin alte elemente.

Pentru clădiri există trei tipuri de structuri:a. cu schelet structuralb. cu pereţi portanţi (în figură, Bucureşti, 1895)c. mixtă: cu schelet structural şi avînd pereţi portanţi

La o clădire cu schelet structural se poate interveni în schimbarea poziţiei şi eliminarea unor elemente de închidere (pereţi), pe cînd la o clădire

cu pereţi portanţi acest lucru nu este posibil.

Calculul elementelor de construcţii structurale şi nestructurale se face în scopul de a realiza un nivel de siguranţă şi funcţionalitate corespunzător cu scopul pentru care a fost realizată construcţia.

Construcţiile trebuie să prezinte o fiabilitate corespunzătoare în raport cu eforturile care apar în elementele lor constitutive. Acest lucru presupune îndeplinirea unor condiţii de siguranţă privind: rezistenţa (capacitatea portantă a elementelor), stabilitatea (capacitatrea de a nu se deforma) şi ductilitatea (capacitatea de a prelua şi disipa energia in cazul unor acţiuni statice, dar mai ales a celor dinamice).

De asemeni, construcţiile trebuie să prezinte anumiţi parametri funcţionali în raport cu scopul în care au fost create şi să respecte criterii economice astfel încît costurile de realizare şi întreţinere să fie raţionale în raport cu siguranţa oferită.

Arhitectură stalinistă Stil eclectic neostalinist

9

Horia Gârbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

Siguranţa unei construcţii creşte odată cu investiţia în realizarea ei dar, în funcţie de rolul construcţiei, nivelul acestei investiţii este limitat.

3. Metoda de calcul

Nivelul de asigurare al unei construcţii este cuantificat prin stările limită care definesc marginile dincolo de care construcţia nu mai prezintă siguranţă în raport cu scopul pe care trebuie să-l îndeplinească.

Stările limită se împart în două categorii:1. Stări limită ultime: corespunzătoare epuizării capacităţii portante şi ieşirii

ireversibile din exploatare. Acestea sînt:Stări limită ultime produse de acţiuni permanente şi variabile (temporare) cu frecvenţă

mare de apariţie (ruperi, deplasări remanente, pierderea stabilităţii formei şi a poziţiei).Stări limită ultime produse de acţiuni excepţionale (cutremure, explozii, incendii) care

apar rar, dar au intensitate mare. Capacitatea portantă a unei construcţii are în acest caz un caracter global.

2. Stări limită ale funcţionării normale: corespunzătoare unor deplasări sau fisurări excesive.

în România, metoda oficială de calcul pentru proiectare structurală în construcţii, prescrisă prin STAS 10.107/0-90, este metoda stărilor limită. Această metodă ia în calcul ansamblul stărilor limită pentru diferite tipuri de construcţii şi modul de variaţie (aleator) al factorilor care influenţează siguranţa, în principal a acţiunilor de calcul.

Metoda stărilor limită are caracter semiprobabilistic. Aceasta înseamnă că factorii aleatori de siguranţă şi nesiguranţă sînt consideraţi separat şi au coeficienţi de siguranţă proprii, parţiali.

în mecanica construcţiilor principiul fundamental este al III-lea principiu al lui Newton: acţiunea este egală în modul şi opusă ca sens reacţiunii:

-> ->A = -R

Asigurarea rezistenţeiconstrucţiilor este exprimată în metoda stărilor limită prin inegalitatea:

A max — R min

unde

A max - nivelul maxim acceptat al efectului acţiunii;R min - nivelul minim acceptat al rezistenţei.

Deci A max < R min pentru probabilitatatea de producere de 5 la sută. în calculul curent se adoptă soluţia simplificatoare de a analiza separat cei doi termeni ai inegalităţii.

Asigurarea luată în calcul este de 5%.

10


4. Acţiuni în construcţii şi gruparea lor. Eforturi şi deformaţii

Dintre ştiinţele care se ocupă cu calculul şi alcătuirea construcţiilor face parte, după cum am arătat, şi Mecanica construcţiilor care cuprinde la rîndul ei mai multe discipline cu caracter ingineresc.

Mecanica construcţiilor este ştiinţă studiază legile mişcării corpurilor, precum şi ale cazului prticular exprimat de poziţia de repaus a acestora, adică ale poziţiei de echilibru static.

Mecanica construcţiilor grupează, în prezent, o serie de discipline distincte, cum sunt: Rezistenţa materialelor, Statica construcţiilor, Stabilitatea construcţiilor, Dinamica construcţiilor, Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii.

Statica construcţiilor este disciplina care se ocupă cu determinarea eforturilor secţionale în bare drepte sau curbe, din acţiuni fixe sau mobile şi cu determinarea deplasărilor acestor bare, deplasări produse de forţele şi momentele ce acţionează asupra lor.

Rezistenţa materialelor este disciplina care se ocupă cu determinarea eforturilor unitare în bare drepte sau curbe şi cu determinarea deformaţiilor specifice liniare şi unghiulare.

Construcţiile trebuie să fie capabile să suporte solicitările la care sunt supuse fară a se distruge şi fară a se deforma peste anumite limite admisibile în exploatare. Pentru aceasta, construcţiile sunt prevăzute cu structuri de rezistenţă alcătuite din elemente de construcţie (grinzi, stâlpi, plăci, etc.) legate între ele astfel încît să nu se deplaseze. Structurile sînt proiectate astfel încît să îndeplinească destinaţia lor de a prelua toate încărcările şi a le transmite terenului de fundare, baza de sprijin a oricărei clădiri.

Structurile de rezistenţă pot fi executate din beton armat, oţel, aliaje de aluminiu, zidărie, lemn etc. Aceste materiale au o capacitate limitată de a rezista diferitelor încărcări ce acţionează asupra construcţiei, dincolo de care ele se distrug. De aceea,elementele de construcţie (grinzi, stîlpi, plăci etc.) care alcătuiesc structura de rezistenţă trebuie să aibă dimensiuni corespunzătoare. Aceste dimensiuni se determină pe baza eforturilor ce iau naştere în elementele de construcţie sub acţiunea solicitărilor exterioare. Sub acţiunea încărcărilor exterioare la care sunt supuse, structurile de rezistenţă ale construcţiilor se deformează.

Elementele de construcţie suferă mici deformaţii, trecînd din poziţia iniţială, nedeformată, într-o poziţie foarte apropiată, deformată, în care se stabileşte echlibrul între solicitările exterioare şi eforturile din structură. Aceasta este poziţia reală de echlibru elastic sau echilibru în poziţia deformată.

în această situaţie încărcările exterioare şi eforturile din structură sunt în echilibru static, iar deformaţiile elementelor de construcţie sunt compatibile cu legăturile sistemului.

Aşa cum se va vedea ulterior, deformaţiile elementelor de construcţie sunt foarte mici, atît de mici încît nu pot fi observate vizual, în raport cu dimensiunile elementelor deformate. Pe baza mărimii reduse a acestor deformaţii, se pot adopta o serie de ipoteze simplificatoare.

Eforturile apar în elementele structurale ca urmare a acţiunilor exterioare iar acestea sînt rezultatul unor fenomene naturale. O acţiune este o cauză care produce asupra construcţiei o stare de solicitare mecanică.

Acţiunile pot proveni din:-greutatea proprie a elementelor de construcţie;-destinaţia funcţională a construcţiei;-unor factori naturali (climatici, seismici etc.);-accidente (explozii, incendii);Acţiunile pot avea un caracter static sau dinamic.Clasificarea acţiunilor care se iau in calcul în construcţii le împarte în următoarele

categorii:- permanente,- temporare : de scurtă durată şi de lungă durată, numite şi acţiuni variabile,

11


- excepţionale, numite şi accidentale.în construcţii, acţiunea permanentă cea mai importantă este greutatea proprie. Ea se

manifesta sub forma unei forţe verticale. Alte acţiuni permanente sînt greutatea şi presiunea pămîntului şi efectul precomprimării betonului.

Acţiunile temporare pot fi de lungă durată (greutatea moartă, greutatea zăpezii) sau de scurtă durată (acţiunea temperaturii, acţiunea vîntului).

în categoria acţiunilor excepţionale intră acţiunea seismică şi acţiunea provocată de alte calamităţi (viituri, tornade etc.), de foc, de explozii.

în metoda stărilor limită, mărimile fizice care intervin în calcul, atît acţiunile, cît şi reacţiunile sau efectele acestora (amplitudini, frecvenţe etc.) se exprimă prin:

- valori normate: valori de referinţă stabilite prin studiul distribuţiei valorilor mărimii respective considerate ca variabilă aleatoare.

- valori de calcul: valori obţinute prin înmulţirea valorii normate cu un coeficient.Coeficienţii valorilor normate sînt de regulă supraunitari, cînd se referă la acţiuni, şi

subunitari, cînd se referă la rezistenţe.Valorile normate sînt valori minime cu

asigurare de minimum 0,95 (adică 95%).Calculul structurilor se efectuează prin

considerarea combinaţiilor defavorabile posibile în practică ale acţiunilor. Prin coeficienţi de grupare se ţine seama de probabilitatea redusă ca anumite fenomene şi deci acţiuni să apară simultan. în grupările fundamentale de acţiuni se

a iau în calcul acţiunile permanente şi acţiuniletemporare care pot apărea simultan. în grupările speciale se iau în calcul acţiunile permanente, acţiunile temporare care pot apărea simultan cu o acţiune excepţională şi o acţiune excepţională.

Nu se acceptă ipoteza că două acţiuni excepţionale pot apărea simultan pentru că probabilitatea unei asemenea situaţii este foarte

mică în realitate.Construcţiile sunt alcătuite din elemente de forme şi dimensiuni diferite. între acestea

un loc dominant îl au barele şi elementele care pot fi calculate prin asimilarea cu barele.Comportarea unui element de construcţie la solicitări depinde între altele şi de

raporturile relative dintre cele trei dimensiuni ale sale. Din acest punct de vedere, al raprtului între dimenisuni elementele de construcţii se împat în: bare, plăci şi masive.

Bara este un corp la care una dintre dimensiuni, numită lungime, este dominantă în raport cu dimensiunile secţiunii transversale. De exemplu, la o grindă sau un stâlp, lungimea este în mod obişnuit de 4 -12 m, în timp ce secţiunea are dimensiuni de ordinul a 20 - 50 cm.

Elementele caracteristice ale unei bare sunt axa barei şi secţiunea barei. Axa barei reprezintă locul geometric al centrelor de greutate ale secţiunilor barei. Axa poate fi dreaptă sau curbă. Secţiunea unei bare este intersecţia dintre bară şi un plan perpendicular pe axa barei. Forma secţiunilor utilizate în construcţii este extrem de variată, aceasta depinzând atât de materialele utilizate cât şi de necesităţile constructive. în figură sunt prezentate câteva bare din oţel utilizate ca grinzi şi stîlpi la o structură O categorie specială de bare este constituită din fire. Acestea nu au nici un fel de rigiditate transversală, motiv pentru care nu pot prelua decât eforturi de întindere.

Placa este un corp la care una din dimensiuni este mult mai mică în comparaţie cu celelalte două dimensiuni. Plăcile pot fi plane sau curbe. Plăcile curbe pot fi de mai multe feluri: curbate cilindric (o curbură), curbate sferic (două curburi), cu suprafaţă riglată etc.

12


Curburile pot fl pozitive sau sinclastice (centrul de curbură sub placă), sau negative sau anticlastice (centrul de curbură deasupra plăcii).

a. rezemare pe 2 latun b. rezemare simplă pe contur c. încastrare pe tot conturul paralele

Blocul este un corp la care cele trei dimensiuni sunt de acelaşi ordin de mărime. Blocurile apar de regulă în construcţii la fundaţii din beton simplu, din beton armat sau din zidărie de cărămidă sau piatră.

In calculul curent al elementelor de construcţii acestea sînt considerate bare sau asimilabile barelor.

De exemplu plăcile se calculează în mod simplificat pe fîşii considerate ca bare.Ipotezele principale ale calcului static sînt următoarele:- elementele pentru care se calculează eforturile şi deformaţiile sînt bare;- barele sînt

omogene, izotrope şi continue;- barele au deformaţii mici, în consecinţă funcţionează principiul independenţei

acţiunilor şi suprapunerii efectelor;- barele sînt perfect elastice.Principiul independenţei acţiunilor şi suprapunerii efectelor postuleză că acţiunile au

asupra unui corp efecte independente de cele ale altor acţiuni iar efectul lor egal este suma efectelor fiecăreia în parte. De exemplu dacă o acţiune produce într-un punct al unei grinzi o deplasare verticală de 1 cm, iar alta produce în acelaşi punct o deplasare verticală de 2 cm, deplasarea totală va fl de 3 cm.

O altă ipozeză importantă este aceea a elasticităţii. Barele sînt considerate a avea deformaţii elastice adică direct proporţionale cu mărimea acţiunii care le-a produs.

Eforturile secţionale calculate în bare, forţe şi momente, sînt considerate vectori aplicaţi în centrul de greutate al barei.

Acţiunile exterioare dau naştere în elementele de construcţii la solicitări, iar acestea la eforturi unitare, care sînt în număr de două:

- eforturi unitare normale a;- eforturi unitare tangenţiale x ;Modul de acţiune al acestor fenomene asupra elementelor structurale iau forma celor

cinci solicitări din rezistenţa materialelor: întindere, compresiune, încovoiere pură, răsucire liberă, forfecare.

Solicitările simple asupra unui element considerat ca o bară, sînt în număr de cinci şianume:

- întinderea axială - efortul secţionai este în lungul barei, are semnul convenţional pozitiv şi se notează cu Nx.

- compresiunea axială - efortul secţionai este în lungul barei, are semnul convenţional negativ şi se notează tot cu Nx.

13

Horia Girbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

- forfecarea pură - eforturile secţionale se numesc forţe tăietoare, sînt perpendiculare pe axa barei vertical, respectiv orizontal şi se notează cu Ty şi Tz.

- încovoierea pură - eforturile secţionale sînt momente încovoietoare care curbează axa barei în plan vertical sau lateral şi se notează cu My şi Mz.

- răsucirea liberă, adică neîmpiedecată - efortul secţionai este momentul de răsucire sau torsiune a barei în jurul axei sale longitudinale şi se notează cu Mx.

Se observă că există şase eforturi secţionale, cîte unul pentru fiecare grad de libertate din spaţiu. Trei, corespunzătoare gradelor de libertate de translaţie, sînt forţe iar trei, corespunzătoare gradelor de libertate de rotaţie, sînt momente.

Este probabil util să reamintim aici cîteva noţiuni elementare de mecanică, care se studiază în liceu.

Forţele şi momentele sînt vectori. Operaţiile matematice cu vectori au reguli specifice, diferite de cele cu mărimi sclare. Forţele sînt de diferite tipuri după cauza care le produce, în construcţii fiind în principal forţe gravitaţionale. Forţele se măsoară în newtoni (N). Un newton este forţa prin care unei mase de 1 kg i se imprimă o acceleraţie de lm/s2. în construcţii se utilizează frecvent daN (multiplu echivalent cu 10 N deoarece el corespunde cu aproximaţie greutăţii unei mase de 1 kg în cîmpul gravitaţional terestru).

Momentul unei forţe faţă de un punct este produsul vectorial între forţă şi segmentul (vector) reprezentînd distanţa de la punct la direcţia forţei. Aşadar, aceeaşi forţă produce un moment mai mare dacă este aplicată mai departe de punctul unde crează momentul. Momentele se măsoară în N.m. Frecvent în construcţii se utilizează multiplii: daN.m şi kN.m.

Eforturile unitare, spre deosebire de forţe, sînt tensori adică forţe raportate la suprafaţă. Eforturile unitare se măsoară în N/m2 , unitate numită pascal (simbol: Pa). Din cauza valorilor mari ale eforturilor, în tehnică, se utilizează curent MPa sau daN / cm2 . IMPa este egal cu un milion de pascali şi deci cu 10 daN / cm2.

Schema cauzală a producerii efortului urmată şi în etapele de calcul este:ACŢIUNEA -» SOLICITAREA -> EFORTUL.Elementul structural nu preia însă o singură solicitare, ci solicitări compuse ca:

încovoiere cu forţe tăietoare, încovoiere cu forţe axiale, încovoiere cu răsucire, etc. în final, acestea creează în fiecare punct al unui element structural o stare de eforturi unitare, normale şi tangenţiale pe toate cele trei direcţii din spaţiu.

Eforturile asupra construcţiilor dau naştere unor deformaţii. în calculul construcţiilor se utilizează cel mai des ipoteza micilor deformaţii. Aceasta presupune că deformaţiile unei bare nu sînt mai mari decît 1/10 din oricare dimensiune a secţiunii transversale a barei. Ca urmare a ipotezei micilor deformaţii se poate aplica principiul de calcul al independenţei

acţiunilor şi suprapunerii efectelor. Acesta postulează că fiecare cauză (forţă sau moment) are un efect propriu care se însumează algebric cu ale celorlalte cauze.

Deformaţiile sînt de două feluri:- liniare adică lungiri sau scurtări,- unghiulare adică lunecări. Deformaţiile liniare relative sau

specifice se notează cu s.e = (Al +1) /1.

Deformaţiile liniare relative sînt adimensionale.Deformaţiile unghiulare relative sau specifice se notează cu y şi măsoară abaterea de la

unghiul drept în procesul de deformaţie. Deformaţiile unghiulare relative se măsoară în radiani.

între deformaţiile unui material şi efortul la care este supus există o legătură care depinde de natura materialului. Robert Hooke a enunţat principiul proporţional ităţii între

14


eforturi şi deformaţii. Atîta timp cît materialul se află în stare elastică, la un efort de întindere sau compresiune dat, corespunde o deformaţie direct proporţională. Modelul fizic al teoriei lui Hooke este un resort de oţel întins sau comprimat cu o forţă. în termeni matematici, legea lui Hooke se scrie astfel:

15

Valoarea E poartă numele de modul de elasticitate longitudinală sau de modulul lui Young şi este o constantă de material. Cu cît E este mai mare, cu atît materialul e mai rigid, mai greu deformabil.

în mod analog, pentru deformaţii unghiulare:

Valoarea G poartă numele de modul de elasticitate transversală sau de modulul lui Young pe direcţie transversală şi este o constantă de material de valoare inferioară lui E.

Raportul între subţierea elementului constructiv pe direcţia ortogonală efortului şi alungirea pe direcţia efortului de întindere este numită coeficientul lui Poisson:

Valoarea obişnuită a acestui coeficient este de 0,1 pînă la 0,5. Se constată că modulele de elasticitate E şi G sînt măsurabile în unităţi de efort adică Pa. (j. este adimensional.

Relaţia numerică între cele trei constante ale materialului este:

De exemplu, la oţelul obişnuit, E are valori de 2 milioane de daN/cm iar G de 0,8 milioane de daN/cm2.

5. Preluarea acţiunilor de către construcţii

Paşii algoritmului de proiectare a unei structuri sînt: evaluarea acţiunilor, calculul static (al eforturilor secţionale), calculul de rezistenţă (al eforturilor unitare), apoi eventual calculul de deformaţii şi calculul de stabilitate.

Elementele structurale pot fi: unidimensionale (bare), bidimensionale (plăci), tridimensionale (fundaţii).

în activitatea uzuală de proiectare se respectă ipoteza de bară.în calculul structurilor, se respectă ipotezele Rezistenţei Materialelor: de bară

omogenă, izotropă, continuă. Bara se consideră elastică (efortul este direct proporţional cu deformaţia) şi avînd cu deformaţii mici (mai mici decît 1/10 din dimensiunile secţiunii transversale).

Cînd aceste ipoteze sînt prea departe de realitate, atunci, în majoritatea cazurilor, ele sînt menţinute, dar se fac anumite corecţii. Cel mai flagrant caz este cel al betonului armat, material esenţialmente neomogen şi anizotrop.

Preluarea eforturilor de către structură se face în două moduri: prin material;

- prin geometrie.O structură este cu atât mai performantă cu cît utilizează material mai puţin

suplinindu-1 printr-un surplus de geometrie, adică de preluarea eforturilor prin forma structurii.

Există trei categorii de construcţii şi structuri în funcţie de solicitarea dominantă.Structura cea mai simplă, dar şi mai rudimentară este grinda - solicitarea este

încovoierea cu forţă tăietoare.Mai puţin material utilizează elementele structurale supuse preponderent la

compresiune - stîlpii.Cele mai uşoare şi mai eficiente ca raport între efortul preluat şi cantiatatea de material

utilizat sînt firul sau tirantul (unidimensionale) şi membrana (bidimensională), supuse exclusiv la întindere.


16

Un alt fel de a decide asupra modului în care va fi proiectată şi realizată o construcţie este evaluarea raportului dintre cost şi siguranţă. Cu cît costul de realizare creşte cu atît construcţia poate fi mai sigură în exploatare. O construcţie realizată ieftin va fi simultan mai puţin sigură.

In ceea ce priveşte secţiunile transversale ale barelor, centrele lor de greutate formează împreună axa barei. în calculul şi reprezentarea grafică a eforturilor secţionale, barele sînt schematizate prin axele lor sub forma unor linii drepte sau curbe.

Fiecare secţiune are anumite caracteristici geometrice care au importanţă în stabilirea efortului unitar în acea secţiune. De pildă, pentru o forţă axială dată, efortul de întindere va fi cu atît mai mare într-o secţiune cu cît aria ei va fi mai mică. De asemeni, în cazul încovoierii, două secţiuni de arie egală vor avea un efort unitar diferit în funcţie de forma secţiunii. Există secţiuni simplu conexe, cu un singur contur, dublu conexe cu două contururi, de exemplu cea inelară, sau multiplu conexe. Secţiunile compuse, simplu sau dublu conexe, mai ales la

barele din oţel sau compozit pot avea pereţi subţiri, fiind realizate prin laminare. Grosimea peretelui este sub 0,1 din dimensiunile secţiunii compuse. Primele două caracteristici enumerate mai jos,

aria şi centrul de greutate, se numesc intrinseci deoarece ele sînt independente de alegerea unui sistem de axe.

Caracteristicile geometrice neintrinseci se calculează pentru a servi la determinarea eforturilor unitare, faţă de un sistem cartezian de axe centrale, adică axe care trec prin centrul de greutate, originea sistemului fiind în centrul de greutate al secţiunii.

Principalele caracteristici geometrice sînt:

1. Aria sau suprafaţa secţiunii:A = Ia dA , unitatea de măsură e m2.

2. Poziţia centrului de greutate al secţiunii:Se stabileşte faţă de două axe din planul secţiunii. Distanţa faţă de una dintre

axe este raportul dintre momentul static al întregii secţiuni faţă de acea axă şi aria totală a secţiunii. Aceasta este o consecinţă a Teoremei lui Varignon. Fie axele de referinţă oy şi oz, ortogonale. Atunci:

unitatea de măsură a acestor distanţe este metrul.

3. Momentul static al secţiunii, faţă de o axă:S y = J a z dA

Sz =Ja y dA , unitatea de măsură e m3.Dacă secţiunea e compusă dintr-un număr de figuri geometrice, cum se

întîmplă cel mai adeasea în construcţii, secţiunile fiind de regulă compuse din mai multe dreptunghiuri, integrala se transformă într-o sumă.4. Momentul de inerţie al secţiunii, faţă de o axă sau faţă de două axe:


Momentul de inerţie al secţiunii, faţă de o axă se numeşte axial, iar cel faţă de ambele axe, centrifugal. Momentul de interţie centrifugal al unei secţiuni faţă de două axe centrale şi ortogonale este egal cu zero dacă una dintre axele centrale este axă de simetrie.

Dacă secţiunea e compusă dintr-un număr de dreptunghiuri, integrala se transformă într-o sumă formată din următorii termeni: momentele de inerţie ale fiecărui dreptunghi faţă de propria axă centrală şi produsele dintre ariile fiecărui dreptunghi şi pătratul distanţei de la centrul de greutate al fiecărui dreptunghi la axa centrală.

Aceste ecuaţii se numesc ecuaţiile lui Steiner.

Momentele de inerţie depind de poziţia axelor de referinţă. Dacă pentru o poziţie a axelor de referinţă centrale şi carteziene se calculează o pereche de momente de inerţie Iy şi Iz. pentru o altă poziţie a axelor, rotită cu un unghi faţă de cea iniţială, se calculează o pereche de momente de

inerţie Iţ; şi Iv. Există o poziţie a axelor pentru care valoarea momentelor de inerţie este extremă: maximă pentru cel faţă de o axă şi minimă faţă de axa ortogonală. Aceste momente de inerţie extreme se numesc momente de inerţie principale şi se notează cu Ii şi I2, respectiv I12 dacă momentul de inerţie centrifugal corespunzător nu este nul.

De regulă secţiunile folosite în construcţii au cel puţin o axă centrală de simetrie, adesea chiar două axe de simetrie centrale şi ortogonale care sînt şi axele principale. Excepţie fac secţiunile în L cu braţe neegale, numite şi comiere cu aripi neegale. Comierele cu braţe egale au ca axă de simetrie bisectoarea unghiului dintre aripi. Aceasta şi ortogonala sa sînt axe principale.

Direcţiile axelor centrale principale se numesc direcţii principale, aceste axe se notează cu 1 şi 2.

5. Modulul de rezistenţă al secţiunii, faţă de o axă:Wy Iy / Zextrem

WZ = IZ/yextrem ,unitatea de m ăsurăem 3.Se observă că pentru o secţiune la care axa y nu este de simterie z extrem are două valori

diferite: de la axa centrală la axele extreme. Dacă axa z nu este de simterie y extrem are două valori diferite.

6. Raza de inerţie a secţiunii, faţă de o axă:iy= dy/A)1/2 iz= (Iz/A)1/2, unitatea de măsură e metrul.

Razele de inerţie depind ca şi momentele de poziţia axelor de referinţă. Dacă pentru o poziţie a axelor de referinţă centrale şi

17


carteziene se calculează o pereche de raze de inerţie iy şi iz, pentru o altă poziţie a axelor, rotită cu un unghi faţă de cea iniţială, se calculează o pereche de raze de inerţie.

Ca şi la momentele de inerţie, aceste raze de inerţie extreme se numesc raze de inerţie principale şi se notează cu ii şi ¡2- Măsurînd razele de inerţie de la centrul de greutate al secţiunii în longul axelor centrale, locul geometric al capetelor acestor raze este o elipsă numită elipsă centrală de inerţie. Ea dă o imagine grafică a distribuţiei masei secţiunii în raport cu axele centrale.

Pentru secţiunile simple: dreptunghi, pătrat, cerc, inel, caracteristicile geometrice se caluculează foarte uşor cu formulele de definiţie.

Astfel pentrudreptunghiul cu laturile de lungime b şi h (baza fiind b, înălţimea h), axele centrale fiind

paralele cu laturile, z cu baza, y cu înălţimea (axa x e în lungul barei, deci perpendiculară pe planul secţiunii),

Pentru o secţiune circulară cu diametrul d

A = ji d2 /4 yCG= d/2

z c g = d /2Sy = Sz = 0 faţă de axa centrală I y = I z = j i d4 /64Izy = 0Wy = Wz = JI d3 /32 i y = iz = d/4

Pentru o secţiune inelară, în relaţiile de mai sus se înlocuieşte d cu d - d i nterior-

Pentru fiecare solicitare în parte, există o ecuaţie care permite calculul efortului unitar în bara solicitată, într-o secţiune dată a ei.

Această ecuaţie este egalitatea dintre efortul unitar, o sau x, şi un raport care are la numărător efortul secţionai iar la numitor o caracteristică geometrică.

18


Astfel, ecuaţiile care apar sînt:

unde N şi T, M şi M sînt eforturile secţionale, A suprafaţa (aria) secţiunii barei, W modulul de rezistenţă axial maxim faţă de axa în raport cu care se produce încovoierea, Wp modulul de rezistenţă polar faţă de axa în raport cu care se produce răsucirea pentru secţiuni circulare sau inelare. Pentru secţiuni necirculare, se foloseşte un modul de rezistenţă convenţional, adaptat în funcţie de tipul secţiunii, notat de regulă cu Wd astfel că x = M/Wd.

Fiecare dintre ecuaţiile de mai sus pot fi rezolvate dacă au o singură necunoscută dintre cele trei elemente. Astfel, în funcţie de necunoscută, se pot rezolva cu fiecare dintre relaţii cele trei probleme ale rezistenţei materialelor:

1. Dimensionare: necunoscuta este caracteristica geometrică (de exemplu A neCesar — N efectiv/R)-2. Verificarea efortului unitar: necunoscuta este efortul unitar în acea secţiune (de exemplu o efectiv = N efectiv/A).3. Verificarea capacităţii portante: necunoscuta este efortul secţionai maxim ce poate fi preluat, numit efort capabil(de exemplu N capabii = A . R).în ecuaţiile de mai sus R este valoarea de calcul a efortului unitar o. Valoarea de calcul a efortului unitar ţ se notează cu Rf. Se mai utilizează şi notaţia/ în locul literei R.

în toate solicitările, lucrul mecanic efectuat de efortul secţionai Ld este egal cu energia de deformaţie Wd. Această formă a principiului conservării energiei se numeşte ecuaţia lui Clapeyron:

în toate calculele efectuate se ţine seama de ipoteza elasticităţii barei aşa mcît Ld este un lucru mecanic elastic.

Din cauza faptului că deformaţiile sînt considerate mici, se poate aplica, în cazul solicitărilor compuse principiul independenţei acţiunilor şi suprapunerii efectelor. Astfel, de exemplu, la încovoiere cu forţă axială (fie ea întindere sau compresiune),

6. Legături în construcţii. Determinare statică

Elementele de construcţii sînt în general componente fixe sau cu grade de libertate puţine. împiedecarea mişcării pe o direcţie (translaţie) sau în jurul unei axe (rotaţie) se face prin legături. în plan există trei grade de libertate şi deci, pentru blocarea unui corp trebuie utilizate cel puţin trei legături. Aceste legături nu trebuie să fie nici paralele, nici concurente, în caz contrar, ele permit totuşi mişcarea şi creează un aşa numit sistem critic.

19


O legătură simplă se numeşte reazem simplu şi blochează o translaţie.O articulaţie e formată din două legături simple şi blochează ambele translaţii din

plan.O încastrare e formată din trei legături simple şi blochează ambele translaţii şi rotaţia

din plan.

în consecinţă, un reazem simplu crează o reacţiune (forţă), o articulaţie crează două reacţiuni (forţe), iar o încastrare crează trei reacţiuni (două forţe şi un moment).

O bară dreaptă cu trei legături se numeşte sistem primar. Dacă legăturile sînt plasate la capetele barei sub forma unei articulaţii şi a unui reazem simplu, sistemul se numeşte grindă simplu rezemată. Dacă bara este încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, sitemul se numeşte consolă.

Sistemele din construcţii sînt rareori sisteme primare, chiar dacă sînt schematizate sau reduse la acestea pentru simplificare. De obicei sistemele structurale au multe bare şi multe legături, frînturi sau noduri şi articulaţii interioare prin care barele se prind una de alta. Pentru ca sistemul să se afle în echilibru, el trebuie legat astfel încît să respecte condiţia de determinare statică şi indeformabilitate geometrică. Aceasta prevede ca numărul legăturilor exterioare şi interioare ale unui sistem să fie egal cu de trei ori numărul de corpuri (bare) care compun sistemul:

Lext + Lint = 3 C.

De exemplu, două bare articulate între ele la un capăt şi articulate la capetele libere formează un sistem static determinat ecuaţia fiind: 4 + 2 = 3 x 2.

Dacă numărul legăturilor exterioare şi interioare ale unui sistem este mai mic decît de trei ori numărul de corpuri (bare), el constituie un mecanism. Adică are cel puţin un grad de libertate. Mecanismele sînt utile în domenii care presupun mişcare (organe de maşini etc.) dar nu sînt acceptabile în structura unei construcţii.

Dacă numărul legăturilor exterioare şi interioare ale unui sistem este mai mare decît de trei ori numărul de corpuri (bare), se spune că sistemul este static nedeterminat sau hiperstatic. De exemplu o bară încastrată la ambele capete este de trei ori static nedeterminată.

Calculul eforturilor secţionale în structurile hiperstatice necesită ecuaţii suplimentare faţă de cele trei ecuaţii de echilibru din plan. Pentru aceasta există metode de calcul specifice care au ca scop ridicarea nedeterminării, adică reducerea unei structuri static nedeterminate la una static determinată.

7. Materiale folosite în construcţii

în construcţii se folosesc numeroase materiale de rezistenţe şi moduri de fabricaţie diferite. Părţile diferite ale unei construcţii utilizează materiale diferite, adaptate scopului. Aşa de pildă, la o casă, cărămida se foloseşte la pereţi, mozaicul la pardoseli, betonul la elementele structurale, lemnul pentru şarpantă şi tabla pentru învelitoare.

20

Horia Gârbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERAT E

Iniţial, pentru structuri, materialul preponderent a fost zidăria de piatră sau cărămidă, uneori lemnul, la jumătatea secolului al XIX au apărut betonul şi betonul armat, apoi structurile metalice îmbinate cu nituri şi apoi prin sudură. în momentul actual structurile se realizează în special din beton şi beton armat, oţel, materiale compozite şi mai rar lemn.

Materialele cele mai utilizate în construcţii sînt:

a. Lemnul

Lemnul este un material organic. Este eterogen şi anizotrop. Prezintă următoarele avantaje:

- raport foarte bun rezistenţă/greutate, comparabil cu al oţelului, greutatea speifică a lemnului este de 700-900 daN/m3 în funcţie de esenţă adică de specia arborelui;

- coeficient mic de dilatare;

- prelucrare uşoară cu consum de energie redus;

Lemnul are însă şi unele dezavantaje:

- defecte de structură (noduri);

-sortiment de dimensiuni limitat;

-sensibilitate la factorii de mediu (umflare la umezeală cu scăderea rezistenţei cu 25%, putrezire, rezistenţă scăzută la agresivitatea chimică);

-sensibilitate la foc;

-îmbinările se fac prin reducerea (slăbirea) secţiunii în zona îmbinării.

în afară de acestea, putem nota că lemnul este un material scump şi că utilizarea lui presupune sacrificarea pădurilor, fapt ce poate avea consecinţe grave pe termen lung. Lemnul se poate asocia în construcţii cu zidăria sau cu oţelul. El poate fi folosit atît la structură (grinzi, planşee) cît şi la şarpanta acoperişului, adică structura care susţine învelitoarea, restul clădirii fiind din beton. Aspectul estetic al construcţiilor cu structuri aparente din lemn este remarcabil aşa cum se vede şi în figură (clădire din complexul Peleş, Sinaia).

b. Metalul (în special oţelul)

în construcţii metalul se foloseşte în special sub forma a două aliaje ale flerului cu carbonul. Siderurgia produce oţel (conţinut de carbon sub 1,7%) şi fontă (conţinut de carbon peste 1,7%). Fonta nu se foloseşte la elemente structurale, fiind casantă, ci numai la piese turnate pentru instalaţii. Oţelurile pot fi aliate cu alte elemente care le măresc rezistenţa. Oţelul laminat folosit

21


şi la armăturile betonului se numeşte oţel moale. Are conţinut de carbon în jur de 0,9% şi prezintă un palier de curgere înainte de rupere. Adică se rupe după ce s-a deformat mult la efort relativ constant.

Greutatea specifică a oţelului obişnuit este de 7850 daN/m3, modul de elasticitate longitudinal este 2,1.106daN/cm2, iar coeficientul sau dede dilatare termică liniară, notat cu a este a =10'5° C' 1

Oţelul poate fi folosit în construcţii sub formă de profile laminate, inclusiv bare cu secţiune circulară pentru armături, ţevi, nituri, buloane etc.

Mai rar se utilizează, şi nu pentru elemente structurale, materiale neferoase ca dur- aluminiul (Al-Mg), alama (Cu-Zn), bronzul (Cu-St).

Avantajele construcţiilor matalice, din oţel sînt:

- rezistenţa mare în raport cu greutatea proprie, pentru oţelul laminat uzual rezistenţa de calcul la întindere şi compresiune fiind în jur de 2100 daN/cm2;

- izotropia;

- gradul mare de prefabricare;

- tipizarea foarte largă;

- eficienţa mare datorită coeficienţilor de siguranţă mici;

- demolarea uşoară;

Dezavantajele construcţiilor matalice, din oţel sînt:

- preţ relativ ridicat;

- sensibilitate la coroziune;

- sensibilitate la foc;

- transmiterea vibraţiilor;

- montaj cu personal calificat.

îmbinarea elementelor structurale din oţel se poate face prin sudură, nituire sau bulonare. Primele două îmbinări sînt nedemontabile, prinderea cu buloane e demontabilă.

îmbinarea cu nituri şi cea cu buloane prezintă dezavantajul, faţă de sudură, că materialul trebuie găurit pentru a se trece prin găuri tijele niturilor sau buloanelor. Astfel secţiunea se slăbeşte prin reducerea ariei. Prinderea cu nituri sau buloane a fost anterioară sudurii, tehnologie inventată mai tîrziu, şi utilizată pe scară largă după 1920. în cazul nituirii, niturile sînt introduse calde în gaură şi bătute. Prin răcire se contractă şi strîng piesele îmbinate. Niturile (a) sînt supuse la forfecarea tijei, întindere din cauza contracţiei împiedicate, presiune a capului nitului pe pereţii găurii din acelaşi motiv. în schimb, butoanele nu lucrează prin supunerea tijei la forfecare ci doar la întindere, prin strîngerea piuliţei, suprafeţele în contact ale pieselor îmbinate fiind supuse la o forţă de frecare puternică. Pentru a mări coeficientul de frecare, suprafeţele în contact se sablează adică se fac mai rugoase prin supunerea la un jet de nisip sub presiune sau chiar prin frecare cu peria de sîrmă.

22


în cazul niturilor, este esenţială păstrarea unei distanţe egale între ele (echidistanţă) pentru a respecta ipoteza distribuţiei uniforme a eforturilor, fiecare nit fiind solicitat în mod egal cu celelalte.

Sudura este un procedeu de îmbinare prin încălzirea pînă la topire a elementelor metalice aflate în contact, astfel încăt se produce o întrepătrundere a moleculelor celor două elemente. La răcire, ele devin un corp unitar. Sudura poate fl făcută cap la cap (b) sau de colţ (c), eventual cu adaos de material (oţel) care se topeşte şi face corp comun cu cele două elemente sudate. Sudura se realizează cu arc electric sau prin topire oxi-acetilenică, numită uzual “sudură autogenă”.

La sudura electrică, se folosesc electrozi care,

3 3

topindu-se formează cordonul de sudură. Cea de-a doua se realizează cu flacără provenită din arderea acetilenei într-un mediu bogat în oxigen. Acetilena, o etină, e formată din doi atomi de carbon, cu legătură triplă între ei şi doi atomi de hidrogen (C2H2). Ea se obţine prin descompunerea carbidului (CaC2) în prezenţa apei (H2O).

în construcţiile metalice îmbinările se fac mai rar în mod direct, deoarece secţiunile aflate în contact ar fi prea mici. De aceea se utilizează eclise (2)care se prind de capetele celor două elemente îmbinate (1), asigurînd astfel continuitatea transmiterii efortului. Niturile sau buloanele (3) trec prin eclise şi elementele de îmbinat.

Dacă elementele îmbinate au direcţii diferite: grindă cu stîlp, zăbrele de grindă etc. nodul se face prin îmbinarea elementelor pe o placă de metal numită guseu.

în toate cazurile, principiul de calcul al îmbinărilor pieselor metalice este acela că rezistenţa îmbinării trebuie să fie mai mare decît a materialului îmbinat, adică eventuala cedare să se producă prin ruperea materialului şi nu a îmbinării.

c. ZidăriaZidăria se execută din blocuri de piatră naturală sau

piatră artificială (arsă sau nearsă) legate între ele prin mortar (zidării umede) sau doar din blocuri suprapuse (zidării uscate).

Zidăria poate fi portantă, susţinînd alte elemente de construcţii, autoportantă care susţine doar propria greutate, sau neportantă, adică purtată de alte elemente.

23


Piatra pentru zidărie poate fi naturală (brută sau cioplită) dar şi artificială, arsă (cărămidă de diferite tipuri) sau nearsă (blocuri de beton cu agregat uşoare, blocuri de beton celular autoclavizat, BCA, realizate din cenuşă şi var sau din ciment şi nisip)

Mortarul pentru zidării poate fi realizat pe bază de ciment, var sau ipsos cu adoaosuri din alţi lianţi (var-ciment, ipsos-var etc.). Mortarul cuprinde liantul, agregatul (nisip 0-3 mm), apă şi eventual adaosuri pentru plastifiere, grăbire sau întîrziere de priză, coloranţi.

în scopul măririi rezistenţei, zidăria poate fi armată cu oţel sau, descoperire mai recentă, cu grile din plastic. Deasupra golurilor din zidărie (uşi, ferestre etc.) piatra poate fi aşezată sub formă de bolţi (la care dimensiunea transversală e mai mare decît înălţimea) sau arce.

în caz că nu se realizează bolţi sau arce, deasupra golului se aşază un element continuu orizontal, realizat în mod curent din lemn sau, mai ales, din beton, numit buiandurg. El are rolul de a susţine zidăria de deasupra golului ca ea să nu se lase, deformîndu-se sub greutatea proprie, asupra ramele uşilor, ferestrelor etc. Buiandrugii pot fi mai laţi decît zidul pe care îl susţin şi pot avea uneori forme ornamentale, în special la exteriorul clădilor.

Spaţiul dintre două pietre ale zidăriei, umplut de regulă cu mortar, se numeşte rost. două rînduri de pietre (cărămizi) trebuie să aibă rosturile decalate, un rost să nu aibă deasupra sau sub el tot un rost ci o piatră. Există mai multe tipuri de ţesere a cărămizilor într-un zid astfel încît să i se confere acestuia o rezistenţă cît mai bună. Tehnica zidăriei este una dintre cele mai vechi cunoscute în construcţii. Un factor esenţial la realizarea unei zidării bune este verticalitatea, uşor de verificat, încă din antichitate prin firul cu plumb.

d. Betonul simplu şi betonul armat

Betonul este o piatră artificială nearsă cu aspect de conglomerat, formată din agregat (de regulă balast), liant (de regulă ciment portland cu unele adaosuri) şi apă. Cantitatea de liant este de 200-300 kg/m3. Raportul apă-ciment este de regulă A/C = 0,4-0,6. Aşadar, la 100 kg de ciment se pun 40-60 litri de apă. La amestecarea mecanică rapidă, în betoniere cu viteză de rotaţie mare, raportul A/C poate scădea la0,3-0,45.

Cimentul provine din piatră de calcar calcinată la aproximativ 1400°C şi măcinată fin, cu unele adaosuri, în special argilă. El este o combinaţie a cinci oxizi între care mai importanţi cantitativ sînt cei de calciu (CaO), siliciu (Si02) şi aluminiu (AI2O3). Cimentul portland, folosit pe sacră extrem de largă a fost brevetat de Joseph Aspdin în anul 1824. Numele provine de la culoarea pietrei calcaroasă, asemănătoare celei din insula Portland, din Anglia. Cimentul este un liant hidraulic, numit astfel pentru că se întăreşte în prezenţa apei.

Apa folosită pentru realizarea betonului trebuie să aibă calităţile apei potabile. Nu sînt acceptabile pentru beton apa de ploaie, apa de mare, apa cu aluviuni sau cu poluanţi.

Agregatul pentru betonul folosit la construcţii este balastul, un amestec de nisip şi pietriş în formă naturală, aşa

24


cum se scoate din albia unui rîu.Acest area granulometrie continuă, cuprinzînd toate sorturile de nisip şi pietriş de la cele mai fine la pietrele mari, pînă la 3 cm diametru. Betonul cu pietre mai mari sau chiar cu bolovani se numeşte beton ciclopian.

Betonul, în forme primitive, cu lianţi naturali ca argilă sau cenuşă vulcanică, a fost folosit încă din antichitate, fiind cunoscut în China antică, găsit la piramidele din provincia Shaanxi, aproape de Xi’An, vechea capitală a Chinei, ca şi în Imperiul Roman unde se folosea pumice un conglomerat din cenuşă vulcanică, măcinat.

în timpurile modeme, betonul a fost reinventat de John Smeaton în 1756. El folosea drept agregat cărămidă sfarîmată. După 1840, betonul din cimentul portland cu balast a fost folosit pe scară tot mai mare.

în secolul XX s-a generalizat procedeul compactării betonului prin vibrare ceea ce a dus la mărirea rezistenţei acestui material.

Betonul este un material anizorezistent avînd rezistenţa la întindere de 10-15 ori mai mică decît cea la compresiune. Deformaţiile sale sînt elasto-vîscos-plastice.

Betonul armat este realizat prin asocierea betonului cu bare de oţel laminat cu secţiune circulară care conlucrează solidar cu acesta mărindu-i rezistenţa la întindere. Principiul conlucrării se bazează pe aderenţa puternică a betonului la armătură şi deformarea lor egală sub sarcină. De asemeni, coeficientul de dilatare termică al betonului este apropiat de cel al oţelului.

Betonul şi betonul armat au următoarele avantaje:- rezistenţe mecanice mari, înjur de 95-150 daN/cm2valoare de calcul;- rezistenţă relativ mare la foc, pînă înjur de 300°C, peste această temperatură betonul

se degradează, lucru indicat prin schimbarea culorii.- rezistenţă bună la agresiunea agenţilor atmosferici;- se poate turna în formele dorite;- se realizează din materiale ieftine şi uşor de procurat;- necesită manoperă ieftină;- necesită cheltuieli de întreţinere mici;

Aceste materiale au şi unele dezavantaje:- greutatea proprie mare ceea ce constituie principalul

dezavantaj;- rezistenţă redusă la întindere şi implicit fisurare la contracţie,

prin pierderea apei;- timp de punere în stadiul de serviciu mai lung, datorită

procesului îndelungat de întărire;- permeabilitate la apă;- conductivitate termică şi acustică relativ mari;- demolare dificilă;Betonul şi betonul armat se pot utiliza sub formă de monolit (turnat pe loc în

elementul pe care îl constituie), elemente prefabricate, elemente de beton precomprimat.în capitolele următoare se va reveni pe larg asupra betonului ca material şi asupra

calculului elementelor din beton armat. Betonul precomprimat va fi tratat într-un capitol aparte.

e. Materialele compozite

Materialele compozite sînt cele mai recent descoperite materiale de construcţii , în forma lor contemporană, care utilizează fibre de înaltă rezistenţă. în antichitate dar şi mai recent, se ultilizau materiale compozite primitive precum cărămizi de lut armate cu paie

25


(chirpici). Biblia citează decizia faraonilor egipteni de a ordona evreilor, persecutaţi, să folosească doar cărămizi de lut, fără paie.

Prin material compozit se înţelege un material format din alte materiale care, în combinaţie, îşi păstrează fiecare proprietăţile iniţiale şi rămîn distincte la nivel macroscopic. în principiu un compozit e format din armătura de fibre şi matrice.

Materialele compozite modeme sînt formate din fibre de înaltă rezistenţă unite între ele printr-un material liant (răşini artificiale). Compozitele sînt alcătuite din straturi subţiri de fibre paralele numite lamine. Laminele sînt suprapuse alternativ cu fibrele paralele, perpendiculare, sau la 45-225 de grade faţă de latura elementului pe care îl compun. Fibrele de înaltă rezistenţă pot fi din sticlă, carbon, oţel, invar, silicon etc. sau materiale sintetice speciale.

Materialele compozite sînt esenţialmente anizotropice dar sînt ortotropice, adică proprietăţile lor diferă esenţial după cum se măsoară pe direcţia fibrelor sau pe o direcţie perpendiculară pe acestea. Lemnul poate fi considerat la rîndul său un material ortotropic, dar diferenţele pe cele două direcţii sînt mult mai mici. în ultimele decenii, şi fibrele de lemn sînt foosite ca fibre ale unui compozit sub formă de lemn industrializat aşa cum apare el la parchetul laminat, la fumiruri etc.

Avantajele compozitelor sînt:- greutate redusă în raport cu rezistenţa, fiind de 4 ori mai uşoare decît elementele de

oţel cu aceeaşi rezistenţă;- posibilitatea conformării în cele mai diverse moduri, în special sub formă de bare cu

pereţi subţiri;- rezistenţe mecanice mari;- rezistenţă mare la mediu agresiv;- impermeabilitate.Utilizarea materialele compozite în structuri şi construcţii e limitată. în prezent ele se

folosesc la structuri de avioane şi autoturisme, ambarcaţiuni, rezervoare, materiale sportive.Datorită timpului scurt de la dezvoltarea tehnologiei compozitelor, principalul

dezavantaj îl constituie costurile ridicate de proiectare şi realizare, tehnologiile sofisticate fiind inaccesibile ţărilor sărace, dar este sigur că viitorul le va aparţine.

Pentru a fi dimensionată sau verificată la eforturi şi deformaţii, o structură poate fi descompusă în mod simplificator în elemente sau grupuri de elemente structurale de acelaşi tip care au funcţii specifice şi mod de calcul adecvat. Aceasta chiar dacă în realitate structura se comportă ca un întreg. Nu la toate construcţiile se întîlnesc toate elementele structurale, tipul de structură şi situaţia acţiunilor de

calcul fac necesară adoptarea unor elemente sau a altora, după caz. Principial, o clădire este compusă din:

Fundaţii care pot fi directe sau de suprafaţă sau de adîncime: piloţi sau chesoane. Fundaţiile directe pot fi armate şi atunci se numesc fundaţii elastice sau din beton simplu sau zidărie şi atunci se numesc fundaţii rigide. Fundaţiile pot fi izolate sau continue. De regulă,

9. Elemente şi sisteme structurale

26


dacă nu sînt realizate clădiri înalte, fundaţiile sub stîlpi sînt izolate şi mai mari iar cele sub pereţi sînt mai mici şi continue de-a lungul acestora. O fundaţie generală, sub toată clădirea se numeşte radier şi se foloseşte pentru construcţii grele. Se pot utiliza sub stîlpii prefabricaţi fundaţii prefabricate, armate, numite fundaţii-pahar.

Stîlpi care se construiesc pe fundaţii monolit sau sînt prefabricaţi. Stîlpii pot lipsi dacă zidăria este portantă, dar numai la clădiri mici, cu unul sau două nivele. Stîlpii pot avea la capătul superior o evazare numită capitel.

Grinzi ce asigură legătura între stîlpi şi susţin planşeele. Grinzile pot fi prevăzute pe una sau pe ambele direcţii ale planului orizontal. Mai rar, planşeul poate fi susţinut de stîlpi, fără grinzi fiind numit planşeu-ciupercă. Există şi posibilitatea ca planşeul să fie susţinut fără grinzi, prin cabluri (tiranţi) şi în acest caz poartă numele de planşeu liftat. Deasupra zidăriei, la contactul cu planşeul se prevăd deobicei centuri din beton armat.

Planşee sau plăci care sînt elemente orizontale de compartimentare pe verticală a clădirilor, au şi rol de rezistenţă şi, la ultimul nivel, pot avea rol de acoperire.

Peste ultimul planşeu se poate prevedea o şarpantă, o structură uşoară, din lemn sau metal care susţine învelitoarea acoperişului. între planşeul cel mai de sus şi învelitoare apare un spaţiu de regulă ventilat care se numeşte pod şi are un rol important în izolarea termică a clădirii. Dacă podul este amenajat ca locuinţă se numeşte mansardă.

Circulaţia pe verticală în clădiri se realizează pe scări, pe planuri înclinate sau cu ascensoare.

La construcţii, fie că sînt clădiri sau construcţii speciale apar, în diferite situaţii, după cum o impun condiţiile de construcţie şi decizia proiectantului, mai multe tipuri de elemente structurale. Principalele elemente întîlnite în construcţii sînt:

a. Grinzile drepte

Sînt bare orizontale, solicitate de regulă la forţe verticale şi uneori la momente concentrate. în construcţii sînt mai frecvente forţele uniform repartizate. Apar sub formă de grinzi simplu rezemate, console sau grinzi simplu rezemate cu console. Rolul consolelor şi acela este de a descărca momentul din cîmpul central al grinzii.

Grinzile sînt supuse la încovoiere cu forţă tăietoare. Se realizează din beton armat, oţel sau lemn. Punctele de moment încovoietor maxim sînt de regulă la mijlocul deschiderilor şi pe reazeme, dacă au console. Forţele tăietoare sînt mari la reazeme şi mici în centru. Nu pot avea deschideri prea mari, de regulă sub 6 metri, altfel devin prea grele şi deci neeconomice. Susţin planşee, tabliere de poduri şi alte elemente plane bidimensionale. Formează împreună cu stîlpii cadre verticale plane sau cadre spaţiale.

în orice punct al unei bare drepte, fie ea grindă sau stîlp, apar eforturi axiale, de întindere sau compresiune, eforturi de forfecare şi de încovoiere. Acestea se produc sub acţiunea unor forţe sau

Forţă Forţă uniform Moment momente, concentrate sau distribuite,concenrată distribuită concentrat între acţiunea de calcul,

considerată o forţă distribuită după o lege de variaţie cunoscută p(x) în lungul axei X a barei, funcţia de variaţie a forţei tăietoare T(x) şi funcţia de variaţie a momentului încovoietor M(x) există relaţii diferenţiale. Aceste relaţii pot fi demonstrate prin scrierea relaţiilor de echilibru static între eforturile secţionale şi forţele exterioare pe un segment de bară de lungime egală cu a elementului diferenţial dx.

Relaţiile diferenţiale de-a lungul unei bare drepte sînt extrem de importante pentru calculul cu uşurinţă a variaţiei eforturilor de-a lungul barei sub acţiunea forţelor. Ele se numesc relaţiile lui Juravski şi au forma:

27


Relaţiile lui Juravski exprimă în formă matematică următoarele propoziţii:Forţa într-un punct de-a lungul unei bare drepte este valoarea derivatei în acel punct a

forţei tăietoare.Forţa tăietoare într-un punct situat undeva de-a lungul unei bare drepte este valoarea

derivatei în acel punct a momentului încovoietor corespunzător.Implicit, forţa într-un punct situat undeva de-a lungul unei bare drepte este valoarea

derivatei a doua a momentului încovoietor în acel punct.Aceste propoziţii sînt valabile pentru orice punct al barei drepte precum şi pentru variaţiile

funcţiilor p, T şi M într-o mulţime de puncte care compun un tronson al barei.Consecinţele relaţiilor lui Juravsky, foarte importante pentru calcului static, provin din

proprietăţile generale ale funcţiilor în raport cu derivatele lor şi anume:Dacă forţa p(x) are o lege de variaţie cunoscută, atunci funcţiile T(x) şi M(x) au legile de

variaţie corespunzătoare, fiind T(x) primitiva funcţiei p(x), respectiv M(x) primitiva funcţiei

Dacă într-un punct forţa p(x) îşi modifică legea de variaţie, atunci funcţiile T(x) şi M(x) au legile de variaţie corespunzătoar modificate.

Dacă forţa p(x) are valoarea zero într-un punct, T(x) va avea în acel punct un extrem local şi dacă forţa T(x) are valoarea zero într-un punct, M(x) va avea în acel punct un extrem local.

Valoarea momentului M(xo) într-un punct xo este egală cu integrala funcţiei T(x) de la originea axei X pînă la punctul Xo, mai concret cu aria diagramei T(x). Analog, valoarea forţei tăietoare T(xo) într-un punct Xo este egală cu integrala funcţiei p(x) de la originea axei x pînă la punctul xo, mai concret cu aria diagramei p(x).

Aceste consecinţe au o aplicare practică foarte simplă prin faptul că, în construcţii, forţele

T(x).

sînt de regulă fie concentrate într-un punct, fie uniform repartizate, mai rar liniar variabile, iar momentele sînt concentrate. Ca urmare, diagramele care descriu distribuţia forţelor tăietoare sînt cel mai adesea constante sau liniare iar cele care descriu variaţia momentelor încovoietoare au formă liniară sau parabolică de gradul II. în ceea ce priveşte forţele axiale, acestea sînt mai ales concentrate la capetele barelor şi, ca urmare, bara are în majoritatea cazurilor un singur efort secţionai de întindere sau de compresiune pe toată lungimea ei.

Cele mai multe forţe care acţionează în construcţii sînt forţe gravitaţionale, acestea sînt uniform repartizate şi orientate de sus în jos. Momentele de încovoiere concentrate apar ca urmare a acţiunii unor cupluri

de forţe (forţe paralele, egale şi de sens contrar).

28


în figură sînt prezentate variaţiile forţei tăietoare şi momentului pentru o grindă simplu rezemată încărcată cu o forţă uniform repartizată pe toată deschiderea, caz frecvent în construcţii. Este reprezentată şi deformata grinzii Am-

în acest exemplu reacţiunile sînt egale şi au acelaşi sens. Deoarece forţa e plasată simetric în raport cu cele două reazeme, fiecare reacţiune e jumătate din acţiunea totală adică pl/2. Diagrama T porneşte cu reacţiunea din reazemul stîng şi apoi forţa scade progresiv, liniar, cu cîte p unităţi de forţă pe fiecare metru liniar ajungînd la valoarea -pl/2 în reazemul drept, unde reacţiunea din acest reazem închide diagrama.

Momentul încovoietor la mijlocul grinzii are valoarea:

Mmax= pl/2 . 1/2 - pl/2 . 1/4 = pl2/8.

Această valoare poate fi obţinută prin înmulţirea reacţiunii cu braţul 1/2 pînă la jumătatea grinzii din care se scade momentul corespunzător unei jumătăţi din forţa distribuită. Braţul acesteia este 1/4 faţă de centrul grinzii. De asemeni, momentul maxim este aria triunghiului de pe diagrama forţei tăietoare, aflat în stînga mijlocului grinzii. Deformata este trasată intuitiv, fiind mereu cu semn pozitiv, ca şi momentul.

b. Stîlpii

Sînt bare verticale, solicitate de regulă la compresiune din forţe verticale şi la încovoiere din momente provenite prin excentricitatea aplicării acestor forţe.

Stîlpii sînt supuşi aşadar la încovoiere cu forţă axială. Se realizează din beton armat, oţel sau lemn. Punctele de moment maxim sînt de regulă la capete. Forţele tăietoare sînt relativ mici. Nu pot avea deschideri prea mari, de regulă sub 6 metri, altfel apare pericolul de flambaj adică îndoire sub compresiune. Susţin grinzi, planşee ciupercă, bolţi, etc. Formează împreună cu grinzile cadre verticale plane sau spaţiale. Stîlpii comprimaţi centric apar mai rar în construcţii, se numesc coloane şi pot avea formă circulară sau octogonală în secţiune. Secţiunile circulare sînt improprii pentru încovoiere deci nu se folosesc la compresiunea excentrică. Stîlpii pot avea la capătul de sus un capitel şi pot avea între ei şi fundaţie un element armat numit cuzinet.

c. Grinzile continue

uniform repartizate. Se realizează din beton armat sau oţel.

Punctele de moment maxim sînt de regulă în apropiere de mijlocul deschiderilor, cele pozitive, şi pe reazeme, cele negative.

Din punct de vedere static sînt nedeterminate şi se calculează cu metode specifice. Pot avea doar reazeme intermediare simple şi/sau articulate. Capetele pot fi uneori încastrate, cum se vede în figura a doua. Metoda de calcul este în principiu aceeaşi.

29

Sînt bare drepte aşezate pe mai multe reazeme, cu deschideri de obicei egale. Sînt

solicitate de regulă la forţe verticale (p, Q) şi uneori la momente concentrate. In construcţii sînt mai frecvente forţele uniform repartizate. Se realizează din beton armat sau oţel.


d. Grinzile cu articulaţii (Gerber)

| P I I I I i i i i IQ Grinzile cu articulaţii (numite şi..O q r grinzi Gerber) sînt sisteme de bare drepte,

----- ------ unidimensionale, articulate între ele şisprijinite pe mai multe reazeme. în acest fel, lungimea grinzii creşte şi fiecare grindă se sprijină în articulaţie pe capătul altei grinzi. în articulaţii, momentul încovoietor este nul. Articulaţiile transmit forţa, dar nu şi momentul încovoietor.

Pentru calcul, grinda se descompune în grinzi elementare

(primare) sau se utilizează pentru calcul metoda deplasărilor virtuale.

e. Grinzile cu zăbrele

Sînt structuri plane, mai rar spaţiale, de bare drepte articulate între ele la capete. Forţele (P) se consideră a fi concentrate în noduri.

Grinzile cu zăbrele pot fi static determinate sau static nedeterminate. Au avantajul că în bare forţele sînt

numai de întindere sau de compresiune. Grinzile cu zăbrele pot astfel acoperi deschideri mari, pentru poduri, hale cu deschidere mare, săli de sport etc. Au uneori forma generală arcuită, dar zăbrelele sînt totdeauna drepte. Cele două tălpi pot fi plane sau înclinate. Se realizează cel mai des din metal, betonul fiind nepotrivit din cauza apariţiei întinderii. Un exemplu clasic de structură

cu zăbrele este podul de la Cernavodă, conformat static, deci avînd aspectul în afinitate cu diagrama de momente încovoietoare. Grinzile cu zăbrele se calculează cu metode specifice, analitice sau grafice. Ecuaţia de determinare statică la grinzile cu zăbrele plane este: b + 3 = 2n. Unde b este numărul de bare, iar n cel de noduri. Rezolvarea grinzilor cu zăbrele constă în determinarea eforturilor de întindere sau compresiune în fiecare bară a structurii. în prealabil trebuie în mod obligatoriu determinate reacţiunile. Determinarea eforturilor permite desenarea unei diagrame de eforturi vectoriale, sugestive, aşa cum este cea din figură. Zăbrelele cu efort pozitiv, de întindere, au efortul reprezentat sub forma unor săgeţi care ies din noduri, cele cu efort negativ, de copresiune au efortul reprezentat sub forma unor săgeţi care intră în noduri. Se observă că totalul forţelor exterioare este 4P şi, distribuţia lor fiind simetrică faţă de axa verticală de simetrie geometrică a grinzii, cele două reacţiuni sînt egale între ele şi egal fiecare cu 2P.

30


f. Grinzile cadru

Sînt structuri plane cu noduri rigide, sub forma unor cadre verticale. Deosebirea faţă de grinzile cu zăbrele constă în faptul că nodurile nu sînt articulate ci rigide. Din cauza lipsei barelor diagonale, grinzile cadru au deformaţii mari. Se pot realiza din otel sau din beton armat.

Grinzile cadru se ultilizează la constructii de dimensiuni mari.

g. Cadrele plane

Cadrele plane sînt bare frînte în plan vertical, închise sau deschise, cu unul sau mai multe niveluri. Forţele provenite din acţiunile de calcul acţionează în planul cadrului atît vertical cît şi orizontal.

Nodurile unde grinzile sau riglele se îmbină cu stilpii sînt rigide, adică îşi păstrează unghiul, de obicei la 90 de grade, în procesul de deformaţie

Rigla poate fi orizontală sau înclinată uşor. Fiecare bară, fie ea grindă sau stîlp este supusă la toate solicitările existente în plan: forţă axială de

compresiune sau de întindere, forfecare, încovoiere.Cadrele plane sînt structuri foarte răspîndite. Se realizează din beton armat sau oţel.

Din cauza structurii rigide pe două direcţii din spaţiu, au reacţiuni verticale dar şi orizontale, numite împingeri.

Nodurile rigide, după cum se vede în figură, transmit eforturile transformînd forfecarea în forţă axială şi reciproc în funcţie de mărimea unghiului dintre stîlp şi grindă.

La nodurile în unghi drept, forţa tăietoare se transmite barei următoare integral sub formă de forţă axială şi reciproc.

Dar momentul încovoietor într-o bară, la un nod, este suma algebrică a momentelor încovoietoare din barele de dinaintea nodului. Aşadar nodul rigid transmite momentul încovoietor de la stîlp la riglă şi reciproc. Aceasta se petrece indiferent dacă între bare este un unghi de 90 de grade sau un alt unghi.

La contactul cu terenul, cadrele sînt de regulă articulate (ca în figura de mai sus) sau încastrate în fundaţii.

în jurul unui nod rigid, aşa cum este cel din figură, dacă în cazul cel mai general unghiul dintre bare este de 90° + a,

se pot scrie următoarele ecuaţii de echilibru:- echilibrul forţelor pe orizontală Ndr cos a + Tdr sin a - T st = 0.- echilibrul forţelor pe verticală Ndr sin a - Tdr cos a - Nst = 0.- echilibrul momentelor Mdr - Mst = 0.

31


Dacă nodul este drept, adică a = 0, rezultă ecuaţii de echilibru modificate în consecinţă:

Ndr - T st = 0. Tdr + N st = 0. M d r- Mst = 0.

h. Arcele

Cheie Arcele sînt bare curbeplane, conţinute în planul

Sageata vertical. Reazemele, numite naşteri au reacţiuni verticale, dar şi orizontale, numite împingeri. Punctul de înălţime maximă se numeşte cheie. Arcele se caracterizează prin două dimensiuni: o deschidere (orizontală) şi o săgeată (verticală).

Arcele au avantajul că, prin prezenţa împingerilor (Hi şi H2 din figura alăturată) şi prin configuraţia arcelor, momentele încovoietoare şi forţele tăietoare sînt mult reduse faţă de o grindă dreaptă cu aceeaşi deschidere.

Există chiar arce la care momentele încovoietoare şi forţele tăietoare sînt nule, fiind solicitate doar la compresiune axială. Aceste

arce se numesc arce de coincidenţă deoarece alura, adică forma lor în plan, lor coincide cu alura diagramei de momente pe care ar avea-o o grindă cu aceeaşi deschidere şi aceeaşi acţiune de calcul.

în figura de mai sus este reprezentat un arc semnicircular cu o forţă uniform repartizată, verticală, pe toată deschiderea. Pentru calcul, se realizează o secţiune într-un punct oarecare al arcului. în această secţiune, eforturile secţionale N, T şi M sînt în echilibru cu reacţiunile şi partea corespunzătoare a forţei p. Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru este util să se treacă de la coordonate rectangulare x,y, la coordonate polare R, a , avînd în vedere că R este constant şi deci se pot scroe ecuaţiile în funcţie de o singură variabilă, unghiul la centru. După scrierea acestor ecuaţii, dînd succesiv valori unghiului la centru, se obţin valorile corespunzătoare eforturilor secţionale pentru fiecare unghi.

32


i. Firele. Cablurile. Tiranţii

Tiranţii sînt elemente flexibile, adică fără formă proprie. Ele preiau numai eforturi de întindere. Raportul materie-geometrie al fireloreste cel mai avantajos, secţiunea lor fiind foarte mică. Firele au rolul de a susţine alte elemente structurale, suspendate de acestea.

Tiranţii sînt elemente aşezate între stîlpii unui cadru sau la baza unui arc. Ei preiau împingerile atunci cînd terenul sau fundaţia nu le pot prelua. Astfel, prin intermediul tirantului, fiecare stîlp trage de celălalt.

De regulă tiranţii se fac din oţel, sub forma unor împletituri din sîrme. Cablurile se întind prin tragere cu dispozitive speciale aflate la capete.

j. Cadrele spaţiale

Sînt bare frînte în plan orizontal, închise sau deschise, forţele fiind de regulă perpendiculare pe planul cadrului. La nodurile rigide, încovoierea dintr-o bară se transmite celei ortogonale sub formă de răsucire. Figura reprezintă o consolă spaţială cu două paliere ortogonale. Capătul din dreapta este liber.

în cadrul din figură, forţa verticală concentrată Q produce un moment de încovoiere în bara din dreapta care devine moment de răsucire în bara din stînga, în timp ce forţa uniform

distribuită p produce doar încovoiere în bara din stînga. Nodul rigid transmite forţa tăietoare astfel încît valoarea acesteia este maximă lîngă încastrare.

k. Grinzile pereţi

Grinzile-pereţi sînt grinzi la care deschiderea orizontală este de acelaşi ordin de mărime cu înălţimea lor. Sînt elemente cu rol structural care se realizează la clădirile înalte, sub formă de pereţi de rezistenţă. Se fac din beton armat şi se armează cu bare încrucişate, la ambele feţe. Plasa de bare poate fi cu ochiuri egale sau armătura poate urma direcţia eforturilor principale de întindere.

Grinzile-pereţi au scopul de a prelua acţiunile laterale, în special forţele seismice la cutremure, deci aceste structuri au un rol antiseismic. Se mai numesc şi diafragme. Grinzile-pereţi se toarnă monolit, odată cu cadrele construcţiei, şi o structură cu grinzi-pereţi este, în consecinţă, o structură mixtă, avînd şi pereţi portanţi şi

33


sechelet structural din cadre. Grinzile-pereţi pot avea goluri, dacă e absolut necesar pentru funcţionalitatea clădirii, dar acestea e preferabil să lipsească. în cazul grinzilor pereţi, ipoteza uniformităţii eforturilor unitare a lui Bemoulli nu este aplicabilă.

I. Grinzile pe mediu elastic

Grinzile pe mediu elastic au ca model o bară sprijinită pe resorturi (arcuri) elastice echidistante. Se pot asimila acestui model grinzile aşezate pe teren, a cărui caracteristică este o constantă elastică notată uzual cu litera k şi care se măsoară în N/m. Fiecare dintre resorturi, considerat perfect elastic, este un model Hooke. Se consideră că în fiecare punct al

grinzii deformaţia reazemului este proporţională cu forţa verticală iar grinda îşi păstează continuitatea. Astfel, grinzi pe mediu elastic sînt grinzile de fundare, traversele de cale ferată, fîşiile care compun fundul unui bazin, conductele aşezate pe pămînt şi alte elemente structurale care se sprijină pe pămînt

cu toată lungimea lor.Calculul acestor grinzi este laborios şi depinde de constanta elastică a terenului (k), de

lungimea grinzii ca şi de natura forţelor verticale care acţionează asupra grinzii (concentrate sau uniform repartizate). Grinzile pe mediu elastic respectă ipotezele generale ale rezistenţei materialelor.

10. Noţiuni generale despre clădiri

Părţile principale ale unei clădiri sînt fundaţia, corpul clădirii sau elevaţia, instalaţiile. La rîndul său, elevaţia se compune din elementele structurale şi elemente de compartimentare, acces, finisaj, protecţie. Instalaţiile pot fi sanitare (apă şi canalizare, evacuare deşeuri), de încălzire, electrice, de ventilaţie şi condiţionare.

Fundaţia are rolul de a transmite la teren încărcările.Elementele structurale sînt cele care preiau şi transmit eforturile la fundaţie. Unele au

şi rol de compartimentare (pereţi, planşee). Altele au doar rol de rezistenţă (stîlpi, grinzi, şarpanta acoperişului).

Elementele de compartimentare, acces, finisaj şi protecţie sînt: învelitoarea acoperişului, izolaţiile, tencuielile, pardoselile, placajele, uşile şi ferestrele, scările, zugrăvelile etc. Pentru a fi funcţionale, clădirile se compartimentează pe verticală (pe niveluri) şi pe orizontală în conformitate cu scopul lor. în principiu compartimentarea orizontală se realizează prin pereţi, compartimentarea pe verticală prin planşee. Planşeele sînt elemente bidimensionale (plăci plane), forţele care acţionează asupra lor sînt perpendiculare pe planul median. La pereţi, elemente bidimensionale verticale, forţele sînt paralele cu planul median.

în general plăcile sînt susţinute de grinzi, care sînt elemente structurale unidimensionale (bare) orizontale, la care forţele verticale sînt perpendiculare pe axă. Grinzile pot fi secundare sau principale. Ultimele descarcă efortul pe stîlpi. Stîlpii sînt elemente structurale unidimensionale verticale, aşadar forţele verticale sînt paralele cu axa. Stîlpii se sprijină la partea inferioară pe fundaţii ca şi pereţii portanţi sau neportanţi de la nivelul inferior al clădirii. Stîlpii, dacă sînt zvelţi, sînt expuşi pierderii stabilităţii formei ca urmare a compresiunii. Acest fenomen se numeşte flambaj. în cazul elementelor bidimensionale, pierderea stabilităţii formei prin compresiune se numeşte voalare.

Fundaţiile stîlpilor sînt în general izolate, dar există şi excepţii, după cum se va vedea mai departe, iar ale zidurilor sînt continue. Ca urmare, planşeele şi grinzile sînt supuse la

34

Horia Girbea CURS DE CONSTRUCŢII. ELEMENTE GENERALE

încovoiere cu forţă tăietoare iar stîlpii la compresiune excentrică adică la încovoiere cu forţă axială.

Unele clădiri au în structură şi arce, grinzi cu zăbrele sau grinzi cadru, utile pentru cazul deschiderilor mari (hale industriale, săli de spectacole sau de sport).

Fundaţiile sînt elemente masive ce se realizează din beton simplu sau armat, mai rar din zidărie de piatră. Ele sînt supuse la compresiune excentrică.

11. Proprietăţile betonului

Betonul armat a fost inventat în 1867 de Joseph Monier (Franţa). Mai exact, el a obţinut patentul, deoarece ideea iniţială a aparţinut unui alt francez, Joseph-Louis Lambor în 1848. Monier, de profesie grădinar, a avut ideea de a arma vasele de beton în care erau aşezate plantele ornamentale cu bare de oţel pentru a evita fisurarea lor la contracţia betonului care se întărea. Ulterior el a brevetat grinzile din beton armat, în imagine este reprodusă o construcţie remarcabilă din beton armat, biserica Sainte Jeanne d’Arc din Nisa, operă a arhitectului Jacques Dror, construită între 1926 şi 1933.

Primele structuri din beton şi din beton armat din România au fost realizate de Anghel Saligny în 1895. Acest pionier al utilizării betonului a realizat din beton simplu pilele podului de la Cernavodă şi din beton armat silozuri în porturile Galaţi şi Brăila.

După cum s-a arătat mai sus, betonul este o piatră artificială nearsă, format din agregat (de regulă balast), liant (de regulă ciment portland cu unele adaosuri) şi apă. Cantitatea de liant diferă în funcţie de tipul betonului şi este de 200- 300 kg/m3.

Cimentul e un amestec de oxizi: CaO, SiC>2, AI2O3, Fe2C>3, MgO dintre care cel mai important este oxidul de calciu (CaO) rezultat prin deshidratarea, la temperaturi înalte a cabonatului de calciu. Raportul apă-ciment este de 0,4-0,6 , aşa cum s-a arătat şi anterior.

Betonul simplu are o greutate specifică normată de 2400 daN/m3 iar betonul armat are o greutate specifică normată de 2500 daN/m3. în alte ţări aceaste greutate normată poate fi mai mare. Ea diferă în funcţie de performanţele tehnologice ale constructorului. Valoarea modulului de elasticitate longitudinal (E) al betonului variază în funcţie de clasa acestuia, media fiind de 200 000 daN/cm2 (20 000 MPa)

Din punct de vedere al rezistenţelor, beonul este un material anizorezistent. Rezistenţa la întindere este redusă şi are valori de 10-15 ori mai mici decît cea la compresiune. De aceea, betonul nu rezistă la efortul de întindere din solicitarea de întindere axială sau la componenta de întindere a încovoierii pure.

De asemeni, la eforturi de forfecare şi răsucire, eforturile unitare tangenţiale pe direcţia solicitării (txy) provoacă eforturi unitare principale de întindere (oi) care produc cedarea betonului după direcţii înclinate la 45° fata de direcţia solicitării.

Chiar şi supus la compresiune după o direcţie (x), betonul se rupe tot din cauza efortului de întindere care apare ca urmare a umflării de pe direcţia ortogonală solicitării (y). Adică nu din cauza efortului produs de solicitare (ctx), ci al celui ortogonal (ay).

Din acest motiv, betonul este mai des folosit în varianta de beton armat, material hibrid, care este realizat prin asocierea betonului cu bare de oţel laminat. Armatura conlucrează cu betonul mărind rezistenţa la întindere a elementelor structurale. Principiul conlucrării se bazează pe aderenţa puternică a betonului la armătură şi deformarea lor egală

35


sub sarcină. Această strîngere a armaturii în beton se numeşte “efect de menghină“. Conlucrarea e favorizată şi de coeficientul de dilatare termică al betonului care este foarte apropiat de cel al oţelului. între beton şi armătură se relizează aşadar o continuitate a deformaţiilor:

^armătura = Ş beton •Deformaţiile betonului sînt elasto-vîscos-plastice. La beton se întîlnesc atît fenomene

de curgere lentă (creşterea deformaţiei la efort constant) cît şi de relaxare (reducerea deformaţiei prin descărcarea elementului de sarcina exterioară). Relaxarea are o componentă instantanee (reducere bruscă a deformţiei) şi una mai lentă dar limitată în timp. Deformaţiile de curgere lentă sînt mai intense imediat după încărcare şi ating valori maxime în 2-5 ani. în această perioadă deformaţiile vîscoase sînt de 1,5-4 ori mai mari decît cele elastice aşadar ductilitatea betonului este mare.

Deformaţiile cvasi-elastice ale betonului are loc sub încărcări de pînă la 60-70% din forţele care produc ruperea. La betoanele de clasă inferioară, acest procent scade.

Betonul are şi deformaţii pseudo-plastice datorită defectelor de compactitate. Sub sarcină, betonul “se compactează“ şi de deformează plastic prin reducerea golurilor din structura pietrei de ciment.

Betonul se foloseşte pentru elementele structurale la clădiri şi la construcţii speciale.Betonul simplu se foloseşte la elemente structurale supuse preponderent la

compresiune, mai ales la fundaţii sau la elemente foarte masive (pile de pod, masive de ancoraj ).

în rest betonul se foloseşte ca o componentă a betonului armat, deoarece betonul nu preia întinderile şi armătura suplineşte capacitatea redusă a betonului de a prelua întinderea. Elementele de beton armat supuse la încovoiere se armează ca urmare la fibra întinsă. Elementele de beton supuse la întindere se armează, dar în acest caz efortul este preluat numai de armătură. Betonul este fisurat şi nu preia întinderea. O posibilitate de utilizare a betonului este aceea sub formă de beton precomprimat, care va fi expusă pe larg într-un alt capitol.

12. Clasa betonului

în România, caracteristicile betonului sînt date în funcţie de clasa lui. Cifrele care definesc clasa reprezintă rezistenţa caracteristică la compresiune în daN/mm2 a cuburilor sau cilindrilor din beton realizaţi şi încercaţi conform standardelor. Mărimea rezistenţei caracteristice este valoarea sub care se pot plasa cel mult 5% dintre valorile individuale determinate. Există următoarele clase: Bc3,5; Bc5; Bc7,5; BclO; Bcl5; Bc20; Bc30; Bc35; Bc40; Bc50; Bc60.

Astfel, dacă din 20 cuburi încercate, unul singur are rezistenţa caracteristică la compresiune sub 10 daN/mm2, iar celelalte, între 10 şi 15 daN/mm2 se va spune că betonul respectiv este de clasă 10 .

Se recomandă utilizarea următoarelor clase minime:Pentru elemente de rezistenţă din beton simplu - Bc7,5.Pentru elemente din beton armat monolit sau prefabricat - B el5.Pentru elemente din beton precomprimat - Bc30.

13. Armătura pentru beton

Betonul se armează cu oţel. Armarea betonului cu alte materiale (precum fibră de sticlă etc.) nu a dat rezultate foarte bune.

După cum s-a arătat la paragraful consacrat oţelului, acesta este un aliaj de fier (Fe) şi carbon (C). Pentru oţelul moale se utilizează la armături procentul de carbon de 0,9%. Oţelul

36


pentru armătură se utilizează sub formă de bare laminate la cald cu profil circular. Această armatură se mai numeşte şi armătură flexibilă. Oţelurile pentru beton utilizate în România sînt OB37, PC52, PC60 şi sîrmă trefilată (STNB). Un conţinut prea mare de carbon conduce la casanţa betonului. Un aliaj cu carbon mai mult se numeşte fontă (popular numită şi “tuci”) şi este impropriu pentru armarea betonului.

Oţelul OB37 este moale, cu conţinut redus de carbon. Barele au secţiune circulară netedă. Oţelul PC52 are unele adaosuri care îi măresc sudabilitatea. La fel şi PC60, care conţine mai mult carbon şi a cărui folosire măreşte eficienţa economică a construcţiilor. Oţelul PC are un profil periodic (nervuri). Ele permit recunoaşterea vizuală, în condiţii de şantier, a fiecărei calităţi de oţel pentru a nu se produce confuzii la realizarea elementelor structurale.

Oţelul pentru armături cu diametrul de 12 mm sau mai mic (6 , 8 , 10 mm) se livrează sub formă de colaci. Cel cu diametru mai mare se livrează sub formă de bare drepte. Pentru utilizare, barele de oţel se taie şi apoi se fasonează adică se îndoaie în forma impusă de proiect. Oţelul pentru armături are greutatea specifică de 7850 daN/m3 şi un modul de elasticitate liniar de aproximativ 2 000 000 daN/cm2. Oţelul folosit la armătura flexibilă se mai numeşte, în limbaj familiar “fier beton”.

Pentru realizarea conlucrării între beton şi armătură, se prevede o acoperire cu beton aarmăturii (notată cu ă). Acoperirea cu beton a armăturii este distanţa de la marginea elementului armat pînă la armătură şi variază în funcţie de tipul elementelor structurale din beton armat. Ea este mai mică la plăci (1 sau 1,5 cm) şi mai mai mare la grinzi şi la stîlpi, care au şi armătură mai groasă. La grinzi şi la stîlpi, 3 va fi de cel puţin

2,5 cm. La fundaţii, acoperirea cu beton va fi mai mare sau cel puţin egală cu 3,5 cm deoarece armătura trebuie protejată mai bine în condiţiile construcţiei sub nivelul terenului. Distanţa între două armături pe acelaşi rînd orizontal va fi de minimum 2,5 cm, astfel încît armătura să fie înglobată în beton şi în contact cu acesta pe tot perimetrul secţiunii. Dacă nu este posibil ca pe lăţimea elementului barele să fie aşezate astfel ca să se asigure între ele o distanţă de 2,5 cm, barele se vor aşeza pe două sau trei rînduri cu spaţiu de cel puţin 2,5 cm între rîndurile orizontale. Plasarea armăturilor pe mai multe rînduri reduce aşadar înălţimea utilă a secţiunii de beton. Poziţia axei neutre al elementelor din beton armat, adică înălţimea zonei comprimate se notează cu litera x.

x

37

Horia Gârbea Curs general de construcţii Calculul grinzilor drepte

Calculul grinzilor drepte cu acţiuni verticale. Trasarea diagramelor de eforturi secţionate T (forţă tăietoare) şi M (moment încovoietor) şi a deformatei din încovoiere.

în acest paragraf vor fi rezolvate cele mai importante şi mai răspîndite cazuri de grinzi drepte simplu rezemate, console şi grinzi simplu rezemate cu console la care acţiunile sînt perpendiculare pe axa barelor. Se iau în considerare principalele tipuri de acţiuni din construcţii: forţa concentrată, forţa uniform repartizată şi momentul încovoietor concentrat. Aceste acţiuni conduc la apariţia unor eforturi secţionale de forfecare şi încovoiere în planul determinat de bară şi direcţia lor. De asemeni ele determină o deplasare verticală a grinzii, cu excepţia acelor secţiuni în care grinzile sînt rezemate.

înţelegerea acestor exemple elementare este foarte importantă pentru trasarea diagramelor în situaţia altor structuri, mai complexe, principiul de calcul şi acela al trasării diagramelor fiind aceleaşi. In diagramele de mai jos reacţiunile verticale au fost notate cu V iar reacţiunile moment în încastrări cu M.

a. Grinda simplu rezemată cu forţă concentrată la mijlocul deschiderii

în acest exemplu se observă că reacţiunile sînt egale şi au acelaşi sens deoarece forţa e plasată simetric în raport cu cele două reazeme. Momentul încovoietor la mijlocul grinzii are valoarea P/2.1/2 adică Pl/4. Această valoare poate fi obţinută prin înmulţirea forţei V 1 cu braţul 1/2 pînă la jumătatea grinzii. De asemeni este aria dreptunghiului de pe diagrama forţei tăietoare, aflat în stînga mijlocului grinzii. Deformata este trasată intuitiv, fiind mereu cu semn pozitiv, ca şi momentul.

Valoarea maximă a deplasării (săgeata) se notează cu f şi este în mijlocul grinzii. Această deplasare se poate calcula numai dacă se cunoaşte rigiditatea la încovoiere a grinzii: EI ceea ce face obiectul rezistenţei materialelor pentru că E depinde de material, iar I de forma şi dimensiunile secţiunii grinzii.


b. Grinda simplu rezemată cu forţă uniform distribuită pe deschidere

în acest exemplu reacţiunile sînt egale şi au acelaşi sens. Deoarece forţa e plasată simetric în raport cu cele două reazeme, fiecare reacţiune e jumătate din acţiunea totală adică pl/2 . Diagrama T porneşte cu reacţiunea din reazemul stîng şi apoi forţa scade progresiv, liniar, cu cîte p unităţi de forţă pe fiecare metru liniar ajungînd la valoarea -pl/2 în reazemul drept, unde reacţiunea din acest reazem închide diagrama.

Momentul încovoietor la mijlocul grinzii are valoarea:

Mmax= pl/2 . 1/2 - pl/2 .1/4 = pl2/8.

Această valoare poate fi obţinută prin înmulţirea reacţiunii cu braţul 1/2 pînă la jumătatea

grinzii din care se scade momentul corespunzător unei jumătăţi din forţa distribuită. Braţul aceteia este 1/4 faţă de centrul grinzii. De asemeni, momentul maxim este aria triunghiului de pe diagrama forţei tăietoare, aflat în stînga mijlocului grinzii. Deformata este trasată intuitiv, fiind mereu cu semn pozitiv, ca şi momentul.

în conformitate cu ecuaţiile lui Juravski şi consecinţele lor, sub forţa uniform repartizată pe o bară dreaptă, forţa tăietoare este liniară iar momentul are forma unei parabole de gradul doi. Acolo unde forţa tăietoare se anulează, funcţia moment are un punct de extrem local, în speţă un maxim.

La o distanţă oarecare x de reazemul din stînga, cele două eforturi unitare au valorile:

T = pl/2 - px (dreaptă descendentă)M = pl2/4 - px2/8 (parabolă care admite un maxim)

înlocuind x cu 0, 1/2,1 se pot obţine valorile eforturilorsecţionale la capetele şi la mijlocul grinzii şi care sînt, desigur, întocmai cu cele de mai sus.


c. Consolă cu forţă concentrată la capătul liber

La consolă reacţiunea verticală în încastrare (reazemul din stînga) este evident egală şi de sens contrar forţei exterioare P. Din sumă de momente faţă de încastrare rezultă că momentul reacţiune este forţa P înmulţită cu braţul său, anume deschiderea 1. Se observă că momentul este întotdeauna negativ pe o consolă dacă forţa e orientată vertical în jos, deoarece forţa întinde fibra superioară a grinzii.

Forţa tăietoare este în acest caz constantă de-a lungul consolei, iar momentul variază liniar, fiind nul în capătul liber unde deplasarea este maximă (săgeata f). în încastrare, deplasarea vericală şi rotirea sînt 0 .

d. Consolă cu forţă uniform distribuită pe deschidere

Reacţiunea verticală în încastrare este egală şi de sens contrar forţei exterioare totale pi. Din sumă de momente faţă de încastrare rezultă că momentul reacţiune este forţa pl înmulţită cu braţul său, 1/2. Deci momentul maxim se atinge în încastrare şi are valoarea pl2/2

Din nou: momentul este negativ pe o consolă dacă forţa e orientată vertical în jos. Forţa tăietoare este în acest caz liniar descrescătoare de-a lungul consolei, iar momentul variază parabolic descendent, nul în capătul liber unde deplasarea este maximă (săgeata f). în încastrare, deplasarea vericală şi rotirea sînt 0 .


e. Grinda simplu rezemată cu moment concentrat la 1/4 din deschidere

Dacă asupra unei grinzi simplu rezemate acţionează un moment încovoietor concentrat M, indiferent dacă punctul său de aplicaţie este între reazeme sau în afara lor, în cele două reazeme vor apărea reacţiuni egale şi de sens contrar, valoarea lor fiind egală cu raportul între M şi deschiderea dintre reazeme 1. Aceasta deoarece cuplul reacţiunilor Vi.l sau V2.I trebuie să echilibreze momentul M pentru ca grinda să fie în echilibru.

Presupunînd că M acţionează la un sfert din deschidere, Vi = V2 = M/l, valori care ar fi fost aceleaşi indiferent de punctul în care M ar fi acţionat . Ca urmare şi diagrama T ar fi foat aceeaşi. Momentul concentrat nu influenţează diagrama T.

In ceea ce priveşte diagrama de momente, ea va fi liniară şi cu aceeaşi pantă pe toată deschiderea, deoarece forţa tăietoare (derivata funcţiei moment) este constantă. în punctul în care acţionează momentul încovoietor concentrat, diagrama de moment are un salt,

similar celui de la diagrama T cînd apare o forţă concentrată. Acet salt e în valoare absolută şi semn egal cu momentul aplicat M. în continuare, diagrama M îşi menţine sensul şi panta. Pe deformată apare un punct de inflexiune i acolo unde momentul concentrat determină schimbarea semnului diagramei de momente. In cazul de faţă curbura este la stînga pozitivă şi la dreapta punctului de aplicaţie al momentului concentrat este negativă.

f. Consolă cu moment concentrat la capătul liber

In cazul consolei, neexistînd forţe verticale nici ca acţiuni, deci nici ca reacţiune, forţa tăietoare este constant nulă pe toată deschiderea. Momentul încovoietor este şi el constant pe toată deschiderea şi are valoarea egală cu a momentului exterior M.

Momentul din figură curbează negativ consola, capătul liber se deplasează în jos iar fibra întinsă este cea superioară.

Dacă momentul de la capăt ar fi avut sens invers, adică sens antiorar, diagrama moemntului ar fi fost pozitivă ca şi deformata, capătul liber s-ar fi ridicat deasupra liniei de referinţă cu o săgeată f.

Horia Gârbea___________________ Curs general de construcţii__________Calculul grinzilor drepte

g. Grinda simplu rezemată cu forţă distribuită pe o parte din deschidere (1/2)

Dacă forţa distribuită uniform q acţionează numai pe o parte din deschidrea grinzii, în cazul de faţă pe jumătate din ea, reacţiunile sînt inegale. în speţă, rezultanta forţei qI/2 e aplicată la 1/4 de reazemul 1. Ca urmare Vi este 3/4 din forţa totală adică 3ql/8. Rezultă că V2 este ql/8.

Diagrama T trasată începînd cu punctul 1, se deschide cu forţa concentrată VI. Urmează o coborîre liniară cu cîte q unităţi pe metru liniar pînă la 1/2 . Astfel, de la 3ql/8, la jumătatea grinzii, forţa tăietoare ajunge să fie - ql/8. Această valoare se menţine constantă pentru că nu mai inntervine altă forţă pînă în reazemul 2 unde V2 închide diagrama

Diagrama M este parabolică în zona pe care acţionează forţa distribuită şi liniară după aceea. în reazemele de capăt momentul este nul. Acolo unde forţa tăietoare se anulează, parabola M are un maxim. Acest punct se află la 3/8 din 1. Momentul maxim poate fi calculat din punct de vedere fizic, prin însumarea

momentelor la stînga secţiunii sau la dreapta ei, dar şi geometric. în cazul de faţă, momentul maxim la 3/81 este egal numeric cu aria triunghiului dreptunghic cu baza 3/81 şi înălţimea 3 ql/8 adică 9/128ql2. La jumătatea grinzii, momentul este mai mic. Se poate calcula scăzînd din 9/3 2ql2 aria unui triunghi cu baza 1/8 şi înălţimea ql/8 . în total acest moment are valoarea ql2/16.

De la jumătatea grinzii, de la valoarea ql2/16, momentul scade liniar la 0 în reazemul 2. Ca urmare este foarte uşor e determinat valoarea momentului în orice secţiune intermediară celor două puncte. Deformata este trasată intuitiv, fiind mereu cu semn pozitiv, ca şi momentul

h. Grinda simplu rezemată cu o consolă şi forţă concentrată pe capătul consolei

Horia Gârbea Curs general de construcţii Calculul grinzilorGerber

Calculul grinzilor de tip Gerber

Grinzile Gerber sînt sisteme plane static determinate. Grinda şi direcţia forţelor determină planul în care apar eforturile, de regulă cel vertical. Tot de regulă, forţele sînt verticale şi astfel reacţinile orizontale nu apar. Astfel rămîn de determinat în prima etapă reacţiunile verticale din reazeme şi în etapa următoare eforturile secţionale de forfecare (T) şi încovoiere (M), forfecarea şi încovoierea petrecîndu-se în plan vertical.

Avantajul grinzilor Gerber este că pot avea deschideri mari. Prezenţa articulaţiilor, în care momentul încovoietor este nul, determină momentele încovoietoare să alterneze ca semn de-a lungul grinzii. Astfel modulul momentelor extreme este relativ redus.

Articulaţiile grinzilor Gerber crează posibilitatea ca grinzile să fie static determinate deşi au mai mult de două reazeme simple sau decît o încastrare. Este însă necesar ca articulaţiile să fie nu mai mult decît una între două reazeme consecutive sau, dacă există două articulaţii într-o deschidere, deschiderile dinainte şi de după acea deschidere să nu aibă articulaţii. Altfel se crează zone instabile, cu mecanisme locale.

Grinzile Gerber se pot împărţi virtual în grinzi elementare secundare (cu unul sau cu nici un reazem) şi principale, cu cîte două reazeme. Cele secundare se sprijină cu un capăt sau cu două pe capetele libere ale consolelor altor grinzi (tot secundare sau principale, după caz). Această situaţie poate fi folosită pentru calculul reacţiunilor prin metoda separării în grinzi elementare. Metoda constă în desfacerea virtuală a articulaţiilor şi stabilirea pe rînd a reacţiunilor fiecărei grinzi. Reacţiunile din reazeme sînt reacţiuni ale grinzii, iar cele din articulaţiile grinzilor secundare devin acţiuni, egale şi de sens contrar, pentru grinzile adiacente.

In continuare vom da cîteva exemple concrete de calcul pentru grinzi Gerber. Este uşor de înţeles că, prin combinarea numărului de reazeme şi articulaţii, prin variaţia valorilor şi tipurilor de forţe, numărul grinzilor Gerber imaginabile este practic infinit. Totuşi, aplicarea principiilor enunţate mai sus face posibilă rezolvarea oricărei situaţii.

Exemplul 1

La grinda Gerber din figură, sistemul e format din două bare articulate între ele. l-a şi a-2-3. Grinda l-a este secundară. Reazemul său a, transmite reacţiunea verticală pl/2 ca acţiune către grinda principală a-2-3, determinînd două reacţiuni în punctele 2 şi 3 de 5pl/8 şi respectiv pl/8. Ca urmare se calculează întîi reacţiunile în punctele 1 şi a pe grinda secundară. Apoi, cu reacţiunea în a ca acţiune, se calculează reacţiunile în punctele 2 şi 3. Dacă pe grinda 2-3 ar fi existat ale acţiuni ele ar fi fost luate în calcul ca atare alături de acţiunea în a, transmisă de grinda l-a.

Se observă că, deoarece forţa transmisă de grinda l-a este aplicată în afara deschiderii 2-3, reacţiunea din 3 va avea acelaşi sens cu acţiunea din a, adică în jos, iar cea 2 va fi în sus. După calculul reacţiunilor, se „reface” integritatea grinzii şi se calculează variaţia eforturilor secţionale T şi M de la un capăt la celălalt, pornind din punctul 1. Forţa tăietoare nu este influenţată de prezenţa articulaţiei, dar momentul în articulaţie va fi nul, acest aspect fiind important pentru valoarea momentelor ca şi, din punctul de vedere al rezolvării, pentru verificarea corectitudinii calculelor. Prin afinitate cu alura diagramei de momente şi ţinînd seama de semnele momentului, se trasează alura fibrei medii deformate, pe scurt „deformata”, grinzii. în deplasarea punctelor de-a lungul grinzii orice punct se poate deplasa (deplasări mici, conform ipotezelor staticii), inclusiv articulaţia, exceptînd cele trei puncte de rezemare: 1, 2, 3.

1

Horia Gârbea___________________ Curs general de construcţii Calculul grinzilorGerberSe poate observa că sub forţa uniform repartizată momentul este redus, dar faptul că

reacţiunea din a este o forţă concentrai, determină ca momentul transmis în reazemul 2 să fie dublu ca modul.

în calculul eforturilor secţionale de-a lungul grinzii, este extrem de utilă urmărirea în fiecare secţiune a consecinţelor ecuaţiilor diferenţiale ale lui Juravski. Acestea servesc ca verificare sau ca instrument efectiv de calcul. Re mintim: d2M/dx2 = dT/dx = -p(x)

Astfel, de pildă, pe grinda secundară este cert că, avînd forţă uniform distribuită, diagrama T va fi linară iar diagrama M o parabolă al cărei maxim se va afla în secţiunea în care T se anulează, la mijlocul grinzii. De asemeni, valoarea momentului maxim pe grinda secundară, M = pl2/8 poate fi verificată prin calculul său din două considerente:

- fizic, prin calculul momentului în secţiunea centrală:M = pl/2 .1/2 - pl/2 .1/4- geometric, ca arie a triunghiului cu baza 1/2 şi înălţimea pl/2, echivalentă integralei

definite din reazemul 1 pînă în punctul central a funcţiei T adicăM =( 1/2. pl/2)/2 .Analog, se poate verifica valoarea momentului în punctul 2. Se remarcă faptul că ariile

diagramei T de pe grinda secundară duc la valoarea 0 a momentului în articulaţie. Astfel că momentul în punctul 2 (M2) este egal cu aria dreptunghiului cu baza 1/2 şi înălţimea 1/2 sau cu aria dreptunghiului cu baza 21 şi înălţimea pl/8. în acest caz, semnul momentului M2 e tot

2

Horia Gârbea___________________ Curs general de construcţii Calculul grinzilorGerberminus pentru că grinda e parcursă de la dreapta spre stînga.Se poate remarca pe grinda principală felul în care concordă pantele diagramei M ca direcţie şi mărime cu valorile şi semnele diagramei T. Pe consola a-2, T este negativ şi mai mare, panta diagramei M este în sensul valorilor negative şi mai accentuată. Pe deschiderea 2-3, T este pozitivă şi cu modulul de patru ori mai mic, sensul variaţiei funcţiei M se modifică iar panta sa devine mai mică, în mod corespunzător. Evident, tangentele unghiurilor pe care diagrama M le face cu orizontala au tocmai valoarea forţei tăietoare, adică pl/2 pr consolă (triunghiul dreptunghic cu baza 1/2) şi pl/8 pe deschiderea 2-3 (triunghiul dreptunghic cu baza 21).

Ecuaţiile lui Juravski oferă numeroase posibilităţi de control, dacă sînt aplicate consecvent, astfel încît o eroare la trasarea diagramelor este practic exclusă.

Exemplul 2

Grinda este simetrică, avînd o grindă secundară centrală, încărcată cu forţa uniform distribuită p. Conform celor enunţate mai sus, deschiderile adiacente, 0-1 şi 2-3, nu pot avea articulaţii. Prezenţa grinzii centrale secundare şi a consolelor celor principale, dublează distanţa între reazemele 1 şi 2 care poate fi în realitate greu accesibilă pentru construirea unor reazeme: cursuri de apă, căi de comunicaţie, terenuri slabe, improprii fundaţiilor etc.

După desfacerea virtuală a articulaţiior a, reacţiunile grinzii secundare sînt egale între ele şi au valoarea pl/2. Ele devin acţiuni verticale concentrate şi orientate vertical în jos pe

3

Horia Gârbea Curs general de construcţii Calculul grinzilorGerbercapetele consolelor grinzilor principale. Ca atare, reacţiunile în reazemele 0 şi 3 sînt orientate tot în jos avînd valoarea pl/4 (jumătate din pl/2 pentru că deschiderea are lungime de două ori mai mare decît consola). Reacţiunile în reazemele 1 şi 2 sînt orientate în sus fiind, fiecare, egale cu pl/2 + pl/4.

La mijlocul grinzii secundare a-a, forţa tăietoare este 0. Pe această grindă, fimcţia T este liniar descrescătoare pentru că forţa e distribuită. în rest, T are aspectul unor paliere constante între forţele concentrate.

Diagrama M este uşor de trasat, cunoscând că pe reazemele de capăt şi în articulaţii momentul este nul. Pe grinda secundară, momentul are o variaţie parabolică, prezentînd maximul în centru, acolo unde forţa tăietoare e nulă.

La grinda Gerber din figură se remarcă faptul că grinda centrală a-a este una secundară. Ea nu are reazeme proprii ci se sprijină pe capetele consolelor celor două grinzi principale 0-1-a şi a-2-3. De aceea, rezolvarea trebuie începută cu această grindă. Reacţiunile ei devin acţiuni concentrate la capetele consolelor celor două grinzi principale. Ele determină pe ele, care sînt fără alte acţiuni momente negative pe toată lungimea şi simetrice. Grinda secundară are moment pozitiv. Acesta variază dupa o curbă de gradul II cu extrem la mijloc, acolo unde forţa tăietoare este egală cu zero.

Momentul pe grinzile principale variază liniar ca urmare a prezenţei forţelor concentrate: acţiunile transmise de grinda a-a şi reacţiuni. Momentele pe reazemele de capăt sînt nule. Momentele pe reazemele 1 şi 2 sînt negative şi egale cu aria diagramei T la stînga reazemului 2, respectiv la dreapta reazemului 3, adică aria unor dreptunghiuri cu baza I şi înălţimea pl/4. Deci M2=M3= pl2/4.

La mijlocul grinzii a-a, momentul pozitiv maxim se poate calcula ca arie a diagramei T de la articulaţie la mijlocul grinzii deci a triunghiului cu baza 1/2 şi înălţimea pl/2. Deci Mmax=pl2/8.

Deformata se trasează prin afinitate cu diagrama de momente. Pe grinda secundară centrală, ea are curbura pozitivă, fibra inferioară e întinsă. Se spune, intuitiv, că deformata pozitivă “ţine apă”. Pe grinzile principale deformata e negativă şi trece prin punctele fixe 0 ,1 ,2 ,3

4


Exemplul 3

Grinda de mai sus este identică exemplului anterior cu deosebirea că încărcarea (acţiunea exterioară) este uniform repartizată pe toată lungimea. Izolarea grinzii în sisteme primare este aceeaşi de la exemplul anterior. De această dată, deschiderile dintre reazemele grinzilor principale au pe ele forţe verticale şi, cu toate că grinda secundară transmite reacţiunile ei pe console, momentul nu este doar negativ. Aceste reac\iuni, egale cu pl/2 ca şi în cazul precedent, dau moment negativ, dar acţiunea dintre reazeme crează moment pozitiv. Diferenţa dintre ele produce o curbură pozitivă în apropierea reazemelor de capăt 0 şi 3.

5


Calculul reacţiunilor se poate realiza astfel: din motive de simetrie, reacţiunile grinzii secundare a-a sînt egale fiecare cu jumătate din acţiunea totală: pl/2. Acestea devin acţiuni la capătul consolelor grinzilor principale, alături de acţiunea distribuită uniform p. Pe grinda principală din stînga, punînd condiţia ca suma momentelor faţă de punctul 0 să fie nulă, se obţine o ecuaţie de gradul I cu necunoscuta reacţiunea în reazemul 1. Notînd această reacţiune verticală cu Vi ecuaţia este:

Vt .1 - p(l+l/2).(1+l/2)/2 - pl/2 . 3I/2 = 0

Primul termen este momentul creat de forţa V1 faţă de punctul 0. Al doilea termen, negativ, este momentul creat în sens invers de forţa uniform repartizată p şi al treilea termen, tot negativ, e momentul creat de acţiunea concrentrată pl/2 transmisă de grinda secundară a-a.

Prin rezolvarea ecuaţiei rezultă V1= 15pl/8. Rezultă că Vo = pl/8 pentru că din sumă de proiecţii pe verticală V1 + V0 = 2pl = 16pl/8.

Absolut anolog, şi ca urmare a simetriei, V2 = 15pl/8, V3 = pl/8.Din cauza faptului că forţa p este uniformă pe toată lungimea grinzii, diagramei T va

avea alura unei funcţii de gradul 1, o dreaptă uniform descrescătoare cu aceeaşi pantă. Această alură este întreruptă local de salturile produse de cele patru reacţiuni. Alura generală este antisimetrică pe jumătatea din dreapta faţă de cea din stînga. Respectiv forţa tăietoare la stînga reazemului 1 va fi egală şi contrară ca semn forţei tăietoare la dreapta reazemului 2 (7pl/8) şi aşa mai departe.

Panta diagramei T este forţa p, după ecuaţiile lui Juravski, adică unghiurile făcute de diagramă cu orizontala au tangenta egală cu p, ceea ce se observă pe figură în toate punctele grinzii.

Diagrama M, din consecinţele ecuaţiilor lui Juravski, este o parabolă de gradul 2 cu puncte de extrem local în secţiunile de anulare ale forţei tăietoare. Există trei astfel de puncte. Pe grinzile principale, extremul funcţiei M se atinge la 1/8 de reazemul exterior şi la 7/81 de articulaţii. Valoarea momentului în aceste puncte este egală cu aria triunghiului format de diagrama T cu orizontala şi cu ordonata ei în reazeme: baza 1/8, înălţimea pl/8.

M0-1= M2-3 = pl2/128în schimb, momentul pe reazemul interior (1 sau 2) are valoarea egală cu diferenţa

dintre triunghiul “mare” (baza 71/8, înălţimea 7pl/8) şi cel “mic” (baza 1/8, înălţimea pl/8). Valoarea este deci

M1 = M2 = - 48pl2/128 = - 3pl2/8.în afara schimbărilor de curbură din articulaţii, deformata acestei grinzi mai are două

puncte de inflexiune, cîte unul pe fiecare deschidere laterală, situate în secţiunile de anulare ale momentului încovoietor adică la distanţa de 1/4 de reazemele 0 şi 3. Această distanţă este distanţa dintre punctele de anulare ale momentului care, fiind o parabolă, are rădăcinile egal depărtate de punctul de extrem, deci la 1/8 de acesta, în fiecare parte.

6

Horia Garbea Curs general de construcţii Calculul grinzilorGerber

Exemplul 4Grinda de mai sus este similară exemplului anterior cu diferenţe de încărcare (acţiuni

exterioare) şi a faptului că grinda principală din stînga e o consolă cu capătul stîng încastrat. Izolarea grinzii în sisteme primare este aceeaşi de la exemplul anterior, grinda secundară fiind a-a. De această dată, în punctul 1 există o reacţiune verticală (egală cu 120 kN şi o reacţiune moment negativ (M l = - 120 . 6 = - 720 kN.m).

Forţa tăietoare se anulează la 2 m de capătul din stînga al forţei repartizate pentru că valoarea anterioară este de 120 kN şi pentru a scădea la zero sînt necesari pe 2m cîte 60 kN/m. în punctul unde începe forţa repartizată, momentul are valoarea 360 kN.m ceea ce rezultă din ariile dreptunghiurilor şi din asemănarea triunghiurilor de pe diagrama M. In

7

Horia Gârbea___________________ Curs general de construcţii Calculul yriny.ilorCerbcrcontinuare, diagrama M are forma unei parabole cu o rădăcină în articulaţie şi maximul în punctul unde se anulează T. Sub forţa concentrată M = 3m . 30 kN.

Reacţiunile unei grinzi Gerber se pot calcula şi prin metoda deplasărilor virtuale. Se deplasează virtual grinda cu o distanţă v pe direcţia reacţiunii necunoscute. Toate corpurile sau o parte din ele se vor deplasa, rămînînd fixe doar celelalte reazeme, coruprile încastrate şi cele care au două reazeme, altele decît cel în care s-a dat deplasarea virtuală v. Şi sub acţiuni există deplasări virtuale ce se pot calcula din asemănarea triunghiurilor ce apar. Dar în realitate deplasarea din punctul de rezemare e nulă. Aceasta înseamnă că lucrul mecanic al reacţiunii necunoscute şi al altor forţe care ar favoriza deplasarea în sensul propus este egal şi de semn contrar cu cel al forţelor care ar împiedeca deplasarea. Această ecuaţe este o ecuaţie de gradul I cu o necunoscută şi aceasta este reacţiunea căutată. Pentru fiecare reacţiune se procedează la fel.

La grinda din exemplul ales, pentru a calcula de exemplu reacţiunea V3 se deplasează în sus punctul 3 cu o mică distanţă v. Sub forţa concentrată de 300 kN, deplasarea va fi v/2 (linie mijlocie în triunghi). Sub articulaţie va fi o deplasare v/2 (egalitate de triunghiuri cu baza 2 m). Sub forţa distribuită, la mijlocul ei unde acţionează rezultanta deplasarea va fi v/3 (la 2/3 în triunghiul cu cateta verticală v/2). Se mai observă că forţa repartizată favorizează deplasarea vertcală iar cea concentrată tinde să o împiedece. Se poate scrie ecuaţia: V3 . v + 60.6.v/3 - 300 . v/2 = 0 —* V3 = 30 kN.Celelalte reacţiuni se determină în mod similar, schemele de deplasare fiind ca în desen.

8

Horia Câr be a Cars general de construcţii Calculul grinzilorGerber

Exemplul 5

La grinda din figură, acţiunea este un moment concentrat. El crează reacţiunile grinzii pe care se află. Reaţiunea în a se transformă în acţiuni asupra ginzii secundare următoare a-2- a. Reacţiunea în articulaţia a 2-a acţionează asupra grinzii principale a-3-4. Diagrama T este formată din trei paliere orizontale între cele patru forţe concentrate ale reacţiunilor. în consecinţă, dagrama M este liniară. De remarcat că momentul concentrat nu are nici o influenţă asura diagramei T iar pe diagrama M realizează un salt de la 60 kN.m la -60 kN.m şi determină un punct de inflexiune al deformatei în acea secţiune.

La calculul reacţiunilor se observă că momentul concentrat dă reacţiuni egale şi de sensuri opuse, egale în modul fiecare cu raportul dintre moment şi deschidere, în speţă 120 kN.m / 6 m = 20 kN. Aceastea se petrece indiferent dacă momentul concentrat acţionează între reazeme sau în afara lor.

9

constructii 2

Documents